अपेक्षा आणि तफावत

यादृच्छिक व्हेरिएबल मोजू एन  वेळा, उदाहरणार्थ, आम्ही वारा वेग दहा वेळा मोजतो आणि सरासरी मूल्य शोधू इच्छितो. माध्यमाचे वितरण कार्याशी कसे संबंध आहे?

आम्ही बर्\u200dयाच वेळा पासा फेकू. प्रत्येक रोल दरम्यान डाईवर सोडल्या जाणा points्या बिंदूंची संख्या यादृच्छिक मूल्य आहे आणि ते 1 ते 6 पर्यंत कोणतीही नैसर्गिक मूल्ये घेऊ शकते, डाईच्या सर्व रोलसाठी मोजलेल्या सोडलेल्या बिंदूंचे अंकगणित सरासरी देखील यादृच्छिक मूल्य आहे, परंतु मोठ्या संख्येने एन  गणिताच्या अपेक्षेप्रमाणे - हे एका विशिष्ट संख्येसाठी प्रयत्न करते एम एक्स. या प्रकरणात एम एक्स = 3,5.

तुम्हाला हे मूल्य कसे मिळाले? आत जाऊ द्या एन  चाचण्या एकदा 1 बिंदू, वेळा - 2 गुण वगैरे वगळल्या. मग कधी एन  ∞ Similarly परिणामाची संख्या ज्यामध्ये एक बिंदू घसरला, त्याचप्रमाणे

मॉडेल 4.5. पासा

समजा आता आपल्याला यादृच्छिक चलचा वितरण कायदा माहित आहे x, म्हणजेच आपल्याला हे माहित आहे की यादृच्छिक व्हेरिएबल x  मूल्ये घेऊ शकतात x 1 , x 2 , ..., x के  संभाव्यतेसह पी 1 , पी 2 , ..., पी के.

गणिताची अपेक्षा एम एक्स  यादृच्छिक चल x  च्या बरोबरीचे आहे:

उत्तर. 2,8.

गणिताची अपेक्षा ही नेहमीच कोणत्याही यादृच्छिक चलचा वाजवी अंदाज असू शकत नाही. तर, सरासरी वेतनाचे मूल्यांकन करण्यासाठी, मध्यकाची संकल्पना वापरणे अधिक वाजवी आहे, म्हणजेच इतके मोठेपणा की मध्यम वेतनापेक्षा कमी पगार घेणा people्यांची संख्या आणि त्याहूनही मोठे मिळते.

मध्यम  यादृच्छिक व्हेरिएबल नावाचा नंबर x  १/२ अशा पी (x < x 1/2) = 1/2.

दुस words्या शब्दांत, संभाव्यता पी  त्या यादृच्छिक चल 1 x  लहान असेल x  1/2 आणि संभाव्यता पी  त्या यादृच्छिक चल 2 x  मोठे होईल x  १/२ समान आणि १/२ समान आहेत. मध्यभागी सर्व वितरणांसाठी विशिष्टपणे निर्धारित केले जात नाही.

यादृच्छिक चल वर परत xजे मूल्य घेऊ शकतात x 1 , x 2 , ..., x के  संभाव्यतेसह पी 1 , पी 2 , ..., पी के.

फैलाव  यादृच्छिक चल x  गणितीय अपेक्षेतून यादृच्छिक चल च्या विचलनाचा मध्य वर्ग म्हणतात.

उदाहरण 2

मागील उदाहरणांच्या शर्तींनुसार, यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या भिन्नता आणि मानक विचलनाची गणना करा x.

उत्तर. 0,16, 0,4.

मॉडेल 4.6. लक्ष्य शूटिंग

उदाहरण 3

पहिल्या रोल, मेडीयन, मध्यम, भिन्नता आणि मानक विचलनामुळे मरणार्या बिंदूंच्या संख्येचे संभाव्यता वितरण शोधा.

कोणत्याही चेहर्याचा तोटा तितकाच संभव आहे, म्हणून वितरण असे दिसेल:

प्रमाण विचलन हे पाहिले जाते की सरासरी मूल्यापासून मूल्यांचे विचलन खूप मोठे आहे.

गणिताच्या अपेक्षेचे गुणधर्म:

• स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या बेरीजची गणितीय अपेक्षा त्यांच्या गणिताच्या अपेक्षेच्या बेरजेइतकीच असते:

उदाहरण 4

दोन फासे पडलेल्या बिंदूंच्या बेरीज आणि उत्पादनाची गणितीय अपेक्षा शोधा.

