हा लेख विमानात सरळ रेषेच्या समीकरणाच्या विषयावर पुढे जात आहे: अशा समीकरणाच्या स्वरूपाचा सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण म्हणून विचार करा. आपण एक प्रमेय परिभाषित करू आणि त्याचा पुरावा देऊ; सरळ रेषेचे अपूर्ण सामान्य समीकरण काय आहे आणि सरळ रेषेतल्या इतर प्रकारच्या समीकरणांमधून सामान्य समीकरणातून संक्रमण कसे बनवायचे ते जाणून घेऊ. आम्ही संपूर्ण सिद्धांत स्पष्टीकरणासह आणि व्यावहारिक समस्यांचे निराकरण करून एकत्रित करू.

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

O आयताला आयताकृती समन्वय प्रणाली विमानात द्या.

प्रमेय 1

पहिल्या डिग्रीचे कोणतेही समीकरण, ज्यामध्ये ए + बी वाय + सी \u003d ० हा फॉर्म आहे, जेथे ए, बी, सी काही वास्तविक संख्या आहेत (अ आणि बी एकाच वेळी शून्याइतकी नाहीत) एक सरळ रेषा परिभाषित करते विमानात आयताकृती समन्वय प्रणाली. त्याऐवजी, विमानातील आयताकृती समन्वय प्रणालीतील कोणतीही सरळ रेषा A, B, C या मूल्यांच्या निश्चित संचासाठी A x + B y + C \u003d 0 या समीकरणाद्वारे निश्चित केली जाते.

पुरावा

या प्रमेय दोन बिंदूंचा समावेश आहे, आम्ही त्या प्रत्येक सिद्ध करू.

1. आपण हे सिद्ध करूया की A x + B y + C \u003d 0 हे समीकरण विमानात सरळ रेषा निश्चित करते.

येथे काही बिंदू exist 0 (x 0, y 0) अस्तित्वात असू द्या, ज्याचे निर्देशांक A x + B y + C \u003d 0 समीकरण अनुरुप आहेत. अशा प्रकारेः एक x 0 + बी y 0 + से \u003d 0. समीकरणांच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूला वजा करा x x B y + C \u003d 0 समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस x 0 + B y 0 + C \u003d 0, आपल्याला A असे नवीन समीकरण प्राप्त झाले आहे (A) x - x 0) + बी (वाय - वाय 0) \u003d 0. हे A x + B y + C \u003d 0 च्या समतुल्य आहे.

एन (x - x 0) + बी (वाय - वाय 0) \u003d 0 वेक्टर n → \u003d (ए, बी) आणि एम 0 एम → \u003d (एक्स - एक्स 0, y) साठी एक आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती आहे - वाय 0). अशाप्रकारे, बिंदूंचा संच एम (एक्स, वाय) वेक्टर एन → \u003d (ए, बी) च्या दिशेने लंबवत आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये सरळ रेषा परिभाषित करते. आम्ही असे मानू शकतो की हे तसे नाही, परंतु नंतर वेक्टर n → \u003d (ए, बी) आणि एम 0 एम → \u003d (x - x 0, y - y 0) लंब नसतील आणि समानता अ (x - x 0) + बी (y - y 0) \u003d 0 सत्य नाही.

म्हणून A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 हे समीकरण विमानातील आयताकृती समन्वय प्रणालीत काही सरळ रेषा निश्चित करते आणि म्हणूनच x + B y + C \u003d 0 हे समीकरण समीकरण निश्चित करते. समान सरळ रेष आम्ही प्रमेयांचा पहिला भाग अशा प्रकारे सिद्ध केला.

1. चला आपण एक पुरावा द्या की विमानात आयताकृती समन्वय प्रणालीतील कोणतीही सरळ रेषा प्रथम डिग्री ए एक्स + बी वाई + सी \u003d ० च्या समीकरणाद्वारे परिभाषित केली जाऊ शकते.

आपण विमानात आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये सरळ रेषा अ सेट करू; बिंदू एम 0 (x 0, y 0), ज्याद्वारे ही रेषा जाईल तसेच या रेषेचा सामान्य वेक्टर n → \u003d (ए, बी).

काही बिंदू एम (x, y) देखील असू द्या - सरळ रेषेचा फ्लोटिंग पॉईंट. या प्रकरणात, वेक्टर एन → \u003d (ए, बी) आणि एम 0 एम → \u003d (एक्स - एक्स 0, वाय - वाय 0) एकमेकांना लंब आहेत आणि त्यांचे स्केलर उत्पादन शून्य आहे:

एन →, एम 0 एम → \u003d ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाय - वाय 0) \u003d 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0 हे समीकरण पुन्हा लिहा, C: C \u003d - A x 0 - B y 0 हे समीकरण परत मिळवा आणि शेवटी निकालास आपल्याला एक x + B y + C \u003d 0 हे समीकरण मिळेल. .

अशा प्रकारे आम्ही प्रमेयचा दुसरा भाग सिद्ध केला आणि संपूर्ण प्रमेय संपूर्णपणे सिद्ध केले.

व्याख्या 1

फॉर्मचे समीकरण एक x + B y + C \u003d 0 - हे आहे रेषेचे सामान्य समीकरण आयताकृती समन्वय प्रणालीतील विमानात ओ एक्स वाय.

सिद्ध प्रमेयाच्या आधारावर, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की एका निश्चित आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये विमानावर दिलेली एक सरळ रेषा आणि त्याचे सामान्य समीकरण अरुंदपणे जोडलेले आहेत. दुस ;्या शब्दांत, प्रारंभिक सरळ रेषा त्याच्या सामान्य समीकरणाशी संबंधित आहे; सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण दिलेल्या दिलेल्या सरळ रेषेशी संबंधित आहे.

हे सिद्धांताच्या पुराव्यावरून असेही आढळते की चल x आणि y साठी गुणांक A आणि B हे रेषेच्या सामान्य वेक्टरचे समन्वय आहेत, ज्याला A + B y + C \u003d ओळीच्या सामान्य समीकरणाद्वारे दिले जाते. 0

सरळ रेषेच्या सामान्य समीकरणाचे विशिष्ट उदाहरण विचारात घ्या.

