सैद्धांतिक साहित्य. फंक्शनचा एक्स्ट्रेमा म्हणजे काय: फंक्शनचे कमाल आणि किमान एक्स्ट्रेमाचे गंभीर बिंदू कमाल आणि किमान
अर्थ
श्रेष्ठ
अर्थ
कमीत कमी
कमाल बिंदू
किमान बिंदू
एक्स्ट्रीम फंक्शनचे बिंदू शोधण्याच्या समस्या एका मानक योजनेनुसार 3 चरणांमध्ये सोडवल्या जातात.
1 ली पायरी. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा
- व्युत्पन्न शोधण्यासाठी प्राथमिक कार्यांची व्युत्पन्न सूत्रे आणि भिन्नतेचे मूलभूत नियम लक्षात ठेवा.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
पायरी 2. व्युत्पन्नाचे शून्य शोधा
- व्युत्पन्नाचे शून्य शोधण्यासाठी परिणामी समीकरण सोडवा.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
पायरी 3. अत्यंत बिंदू शोधा
- व्युत्पन्नाची चिन्हे निश्चित करण्यासाठी मध्यांतर पद्धत वापरा;
- किमान बिंदूवर, व्युत्पन्न शून्याच्या बरोबरीचे असते आणि वजा ते अधिक आणि कमाल बिंदूवर, अधिक ते वजा चिन्ह बदलते.
खालील समस्येचे निराकरण करण्यासाठी हा दृष्टिकोन वापरूया:
फंक्शनचा कमाल बिंदू y=x3−243x+19 शोधा.
1) व्युत्पन्न शोधा: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) y′(x)=0 समीकरण सोडवा: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) व्युत्पन्न x>9 आणि x साठी सकारात्मक आहे<−9 и отрицательная при −9 फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य कसे शोधायचे फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक: अनेक कामात मदत करते प्रमेय: सेगमेंटवर फक्त एकच टोकाचा बिंदू असल्यास, आणि हा किमान बिंदू असल्यास, फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य त्यावर प्राप्त होते. जर हा कमाल बिंदू असेल, तर सर्वात मोठे मूल्य तेथे पोहोचले आहे. 14. अनिश्चित इंटिग्रलची संकल्पना आणि मूलभूत गुणधर्म. फंक्शन असल्यास f(x एक्स, आणि k- संख्या, नंतर थोडक्यात: अविभाज्य चिन्हातून स्थिरांक काढला जाऊ शकतो. जर कार्ये f(x) आणि g(x) मध्यांतरावर अँटीडेरिव्हेटिव्ह असतात एक्स, ते थोडक्यात: बेरीजचा अविभाज्य भाग पूर्णांकांच्या बेरजेइतका असतो. फंक्शन असल्यास f(x) मध्यांतरावर अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे एक्स, नंतर या मध्यांतराच्या अंतर्गत बिंदूंसाठी: थोडक्यात: इंटिग्रलचे व्युत्पन्न इंटिग्रँडच्या बरोबरीचे आहे. फंक्शन असल्यास f(x) मध्यांतरावर सतत आहे एक्सआणि या मध्यांतराच्या अंतर्गत बिंदूंवर भिन्न आहे, नंतर: थोडक्यात: फंक्शनच्या डिफरन्शियलचे इंटिग्रल हे फंक्शन आणि इंटिग्रेशन कॉन्स्टंटच्या बरोबरीचे असते. चला एक कठोर गणितीय व्याख्या देऊ अनिश्चित अभिन्न संकल्पना. फॉर्मची अभिव्यक्ती म्हणतात कार्याचा अविभाज्य भाग f(x)
, कुठे f(x)
- दिलेले इंटिग्रँड फंक्शन (ज्ञात), dx
- भिन्नता x
, नेहमी उपस्थित असलेल्या चिन्हासह dx
. व्याख्या. अनिश्चित अविभाज्यफंक्शन म्हणतात F(x) + C
, अनियंत्रित स्थिरांक असलेले सी
, ज्याचा फरक समान आहे इंटिग्रँडअभिव्यक्ती f(x)dx
, म्हणजे आम्ही तुम्हाला आठवण करून देतो की - विभेदक कार्यआणि खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे: समस्या शोधत आहे अनिश्चित अविभाज्यअसे कार्य शोधणे आहे व्युत्पन्नजे इंटिग्रँडच्या बरोबरीचे आहे. हे फंक्शन स्थिरांकासाठी अचूक ठरवले जाते, कारण स्थिरांकाचे व्युत्पन्न शून्य आहे. उदाहरणार्थ, हे ज्ञात आहे की , नंतर ते बाहेर वळते शोधण्यात समस्या अनिश्चित अविभाज्यफंक्शन्स पहिल्या दृष्टीक्षेपात दिसते तितके सोपे आणि सोपे नाही. बर्याच बाबतीत, काम करताना कौशल्य असणे आवश्यक आहे अनिश्चित अविभाज्य,असा अनुभव असला पाहिजे जो सरावाने आणि सतत येतो अनिश्चित पूर्णांकांची उदाहरणे सोडवणे.हे तथ्य विचारात घेण्यासारखे आहे अनिश्चित पूर्णांककाही फंक्शन्समधून (त्यापैकी बरेच आहेत) प्राथमिक फंक्शन्समध्ये घेतले जात नाहीत. 15. मूलभूत अनिश्चित पूर्णांकांची सारणी. मूलभूत सूत्रे 16. अविभाज्य बेरीजची मर्यादा म्हणून निश्चित पूर्णांक. इंटिग्रलचा भौमितीय आणि भौतिक अर्थ. फंक्शन y=ƒ(x) मध्यांतरावर परिभाषित करू द्या [a; b], a< b. Выполним следующие действия. 1. बिंदू x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0) वापरणे 2. प्रत्येक आंशिक विभागात, i = 1,2,...,n, i є सह अनियंत्रित बिंदू निवडा आणि त्यातील फंक्शनच्या मूल्याची गणना करा, म्हणजे मूल्य ƒ(i सह). 3. फंक्शनचे आढळलेले मूल्य ƒ (i सह) संबंधित आंशिक विभागाच्या लांबी ∆x i =x i -x i-1 ने गुणाकार करा: ƒ (i सह) ∆x i. 4. अशा सर्व उत्पादनांची बेरीज Sn करू: फॉर्मची बेरीज (35.1) याला मध्यांतर [a; ब]. सर्वात मोठ्या आंशिक विभागाची लांबी λ ने दर्शवू: λ = कमाल ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. n → ∞ असताना अविभाज्य बेरीज (35.1) ची मर्यादा शोधू या जेणेकरून λ→0. जर या प्रकरणात अविभाज्य बेरीज S n ला मर्यादा I असेल, जी विभागाच्या विभाजनाच्या पद्धतीवर अवलंबून नाही [a; b] आंशिक खंडांवर, किंवा त्यातील बिंदूंच्या निवडीवर, नंतर क्रमांक I ला खंड [a; b] आणि अशा प्रकारे दर्शविले जाते, a आणि b या संख्यांना अनुक्रमे एकीकरणाच्या खालच्या आणि वरच्या मर्यादा म्हणतात, ƒ(x) - इंटिग्रँड फंक्शन, ƒ(x) dx - इंटिग्रँड, x - एकत्रीकरणाचे चल, सेगमेंट [a; b] - एकीकरणाचे क्षेत्र (सेगमेंट). फंक्शन y=ƒ(x), ज्यासाठी मध्यांतरावर [a; b] या मध्यांतरावर इंटिग्रेबल नावाचा एक निश्चित अविभाज्य असतो. आता आपण एका निश्चित इंटिग्रलच्या अस्तित्वासाठी एक प्रमेय तयार करू. प्रमेय 35.1 (कॉची). जर फंक्शन y = ƒ(x) मध्यांतरावर सतत असेल [a; b], नंतर निश्चित अविभाज्य लक्षात घ्या की फंक्शनची सातत्य ही त्याच्या अखंडतेसाठी पुरेशी अट आहे. तथापि, काही खंडित फंक्शन्ससाठी एक निश्चित इंटिग्रल देखील अस्तित्त्वात असू शकतो, विशेषत: मध्यांतरावर बंधनकारक असलेल्या कोणत्याही फंक्शनसाठी ज्यावर मर्यादित संख्येने खंडित बिंदू असतात. आपण निश्चित इंटिग्रलचे काही गुणधर्म सूचित करूया जे थेट त्याच्या व्याख्येनुसार अनुसरण करतात (35.2). 