पॉलिहेड्रा

स्टिरिओमेट्रीच्या अभ्यासाची मुख्य वस्तू म्हणजे स्थानिक अवयव. शरीर ठराविक पृष्ठभागाने बांधलेले जागेचा एक भाग आहे.

पॉलिहेड्रॉन ज्यास पृष्ठभागावर बहुतेक सपाट बहुभुजाकृती असतात असे शरीर म्हणतात. पॉलीहेड्रॉनला त्याच्या पृष्ठभागावरील प्रत्येक सपाट बहुभुजाच्या विमानाच्या एका बाजूला स्थित असल्यास उत्तल म्हणतात. अशा विमानाचा सामान्य भाग आणि पॉलिहेड्रॉनच्या पृष्ठभागास म्हणतात धार... बहिर्गोल बहुभुज चे चेहरे सपाट बहिर्गोल बहुभुज आहेत. चेहर्याच्या बाजूंना म्हणतात पॉलिहेड्रॉन कडाआणि शिरोबिंदू आहेत पॉलीहेड्रॉन च्या शिरोबिंदू.

उदाहरणार्थ, एका घन मध्ये त्याचे चेहरे असलेल्या सहा चौरस असतात. यात 12 कडा (चौकाच्या बाजू) आणि 8 शिरोबिंदू (चौरसांच्या उत्कृष्ट) आहेत.

सर्वात सोपा पॉलीहेड्रा म्हणजे प्रिज्म आणि पिरामिड, ज्याचा आपण पुढील अभ्यास करू.

प्रिझम

प्रिझमची व्याख्या आणि गुणधर्म

प्रिझम समांतर भाषांतरात समांतर विमानात पडलेल्या दोन विमान बहुभुज आणि या बहुभुजांच्या संबंधित बिंदूंना जोडणारे सर्व विभाग असलेले पॉलिहेड्रॉन असे म्हणतात. बहुभुज म्हणतात प्रिझम तळ, आणि बहुभुजांच्या संबंधित शिरोबिंदूंना जोडणारे विभाग आहेत प्रिझमच्या बाजूच्या कडा.

प्रिझमची उंची त्याला त्याच्या तळांच्या () विमानांच्या दरम्यानचे अंतर म्हणतात. प्रिझमच्या दोन शिरोबिंदूंना जोडणारा विभाग ज्यास समान चेहर्\u200dयात नाही कर्ण प्रिज्म (). प्रिझम म्हणतात एन-कोनत्याच्या तळाशी एन-गॉन असल्यास

कोणत्याही प्रिझममध्ये खालील गुणधर्म असतात, ज्याच्या परिणामी प्रिज्मचे तळ समांतर भाषांतरानुसार संरेखित केले जातात:

1. प्रिझमचे तळ समान आहेत.

२. प्रिझमच्या किनारी समांतर आणि समान आहेत.

प्रिझमच्या पृष्ठभागामध्ये तळ आणि असतात पार्श्व पृष्ठभाग... प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागामध्ये समांतर ब्लॉग असतात (हे प्रिज्मच्या गुणधर्मांनुसार होते) प्रिज्मच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रल बाजूकडील चेहर्यांच्या क्षेत्राची बेरीज आहे.

सरळ प्रिझम

प्रिझम म्हणतात सरळजर त्याच्या बाजूकडील किनार बेसांवर लंबवत असतील तर. अन्यथा, प्रिझम म्हणतात तिरकस.

सरळ प्रिझमचे चेहरे आयताकृती आहेत. सरळ प्रिझमची उंची त्याच्या बाजूकडील चेहर्यांइतकीच असते.

संपूर्ण प्रिझम पृष्ठभाग बाजूकडील पृष्ठभागाचा भाग आणि तळांच्या क्षेत्राची बेरीज म्हणतात.

प्रिझम बरोबर करा बेस वर नियमित बहुभुज सह सरळ प्रिझम म्हणतात.

प्रमेय 13.1... सरळ प्रिझमच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्र प्रिझमच्या उंचीद्वारे (किंवा, जे बाजूकडील काठाने समान आहे) परिमितीच्या उत्पादनास समान आहे.

