भग्न. फ्रॅक्टल सेट मिळविण्यासाठी कोच वक्र प्रक्रिया

कोच वळणाच्या तीन प्रती, एका नियमित त्रिकोणाच्या बाजूने (त्यांचे बिंदू बाहेरच्या बाजूने) बांधल्या जातात, अनंत लांबीचा एक बंद वक्र बनवतात. कोचचा स्नोफ्लेक.

ही आकृती शास्त्रज्ञांनी अभ्यासलेल्या पहिल्या फ्रॅक्टल्सपैकी एक आहे. ते तीन प्रतींमधून येते कोच वक्र, जे प्रथम 1904 मध्ये स्वीडिश गणितज्ञ हेल्गे वॉन कोच यांच्या एका पेपरमध्ये आले होते. कोणत्याही बिंदूला स्पर्शिका असू शकत नाही अशा अखंड रेषेचे उदाहरण म्हणून या वक्रचा शोध लावला गेला. या मालमत्तेच्या रेषा पूर्वी ज्ञात होत्या (कार्ल वेअरस्ट्रासने 1872 मध्ये त्याचे उदाहरण परत तयार केले), परंतु कोच वक्र त्याच्या डिझाइनच्या साधेपणासाठी उल्लेखनीय आहे. हा योगायोग नाही की त्याच्या लेखाला "प्राथमिक भूमितीपासून निर्माण होणाऱ्या स्पर्शिकांशिवाय सतत वक्र वर" म्हटले जाते.

ड्रॉईंग आणि ॲनिमेशन उत्तम प्रकारे दाखवतात की कोच वक्र चरण-दर-चरण कसे तयार केले जाते. प्रथम पुनरावृत्ती हा फक्त प्रारंभिक विभाग आहे. मग ते तीन समान भागांमध्ये विभागले जाते, मध्यभागी एक नियमित त्रिकोण तयार करण्यासाठी पूर्ण केले जाते आणि नंतर बाहेर फेकले जाते. परिणाम म्हणजे दुसरी पुनरावृत्ती - चार सेगमेंट असलेली तुटलेली ओळ. समान ऑपरेशन त्या प्रत्येकावर लागू केले जाते, आणि बांधकामाची चौथी पायरी प्राप्त होते. त्याच भावनेने पुढे चालू ठेवून, आपण अधिकाधिक नवीन ओळी मिळवू शकता (त्या सर्व तुटलेल्या रेषा असतील). आणि मर्यादेत जे घडते (हे आधीच एक काल्पनिक वस्तू असेल) त्याला कोच वक्र म्हणतात.

1. हे सतत आहे, परंतु कुठेही वेगळे नाही. ढोबळपणे सांगायचे तर, याचा शोध नेमका का लागला होता - या प्रकारच्या गणिती "फ्रीक्स" चे उदाहरण म्हणून.

2. अनंत लांबी आहे. मूळ सेगमेंटची लांबी 1 च्या बरोबरीने असू द्या. प्रत्येक बांधकाम पायरीवर, आम्ही प्रत्येक रेषेला तुटलेल्या रेषेने बदलतो, जी 4/3 पट जास्त असते. याचा अर्थ असा की संपूर्ण तुटलेल्या रेषेची लांबी प्रत्येक पायरीवर 4/3 ने गुणाकार केली जाते: संख्येसह रेषेची लांबी n(4/3) बरोबर n-1. त्यामुळे मर्यादा रेषा अनंत लांब असण्याशिवाय पर्याय नाही.

3. कोचचा स्नोफ्लेक मर्यादित क्षेत्र मर्यादित करतो. आणि हे असूनही त्याची परिमिती असीम आहे. ही मालमत्ता विरोधाभासी वाटू शकते, परंतु हे स्पष्ट आहे - स्नोफ्लेक एका वर्तुळात पूर्णपणे बसतो, म्हणून त्याचे क्षेत्रफळ स्पष्टपणे मर्यादित आहे. क्षेत्रफळ मोजले जाऊ शकते आणि यासाठी तुम्हाला विशेष ज्ञानाचीही गरज नाही - त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि भौमितिक प्रगतीची बेरीज शाळेत शिकवली जाते. स्वारस्य असलेल्यांसाठी, गणना खाली छान प्रिंटमध्ये सूचीबद्ध आहे.

