व्याख्यान: वेक्टर समन्वय; वेक्टरचे डॉट उत्पादन; वेक्टरमधील कोन

वेक्टर समन्वय

तर, आधी सांगितल्याप्रमाणे, वेक्टर हा एक निर्देशित विभाग आहे ज्याची स्वतःची सुरुवात आणि शेवट आहे. जर सुरुवात आणि शेवट काही बिंदूंनी दर्शविला असेल, तर त्यांचे स्वतःचे समतल किंवा अंतराळात निर्देशांक असतात.

जर प्रत्येक बिंदूचे स्वतःचे निर्देशांक असतील तर आपण संपूर्ण सदिशाचे निर्देशांक मिळवू शकतो.

समजा आपल्याकडे असे काही सदिश आहेत ज्यांच्या सुरुवातीस आणि शेवटास खालील पदनाम आणि निर्देशांक आहेत: A(A x ; Ay) आणि B(B x ; By)

या वेक्टरचे निर्देशांक मिळविण्यासाठी, वेक्टरच्या शेवटच्या निर्देशांकांमधून संबंधित प्रारंभ निर्देशांक वजा करणे आवश्यक आहे:

अंतराळातील वेक्टरचे समन्वय निश्चित करण्यासाठी, खालील सूत्र वापरा:

वेक्टरचे डॉट उत्पादन

डॉट उत्पादनाची संकल्पना परिभाषित करण्याचे दोन मार्ग आहेत:

• भौमितिक मार्ग. त्यांच्या मते, स्केलर उत्पादन हे या मॉड्यूल्सच्या मूल्यांच्या आणि त्यांच्या दरम्यानच्या कोनाच्या कोसाइनच्या गुणाकाराच्या समान आहे.

• बीजगणितीय अर्थ. बीजगणिताच्या दृष्टीकोनातून, दोन सदिशांचे स्केलर उत्पादन हे एक विशिष्ट मूल्य आहे जे संबंधित सदिशांच्या उत्पादनांच्या बेरजेतून प्राप्त होते.

जर व्हेक्टर स्पेसमध्ये दिलेले असतील तर तुम्ही समान सूत्र वापरावे:

गुणधर्म:

• जर तुम्ही दोन एकसारखे व्हेक्टर स्केलरली गुणाकार केले, तर त्यांचे स्केलर उत्पादन नकारात्मक असेल:

• जर दोन समान सदिशांचे स्केलर गुणाकार शून्याच्या बरोबरीचे निघाले तर हे वेक्टर शून्य मानले जातात:

• जर एखाद्या विशिष्ट वेक्टरचा स्वतःहून गुणाकार केला असेल, तर स्केलर उत्पादन त्याच्या मॉड्यूलसच्या वर्गाइतके असेल:

• स्केलर उत्पादनामध्ये संप्रेषणात्मक गुणधर्म आहे, म्हणजेच, स्केलर उत्पादन सदिशांच्या क्रमपरिवर्तनातून बदलणार नाही:

• शून्य नसलेल्या सदिशांचे स्केलर उत्पादन शून्य असू शकते जर वेक्टर एकमेकांना लंब असतील:

• व्हेक्टरच्या स्केलर उत्पादनासाठी, व्हेक्टरपैकी एकास संख्येने गुणाकार करण्याच्या बाबतीत कम्युटेटिव्ह कायदा वैध आहे:

• बिंदू उत्पादनासह, तुम्ही गुणाकाराची वितरणात्मक गुणधर्म देखील वापरू शकता:

वेक्टरमधील कोन

व्याख्या १

सदिशांच्या स्केलर गुणाकाराला या सदिशांच्या डायन आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनच्या गुणाकाराच्या समान संख्या म्हणतात.

a → आणि b → या सदिशांच्या गुणाकाराचे संकेतन a → , b → आहे. चला सूत्रात रूपांतरित करू:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → आणि b → सदिशांची लांबी दर्शवतात, a → , b → ^ दिलेल्या सदिशांमधील कोन दर्शवतात. जर किमान एक सदिश शून्य असेल, म्हणजेच त्याचे मूल्य 0 असेल, तर परिणाम शून्य असेल, a → , b → = 0

वेक्टर स्वतःच गुणाकारताना, आपल्याला त्याच्या डायनचा वर्ग मिळतो:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

व्याख्या २

सदिशाचा स्वतःहून केलेल्या स्केलर गुणाकाराला स्केलर स्क्वेअर म्हणतात.

सूत्रानुसार गणना केली जाते:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → लिहिणे हे दर्शविते की npb → a → हे a → वरील b → , npa वरील संख्यात्मक प्रक्षेपण आहे → a → - b → चे अनुक्रमे a → वर प्रक्षेपण.

आम्ही दोन वेक्टरसाठी उत्पादनाची व्याख्या तयार करतो:

a → by b → या दोन सदिशांच्या स्केलर गुणाकाराला a → b → च्या प्रक्षेपणाद्वारे a → दिशा किंवा b → च्या लांबीच्या गुणाकार a → च्या प्रक्षेपणाद्वारे वेक्टर a → च्या लांबीचे गुणाकार म्हणतात. अनुक्रमे

निर्देशांकांमध्ये डॉट उत्पादन

स्केलर उत्पादनाची गणना दिलेल्या समतल किंवा अंतराळातील सदिशांच्या समन्वयाद्वारे केली जाऊ शकते.

त्रिमितीय जागेत, विमानावरील दोन सदिशांच्या स्केलर गुणाकाराला a → आणि b → दिलेल्या सदिशांच्या समन्वयांची बेरीज म्हणतात.

कार्टेशियन सिस्टीममध्ये दिलेल्या व्हेक्टरच्या बिंदू उत्पादनाच्या समतलावर गणना करताना a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) वापरा:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

त्रिमितीय जागेसाठी, अभिव्यक्ती लागू आहे:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

खरं तर, ही डॉट उत्पादनाची तिसरी व्याख्या आहे.

चला सिद्ध करूया.

पुरावा १

हे सिद्ध करण्यासाठी, आम्ही cartesian वर a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) सदिशांसाठी a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by वापरतो. प्रणाली

वेक्टर पुढे ढकलले पाहिजेत

O A → = a → = a x , a y आणि O B → = b → = b x , b y .

मग सदिश A B → ची लांबी A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) बरोबर असेल.

O A B त्रिकोणाचा विचार करा.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) कोसाइन प्रमेयावर आधारित सत्य आहे.

स्थितीनुसार, हे पाहिले जाऊ शकते की O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , म्हणून आपण वेक्टरमधील कोन वेगळ्या पद्धतीने शोधण्यासाठी सूत्र लिहू.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

नंतर पहिल्या व्याख्येवरून पुढे येते की b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →), तर (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

व्हेक्टरची लांबी मोजण्यासाठी सूत्र लागू केल्यास, आम्हाला मिळते:
a → , b → = 1 2 (a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

चला समानता सिद्ध करूया:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- अनुक्रमे त्रिमितीय जागेच्या वेक्टरसाठी.

निर्देशांक असलेल्या सदिशांचे स्केलर गुणाकार असे म्हणतात की सदिशाचा स्केलर वर्ग त्याच्या अंतराळातील आणि समतलावरील निर्देशांकांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) आणि (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

डॉट उत्पादन आणि त्याचे गुणधर्म

डॉट उत्पादन गुणधर्म आहेत जे a →, b → आणि c → साठी लागू होतात:

1. कम्युटेटिव्हिटी (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. वितरणक्षमता (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →), (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. सहयोगी गुणधर्म (λ a → , b →) = λ (a → , b →), (a → , λ b →) = λ (a → , b →), λ - कोणतीही संख्या;
4. स्केलर स्क्वेअर नेहमी शून्यापेक्षा मोठा असतो (a → , a →) ≥ 0 , जिथे (a → , a →) = 0 जेव्हा a → शून्य असतो.

गुणधर्म समतल बिंदू उत्पादनाच्या व्याख्येद्वारे आणि वास्तविक संख्यांच्या बेरीज आणि गुणाकाराच्या गुणधर्मांद्वारे स्पष्ट केले जातात.