पुरावा. सरळ प्रिझमचे बाजूचे चेहरे आयताकृती आहेत, ज्याच्या पायथ्या प्रिझमच्या तळांवर बहुभुजाच्या बाजू आहेत आणि उंची प्रिझमच्या बाजूच्या कडा आहेत. नंतर, व्याख्याानुसार बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्रः

,

सरळ प्रिझमच्या पायाची परिमिती कोठे आहे?

समांतर

प्रिझमच्या तळांमध्ये समांतर ब्लॉग असल्यास ते म्हणतात समांतर... पॅरललॅपीड चे सर्व चेहरे समांतर ब्लॉग आहेत. या प्रकरणात, समांतर चे चे चे चे चेहरे समांतर आणि समान आहेत.

प्रमेय 13.2... समांतर रेषांचे कर्ण एका बिंदूत छेदतात आणि प्रतिच्छेदन बिंदू अर्धवट असतो.

पुरावा. दोन अनियंत्रित कर्णांचा विचार करा, उदाहरणार्थ, आणि. कारण समांतर नसलेले चे चेहरे समांतर असतात, त्यानंतर आणि आणि म्हणून टी च्या मते तिसर्\u200dयाच्या समांतर जवळजवळ दोन सरळ रेष असतात. याव्यतिरिक्त, याचा अर्थ असा आहे की त्याच विमानात (विमानात) ओळी आणि आडव्या असतात. हे विमान समांतर विमाने आणि समांतर रेषांसह छेदते आणि. तर, चतुर्भुज एक समांतरभुज आहे आणि समांतरग्रमच्या मालमत्तेद्वारे त्याचे कर्ण आणि छेदनबिंदू आणि छेदनबिंदू अर्ध्या भागामध्ये विभागले गेले आहे, जे हे सिद्ध करणे आवश्यक होते.

आयताकृती समांतर ज्याचा आधार आयतास म्हणतात त्याला म्हणतात आयताकृती समांतर... आयताकृती समांतर चे सर्व चेहरे आयताकृती आहेत. आयताकृती समांतर नसलेल्या किनारांच्या लांबीला त्याचे रेषात्मक परिमाण (मोजमाप) म्हणतात. असे तीन आकार आहेत (रुंदी, उंची, लांबी).

प्रमेय 13.3... आयताकृती समांतर रेषेत, कोणत्याही कर्णचा वर्ग त्याच्या तीन परिमाणांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो (टी पायथागोरसच्या दुहेरी अनुप्रयोगाच्या मदतीने सिद्ध केले)

सर्व किनारी समान असलेल्या आयताकृती समांतर म्हणतात घन.

कार्ये

13.1 किती कर्ण करते एन- कोन प्रिझम

१.2.२ एक तिरकस त्रिकोणी प्रिझममध्ये, बाजूच्या कडकांमधील अंतर, 37, १ are आणि side० आहे. मोठ्या बाजूच्या किनार आणि विरुद्ध बाजूच्या काठाच्या दरम्यान अंतर शोधा.

१.3. tri नियमित त्रिकोणी प्रिझमच्या खालच्या बेसच्या बाजूने, एक विमान काढले जाते जे बाजूंच्या चेह faces्यांना विभाजित करते ज्याच्या दरम्यान कोन आहे. प्रिझमच्या पायथ्यापर्यंत या विमानाच्या झुकण्याचा कोन शोधा.

प्रिझम. समांतर

प्रिझमपॉलीहेड्रॉन असे म्हणतात ज्याचे दोन चेहरे समान एन-गुन्स असतात (मैदान) समांतर प्लेनमध्ये पडलेले आहेत आणि उर्वरित चे चेहरे समांतर ब्लॉग आहेत (बाजूचे चेहरे) . बाजूची बरगडी प्रिझम ही बाजूच्या चेहर्याची बाजू असते जी बेसशी संबंधित नसते.

प्रिझम ज्याच्या बाजूच्या काठा बेसच्या विमानांवर लंबवत असतात त्याला म्हणतात सरळ प्रिझम (चित्र 1). जर बाजूंच्या कडा बेसच्या विमानांवर लंबवत नसतील तर प्रिझम म्हणतात तिरकस . योग्य प्रिझम एक सरळ प्रिझम आहे, ज्याचे तळ नियमित बहुभुज असतात.

