Memfaktorkan polinomial menggunakan skema Horner. Persamaan dalam matematik yang lebih tinggi Punca rasional polinomial

Dan lain-lain. adalah bersifat pendidikan umum dan sangat penting untuk mempelajari KESELURUHAN kursus matematik tinggi. Hari ini kita akan mengulangi persamaan "sekolah", tetapi bukan hanya persamaan "sekolah" - tetapi yang terdapat di mana-mana dalam pelbagai masalah vyshmat. Seperti biasa, cerita akan disampaikan dengan cara yang diterapkan, i.e. Saya tidak akan menumpukan pada definisi dan klasifikasi, tetapi akan berkongsi dengan anda pengalaman peribadi saya dalam menyelesaikannya. Maklumat ini ditujukan terutamanya untuk pemula, tetapi pembaca yang lebih maju juga akan menemui banyak perkara menarik untuk diri mereka sendiri. Dan, sudah tentu, akan ada bahan baru yang melampaui sekolah menengah.

Jadi persamaan…. Ramai yang mengingati perkataan ini dengan gementar. Apakah persamaan "canggih" dengan nilai akar... ...lupakan! Kerana kemudian anda akan bertemu dengan "wakil" yang paling tidak berbahaya bagi spesies ini. Atau membosankan persamaan trigonometri dengan berpuluh-puluh kaedah penyelesaian. Sejujurnya, saya sendiri tidak menyukai mereka... Jangan panik! – kemudian kebanyakannya "dandelions" menanti anda dengan penyelesaian yang jelas dalam 1-2 langkah. Walaupun "burdock" pasti melekat, anda perlu objektif di sini.

Anehnya, dalam matematik yang lebih tinggi adalah lebih biasa untuk menangani persamaan yang sangat primitif seperti linear persamaan

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan ini? Ini bermakna mencari nilai SEPERTI "x" (akar) yang mengubahnya menjadi kesamaan sebenar. Mari kita baling "tiga" ke kanan dengan perubahan tanda:

dan lepaskan "dua" ke sebelah kanan (atau, perkara yang sama - darab kedua-dua belah dengan) :

Untuk menyemak, mari gantikan trofi yang dimenangi ke dalam persamaan asal:

Kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa nilai yang ditemui sememangnya punca persamaan ini. Atau, seperti yang mereka katakan, memenuhi persamaan ini.

Sila ambil perhatian bahawa akar juga boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan:
Dan cuba untuk tidak berpegang kepada gaya buruk ini! Saya mengulangi sebab lebih daripada sekali, khususnya, pada pelajaran pertama pada algebra yang lebih tinggi.

Dengan cara ini, persamaan juga boleh diselesaikan "dalam bahasa Arab":

Dan apa yang paling menarik ialah rakaman ini benar-benar sah! Tetapi jika anda bukan seorang guru, maka lebih baik tidak melakukan ini, kerana keaslian boleh dihukum di sini =)

Dan sekarang sedikit tentang

kaedah penyelesaian grafik

Persamaan mempunyai bentuk dan puncanya ialah Koordinat "X". titik persimpangan graf fungsi linear dengan graf fungsi linear (paksi x):

Nampaknya contoh itu sangat asas sehingga tidak ada lagi yang perlu dianalisis di sini, tetapi satu lagi nuansa yang tidak dijangka boleh "diperah" daripadanya: mari kita kemukakan persamaan yang sama dalam bentuk dan bina graf fungsi:

Di mana, tolong jangan mengelirukan kedua-dua konsep: persamaan ialah persamaan, dan fungsi– ini adalah fungsi! Fungsi hanya membantu cari punca-punca persamaan. Di antaranya mungkin ada dua, tiga, empat, atau bahkan tidak terhingga banyaknya. Contoh terdekat dalam pengertian ini ialah yang terkenal persamaan kuadratik, algoritma penyelesaian yang menerima perenggan berasingan formula sekolah "panas".. Dan ini bukan kebetulan! Jika anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik dan tahu Teorem Pythagoras, maka, seseorang mungkin berkata, "separuh daripada matematik yang lebih tinggi sudah ada dalam poket anda" =) Berlebihan, sudah tentu, tetapi tidak begitu jauh dari kebenaran!

Oleh itu, jangan malas dan selesaikan beberapa persamaan kuadratik menggunakan algoritma piawai:

, yang bermaksud persamaan mempunyai dua yang berbeza sah akar:

Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa kedua-dua nilai yang ditemui sebenarnya memenuhi persamaan ini:

Apa yang perlu dilakukan jika anda tiba-tiba terlupa algoritma penyelesaian, dan tiada cara/bantuan di tangan? Keadaan ini mungkin timbul, contohnya, semasa ujian atau peperiksaan. Kami menggunakan kaedah grafik! Dan terdapat dua cara: anda boleh membina titik demi titik parabola , dengan itu mengetahui di mana ia bersilang dengan paksi (jika terlintas sama sekali). Tetapi lebih baik melakukan sesuatu yang lebih licik: bayangkan persamaan dalam bentuk, lukis graf fungsi yang lebih mudah - dan Koordinat "X". titik persimpangan mereka jelas kelihatan!


Jika ternyata garis lurus menyentuh parabola, maka persamaan itu mempunyai dua punca yang sepadan (berbilang). Jika ternyata garis lurus tidak bersilang dengan parabola, maka tidak ada akar sebenar.

Untuk melakukan ini, sudah tentu, anda perlu dapat membina graf fungsi asas, tetapi sebaliknya, kanak-kanak sekolah pun boleh melakukan kemahiran ini.

Dan sekali lagi - persamaan ialah persamaan, dan fungsi , adalah fungsi itu hanya membantu selesaikan persamaan!

Dan di sini, omong-omong, adalah sesuai untuk mengingati satu perkara lagi: jika semua pekali persamaan didarab dengan nombor bukan sifar, maka puncanya tidak akan berubah.

Jadi, sebagai contoh, persamaan mempunyai akar yang sama. Sebagai "bukti" mudah, saya akan mengeluarkan pemalar daripada kurungan:
dan saya akan mengeluarkannya tanpa rasa sakit (Saya akan membahagikan kedua-dua bahagian dengan "tolak dua"):

TAPI! Jika kita menganggap fungsi itu, maka kita tidak lagi boleh menyingkirkan pemalar! Ia hanya dibenarkan untuk mengeluarkan pengganda daripada kurungan: .

Ramai orang memandang rendah kaedah penyelesaian grafik, menganggapnya sebagai sesuatu yang "tidak bermaruah," dan ada juga yang melupakan sepenuhnya kemungkinan ini. Dan ini pada asasnya salah, kerana memplot graf kadangkala hanya menyelamatkan keadaan!

Contoh lain: katakan anda tidak ingat punca persamaan trigonometri termudah: . Formula umum terdapat dalam buku teks sekolah, dalam semua buku rujukan tentang matematik rendah, tetapi ia tidak tersedia untuk anda. Walau bagaimanapun, menyelesaikan persamaan adalah kritikal (aka "dua"). Ada jalan keluar! – membina graf fungsi:


selepas itu kami dengan tenang menulis koordinat "X" bagi titik persilangan mereka:

Terdapat banyak punca yang tidak terhingga, dan dalam algebra notasi pekat mereka diterima:
, Di mana ( – set integer) .