मूळ नियमित त्रिकोणाची बाजू समान असू द्या a. मग त्याचे क्षेत्रफळ आहे. प्रथम बाजू 1 आहे आणि क्षेत्रफळ आहे: . पुनरावृत्ती वाढते म्हणून काय होते? आपण असे गृहीत धरू शकतो की लहान समभुज त्रिकोण विद्यमान बहुभुजाशी संलग्न आहेत. प्रथमच त्यापैकी फक्त 3 आहेत आणि प्रत्येक पुढच्या वेळी मागीलपेक्षा 4 पट जास्त आहेत. म्हणजे चालू nवा टप्पा पूर्ण होईल Tn= ३ ४ n-1 त्रिकोण. त्या प्रत्येकाच्या बाजूची लांबी मागील चरणात पूर्ण केलेल्या त्रिकोणाच्या बाजूच्या एक तृतीयांश आहे. तर ते (1/3) बरोबर आहे n. क्षेत्रफळ बाजूंच्या चौरसांच्या प्रमाणात आहेत, म्हणून प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे . मोठ्या मूल्यांसाठी nतसे, हे फार थोडे आहे. स्नोफ्लेकच्या क्षेत्रामध्ये या त्रिकोणांचे एकूण योगदान आहे Tn · एस एन= 3/4 · (4/9) n · एस 0 म्हणून नंतर n-स्टेप, आकृतीचे क्षेत्रफळ बेरीजच्या बरोबरीचे असेल एस 0 + ट१· एस 1 + ट२ · एस 2 + ... +Tnएस n = . एक स्नोफ्लेक अनंत संख्येच्या पायऱ्यांनंतर प्राप्त होतो, ज्याशी संबंधित आहे n→ ∞. परिणाम अनंत बेरीज आहे, परंतु ही घटत्या भौमितिक प्रगतीची बेरीज आहे; त्यासाठी एक सूत्र आहे: . स्नोफ्लेकचे क्षेत्रफळ आहे.

4. फ्रॅक्टल डायमेंशन log4/log3 = log 3 4 ≈ 1.261859... च्या समान आहे. अचूक गणनेसाठी बराच प्रयत्न आणि तपशीलवार स्पष्टीकरण आवश्यक आहे, म्हणून येथे त्याऐवजी फ्रॅक्टल आयामाच्या व्याख्येचे उदाहरण दिले आहे. पॉवर लॉ सूत्र पासून एन(δ ) ~ (1/δ )डी, कुठे एन- छेदणाऱ्या चौरसांची संख्या, δ - त्यांचा आकार आणि डीपरिमाण आहे, आम्हाला ते मिळते डी= लॉग १/ δ एन. ही समानता स्थिरांक जोडण्यापर्यंत सत्य आहे (सर्वांसाठी समान δ ). आकृत्या कोच वक्र बांधण्याची पाचवी पुनरावृत्ती दर्शविते; त्यास छेदणारे ग्रिड चौरस हिरव्या रंगाचे आहेत. मूळ विभागाची लांबी 1 आहे, म्हणून वरच्या आकृतीमध्ये चौरसांच्या बाजूची लांबी 1/9 आहे. 12 चौरस छायांकित आहेत, लॉग 9 12 ≈ 1.130929... . अद्याप 1.261859 शी फारसे साम्य नाही... . पुढे पाहू. मधल्या चित्रात, चौरस अर्ध्या आकाराचे आहेत, त्यांचा आकार 1/18, छायांकित 30 आहे. लॉग 18 30 ≈ 1.176733... . आधीच चांगले. खाली, चौरस अजूनही अर्धे मोठे आहेत; 72 तुकडे आधीच पेंट केले गेले आहेत. लॉग 72 30 ≈ 1.193426... . अगदी जवळ. मग आपल्याला पुनरावृत्ती संख्या वाढवणे आवश्यक आहे आणि त्याच वेळी चौरस कमी करणे आवश्यक आहे, नंतर कोच वक्रच्या परिमाणाचे "अनुभवजन्य" मूल्य स्थिरपणे लॉग 3 4 पर्यंत पोहोचेल आणि मर्यादेत ते पूर्णपणे जुळेल.

जर आपण मूळ समभुज त्रिकोणाच्या आत कोच वक्र तयार केले तर “त्याउलट” कोच स्नोफ्लेक प्राप्त होतो.

Cesaro ओळी. समभुज त्रिकोणांऐवजी, 60° ते 90° पर्यंतचा मूळ कोन असलेले समद्विभुज त्रिकोण वापरले जातात. आकृतीमध्ये, कोन 88° आहे.

चौरस पर्याय. येथे चौरस पूर्ण झाले आहेत.

स्नोफ्लेक कोच

कॅनव्हास(
सीमा: 1px डॅश केलेला काळा;
}

var cos = ०.५,
sin = Math.sqrt(3) / 2,
deg = Math.PI/180;
canv, ctx;

फंक्शन rebro(n, len) (
ctx.save(); // वर्तमान परिवर्तन जतन करा
जर (n == 0) ( // नॉन-रिकर्सिव केस - एक रेषा काढा
ctx.lineTo(len, 0);
}
इतर(
ctx.scale(1/3, 1/3); // झूम 3 वेळा कमी करा
rebro(n-1, len); //RECUURSION काठावर
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
}
ctx.restore(); // परिवर्तन पुनर्संचयित करा
ctx.translate(len, 0); // काठाच्या शेवटी जा
}

फंक्शन drawKochSnowflake(x, y, len, n) (
x = x - लेन / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg); //RECUUUURSION आधीच एक त्रिकोण आहे
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.stroke();
ctx.restore();
}

फंक्शन clearcanvas())(//कॅनव्हास साफ करा
ctx.save();
ctx.beginPath();

// कॅनव्हास साफ करताना ओळख मॅट्रिक्स वापरा
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);

// परिवर्तन पुनर्संचयित करा
ctx.restore();
}

फंक्शन रन() (
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").मूल्य;
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.stroke(); // प्रस्तुतीकरण
}

