लेख सामग्री

विविधEr व्युत्पन्न कार्य   y = f(x) एका विशिष्ट अंतराने परिभाषित ( अ, बी) टप्प्यावर   xया मध्यांतरला फंक्शनच्या वाढीच्या संबंधात मर्यादा म्हणतात f   आर्ग्युमेंट इनक्रिमेंट शून्य झाल्यास संबंधित युक्तिवाद वाढीसाठी.

व्युत्पन्न सहसा खालीलप्रमाणे दर्शविला जातो:

इतर नोटेशन मोठ्या प्रमाणात वापरले जातात:

झटपट वेग.

मुद्दा सांगा एमसरळ रेषेत फिरते. अंतर sहालचाल बिंदू, काही प्रारंभिक स्थानावरून मोजला जातो एम0 वेळेवर अवलंबून असते टी, म्हणजे sवेळेचे कार्य आहे टी: s= f(टी). काही वेळात येऊ द्या टी   हालचाल बिंदू एम   अंतरावर होते s   सुरुवातीच्या स्थितीपासून एम0, आणि पुढच्या काही क्षणी टी+ डी टीस्थितीत होते एम1 - अंतरावर s+ डी sसुरूवातीपासून ( चित्र पहा.).

अशा प्रकारे, कालांतराने डी टी   अंतर s   डी च्या मूल्यांनी बदलले s. या प्रकरणात, ते म्हणतात की कालांतराने डी टी   मूल्य s   वाढीव डी s.

सर्व प्रकरणांमध्ये, सरासरी वेग पॉइंटच्या गतीस अचूकपणे दर्शवू शकत नाही एम   वेळी टी. उदाहरणार्थ, जर अंतराच्या सुरूवातीस शरीर डी टी   खूप लवकर हलवले आणि शेवटी अगदी हळू हळू, सरासरी वेग बिंदूच्या हालचालीची दर्शविलेली वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करण्यास आणि तिच्या हालचालीच्या वास्तविक गतीची कल्पना देऊ शकत नाही टी. सरासरी वेगाच्या मदतीने अधिक अचूकतेने वास्तविक गती व्यक्त करण्यासाठी, आम्हाला कमी कालावधी डी आवश्यक आहे टी. एका क्षणी एका बिंदूची गती सर्वात पूर्णपणे वैशिष्ट्यीकृत करते टी   सरासरी वेगाची D वर मर्यादा टी   Limit 0. या मर्यादेस सद्य गती असे म्हणतात:

अशाप्रकारे, या क्षणी हालचालींच्या गतीस पथ डीच्या वाढीच्या प्रमाणात मर्यादा म्हणतात s   वेळ वाढ डी टीजेव्हा वेळ वाढ शून्यावर येते. असल्याने

व्युत्पत्तीचे भौमितीय मूल्य. आलेख कार्यासाठी स्पर्शिका.

स्पर्शिका तयार करणे ही त्या समस्यांपैकी एक आहे ज्यामुळे विभेदक कॅल्क्युलसचा जन्म झाला. डिफिनेशनल कॅल्क्युलसशी संबंधित आणि लिबनिझ यांनी लिहिलेल्या पहिल्या प्रकाशित कार्यास बोलविले गेले मॅक्सिमा आणि मिनिमा, तसेच स्पर्शरेषांची एक नवीन पद्धत, ज्यासाठी अपूर्णांक किंवा तर्कहीन प्रमाणात एक अडथळा म्हणून काम करत नाही आणि एक विशेष प्रकारचा कॅल्क्यूलस.

वक्र फंक्शन आलेख होऊ द्या y = f(x) आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये ( पहा. अंजीर.).

एका विशिष्ट मूल्यावर xकार्य बाबी y = f(x) या मूल्यांकडे xआणि y   वक्र वर एक बिंदू आहे एम0(x, y) युक्तिवाद असल्यास x   देणे वेतन वाढ x, नंतर वितर्काचे नवीन मूल्य x   + डी x   फंक्शनच्या नवीन मूल्याशी संबंधित y +डी y = f(x +   डी x) वक्र वरील संबंधित बिंदू आहे एम1(x   + डी x,   y   + डी y) जर आपण एखादा सेन्टंट काढला तर एम0एम1 आणि जे द्वारे दर्शवा सकारात्मक अक्षांच्या दिशेने सेकंटद्वारे तयार केलेला कोन बैल, हे थेट त्या आकृतीवरून दिसते.