उंचीप्रिझमला तळांच्या विमानांमधील अंतर म्हणतात. विकर्ण प्रिझमला एक विभाग असे म्हणतात जे दोन शिरोबिंदू जोडतात जे एकाच चेहर्\u200dयात नाहीत. कर्ण विभाग प्रिझमच्या भागास दोन बाजूकडील काठावरुन जाणारे विमान असे म्हणतात जे एका चेहर्\u200dयाशी संबंधित नाहीत. लंब विभाग प्रिझमच्या भागास प्रिज्मच्या बाजूच्या काठावर विमान लंब म्हणतात.

बाजूला पृष्ठभाग क्षेत्र प्रिझमला सर्व बाजूंच्या चेह of्यांच्या क्षेत्राची बेरीज म्हणतात. पूर्ण पृष्ठभाग क्षेत्र प्रिझमच्या सर्व चेहर्यांच्या क्षेत्राची बेरीज म्हणतात (म्हणजे बाजूच्या चेहर्यांच्या क्षेत्रांची आणि तळांच्या क्षेत्राची बेरीज).

अनियंत्रित प्रिझमसाठी, खालील सूत्रे वैध आहेत:

कोठे l - बाजूच्या बरगडीची लांबी;

एच - उंची;

पी

प्रश्न

एस साइड

एस पूर्ण

एस मुख्य - तळांचे क्षेत्र;

व्ही प्रिज्मचा खंड आहे.

सरळ प्रिझमसाठी, सूत्रे योग्य आहेतः

कोठे पी - बेस परिमिती;

l - बाजूच्या बरगडीची लांबी;

एच - उंची.

समांतर प्रिझम म्हणतात, ज्याचा आधार समांतरभुज आहे. पायथ्याशी लंब असलेल्या बाजूंच्या किनार्यांसह समांतर रेषा म्हणतात थेट (अंजीर 2). जर बाजूंच्या कडा बेसवर लंबवत नसतील तर समांतर म्हणतात तिरकस ... सरळ समांतर, ज्याचा आधार आयत आहे त्याला म्हणतात आयताकृती. सर्व किनारी समान असलेल्या आयताकृती समांतर म्हणतात घन.

समान शिरपेच नसलेले चेहरे म्हणतात विरोध ... एका शिरोबिंदूमधून बाहेर पडणा the्या कडा लांबी म्हणतात मोजमाप समांतर पॅरललॅपीपीड प्रिझम असल्याने त्याचे मुख्य घटक प्रिझमसाठी परिभाषित केल्याप्रमाणेच केले जातात.

प्रमेय.

1. समांतर रेषांचे कर्ण एका बिंदूत छेदतात आणि अर्ध्या भागामध्ये विभाजित केले जातात.

२. आयताकृती समांतर रेषेत, कर्ण लांबीचा वर्ग त्याच्या तीन परिमाणांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो:

3. आयताकृती समांतर चारही कर्ण एकमेकांना बरोबरीचे आहेत.

मनमानी समांतर साठी, खालील सूत्रे खरी आहेत:

कोठे l - बाजूच्या बरगडीची लांबी;

एच - उंची;

पी - लंब विभागाची परिमिती;

प्रश्न - लंब विभागाचे क्षेत्रफळ;

एस साइड - बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्र;

एस पूर्ण - एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र;

एस मुख्य - तळांचे क्षेत्र;

व्ही प्रिज्मचा खंड आहे.

सरळ समांतर साठी, खालील सूत्रे खरी आहेत:

कोठे पी - बेस परिमिती;

l - बाजूच्या बरगडीची लांबी;

एच - सरळ समांतरची उंची.

आयताकृती समांतर साठी, सूत्रे योग्य आहेतः

(3)

कोठे पी - बेस परिमिती;

एच - उंची;

डी - कर्ण;

ए, बी, सी - समांतर मोजमापांचे मोजमाप.

क्यूबसाठी, सूत्रे योग्य आहेतः

कोठे अ - बरगडी लांबी;

डी घन च्या कर्ण आहे.

उदाहरण १.आयताकृती समांतर रेषाचा कर्ण 33 डीएम आहे आणि त्याचे मोजमाप 2: 6: 9. प्रमाणे आहेत. समांतर पाईपचे परिमाण शोधा.