1. निश्चित इंटिग्रल हे इंटिग्रेशन व्हेरिएबलच्या पदनामापेक्षा स्वतंत्र आहे: अविभाज्य बेरीज (35.1), आणि म्हणून त्याची मर्यादा (35.2), दिलेल्या कार्याचा युक्तिवाद कोणत्या अक्षराने दर्शविला जातो यावर अवलंबून नाही. 2. समाकलनाच्या समान मर्यादा असलेले निश्चित अविभाज्य शून्याच्या बरोबरीचे आहे: 3. कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी c. 17. न्यूटन-लेबनिझ सूत्र. निश्चित इंटिग्रलचे मूलभूत गुणधर्म. कार्य करू द्या y = f(x)विभागावर सतत
आणि F(x)नंतर या विभागातील फंक्शनच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हपैकी एक आहे न्यूटन-लेबनिझ सूत्र: न्यूटन-लेबनिझ सूत्र म्हणतात इंटिग्रल कॅल्क्युलसचे मूलभूत सूत्र. न्यूटन-लेबनिझ सूत्र सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला व्हेरिएबल वरच्या मर्यादेसह अविभाज्य संकल्पना आवश्यक आहे. फंक्शन असल्यास y = f(x)विभागावर सतत
, नंतर युक्तिवादासाठी फॉर्मचे अविभाज्य हे वरच्या मर्यादेचे कार्य आहे. हे फंक्शन दर्शवू खरंच, वितर्काच्या वाढीशी संबंधित फंक्शनची वाढ आपण लिहू आणि दहाव्या गुणवत्तेतून निश्चित अविभाज्य आणि कोरोलरीचा पाचवा गुणधर्म वापरू: ही समानता फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहूया चला गणना करूया F(a), निश्चित इंटिग्रलचा पहिला गुणधर्म वापरून: फंक्शनची वाढ सहसा म्हणून दर्शविली जाते न्यूटन-लेबनिझ फॉर्म्युला लागू करण्यासाठी, आम्हाला अँटीडेरिव्हेटिव्हपैकी एक माहित असणे पुरेसे आहे. y=F(x)इंटिग्रँड फंक्शन y=f(x)विभागावर
आणि या विभागावर या अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या वाढीची गणना करा. लेख एकत्रीकरणाच्या पद्धती अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्याच्या मुख्य मार्गांवर चर्चा करतात. स्पष्टीकरणासाठी न्यूटन-लेबनिझ सूत्र वापरून निश्चित पूर्णांकांची गणना करण्याची काही उदाहरणे देऊ. उदाहरण. न्यूटन-लीबनिझ सूत्र वापरून निश्चित अविभाज्य मूल्याची गणना करा. उपाय. सुरुवातीला, आम्ही लक्षात घेतो की इंटिग्रँड इंटरव्हलवर सतत आहे
, म्हणून, त्यावर अविभाज्य आहे. (आम्ही फंक्शन्सच्या विभागात इंटिग्रेबल फंक्शन्सबद्दल बोललो ज्यासाठी निश्चित इंटिग्रल आहे.) अनिश्चित अविभाज्यांच्या सारणीवरून हे स्पष्ट होते की फंक्शनसाठी वितर्काच्या सर्व वास्तविक मूल्यांसाठी अँटीडेरिव्हेटिव्हचा संच (आणि म्हणून ) म्हणून लिहिला जातो. आता निश्चित इंटिग्रलची गणना करण्यासाठी न्यूटन-लेबनिझ सूत्र वापरणे बाकी आहे: 18. निश्चित इंटिग्रलचे भौमितिक अनुप्रयोग. निर्धारीत इंटिग्रलचे भौमितिक अनुप्रयोग शरीराच्या व्हॉल्यूमची गणना समांतर विभागांच्या ज्ञात क्षेत्रांमधून शरीराच्या आकारमानाची गणना: रोटेशनच्या मुख्य भागाचा आकार: ; . उदाहरण १. वक्र y=sinx ने बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ सरळ रेषांनी शोधा उपाय:आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधत आहे: उदाहरण २. रेषांनी बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजा उपाय:या फंक्शन्सच्या आलेखांच्या छेदनबिंदूंचा abscissa शोधू. हे करण्यासाठी, आम्ही समीकरणांची प्रणाली सोडवतो येथून आपण शोधतो x 1 =0, x 2 =2.5. 19. विभेदक नियंत्रणाची संकल्पना. प्रथम क्रम भिन्न समीकरणे. भिन्न समीकरण- एक समीकरण जे फंक्शनच्या डेरिव्हेटिव्हचे मूल्य स्वतः फंक्शन, स्वतंत्र व्हेरिएबलची मूल्ये आणि संख्या (मापदंड) यांच्याशी जोडते. समीकरणामध्ये समाविष्ट केलेल्या डेरिव्हेटिव्ह्जचा क्रम भिन्न असू शकतो (औपचारिकरित्या ते कोणत्याही गोष्टीद्वारे मर्यादित नाही). व्युत्पन्न, फंक्शन्स, स्वतंत्र व्हेरिएबल्स आणि पॅरामीटर्स एका समीकरणात विविध संयोजनांमध्ये दिसू शकतात किंवा एक व्युत्पन्न वगळता सर्व पूर्णपणे अनुपस्थित असू शकतात. अज्ञात फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह असलेले प्रत्येक समीकरण हे विभेदक समीकरण नसते. उदाहरणार्थ, आंशिक भिन्न समीकरणे(PDF) ही अनेक व्हेरिएबल्सची अज्ञात कार्ये आणि त्यांचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह असलेली समीकरणे आहेत. अशा समीकरणांचे सामान्य स्वरूप असे दर्शविले जाऊ शकते: स्वतंत्र व्हेरिएबल्स कुठे आहेत आणि या व्हेरिएबल्सचे कार्य आहे. आंशिक विभेदक समीकरणांचा क्रम सामान्य विभेदक समीकरणांप्रमाणेच निर्धारित केला जाऊ शकतो. आंशिक विभेदक समीकरणांचे आणखी एक महत्त्वाचे वर्गीकरण म्हणजे लंबवर्तुळाकार, पॅराबोलिक आणि हायपरबोलिक प्रकारांच्या समीकरणांमध्ये त्यांची विभागणी, विशेषत: द्वितीय-क्रम समीकरणांसाठी. सामान्य भिन्न समीकरणे आणि आंशिक भिन्न समीकरणे दोन्ही विभागली जाऊ शकतात रेखीयआणि अरेखीय. जर अज्ञात फंक्शन आणि त्याचे डेरिव्हेटिव्ह फक्त पहिल्या अंशापर्यंत समीकरण प्रविष्ट करतात (आणि एकमेकांशी गुणाकार केले जात नाहीत) तर विभेदक समीकरण रेषीय असते. अशा समीकरणांसाठी, सोल्युशन्स फंक्शन्सच्या स्पेसचा एक अफ़ाइन सबस्पेस बनवतात. रेखीय विभेदक समीकरणांचा सिद्धांत नॉनलाइनर समीकरणांच्या सिद्धांतापेक्षा खूप खोलवर विकसित केला जातो. रेखीय विभेदक समीकरणाचे सामान्य दृश्य n-वी ऑर्डर: कुठे p i(x) ही स्वतंत्र चलची ज्ञात कार्ये आहेत, ज्यांना समीकरणाचे गुणांक म्हणतात. कार्य आर(x) उजव्या बाजूला म्हणतात विनामूल्य सदस्य(अज्ञात कार्यावर अवलंबून नसलेली एकमेव संज्ञा) रेखीय समीकरणांचा एक महत्त्वाचा विशिष्ट वर्ग म्हणजे रेखीय विभेदक समीकरणे स्थिर गुणांक. रेखीय समीकरणांचा उपवर्ग आहे एकसंधविभेदक समीकरणे - समीकरणे ज्यात मुक्त पद नाही: आर(x) = 0. एकसंध विभेदक समीकरणांसाठी, सुपरपोझिशन तत्त्व धारण करते: अशा समीकरणाच्या आंशिक समाधानांचे रेखीय संयोजन देखील त्याचे समाधान असेल. इतर सर्व रेखीय विभेदक समीकरणे म्हणतात विषमभिन्न समीकरणे. सामान्य बाबतीत नॉनलाइनर डिफरेंशियल समीकरणांमध्ये काही विशेष वर्ग वगळता समाधान पद्धती विकसित होत नाहीत. काही प्रकरणांमध्ये (विशिष्ट अंदाजे वापरून) ते रेखीय केले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, हार्मोनिक ऑसिलेटरचे रेखीय समीकरण · - स्थिर गुणांकांसह दुसऱ्या क्रमाचे एकसंध विभेदक समीकरण. सोल्यूशन हे फंक्शन्सचे एक कुटुंब आहे, जेथे आणि अनियंत्रित स्थिरांक असतात, जे विशिष्ट सोल्यूशनसाठी स्वतंत्रपणे निर्दिष्ट प्रारंभिक परिस्थितींमधून निर्धारित केले जातात. हे समीकरण, विशेषतः, 3 च्या चक्रीय वारंवारता असलेल्या हार्मोनिक ऑसिलेटरच्या गतीचे वर्णन करते. न्यूटनचा दुसरा नियम विभेदक समीकरणाच्या स्वरूपात लिहिला जाऊ शकतो जेथे मी- शरीराचे वस्तुमान, x- त्याचे समन्वय, एफ(x, ट) - समन्वयासह शरीरावर कार्य करणारी शक्ती xवेळेच्या एका टप्प्यावर ट. त्याचे समाधान निर्दिष्ट शक्तीच्या कृती अंतर्गत शरीराचा मार्ग आहे. · बेसल विभेदक समीकरण हे वेरियेबल गुणांकांसह दुसऱ्या क्रमाचे एक सामान्य रेखीय एकसंध समीकरण आहे: त्याची निराकरणे बेसल फंक्शन्स आहेत. · पहिल्या क्रमाच्या नॉन-एकसंध नॉनलाइनर सामान्य विभेदक समीकरणाचे उदाहरण: उदाहरणांच्या पुढील गटामध्ये एक अज्ञात कार्य आहे uदोन व्हेरिएबल्सवर अवलंबून आहे xआणि टकिंवा xआणि y. · पहिल्या क्रमाचे एकसंध रेखीय आंशिक विभेदक समीकरण: · एक-आयामी तरंग समीकरण - स्थिर गुणांकांसह द्वितीय क्रम हायपरबोलिक प्रकाराच्या आंशिक डेरिव्हेटिव्हमधील एकसंध रेषीय समीकरण, स्ट्रिंगच्या दोलनाचे वर्णन करते जर - समन्वयासह एका बिंदूवर स्ट्रिंगचे विक्षेपण xवेळेच्या एका टप्प्यावर ट, आणि पॅरामीटर aस्ट्रिंगचे गुणधर्म सेट करते: · द्विमितीय अंतराळातील लॅप्लेसचे समीकरण हे यांत्रिकी, थर्मल चालकता, इलेक्ट्रोस्टॅटिक्स, हायड्रोलिक्सच्या अनेक भौतिक समस्यांमुळे उद्भवणारे स्थिर गुणांक असलेल्या लंबवर्तुळाकार प्रकाराच्या दुसऱ्या क्रमाचे एकसंध रेखीय आंशिक विभेदक समीकरण आहे: · कोर्टवेग-डी व्रीज समीकरण, एक तृतीय-क्रम नॉनलाइनर आंशिक विभेदक समीकरण जे सॉलिटनसह स्थिर नॉनलाइनर लहरींचे वर्णन करते: 20. विभाज्य लागू असलेली भिन्न समीकरणे. रेखीय समीकरणे आणि बर्नौलीची पद्धत. फर्स्ट-ऑर्डर रेखीय विभेदक समीकरण हे एक समीकरण आहे जे अज्ञात कार्य आणि त्याच्या व्युत्पन्न संदर्भात रेखीय आहे. त्याचे स्वरूप संपूर्ण शक्ती आहे. खरंच, जर तुम्ही विचारात घेतलेल्या प्रकारांची समीकरणे शोधून बदलली तर तुम्हाला खरी समानता मिळेल. बद्दलच्या लेखात नमूद केल्याप्रमाणे एकसंध समीकरणे, जर परिस्थितीनुसार केवळ विशिष्ट उपाय शोधणे आवश्यक असेल, तर फंक्शन, स्पष्ट कारणांमुळे, आपल्याला त्रास देत नाही, परंतु जेव्हा सामान्य समाधान/अविभाज्य शोधणे आवश्यक असते, तेव्हा याची खात्री करणे आवश्यक आहे. हे कार्य गमावले नाही! मी बर्नौली समीकरणातील सर्व लोकप्रिय बदल भेटवस्तूंच्या मोठ्या पिशवीत आणले आणि त्यांचे वितरण सुरू केले. आपले मोजे झाडाखाली लटकवा. उदाहरण १ दिलेल्या प्रारंभिक स्थितीशी संबंधित विभेदक समीकरणाचे विशिष्ट समाधान शोधा. कदाचित अनेकांना आश्चर्य वाटले की पहिली भेट लगेचच बॅगमधून बाहेर काढली गेली कॉची समस्या. हा अपघात नाही. जेव्हा बर्नौली समीकरण समाधानासाठी प्रस्तावित केले जाते, तेव्हा काही कारणास्तव विशिष्ट उपाय शोधणे आवश्यक असते. माझ्या संग्रहातून, मी 10 बर्नौली समीकरणांची यादृच्छिक निवड केली आहे आणि सामान्य समाधान (विशिष्ट समाधानाशिवाय) फक्त 2 समीकरणांमध्ये शोधणे आवश्यक आहे. परंतु, खरं तर, ही एक क्षुल्लक गोष्ट आहे, कारण कोणत्याही परिस्थितीत सामान्य उपाय शोधावा लागेल. उपाय:या डिफ्यूझरचे स्वरूप आहे आणि म्हणूनच बर्नौलीचे समीकरण आहे कार्य आणि त्याच्या वैशिष्ट्यांचा अभ्यास आधुनिक गणितातील मुख्य अध्यायांपैकी एक आहे. कोणत्याही फंक्शनचा मुख्य घटक म्हणजे आलेख हे केवळ त्याचे गुणधर्मच नव्हे तर या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाचे मापदंड देखील दर्शवितात. चला हा अवघड विषय समजून घेऊ. तर फंक्शनचे कमाल आणि किमान