रूट म्हणजेच वर्ग मोजा. मानक विचलन काय आहे - एक्सेलमध्ये मानक विचलनाची गणना करण्यासाठी मानक विचलन फंक्शनचा वापर करणे

भिन्नतेचे सर्वात परिपूर्ण वैशिष्ट्य म्हणजे मूळ-चौरस विचलन, ज्याला मानक (किंवा मानक विचलन) म्हणतात. प्रमाण विचलन   () अंकगणिताच्या माध्यमापासून गुणधर्मांच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या स्वतंत्र चौरस विचलनाच्या स्क्वेअर रूटच्या समान आहे:

प्रमाण विचलन सोपे आहे:

गटबद्ध डेटावर भारित माध्यमिक मानक विचलन लागू होते:

सामान्य वितरणामधील सरासरी चौरस आणि सरासरी रेषीय विचलना दरम्यान, खालील संबंध धारण करतात: ~ 1.25.

मूळ-चौरस विचलन, भिन्नतेचे मुख्य परिपूर्ण मोजमाप, सामान्य वितरण वक्रचे ऑर्डिनेट्स निर्धारित करण्यासाठी, नमुना निरीक्षणाच्या संघटनेशी संबंधित मोजणीमध्ये आणि नमुना वैशिष्ट्यांची अचूकता स्थापित करण्यासाठी, तसेच एकसंध लोकसंख्येतील विशिष्टतेच्या मर्यादेचे मूल्यांकन करण्यासाठी वापरले जाते.

फैलाव, त्याचे प्रकार, मानक विचलन.

यादृच्छिक भिन्नता   - दिलेल्या यादृच्छिक चलच्या प्रसाराचे एक उपाय, म्हणजे गणिताच्या अपेक्षेपासून त्याचे विचलन. आकडेवारीमध्ये, पदनाम किंवा बहुतेकदा वापरला जातो. भिन्नतेचे चौरस मूळ प्रमाण विचलन, प्रमाण विचलन किंवा मानक फैलाव असे म्हणतात.

एकूण भिन्नता (. 2) ही भिन्नता कारणीभूत असलेल्या सर्व घटकांच्या प्रभावाखाली संपूर्णतेच्या लक्षणातील भिन्नता मोजते. त्याच वेळी, गटबद्ध करण्याच्या पद्धतीबद्दल धन्यवाद, गटातील वैशिष्ट्यामुळे आणि भिन्न नसलेल्या घटकांच्या प्रभावाखाली उद्भवणारे फरक वेगळे करणे आणि त्याचे मोजमाप करणे शक्य आहे.

इंटरग्रुप फैलाव (mg 2 मिलीग्राम) एक पद्धतशीर भिन्नता दर्शवते, म्हणजेच, लक्षणांच्या प्रभावाखाली उद्भवलेल्या अभ्यास केलेल्या गुणधर्मातील परिमाणात फरक - गटबद्धतेचा घटक.

प्रमाण विचलन (समानार्थी शब्द: मानक विचलन, प्रमाण विचलन, प्रमाण विचलन; संबंधित पद: मानक विचलन, मानक स्कॅटर) - संभाव्यता सिद्धांत आणि आकडेवारीमध्ये गणितीय अपेक्षेच्या तुलनेत यादृच्छिक मूल्यांच्या फैलावांचे सर्वात सामान्य सूचक. मूल्यांच्या नमुन्यांच्या मर्यादित अ\u200dॅरेसाठी, गणिताच्या अपेक्षेऐवजी, नमुन्यांच्या संचाचा अंकगणित मध्यम वापरला जातो.

मानक विचलन हे यादृच्छिक चल स्वतःच मोजण्यासाठीच्या युनिट्समध्ये मोजले जाते आणि अंकगणित माध्यमाची मानक त्रुटी मोजण्यासाठी, आत्मविश्वास अंतराची रचना तयार करण्यासाठी, गृहीतकांच्या सांख्यिकीय चाचणीमध्ये, यादृच्छिक चरांमधील रेषात्मक संबंध मोजण्यासाठी वापरले जाते. हे यादृच्छिक चलच्या भिन्नतेचे चौरस मूळ म्हणून परिभाषित केले जाते.

प्रमाण विचलन:

प्रमाण विचलन   (यादृच्छिक चल च्या मानक विचलनाचा अंदाज x   त्याच्या भिन्नतेच्या निष्पक्ष अंदाजानुसार गणिताच्या अपेक्षेनुसार):

फरक कुठे आहे; - मीनिवडीचा -वा घटक; - नमुना आकार; - नमुना अंकगणित मध्यम:

हे लक्षात घेतले पाहिजे की दोन्ही अंदाज पक्षपाती आहेत. सामान्य प्रकरणात, एक निःपक्षपाती अंदाज बांधला जाऊ शकत नाही. तथापि, निःपक्षपाती रूपांतरच्या अंदाजावर आधारित अंदाज सुसंगत आहे.

मोड आणि मध्यम निश्चित करण्यासाठी सार, व्याप्ती आणि प्रक्रिया.

आकडेवारीत उर्जा सरासरी व्यतिरिक्त, स्ट्रक्चरल एव्हरेज विविध वैशिष्ट्यांचे परिमाण आणि वितरण मालिकेच्या अंतर्गत संरचनेच्या सापेक्ष वैशिष्ट्यांसाठी वापरले जातात, जे प्रामुख्याने प्रतिनिधित्व केले जातात. फॅशन आणि मेड.

फॅशन- ही मालिकेची सर्वात सामान्य आवृत्ती आहे. उदाहरणार्थ, फॅशनचा वापर कपड्यांचे आकार निश्चित करण्यात, खरेदीदारांमध्ये सर्वाधिक मागणी असणारी शूज. स्वतंत्र मालिकेसाठी फॅशन हा उच्च वारंवारतेसह पर्याय आहे. मध्यांतर भिन्न मालिकेसाठी मोडची गणना करत असताना, सर्वप्रथम मोडल अंतराल (जास्तीत जास्त वारंवारतेनुसार) निर्धारित करणे आवश्यक आहे, आणि नंतर सूत्राद्वारे मोडल वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्याचे मूल्यः

- - फॅशन मूल्य

- - मोडल मध्यांतर कमी सीमा

- - मध्यांतर मूल्य

- - मोडल मध्यांतर वारंवारता

- - मोडलच्या आधीच्या अंतराची वारंवारता

- - मोडल खालील अंतराची वारंवारिता

मध्यम -हे त्या गुणधर्माचे मूल्य आहे जे रँक केलेल्या मालिकेस अधोरेखित करते आणि ही मालिका समान आकाराच्या दोन भागात विभाजित करते.

फ्रिक्वेन्सीच्या उपस्थितीत असणार्\u200dया मालिकेमध्ये मध्यम निश्चित करण्यासाठी प्रथम फ्रिक्वेन्सीची अर्धा बेरीज मोजली जाते आणि नंतर त्यावरील रूप्याचे कोणते मूल्य पडते हे निर्धारित केले जाते. (जर क्रमवारी लावलेल्या मालिकेत विचित्र संख्येची वैशिष्ट्ये असतील तर साधारण संख्या सूत्राद्वारे मोजली जाईल:

एम ई \u003d (एन (एकत्रित वैशिष्ट्यांची संख्या) + 1) / 2,

समान संख्येच्या लक्षणांच्या बाबतीत, मध्यभाषा पंक्तीच्या मध्यभागी असलेल्या दोन चिन्हेच्या सरासरीइतकी असेल).

गणना करताना मेडियन्स   मध्यांतर फरक मालिकेसाठी, प्रथम मध्यभागी ज्या मध्यभागी स्थित आहे त्याचे अंतर निर्धारित करा आणि नंतर सूत्राद्वारे मध्यम मूल्यः

- - मध्यम

- - मध्यभागी असलेल्या मध्यांतरची खालची मर्यादा

- - मध्यांतर मूल्य

- - वारंवारता किंवा मालिकेच्या सदस्यांची संख्या

मध्यकाआधीच्या अंतराच्या संचयित वारंवारितांची बेरीज

- - मध्यम अंतराची वारंवारता

उदाहरण. फॅशन आणि मध्यम शोधा.

समाधान:
  या उदाहरणात, मोडल इंटरव्हल 25-30 वर्षे वयोगटातील आहे, कारण या मध्यांतरची वारंवारता सर्वाधिक आहे (1054).

आम्ही मोडची परिमाण मोजतो:

याचा अर्थ विद्यार्थ्यांचे मॉडेल वय 27 वर्षे आहे.

आम्ही मध्यम मोजतो. मध्यम अंतराल 25-30 वर्षे वयोगटातील आहे कारण या अंतराच्या आत लोकसंख्या दोन समान भागांमध्ये विभाजित करते (i / 2 \u003d 3462/2 \u003d 1731). पुढे आपण आवश्यक संख्यात्मक डेटा सूत्रामध्ये बदलू आणि मध्यम मूल्य मिळवू:

याचा अर्थ असा की विद्यार्थ्यांपैकी निम्मे विद्यार्थी २.4..4 वर्षाखालील आणि इतर २ and..4 वर्षापेक्षा जास्त वयाचे आहेत.

मोड आणि मेडीन व्यतिरिक्त, श्रेणीचे पंक्ती 4 समान भागामध्ये विभाजित करणारे कपाटीसारखे सूचक, deciles- 10 भाग आणि शतांश - प्रति 100 भाग.

निवडक निरीक्षणाची संकल्पना आणि त्याची व्याप्ती.

निवडक निरीक्षण   सतत निरिक्षण अर्ज असताना लागू शारीरिक अशक्य   मोठ्या डेटा अ\u200dॅरेमुळे किंवा आर्थिकदृष्ट्या व्यवहार्य नाही. शारीरिक अशक्यता उद्भवते, उदाहरणार्थ, प्रवाशांचा प्रवाह, बाजारभाव, कौटुंबिक अर्थसंकल्पाचा अभ्यास. त्यांच्या नाशशी संबंधित वस्तूंच्या गुणवत्तेचे मूल्यांकन करताना आर्थिक कमतरता येते, उदाहरणार्थ, चाखणे, विटांचे सामर्थ्य परीक्षण इ.

निरीक्षणासाठी निवडलेल्या सांख्यिकीय युनिट्समध्ये एक नमुना लोकसंख्या किंवा नमुना यांचा समावेश आहे आणि त्यांचे संपूर्ण अ\u200dॅरे सामान्य लोकसंख्या (जीएस) आहेत. नमुने मधील युनिट्सची संख्या आहे एन, आणि संपूर्ण एचएस मध्ये - एन. वृत्ती एन / एन   ज्याला सापेक्ष आकार किंवा अपूर्णांक नमूना म्हणतात.

नमुना निरीक्षणाच्या निकालांची गुणवत्ता नमुन्याच्या प्रतिनिधीत्वांवर अवलंबून असते, म्हणजेच एचएसमध्ये ते किती प्रतिनिधी आहेत यावर. नमुना प्रतिनिधित्व सुनिश्चित करण्यासाठी, युनिट्सच्या यादृच्छिक निवडीचे सिद्धांत, जे सूचित करते की नमुन्यात एचएसच्या युनिटचा समावेश केल्याशिवाय केस व्यतिरिक्त इतर कोणत्याही घटकाचा प्रभाव असू शकत नाही.

आहे 4 यादृच्छिक निवड पद्धती   नमुना करण्यासाठी:

1. वास्तविक यादृच्छिक   निवड किंवा “लोट्टो मेथड”, जेव्हा सांख्यिकीय संख्या निश्चित वस्तूंवर उदाहरणार्थ क्रमांकाची संख्या दिली जाते (उदाहरणार्थ बॅरल), ज्या नंतर एका विशिष्ट कंटेनरमध्ये मिसळल्या जातात (उदाहरणार्थ, बॅगमध्ये) आणि यादृच्छिकपणे निवडल्या जातात. सराव मध्ये, ही पद्धत यादृच्छिक संख्या जनरेटर किंवा यादृच्छिक क्रमांकाच्या गणितीय सारण्यांचा वापर करून चालविली जाते.
2. यांत्रिकी   निवड, त्यानुसार प्रत्येक ( एन / एन) सर्वसामान्यांची व्याप्ती. उदाहरणार्थ, यात 100,000 मूल्ये असल्यास आणि आपल्याला 1,000 निवडण्याची इच्छा असल्यास प्रत्येक 100,000 / 1000 \u003d 100 वा मूल्य नमुन्यात येईल. शिवाय, जर त्यांना क्रमवारीत स्थान दिले नाही तर प्रथम शंभर पासून यादृच्छिकपणे निवडले जाईल, आणि इतरांची संख्या शंभर जास्त असेल. उदाहरणार्थ, जर युनिट क्रमांक 19 प्रथम असेल तर क्रमांक 119 पुढील असावा, नंतर 219 क्रमांक, नंतर क्रमांक 319 इ. जर सामान्य लोकसंख्येच्या युनिट्सची क्रमवारी लावली गेली असेल तर प्रथम क्रमांक 50 निवडला जाईल, त्यानंतर क्रमांक 150, नंतर क्रमांक 250 आणि इतर.
3. विषम डेटा अ\u200dॅरेमधून मूल्ये घेतली जातात. स्तरीकृत(स्तरीकृत) मार्गाने जेव्हा सामान्य लोकसंख्या पूर्वी एकसंध गटांमध्ये विभागली जाते, ज्यावर यादृच्छिक किंवा यांत्रिक निवड लागू केली जाते.
4. नमुना घेण्याचा एक विशिष्ट मार्ग आहे मालिका   निवड, ज्यामध्ये यादृच्छिक किंवा यांत्रिकरित्या वैयक्तिक प्रमाणात निवडत नाहीत, परंतु त्यांची मालिका (काही क्रमांकासाठी सलग काही क्रमांकावरील अनुक्रम), ज्याच्या अंतर्गत सतत देखरेखीखाली ठेवले जाते.