कम्युटेटिव्हिटी गुणधर्म सिद्ध करा (a → , b →) = (b → , a →) . व्याख्येवरून आपल्याकडे (a → , b →) = a y b y + a y b y आणि (b → , a →) = b x a x + b y a y आहे.

कम्युटेटिव्हिटीच्या गुणधर्मानुसार, समानता a x · b x = b x · a x आणि a y · b y = b y · a y सत्य आहेत, म्हणून a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y.

ते खालीलप्रमाणे (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

वितरण कोणत्याही संख्येसाठी वैध आहे:

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

आणि (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

म्हणून आमच्याकडे आहे

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

उदाहरणे आणि उपायांसह डॉट उत्पादन

अशा योजनेची कोणतीही समस्या स्केलर उत्पादनाशी संबंधित गुणधर्म आणि सूत्रे वापरून सोडवली जाते:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y किंवा (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

चला उपायांची काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण २

a → ची लांबी 3 आहे, b → ची लांबी 7 आहे. कोन 60 अंश असल्यास बिंदू गुणाकार शोधा.

उपाय

स्थितीनुसार, आमच्याकडे सर्व डेटा आहे, म्हणून आम्ही सूत्रानुसार गणना करतो:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

उत्तर: (a → , b →) = 21 2 .

उदाहरण ३

दिलेले वेक्टर a → = (1 , - 1 , 2 - 3), b → = (0 , 2 , 2 + 3) . स्केलर उत्पादन काय आहे.

उपाय

या उदाहरणात, निर्देशांकांची गणना करण्याचे सूत्र मानले जाते, कारण ते समस्या विधानात निर्दिष्ट केले आहेत:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - ९

उत्तर: (a → , b →) = - 9

उदाहरण ४

A B → आणि A C → चे अंतर्गत उत्पादन शोधा. गुण A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) समन्वय समतल वर दिले आहेत.

उपाय

सुरुवातीला, व्हेक्टरचे निर्देशांक मोजले जातात, कारण बिंदूंचे निर्देशांक स्थितीनुसार दिले जातात:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

निर्देशांक वापरून सूत्रामध्ये बदलून, आम्हाला मिळते:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

उत्तर: (A B → , A C →) = 28 .

उदाहरण ५

a → = 7 m → + 3 n → आणि b → = 5 m → + 8 n → दिलेले वेक्टर, त्यांचे उत्पादन शोधा. m → 3 च्या बरोबरीचे आणि n → 2 एककांच्या बरोबरीचे आहे, ते लंब आहेत.

उपाय

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . वितरण गुणधर्म लागू करून, आम्हाला मिळते:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

आम्ही गुणांक उत्पादनाच्या चिन्हाच्या बाहेर घेतो आणि मिळवतो:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

कम्युटेटिव्हिटीच्या गुणधर्मानुसार, आम्ही परिवर्तन करतो:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

परिणामी, आम्हाला मिळते:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

आता आम्ही स्केलर उत्पादनासाठी अटीने निर्दिष्ट केलेल्या कोनासह सूत्र लागू करतो:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

उत्तर: (a → , b →) = 411

संख्यात्मक प्रक्षेपण असल्यास.

उदाहरण 6

a → आणि b → चे अंतर्गत उत्पादन शोधा. वेक्टर a → मध्ये a → = (9 , 3 , - 3) समन्वय आहेत, प्रक्षेपण b → मध्ये समन्वय आहेत (- 3 , - 1 , 1) .

उपाय

स्थितीनुसार, a → आणि प्रोजेक्शन b → हे वेक्टर विरुद्ध दिशेने निर्देशित केले जातात, कारण a → = - 1 3 npa → b → → , म्हणून प्रक्षेपण b → लांबी npa → b → → , आणि “-” सह. चिन्ह:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

सूत्रामध्ये बदलून, आम्हाला अभिव्यक्ती मिळते:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

उत्तर: (a → , b →) = - 33 .

ज्ञात स्केलर उत्पादनासह समस्या, जेथे वेक्टरची लांबी किंवा संख्यात्मक प्रक्षेपण शोधणे आवश्यक आहे.

उदाहरण 7

दिलेल्या स्केलर उत्पादनासाठी λ ने कोणते मूल्य घ्यावे a → \u003d (1, 0, λ + 1) आणि b → \u003d (λ, 1, λ) -1 च्या बरोबरीचे असेल.

उपाय

सूत्रावरून असे दिसून येते की निर्देशांकांच्या उत्पादनांची बेरीज शोधणे आवश्यक आहे:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

दिलेले आहे (a → , b →) = - 1 .

λ शोधण्यासाठी, आम्ही समीकरण काढतो:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , म्हणून λ = - 1 .

उत्तर: λ = - 1 .

स्केलर उत्पादनाचा भौतिक अर्थ

मेकॅनिक्स डॉट उत्पादनाच्या अनुप्रयोगाचा विचार करते.

स्थिर बल F → बिंदू M ते N कडे फिरणारे शरीर A वर काम करताना, F → आणि MN → या वेक्टरच्या लांबीचे गुणाकार त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनसह शोधू शकता, म्हणजे कार्य समान आहे. बल आणि विस्थापन सदिशांच्या उत्पादनास:

A = (F → , M N →) .

उदाहरण 8

5 एनटनच्या बळाच्या क्रियेखाली 3 मीटरने भौतिक बिंदूचे विस्थापन अक्षाच्या सापेक्ष 45 अंशांच्या कोनात निर्देशित केले जाते. शोध .

उपाय

कार्य हे बल सदिश आणि विस्थापनाचे उत्पादन असल्याने, F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° या स्थितीवर आधारित, आपल्याला A = (F → , S →) मिळते. ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

उत्तर: A = 15 2 2 .

उदाहरण ९

भौतिक बिंदू, M (2, - 1, - 3) वरून N (5, 3 λ - 2, 4) पर्यंत F → = (3, 1, 2) बळाखाली 13 J च्या बरोबरीने काम केले. गणना करा चळवळीची लांबी.

उपाय

M N → सदिशाच्या दिलेल्या निर्देशांकांसाठी आमच्याकडे M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) आहे.

F → = (3 , 1 , 2) आणि MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) सदिशांसह कार्य शोधण्याच्या सूत्रानुसार आपल्याला A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3) मिळते. λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

अटीनुसार, A \u003d 13 J, म्हणजे 22 + 3 λ \u003d 13 असे दिले आहे. याचा अर्थ λ = - 3 , म्हणून M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

प्रवास लांबी शोधण्यासाठी M N → , आम्ही सूत्र लागू करतो आणि मूल्ये बदलतो:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

उत्तर: १५८.

तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये देखील असतील, ज्याची तुम्ही उत्तरे पाहू शकता.

जर समस्येमध्ये व्हेक्टरची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन दोन्ही "चांदीच्या ताटावर" सादर केले असतील, तर समस्येची स्थिती आणि त्याचे निराकरण असे दिसते:

उदाहरण १वेक्टर दिले आहेत. सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन खालील मूल्यांद्वारे दर्शविल्यास त्यांचे स्केलर उत्पादन शोधा:

दुसरी व्याख्या देखील वैध आहे, जी पूर्णपणे व्याख्या 1 च्या समतुल्य आहे.

व्याख्या २. सदिशांचे स्केलर गुणाकार ही यापैकी एका सदिशाच्या लांबीच्या गुणाकाराची संख्या (स्केलर) असते आणि यातील पहिल्या सदिशाने निर्धारित केलेल्या अक्षावर दुसर्‍या सदिशाचे प्रक्षेपण असते. व्याख्या 2 नुसार सूत्र:

पुढील महत्त्वाच्या सैद्धांतिक मुद्द्यानंतर आपण हे सूत्र वापरून समस्या सोडवू.

निर्देशांकांच्या दृष्टीने वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनाची व्याख्या

गुणाकार केलेले सदिश त्यांच्या समन्वयाने दिले असल्यास समान संख्या मिळू शकते.

व्याख्या ३.व्हेक्टरचे बिंदू गुणाकार ही त्यांच्या संबंधित निर्देशांकांच्या जोडीनिहाय उत्पादनांच्या बेरजेइतकी संख्या असते.

