ट्रॅपेझॉइडचे आवश्यक गुणधर्म. ट्रॅपेझ

या लेखात, आम्ही ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म शक्य तितक्या पूर्णपणे प्रतिबिंबित करण्याचा प्रयत्न करू. विशेषतः, आम्ही ट्रॅपेझॉइडच्या सामान्य चिन्हे आणि गुणधर्मांबद्दल तसेच कोरलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या गुणधर्मांबद्दल आणि ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाबद्दल बोलू. आम्ही समद्विभुज आणि आयताकृती समलंबाच्या गुणधर्मांना देखील स्पर्श करू.

विचारात घेतलेल्या गुणधर्मांचा वापर करून समस्या सोडवण्याचे उदाहरण तुम्हाला तुमच्या डोक्यातील गोष्टी सोडवण्यास आणि सामग्री चांगल्या प्रकारे लक्षात ठेवण्यास मदत करेल.

ट्रॅपेझ आणि सर्व-सर्व-सर्व

सुरुवातीला, ट्रॅपेझॉइड म्हणजे काय आणि त्याच्याशी इतर कोणत्या संकल्पना संबंधित आहेत हे थोडक्यात आठवूया.

तर, ट्रॅपेझॉइड एक चतुर्भुज आकृती आहे, ज्याच्या दोन बाजू एकमेकांना समांतर आहेत (हे तळ आहेत). आणि दोन समांतर नाहीत - या बाजू आहेत.

ट्रॅपेझॉइडमध्ये, उंची वगळली जाऊ शकते - पायथ्याशी लंब. मधली रेषा आणि कर्णरेषा काढली आहेत. आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कोणत्याही कोनातून दुभाजक काढणे शक्य आहे.

या सर्व घटकांशी संबंधित विविध गुणधर्मांबद्दल आणि त्यांच्या संयोजनांबद्दल, आपण आता बोलू.

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांचे गुणधर्म

हे स्पष्ट करण्यासाठी, वाचताना, कागदाच्या तुकड्यावर ACME ट्रॅपेझॉइडचे रेखाटन करा आणि त्यात कर्ण काढा.

1. जर तुम्हाला प्रत्येक कर्णाचे मध्यबिंदू सापडले (या बिंदूंना X आणि T म्हणू या) आणि त्यांना जोडले तर तुम्हाला एक खंड मिळेल. ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या गुणधर्मांपैकी एक म्हणजे XT हा खंड मध्यरेषेवर असतो. आणि त्याची लांबी बेसमधील फरक दोनने विभाजित करून मिळवता येते: XT \u003d (a - b) / 2.
2. आमच्या आधी समान ACME ट्रॅपेझॉइड आहे. कर्ण O बिंदूवर एकमेकांना छेदतात. समलंबाच्या पायासह कर्णांच्या विभागांनी तयार केलेल्या AOE आणि IOC त्रिकोणांचा विचार करूया. हे त्रिकोण समान आहेत. k त्रिकोणांचा समानता गुणांक समलंबाच्या पायाच्या गुणोत्तरानुसार व्यक्त केला जातो: k = AE/KM.
   AOE आणि IOC त्रिकोणाच्या क्षेत्रांचे गुणोत्तर k 2 गुणांकाने वर्णन केले आहे.
3. सर्व समान समलंब, समान कर्ण O बिंदूला छेदतात. फक्त यावेळी आपण समलंबाच्या बाजूंसह कर्णरेषे एकत्र तयार झालेल्या त्रिकोणांचा विचार करू. AKO आणि EMO त्रिकोणाचे क्षेत्र समान आहेत - त्यांचे क्षेत्र समान आहेत.
4. ट्रॅपेझॉइडच्या आणखी एका गुणधर्मामध्ये कर्णांचे बांधकाम समाविष्ट आहे. तर, जर आपण AK आणि ME च्या बाजू लहान बेसच्या दिशेने चालू ठेवल्या, तर लवकरच किंवा नंतर ते काही बिंदूंना छेदतील. पुढे, ट्रॅपेझॉइडच्या तळांच्या मध्यबिंदूंमधून एक सरळ रेषा काढा. हे बिंदू X आणि T वर पायथ्याला छेदते.
   जर आपण आता XT रेषा वाढवली, तर ती ट्रॅपेझॉइड O च्या कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूला एकत्र जोडेल, ज्या बिंदूवर बाजूंचा विस्तार आणि X आणि T च्या पायाचे मध्यबिंदू एकमेकांना छेदतात.
5. कर्णांच्या छेदनबिंदूद्वारे, आम्ही एक खंड काढतो जो ट्रॅपेझॉइडच्या पायाशी जोडेल (T KM च्या लहान पायावर आहे, X - मोठ्या AE वर). कर्णांचा छेदनबिंदू या विभागाला खालील प्रमाणात विभाजित करतो: TO/OH = KM/AE.
6. आणि आता कर्णांच्या छेदनबिंदूद्वारे आपण ट्रॅपेझॉइड (a आणि b) च्या पायथ्याशी समांतर एक खंड काढतो. छेदनबिंदू त्याला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करेल. तुम्ही सूत्र वापरून विभागाची लांबी शोधू शकता 2ab/(a + b).

ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेचे गुणधर्म

ट्रॅपेझियममध्ये त्याच्या पायथ्याशी समांतर मधली रेषा काढा.

1. ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेची लांबी बेसची लांबी जोडून आणि त्यांना अर्ध्या भागात विभाजित करून मोजली जाऊ शकते: m = (a + b)/2.
2. जर तुम्ही ट्रॅपेझॉइडच्या दोन्ही पायांमधून कोणताही खंड (उंची, उदाहरणार्थ) काढला तर, मधली रेषा ती दोन समान भागांमध्ये विभाजित करेल.