नमुना निरीक्षणाची गुणवत्ता यावर अवलंबून असते नमुना प्रकार: पुनरावृत्ती   किंवा अपरिवर्तनीय

  येथे पुन्हा निवड   नमुन्यात पडलेल्या आकडेवारीचे प्रमाण किंवा वापरानंतर त्यांच्या मालिका नवीन लोकांच्या नमुन्यात येण्याची संधी असल्यामुळे सामान्य लोकांकडे परत केल्या जातात. त्याच वेळी, सर्वसामान्यांच्या सर्व मूल्यांमध्ये नमुन्यामध्ये समावेश करण्याची समान संभावना आहे.

निरंतर निवड   म्हणजे सांख्यिकीय प्रमाणात किंवा त्यांची मालिका जी नमुन्यात वापरल्यानंतर पडली ती सामान्य लोकांकडे परत येत नाही आणि म्हणूनच नंतरच्या उर्वरित मूल्यांसाठी पुढील नमुना पडण्याची शक्यता वाढते.

अवांछित निवड अधिक अचूक परिणाम देते, म्हणून ती बर्\u200dयाचदा वापरली जाते. परंतु अशी परिस्थिती उद्भवू शकते जेव्हा ते लागू केले जाऊ शकत नाही (प्रवाशांच्या प्रवाहाचा अभ्यास, ग्राहकांची मागणी इ.) आणि त्यानंतर पुन्हा निवड केली जाते.

निरीक्षणाच्या नमुन्यांची सीमान्त त्रुटी, नमुन्याची सरासरी त्रुटी, त्यांच्या गणनाची क्रमवारी.

नमुना तयार करण्यासाठी वर सूचीबद्ध केलेल्या पद्धती आणि उद्भवलेल्या त्रुटींचा विचार करा प्रतिनिधित्व .
वास्तविक यादृच्छिक   नमुना कोणत्याही प्रणालीगत घटकांशिवाय यादृच्छिकपणे लोकसंख्येमधून युनिट्सच्या निवडीवर आधारित आहे. तांत्रिकदृष्ट्या योग्य यादृच्छिक निवड चिठ्ठी काढण्याच्या (उदाहरणार्थ लॉटरी) पद्धतीद्वारे किंवा यादृच्छिक संख्येच्या सारणीनुसार केली जाते.

वास्तविक निवडक निरीक्षणाच्या अभ्यासामध्ये यादृच्छिक “शुद्ध” निवड क्वचितच वापरली जाते, परंतु इतर प्रकारच्या निवडींमध्ये ही आरंभिक आहे, निवडक निरीक्षणाच्या मूलभूत तत्त्वांची अंमलबजावणी करते. आपण सॅम्पलिंग पद्धतीच्या सिद्धांताचे काही प्रश्न आणि सोप्या यादृच्छिक सॅम्पलिंगच्या त्रुटी सूत्रांचा विचार करूया.

नमुना त्रुटी   - सर्वसामान्यांमधील पॅरामीटरचे मूल्य आणि नमुन्यांच्या निरीक्षणाच्या परिणामापासून त्याची गणना केली जाते. सरासरी परिमाणात्मक वैशिष्ट्यासाठी, नमुना त्रुटी निश्चित केली जाते

मेट्रिकला सीमान्त नमुना त्रुटी असे म्हणतात.
  नमुना सरासरी एक यादृच्छिक चल आहे जो नमुनामध्ये कोणत्या युनिट्सवर अवलंबून आहेत यावर अवलंबून भिन्न मूल्ये घेऊ शकतात. म्हणून, सॅम्पलिंग त्रुटी देखील यादृच्छिक चल आहेत आणि भिन्न मूल्ये घेऊ शकतात. म्हणून, संभाव्य त्रुटींची सरासरी निश्चित करा - सरासरी नमुना त्रुटी   यावर अवलंबून आहे:

नमुना आकार: संख्या मोठी, सरासरी त्रुटी कमी;

अभ्यासाअंतर्गत असलेल्या लक्षणांमधील बदलाची डिग्री: गुणधर्मांचे फरक जितके लहान असेल आणि परिणामी, भिन्नता, सरासरी सॅम्पलिंग त्रुटी कमी.

येथे यादृच्छिक पुन्हा निवडसरासरी त्रुटी गणना केली जाते:
.
  सराव मध्ये, सामान्य फरक नक्की माहित नाही, परंतु मध्ये संभाव्यता सिद्धांत   हे सिद्ध केले
.
  पुरेसे मोठ्या एनचे मूल्य 1 जवळ असल्याने आपण असे समजू शकतो. तर सरासरी नमूना त्रुटीची गणना केली जाऊ शकते:
.
  परंतु लहान नमुना बाबतीत (एन साठी<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

येथे यादृच्छिक नमुना   वरील सूत्र मूल्येनुसार समायोजित केले आहेत. नंतर पुन्हा न वापरल्या जाणार्\u200dया नमुन्यांची सरासरी त्रुटी:
  आणि .
  कारण नेहमीच कमी, तर गुणक () नेहमीच 1 पेक्षा कमी असते. याचा अर्थ असा की पुनरावृत्ती न केलेल्या नमुन्यांपेक्षा पुनरावृत्ती नमुन्यासह सरासरी त्रुटी नेहमीच कमी असते.
यांत्रिकी नमुने लोकसंख्या काही प्रकारे क्रमवारी लावल्यास लागू होते (उदा. मतदार यादीनुसार अक्षरे, फोन नंबर, घर क्रमांक, अपार्टमेंट नंबर). युनिट्सची निवड ठराविक अंतराने केली जाते, जी नमुन्याच्या टक्केवारीच्या व्यतिरिक्त असते. तर 2% नमुन्यासह, प्रत्येक 50 युनिट \u003d 1 / 0.02 निवडले आहे, 5% प्रत्येक लोकसंख्येच्या 1 / 0.05 \u003d 20 युनिट्ससह.

संदर्भ बिंदू वेगवेगळ्या मार्गांनी निवडला जातो: यादृच्छिकपणे, मध्यांतरच्या मध्यभागी पासून, संदर्भ बिंदूमधील बदलासह. मुख्य गोष्ट म्हणजे पद्धतशीर त्रुटी टाळणे. उदाहरणार्थ, 5% नमुन्यासह, 13 ला प्रथम युनिट म्हणून निवडले असेल तर पुढील 33, 53, 73 इ.

अचूकतेने, यांत्रिक निवड यादृच्छिक सॅम्पलिंगच्या जवळ आहे. म्हणूनच, यांत्रिक नमुन्याची सरासरी त्रुटी निश्चित करण्यासाठी, यादृच्छिक नमुना घेण्याची सूत्रे वापरली जातात.

येथे ठराविक निवड   सर्वेक्षण केलेली लोकसंख्या पूर्वी एकसंध, समान गटांमध्ये विभागली गेली होती. उदाहरणार्थ, उद्योगांचे परीक्षण करताना ते लोकसंख्या - क्षेत्रे, सामाजिक किंवा वयोगटांचा अभ्यास करताना उद्योग, उप-क्षेत्रे असू शकतात. मग प्रत्येक गटाकडून यांत्रिकी पद्धतीने किंवा यादृच्छिक मार्गाने स्वतंत्र निवड केली जाते.

एक नमुना नमुना इतर पद्धतींच्या तुलनेत अधिक अचूक परिणाम देतो. सामान्य लोकसंख्येचे टायपलायझेशन प्रत्येक टायपोलॉजिकल गटाच्या नमुन्यात प्रतिनिधित्त्व सुनिश्चित करते, जे सरासरी नमुना त्रुटीवर आंतरसमूह पसरविण्याचे प्रभाव काढून टाकते. म्हणून, फैलाव व्यतिरिक्त नियम () नुसार ठराविक नमुनाची त्रुटी शोधताना, केवळ गट रूपांची सरासरी विचारात घेणे आवश्यक आहे. नंतर सरासरी नमूना त्रुटी:
  पुन्हा निवड केल्यावर
,
  पुनरावृत्ती निवडीवर
,
  कुठे   - नमुन्यात इंट्राग्रुप प्रकारांची सरासरी.

अनुक्रमांक (किंवा घरटे) निवड   नमुना सर्वेक्षण सुरू होण्यापूर्वी लोकसंख्या मालिका किंवा गटांमध्ये विभागली गेली तेव्हा लागू होते. या मालिकांमध्ये तयार झालेले उत्पादन पॅकेजिंग, विद्यार्थी गट, ब्रिगेड्स समाविष्ट असू शकतात. तपासणीसाठी मालिका यांत्रिकपणे किंवा यादृच्छिक मार्गाने निवडल्या जातात आणि मालिकांच्या अंतर्गत युनिट्सची सतत तपासणी केली जाते. म्हणूनच, सरासरी नमुना त्रुटी केवळ आंतरसमूह (अंतर्देशीय) भिन्नतेवर अवलंबून असते, जी सूत्राद्वारे मोजली जाते:

  जेथे आर निवडलेल्या मालिकांची संख्या आहे;
  - आय-थी मालिकेची सरासरी.

  अनुक्रमे नमुन्याच्या सरासरी त्रुटीची गणना केली जाते:

पुनरावृत्ती निवड:
,
  पुनरावृत्ती निवडीच्या बाबतीतः
,
  जेथे आर भागांची एकूण संख्या आहे.

एकत्रितनिवड   निवडल्या जाणार्\u200dया निवड पद्धतींचे संयोजन आहे.

कोणत्याही सॅम्पलिंग पद्धतीसाठी सरासरी नमुना त्रुटी मुख्यतः नमुन्याच्या निरपेक्ष संख्येवर आणि थोड्या प्रमाणात नमुन्याच्या टक्केवारीवर अवलंबून असते. समजा, एकूण population,500०० युनिटपैकी २२5 निरीक्षणे पहिल्या प्रकरणात आणि दुस --्या - २२,000,००० युनिट्समध्ये केली आहेत. दोन्ही प्रकरणांमध्ये भिन्नता 25 आहे. नंतर, पहिल्या प्रकरणात, 5% निवडीसह, नमुना त्रुटी असेल:

  दुसर्\u200dया बाबतीत, 0.1% निवडीवर, ते बरोबरीचे असेल:

या मार्गाने, सॅम्पलिंगची टक्केवारी 50 पट कमी करत असताना, नमुन्यांची संख्या बदलली नसल्यामुळे, नमुन्यांची त्रुटी थोडीशी वाढली.
  समजा नमुना आकार 625 निरिक्षणांपर्यंत वाढविला गेला. या प्रकरणात, नमूना त्रुटी:

  समान लोकसंख्येच्या नमुन्यातील 2.8 पट वाढीमुळे नमुना त्रुटीचा आकार 1.6 पेक्षा जास्त वेळा कमी होतो.

नमुना तयार करण्याच्या पद्धती आणि पद्धती.

आकडेवारीमध्ये, नमुने संच तयार करण्याच्या विविध पद्धती वापरल्या जातात, जे अभ्यासाच्या उद्दिष्टांद्वारे निर्धारित केल्या जातात आणि अभ्यासाच्या ऑब्जेक्टच्या विशिष्टतेवर अवलंबून असतात.

नमुना सर्वेक्षण करण्यासाठी मुख्य अट म्हणजे सामान्य लोकसंख्येच्या प्रत्येक घटकाच्या नमुन्यात पडण्याच्या समान संधींच्या तत्त्वाचे उल्लंघन केल्यामुळे उद्भवणारी पद्धतशीर त्रुटी टाळणे होय. नमुना लोकसंख्या तयार करण्याच्या वैज्ञानिकदृष्ट्या आधारित पद्धती लागू केल्यामुळे पद्धतशीर त्रुटींचे प्रतिबंधन साध्य केले जाते.

सामान्य लोकसंख्येमधून युनिट्स निवडण्यासाठी खालील पद्धती आहेतः

1) वैयक्तिक निवड - नमुन्यात वैयक्तिक युनिट्स निवडल्या जातात;

२) गट निवड - गुणात्मक एकसंध गट किंवा अभ्यास केलेल्या युनिटची मालिका नमुने मध्ये पडतात;

3) एकत्रित निवड वैयक्तिक आणि गट निवडीचे संयोजन आहे.
  नमुने तयार करण्याच्या नियमांद्वारे निवड पद्धती निर्धारित केल्या जातात.

नमुना असू शकतो:

• योग्य यादृच्छिक   सामान्य लोकसंख्येमधील स्वतंत्र घटकांची यादृच्छिक (नकळत) निवड केल्याने नमुना तयार झाला आहे. शिवाय, नमुना लोकसंख्येमध्ये निवडलेल्या युनिट्सची संख्या सामान्यतः नमुन्याच्या स्वीकारलेल्या वाटाच्या आधारे निश्चित केली जाते. नमुनाचा अपूर्णांक म्हणजे नमुना लोकसंख्येच्या युनिटच्या संख्येचे प्रमाण आणि सामान्य लोकसंख्या एन, च्या युनिट्सची संख्या.