कोचचा स्नोफ्लेक - उदाहरण

बोस्टनमधला तो विलक्षण उबदार हिवाळा होता, पण तरीही आम्ही पहिल्या हिमवर्षावाची वाट पाहत होतो. खिडकीतून बर्फ पडताना बघताना मी स्नोफ्लेक्सबद्दल विचार केला आणि त्यांची रचना गणितीय पद्धतीने वर्णन करणे अजिबात सोपे नाही. तथापि, एक विशेष प्रकारचा स्नोफ्लेक आहे, जो कोच स्नोफ्लेक म्हणून ओळखला जातो, ज्याचे वर्णन तुलनेने सोप्या पद्धतीने करता येते. आज आपण COMSOL मल्टीफिजिक्स ऍप्लिकेशन बिल्डर वापरून त्याचा आकार कसा तयार केला जाऊ शकतो ते पाहू.

आम्ही आमच्या ब्लॉगमध्ये आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, फ्रॅक्टल्स मध्ये वापरले जाऊ शकतात. स्नोफ्लेक कोचएक फ्रॅक्टल आहे, जे लक्षणीय आहे की ते तयार करण्यासाठी एक अतिशय सोपी पुनरावृत्ती प्रक्रिया आहे:

ही प्रक्रिया स्नोफ्लेक काढण्याच्या पहिल्या चार पुनरावृत्तीसाठी खालील आकृतीमध्ये स्पष्ट केली आहे.

कोच स्नोफ्लेकची पहिली चार पुनरावृत्ती. Wxs द्वारे प्रतिमा - स्वतःचे कार्य. Wikimedia Commons द्वारे CC BY-SA 3.0 अंतर्गत परवानाकृत.

कोणता अल्गोरिदम वापरायचा हे आता आपल्याला माहित असल्यामुळे, COMSOL मल्टीफिजिक्स ऍप्लिकेशन बिल्डर वापरून अशी रचना कशी तयार करायची ते पाहू. आम्ही एक नवीन फाइल उघडू आणि 2D ऑब्जेक्ट तयार करू भूमिती भागनोड येथे जागतिक व्याख्या. या ऑब्जेक्टसाठी, आम्ही पाच इनपुट पॅरामीटर्स सेट करू: समभुज त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी; एक्स- आणि y- बेसच्या मध्यबिंदूचे निर्देशांक; आणि खाली दिलेल्या आकृत्यांमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे, पायाच्या मध्यापासून विरुद्ध शिरोबिंदूकडे निर्देशित केलेल्या सामान्य वेक्टरचे घटक.

समभुज त्रिकोणाचा आकार, स्थिती आणि अभिमुखता सेट करण्यासाठी वापरलेले पाच पॅरामीटर्स.

भौमितिक भागाचे इनपुट पॅरामीटर्स सेट करणे.
एक बहुभुज आदिम समभुज त्रिकोण तयार करण्यासाठी वापरला जातो.

वस्तू खालच्या काठाच्या मध्यभागी फिरू शकते.

एखादी वस्तू मूळच्या सापेक्ष हलवली जाऊ शकते.

आता आपण भौमितिक भाग परिभाषित केला आहे, आम्ही तो विभागात एकदाच वापरतो भूमिती. हा एकल त्रिकोण कोच स्नोफ्लेकच्या शून्य पुनरावृत्तीच्या समतुल्य आहे आणि आता अधिक जटिल स्नोफ्लेक्स तयार करण्यासाठी अनुप्रयोग बिल्डर वापरू या.

अनुप्रयोगात एक अतिशय सोपा वापरकर्ता इंटरफेस आहे. यात फक्त दोन घटक आहेत ज्यांच्याशी वापरकर्ता संवाद साधू शकतो: स्लाइडर (स्लायडर)(खालील आकृतीमध्ये 1 म्हणून चिन्हांकित), ज्याद्वारे तुम्ही स्नोफ्लेक तयार करण्यासाठी आवश्यक पुनरावृत्तीची संख्या सेट करू शकता, आणि बटण(लेबल 2), ज्यावर क्लिक करून परिणामी भूमिती तयार होते आणि प्रदर्शित होते. तसेच आहेत मजकूर शिलालेख(लेबल 3) आणि डेटाचे प्रदर्शन (प्रदर्शन).(लेबल 4), जे निर्दिष्ट पुनरावृत्तीची संख्या तसेच विंडो दर्शविते तक्ते(लेबल 5), जे अंतिम भूमिती प्रदर्शित करते.

अर्जामध्ये पाच घटकांसह एकच फॉर्म आहे.

अर्जात दोन आहेत व्याख्या, ज्यापैकी एक पूर्णांक मूल्य परिभाषित करते ज्याला पुनरावृत्ती म्हणतात, जे डीफॉल्ट शून्य होते परंतु वापरकर्त्याद्वारे बदलले जाऊ शकते. सेंटर नावाची दुहेरीची 1D ॲरे देखील परिभाषित केली आहे. ॲरेमधील एकल घटकाचे मूल्य 0.5 आहे, जे प्रत्येक काठाचा केंद्रबिंदू शोधण्यासाठी वापरला जातो. हे मूल्य कधीही बदलत नाही.