उदाहरणार्थ 3, आम्हाला एका घनसाठी ते आढळले एम (x) \u003d 3.5. तर दोन फासे साठी

फैलावण्याचे गुणधर्म:

• स्वतंत्र रँडम व्हेरिएबल्सच्या बेरीजचे भिन्नता रूपांच्या बेरजेइतकीच असते:

डी एक्स + y = डी एक्स + डी वाय.

साठी द्या एन  फासे रोल y  गुण. मग

हा परिणाम फक्त फासे रोलसाठीच नाही. ब cases्याच बाबतींत तो गणिताच्या अपेक्षेची परिमाण मोजण्याची अचूकता निश्चित करतो. हे पाहिले जाऊ शकते की मोजमापांच्या संख्येत वाढ झाली आहे एन  माध्यमाच्या आसपास मूल्यांचा प्रसार, म्हणजे प्रमाण विचलन, प्रमाण प्रमाणात कमी होते

यादृच्छिक व्हेरिएबलचे भिन्नता या रँडम व्हेरिएबलच्या स्क्वेअरच्या गणिताच्या अपेक्षेशी संबंधित आहे.

आम्हाला या समानतेच्या दोन्ही भागांच्या गणितीय अपेक्षा आढळतात. व्याख्या करून,

परंतु समानतेच्या उजव्या बाजूची गणितीय अपेक्षा बरोबरीची आहे

प्रमाण विचलन

प्रमाण विचलन  भिन्नतेच्या वर्गमूलच्या समान:
  अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येच्या (एन\u003e )०) मोठ्या प्रमाणात परिमाण असलेल्या सरासरी विचलनाचे निर्धारण करताना, सूत्रे वापरली जातात:

अशीच माहिती.

भिन्नतेच्या वर्गमूलला क्षुद्र पासून क्षुद्र चौरस विचलन म्हणतात, ज्याची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते:

क्षुद्र चौरस विचलनाच्या सूत्राचा प्राथमिक बीजगणित रूपांतरण त्यास खालील स्वरूपाकडे नेतो:

हे सूत्र गणनाच्या प्रॅक्टिसमध्ये बर्\u200dयाचदा सोयीस्कर असते.

मूळ-मध्यम-चौरस विचलन, सरासरी रेषीय विचलनाप्रमाणेच वैशिष्ट्यपूर्णतेची विशिष्ट मूल्ये त्यांच्या सरासरी मूल्यापासून किती सरासरी विचलित करतात हे दर्शविते. प्रमाणित विचलन नेहमीच्या रेषीय विचलनापेक्षा नेहमीच मोठे असते. त्यांच्यात असे प्रमाण आहे:

हे प्रमाण जाणून घेतल्यास, ज्ञात निर्देशकांद्वारे अज्ञात निश्चित करणे शक्य आहे, उदाहरणार्थ, परंतु (मी   अ आणि त्याउलट गणना करा. रूट-मीन-स्क्वेअर विचलन चिन्हाच्या चढ-उतारांचे परिपूर्ण आकार मोजते आणि चिन्हाचे मूल्य (रुबल, टन, वर्षे, इत्यादी) म्हणून मोजण्याच्या त्याच युनिट्समध्ये व्यक्त केले जाते. हे भिन्नतेचे परिपूर्ण उपाय आहे.

साठी पर्यायी चिन्हे उदाहरणार्थ, उच्च शिक्षण, विमा, फैलाव सूत्र आणि मानक विचलन यांची उपस्थिती किंवा अनुपस्थिती:

आम्ही विद्यापीठाच्या एका विद्याशाखांपैकी एकाच्या विद्यार्थ्यांचे वय वितरण वैशिष्ट्यीकृत असणार्\u200dया मालिकेनुसार मध्यवर्ती चौरस विचलनाची गणना दर्शवितो (तक्ता 6.2).

तक्ता 6.2.

सहायक मोजणीचे परिणाम टेबलच्या 2-5 स्तंभांमध्ये दिले आहेत. .2.२.

विद्यार्थ्यांचे सरासरी वय, वर्षे, अंकगणित म्हणजे वेट (स्तंभ 2) च्या सूत्राद्वारे निर्धारित केली जातात:

प्रत्येक विद्यार्थ्याच्या वयानुसार विचलनाचे वर्ग सरासरीपासून स्तंभ 3-4 मध्ये समाविष्ट आहेत आणि संबंधित वारंवारतांद्वारे विचलनांच्या वर्गांचे उत्पादन स्तंभ 5 मध्ये आहे.

विद्यार्थ्यांच्या वय, वर्षांचे भिन्नता आम्हाला सूत्रानुसार आढळते (6.2):

मग ओ \u003d एल / 3.43 1.85 * औड, म्हणजे. विद्यार्थ्याच्या वयातील प्रत्येक विशिष्ट मूल्य सरासरी मूल्यापासून 1.85 वर्षांपर्यंत कमी होते.