ट्रॅपेझॉइडच्या दुभाजकाची मालमत्ता

ट्रॅपेझॉइडचा कोणताही कोन निवडा आणि दुभाजक काढा. उदाहरणार्थ, आमच्या ट्रॅपेझॉइड ACME चा KAE कोन घ्या. स्वतः बांधकाम पूर्ण केल्यावर, आपण सहजपणे पाहू शकता की दुभाजक पायापासून (किंवा आकृतीच्या बाहेरील सरळ रेषेवर चालू राहणे) बाजूच्या समान लांबीचा एक भाग कापला जातो.

ट्रॅपेझॉइड कोन गुणधर्म

1. तुम्ही निवडलेल्या बाजूस लागून असलेल्या कोनांच्या दोन जोड्यांपैकी कोणतीही जोडी, जोडीतील कोनांची बेरीज नेहमी 180 0 असते: α + β = 180 0 आणि γ + δ = 180 0.
2. ट्रॅपेझॉइडच्या पायाचे मध्यबिंदू TX खंडासह जोडा. आता ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्यावरील कोन पाहू. जर त्यांपैकी कोणत्याही कोनांची बेरीज 90 0 असेल, तर TX विभागाची लांबी अर्ध्या भागात विभागलेल्या बेसच्या लांबीमधील फरकाच्या आधारे मोजणे सोपे आहे: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. समलंब रेषा समलंब रेषा कोनाच्या बाजूंमधून काढल्या गेल्यास, त्या कोनाच्या बाजूंना आनुपातिक खंडांमध्ये विभाजित करतील.

समद्विद्विभुज (समद्विभुज) ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

1. समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडमध्ये, कोणत्याही पायावरील कोन समान असतात.
2. आता ते कशाबद्दल आहे याची कल्पना करणे सोपे करण्यासाठी ट्रॅपेझॉइड पुन्हा तयार करा. AE च्या पायाकडे काळजीपूर्वक पहा - M च्या विरुद्ध पायाचा शिरोबिंदू AE असलेल्या रेषेवर एका विशिष्ट बिंदूवर प्रक्षेपित केला जातो. शिरोबिंदू A पासून शिरोबिंदू M च्या प्रक्षेपण बिंदूपर्यंतचे अंतर आणि समद्विभुज समलंबाची मध्यरेषा समान आहेत.
3. समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मालमत्तेबद्दल काही शब्द - त्यांची लांबी समान आहे. आणि ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी या कर्णांचे झुकण्याचे कोन देखील समान आहेत.
4. केवळ समद्विभुज समलंबाजवळ वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते, कारण 180 0 चौकोनाच्या विरुद्ध कोनांची बेरीज यासाठी आवश्यक आहे.
5. समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचा गुणधर्म मागील परिच्छेदावरून येतो - जर समलंब समलंब जवळ वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते, तर ते समद्विभुज आहे.
6. समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या वैशिष्ट्यांवरून, ट्रॅपेझॉइडच्या उंचीचा गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहे: जर त्याचे कर्ण काटकोनात छेदतात, तर उंचीची लांबी पायाच्या बेरीजच्या अर्ध्या बरोबर असते: h = (a + b)/2.
7. ट्रॅपेझॉइडच्या तळांच्या मध्यबिंदूंमधून पुन्हा TX रेषा काढा - समद्विभुज समलंबामध्ये ती तळांना लंब असते. आणि त्याच वेळी, TX समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या सममितीचा अक्ष आहे.
8. यावेळी ट्रॅपेझॉइडच्या विरुद्ध शिरोबिंदूपासून मोठ्या पायापर्यंत खाली (याला a म्हणू या) उंची. तुम्हाला दोन कट मिळतील. पायाची लांबी जोडली आणि अर्ध्या भागात विभागली तर एकाची लांबी आढळू शकते: (a+b)/2. जेव्हा आपण मोठ्या बेसमधून लहान वजा करतो आणि परिणामी फरक दोनने विभाजित करतो तेव्हा आपल्याला दुसरा मिळतो: (a – b)/2.

वर्तुळात कोरलेल्या ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

आम्ही आधीच वर्तुळात कोरलेल्या ट्रॅपेझॉइडबद्दल बोलत असल्याने, या समस्येवर अधिक तपशीलवार राहू या. विशेषतः, ट्रॅपेझॉइडच्या संबंधात वर्तुळाचे केंद्र कोठे आहे. येथे देखील, पेन्सिल उचलण्यासाठी आणि खाली ज्याची चर्चा केली जाईल ते काढण्यासाठी खूप आळशी न होण्याची शिफारस केली जाते. त्यामुळे तुम्हाला जलद समजेल आणि चांगले लक्षात येईल.

