Artikel ini meneruskan subjek persamaan langsung di atas kapal terbang: Pertimbangkan sejenis persamaan sebagai persamaan umum adalah lurus. Kami meminta teorem dan memberikan bukti; Kami akan memikirkannya bahawa persamaan umum yang tidak lengkap adalah lurus dan bagaimana untuk menjalankan peralihan dari persamaan umum kepada jenis persamaan lain yang langsung. Semua teori akan disatukan dengan ilustrasi dan menyelesaikan tugas praktikal.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Katakan di atas kapal terbang, sistem koordinat segi empat tepat O X diberikan.

Teorem 1.

Apa-apa persamaan ijazah pertama yang mempunyai kapak rupa + oleh + c \u003d 0, di mana a, b, c - beberapa nombor yang sah (A dan B tidak sama pada masa yang sama sifar) mentakrifkan garis langsung dalam sistem koordinat segi empat tepat pada kapal terbang. Sebaliknya, apa-apa yang langsung dalam sistem koordinat segi empat tepat di atas kapal terbang ditentukan oleh persamaan yang mempunyai pandangan X + B Y + C \u003d 0 dengan beberapa set nilai A, B, C.

Bukti

teorem yang ditentukan terdiri daripada dua mata, kita akan membuktikan setiap daripada mereka.

1. Kami membuktikan bahawa persamaan A X + B Y + C \u003d 0 menentukan pesawat langsung.

Katakan bahawa terdapat beberapa titik m 0 (x 0, y 0), koordinat yang sesuai dengan persamaan x + b y + c \u003d 0. Oleh itu: A X 0 + B Y 0 + C \u003d 0. Tenggelam dari bahagian kiri dan kanan persamaan ax + by + c \u003d 0 Bahagian kiri dan kanan persamaan A x 0 + by 0 + c \u003d 0, kita memperoleh persamaan baru yang mempunyai bentuk A (x - x 0 ) + b (y - y 0) \u003d 0. Ia bersamaan dengan X + B Y + C \u003d 0.

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 adalah keadaan yang perlu dan mencukupi untuk penendalian vektor n → \u003d (a, b) dan m 0 m → \u003d (x - x 0 , y - y 0). Oleh itu, set mata M (x, y) menentukan dalam sistem koordinat segi empat tepat garis lurus, berserenjang ke arah vektor n → \u003d (a, b). Kita boleh menganggap bahawa ini tidak berlaku, tetapi kemudian vektor n → \u003d (a, b) dan m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) tidak akan berserenjang, dan kesaksamaan A (X - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ia tidak akan benar.

Akibatnya, persamaan A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 mentakrifkan beberapa langsung dalam sistem koordinat segi empat tepat di atas kapal terbang, dan oleh itu persamaan bersamaan A X + oleh + C \u003d 0 menentukan langsung yang sama . Jadi kami membuktikan bahagian pertama teorem.

1. Kami memberi bukti bahawa mana-mana koordinat langsung dalam sistem segi empat tepat boleh ditetapkan ke persamaan ijazah pertama A X + B Y + C \u003d 0.

Ditetapkan dalam sistem koordinat segi empat tepat di atas kapal terbang langsung; Titik m 0 (x 0, y 0), di mana garis lurus ini berlalu, serta vektor biasa ini langsung ini n → \u003d (a, b).

Katakan juga terdapat beberapa titik m (x, y) - titik terapung adalah lurus. Dalam kes ini, vektor n → \u003d (a, b) dan m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) berserenjang antara satu sama lain, dan produk skalar mereka adalah sifar:

n →, m 0 m → \u003d a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0

Saya menulis semula persamaan x + b y - a x 0 - b y 0 \u003d 0, kita mentakrifkan c: c \u003d - a x 0 - b y 0 dan dalam hasil akhir kita memperoleh persamaan x + b y + c \u003d 0.

Oleh itu, kita telah membuktikan dan bahagian kedua teorem, dan membuktikan semua teorem secara umum.

Definisi 1.

Persamaan A X + B Y + C \u003d 0 - ini adalah persamaan umum Direct. Di atas kapal terbang dalam sistem koordinat segi empat tepat O X Y.

Bergantung pada teorem yang terbukti, kita dapat menyimpulkan bahawa garis langsung dan persamaan umum yang dinyatakan di atas kapal terbang dalam sistem koordinat segi empat tepat yang tetap dihubungkan. Dalam erti kata lain, garis awal sepadan dengan persamaan umumnya; Barisan persamaan umum sepadan dengan langsung yang ditentukan.

