सिद्धांत गेम स्ट्रॅटेजी मिश्रित

मिश्र धोरणे

शुद्ध रणनीतींमध्ये मॅट्रिक्स गेममध्ये कोणतीही बैठकी नसल्यास, गेमच्या वरच्या आणि खालच्या किंमती शोधा. ते दर्शवितात की खेळाडूला गेमच्या सर्वात महत्त्वाच्या किंमतीपेक्षा श्रेष्ठ प्राप्त होणार नाही आणि खेळाडू 1 ला जिंकण्याची हमी देते, गेमची लहान किंमत नाही.

प्लेअरची मिश्रित धोरण ही विशिष्ट संभाव्य परिस्थितीत एकाच अटींमध्ये गेम पुनरावृत्ती करण्यासाठी त्याच्या नेट स्ट्रॅटेजीजची संपूर्ण संच आहे. आपण उपरोक्त परिणामांची खात्री करू आणि मिश्रित रणनीतींच्या अटी सूचीबद्ध करू या:

• * खोड्याशिवाय गेम;
• * खेळाडू दिलेल्या संभाव्यतेसह खेळाडू शुद्ध रणनीतींचे यादृच्छिक मिश्रण वापरतात;
• * गेम समान परिस्थितीत अनेक वेळा पुनरावृत्ती होते;
• * प्रत्येक हालचालीसह, दुसर्या खेळाडूला धोरणाच्या निवडीबद्दल कोणत्याही खेळाडूला सूचित केले जात नाही;
• * गेमचे परिणाम सरासरी करण्यास परवानगी आहे.

मिश्रित रणनीतींचे खालील डिझाइन लागू केले जातात.

एक खेळाडूसाठी 1, एक मिश्रित धोरण, ज्यामध्ये शुद्ध रणनीतींचा वापर 1, एक 2, ..., एक टी संबंधित संभाव्यता पी 1, पी 2, आर टी.

खेळाडू 2 साठी.

प्र. जे - स्वच्छ स्ट्रॅटेजी बी जे वापरण्याची शक्यता आहे.

जेव्हा मी पी \u003d 1, एक खेळाडूसाठी 1 साठी आपल्याकडे स्वच्छ रणनीती आहे

शुद्ध खेळाडू रणनीती फक्त शक्य आहेत अपूर्ण घटना. मॅट्रिक्स गेममध्ये, मॅट्रिक्स ए जाणून घेणे (ते प्लेअर 1 आणि प्लेअर 2 वर देखील लागू होते), जेव्हा निर्धारित केले जाऊ शकते निर्दिष्ट वेक्टर आणि मध्यम विनोद ( अपेक्षित मूल्य प्रभाव) खेळाडू 1:

कुठे आणि - वेक्टर;

पी आणि क्यू मी - व्हॅक्टर.

आपल्या मिश्रित रणनीती लागू करून, खेळाडू 1 त्याच्या सरासरी विजय वाढवण्याचा प्रयत्न करतो आणि खेळाडू 2 - हा प्रभाव सर्वात कमी संभाव्य मूल्यावर आणतो. खेळाडू 1 साध्य करण्याचा प्रयत्न करतो

खेळाडू 2 स्थिती शोधतो

खेळाडू 1 आणि 2, i.e. च्या चांगल्या मिश्रित रणनीती संबंधित victors आणि vectors अशा वेक्टर आणि ज्यावर समानता सादर केली जाईल

गेम किंमत - मध्य खेळाडू जिंकणे 1 मिश्रित धोरणे खेळाडू वापरताना. परिणामी, मॅट्रिक्स गेमचे समाधान आहे:

• - अनुकूल मिश्रित खेळाडूची धोरण 1;
• - अनुकूल मिश्रित खेळाडू 2 धोरण;

किंमत गेम.

मिश्र धोरणे फंक्शनसाठी एक सॅडल पॉइंट तयार केल्यास इष्टतम (आणि) असेल.

गणितीय खेळ मुख्य प्रतिष्ठा आहे.

एक मॅट्रिक्स गेमसाठी कोणत्याही मॅट्रिक्स एक व्हेरिएबलसह

एकमेकांना आणि समान आहेत: \u003d \u003d.

हे लक्षात घ्यावे की सर्वोत्कृष्ट रणनीतीची निवड करताना, खेळाडूला नेहमीच सरासरी विजयाची हमी दिली जाईल, कोणत्याही निश्चित प्लेअरच्या धोरण 2 (आणि, विरुद्ध खेळाडूसाठी 2) सह गेमच्या किंमतीपेक्षा कमी अंतराची हमी दिली जाईल. खेळाडूंचे सक्रिय रणनीती 1 आणि 2 ही धोरणे आहेत जी संबंधित खेळाडूंच्या चांगल्या मिश्रित रणनीतींचे भाग आहेत जे शून्यपेक्षा इतर संभाव्यतेसह. याचा अर्थ असा की खेळाडूंच्या चांगल्या मिश्रित रणनीतींमध्ये त्यांच्या धोरणांना दिलेल्या सर्व प्राधान्ये समाविष्ट नाहीत.

गेमचे निराकरण करा - गेमची किंमत आणि अनुकूल रणनीती शोधण्यासाठी. मॅट्रिक्स गेम्ससाठी इष्टतम मिश्रित रणनीती शोधण्यासाठी पद्धतींचा विचार करा मॅट्रिक्स 22 द्वारे वर्णन केलेल्या सोपा गेमसह प्रारंभ करा. एक सॅडल पॉईंटसह गेम विशेषतः विचार केला जाणार नाही. जर एक सॅडल्ड पॉइंट प्राप्त झाला असेल तर याचा अर्थ असा आहे की त्या हानिकारक धोरणे नाकारल्या पाहिजेत. एक सॅडल पॉईंटच्या अनुपस्थितीत, आपण दोन चांगल्या मिश्रित रणनीती मिळवू शकता. आधीच लक्षात आले की, या मिश्रित रणनीती यासारखे रेकॉर्ड केल्या आहेत:

याचा अर्थ एक पेमेंट मॅट्रिक्स आहे

11 पी 1 + ए 21 पी 2 \u003d; (1.16)

12 पी 1 + ए 22 पी 2 \u003d; (1.17)

पी 1 + पी 2 \u003d 1. (1.18)

11 पी 1 + ए 21 (1 - पी 1) \u003d ए 12 पी 1 + ए 22 (1 - पी 1); (1.1 9)

एक 11 पी 1 + ए 21 - ए 21 पी 1 \u003d 12 पी 1 + 22 - ए 22 पी 1, (1.20)

आपल्याला इष्टतम मूल्ये कुठे मिळतात:

जाणून घेणे आणि शोधणे:

गणना, शोधणे आणि:

11 प्रश्न 1 + ए 12 क्यू 2 \u003d; प्रश्न 1 + प्रश्न 2 \u003d 1; (1.24)

11 प्रश्न 1 + ए 12 (1 - क्यू 1) \u003d. (1.25)

11 ए 12 वाजता. (1.26)

कार्य निराकरण केले आहे, कारण व्हॅक्टर आणि गेमची किंमत आढळते. पेमेंट मॅट्रिक्स ए, आपण ग्राफिकदृष्ट्या कार्य सोडवू शकता. त्याच वेळी, अल्गोरिदम सोल्यूशन्सची पद्धत अतिशय सोपी आहे (आकृती 2.1).

• 1. एबीसीआयएसएसा अक्षावर, सिंगल लांबीचा एक भाग स्थगित केला जातो.
• 2. अध्यादेशाच्या संदर्भात, रणनीती 1 वाजता जिंकली जाते.
• 3. लाइनवर, अध्यायाच्या अक्ष्यासारखे समांतर, विजयी रणनीती 1 वर स्थगित केले जातात.
• 4. सेगमेंटचे कट 11-बी 11, 12-बी 21, 22-बी 22, एक 21-बी 12 आणि दोन सरळ रेषे ब 11 बी 12 आणि बी 21 बी 22 चालविल्या जातात.
• 5. छेदनबिंदू बिंदूचे वचन निर्धारित केले आहे. ते समान आहे. Abscissa पॉइंट सी पी 2 (पी 1 \u003d 1 - पी 2) समान आहे.

अंजीर 1.1.

