PRODUK CAMPURAN TIGA VEKTOR DAN SIFATNYA

Kerja campur tiga vektor dipanggil nombor sama dengan . Ditetapkan . Di sini dua vektor pertama didarab secara vektor dan kemudian vektor yang terhasil didarab secara skalar dengan vektor ketiga. Jelas sekali, produk sedemikian adalah nombor tertentu.

Mari kita pertimbangkan sifat produk campuran.

1. Makna geometri kerja bercampur. Hasil bercampur 3 vektor, sehingga tanda, adalah sama dengan isipadu selari yang dibina pada vektor ini, seperti pada tepi, i.e. .

   Oleh itu, dan .

   

   Bukti. Mari kita ketepikan vektor daripada asal biasa dan bina parallelepiped pada mereka. Mari kita nyatakan dan ambil perhatian bahawa . Mengikut definisi hasil skalar

   Dengan mengandaikan itu dan menandakan dengan h cari ketinggian parallelepiped.

   Justeru, apabila

   Jika, maka begitu. Oleh itu, .

   Menggabungkan kedua-dua kes ini, kita mendapat atau .

   Daripada bukti harta ini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika tiga kali ganda vektor adalah tangan kanan, maka hasil darab campuran ialah , dan jika ia kidal, maka .

2. Untuk mana-mana vektor , , kesamaan adalah benar

   Bukti harta ini menyusuli dari Harta 1. Sesungguhnya mudah untuk menunjukkan bahawa dan . Selain itu, tanda “+” dan “–” diambil serentak, kerana sudut antara vektor dan dan dan kedua-duanya adalah akut dan tumpul.

3. Apabila mana-mana dua faktor disusun semula, tanda perubahan produk campuran.

   Sesungguhnya, jika kita menganggap produk campuran, maka, sebagai contoh, atau

4. Produk campuran jika dan hanya jika salah satu faktor adalah sama dengan sifar atau vektor adalah koplanar.

   Bukti.

   Oleh itu, syarat yang perlu dan mencukupi untuk kesetaraan 3 vektor ialah hasil campurannya adalah sama dengan sifar. Di samping itu, ia berikutan bahawa tiga vektor membentuk asas dalam ruang jika .

   Jika vektor diberikan dalam bentuk koordinat, maka dapat ditunjukkan bahawa hasil campurannya ditemui dengan formula:

   .

   Oleh itu, hasil campuran adalah sama dengan penentu tertib ketiga, yang mempunyai koordinat vektor pertama dalam baris pertama, koordinat vektor kedua dalam baris kedua, dan koordinat vektor ketiga dalam baris ketiga.

   Contoh.

GEOMETRI ANALITIK DALAM ANGKASA

Persamaan F(x, y, z)= 0 mentakrifkan dalam ruang Oxyz beberapa permukaan, i.e. lokus titik yang koordinatnya x, y, z memenuhi persamaan ini. Persamaan ini dipanggil persamaan permukaan, dan x, y, z– koordinat semasa.

Walau bagaimanapun, selalunya permukaan tidak ditentukan oleh persamaan, tetapi sebagai satu set titik dalam ruang yang mempunyai satu atau sifat lain. Dalam kes ini, adalah perlu untuk mencari persamaan permukaan berdasarkan sifat geometrinya.

PESAWAT.

VEKTOR PESAWAT BIASA.

PERSAMAAN PESAWAT YANG MELALUI TITIK YANG DIBERIKAN

Mari kita pertimbangkan satah arbitrari σ di angkasa. Kedudukannya ditentukan dengan menentukan vektor yang berserenjang dengan satah ini dan beberapa titik tetap M0(x 0, y 0, z 0), terletak dalam satah σ.

Vektor yang berserenjang dengan satah σ dipanggil biasa vektor pesawat ini. Biarkan vektor mempunyai koordinat.

Mari kita terbitkan persamaan satah σ yang melalui titik ini M0 dan mempunyai vektor normal. Untuk melakukan ini, ambil titik sewenang-wenangnya pada satah σ M(x, y, z) dan pertimbangkan vektor.