बिंदू शोधण्याचा सर्वोत्तम मार्ग कोणता आहे? कोणत्याही व्हेरिएबल जे काही प्रमाणात दुसऱ्या प्रमाणाच्या मूल्यांवर अवलंबून असते त्याला फंक्शन म्हटले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, फंक्शन f(x 2) चतुर्भुज आहे आणि संपूर्ण x संचासाठी मूल्ये निर्धारित करते. समजा x = 9, तर आपल्या फंक्शनचे मूल्य 9 2 = 81 इतके होईल. फंक्शन्स अनेक प्रकारात येतात: लॉजिकल, वेक्टर, लॉगरिदमिक, त्रिकोणमितीय, संख्यात्मक आणि इतर. त्यांचा अभ्यास लॅक्रोइक्स, लॅग्रेंज, लीबनिझ आणि बर्नौली यांसारख्या उत्कृष्ट विचारांनी केला होता. त्यांची कार्ये आधुनिक पद्धतींच्या कार्याचा अभ्यास करण्यासाठी मुख्य आधार म्हणून काम करतात. किमान गुण शोधण्यापूर्वी, फंक्शनचा अर्थ आणि त्याचे व्युत्पन्न समजून घेणे फार महत्वाचे आहे. सर्व फंक्शन्स त्यांच्या व्हेरिएबल्सवर अवलंबून असतात, याचा अर्थ ते त्यांचे मूल्य कधीही बदलू शकतात. आलेखावर, हे एक वक्र म्हणून चित्रित केले जाईल जे एकतर ऑर्डिनेट अक्षावर पडते किंवा वर येते (हा उभ्या आलेखाच्या बाजूने “y” संख्यांचा संपूर्ण संच आहे). तर, फंक्शनचे कमाल आणि किमान बिंदू निश्चित करणे या "ओसिलेशन्स" शी तंतोतंत संबंधित आहे. हे नाते काय आहे ते समजावून घेऊ. कोणत्याही फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह त्याच्या मूलभूत वैशिष्ट्यांचा अभ्यास करण्यासाठी आणि फंक्शन किती लवकर बदलते याची गणना करण्यासाठी आलेख केले जाते (म्हणजे व्हेरिएबल "x" वर अवलंबून त्याचे मूल्य बदलते). ज्या क्षणी फंक्शन वाढेल, त्याच्या व्युत्पन्नाचा आलेख देखील वाढेल, परंतु कोणत्याही सेकंदाला फंक्शन कमी होऊ शकते आणि नंतर व्युत्पन्नाचा आलेख कमी होईल. ज्या बिंदूंवर व्युत्पन्न वजा चिन्हावरून अधिक चिन्हात बदल होतात त्यांना किमान बिंदू म्हणतात. किमान गुण कसे शोधायचे हे जाणून घेण्यासाठी, आपण अधिक चांगले समजून घेतले पाहिजे व्याख्या आणि कार्ये अनेक संकल्पना सूचित करतात सर्वसाधारणपणे, व्युत्पन्नाची व्याख्या खालीलप्रमाणे व्यक्त केली जाऊ शकते: हे प्रमाण आहे जे फंक्शनच्या बदलाचा दर दर्शवते. हे ठरवण्याचा गणिती मार्ग बऱ्याच विद्यार्थ्यांना क्लिष्ट वाटतो, परंतु प्रत्यक्षात सर्वकाही खूप सोपे आहे. कोणत्याही फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी तुम्हाला फक्त मानक योजनेचे अनुसरण करणे आवश्यक आहे. भिन्नतेचे नियम लागू न करता आणि व्युत्पन्न सारणी लक्षात न ठेवता तुम्ही फंक्शनचा किमान बिंदू कसा शोधू शकता याचे खाली आम्ही वर्णन करतो. शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात फंक्शनचा किमान बिंदू दोन प्रकारे शोधणे शक्य आहे. आपण आलेख वापरून पहिल्या पद्धतीबद्दल आधीच चर्चा केली आहे, परंतु आपण व्युत्पन्नाचे संख्यात्मक मूल्य कसे ठरवू शकतो? हे करण्यासाठी, तुम्हाला अनेक सूत्रे शिकणे आवश्यक आहे जे व्युत्पन्नाच्या गुणधर्मांचे वर्णन करतात आणि "x" सारख्या व्हेरिएबल्सला संख्यांमध्ये रूपांतरित करण्यात मदत करतात. खालील पद्धत सार्वत्रिक आहे, म्हणून ती जवळजवळ सर्व प्रकारच्या फंक्शन्सवर लागू केली जाऊ शकते (भौमितिक आणि लॉगरिदमिक दोन्ही). फंक्शन आणि त्याचे व्युत्पन्न अभ्यास करण्याचा सर्वात मूलभूत घटक म्हणजे भिन्नतेच्या नियमांचे ज्ञान. केवळ त्यांच्या मदतीने आपण अवजड अभिव्यक्ती आणि मोठ्या जटिल कार्यांचे रूपांतर करू शकता. चला त्यांच्याशी परिचित होऊया, त्यापैकी बरेच आहेत, परंतु ते सर्व शक्ती आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्सच्या नैसर्गिक गुणधर्मांमुळे खूप सोपे आहेत. किमान गुण कसे शोधायचे याबद्दल आपण आधीच चर्चा केली आहे, परंतु फंक्शनच्या जास्तीत जास्त बिंदूंची संकल्पना देखील आहे. जर किमान ते बिंदू दर्शवितात ज्यावर फंक्शन वजा चिन्हावरून प्लसमध्ये बदलते, तर कमाल बिंदू हे x-अक्षावरील ते बिंदू आहेत ज्यावर फंक्शनचे व्युत्पन्न प्लसपासून विरुद्ध - वजा मध्ये बदलते. आपण वर वर्णन केलेल्या पद्धतीचा वापर करून ते शोधू शकता, परंतु आपण हे लक्षात घेतले पाहिजे की ते त्या क्षेत्रांना सूचित करतात ज्यामध्ये फंक्शन कमी होणे सुरू होते, म्हणजेच व्युत्पन्न शून्यापेक्षा कमी असेल. गणितामध्ये, दोन्ही संकल्पनांचे सामान्यीकरण करण्याची प्रथा आहे, त्यांना "अंतराचे बिंदू" या वाक्यांशाने बदलून. जेव्हा एखादे कार्य तुम्हाला हे गुण निर्धारित करण्यास सांगते, तेव्हा याचा अर्थ असा होतो की तुम्हाला दिलेल्या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करणे आणि किमान आणि कमाल गुण शोधणे आवश्यक आहे. सर्वात मोठे कार्य मूल्य सर्वात लहान कार्य मूल्य गॉडफादरने म्हटल्याप्रमाणे: "वैयक्तिक काहीही नाही." फक्त डेरिव्हेटिव्ह्ज! सांख्यिकी कार्य 12 खूप कठीण मानले जाते आणि सर्व कारण मुलांनी हा लेख वाचला नाही (विनोद). बहुतेक प्रकरणांमध्ये, निष्काळजीपणा दोषी आहे. 12 कार्य दोन प्रकारात येतात: युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्ये: फंक्शनचा कमाल बिंदू शोधा फंक्शनचा किमान बिंदू शोधा युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्ये: मध्यांतरावर फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा [−4; −1] उत्तर: -6 विभागावरील फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा उत्तर: 11 निष्कर्ष: प्रमेय.
