शक्ती उदाहरणांसह समीकरण. उर्जा किंवा घातांकीय समीकरणे

उदाहरणे:

\ (4 ^ x = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4.8 \)
\ ((\ स्क्वाट (7)) ^ (2x + 2) -50 d सीडोट (\ वर्गमीटर (7)) ^ (एक्स) + 7 = 0 \)

घातांकीय समीकरणे कशी सोडवायची

कोणतेही घातांकीय समीकरण सोडवताना, आम्ही फॉर्म a (ए ^ (एफ (एक्स)) = ए ^ (जी (एक्स)) \) कमी करण्याचा आणि नंतर निर्देशकांच्या समानतेत संक्रमण करण्याचा प्रयत्न करतो, म्हणजेः

\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)

उदाहरणार्थ:\ (2 ^ (x + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (x + 1 = 2 \)

महत्वाचे! समान युक्तिवादानुसार अशा संक्रमणाची दोन आवश्यकता आहेत:
- संख्या डावा आणि उजवा समान असावा;
- डाव्या आणि उजवीकडे अंश "स्वच्छ" असणे आवश्यक आहे, म्हणजेच कोणतेही गुणाकार, विभाग इ. नसावेत.

उदाहरणार्थ:

\ (A ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) form) फॉर्मचे समीकरण कमी करण्यासाठी, वापरा आणि.

उदाहरण ... घातांकीय समीकरण olve (\ वर्गमीटर (२)) ^ ^ (एक्स -१) = ((\ फ्रॅक (१) ()))) ^ (२ एक्स) olve) सोडवा
उपाय:

\ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)

आम्हाला माहित आहे की \ (27 = 3 ^ 3 \). हे लक्षात घेऊन आपण समीकरण बदलू.

\ (q वर्गमीटर (3 ^ 3) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)

मूळ of (\ sqrt [n] (a) = a ^ (rac frac (1) (n)) \) च्या मालमत्तेद्वारे आम्ही प्राप्त करतो \ (\ sqrt (3 ^ 3) = ((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) \). पुढे degree ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) डिग्री गुणधर्म वापरुन, आम्ही \ (((^ ^))) ^ (\ frac (1) (2)) = 3 ^ ( 3 \ सीडीट \ फ्रॅक (1) (2)) = 3 ^ (\ फ्रॅक (3) (2)).).

\ (3 ^ (rac frac (3) (2)) d cdot 3 ^ (x-1) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)

आम्हाला हे देखील माहित आहे की \ (a ^ b a ^ c = a ^ (b + c).). हे डावीकडील बाजूस लागू केल्यावर आम्हाला मिळते: \ (3 ^ (\ frac (3) (2)) 3 ^ (x-1) = 3 ^ (rac frac (3) (2) + x-1) = 3 ^ (1.5 + x-1) = 3 ^ (x + 0.5).)

\ (3 ^ (x + 0.5) = (rac frac (1) (3)) ^ (2x) \)

आता हे लक्षात ठेवा: \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n).). हे सूत्र उलट दिशेने वापरले जाऊ शकते: \ (\ frac (1) (a ^ n) = a ^ (- n).). नंतर \ (rac frac (1) (3) = \ frac (1) (3 ^ 1) = 3 ^ (- 1).).

\ (3 ^ (x + 0.5) = (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \)

\ ((A ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) प्रॉपर्टी उजवीकडील बाजूस लागू केल्याने आम्हाला मिळते: \ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) = 3 ^ ((- - 1) 2x) = 3 ^ (- 2x).)

\ (3 ^ (x + 0.5) = 3 ^ (- 2x) \)

आणि आता आमची तळ समान आहेत आणि तेथे कोणतेही हस्तक्षेप करणारे गुणांक वगैरे नाहीत. याचा अर्थ आम्ही संक्रमण करू शकतो.

उदाहरण ... घातांकीय समीकरण olve (4 ^ (x + 0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) सोडवा
उपाय:

\ (4 ^ (x + 0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)		आम्ही पुन्हा विरुद्ध दिशेने degree (a ^ b \ cdot a ^ c = a ^ (b + c).) ची गुणधर्म वापरतो.
\ (4 ^ x 4 ^ (0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)		आता लक्षात ठेवा की \ (4 = 2 ^ 2 \).
\ ((2 ^ 2) ^ x (2 ^ 2) ^ (0.5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)		पदवी गुणधर्म वापरून, आम्ही बदलू: \ ((2 ^ 2) ^ x = 2 ^ (2x) = 2 ^ (x 2) = (2 ^ x) ^ 2 \) \ ((२ ^ २) ^ (०.)) = २ ^ (२. 0.5) = २ ^ १ = २ \)
\ (2 (2 ^ x) ^ 2-5 2 ^ x + 2 = 0 \)		आम्ही समीकरण बारकाईने पहातो आणि आम्ही पाहिले की बदली \ (टी = 2 ^ x \) सुचवते.

\ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = \ frac (1) (2) \)		तथापि, आम्हाला मूल्ये \ (t \) आढळली, परंतु आम्हाला \ (x \) आवश्यक आहे. रिव्हर्स रिप्लेसमेंट करून आम्ही एक्स मध्ये परत आलो.
\ (2 ^ x = 2 \) \ (2 ^ x = \ frac (1) (2) \)		नकारात्मक उर्जा मालमत्ता वापरून दुसर्‍या समीकरणाचे रुपांतर करा ...
\ (2 ^ x = 2 ^ 1 \) \ (2 ^ x = 2 ^ (- 1) \)		... आणि आम्ही उत्तर देण्याचे ठरवितो.
\ (x_1 = 1 \) \ (x_2 = -1 \)

उत्तर : \(-1; 1\).

प्रश्न कायम आहे - कोणती पद्धत कधी वापरायची हे कसे समजून घ्यावे? हे अनुभवाने येते. जोपर्यंत आपण त्यावर कार्य करत नाही, जटिल समस्या सोडविण्यासाठी सामान्य शिफारस वापरा - "आपल्याला काय करावे हे माहित नसल्यास, आपण जे करू शकता ते करा." म्हणजेच आपण तत्त्वानुसार समीकरणाचे रूपांतर कसे करू शकता आणि ते करण्याचा प्रयत्न करा - अचानक काय होते? मुख्य म्हणजे केवळ गणिताचे औचित्यपूर्वक बदल करणे.

निराकरणाशिवाय घातांकीय समीकरणे

चला आणखी दोन परिस्थिती पाहू या ज्या विद्यार्थ्यांना वारंवार चकित करतात:
- शक्तीची सकारात्मक संख्या शून्याइतकी असते, उदाहरणार्थ, \ (2 ^ x = 0 \);
- सकारात्मक संख्या negativeण संख्येइतकी असते, उदाहरणार्थ, \ (2 ^ x = -4.).

जबरदस्तीने सोडवण्याचा प्रयत्न करूया. जर x ही एक सकारात्मक संख्या असेल तर x जसजशी वाढेल तसतसे \ (2 ^ x \) ची संपूर्ण शक्ती वाढेल:

\ (x = 1 \); \ (२ ^ १ = २ \)
\ (x = 2 \); \ (2 ^ 2 = 4 \)
\ (x = 3 \); \ (2 ^ 3 = 8 \).

\ (x = 0 \); \ (२ ^ ० = १ \)

तसेच नकारात्मक x चे डावे आहेत. \ (A Remember (- n) = \ frac (1) (a ^ n) the) प्रॉपर्टीची आठवण करून देत आहोत:

\ (x = -1 \); \ (2 ^ (- 1) = \ frac (1) (2 ^ 1) = \ frac (1) (2) \)
\ (x = -2 \); \ (2 ^ (- 2) = \ frac (1) (2 ^ 2) = \ frac (1) (4) \)
\ (x = -3;); \ (2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (8) \)

प्रत्येक चरणात संख्या कमी होते हे तथ्य असूनही, ती कधीही शून्यावर पोहोचणार नाही. त्यामुळे नकारात्मक पदवी आम्हालाही वाचवू शकली नाही. आम्ही तार्किक निष्कर्षापर्यंत पोचलो:

एक सकारात्मक संख्या कोणत्याही प्रमाणात सकारात्मक राहील.

अशा प्रकारे, वरील दोन्ही समीकरणाला कोणतेही निराकरण नाही.

भिन्न तळांसह घातांकीय समीकरणे

सराव मध्ये, कधीकधी भिन्न तळांसह घनिष्ट समीकरणे असतात जी एकमेकासाठी कमी नसतात, आणि त्याच वेळी त्याच घटकांसह. ते यासारखे दिसतात: \ (a ^ (f (x)) = b ^ (f (x)) \), जेथे \ (a \) आणि \ (b \) सकारात्मक संख्या आहेत.

उदाहरणार्थ:

\ (7 ^ (x) = 11 ^ (x) \)
\ (5 ^ (x + 2) = 3 ^ (x + 2) \)
\ (15 ^ (2x-1) = (rac frac (1) (7)) ^ (2x-1) \)

अशा समीकरणास समीकरणाच्या कोणत्याही भागाद्वारे (सहसा उजव्या-बाजूने विभाजीत करून, \ (बी ^ (एफ (एक्स)) \) विभाजित करणे सहज सोडवता येते. आपण या मार्गाने विभाजित करू शकता, कारण सकारात्मक संख्या कोणत्याही अंशासाठी सकारात्मक असते (म्हणजेच आपण शून्याने विभाजित करत नाही). आम्हाला मिळते:

\ (\ frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \) \ (= 1 \)

उदाहरण ... घातांकीय समीकरण olve (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) olve) सोडवा
उपाय:

\ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \)		येथे आम्ही पाचला तीनमध्ये बदलू शकणार नाही किंवा त्याउलट (कमीतकमी, ते न वापरता). तर आम्ही \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) फॉर्मवर येऊ शकत नाही. या प्रकरणात, निर्देशक समान आहेत. चला समीकरण उजव्या बाजूने विभाजित करू, म्हणजे \ (3 ^ (x + 7) by) द्वारे (आम्ही हे करू शकतो कारण आपल्याला माहित आहे की तिहेरी कोणत्याही प्रकारे शून्य नाही).
\ (\ frac (5 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) \) \ (= \) \ (\ frac (3 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7) ) \)		आता आम्ही \ ((\ frac (a) (b)) ^ c = \ frac (a ^ c) (b ^ c) \) प्रॉपर्टी आठवतो आणि ती डावीकडे वरुन उलट दिशेने वापरतो. उजवीकडे, आम्ही फक्त अपूर्णांक कमी करतो.
\ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= 1 \)		असे दिसते की ते चांगले झाले नाही. परंतु पदवीची आणखी एक मालमत्ता लक्षात ठेवाः \ (अ ^ 0 = 1 \), दुसर्‍या शब्दांतः: "शून्य डिग्री मधील कोणतीही संख्या \ (1 \) च्या समतुल्य आहे". रूपांतरण देखील खरे आहे: "शून्य डिग्री पर्यंत कोणतीही संख्या दर्शविली जाऊ शकते." डाव्या बाजूला उजवीकडे तळ बनवून आपण याचा वापर करतो.
\ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= \) \ ((\ frac (5) (3)) ^ 0 \)		व्होइला! आम्ही तळांपासून मुक्त होतो.
		आम्ही उत्तर लिहितो.

उत्तर : \(-7\).

कधीकधी घातांकांची "समानता" स्पष्ट नसते, परंतु पदवीच्या गुणधर्मांचा कुशल वापर या समस्येचे निराकरण करतो.

उदाहरण ... घातांकीय समीकरण olve (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) olve) सोडवा
उपाय:

\ (7 ^ (2x-4) = (rac frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)		हे समीकरण खूपच दु: खी दिसते ... फक्त तळ समान संख्येने कमी होऊ शकत नाहीत (सात \ (\ frac (1) (3) \)) इतकेच असू शकत नाहीत, परंतु निर्देशक देखील भिन्न आहेत ... तथापि, डावे घातांक दोन घेऊ.
\ (7 ^ (2 (x-2)) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)		प्रॉपर्टी Remember ((a \ b) ing c = a ^ (b c) \) लक्षात ठेवून डावीकडून रूपांतरित करा: \ (7 ^ (2 (x-2)) = 7 ^ (2 (x-2)) = (7 ^ 2) ^ (x-2) = 49 ^ (x-2).).
\ (49 ^ (x-2) = (rac frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)		आता, नकारात्मक पदवी the (अ ^ (- एन) = \ फ्रॅक (1) (ए) ^ एन \) चे गुणधर्म आठवत आहोत, तर आम्ही उजवीकडे वरून बदलू: \ ((\ frac (1) (3)) ^ ( - x + 2) = (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) = 3 ^ (- 1 (-x + 2)) = 3 ^ (x-2) \)
\ (49 ^ (x-2) = 3 ^ (x-2) \)		हललेलुजा! निर्देशक समान झाले आहेत! आम्हाला आधीपासून परिचित असलेल्या योजनेनुसार कार्य करणे, आम्ही उत्तरापूर्वी निर्णय घेतो.

उत्तर : \(2\).