Untuk sebarang titik MО σ ialah vektor Oleh itu, hasil skalarnya adalah sama dengan sifar. Persamaan ini adalah syarat bahawa titik MО σ. Ia sah untuk semua titik pesawat ini dan dilanggar sebaik sahaja titik itu M akan berada di luar satah σ.

Jika kita menandakan titik dengan vektor jejari M, – vektor jejari titik M0, maka persamaan boleh ditulis dalam bentuk

Persamaan ini dipanggil vektor persamaan satah. Mari kita tulis dalam bentuk koordinat. Sejak itu

Jadi, kita telah memperoleh persamaan satah yang melalui titik ini. Oleh itu, untuk mencipta persamaan satah, anda perlu mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat beberapa titik yang terletak pada satah.

Perhatikan bahawa persamaan satah ialah persamaan darjah 1 berkenaan dengan koordinat semasa x, y Dan z.

Contoh.

PERSAMAAN AM PESAWAT

Ia boleh ditunjukkan bahawa mana-mana persamaan darjah pertama berkenaan dengan koordinat Cartesan x, y, z mewakili persamaan beberapa satah. Persamaan ini ditulis sebagai:

Ax+Oleh+Cz+D=0

dan dipanggil persamaan am satah, dan koordinat A, B, C berikut ialah koordinat bagi vektor normal satah.

Mari kita pertimbangkan kes khas persamaan am. Mari kita ketahui bagaimana satah itu terletak relatif kepada sistem koordinat jika satu atau lebih pekali persamaan menjadi sifar.

A ialah panjang segmen yang dipotong oleh satah pada paksi lembu. Begitu juga, ia boleh ditunjukkan bahawa b Dan c– panjang segmen yang dipotong oleh satah yang dipertimbangkan pada paksi Oy Dan Oz.

Ia adalah mudah untuk menggunakan persamaan satah dalam segmen untuk membina satah.

7.1. Definisi hasil silang

Tiga vektor bukan koplanar a, b dan c, diambil dalam susunan yang ditunjukkan, membentuk tiga tangan kanan jika, dari hujung vektor ketiga c, pusingan terpendek dari vektor pertama a ke vektor kedua b dilihat lawan jam, dan tiga tangan kiri jika mengikut arah jam (lihat Rajah .16).

Hasil darab vektor bagi vektor a dan vektor b dipanggil vektor c, yang:

1. Serenjang dengan vektor a dan b, iaitu c ^ a dan c ^ b ;

2. Mempunyai panjang secara berangka sama dengan luas segi empat selari yang dibina pada vektor a danb seperti pada sisi (lihat Rajah 17), i.e.

3. Vektor a, b dan c membentuk tiga tangan kanan.

Hasil silang ditandakan a x b atau [a,b]. Hubungan berikut antara vektor unit saya ikuti terus daripada takrif produk vektor, j Dan k

(lihat Rajah 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j. Mari kita buktikan, sebagai contoh, itu

i xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j ; 2) |k |=1, tetapi | i x j

| = |i | Dan|J | sin(90°)=1;

3) vektor i, j dan

membentuk rangkap tiga kanan (lihat Rajah 16).

7.2. Sifat produk silang = -(1. Apabila menyusun semula faktor, produk vektor bertukar tanda, i.e.).

dan xb =(b xa) (lihat Rajah 19).

Vektor a xb dan b xa adalah kolinear, mempunyai modul yang sama (luas segi empat selari kekal tidak berubah), tetapi diarahkan bertentangan (tiga kali ganda a, b, a xb dan a, b, b x a orientasi bertentangan). Oleh itu axb b xa b 2. Hasil darab vektor mempunyai sifat gabungan berkenaan dengan faktor skalar, iaitu l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b). b Biarkan l >0. Vektor l (a xb) berserenjang dengan vektor a dan b. vektor ( axb l axb a) x axb b xa b juga berserenjang dengan vektor a dan

(vektor a, axb tetapi terletak dalam satah yang sama). Ini bermakna bahawa vektor axb(a xb) dan ( axb<0.