2 x + 3 y - 2 \u003d 0 हे समीकरण द्या, जे दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीच्या सरळ रेषेशी संबंधित आहे. या लाइनचा सामान्य वेक्टर वेक्टर आहे एन → \u003d (२,)). रेखांकनात दिलेली सरळ रेषा काढा.

आपण असे देखील म्हणू शकता: रेखांकनामध्ये जी सरळ रेषा आपल्याला दिसते ती सामान्य समीकरणाद्वारे निश्चित केली जाते 2 x + 3 वाई - 2 \u003d 0, कारण दिलेली सरळ रेषाच्या सर्व बिंदूंचे समन्वय या समीकरणाशी संबंधित असतात.

ओळीच्या सामान्य समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना एका संख्येने गुणाकार करून λ · A x + · · B y + · · C \u003d 0 हे समीकरण मिळवू शकते जे शून्याच्या बरोबर नाही. मूळ समीकरण मूळ सामान्य समीकरणाइतकेच आहे, म्हणूनच, विमानात समान सरळ रेषांचे वर्णन करेल.

रेषेचे सामान्य सामान्य समीकरण - सरळ रेषा A x + B y + C \u003d 0 चे असे सामान्य समीकरण, ज्यात A, B, C ही संख्या नॉनझेरो आहे. अन्यथा समीकरण आहे अपूर्ण.

रेषेच्या अपूर्ण सामान्य समीकरणातील सर्व भिन्नता तपासू.

1. जेव्हा ए \u003d 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0, सामान्य समीकरण बी वाय + सी \u003d 0 होते. हे अपूर्ण सामान्य समीकरण आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये परिभाषित करते ओ एक्स वाई एक सरळ रेषा जी ओ एक्सच्या समांतर आहे, कारण एक्सच्या कोणत्याही वास्तविक मूल्यासाठी व्हेरिएबल y मूल्य घेईल - सी बी. दुसर्\u200dया शब्दांमध्ये, सरळ रेषा A सामान्य + एक्स + बी y + सी \u003d ० चे सामान्य समीकरण, जेव्हा ए \u003d ०, बी ≠ ०, बिंदूंचे स्थान (x, y) निर्दिष्ट करते, ज्याचे निर्देशांक समान संख्येइतके असतात - सी बी.
2. जर ए \u003d 0, बी ≠ 0, सी \u003d 0, सामान्य समीकरण y \u003d 0 रूप धारण करते. हे अपूर्ण समीकरण abscissa axis O x ची व्याख्या करते.
3. जेव्हा ए ≠ 0, बी \u003d ०, सी ≠ ०, तेव्हा आपल्याला एक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0 प्राप्त होते, ज्यामुळे ऑर्डिनेट अक्षाशी समांतर सरळ रेषा निश्चित केली जाते.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, तर अपूर्ण सामान्य समीकरण x \u003d 0 रूप घेईल, आणि हे समन्वय ओळीचे y हे समीकरण आहे.
5. अखेरीस, ए ≠ 0, बी ≠ 0, सी \u003d ० साठी अपूर्ण सामान्य समीकरण ए एक्स + बी वाय \u003d ० हा फॉर्म घेईल. आणि हे समीकरण मूळमधून जाणार्\u200dया सरळ रेषेचे वर्णन करते. खरंच, संख्याची जोडी (0, 0) ए + 0 + बी · 0 \u003d 0 असल्याने, ए एक्स + बी वाय \u003d 0 समानतेशी संबंधित आहे.

सरळ रेषेच्या अपूर्ण सामान्य समीकरणाचे वरील सर्व प्रकार ग्राफिकरित्या वर्णन करू या.

उदाहरण १

हे ज्ञात आहे की दिलेली सरळ रेषा समांतर अक्षाशी समांतर आहे आणि बिंदू 2 7, - 11 मधून जात आहे. दिलेल्या सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण लिहणे आवश्यक आहे.

निर्णय

ऑर्डिनेट अक्षाशी समांतर एक सरळ रेषा A + + C \u003d 0 या स्वरूपाच्या समीकरणाद्वारे दिलेली आहे, ज्यामध्ये A ≠ 0 आहे. तसेच, अट ज्या बिंदूतून रेषेत जाते त्याचे समन्वय निर्दिष्ट करते आणि या बिंदूचे निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0, अर्थात पूर्ण करतात. समानता सत्य आहे:

ए · 2 7 + सी \u003d 0

एला काही शून्य मूल्य देऊन उदाहरणार्थ त्यातून सी निश्चित करणे शक्य आहे, उदाहरणार्थ, ए \u003d 7. या प्रकरणात, आम्हाला मिळते: 7 · 2 7 + से \u003d 0 डिग्री सेल्सियस \u003d - 2. आम्हाला दोन्ही गुणांक ए आणि सी माहित आहेत, त्यांना ए एक्स + सी \u003d ० या समीकरणात स्थान द्या आणि सरळ रेषेचे आवश्यक समीकरण मिळवा: x x - २ \u003d ०

उत्तरः 7 x - 2 \u003d 0

उदाहरण 2

रेखांकन एक सरळ रेषा दर्शविते, त्याचे समीकरण लिहणे आवश्यक आहे.

निर्णय

वरील रेखाचित्र आम्हाला समस्येचे निराकरण करण्यासाठी प्रारंभिक डेटा सहजपणे घेण्याची परवानगी देतो. आम्ही रेखांकनात पाहतो की दिलेली ओळ ओ एक्स अक्षेशी समांतर आहे आणि बिंदूमधून (0, 3) जात आहे.