(एखाद्या टोकाच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक अट) जर f(x) फंक्शन x = x 1 बिंदूवर भिन्न असेल आणि बिंदू x 1 हा एक टोकाचा बिंदू असेल, तर फंक्शनचे व्युत्पन्न या बिंदूवर नाहीसे होते. पुरावा.
फंक्शन f(x) मध्ये x = x 1 बिंदूवर कमाल आहे असे गृहीत धरू. नंतर पुरेशा लहान सकारात्मक Dх>0 साठी खालील असमानता सत्य आहे: A-priory: त्या. जर Dх®0, परंतु Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, नंतर f¢(x 1) £0. आणि हे फक्त Dх®0 f¢(x 1) = 0 वर शक्य आहे. जर फंक्शन f(x) बिंदू x 2 वर किमान असेल तर, प्रमेय त्याच प्रकारे सिद्ध होईल. प्रमेय सिद्ध झाले आहे. परिणाम.
उलट विधान खरे नाही. एखाद्या विशिष्ट बिंदूवर फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह शून्याच्या बरोबरीचे असल्यास, याचा अर्थ असा नाही की या बिंदूवर फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम आहे. याचे स्पष्ट उदाहरण म्हणजे फंक्शन y = x 3, ज्याचे व्युत्पन्न x = 0 बिंदूवर शून्य असते, परंतु या टप्प्यावर फंक्शनमध्ये फक्त एक विक्षेपण असते, कमाल किंवा किमान नसते. व्याख्या.गंभीर मुद्देफंक्शन्स हे बिंदू आहेत ज्यावर फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह अस्तित्वात नाही किंवा शून्याच्या समान आहे. वर चर्चा केलेले प्रमेय आपल्याला एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक परिस्थिती देते, परंतु हे पुरेसे नाही. उदाहरण: f(x) = ôxô उदाहरण: f(x) = x = 0 बिंदूवर फंक्शनचे किमान असते, परंतु x = 0 बिंदूवर फंक्शनमध्ये कोणतेही नसते कोणतेही व्युत्पन्न नाही. कमाल, किमान नाही, उत्पादन नाही साधारणपणे बोलायचे झाल्यास, फंक्शन f(x) मध्ये ज्या बिंदूंवर डेरिव्हेटिव्ह अस्तित्वात नाही किंवा शून्याच्या बरोबरीचे आहे अशा ठिकाणी एक्स्ट्रीमम असू शकतो. प्रमेय.
(एखाद्या टोकाच्या अस्तित्वासाठी पुरेशी परिस्थिती) फंक्शन f(x) हे अंतराल (a, b) मध्ये सतत असू द्या, ज्यामध्ये गंभीर बिंदू x 1 आहे, आणि या मध्यांतराच्या सर्व बिंदूंवर भिन्नता आहे (कदाचित, बिंदू x 1 व्यतिरिक्त). जर, x 1 बिंदूमधून डावीकडून उजवीकडे जात असताना, f¢(x) फंक्शनचे व्युत्पन्न चिन्ह “+” वरून “-“ मध्ये बदलले, तर x = x 1 बिंदूवर f(x) फंक्शन असते. जास्तीत जास्त, आणि जर व्युत्पन्न बदल चिन्ह “- “ ते “+” असेल तर - फंक्शनमध्ये किमान आहे. पुरावा.
द्या Lagrange च्या प्रमेयानुसार: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1),जेथे x< e < x 1 . नंतर: 1) जर x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) - f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) जर x > x 1, तर e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) - f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). उत्तरे एकरूप असल्याने, आपण असे म्हणू शकतो की f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. किमान बिंदूसाठी प्रमेयाचा पुरावा समान आहे. प्रमेय सिद्ध झाले आहे. वरील आधारे, तुम्ही विभागातील फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्यासाठी एक एकीकृत प्रक्रिया विकसित करू शकता: 1) फंक्शनचे गंभीर मुद्दे शोधा. २) क्रिटिकल पॉईंट्सवर फंक्शनची व्हॅल्यू शोधा. 3) विभागाच्या शेवटी फंक्शनची मूल्ये शोधा. 4) प्राप्त मूल्यांपैकी सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान निवडा. एक्स्ट्रीमम वापरून फंक्शनचा अभ्यास करणे उच्च ऑर्डरचे व्युत्पन्न. बिंदू x = x 1 f¢(x 1) = 0 वर समजा आणि f¢¢(x 1) अस्तित्वात आहे आणि x 1 बिंदूच्या काही भागात सतत आहे. प्रमेय.
f¢(x 1) = 0 असल्यास, x = x 1 बिंदूवरील f(x) फंक्शन कमाल असेल तर f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
पुरावा.
f¢(x 1) = 0 आणि f¢¢(x 1) समजा<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . कारण f¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >x येथे 0 किमान कार्याच्या बाबतीत, प्रमेय त्याच प्रकारे सिद्ध केला जातो. जर f¢(x) = 0 असेल, तर गंभीर बिंदूचे स्वरूप अज्ञात आहे. ते निश्चित करण्यासाठी पुढील संशोधन आवश्यक आहे. वक्रता आणि अवतलता. इन्फ्लेक्शन पॉइंट्स. व्याख्या.
वक्र उत्तल आहे वरमध्यांतरावर (a, b) त्याचे सर्व बिंदू या मध्यांतरावरील कोणत्याही स्पर्शिकेच्या खाली असल्यास. वरच्या दिशेने वक्र उत्तल म्हणतात उत्तल, आणि बहिर्वक्र खालच्या दिशेने तोंड असलेला वक्र म्हणतात अवतल. आकृती वरील व्याख्येचे उदाहरण दर्शवते. प्रमेय १.
जर मध्यांतराच्या सर्व बिंदूंवर (a, b) फंक्शनचे दुसरे व्युत्पन्न f(x) ऋण असेल, तर वक्र y = f(x) वरच्या दिशेने बहिर्वक्र (उत्तल) असेल. पुरावा.
चला x 0 О (a, b). या बिंदूवर वक्राला स्पर्शिका काढू. वक्र समीकरण: y = f(x); स्पर्शिका समीकरण: हे सिद्ध झाले पाहिजे. f(x) – f(x 0): , x 0 साठी लॅग्रेंजच्या प्रमेयानुसार< c < x. साठी Lagrange च्या प्रमेय नुसार x > x 0 नंतर x 0 समजा< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 आणि c – x 0 > 0, आणि त्याव्यतिरिक्त, स्थितीनुसार म्हणून, . चला x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то असेच सिद्ध झाले आहे की जर मध्यांतर (a, b) वर f¢(x) > 0 असेल, तर वक्र y=f(x) अंतराल (a, b) वर अवतल असेल. प्रमेय सिद्ध झाले आहे. व्याख्या.
वक्राच्या उत्तल भागाला अवतल भागापासून विभक्त करणारा बिंदू म्हणतात वळण बिंदू. स्पष्टपणे, वळण बिंदूवर स्पर्शिका वक्राला छेदते. प्रमेय 2.
y = f(x) या समीकरणाने वक्र परिभाषित करू द्या. जर दुसरा व्युत्पन्न f¢(a) = 0 किंवा f¢(a) अस्तित्वात नसेल आणि x = a f¢(x) बिंदूमधून जाताना चिन्ह बदलले, तर वक्र बिंदू abscissa x = सह a हा एक विक्षेपण बिंदू आहे. पुरावा.
