रंगीत पुस्तक रस्ता. कारसाठी सरळ रस्ता डाउनलोड करा

(ही नोंद गणिताचे ज्ञान असलेल्या आणि सहानुभूती असलेल्या वाचकांसाठी स्वारस्यपूर्ण असू शकते)

दुसर्‍या दिवशी मी आलेख सिद्धांतातील एका मनोरंजक समस्येबद्दल वाचले - रस्त्याच्या रंगाचे अनुमान. हे अनुमान 37 वर्षांपासून खुले आहे, परंतु तीन वर्षांपूर्वी ते इस्रायली गणितज्ञ अब्राहम ट्रॅचमन यांनी सिद्ध केले होते. पुरावा अगदी प्राथमिक असल्याचे दिसून आले आणि काही अडचणींसह (माझ्या मेंदूला शोष झाल्यामुळे) मी ते वाचण्यास आणि समजण्यास सक्षम आहे आणि मी या पोस्टमध्ये ते स्पष्ट करण्याचा प्रयत्न देखील करेन.

खालील उदाहरणाद्वारे समस्या स्पष्ट केली जाऊ शकते. शहराच्या नकाशाची कल्पना करा ज्यावर प्रत्येक चौकात तुम्ही उत्तर, दक्षिण, पूर्व आणि पश्चिम या चार दिशांपैकी एका दिशेने जाऊ शकता. जर कार काही छेदनबिंदूपासून सुरू झाली आणि काही सूचनांचे अनुसरण करत असेल - "उत्तर, उत्तर, पूर्व", इ. - मग ती शेवटी दुसर्‍या चौकात येईल. दिशानिर्देशांची यादी शोधणे शक्य आहे, शक्यतो लांब, जे मशीन कुठेही सुरू झाले तरी त्याच ठिकाणी नेईल? जर नकाशा मॅनहॅटनसारखा दिसत असेल - एक नियमित ग्रिड - तर नाही, परंतु कदाचित त्यात बरेच मृत टोक आणि अनपेक्षित वळणे आहेत?

किंवा दुसरे उदाहरण. तुमचा मित्र एका चक्रव्यूहात अडकला आहे ज्यामध्ये त्याला केंद्र शोधण्याची आवश्यकता आहे आणि त्याने तुम्हाला मदतीसाठी कॉल केला. चक्रव्यूह कसा काम करतो हे तुम्हाला माहीत आहे, पण तुमचा मित्र कुठे आहे हे तुम्हाला माहीत नाही. तुमचा मित्र कुठेही असला तरी त्याला निश्चितपणे केंद्रस्थानी आणेल अशा आज्ञांचा क्रम असू शकतो का?

या दोन उदाहरणांमध्ये, प्रत्येक बिंदूवर "दिशानिर्देश" निश्चित केले आहेत आणि समाधान एकतर अस्तित्वात आहे किंवा नाही. परंतु अधिक सामान्यपणे, ही समस्या विचारते: जर आपण प्रत्येक छेदनबिंदूवर "पश्चिम, उत्तर, पूर्व, दक्षिण" बिंदू वेगळ्या पद्धतीने कुठे निवडू शकतो, तर आपण "समक्रमण शब्द" चे अस्तित्व सुनिश्चित करू शकतो - आदेशांचा एक क्रम. कुठलीही जागा एक निश्चित होईल?

सर्वसाधारण बाबतीत, शिरोबिंदूंमध्‍ये "बाण" कडा असलेला एक निर्देशित आलेख G असू द्या. या आलेखाला एकसमान आउटडिग्री d असू द्या - याचा अर्थ प्रत्येक शिरोबिंदूला अगदी d कडा आहेत. या प्रकरणात, भिन्न संख्या प्रत्येक वैयक्तिक शिरोबिंदू प्रविष्ट करू शकते, आवश्यक नाही d. आपण काही वर्णमाला d अक्षरांचा संच घेऊ या, ज्याला आपण "रंग" म्हणू. नंतर प्रत्येक शिरोबिंदूला त्याच्या d आउटगोइंग कडांसाठी सर्व d अक्षरे नियुक्त करून आलेखाचा “रंग” दिला जातो. म्हणून जर आपण एखाद्या शिरोबिंदूवर “असतो” आणि α रंगानुसार कुठेतरी “जायचं” असेल, तर आपल्याला कोणत्या नवीन शिरोबिंदूवर जायचे आहे हे रंग नेहमी सांगेल. "शब्द" हा अक्षर-रंगांचा कोणताही क्रम आहे. मग, जर आलेखामध्ये रंग दिलेला असेल आणि x हा काही शिरोबिंदू असेल आणि w हा काही शब्द असेल, तर xw हा शिरोबिंदू दर्शवतो ज्यावर आपण x पासून सुरू होऊन w शब्दाचे अनुसरण करू.

कलरिंग बुक म्हणतात सिंक्रोनाइझिंग, जर w शब्द असेल जो कोणत्याही शिरोबिंदू x ला एका निश्चित शिरोबिंदू x 0 वर नेतो. या प्रकरणात w म्हणतात समक्रमित शब्द. रोड कलरिंग प्रॉब्लेमने विचारलेला प्रश्न असा आहे की: नेहमीच सिंक्रोनाइझिंग कलरिंग असते का? आलेखाच्या कडांना अशा प्रकारे रंग देणे नेहमीच शक्य आहे की सर्व शिरोबिंदू कमी करता येतील?

या समस्येचे अनेक भिन्न क्षेत्रांमध्ये अनुप्रयोग आहेत, जे उदाहरणार्थ विकिपीडियावर वाचले जाऊ शकतात. चला, संगणक विज्ञानात, ऑटोमॅटा सिद्धांतात म्हणूया. कलरिंग आलेख हा एक निर्धारक मर्यादित ऑटोमॅटन ​​म्हणून विचार केला जाऊ शकतो, ज्यामध्ये शिरोबिंदू स्थिती आहेत आणि कडा त्यांच्या दरम्यान कसे हलवायचे ते दर्शवतात. समजा आपण हे मशीन काही अंतरावर नियंत्रित करत आहोत, काही माहिती चॅनेलद्वारे आदेश पाठवत आहोत आणि काही बिघाडांमुळे हे चॅनेल दूषित झाले आहे, मशीनला काही चुकीच्या सूचना मिळाल्या आहेत आणि आता आपल्याला ते कोणत्या स्थितीत आहे हे देखील माहित नाही. मग, सिंक शब्द असल्यास, तो आता कुठे आहे याची पर्वा न करता, आम्ही त्याला ज्ञात स्थितीत आणू शकतो.

तर सिंक कलरिंग कधी अस्तित्वात आहे? रस्त्याच्या रंगाचा अंदाज आलेखावर आणखी दोन निर्बंध लादतो (प्रत्येक शिरोबिंदूला अगदी d कडा आहेत या वस्तुस्थितीशिवाय). प्रथम, आलेख मजबूतपणे जोडलेला असणे आवश्यक आहे - याचा अर्थ असा आहे की कोणत्याही शिरोबिंदूपासून इतर कोणत्याही दिशेने मार्ग आहे. दुसरे म्हणजे, आलेख नियतकालिक असू नये. चला कल्पना करूया की आलेखाचे सर्व शिरोबिंदू V 1, V 2, ... V n या संचांमध्ये विभागले जाऊ शकतात, जेणेकरून आलेखाची कोणतीही धार काही Vi आणि Vi+1 किंवा V n आणि V 0 मधील शिरोबिंदूंना जोडेल. प्रत्येक V मध्‍ये शिरोबिंदूंमध्‍ये कोणत्‍याही कडा नसतात आणि ते व्‍यवस्‍थामध्‍ये "उडी" मारू शकत नाहीत, केवळ क्रमाने. अशा आलेखाला नियतकालिक म्हणतात. हे स्पष्ट आहे की अशा आलेखामध्ये सिंक्रोनाइझिंग कलरिंग असू शकत नाही, कारण तुम्ही ते कसे रंगवले आणि तुम्ही कोणते शब्द वापरता हे महत्त्वाचे नाही, भिन्न V i मधील दोन शिरोबिंदू कधीही एकत्र येणार नाहीत - ते एका चक्रात चालत राहतील.

रोड कलरिंग प्रमेय म्हणते की या परिस्थिती पुरेशा आहेत: प्रत्येक शिरोबिंदूच्या d कडा असलेल्या कोणत्याही नॉन-पीरियडिक, मजबूतपणे जोडलेल्या निर्देशित आलेखामध्ये एक समक्रमित रंग असतो. हे प्रथम 1970 मध्ये एक गृहितक म्हणून तयार केले गेले होते आणि तेव्हापासून विशेष प्रकरणे सिद्ध करणारे अनेक आंशिक परिणाम आहेत, परंतु 2007 पर्यंत पूर्ण पुरावा दिसून आला नाही. पुढे काय आहे मी जवळजवळ संपूर्ण पुराव्याचे पुन्हा सांगणे (एक तांत्रिक लेमा वगळता).