दोन व्याख्यांसाठी सेटिंग्ज.

UI मधील स्लाइडर घटक पूर्णांक, पुनरावृत्ती पॅरामीटरचे मूल्य नियंत्रित करतो. खालील स्क्रीनशॉट "स्लायडर" साठी सेटिंग्ज आणि मूल्ये दर्शविते, जी 0 आणि 5 मधील श्रेणीमध्ये पूर्णांक म्हणून सेट केली आहेत. घटकासाठी समान स्त्रोत (स्लायडरसाठी) देखील निवडला आहे. डेटा डिस्प्लेअनुप्रयोग स्क्रीनवर निर्दिष्ट पुनरावृत्तीची संख्या प्रदर्शित करण्यासाठी. आम्ही संभाव्य वापरकर्त्याला पाच पुनरावृत्तींपर्यंत मर्यादित करतो कारण वापरलेले अल्गोरिदम सबऑप्टिमल आहे आणि फारसे कार्यक्षम नाही, परंतु अंमलबजावणी आणि प्रदर्शित करण्यासाठी पुरेसे सोपे आहे.

"स्लायडर" घटकासाठी सेटिंग्ज.

पुढे, खालील स्क्रीनशॉटमध्ये दर्शविलेल्या आमच्या बटणाच्या सेटिंग्ज पाहू. जेव्हा बटण दाबले जाते, तेव्हा दोन कमांड कार्यान्वित होतात. प्रथम, CreateSnowFlake पद्धत म्हणतात. परिणामी भूमिती नंतर ग्राफिक्स विंडोमध्ये प्रदर्शित केली जाते.

बटण सेटिंग्ज.

आम्ही आता आमच्या ऍप्लिकेशनचा वापरकर्ता इंटरफेस पाहिला आहे आणि आम्ही पाहू शकतो की कोणत्याही स्नोफ्लेक भूमितीची निर्मिती नावाच्या पद्धतीद्वारे होणे आवश्यक आहे. डावीकडे ओळ क्रमांक जोडून आणि लाल रंगात हायलाइट केलेल्या स्ट्रिंग स्थिरांकांसह, या पद्धतीसाठी कोड पाहू:

1 model.geom("geom1" .feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance"); 3 model.geom("geom1" ).run("fin"); 4 साठी (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + iter; 7 साठी (int edge = 1; edge "geom1" ).getNEdges(); edge++) ( 8 String newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1"); 10 सह(मॉडेल. geom("geom1" .feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "लांबी" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(धार, केंद्र)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(धार, केंद्र)); 14 setEntry("inputexpr" " , "nx" , model.geom("geom1" .edgeNormal(धार, केंद्र)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(धार, केंद्र)) ; 16 endwith(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 ) 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" .select("input" ).set(UnionList ); 20 model.geom("geom1" .feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "off"); 21 model.geom("geom1" ).run("fin"); 22)

प्रत्येक ओळ कोणते कार्य करते हे समजून घेण्यासाठी कोड लाइन बाय ओळ पाहू.

अशा प्रकारे, आम्ही आमच्या अर्जाचे सर्व पैलू आणि घटक समाविष्ट केले आहेत. चला निकाल पाहूया!

कोच स्नोफ्लेक बांधण्यासाठी आमचा साधा अनुप्रयोग.

आम्ही आमचा अर्ज फाईलवर भूमिती लिहिण्यासाठी वाढवू शकतो किंवा थेट अतिरिक्त विश्लेषणे देखील करू शकतो. उदाहरणार्थ, आम्ही फ्रॅक्टल अँटेना डिझाइन करू शकतो. तुम्हाला अँटेनाच्या डिझाइनमध्ये स्वारस्य असल्यास, आमचे उदाहरण पहा किंवा अगदी सुरवातीपासून त्याचे लेआउट बनवा.

जर तुम्ही हा अनुप्रयोग स्वतः तयार करू इच्छित असाल, परंतु अद्याप अनुप्रयोग बिल्डर पूर्ण केला नसेल, तर तुम्हाला खालील संसाधने उपयुक्त वाटू शकतात:

• मार्गदर्शक डाउनलोड करा इंग्रजीमध्ये ऍप्लिकेशन डेव्हलपमेंट एन्व्हायर्नमेंटचा परिचय
• हे व्हिडिओ पहा आणि कसे वापरायचे ते शिका
• सिम्युलेशन ऍप्लिकेशन्स कसे वापरले जातात याबद्दल परिचित होण्यासाठी हे विषय वाचा

एकदा तुम्ही ही सामग्री कव्हर केली की, स्नोफ्लेकचा आकार बदलण्यासाठी ॲपची कार्यक्षमता कशी वाढवली जाऊ शकते, तयार केलेली भूमिती, अंदाज क्षेत्र आणि परिमिती आणि बरेच काही एक्सपोर्ट केले जाऊ शकते हे तुम्हाला दिसेल.

COMSOL Multiphysics मध्ये तुम्हाला कोणत्या प्रकारचे ॲप्लिकेशन तयार करायचे आहे? मदती साठी.