Dan, tanpa "pergi", beberapa perkataan tentang kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pembolehubah. Prinsipnya adalah sama. Jadi, sebagai contoh, penyelesaian kepada ketidaksamaan ialah sebarang "x", kerana Sinusoid terletak hampir sepenuhnya di bawah garis lurus. Penyelesaian kepada ketaksamaan ialah set selang di mana kepingan sinusoid terletak betul-betul di atas garis lurus. (paksi-x):

atau, ringkasnya:

Tetapi berikut adalah banyak penyelesaian kepada ketidaksamaan: kosong, kerana tiada titik sinusoid terletak di atas garis lurus.

Adakah terdapat apa-apa yang anda tidak faham? Kaji pelajaran dengan segera tentang set Dan graf fungsi!

Mari memanaskan badan:

Latihan 1

Selesaikan persamaan trigonometri berikut secara grafik:

Jawapan di akhir pelajaran

Seperti yang anda lihat, untuk mempelajari sains tepat, tidak perlu menjejalkan formula dan buku rujukan sama sekali! Lebih-lebih lagi, ini adalah pendekatan yang pada asasnya cacat.

Seperti yang saya telah meyakinkan anda pada awal pelajaran, persamaan trigonometri kompleks dalam kursus standard matematik yang lebih tinggi perlu diselesaikan dengan sangat jarang. Semua kerumitan, sebagai peraturan, berakhir dengan persamaan seperti , penyelesaiannya ialah dua kumpulan punca yang berasal daripada persamaan termudah dan . Jangan terlalu risau tentang menyelesaikan masalah yang terakhir - lihat dalam buku atau cari di Internet =)

Kaedah penyelesaian grafik juga boleh membantu dalam kes yang kurang remeh. Pertimbangkan, sebagai contoh, persamaan "ragtag" berikut:

Prospek untuk penyelesaiannya kelihatan... tidak kelihatan seperti apa-apa, tetapi anda hanya perlu membayangkan persamaan dalam bentuk , bina graf fungsi dan semuanya akan menjadi sangat mudah. Ada lukisan di tengah-tengah artikel tentang fungsi yang sangat kecil (akan dibuka dalam tab seterusnya).

Menggunakan kaedah grafik yang sama, anda boleh mengetahui bahawa persamaan sudah mempunyai dua punca, dan satu daripadanya sama dengan sifar, dan yang lain, nampaknya, tidak rasional dan tergolong dalam segmen . Akar ini boleh dikira lebih kurang, sebagai contoh, kaedah tangen. Dengan cara ini, dalam beberapa masalah, ia berlaku bahawa anda tidak perlu mencari akarnya, tetapi ketahui adakah mereka wujud sama sekali?. Dan di sini juga, lukisan boleh membantu - jika graf tidak bersilang, maka tiada akar.

Punca rasional polinomial dengan pekali integer.
Skim Horner

Dan sekarang saya menjemput anda untuk mengalihkan pandangan anda ke Zaman Pertengahan dan merasai suasana unik algebra klasik. Untuk pemahaman yang lebih baik tentang bahan, saya mengesyorkan anda membaca sekurang-kurangnya sedikit nombor kompleks.

Mereka adalah yang terbaik. Polinomial.

Objek yang diminati kami ialah polinomial yang paling biasa dalam bentuk dengan keseluruhan pekali Nombor asli dipanggil darjah polinomial, nombor – pekali darjah tertinggi (atau hanya pekali tertinggi), dan pekalinya ialah ahli percuma.

Saya secara ringkas akan menyatakan polinomial ini dengan .

Akar-akar polinomial panggil punca persamaan

Saya suka logik besi =)

Sebagai contoh, pergi ke bahagian paling awal artikel:

Tiada masalah dengan mencari punca polinomial darjah 1 dan 2, tetapi apabila anda meningkatkan tugas ini menjadi lebih dan lebih sukar. Walaupun sebaliknya, semuanya lebih menarik! Dan inilah bahagian kedua pelajaran yang akan dikhaskan.

Pertama, secara literal separuh skrin teori:

1) Mengikut akibat teorem asas algebra, polinomial darjah mempunyai tepat kompleks akar. Sesetengah akar (atau semua) mungkin terutamanya sah. Lebih-lebih lagi, di antara akar sebenar mungkin terdapat akar yang sama (berbilang). (minimum dua, maksimum keping).

Jika beberapa nombor kompleks ialah punca polinomial, maka konjugasi bilangannya juga semestinya punca polinomial ini (akar kompleks konjugasi mempunyai bentuk).

Contoh paling mudah ialah persamaan kuadratik, yang pertama kali ditemui pada 8 (suka) kelas, dan yang akhirnya kami "selesaikan" dalam topik nombor kompleks. Biar saya ingatkan anda: persamaan kuadratik mempunyai sama ada dua punca nyata yang berbeza, atau berbilang punca, atau konjugat punca kompleks.

2) Daripada Teorem Bezout ia berikutan bahawa jika nombor adalah punca persamaan, maka polinomial yang sepadan boleh difaktorkan:
, di manakah polinomial darjah .

Dan sekali lagi, contoh lama kami: kerana ialah punca persamaan, maka . Selepas itu tidak sukar untuk mendapatkan pengembangan "sekolah" yang terkenal.

Konsekuensi teorem Bezout mempunyai nilai praktikal yang besar: jika kita mengetahui punca persamaan darjah ke-3, maka kita boleh mewakilinya dalam bentuk dan daripada persamaan kuadratik adalah mudah untuk mengetahui punca yang tinggal. Jika kita mengetahui punca persamaan darjah ke-4, maka adalah mungkin untuk mengembangkan bahagian kiri menjadi produk, dsb.

Dan terdapat dua soalan di sini:

Soalan satu. Bagaimana untuk mencari akar ini? Pertama sekali, mari kita tentukan sifatnya: dalam banyak masalah matematik yang lebih tinggi adalah perlu untuk mencari rasional, khususnya keseluruhan akar polinomial, dan dalam hal ini, kita akan lebih berminat dengannya.... ... mereka sangat baik, sangat gebu, sehingga anda hanya mahu mencarinya! =)

Perkara pertama yang terlintas di fikiran ialah kaedah pemilihan. Pertimbangkan, sebagai contoh, persamaan. Tangkapan di sini adalah dalam istilah bebas - jika ia sama dengan sifar, maka semuanya akan baik-baik saja - kami mengeluarkan "x" daripada kurungan dan akarnya sendiri "jatuh" ke permukaan:

Tetapi istilah bebas kami adalah sama dengan "tiga", dan oleh itu kami mula menggantikan pelbagai nombor ke dalam persamaan yang mendakwa sebagai "akar". Pertama sekali, penggantian nilai tunggal mencadangkan dirinya sendiri. Mari kita gantikan:

Menerima tak betul kesamarataan, oleh itu, unit "tidak sesuai." Baiklah, mari kita gantikan:

Menerima benar kesaksamaan! Iaitu, nilai adalah punca persamaan ini.

Untuk mencari punca polinomial darjah ke-3, terdapat kaedah analisis (formula Cardano yang dipanggil), tetapi kini kami berminat dengan tugas yang sedikit berbeza.

