फंक्शन्सची भिन्नता. भिन्न कार्याची सातत्य

प्रमेय.जर फंक्शन कधीतरी x = x 0 मध्ये (सीमित) व्युत्पन्न आहे , ते

1) फंक्शनची वाढ म्हणून दर्शविली जाऊ शकते

किंवा थोडक्यात, , कुठे a D वर अवलंबून असलेले प्रमाण आहे xआणि ते शून्याकडे झुकत आहे, म्हणजे ;

2) या बिंदूवरील कार्य अपरिहार्यपणे निरंतर आहे.

पुरावा. 1) व्युत्पन्न च्या व्याख्येनुसार, . या मर्यादेच्या बेरजेच्या स्वरूपात मर्यादा असलेल्या आणि अमर्याद असलेल्या फंक्शनच्या प्रतिनिधित्वावर प्रमेय वापरून, आम्ही लिहितो

, कुठे .

येथून ठरवून डी y, आम्ही सूत्रावर पोहोचतो (3.6).

2) फंक्शनची सातत्य सिद्ध करण्यासाठी, अभिव्यक्तीचा विचार करा (3.6). येथे डी x®0 (3.6) च्या उजव्या बाजूची बेरीज शून्यावर जाते. त्यामुळे, , किंवा , ज्याचा अर्थ बिंदूवरील कार्य x 0 सतत आहे.

सिद्ध प्रमेयावरून असे दिसून येते की दिलेल्या बिंदूवर व्युत्पन्न असलेले कार्य या बिंदूवर सतत असेल. तथापि, दिलेल्या बिंदूवर सतत असणाऱ्या फंक्शनचे नेहमी त्या बिंदूवर व्युत्पन्न नसते. होय, बिंदूवर x 0 = 1 फंक्शन y =|x– 1| सतत आहे, परंतु या ठिकाणी कोणतेही व्युत्पन्न नाही. याचा अर्थ ही स्थिती केवळ आवश्यक आहे.

जटिल कार्याचे व्युत्पन्न

प्रमेय. 1) कार्य करू द्या v = j(x) कधीतरी आहे xव्युत्पन्न, 2) कार्य y = f(v) संबंधित बिंदूवर आहे vव्युत्पन्न नंतर जटिल कार्य y = f(j(x)) नमूद केलेल्या बिंदूवर एक्सफंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्ह्जच्या गुणानुरूप समान व्युत्पन्न देखील असेल f(v) आणि j(x): [f(j(x)) ]" = किंवा लहान

पुरावा.जोडूया एक्सअनियंत्रित वाढ Δ एक्स; Δ द्या v- फंक्शनची संबंधित वाढ v = j(x) आणि शेवटी Δ येथे- कार्य वाढ y = f(v), वाढीमुळे Δ v. आपण रिलेशन (3.6) वापरू या, जे बदलून xवर v, आम्ही ते फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहितो (aΔ वर अवलंबून आहे vआणि त्यासोबत शून्याकडे झुकते). त्यास पदानुसार विभागून डी x, आम्हाला मिळते

जर डी xशून्याकडे कल, नंतर, (3.6) नुसार (प्रदान केले तर y = v), शून्य आणि Δ कडे कल असेल v, आणि नंतर, जसे आपल्याला माहित आहे, Δ वरील अवलंबित्व देखील शून्याकडे जाईल vविशालता a. त्यामुळे मर्यादा आहे

जे इच्छित व्युत्पन्न आहे.

अशा प्रकारे, कॉम्प्लेक्स फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह हे बाह्य फंक्शनच्या डेरिव्हेटिव्ह आणि आतील फंक्शनच्या डेरिव्हेटिव्हच्या गुणाप्रमाणे असते.

अनेक सुपरपोझिशन्सच्या परिणामी प्राप्त झालेल्या जटिल कार्याचे प्रकरण नियमांच्या अनुक्रमिक अनुप्रयोगाद्वारे सोडवले जाते (3.7). तर, जर y = f(u), u = j(v), v = y(x), ते

उदाहरणे. 1. द्या y =लॉग aपाप x,दुसऱ्या शब्दात, y =लॉग एक वि, कुठे v =पाप x. नियमानुसार (3.7)

2. , म्हणजे y = e u,u = v 2 , v =पाप xनियमानुसार (3.8)

१.७. व्युत्पन्न घातांक आहे– शक्ती कार्य

द्या u = u(x) > ० आणि v = v(x) - फंक्शन्स ज्यांचे डेरिव्हेटिव्ह्ज एका निश्चित बिंदूवर असतात x. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधू y = u v. या समानतेचा लॉगरिदम घेतल्यास, आपल्याला मिळेल: ln y = v ln u

या समानतेच्या दोन्ही बाजूंच्या संदर्भात फरक करूया x:

येथून, किंवा

अशाप्रकारे, घातांकीय पॉवर फंक्शनच्या व्युत्पन्नामध्ये दोन संज्ञा असतात: प्रथम पद प्राप्त होते जर, भिन्नतेदरम्यान, आम्ही असे गृहीत धरले की आणिपासून एक कार्य आहे एक्स, ए vएक स्थिर आहे (म्हणजे विचार करा u विपॉवर फंक्शन म्हणून); असे गृहीत धरल्यास दुसरी टर्म प्राप्त होते vपासून एक कार्य आहे एक्स, ए u = const(म्हणजे विचार करा u विघातांकीय कार्य म्हणून).