Dari bukti teorem juga mengikuti bahawa pekali A dan B dengan pembolehubah X dan Y adalah koordinat garis vektor biasa, yang ditetapkan oleh persamaan keseluruhan langsung X + B Y + C \u003d 0.

Pertimbangkan contoh khusus persamaan garis umum.

Biarkan persamaan 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, yang sepadan dengan garis lurus dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan. Vektor biasa ini lurus - ini adalah vektor N → \u003d (2, 3). Gambar garis lurus yang diberikan dalam lukisan.

Berikut ini juga boleh dikatakan: Direct, yang kita lihat dalam lukisan ditentukan oleh persamaan keseluruhan 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, kerana koordinat semua titik langsung yang ditentukan sesuai dengan persamaan ini.

Kita boleh mendapatkan persamaan λ · A x + λ · b y + λ · c \u003d 0, mendarabkan kedua-dua bahagian persamaan total kepada nombor λ, tidak sama dengan sifar. Persamaan yang dihasilkan adalah bersamaan dengan persamaan umum awal, oleh itu, akan menggambarkan langsung yang sama di atas kapal terbang.

Persamaan umum penuh langsung - Persamaan umum adalah lurus A X + B Y + C \u003d 0, di mana nombor A, B, dengan berbeza dari sifar. Sebaliknya, persamaan itu tidak lengkap.

Kami akan menganalisis semua variasi persamaan garis umum yang tidak lengkap.

1. Apabila a \u003d 0, dalam ≠ 0, c ≠ 0, persamaan umum mengambil bentuk B y + c \u003d 0. Persamaan umum yang tidak lengkap menentukan dalam sistem koordinat segi empat tepat O x Y langsung, yang selari dengan paksi lembu, kerana dengan apa-apa nilai yang sah X, pembolehubah y akan mengambil nilai - c b. Dalam erti kata lain, persamaan umum adalah langsung x + b y + c \u003d 0, apabila a \u003d 0, dalam ≠ 0, menetapkan lokasi geometrik mata (x, y), koordinat yang sama dengan nombor yang sama - c b.
2. Jika a \u003d 0, dalam ≠ 0, c \u003d 0, persamaan umum mengambil bentuk y \u003d 0. Persamaan yang tidak lengkap menentukan paksi abscissa o x.
3. Apabila A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, kami memperoleh persamaan umum yang tidak lengkap A X + C \u003d 0, yang menyatakan paksi lurus dan selari dalam tahanan.
4. Biarkan ≠ 0, b \u003d 0, c \u003d 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan mengambil bentuk x \u003d 0, dan ini adalah persamaan koordinat langsung o y.
5. Akhirnya, pada ≠ 0, dalam ≠ 0, c \u003d 0, persamaan umum yang tidak lengkap mengambil bentuk x + b y \u003d 0. Dan persamaan ini menerangkan garis lurus yang melewati asal-usul koordinat. Malah, sepasang nombor (0, 0) sepadan dengan kesamatan A X + B Y \u003d 0, kerana A · 0 + B · 0 \u003d 0.

Kami menggambarkan secara grafik semua jenis di atas persamaan garis yang tidak lengkap.

Contoh 1.

Adalah diketahui bahawa garis lurus yang ditetapkan selari dengan paksi offinate dan melewati titik 2 7, - 11. Ia adalah perlu untuk merekodkan persamaan umum langsung yang ditentukan.

Keputusan

Paksi lurus dan selari dari ordinat diberikan oleh persamaan bentuk x + c \u003d 0, di mana ≠ 0. Juga, keadaan ini diberikan oleh koordinat titik di mana yang langsung, dan koordinat titik ini sesuai dengan syarat-syarat persamaan umum yang tidak lengkap A X + C \u003d 0, I.e. Kesaksamaan yang betul:

A · 2 7 + C \u003d 0

Adalah mungkin untuk menentukan C jika ia memberikan nilai bukan sifar, sebagai contoh, a \u003d 7. Dalam kes ini, kita memperoleh: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Kami tahu kedua-dua pekali A dan C, kami menggantikan mereka dalam persamaan x + c \u003d 0 dan kami memperoleh persamaan yang diperlukan langsung: 7 x - 2 \u003d 0

Jawab: 7 x - 2 \u003d 0

Contoh 2.

Lukisan menunjukkan garis lurus, adalah perlu untuk merakam persamaannya.

Keputusan

Lukisan di atas membolehkan kami dengan mudah mengambil data sumber untuk menyelesaikan masalah ini. Kita lihat dalam lukisan bahawa paksi selari lurus yang ditentukan O X dan melewati titik (0, 3).