1. वर्तुळाच्या मध्यभागाचे स्थान त्याच्या बाजूला ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णाच्या झुकावच्या कोनाद्वारे निर्धारित केले जाते. उदाहरणार्थ, ट्रॅपेझॉइडच्या वरच्या बाजूस उजव्या कोनात एक कर्ण बाहेर येऊ शकतो. या प्रकरणात, मोठा आधार परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी अगदी मध्यभागी छेदतो (R = ½AE).
2. कर्ण आणि बाजू तीव्र कोनात देखील भेटू शकतात - नंतर वर्तुळाचे केंद्र ट्रॅपेझॉइडच्या आत असते.
3. ट्रॅपेझॉइडचा कर्ण आणि पार्श्व बाजू यांच्यामध्ये स्थूल कोन असल्यास, परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचे केंद्र त्याच्या मोठ्या पायाच्या पलीकडे, ट्रॅपेझॉइडच्या बाहेर असू शकते.
4. कर्ण आणि ट्रॅपेझॉइड ACME च्या मोठ्या पायाने तयार केलेला कोन (शिलालेखित कोन) त्याच्याशी संबंधित असलेल्या मध्य कोनाच्या अर्धा आहे: MAE = ½MY.
5. परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधण्याचे दोन मार्ग थोडक्यात. पद्धत एक: तुमचे रेखाचित्र काळजीपूर्वक पहा - तुम्हाला काय दिसते? तुम्हाला सहज लक्षात येईल की कर्ण ट्रॅपेझॉइडला दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करतो. त्रिज्या त्रिकोणाच्या बाजूच्या विरुद्ध कोनाच्या साइन आणि दोनने गुणाकार केलेल्या गुणोत्तराद्वारे शोधली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, R \u003d AE / 2 * sinAME. त्याचप्रमाणे, सूत्र दोन्ही त्रिकोणांच्या कोणत्याही बाजूसाठी लिहिता येते.
6. पद्धत दोन: ट्रॅपेझॉइडच्या कर्ण, बाजू आणि पायाने तयार केलेल्या त्रिकोणाच्या क्षेत्राद्वारे आपल्याला परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या सापडते: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

वर्तुळाभोवती परिक्रमा केलेले ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

एक अट पूर्ण झाल्यास तुम्ही ट्रॅपेझॉइडमध्ये वर्तुळ लिहू शकता. खाली याबद्दल अधिक. आणि आकृत्यांच्या या संयोजनात अनेक मनोरंजक गुणधर्म आहेत.

1. जर एखादे वर्तुळ ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेले असेल, तर त्याच्या मध्यरेषेची लांबी बाजूंच्या लांबी जोडून आणि परिणामी बेरीज अर्ध्यामध्ये विभाजित करून सहजपणे शोधली जाऊ शकते: m = (c + d)/2.
2. ट्रॅपेझॉइड ACME साठी, वर्तुळाभोवती परिक्रमा केलेले, पायाच्या लांबीची बेरीज बाजूंच्या लांबीच्या बेरजेइतकी असते: AK + ME = KM + AE.
3. ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या या गुणधर्मावरून, संभाषण विधान खालीलप्रमाणे आहे: त्या ट्रॅपेझॉइडमध्ये एक वर्तुळ कोरले जाऊ शकते, ज्याच्या पायाची बेरीज बाजूंच्या बेरजेइतकी असते.
4. ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेल्या त्रिज्या r असलेल्या वर्तुळाचा स्पर्शबिंदू पार्श्व बाजूला दोन भागांमध्ये विभागतो, त्यांना a आणि b म्हणू या. सूत्र वापरून वर्तुळाची त्रिज्या मोजली जाऊ शकते: r = √ab.
5. आणि आणखी एक मालमत्ता. गोंधळात पडू नये म्हणून, हे उदाहरण स्वतः काढा. आमच्याकडे चांगले जुने ACME ट्रॅपेझॉइड आहे, वर्तुळाभोवती परिक्रमा केलेले आहे. त्यात कर्ण काढले आहेत, O बिंदूला छेदतात. कर्ण आणि बाजूंच्या विभागांनी तयार केलेले त्रिकोण AOK आणि EOM हे आयताकृती आहेत.
   या त्रिकोणांची उंची, कर्ण (म्हणजे ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू) पर्यंत कमी केली जाते, कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याशी एकरूप होतात. आणि ट्रॅपेझॉइडची उंची कोरलेल्या वर्तुळाच्या व्यासाइतकीच आहे.

आयताकृती ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइडला आयताकृती म्हणतात, त्यातील एक कोपरा उजवा आहे. आणि त्याचे गुणधर्म या परिस्थितीतून उद्भवतात.

1. आयताकृती ट्रॅपेझॉइडची एक बाजू पायथ्याशी लंब असते.
2. उजव्या कोनाला लागून असलेल्या ट्रॅपेझॉइडची उंची आणि बाजू समान आहेत. हे तुम्हाला आयताकृती ट्रॅपेझॉइड (सामान्य सूत्र) च्या क्षेत्राची गणना करण्यास अनुमती देते S = (a + b) * h/2) केवळ उंचीवरूनच नाही तर उजव्या कोनाला लागून असलेल्या बाजूने देखील.
3. आयताकृती ट्रॅपेझॉइडसाठी, वर वर्णन केलेल्या ट्रॅपेझॉइड कर्णांचे सामान्य गुणधर्म संबंधित आहेत.

ट्रॅपेझॉइडच्या काही गुणधर्मांचे पुरावे

समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्यावरील कोनांची समानता:

• आपण कदाचित आधीच अंदाज लावला असेल की येथे आपल्याला पुन्हा ACME ट्रॅपेझॉइडची आवश्यकता आहे - समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड काढा. AK (MT || AK) च्या बाजूच्या समांतर शिरोबिंदू M पासून MT एक रेषा काढा.

परिणामी चतुर्भुज AKMT हा समांतरभुज चौकोन आहे (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT असल्याने, ∆ MTE समद्विभुज आहे आणि MET = MTE.

