संभाव्यता निर्धारित करण्यासाठी आपल्याला कोणते मार्ग माहित आहेत. एक यादृच्छिक मूल्य म्हणून जीवन वेळ

खरोखर किंवा आमच्या कल्पनेत उद्भवणारे कार्यक्रम 3 गटांमध्ये विभागले जाऊ शकतात. हे विश्वसनीय कार्यक्रम आहेत जे नक्कीच घडतील, अशक्य घटना आणि यादृच्छिक कार्यक्रम. संभाव्यतेच्या सिद्धांताने यादृच्छिक कार्यक्रमांद्वारे अभ्यास केला आहे, I.. घटना घडू किंवा होऊ शकत नाही. हा लेख सादर केला जाईल संक्षिप्त रुप सूत्रांच्या संभाव्य सिद्धांत आणि संभाव्यतेच्या सिद्धांतांवरील समस्यांचे निराकरण करण्याचे उदाहरण म्हणजे गणिताच्या 4 कार्यांमध्ये (प्रोफाइल स्तर).

आपल्याला संभाव्यता सिद्धांत का आवश्यक आहे

ऐतिहासिकदृष्ट्या, जुगार आणि कॅसिनोच्या देखावा यांच्या संबंधात 17 व्या शतकात या समस्यांचा अभ्यास करण्याची गरज आहे. ही एक वास्तविक घटना होती जी त्याचा अभ्यास आणि संशोधन आवश्यक आहे.

कार्डे, हाडे, रूले तयार केल्याने परिस्थिती निर्माण झाल्याने परिस्थिती निर्माण झाल्यास परिस्थिती निर्माण झाली. अंकीय मूल्यांकन एक किंवा दुसर्या घटनेची शक्यता असल्याची शक्यता आहे.

20 व्या शतकात असे दिसून आले की मायक्रोमीटरमध्ये होणार्या मूलभूत प्रक्रियेच्या ज्ञानात हे स्पष्टपणे भयानक विज्ञान महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते. निर्माण केले होते आधुनिक सिद्धांत संभाव्यता

संभाव्य सिद्धांत सिद्धांत मूलभूत संकल्पना

संभाव्यतेच्या सिद्धांतांचा अभ्यास करण्याचा उद्देश घटना आणि त्यांची संभाव्यता आहे. जर इव्हेंट क्लिष्ट असेल तर ते साध्या घटकांमध्ये विभागले जाऊ शकते ज्यांचे संभाव्यता शोधणे सोपे आहे.

ए आणि बीची बेरीज ए आणि बीला इव्हेंट सी असे म्हणतात, ज्यामध्ये इव्हेंट ए किंवा इव्हेंट किंवा इव्हेंट्स ए आणि इव्हेंट एकाच वेळी आहे.

इव्हेंट्स ए आणि बीचे कार्य इव्हेंट ए आणि इव्हेंट झाले हे विचारात एक कार्यक्रम म्हणतात.

एकाच वेळी येऊ शकत नसल्यास ए आणि बीला काही गैरसोयी म्हणतात.

इव्हेंट ए होऊ शकत नसल्यास इव्हेंट ए म्हणतात. हा कार्यक्रम प्रतीकाने दर्शविला आहे.

इव्हेंट ए निश्चितपणे घडल्यास विश्वासार्ह म्हणतात. हा कार्यक्रम प्रतीकाने दर्शविला आहे.

प्रत्येक कार्यक्रमाची संख्या पी (ए) नुसार ठेवली पाहिजे. या अनुपालनासह खालील अटी पूर्ण झाल्यास हा नंबर पी (ए) इव्हेंटची संभाव्यता आहे.

एक महत्त्वाचा विशेष प्रकरण म्हणजे समान प्रमाणात प्राथमिक परिणाम असतात आणि मध्यस्थ परिणाम कार्यक्रम ए द्वारे तयार केले जातात. या प्रकरणात, संभाव्यता सूत्राद्वारे प्रविष्ट केली जाऊ शकते. अशा प्रकारे लागू केलेल्या संभाव्यतेला क्लासिक संभाव्यता म्हणतात. हे सिद्ध केले जाऊ शकते की या प्रकरणात मालमत्ता 1-4 बनविली जातात.

गणितातील परीक्षेत आढळणार्या संभाव्यतेच्या सिद्धांत मुख्यत्वे शास्त्रीय संभाव्यतेशी संबंधित आहेत. असे कार्य खूप सोपे असू शकतात. संभाव्यता सिद्धांतांवर विशेषतः साध्या आहेत प्रदर्शन पर्याय. अनुकूल परिणामांची संख्या मोजणे सोपे आहे, थेट स्थितीत थेट सर्व परिणामांची संख्या लिहिली आहे.

उत्तर सूत्राद्वारे प्राप्त केले जाते.

गणित शब्दापासून एक उदाहरण म्हणजे शक्यता निर्धारित करणे

टेबलवर 20 पाईज रंगात - कोबीसह 5, 7 सफरचंद आणि तांदूळ सह 8. मरीना एक पेट घेऊ इच्छित आहे. तांदूळाने पेट घेण्याची शक्यता किती आहे?

निर्णय.

एकूण समान प्राथमिक परिणामांमध्ये 20, मरीना 20 पाईज घेऊ शकतात. परंतु मरीना तांदूळाने पिड्राइट घेईल अशी शक्यता आहे की, तांदूळ असलेल्या कठपुतळीची निवड आहे. याचा अर्थ असा आहे की आपल्याकडे केवळ अनुकूल परिणामांची संख्या (तांदूळांसह पाईजच्या निवडणुका) आहेत. मग संभाव्यता सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाईल:

स्वतंत्र, उलट आणि अनियंत्रित कार्यक्रम

तथापि बी. ओपन बँक कार्ये अधिक जटिल कार्ये पूर्ण करण्यास सुरुवात केली. म्हणून, संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये वाचलेल्या वाचक आणि इतर समस्यांकडे लक्ष द्या.

प्रत्येकाची संभाव्यता दुसर्या घटना घडल्यास यावर अवलंबून नसल्यास कार्यक्रम ए आणि बी यांना स्वतंत्र म्हटले जाते.

कार्यक्रम बी असा आहे की इव्हेंट होत नाही, i.e. इव्हेंट बी हा इव्हेंट ए च्या उलट आहे. उलट कार्यक्रमाची संभाव्यता थेट इव्हेंटच्या संभाव्यतेच्या तुलनेत आहे, I... .

संभाव्यता, सूत्रांचे अतिरिक्त आणि गुणाकार करणे

अनियंत्रित घटना ए आणि त्यांच्या संयुक्त इव्हेंटच्या संभाव्यतेच्या तुलनेत या घटनांच्या संख्येची संभाव्यता, i.e. .

स्वतंत्र घटनांसाठी, या घटनांच्या कामाच्या संभाव्यतेसाठी त्यांच्या संभाव्य उत्पादनांच्या समान आहे, I... या प्रकरणात.

शेवटच्या 2 विधानेांना संभाव्यता जोडण्याचे आणि गुणोत्तरांचे प्रमेय म्हणतात.

नेहमीच्या संख्येची संख्या मोजत नाही इतकी साधे आहे. काही प्रकरणांमध्ये, कॉम्बिनेटिक सूत्रांचा वापर करणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, सर्वात महत्वाचे म्हणजे काही विशिष्ट परिस्थितीची पूर्तता करणार्या घटनांची संख्या. कधीकधी अशा प्रकारची मोजणी स्वतंत्र कार्ये होऊ शकते.

6 विनामूल्य ठिकाणे मी 6 विद्यार्थ्यांना किती मार्ग लावू शकेन? पहिला विद्यार्थी 6 जागा घेईल. यापैकी प्रत्येक पर्याय दुसर्या विद्यार्थ्याला घेण्याच्या 5 मार्गांशी संबंधित आहे. तिसऱ्या विद्यार्थ्यासाठी पाचव्या -2 साठी चौथ्या -3 साठी 4 विनामूल्य ठिकाणे आहेत, सहाव्या स्थानावरच उर्वरित जागा घेईल. सर्व पर्यायांची संख्या शोधण्यासाठी, आपल्याला 6 च्या चिन्हाद्वारे दर्शविलेले उत्पादन शोधणे आवश्यक आहे! आणि "सहा फॅक्टोरियल" वाचा.

सर्वसाधारणपणे, या प्रश्नाचे उत्तर आपल्या प्रकरणात पी आयटममधील पर्स्यूटच्या संख्येसाठी सूत्र देते.

आमच्या विद्यार्थ्यांशी आता आणखी एक उदाहरण विचारात घ्या. मी 6 विनामूल्य स्थानांवर किती दोन मार्ग ठेवू शकेन? पहिला विद्यार्थी 6 जागा घेईल. यापैकी प्रत्येक पर्याय दुसर्या विद्यार्थ्याला घेण्याच्या 5 मार्गांशी संबंधित आहे. सर्व पर्यायांची संख्या शोधण्यासाठी आपल्याला कार्य शोधण्याची आवश्यकता आहे.

सर्वसाधारणपणे, या प्रश्नाचे उत्तर के एलिमेंट्सद्वारे एन घटकांमधून निवासस्थानासाठी सूत्र देते

आमच्या बाबतीत.

आणि शेवटचा केस या मालिकेतून. आपण 6 मधील तीन विद्यार्थ्यांना किती मार्ग निवडू शकता? पहिला विद्यार्थी दुसर्या पद्धतींमध्ये 6 निवडला जाऊ शकतो - 5 तिसऱ्या पद्धतींमध्ये - चार. परंतु या पर्यायांपैकी एक, एक आणि त्याच शीर्षस्थानी 6 वेळा आढळतात. सर्व पर्यायांची संख्या शोधण्यासाठी, आपल्याला मूल्य मोजण्याची आवश्यकता आहे :. सर्वसाधारणपणे, या प्रश्नाचे उत्तर घटकांद्वारे घटकांमधून संयोजनांच्या संख्येसाठी सूत्र देते:

आमच्या बाबतीत.

संभाव्यतेच्या परिभाषा शब्दातील शब्दांमधून समस्या सोडविण्याचे उदाहरण

कार्य 1. संग्रह पासून. यशचिन्को.

30 पाईसच्या प्लेटवर: 3 मांस, कोबीसह 18 आणि चेरीसह 9. यादृच्छिक सौदा एक पेट निवडतो. चेरी सह असेल की शक्यता शोधा.

.

उत्तरः 0.3.

कार्य 2. संग्रह पासून. यशचिन्को.

सरासरी 20 दोषी असलेल्या 1000 लाइट बल्बच्या प्रत्येक बॅचमध्ये. पार्टीमधून प्रकाश बल्ब यादृच्छिक असलेल्या संभाव्यतेचा शोध चांगला होईल.

निराकरण: चांगले दिवे 1000-20 \u003d 9 80. मग पक्षातून प्रकाश बल्ब आणला जाईल अशी शक्यता:

उत्तरः 0.98.

गणित विद्यार्थ्यांमधील चाचणीखालील संभाव्य शक्यता 9 पेक्षा जास्त कार्ये 9 पेक्षा जास्त कार्यांचे निराकरण होईल, 0.67 च्या समान. यू. तुलनेत 8.73 च्या समान, 8 पेक्षा जास्त कार्ये योग्यरित्या सोडवतील. यू लवलिहूड शोधा. नक्कीच 9 कार्ये योग्यरित्या सोडवतील.

जर आपण अंकीय थेट कल्पना करतो आणि आम्ही 8 आणि 9 अंकांची नोंद करतो, तर आपल्याला दिसेल की "डब्ल्यू. हे "स्थितीत" कार्य "योग्यरित्या निराकरण केले जाईल. 8 पेक्षा जास्त कार्यांमधून सोडविणे योग्य आहे, "परंतु स्थितीवर लागू होत नाही" डब्ल्यू. हे निश्चितच 9 पेक्षा जास्त कार्य करेल. "

तथापि, स्थिती "यू. हे निश्चितपणे 9 पेक्षा जास्त कार्यसंघ सोडतील "यू मध्ये" आहे. हे निश्चितपणे 8 पेक्षा जास्त कार्ये सोडवेल. " अशा प्रकारे, जर आपण कार्यक्रम दर्शवितो: "डब्ल्यू नक्कीच 9 कार्यांचे निराकरण करणे बरोबर आहे "- एक," डब्ल्यू. ते 8 पेक्षा जास्त कार्य योग्यरित्या सोडवेल "- बी," डब्ल्यू. हे निश्चितपणे 9 पेक्षा जास्त कार्य करेल "सोल्यूशन यासारखे दिसतील:

उत्तर: 0.06.