भिन्नतेचे गुणांक

त्याच्या परिपूर्ण मूल्यामध्ये, सरासरी चौरस विचलन केवळ लक्षणांच्या भिन्नतेच्या डिग्रीवरच नव्हे तर पर्यायांच्या सरासरी पातळी आणि सरासरीवर देखील अवलंबून असते. म्हणूनच, भिन्न सरासरी पातळींसह भिन्न मालिकेच्या सरासरी चौरस विचलनाची थेट तुलना करणे अशक्य आहे. अशी तुलना करण्यास सक्षम होण्यासाठी, अंक म्हणून व्यक्त केलेल्या अंकगणित माध्यमामध्ये सरासरी विचलनाची (रेषात्मक किंवा चतुष्कोणीय) विशिष्ट गुरुत्व शोधणे आवश्यक आहे, म्हणजे. गणना भिन्नतेचे संबंधित निर्देशक.

भिन्नतेचे रेखीय गुणांक सूत्रानुसार गणना केली

भिन्नतेचे गुणांक खालील सूत्रानुसार निर्धारित:

भिन्नतेच्या गुणांकांमध्ये, केवळ अद्वितीय वैशिष्ट्य असलेल्या विविध युनिटशी संबंधित असंगतपणा दूर केली जात नाही तर अंकगणित मध्यम मूल्यांमधील फरकांमुळे उद्भवणारी विसंगतता देखील नष्ट होते. याव्यतिरिक्त, भिन्नतेचे निर्देशक लोकसंख्येचे एकसारखेपणा दर्शवितात. जर भिन्नतेचे गुणांक 33% पेक्षा जास्त नसेल तर सेट एकसंध मानला जाईल.

टेबल नुसार. .2.२ आणि वर प्राप्त गणना गणना, आम्ही सूत्रानुसार (.3..3) भिन्नतेचे गुणांक% निश्चित करतो:

जर भिन्नतेचे गुणांक 33% पेक्षा जास्त असेल तर हे अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येचे वैशिष्ठ्य दर्शवते. आमच्या बाबतीत प्राप्त मूल्य सूचित करते की वयानुसार विद्यार्थ्यांची लोकसंख्या रचनांमध्ये समान आहे. अशा प्रकारे, भिन्नतेच्या सामान्यीकृत निर्देशकांचे एक महत्त्वाचे कार्य म्हणजे साधनांच्या विश्वासार्हतेचे मूल्यांकन. कमी s1 a2 आणि व्ही परिणामी अभ्यासाचा संच जितका अधिक एकसारखा आणि सरासरी तितका विश्वासार्ह. गणिताच्या आकडेवारीनुसार विचारात घेतलेल्या “तीन सिग्माच्या नियम” नुसार साधारणपणे वितरित किंवा जवळपास अंकगणित पद्धतीने विचलनाची मालिका ± 3 डिग्री सेल्सियसपेक्षा जास्त नसते, 1000 पैकी 997 घटनांमध्ये आढळतात. x आणि अ, एखाद्याला भिन्न मालिकांबद्दल सामान्य प्रारंभिक कल्पना मिळू शकते. उदाहरणार्थ, जर कंपनीतील कर्मचा of्याचे सरासरी वेतन 25,000 रूबल होते आणि ते 100 रूबल इतके असेल तर संभाव्यतेच्या जवळ असेल तर असा युक्तिवाद केला जाऊ शकतो की कंपनीच्या कर्मचार्\u200dयांचे पगार (25,000 ± 3 x 100) आहेत. ) अर्थात 24,700 पासून 25,300 रुबलपर्यंत.

सूचना पुस्तिका

कोणत्याही एकसारख्या प्रमाणात वैशिष्ट्यीकृत असंख्य संख्या असू द्या. उदाहरणार्थ, मोजमाप, वजन, सांख्यिकी निरीक्षणे इ. चा परिणाम. सादर केलेल्या सर्व प्रमाणात समान मोजमापाचे मापन करणे आवश्यक आहे. चतुर्भुज विचलन शोधण्यासाठी, पुढील गोष्टी करा:

सर्व अंकांचा अंकगणित मध्यम निश्चित करा: सर्व संख्या जोडा आणि एकूण संख्यांच्या संख्येने बेरीज विभाजित करा.

संख्येचे भिन्नता (स्कॅटर) ठरवा: पूर्वी सापडलेल्या विचलनांचे वर्ग जोडा आणि परिणामी रकमेच्या संख्येनुसार विभाजित करा.