एके || MT, म्हणून MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

जेथे AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

आता, समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइड (कर्णांची समानता) च्या गुणधर्मावर आधारित, आम्ही सिद्ध करतो की ट्रॅपेझियम ACME समद्विभुज आहे:

• सुरुवातीला, एक सरळ रेषा काढू या МХ – МХ || के.ई. आम्हाला KMHE (बेस - MX || KE आणि KM || EX) समांतरभुज चौकोन मिळतो.

AM = KE = MX आणि MAX = MEA असल्याने ∆AMH समद्विभुज आहे.

MX || KE, KEA = MXE, म्हणून MAE = MXE.

असे दिसून आले की त्रिकोण AKE आणि EMA एकमेकांना समान आहेत, कारण AM \u003d KE आणि AE या दोन त्रिकोणांची सामाईक बाजू आहे. आणि MAE \u003d MXE देखील. आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की AK = ME, आणि म्हणून ते खालीलप्रमाणे आहे की ट्रॅपेझॉइड AKME समद्विभुज आहे.

पुनरावृत्ती करण्यासाठी कार्य

ट्रॅपेझॉइड ACME चे तळ 9 सेमी आणि 21 सेमी आहेत, KA ची बाजू, 8 सेमी इतकी आहे, लहान बेससह 150 0 चा कोन बनवते. आपल्याला ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधण्याची आवश्यकता आहे.

ऊत्तराची: शिरोबिंदू K पासून आपण समलंबाच्या मोठ्या पायापर्यंत उंची कमी करतो. आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कोनांकडे पाहणे सुरू करूया.

कोन AEM आणि KAN एकतर्फी आहेत. याचा अर्थ ते 1800 पर्यंत जोडतात. म्हणून, KAN = 30 0 (ट्रॅपेझॉइडच्या कोनांच्या गुणधर्मावर आधारित).

आता आयताकृती ∆ANK विचारात घ्या (मला वाटते की हा मुद्दा पुढील पुराव्याशिवाय वाचकांसाठी स्पष्ट आहे). त्यातून आपल्याला ट्रॅपेझॉइड केएचची उंची सापडते - त्रिकोणामध्ये तो एक पाय आहे, जो 30 0 च्या कोनाच्या विरुद्ध आहे. म्हणून, KN \u003d ½AB \u003d 4 सेमी.

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र सूत्रानुसार आढळते: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 सेमी 2.

नंतरचे शब्द

जर तुम्ही या लेखाचा काळजीपूर्वक आणि विचारपूर्वक अभ्यास केला असेल, तर तुमच्या हातात पेन्सिल घेऊन वरील सर्व गुणधर्मांसाठी ट्रॅपेझॉइड्स काढण्यात आणि सरावाने त्यांचे विश्लेषण करण्यात आळशी नसाल, तर तुम्ही सामग्रीमध्ये चांगले प्रभुत्व मिळवले असावे.

अर्थात, येथे बरीच माहिती आहे, वैविध्यपूर्ण आणि कधीकधी गोंधळात टाकणारी देखील: वर्णन केलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या गुणधर्मांना कोरलेल्या गुणधर्मांसह गोंधळात टाकणे इतके अवघड नाही. परंतु आपण स्वतः पाहिले की फरक खूप मोठा आहे.

आता आपल्याकडे ट्रॅपेझॉइडच्या सर्व सामान्य गुणधर्मांचा तपशीलवार सारांश आहे. तसेच समद्विभुज आणि आयताकृती ट्रॅपेझॉइड्सचे विशिष्ट गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये. चाचण्या आणि परीक्षांच्या तयारीसाठी वापरणे अतिशय सोयीचे आहे. ते स्वतः वापरून पहा आणि आपल्या मित्रांसह दुवा सामायिक करा!

साइट, सामग्रीच्या पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, स्त्रोताचा दुवा आवश्यक आहे.

8 व्या इयत्तेचा भूमिती अभ्यासक्रम उत्तल चतुर्भुजांच्या गुणधर्म आणि वैशिष्ट्यांचा अभ्यास सुचवतो. यामध्ये समांतरभुज चौकोनांचा समावेश आहे, ज्यातील विशेष प्रकरणे चौरस, आयत आणि समभुज चौकोन आणि समलंब चौकोन आहेत. आणि जर समांतरभुज चौकोनाच्या विविध भिन्नतेसाठी समस्या सोडवताना गंभीर अडचणी येत नाहीत, तर कोणत्या चतुर्भुजाला ट्रॅपेझॉइड म्हणतात हे शोधणे काहीसे कठीण आहे.

व्याख्या आणि प्रकार

शालेय अभ्यासक्रमात अभ्यासलेल्या इतर चतुर्भुजांच्या विपरीत, ट्रॅपेझॉइडला अशी आकृती म्हणण्याची प्रथा आहे, ज्याच्या दोन विरुद्ध बाजू एकमेकांना समांतर आहेत आणि इतर दोन नाहीत. दुसरी व्याख्या आहे: ती बाजूंच्या जोडीसह एक चतुर्भुज आहे जी एकमेकांशी समान नसतात आणि समांतर असतात.

खालील आकृतीत विविध प्रकार दाखवले आहेत.

प्रतिमा क्रमांक 1 एक अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइड दर्शविते. क्रमांक 2 एक विशेष केस दर्शवितो - एक आयताकृती ट्रॅपेझॉइड, ज्यापैकी एक बाजू त्याच्या पायथ्याशी लंब आहे. शेवटची आकृती देखील एक विशेष केस आहे: ती समद्विभुज (समद्विभुज) आहे, म्हणजेच समान बाजू असलेला चतुर्भुज.