kolinear. Jelas sekali hala tuju mereka bertepatan. Mereka mempunyai panjang yang sama: b sebab tu<=>(a xb)=

a xb. Ia dibuktikan dengan cara yang sama untuk

3. Dua vektor bukan sifar a dan

(adalah kolinear jika dan hanya jika hasil vektor mereka adalah sama dengan vektor sifar, iaitu a ||b dan xb =0. b Khususnya, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produk vektor mempunyai sifat pengedaran:

a+b)

xc = a xc + Hubungan berikut antara vektor unit saya ikuti terus daripada takrif produk vektor, xs.

Kami akan terima tanpa bukti.

Biarkan dua vektor a =a x i +a y diberikan Hubungan berikut antara vektor unit saya ikuti terus daripada takrif produk vektor,+a z Dan dan b =b x i+b y Hubungan berikut antara vektor unit saya ikuti terus daripada takrif produk vektor,+b z Dan. Mari cari hasil vektor vektor ini dengan mendarabnya sebagai polinomial (mengikut sifat produk vektor):

Formula yang terhasil boleh ditulis dengan lebih ringkas:

kerana bahagian kanan kesamaan (7.1) sepadan dengan pengembangan penentu tertib ketiga dari segi unsur-unsur baris pertama Kesamaan (7.2) mudah diingati.

7.4. Beberapa aplikasi produk silang

Mewujudkan kolineariti vektor

Mencari luas segi empat selari dan segi tiga

Mengikut takrifan hasil darab vektor bagi vektor A dan b |a xb | =|a | * |b |sin g, iaitu pasangan S = |a x b |. Dan, oleh itu, D S =1/2|a x b |.

Penentuan momen daya terhadap sesuatu titik

Biarkan daya dikenakan pada titik A F =AB dan biarkan TENTANG- beberapa titik dalam ruang (lihat Rajah 20).

Ia diketahui dari fizik bahawa momen kekuatan F relatif kepada titik TENTANG dipanggil vektor M, yang melalui titik itu TENTANG Dan:

1) berserenjang dengan satah yang melalui titik O, A, B;

2) secara berangka sama dengan hasil daya setiap lengan

3) membentuk tiga rangkap kanan dengan vektor OA dan A B.

Oleh itu, M = OA x F.

Mencari kelajuan putaran linear

Kelajuan v titik M bagi jasad tegar berputar dengan halaju sudut w di sekeliling paksi tetap, ditentukan oleh formula Euler v =w xr, dengan r =OM, dengan O ialah beberapa titik tetap paksi (lihat Rajah 21).

Sebelum memberikan konsep hasil vektor, mari kita beralih kepada persoalan orientasi tiga tertib vektor a →, b →, c → dalam ruang tiga dimensi.

Sebagai permulaan, mari kita ketepikan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi triple a → , b → , c → boleh ke kanan atau kiri, bergantung pada arah vektor c → itu sendiri. Jenis triple a → , b → , c → akan ditentukan dari arah di mana pusingan terpendek dibuat daripada vektor a → ke b → dari hujung vektor c → .

Jika pusingan terpendek dilakukan mengikut arah lawan jam, maka tiga kali ganda vektor a → , b → , c → dipanggil betul, jika mengikut arah jam – kiri.

Seterusnya, ambil dua vektor bukan kolinear a → dan b →. Mari kita lukiskan vektor A B → = a → dan A C → = b → dari titik A. Mari kita bina vektor A D → = c →, yang serentak berserenjang dengan kedua-dua A B → dan A C →. Oleh itu, apabila membina vektor itu sendiri A D → = c →, kita boleh melakukannya dalam dua cara, memberikannya sama ada satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Tiga tertib vektor a → , b → , c → boleh, seperti yang kita ketahui, kanan atau kiri bergantung pada arah vektor.