Direct, yang selari dengan mata abscissa, menentukan persamaan umum yang tidak lengkap B Y + C \u003d 0. Cari nilai B dan C. Koordinat titik (0, 3), kerana ia melewati garis lurus yang diberikan melalui itu, mereka akan memenuhi persamaan langsung B y + c \u003d 0, maka kesamarataan adalah kesaksamaan: dalam · 3 + c \u003d 0. Tentukan untuk beberapa nilai selain daripada sifar. Katakan, dalam \u003d 1, dalam kes ini, dari kesamaan dalam · 3 + C \u003d 0 kita dapat mencari C: c \u003d - 3. Gunakan nilai yang diketahui dalam dan C, kami memperoleh persamaan langsung yang diperlukan: Y - 3 \u003d 0.

Jawab: Y - 3 \u003d 0.

Persamaan umum langsung melalui titik tertentu pesawat

Biarkan langsung yang ditentukan melalui titik m 0 (x 0, y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum ke baris, iaitu. Kesaksamaan yang betul: A X 0 + B Y 0 + C \u003d 0. Kami mengambil bahagian kiri dan kanan persamaan ini dari bahagian kiri dan kanan persamaan penuh keseluruhan. Kami memperoleh: A (x - x 0) + b (y - y 0) + c \u003d 0, persamaan ini bersamaan dengan jumlah awal, melewati titik m 0 (x 0, y 0) dan mempunyai vektor biasa n → \u003d (a, b).

Hasil yang kami terima memungkinkan untuk merakam persamaan umum langsung dengan koordinat terkenal vektor biasa yang langsung dan koordinat beberapa titik lurus ini.

Contoh 3.

Titik m 0 (- 3, 4), di mana garis lurus berlalu, dan vektor biasa lurus ini N → \u003d (1, - 2). Ia adalah perlu untuk merekodkan persamaan yang diberikan langsung.

Keputusan

Syarat-syarat awal membolehkan kita mendapatkan data yang diperlukan untuk penyediaan persamaan: a \u003d 1, b \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Kemudian:

A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 · (x - (- 3)) - 2 · y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Tugas itu boleh diselesaikan sebaliknya. Persamaan umum langsung mempunyai bentuk A X + B Y + C \u003d 0. Vektor biasa yang ditentukan membolehkan anda mendapatkan nilai-nilai koefisien A dan B, maka:

A x + b y + c \u003d 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + c \u003d 0 ⇔ x - 2 · y + c \u003d 0

Sekarang kita akan menemui nilai C, menggunakan keadaan tertentu tugas, titik m 0 (- 3, 4) melalui yang langsung. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan X - 2 · Y + C \u003d 0, I.e. - 3 - 2 · 4 + C \u003d 0. Oleh itu, c \u003d 11. Persamaan yang diperlukan langsung mengambil bentuk: X - 2 · Y + 11 \u003d 0.

Jawab: X - 2 · Y + 11 \u003d 0.

Contoh 4.

The Direct 2 3 X - Y diberikan - 1 2 \u003d 0 dan titik m 0, berbaring di garis lurus ini. Hanya abscissa dari titik ini yang diketahui, dan ia sama dengan 3. Ia adalah perlu untuk menentukan perintah titik yang ditentukan.

Keputusan

Tentukan penetapan koordinat titik m 0 sebagai x 0 dan y 0. Dalam data sumber yang ditunjukkan bahawa x 0 \u003d - 3. Sejak titik kepunyaan langsung, yang bermaksud koordinatnya memenuhi jumlah persamaan garisan ini. Kemudian kesamaan itu akan benar:

2 3 x 0 - Y 0 - 1 2 \u003d 0

Tentukan Y 0: 2 3 · (- 3) - Y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - Y 0 \u003d 0 ⇔ Y 0 \u003d - 5 2

Jawab: - 5 2

Peralihan dari persamaan umum adalah langsung kepada jenis persamaan lain yang langsung dan belakang

Seperti yang kita ketahui, terdapat beberapa jenis persamaan yang sama dan yang sama langsung di atas kapal terbang. Pilihan pandangan persamaan bergantung kepada keadaan masalah; Adalah mungkin untuk memilih yang lebih mudah untuk menyelesaikannya. Di sini sangat berguna untuk menukar persamaan satu spesies kepada persamaan spesies lain.

Untuk memulakan, kami menganggap peralihan dari persamaan umum bentuk A X + B Y + C \u003d 0 ke persamaan kanonik X - x 1 A x \u003d y - y 1 a y.