प्रभागात 34, 35, 36, 37, 38, 39 आणि 40 अंश सेल्सिअस तापमान असलेले सात रुग्ण आहेत.

सरासरीपासून सरासरी विचलन निर्धारित करणे आवश्यक आहे.
उपाय:
  “प्रभागानुसार”: (34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40) / 7 \u003d 37 ºС;

तापमान सरासरीपासून विचलन (या प्रकरणात, सामान्य मूल्य): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, ते बाहेर पडते: -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3 (ºС);

परिणामी लवकरांची संख्या त्यांच्या संख्येनुसार विभाजित करा. अचूकतेसाठी, कॅल्क्युलेटर वापरणे चांगले. भागाचा परिणाम म्हणजे समन्समधील अंकगणित म्हणजे.

गणनेच्या सर्व टप्प्यांकडे काळजीपूर्वक संदर्भ घ्या कारण कमीतकमी एका गणितातील त्रुटी चुकीच्या अंतिम निर्देशकाकडे नेईल. प्रत्येक टप्प्यावर प्राप्त गणना तपासा. अंकगणित माध्यमाच्या संख्येची बेरीज केलेल्या संख्येइतकीच मापे असते, म्हणजेच, आपण सरासरी उपस्थिती निश्चित केल्यास आपल्याकडे असलेले सर्व निर्देशक "व्यक्ती" असतील.

गणिताची ही पद्धत केवळ गणितीय आणि सांख्यिकीय गणनांमध्ये वापरली जाते. तर, उदाहरणार्थ, संगणक शास्त्रामधील अंकगणित माध्यमाचे मूल्य भिन्न गणन अल्गोरिदम आहे. अंकगणित माध्यमाचे मूल्य एक अत्यंत सशर्त सूचक आहे. हे इव्हेंटची संभाव्यता दर्शविते, जर त्यामध्ये केवळ एक घटक किंवा निर्देशक असेल. अत्यंत सखोल विश्लेषणासाठी, अनेक घटकांचा विचार केला पाहिजे. यासाठी, अधिक सामान्य प्रमाणांची गणना वापरली जाते.

अंकगणित म्हणजे मध्यवर्ती प्रवृत्तीच्या उपायांपैकी एक म्हणजे गणित आणि सांख्यिकीय गणनेमध्ये मोठ्या प्रमाणात वापरला जातो. बर्\u200dयाच मूल्यांसाठी अंकगणित सरासरी शोधणे अगदी सोपे आहे, परंतु प्रत्येक कार्याची स्वतःची बारीक बारीकी असते, जे आपल्याला अचूक गणना करण्यासाठी फक्त माहित असणे आवश्यक आहे.

तत्सम प्रयोगांचे परिमाणात्मक परिणाम.

अंकगणित मध्यम कसा शोधायचा

नकारात्मक संख्यांसह कार्य करण्याची वैशिष्ट्ये

1. मानक पद्धतीची एकूण अंकगणित सरासरी शोधणे;
२. नकारात्मक अंकांचा अंकगणित मध्यम शोधणे.
Positive. अंकांच्या अंकगणित माध्यमाची गणना.

प्रत्येक क्रियेचे प्रतिसाद स्वल्पविरामाने नोंदवले जातात.

नैसर्गिक आणि दशांश अपूर्णांक

नैसर्गिक अपूर्णांकांवर काम करताना, ते कमी करून सामान्य भाजक केले जावे, जे अ\u200dॅरेच्या संख्येने गुणाकार असेल. उत्तर अंश हे प्रारंभिक अपूर्णांकांच्या घटकांच्या संख्येची बेरीज होईल.

विकिपीडिया कडून, विनामूल्य विश्वकोश

प्रमाण विचलन  (समानार्थी शब्द: प्रमाण विचलन, प्रमाण विचलन, चतुर्भुज विचलन; संबंधित अटीः प्रमाण विचलन, मानक प्रसार) - संभाव्यता सिद्धांत आणि आकडेवारीमध्ये गणितीय अपेक्षेच्या तुलनेत यादृच्छिक मूल्यांच्या फैलावांचे सर्वात सामान्य सूचक. मूल्यांच्या नमुन्यांच्या मर्यादित अ\u200dॅरेसह, गणिताच्या अपेक्षेऐवजी, नमुन्यांच्या लोकसंख्येचा अंकगणित मध्यम वापरला जातो.

मूलभूत माहिती

मानक विचलन हे यादृच्छिक चल स्वतःच मोजण्यासाठीच्या युनिट्समध्ये मोजले जाते आणि अंकगणित माध्यमाची मानक त्रुटी मोजण्यासाठी, आत्मविश्वास अंतराची रचना तयार करण्यासाठी, गृहीतकांच्या सांख्यिकीय चाचणीमध्ये, यादृच्छिक चरांमधील रेषात्मक संबंध मोजण्यासाठी वापरले जाते. यादृच्छिक चलच्या भिन्नतेचे चौरस मूळ म्हणून परिभाषित केले.