निर्णय. समांतर पाईपचे परिमाण शोधण्यासाठी आम्ही सूत्र ()) वापरतो, म्हणजे. आयताकृती समांतर पाईपच्या कर्णचा वर्ग त्याच्या मोजमापांच्या वर्गांच्या बेरजेइतके आहे हे तथ्य. च्या द्वारे दर्शवू के गुणोत्तर गुणांक. तर समांतर पाईपचे परिमाण 2 असतील के, 6के आणि 9 के... समस्या डेटासाठी सूत्र (3) लिहू:

हे समीकरण सोडवित आहे के, आम्हाला मिळेल:

याचा अर्थ असा आहे की समांतर पाईपचे परिमाण 6 डीएम, 18 डीएम आणि 27 डीएम आहेत.

उत्तरः 6 dm, 18 dm, 27 dm.

उदाहरण 2. कलते त्रिकोणी प्रिझमचे परिमाण शोधा, ज्याचा आधार बाजूकडील किनार पायाच्या बाजूच्या बरोबरीने असेल आणि बेसकडे 60º च्या कोनात कललेला असेल तर त्याचा आधार 8 सेमीच्या बाजूने समभुज त्रिकोण असेल.

निर्णय . चला रेखांकन बनवू (अंजीर 3).

कलते प्रिझमचे प्रमाण शोधण्यासाठी, त्याचे बेस क्षेत्र आणि उंची जाणून घेणे आवश्यक आहे. या प्रिझमचे मूळ क्षेत्र म्हणजे 8 सेमीच्या बाजूने समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्र आहे. चला त्याची गणना करूया:

प्रिझमची उंची त्याच्या तळांमधील अंतर आहे. वर पासून आणि वरच्या बेसपैकी 1, आम्ही खालच्या बेसच्या प्लेनला लंब कमी करतो आणि 1 डी... त्याची लांबी प्रिझमची उंची असेल. डी विचारात घ्या आणि 1 एडी: हा पार्श्व बरगडीच्या झुकाचा कोन असल्याने आणि 1 आणि तळाच्या विमानात, आणि 1 आणि \u003d 8 सेमी. या त्रिकोणावरून आम्हाला आढळतो आणि 1 डी:

आता आपण सूत्राद्वारे व्हॉल्यूमची गणना करू (1):

उत्तरः 192 सेमी 3.

उदाहरण 3. नियमित षटकोनी प्रिझमची पार्श्व किनार 14 सेमी आहे सर्वात मोठ्या कर्ण विभागाचे क्षेत्रफळ 168 सेमी 2 आहे. प्रिझमचे एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा.

निर्णय. चला रेखांकन बनवू (अंजीर 4)

सर्वात मोठा कर्ण विभाग - आयत ए.ए. 1 डीडी 1, विकर्ण पासून एडी नियमित षटकोन एबीसीडीएफ महान आहे. प्रिझमच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी, पायाची बाजू आणि बाजूकडील बरगडीची लांबी जाणून घेणे आवश्यक आहे.

कर्ण विभाग (आयत) चे क्षेत्र जाणून घेतल्यास आपल्याला पायाचे कर्ण सापडते.

तेंव्हापासून

तेंव्हापासून एबी \u003d 6 सेमी.

नंतर बेसची परिमितीः

प्रिझमच्या पार्श्वभागाचे क्षेत्र शोधा:

नियमित षटकोनचे क्षेत्र 6 सेमी बाजूचे आहे:

प्रिझमचे एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा:

उत्तरः

उदाहरण 4. एक समभुज चौकोनाचा सरळ सरळ समांतर च्या पाया म्हणून काम करते. कर्ण विभागांची क्षेत्रे 300 सेमी 2 आणि 875 सेमी 2 आहेत. समांतर पृष्ठभागाच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्र शोधा.

निर्णय. चला रेखाचित्र बनवू (अंजीर 5).

आपण समभुज चौकोनाची बाजू दाखवू आणि, समभुज चौकोन कर्ण डी 1 आणि डी 2, समांतर पाईपची उंची एच... सरळ समांतर च्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, पायाची परिमिती उंचीने गुणाकार करा: (सूत्र (2)) बेस परिमिती पी \u003d एबी + बीसी + सीडी + डीए \u003d 4 एबी \u003d 4 ए, कारण अ ब क ड - गोंधळ एच \u003d एए 1 = एच... तर शोधणे आवश्यक आहे आणि आणि एच.