• यांत्रिक नमुन्यातील युनिट्सची निवड सर्वसाधारण लोकांकडून समान अंतराने (गट) विभागली गेली आहे. सामान्य लोकसंख्येमधील मध्यांतरचे आकार नमुन्याच्या अपूर्णांकांच्या पारस्परिक समान असतात. तर, 2% नमुन्यासह, प्रत्येक 50 व्या युनिट (1: 0.02) ची निवड केली जाते, प्रत्येक 20 व्या युनिट (1: 0.05) इ. सह 5% नमुना. अशा प्रकारे, निवडीच्या स्वीकारलेल्या वाटेनुसार, लोकसंख्या जणू यांत्रिकदृष्ट्या समान गटात विभागली गेली आहे. प्रत्येक गटातून फक्त एक युनिट निवडली जाते.
• ठराविक -ज्यामध्ये सामान्य लोकसंख्या प्रथम एकसंध ठराविक गटांमध्ये विभागली जाते. मग, स्वत: ची यादृच्छिक किंवा यांत्रिक नमुन्याद्वारे प्रत्येक नमुनेदार समुहातून, नमुना सेटमध्ये युनिट्सची स्वतंत्र निवड केली जाते. ठराविक नमुन्याचे एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य म्हणजे ते नमुना लोकसंख्येमधील युनिट्स निवडण्याच्या इतर पद्धतींच्या तुलनेत अधिक अचूक परिणाम देते;
• मालिका   - ज्यामध्ये सामान्य लोकसंख्या समान खंड - श्रेणीतील गटांमध्ये विभागली गेली आहे. नमुन्यांची संख्या असलेल्या मालिकेची निवड केली जाते. मालिकेच्या आत, निरंतर निरीक्षण मालिकांमध्ये येणा units्या युनिट्सचे बनलेले असते;
• एकत्रित   - निवड दोन-टप्प्यात असू शकते. या प्रकरणात, सर्वसाधारण लोक प्रथम गटांमध्ये विभागले गेले आहे. नंतर गट निवडले जातात आणि नंतरच्या काळात स्वतंत्र एकके निवडली जातात.

आकडेवारीमध्ये, नमुन्यात युनिट्स निवडण्याच्या खालील पद्धती भिन्न आहेतः:

• एक टप्पा   नमुना तयार करणे - प्रत्येक निवडलेल्या युनिटचा त्वरित दिलेल्या निकषानुसार अभ्यास केला जातो (प्रत्यक्षात यादृच्छिक आणि अनुक्रमे नमुने);
• मल्टीस्टेज   नमुना - निवड वैयक्तिक गटांच्या सामान्य लोकसंख्येमधून केली जाते, आणि वैयक्तिक युनिट गटांमधून निवडल्या जातात (नमुना लोकसंख्येमध्ये युनिट्स निवडण्याच्या यांत्रिक पद्धतीसह विशिष्ट नमुना).

याव्यतिरिक्त, येथे आहेत:

• पुन्हा निवड   - परतलेल्या बॉलच्या योजनेनुसार. या प्रकरणात, नमुन्यात समाविष्ट केलेले प्रत्येक युनिट, गो मालिका सर्वसामान्यांकडे परत येते आणि म्हणून पुन्हा नमुन्यात येण्याची संधी आहे;
• निवड रद्द केली   - परत न केलेल्या बॉलच्या योजनेनुसार. त्याचे समान नमुना आकाराचे अधिक अचूक परिणाम आहेत.

आवश्यक नमुना आकार (विद्यार्थी टेबल वापरुन) निर्धारित करणे.

निवडक पद्धतीच्या सिद्धांतातील एक वैज्ञानिक सिद्धांत म्हणजे निवडलेल्या युनिट्सची पर्याप्त संख्या सुनिश्चित करणे. सैद्धांतिकदृष्ट्या, या तत्त्वाचे पालन करण्याची आवश्यकता संभाव्यतेच्या सिद्धांताच्या मर्यादेच्या सिद्धांतांच्या पुराव्यांमधून सादर केली गेली आहे, जी सामान्य लोकसंख्येमधून किती युनिट्स निवडली जावी हे स्थापित करण्यास आपल्याला परवानगी देते जेणेकरून ते पुरेसे असेल आणि नमुनाची प्रतिनिधित्व सुनिश्चित करेल.

प्रमाणित नमुना त्रुटीमध्ये घट, आणि म्हणूनच, अंदाजाच्या अचूकतेत वाढ नेहमीच नमुन्याच्या आकारात वाढीशी संबंधित असते; म्हणूनच, एखादे नमुना निरीक्षण आयोजित करण्याच्या टप्प्यावरही, निरीक्षणाच्या निकालांची आवश्यक अचूकता सुनिश्चित करण्यासाठी नमुना लोकसंख्या काय असावी हे ठरविले पाहिजे. आवश्यक नमुना आकाराची गणना विशिष्ट प्रकार आणि निवडण्याच्या पद्धतीशी संबंधित सीमान्त नमुना त्रुटी (ए) च्या सूत्रांकडून प्राप्त सूत्रांचा वापर करून तयार केली जाते. तर, यादृच्छिक पुनरावृत्ती नमुना आकारासाठी (एन), आमच्याकडेः

या सूत्राचा सार असा आहे की आवश्यक संख्येची यादृच्छिक पुन्हा निवड झाल्यास, नमुना आकार थेट आत्मविश्वास गुणनाच्या वर्गानुसार आहे. (टी 2)आणि व्हेरिएंट फीचरचे भिन्नता (? 2) आणि मार्जिनल सॅम्पलिंग एरर (? 2) च्या स्क्वेअरशी विपरित प्रमाणात आहे. विशेषतः, दोन घटकांद्वारे किरकोळ त्रुटी वाढविल्यास, आवश्यक नमुना आकार चारच्या घटकासह कमी केला जाऊ शकतो. तीन मापदंडांपैकी, दोन (टी आणि?) संशोधकांनी सेट केले आहेत.

  या प्रकरणात, संशोधक पुढे जात आहेत   नमुन्याच्या पाहणीच्या कार्यक्षेत्रातून, मी हा प्रश्न सोडवायला हवा: सर्वोत्तम पर्याय सुनिश्चित करण्यासाठी कोणत्या परिमाणात्मक संयोजनात या पॅरामीटर्सचा समावेश करणे चांगले आहे? एका प्रकरणात, अचूकतेच्या मोजमापापेक्षा (?) प्राप्त केलेल्या निकालांच्या विश्वासार्हतेसह अधिक आरामदायक असू शकते, दुसर्\u200dया बाबतीत, उलट. नमुन्याच्या सीमान्त त्रुटीच्या परिमाणानुसार समस्येचे निराकरण करणे अधिक अवघड आहे, कारण नमूना निरीक्षणाच्या डिझाईन टप्प्यावर संशोधकाकडे हा निर्देशक नसतो, म्हणूनच सामान्यत: गुणधर्मांच्या अपेक्षित सरासरी पातळीच्या 10% आत नमुन्याच्या सीमान्त त्रुटीची परिमाण सेट करणे प्रथा आहे. अंदाजे सरासरी पातळीच्या स्थापनेसाठी वेगवेगळ्या प्रकारे संपर्क साधला जाऊ शकतो: पूर्वी केलेल्या समान सर्वेक्षणांमधील डेटा वापरा किंवा नमुना फ्रेममधून डेटा वापरा आणि एक लहान चाचणी नमुना बनवा.

नमुना निरीक्षणाचे डिझाइन करताना, फॉर्म्युला (5.2) मधील तिसरा पॅरामीटर स्थापित करणे सर्वात कठीण आहे - नमुना लोकसंख्येचा फरक. या प्रकरणात, यापूर्वी घेण्यात आलेल्या समान आणि चाचणी परीक्षांमध्ये प्राप्त झालेल्या संशोधकास उपलब्ध असलेल्या सर्व माहितीचा वापर करणे आवश्यक आहे.

व्याख्या प्रश्न   जर नमूना सर्वेक्षणात निवड युनिटच्या अनेक गुणधर्मांचा अभ्यास केला गेला असेल तर आवश्यक नमुना आकार गुंतागुंतीचा आहे. या प्रकरणात, प्रत्येक चिन्हाची सरासरी पातळी आणि त्यांचे नियम, एक नियम म्हणून भिन्न आहेत आणि म्हणूनच कोणत्या चिन्हाचे प्राधान्य द्यायचे याचा फैलाव करण्याचा निर्णय घेण्यासाठी केवळ सर्वेक्षणातील उद्दीष्ट आणि उद्दीष्टे विचारात घेणे शक्य आहे.

नमुना निरीक्षणाची रचना करताना, एखाद्या विशिष्ट अभ्यासाच्या उद्दीष्टे आणि निरीक्षणाच्या निकालाच्या निष्कर्षाच्या संभाव्यतेनुसार परवानगीयोग्य नमुना त्रुटीचे पूर्वनिर्धारित मूल्य गृहित धरले जाते.

सर्वसाधारणपणे, नमुना सरासरीच्या किरकोळ त्रुटीचे सूत्र आपल्याला हे निर्धारित करण्याची परवानगी देते:

नमुना लोकसंख्येच्या निर्देशकांकडून सामान्य लोकसंख्येच्या निर्देशकांच्या संभाव्य विचलनांचे मूल्य;

नमुन्यांची आवश्यक संख्या, आवश्यक अचूकता प्रदान करते, ज्यावर संभाव्य त्रुटीची मर्यादा विशिष्ट निर्दिष्ट मूल्यापेक्षा जास्त नसते;

नमुन्यात त्रुटीची पूर्वनिर्धारित मर्यादा असण्याची शक्यता आहे.

विद्यार्थ्यांचे वितरण   संभाव्यतेच्या सिद्धांतामध्ये, हे संपूर्णपणे निरंतर वितरणाचे एक-पॅरामीटर कुटुंब आहे.

गतीशीलतेच्या पंक्ती (अंतराल, क्षण), गतीशीलतेच्या पंक्ती.

स्पीकर्सच्या पंक्ती   - ही सांख्यिकीय निर्देशकांची मूल्ये आहेत जी एका विशिष्ट कालक्रमानुसार सादर केली जातात.

प्रत्येक वेळी मालिकेमध्ये दोन घटक असतात:

1) कालावधी कालावधी (वर्षे, तिमाही, महिने, दिवस किंवा तारखा) चे निर्देशक;

२) अभ्यास केलेल्या ऑब्जेक्टचे ठराविक कालावधीसाठी किंवा संबंधित तारखांसाठी दर्शविलेले निर्देशक, ज्यांना मालिकेचे स्तर म्हणतात.

पंक्तीची पातळी व्यक्त केली जाते   परिपूर्ण आणि सरासरी किंवा संबंधित दोन्ही मूल्ये. निर्देशकांच्या स्वरूपावर अवलंबून निरपेक्ष, सापेक्ष आणि सरासरी मूल्यांची गतिमान मालिका तयार केली जाते. सापेक्ष आणि सरासरी मूल्यांमधून प्रेरक शक्तींची मालिका परिपूर्ण मूल्यांच्या व्युत्पन्न मालिकेच्या आधारावर तयार केली जाते. मध्यांतर आणि गतीशीलतेच्या मालिके दरम्यान फरक करा.

डायनॅमिक श्रेणी   विशिष्ट कालावधीसाठी निर्देशकांची मूल्ये असतात. मध्यांतर मालिकेमध्ये, स्तरांचा सारांश केला जाऊ शकतो, प्रदीर्घ कालावधीत घटनेची मात्रा किंवा तथाकथित संचयित परिणाम प्राप्त करणे.

डायनॅमिक क्षण मालिका वेळेत विशिष्ट वेळेवर (वेळेची तारीख) निर्देशकांची मूल्ये प्रतिबिंबित करतात. क्षणाच्या मालिकेत, संशोधकास केवळ घटनेतील भिन्नतेमध्ये रस असू शकतो, जे विशिष्ट तारखांमधील मालिकेच्या पातळीत होणारा बदल प्रतिबिंबित करतो, कारण इथल्या स्तरांच्या बेरीजमध्ये कोणतीही वास्तविक सामग्री नाही. येथे एकत्रित बेरीज मोजल्या जात नाहीत.

वेळ मालिकेच्या अचूक बांधकामासाठी सर्वात महत्वाची अट म्हणजे वेगवेगळ्या कालखंडातील मालिकेच्या पातळीची तुलना करणे. स्तर एकसंध प्रमाणात सादर केले पाहिजेत, इंद्रियगोचरच्या विविध भागांच्या कव्हरेजची समान परिपूर्णता असावी.

करण्यासाठी   वास्तविक गतिशीलतेचे विकृती टाळण्यासाठी, आकडेवारीच्या अभ्यासात प्राथमिक गणना केली जाते (डायनामिक्सची मालिका बंद केली जाते), जे गतिशील मालिकेच्या सांख्यिकीय विश्लेषणाच्या आधी आहे. डायनॅमिक्सची मालिका बंद केल्याने आमचा अर्थ दोन किंवा अधिक मालिका एकत्रितपणे एका पंक्तीमध्ये बनविणे, ज्याचे स्तर भिन्न पद्धतींनुसार मोजले जातात किंवा प्रादेशिक सीमारेषाशी संबंधित नाहीत इ. डायनॅमिक्सची मालिका बंद केल्याने गतिशीलतेच्या मालिकेची परिपूर्ण पातळी सामान्यपणे आणली जाऊ शकते, जे गतिशीलतेच्या मालिकेच्या पातळीची विसंगतता दूर करते.