जर आता डी x   बिंदू शून्याकडे झुकत आहे एम1 वक्र बाजूने फिरते, बिंदू जवळ येते एम0 आणि कोन j बदल सह बदल डी x. येथे डीएक्स® 0, कोन j बिंदूमधून जाणार्\u200dया विशिष्ट मर्यादा a आणि सरळ रेषाकडे झुकत आहे एम0 आणि scब्सिस्सा अक्षांच्या सकारात्मक दिशेसह एक घटक इच्छित स्पर्शिका असेल. त्याचा कोनीय गुणांक:

म्हणून f´( x) \u003d टीजीए

म्हणजे व्युत्पन्न मूल्य f´( x) वितर्कांच्या दिलेल्या मूल्यासाठी x   टेंशेंटद्वारे बनविलेल्या कोनाची स्पर्शिका फंक्शनच्या आलेखापेक्षा समान करते f(x) संबंधित बिंदूवर एम0(x,y) सकारात्मक अक्ष दिशेने बैल.

कार्ये भिन्नता.

व्याख्या कार्य असल्यास y = f(x) चे व्युत्पन्न आहे x = x0, तर फंक्शन या टप्प्यावर भिन्न आहे.

व्युत्पन्न केलेल्या कार्याची सातत्य. प्रमेय

कार्य असल्यास y = f(x) काही क्षणी वेगळ्या x = x0, नंतर या टप्प्यावर हे सतत आहे.

अशा प्रकारे, खंडित बिंदूंवर, फंक्शन व्युत्पन्न होऊ शकत नाही. रूपांतरण सत्य नाही, म्हणजे. कधीतरी खरं तर x = x0 फंक्शन y = f(x) सतत या टप्प्यावर ते भिन्न आहेत हे अनुसरण करत नाही. उदाहरणार्थ, फंक्शन y = |x| प्रत्येकासाठी सतत x   (–Ґ x x \u003d 0 मध्ये व्युत्पन्न नाही. याक्षणी, आलेखला स्पर्शिक नाही. एक उजवा स्पर्शिका आणि डावा आहे, परंतु ते जुळत नाहीत.

विभेदनीय कार्यांवर काही प्रमेय. व्युत्पन्न मूळ प्रमेय (रोलेचे प्रमेय)कार्य असल्यास f(x) विभागावर सतत आहे [अ,बी], या विभागाच्या सर्व अंतर्गत बिंदू आणि टोकाला भेद करण्यायोग्य x = अ   आणि x = बी   गायब ( f(अ) = f(बी) \u003d 0), नंतर मध्यांतर [ अ,बी] किमान एक मुद्दा आहे x= सह, अ   सी बी ज्यामध्ये व्युत्पन्न आहे fў( x) नाहीसे होते, म्हणजे. fў( सी) = 0.

परिष्कृत वाढ प्रमेय (लग्रेंज प्रमेय).कार्य असल्यास f(x) विभागावर सतत चालू आहे [ अ, बी] आणि या विभागाच्या सर्व अंतर्गत बिंदूंवर विभेदनीय, नंतर विभागातील [ अ, बी] किमान एक मुद्दा आहे सह, अ   सी बी की

f(बी) – f(अ) = fў( सी)(बी– अ).

दोन फंक्शन्सच्या वाढीच्या (कॉची प्रमेय) संबंधातील प्रमेय.जर f(x) आणि   ग्रॅम(x) विभागावर सतत दोन कार्ये असतात [अ, बी] आणि या विभागाच्या सर्व अंतर्गत बिंदूंवर विभेदनीय, तसेच ग्रॅमў( x) या विभागाच्या आत कोठेही अदृश्य होत नाही, तर विभागातील [ अ, बी] असा मुद्दा आहे x = सह, अ   सी बी की

विविध ऑर्डरचे व्युत्पन्न.

फंक्शन द्या y = f(x) काही विभागातील फरक [ अ, बी]. व्युत्पन्न मूल्ये f ў( x), सहसा बोलणे, यावर अवलंबून असते x, म्हणजे व्युत्पन्न f ў( x) हे देखील एक कार्य आहे x. हे फंक्शन वेगळे करून, आम्ही फंक्शनचे तथाकथित द्वितीय व्युत्पन्न प्राप्त करतो f(x) द्वारे दर्शविले जाते f ўў ( x).