उदाहरणे. 1. जर y = x tan x, तर, गृहीत धरून u = x,v = टॅन x, (3.9) नुसार आमच्याकडे आहे

= tg x x tg x - 1 + x tg x ln xसे 2 x.

व्युत्पन्न शोधण्यासाठी या प्रकरणात वापरलेले तंत्र आणि प्रथम प्रश्नातील फंक्शनच्या लॉगॅरिथमचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी वापरलेले तंत्र, फंक्शन्समध्ये फरक करण्यासाठी मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते: फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधताना, ही फंक्शन्स प्रथम लॉगरिदमाइज केली जातात आणि नंतर फंक्शनच्या लॉगरिदममध्ये फरक केल्यानंतर प्राप्त होणारी समानता, व्युत्पन्न फंक्शन्स निर्धारित केली जाते. या ऑपरेशनला म्हणतात लॉगरिदमिक भिन्नता.

2. तुम्हाला फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधणे आवश्यक आहे

लॉगरिदम घेतल्यास, आम्हाला आढळते:

ln y = 2ln( x+१) + लॉग( x- 1) - 3 लि.( x+ 4) – x

शेवटच्या समानतेच्या दोन्ही बाजू वेगळे करूया:

ने गुणाकार येथेआणि बदली ऐवजी येथे, आम्हाला मिळते.

कार्य y = f(x)म्हणतात वेगळे करण्यायोग्यकाही वेळी x 0 जर या ठिकाणी विशिष्ट डेरिव्हेटिव्ह असेल तर, उदा. जर संबंधांची मर्यादा अस्तित्त्वात असेल आणि मर्यादित असेल.

एखाद्या विशिष्ट विभागाच्या प्रत्येक बिंदूवर फंक्शन भिन्न असल्यास [ ए; b] किंवा मध्यांतर ( ए; b), मग ते म्हणतात की ती वेगळे करण्यायोग्यविभागावर [ ए; b] किंवा, अनुक्रमे, मध्यांतरात ( ए; b).

खालील प्रमेय वैध आहे, भिन्नता आणि सतत कार्ये यांच्यातील संबंध स्थापित करते.

प्रमेय.फंक्शन असल्यास y = f(x)काही ठिकाणी भिन्नता x ०, नंतर ते या टप्प्यावर सतत आहे.

अशा प्रकारे, फंक्शनच्या भिन्नतेपासून, त्याची सातत्य खालीलप्रमाणे आहे.

पुरावा. जर तर

जेथे α एक अमर्याद प्रमाण आहे, उदा. Δ म्हणून शून्याकडे झुकणारे प्रमाण x→0. पण नंतर

Δ y=f "(x ०) Δ x+αΔ x=> Δ y→0 येथे Δ x→0, म्हणजे f(x) - f(x 0)→0 वाजता x→x 0 , म्हणजे फंक्शन f(x)एका बिंदूवर सतत x 0 Q.E.D.

अशाप्रकारे, फंक्शनमध्ये विघटन बिंदूंवर व्युत्पन्न असू शकत नाही. संभाषण सत्य नाही: अशी सतत कार्ये आहेत जी काही बिंदूंवर भिन्न नाहीत (म्हणजे, या बिंदूंवर व्युत्पन्न नाही).

आकृतीतील बिंदूंचा विचार करा a, b, c.

बिंदूवर aΔ वर x→0 गुणोत्तराला मर्यादा नाही (कारण Δ साठी एकतर्फी मर्यादा भिन्न आहेत x→0-0 आणि Δ x→0+0). बिंदूवर एआलेखामध्ये कोणतीही परिभाषित स्पर्शिका नाही, परंतु उतारांसह दोन भिन्न एकमार्गी स्पर्शिका आहेत ला 1 आणि ला 2. या प्रकारच्या पॉइंटला कॉर्नर पॉइंट म्हणतात.

बिंदूवर bΔ वर x→0 गुणोत्तर हे एक स्थिर चिन्ह आहे जे अमर्यादपणे मोठ्या प्रमाणात आहे. फंक्शनमध्ये अनंत व्युत्पन्न आहे. या टप्प्यावर आलेखाला अनुलंब स्पर्शिका असते. बिंदू प्रकार - उभ्या स्पर्शिकेसह "इन्फ्लेक्शन पॉइंट".

बिंदूवर cएकतर्फी डेरिव्हेटिव्ह हे वेगवेगळ्या चिन्हांचे अमर्याद प्रमाण आहेत. या बिंदूवर आलेखामध्ये दोन विलीन झालेली अनुलंब स्पर्शिका आहेत. टाइप करा - उभ्या स्पर्शिकेसह "रिटर्न पॉइंट" - कोपरा बिंदूचा एक विशेष केस.

उदाहरणे.

1. कार्याचा विचार करा y=|x|. हे कार्य बिंदूवर सतत आहे x= 0, कारण .