पृष्ठभागावर

जर दोन सदिश आणि समतल त्यांच्या दोन द्वारे परिभाषित केले तर कार्टेशियन समन्वय

मग या सदिशांचे बिंदू गुणाकार त्यांच्या संबंधित निर्देशांकांच्या जोडीनिहाय उत्पादनांच्या बेरजेइतके असतात:

.

उदाहरण २वेक्टरच्या समांतर अक्षावर वेक्टरच्या प्रक्षेपणाचे संख्यात्मक मूल्य शोधा.

उपाय. आम्हाला व्हेक्टरचे स्केलर उत्पादन त्यांच्या निर्देशांकांची जोडीवार उत्पादने जोडून सापडते:

आता आपल्याला परिणामी स्केलर गुणाकार वेक्टरच्या लांबीच्या गुणाकाराशी आणि वेक्टरच्या समांतर अक्षावर (सूत्रानुसार) वेक्टरच्या प्रोजेक्शनशी समतुल्य करणे आवश्यक आहे.

आम्हाला वेक्टरची लांबी त्याच्या निर्देशांकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ म्हणून आढळते:

.

एक समीकरण लिहा आणि ते सोडवा:

उत्तर द्या. इच्छित संख्यात्मक मूल्य उणे 8 आहे.

अंतराळात

जर दोन सदिश आणि अंतराळातील त्यांच्या तीन कार्टेशियन आयताकृती समन्वयाने परिभाषित केले असेल

,

मग या सदिशांचे स्केलर उत्पादन देखील त्यांच्या संबंधित निर्देशांकांच्या जोडीनिहाय उत्पादनांच्या बेरजेइतके असते, फक्त तीन निर्देशांक आधीपासून आहेत:

.

विचारात घेतलेल्या पद्धतीने स्केलर उत्पादन शोधण्याचे कार्य स्केलर उत्पादनाच्या गुणधर्मांचे विश्लेषण केल्यानंतर आहे. कारण कार्यामध्ये गुणाकार सदिश कोणता कोन तयार करतात हे निर्धारित करणे आवश्यक असेल.

वेक्टर्सच्या डॉट उत्पादनाचे गुणधर्म

बीजगणितीय गुणधर्म

1. (बदली मालमत्ता: गुणाकार सदिशांची ठिकाणे बदलल्याने त्यांच्या स्केलर उत्पादनाचे मूल्य बदलत नाही).

2. (संख्यात्मक घटकाच्या संदर्भात सहयोगी मालमत्ता: एखाद्या सदिशाचा स्केलर गुणाकार काही घटकाने गुणाकार केला जातो आणि दुसरा सदिश समान घटकाने गुणाकार केलेल्या या सदिशांच्या स्केलर गुणाकाराच्या समान असतो).

3. (वेक्टरच्या बेरजेच्या संदर्भात वितरणात्मक मालमत्ता: तिसऱ्या वेक्टरद्वारे दोन सदिशांच्या बेरीजचे स्केलर उत्पादन हे पहिल्या वेक्टरच्या तिसऱ्या वेक्टरच्या आणि दुसऱ्या वेक्टरच्या तिसऱ्या वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनांच्या बेरजेइतके असते).

4. (शून्यापेक्षा मोठ्या सदिशाचा स्केलर वर्ग) जर शून्य सदिश असेल आणि , जर शून्य सदिश असेल तर.

भौमितिक गुणधर्म

अभ्यासाअंतर्गत ऑपरेशनच्या व्याख्येमध्ये, आम्ही दोन वेक्टरमधील कोनाच्या संकल्पनेला आधीच स्पर्श केला आहे. ही संकल्पना स्पष्ट करण्याची वेळ आली आहे.

वरील आकृतीमध्ये, दोन वेक्टर दृश्यमान आहेत, जे एका सामान्य सुरुवातीस आणले आहेत. आणि प्रथम आपण ज्याकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे: या वेक्टरमध्ये दोन कोन आहेत - φ 1 आणि φ 2 . यापैकी कोणता कोन सदिशांच्या स्केलर उत्पादनाच्या व्याख्या आणि गुणधर्मांमध्ये दिसतो? विचारात घेतलेल्या कोनांची बेरीज 2 आहे π आणि म्हणून या कोनांचे कोसाइन समान आहेत. बिंदू उत्पादनाच्या व्याख्येमध्ये फक्त कोनाचा कोसाइन समाविष्ट आहे, त्याच्या अभिव्यक्तीचे मूल्य नाही. परंतु गुणधर्मांमध्ये फक्त एका कोपऱ्याचा विचार केला जातो. आणि हे दोन कोनांपैकी एक आहे जे ओलांडत नाही π म्हणजे 180 अंश. हा कोन आकृतीमध्ये याप्रमाणे दर्शविला आहे φ 1 .

1. दोन वेक्टर म्हणतात ऑर्थोगोनल आणि या वेक्टरमधील कोन हा उजवा आहे (90 अंश किंवा π /2) जर या सदिशांचे स्केलर उत्पादन शून्य आहे :

.

वेक्टर बीजगणितातील ऑर्थोगोनॅलिटी ही दोन वेक्टरची लंबकता आहे.

2. दोन नॉन-झिरो वेक्टर बनतात तीक्ष्ण कोपरा (0 ते 90 अंशांपर्यंत, किंवा, समान काय, कमी π डॉट उत्पादन सकारात्मक आहे .

3. दोन नॉन-झिरो वेक्टर बनतात विशाल कोन (90 ते 180 अंशांपर्यंत, किंवा, समान काय आहे - अधिक π /2) जर आणि फक्त तर डॉट उत्पादन नकारात्मक आहे .

उदाहरण ३वेक्टर निर्देशांकांमध्ये दिले आहेत:

.

दिलेल्या वेक्टरच्या सर्व जोड्यांच्या बिंदू उत्पादनांची गणना करा. या वेक्टरच्या जोड्या कोणता कोन (तीव्र, उजवा, स्थूल) बनतात?

उपाय. आम्ही संबंधित निर्देशांकांची उत्पादने जोडून गणना करू.

आम्हाला ऋण संख्या मिळाली, त्यामुळे सदिश एक ओबटस कोन बनवतात.

आम्हाला एक धन संख्या मिळाली, त्यामुळे वेक्टर एक तीव्र कोन तयार करतात.

आम्हाला शून्य मिळाले, त्यामुळे वेक्टर काटकोन बनवतात.

आम्हाला एक धन संख्या मिळाली, त्यामुळे वेक्टर एक तीव्र कोन तयार करतात.

.

आम्हाला एक धन संख्या मिळाली, त्यामुळे वेक्टर एक तीव्र कोन तयार करतात.

स्वयं-चाचणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोनाचे कोसाइन .

उदाहरण ४दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांतील कोन दिल्यास:

.

सदिश संख्येच्या कोणत्या मूल्यावर आहेत आणि ऑर्थोगोनल (लंब) आहेत ते ठरवा.

उपाय. बहुपदींच्या गुणाकाराच्या नियमानुसार आम्ही सदिश गुणाकार करतो:

आता प्रत्येक पदाची गणना करूया:

.

चला एक समीकरण तयार करू (उत्पादनाची समानता शून्यावर), सारख्या संज्ञा द्या आणि समीकरण सोडवा:

उत्तरः आम्हाला मूल्य मिळाले λ = 1.8 , ज्यावर वेक्टर ऑर्थोगोनल असतात.

उदाहरण ५सदिश सिद्ध करा ऑर्थोगोनल (लंब) ते वेक्टर

उपाय. ऑर्थोगोनॅलिटी तपासण्यासाठी, आम्ही सदिश आणि बहुपदी म्हणून गुणाकार करतो, त्याऐवजी समस्या स्थितीत दिलेली अभिव्यक्ती बदलतो:

.

हे करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या बहुपदीच्या प्रत्येक पदाचा (टर्म) दुसऱ्याच्या प्रत्येक पदाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि परिणामी उत्पादने जोडणे आवश्यक आहे:

.

परिणामी, देय अंश कमी होतो. खालील परिणाम प्राप्त होतो:

निष्कर्ष: गुणाकाराच्या परिणामी, आम्हाला शून्य मिळाले, म्हणून, व्हेक्टरची ऑर्थोगोनॅलिटी (लंबता) सिद्ध झाली आहे.