सरळ रेषा, जी अ\u200dॅब्सिस्साच्या डोळ्यांशी समांतर आहे, अपूर्ण सामान्य समीकरण बी वाय + सी \u003d 0 द्वारे निश्चित केली जाते. बी आणि सी चे मूल्य शोधू. बिंदूचे समन्वय (0, 3) दिलेली सरळ रेष त्यातून जात असल्याने, बी y + C \u003d 0 या सरळ रेषेचे समीकरण पूर्ण करेल, तर समानता वैध आहेः बी · 3 \u200b\u200b+ सी \u003d 0. शून्या व्यतिरिक्त बी साठी काही मूल्य सेट करू. समजा बी \u003d 1, या प्रकरणात, समानता बी 3 + सी \u003d 0 पासून आपण सी: सी \u003d - 3 शोधू शकता. आम्ही बी आणि सी ची ज्ञात मूल्ये वापरतो, आम्हाला ओळीचे आवश्यक समीकरण प्राप्त होते: y - 3 \u003d 0.

उत्तरः y - 3 \u003d 0.

विमानाच्या दिलेल्या बिंदूमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण

दिलेले रेखा बिंदू М 0 (x 0, y 0) वरून जाऊ द्या, मग त्याचे निर्देशांक रेषेच्या सामान्य समीकरणाशी संबंधित असतील, म्हणजे. समानता सत्य आहे: एक x 0 + B y 0 + C \u003d 0. आम्ही रेषेच्या सामान्य पूर्ण समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूने या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू वजा करतो. आम्हाला मिळेल: ए (एक्स - एक्स ०) + बी (वाय - वाय ०) + सी \u003d ०, हे समीकरण मूळ सर्वसामान्यांसारखे आहे, बिंदू М ० (एक्स ०, वाय ०) वरून जाते आणि सामान्य वेक्टर आहे n → \u003d (ए, बी)

आम्ही प्राप्त केलेला परिणाम सरळ रेषेच्या सामान्य वेक्टरच्या ज्ञात समन्वय आणि या सरळ रेषेच्या विशिष्ट बिंदूच्या निर्देशांकांसह सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण लिहणे शक्य करते.

उदाहरण 3

एक बिंदू М 0 (- 3, 4) दिले ज्याद्वारे एक सरळ रेषा जाते आणि या सरळ रेषेचा सामान्य सदिश n → \u003d (1, - 2). दिलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण लिहणे आवश्यक आहे.

निर्णय

प्रारंभिक परिस्थिती आम्हाला समीकरण रेखांकित करण्यासाठी आवश्यक डेटा प्राप्त करण्यास अनुमती देते: ए \u003d 1, बी \u003d - 2, एक्स 0 \u003d - 3, वाय 0 \u003d 4. नंतरः

ए (x - x 0) + बी (वाय - वाय 0) \u003d 0 ⇔ 1 (एक्स - (- - 3)) - 2 वाय (वाय - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ एक्स - 2 वाय + 22 \u003d 0

ही समस्या वेगळ्या प्रकारे सोडवता आली असती. रेषेचे सामान्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 आहे. दिलेला सामान्य वेक्टर आपल्याला गुणांक ए आणि बीची मूल्ये मिळविण्याची परवानगी देतो, त्यानंतरः

एक x + बी वाई + सी \u003d 0 ⇔ 1 एक्स - 2 वाय + सी \u003d 0 ⇔ एक्स - 2 वाय + सी \u003d 0

आता आम्हाला समस्येच्या स्थितीद्वारे निर्दिष्ट केलेले बिंदू एम 0 (- 3, 4) वापरून सी चे मूल्य आढळले, ज्यामधून सरळ रेषेतून पुढे जाईल. या बिंदूचे निर्देशांक x - 2 y + C \u003d 0 या समीकरणाशी संबंधित आहेत, म्हणजे. - 3 - 2 4 + सी \u003d 0. म्हणून सी \u003d 11. सरळ रेषेचे आवश्यक समीकरण फॉर्म घेते: x - 2 y + 11 \u003d 0.

उत्तरः x - 2 y + 11 \u003d 0.

उदाहरण 4

या सरळ रेषेत एक सरळ रेषा 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 आणि एक बिंदू М 0 दिलेली आहे. केवळ या बिंदूचा अ\u200dॅब्सिस्सा ज्ञात आहे आणि ते 3 - समान आहे. दिलेल्या बिंदूचे ऑर्डिनेंट निश्चित करणे आवश्यक आहे.

निर्णय

बिंदू the 0 च्या निर्देशांकांचे पदनाम x 0 आणि y 0 असे सेट करू या. प्रारंभिक डेटा x 0 \u003d - 3 दर्शवितो. बिंदू दिलेल्या सरळ रेषेशी संबंधित असल्याने त्याचे निर्देशांक या सरळ रेषेच्या सामान्य समीकरणाशी संबंधित असतात. मग समानता सत्य होईलः

2 3 x 0 - वाय 0 - 1 2 \u003d 0

Y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2 निश्चित करा

उत्तरः - 5 2

सरळ रेषेच्या सामान्य समीकरणातून सरळ रेषेच्या इतर प्रकारच्या समीकरणांमधील संक्रमण आणि त्याउलट

आम्हाला माहित आहे की विमानात समान सरळ रेषेत अनेक प्रकारची समीकरणे आहेत. समीकरण प्रकाराची निवड समस्येच्या परिस्थितीवर अवलंबून असते; निराकरण करण्यासाठी अधिक सोयीस्कर असलेल्या एखाद्याची निवड करणे शक्य आहे. येथेच एका प्रकारचे समीकरण दुसर्\u200dया प्रकारच्या समीकरणात रूपांतरित करण्याचे कौशल्य कार्यक्षम आहे.

सुरूवातीस, फॉर्म ए एक्स + बी वाई + सी \u003d ० या सामान्य समीकरणातून कॅनॉनिकल समीकरण एक्स - एक्स १ ए एक्स \u003d वाय - वाई १ ए वाई पर्यंतचे संक्रमण विचारात घ्या.

जर А ≠ 0 असल्यास आम्ही बी y ही संज्ञा सामान्य समीकरणाच्या उजवीकडच्या स्थानांतरीत करतो. डाव्या बाजूला कंस बाहेर ए ठेवा. परिणामी, आम्हाला मिळेल: A x + C A \u003d - B y.