प्रथम स्तर

घातांकीय समीकरणे विस्तृत मार्गदर्शक (2019)

अहो! आज आम्ही आपल्याशी समीकरणे कशी सोडवायची याबद्दल चर्चा करू, जे दोन्ही प्राथमिक असू शकतात (आणि मला आशा आहे की हा लेख वाचल्यानंतर जवळजवळ सर्वच आपल्यासाठी असतील) आणि जे सामान्यत: "भरण्यासाठी" दिले जातात. वरवर पाहता पूर्णपणे झोपी जाणे. परंतु मी सर्वतोपरी प्रयत्न करेन जेणेकरून या प्रकारच्या समीकरणाचा सामना करताना आपण घाबरू शकणार नाही. मी यापुढे झुडुपाभोवती मारणार नाही, परंतु मी त्वरित एक छोटा रहस्य प्रकट करीन: आज आपण अभ्यास करू घातांक समीकरणे

त्यांचे निराकरण करण्याच्या मार्गांच्या विश्लेषणाकडे जाण्यापूर्वी, मी तत्काळ आपल्यासमोर प्रश्नांची एक मंडळाची रूपरेषा (त्याऐवजी लहान) देईन, ज्यास आपण या विषयावर वाद घालण्यापूर्वी धाव घ्यावी. तर, कृपया सर्वोत्तम निकालासाठी पुन्हा करा:

गुणधर्म आणि
समाधान आणि समीकरणे

पुन्हा पुन्हा? आश्चर्यकारक! तर आपल्यास हे लक्षात घेणे कठिण होणार नाही की समीकरणाचे मूळ एक संख्या आहे. मी हे कसे केले ते आपल्याला समजले आहे का? सत्य? तर पुढे सुरू ठेवूया आता मला या प्रश्नाचे उत्तर द्या, तिसरी डिग्री काय आहे? आपण निश्चितपणे बरोबर आहात: . आणि आठ म्हणजे दोनची शक्ती काय आहे? ते बरोबर आहे - तिसरा! कारण. बरं, आता आपण खालील समस्येचे निराकरण करण्याचा प्रयत्न करूया: मी एकदा स्वत: हून गुणाकार करू आणि निकाल प्राप्त करू. प्रश्न असा आहे की मी किती वेळा स्वत: ला गुणाकार केला आहे? आपण नक्कीच हे थेट तपासू शकता:

\ प्रारंभ (संरेखित करा) आणि 2 = 2 \\ आणि 2 \ सीडीट 2 = 4 \\ & 2 \ सीडीट 2 \ सीडीट 2 = 8 \\ & 2 \ सीडीट 2 \ सीडीट 2 \ सीडीट 2 = 16 \\ \ एंड ( संरेखित करा)

मग मी असा निष्कर्ष काढू शकतो की मी स्वत: हून अनेक वेळा वाढलो आहे. आपण आणखी कसे तपासू शकता? आणि हे कसे आहेः थेट पदवी परिभाषानुसार:. परंतु, आपण कबूल केलेच पाहिजे की, दोन वेळा स्वत: ची मिळविण्यासाठी किती वेळा वाढ करावी हे मी विचारले तर तुम्ही मला सांगा: मी स्वतःला मूर्ख बनवणार नाही आणि मी चेहरा निळा होईपर्यंत स्वत: ला गुणाकार करणार नाही. आणि तो अगदी बरोबर असेल. कारण आपण कसे करू शकता सर्व क्रिया थोडक्यात लिहा(आणि ब्रविटी ही प्रतिभाची बहीण आहे)

कुठे - हे अगदी आहेत "टाइम्स"जेव्हा आपण स्वतःच गुणाकार करता.

मला वाटते की आपण जाणता (आणि जर आपल्याला माहित नसेल तर, तातडीने, तातडीने डिग्री पुन्हा करा!) तर मग माझी समस्या फॉर्ममध्ये लिहिली जाईल:

आपण कुठे एक संपूर्ण न्याय्य निष्कर्ष काढू शकता की:

तर, अवचितपणे, मी सर्वात सोपा लिहिले घातांकीय समीकरण:

आणि अगदी तो सापडला मूळ... आपणास असे वाटत नाही की सर्व काही पूर्णपणे क्षुल्लक आहे? म्हणून मी तसाच विचार करतो. आपल्यासाठी आणखी एक उदाहरण येथे आहेः

पण काय करायचे आहे? आपण (वाजवी) संख्येची शक्ती म्हणून हे लिहू शकत नाही. चला निराश होऊ नका आणि हे लक्षात घ्या की या दोन्ही संख्या समान संख्येच्या सामर्थ्यानुसार परिपूर्णपणे व्यक्त केल्या आहेत. कोणता? बरोबर:. मग मूळ समीकरण रूपात रूपांतरित होते:

कोठे, जसे आपण आधीच समजले आहे. चला आता खेचून लिहू नये व्याख्या:

आमच्या बाबतीत:.

ही समीकरणे त्या फॉर्ममध्ये कमी करून सोडविली जातात:

समीकरणाच्या त्यानंतरच्या सोल्यूशनसह

आम्ही, वस्तुतः मागील उदाहरणात हे केले: आम्हाला ते मिळाले. आणि आम्ही आपल्यासह सर्वात सोपा समीकरण निराकरण केले.

हे काहीही गुंतागुंतीचे दिसत आहे ना? प्रथम सर्वात सोपा सराव करूया. उदाहरणे:

आम्ही पुन्हा पाहुया की समीकरणाच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूंना एका संख्येची शक्ती म्हणून प्रस्तुत करणे आवश्यक आहे. हे खरे आहे की हे डाव्या बाजूला केले गेले आहे, परंतु उजवीकडे एक संख्या आहे. परंतु, हे ठीक आहे, कारण माझे समीकरण यामध्ये चमत्कारीकरित्या रूपांतरित होईल:

मला येथे काय वापरायचे होते? नियम काय आहे? पदवी पदवी नियमजे वाचलेः

काय तर:

या प्रश्नाचे उत्तर देण्यापूर्वी, आपण खालील प्लेट भरू:

आपल्याकडे हे लक्षात घेणे कठिण नाही की लहान, कमी मूल्य, परंतु असे असले तरी, ही सर्व मूल्ये शून्यापेक्षा मोठी आहेत. आणि हे नेहमीच राहील !!! समान मालमत्ता कोणत्याही निर्देशकासह कोणत्याही बेससाठी सत्य आहे !! (कोणत्याही आणि साठी). मग समीकरणाबद्दल आपण काय निष्कर्ष काढू शकतो? आणि हे येथे आहे: ते मुळे नाहीत! ज्याचे मूळ नाही आणि कोणतेही समीकरण नाही. आता सराव करू आणि चला सोपी उदाहरणे सोडवू:

चला तपासू:

1. आपल्याकडून येथे काही आवश्यक नाही, डिग्रीच्या गुणधर्मांच्या माहितीशिवाय (जे, मी तुम्हाला पुन्हा सांगायला सांगितले!) नियमानुसार, सर्व काही कमीतकमी कारण ठरवते:,. नंतर मूळ समीकरण खालील प्रमाणे असेल: मला फक्त डिग्रीचे गुणधर्म वापरण्याची आवश्यकता आहे: जेव्हा समान तळांसह संख्या गुणाकार करते तेव्हा शक्ती जोडल्या जातात आणि विभाजित केल्यावर त्या वजा केल्या जातात.मग मी मिळवितो: ठीक आहे, आता, स्पष्ट विवेकबुद्धीने, मी घातांकीय समीकरणातून रेषाप्रमाणे हलवू: \ आरंभ (संरेखित)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5
& x = 0. \\
\ समाप्त (संरेखित)

२. दुसर्‍या उदाहरणात, आपल्याला अधिक सावधगिरी बाळगण्याची आवश्यकता आहे: समस्या अशी आहे की डाव्या बाजूला आम्ही समान संख्येच्या सामर्थ्याच्या रूपात ते सादर करू शकणार नाही. या प्रकरणात, हे कधीकधी उपयुक्त ठरते भिन्न तळांसह डिग्रीचे उत्पादन म्हणून संख्या दर्शवा, परंतु समान संकेतकः

समीकरणाच्या डाव्या बाजूला रूप घेईल: याने आम्हाला काय दिले? हे काय आहेः वेगवेगळ्या तळांसह संख्या, परंतु समान निर्देशक गुणाकार होऊ शकतात.या प्रकरणात, तळ गुणाकार आहेत, आणि निर्देशक बदलत नाही:

माझ्या परिस्थितीवर लागू, हे देईल:

मी सुरू (संरेखित)
& 4 \ सीडीट ((64) ^ (x)) ((25) ^ (एक्स)) = 6400, \\
& 4 \ सीडीट (((64 \ सीडीट 25)) ^ (एक्स)) = 6400, \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4), \\
आणि ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\ समाप्त (संरेखित)

वाईट नाही, बरोबर?

Unnecess. मला हे आवडत नाही जेव्हा अनावश्यकपणे समीकरणाच्या एका बाजूला दोन संज्ञा असतात आणि दुसर्‍या बाजूला - काहीही नाही (कधीकधी अर्थातच हे न्याय्य आहे, परंतु आता तसे नाही). वजाची मुदत उजवीकडे हलवा:

आता, पूर्वीप्रमाणेच, मी तिहेरीच्या सामर्थ्यानुसार सर्व काही लिहीन:

डावीकडे शक्ती जोडा आणि समकक्ष समीकरण मिळवा

आपण त्याचे मूळ सहज शोधू शकता:

Example. उदाहरणार्थ तीन प्रमाणे, वजासह संज्ञा ही उजवीकडील जागा आहे!

डावीकडे, मी वगळता जवळजवळ सर्व ठीक आहे? होय, ड्युसमधील "चुकीची डिग्री" मला त्रास देते. पण मी सहज लिहून हे सोडवू शकतो:. युरेका - डाव्या बाजूला, सर्व तळ वेगवेगळे आहेत, परंतु सर्व अंश समान आहेत! तातडीने गुणाकार करा!

येथे पुन्हा सर्व काही स्पष्ट आहे: (शेवटची समानता मला किती जादूने मिळाली हे आपल्यास समजले नसते तर, एक मिनिट थांबा, थोडा ब्रेक घ्या आणि पुन्हा पदवीचे गुणधर्म खूप काळजीपूर्वक वाचा. कोण असे म्हणाले की आपण पदवी वगळू शकता एक नकारात्मक घातांक? ठीक आहे, मी येथे आहे कोणीही नाही). आता मला मिळेल:

मी सुरू (संरेखित)
& ((2) ^ (4 \ डावीकडे ((x) -9 \ उजवीकडे))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((x) -9) = - 1
& x = rac frac (35) (4). \\
\ समाप्त (संरेखित)

प्रशिक्षणाची कार्ये येथे आहेत, ज्यात मी केवळ उत्तरे देईन (परंतु "मिश्रित" स्वरूपात). त्यांना खाली करा, त्यांना तपासा आणि आपण आणि मी आमचे संशोधन चालू ठेवू!

तयार? उत्तरेया प्रमाणे:

कोणतीही संख्या

ठीक आहे, ठीक आहे, मी विनोद करीत आहे! समाधानाची रूपरेषा येथे आहे (काही फारच लहान आहेत!)

आपल्यास असे वाटत नाही की डाव्या बाजूला एक अपूर्णांक "उलटा" दुसरा आहे हा योगायोग नाही? याचा गैरफायदा घेतला नाही तर पाप होईल:

घातांकीय समीकरणे सोडवताना हा नियम वापरला जातो, तो चांगला लक्षात ठेवा!

मग मूळ समीकरण असे असेलः

हे चतुर्भुज समीकरण सोडवून आपल्याला खालील मुळे मिळतात:

२. आणखी एक निराकरणः समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना डावीकडे (किंवा उजवीकडे) अभिव्यक्तीद्वारे विभाजित करणे. मी जे उजवीकडे आहे त्याद्वारे विभाजित करतो, नंतर मला मिळेल:

कुठे (का?!)

3. मला स्वत: ची पुनरावृत्ती करण्याची देखील इच्छा नाही, सर्व काही आधीच खूप "चबावलेले" आहे.

E. चौरस समीकरण, मुळे समान

You. आपणास प्रथम समस्येमध्ये दिलेला फॉर्म्युला वापरण्याची आवश्यकता आहे, त्यानंतर आपल्याला ते मिळेलः

हे समीकरण क्षुल्लक ओळख बनले आहे, जे कोणालाही खरे आहे. मग उत्तर कोणतीही वास्तविक संख्या आहे.

ठीक आहे, म्हणून आपण सोडविण्याचा सराव केला आहे सर्वात सोपी घातांकीय समीकरणे.आता मला तुम्हाला काही जीवनाची उदाहरणे द्यायची आहेत जी तत्त्वतेत का आवश्यक आहेत हे समजून घेण्यात मदत करतील. मी येथे दोन उदाहरणे देईन. त्यापैकी एक जोरदार दररोज आहे, परंतु दुसरा व्यावहारिक स्वारस्यापेक्षा वैज्ञानिक असण्याची शक्यता जास्त आहे.