कर्ण विभागांचा विचार करा. ए.ए. 1 एस.एस. 1 - आयत, ज्याची एक बाजू समभुज चौकोनाचे कर्ण आहे ए.एस. = डी 1, दुसरा एक बाजूकडील बरगडी आहे ए.ए. 1 = एचमग

तसेच विभागासाठी बीबी 1 डीडी 1 आम्हाला मिळेल:

समांतर ब्लॉगच्या मालमत्तेचा वापर करणे म्हणजे कर्णवर्गाच्या वर्गांची बेरीज त्याच्या सर्व बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतकीच असते तर आपल्याला समानता प्राप्त होते.

व्याख्या 1. प्रिझमॅटिक पृष्ठभाग
प्रमेय 1. प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाच्या समांतर विभागांवर
व्याख्या 2. प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचा लंब विभाग
व्याख्या 3. प्रिझम
व्याख्या 4. प्रिझमची उंची
व्याख्या 5. सरळ प्रिझम
प्रमेय 2. प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

समांतर
व्याख्या 6. समांतर
प्रमेय 3. समांतर रेषाच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूवर
व्याख्या 7. उजवा समांतर
व्याख्या 8. आयताकृती समांतर
व्याख्या 9.. पॅरललॅपीपीडची मोजमाप
व्याख्या 10. घन
व्याख्या 11. रोडॉहेड्रॉन
प्रमेय 4.. आयताकृती समांतर रेषांच्या कर्णांवर
प्रमेय 5. प्रिझमचे खंड
प्रमेय 6. सरळ प्रिझमचे खंड
प्रमेय 7. आयताकृती समांतर रेषांचा खंड

प्रिझम पॉलीहेड्रॉन असे म्हणतात ज्याचे दोन चेहरे (तळ) समांतर विमानात आहेत आणि या चेह lie्यांमध्ये न पडणा the्या कडा एकमेकांशी समांतर आहेत.
तळांखेरीज इतर चेहेरे म्हणतात बाजूकडील.
बाजूचे चेहरे आणि तळ असे म्हणतात प्रिझम रिब, पसराच्या टोकाला म्हणतात प्रिझम च्या उत्कृष्ट. साइड रीब पायथ्याशी संबंधित नसलेल्या किनारांना म्हणतात. बाजूच्या चेहर्यांचे एकत्रीकरण म्हणतात प्रिझमची पार्श्व पृष्ठभाग, आणि सर्व चेहर्यांचे एकत्रीकरण म्हणतात प्रिझमची संपूर्ण पृष्ठभाग. प्रिझमची उंची वरच्या बेसच्या बिंदूपासून खालच्या पायथ्यापासून किंवा या लंबाच्या लांबीपर्यंत सोडलेल्या लंब म्हणतात. सरळ प्रिझमज्याला प्रिझम म्हणतात ज्यामध्ये बाजूकडील कडा बेसच्या विमानांवर लंबवत असतात. योग्य ज्याला थेट बहुभुज आहे त्या पायथ्याशी सरळ प्रिझम (चित्र 3) म्हणतात.

आख्यायिका:
एल - बाजूकडील बरगडी;
पी बेसची परिमिती आहे;
एस ओ - बेस क्षेत्र;
एच - उंची;
पी ^ - लंब विभागाची परिमिती;
एस बी - बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्र;
व्ही खंड आहे;
एस पी प्रिझमचे एकूण पृष्ठभाग आहे.

व्याख्या 2 ... प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाच्या लंब भागास त्याच्या कडावर लंब असलेल्या विमानाने या पृष्ठभागाचा विभाग म्हणतात. मागील प्रमेयाच्या आधारावर, समान प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचे सर्व लंब विभाग समान बहुभुज असतील.