भूमिती परीक्षा वर, शाळेब्या परीक्षेच्या समस्यांमधून एक प्रश्नाचे उत्तर देते. "त्रिकोणमिती" विषयावर हा एक प्रश्न आहे की 0.2 आहे. "बाह्य कोन" या विषयावर हा प्रश्न 0.15 आहे याची शक्यता आहे. प्रश्न एकाच वेळी या दोन विषयांचा संदर्भ घ्या. या दोन विषयांपैकी एकावर विद्यार्थ्याच्या परीक्षेत एक प्रश्न मिळेल अशी शक्यता शोधा.

आपल्या इव्हेंट्स काय दिले आहे याबद्दल विचार करूया. आम्हाला दोन अपूर्ण घटना दिल्या आहेत. म्हणजेच, हा प्रश्न "त्रिकोणमिती" किंवा "बाह्य कोन" विषयावर संदर्भित करेल. संभाव्यतेद्वारे, अपूर्ण घटनांची शक्यता प्रत्येक इव्हेंटच्या संभाव्यतेच्या समानतेच्या समान आहे, आम्हाला या इव्हेंटच्या संभाव्यतेची रक्कम मिळणे आवश्यक आहे:

उत्तरः 0.35.

खोली तीन दिवे सह एक कंदील सह प्रकाशमय आहे. वर्षादरम्यान एक दिवा ब्रेकिंगची शक्यता 0.2 9 आहे. वर्षादरम्यान कमीतकमी एक दिवा कमी होईल अशी शक्यता शोधा.

संभाव्य कार्यक्रम विचारात घ्या. आमच्याकडे तीन प्रकाश बल्ब आहेत, त्यापैकी प्रत्येक इतर कोणत्याही प्रकाश बल्ब स्वतंत्रपणे पराभूत किंवा अनलोड करू शकते. हे स्वतंत्र कार्यक्रम आहेत.

मग आम्ही अशा कार्यक्रमांसाठी पर्याय निर्दिष्ट करतो. आम्ही पद स्वीकारतो: - प्रकाश बर्न, प्रकाश बल्ब बर्न. आणि ताबडतोब, आम्ही एखाद्या कार्यक्रमाची शक्यता मोजली. उदाहरणार्थ, इव्हेंटची संभाव्यता ज्यामध्ये तीन स्वतंत्र कार्यक्रम "लाइट बल्ब बर्न", "लाइट बल्ब बर्न्स", "लाइट बल्ब बर्न्स": जेथे "लाइट बल्ब" इव्हेंटची शक्यता कमीतेची संभाव्यता म्हणून केली जाते. "प्रकाश बल्ब" इव्हेंटच्या विरूद्ध कार्यक्रम: उदा.

लक्षात ठेवा की आमच्याकडे केवळ अनुकूल अपूर्ण घटना आहेत. अशा घटनांची संभाव्यता प्रत्येक घटनांच्या संभाव्यतेच्या बेरीजच्या समान आहे :.

उत्तरः 0,975608.

आपण खालील चित्रात दुसर्या कार्य शोधू शकता:

अशा प्रकारे, आम्ही समजतो की सूत्रांच्या संभाव्य सिद्धांत आणि आपण ईज वर्जनमध्ये भेटू शकणार्या समस्यांचे उदाहरण सादर केले जाऊ शकते.

इव्हेंटची गणना केली जाऊ शकते तर बरेच लोक विचार करीत आहेत, जे एक प्रकारे किंवा दुसरीकडे यादृच्छिक आहे. व्यक्त करणे साध्या शब्दपुढील वेळी क्यूब कोणत्या बाजूला येतो हे शोधणे शक्य आहे. हा प्रश्न असा आहे की दोन महान शास्त्रज्ञांना देण्यात आले, ज्याने अशा विज्ञान सुरूवातीस संभाव्यतेच्या सिद्धांत म्हणून चिन्हांकित केले आहे, ज्यामध्ये मोठ्या प्रमाणावर अभ्यास केला जातो.

संख्या

आपण संभाव्यतेच्या सिद्धांताप्रमाणे अशा संकल्पना परिभाषित करण्याचा प्रयत्न केल्यास, खालीलप्रमाणे असेल: हे गणिताच्या विभागांपैकी एक आहे, जे यादृच्छिक घटनांच्या स्थिरतेच्या अभ्यासात गुंतलेले आहे. स्पष्टपणे ही संकल्पना हे खरोखरच संपूर्ण सारणी उघड करत नाही, म्हणून ते अधिक तपशीलांमध्ये विचार करणे आवश्यक आहे.

मी सिद्धांत निर्मात्यांसह सुरू करू इच्छितो. वर नमूद केल्याप्रमाणे, त्यापैकी दोन होते, या घटनेच्या परिणामाची गणना करण्यासाठी सूत्र आणि गणितीय गणना वापरण्याचा प्रयत्न करण्यासाठी ते प्रथमच होते. सर्वसाधारणपणे, या विज्ञानाचे प्राइमिटिव्ह मध्य युगात प्रकट झाले. त्या वेळी, भिन्न विचारवंत आणि शास्त्रज्ञांनी विश्लेषण करण्याचा प्रयत्न केला जुगारजसे की रूले, हाडे, इत्यादी, यामुळे एक नमुना आणि एक किंवा दुसर्या नंबरच्या नुकसानीचा एक नमुना आणि टक्केवारी प्रमाण स्थापित केला जातो. सतराव्या शतकात पाया घातला गेला होता.

प्रथम, त्यांच्या कामे या क्षेत्रातील मोठ्या यशासाठी श्रेय देऊ शकले नाहीत कारण त्यांनी केलेल्या प्रत्येक गोष्टीमुळे ही केवळ अनुभवात्मक तथ्ये होती आणि त्वरित नमुना वापरल्याशिवाय प्रयोग व्हिज्युअल होते. कालांतराने, हाडांच्या कास्टचे निरीक्षण केल्यामुळे दिसणार्या मोठ्या परिणाम मिळविण्यासाठी ते बाहेर वळले. हे असे साधन होते ज्यामुळे प्रथम स्पष्ट सूत्र मिळविण्यात मदत झाली.

मनासारखे लोक

"संभाव्यता सिद्धांत" नावाचे नाव सुरू करणार्या विषयाचा अभ्यास करण्याच्या प्रक्रियेत अशा व्यक्तीचे उल्लेख करणे अशक्य आहे. (या विषयाची संभाव्यता या विज्ञानाची संभाव्यता) आहे. हा माणूस खूप मनोरंजक आहे. तो, वर सादर केलेल्या शास्त्रज्ञांनी यादृच्छिक घटनांचा नमुना आणण्यासाठी गणितीय सूत्रांच्या स्वरूपात प्रयत्न केला. हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की ते पास्कल आणि शेतासह एकत्र नव्हते, म्हणजेच त्याचे सर्व कार्य या मनात अडकले नाही. व्युत्पन्न

स्वारस्यपूर्ण हे तथ्य आहे की शोधकांच्या कामाच्या परिणामापूर्वी किंवा त्याऐवजी वीस वर्षांपूर्वी त्याचे कार्य संपले. नामित संकल्पनांमध्ये सर्वात प्रसिद्ध बनले:

• संभाव्यता संकल्पना एक संधी मूल्य सारखे आहे;
• स्वतंत्र प्रकरणांसाठी गणितीय अपेक्षा;
• गुणाकार आणि संभाव्यता समावेश प्रमेय.

तसेच, हे लक्षात ठेवणे अशक्य आहे ज्याने समस्येच्या अभ्यासामध्ये महत्त्वपूर्ण योगदान दिले. आपले स्वतःचे आयोजन करत नाही, जे परीक्षांवर अवलंबून नाहीत, त्यांनी कायद्याचा पुरावा सादर करण्यास मदत केली नाही मोठ्या संख्येने. परिणामी, 1 9 व्या शतकाच्या सुरुवातीला काम करणार्या प्रौढ आणि लेप्लेसच्या शास्त्रज्ञांनी प्रारंभिक प्रमेय सिद्ध करण्यास सक्षम होते. या क्षणी, संभाव्यता सिद्धांत निरीक्षणादरम्यान संभाव्य सिद्धांतांचा वापर करण्यास सुरुवात केली. या विज्ञान बायपास करण्यासाठी पार्टी रशियन शास्त्रज्ञ, किंवा त्याऐवजी मार्कोव्ह, Chybyshvev आणि Dyapunov असू शकत नाही. ते, महान प्रतिज्ञांनी केलेल्या कामावर आधारित, या आयटमवर गणिताचे विभाग म्हणून सुरक्षित केले. हे आकडे 1 9 व्या शतकाच्या अखेरीस काम करत आहेत आणि त्यांच्या योगदानामुळे अशा घटना सिद्ध झाले:

• मोठ्या संख्येचे नियम;
• चेन मार्कोव्ह सिद्धांत;
• केंद्रीय मर्यादा प्रमेय.

तर, विज्ञान उत्पत्तिच्या इतिहासासह आणि मुख्य व्यक्तीस प्रभावित करणार्या, सर्वकाही कमी किंवा कमी आहे. आता सर्व तथ्ये निर्दिष्ट करण्याची वेळ आली आहे.

मूलभूत संकल्पना

कायदे आणि प्रमेय संबंधित आधी, संभाव्यता सिद्धांतांच्या मूलभूत संकल्पनांचा अभ्यास करण्यासारखे आहे. त्यातील कार्यक्रम एक प्राथमिक भूमिका व्यापतो. हा विषय सुंदर व्होल्यूमेट्रिक, परंतु त्याशिवाय इतर सर्व काही शोधण्यात सक्षम होणार नाही.

संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये हा कार्यक्रम अनुभवाच्या परिणामाची प्रतिध्वनी-संपूर्णता आहे. या घटनेच्या इतके कमी संकल्पना नाही. तर, या क्षेत्रात काम करणारे एक विद्वान लोटमन, या प्रकरणात असे बोलले आम्ही बोलत आहोत "काय झाले, तरीही ते घडले नाही."

यादृच्छिक कार्यक्रम (संभाव्यता सिद्धांत त्यांना देते विशेष लक्ष) - ही एक संकल्पना आहे जी एक पूर्णपणे घटना घडवून आणणारी कोणतीही घटना आहे. किंवा, उलट, विविध परिस्थितीत असताना ही स्क्रिप्ट होऊ शकत नाही. हे जाणून घेणे देखील महत्त्वाचे आहे की आपण निश्चित यादृच्छिक घटनांची संपूर्ण रक्कम कॅप्चर केली आहे. संभाव्यता सिद्धांत सूचित करते की सर्व परिस्थिती सतत पुनरावृत्ती करू शकते. ते त्यांचे आचरण होते ज्याला "अनुभव" किंवा "चाचणी" म्हटले जाते.

एक विश्वासार्ह घटना ही एक घटना आहे जी या चाचणीमध्ये शंभर टक्के घडेल. त्यानुसार, अशक्य इव्हेंट काहीतरी होणार नाही.

क्रिया एक जोडी (सशर्त केस ए आणि केस बी) एक घटना एकाच वेळी घडते. त्यांना एबी म्हणून संदर्भित केले जाते.

इव्हेंट्स ए आणि बी च्या स्टीमची रक्कम सी आहे, इतर शब्दांत, जर त्यापैकी कमीतकमी एक (ए किंवा बी) असेल तर ते सी. वर्णन केलेल्या घटनेचे सूत्र लिहिलेले आहे: सी \u003d ए + व्ही .

संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये अपूर्ण घटना सूचित करतात की दोन प्रकरण एकमेकांना वेगळे करतात. त्याच वेळी, ते कोणत्याही प्रकारे होऊ शकत नाहीत. संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये संयुक्त कार्यक्रम त्यांचे अँटीपोड आहेत. येथे हे समजले आहे की जर ते घडले तर ते v.

समजून घेण्यासाठी सामान्य कार्यक्रम (संभाव्यता सिद्धांत त्यांना खूप तपशीलवार मानतात). तुलनेत त्यांच्याशी सामोरे जाणे चांगले आहे. संभाव्यता सिद्धांत मध्ये अपूर्ण घटना म्हणून ते जवळजवळ समान आहेत. परंतु त्यांचा फरक या वस्तुस्थितीत इतकी आहे की कोणत्याही परिस्थितीत अनेक घटना घडल्या पाहिजेत.

समान घटना ही क्रिया ज्याची पुनरावृत्ती समान आहे. स्पष्ट होण्यासाठी, आपण नाणी कास्ट कल्पना करू शकता: त्याच्या बाजूंच्या पळवाट तितकेच कमी होत आहे.

उदाहरणावर विचार करणे अनुकूल कार्यक्रम सोपे आहे. समजा एपिसोड ए मध्ये एपिसोड आहे. प्रथम एक विचित्र संख्येच्या प्रवासासह खेळण्याच्या खेळाचा एक क्यूब आहे आणि दुसरा क्यूब वर पाच अंकांचा देखावा आहे. मग ते बाहेर वळते.

संभाव्यतेच्या सिद्धांतामधील स्वतंत्र कार्यक्रम केवळ दोन आणि अधिक प्रकरणांद्वारे प्रक्षेपित केले जातात आणि इतर कोणत्याही कारवाईचे स्वातंत्र्य सूचित करतात. उदाहरणार्थ, एक नाणे फेकून आणि डेकमधून चलनाच्या भाड्याने घेताना गर्दीचा तोटा आहे. ते संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये स्वतंत्र कार्यक्रम आहेत. या क्षणी ते स्पष्ट झाले.

संभाव्यता सिद्धांतांमध्ये आश्रित घटनांना केवळ त्यांच्या सेटसाठी देखील परवानगी आहे. याचा अर्थ इतरांकडून एक अवलंबून आहे, म्हणजेच, ती घटना घडल्यासच होऊ शकते किंवा त्याउलट झाल्यास, व्ही. साठी मुख्य स्थिती असेल तेव्हा तसे झाले नाही.

एक घटक असलेल्या यादृच्छिक प्रयोगाचा परिणाम प्राथमिक घटना आहे. संभाव्यता सिद्धांत स्पष्ट करते की ही एक घटना आहे जी केवळ एकदाच पूर्ण झाली आहे.

मूलभूत सूत्रे

म्हणून, "इव्हेंट" च्या संकल्पना "संभाव्यता सिद्धांत" वरील मानली गेली, या विज्ञानाच्या मुख्य टर्मिनसची व्याख्या देखील दिली गेली. आता महत्त्वपूर्ण सूत्रांसह थेट परिचित होण्यासाठी वेळ आहे. हे अभिव्यक्ती गणितदृष्ट्या संभाव्यतेच्या सिद्धांताप्रमाणे अशा कठीण वस्तूतील सर्व मुख्य संकल्पनांची पुष्टी करतात. इव्हेंटची शक्यता आणि येथे एक मोठी भूमिका बजावते.

त्यांच्याबरोबर पुढे जाणे आणि त्यापूर्वी पुढे जाणे चांगले आहे, ते काय आहे याचा विचार करणे योग्य आहे.

कॉम्बिनेटिक प्रामुख्याने गणिताचा एक भाग आहे, तो मोठ्या प्रमाणावर पूर्णांक, तसेच संख्या आणि त्यांचे घटक, विविध डेटा इ. च्या विविध airtions च्या अभ्यासात गुंतलेले आहे, ज्यामुळे अनेक संख्या उद्भवते. संयोजन संभाव्यतेच्या सिद्धांताव्यतिरिक्त, सांख्यिकी, संगणक विज्ञान आणि क्रिप्टोग्राफीसाठी हे उद्योग महत्वाचे आहे.

तर आता आपण स्वत: ला आणि त्यांची परिभाषा सूत्रांच्या प्रेझेंटेशनकडे जाऊ शकता.

यापैकी पहिले Airtutation च्या संख्येसाठी अभिव्यक्ती असेल, असे दिसते:

P_n \u003d n ⋅ (एन - 1) ⋅ (एन - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

घटक केवळ स्थानाच्या क्रमानेच भिन्न असल्यास केवळ समीकरण वापरले जाते.

आता प्लेसमेंट फॉर्म्युला मानले जाईल, असे दिसते:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (एन - 1) ⋅ (एन - 2) ⋅ ... ⋅ (एन - एम + 1) \u003d n! : (एन - एम)!

ही अभिव्यक्ती केवळ घटकांच्या प्लेसमेंटच्या क्रमाने नव्हे तर त्याच्या रचना करण्यासाठी लागू होते.

कॉम्बिनेटिकमधील तिसरे समीकरण आणि नंतरच्या, सूत्रांच्या संख्येसाठी सूत्र म्हणतात:

C_n ^ m \u003d n! : ((एन - एम))! : एम!

संयोजनांना अनुक्रमे क्रमशः नमूद केले नाहीत आणि या नियम लागू होते.

संयोजक सूत्रांनी अडचण न घेता कार्य केले नाही, आता आपण संभाव्यतेच्या क्लासिक परिभाषाकडे जाऊ शकता. खालीलप्रमाणे हे अभिव्यक्ती दिसते:

या सूत्रामध्ये, एम इव्हेंटमध्ये अनुकूल परिस्थितीची संख्या आहे आणि एन ही सर्व समान आणि प्राथमिक परिणामांची संख्या आहे.

अस्तित्वात मोठ्या संख्येने अभिव्यक्ती, लेखात सर्वकाही विचारात घेतले जाणार नाही, परंतु त्यांच्यापैकी सर्वात महत्वाचे प्रभावित होतील, जसे की घटनांची संभाव्यता:

पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - या प्रमेय केवळ अपूर्ण घटनांच्या व्यतिरिक्त;

पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी) - आणि हे फक्त सुसंगत आहे.

घटनांच्या कामाची शक्यता:

पी (ए ⋅ बी) \u003d पी (ए) ⋅ पी (बी) - स्वतंत्र घटनांसाठी हे प्रमेय;

(पी (ए ⋅ बी) \u003d पी (ए) ⋅ पी (बी | अ); पी (ए बी) \u003d पी (ए) ⋅ पी (ए | बी)) - आणि हे अवलंबून आहे.

फॉर्म्युला इव्हेंटची सूची समाप्त करते. संभाव्यता सिद्धांत आम्हाला TheRembayes बद्दल सांगते, जे असे दिसते:

पी (एच_एम | ए) \u003d (पी (एच_एम) पी (ए | एच_एम): (σ_ (के \u003d 1) ^ एन पी (एच_के) पी (ए | एच_के)), एम \u003d 1, ... एन.

या फॉर्मूला एच 1, एच 2, ..., एच एन आहे पूर्ण गट परिकल्पना

उदाहरणे

आपण गणिताच्या कोणत्याही विभागाचे काळजीपूर्वक परीक्षण केल्यास, व्यायाम आणि नमुना सोल्यूशनशिवाय ते कार्य करत नाही. त्यामुळे संभाव्यता सिद्धांत: कार्यक्रम, येथे उदाहरणे वैज्ञानिक गणना पुष्टी एक आवश्यक घटक आहेत.

Apartations संख्या साठी फॉर्म्युला

समजा, कार्ड डेक मध्ये तीस कार्डे आहेत, ते नाममात्रापासून सुरू होते. पुढचा प्रश्न. एक डेक बनविण्याचे किती मार्ग आहेत जेणेकरून एक आणि दोन समभागासह कार्डे जवळपास नाहीत का?

कार्य सेट आहे, आता तिच्या निर्णयावर जाऊ. सुरू करण्यासाठी, तीस घटकांमधून परमटनांची संख्या निश्चित करणे आवश्यक आहे, त्यासाठी आम्ही वरील फॉर्म्युला घेतो, तो p_30 \u003d 30 बाहेर वळतो!

या नियमावर आधारित, आम्ही वेगवेगळ्या मार्गांनी डेक किती पर्याय कॉन्स करण्यासाठी किती पर्याय शिकू, परंतु त्या ज्यामध्ये प्रथम आणि द्वितीय कार्ड जवळ असेल त्यांना कमी करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, प्रथम सेकंदात प्रथम असल्यास पर्याय प्रारंभ करूया. पहिले कार्ड प्रथम ते वीस-नवव्या आणि द्वितीय तार्यांपासून दुस-या कार्डे बनवते. उलट, उर्वरित 24 ठिकाणी आणि यादृच्छिक क्रमाने घेऊ शकतात. म्हणजेच, आठ लोक कार्डेच्या क्रमवारीसाठी तेथे 240 पर्याय पी_28 \u003d 28 आहेत!

परिणामी, असे दिसून येते की जर प्रथम कार्ड दुसऱ्यांदा असेल तेव्हा आपण निर्णय घेतल्यास, अतिरिक्त संधी 2 9 ⋅ 28 चालू होतील! \u003d 2 9!

त्याच पद्धतीचा वापर करून, प्रथम कार्ड दुसऱ्या क्रमांकावर असताना केसांच्या अनावश्यक पर्यायांची गणना करण्याची आवश्यकता आहे. हे 2 9 ⋅ 28 वाजवते! \u003d 2 9!

यातून हे खालीलप्रमाणे आहे की अनावश्यक पर्याय 2 ⋅ 2 9!, डेक 30 गोळा करण्याच्या आवश्यक पद्धती! - 2 ⋅ 2 9! ते फक्त मोजण्यासाठी राहते.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

आता आपल्याला सर्व संख्या एक तेवीस नऊ वर गुणाकार करणे आवश्यक आहे, त्यानंतर 28 वर सर्व गुणाकार करणे. उत्तर 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32 प्राप्त केले आहे.

उदाहरण उपाय. प्लेसमेंटसाठी फॉर्म्युला

या कामात, एक शेल्फवर पंधरा खंड ठेवणे किती मार्ग आहेत हे जाणून घेणे आवश्यक आहे, परंतु संपूर्ण खंड तीस आहेत.

या समस्येत, मागीलपेक्षा जास्त समाधान किंचित सोपे आहे. आधीच ज्ञात सूत्र वापरुन, तीस व्हॉल्युम्सपासून पंधरा भागांची एकूण संख्या मोजणे आवश्यक आहे.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 202 843 204 9 31 727 360 000

क्रमशः उत्तर 202 843 204 9 31 727 360,000 च्या बरोबरीचे असेल.

आता कार्य थोडे अधिक क्लिष्ट करा. दोन पुस्तकांवर तीस पुस्तके किती मार्ग ठेवतात हे जाणून घेणे आवश्यक आहे, जे केवळ पंधरा व्हॉल्यूम एकाच शेल्फवर असू शकतात.

निर्णय घेण्याआधी, मी स्पष्ट करू इच्छितो की काही कार्ये अनेक प्रकारे सोडविल्या जातात आणि यामध्ये दोन मार्ग आहेत, परंतु दोन्ही समान सूत्र दोन्हीमध्ये लागू होतात.

या कामात, आपण मागील एकाचे उत्तर घेऊ शकता कारण आम्ही गणना केली आहे की आपण किती वेळा पंधरा पुस्तकांसाठी शेल्फ भरू शकता. ते a_30 ^ 15 \u003d 30 × 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

क्रमवारीच्या फॉर्म्युलाद्वारे दुसरा शेल्फ मोजा, \u200b\u200bकारण त्यात पंधरा पुस्तके ठेवली जातात, तर सर्व काही पंधरा आहे. आम्ही फॉर्म्युला पी_15 \u003d 15 वापरतो!