Oleh kerana - ialah punca polinomial kita, polinomial boleh diwakili dalam bentuk dan timbul Soalan kedua: bagaimana untuk mencari "adik lelaki"?

Pertimbangan algebra yang paling mudah mencadangkan bahawa untuk melakukan ini kita perlu membahagikan dengan . Bagaimana untuk membahagikan polinomial dengan polinomial? Kaedah sekolah yang sama yang membahagikan nombor biasa - "lajur"! Saya membincangkan kaedah ini secara terperinci dalam contoh pertama pelajaran. Had Kompleks, dan sekarang kita akan melihat kaedah lain, yang dipanggil Skim Horner.

Mula-mula kita tulis polinomial "tertinggi". dengan semua orang , termasuk pekali sifar:
, selepas itu kami memasukkan pekali ini (mengikut tertib) ke baris atas jadual:

Kami menulis akar di sebelah kiri:

Saya akan segera membuat tempahan bahawa skim Horner juga berfungsi jika nombor "merah". tidak ialah punca polinomial. Namun, janganlah kita tergesa-gesa.

Kami mengeluarkan pekali utama dari atas:

Proses mengisi sel-sel yang lebih rendah agak mengingatkan sulaman, di mana "minus satu" adalah sejenis "jarum" yang meresap ke langkah-langkah berikutnya. Kami mendarab nombor "dibawa ke bawah" dengan (–1) dan menambah nombor dari sel atas kepada produk:

Kami mendarabkan nilai yang ditemui dengan "jarum merah" dan menambah pekali persamaan berikut kepada produk:

Dan akhirnya, nilai yang terhasil sekali lagi "diproses" dengan "jarum" dan pekali atas:

Sifar dalam sel terakhir memberitahu kita bahawa polinomial dibahagikan kepada tanpa jejak (sepatutnya), manakala pekali pengembangan "dialih keluar" terus dari baris bawah jadual:

Oleh itu, kami berpindah dari persamaan kepada persamaan setara dan semuanya jelas dengan dua punca yang tinggal (dalam kes ini kita mendapat akar kompleks konjugat).

Persamaan, dengan cara itu, juga boleh diselesaikan secara grafik: plot "kilat" dan lihat bahawa graf melintasi paksi-x () pada titik. Atau helah "licik" yang sama - kami menulis semula persamaan dalam bentuk , melukis graf asas dan mengesan koordinat "X" bagi titik persilangannya.

Dengan cara ini, graf mana-mana fungsi-polinomial darjah ke-3 bersilang dengan paksi sekurang-kurangnya sekali, yang bermaksud persamaan yang sepadan mempunyai sekurang-kurangnya satu sah akar. Fakta ini adalah benar untuk sebarang fungsi polinomial darjah ganjil.

Dan di sini saya juga ingin berbincang perkara penting yang berkenaan dengan istilah: polinomial Dan fungsi polinomial – ia bukan perkara yang sama! Tetapi dalam amalan mereka sering bercakap, sebagai contoh, tentang "graf polinomial," yang, tentu saja, adalah kecuaian.

Walau bagaimanapun, mari kita kembali kepada skema Horner. Seperti yang saya nyatakan baru-baru ini, skim ini berfungsi untuk nombor lain, tetapi jika nombor itu tidak ialah punca persamaan, maka penambahan bukan sifar (baki) muncul dalam formula kami:

Mari "jalankan" nilai "tidak berjaya" mengikut skema Horner. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan jadual yang sama - tulis "jarum" baru di sebelah kiri, gerakkan pekali utama dari atas (anak panah hijau kiri), dan kita pergi:

Untuk menyemak, mari buka kurungan dan kemukakan istilah yang serupa:
, OKEY.

Adalah mudah untuk melihat bahawa baki (“enam”) adalah betul-betul nilai polinomial pada . Dan sebenarnya - bagaimana rasanya:
, dan lebih bagus lagi - seperti ini:

Daripada pengiraan di atas adalah mudah untuk memahami bahawa skema Horner membenarkan bukan sahaja untuk memfaktorkan polinomial, tetapi juga untuk menjalankan pemilihan akar "bertamadun". Saya cadangkan anda menyatukan sendiri algoritma pengiraan dengan tugas kecil:

Tugasan 2

Menggunakan skema Horner, cari punca integer bagi persamaan dan faktorkan polinomial yang sepadan

Dalam erti kata lain, di sini anda perlu menyemak secara berurutan nombor 1, –1, 2, –2, ... – sehingga baki sifar “dilukis” dalam lajur terakhir. Ini bermakna bahawa "jarum" baris ini ialah punca polinomial

Adalah mudah untuk mengatur pengiraan dalam satu jadual. Penyelesaian dan jawapan terperinci pada akhir pelajaran.

Kaedah memilih akar adalah baik untuk kes yang agak mudah, tetapi jika pekali dan/atau darjah polinomial adalah besar, maka prosesnya mungkin mengambil masa yang lama. Atau mungkin terdapat beberapa nilai dari senarai 1, –1, 2, –2 yang sama dan tidak ada gunanya untuk dipertimbangkan? Dan, selain itu, akarnya mungkin menjadi pecahan, yang akan membawa kepada pencucuk yang tidak saintifik.

Nasib baik, terdapat dua teorem kuat yang boleh mengurangkan pencarian nilai "calon" untuk akar rasional dengan ketara:

Teorem 1 Mari kita pertimbangkan tidak dapat dikurangkan pecahan , di mana . Jika nombor adalah punca persamaan, maka sebutan bebas dibahagikan dengan dan pekali pendahuluan dibahagikan dengan.

khususnya, jika pekali utama ialah , maka punca rasional ini ialah integer:

Dan kami mula mengeksploitasi teorem dengan hanya perincian lazat ini:

Mari kita kembali kepada persamaan. Oleh kerana pekali utamanya ialah , maka punca rasional hipotetikal boleh menjadi integer secara eksklusif, dan sebutan bebas semestinya mesti dibahagikan kepada punca ini tanpa baki. Dan "tiga" hanya boleh dibahagikan kepada 1, -1, 3 dan -3. Iaitu, kita hanya mempunyai 4 "calon akar". Dan, menurut Teorem 1, nombor rasional lain tidak boleh menjadi punca persamaan ini DALAM PRINSIP.

Terdapat sedikit lagi "pesaing" dalam persamaan: istilah bebas dibahagikan kepada 1, -1, 2, - 2, 4 dan -4.

Sila ambil perhatian bahawa nombor 1, -1 adalah "biasa" senarai punca yang mungkin (akibat yang jelas daripada teorem) dan pilihan terbaik untuk ujian keutamaan.

Mari kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna:

Masalah 3

Penyelesaian: oleh kerana pekali pendahulu ialah , maka punca rasional hipotetikal hanya boleh menjadi integer, dan ia semestinya menjadi pembahagi bagi sebutan bebas. “Tolak empat puluh” dibahagikan kepada pasangan nombor berikut:
– seramai 16 “calon”.

Dan di sini pemikiran yang menggoda segera muncul: adakah mungkin untuk menyingkirkan semua negatif atau semua akar positif? Dalam beberapa kes, ia mungkin! Saya akan merumuskan dua tanda:

1) Jika Semua Jika pekali polinomial adalah bukan negatif atau semua bukan positif, maka ia tidak boleh mempunyai punca positif. Malangnya, ini bukan kes kami (Sekarang, jika kami diberi persamaan - maka ya, apabila menggantikan sebarang nilai polinomial, nilai polinomial adalah positif, yang bermaksud bahawa semua nombor positif (dan yang tidak rasional juga) tidak boleh menjadi punca persamaan.