व्याख्या 3 ... प्रिझम एक पॉलिहेड्रॉन आहे जो प्रीझमेटिक पृष्ठभागाने बांधलेला असतो आणि दोन विमाने एकमेकांना समांतर असतात (परंतु प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाच्या कडांना समांतर नसतात)
या शेवटच्या विमानात पडलेले चेहरे म्हणतात प्रिझम तळ; प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचे चेहरे - बाजूकडील चेहरे; प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाच्या कडा - प्रिझमच्या बाजूच्या कडा... मागील प्रमेयच्या आधारे, प्रिझमचे तळ आहेत समान बहुभुज... प्रिझमचे सर्व बाजू चेहरे - समांतर ब्लॉग; सर्व बाजूंच्या कडा समान आहेत.
अर्थात, जर आपल्याला प्रिझम एबीसीडीचा आधार आणि आकार आणि दिशेने एक एए "काठाचा आधार दिला गेला असेल तर आपण बीबी", सीसी ", .., काठ, एए च्या समान आणि समांतर रेखांकित करुन प्रिझम तयार करू शकता. ".

व्याख्या 4 ... प्रिझमची उंची त्याच्या तळांच्या विमानांमधील अंतर (एचएच ") आहे.

व्याख्या 5 ... प्रिझमला त्याचे आधार एक प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचे लंब विभाग असल्यास सरळ असे म्हणतात. या प्रकरणात, प्रिझमची उंची अर्थातच आहे बाजूकडील बरगडी; बाजूला चेहरे होईल आयताकृती.
प्राइमचे आधार म्हणून काम करणार्\u200dया बहुभुजच्या बाजूंच्या समान बाजूंच्या चेह faces्यांच्या संख्येनुसार वर्गीकृत केले जाऊ शकते. अशा प्रकारे, प्रिज्म्स त्रिकोणी, चतुर्भुज, पंचकोन इत्यादी असू शकतात.

प्रमेय 2 ... प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्र लंब विभागाच्या परिमितीद्वारे बाजूकडील काठाच्या उत्पादनाच्या बरोबरीचे आहे.
एबीसीडीएए "बी" सी "डी" ई "- हा प्रिझम आणि अबेड - त्याच्या लंब विभाग, जेणेकरून अब, बीसी, .. हे विभाग त्याच्या बाजूच्या काठावर लंब आहेत. चेहरा एबीए" बी "एक समांतर ब्लॉग आहे; त्याचे क्षेत्र बेस एए च्या उत्पादनाच्या बरोबरीने उंचीशी जुळते; बीसीबी "सी" चेहर्याचे क्षेत्र उंचावरील बीसी इत्यादींनी आधार बीबीच्या उत्पादनाइतके असते. म्हणून, बाजूकडील पृष्ठभाग (म्हणजे, बाजूकडील चेहर्याच्या क्षेत्राची बेरीज) च्या उत्पादनाइतकीच असते. बाजूकडील बरगडी, दुसर्\u200dया शब्दांत, एबी "बीबी", .., विभागांची एकूण लांबी + बीसी + सीडी + डी + ईए.

सरळ प्रिझम बद्दल सामान्य माहिती

प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागास (अधिक स्पष्टपणे, बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्र) म्हणतात बेरीज बाजूला चेहरे चे क्षेत्र. प्रिझमची एकूण पृष्ठभाग बाजूकडील पृष्ठभागाच्या बेसेस आणि बेसच्या क्षेत्राच्या बरोबरीचे आहे.

प्रमेय 19.1. सरळ प्रिझमची पार्श्व पृष्ठभाग बेसच्या परिमितीच्या उत्पादनाच्या आणि प्रिझमच्या उंचीच्या समान असते, म्हणजे बाजूकडील बरगडीची लांबी.

पुरावा. सरळ प्रिझमचे चेहरे आयताकृती आहेत. या आयताकृतींचे पाया प्रिझमच्या पायथ्याशी असलेल्या बहुभुजाच्या बाजू आहेत आणि उंची बाजूच्या कडांच्या लांबीच्या समान आहेत. म्हणूनच हे असे दिसते की प्रिझमची पार्श्व पृष्ठभाग आहे

एस \u003d ए 1 एल + ए 2 एल + ... + एन एन एल \u003d पीएल,

जिथे 1 आणि n ही बेस कडांची लांबी आहे, पी प्रिझमच्या पायाची परिमिती आहे आणि मी बाजूकडील कडांची लांबी आहे. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

व्यावहारिक कार्य

आव्हान (22) ... कलते प्रिझममध्ये, विभागबाजूच्या बरगडीवर लंब आणि सर्व बाजूंच्या फासांना छेदणारे. क्रॉस-सेक्शनल परिमिती पी असल्यास आणि बाजूच्या कडा एल असल्यास प्रिझमची बाजू पृष्ठभाग शोधा.