या टप्प्यावर त्याचे कोणतेही व्युत्पन्न नाही हे दाखवूया.

f(0+Δ x) = f(Δ x) = |Δ x| म्हणून, Δ y = f(Δ x) - f(0) = |Δ x|

पण नंतर Δ साठी x< 0 (т.е. при Δxडावीकडे 0 कडे झुकत आहे)

आणि Δ वर x > 0

अशा प्रकारे, Δ वर गुणोत्तर xउजवीकडे आणि डावीकडे → 0 ला भिन्न मर्यादा आहेत, याचा अर्थ गुणोत्तराला मर्यादा नाही, म्हणजे. फंक्शनचे व्युत्पन्न y=|x| बिंदूवर x= 0 अस्तित्वात नाही. भौमितिकदृष्ट्या याचा अर्थ असा होतो की बिंदूवर x= 0 या “वक्र” मध्ये परिभाषित स्पर्शिका नाही (या ठिकाणी दोन आहेत).

2. फंक्शन संपूर्ण संख्या रेषेवर परिभाषित आणि सतत आहे. या फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह at आहे का ते शोधू x= 0.

परिणामी, विचाराधीन कार्य बिंदूवर भिन्न नाही x= 0. या बिंदूवरील वक्र स्पर्शिका abscissa अक्षासह p/2 कोन बनवते, उदा. अक्षाशी जुळते ओय.

प्राथमिक कार्यांचे व्युत्पन्न.

1.
y = xn.तर nन्यूटनचे द्विपद सूत्र वापरून, एक सकारात्मक पूर्णांक आहे:

(a + b) n = a n+ n·a n-1 b + 1/2?n(n - 1)a n-2? b 2 + 1/(2?3)?n(n - 1)(n - 2)a n-3 b 3 +…+ b n ,

हे सिद्ध केले जाऊ शकते

तर जर xएक वाढ प्राप्त करते Δ x, ते f(x+Δ x) = (x + Δ x) n, आणि म्हणून

सूत्र 3 आणि 5 स्वतः सिद्ध करा.

फंक्शन असल्यास y = f(x) काही क्षणी भिन्न आहे x = x 0, नंतर ते या बिंदूवर सतत आहे.

अशाप्रकारे, फंक्शनमध्ये विघटन बिंदूंवर व्युत्पन्न असू शकत नाही. उलट निष्कर्ष चुकीचा आहे, म्हणजे. या वस्तुस्थितीपासून कधीतरी x = x 0 कार्य y = f(x) सतत आहे याचा अर्थ असा नाही की तो या टप्प्यावर भिन्न आहे. उदाहरणार्थ, फंक्शन y = |x| प्रत्येकासाठी सतत x (–< एक्स < ), но в точке x= 0 चे कोणतेही व्युत्पन्न नाही. या टप्प्यावर आलेखाला स्पर्शिका नाही. उजवी स्पर्शिका आणि डावी स्पर्शिका आहे, परंतु ते एकरूप होत नाहीत.

21 नियम शोधत आहे उत्पादन रक्कम

नियम १. y = f(x) आणि y = g(x) फंक्शन्सचे बिंदू x वर व्युत्पन्न असल्यास, त्यांच्या बेरीजचे देखील बिंदू x वर व्युत्पन्न असते आणि बेरीजचे व्युत्पन्न व्युत्पन्नाच्या बेरजेइतके असते:
(f(x) + 8(x))" =f (x)+ (x).
व्यवहारात, हा नियम अधिक थोडक्यात तयार केला जातो: बेरीजचे व्युत्पन्न त्याच्या व्युत्पन्नांच्या बेरजेइतके असते.
उदाहरणार्थ,
नियम 2.फंक्शन y = f(x) चे बिंदू x वर व्युत्पन्न असल्यास, फंक्शन y = kf(x) चे देखील बिंदू x वर व्युत्पन्न असते आणि:

सराव मध्ये, हा नियम अधिक थोडक्यात तयार केला जातो: स्थिर घटक व्युत्पन्न चिन्हातून काढला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ,

नियम 3.जर y=f(x) आणि y =g(x) फंक्शन्सचे बिंदू x वर व्युत्पन्न असेल, तर त्यांच्या उत्पादनाचे देखील बिंदू x वर व्युत्पन्न आहे आणि:

सराव मध्ये, हा नियम खालीलप्रमाणे तयार केला जातो: दोन कार्यांच्या उत्पादनाचे व्युत्पन्न दोन पदांच्या बेरजेइतके असते. पहिली संज्ञा ही पहिल्या फंक्शनच्या व्युत्पन्न आणि दुसऱ्या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गुणाकार असते आणि दुसरी संज्ञा पहिल्या फंक्शनचे व्युत्पन्न आणि दुसऱ्या फंक्शनचे व्युत्पन्न असते.
उदाहरणार्थ:
नियम 4.फंक्शन्स y = f(x) आणि y=g(x) चे व्युत्पन्न असल्यास x बिंदूवर भागफलाचे व्युत्पन्न असते आणि:

जटिल डेरिव्हेटिव्ह्जची सारणी

22 फरक. कार्यशील बिंदूवर

कार्य y=f(x) बिंदूवर भिन्नता आहे असे म्हटले जाते xजर त्याची वाढ Δ असेल तर 0 y(x 0,Δ x) म्हणून दर्शविले जाऊ शकते

Δ y(x 0,Δ x)=एΔ x+o(Δ x).

मुख्य रेखीय भाग एΔ xवाढ Δ yबिंदूवर या कार्याचा विभेदक म्हणतात x 0, वाढीशी संबंधित Δ x, आणि चिन्हाद्वारे दर्शविले जाते dy(x 0,Δ x).