2) Jika pekali untuk kuasa ganjil adalah bukan negatif, dan untuk semua kuasa genap (termasuk ahli percuma) adalah negatif, maka polinomial tidak boleh mempunyai punca negatif. Atau "cermin": pekali untuk kuasa ganjil adalah tidak positif, dan untuk semua kuasa genap ia adalah positif.

Ini kes kami! Melihat sedikit lebih dekat, anda dapat melihat bahawa apabila menggantikan mana-mana "X" negatif ke dalam persamaan, bahagian kiri akan menjadi negatif sepenuhnya, yang bermaksud bahawa punca negatif hilang

Oleh itu, terdapat 8 nombor yang tinggal untuk penyelidikan:

Kami "mengecas" mereka secara berurutan mengikut skema Horner. Saya harap anda telah menguasai pengiraan mental:

Nasib menanti kami apabila menguji "dua". Oleh itu, ialah punca persamaan yang sedang dipertimbangkan, dan

Ia kekal untuk mengkaji persamaan . Ini mudah dilakukan melalui diskriminasi, tetapi saya akan menjalankan ujian indikatif menggunakan skema yang sama. Pertama, mari kita ambil perhatian bahawa istilah bebas adalah sama dengan 20, yang bermaksud Teorem 1 nombor 8 dan 40 keluar dari senarai kemungkinan akar, meninggalkan nilai untuk penyelidikan (satu telah dihapuskan mengikut skema Horner).

Kami menulis pekali trinomial di baris atas jadual baharu dan Kami mula menyemak dengan "dua" yang sama. kenapa? Dan kerana punca boleh gandaan, sila: - persamaan ini mempunyai 10 punca yang sama. Tetapi janganlah kita terganggu:

Dan di sini, sudah tentu, saya berbohong sedikit, mengetahui bahawa akarnya adalah rasional. Lagipun, jika mereka tidak rasional atau kompleks, maka saya akan berhadapan dengan semakan yang tidak berjaya untuk semua nombor yang tinggal. Oleh itu, dalam amalan, berpandukan kepada diskriminasi.

Jawab: punca rasional: 2, 4, 5

Dalam masalah yang kami analisis, kami bernasib baik, kerana: a) nilai negatif serta-merta jatuh, dan b) kami menemui akarnya dengan cepat (dan secara teorinya kami boleh menyemak keseluruhan senarai).

Tetapi pada hakikatnya keadaan lebih teruk. Saya menjemput anda untuk menonton permainan menarik yang dipanggil "The Last Hero":

Masalah 4

Cari punca rasional bagi persamaan itu

Penyelesaian: Oleh Teorem 1 pengangka bagi punca rasional hipotetikal mesti memenuhi syarat (kita baca "dua belas dibahagikan dengan el"), dan penyebutnya sepadan dengan keadaan . Berdasarkan ini, kami mendapat dua senarai:

"senarai el":
dan "senarai um": (nasib baik, nombor di sini adalah semula jadi).

Sekarang mari kita buat senarai semua akar yang mungkin. Pertama, kami membahagikan "senarai el" dengan . Adalah jelas bahawa nombor yang sama akan diperolehi. Untuk kemudahan, mari letakkannya dalam jadual:

Banyak pecahan telah dikurangkan, menghasilkan nilai yang sudah ada dalam "senarai wira". Kami hanya menambah "pemula":

Begitu juga, kami membahagikan "senarai" yang sama dengan:

dan akhirnya pada

Oleh itu, pasukan peserta dalam permainan kami selesai:


Malangnya, polinomial dalam masalah ini tidak memenuhi kriteria "positif" atau "negatif", dan oleh itu kita tidak boleh membuang baris atas atau bawah. Anda perlu bekerja dengan semua nombor.

Apa perasaan awak? Ayuh, bangunkan kepala anda - terdapat satu lagi teorem yang secara kiasan boleh dipanggil "teorem pembunuh"…. ...“calon”, sudah tentu =)

Tetapi pertama-tama anda perlu menatal melalui rajah Horner untuk sekurang-kurangnya satu keseluruhan nombor. Secara tradisinya, mari kita ambil satu. Di baris atas kita menulis pekali polinomial dan semuanya adalah seperti biasa:

Oleh kerana empat jelas bukan sifar, nilai itu bukan punca polinomial yang dimaksudkan. Tetapi dia akan banyak membantu kita.

Teorem 2 Jika bagi sesetengah orang secara umum nilai polinomial ialah bukan sifar: , maka punca rasionalnya (jika mereka) memenuhi syarat

Dalam kes kami dan oleh itu semua akar yang mungkin mesti memenuhi syarat (kita panggil Syarat No. 1). Empat orang ini akan menjadi "pembunuh" ramai "calon". Sebagai demonstrasi, saya akan melihat beberapa semakan:

Jom semak "calon". Untuk melakukan ini, marilah kita mewakilinya secara buatan dalam bentuk pecahan, yang daripadanya jelas dilihat bahawa . Jom kira beza ujian: . Empat dibahagikan dengan "tolak dua": , yang bermaksud bahawa punca yang mungkin telah lulus ujian.

Mari semak nilai. Di sini perbezaan ujian ialah: . Sudah tentu, dan oleh itu "subjek" kedua juga kekal dalam senarai.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang skema mudah untuk menyelesaikan contoh pembahagian polinomial. Jika kita perlu mengira pekali bagi hasil P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 dan baki pembahagian polinomial dengan binomial linear x - s, maka ia akan menjadi mudah untuk menggunakan skema Horner (kaedah).

Ia terdiri daripada mencipta jadual khas dan memasukkan data awal ke dalamnya:

Nombor b n, b n - 1, b n - 2, . . . , b 1 dan akan menjadi pekali pembahagian yang kita perlukan P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pada x - s . Bakinya ditetapkan di sini sebagai b 0 . Jika tidak, anda boleh menulis penyelesaian seperti ini:

Sekarang kami akan menunjukkan cara tepat untuk menggunakan skim ini dalam amalan.

Contoh 1

keadaan: bahagikan polinomial 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 dengan binomial linear x - 1 menggunakan skema Horner.

Penyelesaian

Jom penuhkan jadual. Kami mempunyai s sama dengan satu, dan pekali a 4 = 2, a 3 = - 3, a 2 = - 1, a 1 = 4, a 0 = 13.

Jawapan: kita mendapat hasil bahagi yang sama dengan b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2, dan baki b 0 = 15.

Dalam tugas kedua kami akan lakukan tanpa ulasan terperinci.

Contoh 2

keadaan: Tentukan sama ada polinomial 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 boleh dibahagikan dengan binomial x + 1 2 tanpa baki. Kira hasil bagi.

Penyelesaian

Mari kita isi jadual mengikut skema Horner.

Dalam sel terakhir kita melihat baki sifar, oleh itu, kita boleh membahagikan polinomial asal dengan binomial.

Jawapan: hasil bagi ialah polinomial 2 x 2 - 12 x + 18.