यामुळे असे दिसून येते की या पद्धतींपैकी एक_30 ^ 15 ⋅ p_15 असेल परंतु याव्यतिरिक्त, तीस ते पन्नासपासून सर्व संख्या उत्पादनाच्या संख्येद्वारे संख्या वाढवल्या जातील, परिणामी संख्या एक ते तीस, म्हणजेच, उत्तर 30!

परंतु हे कार्य वेगळे केले जाऊ शकते - सोपे. हे करण्यासाठी, आपण कल्पना करू शकता की तीस पुस्तकांसाठी एक शेल्फ आहे. ते सर्व या विमानात ठेवलेले आहेत, परंतु अटी म्हणून त्या शेल्फमध्ये दोन असू शकतात, मग आम्ही अर्धा मध्ये एक लांब पाहिले आहे, ते दोन ते पंधरा बाहेर वळते. यातून असे दिसून येते की व्यवस्थेसाठी पर्याय P_30 \u003d 30 असू शकतात!

उदाहरण उपाय. संयोजनासाठी सूत्र

आता संयोजनाच्या तिसर्या समस्येचा पर्याय विचारात घेतला जाईल. पंधरा पुस्तकांची व्यवस्था करण्यासाठी किती मार्ग आहेत हे जाणून घेणे आवश्यक आहे, जे आपल्याला तीस निवडण्याची गरज आहे.

निराकरण करण्यासाठी, अर्थातच, फॉर्म्युला संयोजनाच्या संख्येसाठी लागू केले जाईल. अट पासून हे स्पष्ट होते की त्याच पंधरा पुस्तकांचे ऑर्डर महत्वाचे नाही. म्हणून, सुरुवातीला आपल्याला तीस पुस्तके पासून पंधरा पुस्तकांची एकूण संख्या शोधण्याची आवश्यकता आहे.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : पंधरा ! \u003d 155 117 520

ते सर्व आहे. या सूत्राचा वापर करून सर्वात कमी वेळ अशा प्रकारचे कार्य सोडविणे शक्य आहे, उत्तर, उत्तर 155,117,520 सारखे आहे.

उदाहरण उपाय. शास्त्रीय संभाव्यता परिभाषा

वर दर्शविलेल्या सूत्राचा वापर करून, आपल्याला एक सोपा कार्य एक उत्तर मिळू शकेल. परंतु हे कार्यप्रणाली ऐकून पाहण्यास आणि शोधण्यात मदत करेल.

हे कार्य दिले जाते की उर मध्ये दहा एकसारखेच बॉल आहेत. यापैकी चार पिवळा आणि सहा निळा. एक बॉल urn पासून घेतले जाते. निळ्या रंगाची शक्यता जाणून घेणे आवश्यक आहे.

समस्या सोडवण्यासाठी, आपल्याला नियुक्त करणे आवश्यक आहे ब्लू बॉल कार्यक्रम ए. या अनुभवामध्ये दहा परिणाम असू शकतात, जे बदलतात, प्राथमिक आणि समतोल. त्याच वेळी, दहा सहा पैकी चांगल्या घटना ए आहेत. सूत्रानुसार निर्णय घ्या:

पी (ए) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

हे सूत्र लागू करणे, आम्हाला कळले की निळ्या बॉल मिळण्याची शक्यता 0.6 आहे.

उदाहरण उपाय. घटनांची शक्यता संभाव्यता

आता पर्याय सादर केला जाईल, जो इव्हेंटच्या घटनेच्या संभाव्यतेच्या फॉर्म्युला वापरून सोडविला जातो. म्हणून, दोन पेटी आहेत की पहिले बॉक्स आहेत, प्रथम एक राखाडी आणि पाच पांढरे चेंडू आहेत आणि दुसर्या आठ राखाडी आणि चार पांढरे चेंडू आहेत. परिणामी, पहिल्या आणि द्वितीय बॉक्समधून त्यांनी त्यापैकी एक घेतला. गोळ्या धरल्या जातील हे जाणून घेणे आवश्यक आहे.

हे कार्य सोडविण्यासाठी, आपल्याला इव्हेंट्स नेमण्याची आवश्यकता आहे.

• तर, आणि - पहिल्या ड्रॉवरकडून एक राखाडी बॉल घेतला: पी (ए) \u003d 1/6.
• ए '- पहिल्या ड्रॉवरपासून पांढरा बॉल देखील घेतला: पी (ए ") \u003d 5/6.
• बी - दुसर्या बॉक्समधून आधीच राखाडी बॉल काढून टाकला: पी (बी) \u003d 2/3.
• बी '- दुसऱ्या ड्रॉवरकडून एक राखाडी बॉल घेतला: पी (बी ") \u003d 1/3.

कार्य स्थितीत, घटनेपैकी एक करणे आवश्यक आहे: AV 'किंवा Av. फॉर्म्युलाचा वापर करून, आम्ही प्राप्त करतो: पी (एबी ") \u003d 1/18, पी (एक" बी) \u003d 10/18.

आता फॉर्म्युला कदाचित बहुधा गुणाकार करण्यासाठी वापरली जाते. पुढे, उत्तर शोधण्यासाठी आपल्याला त्यांच्या जोडणीचे समीकरण लागू करावे लागेल:

पी \u003d पी (एएच "+ ए" बी) \u003d पी (एबी ") + पी (एक" बी) \u003d 11/18.

म्हणून, सूत्र वापरुन, आपण अशा कार्यांचे निराकरण करू शकता.

परिणाम

या लेखात "संभाव्य सिद्धांत सिद्धांत" या विषयावरील माहिती वैशिष्ट्यीकृत आहे, ज्या नाटकांमध्ये खेळाची शक्यता आहे निर्णायक भूमिका. अर्थातच, सर्वकाही खात्यात घेतलेले नाही, परंतु सादर केलेल्या मजकुरावर आधारित, आपण गणिताच्या या विभागासह स्वत: ला परिचित करू शकता. मानले जाणारे विज्ञान केवळ व्यावसायिक व्यवसायातच नव्हे तर त्यात देखील उपयुक्त असू शकते रोजचे जीवन. त्यामध्ये, आपण कोणत्याही घटनेसाठी कोणत्याही संधीची गणना करू शकता.

मजकुरात देखील प्रभावित होते मूत्रपिंड तारखा विज्ञान म्हणून संभाव्य सिद्धांतांच्या निर्मितीच्या इतिहासात आणि ज्या लोकांच्या कामाचे काम त्यात गुंतवणूक केली गेली होती. मानव उत्सुकतेमुळे लोकांनी यादृच्छिक घटनांची गणना करणे शिकले हे मानवी जिज्ञासाने असेच केले. एकदा ते फक्त याबद्दल स्वारस्य बनले आणि आज प्रत्येकजण आधीच त्याबद्दल माहित आहे. आणि कोणीही असे म्हणणार नाही की भविष्यात आम्ही आमच्यासाठी वाट पाहत आहे, विचाराधीन सिद्धांतांशी संबंधित इतर कोणती उत्कृष्ट शोध घेईल. परंतु एक गोष्ट निश्चितपणे सांगता येते - स्पॉटवरील संशोधन हे योग्य नाही!

"संभाव्यता सिद्धांत" च्या संकल्पनेमुळे झालेल्या बर्याच लोकांना भीती वाटते की हे असह्य, अत्यंत क्लिष्ट आहे. पण सर्वकाही खरोखर त्रासदायक नाही. आज आपण विशिष्ट उदाहरणांवरील समस्यांचे निराकरण करण्यास मूलभूत संकल्पना विचारात घेऊ.

विज्ञान

"संभाव्यता सिद्धांत" सारख्या गणिताचे अशा विभागात काय अभ्यास करतात? हे नमुने आणि मूल्ये नोट्स. पहिल्यांदाच हा प्रश्न, जुगाराचा अभ्यास केला तेव्हा अठराव्या शतकात शास्त्रज्ञांना रस होता. संभाव्यता सिद्धांत मूलभूत संकल्पना एक कार्यक्रम आहे. हे असे तथ्य आहे जे अनुभव किंवा निरीक्षणाद्वारे सांगितले आहे. पण अनुभव काय आहे? संभाव्यता सिद्धांत आणखी एक मूलभूत संकल्पना. याचा अर्थ परिस्थितीची रचना संधीद्वारे तयार केलेली नाही, परंतु एका विशिष्ट ध्येयासह. अवलोकन म्हणून, येथे संशोधक स्वत: च्या अनुभवामध्ये भाग घेत नाही, परंतु केवळ साक्षीदार डेटा इव्हेंट्स, काय घडत आहे याचा तो प्रभाव पाडत नाही.

कार्यक्रम

आम्ही जाणतो की संभाव्यतेच्या सिद्धांताची मूलभूत संकल्पना ही एक घटना आहे, परंतु वर्गीकरण मानली जात नाही. ते सर्व खालील श्रेण्यांमध्ये विभागलेले आहेत:

• विश्वसनीय
• अशक्य.
• यादृच्छिक.

अनुभवाच्या दरम्यान निरीक्षण किंवा तयार केलेल्या कोणत्या घटनांकडे दुर्लक्ष करून, ते सर्व या वर्गीकरणाच्या अधीन आहेत. आम्ही प्रत्येक प्रकारच्या प्रजातींना स्वतंत्रपणे परिचित होण्यासाठी ऑफर करतो.

विश्वसनीय घटना

ही परिस्थिती आहे ज्याची आवश्यक घटना तयार केली जाते. सार मध्ये चांगले delve करण्यासाठी, काही उदाहरणे आणणे चांगले आहे. भौतिकशास्त्र आणि रसायनशास्त्र, आणि अर्थशास्त्र आणि उच्च गणित या कायद्याच्या अधीन आहेत. संभाव्यता सिद्धांत समाविष्ट आहे महत्वाचे संकल्पनाएक विश्वासार्ह घटना म्हणून. आम्ही उदाहरणे देतो:

• आम्ही काम करतो आणि मजुरीच्या स्वरूपात पारिश्रमिक मिळतो.
• परीक्षा उत्तीर्ण झाली, स्पर्धा आयोजित केली गेली, आम्हाला पावती स्वरूपात या साठी एक पुरस्कार प्राप्त होतो शैक्षणिक संस्था.
• आवश्यक असल्यास आम्ही बँकेमध्ये पैसे गुंतविले आहेत, आम्ही त्यांना परत मिळवितो.

अशा घटना विश्वासार्ह आहेत. जर आपण सर्व आवश्यक परिस्थिती पूर्ण केली तर आपण निश्चितपणे अपेक्षित परिणाम प्राप्त करू.

अशक्य कार्यक्रम

आता आम्ही संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे घटक मानतो. पुढील घटनेच्या स्पष्टीकरणावर जाण्याचा आम्ही प्रस्तावित करतो, म्हणजे ते अशक्य आहे. सर्वात जास्त सुरुवात करण्यासाठी एक महत्वाचा नियम - अशक्य इव्हेंटची संभाव्यता शून्य आहे.

या फॉर्म्युलेशनमधून समस्या सोडवताना मागे जाणे अशक्य आहे. समजावून सांगणे, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे उदाहरण देतो:

• तापमानात दहा (हे अशक्य आहे) वर गोठलेले पाणी.
• कोणतेही वीज उत्पादन प्रभावित होत नाही (मागील उदाहरणामध्ये देखील अशक्य आहे).

अधिक उदाहरणे दिली जाऊ नयेत कारण उपरोक्त वर्णनानुसार या श्रेणीचे सार प्रतिबिंबित करतात. अशक्य इव्हेंट कधीही परिस्थितीत होणार नाही.

यादृच्छिक कार्यक्रम

संभाव्यतेच्या सिद्धांतांचे अभ्यास करणे, या प्रकारच्या घटनांना विशेष लक्ष दिले पाहिजे. ते त्यांना शिकत आहे हे विज्ञान. अनुभवाच्या परिणामी, काहीतरी होऊ शकते किंवा नाही. याव्यतिरिक्त, चाचणी असंख्य वेळा केली जाऊ शकते. तेजस्वी उदाहरण सर्व्ह करू शकता:

• नाणी एक कास्ट एक अनुभव आहे किंवा एक ईगल पडणे, एक इव्हेंट आहे.
• बॉल ओढणे - एक कसोटी, एक चाचणी, लाल बॉल पकडला - हा एक कार्यक्रम आहे आणि असेच आहे.