उदाहरण 1 (व्यापारी)समजा तुमच्याकडे रुबल आहेत आणि तुम्हाला ते रुबलमध्ये बदलायचे आहे. बँक आपल्याला दरमहा व्याज (भांडवली जमा) व्याजदरासह वार्षिक दराने हे पैसे घेण्याची ऑफर देते. प्रश्न असा आहे की आवश्यक अंतिम रक्कम जमा करण्यासाठी आपल्याला किती महिने ठेवीची आवश्यकता आहे? खूपच सांसारिक कार्य, नाही का? तथापि, त्याचे समाधान संबंधित घातांकीय समीकरण तयार करण्याशी संबंधित आहेः चला - प्रारंभिक रक्कम, अंतिम रक्कम - कालावधीसाठी व्याज दर - पूर्णविरामांची संख्या. नंतरः

आमच्या बाबतीत (दर वर्षाकाठी दर असल्यास, तो दरमहा आकारला जातो). त्याचे विभाजन का केले आहे? आपल्याला या प्रश्नाचे उत्तर माहित नसल्यास "" हा विषय लक्षात ठेवा! मग आम्हाला खालील समीकरण मिळेल:

हे घातांकीय समीकरण आधीपासूनच केवळ कॅल्क्युलेटरच्या मदतीने निराकरण केले जाऊ शकते (त्याचे स्वरूप याकडे इशारा देते, आणि यासाठी आम्हाला लॉगॅरिथमचे ज्ञान आवश्यक आहे, जे आपण थोड्या काळाने परिचित करू.), मी असे करीन: दहा लाख मिळवा, आम्हाला एका महिन्यासाठी योगदान देण्याची आवश्यकता आहे (खूप वेगवान नाही, बरोबर?)

उदाहरण 2 (अधिक वैज्ञानिक)त्याच्या असूनही, काही "अलगाव" असूनही, मी शिफारस करतो की आपण त्याच्याकडे लक्ष द्यावे: तो नियमितपणे "परीक्षेत घसरतो!" (समस्या "वास्तविक" आवृत्तीतून घेतली गेली आहे) किरणोत्सर्गी समस्थानिकेच्या क्षय दरम्यान, त्याचे प्रमाण कायद्यानुसार कमी होते, जिथे (मिग्रॅ) समस्थानिकेचा प्रारंभिक वस्तुमान असतो, (मिनिट) हा वेळ निघून गेला प्रारंभिक क्षण, (मि.) अर्धा जीवन आहे. वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी, समस्थानिकेचा वस्तुमान मिग्रॅ आहे. त्याचे अर्धे आयुष्य किमान आहे. किती मिनिटांत समस्थानिकेचा वस्तुमान मिलिग्राम इतका असेल? हे ठीक आहे: आम्ही फक्त आमच्यासाठी प्रस्तावित केलेल्या सूत्रामधील सर्व डेटा घेतो आणि त्याऐवजी बदलतो:

दोन्ही भागांमध्ये "आशेने" विभाजित करा की डावीकडे आपल्याला पचण्याजोगे काहीतरी मिळेल:

बरं, आम्ही खूप भाग्यवान आहोत! हे डावीकडे उभे आहे, मग आपण समकक्ष समीकरणाकडे वळलो:

कुठे आहे मि.

जसे आपण पाहू शकता, घातांकीय समीकरणे प्रत्यक्ष व्यवहारात आहेत. आता मी आपल्याबरोबर घातांकीय समीकरणे सोडवण्याचा आणखी एक (सोपा) मार्ग सांगू इच्छितो, जे सामान्य घटक घटकांच्या कंसातून बाहेर काढून अटींचे गटबद्ध करणे यावर आधारित आहे. माझ्या बोलण्याने घाबरू नका, आपण बहुपत्नीय अभ्यासाचा अभ्यास करता तेव्हा आपल्याला 7 व्या इयत्तेत आधीपासूनच या पद्धतीचा सामना करावा लागला होता. उदाहरणार्थ, आपल्याला अभिव्यक्तीवर घटक बनवण्याची आवश्यकता असल्यास:

चला यास गटबद्ध करूः पहिल्या आणि तिसर्‍या अटी तसेच दुसरे आणि चौथे. हे स्पष्ट आहे की प्रथम आणि तिसरा वर्गांचा फरक आहे:

आणि दुसर्‍या आणि चौथ्यामध्ये तीन घटक आहेत:

मग मूळ अभिव्यक्ती या समतुल्य आहेः

सामान्य घटक कोठून आणणे यापुढे अवघड नाही:

परिणामी,

घातांक समीकरणे सोडवताना आपण कसे कार्य करू याः पदांमधील "समानता" पहा आणि त्यास कंसात ठेवू - मग काय होऊ शकते, माझा विश्वास आहे की आपण भाग्यवान आहोत =)) उदाहरणार्थः

उजवीकडे सात च्या उर्जापासून दूर आहे (मी तपासले!) आणि डावीकडे - जरा चांगले, आपण अर्थातच, सेकंदातील घटक एक "कापून" टाकू शकता आणि नंतर निकालास सामोरे जाऊ शकता, परंतु चला आपल्याबरोबर हे अधिक संवेदनशीलतेने करा. मी अपूर्णांकांशी व्यवहार करू इच्छित नाही, जे अपरिहार्यपणे "हायलाइटिंग" पासून येते, म्हणून मी सहन करणे चांगले नाही काय? मग माझ्याकडे भाग नाहीत: जसे ते म्हणतात, लांडगे भरतात आणि मेंढ्या सुरक्षित असतात:

कंसात अभिव्यक्ती मोजा. जादुई, जादुई मार्गाने हे दिसून येते की (आश्चर्यकारक म्हणजे आम्ही आणखी काय अपेक्षा करू शकतो?).

तर आपण या घटकाद्वारे समीकरणाच्या दोन्ही बाजू रद्द करू. आम्ही मिळवतो:, कोठून.

येथे एक अधिक गुंतागुंतीचे उदाहरण आहे (बरेचसे, खरोखर):

काय त्रास! आमच्याकडे येथे एक समान मैदान नाही! आता काय करावे हे पूर्णपणे स्पष्ट नाही. आपण जे करू शकतो ते करूया: प्रथम, "चौकार" एका बाजूला आणि दुसर्‍या बाजूला "फाइव्हस" हलवू.

आता "सामान्य" डावीकडे आणि उजवीकडे हलवू:

आता काय? अशा मूर्ख गटाचा काय फायदा? पहिल्या दृष्टीक्षेपात, ते मुळीच दिसत नाही, परंतु सखोल नजर टाकूयाः

ठीक आहे, आता हे बनवू जेणेकरून आपल्याकडे डावीकडील आणि उजवीकडे - इतर सर्व काहीच आहे. आम्ही हे कसे करू? आणि हे कसे आहेः समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना प्रथम विभाजित करा (या मार्गाने आपण उजवीकडील पदवी काढून टाकू) आणि नंतर दोन्ही बाजूंनी विभाजित करा (अशा प्रकारे डावीकडील अंकीय घटकांपासून मुक्त होऊ). आम्हाला शेवटी मिळते:

अविश्वसनीय! डावीकडे आपल्याकडे अभिव्यक्ती आहे आणि उजवीकडे आपल्याकडे एक साधेपणा आहे. मग आम्ही त्वरित असा निष्कर्ष काढतो

आपल्यास एकत्रित करण्यासाठी आणखी एक उदाहरण येथे आहेः

मी त्याचे छोटेसे समाधान (स्पष्टीकरण देऊन जास्त त्रास न देता) देईन, स्वत: हून सोल्युशनच्या सर्व "सूक्ष्मता" शोधण्याचा प्रयत्न करा.

आता उत्तीर्ण झालेल्या साहित्याचे अंतिम एकत्रीकरण. खालील समस्या स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा. मी केवळ त्यांना सोडविण्यासाठी संक्षिप्त शिफारसी आणि सूचना देईन:

चला कंसातील सामान्य घटक घेऊ:
आम्ही फॉर्ममधील प्रथम अभिव्यक्ती दर्शवितो:, दोन्ही भागांमध्ये विभागून ते मिळवा
, नंतर मूळ समीकरण फॉर्ममध्ये रूपांतरित झाले: ठीक आहे, आता एक इशारा - पहा आपण आणि मी आधीच हे समीकरण कोठे सोडविले आहे!
कसे, कसे, आणि कसे चांगले आहे याची कल्पना करा, त्यानंतर दोन्ही भाग विभाजित करा, जेणेकरून आपल्याला सर्वात सोपा घातांकीय समीकरण मिळेल.
कंसातून बाहेर काढा.
कंसातून बाहेर काढा.

अभिव्यक्ती मूल्यांकन सरासरी स्तर

मी असे समजले की पहिला लेख वाचल्यानंतर घातांकीय समीकरणे कोणती आहेत आणि ती कशी सोडवायची, सर्वात सोपी उदाहरणे सोडविण्यासाठी आपण आवश्यक किमान ज्ञान प्राप्त केले आहे.

आता मी घातांक समीकरणे सोडवण्याच्या दुसर्‍या पध्दतीचे विश्लेषण करीन

"नवीन व्हेरिएबल आणण्याची पद्धत" (किंवा बदलण्याची शक्यता)तो घातांक समीकरणे (आणि केवळ समीकरणच नाही) या विषयावरील बर्‍याच "कठीण" समस्या सोडवतो. ही पद्धत सराव मध्ये वारंवार वापरली जाणारी एक आहे. प्रथम, मी शिफारस करतो की आपण स्वतःला या विषयाशी परिचित करा.

जसे की आपण आधीच नावावरून समजले आहे, या पद्धतीचा सार म्हणजे परिवर्तनशील अशा बदलाची ओळख करुन देणे जे आपणास सहजपणे सोडवता येण्यासारखे आपले घातांकीय समीकरण चमत्कारीकरित्या रूपांतरित होते. हे अगदी "सरलीकृत समीकरण" सोडल्यानंतर आपल्यासाठी जे काही शिल्लक आहे ते म्हणजे "रिव्हर्स रिप्लेसमेंट" करणे: म्हणजे बदललेल्या जागेवर परत जाणे. अगदी आत्ता अगदी सोप्या उदाहरणासह आपण काय बोललो ते समजावून सांगा:

उदाहरण 1:

हे समीकरण "साधे पर्याय" वापरुन सोडविले जाते कारण गणितज्ञ त्यास अपमानास्पद म्हणतात. खरोखर, येथे पुनर्स्थित सर्वात स्पष्ट आहे. एक फक्त ते पहावे लागेल

मग मूळ समीकरण यात बदलेलः

आम्ही याव्यतिरिक्त ते कसे सादर केले तर मग त्यास पुनर्स्थित करणे आवश्यक आहे हे अगदी स्पष्ट आहे: नक्कीच ,. मग मूळ समीकरण कशामध्ये रूपांतरित होईल? आणि हे काय आहेः

आपणास त्याची मुळे सहज सापडतील:. आता आपण काय करावे? मूळ चल वर परत जाण्याची वेळ आली आहे. मी काय दर्शविणे विसरलो? म्हणजेः जेव्हा एका विशिष्ट पदवीला नवीन व्हेरिएबलने बदलणे (म्हणजे दृश्य बदलताना) असेल तेव्हा मला त्यात रस असेल फक्त सकारात्मक मुळे!आपण स्वतःच का सहज उत्तर देऊ शकता. अशा प्रकारे, आपल्याला आणि मला स्वारस्य नाही, परंतु दुसरा मूळ आमच्यासाठी योग्य आहेः

मग कुठे.

उत्तरः

आपण पाहू शकता की मागील उदाहरणात बदली आमचे हात विचारत होती. दुर्दैवाने, नेहमीच असे होत नाही. तथापि, आपण थेट दु: खी कडे जाऊ नये, तर बर्‍यापैकी सोप्या बदलीसह आणखी एका उदाहरणासह सराव करूया

उदाहरण 2.

हे स्पष्ट आहे की बहुधा ते बदलणे आवश्यक असेल (हे आमच्या समीकरणात समाविष्ट असलेल्या पद्यांपैकी सर्वात लहान आहे) तथापि, बदलीचा परिचय देण्यापूर्वी आपले समीकरण त्यासाठी तयार केले जाणे आवश्यक आहे, म्हणजेः,. मग आपण त्यास बदलू शकता, परिणामी मला खालील अभिव्यक्ती मिळेल:

ओहो भयपट: त्याच्या निराकरणासाठी पूर्णपणे विलक्षण सूत्रांसह एक क्यूबिक समीकरण (चांगले, सामान्य शब्दांत बोलणे). पण आपण आता निराश होऊ नका, तर काय करावे याचा विचार करूया. मी फसवणूकीचा प्रस्ताव देईनः आम्हाला माहित आहे की “छान” उत्तर मिळविण्यासाठी आम्हाला तिहेरी शक्ती (ते असे का असेल?) स्वरूपात मिळवणे आवश्यक आहे. चला आपल्या समीकरणाच्या कमीतकमी एका मुळाचा अंदाज लावण्याचा प्रयत्न करू (मी तिन्ही शक्तींनी अंदाज लावू शकेन).

प्रथम धारणा. ते मूळ नाही. काश आणि अहो ...

.
डावी बाजू समान आहे.
उजवा भाग:!
तेथे आहे! आपण पहिल्या रूटचा अंदाज लावला आहे. आता गोष्टी सुलभ होतील!