नियतकालिकता

सर्व प्रथम, आपण नॉन-पीरियडिकिटी कंडिशनला दुसर्‍या समतुल्य सह बदलू या. आलेख नियतकालिक आहे जर आणि फक्त जर N>1 संख्या असेल ज्याद्वारे आलेखामधील कोणत्याही चक्राची लांबी भागली असेल. त्या. आमची नॉन-पीरियडिकिटी आवश्यकता या वस्तुस्थितीशी समतुल्य आहे की असे कोणतेही N नाही, किंवा दुसऱ्या शब्दांत, आलेखामधील सर्व चक्रांच्या लांबीचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक 1 आहे. आम्ही हे सिद्ध करू की ही स्थिती पूर्ण करणार्‍या कोणत्याही आलेखामध्ये सिंक्रोनाइझिंग रंग.

नियतकालिकता "कोणत्याही चक्राची लांबी ज्याने विभागली जाते" या स्थितीशी समतुल्य आहे हे सिद्ध करणे एका दिशेने क्षुल्लक आणि दुसऱ्या दिशेने सोपे आहे. तुम्ही हे विश्वासावर घेण्यास इच्छुक असल्यास, तुम्ही या परिच्छेदाचा उर्वरित भाग सहजपणे वगळू शकता; उर्वरित पुराव्यासाठी काही फरक पडत नाही. आलेख नियतकालिक असल्यास, म्हणजे. शिरोबिंदूंना संच V 1, V 2, ... V n मध्ये विभाजित करू शकतो, जेणेकरून कडा त्यांच्या दरम्यान एका चक्रात जातील, तर हे उघड आहे की कोणत्याही चक्राची लांबी n ने भागली पाहिजे, म्हणजे. नवीन स्थिती समाधानी आहे. ही एक क्षुल्लक दिशा आहे, परंतु आपल्या बदलीसाठी आपल्याला फक्त दुसरी दिशा हवी आहे. समजा की तेथे N>1 आहे, ज्याने कोणत्याही चक्राची लांबी भागली आहे. चला r वर रूट सह आपल्या आलेखामध्ये काही निर्देशित पसरलेले झाड बनवू. कोणत्याही शिरोबिंदू x ला या झाडामध्ये l(x) लांबीच्या मुळापासून सुरू होणारा मार्ग आहे. आम्‍ही आता दावा करतो की ग्राफमध्‍ये कोणत्याही धार p-->q साठी l(q) = l(p) + 1 (mod N). जर हे विधान सत्य असेल, तर ते लगेचच पुढे येते की आपण सर्व शिरोबिंदूंना l(x) मोड N नुसार V i सेटमध्ये विभाजित करू शकतो आणि आलेख नियतकालिक असेल. हे विधान खरे का आहे? जर p-->q हा पसरलेल्या झाडाचा भाग असेल, तर हे स्पष्ट आहे, कारण नंतर फक्त l(q) = l(p) + 1. जर असे नसेल, तर आपण रूट r ते रूट लिहू. शिरोबिंदू p,q म्हणून R p आणि Rq. आलेखामध्ये R r ला q पासून r पर्यंतचा मार्ग देखील दर्शवू द्या (आलेख जोडलेला आहे, म्हणून तो अस्तित्वात आहे). मग आपण दोन चक्रे लिहू शकतो: R p p-->q R r , आणि R q R r. स्थितीनुसार, या चक्रांची लांबी N ने भागली आहे, एकूण मूल्ये वजा करून आणि कमी केल्याने, आम्हाला l(p)+1 = l(q) mod N मिळते, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

स्थिर मैत्री आणि प्रेरण

ग्राफ G चा एक विशिष्ट रंग द्या. जर काही शब्द w समान शिरोबिंदूवर आणत असेल तर दोन शिरोबिंदूंना p, q मित्र म्हणू या: pw = qw. p,q शत्रू “कधीही एकत्र न आल्यास” त्यांना कॉल करूया. चला p,q स्थिर मित्रांना कॉल करूया जर कोणताही शब्द अंमलात आणल्यानंतर ते मित्र राहिले तर: pw कदाचित qw सारख्या शिरोबिंदूवर येणार नाही, परंतु आणखी काही नंतर ते येऊ शकते. स्थिर मित्र कधीही शत्रू होणार नाहीत.

शिरोबिंदूंमधील स्थिरता संबंध, प्रथम, समतुल्यता (ते प्रतिक्षेपी, सममितीय आणि सकर्मक आहे) आणि दुसरे म्हणजे आलेखाच्या संरचनेद्वारे संरक्षित केले जाते: जर p, q स्थिर मित्र असतील, तर p एका काठाने p, q ते q ला जोडलेले असतात. ", आणि या कडा समान रंगाच्या, नंतर p" आणि q" देखील स्थिर मित्र आहेत. याचा अर्थ एक स्थिर मैत्री आहे एकरूपताआणि द्वारे विभाजित केले जाऊ शकते: नवीन आलेख G तयार करा", ज्याचे शिरोबिंदू G मध्ये स्थिर मैत्रीसाठी समतुल्य वर्ग असतील. G मध्ये किमान एक स्थिर जोडी असल्यास, G" G पेक्षा लहान असेल. शिवाय, जर मूळ आलेखामध्ये प्रत्येक शिरोबिंदूंपासून G ला d कडा आहेत, तर G" मध्ये असे होईल. उदाहरणार्थ, P हा नवीन आलेखाचा शिरोबिंदू असल्यास, जो मूळ शिरोबिंदू p1, p2... चा समतुल्यता वर्ग आहे. , आणि α हा कोणताही रंग असेल, तर p1--α--> q1, p2---α-->q2, इ. सर्व q1, q2... शिरोबिंदूंकडे नेतात, जे प्रत्येकाशी स्थिर मैत्रीत असतात. इतर, आणि म्हणून एका नवीन शिरोबिंदू Q मध्ये आडवा, जेणेकरून या सर्व कडा एक नवीन किनार P --α-->Q बनतील आणि प्रत्येक d रंगासाठी असेच.

शिवाय, जर G नॉन-पीरियडिक असेल, तर G" देखील असेच आहे. शेवटी - नियतकालिकतेची आमची पर्यायी व्याख्या वापरून - G मधील कोणतेही चक्र G मधील चक्रात बदलते", म्हणून जर G मधील चक्रांची सर्व लांबी n > 1 ने विभाज्य, नंतर G मधील सर्व चक्रांसाठी तेच खरे आहे. म्हणून G ची नियतकालिकता G ची नियतकालिकता सूचित करते.

चला असे गृहीत धरू की आम्ही G मध्‍ये सिंक्रोनाइझिंग कलरिंग शोधण्यात व्यवस्थापित झालो आहोत. तो आता आपण सुरू केलेल्या रंगाऐवजी G मध्‍ये वापरला जाऊ शकतो: कोणत्याही धार p-->q ला एज P च्या नवीन रंगानुसार नवीन रंग प्राप्त होईल. -->प्र. ते थोडे अधिक तंतोतंत असले पाहिजे म्हणून: आलेख G च्या प्रत्येक शिरोबिंदू P वर सर्व रंगांच्या काही क्रमपरिवर्तनाद्वारे एक नवीन रंग दिला जातो π P: रंग α ने रंगलेल्या काठाला नवीन रंग प्राप्त होतो पी (α). नंतर मूळ आलेख G मध्ये, स्थिरता वर्ग P च्या प्रत्येक शिरोबिंदू p वर आपण त्याच क्रमपरिवर्तन π P वापरून त्याच्या कडा पुन्हा रंगवतो. साधारणपणे बोलायचे झाल्यास, आलेख G चे नवीन रंग "मैत्री", "शत्रुत्व" आणि "स्थिरता" च्या काही नवीन संकल्पना परिभाषित करतात, ज्या मूळ संकल्पनांसारख्या नाहीत. पण तरीही, जर दोन शिरोबिंदू p, q जुन्या रंगात स्थिर मित्र असतील - ते समान वर्ग P चे असतील - तर ते नवीनमध्ये स्थिर मित्र राहतील. याचे कारण असे की p,q ला एका शिरोबिंदूवर आणणारा कोणताही क्रम w चा जुन्या रंगावरून नवीन किंवा त्याउलट, वाटेत प्रत्येक शिरोबिंदू p वर क्रमपरिवर्तन π P वापरून “अनुवाद” केला जाऊ शकतो. p,q जुन्या रंगात स्थिर असल्यामुळे आणि "सर्व मार्ग" असेच राहतात, p,q पासून सामान्य शिरोबिंदूपर्यंतच्या रस्त्याच्या कडेला प्रत्येक मध्यवर्ती शिरोबिंदू p n , q n स्थिर असेल, म्हणजे. एका शिरोबिंदू P n च्या आत झोपा आणि म्हणून समान क्रमपरिवर्तन π P n प्राप्त करा.