फ्रॅक्टल स्नोफ्लेक, सर्वात प्रसिद्ध आणि रहस्यमय भूमितीय वस्तूंपैकी एक, हेल्गा वॉन कोच यांनी आमच्या शतकाच्या सुरूवातीस वर्णन केले होते. परंपरेनुसार, आपल्या साहित्यात याला कोचचा स्नोफ्लेक म्हणतात. ही एक अतिशय "स्पाइकी" भौमितीय आकृती आहे, जी तारा ऑफ डेव्हिड स्वतःच वारंवार "गुणाकार" झाल्याचा परिणाम म्हणून रूपकदृष्ट्या पाहिली जाऊ शकते. त्याचे सहा मुख्य किरण असंख्य मोठ्या आणि लहान “सुया” शिरोबिंदूंनी झाकलेले आहेत. स्नोफ्लेकच्या समोच्चचा प्रत्येक सूक्ष्म तुकडा शेंगामधील दोन मटारसारखा असतो आणि मोठ्या तुळईमध्ये त्याच सूक्ष्म तुकड्यांचा अनंत संख्येचा समावेश असतो.

1994 मध्ये वर्ना येथे गणितीय मॉडेलिंगच्या पद्धतीवरील आंतरराष्ट्रीय परिसंवादात, मला बल्गेरियन लेखकांचे कार्य आढळून आले ज्यांनी हायस्कूलच्या धड्यांमध्ये कोचचे स्नोफ्लेक्स आणि इतर तत्सम वस्तूंचा वापर करून स्पेसच्या विभाज्यतेची समस्या स्पष्ट करण्यासाठी त्यांच्या अनुभवाचे वर्णन केले. झेनोचे तात्विक अपोरिया. याव्यतिरिक्त, शैक्षणिक दृष्टिकोनातून, माझ्या मते, नियमित भग्न भौमितिक संरचना तयार करण्याचे तत्त्व अतिशय मनोरंजक आहे - मूलभूत घटकाच्या पुनरावृत्ती गुणाकाराचे तत्त्व. निसर्गाला फ्रॅक्टल फॉर्म "प्रेम" करतात असे काही नाही. हे तंतोतंत स्पष्ट केले आहे की ते साध्या पुनरुत्पादनाद्वारे आणि विशिष्ट प्राथमिक बिल्डिंग ब्लॉकचा आकार बदलून प्राप्त केले जातात. तुम्हाला माहिती आहेच की, निसर्ग विविध कारणांनी ओव्हरफ्लो होत नाही आणि जेथे शक्य असेल तेथे सर्वात सोप्या अल्गोरिदमिक उपायांचा वापर करतो. पानांच्या आराखड्याकडे बारकाईने पहा आणि बऱ्याच प्रकरणांमध्ये तुम्हाला कोच स्नोफ्लेकच्या समोच्च आकाराशी स्पष्ट संबंध सापडेल.

भग्न भौमितिक रचनांचे व्हिज्युअलायझेशन केवळ संगणकाच्या मदतीने शक्य आहे. तिसऱ्या ऑर्डरच्या वर कोच स्नोफ्लेक मॅन्युअली तयार करणे आधीच खूप कठीण आहे, परंतु तुम्हाला खरोखर अनंताकडे पहायचे आहे! म्हणून, योग्य संगणक प्रोग्राम विकसित करण्याचा प्रयत्न का करू नये. रुनेटमध्ये आपण त्रिकोणांमधून कोच स्नोफ्लेक तयार करण्यासाठी शिफारसी शोधू शकता. या अल्गोरिदमचा परिणाम एकमेकांना छेदणाऱ्या रेषांच्या गोंधळासारखा दिसतो. ही आकृती “तुकडे” मधून एकत्र करणे अधिक मनोरंजक आहे. कोच स्नोफ्लेकच्या समोच्च क्षैतिज x-अक्षाच्या संदर्भात 0°, 60° आणि 120° वर झुकलेले समान-लांबीचे विभाग असतात. जर आपण त्यांना अनुक्रमे 1, 2 आणि 3 दर्शवितो, तर कोणत्याही क्रमाच्या स्नोफ्लेकमध्ये लागोपाठ त्रिगुणांचा समावेश असेल - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... इ. या तीन प्रकारांपैकी प्रत्येक विभागांपैकी एक किंवा दुसर्या टोकाला मागील एकाशी संलग्न केले जाऊ शकते. ही परिस्थिती लक्षात घेता, आपण असे गृहीत धरू शकतो की स्नोफ्लेकच्या समोच्चमध्ये सहा प्रकारचे विभाग असतात. चला त्यांना 0, 1, 2, 3, 4, 5 दर्शवू. अशा प्रकारे, आम्हाला 6 अंक वापरून कोणत्याही क्रमाचा समोच्च एन्कोड करण्याची संधी मिळते (आकृती पहा).