“कोपरा” विभाग योजनेबद्दल तुम्हाला माहिती आहे काय? जेव्हा आपण एका संख्येस दुसर्या भागाकार करता तेव्हा आपण हे वापरता हे आपल्याला नक्कीच माहित आहे. परंतु बहुतेक लोकांना हे माहित आहे की बहुपदी देखील हे करता येते. एक महान प्रमेय आहे:

माझ्या परिस्थितीवर लागू, हे मला सांगते की कोणत्याद्वारे भाग घेता येईल. विभागणी कशी केली जाते? ते असेः

पुढे काय आहे हे स्पष्टपणे मिळविण्यासाठी मला कोणत्या मोनोमीयलची गुणाकार करावी लागेल हे पहा:

येथून परिणामी अभिव्यक्ती वजा करा, मिळवा:

आता मला मिळविण्यासाठी काय गुणाकार करणे आवश्यक आहे? हे स्पष्ट आहे की, नंतर मला मिळेल:

आणि उर्वरित एकावरून परिणामी अभिव्यक्ती पुन्हा वजा:

ठीक आहे, शेवटची पायरी, मी गुणाकार करीन आणि उर्वरित अभिव्यक्ती वजा करेल:

हुर्रे, विभाग संपला! आम्ही खाजगीत काय वाचवले? आपोआप: .

मग आम्हाला मूळ बहुपत्नीचे खालील अपघटन झाले:

दुसरे समीकरण सोडवू:

त्याची मुळे आहेत:

मग मूळ समीकरणः

तीन मुळे आहेत:

शून्यापेक्षा कमी असल्यामुळे आम्ही शेवटचे मूळ टाकून देऊ. आणि रिव्हर्स रिप्लेसमेंट नंतरची पहिली दोन आपल्याला दोन मुळे देईल:

उत्तरः ..

मला या उदाहरणाने घाबरायचं नाही, पण आमचे ध्येय हे दर्शविणे होते की आमच्याकडे अगदी सोपी जागा झाली असली तरी, त्याऐवजी एक जटिल समीकरण घडले, ज्याच्या निराकरणातून आमच्याकडून काही खास कौशल्ये आवश्यक आहेत. बरं, यापासून कोणीही रोगप्रतिकारक नाही. पण या प्रकरणात बदलण्याची शक्यता अगदी स्पष्ट होती.

थोडी कमी स्पष्ट पुनर्स्थापनेसह येथे एक उदाहरणः

आपण काय करावे हे अजिबात स्पष्ट नाही: समस्या अशी आहे की आपल्या समीकरणात दोन भिन्न तळ आहेत आणि एक आधार दुसर्‍याकडून कोणत्याही (वाजवी, नैसर्गिकरित्या) डिग्री वाढवून मिळवता येत नाही. तथापि, आपण काय पाहतो? दोन्ही तळ केवळ चिन्हामध्ये भिन्न असतात आणि त्यांचे उत्पादन म्हणजे चौकोनी तुलनेत फरक:

व्याख्या:

अशा प्रकारे आपल्या उदाहरणामधील तळ संख्या संयुग्म आहेत.

या प्रकरणात, एक स्मार्ट हलवा होईल समीक्षेच्या दोन्ही बाजूंना संयुग्म संख्येने गुणाकार करा.

उदाहरणार्थ, नंतर, नंतर समीकरणाची डावी बाजू समान आणि उजवी होईल. जर आपण एखादा बदल केला तर आपल्याबरोबरचे आपले मूळ समीकरण असे होतेः

नंतर त्याची मुळे, आणि ती लक्षात ठेवून, आम्हाला ते मिळते.

उत्तर:,.

नियमानुसार, बहुतेक "शाळा" घातांक समीकरणे सोडविण्यासाठी बदलण्याची पद्धत पुरेसे आहे. परीक्षा सी 1 (अडचणीच्या प्रगत पातळी) मधून पुढील कार्ये घेतली आहेत. आपण या उदाहरणे स्वतंत्रपणे सोडविण्यास आधीच सक्षम आहात. मी फक्त आवश्यक बदल देईन.

समीकरण सोडवा:
समीकरणाचे मूळ शोधा:
समीकरण सोडवा:. विभागाशी संबंधित या समीकरणातील सर्व मूळ शोधा:

आणि आता एक लहान स्पष्टीकरण आणि उत्तरेः

आमच्याकडे हे लक्षात घेणे पुरेसे आहे आणि. नंतर मूळ समीकरण यास समतुल्य असेलः पुढील समीकरणे त्यास बदलून हे समीकरण सोडविले जाईल. शेवटी, आपले कार्य सर्वात सोपा त्रिकोणमितीय (साइन किंवा कोसाइनवर अवलंबून) सोडवण्यासाठी कमी होईल. आम्ही इतर विभागांमधील अशा उदाहरणांच्या समाधानाचे विश्लेषण करू.
येथे आपण प्रतिस्थापनाशिवाय देखील करू शकता: वजाबाकी उजवीकडे हलविणे आणि दोन बेसचे प्रतिनिधित्व करणे दोन च्या शक्तींनी पुरेसे आहे:, आणि नंतर थेट चतुर्भुज समीकरणाकडे जा.
तिसरे समीकरण देखील बर्‍यापैकी प्रमाणित पद्धतीने सोडविले जाते: कसे ते कसे पाहूया. तर त्याऐवजी आपल्याला चतुर्भुज समीकरण मिळेल: तर,
लॉगरिदम म्हणजे काय हे आपणास आधीच माहित आहे काय? नाही? मग विषय तातडीने वाचा!

प्रथम रूट, अर्थातच विभागातील नाही आणि दुसरे म्हणजे समजण्यासारखे नाही! पण आम्ही लवकरच शोधून काढू! तेव्हापासून (ही लॉगेरिदमची संपत्ती आहे!) तुलना करा:

दोन्ही भागांमधून वजा करा, मग आम्हाला मिळेल:

डाव्या बाजूचे प्रतिनिधित्व केले जाऊ शकते:

याद्वारे दोन्ही भाग गुणाकार करा:

त्यानंतर गुणाकार केला जाऊ शकतो

मग तुलना करूयाः

तेंव्हापासून:

मग दुसरा मूळ आवश्यक अंतराचा आहे

उत्तरः

जसे आपण पहात आहात, घातांकीय समीकरणाच्या मुळांच्या निवडीसाठी लॉगरिदमच्या गुणधर्मांचे पुरेसे सखोल ज्ञान आवश्यक आहेम्हणून घातांशी समीकरणे सोडवित असताना शक्य तितक्या काळजी घेण्याचा सल्ला मी तुम्हाला देतो. जसे आपण कल्पना करू शकता, गणितामध्ये सर्व काही एकमेकांशी जोडलेले आहे! जसे माझे गणित शिक्षक म्हणायचे: "इतिहासाप्रमाणे गणित, आपण रात्रभर वाचू शकत नाही."

एक नियम म्हणून, सर्व समस्येचे निराकरण करण्यात अडचण म्हणजे सी 1 च्या समीकरणाच्या मुळांची निवड करणे.चला आणखी एका उदाहरणासह सराव करू:

हे स्पष्ट आहे की समीकरण स्वतःच सोडवणे खूप सोपे आहे. प्रतिस्थापन करून, आम्ही आमचे मूळ समीकरण खाली कमी करू:

प्रथम, प्रथम मूळ पाहू. तुलना करा आणि: तेव्हापासून. (येथे लॉगॅरिथमिक फंक्शनची मालमत्ता). मग हे स्पष्ट आहे की पहिली मूळ एकतर आमच्या अंतराशी संबंधित नाही. आता दुसरा मूळ:. हे स्पष्ट आहे की (कारण कार्य वाढत आहे). याची तुलना करणे बाकी आहे.

तेव्हापासून, त्याच वेळी. अशा प्रकारे मी आणि दरम्यान "पेग चालवू शकतो". हा पेग एक नंबर आहे. पहिली अभिव्यक्ती लहान आणि दुसरी मोठी आहे. मग दुसरी अभिव्यक्ती पहिल्यापेक्षा मोठी आहे आणि मूळ मध्यंतरातील आहे.

उत्तरः.

गुंडाळण्यासाठी, समीकरणाचे आणखी एक उदाहरण पाहू या जेथे बदली अगदी अ-प्रमाणित आहे:

आपण काय करू शकता आणि काय सह त्वरित प्रारंभ करू या - तत्वत :, आपण हे करू शकता, परंतु ते न करणे चांगले. आपण - तीन, दोन आणि सहा च्या सामर्थ्याद्वारे प्रत्येक गोष्टीचे प्रतिनिधित्व करू शकता. ते कोठे नेले जाते? होय, यामुळे काहीही होणार नाही: पदवी एक हॉजपॉज आणि काहीजणांना यातून मुक्त होणे कठीण होईल. आणि मग काय आवश्यक आहे? चला लक्षात घेऊया आणि हे आपल्याला काय देईल? आणि खरं की या उदाहरणाचे निराकरण अगदी सोप्या एक्स्पॉन्शियियल समीकरणाच्या समाधानापर्यंत कमी करता येईल! प्रथम हे समीकरण पुन्हा लिहा:

आता आम्ही परिणामी समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी याद्वारे विभाजित करू:

युरेका! आता आम्ही बदलू शकतो, आम्हाला मिळेल:

ठीक आहे, आता निदर्शकांच्या समस्येचे निराकरण करण्याची आपली पाळी आहे, आणि मी त्यांना केवळ थोडक्यात टिप्पण्या देईन जेणेकरून तुम्ही चुकीच्या मार्गाने जाऊ नये! शुभेच्छा!

1. सर्वात कठीण! येथे बदलणे शोधणे सोपे नाही! परंतु असे असले तरी हे उदाहरण मदतीने पूर्णपणे सोडण्यायोग्य आहे पूर्ण चौरस निवड... त्याचे निराकरण करण्यासाठी, हे लक्षात घेणे पुरेसे आहे:

नंतर आपल्यासाठी येथे एक बदली आहे:

(कृपया लक्षात घ्या की येथे आमच्या बदली दरम्यान आम्ही नकारात्मक मुळे टाकू शकत नाही !!! आणि आपण का विचारता?)

आता उदाहरण सोडवण्यासाठी तुम्हाला दोन समीकरणे सोडवावी लागतील.

त्या दोघांचे निराकरण "प्रमाणित बदली" (परंतु एका उदाहरणातले दुसरे!) द्वारे केले जाते

२. त्याकडे लक्ष द्या आणि बदली करा.

3. संख्या कॉपीराइम घटकांमध्ये विघटित करा आणि परिणामी अभिव्यक्ती सुलभ करा.

The. (किंवा जर आपण प्राधान्य देत असाल तर) अंशांचा अंश आणि विभाजक विभाजित करा किंवा पुनर्स्थित करा किंवा.

Note. लक्षात घ्या की संख्या आणि संयुग्म आहेत.

अभिव्यक्ती मूल्यांकन उन्नत स्तर

याव्यतिरिक्त, चला आणखी एक मार्ग विचारात घेऊ - लॉगरिदम पद्धतीद्वारे घातांक समीकरणे सोडवणे... मी म्हणू शकत नाही की या पद्धतीद्वारे घातांकीय समीकरणे सोडवणे खूप लोकप्रिय आहे, परंतु काही बाबतीत केवळ तेच आपल्या समीकरणाच्या अचूक निराकरणाकडे नेण्यास सक्षम आहे. हे सहसा तथाकथित सोडविण्यासाठी वापरले जाते " मिश्रित समीकरणे": म्हणजेच, जेथे वेगवेगळ्या प्रकारचे कार्य पूर्ण होतात.

उदाहरणार्थ, फॉर्मचे समीकरणः

सामान्य प्रकरणात, हे केवळ दोन्ही बाजूंचे लॉगॅरिथम (उदाहरणार्थ बेसद्वारे) घेऊनच सोडविले जाऊ शकते, ज्यामध्ये मूळ समीकरण खालील प्रकारे बदलते:

चला खालील उदाहरणावर विचार करूया:

हे स्पष्ट आहे की लॉगेरिथमिक फंक्शनच्या ओडीझेडनुसार आम्हाला केवळ रस आहे. तथापि, हे केवळ लॉजिरिथमच्या ओडीझेडपासूनच नाही तर दुसर्‍या कारणास्तव देखील होते. मला वाटते की आपण कोणता अंदाज लावणे कठीण होणार नाही.

आपल्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजू बेस वर लॉग इन करू.

आपण पहातच आहात की, आमच्या मूळ समीकरणातील त्वरेने लॉगॅरिथ्म घेतल्याने आम्हाला अचूक (आणि सुंदर!) उत्तर मिळाले. चला आणखी एका उदाहरणासह सराव करू:

येथे देखील काहीही चूक नाही: आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी आधारानुसार लॉगरिथ्म करतो, नंतर आपल्याला मिळते:

चला बदली करुः

तथापि, आम्ही काहीतरी गमावत आहोत! मी कुठे चुकलो हे तुमच्या लक्षात आले आहे का? तथापि, नंतरः

जे आवश्यकता पूर्ण करीत नाही (विचार कोठून आला आहे!)