सर्वात महत्वाचे गुणधर्म आणि सूत्रे

चतुर्भुजाच्या गुणधर्मांचे वर्णन करण्यासाठी, विशिष्ट घटकांना वेगळे करण्याची प्रथा आहे. उदाहरण म्हणून, अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइड एबीसीडी विचारात घ्या.

त्यात समावेश आहे:

• बेस BC आणि AD - दोन बाजू एकमेकांना समांतर आहेत;
• बाजू AB आणि CD - दोन नॉन-समांतर घटक;
• कर्ण AC आणि BD - आकृतीच्या विरुद्ध शिरोबिंदूंना जोडणारे विभाग;
• ट्रॅपेझॉइड CH ची उंची पायथ्याशी लंब असलेला विभाग आहे;
• मिडलाइन EF - बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारी रेषा.

मूलभूत घटक गुणधर्म

भूमितीमधील समस्या सोडवण्यासाठी किंवा कोणतीही विधाने सिद्ध करण्यासाठी, चतुर्भुजांच्या विविध घटकांशी संबंधित असलेले सर्वात सामान्यपणे वापरले जाणारे गुणधर्म. ते खालीलप्रमाणे तयार केले आहेत:

याव्यतिरिक्त, खालील विधाने जाणून घेणे आणि लागू करणे हे सहसा उपयुक्त असते:

1. अनियंत्रित कोनातून काढलेला दुभाजक पायावरील एक विभाग वेगळे करतो, ज्याची लांबी आकृतीच्या बाजूच्या समान असते.
2. कर्ण रेखाटताना, 4 त्रिकोण तयार होतात; यापैकी, पाया आणि कर्णांच्या खंडांनी बनलेल्या 2 त्रिकोणांमध्ये समानता आहे आणि उर्वरित जोडीचे क्षेत्रफळ समान आहे.
3. कर्ण O च्या छेदनबिंदूद्वारे, तळांचे मध्यबिंदू, तसेच बाजूंचे विस्तार ज्या बिंदूला छेदतात त्या बिंदूद्वारे, एक सरळ रेषा काढता येते.

परिमिती आणि क्षेत्रफळ मोजत आहे

परिमिती चारही बाजूंच्या लांबीची बेरीज म्हणून मोजली जाते (इतर कोणत्याही भौमितिक आकृतीप्रमाणे):

P = AD + BC + AB + CD.

अंकित आणि परिक्रमा केलेले वर्तुळ

चतुर्भुजाच्या बाजू समान असतील तरच वर्तुळाला समलंब भोवती परिक्रमा करता येते.

परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्या मोजण्यासाठी, तुम्हाला कर्ण, बाजूकडील बाजू आणि मोठ्या पायाची लांबी माहित असणे आवश्यक आहे. मूल्य p,सूत्रामध्ये वापरलेले वरील सर्व घटकांच्या अर्ध्या बेरजेप्रमाणे मोजले जाते: p = (a + c + d)/2.

कोरलेल्या वर्तुळासाठी, अट खालीलप्रमाणे असेल: बेसची बेरीज आकृतीच्या बाजूंच्या बेरीजशी जुळली पाहिजे. त्याची त्रिज्या उंचीवरून शोधली जाऊ शकते आणि ती समान असेल r = h/2.

विशेष प्रकरणे

वारंवार समोर येणार्‍या केसचा विचार करा - समद्विभुज (समभुज) ट्रॅपेझॉइड. बाजूंची समानता किंवा विरुद्ध कोनांची समानता ही त्याची चिन्हे आहेत. सर्व विधाने त्यास लागू होतात., जे अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइडचे वैशिष्ट्य आहे. समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचे इतर गुणधर्म:

समस्यांमध्ये आयताकृती ट्रॅपेझॉइड इतके सामान्य नाही. त्याची चिन्हे म्हणजे ९० अंशांच्या समीप असलेल्या दोन कोनांची उपस्थिती आणि तळाशी लंब असलेल्या बाजूची उपस्थिती. अशा चतुर्भुजातील उंची एकाच वेळी त्याच्या बाजूंपैकी एक आहे.

सर्व मानले जाणारे गुणधर्म आणि सूत्रे सहसा प्लॅनिमेट्रिक समस्या सोडवण्यासाठी वापरली जातात. तथापि, ते घन भूमितीच्या अभ्यासक्रमातील काही समस्यांमध्ये देखील वापरावे लागतील, उदाहरणार्थ, त्रि-आयामी ट्रॅपेझॉइडसारखे दिसणारे कापलेल्या पिरॅमिडचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ निर्धारित करताना.

ट्रॅपेझॉइड एक उत्तल चतुर्भुज आहे ज्यामध्ये विरुद्ध बाजूंची एक जोडी एकमेकांना समांतर असते आणि दुसरी नसते.

ट्रॅपेझॉइडची व्याख्या आणि समांतरभुज चौकोनाच्या वैशिष्ट्यांवर आधारित, समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजू एकमेकांच्या समान असू शकत नाहीत. अन्यथा, बाजूंची दुसरी जोडी देखील एकमेकांच्या समांतर आणि समान होईल. या प्रकरणात, आम्ही समांतरभुज चौकोन हाताळत आहोत.

ट्रॅपेझॉइडच्या समांतर विरुद्ध बाजूंना म्हणतात मैदान. म्हणजेच, ट्रॅपेझॉइडला दोन तळ असतात. ट्रॅपेझॉइडच्या नॉन-समांतर विरुद्ध बाजूंना म्हणतात बाजू.