दुमडलेल्या तळहातांप्रमाणे (_/\_) जोडलेल्या प्रत्येक काठाला चार ने बदलून उच्च-ऑर्डर स्नोफ्लेक लोअर-ऑर्डरच्या पूर्ववर्तीकडून मिळवला जातो. एज प्रकार 0 हे टेबलनुसार चार कडा 0, 5, 1, 0 आणि याप्रमाणे बदलले आहे:

एक साधा समभुज त्रिकोण शून्य-क्रम कोच स्नोफ्लेक म्हणून विचार केला जाऊ शकतो. वर्णन केलेल्या एन्कोडिंग सिस्टीममध्ये, ते 0, 4, 2 एंट्रीशी संबंधित आहे. वर्णन केलेल्या प्रतिस्थापनांद्वारे इतर सर्व काही मिळू शकते. मी येथे प्रक्रिया कोड प्रदान करणार नाही आणि त्याद्वारे तुम्हाला तुमचा स्वतःचा प्रोग्राम विकसित करण्याच्या आनंदापासून वंचित ठेवणार नाही. ते लिहिताना, स्पष्ट रिकर्सिव कॉल वापरणे अजिबात आवश्यक नाही. ते नियमित सायकलने बदलले जाऊ शकते. कामाच्या प्रक्रियेत, आपल्याकडे पुनरावृत्तीबद्दल विचार करण्याचे आणखी एक कारण असेल आणि आपल्या सभोवतालच्या जगाच्या अर्ध-भग्न स्वरूपाच्या निर्मितीमध्ये आणि मार्गाच्या शेवटी (जर आपण खूप आळशी नसाल तर) त्यातून शेवटपर्यंत जाण्यासाठी) आपण फ्रॅक्टल स्नोफ्लेकच्या आकृतिबंधांच्या जटिल पॅटर्नची प्रशंसा करण्यास सक्षम असाल आणि शेवटी अनंताच्या चेहऱ्यावर देखील पाहू शकाल.

विषय: भग्न.

1. परिचय. फ्रॅक्टल्सवर थोडक्यात ऐतिहासिक पार्श्वभूमी. 2. फ्रॅक्टल्स हे निसर्गातील भूमितीचे घटक आहेत.

3. निसर्गातील भग्न गुणधर्म असलेल्या वस्तू. 4. "फ्रॅक्टल्स" या शब्दावलीची व्याख्या.

5.फ्रॅक्टल्सचे वर्ग.

6.भग्न प्रक्रियेचे वर्णन. 7. फ्रॅक्टल सेट मिळविण्यासाठी प्रक्रिया.

8.1 तुटलेला कोखा (मिळवण्याची प्रक्रिया).

8.2 कोच स्नोफ्लेक (कोच फ्रॅक्टल).

8.3 मेंजर स्पंज.

9. फ्रॅक्टल्स वापरण्याची उदाहरणे.

फ्रॅक्टल्स ही स्वतंत्र गणिताची एक तरुण शाखा आहे.

1904 मध्ये, स्वीडन कोच एक सतत वक्र घेऊन आला ज्याला कुठेही स्पर्शिका नाही - कोच वक्र.

1918 मध्ये, फ्रेंच ज्युलियाने फ्रॅक्टल्सच्या संपूर्ण कुटुंबाचे वर्णन केले.

1938 मध्ये, पियरे लेव्ही यांनी "विमान आणि अवकाशीय वक्र आणि संपूर्ण सारखे भाग असलेले पृष्ठभाग" हा लेख प्रकाशित केला.

1982 मध्ये, बेनोइट मँडलब्रॉट यांनी "निसर्गाची भग्न भूमिती" हे पुस्तक प्रकाशित केले.

साधी रचना आणि सूत्रे वापरून, प्रतिमा तयार केल्या जातात. "फ्रॅक्टल पेंटिंग" दिसू लागले.

1993 पासून, वर्ल्ड सायंटिफिकने "फ्रॅक्टल्स" जर्नल प्रकाशित केले आहे.

फ्रॅक्टल्स हे पर्वतराजींचे मॉडेल, खडबडीत किनारपट्टी, अनेक केशिका आणि वाहिन्यांच्या रक्ताभिसरण प्रणाली, वृक्षांचे मुकुट, कॅस्केडिंग धबधबे, काचेवरील तुषार नमुने यासारख्या वस्तूंचे वर्णन करण्याचे एक साधन आहे.

किंवा हे: फर्न लीफ, ढग, डाग.

अशा वस्तूंच्या प्रतिमा फ्रॅक्टल ग्राफिक्स वापरून दाखवल्या जाऊ शकतात.

कोरल्स स्टारफिश आणि अर्चिन्स सी शेल्स

फुले आणि वनस्पती (ब्रोकोली, कोबी) फळे (अननस)

झाडांचे मुकुट आणि वनस्पतींची पाने रक्ताभिसरण प्रणाली आणि लोक आणि प्राण्यांची श्वासनलिका निर्जीव निसर्गात:

भौगोलिक वस्तूंच्या सीमा (देश, प्रदेश, शहरे) किनारपट्टी पर्वत रांगा स्नोफ्लेक्स ढग लाइटनिंग

काचेच्या क्रिस्टल्स स्टॅलेक्टाइट्स, स्टॅलेग्माइट्स, हेलिकाइट्सवर तयार केलेले नमुने.

फ्रॅक्टल्स हे भौमितिक आकार आहेत जे खालीलपैकी एक किंवा अधिक गुणधर्म पूर्ण करतात:

कोणत्याही आकारात (सर्व स्केलवर) त्याची जटिल नसलेली रचना आहे; ती (अंदाजे) स्वयं-समान आहे.