प्रमाण विचलन:

$\backslash \backslash \; सिग्मा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; चौरस\; (\backslash \backslash \; फ्रॅक\; (१)\; (एन)\; \backslash \backslash \; योग\_\; (i\; \backslash u003d\; 1)\; ^\; n\; \backslash \backslash \; डावा\; (x\_i-\; \backslash \backslash \; बार\; (एक्स)\; \backslash \backslash \; उजवा)\; ^\; 2).$

प्रमाण विचलन  (यादृच्छिक चल च्या मानक विचलनाचा अंदाज x   त्याच्या भिन्नतेच्या निष्पक्ष अंदाजानुसार गणिताच्या अपेक्षेनुसार) $s$:

$s\; \backslash u003d\; q\; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (n)\; (n-1)\; \backslash \backslash \; sigma\; ^\; 2)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (1)\; (n-1)\; \backslash \backslash \; योग\_\; (i\; \backslash u003d\; 1)\; ^\; n\; \backslash \backslash \; डावीकडे\; (x\_i-\; \backslash \backslash \; बार\; (x)\; \backslash \backslash \; उजवीकडे)\; ^\; 2);$

तीन सिग्माचा नियम

तीन सिग्माचा नियम ($3\; \backslash \backslash \; सिग्मा$) - साधारणपणे वितरित यादृच्छिक चल श्रेणीमधील जवळजवळ सर्व मूल्ये $\backslash \backslash \; डावा\; (\backslash \backslash \; बार\; (एक्स)\; -3\; ig\; सिग्मा;\; \backslash \backslash \; बार\; (एक्स)\; +3\; \backslash \backslash \; सिग्मा\; \backslash \backslash \; उजवीकडे)$. अधिक काटेकोरपणे, अंदाजे ०.9999 73 of with च्या संभाव्यतेसह, सामान्यत: वितरित यादृच्छिक चलचे मूल्य निर्देशित अंतरामध्ये असते (प्रदान केलेले प्रमाण $\backslash \backslash \; बार\; (x)$  सत्य आहे आणि नमुनावर प्रक्रिया केल्यामुळे प्राप्त झाले नाही).

जर खरे मूल्य असेल $\backslash \backslash \; बार\; (x)$  अज्ञात, आपण वापरू नये $ig\; सिग्मा$, आणि s  . अशा प्रकारे तीन सिग्माच्या नियमात तिघांच्या नियमात रूपांतर होते s .

मानक विचलनाचे स्पष्टीकरण

मानक विचलनाचे मोठे मूल्य सेटच्या सरासरी मूल्यासह सादर केलेल्या सेटमधील मूल्यांचा मोठा स्कॅटर दर्शवते; एक लहान मूल्य अनुक्रमे असे दर्शविते की सेटमधील मूल्ये सरासरी मूल्याच्या आसपास विभागली जातात.

उदाहरणार्थ, आमच्याकडे तीन संख्यात्मक संच आहेत: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) आणि (6, 6, 8, 8). सर्व तीन संचासाठी, क्षुद्र मूल्ये 7 आहेत आणि प्रमाणित विचलन अनुक्रमे 7, 5 आणि 1 आहेत शेवटच्या सेटसाठी, प्रमाणित विचलन लहान आहे, कारण सेटमधील मूल्ये मध्यभागी सुमारे विभागली गेली आहेत; पहिल्या सेटमध्ये सर्वात मोठे प्रमाण विचलन असते - सेटमधील मूल्ये सरासरी मूल्यापेक्षा जोरदार भिन्न असतात.

सामान्य अर्थाने, प्रमाणित विचलन हे अनिश्चिततेचे एक उपाय मानले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्रात, प्रमाण विचलनाचा वापर परिमाणांच्या सलग मोजमापांच्या मालिकेची त्रुटी निश्चित करण्यासाठी केला जातो. सिद्धांतद्वारे भाकीत केलेल्या मूल्याच्या तुलनेत अभ्यासाच्या अंतर्गत घटनेची शक्यता निश्चित करण्यासाठी हे मूल्य खूप महत्वाचे आहे: जर मापनचे सरासरी मूल्य सिद्धांताद्वारे (मानक विचलनाचे मोठे मूल्य) पूर्वानुमान केलेल्या मूल्यांपेक्षा खूप वेगळे असेल तर प्राप्त मूल्ये किंवा ती मिळविण्याची पद्धत दोनदा तपासली पाहिजे.