निर्णय. काढलेल्या विभागाचे विमान प्रिझमला दोन भागांमध्ये विभाजित करते (चित्र 411). चला त्यातील एका समांतर हस्तांतरणास अधीन करूया, जे प्रिझम बेसस संरेखित करते. या प्रकरणात, आम्हाला एक सरळ प्रिझम मिळतो, ज्यामध्ये बेस मूळ प्रिझमचा विभाग आहे आणि बाजूच्या कडा l च्या बरोबरीने आहेत. या प्रिझमची मूळ सारखी पार्श्व पृष्ठभाग आहे. अशा प्रकारे, मूळ प्रिझमची पार्श्व पृष्ठभाग pl च्या समतुल्य आहे.

झाकलेल्या विषयाचा सारांश

आणि आता प्रिझमबद्दल मागील विषयांचा सारांश तयार करण्यासाठी आपल्याबरोबर प्रयत्न करूया आणि प्रिझममध्ये काय गुणधर्म आहेत हे लक्षात ठेवूया.

प्रिझम गुणधर्म

प्रथम, प्रिझमसाठी, त्याचे सर्व तळ समान बहुभुज आहेत;
दुसरे म्हणजे, प्रिझमच्या बाबतीत, त्याचे सर्व बाजूकडील चेहरे समानांतर आहेत;
तिसर्यांदा, प्रिझमच्या रूपात अशा बहुआयामी आकृतीत, सर्व बाजूंच्या कडा समान आहेत;

तसेच, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की प्रिमिझमसारखे पॉलिहेड्रॉन सरळ आणि तिरकस असू शकतात.

कोणत्या प्रिझमला सरळ रेषा म्हणतात?

जर प्रिझमची किनार त्याच्या बेसच्या विमानास लंबवत असेल तर अशा प्रिझमला सरळ रेषा म्हणतात.

हे लक्षात ठेवणे अनावश्यक होणार नाही की सरळ प्रिझमचे चेहरे आयताकृती आहेत.

कोणत्या प्रकारच्या प्रिझमला तिरकस म्हटले जाते?

परंतु प्रिझमची किनार त्याच्या बेसच्या विमानाशी लंबवत नसल्यास, आम्ही सुरक्षितपणे असे म्हणू शकतो की ही एक प्रवृत्ती आहे.

कोणत्या प्रिझमला बरोबर म्हणतात?

जर नियमित बहुभुज सरळ प्रिझमच्या पायथ्याशी असेल तर अशा प्रिझम योग्य आहे.

आता आपण प्रिझम बरोबर असलेले गुणधर्म आठवू या.

प्रिझम गुणधर्म दुरुस्त करा

प्रथम, नियमित बहुभुज नेहमीच प्रिझमचे तळ म्हणून काम करते;
दुसरे म्हणजे, जर आपण नियमित प्रिझमच्या बाजूच्या चेहर्यांचा विचार केला तर ते नेहमी समान आयते असतात;
तिसर्यांदा, जर आपण बाजूकडील फासळ्याच्या आकारांची तुलना केली तर योग्य प्रिझममध्ये ते नेहमीच समान असतात.
चौथा, योग्य प्रिझम नेहमी सरळ असतो;
पाचवा, जर नियमित प्रिझममध्ये बाजूचे चेहरे चौरस असतील तर अशा आकृतीला सहसा अर्ध-नियमित बहुभुज म्हणतात.

प्रिझम विभाग

आता प्रिझमचा विभाग पाहू:

गृहपाठ

आता अडचणी सोडवून अभ्यास केलेला विषय एकत्रित करण्याचा प्रयत्न करूया.

चला एक तिरकस त्रिकोणी प्रिझम काढा, ज्यामध्ये त्याच्या कडा दरम्यान अंतर समान असेल: 3 सेमी, 4 सेमी आणि 5 सेमी, आणि या प्रिझमची बाजू पृष्ठभाग 60 सेमी 2 असेल. या पॅरामीटर्ससह, या प्रिझमची साइड एज शोधा.