Jika A dan ≠ 0, maka kami memindahkan istilah B y ke bahagian kanan persamaan umum. Di bahagian kiri kita bertahan untuk kurungan. Akibatnya, kami mendapat: A X + C A \u003d - B y.

Kesamaan ini boleh ditulis sebagai perkadaran: X + C A - B \u003d Y a.

Dalam kes itu jika dalam ≠ 0, kami meninggalkan di bahagian kiri persamaan hanya istilah X, yang lain dipindahkan ke sebelah kanan, kami memperoleh: A x \u003d - B y - c. Kami bertahan - dalam kurungan, maka: A X \u003d - B Y + C b.

Kami menulis semula kesamarataan dalam bentuk perkadaran: X - B \u003d Y + C b a.

Sudah tentu, untuk menghafal formula yang dihasilkan tidak diperlukan. Sudah cukup untuk mengetahui algoritma tindakan dalam peralihan dari persamaan umum kepada Canonical.

Contoh 5.

Persamaan umum ditetapkan kepada 3 y - 4 \u003d 0. Ia perlu untuk menukarnya ke persamaan kanonik.

Keputusan

Kami menulis persamaan awal sebagai 3 y - 4 \u003d 0. Seterusnya, kita bertindak mengikut algoritma: Istilah 0 x baki di bahagian kiri; Dan di sebelah kanan, kita bertahan - 3 untuk kurungan; Kami mendapat: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Kami menulis kesaksamaan yang diperolehi sebagai perkadaran: X - 3 \u003d Y - 4 3 0. Jadi, kita mendapat persamaan spesies kanonik.

Jawapan: X - 3 \u003d Y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum langsung kepada parametrik, mula-mula menjalankan peralihan kepada bentuk kanonik, dan kemudian peralihan dari persamaan kanonik adalah langsung kepada persamaan parametrik.

Contoh 6.

Langsung ditetapkan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Catat persamaan parametrik garis lurus ini.

Keputusan

Kami menjalankan peralihan dari persamaan umum kepada Canonical:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Sekarang kita akan mengambil kedua-dua bahagian persamaan kanonik yang diperolehi dengan λ, maka:

x 5 \u003d λ + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 · λ \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ r

Jawab: x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ r

Persamaan umum boleh ditukar kepada persamaan garis lurus dengan pekali sudut Y \u003d K · X + B, tetapi hanya apabila dalam ≠ 0. Untuk beralih ke bahagian kiri, kami meninggalkan istilah B y, baki dipindahkan ke kanan. Kami memperoleh: B y \u003d - A X - C. Kami berpecah kedua-dua bahagian kesamaan yang diperolehi pada B, berbeza dari sifar: Y \u003d - A B X - C b.

Contoh 7.

Persamaan umum ditetapkan: 2 x + 7 y \u003d 0. Ia adalah perlu untuk menukar persamaan ke persamaan dengan pekali sudut.

Keputusan

Kami akan menghasilkan tindakan yang diperlukan di algoritma:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Jawab: Y \u003d - 2 7 x.

Dari persamaan umum, langsung adalah cukup untuk mendapatkan persamaan dalam segmen Borang X A + Y B \u003d 1. Untuk menjalankan peralihan seperti itu, kami memindahkan nombor C ke bahagian kanan persamaan, kami membahagikan kedua-dua bahagian kesaksamaan yang diperoleh - C dan, akhirnya, kami memindahkan pekali dengan pembolehubah X dan Y:

A X + B Y + C \u003d 0 ⇔ A X + B Y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C Y \u003d 1 ⇔ X - C A + Y - C B \u003d 1

Contoh 8.

Ia adalah perlu untuk mengubah persamaan umum langsung X - 7 y + 1 2 \u003d 0 hingga persamaan langsung dalam segmen.

Keputusan

Kami memindahkan 1 2 ke sebelah kanan: X - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Kami membahagikan kepada -1/2 kedua-dua bahagian kesaksamaan: X - 7 Y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Jawab: X - 1 2 + Y 1 14 \u003d 1.

Secara umum, peralihan kembali juga terletak: dari jenis persamaan lain kepada umum.

Persamaan ini langsung dalam segmen dan persamaan dengan pekali sudut untuk mudah ditukar kepada umum, hanya dengan mengumpulkan semua istilah di bahagian kiri kesaksamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ a x + b y + c \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ a x + b y + c \u003d 0

Persamaan kanonikal ditukar kepada jumlah skim berikut:

x - X 1 AX \u003d Y - Y 1 Ay ⇔ AY · (X - X 1) \u003d AX (Y - Y 1) ⇔ ⇔ Ayx - Axy - Ayx 1 + Axy 1 \u003d 0 ⇔ A X + B Y + C \u003d 0.