Daripada perkara di atas kita boleh memperkenalkan definisi produk vektor. Takrifan ini diberikan untuk dua vektor yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Hasil darab vektor dua vektor a → dan b → kita akan memanggil vektor sedemikian yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi supaya:

• jika vektor a → dan b → adalah kolinear, ia akan menjadi sifar;
• ia akan berserenjang dengan kedua-dua vektor a → ​​​​ dan vektor b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• panjangnya ditentukan oleh formula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• tiga vektor a → , b → , c → mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

Hasil darab vektor bagi vektor a → dan b → mempunyai tatatanda berikut: a → × b →.

Koordinat produk vektor

Memandangkan mana-mana vektor mempunyai koordinat tertentu dalam sistem koordinat, kami boleh memperkenalkan takrifan kedua bagi produk vektor, yang akan membolehkan kami mencari koordinatnya menggunakan koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi hasil vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) dipanggil vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , di mana i → , j → , k → ialah vektor koordinat.

Produk vektor boleh diwakili sebagai penentu bagi matriks segi empat sama tertib ketiga, di mana baris pertama mengandungi vektor vektor i → , j → , k → , baris kedua mengandungi koordinat vektor a → , dan baris ketiga mengandungi koordinat vektor b → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan, ini adalah penentu matriks kelihatan seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Memperluas penentu ini ke dalam unsur-unsur baris pertama, kita memperoleh kesamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b = y → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Sifat produk silang

Diketahui bahawa produk vektor dalam koordinat diwakili sebagai penentu matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , kemudian atas dasar sifat penentu matriks berikut dipaparkan sifat produk vektor:

1. antikomutatif a → × b → = - b → × a → ;
2. pengagihan a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. persekutuan λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b →, dengan λ ialah nombor nyata arbitrari.

Sifat-sifat ini mempunyai bukti yang mudah.

Sebagai contoh, kita boleh membuktikan sifat antikomutatif bagi produk vektor.

Bukti antikomutatif

Mengikut takrifan, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dan b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika dua baris matriks ditukar, maka nilai penentu matriks harus berubah kepada sebaliknya, oleh itu, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , yang dan membuktikan bahawa hasil vektor adalah antikomutatif.

Produk vektor - contoh dan penyelesaian

Dalam kebanyakan kes, terdapat tiga jenis masalah.

Dalam masalah jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka biasanya diberikan, dan anda perlu mencari panjang produk vektor. Dalam kes ini, gunakan formula berikut c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Contoh 1

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor a → dan b → jika anda tahu a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Penyelesaian

Dengan menentukan panjang hasil vektor vektor a → dan b →, kita menyelesaikan masalah ini: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Jawapan: 15 2 2 .

Masalah jenis kedua mempunyai hubungan dengan koordinat vektor, di dalamnya produk vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui bagi vektor yang diberikan a → = (a x; a y; a z) Dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis masalah ini, anda boleh menyelesaikan banyak pilihan tugas. Sebagai contoh, bukan koordinat vektor a → dan b → boleh ditentukan, tetapi pengembangannya menjadi vektor koordinat bentuk b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, atau vektor a → dan b → boleh ditentukan oleh koordinat permulaannya dan titik akhir.

Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, dua vektor diberikan: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Cari hasil silang mereka.

Penyelesaian

Dengan definisi kedua, kita dapati hasil vektor dua vektor dalam koordinat yang diberikan: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jika kita menulis produk vektor melalui penentu matriks, maka penyelesaian kepada contoh ini kelihatan seperti ini: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jawapan: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor i → - j → dan i → + j → + k →, dengan i →, j →, k → ialah vektor unit bagi sistem koordinat Cartesan segi empat tepat.

Penyelesaian

Mula-mula, mari kita cari koordinat bagi hasil vektor yang diberi i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan.

Adalah diketahui bahawa vektor i → - j → dan i → + j → + k → masing-masing mempunyai koordinat (1; - 1; 0) dan (1; 1; 1). Mari cari panjang produk vektor menggunakan penentu matriks, maka kita mempunyai i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Oleh itu, hasil darab vektor i → - j → × i → + j → + k → mempunyai koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami mencari panjang produk vektor menggunakan formula (lihat bahagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Jawapan: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, koordinat tiga titik A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) diberikan. Cari beberapa vektor berserenjang dengan A B → dan A C → pada masa yang sama.