आपल्याला माहिती आहे काय भौमितीय आकार आपल्याला केवळ भूमिती धड्यांमध्येच घेतात असे नाही, परंतु दैनंदिन जीवनात अशा वस्तू आहेत ज्या एक किंवा भौमितीय आकृतीसारखे असतात.

प्रत्येक घरात, शाळा किंवा कार्यामध्ये संगणक असतो, ज्याचा सिस्टम युनिट सरळ प्रिझमच्या रूपात असतो.

आपण एक साधी पेन्सिल उचलल्यास, आपल्याला दिसेल की पेन्सिलचा मुख्य भाग प्रिझम आहे.

शहराच्या मुख्य रस्त्यावरुन चालताना आपण पाहिले की आपल्या पायाखालची एक टाइल आहे जी षटकोनी प्रिझमची आकारमान आहे.

ए. व्ही. पोगोरेलोव्ह, ग्रेड 7-११ साठी भूमिती, शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक

आपली गोपनीयता आमच्यासाठी महत्त्वपूर्ण आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही आपली माहिती कशी वापरतो आणि संग्रहित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमचे गोपनीयता धोरण वाचा आणि आपल्याकडे काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

संग्रह आणि वैयक्तिक माहितीचा वापर

वैयक्तिक माहिती म्हणजे असा डेटा जो विशिष्ट व्यक्ती ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी वापरला जाऊ शकतो.

आपण आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा आपल्याला कधीही आपली वैयक्तिक माहिती प्रदान करण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही संग्रहित करू शकतो अशा वैयक्तिक माहितीचे प्रकार आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे खाली दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती संकलित करतो:

• जेव्हा आपण साइटवर विनंती सोडता तेव्हा आम्ही आपले नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादीसह विविध माहिती संकलित करू शकतो.

आम्ही आपली वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला आपल्याशी संपर्क साधू देते आणि अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी इव्हेंटचा अहवाल देऊ देते.
• वेळोवेळी आम्ही महत्वाच्या सूचना आणि संदेश पाठविण्यासाठी आपली वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्ही अंतर्गत सेवांसाठी वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो, जसे की आम्ही पुरवतो त्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि आमच्या सेवांबद्दल आपल्याला शिफारसी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन.
• आपण बक्षीस अनिर्णित, स्पर्धा किंवा तत्सम प्रचार कार्यक्रमात भाग घेतल्यास आम्ही अशा प्रोग्रामचे प्रशासन करण्यासाठी आपण प्रदान केलेली माहिती वापरू.

तृतीय पक्षाला माहिती जाहीर करणे

आम्ही आपल्याकडून प्राप्त तृतीय पक्षाकडे प्राप्त माहिती उघड करीत नाही.

अपवाद:

• जर ते आवश्यक असेल तर - आपली वैयक्तिक माहिती उघड करण्यासाठी कायद्यानुसार, कोर्टाच्या आदेशानुसार, कोर्टाच्या कारवाईत आणि / किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशावरील सार्वजनिक चौकशीस किंवा सरकारी अधिका public्यांच्या विनंतीच्या आधारे. सुरक्षितता, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा अन्य सामाजिकदृष्ट्या महत्त्वाच्या कारणास्तव असा खुलासा करणे आवश्यक आहे किंवा योग्य आहे हे निर्धारित केल्यास आम्ही आपल्याबद्दलची माहिती देखील जाहिर करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्रीच्या बाबतीत आम्ही कायदेशीर उत्तराधिकारी - आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती योग्य तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

आपली वैयक्तिक माहिती तोटा, चोरी आणि गैरवापर तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि नाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेत आहोत.

कंपनीच्या स्तरावर आपल्या गोपनीयतेचा आदर करा

आपली वैयक्तिक माहिती सुरक्षित आहे हे सुनिश्चित करण्यासाठी आम्ही आमच्या कर्मचार्\u200dयांकडे गोपनीयता आणि सुरक्षेचे नियम आणतो आणि गोपनीयतेच्या उपाययोजनांच्या अंमलबजावणीवर काटेकोरपणे नजर ठेवतो.