Untuk bergerak dari parametrik, peralihan ke kanonik, dan kemudian kepada jumlah:

x \u003d x 1 + a x · λ \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ a x + b y + c \u003d 0

Contoh 9.

Persamaan parametrik ditetapkan untuk mengarahkan x \u003d - 1 + 2 · λ \u003d 4. Ia adalah perlu untuk merekodkan persamaan umum langsung ini.

Keputusan

Kami menjalankan peralihan dari persamaan parametrik kepada Canonical:

x \u003d - 1 + 2 · λ \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 · λ \u003d 4 + 0 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Mari kita pergi dari kanonik kepada jumlah:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Jawab: Y - 4 \u003d 0

Contoh 10.

Persamaan ditetapkan ke garisan dalam segmen x 3 + y 1 2 \u003d 1. Ia adalah perlu untuk menjalankan peralihan kepada jumlah persamaan.

Keputusan:

Cuma tulis semula persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Jawab: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Merangka persamaan langsung umum

Di atas, kami bercakap tentang hakikat bahawa persamaan umum boleh ditulis dengan koordinat terkenal vektor biasa dan koordinat titik di mana garis lurus berlalu. Langsung sedemikian ditentukan oleh persamaan A (X - X 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0. Kami juga membongkar contoh yang sesuai.

Sekarang pertimbangkan contoh yang lebih kompleks di mana untuk permulaan ia adalah perlu untuk menentukan koordinat vektor biasa.

Contoh 11.

Garis lurus, selari langsung 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. The Point M 0 (4, 1) juga diketahui, di mana garis lurus yang ditentukan. Ia adalah perlu untuk merekodkan persamaan yang diberikan langsung.

Keputusan

Keadaan permulaan memberitahu kita bahawa paralel lurus, sedangkan vektor biasa adalah lurus, persamaan yang diperlukan untuk menulis, mengambil vektor panduan langsung n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 . Sekarang kita tahu semua data yang diperlukan untuk membuat persamaan garis umum:

A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Jawab: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

Contoh 12.

Pas langsung yang ditentukan melalui asal-usul koordinat berserenjang dengan garis lurus X - 2 3 \u003d Y + 4 5. Ia adalah perlu untuk membuat persamaan umum garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Vektor biasa lurus yang ditentukan akan menjadi vektor langsung langsung X - 2 3 \u003d Y + 4 5.

Kemudian n → \u003d (3, 5). Pas langsung melalui asal-usul koordinat, iaitu. melalui titik o (0, 0). Mari buat persamaan umum yang diberikan langsung:

A (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Jawapan: 3 x + 5 y \u003d 0.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + ENTER

Direct, lulus melalui titik K (x 0; y 0) dan selari lurus y \u003d kx + a terletak mengikut formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Di mana k adalah pekali sudut langsung.

Formula Alternatif:
Langsung, melewati titik m 1 (x 1; y 1) dan kapak langsung selari + oleh + c \u003d 0 diwakili oleh persamaan

A (X - X 1) + B (Y-Y 1) \u003d 0. (2)

Contoh nombor 2. Tulis persamaan garis lurus, selari langsung 2x + 5y \u003d 0 dan membentuk koordinat segitiga bersama-sama dengan paksi koordinat, kawasan yang 5.
Keputusan . Sejak selari lurus, persamaan adalah 2x + 5y + C yang diingini; 0. Kawasan segitiga segi empat tepat, di mana A dan B kartetnya. Cari titik persimpangan yang dikehendaki langsung dengan paksi koordinat:
;
.
Jadi, a (-c / 2.0), b (0, -c / 5). Gantikan dalam formula untuk persegi: . Kami mendapat dua penyelesaian: 2x + 5Y + 10 \u003d 0 dan 2X + 5Y - 10 \u003d 0.

Contoh nombor 3. Buat persamaan garis lurus yang melewati titik (-2; 5) dan selari langsung 5x-7y-4 \u003d 0.
Keputusan. Ini langsung boleh diwakili oleh persamaan Y \u003d 5/7 X - 4/7 (di sini A \u003d 5/7). Persamaan langsung yang dikehendaki adalah Y - 5 \u003d 5/7 (X - (-2)), I.e. 7 (Y-5) \u003d 5 (x + 2) atau 5x-7y + 45 \u003d 0.

Contoh nombor 4. Memutuskan contoh 3 (a \u003d 5, b \u003d -7) oleh formula (2), kita dapati 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0.