ही समानता प्रमाणानुसार लिहिता येऊ शकते: x + C A - B \u003d y A

जर В ≠ 0 असेल तर आम्ही सामान्य समीकरणाच्या डाव्या बाजूला फक्त एक हा शब्द ठेवला आहे, इतरांना उजव्या बाजूला स्थानांतरित करतो, आपल्याला मिळेल: ए एक्स \u003d - बी वाय - सी. आम्ही काढतो - B कंस बाहेर, नंतर: ए x \u003d - बी वाई + सी बी.

समतेचे प्रमाण म्हणून पुन्हा लिहा: x - B \u003d y + C B A.

अर्थात, परिणामी सूत्रे लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता नाही. सामान्य समीकरण ते प्रामाणिक पर्यंत संक्रमणात क्रियांची अल्गोरिदम जाणून घेणे पुरेसे आहे.

उदाहरण 5

सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण दिले जाते: 3 वाय - 4 \u003d 0. त्याचे प्रमाणिक समीकरणात रूपांतर करणे आवश्यक आहे.

निर्णय

मूळ समीकरण 3 वाई - 4 \u003d 0 म्हणून पुन्हा लिहा. पुढे, आम्ही अल्गोरिदमनुसार कार्य करतो: डाव्या बाजूला 0 नाम संज्ञा आहे; आणि उजव्या बाजूला आम्ही कंस बाहेर 3; आम्हाला मिळेल: 0 x \u003d - 3 वाय - 4 3.

चला प्रमाण म्हणून समानता लिहू: x - 3 \u003d y - 4 3 0. तर आपल्याकडे अधिकृत स्वरुपाचे समीकरण मिळाले.

उत्तरः x - 3 \u003d y - 4 3 0.

सरळ रेषेच्या सामान्य समीकरणांना पॅरामीट्रिक विषयामध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, प्रथम एक प्रामाणिक स्वरुपाचे संक्रमण करते आणि नंतर सरळ रेषेच्या प्रमाणिक समीकरणातून पॅरामीट्रिक समीकरणांकडे संक्रमण होते.

उदाहरण 6

सरळ रेषा 2 एक्स - 5 वाय - 1 \u003d 0 समीकरणाद्वारे दिली जाते. या सरळ रेषेत पॅरामीट्रिक समीकरणे लिहा.

निर्णय

चला सामान्य समीकरणातून ते प्रमाणिक पर्यंत संक्रमण करूया:

2 x - 5 वाई - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 वाय + 1 ⇔ 2 एक्स \u003d 5 वाय + 1 5 ⇔ एक्स 5 \u003d वाय + 1 5 2

आता आम्ही परिणामी प्रमाणिक समीकरणाच्या दोन्ही बाजू λ च्या बरोबर घेतो, त्यानंतरः

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ आर

उत्तरः x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ आर

सामान्य समीकरण उतार y \u003d k x + b सह सरळ रेषेच्या समीकरणात रूपांतरित केले जाऊ शकते, परंतु केवळ B ≠ 0 असल्यास. डावीकडील संक्रमणासाठी, आम्ही बी y ही संज्ञा सोडतो, उर्वरित उजवीकडे हस्तांतरित करतो. आम्हाला मिळते: बी वाय \u003d - ए एक्स - सी. बी द्वारे परिणामी समानतेचे दोन्ही बाजू विभाजित करा, शून्यापेक्षा भिन्न: y \u003d - ए बी एक्स - सी बी.

उदाहरण 7

सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण दिले जाते: 2 x + 7 y \u003d 0. आपण ते समीकरण उतार समीकरणात रूपांतरित केले पाहिजे.

निर्णय

चला अल्गोरिदमनुसार आवश्यक क्रिया करू:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 वाय - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

उत्तरः y \u003d - 2 7 x

सरळ रेषेच्या सामान्य समीकरणातून, एक्स ए + वाय बी \u003d 1 फॉर्मच्या विभागांमध्ये फक्त समीकरण मिळवणे पुरेसे आहे. असे संक्रमण करण्यासाठी आम्ही संख्या सी समानतेच्या उजवीकडच्या स्थानांतरीत करतो, परिणामी समानतेच्या दोन्ही बाजूंना विभाजित करतो - आणि, शेवटी, x आणि y या चल करीताचे गुणांक संप्रेरकांकडे हस्तांतरित करतो:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

उदाहरण 8

रेषेच्या सामान्य समीकरणास रेषांच्या समीकरणात विभागातील रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.

निर्णय

1 2 उजवीकडे वळा: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

समानतेच्या दोन्ही बाजू -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1 ने विभाजित करा.

उत्तरः x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

सामान्यत:, उलट संक्रमण देखील सोपे आहे: इतर प्रकारच्या समीकरणांपासून ते सामान्य पर्यंत.

विभागांमधील सरळ रेषेचे समीकरण आणि उतार गुणांक असलेले एक समीकरण सहजपणे सामान्यतेमध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते, फक्त समानतेच्या डाव्या बाजूला असलेल्या सर्व अटी एकत्रित करून:

x ए + वाय बी ⇔ 1 ए एक्स + १ बी वाई - १ \u003d ० ⇔ ए एक्स + बी वाई + सी \u003d ० वाई \u003d के एक्स + बी ⇔ य - के एक्स - बी \u003d ० ⇔ ए एक्स + बी वाय + सी \u003d ०

कॅनॉनिकल समीकरण खालील प्रमाणे सामान्य मध्ये बदलले आहे:

x - x 1 अक्ष \u003d वाय - वाई 1 आय ⇔ अय (एक्स - एक्स 1) \u003d कुल्हाळ (वाय - वाई 1) ⇔ ⇔ आयक्स - अक्सी - आयक्स 1 + अ\u200dॅक्सी 1 \u003d 0 ⇔ ए एक्स + बी वाय + सी \u003d ०

पॅरामीट्रिक वरुन जाण्यासाठी, प्रथम, कॅनोनिकलमध्ये संक्रमण केले जाते आणि नंतर सर्वसाधारणपणे:

x \u003d x 1 + एक x λ y \u003d y 1 + एक y λ λ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

उदाहरण 9

X \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 या सरळ रेषांचे पॅरामीट्रिक समीकरणे दिली आहेत. या सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण लिहिले जाणे आवश्यक आहे.