नवीन रंग G साठी सिंक्रोनाइझ करत आहे, म्हणजे काही क्रम w सर्व शिरोबिंदू एका शिरोबिंदू P वर आणतो. जर आपण आता G मध्ये नवीन रंगासाठी w लागू केले, तर सर्व शिरोबिंदू "P च्या आत" कुठेतरी एकत्र होतील. वर सांगितल्याप्रमाणे, वर्ग P मधील सर्व शिरोबिंदू नवीन रंगात स्थिर राहतात, याचा अर्थ असा की आपण आता w सुरू ठेवू शकतो, पुन्हा पुन्हा शिरोबिंदूंच्या उर्वरित विभक्त जोड्या एकत्र आणणे जोपर्यंत सर्व काही एका शिरोबिंदू G मध्ये एकत्रित होत नाही. अशा प्रकारे, नवीन रंग यासाठी समक्रमित होत आहे जी.

या सर्वांवरून असे दिसून येते की प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी, हे सिद्ध करणे पुरेसे आहे की परिस्थिती पूर्ण करणार्या कोणत्याही आलेखामध्ये एक रंग आहे ज्यामध्ये स्थिर मित्रांची जोडी आहे. कारण नंतर आलेख G वरून आपण लहान आकाराच्या आलेख G" वर जाऊ शकतो, आणि ते सर्व अटी देखील पूर्ण करते. प्रेरक युक्तिवाद वापरून, आपण असे गृहीत धरू शकतो की लहान आकाराच्या आलेखांसाठी समस्या आधीच सोडवली गेली आहे, आणि नंतर समक्रमित रंग G साठी" देखील G साठी सिंक्रोनाइझ केले जाईल.

क्लीक आणि कमाल संच

आलेखामधील शिरोबिंदूंच्या कोणत्याही उपसंचासाठी आणि w शब्दासाठी, Aw हा शिरोबिंदूंचा संच दर्शवतो ज्यावर आपण A च्या सर्व शिरोबिंदूंपासून सुरुवात करून w या शब्दाचे अनुसरण करू. जर आपण सर्वसाधारणपणे आलेखाच्या सर्व शिरोबिंदूंपासून सुरुवात केली, तर आपण हे Gw ने दर्शवू. या नोटेशनमध्ये, सिंक्रोनाइझिंग कलरिंगचा अर्थ असा आहे की तेथे w आहे की Gw हा एका घटकाचा संच आहे.

शिरोबिंदू A च्या संचाला काही w साठी Gw फॉर्म असल्यास, आणि त्याव्यतिरिक्त, A मधील कोणतेही दोन शिरोबिंदू शत्रू आहेत, म्हणजे. कधीही एकत्र होणार नाही, चला ए कॉल करूया गट. क्लीक अस्तित्वात आहेत कारण आपण नेहमी संपूर्ण G ने सुरुवात करू शकतो, मित्र शिरोबिंदूंची एक जोडी घेऊ शकतो, त्यांना जोडणाऱ्या w वर जाऊ शकतो आणि शिरोबिंदूंची संख्या एकाने कमी करू शकतो; फक्त शत्रू राहेपर्यंत किंवा फक्त एक शिरोबिंदू शिल्लक राहेपर्यंत असेच चालू ठेवा - या प्रकरणात एक समूह, अगदी क्षुल्लक.

जर A हा clique असेल, तर कोणत्याही शब्दासाठी w Aw देखील एक clique आहे; हे स्पष्ट आहे कारण शत्रू शत्रूच राहतात. जर x हा आलेखाचा कोणताही शिरोबिंदू असेल, तर तेथे x चा समावेश आहे. हे या वस्तुस्थितीवरून पुढे आले आहे की एक प्रकारचा समूह A आहे (मागील परिच्छेद पहा); जर p हा शिरोबिंदू असेल, तर p वरून x कडे जाणारा w शब्द आहे, कारण जोडलेला आलेख; मग Aw हा x चा समावेश आहे.

क्लिक्स आम्हाला हे सिद्ध करण्यास मदत करतील की स्थिर मित्रांसह एक रंग आहे - मागील विभागानुसार, प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी हे पुरेसे आहे. या संपूर्ण विभागामध्ये आपण हे सिद्ध करू की जर A आणि B असे दोन समूह असतील, जसे की A मधील एक आणि B मध्ये एक वगळता सर्व शिरोबिंदू समान असतील, तर हे दोन शिरोबिंदू स्थिर मित्र आहेत. अशाप्रकारे, क्लीक A आणि B असलेले रंग शोधण्यात समस्या कमी होते.

क्लीक कसे कार्य करतात हे अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, आलेखामधील शिरोबिंदूंना वजन नियुक्त करणे उपयुक्त आहे. प्रत्येक शिरोबिंदू x ला धनात्मक वजन w(x) नियुक्त करण्याचा एक मार्ग आहे, जसे की कोणत्याही शिरोबिंदू x साठी सर्व शिरोबिंदूंच्या वजनांची बेरीज करा ज्यापासून x मध्ये कडा आहेत, नंतर आपल्याला d*w(x) मिळेल, जेथे d ही प्रत्येक शिरोबिंदूच्या कडांची संख्या आहे. हे रेखीय बीजगणितावरून येते, आणि जर तुम्हाला eigenvalue काय आहे हे माहित नसेल, तर हा उर्वरित परिच्छेद वगळा आणि अशा w(x) चे अस्तित्व गृहीत धरा. जर M हा ग्राफ G चा मॅट्रिक्स असेल (सेल (i,j) 1 असेल तर धार i-->j असेल, आणि 0 अशी कोणतीही धार नसेल तर, w(x), मी वर्णन केल्याप्रमाणे, eigenvector चे घटक आहेत बाकीया मॅट्रिक्समध्ये eigenvalue d साठी आहे. आम्हाला माहित आहे की असा सदिश अस्तित्वात आहे कारण d हे इजनव्हॅल्यू आहे: त्यात एक क्षुल्लक इजेनव्हेक्टर आहे उजवीकडे(1,1,....1) - प्रत्येक शिरोबिंदूमधून नेमक्या d कडा बाहेर येतात यावरून हे लगेच लक्षात येते.

A हा शिरोबिंदूंचा कोणताही संच असल्यास, w(A) A पासून सर्व शिरोबिंदूंच्या वजनांची बेरीज दर्शवतो; आणि w(G) ही आलेखातील सर्व शिरोबिंदूंच्या वजनांची बेरीज आहे. या व्यतिरिक्त, s हा शब्द असल्यास, As -1 ला तुम्ही A मधून आलेल्या शिरोबिंदूंचा संच दर्शवू द्या, जर तुम्ही s च्या बाजूने “विरुद्ध दिशेने” गेलात, प्रत्येक पायरीवर प्रत्येक शिरोबिंदू त्या शिरोबिंदूंनी बदलून (असल्यास) योग्य रंगात तिच्याकडे जा.

आता आपण सर्व शिरोबिंदूंचा विचार करू या जे एका बिंदूवर एकत्र आणले जाऊ शकतात, म्हणजे. अशा A की काही w साठी Aw मध्ये फक्त एक शिरोबिंदू असतो. अशा सर्व संचांमध्‍ये कमाल वजन w(A) असणार्‍या A संचांना कमाल संच म्हणतात. जर रंग सिंक्रोनाइझ होत असेल, तर संपूर्ण आलेख G हा कमाल संच (अद्वितीय) आहे, परंतु अन्यथा नाही.

A हा शिरोबिंदूंचा कोणताही संच असल्यास, सर्व w(Aα -1) ची बेरीज, जिथे α सर्व d रंगांवर चालते, d*w(A) च्या बरोबरीचे असते - हे फक्त पासून वजनाच्या मुख्य गुणधर्माचे सामान्यीकरण आहे शिरोबिंदू A च्या संचाला एक शिरोबिंदू. या व्यतिरिक्त, या प्रकरणात A हा कमाल संच असेल, तर प्रत्येक w(Aα -1) w(A) पेक्षा मोठा असू शकत नाही, कारण हे संच एका शिरोबिंदूपर्यंत कमी केले जातात. . आणि या वजनांची बेरीज d ही d*w(A) च्या बरोबरीची असल्याने, असे दिसून आले की त्यापैकी प्रत्येक w(A) बरोबर आहे आणि हे सर्व संच देखील कमाल आहेत. हे लगेचच पुढे येते की जर A जास्तीत जास्त असेल, तर कोणत्याही w शब्दासाठी Aw -1 देखील कमाल आहे.