Penyelesaian

Vektor A B → dan A C → masing-masing mempunyai koordinat berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemui produk vektor bagi vektor A B → dan A C →, adalah jelas bahawa ia adalah vektor berserenjang mengikut takrifan kepada kedua-dua A B → dan A C →, iaitu, ia adalah penyelesaian kepada masalah kita. Mari cari A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Jawapan: - 6 i → + j → - 4 k → . - salah satu vektor serenjang.

Masalah jenis ketiga tertumpu pada penggunaan sifat produk vektor vektor. Selepas memohon yang mana, kami akan memperoleh penyelesaian kepada masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → adalah berserenjang dan panjangnya ialah 3 dan 4, masing-masing. Cari panjang hasil darab vektor 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Penyelesaian

Dengan sifat taburan produk vektor, kita boleh menulis 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Dengan sifat persekutuan, kita mengambil pekali berangka daripada tanda produk vektor dalam ungkapan terakhir: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Hasil keluaran vektor a → × a → dan b → × b → adalah sama dengan 0, kerana a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 dan b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, kemudian 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Daripada antikomutatif produk vektor ia mengikuti - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat produk vektor, kita memperoleh kesamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Mengikut keadaan, vektor a → dan b → adalah berserenjang, iaitu, sudut di antara mereka adalah sama dengan π 2. Sekarang yang tinggal hanyalah untuk menggantikan nilai yang dijumpai ke dalam formula yang sesuai: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Jawapan: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Panjang hasil darab vektor bagi vektor mengikut takrifan adalah sama dengan a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Oleh kerana sudah diketahui (dari kursus sekolah) bahawa luas segitiga adalah sama dengan separuh hasil darab panjang kedua sisinya didarab dengan sinus sudut antara sisi ini. Akibatnya, panjang produk vektor adalah sama dengan luas segi empat selari - segi tiga berganda, iaitu hasil darab sisi dalam bentuk vektor a → dan b →, dibentangkan dari satu titik, dengan sinus sudut di antara mereka sin ∠ a →, b →.

Ini ialah makna geometri produk vektor.

Makna fizikal produk vektor

Dalam mekanik, salah satu cabang fizik, terima kasih kepada produk vektor, anda boleh menentukan momen daya relatif kepada titik dalam ruang.

Definisi 3

Dengan momen daya F → digunakan pada titik B, berbanding dengan titik A, kita akan memahami hasil vektor berikut A B → × F →.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua lagi operasi dengan vektor: produk vektor bagi vektor Dan hasil campuran vektor (pautan segera untuk mereka yang memerlukannya). Tidak mengapa, kadang-kadang ia berlaku untuk kebahagiaan yang lengkap, sebagai tambahan kepada hasil darab skalar bagi vektor, semakin banyak diperlukan. Ini adalah ketagihan vektor. Nampaknya kita sedang memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Dalam bahagian matematik yang lebih tinggi ini biasanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinocchio. Malah, bahannya sangat biasa dan mudah - hampir tidak lebih rumit daripada yang sama produk titik, malah akan terdapat lebih sedikit tugasan biasa. Perkara utama dalam geometri analitik, kerana ramai yang akan yakin atau sudah yakin, adalah TIDAK MEMBUAT KESILAPAN DALAM PENGIRAAN. Ulangi seperti jampi dan anda akan gembira =)

Jika vektor berkilauan di tempat yang jauh, seperti kilat di kaki langit, tidak mengapa, mulakan dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh semula pengetahuan asas tentang vektor. Pembaca yang lebih bersedia boleh membiasakan diri dengan maklumat secara selektif; Saya cuba mengumpul koleksi contoh paling lengkap yang sering dijumpai dalam kerja amali

Apa yang akan membuatkan anda gembira dengan segera? Semasa saya kecil, saya boleh mengimbangi dua atau tiga bola. Ia berjaya dengan baik. Sekarang anda tidak perlu menyulap sama sekali, kerana kami akan mempertimbangkan hanya vektor spatial, dan vektor rata dengan dua koordinat akan ditinggalkan. kenapa? Beginilah cara tindakan ini dilahirkan - vektor dan hasil campuran vektor ditakrifkan dan berfungsi dalam ruang tiga dimensi. Ia sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti produk skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan seperti berikut: . Terdapat pilihan lain, tetapi saya sudah biasa untuk menandakan produk vektor vektor dengan cara ini, dalam kurungan persegi dengan salib.