या पद्धतीमध्ये अनुप्रयोगाचा एकदम विस्तृत क्षेत्र आहे. हे यावर आधारित आहे सामान्य मालमत्ता टीपी गेम्स, त्यात कोणत्याही गेम टीपीमध्ये समाविष्ट आहे, प्रत्येक खेळाडूस एक अनुकूल मिश्रित धोरण आहे, ज्यामध्ये निव्वळ धोरणे संख्या किमान (एम, एन) पेक्षा जास्त नाही. या मालमत्तेकडून, आपण एक सुप्रसिद्ध परिणाम मिळवू शकता: कोणत्याही गेममध्ये 2 पी आणि टी 2 मध्ये, प्रत्येक इष्टतम धोरणांमध्ये दोन सक्रिय धोरणे नाहीत. म्हणून, कोणताही गेम 2 पी आणि टी 2 गेममध्ये कमी केला जाऊ शकतो 22. परिणामी, गेम 2 पी आणि टी 2 ग्राफिकलचे निराकरण केले जाऊ शकते. जर अल्टीमेट गेम मॅट्रिक्समध्ये टीपीचा परिमाण असेल तर टी\u003e 2 आणि पी\u003e 2, नंतर एक रेषीय प्रोग्रामिंगचा वापर इष्टतम मिश्रित रणनीती निर्धारित करण्यासाठी केला जातो.

इष्टतम स्वच्छ रणनीती खेळाडू एक अनिवार्य युनिटच्या मिश्र उपस्थितीपेक्षा भिन्न आहे. I \u003d 1, क्यू I \u003d 1. उदाहरणार्थ: पी (1.0), क्यू (1.0). येथे पी 1 \u003d 1, क्यू 1 \u003d 1.

कार्य 1.
पेमेंट मॅट्रिक्सद्वारे, कठोर वर्चस्व सिद्धांतांचा वापर करून अनुकूल स्वच्छ रणनीती शोधा. व्हॅक्टर पी *, क्यू * बर्न करण्याच्या प्रतिसाद म्हणून.

सर्व कार्ये कॅलक्युलेटर मॅट्रिक्स गेमसह निराकरण करतात.

आम्हाला विश्वास आहे की खेळाडू मी जास्तीत जास्त विजय मिळविण्यासाठी आपली योजना निवडतो आणि खेळाडू II खेळाडूच्या विजयाची किंमत कमी करण्याचा प्रयत्न करतो.

पी 1 \u003d 1
पी 2 \u003d 0
किंमत गेम, वाई \u003d 1
आता आपण एक प्लेअर मिनिमॅक्स स्ट्रॅटेजी शोधू शकता, समीकरण संबंधित प्रणाली लिहिणे
प्रश्न 1 \u003d 1
प्रश्न 1 + प्रश्न 2 \u003d 1
ही प्रणाली सोडवणे, आम्हाला आढळते:
प्रश्न 1 \u003d 1.
उत्तरः
गेम किंमत: वाई \u003d 1, प्लेअर स्ट्रॅटेजी व्हॅक्टर:
प्रश्न (1, 0), पी (1, 0)

Σa ij q j ≤ v v
Σa ij p मी ≥ v v
एम (पी 1; क्यू) \u003d (1 1) + (2 0) \u003d 1 \u003d v
एम (पी 2; क्यू) \u003d (2 1) + (2 0) \u003d -2 ≤ v
एम (पी; क्यू 1) \u003d (1 1) + (2 0) \u003d 1 \u003d v
एम (पी; क्यू 2) \u003d (2 1) + (2 0) \u003d 2 ≥ v

मूळ मॅट्रिक्समधून पंक्ती आणि स्तंभ काढून टाकण्यात आले होते, त्यानंतर आढळलेली संभाव्यता वेक्टर लिहीली जाऊ शकते:
पी (1,0,0,0)
क्यू (0,1,0,0)

कार्य 2.
गेमची तळाशी आणि उच्च किंमत शोधण्यासाठी पेमेंट मॅट्रिक्सवर. जर सॅडल पॉईंट असेल तर, इष्टतम स्वच्छ रणनीतींचे वेक्टर लिहा. पी *, क्यू *.

कार्य 3.
पेमेंट मॅट्रिक्सवर, आपल्याला इष्टतम धोरणे पी *, क्यू * आणि गेमची किंमत शोधतात. कोणत्या खेळाडू जिंकत आहेत?

मॅक्सिमिन इष्टतम खेळाडूची स्ट्रॅटजी ए पॉईंट एनशी संबंधित आहे ज्यासाठी आपण खालील सिस्टीमचे समीकरण लिहू शकता:
पी 1 \u003d 0
पी 2 \u003d 1
गेम किंमत, वाई \u003d -2
आता आपण समीकरणांच्या संबंधित प्रणाली लिहून, स्ट्रॅटेजी बी 1, बी 3, बी 4 काढून टाकून, जो खेळाडू बीला स्पष्टपणे मोठा तोटा देतो, आणि म्हणूनच, प्रश्न 1 \u003d 0, क्यू 3 \u003d 0, क्यू 4 \u003d 0.
-2Q 2 \u003d -2
प्रश्न 2 \u003d 1
ही प्रणाली सोडवणे, आम्हाला आढळते:
प्रश्न 2 \u003d 1.
उत्तरः
गेम किंमत: वाई \u003d -2, प्लेअर स्ट्रॅटेजी व्हॅक्टर:
प्रश्न (0, 1, 0, 0), पी (0, 1)
4. धोरणाच्या निकषांच्या मदतीने गेमची शुद्धता तपासा.
Σa ij q j ≤ v v
Σa ij p मी ≥ v v
एम (पी 1; क्यू) \u003d (-6 0) + (-6 1) + (2 0) + (4 0) \u003d -6 ≤ v
एम (पी 2; क्यू) \u003d (2 0) + (2 1) + (7 0) + (-1 0) \u003d -2 \u003d v
एम (पी; क्यू 1) \u003d (-6 0) + (2 1) \u003d 2 ≥ v
एम (पी; क्यू 2) \u003d (-6 0) + (2 1) \u003d -2 \u003d v
एम (पी; क्यू 3) \u003d (2 0) + (7 1) \u003d 7 ≥ v
एम (पी; क्यू 4) \u003d (4 0) + (-1) \u003d -1 ≥ v
सर्व असमानता समानता किंवा कठोर असमान म्हणून केली जातात, म्हणूनच गेमचे समाधान सत्य आढळते.

कार्य 4.
प्रश्नाचे तपशीलवार उत्तर द्या

5. खेळ आणि सांख्यिकीय निर्णय सिद्धांत

5.1. शून्य रकमेसह मॅट्रिक्स गेम

स्थिती अंतर्गत आर्थिक आणि गणिती मॉडेलिंग केले जाते:

निश्चितपणे

अनिश्चितता

मॉडेलिंग निश्चित परिस्थितीत हे या स्रोत (मॅट्रिक्स मॉडेलिंग, नेटवर्क प्लॅनिंग आणि मॅनेजमेंट) आवश्यक असलेल्या सर्व आवश्यक स्त्रोत नियामक डेटाची उपस्थिती मानली जाते.

मॉडेलिंग जोखीम परिस्थितीत हे स्टोकास्टिक अनिश्चिततेच्या दरम्यान केले जाते, जेव्हा काही स्त्रोत डेटा मूल्य यादृच्छिक आहे आणि या यादृच्छिक व्हेरिएबल्सची संभाव्यता (रीग्रेशन विश्लेषण, वस्तुमान सेवा सिद्धांत) च्या संभाव्यतेच्या वितरणाचे नियम ज्ञात होते.

मॉडेलिंग अनिश्चितता परिस्थितीत अनुरूप पूर्ण अनुपस्थिती या डेटासाठी (गेम सिद्धांत) काही आवश्यक.

विरोधाभासी परिस्थितींमध्ये अनुकूल परिस्थितींचा अवलंब करण्याचा गणितीय मॉडेल अनिश्चिततेच्या अटींनुसार बांधले जातात.

गेमच्या सिद्धांतामध्ये, खालील मूलभूत संकल्पनांसह चालवा:

धोरण;

जिंकण्याचे कार्य

च्या कडे आम्ही नियमांद्वारे प्रदान केलेल्या अॅक्शन गेमपैकी एकाच्या एका खेळाडूचे निवड आणि अंमलबजावणी करू.

स्ट्रॅटेजी - सध्याच्या परिस्थितीनुसार प्रत्येक कोर्सवर एक क्रिया पर्याय निवडण्याची ही एक तंत्रज्ञान आहे.