कमाल संच उपयुक्त आहेत कारण त्यांच्यातील विघटन उदाहरणे संपूर्ण आलेख व्यापू शकतात. चला सिद्ध करूया.

जास्तीत जास्त संच A 1 ...A n चा संच असू द्या, जोड्यांमध्ये वियोग करूया आणि एकल शिरोबिंदू a 1 ...a n वर समान शब्द w ने कमी करूया (प्रारंभिक स्थितीत n=1 असेल आणि फक्त एक असेल सेट करा, जेणेकरून ते सुरू करणे सोपे होईल). हे स्पष्ट आहे की सर्व 1 ...a n एकमेकांपासून भिन्न आहेत, कारण अन्यथा समान अंतिम शिरोबिंदू असलेल्या दुसर्‍याच्या घटकांमुळे जास्तीत जास्त संच आणखी विस्तृत करणे शक्य होईल. समजा सर्व A i ने मिळून G चे सर्व शिरोबिंदू अजून संपलेले नाहीत आणि x हा सर्व A i बाहेरील शिरोबिंदू असू द्या. आलेख जोडलेला असल्याने, 1 ते x पर्यंत काही मार्ग h आहे. नंतर n कमाल संच A i h -1 w -1 हा शब्द whw शब्दानुसार अंतिम शिरोबिंदू a 1 ...a n वर जातो आणि कमाल संच A 1 काही शिरोबिंदू Awhw = (Aw)hw = (a 1 h) वर जातो. w = xw. हा शिरोबिंदू xw देखील सर्व 1 ...a n पेक्षा वेगळा असणे आवश्यक आहे, कारण अन्यथा कमाल संच A i ला x घटकासह पूरक केले जाऊ शकते. आणि हे सर्व n+1 संच - सर्व A i h -1 w -1 अधिक A 1 - वेगवेगळ्या शिरोबिंदूंकडे जाताना, ते सर्व जोडीने विभक्त आहेत. जोपर्यंत सेटच्या बाहेर कोणतेही शिरोबिंदू शिल्लक राहणार नाहीत तोपर्यंत आम्ही हा विस्तार सुरू ठेवू.

त्यामुळे आपण संपूर्ण आलेख G हा विभक्त कमाल संचाने कव्हर करू शकतो. ते जास्तीत जास्त असल्याने, त्या सर्वांचा संपूर्ण w max समान आहे, आणि म्हणून कव्हरेजमधील त्यांची संख्या N max = w(G)/w max आहे.

आता जोडीने शत्रू असलेल्या कोणत्याही संचाचा विचार करा. उदाहरणार्थ, एक समूह अशा संचाचे उदाहरण आहे (आणि त्याचे स्वरूप Gw देखील आहे). जास्तीत जास्त सेटमध्ये शत्रूंची जोडी असू शकत नाही, कारण नंतर ते एकत्र होऊ शकत नाही. याचा अर्थ N कमाल कमाल संचांच्या आवरणामध्ये, प्रत्येकामध्ये जास्तीत जास्त एक सदस्य A असतो, त्यामुळे A चा आकार जास्तीत जास्त N कमाल असतो. विशेषतः, ही कोणत्याही गटाच्या आकाराची वरची मर्यादा आहे.

A हा Gw फॉर्मचा एक समूह असू द्या, जेथे w काही शब्द आहे. नंतर G = Aw -1, आणि त्यानुसार w(G) हे w(aw -1) च्या बेरजेइतके आहे, जिथे a A च्या सर्व शिरोबिंदूंमधून धावते. मागील परिच्छेदानुसार पदांची संख्या, पेक्षा जास्त नाही N कमाल, आणि प्रत्येक संच aw -1 एका बिंदूपर्यंत कमी केला जाऊ शकतो (w शब्दासह a बिंदूवर), त्यामुळे त्याचे वजन कमाल w max पेक्षा जास्त नाही. संपूर्ण बेरीज w(G) = N max *w max च्या समान असल्याने, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की पदांची संख्या N max च्या बरोबर आहे आणि प्रत्येक पद w max च्या बरोबर आहे. आम्ही सिद्ध केले आहे की सर्व क्लीकचा आकार समान आहे: अचूक N कमाल घटक.

A आणि B असे दोन क्लीक असू द्या, जसे की A मध्ये एक वगळता सर्व घटक B सह समान आहेत: |A| - |A∩B| = 1.

A आणि B समान आकाराचे असल्याने, आपल्याकडे देखील |B| आहे - |A∩B| = 1, i.e. A आणि B मध्ये सर्व घटक सामाईक आहेत, A मधील एक शिरोबिंदू p आणि B मध्ये एक शिरोबिंदू q वगळता. आम्ही हे सिद्ध करू इच्छितो की हे शिरोबिंदू p,q स्थिर मित्र आहेत. जर असे नसेल, तर काही शब्द w त्यांना शत्रू बनवतात, म्हणजे. pw आणि qw शत्रू आहेत. वर दर्शविल्याप्रमाणे, Aw आणि Bw हे देखील समूह आहेत आणि हे उघड आहे की त्यांच्यात pw आणि qw शत्रू वगळता सर्व घटक समान आहेत. मग Aw ∪ Bw हा जोडी शत्रूंचा संच आहे. खरंच, त्यात अवचे सर्व घटक जोडीने शत्रू आहेत, कारण तो एक समूह आहे; Bw घटकांसाठी हेच खरे आहे; आणि फक्त pw,qw जोडी उरली - शत्रू देखील. परंतु या संचामध्ये N कमाल +1 घटक आहेत, आणि वर आम्ही दाखवले आहे की जोडीनुसार शत्रूंच्या कोणत्याही संचामध्ये N कमाल घटकांपेक्षा जास्त असू शकत नाही. हा एक विरोधाभास आहे आणि म्हणून pw आणि qw हे कोणत्याही w चे शत्रू असू शकत नाहीत. दुसऱ्या शब्दांत, p आणि q हे स्थिर मित्र आहेत.

विस्तृत आलेख आणि क्लीक

दिलेल्या ग्राफ G वरून सर्व शिरोबिंदू घेऊ आणि प्रत्येक शिरोबिंदूमधून फक्त एक आउटगोइंग किनारा निवडा. ही निवड एक सबग्राफ ठरवते, ज्याला आम्ही म्हणतो पसरलेला आलेख(विस्तृत आलेख). तेथे बरेच भिन्न पसरलेले आलेख असू शकतात, परंतु ते कसे दिसतात याचा थोडा विचार करूया. एक विशिष्ट स्पॅनिंग आलेख R असू द्या. जर आपण त्यात कोणताही शिरोबिंदू x घेतला आणि त्याच्या कडा फॉलो करू लागलो, तर प्रत्येक वेळी आपल्याला एकच पर्याय असेल, कारण R मध्ये प्रत्येक शिरोबिंदूमधून फक्त एकच धार बाहेर येत आहे, आणि लवकरच किंवा नंतर आपण सायकल बंद करू. कदाचित हे चक्र x वर बंद होणार नाही, परंतु "पुढे" कुठेतरी बंद होईल - उदाहरणार्थ, x-->y-->z-->s-->y. नंतर या चक्राची “शेपटी” x पासून पुढे जाईल. जर आपण इतर कोणत्याही शिरोबिंदूपासून सुरुवात केली, तर आपण निश्चितपणे एका चक्रासह समाप्त करू - हे एक किंवा दुसरे काही. असे दिसून आले की कोणताही शिरोबिंदू R एकतर सायकलवर असतो (ज्यापैकी अनेक असू शकतात), किंवा "शेपटी" चा भाग आहे ज्यामुळे चक्र होते. याचा अर्थ असा आहे की आर असे दिसते: चक्रांची एक निश्चित संख्या आणि त्यावर "उलटलेली" झाडे तयार केली जातात: प्रत्येक झाड सुरू होत नाही, परंतु "मूळ" वर संपते, जे एका चक्रावर असते.