Contoh nombor 5. Buat persamaan langsung lulus melalui titik (-2; 5) dan selari langsung 7x + 10 \u003d 0.
Keputusan. Di sini a \u003d 7, b \u003d 0. Formula (2) memberikan 7 (x + 2) \u003d 0, iaitu. x + 2 \u003d 0. Formula (1) tidak terpakai, kerana persamaan ini tidak dapat diselesaikan berbanding dengan Y (ini selari langsung dengan paksi ordinat).

Pelajaran dari siri "algoritma geometri"

Halo, Dear Reader!

Hari ini kita akan mula belajar algoritma yang berkaitan dengan geometri. Hakikatnya ialah tugas Olimpik sains komputer yang berkaitan dengan geometri pengkomputeran, cukup banyak dan penyelesaian tugas-tugas tersebut sering menyebabkan kesulitan.

Untuk beberapa pelajaran, kami mempertimbangkan beberapa subtask yang rendah, yang bergantung kepada penyelesaian kebanyakan masalah geometri pengkomputeran.

Dalam pelajaran ini, kami akan membuat program untuk persamaan susun atur adalah langsungmelewati yang ditentukan dua mata.. Untuk menyelesaikan tugas geometri, kita akan memerlukan pengetahuan tentang geometri komputasi. Sebahagian daripada pelajaran yang akan kami dedikasikan untuk bertemu dengan mereka.

Maklumat dari Geometri Pengkomputeran

Geometri komputasi adalah bahagian sains komputer yang mengkaji algoritma untuk menyelesaikan tugas geometri.

Data sumber untuk tugas-tugas sedemikian boleh menjadi pelbagai mata pada satah, satu set segmen, poligon (yang dinyatakan sebagai contoh, senarai simpulnya dalam susunan gerakan mengikut arah jam), dsb.

Hasilnya mungkin sama ada jawapan kepada beberapa soalan (seperti titik kepunyaan segmen, sama ada dua segmen bersilang, ...), atau beberapa objek geometri (contohnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan mata yang dinyatakan, poligon kawasan, dsb.).

Kami akan mempertimbangkan tugas geometri komputasi hanya di atas kapal terbang dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menggunakan kaedah geometri pengkomputeran, adalah perlu untuk menterjemahkan imej geometri ke dalam nombor. Kami menganggap bahawa sistem koordinat Decartian diberikan di atas kapal terbang, di mana arah putaran lawan lawan dipanggil positif.

Sekarang objek geometri menerima ungkapan analitik. Jadi, untuk menetapkan perkara itu, sudah cukup untuk menentukan koordinatnya: beberapa nombor (x; y). Segmen ini boleh ditentukan dengan menyatakan koordinat hujungnya, anda boleh menentukan koordinat langsung sepasang mata.

Tetapi alat utama semasa menyelesaikan tugas kita akan mempunyai vektor. Biar saya mengingatkan anda kepada beberapa maklumat mengenai mereka.

Bahagian Au.yang mempunyai titik Tetapi dianggap permulaan (titik permohonan), dan titik Di dalam - akhir, dipanggil vektor Au. dan menandakan sama ada atau huruf kecil lemak, sebagai contoh tetapi .

Untuk menetapkan panjang vektor (iaitu, panjang segmen yang sepadan) akan menggunakan simbol modul (contohnya,).

Vektor sewenang-wenang akan mempunyai koordinat yang sama dengan perbezaan dalam koordinat yang sama di hujungnya dan mula:

,

titik di sini A. dan B. mempunyai koordinat masing-masing.

Untuk Pengkomputeran, kami akan menggunakan konsep ini sudut yang berorientasikan, iaitu sudut yang mengambil kira relatif vektor.

Sudut berorientasikan antara vektor a. dan b. Positif, jika putaran dari vektor a. Kepada vektor b. Dilakukan dalam arah positif (lawan jam) dan negatif - dalam kes lain. Lihat Rajah 1a, Rajah 1B. Mereka juga mengatakan bahawa sepasang vektor a. dan b. positif (negatif) berorientasikan.

Oleh itu, magnitud sudut berorientasikan bergantung kepada urutan penghantaran vektor dan boleh mengambil nilai dalam selang waktu.

Banyak tugas geometri komputasi menggunakan konsep vektor vektor (serong atau pseudoscale) vektor.

Produk vektor vektor A dan B akan memanggil produk panjang vektor ini di sudut sinus di antara mereka:

.