व्युत्पन्न एन-फंक्शनची क्रमवारी f(x) व्युत्पत्तीचे व्युत्पन्न (प्रथम क्रम) म्हणतात एन-1- जा आणि द्वारे दर्शविले जाते y(एन) = (y(एन   - 1)) ў.

विविध ऑर्डरचे भिन्नता.

कार्य भिन्नता y = f(x), कुठे x   एक स्वतंत्र व्हेरिएबल आहे, आहे   dy = f ў( x)dx, पासून काही कार्य   x, पण पासून x   फक्त पहिला घटक अवलंबून असू शकतो f ў( x), दुसरा घटक ( dx) स्वतंत्र व्हेरिएबलची वाढ आहे xआणि या व्हेरिएबलच्या किंमतीवर अवलंबून नाही. असल्याने dy   पासून एक कार्य आहे x, नंतर या कार्याचा फरक निश्चित केला जाऊ शकतो. फंक्शनच्या भिन्नतेपासून वेगळे केलेल्या कार्यास या कार्याचे दुसरे अंतर किंवा द्वितीय-क्रम भिन्नता म्हणतात आणि त्याद्वारे दर्शविले जाते डी2y:

डी(dx) = डी2y = f ўў( x)(dx) 2 .

भिन्नतापूर्ण एन-व्या क्रमांकाला प्रथम भिन्नता म्हणतात एन-1- व्या क्रम:

डी एन वाय = डी(डी एन–1   y) = f(एन)(x)dx(एन).

खाजगी व्युत्पन्न.

जर कार्य एकावर अवलंबून नसले तर अनेक वितर्कांवर अवलंबून असेल x मी(मी1 ते बदलते एन,   मी= 1, 2,… एन), f(x1,   x2,… x एन), नंतर विभेदक कॅल्क्यूलसमध्ये आंशिक व्युत्पत्तीची संकल्पना आणली जाते, जी केवळ एक युक्तिवाद बदलल्यास अनेक चलांच्या कार्याच्या बदलांचे प्रमाण दर्शवते, उदाहरणार्थ, x मी. च्या संदर्भात 1 ला ऑर्डर आंशिक व्युत्पन्न x मीवगळता सर्व युक्तिवाद वगळता सामान्य व्युत्पन्न म्हणून परिभाषित केले आहे x मी, स्थिर मूल्ये ठेवा. आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्जसाठी आम्ही संकेतेची ओळख करुन देतो

अशा प्रकारे परिभाषित केलेल्या पहिल्या ऑर्डरचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज (समान युक्तिवादाचे कार्य म्हणून) देखील, अंशतः डेरिव्हेटिव्ह्ज घेऊ शकतात, हे दुसर्\u200dया ऑर्डरचे आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज इ. वेगवेगळ्या वितर्कांसह घेतले, अशा व्युत्पन्नांना मिश्र असे म्हणतात. समान ऑर्डरचे निरंतर मिश्रित व्युत्पन्न भिन्नतेच्या क्रमानुसार स्वतंत्र असतात आणि ते एकमेकांच्या बरोबरीचे असतात.

अण्णा चुगाइनोवा

व्युत्पन्न म्हणजे काय?

व्युत्पन्न सारणी

उच्च गणिताची मुख्य संकल्पना व्युत्पन्न आहे. या धड्यात आपल्याला ही संकल्पना कळेल. कठोर गणिती फॉर्म्युलेशन आणि पुराव्यांशिवाय आम्ही एकमेकांना ओळखू.

हे ओळखीस अनुमती देईल:

व्युत्पन्न सह सोप्या कार्यांचे सार समजून घ्या;

ही अगदी सोपी कामे यशस्वीरित्या सोडवा;

अधिक गंभीर व्युत्पन्न धड्यांसाठी तयार करा.

प्रथम एक आनंददायी आश्चर्य.)