Jika b 0 = 0, maka kita boleh bercakap tentang kebolehbahagi polinomial P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 oleh binomial x - s, dan kita mempunyai punca polinomial asal sama dengan s. Menggunakan akibat daripada teorem Bezout, kita boleh mewakili polinomial ini sebagai hasil darab:

P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + . . . + b 1)

Terima kasih kepada ini, skema Horner sangat sesuai untuk kes-kes apabila anda perlu mencari punca integer bagi persamaan darjah lebih tinggi yang mempunyai pekali integer, atau menguraikan polinomial kepada faktor mudah.

Contoh 3

keadaan: selesaikan persamaan x 3 - 7 x - 6 = 0. Faktorkan polinomial di sebelah kiri ke dalam faktor individunya.

Penyelesaian

Kita tahu bahawa keseluruhan punca persamaan (jika ada) mesti dicari di kalangan pembahagi istilah bebas. Mari tulis secara berasingan 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 dan semaknya menggunakan skema Horner.

Daripada data jadual adalah jelas bahawa perpaduan tidak akan menjadi salah satu punca persamaan ini.

Mari tambah satu lagi punca yang mungkin pada jadual.

Tetapi - 1 adalah sesuai, yang bermaksud kita boleh mewakili polinomial asal sebagai x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) .

Ia berikutan daripada ini bahawa - 1 tidak akan menjadi punca berganda (berulang). Kami mengambil pilihan berikut dan mengira:

Nombor 2 bukan salah satu punca persamaan. Mari tambah jadual Horner untuk x = - 2:

Tolak dua akan menjadi punca persamaan asal. Kita boleh menulis polinomial seperti ini:

x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

Punca ketiga dan akhir persamaan akan sama dengan tiga. Mari kita selesaikan mengisi jadual dengan mengambil nilai baris terakhir yang diterima sebagai pekali:

Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa jadual terakhir yang diperoleh, diisi menggunakan kaedah Horner, akan menjadi penyelesaian kepada contoh kita. Masalah ini juga boleh diselesaikan dengan membahagikan polinomial dengan binomial linear dengan lajur, tetapi rajah yang ditunjukkan di sini adalah lebih jelas dan ringkas.

Jawapan: x = - 1 , x = - 2 , x = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Sebelum ini, konsep polinomial ditakrifkan sebagai jumlah algebra bagi monomial. Jika semua monomial serupa polinomial diberikan dan disusun dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah, maka rekod yang terhasil dipanggil notasi kanonik polinomial.

Definisi. Ungkapan bentuk

di mana x– beberapa pembolehubah, nombor nyata, dan , dipanggil polinomial darjah n daripada pembolehubah x . Ijazah polinomial ialah kuasa terbesar pembolehubah dalam tatatanda kanoniknya. Jika pembolehubah tidak muncul dalam tatatanda polinomial, i.e. polinomial adalah sama dengan pemalar, darjahnya dianggap sama dengan 0. Kes apabila polinomial mesti dipertimbangkan secara berasingan. Dalam kes ini, diterima umum bahawa ijazahnya tidak ditentukan.

Contoh. polinomial darjah kedua,

polinomial darjah kelima.

Definisi. Dua polinomial sama rata jika dan hanya jika mereka mempunyai pekali yang sama dalam bentuk kanonik mereka pada kuasa yang sama.

Definisi. Nombor dipanggil punca polinomial, jika apabila menetapkan nombor ini sebaliknya x Polinomial mengambil nilai 0, i.e. Dalam erti kata lain, akan menjadi punca persamaan

Oleh itu, masalah mencari semua punca polinomial dan punca-punca persamaan rasional adalah satu masalah yang sama.

Persamaan rasional darjah pertama dan kedua diselesaikan menggunakan algoritma yang diketahui. Terdapat juga formula untuk mencari punca polinomial darjah ketiga dan keempat (rumus Cardano dan Ferrari), tetapi kerana kerumitannya, ia tidak termasuk dalam kursus matematik asas.

Idea umum untuk mencari punca polinomial darjah yang lebih tinggi adalah untuk memfaktorkan polinomial dan menggantikan persamaan dengan set persamaan yang setara dengan darjah yang lebih rendah.

Dalam topik sebelumnya, cara utama pemfaktoran polinomial telah diperhatikan: mengambil faktor sepunya; kumpulan; rumus pendaraban yang disingkatkan.

Walau bagaimanapun, kaedah pengelompokan tidak bersifat algoritma, jadi sukar untuk mengaplikasikannya pada polinomial darjah besar. Mari kita pertimbangkan beberapa teorem dan kaedah tambahan yang membolehkan kita memfaktorkan polinomial darjah yang lebih tinggi.

Teorem pembahagian dengan baki. Biarkan polinomial diberikan, dan darjahnya berbeza daripada 0, dan darjahnya lebih besar daripada darjah. Kemudian wujud polinomial supaya persamaan

Selain itu, ijazah yang kurang daripada ijazah dipanggil polinomial boleh dibahagikan, polinomial pembahagi, polinomial peribadi yang tidak lengkap, dan polinomial peringatan .

Jika baki bahagian ialah 0, maka kita katakan itu saham pada sepenuhnya, dan persamaan mengambil bentuk:

Algoritma untuk membahagi polinomial dengan polinomial adalah serupa dengan algoritma untuk membahagi nombor dengan nombor dengan lajur atau sudut. Mari kita terangkan langkah-langkah algoritma.

Tulis dividen pada garis, termasuk semua kuasa pembolehubah (tulis yang hilang dengan pekali 0).

Tuliskan dividen di "sudut", termasuk semua kuasa pembolehubah.

Untuk mencari sebutan pertama (monomial) dalam hasil bahagi tidak lengkap, anda perlu membahagikan monomial utama dividen dengan monomial utama pembahagi.

Darab sebutan pertama hasil bagi dengan keseluruhan pembahagi dan tulis hasilnya di bawah dividen, dan tulis kuasa pembolehubah yang sama di bawah satu sama lain.

Tolak produk yang terhasil daripada dividen.

Gunakan algoritma pada baki yang terhasil, bermula dari titik 1).

Algoritma selesai apabila perbezaan yang terhasil mempunyai darjah kurang daripada darjah pembahagi. Ini adalah bakinya.

Contoh. Bahagikan polinomial dengan .

Menulis dividen dan pembahagi

Ulangi prosedur

Darjahnya kurang daripada darjah pembahagi. Jadi ini adalah bakinya. Hasil pembahagian akan ditulis seperti ini:

Skim Horner. Jika pembahagi ialah polinomial darjah pertama, maka prosedur pembahagian boleh dipermudahkan. Pertimbangkan algoritma untuk membahagi polinomial dengan binomial.

Contoh. Bahagikan polinomial dengan skema Horner. Dalam kes ini A=2. Mari kita tuliskan hasil pelaksanaan algoritma langkah demi langkah.

Oleh itu, kami menulis hasil pembahagian seperti berikut

Komen. Jika anda perlu membahagi dengan binomial

Kemudian ia ditukar kepada bentuk kemudian. Daripada ini adalah jelas bahawa, membahagikan dengan skema Horner dengan kita akan mendapati hasil bahagi yang dikehendaki akan diperolehi dengan membahagikan apa yang ditemui oleh A. Selebihnya tetap sama.

