गणितीय मॉडेल - ही गणितीय संबंधांची एक प्रणाली आहे - सूत्रे, समीकरणे, असमानता इ., वस्तू किंवा घटनेचे आवश्यक गुणधर्म प्रतिबिंबित करतात.

निसर्गाची प्रत्येक घटना ही त्याच्या जटिलतेने अनंत आहे.. व्ही.एन.च्या पुस्तकातून घेतलेल्या उदाहरणाच्या मदतीने हे स्पष्ट करू. ट्रोस्टनिकोव्ह "मॅन आणि माहिती" (पब्लिशिंग हाऊस "सायन्स", 1970).

सामान्य माणूस खालीलप्रमाणे गणिताची समस्या तयार करतो: "200 मीटर उंचीवरून दगड किती काळ पडेल?"गणितज्ञ त्याच्या समस्येची आवृत्ती असे काहीतरी तयार करण्यास सुरवात करेल: "आम्ही असे गृहीत धरू की दगड शून्यात पडत आहे आणि गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग 9.8 मीटर प्रति सेकंद प्रति सेकंद आहे. मग..."

- मला द्या- "ग्राहक" म्हणू शकतो, - मला हे सरलीकरण आवडत नाही. मला हे जाणून घ्यायचे आहे की दगड वास्तविक परिस्थितीत किती काळ पडेल आणि अस्तित्वात नसलेल्या शून्यात नाही.

- चांगले,गणितज्ञ सहमत आहे. - समजू या दगडाला गोलाकार आकार आणि व्यास आहे... त्याचा अंदाजे व्यास किती आहे?

- सुमारे पाच सेंटीमीटर. पण ते अजिबात गोलाकार नसून आयताकृती आहे.

- मग आपण ते गृहीत धरूएक लंबवर्तुळाकार आकार आहे एक्सल शाफ्टसह चार, तीन आणि तीन सेंटीमीटर आणि तोपडतो जेणेकरून अर्ध-प्रमुख अक्ष सर्व वेळ उभ्या राहतो . आम्ही हवेचा दाब समान घेतो760 mmHg , येथून आपल्याला हवेची घनता आढळते...

जर "मानवी" भाषेत समस्या मांडणारा गणितज्ञांच्या विचारांच्या ट्रेनमध्ये आणखी हस्तक्षेप करणार नाही, तर नंतरचे काही वेळाने संख्यात्मक उत्तर देईल. परंतु "ग्राहक" पूर्वीप्रमाणेच आक्षेप घेऊ शकतात: दगड खरोखरच लंबवर्तुळाकार नाही, त्या ठिकाणी हवेचा दाब आणि त्या क्षणी 760 मिमी पारा इ. त्याला गणितज्ञ काय उत्तर देणार?

त्याचे उत्तर तो देईल वास्तविक समस्येचे अचूक निराकरण करणे सामान्यतः अशक्य आहे. एवढेच नाही दगडाचा आकार, जे हवेच्या प्रतिकारशक्तीवर परिणाम करते, कोणत्याही गणितीय समीकरणाने वर्णन केले जाऊ शकत नाही; त्याचे उड्डाणातील फिरणे देखील गणिताच्या नियंत्रणाबाहेर आहेत्याच्या जटिलतेमुळे. पुढील, हवा एकसारखी नाही,यादृच्छिक घटकांच्या क्रियेचा परिणाम म्हणून, त्यात घनतेच्या चढउतारांचे चढउतार उद्भवतात. आणखी खोलात जाऊन विचार केला पाहिजे सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षणाच्या नियमानुसार, प्रत्येक शरीर प्रत्येक इतर शरीरावर कार्य करते. असे घडते की भिंतीच्या घड्याळाचा पेंडुलम देखील त्याच्या हालचालीने दगडाचा मार्ग बदलतो.

थोडक्यात, जर आपल्याला कोणत्याही वस्तूच्या वर्तणुकीची गांभीर्याने अचूक तपासणी करायची असेल, तर आपल्याला प्रथम विश्वातील इतर सर्व वस्तूंचे स्थान आणि गती जाणून घ्यावी लागेल. आणि हे, अर्थातच. अशक्य

सर्वात प्रभावी गणितीय मॉडेल संगणकावर अल्गोरिदमिक मॉडेलच्या स्वरूपात लागू केले जाऊ शकते - तथाकथित "संगणकीय प्रयोग" (पहा [1], परिच्छेद 26).

अर्थात, मॉडेलमध्ये वास्तविकतेच्या काही महत्त्वाच्या बाबी विचारात न घेतल्यास संगणकीय प्रयोगाचे परिणाम वास्तविकतेशी संबंधित नसतील.

म्हणून, समस्येचे निराकरण करण्यासाठी एक गणितीय मॉडेल तयार करणे, आपण हे करणे आवश्यक आहे:

1. गणितीय मॉडेल ज्यावर आधारित असेल त्या गृहितकांना हायलाइट करा;
2. इनपुट डेटा आणि परिणाम म्हणून काय विचारात घ्यायचे ते निर्धारित करा;
3. मूळ डेटाशी परिणाम जोडणारे गणितीय संबंध लिहा.

गणितीय मॉडेल्स तयार करताना, डेटाद्वारे इच्छित प्रमाण स्पष्टपणे व्यक्त करणारी सूत्रे शोधणे नेहमीच शक्य नसते. अशा प्रकरणांमध्ये, वेगवेगळ्या प्रमाणात अचूकतेची उत्तरे देण्यासाठी गणितीय पद्धती वापरल्या जातात. कोणत्याही घटनेचे केवळ गणितीय मॉडेलिंग नाही, तर व्हिज्युअल-नैसर्गिक मॉडेलिंग देखील आहे, जे संगणक ग्राफिक्सद्वारे या घटना प्रदर्शित करून प्रदान केले जाते, म्हणजे. संशोधकाला रिअल टाइममध्ये चित्रित केलेले एक प्रकारचे "संगणक कार्टून" दाखवले आहे. येथे दृश्यमानता खूप जास्त आहे.

इतर नोंदी

06/10/2016. ८.३. सॉफ्टवेअर डेव्हलपमेंट प्रक्रियेतील मुख्य टप्पे कोणते आहेत? ८.४. संगणकावर आउटपुट करण्यापूर्वी प्रोग्रामचा मजकूर कसा नियंत्रित करायचा?

८.३. सॉफ्टवेअर डेव्हलपमेंट प्रक्रियेतील मुख्य टप्पे कोणते आहेत? प्रोग्राम विकसित करण्याची प्रक्रिया खालील सूत्राद्वारे व्यक्त केली जाऊ शकते: नवीन विकसित प्रोग्राममध्ये त्रुटींची उपस्थिती अगदी सामान्य आहे ...

06/10/2016. ८.५. डीबगिंग आणि चाचणी कशासाठी आहे? ८.६. डीबगिंग म्हणजे काय? ८.७. चाचणी आणि चाचणी म्हणजे काय? ८.८. चाचणी डेटा काय असावा? ८.९. चाचणी प्रक्रियेत कोणते टप्पे आहेत?

८.५. डीबगिंग आणि चाचणी कशासाठी आहे? प्रोग्राम डीबग करणे ही संगणकावर चालविल्याच्या परिणामांवर आधारित प्रोग्राममधील त्रुटी शोधण्याची आणि दूर करण्याची प्रक्रिया आहे. चाचणी करत आहे...

06/10/2016. ८.१०. ठराविक प्रोग्रामिंग त्रुटी काय आहेत? ८.११. वाक्यरचना त्रुटींची अनुपस्थिती प्रोग्रामची शुद्धता दर्शवते का? ८.१२. अनुवादकाद्वारे कोणत्या त्रुटी आढळल्या नाहीत? ८.१३. प्रोग्राम समर्थन म्हणजे काय?

८.१०. ठराविक प्रोग्रामिंग त्रुटी काय आहेत? समस्या सोडवण्याच्या सर्व टप्प्यांवर चुका केल्या जाऊ शकतात - त्याच्या निर्मितीपासून ते अंमलबजावणीपर्यंत. विविध प्रकारच्या त्रुटी आणि तत्सम उदाहरणे दिली आहेत ...

गणितीय मॉडेल b हे वास्तवाचे गणितीय प्रतिनिधित्व आहे.

गणितीय मॉडेलिंग- गणितीय मॉडेल तयार करण्याची आणि अभ्यास करण्याची प्रक्रिया.

गणितीय उपकरणे वापरणारे सर्व नैसर्गिक आणि सामाजिक विज्ञान, खरं तर, गणितीय मॉडेलिंगमध्ये गुंतलेले आहेत: ते वास्तविक वस्तूला त्याच्या गणितीय मॉडेलसह पुनर्स्थित करतात आणि नंतरचा अभ्यास करतात.

व्याख्या.

कोणतीही व्याख्या गणितीय मॉडेलिंगच्या वास्तविक जीवनातील क्रियाकलाप पूर्णपणे कव्हर करू शकत नाही. असे असूनही, व्याख्या उपयुक्त आहेत कारण ते सर्वात लक्षणीय वैशिष्ट्ये हायलाइट करण्याचा प्रयत्न करतात.

ए.ए. ल्यापुनोव्हच्या मते मॉडेलची व्याख्या: मॉडेलिंग म्हणजे एखाद्या वस्तूचा अप्रत्यक्ष व्यावहारिक किंवा सैद्धांतिक अभ्यास, ज्यामध्ये आपल्या आवडीच्या वस्तूचा थेट अभ्यास केला जात नाही, परंतु काही सहाय्यक कृत्रिम किंवा नैसर्गिक प्रणाली:

ओळखण्यायोग्य ऑब्जेक्टसह काही वस्तुनिष्ठ पत्रव्यवहारात स्थित;

विशिष्ट बाबतीत त्याला पुनर्स्थित करण्यास सक्षम;

जे, त्याच्या अभ्यासादरम्यान, शेवटी मॉडेलिंग केलेल्या ऑब्जेक्टबद्दल माहिती प्रदान करते.

सोवेटोव्ह आणि याकोव्हलेव्हच्या पाठ्यपुस्तकानुसार: "मॉडेल मूळ ऑब्जेक्टचा एक ऑब्जेक्ट-पर्याय आहे, जो मूळच्या काही गुणधर्मांचा अभ्यास प्रदान करतो." "मॉडेल ऑब्जेक्टचा वापर करून मूळ ऑब्जेक्टच्या सर्वात महत्वाच्या गुणधर्मांबद्दल माहिती मिळविण्यासाठी एक ऑब्जेक्ट दुसर्याने बदलणे याला मॉडेलिंग म्हणतात." “गणितीय मॉडेलिंग अंतर्गत आपल्याला गणितीय मॉडेल म्हटल्या जाणार्‍या काही गणितीय वस्तूच्या दिलेल्या वास्तविक वस्तूशी पत्रव्यवहार स्थापित करण्याची प्रक्रिया आणि या मॉडेलचा अभ्यास समजू शकतो, ज्यामुळे विचाराधीन वास्तविक वस्तूची वैशिष्ट्ये प्राप्त करणे शक्य होते. गणितीय मॉडेलचा प्रकार वास्तविक ऑब्जेक्टचे स्वरूप आणि ऑब्जेक्टचा अभ्यास करण्याची कार्ये आणि या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक विश्वासार्हता आणि अचूकता या दोन्हींवर अवलंबून असते.

समर्स्की आणि मिखाइलोव्ह यांच्या मते, गणितीय मॉडेल हे एखाद्या वस्तूचे "समतुल्य" असते, जे गणिताच्या रूपात त्याचे सर्वात महत्वाचे गुणधर्म प्रतिबिंबित करते: ते पाळणारे कायदे, त्याच्या घटक भागांमध्ये अंतर्भूत असलेले कनेक्शन इ. ते ट्रायड्समध्ये अस्तित्वात आहे. मॉडेल-अल्गोरिदम-प्रोग्राम" . "मॉडेल-अल्गोरिदम-प्रोग्राम" ट्रायड तयार केल्यावर, संशोधकाला एक सार्वत्रिक, लवचिक आणि स्वस्त साधन मिळते, जे प्रथम डीबग केले जाते आणि चाचणी संगणकीय प्रयोगांमध्ये तपासले जाते. मूळ ऑब्जेक्टसाठी ट्रायडची पर्याप्तता स्थापित झाल्यानंतर, मॉडेलसह विविध आणि तपशीलवार "प्रयोग" केले जातात, ज्यामध्ये ऑब्जेक्टचे सर्व आवश्यक गुणात्मक आणि परिमाणवाचक गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये दिली जातात.

मिश्कीसच्या मोनोग्राफनुसार: “चला एका सामान्य व्याख्येकडे जाऊया. वास्तविक ऑब्जेक्ट a च्या गुणधर्मांचे काही S संच आपण एक्सप्लोर करणार आहोत

गणिताची मदत. हे करण्यासाठी, आम्ही "गणितीय वस्तू" a" निवडतो - समीकरणांची प्रणाली, किंवा अंकगणित संबंध, किंवा भौमितिक आकृत्या, किंवा दोन्हीचे संयोजन इ. - ज्याचा अभ्यास गणिताच्या माध्यमातून विचारलेल्या प्रश्नांची उत्तरे द्यायला हवा. S च्या गुणधर्मांबद्दल. या स्थितीत a" ला ऑब्जेक्टचे गणितीय मॉडेल a त्याच्या गुणधर्माच्या एकूण S संदर्भात म्हणतात".

ए.जी. सेवोस्त्यानोव्ह यांच्या मते: "गणितीय मॉडेल म्हणजे गणितीय संबंध, समीकरणे, असमानता इत्यादींचा एक संच आहे, ज्यामध्ये प्रक्रिया, वस्तू किंवा प्रणालीमध्ये अंतर्भूत असलेल्या मुख्य नमुन्यांचे वर्णन केले जाते."

ऑटोमेटा सिद्धांतातून घेतलेल्या "इनपुट-आउटपुट-स्टेट" च्या आदर्शीकरणावर आधारित गणितीय मॉडेलची काहीशी कमी सामान्य व्याख्या, विक्शनरीद्वारे दिली जाते: "प्रक्रिया, उपकरण किंवा सैद्धांतिक कल्पनेचे अमूर्त गणितीय प्रतिनिधित्व; ते इनपुट, आउटपुट आणि अंतर्गत अवस्थांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी व्हेरिएबल्सचा संच आणि त्यांच्या परस्परसंवादाचे वर्णन करण्यासाठी समीकरणे आणि असमानता यांचे संच वापरते.

शेवटी, गणितीय मॉडेलची सर्वात संक्षिप्त व्याख्या: "एक समीकरण जे कल्पना व्यक्त करते."

मॉडेलचे औपचारिक वर्गीकरण.

मॉडेल्सचे औपचारिक वर्गीकरण वापरलेल्या गणिती साधनांच्या वर्गीकरणावर आधारित आहे. अनेकदा द्विभाजन स्वरूपात बांधले. उदाहरणार्थ, डिकोटॉमीजच्या लोकप्रिय संचांपैकी एक आहे:

रेखीय किंवा नॉन-रेखीय मॉडेल; केंद्रित किंवा वितरित प्रणाली; निर्धारक किंवा स्टॉकेस्टिक; स्थिर किंवा गतिमान; स्वतंत्र किंवा सतत.

इ. प्रत्येक तयार केलेले मॉडेल रेखीय किंवा नॉन-रेखीय, निर्धारवादी किंवा स्टोकास्टिक आहे, ... स्वाभाविकच, मिश्र प्रकार देखील शक्य आहेत: एका बाबतीत केंद्रित, दुसर्यामध्ये वितरित मॉडेल इ.

ऑब्जेक्ट ज्या प्रकारे दर्शविला जातो त्यानुसार वर्गीकरण.

औपचारिक वर्गीकरणाबरोबरच, मॉडेल ज्या प्रकारे ऑब्जेक्टचे प्रतिनिधित्व करतात त्यामध्ये भिन्न आहेत:

स्ट्रक्चरल मॉडेल्स एखाद्या वस्तूचे स्वतःचे उपकरण आणि कार्यप्रणाली असलेली प्रणाली म्हणून प्रतिनिधित्व करतात. फंक्शनल मॉडेल्स अशी प्रस्तुतीकरणे वापरत नाहीत आणि ऑब्जेक्टचे केवळ बाह्यरित्या समजलेले वर्तन प्रतिबिंबित करतात. त्यांच्या अत्यंत अभिव्यक्तीमध्ये, त्यांना "ब्लॅक बॉक्स" मॉडेल देखील म्हणतात. एकत्रित प्रकारचे मॉडेल देखील शक्य आहेत, ज्यांना कधीकधी "ग्रे बॉक्स" मॉडेल म्हणतात.