समस्या स्वतः सोडवा आणि मग उपाय पहा

उदाहरण 6सदिशांची लांबी दिली आहे आणि , आणि या सदिशांमधील कोन आहे π /4. कोणते मूल्य निश्चित करा μ वेक्टर आणि परस्पर लंब असतात.

स्वयं-चाचणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोनाचे कोसाइन .

वेक्टर्सच्या स्केलर उत्पादनाचे मॅट्रिक्स प्रतिनिधित्व आणि एन-डीमेन्शनल व्हेक्टरचे उत्पादन

काहीवेळा, स्पष्टतेसाठी, मॅट्रिक्सच्या स्वरूपात दोन गुणाकार सदिशांचे प्रतिनिधित्व करणे फायदेशीर आहे. मग पहिला वेक्टर पंक्ती मॅट्रिक्स म्हणून दर्शविला जातो आणि दुसरा कॉलम मॅट्रिक्स म्हणून दर्शविला जातो:

मग सदिशांचे स्केलर उत्पादन असेल या मॅट्रिक्सचे उत्पादन :

आम्ही आधीच विचारात घेतलेल्या पद्धतीद्वारे प्राप्त केलेला परिणाम समान आहे. आम्हाला एक एकल संख्या मिळाली आणि मॅट्रिक्स-स्तंभाद्वारे मॅट्रिक्स-पंक्तीचा गुणाकार देखील एकच संख्या आहे.

मॅट्रिक्स फॉर्ममध्ये, अमूर्त n-डायमेंशनल व्हेक्टरच्या गुणाकाराचे प्रतिनिधित्व करणे सोयीचे आहे. अशाप्रकारे, दोन चार-आयामी सदिशांचे गुणाकार हे स्तंभ मॅट्रिक्सद्वारे चार घटकांसह चार घटकांसह पंक्ती मॅट्रिक्सचे गुणाकार असेल, दोन पंच-मितीय सदिशांचे गुणाकार हे पाच घटकांसह पंक्ती मॅट्रिक्सचे गुणाकार असेल. एक स्तंभ मॅट्रिक्स देखील पाच घटकांसह, आणि असेच.

उदाहरण 7वेक्टरच्या जोडीची डॉट उत्पादने शोधा

,

मॅट्रिक्स प्रतिनिधित्व वापरून.

उपाय. वेक्टरची पहिली जोडी. आम्ही पहिल्या वेक्टरला रो मॅट्रिक्स म्हणून आणि दुसरा कॉलम मॅट्रिक्स म्हणून दाखवतो. स्तंभ मॅट्रिक्सद्वारे पंक्ती मॅट्रिक्सचे गुणाकार म्हणून आम्हाला या सदिशांचे स्केलर उत्पादन आढळते:

त्याचप्रमाणे, आम्ही दुसऱ्या जोडीचे प्रतिनिधित्व करतो आणि शोधतो:

जसे तुम्ही पाहू शकता, परिणाम उदाहरण २ मधील समान जोड्यांसाठी समान आहेत.

दोन वेक्टरमधील कोन

दोन सदिशांमधील कोनाच्या कोसाइनसाठी सूत्राची व्युत्पत्ती अतिशय सुंदर आणि संक्षिप्त आहे.

व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन व्यक्त करण्यासाठी

(1)

समन्वय स्वरूपात, आपण प्रथम orts चे स्केलर उत्पादन शोधतो. वेक्टरचे स्वतःसह स्केलर उत्पादन हे व्याख्येनुसार आहे:

वरील सूत्रात काय लिहिले आहे याचा अर्थः वेक्टरचा स्वतःसह स्केलर गुणाकार त्याच्या लांबीच्या चौरसाइतका असतो. शून्याचा कोसाइन एक बरोबर आहे, म्हणून प्रत्येक ऑर्थचा वर्ग एक समान असेल:

वेक्टर पासून

जोडीनुसार लंब असतात, तर ऑर्ट्सची जोडीवार उत्पादने शून्यासारखी असतील:

आता सदिश बहुपदींचा गुणाकार करू:

आम्ही समानतेच्या उजव्या बाजूला ऑर्ट्सच्या संबंधित स्केलर उत्पादनांची मूल्ये बदलतो:

दोन सदिशांमधील कोनाच्या कोसाइनसाठी आपल्याला सूत्र मिळते:

उदाहरण 8तीन गुण दिले ए(1;1;1), बी(2;2;1), सी(2;1;2).

एक कोन शोधा.

उपाय. आम्हाला वेक्टरचे निर्देशांक सापडतात:

,

.

कोनाच्या कोसाइनसाठी सूत्र वापरून, आम्हाला मिळते:

परिणामी, .

स्वयं-चाचणीसाठी, आपण वापरू शकता ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर व्हेक्टरचे डॉट उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोनाचे कोसाइन .

उदाहरण ९दोन वेक्टर दिले

बेरीज, फरक, लांबी, बिंदू उत्पादन आणि त्यांच्यामधील कोन शोधा.

२.फरक

वेक्टर आणि डॉट उत्पादनामुळे वेक्टरमधील कोन मोजणे सोपे होते. दोन सदिश $\overline(a)$ आणि $\overline(b)$ देऊ द्या, त्यांच्यामधील ओरिएंटेड कोन $\varphi$ सारखा आहे. चला $x = (\overline(a),\overline(b))$ आणि $y = [\overline(a),\overline(b)]$ या मूल्यांची गणना करू. नंतर $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, जेथे $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ आणि $\varphi$ इच्छित आहे कोन, म्हणजेच $(x, y)$ बिंदूचा ध्रुवीय कोन $\varphi$ सारखा आहे, आणि म्हणून $\varphi$ हा atan2(y, x) म्हणून आढळू शकतो.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

सदिश उत्पादनामध्ये दोन सदिश लांबीचे गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाचे कोसाइन असल्याने, सदिश उत्पादनाचा वापर त्रिकोण ABC चे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी केला जाऊ शकतो:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

एका ओळीशी संबंधित बिंदू

एक बिंदू $P$ आणि एक ओळ $AB$ (दोन बिंदू $A$ आणि $B$ ने दिलेली) द्या. बिंदू $AB$ रेषेचा आहे की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे.

बिंदू हा $AB$ रेषेचा असतो जर आणि फक्त $AP$ आणि $AB$ व्हेक्टर समरेषीय असतील, म्हणजे जर $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

किरणाच्या बिंदूशी संबंधित

एक बिंदू $P$ आणि एक किरण $AB$ (दोन बिंदूंनी दिलेला - किरण $A$ ची सुरूवात आणि किरण $B$ वर एक बिंदू) द्या. बिंदू $AB$ या किरणाशी संबंधित आहे की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे.

$P$ हा बिंदू $AB$ या रेषेचा आहे या स्थितीत अतिरिक्त अट जोडली जाणे आवश्यक आहे - $AP$ आणि $AB$ हे व्हेक्टर सहदिशात्मक आहेत, म्हणजेच ते समरेखीय आहेत आणि त्यांचे स्केलर उत्पादन नॉन-ऋणात्मक आहे, म्हणजे, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

एका विभागाशी संबंधित बिंदू

एक बिंदू $P$ आणि एक खंड $AB$ द्या. बिंदू $AB$ या विभागाशी संबंधित आहे की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे.

या प्रकरणात, बिंदू $AB$ आणि किरण $BA$ या दोन्ही किरणांचा असणे आवश्यक आहे, म्हणून खालील अटी तपासल्या पाहिजेत:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर

एक बिंदू $P$ आणि एक ओळ $AB$ (दोन बिंदू $A$ आणि $B$ ने दिलेली) द्या. $AB$ सरळ रेषेच्या बिंदूपासून अंतर शोधणे आवश्यक आहे.

ABP त्रिकोणाचा विचार करा. एकीकडे, त्याचे क्षेत्रफळ $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ आहे.