1) f¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >x > a साठी 0. नंतर येथे x< a кривая выпукла, а при x >a वक्र अवतल आहे, म्हणजे बिंदू x = a – विक्षेपण बिंदू. 2) x साठी f¢(x) > 0 समजा< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – उत्तल वरच्या दिशेने. नंतर x = b हा विक्षेपण बिंदू आहे. प्रमेय सिद्ध झाले आहे. लक्षणें. फंक्शन्सचा अभ्यास करताना, अनेकदा असे घडते की जेव्हा वक्रवरील बिंदूचा x-समन्वय अनंताकडे जातो, तेव्हा वक्र अनिश्चितपणे एका विशिष्ट सरळ रेषेकडे जातो. व्याख्या.
सरळ रेषा म्हणतात लक्षणेवक्र बिंदूपासून या सरळ रेषेपर्यंतचे अंतर शून्याकडे झुकत असल्यास बिंदू अनंताकडे जातो. हे लक्षात घेतले पाहिजे की प्रत्येक वक्रला एसीम्प्टोट नसते. लक्षणे सरळ किंवा तिरकस असू शकतात. लक्षणांच्या उपस्थितीसाठी फंक्शन्सचा अभ्यास करणे खूप महत्वाचे आहे आणि आपल्याला कार्याचे स्वरूप आणि वक्र आलेखाचे वर्तन अधिक अचूकपणे निर्धारित करण्यास अनुमती देते. साधारणपणे सांगायचे तर, खालील फंक्शनच्या आलेखामध्ये दर्शविल्याप्रमाणे, एक वक्र, अनिश्चित काळासाठी त्याच्या ॲसिम्प्टोटजवळ येतो, त्याला छेदू शकतो, आणि एका बिंदूवर नाही. वक्रांचे लक्षण शोधण्याच्या पद्धतींचा अधिक तपशीलवार विचार करूया. उभ्या लक्षणां । ॲसिम्प्टोटच्या व्याख्येवरून असे दिसून येते की जर किंवा किंवा , तर सरळ रेषा x = a ही वक्र y = f(x) चे लक्षण आहे. उदाहरणार्थ, फंक्शनसाठी, रेषा x = 5 ही अनुलंब असिम्प्टोट आहे. तिरकस लक्षणे. समजा की वक्र y = f(x) मध्ये तिरकस असिम्प्टोट y = kx + b आहे. वळणाच्या छेदनबिंदूचा बिंदू आणि एसिम्प्टोटचा लंब दर्शवू या - M, P - या लंबाच्या प्रतिच्छेदनाचा बिंदू एसिम्प्टोटसह दर्शवू. एसिम्प्टोट आणि ऑक्स अक्ष मधील कोन j म्हणून दर्शवू. ऑक्स अक्षाचा लंब MQ बिंदू N वर असिम्प्टोटला छेदतो. मग MQ = y हा वक्रवरील बिंदूचा क्रम आहे, NQ = asymptote वर बिंदू N चा ordinate आहे. स्थितीनुसार: , ÐNMP = j, . कोन j स्थिर आहे आणि 90 0 च्या समान नाही, नंतर मग तर, सरळ रेषा y = kx + b हे वक्राचे लक्षण आहे. ही रेषा अचूकपणे निर्धारित करण्यासाठी, k आणि b सह गुणांक काढण्याचा मार्ग शोधणे आवश्यक आहे. परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये आपण कंसातून x घेतो: कारण x®¥, नंतर मग कारण लक्षात घ्या की क्षैतिज ॲसिम्प्टोट्स हे k = 0 साठी तिरकस ॲसिम्प्टोट्सचे विशेष केस आहेत. उदाहरण. 1) अनुलंब लक्षणे: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, म्हणून, x = 0 हे अनुलंब लक्षण आहे. 2) तिरकस लक्षणे: अशा प्रकारे, सरळ रेषा y = x + 2 एक तिरकस असिम्प्टोट आहे. चला फंक्शन प्लॉट करूया: उदाहरण.लक्षणे शोधा आणि कार्याचा आलेख काढा. x = 3 आणि x = -3 या रेषा वक्राच्या अनुलंब लक्षणे आहेत. चला तिरकस लक्षणे शोधूया: y = 0 – क्षैतिज लक्षण. उदाहरण.लक्षणे शोधा आणि कार्याचा आलेख काढा सरळ रेषा x = -2 हे वक्राचे अनुलंब असिम्प्टोट आहे. चला तिरकस लक्षणे शोधूया. एकूण, सरळ रेषा y = x – 4 एक तिरकस असिम्प्टोट आहे. कार्य अभ्यास योजना कार्य संशोधन प्रक्रियेमध्ये अनेक टप्पे असतात. फंक्शनचे वर्तन आणि त्याच्या आलेखाचे स्वरूप सर्वात संपूर्ण समजून घेण्यासाठी, हे शोधणे आवश्यक आहे: 1) फंक्शनच्या अस्तित्वाचे क्षेत्र. या संकल्पनेमध्ये मूल्यांचे डोमेन आणि फंक्शनच्या परिभाषाचे डोमेन दोन्ही समाविष्ट आहेत. 2) ब्रेकिंग पॉइंट्स. (उपलब्ध असल्यास). 3) वाढ आणि घट यांचे मध्यांतर. 4) कमाल आणि किमान गुण. 5) परिभाषेच्या डोमेनवरील फंक्शनचे कमाल आणि किमान मूल्य. 6) बहिर्वक्रता आणि अवतलता क्षेत्र. 7) इन्फ्लेक्शन पॉइंट्स (असल्यास). 8) लक्षणे (असल्यास). 9) आलेख तयार करणे. उदाहरण वापरून या योजनेचा वापर पाहू. उदाहरण.फंक्शन एक्सप्लोर करा आणि त्याचा आलेख तयार करा. आम्हाला फंक्शनच्या अस्तित्वाचे डोमेन सापडते. हे उघड आहे व्याख्या डोमेनकार्य क्षेत्र (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥) आहे. यामधून, हे स्पष्ट आहे की सरळ रेषा x = 1, x = -1 आहेत अनुलंब लक्षणेवाकडा मूल्यांची श्रेणीया कार्याचा मध्यांतर (-¥; ¥) आहे. ब्रेक पॉइंट्सफंक्शन्स हे बिंदू x = 1, x = -1 आहेत. आम्ही शोधतो गंभीर मुद्दे. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधू गंभीर बिंदू: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. फंक्शनचे दुसरे व्युत्पन्न शोधू अंतराने वक्राची उत्तलता आणि अवतलता निश्चित करू. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, अवतल वक्र 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, अवतल वक्र < x < ¥, y¢¢ >0, अवतल वक्र अंतर शोधणे वाढत आहेआणि उतरत्याकार्ये हे करण्यासाठी, आम्ही मध्यांतरांवर फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची चिन्हे निर्धारित करतो. -¥ < x < - , y¢ >0, फंक्शन वाढत आहे - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, फंक्शन वाढत आहे हे पाहिले जाऊ शकते की x = - बिंदू आहे जास्तीत जास्त, आणि बिंदू x = एक बिंदू आहे किमान. या बिंदूंवरील फंक्शन व्हॅल्यू अनुक्रमे -3/2 आणि 3/2 च्या समान आहेत. उभ्या बद्दल लक्षणेआधीच वर सांगितले आहे. आता शोधूया तिरकस लक्षणे. एकूण, तिरकस असिम्प्टोटचे समीकरण y = x आहे. चला बांधूया वेळापत्रकवैशिष्ट्ये: अनेक चलांची कार्ये