उत्तरः

खाली घातक समीकरणांचे निराकरण लिहून घेण्यासाठी स्वतःला प्रयत्न करा:

आता या विरुद्ध आपला निर्णय तपासा:

1. दोन्ही बाजूंनी लोगारिदम, हे लक्षात घेऊन:

(पुनर्स्थापनेमुळे दुसरा मूळ आमच्यास अनुकूल नाही)

२. आम्ही बेसवर लॉगरिथमः

चला परिणामी अभिव्यक्ती खालील रूपात बदलू:

अभिव्यक्ती मूल्यांकन संक्षिप्त वर्णन आणि मूलभूत फॉर्म्युला

घातांकीय समीकरण

फॉर्मचे समीकरणः

म्हणतात सर्वात सोपा घातांकीय समीकरण.

उर्जा गुणधर्म

समाधानासाठी दृष्टीकोन

त्याच बेसवर कास्ट करणे
समान घातांकात रुपांतर
अस्थिर बदल
अभिव्यक्तीचे सरलीकरण आणि वरीलपैकी एकाचे अनुप्रयोग.

घातांकीय समीकरण म्हणजे काय? उदाहरणे.

तर, एक घातांकीय समीकरण ... विविध प्रकारच्या समीकरणाच्या आपल्या सामान्य प्रदर्शनात एक नवीन अनोखे प्रदर्शन!) जसे की बहुतेकदा घडते तसे, कोणत्याही नवीन गणिताचे मुख्य शब्द संबंधित वैशिष्ट्य आहे जे त्यास वैशिष्ट्यीकृत करते. तर ते इथे आहे. "घातांकीय समीकरण" या शब्दाचा मुख्य शब्द आहे "सूचक"... याचा अर्थ काय? या शब्दाचा अर्थ असा आहे की अज्ञात (एक्स) आहे कोणत्याही पदव्या दृष्टीने.आणि फक्त तेथे! हे अत्यंत महत्वाचे आहे.

उदाहरणार्थ, अशी साधी समीकरणे:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

किंवा अगदी असे राक्षस:

2 पाप x = 0.5

मी तुम्हाला एका महत्त्वाच्या गोष्टीकडे त्वरित लक्ष देण्यास सांगतोः इन मैदानअंश (तळाशी) - फक्त संख्या... पण मध्ये निर्देशकअंश (शीर्ष) - एक्ससह विविध प्रकारचे अभिव्यक्ति. पूर्णपणे कोणत्याही.) सर्व काही विशिष्ट समीकरणांवर अवलंबून असते. निर्देशक व्यतिरिक्त, अचानक, x कोठेही समीकरणामध्ये दिसल्यास (म्हणा, 3 x = 18 + x 2), तर असे समीकरण आधीपासूनच समीकरण असेल मिश्र प्रकार... अशा समीकरणे सोडविण्यास स्पष्ट नियम नाहीत. म्हणून, आम्ही या धड्यात त्यांचा विचार करणार नाही. विद्यार्थ्यांच्या प्रसन्नतेसाठी.) येथे आम्ही केवळ "शुद्ध" स्वरूपात घातांकीय समीकरणे विचारात घेऊ.

सर्वसाधारणपणे सांगायचे तर, शुद्ध घातांकीय समीकरणे देखील स्पष्ट आणि नेहमीच सोडविली जात नाहीत. परंतु घातांकीय समीकरणाच्या समृद्ध विविधतांमध्ये असे काही प्रकार आहेत जे निराकरण केले जाऊ शकतात आणि पाहिजे. असे समीकरणांचे आपण विचार करू. आणि आम्ही उदाहरणे निश्चितपणे सोडवू.) तर मग आरामात राहू आणि - जाऊ! संगणकाच्या नेमबाजांप्रमाणेच आमचा प्रवासही पातळीवरून होईल.) प्राथमिक ते साधे, साध्या ते मध्यम आणि मध्यम ते कठीण. वाटेत आपल्याला एक गुप्त पातळी देखील आढळेल - अ-मानक उदाहरणे सोडविण्याची तंत्रे आणि पद्धती. ज्यांच्याबद्दल आपण बहुतेक शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये वाचणार नाही ... ठीक आहे, शेवटी, नक्कीच होमवर्कच्या रूपात अंतिम बॉस आहे.)

स्तर ०. सर्वात सोपा घातांकीय समीकरण म्हणजे काय? सर्वात सोपा घातांकीय समीकरणांचे निराकरण.

सुरूवातीस, काही स्पष्ट प्राथमिक गोष्टींचा विचार करा. तुला कुठेतरी सुरुवात करावी लागेल, बरोबर? उदाहरणार्थ, असे एक समीकरणः

2 x = 2 2

अगदी कोणत्याही सिद्धांताशिवायसुद्धा, हे सहजपणे तर्कशास्त्र आणि अक्कल द्वारे स्पष्ट आहे की x = 2. दुसरा कोणताही मार्ग नाही, बरोबर? X चा अन्य कोणताही अर्थ करणार नाही ... आता आपण आपल्याकडे लक्ष देऊ या निर्णयाची नोंदहे छान घातांकीय समीकरण:

2 x = 2 2

एक्स = 2

आमच्याबरोबर काय झाले? आणि पुढील घडले. आम्ही, खरं तर, घेतला आणि ... त्याच तळ (डीयूसेस) बाहेर फेकले! पूर्णपणे बाहेर फेकले. आणि, काय आवडेल, त्या बैलाच्या डोळ्यावर ठोक!

होय, खरंच, जर डाव्या आणि उजवीकडे घातीय समीकरण असेल तर सारखेकुठल्याही शक्तीतील संख्या, नंतर या संख्या टाकून दिल्या जाऊ शकतात आणि फक्त घातांकांना समान करता येईल. गणित सोडवते.) आणि मग आपण निर्देशकांसह स्वतंत्रपणे कार्य करू शकता आणि बरेच सोपे समीकरण निराकरण करू शकता. मस्त, नाही का?

कोणतीही (होय, अगदी कोणतीही!) सोडवणारी ही महत्त्वाची कल्पना आहे समान रूपांतरांचा वापर करून, हे सुनिश्चित करणे आवश्यक आहे की समीकरणातील डावे आणि उजवे आहेत सारखे वेगवेगळ्या अंशांमध्ये आधार क्रमांक. आणि मग आपण समान तळ सुरक्षितपणे काढू शकता आणि डिग्री निर्देशकांचे समतुल्य करू शकता. आणि सोप्या समीकरणासह कार्य करा.

आणि आता आम्हाला लोखंडी नियम आठवत आहेत: डावे आणि उजवीकडे समीकरण असल्यास बेस क्रमांक असल्यास फक्त समान तळ काढणे शक्य आहे गर्व एकाकीपणा मध्ये.

याचा अर्थ काय आहे, शानदार अलगाव मध्ये? याचा अर्थ असा की कोणत्याही शेजारी आणि सहगुणांशिवाय. मला समजावून सांगा.

उदाहरणार्थ समीकरणात

3 3 x-5 = 3 2 x +1

आपण तिप्पट्यांना काढू शकत नाही! का? कारण डावीकडे आमच्याकडे फक्त एकाकी तीन पदवी नाही, परंतु काम 3 3 एक्स -5. अतिरिक्त तीन मार्गात मिळतात: गुणांक, आपल्याला माहिती आहे.)

समीकरणांबद्दलही असेच म्हणता येईल

5 3 x = 5 2 x + 5 x

येथे देखील, सर्व तळ समान आहेत - पाच. परंतु उजवीकडे आमच्याकडे पाचांची एकटे डिग्री नाही: अंशांची बेरीज आहे!

थोडक्यात, जेव्हा आपले घातांकीय समीकरण असे दिसते आणि केवळ या मार्गाने दिसते तेव्हाच समान तळ काढण्याचा आमचा अधिकार आहेः

अf (x) = एक जी (x)

या प्रकारच्या घातांकीय समीकरण म्हणतात सर्वात सोपा... किंवा, वैज्ञानिकदृष्ट्या, विहित ... आणि आपल्या समोर जे काही ट्विस्टेड समीकरण आहे ते आपण एक किंवा दुसरा मार्ग या अगदी सोप्या (प्रमाणभूत) रूपात कमी करू. किंवा, काही प्रकरणांमध्ये, ते एकूणया प्रकारची समीकरणे. मग आपले सर्वात सामान्य समीकरण यासारखे सामान्य स्वरूपात पुन्हा लिहिता येईल:

F (x) = g (x)

आणि हे सर्व आहे. हे समांतर रूपांतरण असेल. या प्रकरणात, एक्स बरोबरचे कोणतेही भाव f (x) आणि g (x) म्हणून वापरले जाऊ शकतात. काहीही

कदाचित एखादा जिज्ञासू विद्यार्थी विचारेल: पृथ्वीवर आपण इतक्या सहज आणि सहज डाव्या व उजव्या बाजूला समान तळ का टाकतो आणि डिग्री निर्देशकांना समान का करतो? अंतर्ज्ञानाद्वारे अंतर्ज्ञान, परंतु अचानक, काही समीकरणात आणि काही कारणास्तव, हा दृष्टीकोन चुकीचा ठरतो? नेहमी तीच मैदाने फेकणे कायदेशीर आहे काय?दुर्दैवाने, या रोचक प्रश्नाच्या कठोर गणिताच्या उत्तरासाठी, एखाद्याने कार्ये करण्याची रचना आणि वर्तन यांच्या सामान्य सिद्धांताऐवजी गंभीरपणे आणि गंभीरपणे बुडविणे आवश्यक आहे. आणि थोडे अधिक विशेषतः - एक इंद्रियगोचर मध्ये कठोर नीरसपणा.विशेषतः, कठोर नीरसता घातांकीय कार्यy= एक x... हे घातांकीय कार्य आणि त्याचे गुणधर्म ज्यामुळे घातांकीय समीकरणांचे निराकरण होते, होय.) या प्रश्नाचे विस्तृत उत्तर वेगळ्या विशेष धड्यात दिले जाईल ज्यात वेगवेगळ्या फंक्शन्सच्या नीरसपणाचा वापर करून जटिल अ-प्रमाणित समीकरणे सोडविण्यास समर्पित आहे.)

आता या क्षणाचे तपशीलवार वर्णन करणे म्हणजे केवळ सरासरी स्कूलबॉयचा मेंदू काढून कोरडे व जड सिद्धांताने अकाली त्याला घाबरून जाणे. मी हे करणार नाही.) आपले मुख्य कार्य सध्या आहे घातांकीय समीकरणे सोडविण्यास शिका!सर्वात सोपा! म्हणून - जोपर्यंत आम्ही स्टीम बाथ घेत नाही आणि धैर्याने त्याच तळांना बाहेर फेकत नाही. हे आहे करू शकता, त्यासाठी माझा शब्द घ्या!) आणि मग आपण f (x) = g (x) हे समीकरण सोडवू. मूळ सूचकांपेक्षा थोडक्यात सोपे.

हे निश्चितच गृहित धरले जाते की लोक किमान या क्षणी निर्देशकांशिवाय x याशिवाय ही समीकरणे कमीतकमी सोडवू शकतात.) हे पृष्ठ बंद करण्यास मोकळ्या मनाने कोणालाही माहित नाही, संबंधित दुवे अनुसरण करा आणि भरा जुने अंतर अन्यथा, आपल्यास कठीण वेळ लागेल, होय ...

मी असमंजसपणाचे, त्रिकोणमितीय आणि इतर क्रूर समीकरणे बद्दल आधीच गप्प आहे, जी मैदाने नष्ट करण्याच्या प्रक्रियेत देखील उद्भवू शकतात. परंतु काळजी करू नका, आम्ही अंशांच्या बाबतीत स्पष्ट कथील विचार करणार नाही: ते खूप लवकर आहे. आम्ही फक्त सर्वात सोप्या समीकरणांवर प्रशिक्षण देऊ.)

आता आपण समीकरणे पाहू ज्या त्यांना सर्वात सोप्या गोष्टींमध्ये कमी करण्यासाठी काही अतिरिक्त प्रयत्नांची आवश्यकता आहे. भिन्नतेसाठी, त्यांना कॉल करूया साधी घातांक समीकरणे... चला तर मग पुढच्या पातळीवर जाऊया!

पातळी 1. साधी घातांक समीकरणे. आम्ही अंश ओळखतो! नैसर्गिक निर्देशक.

कोणतीही घातांकीय समीकरणे सोडविण्याचे महत्त्वाचे नियम आहेत शक्ती नियम... या ज्ञान आणि कौशल्याशिवाय काहीही कार्य करणार नाही. काश तर, जर समस्येच्या अंशांसह, तर प्रथम आपले स्वागत आहे. याव्यतिरिक्त, आम्हाला अधिक आवश्यक असेल. हे रूपांतरण (दोन म्हणूनच!) सर्वसाधारणपणे गणिताची सर्व समीकरणे सोडवण्याचा आधार आहे. आणि केवळ सूचकच नाही. म्हणून, जे विसरले आहेत त्यांनी देखील दुव्यावर एक फेरफटका मारा: मी त्यांना एका कारणास्तव ठेवले.

परंतु एकट्या पदवी आणि एकसारखे परिवर्तन यासह क्रिया पुरेसे नाहीत. आपल्याला वैयक्तिक निरीक्षण आणि चातुर्य देखील आवश्यक आहे. आम्हाला त्याच कारणांची आवश्यकता आहे, नाही का? म्हणून आम्ही उदाहरणाचे परीक्षण करतो आणि त्यांचे सुस्पष्ट किंवा वेषात शोधतो!