दुसरीकडे, त्याचे क्षेत्रफळ $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ आहे, जेथे $h$ ही $P$ पासूनची उंची आहे, म्हणजे $P$ ते $AB चे अंतर $. कुठून $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

बिंदूपासून बीमपर्यंतचे अंतर

एक बिंदू $P$ आणि एक किरण $AB$ (दोन बिंदूंनी दिलेला - किरण $A$ ची सुरूवात आणि किरण $B$ वर एक बिंदू) द्या. बिंदूपासून किरणापर्यंतचे अंतर शोधणे आवश्यक आहे, म्हणजेच $P$ बिंदूपासून किरणांच्या कोणत्याही बिंदूपर्यंतच्या सर्वात लहान खंडाची लांबी.

हे अंतर एकतर लांबी $AP$ किंवा $P$ बिंदूपासून $AB$ रेषेपर्यंतच्या अंतराच्या बरोबरीचे आहे. बीम आणि बिंदूच्या सापेक्ष स्थितीद्वारे कोणती प्रकरणे घडतात हे सहजपणे निर्धारित केले जाऊ शकते. जर कोन PAB तीव्र असेल, म्हणजे $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, तर उत्तर हे बिंदू $P$ पासून रेषा $AB$ पर्यंतचे अंतर आहे, अन्यथा उत्तर लांबी आहे $AB$ विभागातील.

बिंदूपासून रेषेपर्यंतचे अंतर

एक बिंदू $P$ आणि एक खंड $AB$ द्या. $P$ पासून $AB$ खंडापर्यंतचे अंतर शोधणे आवश्यक आहे.

जर लंबाचा पाया $P$ वरून $AB$ रेषेपर्यंत खाली आला तर $AB$ या खंडावर पडला, जो परिस्थितीनुसार तपासला जाऊ शकतो

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

तर उत्तर $P$ बिंदूपासून $AB$ रेषेपर्यंतचे अंतर आहे. अन्यथा, अंतर $\min(AP, BP)$ इतके असेल.

वेक्टरचे डॉट उत्पादन

आम्ही वेक्टर्सचा सामना करणे सुरू ठेवतो. पहिल्या धड्यात डमीसाठी वेक्टरआम्ही व्हेक्टरची संकल्पना, वेक्टरसह क्रिया, वेक्टर निर्देशांक आणि वेक्टरमधील सर्वात सोप्या समस्यांचा विचार केला आहे. जर तुम्ही शोध इंजिनवरून या पृष्ठावर पहिल्यांदा आला असाल तर, मी वरील परिचयात्मक लेख वाचण्याची जोरदार शिफारस करतो, कारण सामग्री आत्मसात करण्यासाठी, तुम्हाला मी वापरत असलेल्या अटी आणि नोटेशनमध्ये मार्गदर्शन करणे आवश्यक आहे, व्हेक्टरचे मूलभूत ज्ञान असणे आवश्यक आहे. आणि प्राथमिक समस्या सोडविण्यास सक्षम व्हा. हा धडा हा विषयाचा तार्किक सातत्य आहे आणि त्यामध्ये मी वेक्टरचे स्केलर उत्पादन वापरणाऱ्या ठराविक कार्यांचे तपशीलवार विश्लेषण करेन. हे खूप महत्वाचे काम आहे.. उदाहरणे वगळण्याचा प्रयत्न करू नका, ते एक उपयुक्त बोनससह आहेत - सराव तुम्हाला कव्हर केलेली सामग्री एकत्रित करण्यात मदत करेल आणि विश्लेषणात्मक भूमितीच्या सामान्य समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी "तुमचा हात मिळवा".

सदिश जोडणे, सदिशाचा संख्येने गुणाकार करणे…. गणितज्ञांनी दुसरे काहीतरी शोधून काढले नाही असा विचार करणे भोळेपणाचे ठरेल. आधीच विचारात घेतलेल्या क्रियांव्यतिरिक्त, व्हेक्टरसह इतर अनेक ऑपरेशन्स आहेत, म्हणजे: वेक्टरचे डॉट उत्पादन, वेक्टरचे क्रॉस उत्पादनआणि वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन. सदिशांचे स्केलर उत्पादन आम्हाला शाळेपासून परिचित आहे, इतर दोन उत्पादने पारंपारिकपणे उच्च गणिताच्या अभ्यासक्रमाशी संबंधित आहेत. विषय सोपे आहेत, अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदम रूढीबद्ध आणि समजण्याजोगा आहे. एकच गोष्ट. माहितीची एक सभ्य रक्कम आहे, म्हणून सर्व काही आणि एकाच वेळी मास्टर करण्याचा आणि सोडवण्याचा प्रयत्न करणे अवांछित आहे. हे विशेषतः डमींसाठी खरे आहे, माझ्यावर विश्वास ठेवा, लेखकाला गणितातील चिकाटिलोसारखे वाटू इच्छित नाही. बरं, गणितातून नाही, अर्थातच, एकतर =) अधिक तयार विद्यार्थी सामग्रीचा निवडकपणे वापर करू शकतात, एका विशिष्ट अर्थाने, गहाळ ज्ञान "संपादन" करू शकतात, तुमच्यासाठी मी निरुपद्रवी काउंट ड्रॅक्युला असेल =)

शेवटी, दार थोडे उघडूया आणि दोन वेक्टर एकमेकांना भेटल्यावर काय होते ते पाहूया….

वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनाची व्याख्या.
स्केलर उत्पादनाचे गुणधर्म. ठराविक कामे

डॉट उत्पादनाची संकल्पना

बद्दल प्रथम वेक्टरमधील कोन. मला वाटते की प्रत्येकाला अंतर्ज्ञानाने वेक्टरमधील कोन काय आहे हे समजते, परंतु जरा जास्त. फ्री नॉनझिरो वेक्टर आणि . जर आपण या वेक्टर्सला अनियंत्रित बिंदूपासून पुढे ढकलले तर आपल्याला असे चित्र मिळेल जे अनेकांनी आधीच मानसिकरित्या सादर केले आहे:

मी कबूल करतो, येथे मी परिस्थितीचे वर्णन केवळ समजून घेण्याच्या पातळीवर केले आहे. जर तुम्हाला वेक्टरमधील कोनाची कठोर व्याख्या हवी असेल, तर कृपया पाठ्यपुस्तक पहा, परंतु व्यावहारिक कार्यांसाठी, आम्हाला, तत्त्वतः, त्याची आवश्यकता नाही. तसेच इथे आणि पुढे, मी कधी कधी शून्य व्हेक्टर त्यांच्या कमी व्यावहारिक महत्त्वामुळे दुर्लक्ष करेन. मी विशेषत: साइटच्या प्रगत अभ्यागतांसाठी आरक्षण केले आहे, जे खालीलपैकी काही विधानांच्या सैद्धांतिक अपूर्णतेसाठी माझी निंदा करू शकतात.

साहित्यात, कोन चिन्ह अनेकदा वगळले जाते आणि फक्त लिहिले जाते.

व्याख्या:दोन सदिशांचे स्केलर गुणाकार हा या सदिशांच्या लांबीच्या गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनच्या गुणानुरूप NUMBER आहे:

आता ती एक अतिशय कठोर व्याख्या आहे.

आम्ही आवश्यक माहितीवर लक्ष केंद्रित करतो:

पदनाम:स्केलर उत्पादन द्वारे किंवा फक्त द्वारे दर्शविले जाते.

ऑपरेशनचा परिणाम NUMBER आहे: संख्या मिळविण्यासाठी सदिशाचा सदिशाने गुणाकार करा. खरंच, जर सदिशांची लांबी संख्या असेल, कोनाचा कोसाइन ही संख्या असेल, तर त्यांचे उत्पादन संख्या देखील असेल.

वार्मअपची फक्त दोन उदाहरणे:

उदाहरण १

उपाय:आम्ही सूत्र वापरतो . या प्रकरणात:

उत्तर:

कोसाइन मूल्ये मध्ये आढळू शकतात त्रिकोणमितीय सारणी. मी ते मुद्रित करण्याची शिफारस करतो - ते टॉवरच्या जवळजवळ सर्व विभागांमध्ये आवश्यक असेल आणि बर्याच वेळा आवश्यक असेल.