जिंकण्याचे कार्य जिंकलेल्या गमावलेल्या खेळाडूच्या देयकाची परिमाण निर्धारित करण्यासाठी कार्य करते.

मॅट्रिक्स गेममध्ये, जिंकणे कार्य असल्याचे दिसते पेमेंट मॅट्रिक्स :

खेळाडूद्वारे देय असलेले मूल्य कुठे आहे, मी निवडलेल्या खेळाडू आणि कोण निवडले आहे.

अशा जोडीमध्ये प्रत्येक परिस्थितीतील दोन्ही खेळाडूंच्या विजयाच्या कार्याचे मूल्य चिन्ह आणि उलट स्वरूपात समान आहे, i.e. आणि अशा खेळ म्हणतात शून्य योगासह .

"मॅट्रिक्स गेममधील गेम" ची प्रक्रिया खालीलप्रमाणे आहे:

पेमेंट मॅट्रिक्स सेट आहे;

खेळाडू II, खेळाडू II, उदाहरणार्थ, या मॅट्रिक्सच्या पंक्तींपैकी एक निवडतो, उदाहरणार्थ,

खेळाडू II, मी खेळाडूकडे दुर्लक्ष करून, या मॅट्रिक्सच्या स्तंभांपैकी एक निवडतो, उदाहरणार्थ;

मॅट्रिक्सचा घटक या खेळाडूकडून किती खेळाडू प्राप्त करेल हे निर्धारित करते II. अर्थातच आम्ही बोलत आहोत वास्तविक खेळाडू हानी बद्दल I.

पेमेंट मॅट्रिक्ससह विरोधक जोडी गेम गेम कॉल केला जाईल.

उदाहरण

खेळाचा विचार करा.

पेमेंट मॅट्रिक्सला विचारले जाते:

.

खेळाडू II च्याकडे दुर्लक्ष करू द्या, या मॅट्रिक्सच्या तिसर्या क्रमांकावर आणि खेळाडू II, मी या मॅट्रिक्सच्या 2 रा स्तंभाला निवडले आहे.

मग खेळाडूला मी खेळाडू 2 मधील 9 युनिट प्राप्त करीन.

5.2. मॅट्रिक्स गेममध्ये इष्टतम शुद्ध धोरण

अनुकूल रणनीती हा एक खेळाडू आहे जो मी एक खेळाडू आहे, ज्यामध्ये खेळाडू, आणि अशा खेळाडूच्या धोरणाची सूची कोणत्याही निवडीच्या कोणत्याही निवडीमध्ये त्याचे विजय कमी करणार नाही, ज्यायोगे मी खेळाडूद्वारे केलेल्या धोरणाच्या कोणत्याही निवडीमध्ये त्याचे नुकसान वाढणार नाही. .

पेमेंट मॅट्रिक्सच्या चळवळ ओळ म्हणून निवडणे, खेळाडू मी सर्वात वाईट परिस्थितीत परिमाण कमी करतो जेव्हा खेळाडू II हे मूल्य कमी करण्याचा प्रयत्न करेल. म्हणून, मी एक ओळ निवडतो जो त्याला प्रदान करेल कमाल विजय:

.

खेळाडू II समान तर्क आहे आणि निश्चितपणे स्वत: ला किमान तोटा देऊ शकतो:

.

असमानता नेहमीच वाजवी आहे:

परिमाण म्हणतात कमी किंमत गेम .

परिमाण म्हणतात शीर्ष किंमत गेम .

अनुकूल रणनीती आणि म्हणतात स्वच्छ जर त्यांच्यासाठी समानता केली गेली असेल तर:

,

.

परिमाण म्हणतात स्वच्छ किंमत गेम , जर असेल तर.

अनुकूल शुद्ध रणनीती आणि फॉर्म सॅडल पॉइंट पेमेंट मॅट्रिक्स.

सॅडल पॉईंट स्थितीसाठी समाधानी आहे:

i. घटक स्ट्रिंगमध्ये सर्वात लहान आहे आणि स्तंभातील सर्वात मोठा आहे.

अशा प्रकारे, पेमेंट मॅट्रिक्स असल्यास सॅडल पॉइंट मग आपण शोधू शकता अनुकूल स्वच्छ रणनीती खेळाडू

खेळाडूचे शुद्ध धोरण मला क्रमवारी दिलेल्या संचाद्वारे (वेक्टर) द्वारे दर्शविली जाऊ शकते, ज्यामध्ये सर्व संख्या शून्य आहेत, कारण योग्यतेशिवाय, जे एकसारखे आहे, जे एक समान आहे.

खेळाडूच्या निव्वळ धोरण II च्या क्रमवारीच्या संचाने (वेक्टर) च्या ऑर्डर केलेल्या संचाद्वारे दर्शविल्या जाऊ शकतात, ज्यामध्ये सर्व संख्या शून्य असतात, त्याशिवाय योग्यता वगळता, जे एक समान आहे.

उदाहरण

.

पेमेंट मॅट्रिक्सला मूव्हीच्या काही ओळ निवडून, मी ज्या स्तंभाद्वारे नियुक्त केलेल्या स्तंभात सर्वात वाईट परिस्थितीत एक विजय प्रदान करतो:

म्हणून, खेळाडू मी पेमेंट मॅट्रिक्सच्या द्वितीय ओळ निवडतो, जो खेळाडूच्या हालचालीकडे दुर्लक्ष करून, कमाल विजयासह प्रदान करेल, जो या रकमेला कमी करण्याचा प्रयत्न करेल:

खेळाडू II समान तर्क आणि स्ट्रोक म्हणून प्रथम स्तंभ निवडते:

अशा प्रकारे, पेमेंट मॅट्रिक्सचे एक सॅडल केलेले बिंदू आहे:

खेळाडूसाठी मी आणि खेळाडूसाठी संबंधित अनुकूल शुद्ध धोरण II, ज्यामध्ये मी खेळाडू आयआयच्या धोरणातील कोणत्याही बदलात त्याचा फायदा कमी करणार नाही आणि खेळाडू II ची स्ट्रॅटेजीच्या कोणत्याही बदलात त्याचे नुकसान वाढणार नाही. खेळाडूद्वारे I.

5.3. मॅट्रिक्स गेममध्ये इष्टतम मिश्रित धोरण

जर पेमेंट मॅट्रिक्समध्ये सॅडल पॉईंट नसेल तर एक शुद्ध धोरण वापरण्यासाठी कोणताही खेळाडू अपरिहार्य असतो. वापरणे अधिक फायदेशीर आहे "संभाव्य मिश्रण" शुद्ध रणनीती मग आधीच मिश्रित रणनीती अनुकूल आहेत.

मिश्रित धोरण हा खेळाडू यादृच्छिक कार्यक्रमाच्या संभाव्यतेच्या वितरणाद्वारे दर्शविला जातो, ज्यास हा स्ट्रोक प्लेयर निवडण्यात समाविष्ट आहे.

मिश्र प्लेअरची रणनीती मी अशा क्रमवारीच्या संचावर कॉल करतो (वेक्टर), जे दोन अटी पूर्ण करते:

1) साठी, i.e., पेमेंट मॅट्रिक्स प्रत्येक ओळ निवडण्याची शक्यता अनावश्यक आहे;

2), I. एकूण पेमेंट मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक ओळीची निवड पूर्ण गट कार्यक्रम

मजेदार प्लेअर स्ट्रॅटेजी II एक आदेश संच सेट असेल (वेक्टर) परिस्थिती समाधानकारक:

देय परिमाण खेळाडू मी एक मिश्रित रणनीती निवडत आहे

खेळाडू II पासून, मिश्रित धोरण निवडणे

,

सरासरी मूल्य दर्शवते

.

इष्टतम मिश्रित रणनीती कॉल करा

आणि ,

जर कोणत्याही अनियंत्रित मिश्रित रणनीती आणि स्थिती समाधानी असेल तर:

i.e., चांगल्या मिश्रित धोरणासह, खेळाडूचे वाइनर सर्वात महान आहे आणि खेळाडूचे नुकसान कमी आहे.

जर पेमेंट मॅट्रिक्समध्ये काही सॅडल पॉइंट नसेल तर

,

i.e. एक सकारात्मक फरक आहे ( unattached फरक )

- ³ 0,

आणि या फरकांच्या मोठ्या हिसेवर विश्वास पावतीसाठी अतिरिक्त संधी शोधण्याची गरज आहे.

उदाहरण

पेमेंट मॅट्रिक्सद्वारे दिलेल्या गेमचा विचार करा:

.