गतिशीलता, गुणांक, वाढ आणि वाढीच्या मालिकेची तुलना करण्याची संकल्पना.

स्पीकर्सच्या पंक्ती   - ही सांख्यिकीय संकेतकांची एक मालिका आहे जी कालांतराने नैसर्गिक घटना आणि समाजाच्या विकासाचे वैशिष्ट्य दर्शविते. रशियाच्या राज्य सांख्यिकी समितीने प्रकाशित केलेल्या सांख्यिकीय संग्रहात सारणीच्या स्वरूपात गतीशीलतेच्या मोठ्या संख्येने मालिका आहेत. गतिशीलतेची श्रृंखला आम्हाला अभ्यासाच्या घटनेच्या विकासाचे नमुने ओळखण्याची परवानगी देते.

गतीशीलतेच्या मालिकेत दोन प्रकारचे निर्देशक असतात. वेळ निर्देशक   (वर्षे, तिमाही, महिने, इ.) किंवा वेळ बिंदू (वर्षाच्या सुरूवातीस, प्रत्येक महिन्याच्या सुरूवातीस इ.). पंक्ती पातळी निर्देशक. गतीशीलतेच्या मालिकेच्या पातळीचे निर्देशक परिपूर्ण शब्दात व्यक्त केले जाऊ शकतात (टन किंवा रूबलमधील उत्पादन उत्पादन), संबंधित मूल्ये (% मध्ये शहरी लोकसंख्येचे विशिष्ट गुरुत्व) आणि सरासरी मूल्ये (वर्षानुवर्षे उद्योग कामगारांचे सरासरी वेतन इ.). सारणीच्या स्वरूपात, स्पीकर्सच्या मालिकेत दोन स्तंभ किंवा दोन पंक्ती असतात.

गतीशीलतेच्या मालिकेच्या अचूक बांधकामात अनेक आवश्यकता पूर्ण करणे समाविष्ट आहे:

1. अनेक प्रेरक शक्तींचे सर्व संकेतक वैज्ञानिकदृष्ट्या दृढ, विश्वासार्ह असले पाहिजेत;
2. बर्\u200dयाच डायनॅमिक्सचे निर्देशक वेळेत तुलनात्मक असावेत, म्हणजे. समान कालावधीसाठी किंवा समान तारखांसाठी गणना करणे आवश्यक आहे;
3. अनेक गतीशीलतेचे निर्देशक संपूर्ण प्रदेशात तुलनात्मक असावेत;
4. बर्\u200dयाच डायनॅमिक्सचे निर्देशक सामग्रीमध्ये तुलनात्मक असावेत, म्हणजे. एकाच पद्धतीने गणना केली जाते, त्याच प्रकारे;
5. मोजणी केलेल्या शेतात वर्तुळात बर्\u200dयाच डायनॅमिक्सचे निर्देशक तुलनात्मक असावेत. अनेक गतीशीलतेचे सर्व निर्देशक समान युनिट्समध्ये दिले पाहिजेत.

सांख्यिकीय निर्देशक   एकतर काही कालावधीत अभ्यासलेल्या प्रक्रियेच्या परिणामाचे किंवा वेळच्या विशिष्ट वेळी अभ्यासलेल्या घटनेची स्थिती दर्शवू शकते, म्हणजे. संकेतक अंतराल (नियतकालिक) आणि क्षण असू शकतात. त्यानुसार, सुरुवातीला डायनॅमिक्सची मालिका एकतर मध्यांतर किंवा क्षण असू शकते. गतीशीलतेची क्षणिक मालिका यामधून समान आणि असमान वेळांच्या अंतराने असू शकते.

डायनॅमिक्सची प्रारंभिक मालिका सरासरी मूल्यांच्या मालिकेत आणि अनेक संबंधित मूल्ये (शृंखला आणि बेस) मध्ये रूपांतरित केली जाऊ शकते. डायनॅमिक्सच्या अशा मालिकांना डायनामिक्सची व्युत्पन्न मालिका म्हणतात.

डायनॅमिक्सच्या मालिकेच्या सरासरी पातळीची गणना करण्याची पद्धत भिन्न आहे, कारण डायनामिक्सच्या मालिकेच्या प्रकारामुळे. उदाहरणार्थ, सरासरी पातळीची गणना करण्यासाठी गतिशीलता आणि सूत्रांच्या मालिकेचे प्रकार विचारात घ्या.

परिपूर्ण नफा (Y) दर्शवितो की मागील (स्तंभ 3. - चेन परिपूर्ण वाढ) च्या तुलनेत किंवा प्रारंभिक स्तराच्या तुलनेत (स्तंभ 4 - मूलभूत निरपेक्ष वाढ) किती युनिट्स बदलली आहेत. गणना सूत्रे खालीलप्रमाणे लिहिता येतील:

मालिकेच्या निरपेक्ष मूल्यांमध्ये घट झाल्यास, त्याचप्रमाणे "घट", "घट" होईल.

परिपूर्ण वाढ निर्देशक असे सूचित करतात की उदाहरणार्थ, 1998 मध्ये 1997 च्या तुलनेत "अ" च्या उत्पादनात 4 हजार टन आणि 1994 च्या तुलनेत 34 हजार टन वाढ झाली; इतर वर्षांसाठी, टेबल पहा. 11.5 ग्रॅम 3 आणि 4.

विकास दर   मागील स्तराच्या (स्तंभ 5 - शृंखला वाढ किंवा घट गुणांक) किंवा प्रारंभिक पातळीच्या तुलनेत (स्तंभ 6 - मूलभूत वाढ किंवा घट गुणांक) किती वेळा मालिकेची पातळी बदलली आहे हे दर्शविते. गणना सूत्रे खालीलप्रमाणे लिहिता येतील:

विकास दर   मागील स्तराच्या (स्तंभ 7 - साखळी विकास दर) किंवा प्रारंभिक पातळीच्या तुलनेत (स्तंभ 8 - मूलभूत विकास दर) किती टक्के मालिका आहे याची दर्शवा. गणना सूत्रे खालीलप्रमाणे लिहिता येतील:

तर, उदाहरणार्थ, १ 1997 1996 in च्या तुलनेत १ 1996 1996 product च्या तुलनेत "अ" च्या उत्पादनाचे प्रमाण १०.5..5% होते (

विकास दर मागील एक (स्तंभ 9 - साखळी विकास दर) च्या तुलनेत किंवा प्रारंभिक पातळीच्या तुलनेत (स्तंभ 10 - मूलभूत विकास दर) किती टक्के वाढ झाली आहे हे दर्शवा. गणना सूत्रे खालीलप्रमाणे लिहिता येतील:

टी ओएल \u003d टी आर - 100% किंवा टी ओल \u003d मागील कालावधीची परिपूर्ण वाढ / पातळी * 100%

तर, उदाहरणार्थ, १ 1996 1996 in मध्ये 1995 च्या तुलनेत उत्पादन "अ" ने 3.8% (103.8% - 100%) किंवा (8: 210) x100% अधिक उत्पादन केले आणि 1994 च्या तुलनेत. - 9% (109% - 100%) द्वारे.

जर सलग परिपूर्ण पातळी कमी झाली तर दर 100% पेक्षा कमी असेल आणि त्यानुसार घट होण्याचे दर (वजा चिन्हासह वाढीचा दर) असेल.

1% वाढीचे परिपूर्ण मूल्य(स्तंभ 11) मागील कालावधीची पातळी 1% ने वाढविण्यासाठी दिलेल्या कालावधीत किती युनिट्स तयार करणे आवश्यक आहे ते दर्शविते. आमच्या उदाहरणात, 1995 मध्ये 2.0 हजार टन उत्पादन करणे आवश्यक होते, आणि 1998 मध्ये - 2.3 हजार टन, म्हणजे. लक्षणीय अधिक.

1% वाढीच्या परिपूर्ण मूल्याची परिमाण निर्धारित करण्याचे दोन मार्ग आहेत:

मागील कालावधीची पातळी 100 ने विभागली आहे;

परिपूर्ण साखळी नफा संबंधित साखळी वाढीच्या दरामध्ये विभागली जातात.

1% वाढ \u003d चे परिपूर्ण मूल्य

गतीशीलतेमध्ये, विशेषत: दीर्घ कालावधीत, वाढीच्या प्रत्येक टक्केवारीत घट होण्यासह वाढीच्या दराचे संयुक्त विश्लेषण महत्त्वपूर्ण आहे.

लक्षात घ्या की गतीशीलतेच्या मालिकेचे विश्लेषण करण्यासाठी मानली जाणारी पद्धत ही गतिशीलतेच्या मालिकेसाठी, ज्याची पातळी परिपूर्ण शब्दात व्यक्त केली जाते (टी, हजार रूबल, कर्मचार्\u200dयांची संख्या इ.) आणि गतीशीलतेच्या मालिकेसाठी, ज्यांचे स्तर संबंधित शब्दात व्यक्त केले जातात (लग्नाचे% , कोळशाची% राख सामग्री इ.) किंवा सरासरी मूल्ये (किलो / हेक्टर मधील सरासरी उत्पन्न, सरासरी पगार इ.).

मागील किंवा प्रारंभिक पातळीच्या तुलनेत प्रत्येक वर्षासाठी मोजले जाणारे विश्लेषणात्मक निर्देशकांसह, गतीशीलतेच्या मालिकेचे विश्लेषण करताना, कालावधीसाठी सरासरी निर्देशकांची गणना करणे आवश्यक आहे: मालिकेची सरासरी पातळी, सरासरी वार्षिक निरपेक्ष वाढ (घट) आणि सरासरी वार्षिक वाढीचा दर आणि वाढीचा दर.

अनेक गतीशीलतेच्या सरासरी पातळीची गणना करण्याच्या पद्धती वर विचारात घेतल्या. आम्ही ज्या गतिशीलतेचा विचार करीत आहोत त्यातील मध्यांतर मालिकेची सरासरी पातळी अंकगणित म्हणजे सुलभ सूत्रानुसार मोजली जाते:

1994-1998 मधील उत्पादनाचे सरासरी वार्षिक उत्पादन. 218.4 हजार टन होते

सरासरी वार्षिक परिपूर्ण वाढीची गणना अंकगणित म्हणजे अगदी सोप्या सूत्राद्वारे देखील केली जाते:

वार्षिक निरपेक्ष वाढ बर्\u200dयाच वर्षांत 4 ते 12 हजार टनांपर्यंत (जी. 3 पहा) आणि 1995-1998 च्या कालावधीतील सरासरी वार्षिक उत्पादन वाढीमध्ये बदलली गेली. 8.5 हजार टन इतकी रक्कम

सरासरी विकास दर आणि सरासरी वाढीची दर मोजण्यासाठीच्या पद्धतींसाठी अधिक तपशीलवार विचार करणे आवश्यक आहे. सारणीमधील वार्षिक पंक्ती पातळी निर्देशकांचे उदाहरण वापरुन त्यांचा विचार करा.

अनेक गतीशीलतेची सरासरी पातळी.

डायनॅमिक्स पंक्ती (किंवा वेळ मालिका)   - हे एका विशिष्ट सांख्यिकीय निर्देशकाची संख्यात्मक मूल्ये आहेत ज्यात सलग क्षण किंवा वेळोवेळी (म्हणजे कालक्रमानुसार स्थित).

एक किंवा दुसर्या सांख्यिकीय निर्देशकाची संख्यात्मक मूल्ये, गतीशीलतेची एक श्रृंखला बनवून, म्हणतात स्तर पातळी   आणि सहसा पत्राद्वारे सूचित केले जाते y. पंक्तीचा पहिला सदस्य y 1   आरंभिक किंवा बेस लेव्हलआणि शेवटचा वाय एन - शेवट. स्तरांशी संबंधित क्षण किंवा वेळ कालावधीद्वारे दर्शविले जाते टी.

नियमानुसार, गतीशीलतेच्या पंक्ती सारणी किंवा आलेखच्या स्वरूपात सादर केल्या जातात आणि अ\u200dॅबस्किसाच्या बाजूने टाइम स्केल तयार केली जाते. टीआणि ऑर्डिनेट अक्ष बरोबर रो च्या पातळीचे स्केल आहे y.

अनेक गतीशीलतेची सरासरी कामगिरी

डायनॅमिक्सची प्रत्येक पंक्ती विशिष्ट संयोजन म्हणून मानली जाऊ शकते एन   वेळ भिन्न-भिन्न निर्देशक ज्यांचा सरासरी मूल्ये म्हणून सारांश केला जाऊ शकतो. वेगवेगळ्या कालावधीत, वेगवेगळ्या देशांमध्ये इ. विशिष्ट निर्देशकामधील बदलांची तुलना करतांना असे सामान्यीकृत (सरासरी) निर्देशक विशेषतः आवश्यक असतात.

अनेक गतीशीलतेचे सामान्यीकृत वैशिष्ट्य प्रामुख्याने सर्व्ह करू शकते सरासरी पंक्ती पातळी. सरासरी पातळीची गणना करण्याची पद्धत क्षणाची मालिका किंवा मध्यांतर (कालावधी) यावर अवलंबून असते.