पूर्णपणे गणिताच्या दृष्टिकोनातून, स्केलर उत्पादन हे परिमाणहीन आहे, म्हणजेच, या प्रकरणात परिणाम, फक्त एक संख्या आहे आणि तेच आहे. भौतिकशास्त्राच्या समस्यांच्या दृष्टिकोनातून, स्केलर उत्पादनाचा नेहमीच एक विशिष्ट भौतिक अर्थ असतो, म्हणजेच निकालानंतर, एक किंवा दुसरे भौतिक एकक सूचित केले जाणे आवश्यक आहे. शक्तीच्या कार्याची गणना करण्याचे प्रमाणिक उदाहरण कोणत्याही पाठ्यपुस्तकात आढळू शकते (सूत्र हे अगदी बिंदू उत्पादन आहे). शक्तीचे कार्य जूलमध्ये मोजले जाते, म्हणून, उत्तर अगदी विशिष्टपणे लिहिले जाईल, उदाहरणार्थ,.

उदाहरण २

तर शोधा , आणि सदिशांमधील कोन आहे.

हे आत्म-निर्णयासाठी एक उदाहरण आहे, उत्तर धड्याच्या शेवटी आहे.

वेक्टर आणि डॉट उत्पादन मूल्य यांच्यातील कोन

उदाहरण 1 मध्ये, स्केलर उत्पादन सकारात्मक असल्याचे दिसून आले आणि उदाहरण 2 मध्ये ते नकारात्मक असल्याचे दिसून आले. स्केलर उत्पादनाचे चिन्ह कशावर अवलंबून आहे ते शोधूया. चला आमचे सूत्र पाहू: . शून्य नसलेल्या व्हेक्टरची लांबी नेहमीच सकारात्मक असते: , म्हणून चिन्ह केवळ कोसाइनच्या मूल्यावर अवलंबून असू शकते.

टीप: खालील माहिती अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, मॅन्युअलमधील कोसाइन आलेखाचा अभ्यास करणे चांगले आहे आलेख आणि कार्य गुणधर्म. कोसाइन सेगमेंटवर कसे वागते ते पहा.

आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, वेक्टरमधील कोन आतमध्ये बदलू शकतात , आणि खालील प्रकरणे शक्य आहेत:

1) जर इंजेक्शनवेक्टर दरम्यान मसालेदार: (0 ते 90 अंशांपर्यंत), नंतर , आणि डॉट उत्पादन सकारात्मक असेल सह-दिग्दर्शित, नंतर त्यांच्यामधील कोन शून्य मानला जाईल आणि स्केलर उत्पादन देखील धनात्मक असेल. पासून, नंतर सूत्र सरलीकृत आहे: .

2) जर इंजेक्शनवेक्टर दरम्यान मूर्ख: (90 ते 180 अंशांपर्यंत), नंतर , आणि त्या अनुषंगाने, डॉट उत्पादन नकारात्मक आहे: . विशेष केस: जर वेक्टर विरुद्ध दिग्दर्शन केले, नंतर त्यांच्यामधील कोन विचारात घेतला जातो तैनात: (180 अंश). स्केलर उत्पादन देखील नकारात्मक आहे, पासून

परस्पर विधाने देखील सत्य आहेत:

1) जर, तर या सदिशांमधील कोन तीव्र आहे. वैकल्पिकरित्या, सदिश सहदिशात्मक असतात.

2) जर, तर या सदिशांमधील कोन स्थूल आहे. वैकल्पिकरित्या, वेक्टर विरुद्ध दिशेने निर्देशित केले जातात.

परंतु तिसरे प्रकरण विशेष स्वारस्यपूर्ण आहे:

3) जर इंजेक्शनवेक्टर दरम्यान सरळ: (90 अंश) नंतर आणि डॉट उत्पादन शून्य आहे: . संभाषण देखील सत्य आहे: जर , नंतर . संक्षिप्त विधान खालीलप्रमाणे तयार केले आहे: दोन सदिशांचे स्केलर गुणाकार शून्य असेल आणि जर दिलेले वेक्टर ऑर्थोगोनल असतील तरच. लहान गणित नोटेशन:

! नोंद : पुन्हा करा गणितीय तर्कशास्त्राचा पाया: दुहेरी बाजू असलेला तार्किक परिणाम चिन्ह सहसा "जर आणि फक्त नंतर", "जर आणि फक्त तर" असे वाचले जाते. जसे आपण पाहू शकता, बाण दोन्ही दिशानिर्देशांमध्ये निर्देशित केले आहेत - "यावरून हे अनुसरण करते आणि त्याउलट - यावरून हे अनुसरण करते." तसे, वन-वे फॉलो आयकॉनमध्ये काय फरक आहे? आयकॉन दावे फक्त तेचकी "यावरून याचे अनुसरण होते", आणि उलट सत्य आहे हे तथ्य नाही. उदाहरणार्थ: , परंतु प्रत्येक प्राणी हा पँथर नसतो, म्हणून या प्रकरणात चिन्ह वापरले जाऊ शकत नाही. त्याच वेळी, चिन्हाऐवजी करू शकताएकतर्फी चिन्ह वापरा. उदाहरणार्थ, समस्येचे निराकरण करताना, आम्हाला आढळले की आम्ही निष्कर्ष काढला की वेक्टर ऑर्थोगोनल आहेत: - असा रेकॉर्ड योग्य असेल आणि त्यापेक्षाही अधिक योग्य असेल .

तिसरे प्रकरण खूप व्यावहारिक महत्त्व आहे., कारण ते तुम्हाला वेक्टर ऑर्थोगोनल आहेत की नाही हे तपासण्याची परवानगी देते. आम्ही धड्याच्या दुसऱ्या विभागात ही समस्या सोडवू.

डॉट उत्पादन गुणधर्म

दोन वेक्टर असताना परिस्थितीकडे परत येऊ सह-दिग्दर्शित. या प्रकरणात, त्यांच्यामधील कोन शून्य आहे, , आणि स्केलर उत्पादन सूत्र हे फॉर्म घेते: .

सदिश स्वतःच गुणाकार केल्यास काय होते? हे स्पष्ट आहे की वेक्टर स्वतःसह सह-निर्देशित आहे, म्हणून आम्ही वरील सरलीकृत सूत्र वापरतो:

क्रमांकावर कॉल केला जातो स्केलर स्क्वेअरवेक्टर , आणि म्हणून दर्शविले जाते.

अशा प्रकारे, वेक्टरचा स्केलर स्क्वेअर दिलेल्या वेक्टरच्या लांबीच्या स्क्वेअरच्या बरोबरीचा असतो:

या समानतेवरून, आपण वेक्टरची लांबी मोजण्यासाठी एक सूत्र मिळवू शकता:

जरी ते अस्पष्ट वाटत असले तरी धड्याची कार्ये सर्व काही त्याच्या जागी ठेवतील. समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला देखील आवश्यक आहे डॉट उत्पादन गुणधर्म.

अनियंत्रित वेक्टर आणि कोणत्याही संख्येसाठी, खालील गुणधर्म सत्य आहेत:

1) - विस्थापित करण्यायोग्य किंवा बदलीस्केलर उत्पादन कायदा.

2) - वितरण किंवा वितरणात्मकस्केलर उत्पादन कायदा. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, तुम्ही कंस उघडू शकता.

3) - संयोजन किंवा सहयोगीस्केलर उत्पादन कायदा. स्केलर उत्पादनातून स्थिरांक काढला जाऊ शकतो.

बर्‍याचदा, सर्व प्रकारचे गुणधर्म (ज्याला सिद्ध करणे देखील आवश्यक आहे!) विद्यार्थ्यांना अनावश्यक कचरा म्हणून समजले जाते, जे केवळ लक्षात ठेवणे आणि परीक्षेनंतर लगेचच सुरक्षितपणे विसरणे आवश्यक आहे. असे दिसते की येथे काय महत्वाचे आहे, प्रत्येकास प्रथम श्रेणीपासून आधीच माहित आहे की घटकांच्या क्रमवारीतून उत्पादन बदलत नाही: मी तुम्हाला चेतावणी दिली पाहिजे, उच्च गणितामध्ये अशा दृष्टिकोनाने गोष्टी गडबड करणे सोपे आहे. म्हणून, उदाहरणार्थ, कम्युटेटिव्ह प्रॉपर्टी यासाठी वैध नाही बीजगणित मॅट्रिक्स. साठी ते खरे नाही वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन. म्हणूनच, काय करता येईल आणि काय करता येत नाही हे समजून घेण्यासाठी उच्च गणिताच्या अभ्यासक्रमात तुम्हाला भेटतील अशा कोणत्याही गुणधर्मांचा शोध घेणे किमान चांगले आहे.