Dan segera soalan: jika dalam hasil darab skalar bagi vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga didarab, kemudian apa bezanya? Perbezaan yang jelas adalah, pertama sekali, dalam HASIL:

Hasil darab skalar bagi vektor ialah NUMBER:

Hasil darab silang bagi vektor ialah VECTOR: , iaitu, kita mendarabkan vektor dan mendapatkan vektor semula. Kelab tertutup. Sebenarnya, dari sinilah nama operasi itu berasal. Dalam kesusasteraan pendidikan yang berbeza, sebutan juga mungkin berbeza-beza;

Definisi hasil silang

Mula-mula akan ada definisi dengan gambar, kemudian komen.

Definisi: Produk vektor bukan kolinear vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil VECTOR, panjang iaitu secara berangka sama dengan luas segi empat selari, dibina pada vektor ini; vektor ortogon kepada vektor, dan diarahkan supaya asas mempunyai orientasi yang betul:

Mari kita pecahkan definisi sekeping demi sekeping, terdapat banyak perkara menarik di sini!

Jadi, perkara penting berikut boleh diserlahkan:

1) Vektor asal, yang ditunjukkan oleh anak panah merah, mengikut definisi bukan kolinear. Adalah wajar untuk mempertimbangkan kes vektor kolinear sedikit kemudian.

2) Vektor diambil dalam susunan yang ditetapkan dengan ketat: – "a" didarab dengan "menjadi", dan bukan "menjadi" dengan "a". Hasil pendaraban vektor ialah VECTOR, yang ditunjukkan dengan warna biru. Jika vektor didarab dalam susunan terbalik, kita memperoleh vektor yang sama panjang dan bertentangan arah (warna raspberi). Maksudnya, persamaan itu benar .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan makna geometri produk vektor. Ini adalah perkara yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh itu, vektor lembayung) secara berangka sama dengan LUAS segiempat selari yang dibina pada vektor. Dalam rajah, segi empat selari ini dilorekkan dengan warna hitam.

Nota : lukisan adalah skema, dan, secara semula jadi, panjang nominal produk vektor tidak sama dengan luas segi empat selari.

Mari kita ingat salah satu formula geometri: Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab sisi bersebelahan dan sinus sudut di antaranya. Oleh itu, berdasarkan perkara di atas, formula untuk mengira PANJANG produk vektor adalah sah:

Saya menekankan bahawa formula adalah mengenai PANJANG vektor, dan bukan mengenai vektor itu sendiri. Apakah maksud praktikal? Dan maksudnya ialah dalam masalah geometri analitik, luas segi empat selari sering dijumpai melalui konsep produk vektor:

Mari kita dapatkan formula penting kedua. Diagonal bagi segi empat selari (garis putus-putus merah) membahagikannya kepada dua segi tiga sama. Oleh itu, kawasan segitiga yang dibina di atas vektor (lorek merah) boleh didapati menggunakan formula:

4) Fakta yang sama penting ialah vektor adalah ortogon kepada vektor, iaitu . Sudah tentu, vektor berlawanan arah (anak panah raspberi) juga ortogon kepada vektor asal.