आम्ही आलेखाच्या प्रत्येक शिरोबिंदूला नियुक्त करू शकतो पातळी, दिलेल्या स्पॅनिंग आलेखामध्ये सायकलच्या अंतराशी संबंधित R. सायकलवर असलेल्या शिरोबिंदूंचा स्तर 0 असतो आणि सायकलला जोडलेल्या झाडावर असलेल्या शिरोबिंदूंना त्यांच्या झाडातील “मूळ” पर्यंतच्या अंतराच्या समान पातळी मिळते "सायकलवर पडलेला. आमच्या आलेखाच्या काही शिरोबिंदूंची कमाल पातळी L असते. कदाचित ती 0 च्या बरोबरीची असते - म्हणजे. झाडे नाहीत, फक्त सायकल आहेत. कदाचित ते शून्यापेक्षा मोठे असेल आणि या कमाल पातळीचे शिरोबिंदू वेगवेगळ्या झाडांवर किंवा एका चक्राला जोडलेल्या वेगवेगळ्या झाडांवर असतात.

आम्हांला स्पॅनिंग आलेख R निवडायचा आहे कमाल पातळीचे सर्व शिरोबिंदू एकाच झाडावर असतात. अंतर्ज्ञानाने, कोणीही विश्वास ठेवू शकतो की हे केले जाऊ शकते, कारण असे नसल्यास - उदाहरणार्थ, ते वेगवेगळ्या झाडांमध्ये विखुरलेले आहेत - तर कोणीही अशा कमाल शिरोबिंदूंपैकी एक x निवडू शकतो आणि R ला जोडून त्याची पातळी वाढवू शकतो. ते x. मग दुसरी बरगडी बाहेर फेकून द्यावी लागेल, आणि हे सत्य नाही की यामुळे इतर कशाचेही नुकसान होणार नाही... परंतु ही एक तांत्रिक समस्या आहे, ज्याची नंतर चर्चा केली जाईल. मी फक्त हे सांगण्याचा प्रयत्न करत आहे की ते अंतर्ज्ञानाने फार क्लिष्ट वाटत नाही.

आत्तासाठी, आपण R निवडू शकतो असे गृहीत धरू जेणेकरून कमाल पातळीचे सर्व शिरोबिंदू एकाच झाडावर असतील. हे झाड गैर-क्षुल्लक मानले जाते, म्हणजे. कमाल पातळी L > 0. या गृहीतकाच्या आधारे, आम्ही एक रंग तयार करू, आणि त्यामध्ये मागील विभागाच्या अटी पूर्ण करणारे A आणि B क्लीक आहेत आणि हे सिद्ध करेल की या रंगात स्थिर जोडी आहे. मित्र

रंग खालीलप्रमाणे असेल: काही रंग निवडा α, आणि आलेख R मधील सर्व कडा या रंगाने रंगवा, आणि ग्राफ G मधील इतर सर्व कडा कोणत्याही प्रकारे इतर रंगांनी रंगवा (जर फक्त एक रंग असेल तर R. G शी जुळते, त्यामुळे कोणतीही अडचण नाही). अशाप्रकारे, α रंग असलेले शब्द त्यांच्या झाडांच्या बाजूने R च्या शिरोबिंदूंना चक्राकडे "ढकलतात" आणि नंतर त्यांना चक्रांमधून चालवतात. हे फक्त शब्द आहेत जे आपल्याला आवश्यक आहेत.

x ला R मधील कमाल पातळी L चे कोणतेही शिरोबिंदू असू द्या आणि K ला x सह कोणताही क्लीक असू द्या; आम्हाला माहित आहे की असा एक गट अस्तित्वात आहे. K कमाल पातळी L चे इतर काही शिरोबिंदू समाविष्ट करू शकतो का? आमच्या गृहीतकानुसार, असे सर्व शिरोबिंदू x सारख्या झाडामध्ये आहेत, याचा अर्थ α L हा शब्द त्यांना x सारख्याच ठिकाणी घेऊन जातो - म्हणजे, चक्रावर असलेल्या या झाडाच्या मुळापर्यंत. याचा अर्थ असा की असे सर्व शिरोबिंदू x चे मित्र आहेत, आणि म्हणून ते त्याच गटात पडू शकत नाहीत. म्हणून, x व्यतिरिक्त, K मध्ये फक्त खालच्या पातळीचे शिरोबिंदू समाविष्ट होऊ शकतात.

A = Kα L-1 हा संच पाहू. हा देखील एक समूह आहे आणि त्यात x वगळता सर्व शिरोबिंदू R मध्ये कोणत्या ना कोणत्या चक्रापर्यंत पोहोचले आहेत, कारण x वगळता A च्या सर्व शिरोबिंदूंची पातळी L पेक्षा कमी आहे. फक्त x हा चक्राच्या बाहेर राहतो. सायकलवरील मुळापासून अगदी 1 चे अंतर. आता काही संख्या m घेऊ या जी R मधील सर्व चक्र लांबीचा गुणाकार आहे - उदाहरणार्थ, सर्व चक्र लांबीचे गुणाकार. m मध्ये असे वैशिष्ट्य आहे की जर शिरोबिंदू y R मध्ये सायकलवर असेल तर α m हा शब्द त्याच्या जागी परत करतो: yα m = y. चला B = Aα m हा समूह पाहू. A चे सर्व शिरोबिंदू, x वगळता, सायकलवर असतात आणि म्हणून B मध्येच राहतात; आणि शेवटी फक्त x ने त्याच्या चक्रात प्रवेश केला आणि तिथेच कुठेतरी स्थायिक झाला. याचा अर्थ A आणि B च्या छेदनबिंदूमध्ये एक वगळता A चे सर्व शिरोबिंदू आहेत: |A| - |A∩B| = 1. परंतु याचा अर्थ, मागील विभागानुसार, आमच्या रंगात एक स्थिर जोडी आहे, जी आम्हाला सिद्ध करायची आहे.

कमाल पातळी बांधणे.

हे सिद्ध करणे बाकी आहे की विस्तृत आलेख R निवडणे नेहमीच शक्य आहे जसे की त्याची कमाल पातळी L > 0 आहे आणि या पातळीचे सर्व शिरोबिंदू एकाच झाडावर आहेत.

या पुराव्याचा एक भाग एक कंटाळवाणा आणि तांत्रिक लेमा आहे, जो मी वाचला आणि तपासला, परंतु मी त्याची पुनरावृत्ती करणार नाही, ज्यांना स्वारस्य आहे त्यांच्यासाठी मी लेखात ते कुठे आहे ते सांगेन. पण मी तुम्हाला या लेमापर्यंत कसे जायचे ते सांगेन.

आम्हाला दोन बंधने लागतील जी आम्ही ग्राफ G वर लादू शकतो. प्रथम, G ला कोणतेही लूप नाहीत असे म्हणू या. एका शिरोबिंदूपासून समान शिरोबिंदूपर्यंतच्या कडा. मुद्दा असा आहे की आलेखामध्ये लूप असल्यास, दुसर्या मार्गाने सिंक्रोनाइझिंग रंग शोधणे खूप सोपे आहे. चला या लूपला काही रंग α रंगवू या, आणि नंतर, या शिरोबिंदूपासून विरुद्ध दिशेने "बाणांच्या विरूद्ध" जाउन, कडांना रंग द्या जेणेकरून रंग α नेहमी या शिरोबिंदूकडे जाईल. आलेख जोडलेला असल्यामुळे, हे व्यवस्थित करणे सोपे आहे, आणि नंतर लूप खात्री देतो की काही अंश α संपूर्ण आलेख या शिरोबिंदूवर कमी करेल.

पुढे, एका सेकंदासाठी समजा की काही शिरोबिंदू p पासून सर्व d कडा समान शिरोबिंदू q कडे घेऊन जातात. अटींद्वारे हे अनुमत आहे, परंतु या प्रकरणात आम्ही या कडांचा संच कॉल करू घड. आमची दुसरी अडचण अशी आहे: r असे कोणतेही शिरोबिंदू नाही ज्यात p आणि q या वेगवेगळ्या शिरोबिंदूंमधील दोन दुवे आहेत. आपण ते का लादू शकतो? कारण संयोजक p आणि q वरून r वर गेल्यास, कोणत्याही रंगासाठी p, q पहिल्या रंगानंतर r वर r वर एकत्रित होईल आणि म्हणून ते स्थिर मित्र आहेत. त्यामुळे या प्रकरणात आम्हाला विस्तृत आलेख आणि क्लीकच्या सर्व बांधकामांची आवश्यकता नाही, आम्हाला लगेच स्थिर मित्र मिळतात. त्यामुळे असे नाही असे आपण गृहीत धरू शकतो.