च्या बाबतीत मध्यांतर   मालिकेत, त्याची सरासरी पातळी मालिकेच्या पातळीवरुन एका साध्या अंकगणित माध्यमाच्या सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते, म्हणजे.

=
  उपलब्ध असल्यास क्षणिक   पंक्ती असलेली एन   पातळी ( y1, y2, ..., yn) तारखा (वेळ गुण) दरम्यान समान अंतरासह, नंतर अशी मालिका सहजपणे सरासरी मूल्यांच्या मालिकेत रूपांतरित केली जाऊ शकते. शिवाय, प्रत्येक कालावधीच्या सुरूवातीस निर्देशक (स्तर) मागील कालावधीच्या शेवटी एकाच वेळी एक सूचक असतो. मग प्रत्येक कालावधीसाठी निर्देशकाचे सरासरी मूल्य (तारखांमधील मध्यांतर) मूल्यांच्या अर्ध्या बेरीजच्या रूपात मोजले जाऊ शकते येथे   कालावधीच्या सुरूवातीस आणि शेवटी, म्हणजे. कसे. अशा सरासरीची संख्या असेल. पूर्वी दर्शविल्याप्रमाणे, सरासरी मूल्यांच्या मालिकेसाठी, सरासरी पातळी अंकगणित माध्यमाद्वारे मोजली जाते.

  म्हणून, आपण लिहू शकता:
.
अंश रुपांतरित केल्यानंतर, आम्हाला मिळेल:
,

कुठे वाय 1आणि Yn- मालिकेतील पहिले आणि शेवटचे स्तर; यी- दरम्यानचे स्तर

ही सरासरी आकडेवारीमध्ये म्हणून ओळखली जाते सरासरी कालक्रमानुसारक्षण मालिकेसाठी. तिला हे नाव "क्रोनोस" (वेळ, लॅट.) या शब्दावरून मिळाले आहे, कारण हे वेगवेगळ्या निर्देशकांकडून मोजले जाते.

असमान बाबतीत   तारखांमधील अंतराच्या, क्षण मालिकेसाठी सरासरी कालक्रमानुसार मोजांच्या प्रत्येक जोडीसाठी पातळीच्या सरासरी मूल्यांच्या अंकगणित सरासरी म्हणून मोजले जाऊ शकते, जे तारखांमधील अंतर (वेळेचे अंतराल) द्वारे वजन केलेले आहे, म्हणजे.
.
या प्रकरणात   असे गृहीत धरले जाते की तारखा दरम्यानच्या अंतरामध्ये पातळी भिन्न मूल्ये गृहीत धरतात, आणि आम्ही ज्ञात दोन आहोत ( होय   आणि yi + 1) आम्ही सरासरी निर्धारित करतो, ज्यामधून आम्ही नंतर संपूर्ण विश्लेषित कालावधीसाठी एकूण सरासरी काढतो.
  असे मानल्यास प्रत्येक मूल्य होय   पुढील पर्यंत अपरिवर्तित राहते (i +1)- व्या क्षणी, म्हणजे स्तरामधील बदलाची नेमकी तारीख ज्ञात आहे, त्यानंतर गणित सरासरीच्या सूत्रानुसार गणना केली जाऊ शकते:
,

ही वेळ कोठे आहे ज्या दरम्यान पातळीत कोणताही बदल झाला नाही.

गतीशीलतेच्या मालिकेत सरासरी पातळीव्यतिरिक्त, इतर सरासरी निर्देशक देखील मोजले जातात - मालिकेच्या पातळीत सरासरी बदल (मूलभूत आणि साखळी मार्गांनी) आणि बदलाचे सरासरी दर.

मूलभूत म्हणजे परिपूर्ण बदलशेवटच्या मूलभूत निरपेक्ष बदलांच्या संख्येनुसार भाग पाडण्यासाठी भाग दर्शवितो. ते आहे

साखळी म्हणजे परिपूर्ण बदल   मालिकेची पातळी म्हणजे बदलांच्या संख्येने सर्व शृंखला निरपेक्ष बदलांची बेरीज विभाजित करण्याचा भाग आहे, म्हणजे.

सरासरी निरपेक्ष बदलांच्या चिन्हाद्वारे, एखादी व्यक्ती सरासरी सरासरी घटनेतील बदलाच्या स्वरूपाचा न्याय देखील करते: वाढ, घट किंवा स्थिरता.

मूलभूत आणि शृंखला निरपेक्ष बदलांच्या नियंत्रणाच्या नियमातून असे लक्षात येते की मूलभूत आणि शृंखला सरासरी बदल समान असणे आवश्यक आहे.

सरासरी परिपूर्ण बदलाबरोबरच संबंधित आणि सरासरी देखील मूलभूत आणि साखळी पद्धतींचा वापर करुन मोजली जाते.

बेसलाइन सरासरी सापेक्ष बदलसूत्रानुसार निर्धारित:

साखळीचा सरासरी सापेक्ष बदलसूत्रानुसार निर्धारित:

स्वाभाविकच, मूलभूत आणि साखळीचे सरासरी सापेक्ष बदल समान असले पाहिजेत आणि त्यांची 1 च्या निकष मूल्याशी तुलना केली जाते, सरासरीनुसार घटनेतील बदलाच्या स्वरूपाबद्दल निष्कर्ष काढला जातो: वाढ, घट किंवा स्थिरता.
  मूलभूत किंवा शृंखला सरासरी सापेक्ष बदलापासून 1 वजा केल्यास संबंधित उत्पन्न होते बदलाचे सरासरी दर, ज्याच्या चिन्हाद्वारे अभ्यास केलेल्या घटनेतील बदलाच्या स्वरूपाचा न्याय करणे देखील शक्य आहे, जे या प्रेरक शक्तीच्या मालिकेतून प्रतिबिंबित होते.

हंगामी चढउतार आणि हंगामी निर्देशांक.

हंगामी चढउतार स्थिर आंतर-वार्षिक उतार-चढ़ाव असतात.

जास्तीत जास्त परिणामाचे व्यवस्थापन करण्याचे मूलभूत तत्व म्हणजे जास्तीत जास्त उत्पन्न आणि कमीतकमी खर्च. हंगामी चढउतारांचा अभ्यास करणे, वर्षाच्या प्रत्येक स्तरावरील जास्तीत जास्त समीकरणांची समस्या सोडविली जाते.

हंगामी चढउतारांचा अभ्यास करताना, दोन परस्परसंबंधित कार्ये सोडविली जातात:

1. इंट्रा-वार्षिक गतिशीलतेमध्ये इंद्रियगोचरच्या विकासाच्या वैशिष्ट्यांची ओळख;

2. हंगामी लाट मॉडेलच्या बांधकामासह हंगामी चढउतारांचे मोजमाप;

हंगामी टर्कीची मोजणी सामान्यत: हंगामी बदल मोजण्यासाठी केली जाते. सर्वसाधारण भाषेत, ते सिद्धांतिक समीकरणाच्या अनेक गतिशीलतेच्या प्रारंभिक समीकरणाच्या गुणोत्तरानुसार निर्धारित केले जातात, जे तुलनासाठी आधार म्हणून काम करतात.

Randतूतील चढउतारांवर यादृच्छिक भिन्नता दर्शविली जात असल्याने, त्यांना दूर करण्यासाठी मौसमी निर्देशांक सरासरी काढले जातात.

या प्रकरणात, वार्षिक चक्र प्रत्येक कालावधीसाठी, सामान्यीकृत निर्देशक सरासरी हंगामी निर्देशांकाच्या रूपात निर्धारित केले जातात:

सरासरी हंगामी निर्देशांक मुख्य विकासाच्या ट्रेंडच्या यादृच्छिक विचलनाच्या प्रभावापासून मुक्त असतात.

ट्रेन्डच्या स्वरूपावर अवलंबून, सरासरी seasonतू निर्देशांकाचे सूत्र खालील फॉर्म घेऊ शकतात:

1.   जाहीर केलेल्या मुख्य विकासाच्या ट्रेंडसह इंट्रा-वार्षिक गतिशीलतेच्या मालिकेसाठी:

२. इंट्रा-वार्षिक गतिशीलतेच्या मालिकेसाठी ज्यात ऊर्ध्वगामी किंवा निम्नगामी प्रवृत्ती अनुपस्थित किंवा तुच्छ आहे:

सामान्य सरासरी कोठे आहे;

मुख्य ट्रेंडच्या विश्लेषणाच्या पद्धती.

कालांतराने घटनेच्या विकासावर वेगळ्या निसर्गाचे आणि सामर्थ्याचे घटक प्रभावित होतात. त्यातील काही यादृच्छिक स्वरूपाचे आहेत, इतरांचा जवळजवळ सतत प्रभाव पडतो आणि प्रेरक शक्तीच्या क्षेत्रात विशिष्ट विकासाचा कल तयार करतो.

विविध यादृच्छिक घटकांच्या कृतीपासून मुक्त झालेल्या ट्रेंडची गतिशीलता मालिकेमध्ये ओळखणे हे आकडेवारीचे एक महत्त्वपूर्ण कार्य आहे. या शेवटी, गतीशीलतेची मालिका अंतराने विस्तृत करण्याच्या पद्धती, हालचालीची सरासरी आणि विश्लेषणात्मक संरेखन इत्यादीद्वारे प्रक्रिया केली जाते.

मध्यांतर वाढविण्याची पद्धत   कालावधी पूर्ण करण्याच्या विस्तारावर आधारित, ज्यात अनेक गतीशीलतेचे स्तर समाविष्ट आहेत, म्हणजे. मोठ्या कालावधीसाठी असलेल्या डेटासह हे लहान कालावधीसह डेटाची पुनर्स्थित आहे. जेव्हा मालिकेच्या प्रारंभिक पातळीवर अल्प कालावधीचा संदर्भ असतो तेव्हा हे विशेषतः प्रभावी होते. उदाहरणार्थ, दररोजच्या घटनांशी संबंधित निर्देशकांची मालिका साप्ताहिक, मासिक इत्यादीशी संबंधित मालिकेद्वारे बदलली जाते. हे अधिक स्पष्टपणे दर्शवेल "इंद्रियगोचर विकासाचे अक्ष". सरासरी, वाढलेल्या अंतराने गणना केली जाते, ज्यामुळे आपणास मुख्य विकासाच्या प्रवृत्तीची दिशा आणि निसर्ग (वाढीची प्रवेग किंवा मंदी) ओळखण्याची अनुमती मिळते.

सरासरी पद्धत हलवित आहेमागील सारखेच, परंतु या प्रकरणात वास्तविक स्तर क्रमाने हलविण्याच्या (सरकत्या) वाढलेल्या अंतराने, आवरणासाठी मोजलेल्या सरासरी पातळीद्वारे बदलले जातात. मी   पंक्ती पातळी.

उदाहरणार्थस्वीकारल्यास मी \u003d 3,नंतर प्रथम मालिकेच्या पहिल्या तीन स्तरांची सरासरी मोजली जाते, त्यानंतर - समान संख्येपासून, परंतु सलग दुसर्\u200dयापासून सुरू होते, त्यानंतर - तिसर्\u200dयापासून प्रारंभ इ. अशाप्रकारे, सरासरी, जशी होती तशी बरीच गतिशीलता "ग्लाइड्स", एका टर्मसाठी पुढे सरकते. पासून गणना केली मीहलणारी सरासरी संज्ञा प्रत्येक अंतराच्या मधल्या (मध्यभागी) संदर्भित करते.

ही पद्धत केवळ यादृच्छिक चढउतार दूर करते. जर मालिकेत हंगामी लाट असेल तर ती फिरत्या सरासरी पद्धतीने गुळगुळीत केल्यावर राहील.

विश्लेषणात्मक संरेखन. यादृच्छिक चढ-उतार दूर करण्यासाठी आणि कल ओळखण्यासाठी विश्लेषणात्मक सूत्रांनी (किंवा विश्लेषणात्मक संरेखन) मालिका बरोबरीत वापरली जाते. याचा सार अनुभवात्मक (वास्तविक) स्तरांची सैद्धांतिक पातळीसह बदलण्यामध्ये समाविष्ट आहे, ज्याची गणना ट्रेंडच्या गणितीय मॉडेलच्या रूपात स्वीकारल्या जाणार्\u200dया विशिष्ट समीकरणानुसार केली जाते, जिथे सैद्धांतिक स्तरांना काळाचे कार्य मानले जाते:. शिवाय, प्रत्येक वास्तविक पातळीला दोन घटकांची बेरीज मानली जाते: पद्धतशीर घटक कोठे आहे आणि एका विशिष्ट समीकरणाद्वारे व्यक्त केले जाते, आणि यादृच्छिक चल आहे जो ट्रेंडच्या आसपास चढउतार कारणीभूत ठरतो.

विश्लेषणात्मक संरेखन करण्याचे कार्य खालीलप्रमाणे आहेः

१. काल्पनिक कार्याच्या स्वरूपाच्या वास्तविक डेटाच्या आधारे निर्धार जो अभ्यासानुसार निर्देशकाच्या विकासाच्या प्रवृत्तीला पुरेसे प्रतिबिंबित करू शकतो.

२. निर्दिष्ट केलेल्या कार्य (समीकरण) च्या पॅरामीटर्सचा अनुभवजन्य डेटा शोधणे

3. सैद्धांतिक (संरेखित) स्तरांचे आढळलेल्या समीकरणानुसार गणना.