यात फ्रॅक्शनल हौसडॉर्फ (फ्रॅक्टल) परिमाण आहे किंवा टोपोलॉजिकल आकारापेक्षा जास्त आहे; पुनरावृत्ती प्रक्रियेद्वारे तयार केले जाऊ शकते.

वर्तुळ, लंबवर्तुळ किंवा गुळगुळीत कार्याचा आलेख यासारख्या नियमित आकृत्यांसाठी, खूप मोठ्या प्रमाणात एक लहान तुकडा सरळ रेषेच्या तुकड्यासारखा असतो. फ्रॅक्टलसाठी, स्केल वाढवण्यामुळे संरचनेचे सरलीकरण होत नाही; सर्व स्केलसाठी आपण समान जटिल चित्रे पाहू.

फ्रॅक्टल म्हणजे संपूर्ण सारखेच भाग (सबस्ट्रक्चर्स) असलेली रचना.

काही भग्न, निसर्गाचे घटक म्हणून, भौमितिक (रचनात्मक) भग्न म्हणून वर्गीकृत केले जाऊ शकतात.

बाकीचे डायनॅमिक फ्रॅक्टल्स (बीजगणितीय) म्हणून वर्गीकृत केले जाऊ शकतात.

फ्रॅक्टल वक्र मिळविण्यासाठी ही एक सोपी पुनरावृत्ती प्रक्रिया आहे: मर्यादित संख्येच्या लिंकसह अनियंत्रित तुटलेली रेषा निर्दिष्ट करा - एक जनरेटर. पुढे, जनरेटरचा प्रत्येक विभाग त्यात बदलला आहे. मग त्यातील प्रत्येक सेगमेंट पुन्हा जनरेटरने बदलला जातो आणि त्याचप्रमाणे जाहिरात अनंत.

दर्शविले: एकक विभागाचे 3 भाग (a), एकक चौरस क्षेत्र 9 भाग (b), एकक घन 27 भाग (c) आणि 64 भाग (d) मध्ये विभागणे. भागांची संख्या n आहे, स्केलिंग घटक k आहे आणि जागेची परिमाणे d आहे. आमचे खालील संबंध आहेत: n = kd,

जर n = 3, k = 3, तर d = 1; जर n = 9, k = 3, तर d = 2; जर n = 27, k = 3, तर d = 3.

जर n = 4, k = 4, तर d = 1; जर n = 16, k = 4, तर d = 2; जर n = 64, k = 4, तर d = 3. स्पेसचे परिमाण पूर्णांकांमध्ये व्यक्त केले आहे: d = 1, 2, 3; n = 64 साठी, d चे मूल्य आहे

कोच पॉलीलाइन बांधण्याचे पाच टप्पे दर्शविले आहेत: एकक लांबीचा एक विभाग (a), तीन भागांमध्ये विभागलेला (k = 3), चार भागांमधून (n = 4) - एक तुटलेली रेखा (b); प्रत्येक सरळ विभाग तीन भागांमध्ये विभागलेला आहे (k2 = 9) आणि 16 भागांमध्ये (n2 = 16) - एक तुटलेली रेषा (c); प्रक्रिया k3 = 27 आणि n3 = 64 - तुटलेली रेषा (g) साठी पुनरावृत्ती केली जाते; k5 = 243 आणि n5 = 1024 साठी – तुटलेली रेषा (d).

परिमाण

हे फ्रॅक्शनल किंवा फ्रॅक्टल डायमेंशन आहे.

हेल्ग वॉन कोच यांनी 1904 मध्ये प्रस्तावित केलेली कोच पॉलीलाइन, किनारपट्टीच्या खडबडीतपणाचे मॉडेलिंग करण्यासाठी योग्य असलेल्या फ्रॅक्टल म्हणून कार्य करते. मँडलब्रॉटने किनारपट्टीच्या बांधकाम अल्गोरिदममध्ये यादृच्छिकतेचा एक घटक सादर केला, ज्याचा, तथापि, किनारपट्टीच्या लांबीच्या संदर्भात मुख्य निष्कर्षावर परिणाम झाला नाही. कारण मर्यादा

किनाऱ्याच्या अंतहीन खडकाळपणामुळे किनारपट्टीची लांबी अनंताकडे झुकते.

अधिक तपशीलवार स्केलवरून कमी तपशीलाकडे जाताना किनारपट्टी गुळगुळीत करण्याची प्रक्रिया, उदा.

बांधकामाचा आधार म्हणून, तुम्ही एकक लांबीचे विभाग घेऊ शकत नाही, परंतु एक समभुज त्रिकोण घेऊ शकता, ज्याच्या प्रत्येक बाजूला तुम्ही अनियमितता गुणाकार करण्याची प्रक्रिया वाढवू शकता. या प्रकरणात, आम्हाला एक कोच स्नोफ्लेक (Fig.) मिळतो, आणि तीन प्रकारचे: नव्याने तयार झालेले त्रिकोण मागील त्रिकोण (a) आणि (b) पासून केवळ बाह्य दिशेने निर्देशित केले जातात; फक्त आत (आत); यादृच्छिकपणे एकतर बाह्य किंवा आवक (d) आणि (e). कोच फ्रॅक्टल तयार करण्यासाठी तुम्ही प्रक्रिया कशी सेट करू शकता.