कार्यासाठी क्रमाने y=f(x) बिंदूवर भिन्न होते x 0, व्युत्पन्न अस्तित्वात असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे f′( x 0), आणि समानता सत्य आहे ए=f′( x 0).

भिन्नतेसाठी अभिव्यक्तीचे स्वरूप आहे

dy(x 0,dx)=f′( x 0)dx,

कुठे dx=Δ x.

23 उत्पादन. कॉम्प्लेक्स कार्य

जटिल कार्याचे व्युत्पन्न. पॅरामेट्रिक पद्धतीने निर्दिष्ट केलेल्या फंक्शनचे व्युत्पन्न

द्या y - जटिल कार्य x, म्हणजे y = f(u), u = g(x), किंवा

तर g(x) आणि f(u) - त्यांच्या युक्तिवादांची भिन्न कार्ये, अनुक्रमे, बिंदूंवर xआणि u = g(x), नंतर कॉम्प्लेक्स फंक्शन देखील बिंदूवर भिन्न आहे x आणि सूत्रानुसार आढळते

पॅरामेट्रिक पद्धतीने दिलेल्या फंक्शनचे व्युत्पन्न.

24 उत्पादन आणि फरक. सर्वोच्च ऑर्डर

आता व्या क्रमाचे व्युत्पन्न बिंदूच्या विशिष्ट शेजारी परिभाषित करू आणि भिन्न असू द्या. मग

जर फंक्शनला काही डोमेन D मधील व्हेरिएबल्सपैकी एकाच्या संदर्भात आंशिक डेरिव्हेटिव्ह असेल, तर उक्त डेरिव्हेटिव्ह, स्वतःच एक फंक्शन असल्याने, काही ठिकाणी त्याच किंवा इतर कोणत्याही व्हेरिएबलच्या संदर्भात आंशिक डेरिव्हेटिव्ह असू शकतात. मूळ कार्यासाठी, ही डेरिव्हेटिव्ह्ज सेकंड-ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्ह (किंवा द्वितीय आंशिक डेरिव्हेटिव्ह) असतील.

भिन्न व्हेरिएबल्सच्या संदर्भात घेतलेल्या द्वितीय किंवा उच्च क्रमाच्या आंशिक व्युत्पन्नास मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न म्हणतात. उदाहरणार्थ,

ऑर्डर भिन्नता n, कुठे n > १, फंक्शनच्या काही बिंदूला ऑर्डर डिफरेंशियलच्या या बिंदूवरील विभेदक म्हणतात (n - 1), ते आहे

एका व्हेरिएबलवर अवलंबून असलेल्या फंक्शनसाठी, दुसरा आणि तिसरा फरक यासारखा दिसतो:

येथून आपण भिन्नतेचे सामान्य दृश्य प्राप्त करू शकतो nफंक्शनमधील व्या क्रम:

25 Fermat, Rolle, Langrange चे प्रमेय

v फर्मेटचे प्रमेय:फंक्शनला परिभाषित करू द्या आणि त्याच्या कमाल आणि किमान मूल्यांपर्यंत पोहोचू द्या ( एमआणि मी) काही मध्ये . मध्ये डेरिव्हेटिव्ह असल्यास, ते 0 च्या समान असणे आवश्यक आहे.

पुरावा: अस्तित्वात आहे. दोन संभाव्य प्रकरणे आहेत:

1) , => , => .

2) , => , => .

1) आणि 2) पासून ते त्याचे अनुसरण करते

v रोलचे प्रमेय (व्युत्पन्नाच्या मुळांबद्दल):फंक्शन सतत चालू आणि भिन्न असू द्या आणि विभागाच्या शेवटी समान मूल्ये घ्या: . मग वरून किमान एक बिंदू आहे, ज्यावर व्युत्पन्न आहे.

v पुरावा: सतत पोहोचते एमआणि मी. मग दोन प्रकरणे शक्य आहेत:

2) फर्मॅटच्या प्रमेयानुसार सर्वात मोठे मूल्य मध्यांतरामध्ये प्राप्त केले जाते.

v लॅन्ग्रेजचे प्रमेय (अंतिम वाढीबद्दल):फंक्शन सतत चालू असू द्या आणि वर फरक करू द्या. नंतर किमान एक आहे, ज्यासाठी खालील समानता आहे: .

पुरावा: फंक्शनची ओळख करून घेऊ. (सतत चालू आणि वर भिन्नता).

फंक्शन रोलचे प्रमेय अस्तित्वात आहे याचे समाधान करते, ज्यासाठी: , , , .

· फंक्शन म्हणतात काटेकोरपणे वाढत आहेजर वर

· फंक्शन म्हणतात कमी होत आहेजर वर

· फंक्शन म्हणतात काटेकोरपणे कमी होत आहेजर वर

लेखाची सामग्री

व्युत्पन्न- फंक्शनचे व्युत्पन्न y = f(x), ठराविक अंतराने दिले ( a, b) बिंदूवर xया मध्यांतराला फंक्शनच्या वाढीचे गुणोत्तर ज्या मर्यादेकडे झुकते असे म्हणतात fया टप्प्यावर युक्तिवादाच्या संबंधित वाढीशी जेव्हा युक्तिवादाची वाढ शून्य होते.