Teorem Bezout. Baki apabila membahagi polinomial dengan adalah sama dengan nilai polinomial pada titik itu x = A, iaitu . Polinomial boleh dibahagikan dengan tanpa baki jika dan hanya jika x = A ialah punca polinomial.

Oleh itu, setelah menemui satu punca polinomial A , kita boleh memfaktorkannya dengan memilih faktor yang mempunyai ijazah kurang satu daripada ijazah. Pengganda ini boleh didapati sama ada menggunakan skema Horner atau dengan membahagi dengan sudut.

Persoalan mencari punca diselesaikan sama ada dengan pemilihan atau dengan menggunakan teorem pada punca rasional polinomial.

Teorem. Biarkan polinomial mempunyai pekali integer. Jika pecahan tidak dapat dikurangkan ialah punca polinomial, maka pengangkanya hlm ialah pembahagi bagi sebutan bebas, dan penyebut q ialah pembahagi bagi pekali pendahulu.

Teorem ini mendasari algoritma untuk mencari punca rasional polinomial (jika ada).

Penguraian pecahan algebra kepada hasil tambah pecahan mudah

Definisi Pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi polinomial dipanggil pecahan algebra .

Mari kita pertimbangkan pecahan algebra bagi satu pembolehubah. Mereka boleh ditulis dalam bentuk umum seperti berikut: , di mana pengangka mengandungi polinomial darjah n, penyebutnya ialah polinomial darjah k. Jika , maka pecahan itu dipanggil betul .

KEPADA pecahan algebra mudah Terdapat dua jenis pecahan wajar:

Teorem. Mana-mana pecahan algebra boleh diwakili sebagai hasil tambah pecahan algebra termudah.

Algoritma untuk menguraikan pecahan algebra kepada hasil tambah pecahan mudah.

Faktorkan penyebut.

Tentukan bilangan pecahan wajar dan jenis penyebutnya.

Tuliskan suatu kesamaan, di sebelah kirinya ialah pecahan asal, di sebelah kanan ialah hasil tambah pecahan termudah dengan pekali yang tidak ditentukan.

Kurangkan pecahan di sebelah kanan kepada penyebut sepunya.

Samakan polinomial dalam pengangka pecahan. Menggunakan takrifan kesamaan polinomial, cipta sistem persamaan linear dan selesaikannya dengan mencari pekali yang tidak ditentukan.

Laman web "Tutor Matematik Profesional" meneruskan siri artikel metodologi tentang pengajaran. Saya menerbitkan penerangan tentang kaedah kerja saya dengan topik yang paling kompleks dan bermasalah dalam kurikulum sekolah. Bahan ini akan berguna kepada guru dan tutor dalam matematik yang bekerja dengan pelajar dalam gred 8-11 dalam program biasa dan dalam program kelas matematik.

Seorang tutor matematik tidak boleh selalu menerangkan bahan yang kurang disampaikan dalam buku teks. Malangnya, topik sebegini semakin banyak, dan ralat pembentangan berikutan pengarang manual dibuat secara beramai-ramai. Ini terpakai bukan sahaja kepada tutor matematik permulaan dan tutor sambilan (tutor ialah pelajar dan tutor universiti), tetapi juga kepada guru berpengalaman, tutor profesional, tutor yang mempunyai pengalaman dan kelayakan. Tidak semua tutor matematik mempunyai bakat membetulkan tepi kasar secara cekap dalam buku teks sekolah. Tidak semua orang juga memahami bahawa pembetulan (atau penambahan) ini adalah perlu. Beberapa kanak-kanak terlibat dalam menyesuaikan bahan untuk persepsi kualitatifnya oleh kanak-kanak. Malangnya, masa telah berlalu apabila guru matematik, bersama ahli metodologi dan pengarang penerbitan, membincangkan secara beramai-ramai setiap huruf buku teks. Sebelum ini, sebelum mengeluarkan buku teks ke sekolah, analisis serius dan kajian hasil pembelajaran telah dijalankan. Masanya telah tiba untuk amatur yang berusaha untuk menjadikan buku teks universal, menyesuaikannya dengan piawaian kelas matematik yang kukuh.

Perlumbaan untuk meningkatkan jumlah maklumat hanya membawa kepada penurunan dalam kualiti asimilasinya dan, sebagai akibatnya, penurunan tahap pengetahuan sebenar dalam matematik. Tetapi tiada siapa yang memberi perhatian kepada perkara ini. Dan anak-anak kita dipaksa, sudah berada di gred ke-8, untuk mengkaji apa yang kita pelajari di institut: teori kebarangkalian, menyelesaikan persamaan darjah tinggi dan sesuatu yang lain. Penyesuaian bahan dalam buku untuk persepsi penuh kanak-kanak meninggalkan banyak yang diingini, dan seorang tutor matematik terpaksa menangani perkara ini.

Mari kita bincangkan tentang metodologi untuk mengajar topik khusus seperti "membahagikan polinomial dengan polinomial dengan sudut," yang lebih dikenali dalam matematik dewasa sebagai "teorem Bezout dan skema Horner." Hanya beberapa tahun yang lalu, soalan itu tidak begitu mendesak untuk tutor matematik, kerana ia bukan sebahagian daripada kurikulum sekolah utama. Sekarang pengarang buku teks yang dihormati, disunting oleh Teleyakovsky, telah membuat perubahan pada edisi terkini tentang apa yang, pada pendapat saya, buku teks terbaik, dan, setelah merosakkannya sepenuhnya, hanya menambah kebimbangan yang tidak perlu kepada tutor. Guru sekolah dan kelas yang tidak mempunyai status matematik, memberi tumpuan kepada inovasi pengarang, mula lebih kerap memasukkan perenggan tambahan dalam pelajaran mereka, dan kanak-kanak yang ingin tahu, melihat halaman indah buku teks matematik mereka, semakin bertanya tutor: “Apakah pembahagian tepi sudut ini? Adakah kita akan melalui ini? Bagaimana untuk berkongsi sudut? Tidak ada lagi yang berselindung daripada soalan langsung seperti itu. Tutor perlu memberitahu kanak-kanak itu sesuatu.

Tetapi sebagai? Saya mungkin tidak akan menerangkan kaedah bekerja dengan topik itu jika ia telah dibentangkan dengan cekap dalam buku teks. Bagaimana semuanya berjalan dengan kita? Buku teks perlu dicetak dan dijual. Dan untuk ini mereka perlu dikemas kini dengan kerap. Adakah guru universiti mengadu bahawa kanak-kanak datang kepada mereka dengan kepala kosong, tanpa pengetahuan dan kemahiran? Adakah keperluan untuk pengetahuan matematik meningkat? Hebat! Mari kita keluarkan beberapa latihan dan sebaliknya masukkan topik yang dipelajari dalam program lain. Mengapa buku teks kita lebih teruk? Kami akan memasukkan beberapa bab tambahan. Pelajar sekolah tidak tahu peraturan membahagi sudut? Ini adalah matematik asas. Perenggan ini harus dijadikan pilihan, bertajuk "untuk mereka yang ingin mengetahui lebih lanjut." Tutor menentangnya? Mengapa kita mengambil berat tentang tutor secara umum? Ahli metodologi dan guru sekolah juga menentangnya? Kami tidak akan merumitkan bahan dan akan mempertimbangkan bahagian paling mudahnya.