कोणत्या बाजूंवर अवलंबून, ते तळांसह कोणते कोन तयार करतात, विविध प्रकारचे ट्रॅपेझॉइड वेगळे केले जातात. बहुतेकदा, ट्रॅपेझॉइड्स नॉन-समद्विभुज (विविध), समद्विभुज (पृथक्) आणि आयताकृतीमध्ये विभागले जातात.

येथे बाजूकडील ट्रॅपेझॉइड्सबाजू समान नाहीत. त्याच वेळी, मोठ्या पायासह, ते दोन्ही फक्त तीव्र कोन बनवू शकतात किंवा एक कोन स्थूल आणि दुसरा तीव्र असेल. पहिल्या प्रकरणात, ट्रॅपेझॉइड म्हणतात तीव्र-कोन, दुसऱ्या मध्ये - ओबडधोबड.

येथे समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड्सबाजू एकमेकांच्या समान आहेत. त्याच वेळी, मोठ्या पायासह, ते फक्त तीक्ष्ण कोपरे तयार करू शकतात, म्हणजे. सर्व समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड तीव्र-कोन आहेत. म्हणून, ते तीव्र-कोन आणि ओबटस-कोनमध्ये विभागलेले नाहीत.

येथे आयताकृती ट्रॅपेझॉइडएक बाजू पायथ्याशी लंब आहे. दुसरी बाजू त्यांच्यासाठी लंब असू शकत नाही, कारण या प्रकरणात आपण आयत हाताळत आहोत. आयताकृती ट्रॅपेझॉइड्समध्ये, लंब नसलेली बाजू नेहमी मोठ्या पायासह तीव्र कोन बनवते. पाया समांतर असल्यामुळे लंब बाजू दोन्ही पायथ्याशी लंब असते.

मागे पुढे

लक्ष द्या! स्‍लाइड पूर्वावलोकन केवळ माहितीच्‍या उद्देशांसाठी आहे आणि प्रेझेंटेशनच्‍या संपूर्ण मर्यादेचे प्रतिनिधीत्व करू शकत नाही. तुम्हाला या कामात स्वारस्य असल्यास, कृपया पूर्ण आवृत्ती डाउनलोड करा.

धड्याचा उद्देश:

• शिक्षण- ट्रॅपेझॉइडची संकल्पना सादर करा, ट्रॅपेझियमच्या प्रकारांशी परिचित व्हा, ट्रॅपेझॉइडच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करा, विद्यार्थ्यांना समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेत प्राप्त ज्ञान लागू करण्यास शिकवा;
• विकसनशील- विद्यार्थ्यांच्या संवादात्मक गुणांचा विकास, प्रयोग आयोजित करण्याच्या क्षमतेचा विकास, सामान्यीकरण करणे, निष्कर्ष काढणे, विषयातील स्वारस्य विकसित करणे.
• शैक्षणिक- लक्ष वेधून घेणे, यशाची परिस्थिती निर्माण करणे, स्वतःच अडचणींवर मात करून आनंद मिळवणे, विविध प्रकारच्या कार्याद्वारे विद्यार्थ्यांमध्ये आत्म-अभिव्यक्तीची आवश्यकता विकसित करणे.

कामाचे स्वरूप:फ्रंटल, स्टीम रूम, ग्रुप.

मुलांच्या क्रियाकलापांच्या संघटनेचे स्वरूप:ऐकण्याची क्षमता, चर्चा तयार करणे, कल्पना व्यक्त करणे, प्रश्न, जोडणे.

उपकरणे:संगणक, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन. विद्यार्थ्यांच्या टेबलांवर: डेस्कवरील प्रत्येक विद्यार्थ्यासाठी ट्रॅपेझॉइड बनविण्यासाठी सामग्री कापणे; टास्क कार्ड्स (धड्याच्या सारांशातील रेखाचित्रे आणि कार्यांचे प्रिंटआउट्स).

वर्ग दरम्यान

I. संघटनात्मक क्षण

अभिवादन, धड्यासाठी कामाच्या ठिकाणाची तयारी तपासणे.

II. ज्ञान अपडेट

• वस्तूंचे वर्गीकरण करण्यासाठी कौशल्यांचा विकास;
• वर्गीकरणातील मुख्य आणि दुय्यम वैशिष्ट्ये हायलाइट करणे.

आकृती क्रमांक 1 मानला जातो.

खाली रेखाचित्राची चर्चा आहे.
ही भौमितिक आकृती कशाची बनलेली आहे? मुलांनी चित्रांमध्ये उत्तर शोधले: [आयत आणि त्रिकोणातून].
ट्रॅपेझॉइड बनवणारे त्रिकोण काय असावेत?
सर्व मते ऐकली जातात आणि चर्चा केली जातात, एक पर्याय निवडला जातो: [त्रिकोण आयताकृती असणे आवश्यक आहे].
त्रिकोण आणि आयत कसे तयार होतात? [जेणेकरून आयताच्या विरुद्ध बाजू प्रत्येक त्रिकोणाच्या पायाशी एकरूप होतील].
आयताच्या विरुद्ध बाजूंबद्दल तुम्हाला काय माहिती आहे? [ते समांतर आहेत].
- तर, या चौकोनात समांतर बाजू असतील? [होय].
- तेथे किती आहेत? [दोन].
चर्चेनंतर, शिक्षक "धड्याची राणी" - ट्रॅपेझॉइड दर्शवितो.

III. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण

1. ट्रॅपेझॉइडची व्याख्या, ट्रॅपेझॉइडचे घटक

• विद्यार्थ्यांना ट्रॅपेझॉइड परिभाषित करण्यास शिकवा;
• त्याच्या घटकांना नाव द्या;
• सहयोगी स्मरणशक्तीचा विकास.