5) Vektor diarahkan supaya asas mempunyai betul orientasi. Dalam pelajaran tentang peralihan kepada asas baharu Saya bercakap dengan cukup terperinci tentang orientasi kapal terbang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menerangkan pada jari anda tangan kanan. Gabungan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke tapak tangan anda. Akibatnya ibu jari– produk vektor akan mencari. Ini adalah asas berorientasikan betul (ia adalah yang ini dalam rajah). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di sesetengah tempat, akibatnya ibu jari akan berpusing, dan produk vektor sudah pun melihat ke bawah. Ini juga merupakan asas berorientasikan betul. Anda mungkin mempunyai soalan: asas yang manakah telah meninggalkan orientasi? “Tugaskan” pada jari yang sama tangan kiri vektor, dan dapatkan asas kiri dan orientasi kiri ruang (dalam kes ini, ibu jari akan terletak ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, pangkalan ini "memutar" atau mengorientasikan ruang ke arah yang berbeza. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - sebagai contoh, orientasi ruang diubah oleh cermin yang paling biasa, dan jika anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca yang kelihatan", maka dalam kes umum ia tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asal". By the way, pegang tiga jari ke cermin dan analisis pantulan ;-)

... alangkah baiknya yang anda ketahui sekarang berorientasikan kanan dan kiri bases, sebab kenyataan beberapa pensyarah tentang perubahan orientasi adalah menakutkan =)

Hasil silang bagi vektor kolinear

Takrifan telah dibincangkan secara terperinci, ia kekal untuk mengetahui apa yang berlaku apabila vektor adalah kolinear. Jika vektor adalah kolinear, maka ia boleh diletakkan pada satu garis lurus dan selari kami juga "melipat" menjadi satu garis lurus. Kawasan seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematik, merosot segi empat selari adalah sama dengan sifar. Perkara yang sama mengikuti dari formula - sinus sifar atau 180 darjah adalah sama dengan sifar, yang bermaksud kawasan adalah sifar

Oleh itu, jika , maka Dan . Sila ambil perhatian bahawa produk vektor itu sendiri adalah sama dengan vektor sifar, tetapi dalam amalan ini sering diabaikan dan mereka ditulis bahawa ia juga sama dengan sifar.

Kes khas ialah hasil silang vektor dengan dirinya sendiri:

Menggunakan produk vektor, anda boleh menyemak keselarasan vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk menyelesaikan contoh praktikal yang anda perlukan jadual trigonometri untuk mencari nilai sinus daripadanya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor jika

b) Cari luas segi empat selari yang dibina pada vektor jika

Penyelesaian: Tidak, ini bukan kesilapan menaip, saya sengaja menjadikan data awal dalam klausa sama. Kerana reka bentuk penyelesaian akan berbeza!

a) Mengikut syarat, anda perlu mencari panjang vektor (hasil silang). Mengikut formula yang sepadan:

Jawab:

Jika anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawapan kami menunjukkan dimensi - unit.

b) Mengikut syarat, anda perlu mencari segi empat sama segi empat selari dibina pada vektor. Luas segi empat selari ini secara berangka sama dengan panjang produk vektor:

Jawab:

Sila ambil perhatian bahawa jawapannya tidak bercakap tentang produk vektor sama sekali; luas rajah, oleh itu, dimensi ialah unit persegi.

Kami sentiasa melihat APA yang perlu kami cari mengikut keadaan, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan jelas jawab. Ia mungkin kelihatan seperti literalisme, tetapi terdapat banyak ahli literal dalam kalangan guru, dan tugasan itu mempunyai peluang yang baik untuk dikembalikan untuk semakan. Sungguhpun ini bukanlah sesuatu yang terlalu mengada-ada - jika jawapannya salah, maka seseorang mendapat tanggapan bahawa orang itu tidak memahami perkara mudah dan/atau tidak memahami intipati tugasan itu. Perkara ini mesti sentiasa dikawal semasa menyelesaikan sebarang masalah dalam matematik yang lebih tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada dasarnya, ia mungkin juga dilampirkan pada penyelesaian, tetapi untuk memendekkan entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahaminya dan merupakan sebutan untuk perkara yang sama.

Contoh popular untuk penyelesaian DIY:

Contoh 2

Cari luas segi tiga yang dibina pada vektor jika

Formula untuk mencari luas segi tiga melalui produk vektor diberikan dalam ulasan kepada definisi. Penyelesaian dan jawapan ada di akhir pelajaran.