शेवटी, आम्ही सिद्ध करतो की एक विस्तृत आलेख R नेहमी अस्तित्त्वात असतो ज्यामध्ये सर्व शिरोबिंदू चक्रावर नसतात, परंतु काही क्षुल्लक झाडे असतात. चला काही R निवडा आणि त्याचे सर्व शिरोबिंदू चक्रावर आहेत असे गृहीत धरू. जर ग्राफ G मधील सर्व कडा जोडल्या गेल्या असतील, म्हणजे. नेहमी समान शिरोबिंदू सोडून सर्व d कडा समान शिरोबिंदूकडे नेतात - मग R च्या निवडीमध्ये प्रत्येक लिंकमधून फक्त एक किनार निवडणे समाविष्ट असते. या प्रकरणात, R मध्ये फक्त एकच चक्र असू शकते (शेवटी, कनेक्ट केलेल्या ग्राफमध्ये R मधील अनेक चक्रे एकमेकांशी जोडली जाऊ शकत नाहीत - G च्या सर्व कडा फक्त त्याच शिरोबिंदूंना R च्या कडांप्रमाणे जोडतात, कारण हे संयोजक आहेत - आणि G जोडलेले असल्याने, हे अशक्य आहे), आणि G मधील कोणतेही चक्र या सायकलच्या कनेक्शनमधून इतर कडा निवडते, परंतु थोडक्यात ते समान चक्र, समान लांबीचे आहे. परंतु याचा अर्थ असा की G मधील सर्व चक्रांची लांबी या लांबीने विभाज्य आहे, जी G च्या नॉन-पीरियॉडिसीटीचा तंतोतंत विरोध करते. त्यामुळे, G मधील सर्व कडा लिंक्सवर आहेत, याचा अर्थ असा की काही दोन कडा आहेत असे होऊ शकत नाही. R मध्ये p-- >q आणि R च्या बाहेर p-->s (आम्हाला हे सिद्ध करण्यासाठी संयोजकांबद्दल एक दीर्घ युक्तिवाद आवश्यक आहे की p ची काही धार केवळ पसरलेल्या आलेखामध्येच नाही तर दुसर्‍या शिरोबिंदू s कडे देखील घेऊन जाते). मग आम्ही p-->q च्या जागी p-->s ने करतो आणि हे चक्र "ब्रेक" करेल आणि त्यात एक प्रकारची क्षुल्लक शेपटी तयार करेल. ही शेपटी आपल्याला नवीन आलेखात एक क्षुल्लक नसलेले झाड देईल.

आता आपण सर्व पसरलेल्या आलेखांमधून R निवडू शकतो ज्यात नॉनट्रिव्हियल झाडे आहेत काही R ज्यात सायकलवर जास्तीत जास्त शिरोबिंदू आहेत. ते आहे त्यात चक्रावर नसलेले शिरोबिंदू आहेत, परंतु या मर्यादेशिवाय, चक्रावरील शिरोबिंदूंची संख्या कमाल केली जाते. या आलेखामध्ये कमाल पातळी L चे काही शिरोबिंदू आहेत आणि आपण असे गृहीत धरू शकतो की ते वेगवेगळ्या मुळांकडे नेणाऱ्या झाडांवर आहेत, अन्यथा आपल्याला जे हवे आहे ते आपण आधीच साध्य केले आहे. असा एक शिरोबिंदू x निवडू. आम्हाला आलेख बदलायचा आहे जेणेकरून हा शिरोबिंदू झाडातील लांब मार्गाचा भाग होईल, L पेक्षा लांब, आणि इतर झाडे बदलणार नाहीत, आणि नंतर कमाल पातळी फक्त एका झाडामध्ये असेल, जे आम्हाला हवे आहे. तुम्ही आलेख तीन प्रकारे बदलू शकता:

अ) काही धार y-->x घ्या आणि ती R मध्ये जोडा, आणि विद्यमान किनार y-->z टाकून द्या;
b) किनारा b-->r घ्या, जो x पासून त्याच्या सायकलच्या मार्गावर फक्त शेवटचा आहे (सायकलवरील r), आणि तो फेकून द्या, आणि आणखी काही b-->z जोडा.
c) धार c-->r घ्या, जो चक्राचा भाग आहे, आणि तो टाकून द्या, आणि आणखी काही c-->z जोडा.

यातील एक (किंवा काही बाबतीत दोन) बदल इच्छित परिणाम घडवून आणतात हे त्रख्तमनच्या पेपरमधील लेम्मा 7 तपशीलवार सिद्ध करते. प्रक्रियेमध्ये R ची कमालता दोन्ही वापरली जाते (जर काही बदलामुळे R पेक्षा सायकलवरील शिरोबिंदूंचा आलेख जास्त असेल तर, हे त्याच्या कमालतेला विरोध करते), आणि वर परिभाषित केलेली स्थिती अशी आहे की दोन दुवे ज्यावर जातात असे कोणतेही शिरोबिंदू नाही. परिणामी, कोणत्याही परिस्थितीत, आम्हाला एक आलेख R मिळतो ज्यामध्ये कमाल पातळीचे सर्व शिरोबिंदू एका क्षुल्लक नसलेल्या झाडावर असतात.

एका आठवड्यानंतर अपडेट:तरीही मी ही नोंद पूर्णपणे स्वयंपूर्ण बनवण्याचा निर्णय घेतला आणि मागील परिच्छेदात मी उल्लेख केलेल्या लेमाचा पुरावा देखील पुन्हा सांगायचा. हे आकृतीसह करणे अधिक चांगले होईल, परंतु मला ते काढायचे नाही किंवा लेखातून काढून टाकायचे नाही, म्हणून मी शब्दांसह प्रयत्न करेन. तर, कल्पना करा की आपल्याकडे एक पसरलेला आलेख R आहे, ज्यामध्ये क्षुल्लक नसलेली झाडे आहेत आणि अशा सर्व आलेखांपैकी, जास्तीत जास्त शिरोबिंदू चक्रावर आहेत. R चे एका विस्तृत आलेखात रूपांतर करण्याचे आमचे ध्येय आहे ज्यामध्ये कमाल पातळीचे सर्व शिरोबिंदू एकाच झाडावर आहेत; प्रयत्न करण्याच्या प्रक्रियेत असा आलेख प्राप्त होताच, आम्ही लगेच पूर्ण करतो (आणि सायकलवरील शिरोबिंदूंच्या संख्येच्या दृष्टीने आलेखाची कमालता गमावली जाऊ शकते याची आम्हाला पर्वा नाही, हे आमच्यासाठी महत्त्वाचे नाही. स्वतःच, आम्ही ते फक्त प्रक्रियेत वापरतो). x ला कमाल पातळी L चा शिरोबिंदू समजा, T ज्या झाडावर आहे, r सायकल C चा शिरोबिंदू जेथे T संपतो, b--> r च्या आधीचा शेवटचा किनारा x पासून C च्या मार्गावर आहे. आपण असे गृहीत धरू शकतो की या चक्रात आणखी काही झाडे सामील होत आहेत किंवा इतर ज्यांना स्तर L चे शिरोबिंदू आहेत - अन्यथा सर्वकाही आधीच केले गेले आहे. हे खालीलप्रमाणे आहे की जर आपण T झाडापासून L पेक्षा जास्त अंश असलेले घटक मिळवू शकलो आणि ही इतर झाडे वाढवू न शकलो, तर आपण पूर्ण केले.

प्रथम, वरील ऑपरेशन अ) करण्याचा प्रयत्न करूया: G मध्ये y-->x घ्या - ते अस्तित्वात आहे, कारण आलेख जोडलेला आहे आणि लूपशिवाय, आणि आर मध्ये खोटे बोलत नाही, कारण x कमाल पातळी. चला ते R मध्ये जोडू आणि काही y-->z बाहेर टाकू जे आधी होते. जर y झाडावर T असेल, तर y-->x नवीन चक्र बंद करेल आणि नवीन आलेखामध्ये अधिक शिरोबिंदू सायकलवर असतील आणि अजूनही क्षुल्लक नसलेली झाडे आहेत (किमान ती इतर जी R मध्ये होती), जी R च्या कमालतेचा विरोधाभास आहे. जर y T वर येत नसेल आणि y-->z हा C सायकलचा भाग नसेल, तर y-->z काढून टाकल्याने हे चक्र खंडित होत नाही, परंतु y-->x जोडल्याने कमाल वाढते. झाडाची पातळी किमान एक, आणि इतर झाडे लांब नाहीत, म्हणून आम्ही पूर्ण केले. उर्वरित पर्याय म्हणजे जेव्हा y-->z सायकल C वर असते, जे आता खंडित झाले आहे आणि एक नवीन चक्र तयार झाले आहे: r ते y, नंतर y-->x, नंतर x ते r पूर्वीच्या झाडाच्या बाजूने. या चक्राची लांबी l(ry)+1+L आहे आणि जुन्या सायकल C ची लांबी l(ry)+1+l(zr) होती. नवीन चक्र जुन्यापेक्षा जास्त लांब असू शकत नाही, हे R च्या कमालतेला विरोध करते, म्हणून आपण पाहतो की L ≤ l(zr), म्हणजे. जुन्या लूपमध्ये z ते r पर्यंतच्या मार्गाची लांबी. दुसरीकडे, नवीन आलेखामध्ये, शिरोबिंदू z ची पातळी आता किमान l(zr) आहे, आणि जर हे L पेक्षा मोठे असेल, तर आपण पूर्ण केले. म्हणून आपण असे गृहीत धरू शकतो की l(zr)=L. सारांश: आपण असे गृहीत धरतो की a) कार्य करत नाही आणि नंतर आपल्याला माहित आहे की y-->z सायकल C, l(zr) = L वर आहे.