गणितीय मॉडेलिंगच्या प्रक्रियेचे वर्णन करणारे जवळजवळ सर्व लेखक सूचित करतात की प्रथम एक विशेष आदर्श बांधकाम, एक अर्थपूर्ण मॉडेल तयार केले गेले आहे. येथे कोणतीही स्थापित शब्दावली नाही आणि इतर लेखक या आदर्श वस्तूला संकल्पनात्मक मॉडेल, एक सट्टा मॉडेल किंवा प्रीमॉडेल म्हणतात. या प्रकरणात, अंतिम गणितीय बांधकामाला औपचारिक मॉडेल किंवा या सामग्री मॉडेलच्या औपचारिकतेच्या परिणामी प्राप्त झालेले गणितीय मॉडेल म्हटले जाते. एक अर्थपूर्ण मॉडेल तयार केलेल्या आदर्शीकरणांचा संच वापरून तयार केले जाऊ शकते, जसे की यांत्रिकी, जेथे आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर शरीरे, आदर्श पेंडुलम, लवचिक माध्यम इत्यादी अर्थपूर्ण मॉडेलिंगसाठी तयार संरचनात्मक घटक प्रदान करतात. तथापि, ज्ञानाच्या क्षेत्रात जेथे पूर्णतः पूर्ण झालेले औपचारिक सिद्धांत नाहीत, अर्थपूर्ण मॉडेल्सची निर्मिती अधिक क्लिष्ट होते.

आर. पियर्ल्सचे कार्य भौतिकशास्त्रात आणि अधिक व्यापकपणे, नैसर्गिक विज्ञानांमध्ये वापरल्या जाणार्‍या गणितीय मॉडेल्सचे वर्गीकरण देते. A. N. Gorban आणि R. G. Khlebopros यांच्या पुस्तकात, या वर्गीकरणाचे विश्लेषण आणि विस्तार केला आहे. हे वर्गीकरण प्रामुख्याने अर्थपूर्ण मॉडेल तयार करण्याच्या टप्प्यावर केंद्रित आहे.

ही मॉडेल्स "घटनेच्या चाचणी वर्णनाचे प्रतिनिधित्व करतात आणि लेखक एकतर त्याच्या शक्यतेवर विश्वास ठेवतात किंवा ते सत्य मानतात." आर. पियर्ल्सच्या मते, उदाहरणार्थ, टॉलेमी आणि कोपर्निकन मॉडेलनुसार सौर मंडळाचे मॉडेल, रदरफोर्डचे अणूचे मॉडेल आणि बिग बॅंग मॉडेल.

विज्ञानातील कोणतीही गृहीते एकदाच सिद्ध करता येत नाहीत. रिचर्ड फेनमन हे अगदी स्पष्टपणे मांडतात:

“आमच्याकडे नेहमीच एखादा सिद्धांत खोटा ठरवण्याची क्षमता असते, परंतु लक्षात ठेवा की ते बरोबर आहे हे आपण कधीही सिद्ध करू शकत नाही. समजा तुम्ही एक यशस्वी गृहीतक मांडले आहे, ते कोठे नेले आहे याची गणना करा आणि त्याचे सर्व परिणाम प्रायोगिकरित्या पुष्टी झाले आहेत. याचा अर्थ तुमचा सिद्धांत बरोबर आहे का? नाही, याचा सरळ अर्थ असा आहे की तुम्ही त्याचे खंडन करण्यात अयशस्वी झाले.

जर पहिल्या प्रकारचे मॉडेल तयार केले असेल तर याचा अर्थ असा आहे की ते तात्पुरते सत्य म्हणून ओळखले जाते आणि इतर समस्यांवर लक्ष केंद्रित करू शकते. तथापि, हा संशोधनाचा मुद्दा असू शकत नाही, परंतु केवळ एक तात्पुरता विराम: पहिल्या प्रकारच्या मॉडेलची स्थिती केवळ तात्पुरती असू शकते.

इंद्रियगोचर मॉडेलमध्ये घटनेचे वर्णन करण्यासाठी एक यंत्रणा असते. तथापि, ही यंत्रणा पुरेशी खात्रीशीर नाही, उपलब्ध डेटाद्वारे पुरेशी पुष्टी केली जाऊ शकत नाही किंवा उपलब्ध सिद्धांतांशी आणि ऑब्जेक्टबद्दल संचित ज्ञानाशी सहमत नाही. म्हणून, अभूतपूर्व मॉडेल्सना तात्पुरत्या उपायांची स्थिती आहे. असे मानले जाते की उत्तर अद्याप अज्ञात आहे आणि "खऱ्या यंत्रणा" चा शोध सुरू ठेवणे आवश्यक आहे. Peierls, उदाहरणार्थ, उष्मांक मॉडेल आणि प्राथमिक कणांचे क्वार्क मॉडेल दुसऱ्या प्रकाराला संदर्भित करते.

संशोधनातील मॉडेलची भूमिका कालांतराने बदलू शकते, असे होऊ शकते की नवीन डेटा आणि सिद्धांत अपूर्व मॉडेलची पुष्टी करतात आणि ते अपग्रेड केले जातील.

गृहीतक स्थिती. त्याचप्रमाणे, नवीन ज्ञान हळूहळू पहिल्या प्रकारच्या मॉडेल्स- गृहीतकांबरोबर संघर्षात येऊ शकते आणि ते दुसऱ्यामध्ये हस्तांतरित केले जाऊ शकते. अशा प्रकारे, क्वार्क मॉडेल हळूहळू गृहीतकांच्या श्रेणीत जात आहे; भौतिकशास्त्रातील अणुवाद तात्पुरते उपाय म्हणून उद्भवला, परंतु इतिहासाच्या ओघात ते पहिल्या प्रकारात गेले. पण इथर मॉडेल्स टाइप 1 वरून टाईप 2 वर गेले आहेत आणि आता ते विज्ञानाच्या बाहेर आहेत.

मॉडेल तयार करताना सरलीकरणाची कल्पना खूप लोकप्रिय आहे. पण सरलीकरण वेगळे आहे. पियर्ल्स मॉडेलिंगमध्ये तीन प्रकारचे सरलीकरण वेगळे करतात.

अभ्यासाधीन प्रणालीचे वर्णन करणारी समीकरणे बांधणे शक्य असल्यास, याचा अर्थ असा नाही की ते संगणकाच्या मदतीने सोडवले जाऊ शकतात. या प्रकरणात एक सामान्य तंत्र म्हणजे अंदाजे वापरणे. त्यापैकी रेखीय प्रतिसाद मॉडेल आहेत. समीकरणांची जागा रेखीय समीकरणांनी घेतली आहे. प्रमाणित उदाहरण म्हणजे ओमचा नियम.

जर आपण पुरेशा प्रमाणात दुर्मिळ वायूंचे वर्णन करण्यासाठी आदर्श वायू मॉडेल वापरतो, तर हे एक प्रकार 3 मॉडेल आहे. उच्च वायू घनतेवर, गुणात्मक समज आणि मूल्यमापनासाठी सोप्या आदर्श वायू परिस्थितीची कल्पना करणे देखील उपयुक्त आहे, परंतु हे आधीच प्रकार 4 आहे. .

टाईप 4 मॉडेलमध्ये, तपशील टाकून दिले जातात जे लक्षात येण्याजोगे आणि नेहमी नियंत्रितपणे परिणामावर परिणाम करू शकत नाहीत. समान समीकरणे प्रकार 3 किंवा प्रकार 4 मॉडेल म्हणून काम करू शकतात, मॉडेलचा अभ्यास करण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या घटनेवर अवलंबून. तर, जर अधिक जटिल मॉडेल्सच्या अनुपस्थितीत रेखीय प्रतिसाद मॉडेल्स वापरली गेली असतील, तर हे आधीपासूनच अपूर्व रेखीय मॉडेल आहेत आणि ते खालील प्रकार 4 चे आहेत.

उदाहरणे: आदर्श नसलेल्या वायू मॉडेलचा वापर, राज्याचे व्हॅन डेर वाल्स समीकरण, घन अवस्थेचे बहुतेक मॉडेल, द्रव आणि आण्विक भौतिकशास्त्र. सूक्ष्म वर्णनापासून मोठ्या संख्येने कण असलेल्या शरीराच्या गुणधर्मापर्यंतचा मार्ग खूप मोठा आहे. बरेच तपशील सोडले पाहिजेत. हे 4थ्या प्रकारच्या मॉडेलकडे नेत आहे.

ह्युरिस्टिक मॉडेल वास्तविकतेशी केवळ गुणात्मक समानता राखून ठेवते आणि केवळ "विशालतेच्या क्रमाने" अंदाज लावते. एक नमुनेदार उदाहरण म्हणजे कायनेटिक थिअरीमध्ये सरासरी मुक्त मार्ग अंदाजे. हे स्निग्धता, प्रसार, थर्मल चालकता, परिमाणाच्या क्रमाने वास्तवाशी सुसंगत असलेल्या गुणांकांसाठी साधी सूत्रे देते.

परंतु नवीन भौतिकशास्त्र तयार करताना, एखाद्या वस्तूचे किमान गुणात्मक वर्णन देणारे मॉडेल ताबडतोब मिळणे फार दूर आहे - पाचव्या प्रकाराचे मॉडेल. या प्रकरणात, एखादे मॉडेल सहसा सादृश्यतेद्वारे वापरले जाते, किमान काही प्रकारे वास्तविकता प्रतिबिंबित करते.

आर. पियर्ल्स यांनी डब्ल्यू. हायझेनबर्गच्या आण्विक शक्तींच्या स्वरूपावरील पहिल्या लेखात उपमा वापरण्याचा इतिहास उद्धृत केला आहे. "हे न्यूट्रॉनच्या शोधानंतर घडले, आणि जरी डब्ल्यू. हायझेनबर्गला हे समजले की न्यूक्लीमध्ये न्यूट्रॉन आणि प्रोटॉन यांचा समावेश आहे असे वर्णन केले जाऊ शकते, तरीही न्यूट्रॉनमध्ये शेवटी प्रोटॉन आणि इलेक्ट्रॉन असावेत या कल्पनेपासून ते सुटू शकले नाहीत. . या प्रकरणात, न्यूट्रॉन-प्रोटॉन प्रणालीमधील परस्परसंवाद आणि हायड्रोजन अणू आणि प्रोटॉन यांच्यातील परस्परसंवादामध्ये एक समानता निर्माण झाली. या सादृश्यतेमुळेच तो या निष्कर्षापर्यंत पोहोचला की दोन प्रोटॉनमधील इलेक्ट्रॉनच्या संक्रमणामुळे न्यूट्रॉन आणि प्रोटॉन यांच्यात परस्परसंवादाची देवाणघेवाण शक्ती असली पाहिजे, जी एच − एच प्रणालीतील एक्सचेंज फोर्सशी एकरूप आहेत. ... नंतर, न्यूट्रॉन आणि प्रोटॉन यांच्यातील परस्परसंवादाच्या विनिमय शक्तींचे अस्तित्व सिद्ध झाले, तरीही ते पूर्णपणे संपले नव्हते.

दोन कणांमधील परस्परसंवाद ... परंतु, त्याच समानतेचे अनुसरण करून, डब्ल्यू. हायझेनबर्ग या निष्कर्षापर्यंत पोहोचले की दोन प्रोटॉनमधील परस्परसंवादाची कोणतीही आण्विक शक्ती नाही आणि दोन न्यूट्रॉनमधील प्रतिकर्षणाची स्थिती आहे. हे दोन्ही नंतरचे निष्कर्ष नंतरच्या अभ्यासाच्या निष्कर्षांशी विरोधाभास आहेत.

A. आइन्स्टाईन हे विचार प्रयोगातील महान मास्टर्सपैकी एक होते. त्याचा हा एक प्रयोग. तरुणपणात याचा शोध लावला गेला आणि अखेरीस सापेक्षतेच्या विशेष सिद्धांताची निर्मिती झाली. समजा शास्त्रीय भौतिकशास्त्रात आपण प्रकाशाच्या गतीने प्रकाश लहरीचे अनुसरण करतो. आपण विद्युत चुंबकीय क्षेत्राचे अधूनमधून अंतराळात आणि वेळेनुसार सतत बदलणारे निरीक्षण करू. मॅक्सवेलच्या समीकरणांनुसार, हे असू शकत नाही. यावरून, तरुण आइन्स्टाईनने निष्कर्ष काढला: संदर्भ फ्रेम बदलल्यावर निसर्गाचे नियम बदलतात किंवा प्रकाशाचा वेग संदर्भाच्या चौकटीवर अवलंबून नसतो. त्याने दुसरा - अधिक सुंदर पर्याय निवडला. आइन्स्टाईन-पोडॉल्स्की-रोसेन पॅराडॉक्स हा आणखी एक प्रसिद्ध आइनस्टाईन विचार प्रयोग आहे.

आणि येथे प्रकार 8 आहे, जो जैविक प्रणालींच्या गणितीय मॉडेलमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरला जातो.

कथित घटना मूलभूत तत्त्वांशी सुसंगत आहे आणि आंतरिकपणे सुसंगत आहे हे दाखवून, हे काल्पनिक घटकांसह विचार प्रयोग आहेत. प्रकार 7 च्या मॉडेलमधील हा मुख्य फरक आहे, जो लपलेले विरोधाभास प्रकट करतो.

सर्वात प्रसिद्ध अशा प्रयोगांपैकी एक म्हणजे लोबाचेव्हस्कीची भूमिती. दुसरे उदाहरण म्हणजे रासायनिक आणि जैविक दोलन, ऑटोवेव्ह इत्यादींच्या औपचारिकपणे गतिज मॉडेल्सचे मोठ्या प्रमाणावर उत्पादन. क्वांटम मेकॅनिक्सची विसंगती दर्शवण्यासाठी आइन्स्टाईन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास प्रकार 7 मॉडेल म्हणून कल्पित करण्यात आला. पूर्णपणे अनियोजित मार्गाने, ते अखेरीस टाइप 8 मॉडेलमध्ये बदलले - माहितीच्या क्वांटम टेलिपोर्टेशनच्या शक्यतेचे प्रदर्शन.

एका यांत्रिक प्रणालीचा विचार करा ज्यामध्ये स्प्रिंग एका टोकाला निश्चित केले आहे आणि स्प्रिंगच्या मुक्त टोकाला मीटरचा भार जोडलेला आहे. आम्ही असे गृहीत धरू की भार फक्त स्प्रिंग अक्षाच्या दिशेने जाऊ शकतो. या प्रणालीचे गणितीय मॉडेल बनवू. लोडच्या केंद्रापासून त्याच्या समतोल स्थितीपर्यंत x या अंतराने सिस्टमच्या स्थितीचे वर्णन करू. आम्ही हूकच्या नियमाचा वापर करून स्प्रिंग आणि लोड यांच्या परस्परसंवादाचे वर्णन करतो, त्यानंतर आम्ही न्यूटनचा दुसरा नियम वापरून ते भिन्न समीकरणाच्या रूपात व्यक्त करतो:

जिथे म्हणजे वेळेच्या संदर्भात x चे दुसरे व्युत्पन्न..

परिणामी समीकरण विचारात घेतलेल्या भौतिक प्रणालीच्या गणितीय मॉडेलचे वर्णन करते. या पॅटर्नला "हार्मोनिक ऑसिलेटर" म्हणतात.

औपचारिक वर्गीकरणानुसार, हे मॉडेल रेखीय, निर्धारवादी, गतिमान, केंद्रित, निरंतर आहे. ते बांधण्याच्या प्रक्रियेत, आम्ही अनेक गृहितक केले जे प्रत्यक्षात खरे नसतील.

वास्तविकतेच्या संबंधात, हे, बहुतेकदा, एक प्रकार 4 मॉडेल आहे, एक सरलीकरण, कारण काही आवश्यक सार्वत्रिक वैशिष्ट्ये वगळण्यात आली आहेत. काही अंदाजात, असे मॉडेल वास्तविक यांत्रिक प्रणालीचे वर्णन करते, पासून

टाकून दिलेल्या घटकांचा त्याच्या वर्तनावर नगण्य प्रभाव पडतो. तथापि, यापैकी काही घटक लक्षात घेऊन मॉडेल परिष्कृत केले जाऊ शकते. हे एक नवीन मॉडेलकडे नेईल, ज्यामध्ये व्यापक व्याप्ती असेल.

तथापि, जेव्हा मॉडेल परिष्कृत केले जाते, तेव्हा त्याच्या गणितीय अभ्यासाची जटिलता लक्षणीय वाढू शकते आणि मॉडेलला अक्षरशः निरुपयोगी बनवू शकते. बर्‍याचदा, एक साधे मॉडेल आपल्याला अधिक जटिल मॉडेलपेक्षा वास्तविक प्रणालीचे अधिक चांगले आणि सखोल अन्वेषण करण्यास अनुमती देते.

जर आपण भौतिकशास्त्रापासून दूर असलेल्या वस्तूंवर हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडेल लागू केले तर त्याची अर्थपूर्ण स्थिती वेगळी असू शकते. उदाहरणार्थ, हे मॉडेल जैविक लोकसंख्येवर लागू करताना, ते बहुधा टाइप 6 सादृश्यतेला दिले जावे.

हार्ड आणि मऊ मॉडेल.