अशा उदाहरणे अमर्यादित प्रमाणात असू शकतात, परंतु सर्वसाधारणपणे, सार स्पष्ट असणे आवश्यक आहे. कार्यक्रमांवर प्राप्त झालेल्या ज्ञानाचे सारांश आणि व्यवस्थित करणे, एक टेबल दिली आहे. संभाव्यतेचे सिद्धांत अभ्यास सादर केलेल्या सर्व केवळ शेवटचे दृष्टिकोन.

कायदे

संभाव्यता सिद्धांत एक विज्ञान आहे जे कोणत्याही घटना बाहेर पडण्याची क्षमता अभ्यास करते. इतरांप्रमाणेच, त्याचे काही नियम आहेत. अस्तित्वात आहे खालील कायदे संभाव्यता सिद्धांत:

• यादृच्छिक व्हेरिएबल्सच्या क्रमांचे अभिसरण.
• मोठ्या संख्येचे नियम.

जटिलपणाची शक्यता मोजली तेव्हा आपण परिणामस्वरूप आणि वेगाने प्राप्त करण्यासाठी साध्या कार्यक्रमांच्या जटिल वापरू शकता. लक्षात ठेवा की संभाव्यतेच्या कायद्यांचे कायदे काही प्रमेय वापरून सहजपणे सिद्ध केले जातात. आम्ही पहिल्या कायद्याशी परिचित होण्यासाठी सुरूवात करतो.

यादृच्छिक व्हेरिएबल्सचे अभिसरण

लक्षात ठेवा की अभिसरण प्रजाती थोडीशी आहेत:

• यादृच्छिक व्हेरिएबल्सची अनुक्रम संभाव्यतेनुसार इच्छित आहे.
• जवळजवळ अशक्य.
• आर म्हणजे स्क्वेअर अभिसरण.
• वितरण अभिसरण

म्हणून, उन्हाळ्यात, सार मध्ये delve करणे फार कठीण आहे. आम्ही ही परिभाषा देतो जी या विषयाची ओळख करण्यास मदत करेल. पहिल्या दृश्यासह सुरुवात करणे. क्रम म्हणतात वारंवार संभाव्यता सारखेजर खालील अट साजरा केला गेला असेल तर: एन अनंत आहे, ज्या क्रमाने अनुक्रमे प्रयत्न करणे, अधिक शून्य आहे आणि एक अंदाजे आहे.

के वर जा. पुढे, जवळजवळ कदाचित. असे म्हटले जाते की अनुक्रम जोडणे जवळजवळ कदाचित एन, अनंत, आणि पी साठी एक यादृच्छिक व्हेरिएबल करण्यासाठी, एक अंदाजे परिमाण करण्यासाठी प्रयत्न.

पुढील प्रकार आहे अभिसरण रसिक आहे. एसके-अभिसरण वापरताना, वेक्टर यादृच्छिक प्रक्रियांचा अभ्यास त्यांच्या समन्वय यादृच्छिक प्रक्रियेच्या अभ्यासात कमी केला जातो.

शेवटचा प्रकार कायम राहिला, थोडक्यात समजून घ्या आणि कार्य सोडविण्यासाठी थेट हलविण्यासाठी. वितरणाचे अभिसरण दुसर्या नावाचे दुसरे नाव आहे - "कमकुवत", मग समजावून सांगा. कमकुवत अभिसरण - मर्यादा वितरण कार्याच्या सर्व स्थान बिंदूवर हे वितरण कार्यांचे अभिसरण आहेत.

वचन पूर्ण करणे सुनिश्चित करा: कमकुवत अभिसरण सर्व वस्तुस्थितीपेक्षा भिन्न आहे की यादृच्छिक मूल्य संभाव्य जागेवर परिभाषित नाही. हे शक्य आहे कारण ही स्थिती पूर्णपणे वितरण कार्ये वापरून तयार केली गेली आहे.

मोठ्या संख्येचे नियम

या कायद्याच्या पुराव्यात उत्कृष्ट सहाय्यक संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे प्रमेय असतील, जसे की:

• चेबिशीव्ह असमानता.
• Chybyshev प्रमेय.
• सामान्यीकृत chbyshev pherom.
• मार्कोव्ह च्या प्रमेय.

जर आपण या सर्व प्रमेयवर विचार केला तर या समस्येमुळे अनेक दहा शीट विलंब होऊ शकतो. आमच्याकडे देखील मुख्य कार्य आहे - हे प्रॅक्टिसमध्ये संभाव्यता सिद्धांतांचा वापर आहे. आम्ही आत्ताच आपल्याला ऑफर करतो आणि ते करतो. पण यापूर्वी, संभाव्यतेच्या सिद्धांताच्या वसद्धांतून विचारात घ्या, समस्या सोडवताना ते मुख्य सहाय्यक असतील.

एक्सिओम्स

पहिल्यापासून आम्ही अशक्य इव्हेंटबद्दल बोललो तेव्हा आधीपासूनच आम्ही भेटलो आहोत. चला लक्षात ठेवा: अशक्य इव्हेंटची संभाव्यता शून्य आहे. उदाहरण आम्ही अतिशय उज्ज्वल आणि संस्मरणीय आणले: बर्फ तीस अंश सेल्सिअस तापमानावर पडला.

खालीलप्रमाणे दुसरे ध्वनी: एक विश्वासार्ह घटना एखाद्या संभाव्यतेच्या समानतेसह उद्भवते. आता आपण गणिती भाषेच्या मदतीने कसे लिहायचे ते दर्शवितो: पी (सी) \u003d 1.

तिसरे: यादृच्छिक कार्यक्रम येऊ शकतो किंवा नाही, परंतु नेहमीच शून्य ते एकापर्यंत बदलण्याची क्षमता. पेक्षा जवळचे मूल्य एक, शक्यता अधिक आहे; जर मूल्य शून्यच्या जवळ असेल तर संभाव्यता खूपच लहान आहे. आम्ही ते गणितीय भाषेत लिहितो: 0<Р(С)<1.

शेवटचा, चौथा एक्सिओमचा विचार करा, जो यासारखे वाटतो: दोन कार्यक्रमांची संभाव्यता त्यांच्या संभाव्यतेच्या योगासह समान आहे. आम्ही गणिती भाषा लिहितो: पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी).

संभाव्यता सिद्धांतांचे असं सोपे नियम आहेत जे लक्षात ठेवण्यास कठीण होणार नाहीत. चला काही कार्ये सोडवण्याचा प्रयत्न करा, जो आधीपासून प्राप्त झालेल्या ज्ञानावर अवलंबून आहे.

लॉटरी तिकीट

सुरू करण्यासाठी, सर्वात सोपा उदाहरण विचारात घ्या - लॉटरी. कल्पना करा की आपण शुभेच्छा साठी एक लॉटरी तिकीट विकत घेतले. आपण कमीत कमी वीस rubles जिंकू इच्छित काय? सुमारे एक हजार तिकिटे गुंतवणूकीत गुंतलेली आहेत, त्यापैकी पाच सौ रुबल, दहाशे रुबल, पन्नास वीस रुबल आणि एकशे पाच मध्ये बक्षीस आहे. संभाव्यतेच्या सिद्धांतावरील कार्ये सुप्रसिद्ध संधी शोधण्यावर आधारित आहेत. आता एकत्रित कार्य वरील वरील उपाय विश्लेषित करू.

जर आपण पत्र आहोत आणि पाचशे रुबलच्या विजयाचे उल्लेख केले तर घसरण होण्याची शक्यता 0.001 च्या समान असेल. आम्ही ते कसे प्राप्त केले? आपल्याला त्यांच्या नंबर सामायिक करण्यासाठी "आनंदी" तिकीटांची संख्या सामायिक करणे आवश्यक आहे (या प्रकरणात: 1/1000).

बी शंभर rubles एक विजय आहे, संभाव्यता 0.01 च्या समान असेल. आता आम्ही पूर्वीच्या कृतीत (10/1000) समान तत्त्वावर कार्य केले

सी - जिंकणे वीस rubles समान आहेत. आम्हाला संभाव्यता आढळते, ते 0.05 सारखे आहे.

उर्वरित तिकिट्स यूएस मध्ये स्वारस्य नाहीत कारण त्यांचे बक्षीस पूल स्थितीमध्ये निर्दिष्ट पेक्षा कमी आहे. चौथा एक्सिओम लागू करा: कमीतकमी वीस रुबल्स जिंकण्याची शक्यता पी (ए) + पी (सी) + पी (सी) आहे. या कार्यक्रमाच्या उत्पत्तीच्या संभाव्यतेमुळे पत्र पी दर्शविली जाते, आम्हाला आधीपासूनच त्यांना मागील क्रियांमध्ये आढळले आहे. हे केवळ आवश्यक डेटा पटविणे आहे, आम्हाला उत्तरामध्ये 0.061 मिळते. हा नंबर आहे आणि कार्यच्या प्रश्नाचे प्रतिसाद असेल.

कार्ड डेक

संभाव्यतेच्या सिद्धांतावरील कार्ये अधिक जटिल आहेत, उदाहरणार्थ, पुढील कार्य घ्या. तीस-सहा कार्डे बाहेर एक डेक आधी. आपले कार्य स्टॅक हलविल्याशिवाय दोन नकाशे बाहेर काढण्यासाठी आहे, प्रथम आणि द्वितीय कार्डे एसीएस असणे आवश्यक आहे, सूट काहीही नाही.

सुरुवातीला, या चार विभाजनासाठी तीस-सहा साठी प्रथम कार्ड एसी होईल की पहिली कार्ड एक आहे. त्याला बाजूला ठेवण्यात आले. दुसरा कार्ड द्या, ती तीन तीस पाचव्या संभाव्यतेसह एसी होईल. दुसऱ्या इव्हेंटची संभाव्यता आम्ही प्रथम कोणता नकाशा आहे यावर अवलंबून असतो, आम्हाला आश्चर्य वाटले की, ते एक किंवा नाही. यातून असे खालीलप्रमाणे आहे की इव्हेंट इव्हेंटवर अवलंबून असते.

पुढील कृतीस एकाचवेळी अंमलबजावणीची शक्यता आढळते, ती एक फोल्डिंग ए आणि बी सह आहे. त्यांचे कार्य खालील प्रमाणे आहे: एका घटनेची संभाव्यता दुसर्या व्यक्तीची सशर्त संभाव्यतेवर गुणाकार करते, जी पहिली घटना घडली आहे असे मानतात म्हणजे, आम्ही प्रथम एसीईला काढले.

सर्वकाही स्पष्ट होण्यासाठी, आम्ही अशा घटकांना इव्हेंट म्हणून मानतो. हे मोजले जाते की असे घडले आहे असे मानले जाते. खालीलप्रमाणे गणना केली आहे: p (v / a).

आपण आमच्या समस्येचे निराकरण करू या: पी (ए * सी) \u003d पी (ए) * पी (ए / ए) किंवा पी (ए * सी) \u003d पी (सी) * पी (ए / सी). संभाव्यता समान (4/36) * ((3/35) / (4/36). गणना, शंभरवर गोलाकार. आमच्याकडे आहे: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.0 9. शक्यता आम्ही एका ओळीत दोन एसेस वाढवतो. मूल्य खूप लहान आहे, यातून असे खालीलप्रमाणे आहे की इव्हेंटची शक्यता अत्यंत लहान आहे.

विसरलेला क्रमांक

संभाव्यतेच्या सिद्धांतांचा अभ्यास करणार्या कार्यांसाठी आम्हाला आणखी अनेक पर्यायांचा समावेश करण्याचा प्रस्ताव आम्ही प्रस्तावित करतो. त्यांच्यापैकी काहीांना आपण आधीपासूनच या लेखात पाहिले आहे, पुढील कार्यसंघाचे निराकरण करण्याचा प्रयत्न करा: मुलगा त्याच्या मित्राच्या फोन नंबरचा शेवटचा अंक विसरला आहे, परंतु कॉल खूप महत्वाचा होता म्हणून, नंतर सर्वकाही वाढण्यास सुरुवात केली . आपल्याला संभाव्य गणना करण्याची गरज आहे की ते तीन वेळा जास्त कॉल करणार नाही. संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे नियम, कायदे आणि वसद्धांमधे हे सर्वात सोपे आहे, जर संभाव्यतेच्या सिद्धांताचे नियम, कायदे आणि वसद्धांत ज्ञात आहेत.