Dan di sinilah ia bermula. Kesederhanaan topik dan kualiti asimilasinya terletak, pertama sekali, dalam memahami logiknya, dan bukan dalam melaksanakan, mengikut arahan pengarang buku teks, satu set operasi tertentu yang tidak jelas berkaitan antara satu sama lain . Jika tidak, akan ada kabus di kepala pelajar. Jika pengarang menyasarkan pelajar yang agak kuat (tetapi belajar dalam program biasa), maka anda tidak seharusnya membentangkan topik dalam borang arahan. Apa yang kita lihat dalam buku teks? Anak-anak, kita mesti membahagikan mengikut peraturan ini. Dapatkan polinomial di bawah sudut. Oleh itu, polinomial asal akan difaktorkan. Walau bagaimanapun, adalah tidak jelas untuk memahami mengapa istilah di bawah sudut dipilih dengan cara ini, mengapa ia mesti didarab dengan polinomial di atas sudut, dan kemudian ditolak daripada baki semasa. Dan yang paling penting, tidak jelas mengapa monomial yang dipilih akhirnya mesti ditambah dan mengapa kurungan yang terhasil akan menjadi pengembangan polinomial asal. Mana-mana ahli matematik yang cekap akan meletakkan tanda soal yang berani di atas penjelasan yang diberikan dalam buku teks.

Saya membawa kepada perhatian tutor dan guru matematik penyelesaian saya kepada masalah itu, yang secara praktikal menjadikan semua yang dinyatakan dalam buku teks jelas kepada pelajar. Malah, kita akan membuktikan teorem Bezout: jika nombor a ialah punca polinomial, maka polinomial ini boleh diuraikan kepada faktor, salah satunya ialah x-a, dan yang kedua diperoleh daripada yang asal dalam salah satu daripada tiga cara: dengan mengasingkan faktor linear melalui penjelmaan, dengan membahagi dengan sudut, atau dengan skema Horner. Dengan rumusan ini, lebih mudah bagi seorang tutor matematik untuk bekerja.

Apakah metodologi pengajaran? Pertama sekali, ini adalah susunan yang jelas dalam urutan penjelasan dan contoh berdasarkan kesimpulan matematik yang dibuat. Topik ini tidak terkecuali. Adalah sangat penting bagi seorang tutor matematik untuk memperkenalkan kanak-kanak kepada teorem Bezout sebelum dibahagi dengan sudut. Ianya sangat penting! Adalah lebih baik untuk mendapatkan pemahaman menggunakan contoh tertentu. Mari kita ambil beberapa polinomial dengan akar yang dipilih dan tunjukkan teknik pemfaktorannya menjadi faktor menggunakan kaedah transformasi identiti, yang biasa kepada pelajar sekolah dari gred ke-7. Dengan penerangan, penekanan dan petua yang sesuai disertakan daripada tutor matematik, bahan tersebut boleh disampaikan tanpa sebarang pengiraan matematik am, pekali dan kuasa yang sewenang-wenangnya.

Nasihat penting untuk tutor matematik- ikut arahan dari awal hingga akhir dan jangan ubah urutan ini.

Jadi, katakan bahawa kita mempunyai polinomial. Jika kita menggantikan nombor 1 dan bukannya X, maka nilai polinomial akan sama dengan sifar. Oleh itu x=1 ialah puncanya. Mari kita cuba menguraikannya kepada dua sebutan supaya satu daripadanya adalah hasil darab ungkapan linear dan beberapa monomial, dan yang kedua mempunyai darjah satu kurang daripada . Iaitu, mari kita mewakilinya dalam bentuk

Kami memilih monomial untuk medan merah supaya apabila didarab dengan sebutan utama, ia bertepatan sepenuhnya dengan sebutan utama polinomial asal. Jika pelajar itu bukan yang paling lemah, maka dia akan cukup mampu memberitahu tutor matematik ungkapan yang diperlukan: . Tutor harus segera diminta untuk memasukkannya ke dalam medan merah dan menunjukkan apa yang akan berlaku apabila ia dibuka. Adalah lebih baik untuk menandatangani polinomial sementara maya ini di bawah anak panah (di bawah foto kecil), menyerlahkannya dengan beberapa warna, sebagai contoh, biru. Ini akan membantu anda memilih istilah untuk medan merah, dipanggil baki pemilihan. Saya akan menasihati tutor untuk menunjukkan di sini bahawa baki ini boleh didapati dengan penolakan. Menjalankan operasi ini kami mendapat:



Tutor matematik harus menarik perhatian pelajar kepada fakta bahawa dengan menggantikan satu ke dalam kesamaan ini, kita dijamin mendapat sifar di sebelah kirinya (kerana 1 ialah punca polinomial asal), dan di sebelah kanan, jelas sekali, kita juga akan mensifarkan penggal pertama. Ini bermakna tanpa sebarang pengesahan kita boleh mengatakan bahawa satu adalah punca "baki hijau".

Mari kita berurusan dengannya dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan dengan polinomial asal, mengasingkan daripadanya faktor linear yang sama. Tutor matematik melukis dua bingkai di hadapan pelajar dan meminta mereka mengisi dari kiri ke kanan.



Pelajar memilih untuk tutor monomial untuk medan merah supaya, apabila didarab dengan sebutan utama bagi ungkapan linear, ia memberikan sebutan utama bagi polinomial mengembang. Kami memasukkannya ke dalam bingkai, segera buka kurungan dan serlahkan dalam warna biru ungkapan yang perlu ditolak daripada yang lipat. Menjalankan operasi ini kita dapat



Dan akhirnya, melakukan perkara yang sama dengan baki terakhir



kita akan dapat akhirnya



Sekarang mari kita keluarkan ungkapan daripada kurungan dan kita akan melihat penguraian polinomial asal kepada faktor, salah satunya ialah "x tolak akar yang dipilih."

Agar pelajar tidak berfikir bahawa "baki hijau" terakhir secara tidak sengaja terurai menjadi faktor yang diperlukan, tutor matematik harus menunjukkan sifat penting semua baki hijau - setiap daripadanya mempunyai punca 1. Oleh kerana darjah baki ini berkurangan, maka walau apa pun darjah permulaan tidak kira berapa banyak polinomial diberikan kepada kita, lambat laun kita akan mendapat "baki hijau" linear dengan akar 1, dan oleh itu ia semestinya akan terurai menjadi hasil darab tertentu. nombor dan ungkapan.

Selepas kerja persediaan sedemikian, tidak sukar bagi seorang tutor matematik untuk menerangkan kepada pelajar apa yang berlaku apabila membahagi dengan sudut. Ini adalah proses yang sama, hanya dalam bentuk yang lebih pendek dan lebih padat, tanpa tanda yang sama dan tanpa menulis semula istilah yang diserlahkan yang sama. Polinomial dari mana faktor linear diekstrak ditulis di sebelah kiri sudut, monomial merah yang dipilih dikumpulkan pada sudut (kini menjadi jelas mengapa ia perlu ditambah), untuk mendapatkan "polinomial biru", "merah ” yang mesti didarab dengan x-1, dan kemudian ditolak daripada yang dipilih pada masa ini bagaimana ini dilakukan dalam pembahagian nombor biasa ke dalam lajur (di sini adalah analogi dengan apa yang telah dikaji sebelum ini). "Sisa hijau" yang terhasil adalah tertakluk kepada pengasingan baru dan pemilihan "monomial merah". Dan seterusnya sehingga anda mendapat sifar "imbangan hijau". Perkara yang paling penting ialah pelajar memahami nasib seterusnya bagi polinomial bertulis di atas dan di bawah sudut. Jelas sekali, ini adalah kurungan yang produknya sama dengan polinomial asal.