हार्मोनिक ऑसिलेटर हे तथाकथित "हार्ड" मॉडेलचे उदाहरण आहे. हे वास्तविक भौतिक प्रणालीच्या मजबूत आदर्शीकरणाच्या परिणामी प्राप्त होते. त्याच्या लागू होण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आपण दुर्लक्ष केलेले घटक किती महत्त्वपूर्ण आहेत हे समजून घेणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या शब्दांत, "मऊ" मॉडेलची तपासणी करणे आवश्यक आहे, जे "हार्ड" मॉडेलच्या लहान गोंधळाने प्राप्त होते. हे दिले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, खालील समीकरणाद्वारे:

येथे - काही फंक्शन, जे घर्षण शक्ती किंवा स्प्रिंगच्या कडकपणाच्या गुणांकाचे त्याच्या स्ट्रेचिंगच्या डिग्रीवर अवलंबून असते, ε - काही लहान पॅरामीटर विचारात घेतात. फंक्शनचे स्पष्ट स्वरूप सध्या आपल्याला रुचत नाही. जर आपण हे सिद्ध केले की सॉफ्ट मॉडेलचे वर्तन हार्ड मॉडेलच्या वर्तनापेक्षा मूलभूतपणे भिन्न नाही, तर समस्या कठोर मॉडेलच्या अभ्यासात कमी होईल. अन्यथा, कठोर मॉडेलच्या अभ्यासात प्राप्त झालेल्या परिणामांच्या अर्जासाठी अतिरिक्त संशोधन आवश्यक असेल. उदाहरणार्थ, हार्मोनिक ऑसीलेटरच्या समीकरणाचे समाधान फॉर्मची कार्ये आहेत

म्हणजेच, स्थिर मोठेपणासह दोलन. यावरून असे घडते का की वास्तविक ऑसिलेटर स्थिर मोठेपणासह अनिश्चित काळासाठी दोलन करेल? नाही, कारण अनियंत्रितपणे लहान घर्षण असलेल्या प्रणालीचा विचार केल्यास, आम्हाला ओलसर दोलन मिळतात. व्यवस्थेचे वर्तन गुणात्मक बदलले आहे.

जर एखाद्या प्रणालीने त्याचे गुणात्मक वर्तन एका लहान गोंधळात टिकवून ठेवले तर ते संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर असल्याचे म्हटले जाते. हार्मोनिक ऑसिलेटर हे संरचनात्मकदृष्ट्या अस्थिर प्रणालीचे उदाहरण आहे. तथापि, हे मॉडेल मर्यादित वेळेच्या अंतराने प्रक्रियांचा अभ्यास करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

मॉडेल अष्टपैलुत्व.

सर्वात महत्वाच्या गणितीय मॉडेल्समध्ये सामान्यतः सार्वभौमिकतेचा एक महत्त्वाचा गुणधर्म असतो: मूलभूतपणे भिन्न वास्तविक घटनांचे वर्णन समान गणितीय मॉडेलद्वारे केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, एक हार्मोनिक ऑसीलेटर केवळ स्प्रिंगवरील लोडच्या वर्तनाचेच वर्णन करत नाही तर इतर दोलन प्रक्रियांचे देखील वर्णन करतो, बहुतेकदा पूर्णपणे भिन्न स्वरूपाचे: पेंडुलमचे छोटे दोलन, यू-आकाराच्या पात्रातील द्रव पातळीतील चढ-उतार किंवा ओसीलेटरी सर्किटमध्ये वर्तमान ताकदीतील बदल. अशाप्रकारे, एका गणिती मॉडेलचा अभ्यास केल्यावर, आपण त्याद्वारे वर्णन केलेल्या घटनांच्या संपूर्ण वर्गाचा एकाच वेळी अभ्यास करतो. वैज्ञानिक ज्ञानाच्या विविध विभागांमध्ये गणितीय मॉडेल्सद्वारे व्यक्त केलेल्या कायद्यांचे हे समरूपता आहे ज्यामुळे लुडविग फॉन बर्टालान्फी यांनी "जनरल सिस्टम्स थिअरी" तयार केली.

गणितीय मॉडेलिंगच्या थेट आणि व्यस्त समस्या

गणितीय मॉडेलिंगशी संबंधित अनेक समस्या आहेत. प्रथम, या विज्ञानाच्या आदर्शीकरणाच्या चौकटीत पुनरुत्पादित करण्यासाठी, मॉडेल बनवल्या जाणार्‍या ऑब्जेक्टची मूलभूत योजना तयार करणे आवश्यक आहे. तर, ट्रेन कार प्लेट्स आणि अधिक जटिल प्रणालीमध्ये बदलते

वेगवेगळ्या सामग्रीचे शरीर, प्रत्येक सामग्रीचे मानक यांत्रिक आदर्शीकरण म्हणून निर्दिष्ट केले जाते, त्यानंतर समीकरणे संकलित केली जातात, काही तपशील क्षुल्लक म्हणून टाकून दिले जातात, मोजमापांच्या तुलनेत गणना केली जाते, मॉडेल शुद्ध केले जाते, इत्यादी. तथापि, गणितीय मॉडेलिंग तंत्रज्ञानाच्या विकासासाठी, या प्रक्रियेचे मुख्य घटक घटकांमध्ये पृथक्करण करणे उपयुक्त आहे.

पारंपारिकपणे, गणितीय मॉडेलशी संबंधित समस्यांचे दोन मुख्य वर्ग आहेत: थेट आणि व्यस्त.

थेट कार्य: मॉडेलची रचना आणि त्याचे सर्व पॅरामीटर्स ज्ञात मानले जातात, मुख्य कार्य म्हणजे ऑब्जेक्टबद्दल उपयुक्त ज्ञान मिळविण्यासाठी मॉडेलचा अभ्यास करणे. पूल किती स्थिर भार सहन करू शकतो? डायनॅमिक लोडवर ते कसे प्रतिक्रिया देईल, विमान ध्वनी अडथळ्यावर कसे मात करेल, ते फडफडण्यापासून वेगळे होईल का - ही थेट समस्येची विशिष्ट उदाहरणे आहेत. योग्य थेट समस्या तयार करण्यासाठी विशेष कौशल्य आवश्यक आहे. जर योग्य प्रश्न विचारले गेले नाहीत, तर पूल कोसळू शकतो, जरी त्याच्या वागणुकीसाठी एक चांगला आदर्श बांधला गेला असेल. म्हणून, 1879 मध्ये, यूकेमध्ये, टे नदीवरील एक धातूचा पूल कोसळला, ज्याच्या डिझाइनरने पुलाचे मॉडेल तयार केले, पेलोडसाठी 20-पट सुरक्षा मार्जिन मोजले, परंतु त्यामध्ये सतत वाहणारे वारे विसरले. ठिकाणे आणि दीड वर्षानंतर ते कोसळले.

व्ही सर्वात सोप्या प्रकरणात, थेट समस्या अगदी सोपी आहे आणि या समीकरणाच्या स्पष्ट निराकरणापर्यंत कमी होते.

व्यस्त समस्या: संभाव्य मॉडेल्सचा संच ज्ञात आहे, ऑब्जेक्टबद्दल अतिरिक्त डेटावर आधारित विशिष्ट मॉडेल निवडणे आवश्यक आहे. बर्याचदा, मॉडेलची रचना ज्ञात आहे आणि काही अज्ञात पॅरामीटर्स निर्धारित करणे आवश्यक आहे. अतिरिक्त माहितीमध्ये अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा किंवा ऑब्जेक्टच्या आवश्यकता असू शकतात. अतिरिक्त डेटा हा व्यस्त समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेपासून स्वतंत्रपणे येऊ शकतो किंवा सोडवण्याच्या प्रक्रियेत विशेषतः नियोजित केलेल्या प्रयोगाचा परिणाम असू शकतो.

उपलब्ध डेटाच्या पूर्ण संभाव्य वापरासह व्यस्त समस्येचे व्हर्च्युओसो समाधानाचे पहिले उदाहरण म्हणजे I. न्यूटनने निरीक्षण केलेल्या ओलसर दोलनांपासून घर्षण शक्तींची पुनर्रचना करण्यासाठी तयार केलेली पद्धत.

व्ही दुसरे उदाहरण म्हणजे गणितीय आकडेवारी. या विज्ञानाचे कार्य म्हणजे वस्तुमान यादृच्छिक घटनांचे संभाव्य मॉडेल तयार करण्यासाठी निरीक्षणात्मक आणि प्रायोगिक डेटा रेकॉर्ड करणे, वर्णन करणे आणि त्यांचे विश्लेषण करणे यासाठी पद्धती विकसित करणे. त्या. संभाव्य मॉडेल्सचा संच संभाव्य मॉडेलद्वारे मर्यादित आहे. विशिष्ट समस्यांमध्ये, मॉडेलचा संच अधिक मर्यादित आहे.

मॉडेलिंगची संगणक प्रणाली.

गणितीय मॉडेलिंगला समर्थन देण्यासाठी, संगणक गणित प्रणाली विकसित केली गेली आहे, उदाहरणार्थ, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, इ. ते तुम्हाला साध्या आणि जटिल प्रक्रिया आणि उपकरणांचे औपचारिक आणि ब्लॉक मॉडेल तयार करण्यास आणि मॉडेल पॅरामीटर्स सहजपणे बदलण्याची परवानगी देतात. सिम्युलेशन ब्लॉक मॉडेल ब्लॉक्सद्वारे दर्शविले जातात, ज्याचा सेट आणि कनेक्शन मॉडेल आकृतीद्वारे निर्दिष्ट केले आहे.

अतिरिक्त उदाहरणे.

वाढीचा दर सध्याच्या लोकसंख्येच्या प्रमाणात आहे. हे विभेदक समीकरणाने वर्णन केले आहे

जेथे α हे प्रजनन आणि मृत्युदर यांच्यातील फरकाने निर्धारित केलेले काही मापदंड आहे. या समीकरणाचे समाधान म्हणजे घातांकीय कार्य x = x0 e. जर जन्मदर मृत्यू दरापेक्षा जास्त असेल तर लोकसंख्येचा आकार अनिश्चित काळासाठी आणि खूप वेगाने वाढतो. हे स्पष्ट आहे की प्रत्यक्षात हे मर्यादित असल्यामुळे होऊ शकत नाही

संसाधने जेव्हा विशिष्ट गंभीर लोकसंख्येचा आकार गाठला जातो, तेव्हा मॉडेल पुरेसे असणे थांबवते, कारण ते मर्यादित संसाधने विचारात घेत नाही. माल्थस मॉडेलचे परिष्करण हे लॉजिस्टिक मॉडेल असू शकते, ज्याचे वर्णन व्हर्हुल्स्ट विभेदक समीकरणाने केले आहे.

जेथे xs हा "समतोल" लोकसंख्येचा आकार आहे, ज्यावर जन्मदर मृत्यू दराने अचूकपणे भरपाई केली जाते. अशा मॉडेलमधील लोकसंख्येचा आकार समतोल मूल्य xs कडे असतो आणि हे वर्तन संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर असते.

समजा दोन प्रकारचे प्राणी एका विशिष्ट प्रदेशात राहतात: ससे आणि कोल्हे. सशांची संख्या x, कोल्ह्यांची संख्या y असू द्या. आवश्यक सुधारणांसह माल्थस मॉडेलचा वापर करून, कोल्ह्यांद्वारे ससे खाणे लक्षात घेऊन, आम्ही खालील प्रणालीवर पोहोचतो, ज्याला लोटका-व्होल्टेरा मॉडेलचे नाव आहे:

जेव्हा ससे आणि कोल्ह्यांची संख्या स्थिर असते तेव्हा या प्रणालीमध्ये समतोल स्थिती असते. या अवस्थेपासून विचलनामुळे ससे आणि कोल्ह्यांच्या संख्येत चढ-उतार होतात, हार्मोनिक ऑसिलेटरमधील चढ-उतारांप्रमाणेच. हार्मोनिक ऑसिलेटरच्या बाबतीत, हे वर्तन संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर नाही: मॉडेलमध्ये थोडासा बदल केल्यास वर्तनात गुणात्मक बदल होऊ शकतो. उदाहरणार्थ, समतोल स्थिती स्थिर होऊ शकते आणि लोकसंख्येतील चढउतार कमी होतील. उलट परिस्थिती देखील शक्य आहे, जेव्हा समतोल स्थितीपासून कोणतेही लहान विचलन आपत्तीजनक परिणामांना कारणीभूत ठरेल, प्रजातींपैकी एकाच्या पूर्ण विलोपनापर्यंत. यापैकी कोणती परिस्थिती लक्षात आली आहे या प्रश्नाचे, व्होल्टेरा-लोटका मॉडेल उत्तर देत नाही: येथे अतिरिक्त संशोधन आवश्यक आहे.

प्रथम स्तर

OGE आणि युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन (2019) मधील गणितीय मॉडेल

गणितीय मॉडेलची संकल्पना

विमानाची कल्पना करा: पंख, धड, शेपटी, हे सर्व एकत्र - एक वास्तविक विशाल, अफाट, संपूर्ण विमान. आणि आपण विमानाचे मॉडेल बनवू शकता, लहान, परंतु सर्वकाही वास्तविक आहे, समान पंख इ. परंतु संक्षिप्त. तसेच गणितीय मॉडेल आहे. एक मजकूर समस्या आहे, अवजड आहे, आपण ते पाहू शकता, ते वाचू शकता, परंतु ते पूर्णपणे समजत नाही आणि त्याहूनही अधिक म्हणजे ते कसे सोडवायचे ते स्पष्ट नाही. पण मोठ्या शाब्दिक समस्येतून आपण त्याचे एक छोटे मॉडेल, गणिताचे मॉडेल बनवले तर? गणिताचा अर्थ काय? म्हणून, गणितीय नोटेशनचे नियम आणि कायदे वापरून, संख्या आणि अंकगणित चिन्हे वापरून मजकूराचे तार्किकदृष्ट्या योग्य प्रतिनिधित्व बनवा. तर, गणितीय मॉडेल हे गणितीय भाषेचा वापर करून वास्तविक परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करते.

चला सोप्या पद्धतीने सुरुवात करूया: संख्या संख्या पेक्षा मोठी आहे. आपण शब्द न वापरता ते लिहून ठेवायला हवे, फक्त गणिताची भाषा. जर जास्त असेल, तर असे दिसून येते की जर आपण वजा केले तर या संख्यांमधील फरक समान राहील. त्या. किंवा. सारांश समजला?

आता हे अधिक क्लिष्ट आहे, आता एक मजकूर असेल जो तुम्ही गणिताच्या मॉडेलच्या रूपात सादर करण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे, जोपर्यंत तुम्ही मी ते कसे करणार हे वाचत नाही तोपर्यंत ते स्वतः करून पहा! चार संख्या आहेत: , आणि. एक उत्पादन आणि अधिक उत्पादने आणि दोनदा.

काय झालं?

गणितीय मॉडेलच्या रूपात, ते असे दिसेल:

त्या. उत्पादन दोन ते एकाशी संबंधित आहे, परंतु हे आणखी सरलीकृत केले जाऊ शकते:

बरं, सोप्या उदाहरणांसह, तुम्हाला मुद्दा समजेल, मला वाटतं. चला पूर्ण वाढ झालेल्या कार्यांकडे वळूया ज्यामध्ये हे गणितीय मॉडेल देखील सोडवायचे आहेत! येथे कार्य आहे.

सराव मध्ये गणिती मॉडेल

कार्य १

पावसानंतर विहिरीतील पाण्याची पातळी वाढू शकते. मुलगा विहिरीत लहान खडे पडण्याची वेळ मोजतो आणि फॉर्म्युला वापरून पाण्याचे अंतर मोजतो, मीटरमध्ये अंतर कुठे आहे आणि सेकंदात पडण्याची वेळ आहे. पावसापूर्वी खडे पडण्याची वेळ एस. मोजलेली वेळ s मध्ये बदलण्यासाठी पावसानंतर पाण्याची पातळी किती वाढली पाहिजे? तुमचे उत्तर मीटरमध्ये व्यक्त करा.

अरे देवा! कोणती सूत्रे, कसली विहीर, काय चाललंय, काय करायचं? मी तुमचे मन वाचले का? आराम करा, या प्रकारच्या कार्यांमध्ये, परिस्थिती आणखी भयंकर आहे, लक्षात ठेवण्याची मुख्य गोष्ट अशी आहे की या कार्यात आपल्याला सूत्रे आणि व्हेरिएबल्समधील संबंधांमध्ये स्वारस्य आहे आणि बहुतेक प्रकरणांमध्ये या सर्वांचा अर्थ काय आहे हे फार महत्वाचे नाही. तुम्हाला येथे काय उपयुक्त वाटते? मी वैयक्तिकरित्या पाहतो. या समस्यांचे निराकरण करण्याचे तत्त्व खालीलप्रमाणे आहे: तुम्ही सर्व ज्ञात प्रमाण घ्या आणि त्यांना बदला.पण कधीतरी विचार करावा लागतो!