अनेक व्हेरिएबल्सच्या फंक्शन्सचा विचार करताना, आम्ही स्वतःला दोन व्हेरिएबल्सच्या फंक्शन्सच्या तपशीलवार वर्णनापर्यंत मर्यादित करू, कारण प्राप्त झालेले सर्व परिणाम व्हेरिएबल्सच्या अनियंत्रित संख्येच्या कार्यांसाठी वैध असतील. व्याख्या: जर एखाद्या विशिष्ट संचातील परस्पर स्वतंत्र संख्यांची (x, y) प्रत्येक जोडी, काही नियमानुसार, z व्हेरिएबलच्या एक किंवा अधिक मूल्यांशी संबंधित असेल, तर z व्हेरिएबलला दोन चलांचे कार्य म्हणतात. व्याख्या:
जर संख्यांची जोडी (x, y) एका मूल्य z शी संबंधित असेल, तर फंक्शन म्हणतात. अस्पष्ट, आणि जर एकापेक्षा जास्त, तर - polysemantic. व्याख्या:व्याख्या डोमेनफंक्शन z हा जोड्यांचा संच आहे (x, y) ज्यासाठी फंक्शन z अस्तित्वात आहे. व्याख्या:एका बिंदूचा शेजारीत्रिज्या r चा M 0 (x 0, y 0) हा सर्व बिंदूंचा (x, y) संच आहे जो स्थिती पूर्ण करतो व्याख्या:
A क्रमांक म्हणतात मर्यादाफंक्शन f(x, y) बिंदू M(x, y) बिंदू M 0 (x 0, y 0) कडे झुकते, जर प्रत्येक संख्या e > 0 साठी r > 0 अशी संख्या असेल तर कोणत्याही बिंदू M साठी (x, y), ज्यासाठी अट सत्य आहे स्थिती देखील खरी आहे लिहा: व्याख्या:
बिंदू M 0 (x 0, y 0) फंक्शन f(x, y) च्या व्याख्येच्या डोमेनशी संबंधित असू द्या. नंतर फंक्शन z = f(x, y) म्हणतात सतत M 0 बिंदूवर (x 0, y 0), जर आणि बिंदू M(x, y) अनियंत्रित पद्धतीने M 0 (x 0, y 0) बिंदूकडे झुकतो. कोणत्याही बिंदूवर अट (1) समाधानी नसल्यास, या बिंदूला म्हणतात ब्रेक पॉइंटफंक्शन्स f(x, y). हे खालील प्रकरणांमध्ये असू शकते: 1) फंक्शन z = f(x, y) हे M 0 (x 0, y 0) बिंदूवर परिभाषित केलेले नाही. २) मर्यादा नाही. 3) ही मर्यादा अस्तित्वात आहे, परंतु ती f(x 0 , y 0) च्या समान नाही. मालमत्ता.
फंक्शन f(x, y, …) क्लोज्ड मध्ये परिभाषित आणि सतत असल्यास सीमाबद्ध डोमेन डी, नंतर या डोमेनमध्ये किमान एक बिंदू आहे N(x 0 , y 0 , …), जसे की उर्वरित बिंदूंसाठी असमानता सत्य आहे f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) तसेच बिंदू N 1 (x 01, y 01, ...), जसे की इतर सर्व बिंदूंसाठी असमानता सत्य आहे f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) नंतर f(x 0 , y 0 , …) = M – सर्वोच्च मूल्यफंक्शन्स, आणि f(x 01 , y 01 , ...) = m – सर्वात लहान मूल्यडोमेन D मध्ये f(x, y, …) फंक्शन्स. बंद आणि बद्ध डोमेन D मध्ये एक सतत फंक्शन त्याच्या सर्वात मोठ्या मूल्यापर्यंत किमान एकदा आणि सर्वात लहान मूल्यापर्यंत पोहोचते. मालमत्ता.
जर फंक्शन f(x, y, …) क्लोज्ड बाउंड डोमेन D मध्ये परिभाषित आणि सतत असेल, आणि M आणि m ही अनुक्रमे, या डोमेनमधील फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये असतील, तर कोणत्याही बिंदूसाठी m О. एक मुद्दा आहे N 0 (x 0 , y 0 , …) जसे की f(x 0 , y 0 , …) = m. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, एक सतत फंक्शन डोमेन D मध्ये M आणि m मधील सर्व मध्यवर्ती मूल्ये घेते. या गुणधर्माचा परिणाम असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो की जर M आणि m संख्या भिन्न चिन्हे असतील, तर डोमेन D मध्ये फंक्शन किमान एकदा नाहीसे होते. मालमत्ता.
फंक्शन f(x, y, …), बंद बाउंड डोमेन D मध्ये सतत, मर्यादितया प्रदेशात, जर K ही संख्या असेल जी प्रदेशातील सर्व बिंदूंसाठी असमानता सत्य असेल मालमत्ता.
जर फंक्शन f(x, y, …) क्लोज्ड बाउंड डोमेन D मध्ये परिभाषित आणि सतत असेल, तर ते एकसमान सततया क्षेत्रात, म्हणजे कोणत्याही धन संख्या e साठी D > 0 अशी संख्या आहे जी D पेक्षा कमी अंतरावर असलेल्या प्रदेशाच्या कोणत्याही दोन बिंदूंसाठी (x 1, y 1) आणि (x 2, y 2) असमानता धारण करते. वरील गुणधर्म हे एका व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या गुणधर्मांसारखे आहेत जे एका मध्यांतरावर सतत असतात. इंटरव्हलवर सतत फंक्शन्सचे गुणधर्म पहा. व्युत्पन्न आणि फंक्शन्सचे भिन्नता अनेक चल. व्याख्या.
काही डोमेनमध्ये z = f(x, y) फंक्शन देऊ. चला एक अनियंत्रित बिंदू M(x, y) घेऊ आणि वाढीव Dx व्हेरिएबल x वर सेट करू. मग D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) या प्रमाणाला म्हणतात. x मधील फंक्शनची आंशिक वाढ. तुम्ही लिहून ठेवू शकता मग म्हणतात आंशिक व्युत्पन्नफंक्शन्स z = f(x, y) x मध्ये. पदनाम: y च्या संदर्भात फंक्शनचे आंशिक व्युत्पन्न देखील त्याच प्रकारे निर्धारित केले जाते. भौमितिक अर्थआंशिक व्युत्पन्न (आपण म्हणू या) y = y 0 या समतल भागाने पृष्ठभागाच्या भागावर N 0 (x 0, y 0, z 0) बिंदूवर काढलेल्या स्पर्शिकेच्या झुकाव कोनाची स्पर्शिका आहे. पूर्ण वाढ आणि पूर्ण भिन्नता.