उदाहरण ३

.

उपाय:प्रथम, वेक्टरसह परिस्थिती स्पष्ट करूया. हे सर्व काय आहे? सदिशांची बेरीज आणि हे एक सु-परिभाषित सदिश आहे, जे द्वारे दर्शविले जाते. वेक्टरसह क्रियांची भौमितीय व्याख्या लेखात आढळू शकते डमीसाठी वेक्टर. वेक्टर असलेली समान अजमोदा ही सदिशांची बेरीज आहे आणि .

म्हणून, स्थितीनुसार, स्केलर उत्पादन शोधणे आवश्यक आहे. सिद्धांततः, आपल्याला कार्यरत सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे , परंतु अडचण अशी आहे की आपल्याला वेक्टरची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन माहित नाही. परंतु स्थितीत, वेक्टरसाठी समान पॅरामीटर्स दिले जातात, म्हणून आम्ही दुसर्‍या मार्गाने जाऊ:

(1) आम्ही व्हेक्टरच्या अभिव्यक्ती बदलतो.

(२) आम्ही बहुपदांच्या गुणाकाराच्या नियमानुसार कंस उघडतो, लेखात एक अश्लील जीभ ट्विस्टर आढळू शकते. जटिल संख्याकिंवा अपूर्णांक-परिमेय कार्याचे एकत्रीकरण. मी स्वतःची पुनरावृत्ती करणार नाही =) तसे, स्केलर उत्पादनाची वितरणात्मक गुणधर्म आम्हाला कंस उघडण्याची परवानगी देते. आम्हाला अधिकार आहे.

(३) पहिल्या आणि शेवटच्या शब्दात, आम्ही वेक्टरचे स्केलर वर्ग संक्षिप्तपणे लिहितो: . दुसऱ्या टर्ममध्ये, आम्ही स्केलर उत्पादनाची कम्युटेबिलिटी वापरतो: .

(4) येथे समान संज्ञा आहेत: .

(५) पहिल्या टर्ममध्ये, आम्ही स्केलर स्क्वेअर फॉर्म्युला वापरतो, ज्याचा उल्लेख फार पूर्वी झाला नव्हता. शेवटच्या टर्ममध्ये, अनुक्रमे, समान गोष्ट कार्य करते: . दुसरा टर्म मानक सूत्रानुसार विस्तारित केला आहे .

(6) या अटी बदला , आणि काळजीपूर्वक अंतिम गणना करा.

उत्तर:

बिंदू उत्पादनाचे ऋण मूल्य हे वस्तुस्थिती दर्शवते की सदिशांमधील कोन स्थूल आहे.

कार्य वैशिष्ट्यपूर्ण आहे, स्वतंत्र समाधानासाठी येथे एक उदाहरण आहे:

उदाहरण ४

सदिशांचे स्केलर गुणाकार शोधा आणि , जर ते माहित असेल तर .

आता आणखी एक सामान्य कार्य, फक्त नवीन वेक्टर लांबी सूत्रासाठी. येथे पदनाम थोडेसे ओव्हरलॅप होतील, म्हणून स्पष्टतेसाठी, मी ते वेगळ्या अक्षराने पुन्हा लिहीन:

उदाहरण ५

जर सदिशाची लांबी शोधा .

उपायखालीलप्रमाणे असेल:

(1) आम्ही सदिश अभिव्यक्ती पुरवतो.

(२) आपण लांबीचे सूत्र वापरतो: , तर आपल्याकडे वेक्टर "ve" म्हणून पूर्णांक अभिव्यक्ती आहे.

(3) आपण बेरीजच्या वर्गासाठी शालेय सूत्र वापरतो. हे येथे कुतूहलाने कसे कार्य करते याकडे लक्ष द्या: - खरं तर, हा फरकाचा वर्ग आहे आणि खरं तर, ते तसे आहे. ज्यांना इच्छा आहे ते ठिकाणी वेक्टरची पुनर्रचना करू शकतात: - हे अटींच्या पुनर्रचनापर्यंत समान गोष्ट निघाली.

(4) पुढील दोन मागील समस्यांपासून आधीच परिचित आहे.

उत्तर:

आम्ही लांबीबद्दल बोलत असल्याने, परिमाण दर्शविण्यास विसरू नका - "युनिट्स".

उदाहरण 6

जर सदिशाची लांबी शोधा .

हे स्वत:चे उदाहरण आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

आम्ही स्केलर उत्पादनातून उपयुक्त गोष्टी पिळून काढणे सुरू ठेवतो. चला आपले सूत्र पुन्हा पाहू . प्रमाणाच्या नियमानुसार, आम्ही वेक्टरची लांबी डाव्या बाजूच्या भाजकावर रीसेट करतो:

चला भाग अदलाबदल करूया:

या सूत्राचा अर्थ काय? जर दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांचे स्केलर उत्पादन माहित असेल, तर या सदिशांमधील कोनाच्या कोसाइनची गणना करणे शक्य आहे आणि परिणामी, कोन स्वतःच.

स्केलर उत्पादन एक संख्या आहे? क्रमांक. वेक्टर लांबी संख्या आहेत? संख्या. म्हणून एक अपूर्णांक देखील एक संख्या आहे. आणि जर कोनाचा कोसाइन ज्ञात असेल तर: , नंतर व्युत्क्रम फंक्शन वापरून कोन स्वतः शोधणे सोपे आहे: .

उदाहरण 7

सदिश आणि , हे माहीत असल्यास , मधील कोन शोधा .

उपाय:आम्ही सूत्र वापरतो:

गणनेच्या अंतिम टप्प्यावर, एक तंत्र वापरले गेले - भाजकातील असमंजसपणाचे उच्चाटन. अपरिमेयता दूर करण्यासाठी, मी अंश आणि भाजक यांचा गुणाकार केला.

तर जर , नंतर:

व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची मूल्ये द्वारे शोधली जाऊ शकतात त्रिकोणमितीय सारणी. जरी हे क्वचितच घडते. विश्लेषणात्मक भूमितीच्या समस्यांमध्ये, काही अनाठायी अस्वल जास्त वेळा दिसतात आणि कोनाचे मूल्य अंदाजे कॅल्क्युलेटर वापरून शोधावे लागते. खरे तर हे चित्र आपण पुन्हा पुन्हा पाहणार आहोत.

उत्तर:

पुन्हा, परिमाण - रेडियन आणि अंश निर्दिष्ट करण्यास विसरू नका. व्यक्तिशः, मुद्दाम “सर्व प्रश्न काढून टाकण्यासाठी”, मी दोन्ही सूचित करण्यास प्राधान्य देतो (अर्थातच, अटीनुसार, उत्तर फक्त रेडियनमध्ये किंवा फक्त अंशांमध्ये सादर करणे आवश्यक आहे).

आता आपण स्वतःहून अधिक कठीण कामाचा सामना करण्यास सक्षम असाल:

उदाहरण 7*

सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन दिले आहेत. सदिशांमधील कोन शोधा, .

कार्य बहु-मार्गासारखे अवघड नाही.
चला सोल्यूशन अल्गोरिदमचे विश्लेषण करूया:

1) स्थितीनुसार, व्हेक्टर आणि मधील कोन शोधणे आवश्यक आहे, म्हणून तुम्हाला सूत्र वापरावे लागेल .

2) आम्हाला स्केलर उत्पादन सापडते (उदाहरणे क्र. 3, 4 पहा).

3) वेक्टरची लांबी आणि वेक्टरची लांबी शोधा (उदाहरणे क्र. 5, 6 पहा).

4) सोल्यूशनचा शेवट उदाहरण क्रमांक 7 शी जुळतो - आम्हाला संख्या माहित आहे, याचा अर्थ कोन शोधणे सोपे आहे:

धड्याच्या शेवटी लहान उपाय आणि उत्तर.

धड्याचा दुसरा विभाग समान बिंदू उत्पादनासाठी समर्पित आहे. समन्वय. पहिल्या भागापेक्षा हे अगदी सोपे होईल.