उदाहरणार्थ, असे एक समीकरणः

3 2 x - 27 x +2 = 0

प्रथम पहा मैदान... ते भिन्न आहेत! तेवीस पण घाबरुन जाणे आणि निराश होणे खूप लवकर आहे. हे लक्षात ठेवण्याची वेळ आली आहे

27 = 3 3

क्रमांक 3 आणि 27 पदवी मध्ये नातेवाईक आहेत! आणि नातेवाईक.) म्हणूनच आम्हाला लिहिण्याचा सर्व हक्क आहेः

27 x +2 = (3 3) x + 2

आणि आता आम्ही याबद्दल आपले ज्ञान कनेक्ट करतो पदवीसह क्रिया(आणि मी तुम्हाला चेतावणी दिली!). तेथे एक अतिशय उपयुक्त सूत्र आहे:

(एक मीटर) एन = एक एमएन

आपण आता हे चालवित असल्यास, सर्वसाधारणपणे ते उत्कृष्ट होते:

27 x +2 = (3 3) x + 2 = 3 3 (x +2)

मूळ उदाहरण आता अशी दिसते:

3 2 x - 3 3 (x +2) = 0

छान, पदवीची बाटली सरळ झाली आहे. आम्हाला जे हवे होते ते आहे. अर्धा लढाई पूर्ण झाली.) आणि आता आम्ही मुलभूत ओळख परिवर्तन सुरू करतो - 3 3 (x +2) उजवीकडे हलवा. कोणीही गणिताची प्राथमिक क्रिया रद्द केली नाही, होय.) आम्हाला मिळते:

3 2 x = 3 3 (x +2)

या प्रकारचे समीकरण आपल्याला काय देते? आणि आता आपले समीकरण कमी झाले आहे अधिकृत स्वरूपात: डावी आणि उजवीकडे समान संख्या (तिप्पट) शक्ती आहेत. शिवाय, दोन्ही तिहेरी विचित्र वेगळ्या आहेत. तिप्पट्यांना काढून मोकळ्या मनाने मिळवा:

2x = 3 (x + 2)

आम्ही हे सोडवतो आणि मिळवतो:

एक्स = -6

त्यातच सर्व काही आहे. हे बरोबर उत्तर आहे.)

आणि आता आम्ही निर्णयाचा मार्ग समजतो. या उदाहरणात आम्हाला कशाने वाचवले? तिघांच्या डिग्रीच्या ज्ञानाने आपण वाचलो. नक्की कसे? आम्ही ओळखले 27 एनक्रिप्टेड तीनपैकी! ही युक्ती (वेगवेगळ्या क्रमांकाखाली समान बेस एन्क्रिप्ट करणे) घातांकीय समीकरणांमध्ये सर्वात लोकप्रिय आहे! सर्वात लोकप्रिय नाही तर. आणि त्याच प्रकारे, मार्गाने. म्हणूनच निरीक्षक आणि घातांकीय समीकरणांमधील इतर संख्यांची शक्ती ओळखण्याची क्षमता हे घातांकीय समीकरणांमध्ये इतके महत्त्वाचे आहे!

व्यावहारिक सल्लाः

आपल्याला लोकप्रिय संख्येचे अंश माहित असणे आवश्यक आहे. तोंडावर!

नक्कीच, प्रत्येकजण दोन ते सातवा किंवा तीन ते पाचवा वाढवू शकतो. माझ्या मनात नाही, म्हणून किमान एका मसुद्यावर. परंतु घातांकीय समीकरणांमध्ये, शक्ती उंचावण्याची गरज नाही, उलट त्याउलट - संख्याच्या मागे कोणती संख्या आणि किती प्रमाणात लपलेली आहे हे शोधण्यासाठी 128 किंवा 243 म्हणा. आणि हे त्यापेक्षा अधिक गुंतागुंतीचे आहे. साधे बांधकाम, आपण सहमत असणे आवश्यक आहे. ते म्हणतात त्याप्रमाणेच फरक जाणवा!

चेह in्यावरील अंश ओळखण्याची क्षमता केवळ या पातळीवरच नव्हे तर पुढील बाबींसाठी देखील उपयोगी ठरणार आहे, आपल्यासाठी येथे एक छोटेसे कार्यः

कोणती शक्ती आणि कोणती संख्या संख्या आहेत हे निश्चित करा:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तरे (सहजगत्या, नैसर्गिकरित्या):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

होय होय! कार्यांपेक्षा अधिक उत्तरे आहेत याबद्दल आश्चर्यचकित होऊ नका. उदाहरणार्थ, 2 8, 4 4 आणि 16 2 सर्व 256 आहेत.

पातळी 2. साधी घातांकीय समीकरणे. आम्ही अंश ओळखतो! नकारात्मक आणि अपूर्णांक संकेतक.

या स्तरावर, आम्ही आधीच आमचे पदवीचे ज्ञान वापरत आहोत. बहुदा, आम्ही या आकर्षक प्रक्रियेमध्ये नकारात्मक आणि अपूर्णांक निर्देशकांचा समावेश करतो! होय होय! आम्हाला शक्ती तयार करणे आवश्यक आहे, बरोबर?

उदाहरणार्थ, हे भयानक समीकरणः

पुन्हा, पहिल्या दृष्टीक्षेपात पाया आहे. मैदाने वेगळी! आणि यावेळी, अगदी दूरस्थपणे एकमेकांपासून भिन्न! 5 आणि 0.04 ... आणि मैदाने दूर करण्यासाठी आपल्याला तशीच गरज आहे ... काय करावे?

ठीक आहे! खरं तर, सर्व काही समान आहे, फक्त पाच आणि 0.04 मधील कनेक्शन दृष्टिहीनपणे दृश्यमान आहे. आपण कसे बाहेर पडू? चला आणि ०.०4 च्या क्रमांकावर सामान्य भागाकडे जाऊया! आणि तेथे, आपण पहा, सर्व काही तयार होईल.)

0,04 = 4/100 = 1/25

व्वा! हे 0.04 1/5 चे आहे! बरं, कोण विचार केला असेल!)

हे कसे आहे? आता 5 आणि 1/25 मधील संबंध पाहणे सोपे आहे काय? बस एवढेच ...

आणि आता, अधिकारांसह कृतीच्या नियमांनुसार नकारात्मक निर्देशकआपण खंबीर हाताने लिहू शकता:

खूप छान. म्हणून आम्ही त्याच तळाशी पोहोचलो - फाइव्स. आता आपण असुविधाजनक संख्या 0.04 समीकरणात 5 -2 सह बदलली आणि आम्हाला मिळेल:

पुन्हा, शक्तींशी संबंधित असलेल्या नियमांनुसार आपण आता हे लिहू शकता:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

फक्त बाबतीत, मी तुम्हाला आठवण करून देतो (अचानक, ज्याला हे माहित नाही) की पद्यांसह क्रियांचे मूळ नियम वैध आहेत कोणत्याहीनिर्देशक! नकारात्मक गोष्टींसह.) म्हणून आम्ही योग्य नियमानुसार निर्देशक (-2) आणि (x-1) सुरक्षितपणे घेऊ आणि गुणाकार करू शकतो. आपले समीकरण दिवसेंदिवस चांगले होत चालले आहे:

सर्व काही! डावीकडून आणि उजवीकडील अंशांमध्ये एकाकी पंचाहिवाशिवाय इतर काही नाही. हे प्रमाणिक प्रमाण कमी झाले आहे. आणि मग - नॉर्ल्ड ट्रॅकसह. आम्ही पाच काढले आणि निर्देशकांना बरोबर केले:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

उदाहरण जवळजवळ सोडवले आहे. मध्यमवर्गाचे प्राथमिक गणित शिल्लक आहे - आम्ही कंस उघडतो (उजवीकडे!) डावीकडे सर्वकाही एकत्रित करतो:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

आम्ही याचे निराकरण करतो आणि दोन मुळे मिळवतो:

x 1 = 1; x 2 = 3

एवढेच.)

आता पुन्हा विचार करूया. या उदाहरणात, आम्हाला पुन्हा समान संख्या भिन्न श्रेणींमध्ये ओळखणे आवश्यक आहे! बहुदा - 0.04 क्रमांकामधील एन्क्रिप्टेड पाच पहाण्यासाठी. आणि यावेळी - मध्ये नकारात्मक पदवी!आम्ही ते कसे केले? चालताना - काहीही नाही. परंतु 0.04 च्या दशांश अपूर्णांकांमधून 1/25 च्या सामान्य भागाकडे संक्रमणानंतर सर्व काही हायलाइट केले गेले! आणि मग संपूर्ण निर्णय घड्याळाप्रमाणे गेला.)

म्हणून, दुसरा हिरवा व्यावहारिक सल्ला.

घातांकीय समीकरणात दशांश अपूर्णांक अस्तित्त्वात असल्यास आपण दशांश अपूर्णांकांमधून सामान्यांकडे जाऊ. अपूर्णांकांमधील बर्‍याच लोकप्रिय संख्येची शक्ती ओळखणे खूप सोपे आहे! मान्यता मिळाल्यानंतर, आम्ही अपूर्णांकांमधून नकारात्मक घटकांसह शक्तीकडे जातो.

हे लक्षात ठेवा की घातांकीय समीकरणांमधील अशी युक्ती खूपच वेळा उद्भवते! आणि ती व्यक्ती विषयात नाही. उदाहरणार्थ, 32 आणि 0.125 या क्रमांकावर तो पाहतो आणि अस्वस्थ आहे. त्याच्याशी नकळत, हा एकच आणि एकच ड्युस आहे, फक्त वेगवेगळ्या डिग्रीमध्ये ... परंतु आपण आधीच विषयात आहात!)

समीकरण सोडवा:

मध्ये! हे शांत हॉररसारखे दिसते ... तथापि, दिसणे फसव्या आहेत. हे अत्यंत भितीदायक स्वरूप असूनही, हे सर्वात सोपा घातांकीय समीकरण आहे. आणि आता मी तुला दाखवीन.)

प्रथम, आम्ही तळांवर आणि गुणांकांमध्ये बसलेल्या सर्व क्रमांकासह व्यवहार करतो. ते अर्थातच भिन्न आहेत, होय. परंतु आम्ही अद्याप जोखीम घेतो आणि ते बनविण्याचा प्रयत्न करतो सारखे! जाण्याचा प्रयत्न करूया वेगवेगळ्या अंशांमध्ये समान संख्या... आणि, शक्यतो, सर्वात लहान संभाव्य संख्या. तर, डिक्रिप्टिंग सुरू करूया!

बरं, एका चौथ्यासह, सर्व काही एकाच वेळी स्पष्ट होते - ते 2 2 आहे. आधीपासूनच काहीतरी.)

0.25 च्या अपूर्णांकासह - हे अद्याप स्पष्ट झाले नाही. हे तपासणे आवश्यक आहे. आम्ही एक व्यावहारिक सल्ला वापरतो - आम्ही दशांश अपूर्णांक पासून सामान्यांकडे जातो:

0,25 = 25/100 = 1/4

बरेच चांगले. आत्ताच हे स्पष्टपणे दिसत आहे की 1/4 2 -2 आहे. छान आणि 0.25 ही संख्याही दोन जणांसारखीच होती.)

अजून तरी छान आहे. परंतु सर्व सर्वात वाईट संख्या - दोन चौरस मूळ!आणि या मिरपूडचे काय करावे? हे देखील दोन शक्ती म्हणून प्रतिनिधित्व केले जाऊ शकते? आणि कोण माहित आहे ...

बरं, आम्ही पुन्हा आमच्या डिग्रीच्या ज्ञानाच्या तिजोरीत चढत आहोत! यावेळी आम्ही आमच्या ज्ञान व्यतिरिक्त कनेक्ट करतो मुळे बद्दल... 9 व्या वर्गाच्या कोर्सपासून आपण आणि मी हे शिकले पाहिजे की कोणतीही रूट, इच्छित असल्यास नेहमीच डिग्रीमध्ये रुपांतरित केली जाऊ शकते भिन्न भागासह

या प्रमाणे:

आमच्या बाबतीतः

कसे! हे दिसून येते की दोनचा वर्गमूळ 2/2 आहे. बस एवढेच!

ते ठीक आहे! आमची सर्व गैरसोयीची संख्या प्रत्यक्षात एन्क्रिप्टेड दोन असल्याचे बाहेर पडले.) मी असा युक्तिवाद करीत नाही की कुठेतरी अतिशय अत्याधुनिक एन्क्रिप्टेड. परंतु आम्हीही अशा प्रकारचे सिफर सोडविण्यामध्ये आपला व्यावसायिकता सुधारत आहोत! आणि मग सर्व काही आधीच स्पष्ट आहे. आम्ही आमच्या समीकरणात क्रमांक 4, 0.25 आणि दोनचे मूळ दोन शक्तींनी बदलू:

सर्व काही! उदाहरणातील सर्व अंशांची तळ समान झाली - दोन. आणि आता शक्ती असलेल्या मानक क्रियांचा वापर केला जातो:

आहेएक एन = आहे + एन

ए एम: ए एन = ए एम-एन

(एक मीटर) एन = एक एमएन

डाव्या बाजूला, आपण मिळवा:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

उजव्या बाजूला ते असेल:

आणि आता आपले वाईट समीकरण असे दिसते:

हे समीकरण कसे घडले हे कुणाला समजले नाही, तर प्रश्न घातांक समीकरणाचा नाही. प्रश्न डिग्री असलेल्या क्रियांचा आहे. ज्यांना समस्या आहेत त्यांना मी तातडीने ते परत सांगण्यास सांगितले!