स्पर्शिका विमान N आणि N 0 हे या पृष्ठभागाचे बिंदू असू द्या. एक सरळ रेषा NN 0 काढू. N 0 बिंदूमधून जाणारे विमान म्हणतात स्पर्शिका विमानसेकंट NN 0 आणि या विमानामधील कोन शून्याकडे झुकत असल्यास, जेव्हा अंतर NN 0 शून्याकडे झुकते. व्याख्या.सामान्यबिंदू N 0 वरील पृष्ठभागावर या पृष्ठभागाच्या स्पर्शिका समतलाला लंब N 0 मधून जाणारी एक सरळ रेषा आहे. कोणत्याही टप्प्यावर पृष्ठभागावर एकतर फक्त एक स्पर्शिका असते किंवा ते नसते. जर पृष्ठभाग हे समीकरण z = f(x, y) द्वारे दिलेले असेल, जेथे f(x, y) हे बिंदू M 0 (x 0, y 0) वर भिन्नता असलेले कार्य आहे, N 0 बिंदूवरील स्पर्शिका समतल ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) अस्तित्वात आहे आणि त्याचे समीकरण आहे: या बिंदूवर सामान्य ते पृष्ठभागाचे समीकरण आहे: भौमितिक अर्थबिंदू (x 0, y 0) वर f(x, y) च्या दोन चलांच्या फंक्शनचा एकूण विभेद म्हणजे बिंदू (x 0) वरून हलताना स्पर्शिकेच्या समतलाच्या ऍप्लिकेट (z निर्देशांक) ची वाढ , y 0) बिंदूपर्यंत (x 0 + Dx, y 0 +Dу). तुम्ही बघू शकता, दोन व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनच्या एकूण डिफरेंशियलचा भौमितीय अर्थ हा एका व्हेरिएबलच्या फंक्शनच्या भिन्नतेच्या भौमितिक अर्थाचा अवकाशीय ॲनालॉग आहे. उदाहरण.स्पर्शिक समतल आणि पृष्ठभागावरील सामान्य समीकरणे शोधा बिंदू M(1, 1, 1). स्पर्शिका समीकरण: सामान्य समीकरण: एकूण भिन्नता वापरून अंदाजे गणना.
u फंक्शनचा एकूण फरक समान आहे: या अभिव्यक्तीचे अचूक मूल्य 1.049275225687319176 आहे. उच्च ऑर्डरचे आंशिक व्युत्पन्न. फंक्शन f(x, y) काही डोमेन D मध्ये परिभाषित केले असल्यास, त्याचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह देखील त्याच डोमेनमध्ये किंवा त्याच्या भागामध्ये परिभाषित केले जातील. आम्ही या व्युत्पन्नांना कॉल करू प्रथम ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज. या फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह्ज असतील दुसरी ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज. परिणामी समानता वेगळे करणे सुरू ठेवून, आम्ही उच्च ऑर्डरचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह मिळवतो. फंक्शन y = f(x) विचारात घ्या, जे मध्यांतर (a, b) वर मानले जाते. अंतराल (a, b) शी संबंधित x1 बिंदूचा b-परिसर दर्शवणे शक्य असल्यास सर्व x (x1, b) साठी असमानता f(x1) > f(x) धारण करते, तर y1 = f1(x1) म्हणतात फंक्शनची कमाल y = f(x) अंजीर पहा. आम्ही फंक्शनची कमाल y = f(x) कमाल f(x) ने दर्शवतो. जर अंतराल (a, b) शी संबंधित x2 बिंदूचा b-शेजारी सूचित करणे शक्य असेल, जसे की सर्व x साठी ते O (x2, 6) च्या मालकीचे असेल, x हे x2 च्या बरोबरीचे नाही, असमानता धारण करते f(x2)< f(x)
, नंतर y2= f(x2) याला y-f(x) फंक्शनचे किमान म्हणतात (आकृती पहा). कमाल शोधण्याच्या उदाहरणासाठी, खालील व्हिडिओ पहा आम्ही फंक्शनचे किमान y = f(x) min f(x) द्वारे दर्शवतो. दुसऱ्या शब्दात, फंक्शनची कमाल किंवा किमान y = f(x) म्हणतातत्याचे मूल्य जे इतर सर्व मूल्यांपेक्षा मोठे (कमी) आहे जे दिलेल्या बिंदूंच्या पुरेशा जवळ असलेल्या आणि त्यापेक्षा वेगळे आहे. टीप १. कमाल कार्य, असमानता द्वारे परिभाषित कठोर कमाल म्हणतात; कठोर नसलेली कमाल असमानता f(x1) > = f(x2) द्वारे निर्धारित केली जाते टीप 2. स्थानिक वर्ण आहे (हे संबंधित बिंदूच्या पुरेसे लहान शेजारच्या फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्ये आहेत); फंक्शनची वैयक्तिक मिनिमा त्याच फंक्शनच्या कमाल पेक्षा जास्त असू शकते फंक्शनच्या कमाल आणि किमान यांना एक्स्ट्रीमम म्हणतात
. फंक्शन्सचे आलेख तयार करण्यासाठी एक्स्ट्रीमा इन आढळतात लॅटिन एक्स्ट्रीम म्हणजे "अत्यंत"
अर्थ एक्स द ची मु ा जिला एक्स्ट्रीमम पोचला आहे , त्याला एक्स्ट्रीमम पॉइंट म्हणतात. एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक स्थिती खालील प्रमेयाद्वारे व्यक्त केली जाते. प्रमेय. भिन्नता कार्याच्या टोकाच्या बिंदूवर, त्याचे व्युत्पन्न शून्याच्या बरोबरीचे आहे. प्रमेयाचा एक साधा भौमितीय अर्थ आहे: संबंधित बिंदूवरील भिन्न कार्याच्या आलेखाची स्पर्शिका ऑक्स अक्षाच्या समांतर आहे
किंवा फंक्शन म्हणतात अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन. फंक्शनचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह स्थिर मूल्यापर्यंत निर्धारित केले जाते.
, येथे एक अनियंत्रित स्थिरांक आहे.
.
, आणि हे कार्य निरंतर आहे आणि समानता सत्य आहे 
.
कुठे .
. जर आपण फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची व्याख्या आठवली आणि मर्यादेवर गेलो तर आपल्याला मिळेल. म्हणजेच, हे फंक्शनच्या अँटीडेरिव्हेटिव्हपैकी एक आहे y = f(x)विभागावर
. अशा प्रकारे, सर्व अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जचा संच F(x)म्हणून लिहिता येईल 
, कुठे सह- अनियंत्रित स्थिरांक.
, म्हणून, . गणना करताना हा निकाल वापरू F(b): , ते आहे 
. ही समानता सिद्ध करण्यायोग्य न्यूटन-लाइबनिझ सूत्र देते .
. या नोटेशनचा वापर करून, न्यूटन-लीबनिझ सूत्र फॉर्म घेते 
.
. साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह घेऊ C=0: .
.आयताकृती एस.के. फंक्शन पॅरामेट्रिक पद्धतीने निर्दिष्ट केले आहे Polyarnaya S.K.
विमान आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना
समतल वळणाच्या कंस लांबीची गणना करणे
क्रांतीच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना
हे विभेदक समीकरण नाही.
नॉनलाइनर गणितीय पेंडुलम समीकरणाचे अंदाजे मानले जाऊ शकते 
लहान मोठेपणाच्या बाबतीत, जेव्हा y≈ पाप y.
, कार्य: व्याख्या
व्युत्पन्न आणि त्याची भूमिका
व्युत्पन्न कसे मोजायचे?
कार्याचा अभ्यास करण्याच्या पद्धती
भिन्नतेचे नियम
एक्स्ट्रीम पॉइंट्स
कार्य मूल्ये आणि कमाल आणि किमान गुण
या प्रकरणांमध्ये कसे वागावे? कमाल/किमान बिंदू शोधा
ते बरोबर आहे, प्रथम फंक्शन वाढते, नंतर कमी होते - हा कमाल बिंदू आहे!
उत्तर: -15 
उत्तर: -2 फंक्शनचे सर्वात मोठे/लहान मूल्य शोधा
y y
येथे
. त्याचे तिरकस असिम्प्टोट y = x आहे.
.
, कारण b = const, नंतर 
.
, म्हणून,
.
, ते 
, म्हणून,
.
.
.
.
(1)
.
.
किमान कार्ये
परिणामी, फंक्शनची कमाल (किमान) कॉल केली जाते स्थानिक कमाल(स्थानिक किमान) परिपूर्ण कमाल (किमान) च्या उलट - फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनमधील सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य.