निर्णय

पॅरामीट्रिक समीकरणांमधून अधिकृत मध्ये संक्रमण करूया:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ x \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

कॅनॉनिकलपासून सामान्यकडे जाऊ या:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

उत्तरः y - 4 \u003d 0

उदाहरण 10

X 3 + y 1 2 \u003d 1 विभागांमधील सरळ रेषेचे समीकरण दिले आहे. समीकरणाच्या सामान्य स्वरूपात संक्रमण करणे आवश्यक आहे.

निर्णय:

आवश्यकतेनुसार समीकरण पुन्हा लिहा:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 वाय - 1 \u003d 0

उत्तरः 1 3 x + 2 वाय - 1 \u003d 0.

सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण रेखाटणे

वर, आम्ही म्हणालो की सामान्य समीकरण सामान्य वेक्टरच्या ज्ञात समन्वय आणि ज्या बिंदूमधून सरळ रेषा उत्तीर्ण होते त्या निर्देशांकासह लिहिले जाऊ शकते. अशी सरळ रेषा A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 या समीकरणाद्वारे निश्चित केली जाते. तेथील संबंधित उदाहरणाचे आम्हीही विश्लेषण केले.

आता आम्ही अधिक जटिल उदाहरणांवर विचार करू, ज्यामध्ये प्रथम सामान्य वेक्टरचे निर्देशांक निश्चित करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण 11

सरळ रेषा 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 या सरळ रेषेच्या समांतर रेखा दिली आहे. एम 0 (4, 1) बिंदू देखील ज्ञात आहे, ज्याद्वारे दिलेली ओळ उत्तीर्ण होईल. दिलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण लिहणे आवश्यक आहे.

निर्णय

प्रारंभिक परिस्थिती आपल्याला सांगते की सरळ रेषा समांतर असतात, तर सरळ रेषेचा सामान्य वेक्टर म्हणून ज्याचे समीकरण लिहायचे आहे, आम्ही सरळ रेषाचा दिग्दर्शक वेक्टर घेतो एन take \u003d (२, -)) : 2 x - 3 वाय + 3 3 \u003d 0. रेषेचे सामान्य समीकरण तयार करण्यासाठी आम्हाला सर्व आवश्यक डेटा माहित आहेः

A (x - x 0) + बी (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

उत्तरः 2 x - 3 वाय - 5 \u003d 0.

उदाहरण 12

निर्दिष्ट केलेली ओळ क्ष - 2 3 \u003d y + 4 5 या ओळीच्या मूळ लंबातून जाते. दिलेल्या सरळ रेषेसाठी सामान्य समीकरण काढणे आवश्यक आहे.

निर्णय

दिलेल्या रेषेचा सामान्य सदिश x - 2 3 \u003d y + 4 5 या ओळीचा दिशा वेक्टर असेल.

नंतर एन → \u003d (3, 5). सरळ रेषा मूळमधून जाते, म्हणजे. बिंदू ओ (0, 0) पर्यंत जा. दिलेल्या सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण लिहू या:

A (x - x 0) + बी (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

उत्तर: 3 x + 5 y \u003d 0.

आपल्याला मजकूरामध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया ते निवडा आणि Ctrl + Enter दाबा

बिंदू के मधून जाणारी सरळ रेषा (x 0; y 0) आणि सरळ रेषाच्या समांतर y \u003d kx + a सूत्रानुसार आढळतेः

y - y 0 \u003d के (x - x 0) (1)

जिथे के सरळ रेषेचा उतार आहे.

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदू M 1 (x 1; y 1) वरून सरळ रेषा Ax + By + C \u003d 0 या सरळ रेषेच्या समांतर समीकरणाद्वारे दर्शविली जाते

ए (x-x 1) + बी (y-y 1) \u003d 0. (२)

उदाहरण # 2. 2x + 5y \u003d 0 या सरळ रेषेच्या समांतर सरळ रेषेचे समीकरण लिहा आणि समन्वय अक्षांसह एकत्रित बनवा, ज्याचे क्षेत्रफळ 3 आहे.
निर्णय ... सरळ रेषा समांतर असल्याने, इच्छित सरळ रेषेचे समीकरण 2x + 5y + C \u003d 0. आहे. उजव्या कोनात त्रिकोणाचे क्षेत्र, जेथे अ आणि बी त्याचे पाय आहेत. निर्देशांक अक्षांसह इच्छित सरळ रेषेचे छेदनबिंदू शोधा:
;
.
तर A (-C / 2.0), बी (0, -C / 5) चला क्षेत्राच्या सूत्रात बदल करूया. ... आम्हाला दोन निराकरणे मिळतातः 2x + 5y + 10 \u003d 0 आणि 2x + 5y - 10 \u003d 0.

उदाहरण # 3. बिंदू (-2; 5) वरून जाणा straight्या सरळ रेषेचे समीकरण आणि सरळ रेष 5x-7y-4 \u003d 0 समांतर बनवा.
निर्णय. ही सरळ रेषा y \u003d 5/7 x - 4/7 (येथे a \u003d 5/7) समीकरण द्वारे दर्शविली जाऊ शकते. इच्छित सरळ रेषेचे समीकरण y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)) आहे, म्हणजे. 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) किंवा 5x-7y + 45 \u003d 0.

उदाहरण क्रमांक 4. सूत्र (२) वापरून उदाहरण सोडवणे ((ए \u003d,, बी \u003d-Sol), आम्हाला ((एक्स + २) -7 (वाई-5) \u003d ० आढळतात.