- आता ट्रॅपेझॉइडची संपूर्ण व्याख्या देण्याचा प्रयत्न करा. प्रत्येक विद्यार्थी प्रश्नाच्या उत्तराचा विचार करतो. ते जोडीने मतांची देवाणघेवाण करतात, प्रश्नाचे एकच उत्तर तयार करतात. 2-3 जोड्यांमधून एका विद्यार्थ्याने तोंडी उत्तर दिले आहे.
[ट्रॅपेझॉइड हा एक चौकोन असतो ज्याच्या दोन बाजू समांतर असतात आणि इतर दोन बाजू समांतर नसतात].

ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूंना काय म्हणतात? [समांतर बाजूंना ट्रॅपेझॉइडचे तळ म्हणतात आणि इतर दोन बाजू म्हणतात].

शिक्षक कट केलेल्या आकृत्यांमधून ट्रॅपेझॉइड दुमडण्याची ऑफर देतात. विद्यार्थी जोड्यांमध्ये काम करतात आणि तुकडे एकत्र ठेवतात. बरं, जर विद्यार्थ्यांच्या जोड्या वेगवेगळ्या स्तरातील असतील, तर विद्यार्थ्यांपैकी एक सल्लागार आहे आणि अडचणीच्या वेळी मित्राला मदत करतो.

- नोटबुकमध्ये ट्रॅपेझॉइड तयार करा, ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूंची नावे लिहा. तुमच्या शेजाऱ्याला रेखांकनाबद्दल प्रश्न विचारा, त्याची उत्तरे ऐका, तुमच्या उत्तरांची तक्रार करा.

इतिहास संदर्भ

"ट्रॅपेझ"- ग्रीक शब्द, ज्याचा प्राचीन काळातील अर्थ "टेबल" असा होता (ग्रीक भाषेत, "ट्रॅपेझिऑन" म्हणजे टेबल, जेवणाचे टेबल. भौमितिक आकृतीचे नाव लहान टेबलाशी साम्य असल्यामुळे असे ठेवले गेले.
"बिगिनिंग्स" मध्ये (ग्रीक Στοιχεῖα, लॅटिन एलिमेंटा) हे युक्लिडचे मुख्य कार्य आहे, जे सुमारे 300 ईसापूर्व लिहिलेले आहे. ई आणि भूमितीच्या पद्धतशीर बांधकामासाठी समर्पित) "ट्रॅपेझॉइड" हा शब्द आधुनिक भाषेत वापरला जात नाही, परंतु वेगळ्या अर्थाने वापरला जातो: कोणताही चतुर्भुज (समांतरभुज चौकोन नाही). आपल्या अर्थाने "ट्रॅपेझियम" प्रथमच प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ पॉसीडोनियस (आयव्ही.) मध्ये आढळतात. मध्ययुगात, युक्लिडच्या मते, कोणत्याही चतुर्भुज (समांतरभुज चौकोनाला) समलंब चौकोन म्हटले जात असे; फक्त XVIII शतकात. शब्द आधुनिक अर्थ घेतो.

दिलेल्या घटकांनुसार ट्रॅपेझॉइडचे बांधकाम. मुले कार्ड क्रमांक 1 वरील कार्ये पूर्ण करतात.

विद्यार्थ्यांना विविध ठिकाणी आणि शैलींमध्ये ट्रॅपेझियम बांधावे लागतात. चरण 1 मध्ये, आपल्याला आयताकृती ट्रॅपेझॉइड तयार करण्याची आवश्यकता आहे. परिच्छेद 2 मध्ये, समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड तयार करणे शक्य होते. परिच्छेद 3 मध्ये, ट्रॅपेझॉइड "त्याच्या बाजूला पडलेला असेल." परिच्छेद 4 मध्ये, आकृती अशा ट्रॅपेझॉइडच्या बांधकामासाठी प्रदान करते, ज्यामध्ये एक पाया असामान्यपणे लहान असल्याचे दिसून येते.
विद्यार्थी वेगवेगळ्या आकृत्यांसह शिक्षकाला "आश्चर्यचकित" करतात, एक सामान्य नाव - ट्रॅपेझॉइड. शिक्षक ट्रॅपेझॉइड्स तयार करण्यासाठी संभाव्य पर्याय दर्शवितात.

समस्या १. पायापैकी एक आणि दोन बाजू अनुक्रमे समान असल्यास दोन ट्रॅपेझॉइड समान असतील का?
गटांमध्ये समस्येच्या निराकरणावर चर्चा करा, तर्काची शुद्धता सिद्ध करा.
गटातील एक विद्यार्थी बोर्डवर एक रेखाचित्र काढतो, तर्कशास्त्राचा अभ्यासक्रम स्पष्ट करतो.

2. ट्रॅपेझॉइडचे प्रकार

• मोटर मेमरीचा विकास, समस्या सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेल्या ज्ञात आकृत्यांमध्ये ट्रॅपेझॉइड तोडण्याची क्षमता;
• सामान्यीकरण करणे, तुलना करणे, सादृश्यतेने परिभाषित करणे, गृहीतके मांडणे या कौशल्यांचा विकास.

आकृतीचा विचार करा:

- आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या ट्रॅपेझियममध्ये काय फरक आहे?
मुलांनी लक्षात घेतले की ट्रॅपेझॉइडचा प्रकार डावीकडे असलेल्या त्रिकोणाच्या प्रकारावर अवलंबून असतो.
- वाक्य पूर्ण करा:

ट्रॅपेझॉइडला आयताकृती म्हणतात जर...
ट्रॅपेझॉइडला समद्विभुज म्हणतात जर...

3. ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म. समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म.

• समद्विभुज त्रिकोणाशी साधर्म्य दाखवून, समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या मालमत्तेबद्दल एक गृहीतक;
• विश्लेषणात्मक कौशल्यांचा विकास (तुलना, गृहितक, सिद्ध करणे, तयार करणे).

• कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा सेगमेंट बेसच्या अर्ध्या-अंतराच्या बरोबरीचा आहे.
• समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोणत्याही पायासाठी समान कोन असतात.
• समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडमध्ये समान कर्ण असतात.
• समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइडमध्ये, वरपासून मोठ्या पायापर्यंत कमी केलेली उंची त्याला दोन विभागांमध्ये विभागते, ज्यापैकी एक पायाच्या बेरीजच्या अर्ध्या बरोबरीचा असतो, तर दुसरा पायाच्या अर्धा फरक असतो.

उद्दिष्ट २.समद्विभुज समलंबामध्ये सिद्ध करा: अ) प्रत्येक पायावरील कोन समान आहेत; b) कर्ण समान आहेत. समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचे हे गुणधर्म सिद्ध करण्यासाठी, आम्हाला त्रिकोणांच्या समानतेची चिन्हे आठवतात. विद्यार्थी गटांमध्ये कार्य पूर्ण करतात, चर्चा करतात, नोटबुकमध्ये उपाय लिहून देतात.
प्रत्येक गटातील एक विद्यार्थी फलकावर पुरावा देत आहे.

4. लक्ष व्यायाम

5. दैनंदिन जीवनात ट्रॅपेझॉइड फॉर्म वापरण्याची उदाहरणे:

• आतील भागात (सोफे, भिंती, खोटी छत);
• लँडस्केप डिझाइनमध्ये (लॉन्सच्या सीमा, कृत्रिम जलाशय, दगड);
• फॅशन उद्योगात (कपडे, शूज, उपकरणे);
• दैनंदिन वस्तूंच्या डिझाइनमध्ये (दिवे, डिश, ट्रॅपेझॉइड आकार वापरून);
• आर्किटेक्चर मध्ये.

व्यावहारिक काम(पर्यायानुसार).

- एका समन्वय प्रणालीमध्ये, दिलेल्या तीन शिरोबिंदूंचा वापर करून समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड तयार करा.

पर्याय 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) आणि (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ;- 3), (…;…).
पर्याय 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) आणि (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), ( …; …).

- चौथ्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक निश्चित करा.
निर्णय संपूर्ण वर्गाद्वारे तपासला जातो आणि त्यावर टिप्पणी केली जाते. विद्यार्थी चौथ्या सापडलेल्या बिंदूचे निर्देशांक दर्शवतात आणि दिलेल्या अटी फक्त एकच बिंदू का ठरवतात हे स्पष्ट करण्याचा मौखिक प्रयत्न करतात.

एक मनोरंजक कार्य.ट्रॅपेझॉइड फोल्ड करा: अ) चार काटकोन त्रिकोण; ब) तीन काटकोन त्रिकोणांमधून; c) दोन काटकोन त्रिकोण.

IV. गृहपाठ

• योग्य आत्मसन्मानाचे शिक्षण;
• प्रत्येक विद्यार्थ्यासाठी "यशाची" परिस्थिती निर्माण करणे.

आयटम 44, व्याख्या जाणून घ्या, ट्रॅपेझॉइडचे घटक, त्याचे प्रकार, ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म जाणून घ्या, ते सिद्ध करण्यास सक्षम व्हा, क्र. 388, क्र. 390.

वि. धडा सारांश. धड्याच्या शेवटी, मुलांना दिले जाते प्रोफाइल,जे तुम्हाला आत्म-विश्लेषण करण्यास, धड्याचे गुणात्मक आणि परिमाणात्मक मूल्यांकन करण्यास अनुमती देते .

तुमची गोपनीयता आमच्यासाठी महत्त्वाची आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संग्रहित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमचे गोपनीयता धोरण वाचा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते जी एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी वापरली जाऊ शकते.

जेव्हा तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

आम्ही कोणत्या प्रकारची वैयक्तिक माहिती गोळा करू शकतो आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे खाली दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• जेव्हा तुम्ही साइटवर विनंती सोडता, तेव्हा आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादीसह विविध माहिती गोळा करू शकतो.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला तुमच्याशी संपर्क साधण्याची आणि अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांची तक्रार करण्यास अनुमती देते.
• वेळोवेळी, महत्त्वाच्या सूचना आणि संदेश पाठवण्यासाठी आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्‍ही प्रदान करत असलेल्‍या सेवा सुधारण्‍यासाठी आणि तुम्‍हाला आमच्‍या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्‍यासाठी ऑडिट, डेटा विश्‍लेषण आणि विविध संशोधन करण्‍यासाठी आम्‍ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
• तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम प्रचारात्मक कार्यक्रमात भाग घेतल्यास, आम्ही त्या कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

• जर ते आवश्यक असेल तर - कायद्यानुसार, न्यायालयाच्या आदेशानुसार, न्यायालयीन कार्यवाहीमध्ये आणि / किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशावरील सरकारी अधिकार्यांच्या विनंत्यांच्या आधारावर - आपली वैयक्तिक माहिती उघड करणे. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक हिताच्या कारणांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे असे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती योग्य तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो - कायदेशीर उत्तराधिकारी.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करा

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित आहे याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचार्‍यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा पद्धती संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.