Seni vektor vektor dalam koordinat:

Ungkapan di sebelah kanan adalah penentu pesanan kedua:

Berbeza dengan definisi, yang diberikan dalam geometri analitik, ini adalah skalar.

Tanda produk vektor menentukan kedudukan vektor relatif kepada rakan:

a. dan b. berorientasikan secara positif.

Sekiranya kuantiti, maka sepasang vektor a. dan b. berorientasikan negatif.

Produk vektor vektor nonzero adalah sifar jika dan hanya jika mereka collinear ( ). Ini bermakna bahawa mereka terletak pada satu garis lurus atau pada garis lurus yang selari.

Pertimbangkan beberapa tugas mudah yang diperlukan semasa menyelesaikan lebih kompleks.

Kami mentakrifkan persamaan langsung di sepanjang koordinat dua mata.

Persamaan ini langsung melalui dua mata yang ditentukan oleh koordinatnya.

Biarkan dua tidak sepadan dengan koordinat: dengan koordinat (x1; y1) dan koordinat (x2; y2). Oleh itu, vektor dengan permulaan pada titik dan akhir pada titik mempunyai koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P (X, Y) adalah titik sewenang-wenang di lurus kami, maka koordinat vektor adalah sama dengan (X - X1, Y - Y1).

Dengan bantuan produk vektor, keadaan collinearity vectors dan boleh ditulis seperti berikut:

Mereka. (x - x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

Persamaan terakhir akan menulis semula seperti berikut:

aX + BY + C \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Oleh itu, langsung boleh ditentukan oleh persamaan bentuk (1).

Tugas 1. Koordinat dua mata ditentukan. Cari perwakilannya dalam bentuk AX + oleh + C \u003d 0.

Dalam pelajaran ini, kami mengenali beberapa maklumat dari geometri komputasi. Kami menyelesaikan masalah untuk mencari persamaan garis di sepanjang koordinat dua mata.

Dalam pelajaran seterusnya, kami akan membuat program untuk mencari titik persimpangan dua baris yang ditentukan oleh persamaan anda.

Biarkan dua mata diberikan M.(H.1 ,W.1) I. N.(H.2, y.2). Kami mendapati persamaan langsung melalui mata-mata ini.

Oleh kerana lurus ini berjalan melalui titik M., menurut Formula (1.13), persamaannya mempunyai bentuk

W. – Y.1 = K.(X - X.1),

Di mana sahaja K. - Pekali sudut yang tidak diketahui.

Nilai pekali ini ditentukan dari keadaan yang dikehendaki langsung melalui titik N.dan oleh itu koordinatnya memenuhi persamaan (1.13)

Y.2 – Y.1 = K.(X.2 – X.1),

Dari sini anda boleh mencari pekali sudut lurus ini:

,

Atau selepas penukaran

(1.14)

Formula 1.14 menentukan Persamaan ini langsung melalui dua mata M.(X.1, Y.1) I. N.(X.2, Y.2).

Dalam kes tertentu apabila mata M.(A., 0), N.(0, B.), Tetapi ¹ 0, B. ¹ 0, terletak pada paksi koordinat, persamaan (1.14) akan mengambil pandangan yang lebih mudah

Persamaan (1.15) dipanggil Persamaan lurus dalam segmen, di sini Tetapi dan B. Menunjukkan segmen yang dipotong lurus pada paksi (Rajah 1.6).

Rajah 1.6.

Contoh 1.10. Membuat persamaan langsung melewati mata M.(1, 2) dan B.(3, –1).

. Menurut (1.14), persamaan langsung yang dikehendaki mempunyai bentuk

2(Y. – 2) = -3(X. – 1).

Memindahkan semua ahli ke bahagian kiri, akhirnya dapatkan persamaan yang dikehendaki

3X. + 2Y. – 7 = 0.

Contoh 1.11. Membuat persamaan garis lurus yang melewati titik M.(2, 1) dan titik persimpangan langsung X.+ Y -1 = 0, X - W.+ 2 = 0.

. Koordinat titik persimpangan langsung ditemui dengan memutuskan bersama persamaan ini

Jika anda menambah setakat ini persamaan ini, kami mendapat 2 X. + 1 \u003d 0, dari mana. Menggantikan nilai dalam mana-mana persamaan, kita akan dapati nilai biasa W.:

Sekarang tulis persamaan langsung melalui mata (2, 1) dan:

atau.

Oleh itu atau -5 ( Y. – 1) = X. – 2.

Akhirnya kita mendapat persamaan yang dikehendaki lurus dalam bentuk H. + 5Y. – 7 = 0.