आता b ऑपरेशन करून पाहू या: एज b-->r ची जागा b-->d ने इतर एजने बदला. नवीन शिरोबिंदू d कुठे आहे ते पाहू. जर T झाडावर असेल, तर आम्ही आधीचे चक्र न मोडता नवीन चक्र तयार केले आणि R ची कमालता नाकारली. जर दुसर्‍या झाडावर असेल, तर, x सह, T च्या कमाल शिरोबिंदूंची पातळी आता L पेक्षा मोठी असेल आणि इतर झाडे करणार नाहीत, आणि आम्ही पूर्ण केले. जर C वर नसून दुसर्‍या सायकलवर असेल, तर आता आपण b) a सोबत करू): y-->z C वर स्थित आहे हे आपल्याला माहीत असल्यामुळे, ही क्रिया C चे विभाजन करेल, परंतु नवीन चक्र नाही ज्यासाठी आता झाड T ला जोडलेले आहे, आणि या झाडावर आता L पेक्षा मोठ्या पातळीचे शिरोबिंदू असतील आणि आम्ही पुन्हा पूर्ण केले.

उरलेला पर्याय म्हणजे b-->d देखील सायकल C शी जोडलेला असतो, r पेक्षा इतर ठिकाणी, किंवा त्याच ठिकाणी आणि नंतर d=r. आम्ही b-->r ला b-->d ने बदलल्यानंतर, आम्हाला सुरुवातीला सारखीच परिस्थिती आली - ट्री T, स्तर L चा शिरोबिंदू x इ. - फक्त झाड आता चक्राशी शिरोबिंदू d द्वारे जोडलेले आहे. आता ऑपरेशन a चा विचार करून), आम्ही निष्कर्ष काढतो (हे कार्य करत नाही असे गृहीत धरून) की l(zd) = L, जसे आपण पूर्वी निष्कर्ष काढला होता की l(zr) = L. परंतु जर l(zd) = l(zr), म्हणजे. z पासून सायकलचे अंतर d आणि r सारखे आहे, नंतर हे समान शिरोबिंदू आहे: d=r. तर, जर b) कार्य करत नसेल, तर b पासून कोणतीही धार r कडे नेली पाहिजे, म्हणजे. b च्या कडा एक दुवा बनवतात.

शेवटी, C सायकलवर पडलेल्या c-->r चा विचार करा. b पासून सर्व कडा r कडे जाणार्‍या दुव्यावर आहेत असे आपण गृहीत धरू शकतो, आपण वर नमूद केलेले बंधन देखील लादू शकतो की दोन दुवे असू शकत नाहीत, ज्यामुळे एक शिरोबिंदू, c पासून r पर्यंतच्या सर्व कडा नाहीत, परंतु काही कडा c-->e आहेत. c-->r च्या जागी c-->e घेऊ. शिरोबिंदू कोठे खोटे बोलू शकतात? झाड T वर नाही, कारण ते C चक्र "विस्तारित" करेल, R च्या कमालतेच्या विरोधाभासी आहे. त्यामुळे e दुसर्‍या झाडावर किंवा दुसर्‍या सायकलवर किंवा अगदी त्याच सायकल C वर आहे, परंतु शिरोबिंदू r वर नाही. मग झाड T, लूपमध्ये सामील होण्याआधी, आता r मधून बाहेर पडणाऱ्या किमान एका काठाने वाढवले ​​जाते, आणि कदाचित त्याहून अधिक (केवळ एकाने e जर r नंतर लगेच असेल, आणि c-->e लूप C पुन्हा बंद करते, त्यातून फक्त r मिळवणे). याचा अर्थ असा की शिरोबिंदू x आणि इतर कमाल शिरोबिंदू T ची पातळी आता L+1 पेक्षा कमी नाही, आणि इतर झाडे वाढलेली नाहीत, आणि पुन्हा आम्हाला हवे ते मिळाले.

डिस्ने आणि पिक्सारचे आभार, जून 2006 मध्ये संपूर्ण जगाने एक व्यंगचित्र पाहिले ज्यामध्ये केवळ कार नायक बनल्या.

कार्टूनमधील कार्स सामान्य जीवन जगतात - एक टायर स्टोअर चालवतो, दुसरा ट्युनिंग स्टुडिओ, आणि काही फक्त स्वतःच्या आनंदासाठी जगतात, जसे की हिप्पी फिलमोर (फोक्सवॅगन T1) किंवा त्याचा मित्र, द्वितीय विश्वयुद्धातील दिग्गज. सर्ज (विलीस). चित्रपटाचे मुख्य पात्र, मॅक्क्वीन, टोपणनाव "लाइटनिंग" फक्त रेसिंग, विजय आणि वैभवाची स्वप्ने पाहते. एकदा प्रसिद्ध अमेरिकन हायवे 66 वरील रेडिएटर डिस्ट्रिक्टमध्ये, अजूनही "हिरवा" मॅक्वीन ताबडतोब सर्वांना सांगतो की तो किती वेगवान आणि थंड आहे. तथापि, NASCAR शर्यतीतील त्याची पहिली सुरुवात त्याचे भ्रम दूर करते. मित्र नायकाला तोट्यातून वाचण्यास मदत करतात - जुना टो ट्रक मेटर (जीएमसी पिक-अप), मार्गदर्शक डॉक हडसन (हडसन हॉर्नेट) आणि छोटा लुइगी (फियाट 600), जो वास्तविक फेरारी पाहण्याचे स्वप्न पाहतो.

बरं, आम्ही रोमँटिक सौंदर्य सॅलीशिवाय कुठे असू (मोहक 911 टॅटूसह पोर्श)! त्यांना मोठ्या प्रमाणावर धन्यवाद, मॅकक्वीन अजूनही शर्यत जिंकेल, चिकोच्या मुख्य प्रतिस्पर्ध्याला (प्लायमाउथ हेमी कुडा) पराभूत करेल. लुइगीचे स्वप्न देखील सत्यात उतरेल - एके दिवशी “मॅरानेलोचा एक घोडा”, आवाज दिला, तसे, “रेड बॅरन” स्वतः, मायकेल शूमाकर, टायर बदलण्यासाठी त्याच्या दुकानात येईल.

हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की चित्रपटाचे निर्माते आणि ज्यांनी आवाज दिला ते दोघेही कारमध्ये गुंतलेले लोक आहेत. उदाहरणार्थ, दिग्दर्शक जो लॅसेटरने जवळजवळ संपूर्ण बालपण शेवरलेट प्लांटमध्ये घालवले, जिथे त्याचे वडील मुख्य डिझाइनरपैकी एक होते. फोर्डचे आघाडीचे डिझायनर जे मेस यांनी सल्लागार म्हणून काम केले. आधीच नमूद केलेल्या सात वेळचा फॉर्म्युला 1 वर्ल्ड चॅम्पियन मायकेल शूमाकर व्यतिरिक्त, NASCAR स्टार रिचर्ड पेटी आणि पॉल न्यूमन, तसेच दिग्गज रेसर मायकेल आंद्रेट्टी यांनी पात्रांना आवाज देण्यात भाग घेतला.

केवळ कारचा मूळ आवाज वापरला गेला - उदाहरणार्थ, विशेषतः रेसिंग भागांसाठी, NASCAR स्पर्धांदरम्यान अमेरिकन ओव्हलवर अनेक आठवडे आवाज रेकॉर्ड केला गेला. चित्रपट तयार करण्यासाठी दोन वर्षांहून अधिक काळ लागला, ज्याचे बजेट 70 दशलक्ष USD होते. यावेळी, कारचे 43 हजार भिन्न स्केचेस तयार केले गेले आणि प्रत्येक रेखांकनास 17 तासांपेक्षा जास्त वेळ लागला. चित्रपटात एकूण 120 कार कॅरेक्टर आहेत - नवीन पोर्शेस आणि फेरारिस ते प्राचीन फोर्ड टी.