माझ्या पहिल्या सल्ल्याचे अनुसरण करून, आणि सर्व ज्ञात असलेल्यांना समीकरणात बदलून, आम्हाला मिळते:

मीच दुसऱ्या वेळेची जागा घेतली आणि पावसाच्या आधी दगड उडून गेलेली उंची शोधली. आणि आता आपल्याला पावसानंतर मोजणे आणि फरक शोधणे आवश्यक आहे!

आता दुसरा सल्ला ऐका आणि त्याबद्दल विचार करा, प्रश्न निर्दिष्ट करतो "पावसानंतर पाण्याची पातळी s ने बदलण्यासाठी मोजलेली वेळ किती वाढली पाहिजे". तुम्हाला ते लगेच शोधून काढण्याची गरज आहे, पाऊस पडल्यानंतर पाण्याची पातळी वाढते, याचा अर्थ असा आहे की दगड पाण्याच्या पातळीवर पडण्यासाठी वेळ कमी आहे आणि येथे अलंकृत वाक्प्रचार “म्हणून मोजलेली वेळ बदलते”. विशिष्ट अर्थानुसार: पडण्याची वेळ वाढत नाही, परंतु निर्दिष्ट सेकंदांनी कमी केली जाते. याचा अर्थ असा की पावसानंतर फेकण्याच्या बाबतीत, आपल्याला सुरुवातीच्या काळातील c मधून फक्त c वजा करणे आवश्यक आहे आणि पावसानंतर दगड किती उंचीवर उडेल याचे समीकरण आपल्याला मिळते:

आणि शेवटी, पावसानंतर पाण्याची पातळी किती वाढली पाहिजे हे शोधण्यासाठी, जेणेकरून मोजली जाणारी वेळ s ने बदलते, तुम्हाला फक्त पडण्याच्या पहिल्या उंचीपासून दुसरा वजा करणे आवश्यक आहे!

आम्हाला उत्तर मिळते: प्रति मीटर.

तुम्ही बघू शकता, यात काहीही क्लिष्ट नाही, सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, परिस्थितीमध्ये असे अनाकलनीय आणि कधीकधी गुंतागुंतीचे समीकरण कोठून आले आणि त्यातल्या प्रत्येक गोष्टीचा अर्थ काय आहे, याचा जास्त त्रास करू नका, यासाठी माझे शब्द घ्या, यापैकी बहुतेक समीकरणे आहेत. भौतिकशास्त्रातून घेतले, आणि तेथे जंगल बीजगणितापेक्षा वाईट आहे. मला कधीकधी असे वाटते की या कार्यांचा शोध विद्यार्थ्याला परीक्षेतील गुंतागुंतीची सूत्रे आणि अटींच्या विपुलतेने घाबरवण्यासाठी लावला गेला होता आणि बहुतेक प्रकरणांमध्ये त्यांना जवळजवळ कोणत्याही ज्ञानाची आवश्यकता नसते. फक्त स्थिती काळजीपूर्वक वाचा आणि सूत्रामध्ये ज्ञात मूल्ये बदला!

येथे आणखी एक समस्या आहे, भौतिकशास्त्रात नाही, परंतु आर्थिक सिद्धांताच्या जगातून, जरी गणिताव्यतिरिक्त इतर विज्ञानांचे ज्ञान येथे पुन्हा आवश्यक नाही.

कार्य २

किमतीवर (हजार रूबल) मक्तेदारी एंटरप्राइझच्या उत्पादनांसाठी मागणीच्या प्रमाणात (प्रति महिना युनिट्स) अवलंबित्व सूत्राद्वारे दिले जाते.

कंपनीचे मासिक उत्पन्न (हजार रूबलमध्ये) सूत्र वापरून मोजले जाते. सर्वात जास्त किंमत ठरवा ज्यावर मासिक महसूल किमान एक हजार रूबल असेल. हजार रूबल मध्ये उत्तर द्या.

अंदाज लावा आता मी काय करू? होय, मी आम्हाला जे माहीत आहे ते बदलण्यास सुरुवात करेन, परंतु, पुन्हा, तुम्हाला अजून थोडा विचार करावा लागेल. चला शेवटपासून जाऊया, आपल्याला कोणत्या ठिकाणी शोधण्याची आवश्यकता आहे. तर, तेथे आहे, काहींच्या बरोबरीने, ते इतर काय समान आहे ते आपल्याला सापडेल, आणि ते समान आहे, आणि आपण ते लिहू. तुम्ही बघू शकता, मला या सर्व परिमाणांच्या अर्थाबद्दल विशेषत: काळजी वाटत नाही, मी फक्त परिस्थितींमधून पाहतो, काय समान आहे, तुम्हाला तेच करण्याची आवश्यकता आहे. चला कार्याकडे परत जाऊया, तुमच्याकडे ते आधीच आहे, परंतु तुम्हाला आठवत असेल, दोन व्हेरिएबल्सच्या एका समीकरणातून, त्यापैकी काहीही सापडत नाही, काय करावे? होय, आमच्याकडे अजूनही स्थितीत एक न वापरलेला कण आहे. येथे, आधीपासून दोन समीकरणे आणि दोन चल आहेत, याचा अर्थ आता दोन्ही व्हेरिएबल्स आढळू शकतात - छान!

आपण अशी व्यवस्था सोडवू शकता?

आम्ही प्रतिस्थापनाद्वारे सोडवतो, आम्ही ते आधीच व्यक्त केले आहे, याचा अर्थ आम्ही ते पहिल्या समीकरणात बदलू आणि ते सोपे करू.

येथे असे एक द्विघात समीकरण आहे: , आम्ही सोडवतो, मुळे अशी आहेत, . कार्यामध्ये, आम्ही सिस्टम संकलित करताना आम्ही विचारात घेतलेल्या सर्व अटी पूर्ण केल्या जातील अशी सर्वोच्च किंमत शोधणे आवश्यक आहे. अरे, ती किंमत होती. छान, म्हणून आम्हाला किंमती सापडल्या: आणि. सर्वोच्च किंमत, तुम्ही म्हणता? ठीक आहे, त्यापैकी सर्वात मोठे, अर्थातच, आम्ही ते प्रतिसादात लिहितो. बरं, अवघड आहे का? मला वाटत नाही, आणि तुम्हाला त्यात जास्त डोकावण्याची गरज नाही!

आणि येथे तुमच्यासाठी एक भयानक भौतिकशास्त्र आहे, किंवा त्याऐवजी, दुसरी समस्या:

कार्य 3

ताऱ्यांचे प्रभावी तापमान निश्चित करण्यासाठी, स्टीफन-बोल्ट्झमन नियम वापरला जातो, त्यानुसार, ताऱ्याची तेजस्वी शक्ती कोठे आहे, स्थिर आहे, ताऱ्याचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे आणि तापमान आहे. हे ज्ञात आहे की एखाद्या विशिष्ट ताऱ्याचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान असते आणि त्याच्या किरणोत्सर्गाची शक्ती डब्ल्यूएवढी असते. या ताऱ्याचे तापमान अंश केल्विनमध्ये शोधा.

ते कुठे स्पष्ट आहे? होय, अट सांगते की काय समान आहे. पूर्वी, मी शिफारस केली होती की सर्व अज्ञात त्वरित बदलले जातील, परंतु येथे प्रथम अज्ञात शोधणे व्यक्त करणे चांगले आहे. सर्वकाही किती सोपे आहे ते पहा: एक सूत्र आहे आणि ते त्यात ज्ञात आहेत आणि (हे ग्रीक अक्षर "सिग्मा" आहे. सर्वसाधारणपणे, भौतिकशास्त्रज्ञांना ग्रीक अक्षरे आवडतात, त्याची सवय करा). तापमान अज्ञात आहे. चला ते सूत्राच्या रूपात व्यक्त करूया. हे कसे करायचे, मला आशा आहे की तुम्हाला माहित आहे? ग्रेड 9 मधील GIA साठी अशा असाइनमेंट सहसा देतात:

आता उजव्या बाजूला अक्षरांऐवजी संख्या बदलणे आणि सोपे करणे बाकी आहे:

येथे उत्तर आहे: डिग्री केल्विन! आणि ते किती भयानक काम होते!

आम्ही भौतिकशास्त्रातील समस्यांना त्रास देत आहोत.

कार्य 4

फेकल्या गेलेल्या चेंडूची जमिनीच्या वरची उंची कायद्यानुसार बदलते, मीटरमध्ये उंची कुठे आहे, फेकल्यापासून निघून गेलेला वेळ म्हणजे सेकंदात. किमान तीन मीटर उंचीवर चेंडू किती सेकंद असेल?

ही सर्व समीकरणे होती, परंतु येथे किमान तीन मीटर उंचीवर म्हणजे किती उंचीवर चेंडू होता हे निश्चित करणे आवश्यक आहे. आपण काय बनवणार आहोत? असमानता, होय! आमच्याकडे एक फंक्शन आहे जे वर्णन करते की चेंडू कसा उडतो, मीटरमध्ये नेमकी समान उंची कुठे आहे, आम्हाला उंचीची आवश्यकता आहे. म्हणजे

आणि आता तुम्ही फक्त असमानतेचे निराकरण करा, सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, समोरच्या उणेपासून मुक्त होण्यासाठी असमानतेच्या दोन्ही भागांनी गुणाकार केल्यावर असमानतेचे चिन्ह मोठे किंवा समान वरून कमी किंवा समान बदलण्यास विसरू नका.

येथे मुळे आहेत, आम्ही असमानतेसाठी अंतराल तयार करतो:

आम्हाला मध्यांतरामध्ये स्वारस्य आहे जेथे चिन्ह वजा आहे, कारण असमानता तेथे नकारात्मक मूल्ये घेते, हे दोन्ही समावेशक आहे. आणि आता आम्ही मेंदू चालू करतो आणि काळजीपूर्वक विचार करतो: असमानतेसाठी, आम्ही एक समीकरण वापरले जे बॉलच्या फ्लाइटचे वर्णन करते, तो कसा तरी पॅराबोलाच्या बाजूने उडतो, म्हणजे. ते उडते, शिखरावर पोहोचते आणि पडते, ते किमान मीटरच्या उंचीवर किती काळ असेल हे कसे समजून घ्यावे? आम्हाला 2 टर्निंग पॉइंट सापडले, म्हणजे ज्या क्षणी ते मीटरच्या वर चढते आणि ज्या क्षणी ते पडताना समान चिन्हावर पोहोचते तेव्हा हे दोन बिंदू वेळेच्या स्वरूपात आपल्या स्वरूपात व्यक्त केले जातात, म्हणजे. आम्हाला माहित आहे की उड्डाणाच्या कोणत्या सेकंदाला ते आमच्या आवडीच्या क्षेत्रात (मीटरच्या वर) प्रवेश केले आणि कोणत्या भागात ते सोडले (मीटरच्या चिन्हाच्या खाली पडले). तो या झोनमध्ये किती सेकंद होता? हे तार्किक आहे की आम्ही झोनमधून बाहेर पडण्याची वेळ घेतो आणि त्यातून या झोनमध्ये प्रवेश करण्याची वेळ वजा करतो. त्यानुसार: - इतका तो मीटरच्या वरच्या झोनमध्ये होता, हे उत्तर आहे.

तुम्ही खूप भाग्यवान आहात की या विषयावरील बहुतेक उदाहरणे भौतिकशास्त्रातील समस्यांच्या श्रेणीतून घेतली जाऊ शकतात, म्हणून आणखी एक पकडा, ते अंतिम आहे, म्हणून स्वत: ला ढकलून द्या, खूप कमी शिल्लक आहे!

कार्य 5

विशिष्ट उपकरणाच्या हीटिंग घटकासाठी, ऑपरेटिंग वेळेवर तापमान अवलंबन प्रायोगिकपणे प्राप्त केले गेले:

मिनिटांत वेळ कुठे आहे. हे ज्ञात आहे की वरील हीटिंग घटकाच्या तापमानात डिव्हाइस खराब होऊ शकते, म्हणून ते बंद करणे आवश्यक आहे. डिव्हाइस बंद करण्यासाठी काम सुरू झाल्यानंतर जास्तीत जास्त वेळ शोधा. तुमचे उत्तर काही मिनिटांत व्यक्त करा.

आम्ही एका सुस्थापित योजनेनुसार कार्य करतो, जे काही दिले जाते ते आम्ही प्रथम लिहितो:

आता आम्ही सूत्र घेतो आणि ते तापमान मूल्याशी समतुल्य करतो ज्यामध्ये डिव्हाइस जळत नाही तोपर्यंत शक्य तितके गरम केले जाऊ शकते, म्हणजे:

आता आम्ही अक्षरांऐवजी संख्या बदलतो जिथे ते ज्ञात आहेत:

जसे आपण पाहू शकता, डिव्हाइसच्या ऑपरेशन दरम्यान तापमानाचे वर्णन चतुर्भुज समीकरणाद्वारे केले जाते, म्हणजे ते पॅराबोलासह वितरीत केले जाते, म्हणजे. डिव्हाइस विशिष्ट तापमानापर्यंत गरम होते, आणि नंतर थंड होते. आम्हाला उत्तरे मिळाली आणि म्हणून, गरम होण्याच्या काही मिनिटांच्या दरम्यान आणि दरम्यान, तापमान गंभीर आहे, परंतु आणि मिनिटांच्या दरम्यान ते मर्यादेपेक्षा जास्त आहे!

म्हणून, आपल्याला एका मिनिटानंतर डिव्हाइस बंद करण्याची आवश्यकता आहे.

गणिती मॉडेल्स. मुख्य बद्दल थोडक्यात

बर्‍याचदा, गणितीय मॉडेल्स भौतिकशास्त्रात वापरली जातात: शेवटी, आपल्याला कदाचित डझनभर भौतिक सूत्रे लक्षात ठेवावी लागतील. आणि सूत्र हे परिस्थितीचे गणितीय प्रतिनिधित्व आहे.

OGE आणि युनिफाइड स्टेट परीक्षेत फक्त या विषयावर कार्ये आहेत. USE (प्रोफाइल) मध्ये हे कार्य क्रमांक 11 (पूर्वीचे B12) आहे. OGE मध्ये - कार्य क्रमांक 20.

उपाय योजना स्पष्ट आहे:

1) स्थितीच्या मजकुरातून, उपयुक्त माहिती "विलग" करणे आवश्यक आहे - आपण "दिलेले" या शब्दाखाली भौतिकशास्त्रातील समस्यांमध्ये काय लिहितो. ही उपयुक्त माहिती आहे:

• सुत्र
• ज्ञात भौतिक प्रमाण.

म्हणजेच, सूत्रातील प्रत्येक अक्षराला एक विशिष्ट संख्या नियुक्त करणे आवश्यक आहे.

२) सर्व ज्ञात प्रमाणे घ्या आणि त्यांना फॉर्म्युलामध्ये बदला. अज्ञात मूल्य एक अक्षर म्हणून राहते. आता तुम्हाला फक्त समीकरण सोडवायचे आहे (सामान्यतः अगदी सोपे), आणि उत्तर तयार आहे.

बरं, विषय संपला. जर तुम्ही या ओळी वाचत असाल तर तुम्ही खूप मस्त आहात.

कारण केवळ 5% लोक स्वतःच काहीतरी मास्टर करू शकतात. आणि जर तुम्ही शेवटपर्यंत वाचले असेल तर तुम्ही 5% मध्ये आहात!

आता सर्वात महत्वाची गोष्ट.

तुम्ही या विषयावरील सिद्धांत शोधून काढला आहे. आणि, मी पुन्हा सांगतो, ते आहे ... ते फक्त सुपर आहे! तुम्ही तुमच्या बहुसंख्य समवयस्कांपेक्षा चांगले आहात.

समस्या अशी आहे की हे पुरेसे नाही ...

कशासाठी?

परीक्षेत यशस्वीपणे उत्तीर्ण होण्यासाठी, बजेटमध्ये संस्थेत प्रवेश घेण्यासाठी आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे आयुष्यभरासाठी.

मी तुम्हाला काहीही पटवून देणार नाही, मी फक्त एक गोष्ट सांगेन ...

ज्यांना चांगले शिक्षण मिळाले आहे ते न मिळालेल्या लोकांपेक्षा जास्त कमावतात. ही आकडेवारी आहे.

पण ही मुख्य गोष्ट नाही.

मुख्य गोष्ट अशी आहे की ते अधिक आनंदी आहेत (असे अभ्यास आहेत). कदाचित त्यांच्यासमोर अनेक संधी उघडल्या जातील आणि जीवन उजळ होईल म्हणून? माहित नाही...

पण तुम्हीच विचार करा...

परीक्षेत इतरांपेक्षा चांगले होण्यासाठी आणि शेवटी ... आनंदी होण्यासाठी काय करावे लागेल?

तुमचा हात भरा, या विषयावर समस्या सोडवा.

परीक्षेत, तुम्हाला सिद्धांत विचारला जाणार नाही.

तुला गरज पडेल वेळेवर समस्या सोडवा.

आणि, जर तुम्ही त्यांचे निराकरण केले नसेल (बहुतेक!), तुम्ही नक्कीच कुठेतरी एक मूर्ख चूक कराल किंवा ती वेळेत करणार नाही.