समाधान पाहण्यापूर्वी, स्वत: ला सोडविण्याचा प्रयत्न करा. आम्हाला माहित आहे की शेवटचा अंक शून्य ते नऊ पासून असू शकतो, म्हणजेच फक्त दहा मूल्ये आहेत. इच्छित टाइप करण्याची शक्यता 1/10 आहे.

पुढे, आपल्याला इव्हेंटच्या उत्पत्तीसाठी पर्याय विचारात घेण्याची गरज आहे, असे समजा की मुलगा अंदाज आणि ताबडतोब आवश्यक प्राप्त झाला, अशा घटनेची शक्यता 1/10 आहे. दुसरा पर्याय: स्लिपचा पहिला घंटा आणि दुसरा लक्ष्य. अशा कार्यक्रमाची शक्यता मोजा: 9/10 1/9 पर्यंत गुणाकार करा, परिणामी आम्हाला 1/10 देखील मिळते. तिसरा पर्याय: प्रथम आणि द्वितीय कॉल पत्ता येथे नव्हता, केवळ तिसऱ्या मुलापासून त्याला हवे होते. अशा कार्यक्रमाची संभाव्यता मोजा: 9/10 8/9 आणि 1/8 वर गुणाकार करा, परिणामी आम्हाला 1/10 मिळते. कार्यक्षेत्राच्या अट अंतर्गत इतर पर्याय आपल्यामध्ये स्वारस्य नाहीत, परिणामांमुळे आम्ही 3/10 आहे. उत्तर: मुलगा तीन वेळा समतुल्य नाही 0.3.

संख्या सह कार्डे

आपल्यासमोर नऊ कार्डे आहेत, त्यापैकी प्रत्येक एक ते नऊ क्रमांक लिहिले आहे, संख्या पुनरावृत्ती होत नाही. ते बॉक्समध्ये ठेवले होते आणि चांगले मिसळले होते. आपल्याला त्या संभाव्य गणना करण्याची आवश्यकता आहे

• अगदी संख्या संपेल;
• दोन अंकी

निराकरण करण्याआधी, आम्ही चर्चा करू की एम यशस्वी प्रकरणांची संख्या आहे आणि एन ही एकूण संख्या आहे. आम्हाला आशा आहे की संख्या देखील असेल. चार संख्या मोजणे कठीण नाही, ते आमचे एम असेल, सर्व काही शक्य 9 पर्याय आहे, म्हणजेच एम \u003d 9. मग संभाव्यता 0.44 किंवा 4/9 आहे.

आम्ही दुसऱ्या प्रकरणात विचार करतो: नऊ साठी पर्यायांची संख्या आणि तिथे यशस्वी परिणाम असू शकत नाहीत, म्हणजेच एम शून्य आहे. वाढलेल्या कार्डामध्ये दोन अंकी क्रमांक असेल तर त्याचप्रमाणेच शून्य आहे.

सुरुवातीला हाडांच्या माहितीचे माहिती आणि अनुभवजन्य निरीक्षण करणे ही संभाव्यता सिद्धांत एक ठोस विज्ञान बनली आहे. पहिल्यांदा तिचे गणिती फ्रेमवर्क दिले गेले. शेतकरी आणि पास्कल होते.

संभाव्यता सिद्धांत अनंतकाळ बद्दल विचार पासून

दोन व्यक्तिमत्त्व जे अनेक मूलभूत सूत्र, ब्लेस पास्कल आणि थॉमस बेईस यांनी बांधील आहेत, गहन विश्वासार्ह आहेत, ते नंतरचे प्रेस्बिटेरियन पुजारी होते. स्पष्टपणे, या दोन वैज्ञानिकांची इच्छा काही प्रकारच्या भविष्यकाळाच्या दृश्याची चादरी असल्याचे सिद्ध करण्यासाठी, त्यांच्या पाळीव प्राण्यांना शुभेच्छा देऊन, या क्षेत्रात संशोधन करण्यासाठी प्रेरणा दिली. सर्व केल्यानंतर, खरं तर, त्याच्या विजयी आणि तोटा सह जुगार फक्त गणिती तत्त्वांचा एक सिम्फनी आहे.

अझर्ट कॅवलरला धन्यवाद, जो समान खेळाडू होता आणि जो एक व्यक्ती आहे जो विज्ञानासाठी उदासीन नाही, पास्कलला संभाव्यतेची गणना करण्याचा मार्ग शोधण्यात भाग पाडण्यात आला. अशा प्रश्नामध्ये आपल्याला रस होता: "आपण दोन हाडे जोड्या किती वेळा टाकल्या पाहिजेत जेणेकरून 12 गुण मिळण्याची शक्यता 50% पेक्षा जास्त झाली?". दुसरा प्रश्न कव्हलरमध्ये अत्यंत स्वारस्य आहे: "अपूर्ण गेमच्या सहभागींच्या दरम्यान एक शर्त कसा सामायिक करावा?" अर्थात, पास्कलने दोन्ही प्रश्नांना यशस्वीरित्या प्रतिसाद दिला, जो संभाव्यतेच्या सिद्धांताच्या विकासासाठी अनैच्छिक प्रेरक बनला. मनोरंजक गोष्ट म्हणजे, व्यक्तीची व्यक्ती कला मध्ये ओळखली गेली आणि साहित्यात नाही.

पूर्वी, कोणत्याही गणितज्ञाने अद्याप इव्हेंटच्या संभाव्यतेची गणना करण्याचा प्रयत्न केला आहे, कारण असे मानले गेले आहे की हा एक गाणी निर्णय आहे. ब्लेस पास्कलने इव्हेंटच्या शक्यतेची पहिली व्याख्या दिली आणि हे एक विशिष्ट आकृती आहे जे गणितीय साधनांसह न्याय्य केले जाऊ शकते. संभाव्यता सिद्धांत आकडेवारीसाठी आधार बनली आहे आणि आधुनिक विज्ञानात मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते.

दुर्घटना म्हणजे काय?

जर आपण चाचणी विचारात घेतल्यास आपण अनंत संख्या पुन्हा पुन्हा करू शकता, तर आपण यादृच्छिक कार्यक्रम परिभाषित करू शकता. हा अनुभव संभाव्य परिणामांपैकी एक आहे.

अनुभव सतत परिस्थितीत ठोस क्रियांची अंमलबजावणी आहे.

अनुभवाच्या परिणामांसह कार्य करण्यासाठी, इव्हेंट्स सामान्यत: अक्षरे ए, बी, सी, डी, ई ... द्वारे दर्शविलेले असतात ...

यादृच्छिक कार्यक्रमाची संभाव्यता

जेणेकरून आपण संभाव्यतेचे गणितीय भाग सुरू करू शकता, आपल्याला त्याचे सर्व घटक परिभाषित करणे आवश्यक आहे.

अनुभवाच्या परिणामी विशिष्ट घटना (ए किंवा बी) चे संख्यात्मक स्वरूपात घटनेची शक्यता उद्भवली आहे. पी (ए) किंवा पी (बी) म्हणून संभाव्यता दर्शविली आहे.

संभाव्यता सिद्धांत मध्ये, फरक:

• विश्वसनीय इव्हेंटचा प्रयोग पी (ω) \u003d 1;
• अशक्य कार्यक्रम कधीही पी (ø) \u003d 0 होऊ शकत नाही;
• यादृच्छिक हा कार्यक्रम विश्वासार्ह आणि अशक्य आहे, म्हणजे, त्याच्या देखावा संभाव्यता शक्य आहे, परंतु हमी नाही (यादृच्छिक कार्यक्रमाची संभाव्यता नेहमीच 0≤p (ए) ≤ 1) मध्ये असते.

कार्यक्रम दरम्यान संबंध

ए + बीच्या घटनांच्या दोन्ही गोष्टींचा विचार करा, जेव्हा इव्हेंट कमीतकमी एक घटक, ए किंवा बी किंवा दोन्हीच्या अंमलबजावणीमध्ये - ए आणि व्ही.

एकमेकांच्या संबंधात, घटना असू शकतात:

• समतोल.
• सुसंगत
• विसंगत
• उलट (परस्पर अनन्य).
• अवलंबून.

जर दोन कार्यक्रम समान संभाव्यतेसह येऊ शकतात, तर ते समतोल.

एखाद्या कार्यक्रमाचे स्वरूप असल्यास आणि इव्हेंटच्या स्वरूपाच्या संभाव्यतेची शक्यता कमी होत नाही तर ते सुसंगत

जर इव्हेंट्स ए आणि बी एकाच अनुभवामध्ये एकाच वेळी कधीच घडत नाहीत तर त्यांना कॉल केले जाते विसंगत. थ्रोइंग नाणी एक चांगले उदाहरण आहे: गर्दीचा देखावा आपोआप ईगलचा दोष आहे.

अशा विसंगत घटनांच्या संख्येसाठी संभाव्यता प्रत्येक घटनांची संभाव्यता असते:

पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (सी)

जर एका घटनेची सुरुवात घट झाली तर इतरांना अशक्य होते, त्यांना उलट म्हटले जाते. त्यानंतर त्यापैकी एक म्हणून, आणि दुसरा म्हणून नियुक्त केला जातो - ("नाही" म्हणून वाचा). इव्हेंटचे स्वरूप म्हणजे याचा अर्थ होऊ नये. हे दोन कार्यक्रम एक संपूर्ण गट तयार करतात जे 1 च्या समानतेच्या समानतेसह.

आश्रित घटनांमध्ये परस्पर प्रभाव, कमी करणे किंवा एकमेकांच्या संभाव्यतेत वाढते.

कार्यक्रम दरम्यान संबंध. उदाहरणे

संभाव्यता सिद्धांत आणि कार्यक्रम संयोजनांचे सिद्धांत समजून घेणे चांगले आहे.

आयोजित केलेला अनुभव बॉक्समधून बॉल काढायचा आहे आणि प्रत्येक अनुभवाचा परिणाम एक मूलभूत परिणाम आहे.

इव्हेंट हा अनुभवाच्या संभाव्य परिणामांपैकी एक आहे - एक लाल बॉल, एक ब्लू बॉल, एक संख्या सहा सह चेंडू इत्यादी.

चाचणी क्रमांक 1. 6 चेंडू गुंतलेले आहेत, त्यापैकी तीन निळ्या रंगात रंगविलेले आहेत, त्यांच्यावर विचित्र संख्या लागू केल्या आहेत आणि तीन इतर अगदी संख्येने लाल आहेत.

चाचणी क्रमांक 2. एक ते सहा च्या संख्येसह निळ्या रंगाचे 6 चेंडू गुंतलेले आहेत.