व्युत्पत्तीची कठोर व्याख्या मर्यादेच्या सिद्धांतावर आधारित आहे आणि ती गोष्ट जटिल आहे. हे अस्वस्थ करणारे आहे. परंतु व्युत्पत्तीच्या व्यावहारिक वापरास, नियम म्हणून, इतके विस्तृत आणि सखोल ज्ञान आवश्यक नाही!

शाळा आणि विद्यापीठातील बहुतेक कामे यशस्वीरीत्या पूर्ण करण्यासाठी हे जाणून घेणे पुरेसे आहे फक्त काही अटी   - कार्य समजून घेण्यासाठी आणि फक्त काही नियम   - ते सोडवण्यासाठी. आणि तेच ते प्रसन्न होते.

चला एकमेकांना जाणून घेऊया?)

अटी व संकेत.

प्राथमिक गणितामध्ये गणिताचे अनेक प्रकार असतात. जोडणे, वजाबाकी, गुणाकार, वाढ नोंदवणे, लॉगेरिदम इ. आपण या ऑपरेशन्समध्ये आणखी एक जोडल्यास प्राथमिक गणिताचे प्रमाण जास्त होते. या नवीन ऑपरेशनला म्हणतात भेदभाव.   या ऑपरेशनची व्याख्या आणि अर्थ वेगळ्या पाठात चर्चा केली जाईल.

येथे समजून घेणे महत्वाचे आहे की भिन्नता हे केवळ एका फंक्शनवरील गणिताचे ऑपरेशन असते. आम्ही कोणतेही कार्य घेतो आणि विशिष्ट नियमांनुसार त्याचे रूपांतर करतो. परिणाम एक नवीन वैशिष्ट्य आहे. या नवीन फंक्शनला म्हणतातः व्युत्पन्न

भेदभाव   - एका फंक्शनवरील क्रिया.

व्युत्पन्न   या क्रियेचा परिणाम आहे.

उदाहरणार्थ, उदाहरणार्थ, रक्कम   - जोडण्याचे परिणाम. किंवा खाजगी   विभाजनाचा परिणाम आहे.

अटी जाणून घेतल्यास आपण कमीतकमी कार्ये समजून घेऊ शकता.) सूत्र खालीलप्रमाणे आहेतः कार्याचे व्युत्पन्न शोधा; व्युत्पन्न घ्या; भिन्न कार्य; व्युत्पत्तीची गणना करा   इ. एवढेच एक आणि तीच गोष्ट.   अर्थात, तेथे अधिक जटिल कार्ये आहेत, जिथे व्युत्पन्न (भिन्नता) शोधणे ही कार्य सोडविण्याच्या चरणांपैकी एक आहे.

फंक्शनच्या वरच्या बाजूस बार वापरुन व्युत्पन्न सूचित केले जाते. या प्रमाणे: y "   किंवा f "(x)   किंवा एस "(टी)   वगैरे वगैरे.

वाचा इग्रेक स्ट्रोक, एक्स वरून स्ट्रोक, ते स्ट्रोक,   बरं, समजलं ...)

एक पट्टी एखाद्या विशिष्ट कार्याचे व्युत्पन्न देखील दर्शविते, उदाहरणार्थ: (2x + 3) ", (एक्स 3 )" , (साइनक्स) "   इ. बर्\u200dयाचदा व्युत्पन्न भिन्नतेद्वारे दर्शविले जाते परंतु आम्ही या धड्यात अशा पदनामांचा विचार करणार नाही.

समजा आपण कार्ये समजण्यास शिकलो आहोत. बाकीचे सर्व त्यांचे निराकरण कसे करावे हे शिकण्यासाठी आहे.) मला पुन्हा आठवण करून द्या: व्युत्पन्न करणे हे आहे विशिष्ट नियमांनुसार कार्य रूपांतरण.   हे नियम आश्चर्यकारकपणे काही आहेत.

फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी आपल्याला फक्त तीन गोष्टी माहित असणे आवश्यक आहे. तीन व्हेल ज्यावर सर्व भेद उभे आहेत. ते येथे या तीन व्हेल आहेत:

1. डेरिव्हेटिव्ह्ज सारणी (भिन्नता सूत्र)

3. एखाद्या जटिल कार्याचे व्युत्पन्न.

चला क्रमाने सुरू करूया. या धड्यात आम्ही डेरिव्हेटिव्ह्ज सारणीचा विचार करू.