हे खेळांसारखे आहे - निश्चितपणे जिंकण्यासाठी तुम्हाला अनेक वेळा पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला पाहिजे तेथे संग्रह शोधा अपरिहार्यपणे उपायांसह, तपशीलवार विश्लेषणआणि ठरवा, ठरवा, ठरवा!

तुम्ही आमची कार्ये वापरू शकता (आवश्यक नाही) आणि आम्ही निश्चितपणे त्यांची शिफारस करतो.

आमच्या कार्यांच्या मदतीने हात मिळवण्यासाठी, तुम्ही सध्या वाचत असलेल्या YouClever पाठ्यपुस्तकाचे आयुष्य वाढविण्यात मदत करणे आवश्यक आहे.

कसे? दोन पर्याय आहेत:

1. या लेखातील सर्व लपविलेल्या कार्यांचा प्रवेश अनलॉक करा - 299 घासणे.
2. ट्यूटोरियलच्या सर्व 99 लेखांमधील सर्व लपविलेल्या कार्यांचा प्रवेश अनलॉक करा - 999 घासणे.

होय, आमच्याकडे पाठ्यपुस्तकात असे 99 लेख आहेत आणि सर्व कार्यांमध्ये प्रवेश आहे आणि त्यातील सर्व लपलेले मजकूर त्वरित उघडले जाऊ शकतात.

दुसऱ्या प्रकरणात आम्ही तुम्हाला देऊसिम्युलेटर "सर्व स्तरांच्या जटिलतेसाठी, प्रत्येक विषयासाठी, उपाय आणि उत्तरांसह 6000 कार्ये." कोणत्याही विषयावरील समस्या सोडवण्यासाठी आपला हात मिळवण्यासाठी हे निश्चितपणे पुरेसे आहे.

खरं तर, हे फक्त सिम्युलेटरपेक्षा बरेच काही आहे - संपूर्ण प्रशिक्षण कार्यक्रम. आवश्यक असल्यास, आपण ते विनामूल्य देखील वापरू शकता.

साइटच्या संपूर्ण आयुष्यासाठी सर्व मजकूर आणि कार्यक्रमांमध्ये प्रवेश प्रदान केला जातो.

अनुमान मध्ये...

तुम्हाला आमची कामे आवडत नसल्यास, इतरांना शोधा. फक्त सिद्धांतावर थांबू नका.

"समजले" आणि "मला कसे सोडवायचे ते माहित आहे" ही पूर्णपणे भिन्न कौशल्ये आहेत. तुम्हाला दोन्हीची गरज आहे.

समस्या शोधा आणि सोडवा!

सोवेटोव्ह आणि याकोव्हलेव्हच्या पाठ्यपुस्तकानुसार: "मॉडेल (लॅट. मॉड्यूलस - माप) मूळ ऑब्जेक्टचा एक ऑब्जेक्ट-पर्याय आहे, जो मूळच्या काही गुणधर्मांचा अभ्यास करतो." (p. 6) "मॉडेल ऑब्जेक्टचा वापर करून मूळ ऑब्जेक्टच्या सर्वात महत्वाच्या गुणधर्मांबद्दल माहिती मिळविण्यासाठी एक ऑब्जेक्ट दुसर्याने बदलणे याला मॉडेलिंग म्हणतात." (p. 6) “गणितीय मॉडेलिंग अंतर्गत आम्ही काही गणितीय वस्तूच्या दिलेल्या वास्तविक वस्तूशी पत्रव्यवहार स्थापित करण्याची प्रक्रिया समजून घेऊ, ज्याला गणितीय मॉडेल म्हणतात, आणि या मॉडेलचा अभ्यास, जे विचाराधीन वास्तविक वस्तूची वैशिष्ट्ये प्राप्त करण्यास अनुमती देते. . गणितीय मॉडेलचा प्रकार वास्तविक ऑब्जेक्टचे स्वरूप आणि ऑब्जेक्टचा अभ्यास करण्याची कार्ये आणि या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक विश्वासार्हता आणि अचूकता या दोन्हींवर अवलंबून असते.

शेवटी, गणितीय मॉडेलची सर्वात संक्षिप्त व्याख्या: "एक कल्पना व्यक्त करणारे समीकरण."

मॉडेल वर्गीकरण

मॉडेलचे औपचारिक वर्गीकरण

मॉडेल्सचे औपचारिक वर्गीकरण वापरलेल्या गणिती साधनांच्या वर्गीकरणावर आधारित आहे. अनेकदा द्विभाजन स्वरूपात बांधले. उदाहरणार्थ, डिकोटॉमीजच्या लोकप्रिय संचांपैकी एक आहे:

इ. प्रत्येक तयार केलेले मॉडेल रेखीय किंवा नॉन-रेखीय, निर्धारवादी किंवा स्टोकास्टिक आहे, ... स्वाभाविकच, मिश्र प्रकार देखील शक्य आहेत: एका बाबतीत (मापदंडांच्या संदर्भात), वितरित मॉडेल्स दुसर्यामध्ये इ.

ऑब्जेक्ट ज्या प्रकारे दर्शविले जाते त्यानुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरणाबरोबरच, मॉडेल ज्या प्रकारे ऑब्जेक्टचे प्रतिनिधित्व करतात त्यामध्ये भिन्न आहेत:

• स्ट्रक्चरल किंवा फंक्शनल मॉडेल

स्ट्रक्चरल मॉडेल्स एखाद्या वस्तूचे स्वतःचे उपकरण आणि कार्यप्रणाली असलेली प्रणाली म्हणून प्रतिनिधित्व करतात. फंक्शनल मॉडेल्स अशा प्रकारची प्रस्तुती वापरत नाहीत आणि ऑब्जेक्टचे केवळ बाह्यरित्या समजलेले वर्तन (कार्यरत) प्रतिबिंबित करतात. त्यांच्या अत्यंत अभिव्यक्तीमध्ये, त्यांना "ब्लॅक बॉक्स" मॉडेल देखील म्हणतात. एकत्रित प्रकारचे मॉडेल देखील शक्य आहेत, ज्यांना कधीकधी "ग्रे बॉक्स" मॉडेल म्हणतात.

सामग्री आणि औपचारिक मॉडेल

गणितीय मॉडेलिंगच्या प्रक्रियेचे वर्णन करणारे जवळजवळ सर्व लेखक सूचित करतात की प्रथम एक विशेष आदर्श बांधकाम तयार केले आहे, सामग्री मॉडेल. येथे कोणतीही स्थापित शब्दावली नाही आणि इतर लेखक याला आदर्श वस्तू म्हणतात संकल्पनात्मक मॉडेल , सट्टा मॉडेलकिंवा प्रीमॉडेल. या प्रकरणात, अंतिम गणितीय बांधकाम म्हणतात औपचारिक मॉडेलकिंवा या सामग्री मॉडेल (प्री-मॉडेल) च्या औपचारिकतेच्या परिणामी प्राप्त केलेले एक गणितीय मॉडेल. एक अर्थपूर्ण मॉडेल तयार केलेल्या आदर्शीकरणांचा संच वापरून तयार केले जाऊ शकते, जसे की यांत्रिकी, जेथे आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर शरीरे, आदर्श पेंडुलम, लवचिक माध्यम इत्यादी अर्थपूर्ण मॉडेलिंगसाठी तयार संरचनात्मक घटक प्रदान करतात. तथापि, ज्ञानाच्या क्षेत्रात जेथे पूर्णतः पूर्ण झालेले औपचारिक सिद्धांत नाहीत (भौतिकशास्त्र, जीवशास्त्र, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मानसशास्त्र आणि इतर बहुतेक क्षेत्रांची अत्याधुनिक किनार), अर्थपूर्ण मॉडेल्सची निर्मिती नाटकीयदृष्ट्या अधिक क्लिष्ट आहे.

मॉडेलचे अर्थपूर्ण वर्गीकरण

विज्ञानातील कोणतीही गृहीते एकदाच सिद्ध करता येत नाहीत. रिचर्ड फेनमन हे अगदी स्पष्टपणे मांडतात:

“आमच्याकडे नेहमीच एखादा सिद्धांत खोटा ठरवण्याची क्षमता असते, परंतु लक्षात ठेवा की ते बरोबर आहे हे आपण कधीही सिद्ध करू शकत नाही. समजा तुम्ही एक यशस्वी गृहीतक मांडले आहे, ते कोठे नेले आहे याची गणना करा आणि त्याचे सर्व परिणाम प्रायोगिकरित्या पुष्टी झाले आहेत. याचा अर्थ तुमचा सिद्धांत बरोबर आहे का? नाही, याचा सरळ अर्थ असा आहे की तुम्ही त्याचे खंडन करण्यात अयशस्वी झाले.

जर पहिल्या प्रकारचे मॉडेल तयार केले असेल तर याचा अर्थ असा आहे की ते तात्पुरते सत्य म्हणून ओळखले जाते आणि इतर समस्यांवर लक्ष केंद्रित करू शकते. तथापि, हा संशोधनाचा मुद्दा असू शकत नाही, परंतु केवळ एक तात्पुरता विराम: पहिल्या प्रकारच्या मॉडेलची स्थिती केवळ तात्पुरती असू शकते.

प्रकार २: फेनोमेनोलॉजिकल मॉडेल (जसे वागणे…)

इंद्रियगोचर मॉडेलमध्ये घटनेचे वर्णन करण्यासाठी एक यंत्रणा असते. तथापि, ही यंत्रणा पुरेशी खात्रीशीर नाही, उपलब्ध डेटाद्वारे पुरेशी पुष्टी केली जाऊ शकत नाही किंवा उपलब्ध सिद्धांतांशी आणि ऑब्जेक्टबद्दल संचित ज्ञानाशी सहमत नाही. म्हणून, अभूतपूर्व मॉडेल्सना तात्पुरत्या उपायांची स्थिती आहे. असे मानले जाते की उत्तर अद्याप अज्ञात आहे आणि "खऱ्या यंत्रणा" चा शोध सुरू ठेवणे आवश्यक आहे. Peierls, उदाहरणार्थ, उष्मांक मॉडेल आणि प्राथमिक कणांचे क्वार्क मॉडेल दुसऱ्या प्रकाराला संदर्भित करते.

संशोधनातील मॉडेलची भूमिका कालांतराने बदलू शकते, असे होऊ शकते की नवीन डेटा आणि सिद्धांत अभूतपूर्व मॉडेलची पुष्टी करतात आणि त्यांना गृहीतकाच्या स्थितीत बढती दिली जाते. त्याचप्रमाणे, नवीन ज्ञान हळूहळू पहिल्या प्रकारच्या मॉडेल्स- गृहीतकांबरोबर संघर्षात येऊ शकते आणि ते दुसऱ्यामध्ये हस्तांतरित केले जाऊ शकते. अशा प्रकारे, क्वार्क मॉडेल हळूहळू गृहीतकांच्या श्रेणीत जात आहे; भौतिकशास्त्रातील अणुवाद तात्पुरते उपाय म्हणून उद्भवला, परंतु इतिहासाच्या ओघात ते पहिल्या प्रकारात गेले. पण इथर मॉडेल्स टाइप 1 वरून टाईप 2 वर गेले आहेत आणि आता ते विज्ञानाच्या बाहेर आहेत.

मॉडेल तयार करताना सरलीकरणाची कल्पना खूप लोकप्रिय आहे. पण सरलीकरण वेगळे आहे. पियर्ल्स मॉडेलिंगमध्ये तीन प्रकारचे सरलीकरण वेगळे करतात.

प्रकार 3: अंदाजे (काहीतरी खूप मोठे किंवा खूप लहान मानले जाते)

अभ्यासाधीन प्रणालीचे वर्णन करणारी समीकरणे बांधणे शक्य असल्यास, याचा अर्थ असा नाही की ते संगणकाच्या मदतीने सोडवले जाऊ शकतात. या प्रकरणात एक सामान्य तंत्र म्हणजे अंदाजे (प्रकार 3 चे मॉडेल) वापरणे. त्यापैकी रेखीय प्रतिसाद मॉडेल. समीकरणांची जागा रेखीय समीकरणांनी घेतली आहे. प्रमाणित उदाहरण म्हणजे ओमचा नियम.

आणि येथे प्रकार 8 आहे, जो जैविक प्रणालींच्या गणितीय मॉडेलमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरला जातो.

प्रकार 8: संभाव्यता प्रात्यक्षिक (मुख्य गोष्ट म्हणजे संभाव्यतेची अंतर्गत सुसंगतता दर्शविणे)

हे देखील काल्पनिक घटकांसह विचार प्रयोग आहेत, हे दर्शवितात कथित घटनामूलभूत तत्त्वांशी सुसंगत आणि अंतर्गत सुसंगत. प्रकार 7 च्या मॉडेलमधील हा मुख्य फरक आहे, जो लपलेले विरोधाभास प्रकट करतो.

यापैकी सर्वात प्रसिद्ध प्रयोग म्हणजे लोबाचेव्हस्कीची भूमिती (लोबाचेव्हस्कीने त्याला "काल्पनिक भूमिती" म्हटले). दुसरे उदाहरण म्हणजे रासायनिक आणि जैविक दोलन, ऑटोवेव्ह इत्यादींच्या औपचारिकपणे गतिज मॉडेल्सचे मोठ्या प्रमाणावर उत्पादन. क्वांटम मेकॅनिक्सची विसंगती दर्शवण्यासाठी आइन्स्टाईन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास प्रकार 7 मॉडेल म्हणून कल्पित करण्यात आला. पूर्णपणे अनियोजित मार्गाने, ते अखेरीस टाइप 8 मॉडेलमध्ये बदलले - माहितीच्या क्वांटम टेलिपोर्टेशनच्या शक्यतेचे प्रदर्शन.

उदाहरण

यांत्रिक प्रणालीचा विचार करा ज्यामध्ये एका टोकाला स्प्रिंग निश्चित केले आहे आणि वस्तुमानाचा भार आहे मीवसंत ऋतु मुक्त शेवटी संलग्न. आम्ही असे गृहीत धरू की भार फक्त स्प्रिंग अक्षाच्या दिशेने जाऊ शकतो (उदाहरणार्थ, रॉडच्या बाजूने हालचाल होते). या प्रणालीचे गणितीय मॉडेल बनवू. आम्ही अंतरानुसार प्रणालीच्या स्थितीचे वर्णन करू xलोडच्या केंद्रापासून त्याच्या समतोल स्थितीपर्यंत. वापरून स्प्रिंग आणि लोड यांच्या परस्परसंवादाचे वर्णन करूया हुकचा कायदा (एफ = − kx ) ज्यानंतर आपण न्यूटनचा दुसरा नियम विभेदक समीकरणाच्या रूपात व्यक्त करण्यासाठी वापरतो:

जेथे याचा अर्थ दुसरा व्युत्पन्न xवेळेनुसार: .

परिणामी समीकरण विचारात घेतलेल्या भौतिक प्रणालीच्या गणितीय मॉडेलचे वर्णन करते. या पॅटर्नला "हार्मोनिक ऑसिलेटर" म्हणतात.

औपचारिक वर्गीकरणानुसार, हे मॉडेल रेखीय, निर्धारवादी, गतिमान, केंद्रित, निरंतर आहे. ते तयार करण्याच्या प्रक्रियेत, आम्ही अनेक गृहितक (बाह्य शक्तींच्या अनुपस्थितीबद्दल, घर्षणाची अनुपस्थिती, विचलनांची लहानपणा इ. बद्दल) केली, जी प्रत्यक्षात पूर्ण होऊ शकत नाहीत.

वास्तविकतेच्या संबंधात, हे बहुतेकदा प्रकार 4 मॉडेल असते. सरलीकरण(“आम्ही स्पष्टतेसाठी काही तपशील वगळतो”), कारण काही आवश्यक सार्वत्रिक वैशिष्ट्ये (उदाहरणार्थ, अपव्यय) वगळण्यात आली आहेत. काही अंदाजात (म्हणा, जोपर्यंत समतोल पासून भाराचे विचलन लहान आहे, थोडे घर्षण आहे, फार काळ नाही आणि काही इतर अटींच्या अधीन आहे), असे मॉडेल वास्तविक यांत्रिक प्रणालीचे चांगले वर्णन करते, कारण टाकून दिलेल्या घटकांचा त्याच्या वर्तनावर नगण्य प्रभाव पडतो. तथापि, यापैकी काही घटक लक्षात घेऊन मॉडेल परिष्कृत केले जाऊ शकते. हे एक नवीन मॉडेलकडे नेईल, ज्यामध्ये व्यापक (पुन्हा मर्यादित असले तरी) व्याप्ती असेल.

तथापि, जेव्हा मॉडेल परिष्कृत केले जाते, तेव्हा त्याच्या गणितीय अभ्यासाची जटिलता लक्षणीय वाढू शकते आणि मॉडेलला अक्षरशः निरुपयोगी बनवू शकते. बर्‍याचदा, एक साधे मॉडेल तुम्हाला अधिक जटिल (आणि, औपचारिकपणे, "अधिक योग्य") प्रणालीपेक्षा वास्तविक प्रणालीचे अधिक चांगले आणि सखोल अन्वेषण करण्यास अनुमती देते.