तांदूळ. स्नोफ्लेक कोच

अंजीर मध्ये. दोन वेक्टर आकृत्या दाखवल्या आहेत; बाणांच्या वरील संख्या कदाचित प्रश्न निर्माण करतील: त्यांचा अर्थ काय आहे? व्हेक्टर 0 ऍब्सिसा अक्षाच्या सकारात्मक दिशेशी एकरूप होतो, कारण त्याचा फेज फॅक्टर exp (i2πl/6) l = 0 वर त्याची दिशा टिकवून ठेवतो. वेक्टर 1 हे वेक्टर 0 च्या सापेक्ष 2π/6 च्या कोनाने फिरवले जाते, जेव्हा l= 1. वेक्टर 5 मध्ये फेज फॅक्टर exp (i2π5/6), l = 5. शेवटच्या वेक्टरमध्ये पहिल्या प्रमाणेच फेज फॅक्टर असतो ( l = 0). पूर्णांक l युनिट वेक्टरच्या फेज फॅक्टरचा कोन दर्शवितात.

पहिली पायरी (Fig.) त्यानंतरच्या सर्व पायऱ्यांसाठी आणि विशेषतः दुसऱ्या पायरीसाठी (Fig.) पुनरावृत्ती प्रक्रिया निर्दिष्ट करते. संख्यांच्या संचापासून φ1 = (0 1 5 0) पासून φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) पर्यंत कसे जायचे? उत्तर: थेट मॅट्रिक्स गुणाकाराद्वारे, जेव्हा एका मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक घटकाचा मूळ मॅट्रिक्सने गुणाकार केला जातो. या प्रकरणात आम्ही एक-आयामी ॲरे हाताळत आहोत, म्हणजे. मॅट्रिक्स हे सदिश असल्याने, एका मॅट्रिक्स-वेक्टरचा प्रत्येक घटक दुसऱ्या मॅट्रिक्स-वेक्टरच्या सर्व घटकांनी गुणाकार केला जातो. याव्यतिरिक्त, मॅट्रिक्स-वेक्टर φ1 च्या घटकांमध्ये घातांकीय कार्ये exp (i2πl/6) असतात, म्हणून, 10 h चा गुणाकार करताना mod (6) नुसार जोडणे आवश्यक असेल, गुणाकार न करता.

कोच स्नोफ्लेकचा भौमितिक आकार असा दिसतो



कोच स्नोफ्लेक कसा काढायचा



आणि कोच पिरॅमिड देखील आहे



खालील व्हिडिओवरून कोच स्नोफ्लेक कसे काढायचे ते आपण अधिक तपशीलवार शोधू शकता. कोणीतरी समजेल, मी सोडून दिले.

प्रथम, हा कोच स्नोफ्लेक पाहू. खालील आकृती आम्हाला सर्वोत्तम दर्शवेल.



म्हणजेच, दिलेला स्नोफ्लेक काढण्यासाठी, आपल्याला वैयक्तिक भौमितिक आकार वापरण्याची आवश्यकता आहे, जे या भौमितिक फ्रॅक्टल बनवतात.



आमच्या रेखांकनाचा आधार समभुज त्रिकोण आहे. प्रत्येक बाजू तीन विभागांमध्ये विभागली गेली आहे, ज्यामधून पुढील, लहान, समभुज त्रिकोण तयार केले जातात. परिणामी त्रिकोणांसह समान ऑपरेशन अनेक वेळा केले जाते.

कोचचा स्नोफ्लेक हा शास्त्रज्ञांनी अभ्यासलेल्या पहिल्या फ्रॅक्टल्सपैकी एक आहे. कोच वक्रच्या तीन प्रतींमधून स्नोफ्लेक प्राप्त केला जातो, या शोधाबद्दलची माहिती 1904 मध्ये स्वीडिश गणितज्ञ हेल्गे वॉन कोच यांच्या लेखात दिसून आली. मूलत:, सतत रेषेचे उदाहरण म्हणून वक्र शोधला गेला ज्यावर स्पर्शरेषा कोणत्याही बिंदूवर काढता येत नाही. कोच वक्र त्याच्या डिझाइनमध्ये सोपे आहे.

उदाहरण, चरण-दर-चरण रेखांकनासह कोच स्नोफ्लेकच्या चित्राचे फोटो-रेखांकन.



या आकृतीमध्ये तुम्ही त्या ओळींचे तपशीलवार परीक्षण करू शकता ज्या नंतर कोच स्नोफ्लेक बनवतील.

आणि हे कोचच्या स्नोफ्लेकवर आधारित नवीन स्नोफ्लेकचे स्पष्टीकरण आहे.



कोच स्नोफ्लेक कसा काढायचा हे समजण्यापूर्वी, ते काय आहे हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे.

तर, कोच स्नोफ्लेक एक भौमितिक प्रतिमा आहे - एक भग्न.

कोचच्या स्नोफ्लेकची संपूर्ण व्याख्या खालील चित्रात दिली आहे.