व्यावहारिक अनुप्रयोग

सराव मध्ये, मानक विचलन आपल्याला सरासरी मूल्यापेक्षा सेटमधील मूल्ये किती भिन्न असू शकते याचे मूल्यांकन करण्यास अनुमती देते.

अर्थशास्त्र आणि वित्त

पोर्टफोलिओ रिटर्नचे मानक विचलन $\; \backslash \backslash \; सिग्मा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; वर्गमीटर\; (डी\; [एक्स])$  पोर्टफोलिओ जोखीम सह ओळखले.

हवामान

समजा, दररोज समान सरासरी तपमान असलेली दोन शहरे आहेत, परंतु एक किना on्यावर आणि दुसरे मैदानावर आहे. हे ज्ञात आहे की किनारपट्टीवर असलेल्या शहरांमध्ये, अनेक वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त दैनंदिन तापमान खंडातील शहरांपेक्षा कमी असतात. म्हणूनच, किनार्यावरील शहरातील जास्तीत जास्त दैनंदिन तपमानाचे प्रमाणित विचलन दुसर्\u200dया शहराच्या तुलनेत कमी असेल, जरी त्यांचे समान मूल्य आहे हे सत्य असूनही व्यावहारिक अर्थ असा आहे की वर्षाच्या प्रत्येक विशिष्ट दिवसाचे जास्तीत जास्त हवेचे तापमान अधिक मजबूत होण्याची संभाव्यता खंडात स्थित असलेल्या शहरासाठी सरासरीपेक्षा वेगळा.

खेळ

समजा असे अनेक फुटबॉल संघ आहेत ज्यांचे मूल्यमापन विशिष्ट मापदंडांनुसार केले जाते, उदाहरणार्थ, किती गोल आणि गोलची पूर्तता, गोल इ. इत्यादी बहुधा या गटातील सर्वोत्तम संघाकडे अधिक मापदंडासाठी सर्वोत्तम मूल्ये असतील. संघात सादर केलेल्या प्रत्येक मापदंडांकरिता प्रमाण विचलन जितके कमी असेल तितकेच टीमचा निकाल जास्त अंदाज येतो, असे संघ संतुलित असतात. दुसरीकडे, मोठ्या प्रमाणातील विचलन असलेल्या संघाला निकालाचा अंदाज करणे अवघड आहे, ज्याचा परिणाम असंतुलनद्वारे स्पष्ट केला जातो, उदाहरणार्थ, मजबूत संरक्षण, परंतु कमकुवत हल्ला.

संघाच्या पॅरामीटर्सचे प्रमाणित विचलन वापरल्याने दोन संघांमधील सामन्याचा निकाल, संघांची सामर्थ्य व कमकुवत्यांचे मूल्यांकन करणे आणि म्हणूनच संघर्षाच्या निवडलेल्या पद्धतींचा अंदाज एक किंवा दुसर्\u200dया मार्गाने मिळू शकतो.

हे देखील पहा

"मानक विचलन" लेखावर पुनरावलोकन लिहा

साहित्य

• बोरोव्हिकोव्ह व्ही.  सांख्यिकी. संगणक डेटा विश्लेषणाची कला: व्यावसायिकांसाठी / व्ही. बोरोव्हिकोव्ह. - एसपीबी. : पीटर, 2003 .-- 688 पी. - आयएसबीएन 5-272-00078-1..

प्रमाण विचलनाचा उतारा

हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की या भिन्नतेच्या गणनेत एक कमतरता आहे - ते पक्षपाती असल्याचे दिसून येते, म्हणजे. त्याची गणितीय अपेक्षा भिन्नतेच्या वास्तविक मूल्याइतकी नसते. याबद्दल अधिक त्याच वेळी, सर्व काही इतके वाईट नाही. वाढत्या नमुना आकाराने, तरीही असे असले तरी त्याच्या सैद्धांतिक भागांकडे जाते, म्हणजे. असंख्यगतपणे पक्षपाती नाही. म्हणूनच, मोठ्या नमुन्याच्या आकारांसह कार्य करताना आपण वरील सूत्र वापरू शकता.