जर आपण भौतिकशास्त्रापासून दूर असलेल्या वस्तूंवर हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडेल लागू केले तर त्याची अर्थपूर्ण स्थिती वेगळी असू शकते. उदाहरणार्थ, हे मॉडेल जैविक लोकसंख्येवर लागू करताना, ते बहुधा प्रकार 6 ला दिले जावे साधर्म्य("फक्त काही वैशिष्ट्ये विचारात घेऊया").

हार्ड आणि मऊ मॉडेल

हार्मोनिक ऑसिलेटर हे तथाकथित "हार्ड" मॉडेलचे उदाहरण आहे. हे वास्तविक भौतिक प्रणालीच्या मजबूत आदर्शीकरणाच्या परिणामी प्राप्त होते. त्याच्या लागू होण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आपण दुर्लक्ष केलेले घटक किती महत्त्वपूर्ण आहेत हे समजून घेणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या शब्दांत, "मऊ" मॉडेलची तपासणी करणे आवश्यक आहे, जे "हार्ड" मॉडेलच्या लहान गोंधळाने प्राप्त होते. हे दिले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, खालील समीकरणाद्वारे:

येथे - काही फंक्शन, जे खात्यात घर्षण शक्ती किंवा स्प्रिंगच्या कडकपणाच्या गुणांकाचे त्याच्या स्ट्रेचिंगच्या डिग्रीवर अवलंबून असते - काही लहान पॅरामीटर. फंक्शनचे स्पष्ट स्वरूप fआम्हाला याक्षणी स्वारस्य नाही. जर आम्ही हे सिद्ध केले की सॉफ्ट मॉडेलचे वर्तन मूलभूतपणे हार्ड मॉडेलपेक्षा वेगळे नाही (परत न करता, त्रासदायक घटकांचे स्पष्ट स्वरूप, ते पुरेसे लहान असल्यास), हार्ड मॉडेलचा अभ्यास करण्यात समस्या कमी होईल. अन्यथा, कठोर मॉडेलच्या अभ्यासात प्राप्त झालेल्या परिणामांच्या अर्जासाठी अतिरिक्त संशोधन आवश्यक असेल. उदाहरणार्थ, हार्मोनिक ऑसिलेटरच्या समीकरणाचे समाधान हे फॉर्मची कार्ये आहेत, म्हणजे, स्थिर मोठेपणासह दोलन. यावरून असे घडते का की वास्तविक ऑसिलेटर स्थिर मोठेपणासह अनिश्चित काळासाठी दोलन करेल? नाही, कारण अनियंत्रितपणे लहान घर्षण असलेल्या प्रणालीचा विचार केल्यास (नेहमी वास्तविक प्रणालीमध्ये असते), आम्हाला ओलसर दोलन मिळतात. व्यवस्थेचे वर्तन गुणात्मक बदलले आहे.

जर एखाद्या प्रणालीने त्याचे गुणात्मक वर्तन एका लहान गोंधळात टिकवून ठेवले तर ते संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर असल्याचे म्हटले जाते. हार्मोनिक ऑसिलेटर हे संरचनात्मकदृष्ट्या अस्थिर (नॉन-रफ) प्रणालीचे उदाहरण आहे. तथापि, हे मॉडेल मर्यादित वेळेच्या अंतराने प्रक्रियांचा अभ्यास करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

मॉडेल्सची सार्वत्रिकता

सर्वात महत्त्वाच्या गणितीय मॉडेल्समध्ये सामान्यतः महत्त्वाची मालमत्ता असते सार्वत्रिकता: मूलतः भिन्न वास्तविक घटनांचे वर्णन समान गणितीय मॉडेलद्वारे केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर केवळ स्प्रिंगवरील लोडच्या वर्तनाचेच वर्णन करत नाही तर इतर दोलन प्रक्रियांचे देखील वर्णन करतो, बहुतेकदा पूर्णपणे भिन्न स्वरूपाचे असते: पेंडुलमचे छोटे दोलन, द्रव पातळीतील चढ-उतार. यू-आकाराचे जहाज किंवा दोलन सर्किटमधील वर्तमान सामर्थ्यामध्ये बदल. अशाप्रकारे, एका गणिती मॉडेलचा अभ्यास केल्यावर, आपण त्याद्वारे वर्णन केलेल्या घटनांच्या संपूर्ण वर्गाचा एकाच वेळी अभ्यास करतो. वैज्ञानिक ज्ञानाच्या विविध विभागांमध्ये गणितीय मॉडेल्सद्वारे व्यक्त केलेल्या कायद्यांचे हे समरूपता आहे ज्यामुळे लुडविग फॉन बर्टालॅन्फी यांनी "सामान्य प्रणाली सिद्धांत" तयार केले.

गणितीय मॉडेलिंगच्या थेट आणि व्यस्त समस्या

गणितीय मॉडेलिंगशी संबंधित अनेक समस्या आहेत. प्रथम, या विज्ञानाच्या आदर्शीकरणाच्या चौकटीत पुनरुत्पादित करण्यासाठी, मॉडेल बनवल्या जाणार्‍या ऑब्जेक्टची मूलभूत योजना तयार करणे आवश्यक आहे. तर, ट्रेन कार वेगवेगळ्या सामग्रीपासून बनवलेल्या प्लेट्स आणि अधिक जटिल शरीरांच्या प्रणालीमध्ये बदलते, प्रत्येक सामग्रीला त्याचे मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनता, लवचिक मोड्युली, मानक सामर्थ्य वैशिष्ट्ये) म्हणून दिले जाते, त्यानंतर समीकरणे तयार केली जातात. काही तपशील क्षुल्लक म्हणून टाकून दिले जातात, मोजमापांच्या तुलनेत मोजणी केली जाते, मॉडेल शुद्ध केले जाते, इत्यादी. तथापि, गणितीय मॉडेलिंग तंत्रज्ञानाच्या विकासासाठी, या प्रक्रियेचे मुख्य घटक घटकांमध्ये पृथक्करण करणे उपयुक्त आहे.

पारंपारिकपणे, गणितीय मॉडेलशी संबंधित समस्यांचे दोन मुख्य वर्ग आहेत: थेट आणि व्यस्त.

थेट समस्या: मॉडेलची रचना आणि त्याचे सर्व पॅरामीटर्स ज्ञात मानले जातात, मुख्य कार्य म्हणजे ऑब्जेक्टबद्दल उपयुक्त ज्ञान मिळविण्यासाठी मॉडेलचा अभ्यास करणे. पूल किती स्थिर भार सहन करू शकतो? डायनॅमिक लोडवर त्याची प्रतिक्रिया कशी असेल (उदाहरणार्थ, सैनिकांच्या एका कंपनीच्या कूचसाठी किंवा वेगवेगळ्या वेगाने ट्रेनच्या मार्गावर), विमान ध्वनी अडथळ्यावर कसे मात करेल, ते फडफडण्यापासून वेगळे होईल का - ही थेट कार्याची विशिष्ट उदाहरणे आहेत. योग्य थेट समस्या सेट करण्यासाठी (योग्य प्रश्न विचारणे) विशेष कौशल्य आवश्यक आहे. जर योग्य प्रश्न विचारले गेले नाहीत, तर पूल कोसळू शकतो, जरी त्याच्या वागणुकीसाठी एक चांगला आदर्श बांधला गेला असेल. म्हणून, 1879 मध्ये, इंग्लंडमध्ये, टे नदीवरील एक धातूचा पूल कोसळला, ज्याच्या डिझाइनरांनी पुलाचे एक मॉडेल तयार केले, पेलोडच्या सुरक्षिततेच्या 20-पट मार्जिनसाठी त्याची गणना केली, परंतु त्यामध्ये सतत वाहणारे वारे विसरले. ठिकाणे आणि दीड वर्षानंतर ते कोसळले.

सर्वात सोप्या प्रकरणात (उदाहरणार्थ, एक ऑसिलेटर समीकरण), थेट समस्या अगदी सोपी आहे आणि या समीकरणाच्या स्पष्ट निराकरणापर्यंत कमी होते.

उलट समस्या: अनेक संभाव्य मॉडेल ज्ञात आहेत, ऑब्जेक्टबद्दल अतिरिक्त डेटावर आधारित विशिष्ट मॉडेल निवडणे आवश्यक आहे. बर्याचदा, मॉडेलची रचना ज्ञात आहे आणि काही अज्ञात पॅरामीटर्स निर्धारित करणे आवश्यक आहे. अतिरिक्त माहिती अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटामध्ये किंवा ऑब्जेक्टसाठी आवश्यक असलेल्या ( डिझाइन कार्य). व्यस्त समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेकडे दुर्लक्ष करून अतिरिक्त डेटा येऊ शकतो ( निष्क्रिय निरीक्षण) किंवा सोडवण्याच्या प्रक्रियेत विशेषतः नियोजित केलेल्या प्रयोगाचा परिणाम व्हा ( सक्रिय पाळत ठेवणे).

उपलब्ध डेटाच्या पूर्ण संभाव्य वापरासह व्यस्त समस्येचे व्हर्च्युओसो समाधानाचे पहिले उदाहरण म्हणजे I. न्यूटनने निरीक्षण केलेल्या ओलसर दोलनांपासून घर्षण शक्तींची पुनर्रचना करण्यासाठी तयार केलेली पद्धत.

अतिरिक्त उदाहरणे

कुठे x s- "समतोल" लोकसंख्येचा आकार, ज्यावर जन्म दर मृत्यू दराने अचूकपणे भरपाई केली जाते. अशा मॉडेलमधील लोकसंख्येचा आकार समतोल मूल्याकडे असतो x s, आणि हे वर्तन संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर आहे.

या प्रणालीमध्ये समतोल स्थिती असते जेथे ससे आणि कोल्ह्यांची संख्या स्थिर असते. या अवस्थेपासून विचलनामुळे ससे आणि कोल्ह्यांच्या संख्येत चढ-उतार होतात, हार्मोनिक ऑसिलेटरमधील चढ-उतारांप्रमाणेच. हार्मोनिक ऑसिलेटरच्या बाबतीत, हे वर्तन संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर नाही: मॉडेलमध्ये एक छोटासा बदल (उदाहरणार्थ, सशांना आवश्यक असलेली मर्यादित संसाधने लक्षात घेऊन) वर्तनात गुणात्मक बदल होऊ शकतो. उदाहरणार्थ, समतोल स्थिती स्थिर होऊ शकते आणि लोकसंख्येतील चढउतार कमी होतील. उलट परिस्थिती देखील शक्य आहे, जेव्हा समतोल स्थितीपासून कोणतेही लहान विचलन आपत्तीजनक परिणामांना कारणीभूत ठरेल, प्रजातींपैकी एकाच्या पूर्ण विलोपनापर्यंत. यापैकी कोणती परिस्थिती लक्षात आली आहे या प्रश्नाचे, व्होल्टेरा-लोटका मॉडेल उत्तर देत नाही: येथे अतिरिक्त संशोधन आवश्यक आहे.

नोट्स

1. "वास्तवाचे गणितीय प्रतिनिधित्व" (एनसायक्लोपीडिया ब्रिटानिका)
2. नोविक आय. बी., सायबरनेटिक मॉडेलिंगच्या तात्विक प्रश्नांवर. एम., ज्ञान, 1964.
3. सोवेटोव्ह बी. या., याकोव्हलेव्ह एस.ए., सिस्टम मॉडेलिंग: Proc. विद्यापीठांसाठी - 3री आवृत्ती, सुधारित. आणि अतिरिक्त - एम.: उच्च. शाळा, 2001. - 343 पी. ISBN 5-06-003860-2
4. समर्स्की ए.ए., मिखाइलोव्ह ए.पी.गणितीय मॉडेलिंग. कल्पना. पद्धती. उदाहरणे. . - दुसरी आवृत्ती, रेव्ह. - एम.: फिझमॅटलिट, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. मिश्कीस ए.डी., गणितीय मॉडेलच्या सिद्धांताचे घटक. - तिसरी आवृत्ती, रेव्ह. - एम.: कोमकनिगा, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4 सह
6. विक्शनरी: गणितीय मॉडेल
7. क्लिफ्स नोट्स
8. मॉडेल रिडक्शन अँड करर्स-ग्रेनिंग ऍप्रोचेस फॉर मल्टीस्केल फेनोमेना, स्प्रिंगर, कॉम्प्लेक्सिटी सीरीज, बर्लिन-हायडलबर्ग-न्यूयॉर्क, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. “सिद्धांत रेखीय किंवा नॉन-रेखीय मानले जाते, ते काय - रेखीय किंवा नॉन-रेखीय - गणितीय उपकरणे, काय - रेखीय किंवा नॉन-रेखीय - गणितीय मॉडेल वापरतात यावर अवलंबून असते. ... नंतरचे नाकारल्याशिवाय. आधुनिक भौतिकशास्त्रज्ञ, जर त्याने नॉन-लाइनरिटी सारख्या महत्त्वाच्या घटकाची पुन्हा व्याख्या केली असेल, तर तो बहुधा वेगळ्या पद्धतीने कार्य करेल आणि, दोन विरुद्धार्थींमध्ये अधिक महत्त्वाचे आणि सामान्य म्हणून नॉन-लाइनरिटीला प्राधान्य देऊन, रेखीयतेची व्याख्या "नॉन-नॉन-" म्हणून करेल. रेखीयता" डॅनिलोव्ह यू. ए., नॉनलाइनर डायनॅमिक्सवर व्याख्याने. प्राथमिक परिचय. सिनर्जेटिक्स: भूतकाळापासून भविष्यातील मालिकेपर्यंत. एड.2. - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 208 पी. ISBN 5-484-00183-8
10. “मर्यादित संख्येच्या सामान्य विभेदक समीकरणांनी तयार केलेल्या डायनॅमिकल सिस्टीमला लम्पड किंवा पॉइंट सिस्टम म्हणतात. मर्यादित-आयामी फेज स्पेस वापरून त्यांचे वर्णन केले आहे आणि स्वातंत्र्याच्या मर्यादित संख्येने वैशिष्ट्यीकृत केले आहे. वेगवेगळ्या परिस्थितीत एक आणि समान प्रणाली एकतर केंद्रित किंवा वितरीत मानली जाऊ शकते. वितरीत प्रणालीचे गणितीय मॉडेल म्हणजे आंशिक विभेदक समीकरणे, अविभाज्य समीकरणे किंवा सामान्य विलंब समीकरणे. वितरित प्रणालीच्या स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या अमर्याद आहे आणि त्याची स्थिती निश्चित करण्यासाठी अमर्याद डेटा आवश्यक आहे. अनिश्चेंको व्ही.एस., डायनॅमिक सिस्टम्स, सोरोस एज्युकेशनल जर्नल, 1997, क्र. 11, पी. ७७-८४.
11. "S प्रणाली S मधील अभ्यासलेल्या प्रक्रियेच्या स्वरूपावर अवलंबून, सर्व प्रकारचे मॉडेलिंग निर्धारक आणि स्टोकास्टिक, स्थिर आणि गतिमान, स्वतंत्र, निरंतर आणि स्वतंत्र-सतत विभागले जाऊ शकते. निर्धारक मॉडेलिंग निर्धारवादी प्रक्रिया प्रदर्शित करते, म्हणजे, प्रक्रिया ज्यामध्ये कोणत्याही यादृच्छिक प्रभावांची अनुपस्थिती गृहीत धरली जाते; स्टोकास्टिक मॉडेलिंग संभाव्य प्रक्रिया आणि घटना प्रदर्शित करते. … स्टॅटिक मॉडेलिंगचा वापर एखाद्या वस्तूच्या वर्तनाचे वर्णन करण्यासाठी कोणत्याही वेळी केला जातो, तर डायनॅमिक मॉडेलिंग वेळेनुसार ऑब्जेक्टचे वर्तन प्रतिबिंबित करते. स्वतंत्र मॉडेलिंग अशा प्रक्रियांचे वर्णन करण्यासाठी कार्य करते ज्या अनुक्रमे वेगळ्या मानल्या जातात, सतत मॉडेलिंग आपल्याला सिस्टममध्ये सतत प्रक्रिया प्रतिबिंबित करण्यास अनुमती देते आणि स्वतंत्र-सतत मॉडेलिंगचा वापर अशा प्रकरणांसाठी केला जातो जेथे आपण स्वतंत्र आणि सतत प्रक्रियांची उपस्थिती हायलाइट करू इच्छिता. सोवेटोव्ह बी. या., याकोव्हलेव्ह एस.ए., सिस्टम मॉडेलिंग: Proc. विद्यापीठांसाठी - 3री आवृत्ती, सुधारित. आणि अतिरिक्त - एम.: उच्च. शाळा, 2001. - 343 पी. ISBN 5-06-003860-2
12. सामान्यतः, गणितीय मॉडेल मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टची रचना (व्यवस्था), या ऑब्जेक्टच्या घटकांचे गुणधर्म आणि परस्पर संबंध प्रतिबिंबित करते जे अभ्यासाच्या हेतूंसाठी आवश्यक आहेत; अशा मॉडेलला स्ट्रक्चरल म्हणतात. जर मॉडेल केवळ ऑब्जेक्ट कसे कार्य करते ते प्रतिबिंबित करते - उदाहरणार्थ, ती बाह्य प्रभावांना कशी प्रतिक्रिया देते - तर त्याला कार्यात्मक किंवा लाक्षणिकरित्या, ब्लॅक बॉक्स म्हणतात. एकत्रित मॉडेल देखील शक्य आहेत. मिश्कीस ए.डी., गणितीय मॉडेलच्या सिद्धांताचे घटक. - तिसरी आवृत्ती, रेव्ह. - एम.: कोमकनिगा, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4 सह
13. "स्पष्ट आहे, परंतु गणितीय मॉडेल तयार करण्याचा किंवा निवडण्याचा सर्वात महत्वाचा प्रारंभिक टप्पा म्हणजे मॉडेल बनवल्या जाणार्‍या ऑब्जेक्टची सर्वात स्पष्ट कल्पना प्राप्त करणे आणि अनौपचारिक चर्चेच्या आधारे त्याचे सामग्री मॉडेल परिष्कृत करणे. या टप्प्यावर वेळ आणि प्रयत्न सोडले जाऊ नयेत; संपूर्ण अभ्यासाचे यश मुख्यत्वे त्यावर अवलंबून आहे. एकापेक्षा जास्त वेळा असे घडले की गणिताच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी खर्च केलेले लक्षणीय काम या प्रकरणाच्या या बाजूकडे अपुरे लक्ष दिल्याने कुचकामी किंवा व्यर्थ ठरले. मिश्कीस ए.डी., गणितीय मॉडेलच्या सिद्धांताचे घटक. - तिसरी आवृत्ती, रेव्ह. - एम.: कोमकनिगा, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4 सह, पृ. 35.
14. « प्रणालीच्या संकल्पनात्मक मॉडेलचे वर्णन.सिस्टम मॉडेल तयार करण्याच्या या उप-टप्प्यावर: अ) संकल्पनात्मक मॉडेल एमचे वर्णन अमूर्त संज्ञा आणि संकल्पनांमध्ये केले आहे; b) नमुनेदार गणिती योजना वापरून मॉडेलचे वर्णन दिले आहे; c) गृहीतके आणि गृहितके शेवटी स्वीकारली जातात; ड) मॉडेल तयार करताना अंदाजे वास्तविक प्रक्रियेसाठी प्रक्रियेची निवड प्रमाणित केली जाते. सोवेटोव्ह बी. या., याकोव्हलेव्ह एस.ए., सिस्टम मॉडेलिंग: Proc. विद्यापीठांसाठी - 3री आवृत्ती, सुधारित. आणि अतिरिक्त - एम.: उच्च. शाळा, 2001. - 343 पी. ISBN 5-06-003860-2, पृ. ९३.