या उदाहरणावर आधारित, आपण संयोजन कॉल करू शकता:

• विश्वसनीय कार्यक्रम. मध्ये №2 इव्हेंट "ब्लू बॉल मिळवा" विश्वसनीय आहे, कारण त्याच्या देखावा संभाव्यतेची संभाव्यता 1 च्या समान आहे, कारण सर्व बॉल निळे आणि मिस असू शकत नाहीत. तर इव्हेंट "नंबर 1 सह बॉल मिळवा" यादृच्छिक आहे.
• अशक्य घटना. मध्ये №1 निळ्या आणि लाल चेंडूसह इव्हेंट "एक जांभळा बॉल मिळवा" अशक्य आहे कारण त्याचे स्वरूप 0 आहे.
• समान कार्यक्रम. मध्ये №1 इव्हेंट्स "क्रमांक 2 सह एक बॉल मिळवा" आणि "एक संख्या 3" समतोल बनवा आणि इव्हेंट्स "अगदी एक बॉल मिळवा" आणि "नंबर 2 सह बॉल मिळवा" एक भिन्न संभाव्यता आहे .
• सुसंगत कार्यक्रम. खेळाच्या हाड फेकण्याच्या प्रक्रियेत सहा मिळविण्यासाठी एक पंक्तीत दोन वेळा - हे सुसंगत कार्यक्रम आहेत.
• विसंगत कार्यक्रम. त्याच आयएसपी मध्ये. №1 इव्हेंट्स "लाल बॉल मिळवा" आणि "विचित्र नंबरसह एक बॉल मिळवा" त्याच अनुभवामध्ये एकत्र केला जाऊ शकत नाही.
• उलट कार्यक्रम. यातील सर्वात धक्कादायक उदाहरण म्हणजे जेव्हा गरुड पुलिंग नदीच्या कैद्यावरुन बाहेर पडते तेव्हा नाणी फेकणे आणि त्यांच्या संभाव्यतेची बेरीज नेहमीच 1 (पूर्ण गट) असते.
• आश्रित घटना. म्हणून, आयएसपी मध्ये. № 1 आपण एका ओळीत लाल फुले काढून टाकण्यासाठी ध्येय सेट करू शकता. पहिल्यांदा त्याचे निष्कर्ष किंवा अज्ञात दुसर्यांदा काढण्याच्या संभाव्यतेवर परिणाम करते.

हे पाहिले जाऊ शकते की पहिला कार्यक्रम द्वितीय (40% आणि 60%) संभाव्यतेच्या संभाव्यतेवर परिणाम करतो.

कार्यक्रम संभाव्यता फॉर्म्युला

अचूक डेटावर गॅर्टेटी प्रतिबिंब पासून संक्रमण गणितीय विमानात अनुवादित थीममुळे आहे. म्हणजेच, "उच्च संभाव्यता" किंवा "किमान संभाव्यता" सारख्या यादृच्छिक कार्यक्रमाविषयी निर्णय विशिष्ट अंकीय डेटामध्ये हस्तांतरित केला जाऊ शकतो. अशा सामग्रीचे मूल्यांकन करणे, तुलना करणे आवश्यक आहे, तुलना करणे आणि अधिक जटिल गणना करणे.

गणनाच्या दृष्टिकोनातून, इव्हेंटची संभाव्यता परिभाषा प्राथमिक स्थितीच्या संख्येच्या संख्येचे प्रमाण तुलनेने विशिष्ट कार्यक्रमाच्या सर्व संभाव्य परिणामांच्या प्रमाणावर आहे. हे पी (ए) च्या संभाव्यतेद्वारे सूचित केले जाते, जेथे आर म्हणजे "संभाव्यता" शब्द म्हणजे फ्रेंच भाषेत "संभाव्यता."

तर, संभाव्यता फॉर्म्युला इव्हेंट:

इव्हेंटसाठी मी अनुकूल परिणामांची संख्या कुठे आहे, एन - या अनुभवासाठी सर्व परिणाम शक्य आहे. या प्रकरणात, इव्हेंटची संभाव्यता नेहमी 0 आणि 1 दरम्यान आहे:

0 ≤ पी (ए) ≤ 1.

इव्हेंटची संभाव्यता गणना. उदाहरण

शब्दलेखन घ्या. №1 बॉलसह, जे पूर्वी वर्णन केले गेले आहे: 3 ब्लू बॉल्स 1/3/5 आणि 2/4/6 च्या संख्येसह 3 लाल.

या चाचणीच्या आधारावर, बर्याच भिन्न कार्ये पाहिल्या जाऊ शकतात:

• एक - लाल वाडगा च्या नुकसान. रेड बॉल 3, आणि एकूण पर्याय 6. ही सर्वात सोपी उदाहरणे आहे ज्यामध्ये इव्हेंटची संभाव्यता पी (ए) \u003d 3/6 \u003d 0.5 आहे.
• बी - अगदी संख्या कमी. एकूण संख्या 3 (2,4,6) आणि संभाव्य अंकीय रूपेंची एकूण संख्या 6. या कार्यक्रमाची संभाव्यता पी (बी) \u003d 3/6 \u003d 0.5 आहे.
• सी पेक्षा जास्त संख्येचे नुकसान 2. एकूण परिणाम 4 (3,4,5,6) एकूण संख्या 6. एकूण संख्या 6. च्या समान कार्यक्रमाची संभाव्यता पी (सी) \u003d 4/6 \u003d 0.67 च्या संभाव्यतेची संभाव्यता .

गणनेतून पाहिले जाऊ शकते, इव्हेंट सीकडे जास्त संभाव्यता आहे, कारण संभाव्य सकारात्मक परिणामांची संख्या ए आणि व्ही पेक्षा जास्त आहे.

अवैध कार्यक्रम

अशा घटना एकाच अनुभवामध्ये एकाच वेळी दिसतात. जसे №1 एकाच वेळी निळ्या आणि लाल बॉलमध्ये पोहोचणे अशक्य आहे. म्हणजे, आपण एकतर निळा किंवा लाल बॉल मिळवू शकता. त्याचप्रमाणे खेळाच्या हाडांमध्ये, अगदी एक आणि विचित्र संख्या एकाच वेळी असू शकते.

दोन कार्यक्रमांची संभाव्यता त्यांच्या सममूल्य किंवा कामाची संभाव्यता मानली जाते. अशा घटनांची संख्या ए + बी इतकी अशी घटना मानली जाते जी इव्हेंट ए किंवा बीच्या उदयामध्ये असते आणि त्यांच्यातील कार्य दोन्ही बाजूंच्या स्वरूपात आहे. उदाहरणार्थ, दोन षटकात दोन षटकार एक थ्रो मध्ये दोन षटकारांवर दिसतात.

अनेक कार्यक्रमांची बेरीज म्हणजे त्यापैकी किमान एक उद्भवणारी घटना आहे. अनेक कार्यक्रमांचे कार्य त्यांच्या सर्वांचे संयुक्त देखावा आहे.

संभाव्यतेच्या सिद्धांतानुसार, एक नियम म्हणून, संघटनेचा वापर "आणि" रक्कम दर्शविते, संघटना "किंवा" - गुणाकार. संभाव्यतेसह सूत्र संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये जोड आणि गुणाकारांचे तार्किक समजून घेण्यास मदत करतील.

अपूर्ण घटना संभाव्यता

असंगत घटनांची संभाव्यता विचारात घेतल्यास, घटनांच्या संख्येची संभाव्यता त्यांच्या संभाव्यतेच्या व्यतिरिक्त समान आहे:

पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (सी)

उदाहरणार्थ: मी पीसीमध्ये संभाव्यतेची गणना करतो. क्रमांक 1 निळा आणि लाल बॉलसह, 1 आणि 4 ची संख्या एका कृतीमध्ये नाही, परंतु प्राथमिक घटकांच्या संभाव्यतेची बेरीज. तर, या अनुभवामध्ये केवळ 6 बॉल किंवा सर्व संभाव्य परिणामांपैकी 6. अटी पूर्ण करणारी संख्या - 2 आणि 3. आकृती 2 च्या संभाव्यतेची शक्यता 1/6 आहे, आकृती 3 ची संभाव्यता देखील 1/6 आहे. 1 आणि 4 दरम्यान अंक खाली उतरेल अशी संभाव्यता:

संपूर्ण गटाच्या विसंगत घटनांची संभाव्यता 1 आहे.

म्हणून, जर क्यूब सह प्रयोगात असेल तर सर्व संख्येच्या फॉलआउटची संभाव्यता आहे, त्यानंतर परिणामी आम्ही एकक प्राप्त करतो.

उलट घटनांसाठी देखील हे देखील सत्य आहे, उदाहरणार्थ, एक नाणेचा अनुभव, जेथे एक बाजू एक घटना आहे, आणि दुसरा एक उलट कार्यक्रम आहे, म्हणून, म्हणून ओळखले जाते,

पी (ए) + पी (ā) \u003d 1

गैर-प्रमुख कार्यक्रमांच्या कामाची शक्यता

एका अवलोकनात दोन किंवा अधिक अपूर्ण घटनांचा उदय मानताना संभाव्यता संभाव्यता लागू होतात. घटना ए आणि बी एकाच वेळी दिसतील, त्यांच्या संभाव्य उत्पादनांच्या समान, किंवा:

पी (ए * बी) \u003d पी (ए) * पी (बी)

उदाहरणार्थ, ISP मध्ये संभाव्य शक्यता. №1 दोन प्रयत्नांमुळे, ब्लू बॉल दोनदा, समान दिसेल

म्हणजे, इव्हेंटच्या घटनेची संभाव्यता जेव्हा बॉल काढून टाकण्याच्या दोन प्रयत्नांमुळेच, केवळ निळ्या बॉल काढल्या जातील, 25% च्या समान. या कामाच्या व्यावहारिक प्रयोग करणे खूप सोपे आहे आणि ते खरोखर आहे का ते पहा.

संयुक्त कार्यक्रम

त्यांच्यापैकी एकाचा दृष्टिकोन आणखी एक उद्भव इच्छितात तेव्हा घटना संयुक्तपणे विचारात घेतल्या जातात. ते संयुक्त आहेत की ते स्वतंत्र आहेत, स्वतंत्र इव्हेंटची शक्यता मानली जाते. उदाहरणार्थ, दोन खेळणार्या हाडे फोडते जेव्हा त्या दोन्हीवर 6 व्या क्रमांकावर पडतात तेव्हा परिणाम देऊ शकतात. जरी घटना घडल्या आणि एकाच वेळी दिसतात, ते एकमेकांपासून स्वतंत्र आहेत - फक्त एक सहा, द्वितीय हाडांवर त्याचा प्रभाव पडत नाही .

संयुक्त इव्हेंटची संभाव्यता त्यांच्या योगाची संभाव्यता मानली जाते.

संयुक्त कार्यक्रम च्या बेरीज संभाव्यता. उदाहरण

इव्हेंट्स ए आणि बी च्या संभाव्यतेची संभाव्यता, जे एकमेकांच्या जोडीच्या संबंधात, त्यांच्या कामाच्या संभाव्यतेच्या क्षमतेच्या क्षमतेचे समतुल्य आहे (म्हणजेच, त्यांचे संयुक्त अंमलबजावणी):

पी संयुक्त. (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - पी (एव्ही)

समजा की एका शॉटसह लक्ष्य मिळविण्याची शक्यता 0.4 आहे. मग इव्हेंट ए - पहिल्या प्रयत्नात लक्ष्य मारणे - सेकंदात - मध्ये. हे कार्यक्रम संयुक्त आहेत, कारण हे शक्य आहे की लक्ष्य हिट आणि प्रथम आणि दुसर्या शॉटवरून. परंतु कार्यक्रम अवलंबून नाहीत. दोन शॉट्स (किमान एक) पासून लक्ष्य पराभूत होण्याची शक्यता काय आहे? सूत्रानुसार:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

प्रश्नाचे उत्तर खालीलप्रमाणे आहे: "दोन शॉट्समधील ध्येय मिळवण्याची शक्यता 64% आहे."

या कार्यक्रमाची संभाव्यता फॉर्म्युला देखील अपूर्ण घटनांसाठी लागू होऊ शकते, जेथे इव्हेंटच्या स्वरूपाची संभाव्यता पी (एव्ही) \u003d 0. याचा अर्थ असा आहे की अपूर्ण घटनांची संभाव्यता प्रस्तावित सूत्राची विशेष बाब म्हणून वापरली जाऊ शकते.

स्पष्टता साठी संभाव्यता भूमिती

मनोरंजक गोष्ट म्हणजे, संयुक्त कार्यक्रमांची संभाव्यता दोन भाग ए आणि बी म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, जे एकत्रितपणे छेदते. चित्रातून पाहिले जाऊ शकते, त्यांच्या संघटनेचे क्षेत्र त्यांच्या छेदनबिंदू क्षेत्राच्या प्रति मिनिट एकूण क्षेत्राच्या समान आहे. हे भौमितीक स्पष्टीकरण प्रथम दृष्टीक्षेप सूत्रावर अधिक समजण्यायोग्य बनते. लक्षात घ्या की भौमितिक उपाय संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये असामान्य नाहीत.