व्युत्पन्न सहसा खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते:

इतर पदनाम देखील मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात:

झटपट गती.

मुद्दा द्या एमसरळ रेषेत हलते. अंतर sमूव्हिंग पॉइंट, काही प्रारंभिक स्थितीतून मोजला जातो एम 0 , वेळेवर अवलंबून आहे ट, म्हणजे sवेळेचे कार्य आहे ट: s= f(ट). कधीतरी द्या टगतिमान बिंदू एमअंतरावर होते sसुरुवातीच्या स्थितीपासून एम 0, आणि पुढच्या काही क्षणी ट+डी टस्वतःला एका स्थितीत सापडले एम 1 - अंतरावर s+डी sप्रारंभिक स्थितीपासून ( चित्र पहा.).

अशा प्रकारे, कालांतराने डी टअंतर sडी रकमेने बदलले s. या प्रकरणात ते म्हणतात की मध्यांतर दरम्यान डी टविशालता sडी वेतनवाढ मिळाली s.

सरासरी वेग सर्व प्रकरणांमध्ये बिंदूच्या हालचालीचा वेग अचूकपणे दर्शवू शकत नाही एमवेळेच्या एका टप्प्यावर ट. जर, उदाहरणार्थ, मध्यांतराच्या सुरूवातीस शरीर डी टखूप लवकर हलवले, आणि शेवटी अगदी हळू, नंतर सरासरी वेग बिंदूच्या हालचालीची सूचित वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करू शकणार नाही आणि या क्षणी त्याच्या हालचालीच्या खऱ्या गतीची कल्पना देऊ शकणार नाही. ट. सरासरी वेग वापरून खरा वेग अधिक अचूकपणे व्यक्त करण्यासाठी, तुम्हाला कमी कालावधी घ्यावा लागेल D ट. या क्षणी बिंदूच्या हालचालीची गती सर्वात पूर्णपणे दर्शवते टज्या मर्यादेपर्यंत सरासरी वेग D वर असतो ट® 0. या मर्यादेला वर्तमान गती म्हणतात:

अशाप्रकारे, दिलेल्या क्षणी हालचालीच्या गतीला पथ वाढीव गुणोत्तर D ची मर्यादा म्हणतात sवेळेत वाढ करण्यासाठी डी ट, जेव्हा वेळेची वाढ शून्य होते. कारण

व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थ. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका.

स्पर्शरेषा बांधणे ही अशा समस्यांपैकी एक आहे ज्यामुळे विभेदक कॅल्क्युलसचा जन्म झाला. लिबनिझने लिहिलेल्या डिफरेंशियल कॅल्क्युलसशी संबंधित पहिल्या प्रकाशित कामाचे शीर्षक होते मॅक्सिमा आणि मिनिमाची एक नवीन पद्धत, तसेच स्पर्शरेषा, ज्यासाठी अपूर्णांक किंवा अपरिमेय प्रमाण दोन्ही अडथळा नसतात आणि यासाठी एक विशेष प्रकारचा कॅल्क्युलस.

वक्र हा फंक्शनचा आलेख असू द्या y =f(x) आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये ( सेमी. तांदूळ.)

काही मूल्याने xकार्य महत्त्वाचे y =f(x). ही मूल्ये xआणि yवक्र वर बिंदू अनुरूप एम 0(x, y). वाद तर xदेणे वाढ D x, नंतर युक्तिवादाचे नवीन मूल्य x+डी xनवीन फंक्शन मूल्याशी संबंधित आहे y+डी y = f(x + डी x). वळणाचा संबंधित बिंदू हा बिंदू असेल एम 1(x+डी x,y+डी y). आपण एक secant काढल्यास एम 0एम 1 आणि j ने दर्शविले आहे अक्षाच्या सकारात्मक दिशेसह ट्रान्सव्हर्सलद्वारे तयार केलेला कोन बैल, हे आकृतीवरून लगेच स्पष्ट होते की .

जर आता डी xशून्याकडे झुकते, नंतर बिंदू एम 1 वक्र बाजूने हलते, बिंदू जवळ येत आहे एम 0, आणि कोन j डी सह बदल x. येथे डीएक्स® 0 कोन j एका विशिष्ट मर्यादेकडे झुकतो आणि बिंदूमधून जाणारी सरळ रेषा एम 0 आणि x-अक्षाची सकारात्मक दिशा असलेला घटक, कोन a, इच्छित स्पर्शिका असेल. त्याचा उतार आहे:

त्यामुळे, f´( x) = tga

त्या व्युत्पन्न मूल्य f´( x) दिलेल्या वितर्क मूल्यासाठी xफंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेने तयार केलेल्या कोनाच्या स्पर्शिकेशी बरोबरी करतो f(x) संबंधित बिंदूवर एम 0(x,y) सकारात्मक अक्ष दिशेसह बैल.

फंक्शन्सची भिन्नता.

व्याख्या. फंक्शन असल्यास y = f(x) बिंदूवर एक व्युत्पन्न आहे x = x 0, नंतर फंक्शन या टप्प्यावर भिन्न आहे.

व्युत्पन्न असलेल्या फंक्शनची सातत्य. प्रमेय.

फंक्शन असल्यास y = f(x) काही क्षणी भिन्न आहे x = x 0, नंतर ते या बिंदूवर सतत आहे.