मॉडेल आणि सिम्युलेशनची संकल्पना.

विस्तृत अर्थाने मॉडेल- ही कोणतीही प्रतिमा आहे, मानसिक किंवा स्थापित प्रतिमेचे अॅनालॉग, वर्णन, आकृती, रेखाचित्र, नकाशा इ. कोणत्याही खंड, प्रक्रिया किंवा घटना, त्याचा पर्याय किंवा प्रतिनिधी म्हणून वापरला जातो. ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा इंद्रियगोचर स्वतःच या मॉडेलचे मूळ म्हटले जाते.

मॉडेलिंग - कोणत्याही वस्तू किंवा वस्तूंचे मॉडेल तयार करून त्यांचा अभ्यास करून त्यांचा अभ्यास करणे. वैशिष्ट्ये निश्चित करण्यासाठी किंवा परिष्कृत करण्यासाठी आणि नव्याने बांधलेल्या वस्तू तयार करण्याचे मार्ग तर्कसंगत करण्यासाठी हा मॉडेलचा वापर आहे.

वैज्ञानिक संशोधनाची कोणतीही पद्धत मॉडेलिंगच्या कल्पनेवर आधारित असते, तर सैद्धांतिक पद्धती विविध प्रकारचे प्रतीकात्मक, अमूर्त मॉडेल वापरतात, तर प्रायोगिक पद्धती विषय मॉडेल वापरतात.

अभ्यासात, एक जटिल वास्तविक घटना काही सरलीकृत प्रत किंवा योजनेद्वारे बदलली जाते, काहीवेळा अशी प्रत फक्त लक्षात ठेवण्यासाठी आणि पुढील बैठकीत इच्छित घटना ओळखण्यासाठी कार्य करते. कधीकधी तयार केलेली योजना काही आवश्यक वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करते, आपल्याला घटनेची यंत्रणा समजून घेण्यास अनुमती देते, त्याच्या बदलाचा अंदाज लावणे शक्य करते. भिन्न मॉडेल्स समान घटनेशी संबंधित असू शकतात.

संशोधकाचे कार्य म्हणजे घटनेचे स्वरूप आणि प्रक्रियेचा अंदाज लावणे.

कधीकधी असे घडते की एखादी वस्तू उपलब्ध असते, परंतु त्यावरील प्रयोग महाग असतात किंवा गंभीर पर्यावरणीय परिणामांना कारणीभूत ठरतात. मॉडेल्सच्या साहाय्याने अशा प्रक्रियांचे ज्ञान मिळवले जाते.

एक महत्त्वाचा मुद्दा असा आहे की विज्ञानाच्या स्वरूपामध्ये एका विशिष्ट घटनेचा अभ्यास केला जात नाही तर संबंधित घटनांच्या विस्तृत वर्गाचा समावेश होतो. हे काही सामान्य स्पष्ट विधाने तयार करण्याची आवश्यकता सूचित करते, ज्यांना कायदे म्हणतात. स्वाभाविकच, अशा सूत्रीकरणासह, अनेक तपशील दुर्लक्षित आहेत. पॅटर्न अधिक स्पष्टपणे ओळखण्यासाठी, ते मुद्दाम खडबडीत, आदर्शीकरण, योजनाबद्धतेचा अभ्यास करतात, म्हणजेच ते घटनेचाच अभ्यास करत नाहीत, तर त्याची कमी-अधिक अचूक प्रत किंवा मॉडेल करतात. सर्व कायदे मॉडेल्सबद्दलचे कायदे आहेत, आणि म्हणूनच हे आश्चर्यकारक नाही की कालांतराने, काही वैज्ञानिक सिद्धांत निरुपयोगी असल्याचे आढळले. हे विज्ञानाच्या संकुचित होण्यास कारणीभूत नाही, कारण एका मॉडेलची जागा दुसर्याने घेतली आहे. अधिक आधुनिक.

विज्ञानातील एक विशेष भूमिका गणितीय मॉडेल्सद्वारे खेळली जाते, या मॉडेल्सची इमारत सामग्री आणि साधने - गणितीय संकल्पना. हजारो वर्षांपासून ते जमा झाले आहेत आणि सुधारले आहेत. आधुनिक गणित संशोधनाचे अपवादात्मक शक्तिशाली आणि सार्वत्रिक माध्यम प्रदान करते. गणितातील जवळजवळ प्रत्येक संकल्पना, प्रत्येक गणितीय वस्तू, एका संख्येच्या संकल्पनेपासून सुरू होणारी, एक गणितीय मॉडेल आहे. अभ्यासाधीन एखाद्या वस्तूचे किंवा घटनेचे गणितीय मॉडेल तयार करताना, तिची वैशिष्ट्ये, वैशिष्ट्ये आणि तपशील एकत्रित केले जातात, ज्यामध्ये, एकीकडे, त्या वस्तूबद्दल कमी-अधिक संपूर्ण माहिती असते आणि दुसरीकडे, परवानगी देते. गणितीय औपचारिकीकरण. गणितीय औपचारिकीकरण म्हणजे एखाद्या वस्तूची वैशिष्ट्ये आणि तपशील योग्य गणितीय संकल्पनांशी संबंधित असू शकतात: संख्या, कार्ये, मॅट्रिक्स इ. मग ऑब्जेक्टमध्ये त्याच्या वैयक्तिक भाग आणि घटकांमधील अभ्यासात सापडलेले आणि गृहीत धरलेले कनेक्शन आणि संबंध गणितीय संबंध वापरून लिहिले जाऊ शकतात: समानता, असमानता, समीकरणे. परिणाम म्हणजे अभ्यासाच्या अंतर्गत प्रक्रियेचे किंवा घटनेचे गणितीय वर्णन, म्हणजेच त्याचे गणितीय मॉडेल.

गणितीय मॉडेलचा अभ्यास नेहमी अभ्यासाखालील वस्तूंवरील कारवाईच्या काही नियमांशी संबंधित असतो. हे नियम कारणे आणि परिणाम यांच्यातील संबंध प्रतिबिंबित करतात.

गणितीय मॉडेल तयार करणे हा कोणत्याही प्रणालीच्या अभ्यासाचा किंवा डिझाइनचा मध्यवर्ती टप्पा असतो. ऑब्जेक्टचे संपूर्ण त्यानंतरचे विश्लेषण मॉडेलच्या गुणवत्तेवर अवलंबून असते. मॉडेल तयार करणे ही औपचारिक प्रक्रिया नाही. हे संशोधक, त्याचा अनुभव आणि चव यावर अवलंबून असते, नेहमी विशिष्ट प्रायोगिक सामग्रीवर अवलंबून असते. मॉडेल पुरेसे अचूक, पुरेसे आणि वापरासाठी सोयीचे असावे.

गणितीय मॉडेलिंग.

गणितीय मॉडेल्सचे वर्गीकरण.

गणितीय मॉडेल असू शकतातनिर्धारित आणि स्टोकेस्टिक .

निर्धारवादी मॉडेल आणि - ही अशी मॉडेल्स आहेत ज्यात ऑब्जेक्ट किंवा घटनेचे वर्णन करणार्‍या व्हेरिएबल्समध्ये एक-टू-वन पत्रव्यवहार स्थापित केला जातो.

हा दृष्टिकोन वस्तूंच्या कार्यप्रणालीच्या ज्ञानावर आधारित आहे. मॉडेल केलेले ऑब्जेक्ट बहुतेक वेळा जटिल असते आणि त्याची यंत्रणा उलगडणे खूप कष्टदायक आणि वेळ घेणारे असू शकते. या प्रकरणात, ते खालीलप्रमाणे पुढे जातात: प्रयोग मूळवर केले जातात, परिणामांवर प्रक्रिया केली जाते आणि, मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टची यंत्रणा आणि सिद्धांताचा शोध न घेता, गणितीय आकडेवारी आणि संभाव्यता सिद्धांताच्या पद्धती वापरून, ते दरम्यान संबंध स्थापित करतात. ऑब्जेक्टचे वर्णन करणारे व्हेरिएबल्स. या प्रकरणात, मिळवास्टोकेस्टिक मॉडेल . व्ही स्टोकेस्टिक मॉडेल, व्हेरिएबल्समधील संबंध यादृच्छिक आहे, कधीकधी ते मूलभूतपणे घडते. मोठ्या संख्येने घटकांचा प्रभाव, त्यांचे संयोजन एखाद्या वस्तू किंवा घटनेचे वर्णन करणार्‍या व्हेरिएबल्सच्या यादृच्छिक संचाकडे जाते. मोड्सच्या स्वरूपानुसार, मॉडेल आहेसांख्यिकीय आणि गतिमान.

सांख्यिकीमॉडेलकालांतराने पॅरामीटर्समधील बदल विचारात न घेता स्थिर स्थितीत सिम्युलेटेड ऑब्जेक्टच्या मुख्य व्हेरिएबल्समधील संबंधांचे वर्णन समाविष्ट करते.

व्ही गतिमानमॉडेलएका मोडमधून दुसर्‍या मोडमध्ये संक्रमणामध्ये सिम्युलेटेड ऑब्जेक्टच्या मुख्य व्हेरिएबल्समधील संबंधांचे वर्णन करते.

मॉडेल्स आहेत स्वतंत्रआणि सतत, तसेच मिश्र प्रकार व्ही सतत व्हेरिएबल्स एका विशिष्ट मध्यांतरातून मूल्ये घेतात, मध्येस्वतंत्रव्हेरिएबल्स पृथक मूल्ये घेतात.

रेखीय मॉडेल- मॉडेलचे वर्णन करणारी सर्व कार्ये आणि संबंध रेखीयपणे चलांवर अवलंबून असतात आणिरेखीय नाहीअन्यथा

गणितीय मॉडेलिंग.

आवश्यकता , सादर केले मॉडेल्सना.

1. अष्टपैलुत्व- वास्तविक ऑब्जेक्टच्या अभ्यासलेल्या गुणधर्मांच्या मॉडेलद्वारे प्रदर्शनाची पूर्णता दर्शवते.

1. पर्याप्तता - निर्दिष्ट केलेल्यापेक्षा जास्त नसलेल्या त्रुटीसह ऑब्जेक्टचे इच्छित गुणधर्म प्रतिबिंबित करण्याची क्षमता.
2. अचूकता - वास्तविक वस्तूच्या वैशिष्ट्यांच्या मूल्यांच्या योगायोगाच्या प्रमाणात आणि मॉडेल वापरून प्राप्त केलेल्या या वैशिष्ट्यांच्या मूल्यांद्वारे अंदाज लावला जातो.
3. अर्थव्यवस्था - संगणक मेमरी संसाधनांची किंमत आणि त्याची अंमलबजावणी आणि ऑपरेशनसाठी वेळ यावर निर्धारित केले जाते.

गणितीय मॉडेलिंग.

मॉडेलिंगचे मुख्य टप्पे.

1. समस्येचे विधान.

विश्लेषणाचा उद्देश आणि ते साध्य करण्याचे मार्ग निश्चित करणे आणि अभ्यासाधीन समस्येसाठी एक सामान्य दृष्टीकोन विकसित करणे. या टप्प्यावर, कार्याचे सार सखोल समजून घेणे आवश्यक आहे. कधीकधी, कार्य सोडवण्यापेक्षा योग्यरित्या सेट करणे कमी कठीण नसते. स्टेजिंग ही औपचारिक प्रक्रिया नाही, कोणतेही सामान्य नियम नाहीत.

2. सैद्धांतिक पायाचा अभ्यास आणि मूळ वस्तूबद्दल माहितीचे संकलन.

या टप्प्यावर, एक योग्य सिद्धांत निवडला जातो किंवा विकसित केला जातो. जर ते उपस्थित नसेल, तर वस्तुचे वर्णन करणार्‍या चलांमध्ये कार्यकारण संबंध प्रस्थापित केले जातात. इनपुट आणि आउटपुट डेटा निर्धारित केला जातो, सरलीकृत गृहीतके तयार केली जातात.

3. औपचारिकीकरण.

यात चिन्हांची प्रणाली निवडणे आणि त्यांचा वापर करून ऑब्जेक्टच्या घटकांमधील संबंध गणितीय अभिव्यक्तींच्या स्वरूपात लिहिणे समाविष्ट आहे. कार्यांचा एक वर्ग स्थापित केला आहे, ज्याला ऑब्जेक्टच्या परिणामी गणितीय मॉडेलचे श्रेय दिले जाऊ शकते. या टप्प्यावर काही पॅरामीटर्सची मूल्ये अद्याप निर्दिष्ट केलेली नाहीत.

4. उपाय पद्धतीची निवड.

या टप्प्यावर, ऑब्जेक्टच्या ऑपरेशनसाठी अटी लक्षात घेऊन मॉडेलचे अंतिम पॅरामीटर्स सेट केले जातात. प्राप्त केलेल्या गणितीय समस्येसाठी, एक उपाय पद्धत निवडली जाते किंवा एक विशेष पद्धत विकसित केली जाते. पद्धत निवडताना, वापरकर्त्याचे ज्ञान, त्याची प्राधान्ये तसेच विकसकाची प्राधान्ये विचारात घेतली जातात.

5. मॉडेलची अंमलबजावणी.

अल्गोरिदम विकसित केल्यावर, एक प्रोग्राम लिहिला जातो जो डीबग केला जातो, चाचणी केली जाते आणि इच्छित समस्येचे निराकरण केले जाते.

6. प्राप्त माहितीचे विश्लेषण.

प्राप्त आणि अपेक्षित समाधानाची तुलना केली जाते, मॉडेलिंग त्रुटी नियंत्रित केली जाते.

7. वास्तविक वस्तूची पर्याप्तता तपासणे.

मॉडेलद्वारे मिळालेल्या परिणामांची तुलना केली जातेएकतर ऑब्जेक्टबद्दल उपलब्ध माहितीसह किंवा एखादा प्रयोग केला जातो आणि त्याचे परिणाम गणना केलेल्या परिणामांशी तुलना केली जातात.