आम्ही परिभाषित करतो की तेथे एक सॅडल पॉइंट आहे

, .

हे असे दिसून येते की पेमेंट मॅट्रिक्समध्ये कोणतेही सॅडल पॉइंट नाही आणि कायमचे फरक आहे:

.

5.4. इष्टतम मिश्रित रणनीती म्हणणे

गेमसाठी 2 × 2

पेमेंट मॅट्रिक्स आयाम दोन व्हेरिएबलच्या कार्यक्षेत्राच्या इष्टतम गुण शोधून काढल्या जातात.

पेमेंट मॅट्रिक्सच्या पहिल्या ओळीचा खेळाडू निवडण्याची शक्यता असू द्या

समान मग दुसर्या ओळीच्या निवडीची शक्यता समान आहे.

पहिल्या स्तंभाच्या पहिल्या स्तंभाच्या निवडीची संभाव्यता. मग दुसरा स्तंभ निवडण्याची शक्यता समान आहे.

मी खेळाडू II द्वारे देयकाची परिमाण समान आहे:

मी जिंकणार्या खेळाडूची अत्यंत तीव्रता आणि खेळाडूचे नुकसान II अटींचे पालन करते:

;

.

अशा प्रकारे, मी आणि द्वितीय खेळाडूंचे इष्टतम मिश्रित रणनीती क्रमशः समान आहेत:

5.5. भौमितिक खेळ समाधान 2 ×एन

पेमेंट मॅट्रिक्स सीच्या परिमाणात वाढ झाल्यामुळे, इष्टतम मिश्रित रणनीती दोन व्हेरिएबल्सचे इष्टतम कार्य शोधण्यासाठी निर्धारित केले जाऊ शकते. तथापि, खेळाडूंपैकी एकाने केवळ दोन रणनीती असल्याचे तथ्य दिले आहे, आपण एक भौमितिक समाधान वापरू शकता.

गेम सोल्युशन्स शोधण्याचा मुख्य टप्पा खालीलप्रमाणे कमी केला जातो.

विमानात समन्वय प्रणाली सादर करा. आम्ही अक्ष वर विभाग स्थगित करतो. या विभागाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस लंबदुभाषा पूर्ण करेल.

एका विभागाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस दोन रणनीतींशी संबंधित आणि प्लेअर I. ला उपलब्ध आहे. खर्च केल्यावर आम्ही या खेळाडूचे विजय स्थगित करू. उदाहरणार्थ, पेमेंट मॅट्रिक्ससाठी

एक धोरण निवडताना मी जिंकलेला खेळाडू असेल आणि आणि एक धोरण निवडल्यास.

खेळाडूच्या धोरणांशी संबंधित खेळाडूच्या विजेते पॉईंटचा थेट बिंदू कनेक्ट करणे II. मग शिक्षित तुटलेली ओळ, जे खालील आलेख कमी करते, खेळाडूच्या विजयाची खाली सीमा निश्चित करते.

आम्हाला इष्टतम मिश्रित खेळाडूची स्ट्रॅटेजी आहे

,

जो खेळाडूच्या विजेतेच्या खालच्या सीमेवरील जास्तीत जास्त प्रतिबिंबित करतो.

या उदाहरणार्थ, या उदाहरणामध्ये, केवळ दोन रणनीती वापरुन आणि थेट संबंधित संबंधित, खेळाडूच्या विजेतेच्या खालच्या सीमेवर आढळणार्या बिंदूवर आढळून येतात, खेळाडू दुसरा खेळाडूला अधिक फायदा होऊ शकतो.

अशा प्रकारे, गेम गेममध्ये कमी झाला आहे आणि अशा प्रकारच्या उदाहरणामध्ये इष्टतम मिश्रित खेळाडू II धोरण असेल

,

जेथे संभाव्यता गेममध्ये समान आहे:

5.6. खेळांचे समाधानएम.× एन

जर मॅट्रिक्स गेममध्ये शुद्ध रणनीतींमध्ये समाधान नसतील तर शुद्ध रणनीतींमध्ये समाधान नसतात आणि देयक मॅट्रिक्सच्या मोठ्या परिमाणमुळे, ते समाधानकारक वापरासाठी कमी केले जाऊ शकत नाही रेखीय प्रोग्रामिंग पद्धत .

परिमाण पेमेंट मॅट्रिक्स सेट करू द्या:

.

संभाव्यता शोधणे आवश्यक आहे या मिश्रित रणनीतीसाठी या मिश्रित धोरणासाठी मी त्याच्या हालचालींची हमी देण्याकरिता त्याच्या हालचालींची निवड करण्याची गरज नाही II द्वारे हालचालींची निवड दुर्लक्ष करण्यापेक्षा कमी नाही.

एक खेळाडू II प्लेअर II द्वारे प्रत्येक निवडलेल्या स्ट्रोकसाठी अवलंबित्वे द्वारे निर्धारित केले आहे:

आम्ही असमानतेच्या दोन्ही भागांना नवीन पदनामित करतो आणि सादर करतो:

समानता

प्रकारः

मी जिंकलेल्या खेळाडूला जिंकण्याचा प्रयत्न करीत असल्याने, उलट मूल्य कमी करणे आवश्यक आहे. मग खेळाडूसाठी रेषीय प्रोग्रामिंगचे कार्य मी फॉर्म घेईन:

प्रतिबंध सह

त्याचप्रमाणे, खेळाडूचे कार्य II दुहेरीसारखे आहे:

प्रतिबंध सह

साध्या पद्धतीच्या कार्यांचे निराकरण करणे, आम्हाला मिळते:

,

5.7. मॅट्रिक्स गेम्स सोडण्याची वैशिष्ट्ये

इष्टतम धोरणे शोधण्याचे कार्य सोडण्यापूर्वी, आपण दोन अटी तपासल्या पाहिजेत:

पेमेंट मॅट्रिक्स सुलभ करणे शक्य आहे;

पेमेंट मॅट्रिक्समध्ये एक काठी पॉइंट आहे.

पेमेंट मॅट्रिक्स सरलीकृत करण्याची शक्यता विचारात घ्या:

मी ज्या खेळाडूला शोधत आहे त्या वस्तुस्थितीमुळे सर्वात मोठा विजयनंतर पेमेंट मॅट्रिक्समधून आपण पंक्ती पार करू शकता कारण खालील कोणत्याही स्ट्रिंगसह खालील गुणोत्तर कधीच केले जाऊ शकत नाही:

त्याचप्रमाणे, सर्वात लहान नुकसानीसाठी प्रयत्न करणे, खेळाडू मी पेमेंट मॅट्रिक्समधील लहान स्तंभ म्हणून कधीही निवडणार नाही आणि या कॉलमने इतर कोणत्याही स्तंभासह खालील गुणोत्तर केले असल्यास हे कॉलम हटविले जाऊ शकते:

बहुतेक साधे निर्णय खेळ सरलीकृत पेमेंट मॅट्रिक्समध्ये एक सॅडल पॉईंटची उपस्थिती आहे जी खालील स्थिती (परिभाषाद्वारे) पूर्ण करते:

उदाहरण

डाना पेमेंट मॅट्रिक्स:

.

पेमेंट मॅट्रिक्स सुलभ करा:

एक सॅडल बिंदू उपस्थिती:

5.8. निसर्ग सह खेळ

गेमच्या सिद्धांतांच्या कार्यांशी विपरीत कार्य सिद्धांत सांख्यिकीय सोल्यूशन्स अनियंत्रित परिस्थितीत विरोधी संघर्ष रंग नसतो आणि उद्दीष्ट वास्तविकतेवर अवलंबून असतो, जो परंपरागत आहे "निसर्ग" .

मॅट्रिक्स गेम्समध्ये निसर्गासह खेळाडू II म्हणून, निर्णय घेण्याच्या परिणामास प्रभावित करणार्या अनिश्चित घटकांचा एक संच.

निसर्गासह मॅट्रिक्स गेम्स केवळ सामान्य मॅट्रिक्स गेम्सपेक्षा वेगळे आहे की इष्टतम धोरण निवडताना खेळाडू मी त्याच्या हानी कमी करण्याचा प्रयत्न करणाऱ्या वस्तुस्थितीवर लक्ष केंद्रित करू शकत नाही. त्यामुळे पेमेंट मॅट्रिक्ससह सादर केले मॅट्रिक्स जोखीम :

एचडीई - परिस्थितीत स्ट्रोक वापरताना मी खेळाडूचा धोका, समान फरक विजेतेदरम्यान, मला माहित असेल की मला माहित असेल की एखादी अट स्थापित केली जाईल, ती आहे, आणि जिंकणे, ज्याला तो प्राप्त होईल हे जाणून घेता येत नाही, की स्थिती स्थापन केली जाते.