अनुभवात्मक डेटाच्या ग्राफिक प्रतिमेच्या आधारे, नियम म्हणून या किंवा त्या फंक्शनची निवड केली जाते.

रीग्रेशन समीकरणे मॉडेल म्हणून वापरली जातात, ज्याचे पॅरामीटर्स कमीतकमी चौरस पद्धतीद्वारे मोजले जातात

खाली वेळ मालिकेसाठी वारंवार वापरल्या जाणार्\u200dया रीग्रेशन समीकरणे आहेत जे दर्शविते की कोणत्या ट्रेंडमध्ये प्रतिबिंबित करण्यासाठी ते सर्वात योग्य आहेत.

वरील समीकरणांचे मापदंड शोधण्यासाठी, विशेष अल्गोरिदम आणि संगणक प्रोग्राम आहेत. विशेषतः, रेषेच्या समीकरणांचे मापदंड शोधण्यासाठी खालील अल्गोरिदम वापरला जाऊ शकतो:

जर पीरियड्स किंवा टाइम इन्स्टंट्सची संख्या असेल तर ती St \u003d 0 होईल, तर वरील अल्गोरिदम लक्षणीय सरलीकृत होतील आणि त्यामध्ये रुपांतरित होतील

आलेखवरील संरेखित स्तर दिलेल्या वेळ मालिकेच्या वास्तविक पातळीपासून अगदी जवळच्या अंतरावर जाणा one्या एका सरळ रेषेवर स्थित असेल. चौरसातील विचलनाची बेरीज यादृच्छिक घटकांच्या प्रभावाचे प्रतिबिंब आहे.

  त्याच्या मदतीने आम्ही समीकरणाच्या सरासरी (प्रमाणित) त्रुटीची गणना करतो:

येथे n ही निरीक्षणाची संख्या आहे आणि मी समीकरणातील मापदंडांची संख्या आहे (आपल्याकडे त्यापैकी दोन आहेत - बी 1 आणि बी 0).

मुख्य ट्रेंड (ट्रेंड) दर्शविते की पद्धतशीर घटक बर्\u200dयाच डायनॅमिक्सच्या पातळीवर कसा प्रभाव पाडतात आणि ट्रेन्डच्या आसपासच्या पातळीचे चढउतार () अवशिष्ट घटकांच्या प्रभावाचे एक उपाय म्हणून काम करतात.

वापरलेल्या वेळ मालिकेच्या मॉडेलच्या गुणवत्तेचे मूल्यांकन करण्यासाठी, फिशर टेस्ट एफ. हे दोन रूपांचे प्रमाण आहे, म्हणजे रिप्रेशनमुळे उद्भवलेल्या भिन्नतेचे प्रमाण, म्हणजे. अभ्यास केलेला घटक, यादृच्छिक घटकांमुळे झालेल्या भिन्नतेसाठी, म्हणजे. अवशिष्ट फैलाव:

विस्तारीत स्वरूपात, या निकषाचे सूत्र खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते:

जेथे n ही निरीक्षणाची संख्या आहे, म्हणजे. पंक्ती पातळीची संख्या

मी समीकरणातील मापदंडांची संख्या आहे, y ही मालिकेची वास्तविक पातळी आहे,

संरेखित पंक्ती पातळी सरासरी पंक्ती पातळी आहे.

इतरांपेक्षा अधिक यशस्वी मॉडेल नेहमीच पुरेसे समाधानकारक नसते. जर एफ ने ज्ञात गंभीर सीमारेषा ओलांडली तरच अशा प्रकारे हे ओळखले जाऊ शकते. ही सीमा एफ-वितरण सारण्या वापरून सेट केली गेली आहे.

निर्देशांकांचे सार आणि वर्गीकरण.

आकडेवारीतील निर्देशांकाच्या अंतर्गत, आपला अर्थ असा आहे की वेळ, स्थान आणि कोणत्याही मानकांच्या तुलनेत एखाद्या घटनेच्या परिमाणात बदल घडवून आणणारा एक संबंधीक निर्देशक होय.

अनुक्रमणिकेशी संबंधित मुख्य घटक म्हणजे अनुक्रमित मूल्य. अनुक्रमित मूल्याखाली सांख्यिकीय लोकसंख्येच्या चिन्हाचे मूल्य समजून घ्या, त्यातील बदल हा अभ्यासाचा उद्देश आहे.

अनुक्रमणिका वापरुन, तीन मुख्य कार्ये सोडविली जातात:

1) जटिल घटनेतील बदलांचे मूल्यांकन;

2) जटिल घटनेतील बदलावर वैयक्तिक घटकांचा प्रभाव निश्चित करणे;

3) मागील काळातील परिमाण, दुसर्\u200dया प्रदेशाची परिमाण आणि त्याचप्रमाणे मानके, योजना, अंदाज यांच्यासह एका घटनेच्या परिमाणांची तुलना.

  निर्देशांकांचे 3 वर्गीकरण केले जाते.

2) लोकसंख्येच्या घटकांच्या व्याप्तीच्या पदवीद्वारे;

)) सामान्य निर्देशांकाची गणना करण्याच्या पद्धतींद्वारे.

सामग्रीमध्ये   अनुक्रमित निर्देशांकांना परिमाणात्मक (व्हॉल्यूमेट्रिक) निर्देशक आणि गुणात्मक निर्देशकांच्या निर्देशांकामध्ये विभागले गेले आहेत. परिमाणात्मक निर्देशकांचे सूचक - औद्योगिक उत्पादनाचे भौतिक खंड, विक्रीचे प्रमाण, संख्या इ. निर्देशांक - गुणात्मक निर्देशकांची किंमत - किंमती, किंमत, कामगार उत्पादकता, सरासरी वेतन इ.

एकूण युनिट्सच्या कव्हरेजच्या डिग्रीनुसार, निर्देशांक दोन वर्गांमध्ये विभागले जातात: वैयक्तिक आणि सामान्य. त्यांचे वैशिष्ट्यीकृत करण्यासाठी, आम्ही अनुक्रमणिका पद्धतीचा वापर करण्याच्या पद्धतीनुसार स्वीकारल्या जाणार्\u200dया पुढील अधिवेशनांची ओळख करुन देतो:

प्रश्न   - कोणत्याही प्रकारच्या उत्पादनाची रक्कम (खंड) ; पी   - उत्पादनांची युनिट किंमत; झेड- आउटपुटच्या प्रति युनिटची किंमत; टी- उत्पादनाच्या युनिटच्या उत्पादनावर खर्च केलेला वेळ (श्रम तीव्रता) ; डब्ल्यू- प्रति युनिट मूल्याच्या दृष्टीने उत्पादन; v- वेळ प्रति युनिट प्रकारचे उत्पादन; टी- एकूण वेळ किंवा कर्मचार्यांची संख्या.

अनुक्रमित मूल्ये कोणत्या कालावधीशी संबंधित आहेत किंवा ऑब्जेक्ट दर्शविण्याकरिता, संबंधित चिन्हाच्या खाली सबस्क्रिप्ट्स ठेवण्याची प्रथा आहे. तर, उदाहरणार्थ, डायनॅमिक्स निर्देशांकात, नियम म्हणून, तुलनात्मक (चालू, अहवाल देणे) कालावधीसाठी, सबस्क्रिप्ट 1 वापरली जाते आणि ज्या कालावधीशी तुलना केली जाते,

वैयक्तिक निर्देशांक   एक जटिल इंद्रियगोचरच्या वैयक्तिक घटकांमधील बदलाचे वैशिष्ट्यीकृत करते (उदाहरणार्थ, एका प्रकारच्या उत्पादनाच्या आऊटपुटमध्ये बदल). ते गतिशीलतेचे संबंधित मूल्ये, जबाबदा of्या पूर्ण करणे, अनुक्रमित मूल्यांची तुलना करतात.

उत्पादनाच्या भौतिक खंडाचा वैयक्तिक निर्देशांक निर्धारित केला जातो

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोनातून दिलेली स्वतंत्र गतिशीलता निर्देशांक वाढीच्या घटकांप्रमाणेच आहेत (दर) आणि आधारभूत काळाच्या तुलनेत वर्तमान कालावधीत अनुक्रमित मूल्यातील बदलांचे वैशिष्ट्य म्हणजे, ते किती वेळा वाढले आहे (कमी झाले आहे) किंवा किती टक्के आहे ते दर्शवा वाढ (घट) निर्देशांक मूल्ये गुणांक किंवा टक्केवारीमध्ये व्यक्त केली जातात.

सामान्य (संमिश्र) निर्देशांक   जटिल घटनेच्या सर्व घटकांमधील बदल प्रतिबिंबित करते.

एकत्रित अनुक्रमणिका   निर्देशांकाचा मुख्य प्रकार आहे. त्याला एकत्रीकरण म्हटले जाते कारण त्याचा अंश आणि संज्ञा हा “एकत्रित” चा संच आहे

सरासरी निर्देशांक, त्यांची व्याख्या.

आकडेवारीत एकूण निर्देशांकाव्यतिरिक्त, आणखी एक फॉर्म वापरला जातो - भारित सरासरी निर्देशांक. जेव्हा उपलब्ध माहिती सामान्य एकत्रित निर्देशांकाची गणना करण्यास परवानगी देत \u200b\u200bनाही तेव्हा त्यांची गणना केली जाते. म्हणून, जर किंमतींवर कोणताही डेटा नसेल, परंतु सध्याच्या काळात उत्पादन खर्चाची माहिती आहे आणि प्रत्येक उत्पादनासाठी वैयक्तिक किंमत निर्देशांक ज्ञात आहेत, तर सर्वसाधारण किंमत निर्देशांक एकत्रित म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकत नाही, परंतु त्याची सरासरी सरासरी म्हणून गणना करणे शक्य आहे. त्याच प्रकारे, उत्पादित केलेल्या वैयक्तिक प्रकारच्या उत्पादनांचे प्रमाण ज्ञात नसल्यास, परंतु वैयक्तिक निर्देशांक आणि बेस कालावधीच्या उत्पादनाची किंमत ज्ञात असेल तर आम्ही भारित सरासरीच्या रुपात उत्पादनाच्या भौतिक खंडाचा सामान्य निर्देशांक निश्चित करू शकतो.

सरासरी निर्देशांक -तो आहे   निर्देशांकांची गणना वैयक्तिक निर्देशांकांच्या सरासरीच्या रूपात केली जाते. एकत्रीत निर्देशांक हा सामान्य निर्देशांकाचा मुख्य प्रकार असतो, म्हणून सरासरी निर्देशांक एकंदर निर्देशांकासारखेच असावे. सरासरी निर्देशांकांची गणना करताना सरासरीचे दोन प्रकार वापरले जातात: अंकगणित आणि कर्णमधुर.

अंकांकाची सरासरी निर्देशांक एकंदर निर्देशांकासारखेच असते, जर वैयक्तिक निर्देशांकाचे वजन ही एकूण निर्देशांकाच्या भाजकाच्या अटी असतील. केवळ या प्रकरणात अंकगणित माध्यमाद्वारे मोजल्या गेलेल्या निर्देशांकाचे मूल्य एकत्रित निर्देशांकाइतके असेल.

अपेक्षा आणि तफावत

यादृच्छिक व्हेरिएबल मोजू एन   वेळा, उदाहरणार्थ, आम्ही वारा वेग दहा वेळा मोजतो आणि सरासरी मूल्य शोधू इच्छितो. माध्यमाचे वितरण कार्याशी कसे संबंध आहे?

आम्ही बर्\u200dयाच वेळा पासा फेकू. प्रत्येक रोल दरम्यान डाईवर सोडल्या जाणा points्या बिंदूंची संख्या यादृच्छिक मूल्य आहे आणि ते 1 ते 6 पर्यंत कोणतीही नैसर्गिक मूल्ये घेऊ शकते, डाईच्या सर्व रोलसाठी मोजलेल्या सोडलेल्या बिंदूंचे अंकगणित सरासरी देखील यादृच्छिक मूल्य आहे, परंतु मोठ्या संख्येने एन   गणिताच्या अपेक्षेप्रमाणे - हे एका विशिष्ट संख्येसाठी प्रयत्न करते एम एक्स. या प्रकरणात एम एक्स = 3,5.

तुम्हाला हे मूल्य कसे मिळाले? आत जाऊ द्या एन   चाचण्या एकदा 1 बिंदू, वेळा - 2 गुण वगैरे वगळल्या. मग कधी एन   ∞ Similarly परिणामाची संख्या ज्यामध्ये एक बिंदू घसरला, त्याचप्रमाणे

मॉडेल 4.5. पासा

समजा आता आपल्याला यादृच्छिक चलचा वितरण कायदा माहित आहे x, म्हणजेच आपल्याला हे माहित आहे की यादृच्छिक व्हेरिएबल x   मूल्ये घेऊ शकतात x 1 , x 2 , ..., x के   संभाव्यतेसह पी 1 , पी 2 , ..., पी के.

गणिताची अपेक्षा एम एक्स   यादृच्छिक चल x   च्या बरोबरीचे आहे:

उत्तर. 2,8.

गणिताची अपेक्षा ही नेहमीच कोणत्याही यादृच्छिक चलचा वाजवी अंदाज असू शकत नाही. तर, सरासरी वेतनाचे मूल्यांकन करण्यासाठी, मध्यकाची संकल्पना वापरणे अधिक वाजवी आहे, म्हणजेच इतका विशालता, की मध्यम, मजुरी आणि त्याहून कमी मिळणार्\u200dया लोकांची संख्या एकसारखीच असेल.