अशाप्रकारे, फंक्शनमध्ये विघटन बिंदूंवर व्युत्पन्न असू शकत नाही. उलट निष्कर्ष चुकीचा आहे, म्हणजे. या वस्तुस्थितीपासून कधीतरी x = x 0 कार्य y = f(x) सतत आहे याचा अर्थ असा नाही की तो या टप्प्यावर भिन्न आहे. उदाहरणार्थ, फंक्शन y = |x| प्रत्येकासाठी सतत x(–Ґ x x = 0 ला कोणतेही व्युत्पन्न नाही. या टप्प्यावर आलेखाला स्पर्शिका नाही. उजवी स्पर्शिका आणि डावी स्पर्शिका आहे, परंतु ते एकरूप होत नाहीत.

भिन्न कार्यांवरील काही प्रमेये. डेरिव्हेटिव्हच्या मुळांवर प्रमेय (रोलेचे प्रमेय).फंक्शन असल्यास f(x) विभागावर सतत आहे [a,b], या विभागाच्या सर्व आतील बिंदूंवर आणि टोकांवर भिन्नता आहे x = aआणि x = bशून्यावर जातो ( f(a) = f(b) = 0), नंतर विभागाच्या आत [ a,b] किमान एक मुद्दा आहे x= सह, a c b, ज्यामध्ये व्युत्पन्न fў( x) शून्यावर जातो, म्हणजे fў( c) = 0.

मर्यादित वाढ प्रमेय (लॅग्रेंजचे प्रमेय).फंक्शन असल्यास f(x) मध्यांतरावर सतत आहे [ a, b] आणि या विभागाच्या सर्व आतील बिंदूंवर भिन्नता आहे, नंतर विभागाच्या आत [ a, b] किमान एक मुद्दा आहे सह, a c b ते

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

दोन फंक्शन्सच्या वाढीच्या गुणोत्तरावरील प्रमेय (कॉचीचे प्रमेय).तर f(x) आणि g(x) - विभागावर दोन कार्ये सतत [a, b] आणि या विभागाच्या सर्व आतील बिंदूंवर भिन्नता, आणि gў( x) या विभागाच्या आत कुठेही नाहीसे होत नाही, नंतर विभागाच्या आत [ a, b] असा मुद्दा आहे x = सह, a c b ते

विविध ऑर्डरचे व्युत्पन्न.

कार्य करू द्या y =f(x) काही अंतराने फरक करता येतो [ a, b]. व्युत्पन्न मूल्ये f ў( x), साधारणपणे बोलणे, अवलंबून असते x, म्हणजे व्युत्पन्न f ў( x) चे कार्य देखील आहे x. हे फंक्शन वेगळे करताना, आम्ही फंक्शनचे तथाकथित दुसरे व्युत्पन्न प्राप्त करतो f(x), जे दर्शविले जाते f ўў ( x).

व्युत्पन्न n-कार्याचा क्रम f(x) ला व्युत्पन्नाचा (प्रथम क्रम) व्युत्पन्न म्हणतात n- 1- th आणि चिन्हाने दर्शविले जाते y(n) = (y(n- 1))ў.

विविध ऑर्डर्सची भिन्नता.

कार्य भिन्नता y = f(x), कुठे x- स्वतंत्र व्हेरिएबल, होय dy = f ў( x)dx, पासून काही कार्य x, पण पासून xफक्त पहिला घटक अवलंबून असू शकतो f ў( x), दुसरा घटक ( dx) ही स्वतंत्र व्हेरिएबलची वाढ आहे xआणि या व्हेरिएबलच्या मूल्यावर अवलंबून नाही. कारण dyपासून एक कार्य आहे x, तर आपण या फंक्शनचा फरक ठरवू शकतो. फंक्शनच्या डिफरेंशियलच्या डिफरेंशियलला या फंक्शनचा सेकंड डिफरेंशियल किंवा सेकंड-ऑर्डर डिफरेंशियल म्हणतात आणि तो दर्शविला जातो d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

विभेदक n-पहिल्या क्रमाला विभेदक पहिल्या विभेदक म्हणतात n- 1- वा ऑर्डर:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

आंशिक व्युत्पन्न.

जर फंक्शन एकावर नाही तर अनेक वितर्कांवर अवलंबून असेल x i(i 1 ते बदलते n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), नंतर विभेदक कॅल्क्युलसमध्ये आंशिक डेरिव्हेटिव्हची संकल्पना सादर केली जाते, जी अनेक व्हेरिएबल्सच्या फंक्शनच्या बदलाचा दर दर्शवते जेव्हा फक्त एक युक्तिवाद बदलतो, उदाहरणार्थ, x i. संदर्भात 1ली ऑर्डर आंशिक व्युत्पन्न x iएक सामान्य व्युत्पन्न म्हणून परिभाषित केले आहे, आणि असे गृहीत धरले जाते की वगळता सर्व युक्तिवाद x i, स्थिर मूल्ये ठेवा. आंशिक डेरिव्हेटिव्हसाठी, नोटेशन सादर केले आहे

अशा प्रकारे परिभाषित केलेल्या 1ल्या ऑर्डरच्या आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्जमध्ये (समान वितर्कांची फंक्शन्स म्हणून) आंशिक डेरिव्हेटिव्ह देखील असू शकतात, ही दुसरी ऑर्डर आंशिक डेरिव्हेटिव्ह इ. वेगवेगळ्या युक्तिवादांमधून घेतलेल्या अशा व्युत्पन्नांना मिश्र म्हणतात. समान क्रमाचे सतत मिश्रित व्युत्पन्न भिन्नतेच्या क्रमावर अवलंबून नसतात आणि एकमेकांच्या समान असतात.