अशा प्रकारे, पेमेंट मॅट्रिक्स अनन्यपणे जोखीम मॅट्रिक्समध्ये रूपांतरित केले जाते आणि उलट परिवर्तन अस्पष्ट आहे.

उदाहरण

विजेता मॅट्रिक्स:

.

जोखीम मॅट्रिक्स:

शक्य समस्या दोन सेटिंग्ज समाधान निवडण्याबद्दल निसर्ग सह मॅट्रिक्स गेम मध्ये :

विजय वाढवणे;

जोखीम कमी करणे.

निर्णय घेण्याचे कार्य दोनपैकी एका अटींसाठी वितरित केले जाऊ शकते:

- जोखीम परिस्थितीत जेव्हा संभाव्यता वितरण कार्य प्रकृती धोरणांच्या वितरणासाठी ओळखले जाते, उदाहरणार्थ, अंदाजे विशिष्ट आर्थिक परिस्थितींच्या यादृच्छिक मूल्याने;

- अनिश्चितता परिस्थितीत संभाव्यता वितरणाचे असे कार्य अज्ञात आहे.

5.9. सांख्यिकीय सोल्यूशन्सच्या सिद्धांतांचे निराकरण करणे

जोखीम परिस्थितीत

जोखीम स्थितीत निर्णय घेताना, मी संभाव्य खेळाडूंसाठी ओळखतो निसर्गाच्या घटना घड्याळ.

मग मला ज्या धोरणाची निवड करण्याची शिफारस केली जाते ओळ, कमाल, सरासरी विजय :

.

जोखीम मॅट्रिक्ससह या समस्येचे निराकरण करताना, आम्ही संबंधित समान उपाय प्राप्त करतो किमान मध्यम धोका :

.

5.10. सांख्यिकीय सोल्यूशन्सच्या सिद्धांतांचे निराकरण करणे

अनिश्चितता परिस्थितीत

अनिश्चिततेच्या परिस्थितींमध्ये निर्णय घेताना आपण खालील वापरू शकता निकष :

मॅक्सिमिन निकष वॉल्ड;

निकष किमान जोखीम Seviges;

निराशावादीचा निकष - हुरविट्झची आशावाद;

लॅप्लेस अपुरे बेसचा सिद्धांत.

विचार मॅक्सिमिन निकष वॉल्डाडा .

निसर्गासह खेळ वाजवी आक्रमक प्रतिस्पर्धी म्हणून आयोजित केला जातो, I.., देयक मॅट्रिक्ससाठी अत्यंत निराशावादीच्या स्थितीतून एक पुनरुत्थान दृष्टीकोन चालविला जातो:

.

विचार सर्व्हिस च्या किमान जोखीम निकष .

जोखीम मॅट्रिक्ससाठी अत्यंत निराशाजनक स्थितीपासून समान मागील दृष्टिकोन:

.

विचार निराशावादीचा निकष - आशावाद गुरुइट्सा .

अत्यंत निराशावादी आणि अत्यंत आशावाद द्वारे मार्गदर्शन न करण्याचे प्रस्तावित आहे:

निराशाची पदवी कुठे आहे;

जेव्हा - अत्यंत आशावाद,

जेव्हा - अत्यंत निराशाजनक.

विचार लॅपटॉस अपर्याप्त सिद्धांत .

असे मानले जाते की सर्व प्रकारचे निसर्गाचे समान आहेत:

,

.

पाचव्या विभागातील निष्कर्ष

मॅट्रिक्स गेममध्ये, दोन खेळाडू सहभागी होतात आणि जिंकणारे कार्य, जे गमावलेल्या खेळाडूच्या देयकाची पूर्तता निर्धारित करण्यासाठी कार्य करते, देयक मॅट्रिक्सच्या स्वरूपात सादर केली जाते. हे मान्य होते की मी - पेमेंट मॅट्रिक्सच्या ओळींपैकी एक निवडतो, आणि खेळाडू II त्याच्या स्तंभांपैकी एक आहे. मग निवडलेल्या ओळींच्या छेदनबिंदू आणि या मॅट्रिक्सच्या स्तंभ, खेळाडू II पासून मी खेळाडूद्वारे देय रक्कम क्रमांक (जर हे मूल्य सकारात्मक असेल तर मी खरोखर जिंकलेला खेळाडू आणि जर ते नकारात्मक असेल तर मी जिंकलो अनिवार्यपणे प्लेअर II).

पेमेंट मॅट्रिक्समध्ये एक सॅडल पॉइंट असल्यास, खेळाडूंना अनुकूल स्वच्छ रणनीती आहेत, म्हणजे त्यापैकी प्रत्येक जिंकण्यासाठी त्याचे एक उत्कृष्ट स्ट्रोक पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे. जर काही सॅडल पॉइंट नसेल तर जिंकण्यासाठी, प्रत्येकाने इष्टतम मिश्रित धोरणाचा फायदा घेतला पाहिजे, I.., हालचालींचा मिश्रण वापरा, त्यापैकी प्रत्येकाने चांगल्या संभाव्यतेसह केले पाहिजे.

ज्ञात सूत्रानुसार अनुकूल संभाव्यता मोजून 2 × 2 खेळांसाठी इष्टतम मिश्रित रणनीती सादर करणे. द्वारे भौमितिक सोल्यूशन गेम 2 × n त्यांच्यामध्ये इष्टतम मिश्रित रणनीतींचे निर्धारण 2 × 2 गेमसाठी इष्टतम मिश्रित रणनीती शोधण्यासाठी कमी केले आहे. एम × एन गेम सोडवण्यासाठी, रेषीय प्रोग्रामिंग पद्धत त्यांच्यामध्ये चांगल्या मिश्रित रणनीती शोधण्यासाठी वापरली जाते.

काही पेमेंट मेट्रिस सरलीकृत आहेत, परिणामी त्यांचा परिमाण कमी होत आहे आणि नॉन-संभाव्य हालचालीशी संबंधित आहे.

जर खेळाडू II आदर्श वास्तविकतेच्या आधारावर अपरिभाषित घटकांचा एक संच म्हणून कार्य करतो आणि विरोधी संघर्ष रंग नसतो, तर अशा गेमला निसर्गासह गेम म्हटले जाते आणि त्याच्या निराकरणासाठी, सांख्यिकीय सोल्युशन्सच्या सिद्धांतांचा वापर केला जातो. मग, पेमेंट मॅट्रिक्ससह, जोखीम मॅट्रिक्स सादर केले जाते आणि निसर्गासह मॅट्रिक्स गेममध्ये समाधान निवडण्याच्या समस्येचे दोन संच हे शक्य आहे: जिंकणे आणि जोखीम कमी करणे.

जोखीमांच्या परिस्थितीत सांख्यिकीय उपायांच्या सिद्धांतांचे निराकरण करणे दर्शवते की मला त्या धोरणाची निवड करण्याचा सल्ला दिला जातो ज्यासाठी देयक मॅट्रिक्सच्या ओळीच्या सरासरीचे सरासरी मूल्य (गणितीय अपेक्ष), जास्तीत जास्त, किंवा (जे समान आहे) जोखीम च्या सरासरी (गणितीय अपेक्षा), जोखीम मॅट्रिक्स स्ट्रिंग, किमान. अनिश्चितता अंतर्गत निर्णय घेताना, वापरा खालील निकष: मॅक्सिमिन वाल्ड निकष, किमान जोखीमचा निकष, निराशिमत्वाचा निकष, गरविट्झची आशावाद, दिवे च्या दिवे च्या सिद्धांत.

स्व-चाचणीसाठी प्रश्न

गेम सिद्धांत मूलभूत संकल्पना कशी आहेत: स्ट्रोक, स्ट्रॅटेजी आणि जिंकण्याचे कार्य?

मॅट्रिक्स गेममध्ये जिंकणे काय आहे?

मॅट्रिक्स गेमने शून्य रक्कम का म्हटले आहे?

मॅट्रिक्स गेममध्ये गेम प्रक्रिया कशी आहे?

एम × एन गेम नाव काय आहे?

मॅट्रिक्स गेम स्ट्रॅटेजी इष्टतम म्हणून काय आहे?