Contoh 1.12. Cari persamaan langsung melalui mata M.(2,1) dan N.(2,3).

Menggunakan Formula (1.14), kami memperoleh persamaan

Ia tidak masuk akal, kerana denominator kedua adalah sifar. Dari keadaan masalah, adalah jelas bahawa abscissions kedua-dua mata mempunyai makna yang sama. Jadi, yang dikehendaki selari dengan paksi OY. dan persamaannya adalah: X. = 2.

Komen . Jika, apabila merakam persamaan, formula langsung (1.14) adalah sama dengan sifar, maka persamaan yang dikehendaki dapat diperoleh dengan menyamakan pengumuman yang sama kepada sifar.

Pertimbangkan cara lain untuk menetapkan langsung di atas kapal terbang.

1. Biarkan vektor nonzero berserenjang dengan langsung ini L., dan titik M.0(X.0, Y.0) terletak pada garis lurus ini (Rajah 1.7).

Rajah 1.7.

Menandakan M.(X., Y.) titik sewenang-wenangnya lurus L.. Vektor I. Ortogonal. Menggunakan syarat-syarat ortogonaliti vektor ini, kami memperoleh atau Tetapi(X. – X.0) + B.(Y. – Y.0) = 0.

Kami mendapat persamaan langsung melalui titik M.0 berserenjang dengan vektor. Vektor ini dipanggil Vektor biasa. untuk mengarahkan L.. Persamaan yang dihasilkan boleh ditulis semula sebagai

Oh + Wu. + Dari \u003d 0, di mana Dari = –(TetapiX.0 + oleh0), (1.16),

Di mana sahaja Tetapi dan Di dalam- Koordinat vektor normal.

Kami memperoleh persamaan umum langsung dalam bentuk parametrik.

2. Langsung di atas kapal terbang boleh ditetapkan seperti berikut: Biarkan vektor nonzero selari dengan langsung ini L. dan titik M.0(X.0, Y.0) terletak pada garis lurus ini. Ambil titik sewenang-wenang sekali lagi. M.(H., y) pada garis lurus (Rajah 1.8).

Rajah 1.8.

Vektor I. Collinear.

Kami menulis keadaan kolinteriti vektor ini: di mana T. - Sebilangan nombor yang disebut sebagai parameter. Bercakap kesaksamaan ini dalam koordinat:

Persamaan ini dipanggil Persamaan parametrik. Lurus. Menghapuskan dari persamaan ini, parameter T.:

Persamaan ini boleh ditulis sebaliknya dalam bentuk

. (1.18)

Persamaan yang dihasilkan dipanggil Persamaan kanonik mengarahkan. Vektor dipanggil Vektor langsung langsung .

Komen . Adalah mudah untuk melihat bahawa jika - vektor normal ke garis lurus L., maka vektor panduannya boleh menjadi vektor, kerana, saya ..

Contoh 1.13. Tulis persamaan langsung melewati titik M.0 (1, 1) selari langsung 3 H. + 2W.– 8 = 0.

Keputusan . Vektor adalah vektor normal kepada yang ditentukan dan dikehendaki langsung. Kami menggunakan persamaan langsung melalui titik M.0 dengan vektor biasa yang telah ditetapkan 3 ( H. –1) + 2(W. - 1) \u003d 0 atau 3 H. + 2ow. - 5 \u003d 0. Menerima persamaan langsung yang dikehendaki.

Persamaan itu langsung melalui titik ini ke arah ini. Persamaan ini langsung melalui data dua mata. Sudut antara dua lurus. Keadaan paralelisme dan ketegangan dua baris lurus. Menentukan titik persimpangan dua langsung

1. Persamaan langsung melalui titik ini A.(x. 1 , y. 1) Dalam arahan ini ditentukan oleh pekali sudut k.,

y. - y. 1 = k.(x. - x. 1). (1)

Persamaan ini menentukan rasuk langsung melewati titik A.(x. 1 , y. 1), yang dipanggil pusat rasuk.

2. Persamaan langsung lulus dalam dua titik: A.(x. 1 , y. 1) I. B.(x. 2 , y. 2), menulis seperti ini:

Pekali sudut langsung melewati dua titik titik ditentukan oleh formula

3. Sudut antara lurus A. dan B. dipanggil sudut yang anda perlukan untuk menghidupkan lurus pertama A. Di sekitar titik persimpangan langsung terhadap pergerakan mengikut arah jam sehingga ia bertepatan dengan langsung kedua B.. Jika dua baris lurus diberikan oleh persamaan dengan pekali sudut

y. = k. 1 x. + B. 1 ,