मध्यम   यादृच्छिक व्हेरिएबल नावाचा नंबर x   १/२ अशा पी (x < x 1/2) = 1/2.

दुस words्या शब्दांत, संभाव्यता पी   त्या यादृच्छिक चल 1 x   लहान असेल x   1/2 आणि संभाव्यता पी   त्या यादृच्छिक चल 2 x   मोठे होईल x   १/२ समान आणि १/२ समान आहेत. मध्यभागी सर्व वितरणांसाठी विशिष्टपणे निर्धारित केले जात नाही.

यादृच्छिक चल वर परत xजे मूल्य घेऊ शकतात x 1 , x 2 , ..., x के   संभाव्यतेसह पी 1 , पी 2 , ..., पी के.

फैलाव   यादृच्छिक चल x   गणितीय अपेक्षेतून यादृच्छिक चल च्या विचलनाचा मध्य वर्ग म्हणतात.

उदाहरण 2

मागील उदाहरणांच्या शर्तींनुसार, यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या भिन्नता आणि मानक विचलनाची गणना करा x.

उत्तर. 0,16, 0,4.

मॉडेल 4.6. लक्ष्य शूटिंग

उदाहरण 3

पहिल्या रोल, मेडियन, मध्यम, भिन्नता आणि मानक विचलनामुळे मरणार्या बिंदूंच्या संख्येचे संभाव्यता वितरण शोधा.

कोणत्याही चेहर्याचा तोटा तितकाच संभव आहे, म्हणून वितरण असे दिसेल:

प्रमाण विचलन हे पाहिले जाते की सरासरी मूल्यापासून मूल्यांचे विचलन खूप मोठे आहे.

गणिताच्या अपेक्षेचे गुणधर्म:

• स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या बेरीजची गणितीय अपेक्षा त्यांच्या गणिताच्या अपेक्षेच्या बेरजेइतकीच असते:

उदाहरण 4

दोन फासे पडलेल्या बिंदूंच्या बेरीज आणि उत्पादनाची गणितीय अपेक्षा शोधा.

उदाहरणार्थ 3, आम्हाला एका घनसाठी ते आढळले एम (x) \u003d 3.5. तर दोन फासे साठी

फैलावण्याचे गुणधर्म:

• स्वतंत्र रँडम व्हेरिएबल्सच्या बेरीजचे भिन्नता रूपांच्या बेरजेइतकीच असते:

डी एक्स + y = डी एक्स + डी वाय.

साठी द्या एन   फासे रोल y   गुण. मग

हा परिणाम फक्त फासे रोलसाठीच नाही. ब cases्याच बाबतींत तो गणिताच्या अपेक्षेची परिमाण मोजण्याची अचूकता निश्चित करतो. हे पाहिले जाऊ शकते की मोजमापांच्या संख्येत वाढ झाली आहे एन   माध्यमाच्या आसपास मूल्यांचा प्रसार, म्हणजे प्रमाण विचलन, प्रमाण प्रमाणात कमी होते

यादृच्छिक व्हेरिएबलचे भिन्नता या रँडम व्हेरिएबलच्या स्क्वेअरच्या गणिताच्या अपेक्षेशी संबंधित आहे.

आम्हाला या समानतेच्या दोन्ही भागांच्या गणितीय अपेक्षा आढळतात. व्याख्या करून,

परंतु समानतेच्या उजव्या बाजूची गणितीय अपेक्षा बरोबरीची आहे

प्रमाण विचलन

प्रमाण विचलन   भिन्नतेच्या वर्गमूलच्या समान:
  अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येच्या (एन\u003e )०) मोठ्या प्रमाणात परिमाण असलेले चौरस विचलन निर्धारित करताना, सूत्रे वापरली जातात:

अशीच माहिती.

यादृच्छिकांच्या सांख्यिकीय चाचणीमध्ये, यादृच्छिक चरांमधील रेषात्मक संबंध मोजण्यासाठी.

प्रमाण विचलन:

प्रमाण विचलन   (यादृच्छिक चल पॉल, आमच्या सभोवतालच्या भिंती आणि कमाल मर्यादेच्या मानक विचलनाचा अंदाज, x    त्याच्या भिन्नतेच्या निष्पक्ष अंदाजानुसार गणिताच्या अपेक्षेनुसार):

फरक कुठे आहे; - मजला, आमच्या सभोवतालच्या भिंती आणि कमाल मर्यादा, मी   निवडीचा -वा घटक; - नमुना आकार; - नमुना अंकगणित मध्यम:

हे लक्षात घेतले पाहिजे की दोन्ही अंदाज पक्षपाती आहेत. सामान्य प्रकरणात, एक निःपक्षपाती अंदाज बांधला जाऊ शकत नाही. तथापि, निःपक्षपाती रूपांतरच्या अंदाजावर आधारित अंदाज सुसंगत आहे.

तीन सिग्माचा नियम

तीन सिग्माचा नियम   () - सामान्यत: वितरित यादृच्छिक चल च्या अंतरामध्ये जवळजवळ सर्व मूल्ये. अधिक काटेकोरपणे, 99.7% पेक्षा कमी निश्चिततेसह, सामान्यत: वितरित यादृच्छिक चलचे मूल्य निर्देशित अंतरामध्ये असते (प्रदान केले जाते की प्रमाण सत्य आहे आणि नमुनावर प्रक्रिया केल्यामुळे प्राप्त झाले नाही).

जर खरे मूल्य अज्ञात असेल तर आपण वापरू नये परंतु मजला, आपल्या सभोवतालच्या भिंती आणि कमाल मर्यादा, s   . अशाप्रकारे, तीन सिग्माच्या नियमात तीन लिंग, आमच्या सभोवतालच्या भिंती आणि कमाल मर्यादेच्या नियमात रुपांतर झाले. s .

मानक विचलनाचे स्पष्टीकरण

प्रमाणित विचलनाचे मोठे मूल्य सेटच्या सरासरी मूल्यासह सादर केलेल्या सेटमधील मूल्यांचा मोठा स्कॅटर दर्शवते; एक लहान मूल्य अनुक्रमे असे दर्शविते की सेटमधील मूल्ये सरासरी मूल्याच्या आसपास विभागली जातात.

उदाहरणार्थ, आमच्याकडे तीन संख्यात्मक संच आहेत: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) आणि (6, 6, 8, 8). सर्व तीन संचासाठी, क्षुद्र मूल्ये 7 आहेत आणि प्रमाणित विचलन अनुक्रमे 7, 5 आणि 1 आहेत शेवटच्या सेटसाठी, मानक विचलन लहान आहे, कारण सेटमधील मूल्ये मध्यभागी सुमारे विभागली गेली आहेत; पहिल्या सेटमध्ये सर्वात मोठे प्रमाण विचलन असते - सेटमधील मूल्ये सरासरी मूल्यापेक्षा जोरदार भिन्न असतात.

सामान्य अर्थाने, प्रमाणित विचलन हे अनिश्चिततेचे एक उपाय मानले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्रात, प्रमाण विचलनाचा वापर परिमाणांच्या सलग मोजमापांच्या मालिकेची त्रुटी निश्चित करण्यासाठी केला जातो. सिद्धांतद्वारे भाकीत केलेल्या मूल्याच्या तुलनेत अभ्यासाच्या अंतर्गत घटनेची शक्यता निश्चित करण्यासाठी हे मूल्य खूप महत्वाचे आहे: जर मापनचे सरासरी मूल्य सिद्धांताद्वारे (मानक विचलनाचे मोठे मूल्य) पूर्वानुमान केलेल्या मूल्यांपेक्षा खूप वेगळे असेल तर प्राप्त मूल्ये किंवा ती मिळवण्याची पद्धत दोनदा तपासली पाहिजे.

व्यावहारिक अनुप्रयोग

सराव मध्ये, मानक विचलन आपल्याला सरासरी मूल्यापेक्षा किती भिन्न असू शकते हे निर्धारित करण्यास अनुमती देते.

हवामान

समजा, दररोज समान सरासरी तपमान असलेली दोन शहरे आहेत, परंतु एक किनारपट्टीवर स्थित आहे आणि दुसरे खंड खंडात आहेत. हे ज्ञात आहे की किनारपट्टीवर असलेल्या शहरांमध्ये, अनेक वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त दैनंदिन तापमान खंडातील शहरांपेक्षा कमी असतात. म्हणूनच, किनार्यावरील शहरातील जास्तीत जास्त दैनंदिन तपमानाचे प्रमाणित विचलन दुसर्\u200dया शहराच्या तुलनेत कमी असेल, जरी त्यांचे समान मूल्य आहे हे सत्य असूनही व्यावहारिक अर्थ असा आहे की वर्षाच्या प्रत्येक विशिष्ट दिवसाचे जास्तीत जास्त हवेचे तापमान अधिक मजबूत होण्याची संभाव्यता खंडात स्थित असलेल्या शहरासाठी सरासरीपेक्षा वेगळा.

खेळ

समजा असे अनेक फुटबॉल संघ आहेत ज्यांचे मूल्यमापन विशिष्ट मापदंडांनुसार केले जाते, उदाहरणार्थ, किती गोल आणि गोलची पूर्तता, गोल इ. इत्यादी बहुधा या गटातील सर्वोत्तम संघाकडे अधिक मापदंडासाठी सर्वोत्तम मूल्ये असतील. संघात सादर केलेल्या प्रत्येक मापदंडांकरिता प्रमाण विचलन जितके कमी असेल तितकेच टीमचा निकाल जास्त अंदाज येतो, असे संघ संतुलित असतात. दुसरीकडे, मोठ्या प्रमाणातील विचलन असलेल्या संघासाठी, परिणामाची पूर्तता करणे अवघड आहे, ज्याचा परिणाम असंतुलनद्वारे स्पष्ट केला जातो, उदाहरणार्थ, मजबूत संरक्षण, परंतु कमकुवत हल्ला.

संघाच्या पॅरामीटर्सचे प्रमाणित विचलन वापरल्याने दोन संघांमधील सामन्याचा निकाल, संघांची सामर्थ्य व कमकुवत्यांचे मूल्यांकन करणे आणि म्हणूनच संघर्षाच्या निवडलेल्या पद्धतींचा अंदाज एक किंवा दुसर्\u200dया मार्गाने मिळू शकतो.

तांत्रिक विश्लेषण

हे देखील पहा

साहित्य

* बोरोव्हिकोव्ह, व्ही.   सांख्यिकी. संगणक डेटा विश्लेषणाची कला: व्यावसायिकांसाठी / व्ही. बोरोव्हिकोव्ह. - एसपीबी. : पीटर, 2003 .-- 688 पी. - आयएसबीएन 5-272-00078-1.

हुशार गणितज्ञ आणि सांख्यिकीशास्त्रज्ञ अधिक विश्वसनीय संकेतक घेऊन आले आहेत, जरी काही वेगळ्या हेतूसाठी - म्हणजे रेखीय विचलन. हे सूचक त्यांच्या सरासरी मूल्याच्या आसपास असलेल्या डेटाच्या मूल्यांच्या स्कॅटरचे मोजमाप करते.

डेटा स्कॅटरचे परिमाण दर्शविण्यासाठी, आपल्याला प्रथम हा स्कॅटर कोणता मानला जाईल हे ठरविण्याची आवश्यकता आहे - सहसा ही सरासरी मूल्य असते. पुढे, आपल्याला विश्लेषण करणे आवश्यक आहे की डेटा सेट केलेल्या मूल्यांची मूल्ये सरासरीपासून किती दूर आहेत. हे स्पष्ट आहे की प्रत्येक मूल्य विशिष्ट प्रमाणात विचलनाशी संबंधित आहे, परंतु आम्ही संपूर्ण लोकसंख्या व्यापून सामान्य मूल्यांकनमध्ये स्वारस्य दर्शवितो. म्हणून, सरासरी विचलनाची गणना नेहमीच्या अंकगणित माध्यमाच्या सूत्राद्वारे केली जाते. पण! परंतु विचलनाच्या सरासरीची गणना करण्यासाठी, ते प्रथम जोडले जाणे आवश्यक आहे. आणि जर आपण सकारात्मक आणि नकारात्मक संख्या जोडली तर ते रद्द होतील आणि त्यांची बेरीज शून्य होईल. हे टाळण्यासाठी, सर्व विचलन मोड्यूलो घेतले जातात, म्हणजेच सर्व नकारात्मक संख्या सकारात्मक बनतात. आता, सरासरी विचलन मूल्यांच्या प्रसाराचे सामान्यीकृत उपाय दर्शवेल. परिणामी, सरासरी रेषीय विचलनाची गणना सूत्राद्वारे केली जाईल:

अ   - सरासरी रेषीय विचलन,

x   - विश्लेषक सूचक, शीर्षस्थानी डॅशसह - निर्देशकाचे सरासरी मूल्य,

एन   - विश्लेषित डेटा सेटमधील मूल्यांची संख्या,

मला आशा आहे की समेट ऑपरेटर कोणालाही घाबरणार नाही.

दर्शविलेल्या सूत्राद्वारे मोजली जाणारी सरासरी रेषीय विचलन दिलेल्या लोकसंख्येच्या सरासरी मूल्यापासून सरासरी निरपेक्ष विचलन प्रतिबिंबित करते.