सेटच्या बेरीजची संभाव्यता (दोन पेक्षा जास्त) संयुक्त कार्यक्रम अगदी त्रासदायक आहे. याची गणना करण्यासाठी, आपल्याला या प्रकरणांसाठी प्रदान केलेल्या सूत्रांचा वापर करणे आवश्यक आहे.

आश्रित घटना

आश्रित घटनांना असे म्हटले जाते की त्यांच्यापैकी एक (ए) च्या आक्षेपार्ह दुसर्या (बी) च्या शक्यता प्रभावित करते. शिवाय, या दोन्ही घटना ए आणि त्याच्या दोषांचा प्रभाव खात्यात घेतला जातो. जरी घटना परिभाषेवर अवलंबून असतात परंतु त्यापैकी फक्त एक (बी) अवलंबून आहे. सामान्य संभाव्यता पी (बी) म्हणून किंवा स्वतंत्र घटनांची शक्यता म्हणून नियुक्त करण्यात आली. आश्रित परिस्थितीत, एक नवीन संकल्पना सुरू केली जाते - सशर्त संभाव्यता पी एक (बी), जो आश्रित घटनेची संभाव्यता आहे जी इव्हेंट (परिकल्पना) आहे ज्यामुळे ते अवलंबून असते.

परंतु शेवटी, एक कार्यक्रम देखील संधीद्वारे आहे, म्हणून आपल्याला आवश्यक आहे आणि गणना केलेल्या गणनेमध्ये विचारात घेता येईल. पुढे, आश्रित घटनांसह आणि परिकल्पन कसे कार्य करावे ते उदाहरण दर्शविले जाईल.

आश्रित घटनांची संभाव्यता मोजण्याचे उदाहरण

अवलंबित घटनांची गणना करण्यासाठी एक चांगले उदाहरण कार्डचे मानक डेक असू शकते.

36 कार्डे मधील डेकच्या उदाहरणावर अवलंबून असलेल्या घटनांचा विचार करा. पहिला काढलेला दुसरा कार्ड डेकमधून काढलेला दुसरा कार्ड एक तंबराइन असेल अशी शक्यता निश्चित करणे आवश्यक आहे:

1. Bubnovy.
2. दुसरा सूट.

हे स्पष्ट आहे की दुसऱ्या इव्हेंटची संभाव्यता प्रथम ए वर अवलंबून असते. म्हणून, जर पहिला पर्याय सत्य आहे की डेक 1 कार्ड (35) आणि 1 टंबोरीन (8) कमी असेल तर:

पी ए (बी) \u003d 8/35 \u003d 0.23

दुसरा पर्याय उचित असल्यास, डेक 35 कार्डे बनले आहे, आणि तंबोरिनची एकूण संख्या अद्याप संरक्षित आहे, नंतर पुढील कार्यक्रमाची शक्यता:

पी एक (बी) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

हे पाहिले जाऊ शकते की प्रथम कार्ड एक थंबरी आहे, तर घटनेची संभाव्यता कमी होते आणि उलट.

अवलंबून आग संख्या

मागील अध्यायानुसार मार्गदर्शित, आम्ही एक तथ्य म्हणून प्रथम कार्यक्रम (ए) स्वीकारतो, परंतु जर आपण थोडक्यात बोललो तर ते एक यादृच्छिक पात्र आहे. या कार्यक्रमाची संभाव्यता, कार्डच्या डेकमधून तंबोरिनचे निष्कर्ष, समान आहे:

पी (ए) \u003d 9/36 \u003d 1/4

सिद्धांत स्वत: मध्ये अस्तित्वात नाही, परंतु व्यावहारिक उद्देशांसाठी सेवा देण्यासाठी डिझाइन केलेले आहे, हे लक्षात ठेवा की आश्रित घटनांच्या उत्पादनाची शक्यता बर्याचदा आवश्यक असते.

आश्रित घटनांच्या संभाव्यतेच्या प्रमेयच्या म्हणण्यानुसार, संयुक्तपणे आश्रित घटनांच्या देखावा अ आणि बीच्या देखावा संभाव्यतेच्या संभाव्यतेच्या संभाव्यतेच्या संभाव्यतेच्या तुलनेत, एक कार्यक्रम (अवलंबून) च्या सशर्त संभाव्यतेद्वारे गुणाकार केला आहे:

पी (एबी) \u003d पी (ए) * पी ए (बी)

मग एक डेक यांच्या उदाहरणामध्ये, टंबोरीनच्या माहीसह दोन कार्डे काढण्याची शक्यता आहे:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, किंवा 5.7%

आणि काढण्याची शक्यता प्रथम एक tambourin नाही, आणि नंतर tamborines समान आहेत:

27/36 * 9/35 \u003d 0.1 9 किंवा 1 9%

हे पाहिले जाऊ शकते की अधिक घटनेच्या स्वरूपाची संभाव्यता, प्रथम निष्कर्ष कार्ड तंबोरिनमधून काढला जाईल. हा परिणाम पूर्णपणे तार्किक आणि समजण्यायोग्य आहे.

कार्यक्रम पूर्ण संभाव्यता

सशर्त संभाव्यता सह समस्या बहुगुणित झाल्यावर, नेहमीच्या पद्धतींची गणना करणे अशक्य आहे. काल्पनिक दोनपेक्षा जास्त असतात, म्हणजे ए 1, ए 2, ..., आणि एन, .. प्रदान केलेल्या घटनांचा संपूर्ण गट थंड करणे:

• पी (मी)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• एक मी ∩ ∩ ∩ \u003d ø, I ≠ जे.
• Σ के ए के \u003d ω.

म्हणून, यादृच्छिक कार्यक्रम ए 1, ए 2, ... आणि एन या संपूर्ण गटातील कार्यक्रमासाठी पूर्ण संभाव्यता साठी सूत्र आहे:

भविष्यात एक दृष्टीक्षेप

विज्ञानाच्या बर्याच भागात यादृच्छिक कार्यक्रमाची संभाव्यता अत्यंत आवश्यक आहे: अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, भौतिकशास्त्र इत्यादी. कारण काही प्रक्रिया निर्धारित केल्या जाऊ शकत नाहीत, कारण त्यांच्याकडे संभाव्य निसर्ग आहे, कामाच्या खास पद्धती आवश्यक आहेत. एखाद्या इव्हेंटच्या संभाव्यतेचा सिद्धांत कोणत्याही तांत्रिक क्षेत्रामध्ये त्रुटी किंवा गैरफळण्याची शक्यता ठरविण्याचा मार्ग म्हणून केला जाऊ शकतो.

असे म्हटले जाऊ शकते की, शक्यता शिकणे, आम्ही भविष्यात भविष्यात सैद्धांतिक पाऊल करत आहोत, सूत्राच्या प्रिझमद्वारे ते पहात आहोत.

• संभाव्यता एक पदवी (सापेक्ष उपाय, प्रमाणित मूल्यांकन) विशिष्ट कार्यक्रमाच्या घटनेची शक्यता आहे. जेव्हा काही संभाव्य घटनेसाठी ग्राउंड वास्तविकतेत आली तेव्हा उलट दिशेने बाहेरील, या कार्यक्रमास संभाव्य किंवा अविश्वसनीय असे म्हटले जाते. नकारात्मक प्रती सकारात्मक आधारांचा फायदा आणि उलट, वेगवेगळ्या प्रमाणात असू शकते, ज्यामुळे संभाव्यता (आणि अविश्वसनीयता) जास्त किंवा कमी असते. त्यामुळे, संभाव्यतेनुसार गुणधर्म बहुधा गुणात्मक स्तरावर मूल्यांकन केले जाते, विशेषत: अशा परिस्थितीत जेथे कमी किंवा कमी अचूक प्रमाणित मूल्यांकन अशक्य किंवा अत्यंत कठीण आहे. संभाव्यता च्या "स्तर" च्या विविध श्रेणी शक्य आहे.

  गणितीय बिंदूपासून संभाव्यता तपासणी एक विशेष अनुशासन - संभाव्यता सिद्धांत आहे. संभाव्यता सिद्धांत आणि गणिती आकडेवारीत, संभाव्यतेची संकल्पना इव्हेंटची अंकीय वैशिष्ट्य म्हणून औपचारिक वैशिष्ट्यपूर्ण आहे - एक संभाव्य उपाय (किंवा त्याचे मूल्य) - इव्हेंट्सच्या बहुविधतेवर मापन करते (प्राथमिक घटनांच्या बहुसंपणाची उपकरणे) पासून

  (\\ प्रदर्शन स्टाईल 0)

  (\\ प्रदर्शन स्टाइल 1)

  मूल्य

  (\\ प्रदर्शन स्टाइल 1)

  विश्वासार्ह कार्यक्रमाचे पालन करते. अशक्य इव्हेंटमध्ये 0 ची संभाव्यता आहे (उलट सामान्य बोलणे नेहमीच सत्य नसते). कार्यक्रमांची शक्यता समान असेल तर

  (\\ प्रदर्शनात पी)

  मग त्याच्या अनुषंगपणाची शक्यता समान आहे

  (\\ प्रदर्शन 1-पी)

  विशेषतः, संभाव्यता

  (\\ प्रदर्शन स्टाईल 1/2)

  घटनेची समान संभाव्यता आणि एक इव्हेंट अस्वीकार करणे सूचित करते.

  शास्त्रीय संभाव्यता परिभाषा परिणामांच्या समतोल संकल्पनावर आधारित आहे. संभाव्यतेनुसार, परिणामांच्या संख्येचे प्रमाण, या इव्हेंटसाठी अनुकूल, समतोल परिणामांची एकूण संख्या. उदाहरणार्थ, "गरुड" किंवा "रश" च्या संभाव्यतेची संभाव्यता 1/2 आहे, जर असे मानले जाते की ही दोन शक्यता आहे आणि ते समान आहेत. संभाव्य मूल्यांच्या अनंत मूल्याच्या बाबतीत संभाव्यतेची ही शास्त्रीय "परिभाषा" सामान्यीकृत केली जाऊ शकते - उदाहरणार्थ, एखाद्या विशिष्ट लिमिटेडच्या कोणत्याही क्षणी (पॉइंटची संख्या अनंत) असलेल्या संभाव्यतेच्या समानतेसह काही घटना घडल्यास स्पेस (प्लेन) क्षेत्र, या परवानगी असलेल्या क्षेत्राच्या काही भागांमध्ये हे घडेल अशी संभाव्यता या भागाच्या व्हॉल्यूम (क्षेत्र) च्या समान संभाव्य पॉइंटच्या व्हॉल्यूम (क्षेत्र) च्या प्रमाणापेक्षा समान आहे.

  संभाव्यतेचा अनुभवजन्य "परिभाषा" हा इव्हेंटच्या इव्हेंटच्या वारंवारतेशी संबंधित आहे की मोठ्या प्रमाणावर परीक्षेसह, वारंवारता या कार्यक्रमाच्या संभाव्यतेच्या संभाव्यतेसाठी प्रयत्न करणे आवश्यक आहे. संभाव्य सिद्धांताच्या आधुनिक सादरीकरणात, सेट उपायांच्या अमूर्त सिद्धांतांच्या विशेष प्रकरणात, संभाव्यतेचे निर्धारण केले जाते. तरीसुद्धा, अमूर्त मापन आणि इव्हेंट घडण्याची संधी मिळविण्याच्या संभाव्यतेच्या संभाव्यतेची संभाव्यता ही त्याच्या निरीक्षणाची वारंवारता आहे.

  आधुनिक विज्ञान, विशेषतः मॅक्रोस्किक (थर्मोडायनामिक) प्रणालींच्या आर्थिकदृष्ट्या मोठ्या प्रमाणावर किंवा इतर घटनेचे संभाव्य वर्णन मोठ्या प्रमाणावर होते, जेथे कण चळवळीतील क्लासिक निर्धारात्मक वर्णन बाबतीत, संपूर्ण वर्णनात्मक वर्णन कण प्रणाली व्यावहारिकदृष्ट्या संभाव्य आणि योग्य नाही. क्वांटम भौतिकशास्त्रात, स्वतःच्या वर्णन केलेल्या प्रक्रियेस संभाव्य निसर्ग आहे.