येथे घर ताणून आहे! घातांकीय समीकरणाचे अधिकृत स्वरूप प्राप्त झाले! हे कसे आहे? मी तुम्हाला खात्री दिली आहे की सर्व काही इतके भयानक नाही? ;) आम्ही डीयूसेस काढतो आणि निर्देशकांना बरोबर करतो:

उरलेले सर्व हे रेखीय समीकरण सोडवण्याकरिता आहे. कसे? समान रूपांतरांच्या मदतीने, साहजिकच.) ते तयार करा, आधीच काय आहे! दोन्ही भाग दोन ने गुणाकार करा (अंश //२ काढण्यासाठी), x सह डावीकडील संज्ञा हस्तांतरित करा, x शिवाय, उजवीकडे, समान आणा, मोजा - आणि आपण आनंदी व्हाल!

प्रत्येक गोष्ट सुंदरपणे चालू झाली पाहिजे:

एक्स = 4

आणि आता आम्हाला पुन्हा निर्णयाचा मार्ग समजला. या उदाहरणात, येथून आलेल्या संक्रमणामुळे आम्हाला मदत झाली वर्गमुळकरण्यासाठी घातांक सह 1/2... शिवाय, केवळ अशा धूर्त परिवर्तनामुळे आम्हाला सर्वत्र समान तळावर पोहोचण्यास मदत झाली (दोन), ज्याने परिस्थिती वाचविली! आणि जर तसे नसेल तर आमच्याकडे कायमचे गोठवण्याची आणि या उदाहरणासह कधीही सामना करण्याची संधी नाही, होय ...

म्हणूनच, आम्ही दुसर्या व्यावहारिक सल्ल्याकडे दुर्लक्ष करत नाही:

घातांकीय समीकरणात मुळे असल्यास, नंतर आम्ही मुळांपासून भिन्न भागासहित शक्तीकडे जाऊ. बर्‍याचदा, फक्त असे परिवर्तन पुढील परिस्थितीचे स्पष्टीकरण देते.

नक्कीच, नॅगरेट आणि फ्रॅक्शनल डिग्री आधीच नैसर्गिक अंशांपेक्षा खूपच क्लिष्ट आहेत. कमीतकमी व्हिज्युअल बोधक दृष्टिकोनातून आणि विशेषत: उजवीकडून डावीकडे ओळख!

हे स्पष्ट आहे की थेट वाढवणे, उदाहरणार्थ, दोन ते -3 शक्ती किंवा चार ते -3/2 शक्ती वाढवणे ही मोठी समस्या नाही. माहित असलेल्यांसाठी.)

परंतु जा, उदाहरणार्थ, आत्ताच ते समजून घ्या

0,125 = 2 -3

किंवा

येथे फक्त सराव आणि समृद्ध अनुभव नियम आहेत, होय. आणि, अर्थातच, एक स्पष्ट कल्पना, नकारात्मक आणि अपूर्णांक पदवी काय आहे.आणि व्यावहारिक सल्ला! होय, होय, त्या हिरवा.) मला आशा आहे की ते अद्याप सर्व प्रकारच्या मोटलीच्या विविध प्रकारच्या डिग्रीमध्ये अधिक चांगले नेव्हिगेट करण्यात मदत करतील आणि तुमच्या यशाची शक्यता लक्षणीय वाढवतील! म्हणून त्याकडे दुर्लक्ष करू नका. मी कधीकधी हिरव्या रंगात लिहितो हे असे काही नाही.)

परंतु जर आपण नकारात्मक आणि अपूर्णांक अशा विदेशी पदार्थासह देखील परिचित झालात तर आपल्या घातांक समीकरणे सोडविण्याच्या शक्यता मोठ्या प्रमाणात वाढतील आणि आपण जवळजवळ कोणत्याही प्रकारच्या घातांक समीकरणे हाताळण्यास सक्षम असाल. ठीक आहे, जर नाही तर सर्व घातांकीय समीकरणांपैकी 80 टक्के - निश्चितपणे! होय, मी गंमत करत नाही!

तर, घातांकीय समीकरणे जाणून घेण्याचा आपला पहिला भाग तार्किक निष्कर्षापर्यंत पोहोचला आहे. आणि, दरम्यानचे व्यायाम म्हणून मी पारंपारिकपणे आपल्या स्वतःहून थोड्या गोष्टी करण्याचे सुचवितो.)

व्यायाम १.

जेणेकरून नकारात्मक आणि आंशिक अंश डीकोड करण्याबद्दल माझे शब्द व्यर्थ ठरत नाहीत, मी थोडासा खेळ खेळण्याचा प्रस्ताव आहे!

दोनची शक्ती म्हणून संख्यांची कल्पना करा:

उत्तरे (गोंधळात):

झाले? उत्कृष्ट! मग आम्ही एक लढाऊ अभियान करतो - आम्ही सर्वात सोपी आणि सोपी घातांक समीकरणे सोडवितो!

कार्य २.

समीकरणांचे निराकरण करा (सर्व उत्तरे विस्कळीत आहेत!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16 x + 3 = 0

उत्तरे:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

झाले? खरोखर, हे बरेच सोपे आहे!

मग आम्ही खालील गेमचे निराकरण करू:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

उत्तरे:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

आणि ही उदाहरणे एक उरली आहेत? उत्कृष्ट! आपण वाढत आहात! स्नॅकसाठी आणखी काही उदाहरणे येथे आहेत.

उत्तरे:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

आणि हे ठरविले आहे का? बरं, आदर! हॅट्स ऑफ.) याचा अर्थ असा की धडा व्यर्थ ठरला नाही आणि घातांकीय समीकरणे सोडविण्याच्या प्रारंभिक पातळीवर यशस्वीरित्या मास्टर मानले जाऊ शकते. अधिक स्तर आणि अधिक आव्हानात्मक समीकरणे पुढे आहेत! आणि नवीन तंत्र आणि दृष्टिकोन. आणि मानक नसलेली उदाहरणे. आणि नवीन आश्चर्यांसाठी.) हे सर्व पुढील पाठात आहे!

काहीतरी चुकले आहे का? याचा अर्थ असा आहे की बहुधा अडचणी येतात. किंवा मध्ये किंवा दोन्ही एकाच वेळी. मी येथे शक्तीहीन आहे. मी पुन्हा एकदा फक्त एक गोष्ट ऑफर करू शकेन - आळशी होऊ नये आणि दुव्यांमधून चालत जाऊ नये.)

पुढे चालू.)

घातांकीय समीकरणांचे निराकरण. उदाहरणे.

लक्ष!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मध्ये साहित्य.
जे "फार नाही ..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि जे "खूप सम ..." आहेत)

काय घातांकीय समीकरण? हे असे समीकरण आहे ज्यात अज्ञात (एक्स) आणि त्यांच्यासह अभिव्यक्ती आहेत निर्देशककाही अंश आणि फक्त तेथे! हे महत्वाचे आहे.

तिकडे आहेस तू घातांकीय समीकरणे उदाहरणे:

3 x 2 x = 8 x + 3

टीप! अंशांच्या तळामध्ये (खाली) - फक्त संख्या... IN निर्देशकअंश (वरील) - एक्ससह विविध प्रकारचे भाव. जर अचानक, x निर्देशकाशिवाय इतर कोणा समीकरणामध्ये दिसले, उदाहरणार्थ:

हे आधीच मिश्र प्रकाराचे समीकरण असेल. अशा समीकरणे सोडविण्यास स्पष्ट नियम नाहीत. आम्ही अद्याप त्यांचा विचार करणार नाही. येथे आम्ही सामोरे जाईल घातांकीय समीकरणे सोडवूनत्याच्या शुद्ध स्वरूपात.

खरं तर, शुद्ध घातांकीय समीकरणे देखील नेहमीच स्पष्टपणे सोडविली जात नाहीत. परंतु अशी विशिष्ट प्रकारची घातांकीय समीकरणे आहेत जी निराकरण केली जाऊ शकतात आणि असू शकतात. आम्ही या प्रकारांवर विचार करू.

सर्वात सोपा घातांकीय समीकरणांचे निराकरण.

चला अगदी मूलभूत गोष्टींनी सुरुवात करूया. उदाहरणार्थ:

कोणत्याही सिद्धांताशिवाय देखील, हे एका साध्या निवडीवरून स्पष्ट झाले आहे की x = 2. नाही, बरोबर !? इतर कोणतेही x मूल्य रोल नाहीत. आता या अवघड घातांकीय समीकरणाच्या समाधानावर एक नजर टाकू:

आम्ही काय केले? आम्ही प्रत्यक्षात तेच तळ (थ्रीज) बाहेर फेकले. पूर्णपणे बाहेर फेकले. आणि, काय आवडते, चिन्ह दाबा!

खरंच, जर डावी आणि उजवीकडील घातांकीय समीकरण असेल तर सारखेकोणत्याही शक्तींमध्ये संख्या, या संख्या काढल्या जाऊ शकतात आणि घातांकांना समान केले जाऊ शकते. गणित परवानगी देते. हे बरेच सोपे समीकरण सोडविण्यास बाकी आहे. मस्त, नाही का?)

तथापि, आपण हे विडंबनपणे लक्षात घेऊ: डावी आणि उजवीकडील बेस क्रमांक भव्य वेगळ्या अवस्थेत असताना आपण तळ काढू शकता!कोणत्याही शेजार्‍यांना आणि गुणांकांशिवाय. चला समीकरणांमधे म्हणा:

2 x +2 x + 1 = 2 3, किंवा

डीयूसेस काढले जाऊ शकत नाहीत!

बरं, आम्ही सर्वात महत्वाची गोष्ट मध्ये प्रभुत्व मिळवले आहे. वाईट घातीय अभिव्यक्तींपासून सोपी समीकरणे कशी जावी.

"हे काळ आहेत!" - तुम्ही म्हणता. "चाचण्या आणि परीक्षांवर असे आदिम कोण देईल !?"

मी सहमत आहे. कोणीही देणार नाही. परंतु आता आपल्याला माहित आहे की गोंधळात टाकणारी उदाहरणे सोडवताना कोठे लक्ष्य करावे. जेव्हा समान आधार क्रमांक डावीकडील - उजवीकडे असेल तेव्हा त्यास फॉर्ममध्ये आणणे आवश्यक आहे. मग सर्वकाही सोपे होईल. वास्तविक हे गणिताचे अभिजात आहे. आम्ही मूळ उदाहरण घेतो आणि त्यास इच्छित स्थितीत रुपांतरित करतो. यूएसमन. निश्चितच गणिताच्या नियमांद्वारे.

सोप्या खाली आणण्यासाठी काही अतिरिक्त परिश्रमांची आवश्यकता असलेल्या उदाहरणे पाहू या. चला त्यांना कॉल करूया साधी घातांक समीकरणे.

सोपी घातांकीय समीकरणे सोडवित आहे. उदाहरणे.

घातांक समीकरणे सोडवताना, मुख्य नियम असे - पदवीसह क्रिया.या क्रियांच्या माहितीशिवाय काहीही कार्य करणार नाही.

डिग्रीसह कृतीत वैयक्तिक निरीक्षण आणि चातुर्य जोडले जाणे आवश्यक आहे. आम्हाला समान बेस नंबर आवश्यक आहेत का? म्हणून आम्ही स्पष्ट किंवा एनक्रिप्टेड स्वरूपात उदाहरणात त्यांचा शोध घेत आहोत.

सराव मध्ये हे कसे केले जाते ते पाहूया?

आम्हाला एक उदाहरण दिले जाऊ द्या:

2 2x - 8x + 1 = 0

प्रथम उत्सुक दृष्टीक्षेप येथे आहे मैदान.ते ... ते भिन्न आहेत! दोन आणि आठ. पण निराश होण्यास खूप लवकर आहे. हे लक्षात ठेवण्याची वेळ आली आहे

दोन आणि आठ पदवीमधील नातेवाईक आहेत.) हे लिहिणे शक्य आहे:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

आपण शक्तींसह केलेल्या कृतींचे सूत्र आठवत असल्यास:

(एक एन) मी = एक एनएम,

सर्वसाधारणपणे ते उत्कृष्ट होते:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

मूळ उदाहरण आता अशी दिसते:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

आम्ही हस्तांतरित करतो 2 3 (x + 1)उजवीकडे (कोणीही गणिताची प्राथमिक क्रिया रद्द केली नाही!), आम्हाला मिळते:

2 2x = 2 3 (x + 1)

व्यावहारिकदृष्ट्या हे सर्व आहे. आम्ही तळ काढतो:

आम्ही हा राक्षस सोडवतो आणि मिळवतो

हे अचूक उत्तर आहे.