अण्णा चुगेनोवा

गतिमान बिंदूच्या गतीबद्दल समस्या

भौतिक बिंदूच्या रेक्टलाइनर गतीचा नियम असू द्या. आपण वेळेच्या बिंदूने प्रवास केलेल्या मार्गाने आणि वेळेत प्रवास केलेल्या मार्गाने सूचित करूया. नंतर कालांतराने बिंदू समान मार्गाने प्रवास करेल: . गुणोत्तराला बिंदूचा सरासरी वेग म्हणतात. कमी, म्हणजे. पासून पर्यंतचा वेळ मध्यांतर जितका कमी असेल तितका चांगला सरासरी वेग वेळेच्या क्षणी एखाद्या बिंदूच्या हालचालीचे वैशिष्ट्य दर्शवेल. म्हणून, दिलेल्या क्षणी गतीची संकल्पना मांडणे स्वाभाविक आहे, ते मध्यांतराच्या सरासरी वेगाची मर्यादा म्हणून परिभाषित करणे, जेव्हा:

ठराविक क्षणी बिंदूच्या तात्कालिक गतीला प्रमाण म्हणतात.

दिलेल्या वक्र स्पर्शिकेबद्दल समस्या

समीकरणाद्वारे समतल वर एक सतत वक्र द्या. एका बिंदूवर दिलेल्या वक्राला अनुलंब नसलेली स्पर्शिका काढणे आवश्यक आहे . स्पर्शिकेचा बिंदू दिलेला असल्याने, समस्येचे निराकरण करण्यासाठी स्पर्शिकेचा उतार शोधणे आवश्यक आहे. भूमितीवरून हे ज्ञात आहे की, स्पर्शिकेच्या कलतेचा कोन अक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे कुठे आहे (आकृती पहा). ठिपक्यांद्वारे आणि सीकंट काढू या, अक्षाच्या सकारात्मक दिशेसह सेकंटने तयार केलेला कोन कोठे आहे. आकृतीवरून हे स्पष्ट होते की, कुठे. एका बिंदूवर दिलेल्या वक्र स्पर्शिकेचा उतार खालील व्याख्येच्या आधारे आढळू शकतो.

जेव्हा बिंदू बिंदूकडे झुकतो तेव्हा एका बिंदूवर वक्र करण्यासाठी स्पर्शिका ही सीकंटची मर्यादित स्थिती असते . ते त्याचे पालन करते .

व्युत्पन्न व्याख्या

वर चर्चा केलेल्या समस्या सोडवण्यासाठी आवश्यक गणितीय क्रिया समान आहे. चला या ऑपरेशनचे विश्लेषणात्मक सार स्पष्ट करूया, ज्या विशिष्ट प्रश्नांना जन्म दिला त्यापासून अमूर्त.

फंक्शन काही अंतराने परिभाषित करू द्या. या मध्यांतरातून एक मूल्य घेऊ. चला काही वाढ (सकारात्मक किंवा नकारात्मक) जोडूया. हे नवीन वितर्क मूल्य नवीन फंक्शन मूल्याशी संबंधित आहे , कुठे .

चला नातं बनवूया , हे एक कार्य आहे .

एका बिंदूवर व्हेरिएबलच्या संदर्भात फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह म्हणजे या बिंदूवरील फंक्शनच्या वाढीच्या गुणोत्तराची मर्यादा ज्याने कारणीभूत युक्तिवाद वाढविला आहे, जेव्हा अनियंत्रित पद्धतीने:

टिप्पणी. सूत्राच्या उजव्या बाजूची मर्यादा अस्तित्त्वात असल्यास आणि मर्यादित असल्यास आणि व्हेरिएबलची वाढ 0 (डावीकडून किंवा उजवीकडून) कशी होते यावर अवलंबून नसल्यास बिंदूवरील फंक्शनचे व्युत्पन्न अस्तित्वात असल्याचे मानले जाते. .

फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्याच्या प्रक्रियेला त्याचे भेदभाव म्हणतात.

व्याख्येनुसार काही फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह शोधणे

a) स्थिरांकाचे व्युत्पन्न.

चला, जेथे स्थिर आहे, कारण या फंक्शनची मूल्ये सर्वांसाठी समान आहेत, नंतर त्याची वाढ शून्य आहे आणि म्हणून,

तर, स्थिरांकाचे व्युत्पन्न शून्य इतके असते, म्हणजे. .

b) फंक्शनचे व्युत्पन्न.

फंक्शनची वाढ तयार करू:

व्युत्पन्न शोधताना, आम्ही फंक्शन्सच्या उत्पादनाच्या मर्यादेचा गुणधर्म, पहिली उल्लेखनीय मर्यादा आणि फंक्शनची सातत्य वापरली.

अशा प्रकारे, .