उदाहरण क्रमांक 5. बिंदू (-2; 5) वरून जाणा straight्या सरळ रेषेचे समीकरण आणि सरळ रेष 7x + 10 \u003d 0 समांतर बनवा.
निर्णय. येथे ए \u003d 7, बी \u003d 0. फॉर्म्युला (2) 7 (x + 2) \u003d 0 देते, म्हणजे. x + 2 \u003d 0. फॉर्म्युला (1) लागू नाही, कारण हे समीकरण y च्या संदर्भात सोडवणे शक्य नाही (ही ओळ समक्रमित अक्षांशी समांतर आहे).

"भूमितीय अल्गोरिदम" या मालिकेचा धडा

नमस्कार प्रिय वाचक!

आज आम्ही भूमितीशी संबंधित अल्गोरिदम शोधणे सुरू करू. मुद्दा असा आहे की संगणकीय भूमितीशी संबंधित कॉम्प्यूटर सायन्समध्ये बर्\u200dयाच ऑलिम्पियाड समस्या आहेत आणि अशा समस्यांचे निराकरण केल्यामुळे बर्\u200dयाचदा अडचणी उद्भवतात.

काही धड्यांमध्ये आपण अनेक प्राथमिक सबप्रब्लम्स पाहू, जे संगणकीय भूमितीमधील बहुतेक समस्या सोडवण्याचे आधार आहेत.

या धड्यात आपण त्यासाठी एक प्रोग्राम तयार करू सरळ रेषेचे समीकरण शोधत आहेदिलेल्या माध्यमातून जात दोन गुण... भौमितिक समस्या सोडविण्यासाठी आम्हाला संगणकीय भूमितीचे काही ज्ञान आवश्यक आहे. आम्ही त्या धड्यांचा काही भाग त्यांना जाणून घेण्यासाठी देऊ.

संगणकीय भूमिती माहिती

संगणकीय भूमिती ही संगणकाच्या विज्ञानाची एक शाखा आहे जी भौमितिक समस्या सोडविण्यासाठी अल्गोरिदमचा अभ्यास करते.

अशा समस्यांसाठी प्रारंभिक डेटा प्लेनवरील पॉईंट्सचा एक सेट, सेगमेंट्सचा सेट, बहुभुज (निर्दिष्ट, उदाहरणार्थ, घड्याळाच्या दिशेने त्याच्या शिरोबिंदूंच्या सूचीद्वारे) इत्यादी असू शकतो.

परिणाम एकतर प्रश्नाचे उत्तर असू शकते (जसे की बिंदू सेगमेंटचा आहे की नाही, दोन विभाग एकमेकांना काटेदार आहेत की नाही ...), किंवा काही भौमितीय वस्तू (उदाहरणार्थ, दिलेला बिंदू सर्वात लहान बहिर्गोल बहुभुज बहुतेक जोडणारे क्षेत्र, त्याचे क्षेत्रफळ बहुभुज इ.) ...

आम्ही केवळ विमानात आणि केवळ कार्टेशियन समन्वय प्रणालीत संगणकीय भूमिती समस्येचा विचार करू.

वेक्टर आणि समन्वयक

संगणकीय भूमिती पद्धती लागू करण्यासाठी, भूमितीय प्रतिमा संख्यांच्या भाषेत अनुवादित करणे आवश्यक आहे. आम्ही गृहित धरू की कार्टेशियन समन्वय यंत्रणा विमानात निर्दिष्ट केलेली आहे, ज्यामध्ये घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेच्या दिशेला सकारात्मक म्हटले जाते.

भूमितीय वस्तू आता विश्लेषणाने व्यक्त केल्या आहेत. तर, बिंदू सेट करण्यासाठी, त्याचे निर्देशांक दर्शविणे पुरेसे आहे: संख्यांची एक जोड (x; y). एक विभाग त्याच्या टोकाचे निर्देशांक निर्दिष्ट करून निर्दिष्ट केले जाऊ शकते, त्याच्या बिंदूंच्या जोडीचे निर्देशांक निर्दिष्ट करुन एक सरळ रेषा निर्दिष्ट केली जाऊ शकते.

परंतु समस्या सोडवण्याचे मुख्य साधन वेक्टर असतील. म्हणून, मी त्यांच्याबद्दल काही माहिती आपल्याला स्मरण करून देईन.

विभाग एबी, ज्या टप्प्यावर आणि आरंभ (अनुप्रयोगाचा बिंदू) आणि बिंदू मानला IN - अंत, एक वेक्टर म्हणतात एबी आणि उदाहरणार्थ किंवा ठळक लोअरकेस अक्षर दर्शविते आणि .

वेक्टरची लांबी दर्शविण्यासाठी (म्हणजेच संबंधित विभागाची लांबी), आम्ही मॉड्यूलस चिन्ह वापरू (उदाहरणार्थ,).

एक अनियंत्रित वेक्टर त्याच्या शेवटच्या आणि सुरवातीच्या संबंधित निर्देशांकांच्या फरकाइतके समन्वय ठेवेल:

,

येथे मुद्दे ए आणि बी समन्वय आहे अनुक्रमे

गणितांसाठी आम्ही संकल्पना वापरु देणारं कोन, म्हणजेच, वेक्टरची सापेक्ष स्थिती लक्षात घेणारा कोन.

वेक्टर दरम्यान अभिमुख कोन अ आणि बी वेक्टरपासून दूर फिरल्यास सकारात्मक अ वेक्टर करण्यासाठी बी सकारात्मक दिशेने (घड्याळाच्या उलट दिशेने) आणि अन्यथा नकारात्मक केले जाते. अंजीर.1 ए, अंजीर.1 बी पहा. ते म्हणतात की वेक्टरची जोडी अ आणि बी सकारात्मक (नकारात्मक) देणारं.

अशा प्रकारे, देणारं कोनाचे मूल्य वेक्टर सूचीबद्ध केलेल्या क्रमाने अवलंबून असते आणि श्रेणीतील मूल्ये घेऊ शकतात.

अनेक संगणकीय भूमिती समस्या वेक्टरच्या (स्क्यू किंवा स्यूडोस्कॅलर) उत्पादनांची संकल्पना वापरतात.