व्युत्पन्न सारणी

जगात - कार्ये एक असीम संख्या. या संचामध्ये अशी कार्ये आहेत जी व्यावहारिक वापरासाठी सर्वात महत्वाची आहेत. ही कार्ये निसर्गाच्या सर्व नियमांत बसतात. या फंक्शन्समधून, विटांप्रमाणेच, आपण उर्वरित सर्व बांधकाम करू शकता. या वर्गाचे कार्य म्हणतात प्राथमिक कार्ये   हे कार्ये शालेय - रेखीय, चतुर्भुज, हायपरबोला इत्यादी येथे अभ्यासल्या जातात.

"स्क्रॅचपासून" फंक्शन्सचे वेगळेपण, म्हणजे व्युत्पन्न आणि मर्यादा सिद्धांताच्या परिभाषावर आधारित - एक गोष्ट ऐवजी त्रासदायक. आणि गणितज्ञ देखील लोक आहेत, होय!) म्हणून त्यांनी त्यांचे जीवन (आणि आमच्यासाठी) सुलभ केले. त्यांनी आमच्या आधी प्राथमिक कार्याच्या व्युत्पत्तीची गणना केली. परिणाम डेरिव्हेटिव्ह्जची सारणी आहे, जिथे सर्व काही तयार आहे.)

सर्वात लोकप्रिय वैशिष्ट्यांसाठी हे प्लेट येथे आहे. डावीकडे एक प्राथमिक कार्य आहे, उजवीकडे त्याचे व्युत्पन्न आहे.

	कार्य    y	Y चे व्युत्पन्न    y "
1	सी (स्थिर मूल्य)	सी "\u003d 0
2	x	x "\u003d 1
3	x एन (एन कोणतीही संख्या आहे)	(x एन) "\u003d एनएक्स एन -1
	x 2 (n \u003d 2)	(x 2) "\u003d 2x
4	sin x	(sin x) "\u003d कॉक्सॅक्स
	कॉक्स एक्स	(कॉस एक्स) "\u003d - पाप एक्स
	टीजी एक्स
	सीटीजी एक्स
5	आर्क्सिन एक्स
	आर्ककोस एक्स
	आर्क्टजी एक्स
	आर्केटीजी एक्स
4	अ   x
	ई   x
5	लॉग   अx
	एलएन एक्स ( a \u003d e)

मी डेरिव्हेटिव्ह्जच्या या टेबलमधील फंक्शनच्या तिसर्\u200dया गटाकडे लक्ष देण्याची शिफारस करतो. पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न हे सर्वात सामान्य नसलेले एक सूत्र आहे. हा संकेत स्पष्ट आहे काय?) होय, हृदयातून व्युत्पन्न सारणी जाणून घेणे इष्ट आहे. तसे, हे जितके वाटते तितके कठीण नाही. अधिक उदाहरणे सोडवण्याचा प्रयत्न करा, टेबल स्वतःच लक्षात येईल!)

डेरिव्हेटिव्हचे सारणी मूल्य शोधणे, जसे आपल्याला माहित आहे की, कार्य सर्वात कठीण नाही. म्हणूनच, बहुतेकदा अशा कामांमध्ये अतिरिक्त चीप असतात. एकतर टास्कच्या स्टेटमेंटमध्ये किंवा मूळ फंक्शनमध्ये जे टेबलमध्ये अनुपस्थित दिसत आहे ...

चला काही उदाहरणे पाहू:

1. फंक्शन y \u003d x चे व्युत्पन्न शोधा 3

टेबलमध्ये असे कोणतेही कार्य नाही. परंतु सामान्य स्वरूपात (थर्ड ग्रुप) पॉवर फंक्शनचे व्युत्पन्न होते. आमच्या बाबतीत, एन \u003d 3. म्हणून आम्ही एन ऐवजी तिहेरी बदलतो आणि काळजीपूर्वक निकाल लिहितो:

(एक्स 3) "\u003d 3x 3-1 = 3x 2

एवढेच.

उत्तरः y "\u003d 3x 2

२. x \u003d ० वर y \u003d sinx फंक्शनच्या व्युत्पत्तीचे मूल्य शोधा.