रस्त्याच्या नियमांबद्दल मुलाचे ज्ञान हे त्याच्या सुरक्षिततेसाठी मुख्य अटींपैकी एक आहे. प्रौढांसह अनेक पादचारी हे नियम हलकेच घेतात, जे अनेकदा वेगवेगळ्या तीव्रतेच्या वाहतूक अपघातांचे कारण बनतात. मुलांनी हे स्पष्टपणे समजून घेतले पाहिजे की जेव्हा ते लोकसंख्या असलेल्या भागात रस्त्यावर असतात तेव्हा ते रस्त्यावरील रहदारीमध्ये पूर्ण सहभागी असतात, म्हणून वाहतूक नियमांचे पालन करणे ही त्यांची जबाबदारी आहे.

रंगीत पृष्ठे मुलांसाठी वाहतूक नियम.

मुलाला रस्त्यावर वागण्याचे नियम (रस्ते, पदपथ, शहर वाहतूक) शिकवणे अगदी लहान वयातच सुरू केले पाहिजे, तो स्वतः चालणे आणि धावणे शिकण्यापूर्वी. आणि येथे पालक आणि इतर प्रौढांचे उदाहरण ज्यांच्याशी मूल रस्त्यावर आहे ते खूप महत्वाचे आहे. तुम्ही तुमच्या मुलाला रस्त्याचे नियम केवळ सांगू आणि समजावून सांगू नका, तर स्वतःही त्यांचे काटेकोरपणे पालन करा. या पृष्ठावर सादर केलेली वाहतूक नियम रंगीत पृष्ठे प्रामुख्याने प्रीस्कूल मुलांसाठी आहेत आणि मुलांना रस्त्यावर तसेच त्याच्या जवळील वर्तनाचे मूलभूत मुद्दे शिकण्यास मदत करतील.

1. रंगीत पृष्ठ वाहतूक प्रकाश.

सुरक्षितपणे रस्ता ओलांडण्यासाठी सर्वोत्तम ठिकाण म्हणजे ट्रॅफिक लाइटने सुसज्ज पादचारी क्रॉसिंग. ट्रॅफिक लाइटच्या प्रतिमा असलेल्या रंगीत पृष्ठांमध्ये लहान राइम्स देखील असतात ज्या मुलांना ते वापरण्याचे नियम अधिक सहजपणे लक्षात ठेवण्यास मदत करतात.

• नेहमी ट्रॅफिक लाइट हिरवा असेल तेव्हाच गाडी चालवायला सुरुवात करा.
• ट्रॅफिक सिग्नल लाल किंवा पिवळे असताना कधीही रस्ता ओलांडू नका, जरी जवळपास कोणतीही वाहने नसली तरीही.
• हिरव्या दिव्याकडे वळताना, याव्यतिरिक्त आपल्या सुरक्षिततेची खात्री करा - डावीकडे पहा, नंतर उजवीकडे.

2. रंगीत पृष्ठ पादचारी क्रॉसिंग.

तुमच्या मुलाला फक्त पादचारी क्रॉसिंगवर रस्ता ओलांडायला शिकवा. पादचारी क्रॉसिंगची रंगीत पाने मुलांना रस्ता योग्य प्रकारे कसा ओलांडायचा हे शिकवतील. ट्रॅफिक लाइटने सुसज्ज नसलेल्या क्रॉसिंगला अनियंत्रित म्हणतात.

• रस्त्याच्या पृष्ठभागावर झेब्रा क्रॉसिंगसह पादचारी क्रॉसिंग चिन्हांकित केले आहे.
• रस्ता ओलांडण्यापूर्वी, त्याची काळजीपूर्वक तपासणी करा आणि जवळपास कोणतीही रहदारी नाही याची खात्री करा.
• रस्ता ओलांडून जा, त्यावर धावू नका.
• रस्ता तिरपे ओलांडू नका.
• स्थिर वाहनांवर विशेष लक्ष द्या जे तुमचे दृश्य अवरोधित करतात.
• पादचारी क्रॉसिंगवरून जाताना, फोनवर बोलणे थांबवा.
• जवळपास भूमिगत किंवा ओव्हरपास असल्यास, त्यांचा वापर करण्याचे सुनिश्चित करा; अशा ठिकाणी रहदारी विशेषतः तीव्र असते.

3. पदपथ.

पदपथ पादचाऱ्यांच्या वाहतुकीसाठी आहे. मुलांना फूटपाथवर योग्य रीतीने वागायला शिकवा, विशेषत: जास्त रहदारी असलेल्या भागात.

• रस्त्याच्या कडेला असलेल्या फुटपाथवरून गाडी चालवताना त्याच्या फार जवळ जाऊ नका.
• अंगण आणि गल्ल्या सोडणाऱ्या संभाव्य वाहनांचे काळजीपूर्वक निरीक्षण करा.
• फूटपाथवर चेंडू खेळू नका किंवा धावू नका.

4. शहरातील सार्वजनिक वाहतूक आणि बस स्टॉपवर मुलांच्या वर्तनाच्या नियमांसह रंगीत पृष्ठे.

ही रंगीत पृष्ठे मुलांना सार्वजनिक वाहतूक सुरक्षितपणे कशी वापरायची हे शिकवतील.

• रस्त्याचे संभाव्य खराब दृश्य आणि लोकांच्या मोठ्या गर्दीमुळे सार्वजनिक वाहतूक थांबा हे एक धोकादायक ठिकाण आहे जे चुकून लहान मुलाला रस्त्याच्या कडेला ढकलून देऊ शकतात. येथे आपण विशेषतः सावध असणे आवश्यक आहे.
• वाहन पूर्णपणे थांबल्यानंतरच दरवाजाजवळ जा.
• वाहनातून बाहेर पडल्यानंतर, स्टॉप सोडल्यानंतरच रस्ता ओलांडण्यासाठी पुढे जा.

या मूलभूत वाहतुकीच्या नियमांव्यतिरिक्त, मुलांना रस्त्याच्या चिन्हांना रंग देण्यात रस असेल. सादर केलेले रहदारी नियम रंगीत पृष्ठे लहान मुले, प्रीस्कूलर आणि प्राथमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठी तसेच बालवाडी आणि प्राथमिक शाळेतील धड्यांमध्ये वापरण्यासाठी योग्य आहेत. वाहतूक नियमांसह सर्व चित्रे पूर्णपणे विनामूल्य आहेत - आपण ते डाउनलोड आणि मुद्रित करू शकता.

जर तुम्ही मुलांना सँडबॉक्समध्ये कारसह खेळण्यासाठी आमंत्रित केले तर तुम्ही त्यांना बराच काळ व्यस्त ठेवू शकता. पण बाहेर थंडी असेल आणि मुलाला कंटाळा आला असेल तर काय करावे. या प्रकरणात, आपण कारसाठी खालील रस्त्यांचे टेम्पलेट डाउनलोड आणि मुद्रित करू शकता. सर्व रिंग, वळणे आणि सरळ रस्ते कापून मजा सुरू होईल. या टेम्पलेट्समधून, एक मूल कोणत्याही आकाराचा रस्ता बनवू शकतो; फक्त आवश्यक A4 शीट्स मुद्रित केल्या आहेत याची खात्री करा.

कारसाठी सरळ रस्ता डाउनलोड करा

आपल्याला या शीट्सची सर्वाधिक आवश्यकता असेल. कागदाच्या A4 शीटवर आम्ही 3 रस्ते ठेवले आहेत जे मुद्रित करणे आणि कापले जाणे आवश्यक आहे. तुमच्या मुलाला योग्य कोनात रस्ता कसा कापायचा ते दाखवा की भाग त्याला आवश्यक आहे.

कारसाठी रस्ता: रिंग

रस्ते जोडण्यासाठी तुम्हाला एक रिंग लागेल, ज्याचा टेम्प्लेट वर सादर केला आहे आणि तेथून तुमची पायाभूत सुविधा तयार करणे सुरू करा.

कारसाठी रस्ता: सरळ वळण

सादर केलेल्या वळणांमुळे मुलाला आवश्यक त्या दिशेने 90 अंशांनी रस्ता वळता येईल.

मोटारींसाठी रस्त्यावर तीव्र वळण नाही

खालील A4 टेम्प्लेट तुम्हाला कोणत्याही त्रिज्यामध्ये रस्ता वळवण्यास मदत करेल.