वेक्टर अ आणि बी चे वेक्टर उत्पादन त्यांच्या दरम्यानच्या कोनाच्या साईनद्वारे या वेक्टरच्या लांबीचे उत्पादन आहे:

.

निर्देशांकातील वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन:

उजवीकडील अभिव्यक्ती ही द्वितीय-क्रम निर्धारक आहे:

विश्लेषक भूमितीमध्ये दिलेल्या व्याख्या विपरीत, ते एक स्केलर आहे.

क्रॉस प्रॉडक्ट चिन्ह परस्परांच्या संबंधित वेक्टरची स्थिती निश्चित करते:

अ आणि बी सकारात्मक देणारं

मूल्य असल्यास, नंतर वेक्टरची जोडी अ आणि बी नकारात्मक देणारं

नॉनझेरो वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन शून्य असल्यास आणि ते केवळ कोलिनेअर असल्यास ( ). याचा अर्थ असा की ते एका सरळ रेषेत किंवा समांतर रेषांवर असतात.

अधिक जटिल कार्ये सोडविण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही सोप्या कार्यांचा विचार करूया.

चला दोन बिंदूंच्या निर्देशांकाद्वारे सरळ रेषेचे समीकरण परिभाषित करू.

त्यांच्या निर्देशांकांनी दिलेल्या दोन भिन्न बिंदूंमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण.

सरळ रेषेवर दोन नॉन-कॉइन्सीडिंग पॉईंट्स द्या: निर्देशांक (x1; y1) आणि निर्देशांक (x2; y2) सह. त्यानुसार, एका बिंदूच्या शेवटी आणि बिंदूच्या शेवटी असलेल्या सदिशात समन्वय असतो (x2-x1, y2-y1). जर पी (x, y) हा आपल्या ओळीवर अनियंत्रित बिंदू असेल तर वेक्टर निर्देशांक (x-x1, y - y1) असतात.

वेक्टर उत्पादन वापरुन, वेक्टर्ससाठी कोलिनेरिटी अट आणि खालीलप्रमाणे लिहिता येईल:

त्या. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

आम्ही शेवटचे समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिले:

ax + by + c \u003d 0, (१)

c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

तर, फॉर्म (१) च्या समीकरणानुसार एक सरळ रेषा सेट केली जाऊ शकते.

कार्य १. दोन गुणांचे समन्वय दिले आहेत. अक्षांश + द्वारे + सी \u003d 0 म्हणून त्याचे प्रतिनिधित्व शोधा.

या धड्यात आम्ही काही संगणकीय भूमितीबद्दल शिकलो. आम्ही दोन बिंदूंच्या समन्वयाने रेखाचे समीकरण शोधण्याची समस्या सोडविली.

पुढील पाठात आपण आपल्या समीकरणाद्वारे दिलेले दोन ओळींचे छेदनबिंदू शोधण्यासाठी एक प्रोग्राम बनवू.

दोन मुद्दे द्या एम(एक्स1 ,आहे1) आणि एन(एक्स2, y2). या बिंदूतून जाणा the्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधू.

ही ओळ बिंदूमधून जात असल्याने एम, नंतर सूत्रानुसार (1.13) त्याचे समीकरण फॉर्म आहे

आहे – वाय1 = के(एक्स - एक्स1),

कोठे के - अज्ञात उतार.

या गुणकाचे मूल्य त्या स्थितीतून निर्धारीत केले जाते की इच्छित रेखा बिंदूमधून जाते एनआणि म्हणूनच त्याचे समन्वय समीकरण पूर्ण करतात (1.13)

वाय2 – वाय1 = के(एक्स2 – एक्स1),

येथून आपल्याला या सरळ रेषेवरील उतार सापडेल:

,

किंवा धर्मांतर नंतर

(1.14)

फॉर्म्युला (1.14) निर्धारित करते दोन बिंदूतून जाणा a्या सरळ रेषेचे समीकरण एम(एक्स1, वाय1) आणि एन(एक्स2, वाय2).

विशेष बाबतीत जेव्हा गुण एम(ए, 0), एन(0, बी), आणि ¹ 0, बी ¹ 0, समन्वय अक्षावर ठेवा, समीकरण (1.14) सोपे फॉर्म घेते

समीकरण (1.15) म्हणतात विभागांमधील सरळ रेषेच्या समीकरणाद्वारे, येथे आणि आणि बी अक्षांवर सरळ रेषाने खंडित केलेले विभाग दर्शवा (आकृती 1.6).

आकृती 1.6

उदाहरण 1.10. गुणांद्वारे सरळ रेष समान करा एम(1, 2) आणि बी(3, –1).

. (1.14) च्या मते, मागलेल्या ओळीचे समीकरण फॉर्म आहे

2(वाय – 2) = -3(एक्स – 1).

सर्व अटी डाव्या बाजूला स्थानांतरित केल्यावर, आम्हाला शेवटी इच्छित समीकरण प्राप्त होते

3एक्स + 2वाय – 7 = 0.

उदाहरण 1.11. एका बिंदूमधून सरळ रेषा समान करा एम(2, 1) आणि रेषांचे छेदनबिंदू एक्स+ वाय -1 = 0, एक्स - वाय+ 2 = 0.

. आम्हाला दिलेली समीकरणे एकत्रितपणे सोडवून सरळ रेषांच्या छेदनबिंदूचे समन्वय सापडतात

जर आपण ही समीकरणे टर्मनुसार जोडली तर आपल्याला 2 मिळतात एक्स + 1 \u003d 0, कोठून. आढळलेल्या किंमतीला कोणत्याही समीकरणात बदलून, आपल्याला ऑर्डिनेटचे मूल्य सापडते आहे:

आता आपण बिंदू (2, 1) वरून जाणा straight्या सरळ रेषेचे समीकरण लिहू आणि:

किंवा .

म्हणून, किंवा –5 ( वाय – 1) = एक्स – 2.

शेवटी, आम्हाला फॉर्ममध्ये इच्छित सरळ रेषांचे समीकरण मिळेल एक्स + 5वाय – 7 = 0.