सर्वोत्कृष्ट मॅट्रिक्स गेम धोरण काय आहे?

पेमेंट मॅट्रिक्सच्या सीट पॉइंट म्हणजे काय?

मजेदार मॅट्रिक्स गेम स्ट्रॅटेजी काय आहे?

मिश्र प्लेअरची योजना काय आहे?

खेळाडू II मधील खेळाडूद्वारे देय असलेले मूल्य काय आहे, जे मिश्रित रणनीती निवडतात?

कोणते मिश्रित रणनीती अनुकूल आहेत?

अस्पष्ट फरक म्हणजे काय?

2 × 2 गेमसाठी अनुकूल मिश्रित रणनीती कोणत्या पद्धती आहेत?

2 × एन गेमसाठी इष्टतम मिश्रित रणनीती कशी आहेत?

गेम्ससाठी इष्टतम मिश्रित रणनीती कोणत्या पद्धतीने एम × एन?

मॅट्रिक्स गेम्स सोडवणे वैशिष्ट्ये काय आहेत?

पेमेंट मॅट्रिक्स सरलीकृत करते आणि कोणत्या परिस्थितीत ते लागू करता येते?

पेमेंट मॅट्रिक्समध्ये काय आहे किंवा त्यात अडखळत नाही हे ठरविणे किती मॅट्रिक्स गेम सोपे आहे?

खेळांच्या सिद्धांताचे कार्य काय आहे ते सांख्यिकीय सोल्युशन्सच्या सिद्धांतांच्या कार्यांशी संबंधित आहे काय?

पेमेंट मॅट्रिक्स जोखीम मॅट्रिक्समध्ये रूपांतरित कसे आहे?

निसर्गासह मॅट्रिक्स गेममध्ये समाधान निवडण्याचे कार्य कोणत्या दोन सेटिंग्ज शक्य आहेत?

निसर्गासह मॅट्रिक्स गेममध्ये निर्णय घेण्याचे कार्य कोणत्या दोन परिस्थितींना पुरवले जाऊ शकते?

स्टॅटिस्टिकल सोल्यूशन्सच्या जोखमीच्या समस्येचे निराकरण करताना खेळाडू निवडण्यासाठी कोणती योजना आहे?

अनिश्चिततेच्या परिस्थितीत सांख्यिकीय उपाययोजनांच्या सिद्धांतांचे निराकरण करण्यासाठी निर्णय घेण्यासाठी कोणते निकष वापरले जाऊ शकतात?

निराकरण समस्या उदाहरणे

1. पेमेंट मॅट्रिक्स त्यांच्या अंमलबजावणी दरम्यान एंटरप्राइझ च्या परिमाण सूचित करते विविध प्रजाती मागणी मागणी (स्ट्रिंग) अवलंबून उत्पादने (स्तंभ). वेगवेगळ्या प्रजातींच्या उत्पादनांच्या उत्पादनासाठी आणि त्यांच्या अंमलबजावणीच्या उत्पादनांच्या उत्पादनांच्या उत्पादनासाठी एंटरप्राइझची सर्वोत्कृष्ट धोरण निर्धारित करणे आवश्यक आहे.

निर्दिष्ट मॅट्रिक्सद्वारे दर्शवा आणि व्हेरिएबल्स प्रविष्ट करा. आम्ही मॅट्रिक्स (वेक्टर) देखील वापरु. मग, मी ..

रिव्हर्स मॅट्रिक्सची गणना केली जाते:

मूल्ये आहेत:

.

संभाव्यता गणना केली जातात:

अंमलबजावणी पासून सरासरी उत्पन्न निर्धारित आहे:

.

2. फर्म "फार्मासिस्ट" - क्षेत्रातील औषधे आणि बायोमेडिकल उत्पादनांची निर्माता. हे माहित आहे की काही औषधे मागणीचे शिखर पडते उन्हाळा कालावधी (हृदयरोग गट, analgesics), इतरांना - शरद ऋतूतील आणि वसंत ऋतु (संक्रामक, antitussive) वर.

1 sl साठी खर्च. युनिट्स सप्टेंबर-ऑक्टोबरसाठी उत्पादने: पहिल्या गटात (कार्डियोव्हस्कुलर आणि अॅनाल्जेसिक्सची तयारी) - 20 आर. दुसर्या गटानुसार (संक्रामक-संक्रामक, विरोधी औषधे) - 15 पी.

अनेक निरीक्षणे त्यानुसार अलीकडील वर्षे कंपनीच्या विपणन सेवेची स्थापना झाली आहे की उबदार हवामानाच्या अटींमध्ये 3050 एसएलच्या परिस्थितीत विचारात घेतल्या जाऊ शकतात. युनिट्स पहिल्या गटाचे उत्पादन आणि 1100 अटी. युनिट्स द्वितीय गट उत्पादने; थंड हवामान परिस्थितीत - 1525 sel. युनिट्स पहिल्या गटाची उत्पादने आणि 36 9 0 च्या परिस्थिती. युनिट्स दुसरा गट

संभाव्य हवामान बदलांच्या संबंधात, हे कार्य आहे जे उत्पादनांच्या उत्पादनात कंपनीची धोरण निश्चित करणे आहे ज्यामुळे विक्रीतून जास्तीत जास्त कमाई सुनिश्चित करते. 1 एसएल साठी. युनिट्स पहिल्या गटाची उत्पादने आणि 30 आर. - दुसरा गट.

निर्णय. कंपनीकडे दोन धोरणे आहेत:

या वर्षी उबदार हवामान असेल;

हवामान थंड असेल.

जर फर्म स्ट्रॅटजी घेईल आणि प्रत्यक्षात तिथे उबदार हवामान (निसर्गाची धोरण) असेल तर प्रकाशीत उत्पादने (3050 यूएसएल. पहिल्या गटातील औषधे आणि 1100 अटींचे एकक. द्वितीय गटाचे युनिट) पूर्णपणे अंमलबजावणी होईल आणि उत्पन्न पूर्णपणे लागू होईल

3050 × (40-20) + 1100 × (30-15) \u003d 77500 पी.

थंड हवामानाच्या स्थितीत (निसर्गाची धोरण), दुसर्या गटाची तयारी पूर्णपणे विकली जाईल आणि प्रथम गट केवळ 1525 अटी आहे. युनिट्स आणि औषधांचा एक भाग अवास्तविक राहील. उत्पन्न असेल

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) -20 × () \u003d 16500 पृष्ठ.

त्याचप्रमाणे, जर फॉर्म रणनीती आणि प्रत्यक्षात स्वीकारला असेल तर थंड हवामान असेल, तर कमाई होईल

1525 × (40-20) + 36 9 0 × (30-15) \u003d 85850 पृष्ठ.

उबदार हवामानासह, कमाई होईल

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) - () × 15 \u003d 8150 पृष्ठ.

दोन खेळाडू म्हणून फर्म आणि हवामान लक्षात घेता, आम्हाला एक पेमेंट मॅट्रिक्स प्राप्त होईल

,

गेमची किंमत श्रेणीत आहे

पेमेंट मॅट्रिक्समधून हे स्पष्ट आहे की कंपनीचे उत्पन्न कमीत कमी 16,500 rubles असेल, परंतु जर हवामानाची स्थिती निवडलेल्या धोरणांशी जुळली असेल तर कंपनीची मिळकत 77,500 पृष्ठ असू शकते.

गेमचे निराकरण शोधा.

नंतर, स्ट्रॅटेजी - च्या माध्यमातून एक धोरण लागू करण्याची शक्यता दर्शविते, आणि. गेम ग्राफिकली पद्धत सोडवणे, आम्हाला मिळते गेमची किंमत आर.

औषधांसाठी सर्वोत्कृष्ट उत्पादन योजना असेल

अशा प्रकारे सप्टेंबर आणि ऑक्टोबर 237 9 दरम्यान एक फर्म तयार करणे आवश्यक आहे. युनिट्स पहिल्या गटाची तयारी आणि 2239.6 एसएल. युनिट्स दुसर्या ग्रुपची तयारी, नंतर, कोणत्याही हवामानासह, कमीतकमी 46 9 86 पी मिळतील.

अनिश्चिततेच्या अटींमध्ये, मिश्रित धोरण (इतर संघटनांसह करार) वापरणे शक्य नाही, तर फर्मची सर्वोत्कृष्ट धोरण निर्धारित करण्यासाठी खालील निकष वापरा:

वॉल्डे निकषः

गुरुइट्सचा निकष: निश्चितपणे, आम्ही कंपनीच्या धोरणासाठी, नंतर घेतो

धोरणासाठी

फर्म रणनीती वापरण्यासाठी सल्ला दिला जातो.