चित्रात, लाल रेखा सरासरी मूल्य आहे. सरासरीपासून प्रत्येक निरीक्षणाचे विचलन लहान बाणांद्वारे दर्शविले जाते. ते मॉड्यूलो घेतले जातात आणि सारांशित केले जातात. मग सर्व काही मूल्यांच्या संख्येने विभागले जाते.

चित्र पूर्ण करण्यासाठी, आपल्याला एक उदाहरण देणे आवश्यक आहे. समजा शंक कटिंग्जच्या उत्पादनासाठी एक कंपनी आहे. प्रत्येक देठ 1.5 मीटर लांबीचा असावा, परंतु महत्त्वाचे म्हणजे सर्व समान असले पाहिजेत किंवा कमीतकमी प्लस किंवा वजा 5 सेमी असावेत तथापि, निष्काळजी कामगार 1.2 मीटर किंवा 1.8 मीटर अंतरावर दिसतील उन्हाळ्यातील रहिवासी दु: खी आहेत. . कंपनीच्या संचालकाने कटिंग्जच्या लांबीचे सांख्यिकीय विश्लेषण करण्याचे ठरविले. त्याने 10 तुकडे केले आणि त्यांची लांबी मोजली, सरासरी आढळली आणि सरासरी रेषीय विचलनाची गणना केली. सरासरी एक आवश्यकतेनुसार बाहेर वळले - 1.5 मीटर. परंतु सरासरी रेषीय विचलन 0.16 मीटर बाहेर आले. तेव्हा हे दिसून आले की प्रत्येक देठ 16 सेमी सरासरीपेक्षा लांब किंवा लहान आहे. कर्मचार्\u200dयांशी बोलण्यासारखे काहीतरी आहे . खरं तर, मी या निर्देशकाचा खरा उपयोग पाहिलेला नाही, म्हणून मी स्वतः एक उदाहरण घेऊन आलो. तथापि, आकडेवारीमध्ये असे सूचक आहे.

फैलाव

सरासरी रेखीय विचलनाप्रमाणेच, फरक देखील मध्यभागी सुमारे डेटाच्या प्रसाराचे एक उपाय प्रतिबिंबित करते.

भिन्नतेची गणना करण्याचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे.

  (भिन्न मालिकेसाठी (भारित भिन्नता))

  (गटबद्ध डेटासाठी (साधे भिन्नता))

कोठे: σ 2 - भिन्नता, इलेव्हन   - आम्ही चौरस निर्देशकाचे विश्लेषण करतो (गुणधर्मांचे मूल्य), निर्देशकाचे सरासरी मूल्य आहे, f मी विश्लेषित डेटा सेटमधील मूल्यांची संख्या आहे.

फैलाव म्हणजे सरासरी चौरस विचलन.

प्रथम, सरासरी मूल्य मोजले जाते, नंतर प्रत्येक प्रारंभिक आणि सरासरी मूल्याच्या दरम्यानचे अंतर घेतले जाते, संबंधित गुण मूल्याच्या वारंवारतेने गुणाकार केले जाते, जोडले जाते आणि नंतर या लोकसंख्येच्या मूल्यांच्या संख्येनुसार विभाजित केले जाते.

तथापि, अंकगणित क्षुद्र किंवा निर्देशांक यासारख्या शुद्ध स्वरूपात, भिन्नता वापरली जात नाही. ते ऐवजी एक सहाय्यक आणि मध्यवर्ती निर्देशक आहे, जो इतर प्रकारच्या सांख्यिकीय विश्लेषणासाठी वापरला जातो.

भिन्नतेची गणना करण्याची सोपी पद्धत

प्रमाण विचलन

डेटा विश्लेषणासाठी फैलाव वापरण्यासाठी, त्यातून चौरस मूळ काढला जाईल. हे तथाकथित बाहेर वळते प्रमाण विचलन.

तसे, मानक विचलनास सिग्मा असेही म्हणतात - ग्रीक अक्षरातून ज्याद्वारे ते नियुक्त केले गेले आहे.

प्रमाणित विचलन, अर्थातच, डेटा स्कॅटरिंगच्या प्रमाणात देखील वैशिष्ट्यीकृत आहे, परंतु आता (भिन्नतेपेक्षा भिन्न), याची तुलना मूळ डेटाशी केली जाऊ शकते. नियमानुसार, आरएमएस आकडेवारी रेषीयपेक्षा अधिक अचूक परिणाम देते. म्हणूनच, प्रमाणित विचलन हे सरासरी रेषीय विचलनापेक्षा डेटाच्या स्कॅटरचे अधिक अचूक उपाय आहे.

विकिपीडिया कडून, विनामूल्य विश्वकोश

प्रमाण विचलन   (समानार्थी शब्द: प्रमाण विचलन, प्रमाण विचलन, चतुर्भुज विचलन; संबंधित अटीः प्रमाण विचलन, मानक प्रसार) - संभाव्यता सिद्धांत आणि आकडेवारीमध्ये गणिताच्या अपेक्षेच्या तुलनेत यादृच्छिक मूल्यांच्या फैलावांचे सर्वात सामान्य सूचक. मूल्यांच्या नमुन्यांच्या मर्यादित अ\u200dॅरेसह, गणिताच्या अपेक्षेऐवजी, नमुन्यांच्या लोकसंख्येचा अंकगणित मध्यम वापरला जातो.

मूलभूत माहिती

मानक विचलन हे यादृच्छिक चलच्या स्वतःच युनिट्समध्ये मोजले जाते आणि अंकगणित माध्यमाच्या मानक त्रुटीची गणना करण्यासाठी, आत्मविश्वास अंतराची रचना करण्यासाठी, गृहीतकांच्या सांख्यिकीय चाचणीमध्ये, यादृच्छिक चरांमधील रेषात्मक संबंध मोजण्यासाठी वापरले जाते. यादृच्छिक चलच्या भिन्नतेचे चौरस मूळ म्हणून परिभाषित केले.

प्रमाण विचलन:

$\backslash \backslash \; सिग्मा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; वर्गमीटर\; (\backslash \backslash \; फ्रॅक\; (१)\; (एन)\; \backslash \backslash \; योग\_\; (i\; \backslash u003d\; 1)\; ^\; n\; \backslash \backslash \; डावा\; (x\_i-\; \backslash \backslash \; बार\; (एक्स)\; \backslash \backslash \; उजवा)\; ^\; 2).$

प्रमाण विचलन   (यादृच्छिक चल च्या मानक विचलनाचा अंदाज x    त्याच्या भिन्नतेच्या निष्पक्ष अंदाजानुसार गणिताच्या अपेक्षेनुसार) $s$:

$s\; \backslash u003d\; q\; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (n)\; (n-1)\; \backslash \backslash \; sigma\; ^\; 2)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (1)\; (n-1)\; \backslash \backslash \; sum\_\; (i\; \backslash u003d\; 1)\; ^\; n\; \backslash \backslash \; बाकी\; (x\_i-\; \backslash \backslash \; बार\; (x)\; \backslash \backslash \; उजवीकडे)\; ^\; 2);$

तीन सिग्माचा नियम

तीन सिग्माचा नियम ($3\; \backslash \backslash \; सिग्मा$) - साधारणपणे वितरित यादृच्छिक चल श्रेणीमधील जवळजवळ सर्व मूल्ये $\backslash \backslash \; डावा\; (\backslash \backslash \; बार\; (एक्स)\; -3\; ig\; सिग्मा;\; \backslash \backslash \; बार\; (एक्स)\; +3\; \backslash \backslash \; सिग्मा\; \backslash \backslash \; उजवीकडे)$. अधिक काटेकोरपणे, अंदाजे ०.9999 73 of with च्या संभाव्यतेसह, सामान्यत: वितरित यादृच्छिक चलचे मूल्य निर्देशित अंतरामध्ये असते (प्रदान केलेले प्रमाण $\backslash \backslash \; बार\; (x)$   सत्य आहे आणि नमुनावर प्रक्रिया केल्यामुळे प्राप्त झाले नाही).

जर खरे मूल्य असेल $\backslash \backslash \; बार\; (x)$   अज्ञात, आपण वापरू नये $ig\; सिग्मा$, आणि s   . अशा प्रकारे तीन सिग्माच्या नियमांचे रूपांतर तिन्हीच्या नियमात होते s .

मानक विचलनाचे स्पष्टीकरण

मानक विचलनाचे मोठे मूल्य सेटच्या सरासरी मूल्यासह सादर केलेल्या सेटमधील मूल्यांचा मोठा स्कॅटर दर्शवते; एक लहान मूल्य अनुक्रमे असे दर्शविते की सेटमधील मूल्ये सरासरी मूल्याच्या आसपास विभागली जातात.

उदाहरणार्थ, आमच्याकडे तीन संख्यात्मक संच आहेत: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) आणि (6, 6, 8, 8). सर्व तीन संचासाठी, क्षुद्र मूल्ये 7 आहेत आणि प्रमाणित विचलन अनुक्रमे 7, 5 आणि 1 आहेत शेवटच्या सेटसाठी, मानक विचलन लहान आहे, कारण सेटमधील मूल्ये मध्यभागी सुमारे विभागली गेली आहेत; पहिल्या सेटमध्ये सर्वात मोठे प्रमाण विचलन असते - सेटमधील मूल्ये सरासरी मूल्यापेक्षा जोरदार भिन्न असतात.

सामान्य अर्थाने, प्रमाणित विचलन हे अनिश्चिततेचे एक उपाय मानले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्रात, प्रमाण विचलनाचा वापर परिमाणांच्या सलग मोजमापांच्या मालिकेची त्रुटी निश्चित करण्यासाठी केला जातो. सिद्धांतद्वारे भाकीत केलेल्या मूल्याच्या तुलनेत अभ्यासाच्या अंतर्गत घटनेची शक्यता निश्चित करण्यासाठी हे मूल्य खूप महत्वाचे आहे: जर मापनचे सरासरी मूल्य सिद्धांताद्वारे (मानक विचलनाचे मोठे मूल्य) पूर्वानुमान केलेल्या मूल्यांपेक्षा खूप वेगळे असेल तर प्राप्त मूल्ये किंवा ती मिळवण्याची पद्धत दोनदा तपासली पाहिजे.

व्यावहारिक अनुप्रयोग

सराव मध्ये, मानक विचलन आपल्याला सरासरी मूल्यापेक्षा सेटमधील मूल्ये किती भिन्न असू शकते याचे मूल्यांकन करण्यास अनुमती देते.

अर्थशास्त्र आणि वित्त

पोर्टफोलिओ रिटर्नचे मानक विचलन $\; \backslash \backslash \; सिग्मा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; वर्गमीटर\; (डी\; [एक्स])$   पोर्टफोलिओ जोखीम सह ओळखले.

हवामान

समजा, दररोज समान सरासरी तपमान असलेली दोन शहरे आहेत, परंतु एक किना on्यावर आणि दुसरे मैदानावर आहे. हे ज्ञात आहे की किनारपट्टीवर असलेल्या शहरांमध्ये, अनेक वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त दैनंदिन तापमान खंडातील शहरांपेक्षा कमी असतात. म्हणूनच, किनार्यावरील शहरातील जास्तीत जास्त दैनंदिन तपमानाचे प्रमाणित विचलन दुसर्\u200dया शहराच्या तुलनेत कमी असेल, जरी त्यांचे समान मूल्य आहे हे सत्य असूनही व्यावहारिक अर्थ असा आहे की वर्षाच्या प्रत्येक विशिष्ट दिवसाचे जास्तीत जास्त हवेचे तापमान अधिक मजबूत होण्याची संभाव्यता खंडात स्थित असलेल्या शहरासाठी सरासरीपेक्षा वेगळा.

खेळ

समजा असे अनेक फुटबॉल संघ आहेत ज्यांचे मूल्यमापन विशिष्ट मापदंडांनुसार केले जाते, उदाहरणार्थ, किती गोल आणि गोलची पूर्तता, गोल इ. इत्यादी बहुधा या गटातील सर्वोत्तम संघाकडे अधिक मापदंडासाठी सर्वोत्तम मूल्ये असतील. संघात सादर केलेल्या प्रत्येक मापदंडांकरिता प्रमाण विचलन जितके कमी असेल तितकेच टीमचा निकाल जास्त अंदाज येतो, असे संघ संतुलित असतात. दुसरीकडे, मोठ्या प्रमाणातील विचलन असलेल्या संघासाठी, परिणामाची पूर्तता करणे अवघड आहे, ज्याचा परिणाम असंतुलनद्वारे स्पष्ट केला जातो, उदाहरणार्थ, मजबूत संरक्षण, परंतु कमकुवत हल्ला.

संघाच्या पॅरामीटर्सचे प्रमाणित विचलन वापरल्याने दोन संघांमधील सामन्याचा निकाल, संघांची सामर्थ्य व कमकुवत्यांचे मूल्यांकन करणे आणि म्हणूनच संघर्षाच्या निवडलेल्या पद्धतींचा अंदाज एक किंवा दुसर्\u200dया मार्गाने मिळू शकतो.

हे देखील पहा

"मानक विचलन" लेखावर पुनरावलोकन लिहा

साहित्य

• बोरोव्हिकोव्ह व्ही.   सांख्यिकी. संगणक डेटा विश्लेषणाची कला: व्यावसायिकांसाठी / व्ही. बोरोव्हिकोव्ह. - एसपीबी. : पीटर, 2003 .-- 688 पी. - आयएसबीएन 5-272-00078-1..

प्रमाण विचलनाचा उतारा