या उदाहरणात, दोनची शक्ती जाणून घेतल्याने आम्हाला मदत झाली. आम्ही ओळखलेआठ मध्ये एक एनक्रिप्टेड दोन आहे. हे तंत्र (भिन्न संख्येच्या अंतर्गत सामान्य तळांना एनक्रिप्ट करणे) घातांकीय समीकरणांमधील एक लोकप्रिय तंत्र आहे! आणि लॉगरिदममध्ये देखील. एखादी व्यक्ती इतर संख्येची संख्या आकड्यांमध्ये ओळखण्यास सक्षम असावी. घातांकीय समीकरणे सोडविण्यासाठी हे अत्यंत महत्वाचे आहे.

खरं हे आहे की कोणत्याही शक्तीला कोणतीही संख्या वाढवणे ही समस्या नाही. एका कागदाच्या तुकड्यावरही गुणाकार करा आणि इतकेच. उदाहरणार्थ, प्रत्येकजण to ते power व्या शक्तीस वाढवू शकतो. आपल्याला गुणाकार सारणी माहित असल्यास 243 कार्य करेल.) परंतु घातांकीय समीकरणामध्ये शक्ती वाढवणे आवश्यक नसते, परंतु त्याउलट ... कोणती पदवी किती 243 क्रमांकाच्या मागे लपलेले आहे किंवा 343 असे म्हणा ... कोणताही कॅल्क्युलेटर येथे आपल्याला मदत करणार नाही.

आपल्याला काही संख्येची शक्ती दृष्टीक्षेपात माहित असणे आवश्यक आहे, होय ... चला सराव करूया?

कोणती शक्ती आणि कोणती संख्या संख्या आहेत हे निश्चित करा:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तरे (विस्कळीत, नैसर्गिकरित्या!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

आपण बारकाईने पाहिले तर आपण एक विचित्र सत्य पाहू शकता. कार्ये पेक्षा लक्षणीय अधिक उत्तरे आहेत! बरं, असं होतं ... उदाहरणार्थ, 2 6, 4 3, 8 2 सर्व 64 आहेत.

समजा तुम्ही संख्येच्या परिचयाची माहिती घेतली असेल.) मी तुम्हाला आठवण करून देतो की घातांक समीकरणे सोडविण्यासाठी आम्ही वापरू. संपूर्णगणितीय ज्ञानाचा साठा कनिष्ठ-मध्यम वर्गातील लोकांसह. तू आत्ताच हायस्कूलला गेला नाहीस का?)

उदाहरणार्थ, घातांकीय समीकरणे सोडवताना, सामान्य घटकांना कंस बाहेर ठेवण्यास मदत होते (हॅलो, 7th वी श्रेणी!). चला एक उदाहरण पाहू:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

आणि पुन्हा पहिल्या दृष्टीक्षेपात - पाया वर! अंशांचे तळ वेगवेगळे आहेत ... तीन आणि नऊ. आणि आम्ही त्यांच्यासारखेच रहावे अशी आमची इच्छा आहे. बरं, या प्रकरणात, इच्छा अगदी व्यवहार्य आहे!) कारणः

9 x = (3 2) x = 3 2x

पदव्या हाताळण्यासाठी समान नियमांचे पालन करणे:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

ते छान आहे, आपण लिहू शकता:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

आम्ही त्याच मैदानावर उदाहरण आणले आहे. तर मग पुढे काय आहे? थ्री फेकणे आवश्यक नाही ... मृत शेवट?

अजिबात नाही. सर्वात अष्टपैलू आणि शक्तिशाली निर्णय नियम लक्षात ठेवत आहे सर्वगणिताची कार्ये:

आपल्याला काय आवश्यक आहे हे माहित नसल्यास, आपण जे करू शकता ते करा!

आपण पहा, सर्व काही तयार होईल).

या घातांकीय समीकरणात काय आहे करू शकताकरा? होय, डाव्या भागात ते थेट कंस विचारत आहेत! 3 2x चे सामान्य घटक यावर स्पष्टपणे इशारा करतो. चला प्रयत्न करा आणि मग आपण पाहू:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण चांगले आणि चांगले होत राहते!

आम्हाला आठवते की ही मैदाने दूर करण्यासाठी आम्हाला कोणत्याही गुणांकांशिवाय शुद्ध पदवी आवश्यक आहे. 70 क्रमांक आपल्या मार्गावर येतो. आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना by० ने विभाजित करू:

अरेरे! सर्वकाही बाहेर काम!

हे अंतिम उत्तर आहे.

तथापि, असे घडते की त्याच मैदानावर टॅक्सींग मिळते, परंतु त्यांचे उच्चाटन झाले नाही. हे दुसर्‍या प्रकारच्या घातांकीय समीकरणांमध्ये होते. चला या प्रकारावर प्रभुत्व मिळवा.

घातांकीय समीकरणे सोडविताना चल बदलणे. उदाहरणे.

चला समीकरण सोडवू:

4 x - 3 2 x +2 = 0

प्रथम, नेहमीप्रमाणे. एका फाउंडेशनकडे जात आहे. युक्तीला.

4 x = (2 2) x = 2 2x

आम्हाला हे समीकरण मिळाले:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

आणि येथे आम्ही गोठवू. मागील युक्त्या कार्य करणार नाहीत, कितीही छान असो. आम्हाला आणखी एक शक्तिशाली आणि अष्टपैलू मार्गाच्या शस्त्रास्त्रातून बाहेर पडावे लागेल. म्हणतात चल बदलणे.

पद्धतीचा सार आश्चर्यकारकपणे सोपा आहे. एका जटिल चिन्हाऐवजी (आमच्या बाबतीत, 2 एक्स), आम्ही दुसरे लिहितो, सोपा एक (उदाहरणार्थ, टी). अशा उशिर मूर्खपणाची बदली आश्चर्यकारक परिणामास कारणीभूत ठरते!) इतकेच सर्व काही स्पष्ट आणि समजू शकेल!

तर जाऊ द्या

नंतर 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = टी 2

आमच्या समीकरणातील सर्व शक्तींना टी सह बदला:

बरं, ते उगवते?) आपण द्विघात समीकरणे अद्याप विसरलात? आम्ही भेदभावाच्या माध्यमातून निराकरण करतो, आम्हाला मिळते:

येथे, मुख्य गोष्ट थांबणे नाही, जसे तसे होते ... हे अद्याप उत्तर नाही, आपल्याला एक्सची आवश्यकता आहे, टी नाही. आम्ही एक्स मध्ये परत आलो, म्हणजे. आम्ही रिटर्न रिप्लेसमेंट करतो. टी 1 साठी प्रथम:

ते आहे,

एक मूळ सापडले. आम्ही टी 2 पासून, दुसरा शोधत आहोत:

अं ... डावा 2 x, बरोबर 1 ... एक समस्या? अजिबात नाही! हे लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे (शक्ती असलेल्या क्रियेवरून, होय ...) जे ते आहे कोणत्याहीशून्य पदवी संख्या. कोणीही. आवश्यक ते आम्ही देऊ. आम्हाला एक ड्युस पाहिजे. म्हणजे:

आता तेच झाले. आम्हाला 2 मुळे मिळाली:

हे उत्तर आहे.

येथे घातांकीय समीकरणे सोडवित आहेशेवटी, कधीकधी आपल्याला एक प्रकारची अस्ताव्यस्त अभिव्यक्ती मिळते. प्रकार:

सात पासून, दोन प्राथमिक पदवीद्वारे कार्य करत नाहीत. ते नातेवाईक नाहीत ... येथे कसे राहायचे? कोणीतरी गोंधळात पडेल ... परंतु ज्याने या साइटवर वाचलेले "" लॉगरिथ्म म्हणजे काय? "हा विषय वाचतो. , फक्त थोड्या वेळाने हसू आणि अगदी अचूक उत्तर एका दृढ हाताने लिहिते:

परीक्षेवरील "बी" टास्कमध्ये असे कोणतेही उत्तर असू शकत नाही. तेथे, एक विशिष्ट क्रमांक आवश्यक आहे. परंतु कार्यांमध्ये "सी" - सहजपणे.

हा धडा सर्वात सामान्य घातांक समीकरणे सोडविण्याची उदाहरणे पुरवतो. चला मुख्य गोष्ट ठळक करूया.

व्यावहारिक सल्लाः

1. सर्व प्रथम, आम्ही पाहू मैदानअंश ते बनविणे शक्य आहे की नाही यावर आम्ही विचार करतो सारखे.आम्ही सक्रियपणे वापरुन हे करण्याचा प्रयत्न करतो पदवीसह क्रिया.हे विसरू नका की x शिवाय संख्या देखील शक्तींमध्ये रूपांतरित केली जाऊ शकतात!

२. डाव्या व उजव्या असतात तेव्हा फॉर्मला घातांकीय समीकरण कमी करण्याचा आम्ही प्रयत्न करतो सारखेकोणत्याही पदवी क्रमांक आम्ही वापरतो पदवीसह क्रियाआणि फॅक्टरिझेशन.संख्यांमध्ये काय मोजले जाऊ शकते - आम्ही मोजतो.

The. जर दुसरी टीप कार्य करत नसेल तर आम्ही चल बदल लागू करण्याचा प्रयत्न करतो. शेवटचा निकाल एक समीकरण आहे जे सहजपणे सोडवले जाऊ शकते. बर्‍याचदा ते चौरस असते. किंवा अपूर्णांक, जे चौरसात देखील कमी होते.

Exp. घातांकीय समीकरणे यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी आपणास “दृष्टीक्षेपात” काही संख्येची शक्ती माहित असणे आवश्यक आहे.

नेहमीप्रमाणे, धड्याच्या शेवटी, आपल्याला थोडे निर्णय घेण्यास सांगितले जाते.) स्वतःहून. साध्या पासून जटिल.

घातांक समीकरणे सोडवा:

अधिक कठीण:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x + 1 - 8 = 0

मुळांचे उत्पादन शोधा:

2 3-x + 2 x = 9

झाले?

बरं, मग सर्वात क्लिष्ट उदाहरण (निराकरण, तथापि, मनात ...):

7 0.13x + 13 0.7x + 1 + 2 0.5x + 1 = -3

काय अधिक मनोरंजक आहे? मग आपल्यासाठी हे एक वाईट उदाहरण आहे. बरीच अडचण झाली मी या उदाहरणात सांगतो की, गणिताच्या सर्व समस्यांचे निराकरण करण्याचा चातुर्य आणि सर्वात सार्वभौम नियम वाचतो.

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

विश्रांतीसाठी एक उदाहरण सोपे आहे:

9 2 x - 4 3 x = 0

आणि मिष्टान्न साठी. समीकरणाच्या मुळांची बेरीज शोधा:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

होय होय! हे मिश्रित समीकरण आहे! ज्याचा आम्ही या पाठात विचार केला नाही. आणि त्यांचा विचार केला पाहिजे, त्यांचे निराकरण होणे आवश्यक आहे!) हे धडे समीकरण सोडवण्यासाठी पुरेसे आहे. असो, जाणकार आवश्यक आहे ... आणि सातव्या वर्गात आपल्याला मदत होऊ शकेल (हा एक इशारा आहे!).

उत्तरे (गोंधळात, अर्धविराम विभक्त):

एक; 2; 3; 4; उपाय नाहीत; 2; -2; -फाइव्ह; 4; 0

सर्व काही ठीक ना? उत्कृष्ट

एक समस्या आहे? हरकत नाही! विशेष कलम 555 मध्ये, ही सर्व घातांक समीकरणे तपशीलवार स्पष्टीकरणांसह सोडविली गेली आहेत. काय, का आणि का. आणि अर्थातच, सर्व प्रकारच्या घातांकीय समीकरणासह कार्य करण्याची अतिरिक्त मौल्यवान माहिती आहे. फक्त या नाहीत.)

एक शेवटचा मजेदार प्रश्न. या ट्यूटोरियल मध्ये आम्ही घातांक समीकरणे सह कार्य केले. मी येथे ओडीझेड बद्दल एक शब्द का बोललो नाही?समीकरणांमध्ये, ही एक अगदी महत्वाची गोष्ट आहे, तसे ...

आपल्याला ही साइट आवडत असल्यास ...

तसे, माझ्याकडे आपल्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

आपण उदाहरणे सोडविण्याचा सराव करू शकता आणि आपली पातळी शोधू शकता. त्वरित प्रमाणीकरण चाचणी. शिकत आहे - व्याजसह!)

आपण कार्ये आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

घातांकीय समीकरणे कशी सोडवायची

निराकरणाशिवाय घातांकीय समीकरणे

एक सकारात्मक संख्या कोणत्याही प्रमाणात सकारात्मक राहील.

भिन्न तळांसह घातांकीय समीकरणे

घातांकीय समीकरणे विस्तृत मार्गदर्शक (2019)

अभिव्यक्ती मूल्यांकन सरासरी स्तर

अभिव्यक्ती मूल्यांकन उन्नत स्तर

अभिव्यक्ती मूल्यांकन संक्षिप्त वर्णन आणि मूलभूत फॉर्म्युला

घातांकीय समीकरणांचे निराकरण. उदाहरणे.

सर्वात सोपा घातांकीय समीकरणांचे निराकरण.

सोपी घातांकीय समीकरणे सोडवित आहे. उदाहरणे.

घातांकीय समीकरणे सोडविताना चल बदलणे. उदाहरणे.

आपल्याला ही साइट आवडत असल्यास ...

संपादकाची निवड