Peringkat seterusnya dalam kerja tutor matematik ialah penggubalan teorem Bezout. Malah, perumusannya dengan pendekatan tutor ini menjadi jelas: jika nombor a ialah punca polinomial, maka ia boleh difaktorkan, salah satunya ialah , dan satu lagi diperoleh daripada nombor asal dalam salah satu daripada tiga cara. :

• penguraian langsung (sama dengan kaedah pengelompokan)
• membahagi dengan sudut (dalam lajur)
• melalui litar Horner

Harus dikatakan bahawa tidak semua tutor matematik menunjukkan gambar rajah horner kepada pelajar, dan tidak semua guru sekolah (nasib baik untuk tutor itu sendiri) mendalami topik semasa pelajaran. Walau bagaimanapun, bagi pelajar kelas matematik, saya tidak nampak sebab untuk berhenti di bahagian panjang. Selain itu, yang paling mudah dan cepat Teknik penguraian adalah berdasarkan tepat pada skema Horner. Untuk menerangkan kepada kanak-kanak dari mana asalnya, cukup untuk mengesan, menggunakan contoh pembahagian dengan sudut, penampilan pekali yang lebih tinggi dalam baki hijau. Ia menjadi jelas bahawa pekali utama polinomial awal dibawa ke dalam pekali "monomial merah" pertama, dan seterusnya dari pekali kedua polinomial atas semasa ditolak hasil darab pekali semasa "monomial merah" dengan . Oleh itu adalah mungkin Tambah hasil darab dengan . Selepas menumpukan perhatian pelajar pada spesifik tindakan dengan pekali, tutor matematik boleh menunjukkan bagaimana tindakan ini biasanya dilakukan tanpa merekodkan pembolehubah itu sendiri. Untuk melakukan ini, adalah mudah untuk memasukkan punca dan pekali polinomial asal mengikut keutamaan dalam jadual berikut:



Jika sebarang darjah tiada dalam polinomial, pekali sifarnya dipaksa ke dalam jadual. Pekali "polinomial merah" ditulis secara bergilir-gilir di baris bawah mengikut peraturan "cangkuk":


Akar didarab dengan pekali merah terakhir, ditambah kepada pekali seterusnya di baris atas, dan hasilnya ditulis ke garis bawah. Dalam lajur terakhir, kami dijamin mendapat pekali tertinggi bagi "baki hijau" terakhir, iaitu sifar. Selepas proses selesai, nombor diapit di antara akar yang dipadankan dan baki sifar berubah menjadi pekali bagi faktor kedua (bukan linear).



Memandangkan punca a memberikan sifar pada penghujung garis bawah, skema Horner boleh digunakan untuk menyemak nombor bagi tajuk punca polinomial. Jika teorem khas mengenai pemilihan punca rasional. Semua calon untuk gelaran ini yang diperolehi dengan bantuannya hanya dimasukkan secara bergilir-gilir dari kiri ke dalam rajah Horner. Sebaik sahaja kita mendapat sifar, nombor yang diuji akan menjadi punca, dan pada masa yang sama kita akan mendapat pekali pemfaktoran polinomial asal pada garisnya. Sangat selesa.

Sebagai kesimpulan, saya ingin ambil perhatian bahawa untuk memperkenalkan skema Horner dengan tepat, serta untuk menyatukan topik secara praktikal, seorang tutor matematik mesti mempunyai bilangan jam yang mencukupi untuk digunakan. Seorang tutor yang bekerja dengan rejim "sekali seminggu" tidak sepatutnya terlibat dalam bahagian sudut. Pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam Matematik dan Akademi Matematik dalam Matematik Negeri, tidak mungkin pada bahagian pertama anda akan menemui persamaan darjah ketiga yang boleh diselesaikan dengan cara sedemikian. Jika tutor sedang menyediakan kanak-kanak untuk peperiksaan matematik di Moscow State University, mempelajari topik itu menjadi wajib. Guru universiti, tidak seperti penyusun Peperiksaan Negeri Bersepadu, sangat suka menguji kedalaman pengetahuan seseorang pemohon.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, tutor matematik Moscow, Strogino

Polinomial bentuk
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
boleh difaktorkan mengikut skema Horner, jika sekurang-kurangnya 1 daripada akarnya diketahui.

Mari kita lihat pembahagian mengikut skema Horner menggunakan contoh:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Mula-mula anda perlu mencari satu akar menggunakan kaedah pemilihan. Biasanya ia adalah pembahagi kepada istilah percuma. Dalam kes ini, pembahagi nombor -10 adalah ±1, ±2, ±5, ±10. Mari kita mula menggantikannya satu demi satu:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ nombor 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ nombor -1 ialah punca polinomial

Kami telah menemui 1 daripada punca polinomial. Punca polinomial ialah -1, yang bermaksud polinomial asal mesti boleh dibahagikan dengan x+1. Untuk melaksanakan pembahagian polinomial, kami menggunakan skema Horner:

	2	9	-10	-27	-10
-1

Pekali polinomial asal dipaparkan di baris atas. Akar yang kami temui diletakkan di dalam sel pertama baris kedua -1. Baris kedua mengandungi pekali polinomial yang terhasil daripada pembahagian. Mereka dikira seperti ini:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	Dalam sel kedua baris kedua kita menulis nombor 2, hanya dengan mengalihkannya dari sel yang sepadan pada baris pertama.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Nombor terakhir ialah baki bahagian. Jika ia sama dengan 0, maka kami telah mengira semuanya dengan betul.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

Tetapi ini bukan penamat. Anda boleh cuba mengembangkan polinomial dengan cara yang sama 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Sekali lagi kami mencari akar di kalangan pembahagi tempoh percuma. Seperti yang telah kita ketahui, pembahagi nombor -10 adalah ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ nombor 1 bukan punca kepada polinomial

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ nombor -1 bukan punca kepada polinomial

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ nombor 2 ialah punca polinomial

Mari tulis akar yang ditemui ke dalam skema Horner kami dan mula mengisi sel kosong:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	Dalam sel kedua baris ketiga kita menulis nombor 2, hanya dengan mengalihkannya dari sel yang sepadan pada baris kedua.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Oleh itu, kami memfaktorkan polinomial asal:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

Polinomial 2x 2 + 11x + 5 juga boleh difaktorkan. Untuk melakukan ini, anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi, atau anda boleh mencari punca di antara pembahagi nombor 5. Satu cara atau yang lain, kita akan sampai pada kesimpulan bahawa punca polinomial ini ialah nombor -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	Dalam sel kedua baris keempat kita menulis nombor 2, hanya dengan mengalihkannya dari sel yang sepadan pada baris ketiga.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Oleh itu, kami menguraikan polinomial asal kepada faktor linear.