या कार्याचा अर्थ असा आहे की आपण प्रथम साइनचे व्युत्पन्न शोधले पाहिजेत आणि नंतर मूल्य बदलले पाहिजे x \u003d 0   या अगदी व्युत्पन्न मध्ये. त्या क्रमाने!   आणि मग ते घडते, ते तत्काळ मूळ फंक्शनमध्ये शून्य घेतात ... आम्हाला मूळ फंक्शनचे मूल्य नाही, परंतु मूल्य शोधण्यास सांगितले जाते त्याचे व्युत्पन्न   व्युत्पन्न, मला आठवते - हे एक नवीन वैशिष्ट्य आहे.

प्लेटवर आपल्याला साइन आणि संबंधित व्युत्पन्न आढळले:

y "\u003d (sin x)" \u003d कॉक्सॅक्स

व्युत्पन्न मध्ये शून्य पर्याय:

y "(0) \u003d कारण 0 \u003d 1

हे उत्तर असेल.

3. कार्य भिन्न करा:

काय प्रेरणा देते?) डेरिव्हेटिव्हजच्या सारणीमध्ये असे कोणतेही कार्य नाही.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की फंक्शन वेगळे करणे हे या फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधणे आहे. जर आपण प्राथमिक त्रिकोणमिती विसरला तर आपल्या कार्याचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी ते त्रासदायक आहे. टेबल मदत करत नाही ...

परंतु आपण पाहिले तर आमचे कार्य आहे दुहेरी कोन कोसाइनमग लगेचच सर्व काही ठीक होईल!

होय, होय! लक्षात ठेवा मूळ फंक्शनचे रूपांतरण भेदभाव करण्यापूर्वी   जोरदार परवानगी! आणि आयुष्य सुलभ बनवण्यासारखे होते. दुहेरी कोनाच्या कोसाइनच्या सूत्राद्वारेः

म्हणजे आमचे अवघड कार्य केवळ काहीच नाही y \u003d कॉक्सॅक्स. आणि हे टेबल फंक्शन आहे. त्वरित आम्हाला मिळते:

उत्तरः y "\u003d - sin x.

प्रगत पदवीधर आणि विद्यार्थ्यांसाठी एक उदाहरणः

The. कार्याचे व्युत्पन्न शोधा:

डेरिव्हेटिव्हजच्या टेबलमध्ये असे कोणतेही कार्य नाही. परंतु आपण प्राथमिक गणित आठवत असल्यास पदवीसह क्रिया ... तर हे कार्य सुलभ करणे शक्य आहे. या प्रमाणे:

आणि दहावीच्या क्षमतेची एक्स आधीपासून एक टेबल फंक्शन आहे! तिसरा गट, एन \u003d 1/10. थेट सूत्रानुसार आणि लिहा:

ते सर्व आहे. हे उत्तर असेल.

मी आशा करतो की विभेदनाच्या पहिल्या व्हेलसह - डेरिव्हेटिव्ह्जचे सारणी - सर्व काही स्पष्ट आहे. उर्वरित दोन व्हेल सामोरे जाणे बाकी आहे. पुढील धड्यात आपण भिन्नतेचे नियम पाळत आहोत.

व्युत्पत्तीची गणना बहुतेक वेळा परीक्षेच्या कामांमध्ये आढळते. या पृष्ठामध्ये व्युत्पन्न शोधण्याच्या सूत्रांची यादी आहे.