शब्दांच्या भाषेत अनुवाद करण्यासाठी साइन भाषा उपयुक्त आहे. हे दिसून येते की भिन्नता भिन्नतेचे सरासरी चौरस आहे. म्हणजेच प्रथम सरासरी मूल्य मोजले जाते, त्यानंतर प्रत्येक प्रारंभिक आणि सरासरी मूल्यातील फरक घेतला जातो, वर्ग केला जातो, जोडला जातो आणि नंतर या लोकसंख्येच्या मूल्यांच्या संख्येनुसार विभागला जातो. वैयक्तिक मूल्य आणि सरासरीमधील फरक विचलनाचे काही प्रमाणात प्रतिबिंबित करते. हे वर्गित केले आहे जेणेकरून सर्व विचलन पूर्णपणे सकारात्मक संख्या बनतात आणि जेव्हा त्यांचा बेरीज केल्या जातात तेव्हा सकारात्मक आणि नकारात्मक विचलनाचा परस्पर नाश टाळण्यासाठी. नंतर, विचलनांचे चौरस असणारे, आपण गणिताच्या मध्यभागी केवळ गणना करू. सरासरी हे विचलनांचे वर्ग आहे. विचलन चौरस आहेत आणि सरासरी मानली जाते. उत्तर फक्त तीन शब्दांमध्ये आहे.

तथापि, अंकगणित क्षुद्र किंवा निर्देशांक यासारख्या शुद्ध स्वरूपात, भिन्नता वापरली जात नाही. त्याऐवजी हे सहाय्यक आणि दरम्यानचे संकेतक आहेत, जे इतर प्रकारच्या सांख्यिकीय विश्लेषणासाठी आवश्यक आहे. तिच्याकडे मोजण्याचे सामान्य एकक देखील नाही. सूत्रानुसार, हे स्त्रोत डेटा मोजण्याच्या युनिटचे स्क्वेअर आहे. बाटलीशिवाय, जसे ते म्हणतात, आपल्याला समजत नाही.

(मॉड्यूल १११)

हा फैलाव प्रत्यक्षात आणण्यासाठी, म्हणजेच त्याचा वापर अधिक सांसारिक उद्देशाने करण्यासाठी, वर्गमूळ त्यातून काढला जातो. हे तथाकथित बाहेर वळते प्रमाण विचलन (SD). तेथे "मानक विचलन" किंवा "सिग्मा" (ग्रीक अक्षराच्या नावावरून) नावे आहेत. प्रमाणित विचलनाच्या सूत्रात फॉर्म आहेः

नमुन्यासाठी हे सूचक प्राप्त करण्यासाठी, सूत्र वापरा:

फैलाव प्रमाणेच, थोडा वेगळा गणन पर्याय आहे. पण नमुना वाढत असताना, फरक अदृश्य होतो.

प्रमाणित विचलन, अर्थातच, डेटा स्कॅटरिंगच्या मोजमापाचे वैशिष्ट्य देखील आहे, परंतु आता (भिन्नतेच्या विरूद्ध) त्याची तुलना मूळ डेटाशी केली जाऊ शकते, कारण त्यांच्याकडे मोजण्याचे समान युनिट्स आहेत (हे गणना सूत्रानुसार स्पष्ट आहे). परंतु त्याच्या शुद्ध स्वरुपात हा निर्देशकदेखील फार माहितीपूर्ण नाही, कारण त्यात बरीच इंटरमिजिएट गणना आहे ज्यामध्ये गोंधळ आहे (विचलन, चौरस, बेरीज, सरासरी, मूळ). तथापि, मानक विचलनासह थेट कार्य करणे आधीच शक्य आहे, कारण या निर्देशकाचे गुणधर्म चांगले अभ्यासलेले आणि ज्ञात आहेत. उदाहरणार्थ, असेही आहे तीन सिग्मा नियम, ज्यामध्ये असे म्हटले आहे की 1000 मूल्यांपैकी 997 डेटासाठी अंक अंकगणिताच्या ± 3 सिग्माच्या आत आहेत. मानक विचलन, अनिश्चिततेचे एक उपाय म्हणून, अनेक सांख्यिकीय गणनांमध्ये देखील सामील आहे. त्याच्या मदतीने विविध अंदाज आणि अंदाजांच्या अचूकतेची डिग्री स्थापित केली. जर फरक खूप मोठा असेल तर मानक विचलन देखील मोठे होईल, म्हणून, अंदाज चुकीचे असेल, जे व्यक्त केले जाईल, उदाहरणार्थ, अगदी विस्तृत आत्मविश्वासाच्या अंतराने.

  भिन्नतेचे गुणांक

मानक विचलन स्कॅटरच्या परिमाणाचा परिपूर्ण अंदाज देते. म्हणून, स्कॅटर स्वतः किती मूल्यांशी संबंधित आहे हे विस्तृत करण्यासाठी (म्हणजेच त्यांचे प्रमाण काहीही असो), संबंधित निर्देशक आवश्यक आहे. या निर्देशकाला म्हणतात भिन्नता गुणांकआणि खालील सूत्रानुसार गणना केली:

भिन्नतेचे गुणांक टक्केवारीमध्ये मोजले जाते (जर 100% ने गुणाकार केले तर). या निर्देशकाच्या मते, त्यांचे प्रमाण आणि एकके विचारात न घेता विविध घटनांची तुलना करणे शक्य आहे. ही वस्तुस्थिती भिन्नतेचे गुणांक म्हणून लोकप्रिय बनवते.