निकष क्रूर. पहिल्या कॉलममधील जास्तीत जास्त घटक 77500, दुसऱ्या कॉलममध्ये - 85850 मध्ये आहे.

जोखीम मॅट्रिक्स घटक अभिव्यक्तीपासून आहेत

,

कुठे,

जोखीम मॅट्रिक्स एक दृश्य आहे

,

एक धोरण वापरणे योग्य आहे किंवा.

परिणामी, एक धोरण लागू करण्यासाठी किंवा फर्मला सल्ला दिला जातो.

लक्षात ठेवा की मानले जाणारे मापदंडासाठी सर्व समाधानकारक मानले जाऊ शकत नाही अंतिम निवड निर्णय, तथापि, त्यांचे संयुक्त विश्लेषण काही व्यवस्थापकीय निर्णय घेण्याच्या परिणामाचे परिणाम स्पष्टपणे सादर करणे शक्य करते.

निसर्गाच्या विविध राज्यांच्या संभाव्यतेच्या सुप्रसिद्ध वितरणासह निर्णय घेण्याच्या निकषाने जिंकण्याच्या कमाल गणितीय अपेक्षा आहे.

उबदार आणि थंड हवामानाची संभाव्यता 0.5 च्या बरोबरीने विचारात घेतल्या जाणार्या समस्येसाठी ओळखली जाऊ शकते, तर कंपनीची सर्वोत्कृष्ट धोरण खालीलप्रमाणे निश्चित आहे:

फर्म एक धोरण वापरण्यासाठी सल्ला दिला जातो किंवा.

स्वतंत्र कामासाठी कार्ये

1. मागणीनुसार नफा मिळविताना कंपनी तीन प्रकारच्या उत्पादने (ए, बी आणि बी) तयार करू शकतात. टप्प्यात मागणी चार राज्यांपैकी एक घेऊ शकते (I, II, III आणि iv). पुढील मॅट्रिक्समध्ये, एलिमेंट्स कंपनीच्या प्रकाशन आणि मागणीच्या स्थितीत प्राप्त होणार्या नफ्याचे वर्णन करतात:

गेममध्ये, प्रत्येक प्रतिस्पर्धी केवळ समान धोरण लागू करतो, नंतर या प्रकरणात गेम स्वतःला असे म्हणतो की ते असे होते शुद्ध रणनीती मध्ये आणि खेळाडूद्वारे वापरले परंतु आणि खेळाडू मध्ये दोन धोरण म्हणतात शुद्ध रणनीती .

परिभाषा स्टीम रणनीतींच्या विरोधात खेळात ( परंतु मी , मध्ये जे) समतोल किंवा स्थिर म्हणतात, जोपर्यंत खेळाडू त्यांच्या धोरणापासून फायदा होत नाही तोपर्यंत.

जेव्हा खेळाडू जेव्हा खेळाडूंना समजते परंतु आणि मध्ये एकमेकांच्या कृती आणि परिणाम प्राप्त केल्याबद्दल माहिती आहे. जर आपण असे मानतो की शत्रूच्या वागणुकीबद्दल कमीतकमी एका पक्षांना माहित नसेल तर समतोलपणाची कल्पना व्यत्यय आणली जाते आणि गेम अशक्य आहे.

मॅट्रिक्स गेम विचारात घ्या जी. (3x4)

या उदाहरणामध्ये, गेमची कमी किंमत शीर्षस्थानी आहे: \u003d\u003d 9, I.E. खेळ एक सॅडल पॉइंट आहे.

असे दिसून येते की या प्रकरणात जास्तीत जास्त रणनीती परंतु 2 I. मध्ये 2 असेल टिकाऊ शत्रूच्या वर्तनावरील माहितीच्या संदर्भात.

खरंच, खेळाडूला द्या परंतु शिकलो की शत्रू एक धोरण लागू करतो मध्ये 2. पण या प्रकरणात खेळाडू परंतु धोरण पाळत राहील परंतु 2, रणनीती पासून कोणत्याही मागे नाही परंतु 2 फक्त विजय कमी करा. समान, खेळाडूद्वारे प्राप्त केलेली माहिती मध्येत्याला त्याच्या धोरणातून मागे जाणार नाही मध्ये 2 .

दोन धोरणे परंतु 2 I. मध्ये 2 स्थिरतेची मालमत्ता आहे आणि जिंकणे (या उदाहरणामध्ये ते 9 समान आहे), या जोडीने केलेल्या रणनीतींसह प्राप्त होते, पेमेंट मॅट्रिक्सच्या एक काठी बिंदू बनतात.

स्थिरतेचे चिन्ह (समतोल) एक जोडी एक जोडी लोअर आणि समान समानता आहे शीर्ष किंमत खेळ

स्ट्रॅटेजी परंतु मी आणि मध्ये जे. (उदाहरणानुसार खालील उदाहरण परंतु 2 , मध्ये 2), ज्यामध्ये गेमच्या निम्न आणि सर्वोच्च किंमतीची समानता केली जाते, त्यांना चांगल्या निव्वळ रणनीती म्हणतात आणि त्यांचे संयोजन गेमचे एक उपाय आहे. या प्रकरणात स्वत: च्या गेमबद्दल ते म्हणतात की शुद्ध रणनीतींमध्ये ते सोडवले जाते.

मूल्याने गेमची किंमत म्हटले जाते.

0 असल्यास, गेम ए, 0 - खेळाडूसाठी खेळाडूसाठी फायदेशीर आहे; जेव्हा \u003d 0, गेम वैध आहे, I.. हे दोन्ही सहभागींसाठी तितकेच फायदेशीर आहे.

तथापि, खेळातील एक सॅडल पॉईंटची उपस्थिती एक नियम नाही तर त्याऐवजी अपवाद आहे. बहुतेक मॅट्रिक्स गेम्समध्ये एक सॅडल पॉईंट नाही आणि त्यामुळे चांगल्या स्वच्छ रणनीती नाहीत. तथापि, अशा प्रकारचे गेम असतात ज्यात नेहमीच एक काठी असते आणि याचा अर्थ शुद्ध रणनीतींमध्ये सोडवतो. हे खेळ आहेत संपूर्ण माहिती.

प्रमेय 2. पूर्ण माहितीसह प्रत्येक गेममध्ये एक काठी पॉईंट आहे आणि म्हणून शुद्ध रणनीतींमध्ये निराकरण केले जाते, i.e. एक टिकाऊ वाढ म्हणून, एक टिकाऊ फायदे देणे एक अनुकूल स्वच्छ रणनीती एक जोडी आहे.

जर अशा गेममध्ये केवळ वैयक्तिक हालचालींचा समावेश असेल तर प्रत्येक खेळाडूला त्याच्या चांगल्या स्वच्छ धोरणासह अर्ज करताना, ते गेमच्या किंमतीच्या समान विजेतेसह समाप्त केले पाहिजे. चला एक शतरंज गेम, पूर्ण माहितीसह गेम म्हणून किंवा नेहमी पांढर्या विजयासह किंवा नेहमीच - ब्लॅक विनोद, किंवा नेहमी - एक ड्रॉ (अद्याप नक्कीच आम्हाला अद्याप माहित नाही - येथे संभाव्य धोरणे संख्या शतरंज खेळ प्रचंड आहे).

जर गेम मॅट्रिक्समध्ये एक सॅडल पॉइंट असेल तर त्याचे निराकरण अधिकतमतेच्या तत्त्वावर स्थित आहे.

हा प्रश्न उद्भवतो: गेमचा निर्णय कसा शोधावा, त्यातील पेमेंट मॅट्रिक्स ज्याच्याकडे एक सॅडल पॉइंट नाही? प्रत्येक खेळाडूद्वारे जास्तीत जास्त तत्त्वाचा वापर करणारा खेळाडू आणि कमीतकमी खेळाडूचे जिंकणे - यापुढे खेळाडू नाही. नैसर्गिकरित्या, खेळाडूंसाठी आणि जिंकणे आणि खेळाडूसाठी - नुकसान कमी करण्यासाठी - विचारात घ्या. अशा निर्णयासाठी शोध घ्या मिश्रित रणनीती लागू करणे आवश्यक आहे: काही फ्रिक्वेन्सीजसह वैकल्पिक निव्वळ रणनीती.