भेदभाव नियम

1. (के⋅ एफ (एक्स)) ′ \u003d के⋅ एफ ′ (एक्स).
2. (एफ (एक्स) + जी (एक्स)) ′ \u003d एफ ′ (एक्स) + जी ′ (एक्स).
3. (f (x) ⋅ g (x)) ′ \u003d f ′ (x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′ (x).
4. एखाद्या जटिल कार्याचे व्युत्पन्न. जर y \u003d F (u) आणि u \u003d u (x) असेल तर y \u003d f (x) \u003d F (u (x)) फंक्शनला x चे जटिल कार्य म्हटले जाते. Y ′ (x) \u003d Fu′⋅ ux als इतके आहे.
5. अप्रत्यक्ष कार्याचे व्युत्पन्न. Y \u003d f (x) फंक्शनला F (x, y) \u003d 0 जर F (x, f (x)) ≡0 दिले असल्यास अंतर्भूत फंक्शन म्हणतात.
6. व्यस्त कार्याचे व्युत्पन्न. जर g (f (x)) \u003d x असेल तर फंक्शन g (x) ला y \u003d f (x) फंक्शनसाठी व्यस्त कार्य असे म्हणतात.
7. पॅरामीट्रिकली परिभाषित फंक्शनचे व्युत्पन्न. X आणि y ला व्हेरिएबल t चे कार्य म्हणून द्या: x \u003d x (t), y \u003d y (t). असे म्हटले जाते की y \u003d y (x) हे मध्यांतर x∈ (a; b) वर पॅरामीट्रिकली परिभाषित कार्य आहे, जर या मध्यांतरात x \u003d x (t) हे समीकरण t \u003d t (x) आणि y \u003d y (फंक्शन) म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकते. t (x)) \u003d y (x).
8. घातांकीय कार्याचे व्युत्पन्न. हे लॉगरिथमद्वारे नैसर्गिक लॉगरिदमच्या तळाशी आढळले आहे.

Y \u003d f (x) फंक्शन मध्यांतर X मध्ये परिभाषित करूया. व्युत्पन्न    बिंदू x ओ वरील y \u003d f (x) फंक्शनला मर्यादा म्हणतात

= .

ही मर्यादा असल्यास अंतिम    नंतर f (x) फंक्शन म्हटले जाते विभेदनीय    टप्प्यावर x ओ   ; त्याच वेळी, या टप्प्यावर हे अपरिहार्यपणे आणि सतत आहे.

जर मानली जाणारी मर्यादा  (किंवा - ) च्या बरोबरीची असेल तर त्या बिंदूवर कार्य केले असेल x ओ    सतत, आम्ही असे म्हणतो की फंक्शन (एक्स) बिंदूवर आहे x ओ अनंत व्युत्पन्न.

व्युत्पन्न द्वारे दर्शविलेले आहे

y , f  (x o) ,,.

व्युत्पन्न शोधणे म्हणतात भेदभाव    कार्ये. व्युत्पत्तीचा भौमितीय अर्थ    व्युत्पन्न दिलेल्या बिंदूवर वक्र y \u003d f (x) पर्यंत स्पर्शिकेचा कोन गुणांक आहे हे यात व्युत्पन्न होते x ओ ; शारीरिक अर्थ -त्यावेळेस वेळेच्या संदर्भातील मार्गाचे व्युत्पन्न म्हणजे रीक्टीलाइनर मोशन s \u003d s (टी) असलेल्या टी ओ वर गतिशील बिंदूचा त्वरित वेग.

जर सह    एक स्थिर संख्या आहे आणि u \u003d u (x), v \u003d v (x) ही काही विभेदनीय कार्ये आहेत, नंतर खालील भिन्नता नियम वैध आहेत:

1) (सी) "\u003d 0, (क्यू)" \u003d क्यू ";

2) (u + v) "\u003d आपण" + व्ही ";

3) (uv) "\u003d u" v + v "यू;

4) (u / v) "\u003d (u" v-v "u) / v 2;

5) जर y \u003d f (u), u \u003d  (x), म्हणजे. y \u003d f ( (x)) -   जटिल कार्य    किंवा    सुपरपोजिशनविभेदनीय कार्ये बनलेला f आणि एफ, नंतर, किंवा

6) जर y \u003d f (x) फंक्शनसाठी व्यस्त डिफरंसिबल फंक्शन x \u003d g (y) असेल तर त्याऐवजी more 0 असेल.

व्युत्पन्न आणि विभेदनाच्या नियमांच्या परिभाषाच्या आधारे, मूलभूत प्राथमिक कार्येच्या सारणीबद्ध डेरिव्हेटिव्हची यादी तयार केली जाऊ शकते.

1. (u ) "\u003d  u  1 यू" (  आर).

२ (एक अ) "\u003d अ यू लॅना यू".

3. (ई यू) "\u003d ई यू यू".

(. (लॉग इन यू) "\u003d यू" / (यू एलएन ए).

5. (एलएन यू) "\u003d यू" / यू.

6. (पाप यू) "\u003d कॉस यू यू".

7. (कॉस यू) "\u003d - पाप यू यू".

8. (टीजी यू) "\u003d 1 / कॉस 2 यू यू".