उदाहरण 1.12. बिंदूतून जाणा the्या सरळ रेषेचे समीकरण शोधा एम(2,1) आणि एन(2,3).

सूत्र (१.१14) वापरुन आपल्याला समीकरण प्राप्त होते

दुसरा हर शून्य शून्य असल्याने काही अर्थ नाही. दोन्ही पॉईंट्सच्या abबस्किस्सला समान मूल्य आहे हे समस्येच्या विधानातून दिसून येते. म्हणूनच, शोधलेली रेषा अक्षाशी समांतर आहे ओय आणि त्याचे समीकरण आहे: x = 2.

टिप्पणी . सूत्रानुसार (१.१14) सरळ रेषेचे समीकरण लिहिताना, प्रत्येक संज्ञा शून्याच्या बरोबर असल्याचे दिसून आले तर संबंधित समीकरणास शून्य असे बरोबरीने इच्छित समीकरण प्राप्त केले जाऊ शकते.

विमानात सरळ रेषा निश्चित करण्यासाठी इतर मार्गांवर विचार करा.

1. नॉनझेरो वेक्टर दिलेल्या लाइनवर लंब असू द्या एलआणि बिंदू एम0(एक्स0, वाय0) या सरळ रेषेत आहे (आकृती 1.7).

आकृती 1.7

आम्ही दर्शवितो एम(एक्स, वाय) ओळीवर एक अनियंत्रित बिंदू एल... वेक्टर आणि ऑर्थोगोनल. या वेक्टरसाठी ऑर्थोगोनॅलिटी अटी वापरुन, आम्हाला एकतर प्राप्त होते आणि(एक्स – एक्स0) + बी(वाय – वाय0) = 0.

आपल्याला एका बिंदूतून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण मिळाले एम0 वेक्टरचे लंब. या वेक्टरला म्हणतात सामान्य वेक्टर सरळ करण्यासाठी एल... परिणामी समीकरण पुन्हा लिहीले जाऊ शकते

अरे + वू + कडून \u003d 0, जेथे कडून = –(आणिएक्स0 + द्वारा0), (1.16),

कोठे आणि आणि IN- सामान्य वेक्टरचे समन्वय.

आम्ही पॅरामीट्रिक स्वरूपात सरळ रेषेचे सामान्य समीकरण प्राप्त करतो.

२. विमानात सरळ रेषा खालीलप्रमाणे दर्शविता येईल: नॉनझेरो वेक्टर दिलेल्या दिलेल्या सरळ रेषेशी समांतर होऊ द्या. एल आणि बिंदू एम0(एक्स0, वाय0) या सरळ रेषेत आहे. चला पुन्हा एक अनियंत्रित मुद्दा घेऊ एम(एक्स, y) सरळ रेषेत (आकृती 1.8).

आकृती 1.8

वेक्टर आणि कॉलिनियर

या व्हॅक्टर्ससाठी कोलिनेएरिटी अट लिहू:, कुठे ट - एक अनियंत्रित संख्या ज्याला पॅरामीटर म्हटले जाते. समन्वयात ही समानता लिहा:

ही समीकरणे म्हणतात पॅरामीट्रिक समीकरण सरळ... आम्ही या समीकरणांमधून मापदंड वगळतो ट:

ही समीकरणे अन्यथा फॉर्ममध्ये लिहिता येतील

. (1.18)

परिणामी समीकरण म्हणतात सरळ रेषेचे प्रमाणिक समीकरण... वेक्टर म्हणतात सरळ रेषेचा दिशा वेक्टर .

टिप्पणी . हे पाहणे सोपे आहे की जर लाइन मधील सामान्य वेक्टर असेल तर एल, नंतर त्याचा दिशा वेक्टर एक सदिश असू शकतो, म्हणजेच, म्हणजे.

उदाहरण 1.13. त्या बिंदूतून जाणा the्या सरळ रेषेचे समीकरण लिहा एम0 (1, 1) सरळ रेषा 3 च्या समांतर एक्स + 2आहे– 8 = 0.

निर्णय . दिलेला व इच्छित सरळ रेषांकरिता सामान्य सदिश हा वेक्टर आहे. आपण बिंदूमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण वापरू एम0 दिलेल्या सामान्य वेक्टर 3 सह ( एक्स –1) + 2(आहे - 1) \u003d 0 किंवा 3 एक्स + 2 वा - 5 \u003d 0. इच्छित सरळ रेषेचे समीकरण प्राप्त झाले.

दिलेल्या दिशेने दिलेल्या बिंदूतून जाणा a्या सरळ रेषेचे समीकरण. दोन दिलेल्या बिंदूंमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण. दोन सरळ रेषांमधील कोन. समांतरपणाची स्थिती आणि दोन ओळींची लंबता. दोन ओळींच्या छेदनबिंदूचे निर्धारण

1. दिलेल्या बिंदूमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचे समीकरण ए(x 1 , y 1) उताराद्वारे निर्धारित दिलेल्या दिशेने के,

y - y 1 = के(x - x 1). (1)

हे समीकरण बिंदूमधून जात असलेल्या सरळ रेषांचे बंडल परिभाषित करते ए(x 1 , y 1), ज्याला बीमचे केंद्र म्हणतात.

2. दोन बिंदूतून जाणा a्या सरळ रेषेचे समीकरण: ए(x 1 , y 1) आणि बी(x 2 , y २) खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

दोन दिलेल्या बिंदूंमधून जात असलेल्या सरळ रेषेचा उतार सूत्राद्वारे निर्धारित केला जातो

3. सरळ रेषांमधील कोन ए आणि बी आपल्याला प्रथम सरळ करणे आवश्यक आहे असे कोन म्हणतात ए या ओळीच्या छेदनबिंदूच्या आसपास जेव्हा ते दुसर्\u200dया ओळीशी जुळत नाहीत बी... जर उतार असलेल्या समीकरणाद्वारे दोन सरळ रेषा दिल्या असतील

y = के 1 x + बी 1 ,