परिभाषा यादृच्छिक मूल्य, ज्या मूल्यांचे मूल्य शुद्ध प्लेअर रणनीती आहेत मिश्रित धोरण .

अशा प्रकारे, मिश्र प्लेअर धोरणाचे कार्य म्हणजे त्या संभाव्यतेचे वर्णन करणे ही त्यांची नेट स्ट्रॅटेजी निवडली आहे.

आम्ही मिश्रित खेळाडू रणनीतींचे नियोजन करू परंतु आणि मध्ये अनुक्रमे क्रमशः

एस \u003d || पी 1, पी 2, ..., पी एम ||,

S बी \u003d || क्यू 1, क्यू 2, ..., क्यू एन ||,

जेथे मी खेळाडूची शक्यता आहे परंतु भाषण स्वच्छ करणे परंतु आणि; ; क्यू - शुद्ध स्ट्रॅटेजी मधील खेळाडूद्वारे अर्ज करण्याची शक्यता; .

विशिष्ट प्रकरणात, जेव्हा सर्व संभाव्यता, एक वगळता, शून्य असतात आणि हे एक आहे, मिश्रित धोरण स्वच्छ होते.

मिश्रित रणनीतींचा वापर केला जातो, उदाहरणार्थ, अशा प्रकारे: गेम बर्याच वेळा पुनरावृत्ती होत आहे, परंतु प्रत्येक बॅचमध्ये खेळाडू त्यांच्या वापराच्या तुलनेत विविध शुद्ध रणनीती लागू करतो पी. मी आणि प्रश्न जे. .

गेमच्या सिद्धांतामधील मिश्रित रणनीती बदलण्यायोग्य, लवचिक युक्त्या आहेत, जेव्हा या खेळाडूसुद्धा या पक्षामध्ये शुद्ध धोरण कोणत्या प्रतिस्पर्धी निवडेल हे माहित नसते.

खेळाडू असल्यास. परंतु मिश्रित स्ट्रॅटेजी एस ए \u003d || पी 1, पी 2, ..., पी एम || आणि एक खेळाडू मध्ये मिश्रित स्ट्रॅटेजी एस बी बी \u003d || क्यू 1, क्यू 2, ..., क्यू एन ||, नंतर सरासरी विजय (गणितीय प्रतीक्षा) खेळाडू परंतु गुणोत्तर द्वारे निर्धारित

नैसर्गिकरित्या, अपेक्षित खेळाडू तोटा मध्ये ते समान परिमाण समान आहे.

म्हणून, जर मॅट्रिक्स गेममध्ये सॅडल पॉइंट नसेल तर खेळाडूने इष्टतम मिश्रित धोरण वापरणे आवश्यक आहे जे कमाल विजय सुनिश्चित करेल.

नैसर्गिकरित्या प्रश्न उद्भवतो: मिश्रित रणनीती निवडून कोणत्या गोष्टी मार्गदर्शित केल्या पाहिजेत? मॅक्सिमिनचे सिद्धांत हे त्यांचे अर्थ आणि या प्रकरणात वाचवते. शिवाय, महत्वाचे गेमचे समाधान समजून घेण्यासाठी गेम सिद्धांतांचे मुख्य प्रमेय खेळा.

अर्थव्यवस्थेतील गणितीय पद्धती आणि मॉडेल

मॅट्रिक्स गेम्स

परिचय

आर्थिकदृष्ट्या, अशा अनेक बाजूंनी वेगवेगळ्या गोलांचा पाठपुरावा केला जातो. उदाहरणार्थ, विक्रेता आणि खरेदीदार, पुरवठादार आणि ग्राहक, बँक आणि योगदानकर्ता इत्यादी यांच्यातील संबंध. अशा संघर्ष परिस्थिती केवळ अर्थव्यवस्थेतच नव्हे तर इतर उपक्रमांमध्ये उद्भवतात. उदाहरणार्थ, शतरंज, चेकर, डोमिनोज, लोट्टो इत्यादी खेळताना.

खेळ- हे आहे गणिती मॉडेल संघर्ष स्थिती कमीतकमी दोन व्यक्तींच्या सहभागासह वेगळा मार्ग आपले ध्येय साध्य करण्यासाठी. खेळ म्हणतात जोडी जर दोन खेळाडू त्यात सहभागी असतील तर. खेळ म्हणतात विरोधी जर एक खेळाडू जिंकला तर दुसर्याच्या नुकसानीस. म्हणून, गेम कार्य करणे, विविध परिस्थितींमध्ये एका खेळाडूच्या विजयाचे मूल्य निर्दिष्ट करणे पुरेसे आहे.

वर्तमान परिस्थितीनुसार खेळाडूच्या कारवाईची कोणतीही पद्धत कॉल केली जाते धोरण प्रत्येक खेळाडूस विशिष्ट स्ट्रॅटेजी आहेत. जर नक्कीच रणनीतींची संख्या असेल तर गेमला म्हणतात शेवटी अन्यथा - अनंत . धोरणे म्हणतात स्वच्छ जर प्रत्येक खेळाडू केवळ एक रणनीती परिभाषित करतो आणि यादृच्छिकपणे नाही तर.

खेळ सोडविणेसमाधानी असलेल्या अशा धोरण निवडणे ऑप्टिमॅशनची स्थिती. ही परिस्थिती अशी आहे की एक खेळाडू येतो कमाल विजय, जर दुसरा त्याच्या धोरणाकडे पालन करतो. आणि उलट, दुसरा खेळाडू येतो किमान तोटा, जर खेळाडूंची पहिली रणनीती असेल तर. अशी धोरणे म्हणतात इष्टतम . अशा प्रकारे, गेमचा ध्येय प्रत्येक खेळाडूसाठी चांगल्या धोरणाची परिभाषा आहे.

स्वच्छ स्ट्रॅटेजी गेम

दोन खेळाडूंसह खेळाचा विचार करा परंतु आणि मध्येसमजा एक खेळाडू परंतुहे आहे एम.धोरणे एक 1, आणि 2, ..., आणि एम, एक खेळाडू मध्येहे आहे एनधोरणे बी 1, बी 2, ..., बी एन.आम्ही मानतो की खेळाडूची निवड परंतुस्ट्रॅटेजी मी,एक खेळाडू मध्येस्ट्रॅटेजी बी जे.निश्चितपणे गेमचे परिणाम निश्चित करते, i.e. जिंकणे एक IJ.खेळाडू परंतुआणि विजय बी ij.खेळाडू मध्येयेथे मी \u003d 1,2, ..., एम, जे \u003d 1,2, ..., एन.

उत्साही खेळ दोन खेळाडूंसह एक विरोधी गेम आहे , त्या. गेम ज्यामध्ये खेळाडूंचे स्वारस्य थेट उलट आहेत. या प्रकरणात, खेळाडू जिंकणे समानतेशी संबंधित आहेत.

बी ij \u003d -ए आयजे

या समानतेचा अर्थ असा आहे की खेळाडूंपैकी एक विजय दुसर्याच्या नुकसानीच्या समान आहे. या प्रकरणात, खेळाडूंपैकी केवळ एक खेळाडूंचा विचार करणे पुरेसे आहे, उदाहरणार्थ, एक खेळाडू परंतु.

प्रत्येक जोडी रणनीती एक Iआणि बी जे.जिंकण्यासारखे आहे एक IJ.खेळाडू परंतु.या सर्व जिंकणे सोयीस्करपणे तथाकथित स्वरूपात रेकॉर्ड केलेले आहेत पेमेंट मॅट्रिक्स

या मॅट्रिक्सची रेखा प्लेअर रणनीती परंतु,आणि स्तंभ - प्लेअर रणनीती मध्येसर्वसाधारणपणे, हा गेम म्हणतात (एम × एन) -गम.

उदाहरण 1.दोन खेळाडू परंतु आणि मध्येएक नाणे फेकून द्या. जर नाणेच्या बाजूस सहभाग असेल तर जिंकला परंतु. खेळाडू मध्येखेळाडू देते. परंतु1 च्या बरोबरीने काही रक्कम, आणि जर ते एकत्र येत नाहीत तर खेळाडू जिंकतो, i.e. उलट, खेळाडू परंतुखेळाडू देते. मध्येसमान रक्कम , समान 1. एक पेमेंट मॅट्रिक्स तयार करण्यासाठी.

निर्णय.कार्य स्थिती अंतर्गत