आकडेवारीनुसार, जर भिन्नतेचे गुणांक% 33% पेक्षा कमी असेल तर लोकसंख्या एकसमान मानली जाईल, जर ती% than% पेक्षा जास्त असेल तर ती विषम आहे. येथे कोणत्याही गोष्टीवर भाष्य करणे मला कठीण आहे. हे कोणाने आणि का निश्चित केले हे मला माहित नाही, परंतु याला एक धूर्त समजले जाते.

मला असे वाटते की मी कोरड्या सिद्धांताने दूर गेलो आहे आणि मला काहीतरी दृश्य आणि लाक्षणिक आणण्याची आवश्यकता आहे. दुसरीकडे, भिन्नतेचे सर्व निर्देशक अंदाजे समान गोष्टीचे वर्णन करतात, फक्त त्यांची गणना वेगळ्या पद्धतीने केली जाते. म्हणून, निरनिराळ्या उदाहरणांसह प्रकाशणे अवघड आहे केवळ निर्देशकांची मूल्ये भिन्न असू शकतात परंतु त्यांचे सार नाही. तर समान डेटा सेटसाठी भिन्न भिन्न निर्देशकांची मूल्ये कशी भिन्न आहेत याची तुलना करूया. सरासरी रेखीय विचलन (च्या) च्या गणनासह एक उदाहरण घेऊ. स्त्रोत डेटा येथे आहेः

आणि आठवण करून देण्याचे वेळापत्रक.

या डेटानुसार, आम्ही भिन्नतेच्या विविध निर्देशकांची गणना करतो.

सरासरी मूल्य हे सामान्य अंकगणित माध्य आहे.

भिन्नतेची श्रेणी - कमाल आणि किमान दरम्यान फरक:

सरासरी रेखीय विचलन सूत्राद्वारे मोजले जाते:

प्रमाण विचलन:

गणना एका टॅब्लेटवर कमी केली जाते.

पाहिले जाऊ शकते, मध्यम रेषेचा आणि प्रमाणित विचलन डेटाच्या भिन्नतेच्या डिग्रीसाठी समान मूल्ये देतात. फैलाव हा एक सिग्मा स्क्वेअर आहे, म्हणून ही नेहमीच एक तुलनेने मोठी संख्या असेल, ज्याचा वास्तविक अर्थ काहीही नाही. भिन्नतेची श्रेणी ही अत्यंत मूल्यांमध्ये फरक आहे आणि बरेच काही सांगू शकते.

काही निकाल सारांशित करण्यासाठी.

निर्देशकाचे बदलणे एखाद्या प्रक्रियेची किंवा घटनेच्या परिवर्तनाची प्रतिबिंबित करते. बर्\u200dयाच निर्देशकांचा वापर करून त्याची डिग्री मोजली जाऊ शकते.

1. भिन्नतेची श्रेणी - कमाल आणि किमान दरम्यान फरक. संभाव्य मूल्यांची श्रेणी प्रतिबिंबित करते.
  २. सरासरी रेषीय विचलन - विश्लेषित लोकसंख्येच्या त्यांच्या मूल्यांच्या सरासरी मूल्यांमधून परिपूर्ण (मोड्यूलो) विचलनाची सरासरी प्रतिबिंबित होते.
  3. फैलाव - विचलनांचे सरासरी स्क्वेअर.
  The. प्रमाणित विचलन म्हणजे भिन्नतेचे मूळ (म्हणजे चौरस विचलन).
  5. भिन्नतेचे गुणांक - सर्वात सार्वत्रिक सूचक, मूल्ये आणि त्यांच्या युनिट्सची पर्वा न करता मूल्यांच्या फैलावणाची डिग्री प्रतिबिंबित करतात. भिन्नतेचे गुणांक टक्केवारीमध्ये मोजले जाते आणि विविध प्रक्रिया आणि घटनेच्या भिन्नतेची तुलना करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

अशाप्रकारे सांख्यिकीय विश्लेषणामध्ये सूचकांची एक प्रणाली आहे जी घटनेची एकरूपता आणि प्रक्रियेची स्थिरता दर्शवते. बर्\u200dयाचदा, भिन्नता निर्देशकांचा स्वतंत्र अर्थ नसतो आणि पुढील डेटा विश्लेषणासाठी वापरला जातो (आत्मविश्वासाच्या अंतराची गणना)