मॉडेलिंग प्रक्रिया पुनरावृत्ती आहे. टप्प्यांच्या असमाधानकारक परिणामांच्या बाबतीत 6. किंवा 7. सुरुवातीच्या टप्प्यांपैकी एकाकडे परत जाणे, ज्यामुळे अयशस्वी मॉडेलचा विकास होऊ शकतो. हा टप्पा आणि त्यानंतरचे सर्व टप्पे परिष्कृत केले जातात आणि स्वीकार्य परिणाम प्राप्त होईपर्यंत मॉडेलचे असे परिष्करण होते.

गणितीय मॉडेल हे गणिताच्या भाषेत वास्तविक जगाच्या घटना किंवा वस्तूंच्या कोणत्याही वर्गाचे अंदाजे वर्णन आहे. मॉडेलिंगचा मुख्य उद्देश या वस्तूंचा शोध घेणे आणि भविष्यातील निरीक्षणांच्या परिणामांचा अंदाज लावणे हा आहे. तथापि, मॉडेलिंग ही आजूबाजूच्या जगाच्या आकलनाची एक पद्धत आहे, ज्यामुळे ते नियंत्रित करणे शक्य होते.

गणितीय मॉडेलिंग आणि संबंधित संगणक प्रयोग अशा प्रकरणांमध्ये अपरिहार्य आहेत जेथे पूर्ण-प्रयोग एक किंवा दुसर्या कारणास्तव अशक्य किंवा कठीण आहे. उदाहरणार्थ, "काय होईल तर..." तपासण्यासाठी इतिहासात पूर्ण-प्रमाणात प्रयोग सेट करणे अशक्य आहे, या किंवा त्या वैश्विक सिद्धांताची शुद्धता तपासणे अशक्य आहे. तत्त्वतः, प्लेगसारख्या रोगाच्या प्रसाराचा प्रयोग करणे किंवा त्याच्या परिणामांचा अभ्यास करण्यासाठी अणुस्फोट करणे शक्य आहे, परंतु फारच वाजवी आहे. तथापि, हे सर्व संगणकावर केले जाऊ शकते, यापूर्वी अभ्यासाधीन घटनांचे गणितीय मॉडेल तयार केले आहेत.

1.1.2 2. गणितीय मॉडेलिंगचे मुख्य टप्पे

1) मॉडेल बिल्डिंग. या टप्प्यावर, काही "गैर-गणितीय" ऑब्जेक्ट निर्दिष्ट केले आहे - एक नैसर्गिक घटना, बांधकाम, आर्थिक योजना, उत्पादन प्रक्रिया इ. या प्रकरणात, एक नियम म्हणून, परिस्थितीचे स्पष्ट वर्णन कठीण आहे.प्रथम, घटनेची मुख्य वैशिष्ट्ये आणि गुणात्मक पातळीवर त्यांच्यातील संबंध ओळखले जातात. मग सापडलेली गुणात्मक अवलंबित्व गणिताच्या भाषेत तयार केली जाते, म्हणजेच एक गणितीय मॉडेल तयार केले जाते. मॉडेलिंगचा हा सर्वात कठीण भाग आहे.

2) मॉडेल ज्या गणिती समस्येकडे नेत आहे ते सोडवणे. या टप्प्यावर, संगणकावरील समस्या सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम आणि संख्यात्मक पद्धतींच्या विकासाकडे जास्त लक्ष दिले जाते, ज्याच्या मदतीने निकाल आवश्यक अचूकतेसह आणि स्वीकार्य वेळेत शोधला जाऊ शकतो.

3) गणितीय मॉडेलमधून प्राप्त परिणामांचे स्पष्टीकरण.गणिताच्या भाषेतील मॉडेलमधून प्राप्त होणारे परिणाम या क्षेत्रात स्वीकारल्या जाणार्‍या भाषेत स्पष्ट केले जातात.

4) मॉडेलची पर्याप्तता तपासत आहे.या टप्प्यावर, हे शोधले जाते की प्रयोगाचे परिणाम विशिष्ट अचूकतेमध्ये मॉडेलच्या सैद्धांतिक परिणामांशी सहमत आहेत की नाही.

5) मॉडेल बदल.या टप्प्यावर, एकतर मॉडेल अधिक जटिल बनते जेणेकरून ते वास्तविकतेसाठी अधिक पुरेसे असेल किंवा व्यावहारिकदृष्ट्या स्वीकार्य समाधान मिळविण्यासाठी ते सरलीकृत केले जाईल.

1.1.3 3. मॉडेल वर्गीकरण

विविध निकषांनुसार मॉडेलचे वर्गीकरण केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, ज्या समस्यांचे निराकरण केले जात आहे त्यानुसार, मॉडेल्स फंक्शनल आणि स्ट्रक्चरलमध्ये विभागली जाऊ शकतात. पहिल्या प्रकरणात, घटना किंवा वस्तू दर्शविणारे सर्व प्रमाण परिमाणवाचकपणे व्यक्त केले जातात. त्याच वेळी, त्यापैकी काही स्वतंत्र व्हेरिएबल्स म्हणून मानले जातात, तर इतरांना या प्रमाणांचे कार्य मानले जाते. गणितीय मॉडेल ही सामान्यत: विविध प्रकारच्या समीकरणांची एक प्रणाली असते (विभेद, बीजगणित, इ.) जी विचाराधीन प्रमाणांमध्ये परिमाणवाचक संबंध स्थापित करते. दुस-या प्रकरणात, मॉडेल जटिल ऑब्जेक्टची रचना दर्शवते, ज्यामध्ये वेगळे भाग असतात, ज्यामध्ये काही विशिष्ट कनेक्शन असतात. सामान्यतः, हे संबंध परिमाण करण्यायोग्य नसतात. अशी मॉडेल्स तयार करण्यासाठी, आलेख सिद्धांत वापरणे सोयीचे आहे. आलेख ही एक गणितीय वस्तू आहे, जी समतल किंवा अंतराळातील बिंदूंचा (शिरोबिंदू) संच आहे, ज्यापैकी काही रेषा (किनारे) द्वारे जोडलेले आहेत.

प्रारंभिक डेटा आणि अंदाज परिणामांच्या स्वरूपानुसार, मॉडेल्सचे निर्धारणात्मक आणि संभाव्य-सांख्यिकीय मध्ये विभागले जाऊ शकते. पहिल्या प्रकारातील मॉडेल्स निश्चित, अस्पष्ट अंदाज देतात. दुस-या प्रकारची मॉडेल्स सांख्यिकीय माहितीवर आधारित आहेत आणि त्यांच्या मदतीने प्राप्त केलेले अंदाज संभाव्य स्वरूपाचे आहेत.

गणितीय मॉडेलिंग आणि सामान्य संगणकीकरण किंवा सिम्युलेशन मॉडेल

आता, जेव्हा देशात जवळजवळ सार्वत्रिक संगणकीकरण होत आहे, तेव्हा विविध व्यवसायांच्या तज्ञांकडून विधाने ऐकू येतात: "आपल्या देशात संगणक सुरू करूया, नंतर सर्व कार्ये त्वरित सोडविली जातील." हा दृष्टिकोन पूर्णपणे चुकीचा आहे, संगणक स्वतः काही प्रक्रियांच्या गणिती मॉडेलशिवाय काहीही करू शकत नाहीत आणि कोणीही केवळ सार्वत्रिक संगणकीकरणाचे स्वप्न पाहू शकतो.

अगोदर निर्देश केलेल्या बाबीसंबंधी बोलताना, आम्ही गणितीय मॉडेलिंगसह मॉडेलिंगची आवश्यकता समायोजित करण्याचा प्रयत्न करू, एखाद्या व्यक्तीद्वारे बाह्य जगाचे ज्ञान आणि परिवर्तनामध्ये त्याचे फायदे प्रकट करू, विद्यमान कमतरता ओळखू आणि सिम्युलेशन मॉडेलिंगकडे जाऊ, म्हणजे. संगणक वापरून मॉडेलिंग. पण सर्वकाही क्रमाने आहे.

सर्व प्रथम, या प्रश्नाचे उत्तर द्या: मॉडेल म्हणजे काय?

मॉडेल ही एक भौतिक किंवा मानसिकरित्या प्रस्तुत केलेली वस्तू आहे जी, अनुभूती (अभ्यास) प्रक्रियेत, मूळची जागा घेते, काही विशिष्ट गुणधर्म राखून ठेवते जे या अभ्यासासाठी महत्वाचे आहेत.

वास्तविक वस्तूपेक्षा चांगले तयार केलेले मॉडेल संशोधनासाठी अधिक प्रवेशयोग्य आहे. उदाहरणार्थ, शैक्षणिक हेतूंसाठी देशाच्या अर्थव्यवस्थेचे प्रयोग अस्वीकार्य आहेत; येथे आपण मॉडेलशिवाय करू शकत नाही.

जे सांगितले गेले आहे त्याचा सारांश देऊन, आम्ही या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकतो: मॉडेल कशासाठी आहेत? करण्यासाठी

• एखादी वस्तू कशी कार्य करते हे समजून घ्या (तिची रचना, गुणधर्म, विकासाचे नियम, बाह्य जगाशी संवाद).
• एखादी वस्तू (प्रक्रिया) व्यवस्थापित करण्यास शिका आणि सर्वोत्तम धोरणे निश्चित करा
• ऑब्जेक्टवर होणाऱ्या परिणामाचा अंदाज लावा.

कोणत्याही मॉडेलमध्ये सकारात्मक काय आहे? हे आपल्याला ऑब्जेक्टबद्दल नवीन ज्ञान मिळविण्यास अनुमती देते, परंतु, दुर्दैवाने, ते एका किंवा दुसर्या अंशापर्यंत पूर्ण होत नाही.

मॉडेलगणितीय पद्धतींचा वापर करून गणिताच्या भाषेत तयार केलेल्या गणिताला गणितीय मॉडेल म्हणतात.

त्याच्या बांधकामासाठी प्रारंभिक बिंदू सहसा काही कार्य असते, उदाहरणार्थ, आर्थिक. विस्तृत, वर्णनात्मक आणि ऑप्टिमायझेशन दोन्ही गणितीय, विविध वैशिष्ट्यीकृत आर्थिक प्रक्रियाआणि इव्हेंट जसे की:

• संसाधन वाटप
• तर्कशुद्ध कटिंग
• वाहतूक
• उपक्रमांचे एकत्रीकरण
• नेटवर्क नियोजन.

गणितीय मॉडेल कसे तयार केले जाते?

• प्रथम, अभ्यासाचा उद्देश आणि विषय तयार केला जातो.
• दुसरे म्हणजे, या ध्येयाशी संबंधित सर्वात महत्वाची वैशिष्ट्ये हायलाइट केली आहेत.
• तिसरे म्हणजे, मॉडेलच्या घटकांमधील संबंधांचे मौखिक वर्णन केले आहे.
• पुढे, संबंध औपचारिक केले जातात.
• आणि गणना गणितीय मॉडेल आणि प्राप्त समाधानाच्या विश्लेषणानुसार केली जाते.

या अल्गोरिदमचा वापर करून, तुम्ही कोणत्याही ऑप्टिमायझेशन समस्येचे निराकरण करू शकता, ज्यामध्ये एक मल्टीक्रिटेरिया समाविष्ट आहे, उदा. एक ज्यामध्ये एक नाही, तर विरोधाभासी उद्दिष्टांसह अनेक ध्येयांचा पाठपुरावा केला जातो.

एक उदाहरण घेऊ. रांगेचा सिद्धांत - रांगेची समस्या. आपल्याला दोन घटक संतुलित करणे आवश्यक आहे - सेवा उपकरणे राखण्याची किंमत आणि लाइनमध्ये राहण्याची किंमत. मॉडेलचे औपचारिक वर्णन तयार केल्यानंतर, विश्लेषणात्मक आणि संगणकीय पद्धती वापरून गणना केली जाते. जर मॉडेल चांगले असेल, तर त्याच्या मदतीने मिळालेली उत्तरे मॉडेलिंग प्रणालीसाठी पुरेशी आहेत; जर ते खराब असेल तर ते सुधारले पाहिजे आणि बदलले पाहिजे. पर्याप्ततेचा निकष म्हणजे सराव.

ऑप्टिमायझेशन मॉडेल्समध्ये, मल्टीक्रिटेरियासह, एक सामान्य गुणधर्म आहे - एक ध्येय (किंवा अनेक उद्दिष्टे) हे साध्य करण्यासाठी ज्ञात आहे जे एखाद्याला सहसा जटिल प्रणालींना सामोरे जावे लागते, जेथे ते ऑप्टिमायझेशन समस्या सोडवण्याबद्दल इतके नसते, परंतु राज्यांचे संशोधन आणि भविष्यवाणी करण्याबद्दल असते. निवडलेल्या नियंत्रण धोरणांवर अवलंबून. आणि इथे आधीच्या योजनेची अंमलबजावणी करण्यात अडचणी येत आहेत. ते खालीलप्रमाणे आहेत.

• जटिल प्रणालीमध्ये घटकांमधील अनेक कनेक्शन असतात
• वास्तविक प्रणाली यादृच्छिक घटकांनी प्रभावित आहे, त्यांना विश्लेषणात्मकपणे विचारात घेणे अशक्य आहे
• मूळची मॉडेलशी तुलना करण्याची शक्यता केवळ सुरुवातीला आणि गणितीय उपकरणाच्या वापरानंतर अस्तित्वात आहे, कारण इंटरमीडिएट परिणामांमध्ये वास्तविक प्रणालीमध्ये एनालॉग नसू शकतात.

जटिल प्रणालींचा अभ्यास करताना उद्भवणार्‍या सूचीबद्ध अडचणींच्या संदर्भात, सरावासाठी अधिक लवचिक पद्धत आवश्यक होती आणि ती दिसून आली - सिम्युलेशन मॉडेलिंग " सिम्युजेशन मॉडेलिंग".

सहसा, सिम्युलेशन मॉडेलला संगणक प्रोग्रामचा एक संच समजला जातो जो सिस्टमच्या वैयक्तिक ब्लॉक्सचे कार्य आणि त्यांच्यातील परस्परसंवादाच्या नियमांचे वर्णन करतो. यादृच्छिक व्हेरिएबल्सचा वापर सिम्युलेशन सिस्टम (संगणकावर) आणि प्राप्त परिणामांचे त्यानंतरच्या सांख्यिकीय विश्लेषणासह वारंवार प्रयोग करणे आवश्यक बनवते. सिम्युलेशन मॉडेल्सच्या वापराचे एक सामान्य उदाहरण म्हणजे MONTE CARLO पद्धतीद्वारे रांगेतील समस्येचे निराकरण.

अशा प्रकारे, सिम्युलेशन सिस्टमसह कार्य करणे हा संगणकावर केलेला एक प्रयोग आहे. फायदे काय आहेत?

- गणितीय मॉडेल्सपेक्षा वास्तविक प्रणालीची जास्त जवळीक;

- ब्लॉक तत्त्वामुळे प्रत्येक ब्लॉकचा संपूर्ण सिस्टममध्ये समावेश करण्यापूर्वी त्याची पडताळणी करणे शक्य होते;

- अधिक जटिल स्वरूपाच्या अवलंबनांचा वापर, साध्या गणितीय संबंधांद्वारे वर्णन केलेले नाही.

सूचीबद्ध फायदे तोटे ठरवतात

- सिम्युलेशन मॉडेल तयार करणे लांब, अधिक कठीण आणि अधिक महाग आहे;

- सिम्युलेशन सिस्टमसह कार्य करण्यासाठी, आपल्याकडे वर्गासाठी योग्य संगणक असणे आवश्यक आहे;

- वापरकर्ता आणि सिम्युलेशन मॉडेल (इंटरफेस) यांच्यातील परस्परसंवाद खूप क्लिष्ट, सोयीस्कर आणि सुप्रसिद्ध नसावा;

- सिम्युलेशन मॉडेलच्या बांधकामासाठी गणितीय मॉडेलिंगपेक्षा वास्तविक प्रक्रियेचा सखोल अभ्यास आवश्यक आहे.

प्रश्न उद्भवतो: सिम्युलेशन मॉडेलिंग ऑप्टिमायझेशन पद्धती बदलू शकते? नाही, परंतु सोयीस्करपणे त्यांना पूरक आहे. सिम्युलेशन मॉडेल हा एक प्रोग्राम आहे जो काही अल्गोरिदम लागू करतो, ज्याच्या नियंत्रणासाठी ऑप्टिमायझेशनची समस्या प्रथम सोडवली जाते.

म्हणून, संगणक किंवा गणिताचे मॉडेल किंवा त्याचा स्वतंत्रपणे अभ्यास करण्यासाठी अल्गोरिदम यापैकी कोणतीही गुंतागुंतीची समस्या सोडवू शकत नाही. परंतु एकत्रितपणे ते अशा शक्तीचे प्रतिनिधित्व करतात जे आपल्याला आपल्या सभोवतालचे जग जाणून घेण्यास, मनुष्याच्या हितासाठी ते व्यवस्थापित करण्यास अनुमती देते.

1.2 मॉडेल वर्गीकरण