9. (सीटीजी यू) "\u003d - यू" / पाप 2 यू.

10. (आर्क्सिन यू) "\u003d यू" /.

11. (आर्कोकोस यू) "\u003d - यू" /.

12. (आर्कटान यू) "\u003d यू" / (1 + यू 2).

13. (आर्क्टग यू) "\u003d - यू" / (1 + यू 2).

आम्ही पॉवर-एक्सपोन्शियल एक्सप्रेशन y \u003d u v, (u\u003e 0) च्या व्युत्पत्तीची गणना करतो, जिथे u    आणि v    पासून कार्य सार xदिलेल्या ठिकाणी व्युत्पन्न करणे तू ",    v ".

लॉगरिदम y \u003d u v असणे, आम्हाला ln y \u003d v ln u मिळते.

च्या संदर्भात डेरिव्हेटिव्ह्ज समान करणे x    नियम,, the आणि लॉगेरिथमिक फंक्शनच्या व्युत्पत्तीच्या सूत्राचा वापर करुन प्राप्त झालेल्या समानतेच्या दोन्ही बाजूंकडून:

y "/ y \u003d vu" / u + v "ln u, कोठून y" \u003d y (vu "/ u + v" ln u).

(यू व्ही) "\u003d यू व्ही (वू" / यू + वी "एलएन यू), यू\u003e ०.

उदाहरणार्थ, जर y \u003d x sin x, तर y "\u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).

Y \u003d f (x) हे फंक्शन वेगळ्या असल्यास x, म्हणजे याक्षणी एक मर्यादित व्युत्पन्न आहे y ", नंतर \u003d y "+ , जेथे х 0 साठी 0; म्हणून,  y \u003d y" х +  x.

फंक्शनच्या वाढीचा मुख्य भाग, х च्या संदर्भात रेषीय, असे म्हणतात    भिन्नता कार्ये    आणि dy द्वारा दर्शविले जाते: dy \u003d y ".x. जर आपण या सूत्रात y \u003d x ठेवले तर आपल्याला dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x मिळते, म्हणून dy \u003d y "dx, म्हणजेच, चिन्ह व्युत्पन्न च्या नोटेशन एक अपूर्णांक मानले जाऊ शकते.

कार्य वाढ функции y    वक्र च्या समन्वयाची वाढ आहे, आणि भिन्न डी y    टॅन्जंटच्या ऑर्डिनेंटची वाढ आहे.

समजा आपल्याला y \u003d f (x) हे फंक्शन सापडले आहे ज्याचे व्युत्पन्न y  \u003d f for (x) आहे. या व्युत्पत्तीचे व्युत्पन्न म्हणतात दुसरी ऑर्डर व्युत्पन्नकार्ये f (x), किंवा दुसरा व्युत्पन्न    आणि नियुक्त केले आहे .

त्याचप्रमाणे परिभाषित आणि नियुक्त केलेले:

तिसरा क्रम व्युत्पन्न - ,

चौथ्या क्रमातील व्युत्पन्न -

आणि सर्वसाधारणपणे एन-व्या व्युत्पन्न - .

उदाहरण 3.15.    Y \u003d (3x 3 -2x + 1) - x एक्स फंक्शनच्या व्युत्पत्तीची गणना करा.

समाधान.नियम 3, y "\u003d (3x 3 -2x + 1)" xसिन x + (3x 3 -2x + 1)  (sin x) "\u003d \u003d (9x 2 -2) पाप एक्स + (3x 3 -2x) +1) कॉस x.

उदाहरण 3.16 . Y ", y \u003d tg x + शोधा.

समाधान.भागफलकापासून बेरीज विभक्त करण्याचे नियम वापरुन आम्हाला मिळते: y "\u003d (tgx +)" \u003d (tgx) "+ ()" \u003d + = .

उदाहरण 3.17.    Y \u003d, u \u003d x 4 +1 या जटिल कार्याचे व्युत्पन्न शोधा.

समाधान.गुंतागुंतीच्या कार्याच्या भिन्नतेच्या नियमानुसार, आम्ही प्राप्त करतो: y "x \u003d y" uu "x \u003d ()" u (x 4 +1) "x \u003d (2u +. U \u003d x 4 + 1 असल्याने, नंतर (2 x 4 + 2+ .