कार्याची भिन्नता आणि त्याची सातत्य यांच्यातील संबंध

एखाद्या बिंदूवर व्युत्पन्न असलेले कार्य त्या बिंदूवर भिन्न असल्याचे म्हटले जाते. ठराविक अंतराच्या सर्व बिंदूंवर व्युत्पन्न असलेले फंक्शन या मध्यांतरावर भिन्नता असे म्हणतात.

प्रमेय.जर एखाद्या बिंदूवर फंक्शन भिन्न असेल तर ते त्या बिंदूवर सतत असते.

पुरावा. चला युक्तिवाद एक अनियंत्रित वाढ देऊ. मग फंक्शनला वाढ मिळेल. आपण समानता लिहू आणि डाव्या आणि उजव्या बाजूला असलेल्या मर्यादेकडे जाऊ:

सतत फंक्शनसाठी युक्तिवादातील असीम वाढ फंक्शनमधील असीम वाढीशी संबंधित असल्याने, प्रमेय सिद्ध मानला जाऊ शकतो.

टिप्पणी. संभाषण विधान धारण करत नाही, म्हणजे एका बिंदूवर फंक्शनच्या सातत्य पासून, सामान्यत: या बिंदूवर भिन्नता येत नाही. उदाहरणार्थ, एखादे कार्य सर्वांसाठी सतत असते, परंतु ते बिंदूवर भिन्न नसते. खरोखर:

मर्यादा अमर्याद आहे, याचा अर्थ बिंदूवर कार्य भिन्न नाही.

प्राथमिक कार्यांचे व्युत्पन्न सारणी

टिप्पणी. भिन्न फंक्शन्समध्ये वापरल्या जाणाऱ्या शक्ती आणि मुळांचे गुणधर्म आठवूया:

डेरिव्हेटिव्ह्ज शोधण्याची उदाहरणे देऊ.

1) .

जटिल कार्याचे व्युत्पन्न

द्या . नंतर फंक्शन चे जटिल कार्य असेल x.

जर फंक्शन बिंदूवर भिन्न असेल x, आणि फंक्शन बिंदूवर भिन्न आहे u, नंतर ते बिंदूवर देखील भिन्न आहे x, आणि

तेव्हा आम्ही अंदाज लावतो. त्यामुळे

पुरेशा कौशल्यासह, एक इंटरमीडिएट व्हेरिएबल uलिहू नका, फक्त मानसिकरित्या प्रविष्ट करा.

विभेदक

एका बिंदूवर सतत फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका काढू एम.टी., द्वारे दर्शवित आहे jअक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे झुकण्याचा कोन ओह.पासून, नंतर त्रिकोणातून MEFत्याचे अनुसरण करते

नोटेशनचा परिचय करून देऊ

या अभिव्यक्ती म्हणतात भिन्नताकार्ये तर

हे लक्षात घेऊन, i.e. स्वतंत्र व्हेरिएबलचे विभेदक त्याच्या वाढीइतके आहे, हे आपण प्राप्त करतो

अशा प्रकारे, फंक्शनचा विभेद त्याच्या व्युत्पन्नाच्या गुणाकार आणि स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या भिन्नता (किंवा वाढीच्या) बरोबर असतो.

शेवटच्या सूत्रावरून ते खालीलप्रमाणे आहे, म्हणजे. फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह हे या फंक्शनच्या डिफरेंशियल आणि ॲर्ग्युमेंटच्या डिफरेंशियलच्या गुणोत्तरासारखे असते.

कार्य भिन्नता dyभौमितीयदृष्ट्या वितर्क D च्या वाढीशी संबंधित स्पर्शिकेच्या ऑर्डिनेटची वाढ दर्शवते एक्स.

आकृतीवरून हे स्पष्ट होते की पुरेसे लहान डी एक्सनिरपेक्ष मूल्यामध्ये, आपण फंक्शनची वाढ त्याच्या भिन्नतेच्या अंदाजे समान घेऊ शकतो, उदा.

एक जटिल कार्य विचारात घ्या, जेथे , आणि संदर्भात भिन्न आहे u, आणि – द्वारे एक्स. जटिल कार्यांच्या भिन्नतेच्या नियमानुसार

या समानतेचा गुणाकार करूया dx:

तेव्हापासून (अंतराच्या व्याख्येनुसार), नंतर

अशाप्रकारे, जर वेरियेबल असेल तर कॉम्प्लेक्स फंक्शनच्या डिफरेंशियलचे स्वरूप समान असते uमध्यवर्ती युक्तिवाद नव्हता, परंतु एक स्वतंत्र चल होता.

या विभेदक गुणधर्माला म्हणतात invariance(अपरिवर्तनीयता) भिन्न आकार.

उदाहरण. .

सर्व भिन्नता नियम भिन्नतेसाठी लिहिले जाऊ शकतात.

द्या - एका बिंदूवर भिन्नता एक्स. मग

चला दुसरा नियम सिद्ध करूया.

अव्यक्त कार्य व्युत्पन्न

व्हेरिएबल्स जोडणारे फॉर्मचे समीकरण देऊ आणि , दिले. जर ते , (सापेक्ष निराकरण) द्वारे स्पष्टपणे व्यक्त केले जाऊ शकत नसेल तर अशा फंक्शनला म्हणतात अव्यक्तपणे दिले. अशा फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी, तुम्हाला समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना भेद करणे आवश्यक आहे, ते एक फंक्शन मानून. परिणामी नवीन समीकरणातून, शोधा.