वेक्टरचे बिंदू उत्पादन,
ऑर्थोनॉर्मल आधारावर निर्देशांकांद्वारे दिले जाते

उत्तर:

हे सांगण्याची गरज नाही की समन्वयांशी व्यवहार करणे अधिक आनंददायी आहे.

उदाहरण 14

सदिशांचे स्केलर उत्पादन शोधा आणि जर

हे स्वत:चे उदाहरण आहे. येथे आपण ऑपरेशनची सहयोगीता वापरू शकता, म्हणजे, मोजू नका, परंतु स्केलर उत्पादनातून त्वरित तिप्पट काढा आणि शेवटचा गुणाकार करा. धड्याच्या शेवटी उपाय आणि उत्तर.

परिच्छेदाच्या शेवटी, वेक्टरच्या लांबीची गणना करण्याचे उत्तेजक उदाहरण:

उदाहरण 15

वेक्टरची लांबी शोधा , तर

उपाय:पुन्हा मागील विभागाची पद्धत स्वतःच सूचित करते: परंतु आणखी एक मार्ग आहे:

चला वेक्टर शोधूया:

आणि त्याची लांबी क्षुल्लक सूत्रानुसार :

स्केलर उत्पादन येथे अजिबात संबंधित नाही!

सदिशाच्या लांबीची गणना करताना ते किती फायदेशीर आहे:
थांबा. वेक्टरच्या स्पष्ट लांबीच्या गुणधर्माचा फायदा का घेऊ नये? वेक्टरच्या लांबीबद्दल काय म्हणता येईल? हा वेक्टर वेक्टरपेक्षा 5 पट जास्त आहे. दिशा विरुद्ध आहे, परंतु काही फरक पडत नाही, कारण आपण लांबीबद्दल बोलत आहोत. स्पष्टपणे, वेक्टरची लांबी उत्पादनाच्या समान आहे मॉड्यूलप्रति वेक्टर लांबी संख्या:
- मॉड्यूलचे चिन्ह संख्येचे संभाव्य वजा "खाते".

अशा प्रकारे:

उत्तर:

कोऑर्डिनेटद्वारे दिलेल्या वेक्टरमधील कोनाच्या कोसाइनचे सूत्र

सदिशांच्या समन्वयाच्या संदर्भात व्हेक्टरमधील कोनाच्या कोसाइनसाठी पूर्वी व्युत्पन्न केलेले सूत्र व्यक्त करण्यासाठी आता आपल्याकडे संपूर्ण माहिती आहे:

समतल सदिशांमधील कोनाचा कोसाइनआणि , ऑर्थोनॉर्मल आधारावर दिलेले , सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाते:
.

स्पेस वेक्टरमधील कोनाचा कोसाइन, ऑर्थोनॉर्मल आधारावर दिलेले , सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाते:

उदाहरण 16

त्रिकोणाचे तीन शिरोबिंदू दिलेले आहेत. शोधा (वर्टेक्स कोन).

उपाय:स्थितीनुसार, रेखाचित्र आवश्यक नाही, परंतु तरीही:

आवश्यक कोन हिरव्या कमानीने चिन्हांकित केले आहे. आम्ही ताबडतोब कोनाचे शाळेचे पदनाम आठवते: - विशेष लक्ष मध्यअक्षर - हे आपल्याला आवश्यक असलेल्या कोनाचे शिरोबिंदू आहे. संक्षिप्ततेसाठी, ते सोपे देखील लिहिले जाऊ शकते.

रेखांकनावरून हे अगदी स्पष्ट आहे की त्रिकोणाचा कोन व्हेक्टरमधील कोनाशी जुळतो आणि दुसऱ्या शब्दांत: .

मानसिकरित्या केलेले विश्लेषण कसे करावे हे शिकणे इष्ट आहे.

चला वेक्टर शोधूया:

चला स्केलर उत्पादनाची गणना करूया:

आणि वेक्टरची लांबी:

कोनाचा कोसाइन:

मी डमींना शिफारस केलेल्या कार्याचा हा क्रम आहे. अधिक प्रगत वाचक गणना "एका ओळीत" लिहू शकतात:

येथे "खराब" कोसाइन मूल्याचे उदाहरण आहे. परिणामी मूल्य अंतिम नाही, म्हणून भाजकातील असमंजसपणापासून मुक्त होण्यात फारसा अर्थ नाही.

चला कोन शोधूया:

आपण रेखाचित्र पाहिल्यास, परिणाम जोरदार प्रशंसनीय आहे. कोन तपासण्यासाठी प्रोट्रेक्टरने देखील मोजले जाऊ शकते. मॉनिटर कोटिंगचे नुकसान करू नका =)

उत्तर:

उत्तरात, हे विसरू नका त्रिकोणाच्या कोनाबद्दल विचारले(आणि वेक्टरमधील कोनाबद्दल नाही), अचूक उत्तर सूचित करण्यास विसरू नका: आणि कोनाचे अंदाजे मूल्य: कॅल्क्युलेटरसह सापडले.

ज्यांनी प्रक्रियेचा आनंद घेतला आहे ते कोनांची गणना करू शकतात आणि प्रामाणिक समानता सत्य असल्याची खात्री करू शकतात

उदाहरण 17

अंतराळात त्रिकोण त्याच्या शिरोबिंदूंच्या समन्वयाने दिलेला असतो. बाजू आणि मधील कोन शोधा

हे स्वत:चे उदाहरण आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर

एक लहान अंतिम विभाग प्रोजेक्शनसाठी समर्पित असेल, ज्यामध्ये स्केलर उत्पादन देखील "समाविष्ट" आहे:

वेक्टरवर वेक्टरचे प्रोजेक्शन. समन्वय अक्षांवर वेक्टर प्रक्षेपण.
वेक्टर दिशा कोसाइन

सदिशांचा विचार करा आणि:

आम्ही वेक्टरला वेक्टरवर प्रक्षेपित करतो, यासाठी आम्ही व्हेक्टरच्या सुरुवातीपासून आणि शेवटपासून वगळतो लंबप्रति वेक्टर (हिरव्या ठिपके असलेल्या रेषा). कल्पना करा की प्रकाशाची किरणे वेक्टरवर लंबवत पडत आहेत. मग सेगमेंट (लाल रेषा) व्हेक्टरची "सावली" असेल. या प्रकरणात, वेक्टरवर व्हेक्टरचे प्रक्षेपण ही खंडाची LENGTH असते. म्हणजेच प्रोजेक्शन हा एक नंबर आहे.

हा NUMBER खालीलप्रमाणे दर्शविला जातो: , "मोठा वेक्टर" सदिश दर्शवतो जेप्रकल्प, "स्मॉल सबस्क्रिप्ट वेक्टर" वेक्टर दर्शवतो वरजे प्रक्षेपित आहे.

एंट्री स्वतः असे वाचते: "वेक्टर "a" चे वेक्टर "be" वर प्रक्षेपण.

व्हेक्टर "be" "खूप लहान" असल्यास काय होईल? आम्ही "be" वेक्टर असलेली सरळ रेषा काढतो. आणि व्हेक्टर "a" आधीच प्रक्षेपित केला जाईल वेक्टर "be" च्या दिशेने, फक्त - "be" वेक्टर असलेल्या सरळ रेषेवर. तीसव्या राज्यामध्ये वेक्टर "a" बाजूला ठेवल्यास तेच घडेल - तरीही ते "be" वेक्टर असलेल्या रेषेवर सहजपणे प्रक्षेपित केले जाईल.

जर कोनवेक्टर दरम्यान मसालेदार(चित्राप्रमाणे), नंतर

जर वेक्टर ऑर्थोगोनल, नंतर (प्रक्षेपण हा एक बिंदू आहे ज्याचे परिमाण शून्य मानले जातात).

जर कोनवेक्टर दरम्यान मूर्ख(आकृतीमध्ये, वेक्टरच्या बाणाची मानसिकरित्या पुनर्रचना करा), नंतर (समान लांबी, परंतु वजा चिन्हासह घेतले).

हे वेक्टर एका बिंदूपासून बाजूला ठेवा:

साहजिकच, वेक्टर हलवताना, त्याचे प्रक्षेपण बदलत नाही