Dalam amalan, tugas itu adalah sangat biasa;

Untuk menyelesaikan masalah lain, kami memerlukan:

Sifat hasil darab vektor bagi vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa sifat produk vektor, bagaimanapun, saya akan memasukkannya ke dalam senarai ini.

Untuk vektor arbitrari dan nombor arbitrari, sifat berikut adalah benar:

1) Dalam sumber maklumat lain, item ini biasanya tidak diserlahkan dalam sifat, tetapi ia sangat penting dari segi praktikal. Jadi biarlah.

2) – harta itu juga dibincangkan di atas, kadangkala ia dipanggil antikomutatif. Dalam erti kata lain, susunan vektor adalah penting.

3) – bersekutu atau berpersatuan undang-undang produk vektor. Pemalar boleh dialihkan dengan mudah di luar produk vektor. Sebenarnya, apa yang perlu mereka lakukan di sana?

4) – pengedaran atau pengedaran undang-undang produk vektor. Tiada masalah dengan membuka kurungan sama ada.

Untuk menunjukkan, mari lihat contoh ringkas:

Contoh 3

Cari jika

Penyelesaian: Keadaan itu sekali lagi memerlukan mencari panjang produk vektor. Mari cat miniatur kami:

(1) Menurut undang-undang bersekutu, kami mengambil pemalar di luar skop produk vektor.

(2) Kami mengambil pemalar di luar modul, dan modul "makan" tanda tolak. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Jawab:

Sudah tiba masanya untuk menambah lebih banyak kayu pada api:

Contoh 4

Kira luas segi tiga yang dibina di atas vektor jika

Penyelesaian: Cari luas segi tiga menggunakan formula . Tangkapan adalah bahawa vektor "tse" dan "de" sendiri dibentangkan sebagai jumlah vektor. Algoritma di sini adalah standard dan agak mengingatkan contoh No. 3 dan 4 pelajaran Hasil darab titik bagi vektor. Untuk kejelasan, kami akan membahagikan penyelesaian kepada tiga peringkat:

1) Pada langkah pertama, kami menyatakan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, mari kita ungkapkan vektor dalam sebutan vektor. Tiada perkataan lagi panjang!

(1) Gantikan ungkapan vektor.

(2) Menggunakan undang-undang pengedaran, kami membuka kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial.

(3) Menggunakan undang-undang bersekutu, kami mengalihkan semua pemalar melangkaui produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 boleh dilakukan secara serentak.

(4) Sebutan pertama dan terakhir adalah sama dengan sifar (vektor sifar) kerana sifat yang bagus. Dalam istilah kedua kita menggunakan sifat antikomutatif bagi produk vektor:

(5) Kami mengemukakan istilah yang serupa.

Akibatnya, vektor ternyata dinyatakan melalui vektor, iaitu apa yang diperlukan untuk dicapai:

2) Dalam langkah kedua, kita mencari panjang produk vektor yang kita perlukan. Tindakan ini serupa dengan Contoh 3:

3) Cari luas segi tiga yang diperlukan:

Peringkat 2-3 penyelesaian boleh ditulis dalam satu baris.

Jawab:

Masalah yang dipertimbangkan agak biasa dalam ujian, berikut adalah contoh untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 5

Cari jika

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran. Mari lihat sejauh mana perhatian anda semasa mengkaji contoh sebelumnya ;-)

Hasil silang vektor dalam koordinat

Formulanya sangat mudah: di baris atas penentu kami menulis vektor koordinat, di baris kedua dan ketiga kami "meletakkan" koordinat vektor, dan kami meletakkan dalam susunan yang ketat– pertama koordinat vektor "ve", kemudian koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu didarab dalam susunan yang berbeza, maka baris harus ditukar:

Contoh 10

Semak sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:
A)
b)

Penyelesaian: Semakan adalah berdasarkan salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor adalah kolinear, maka hasil vektornya adalah sama dengan sifar (vektor sifar): .

a) Cari hasil vektor:

Oleh itu, vektor bukan kolinear.

b) Cari hasil vektor:

Jawab: a) bukan kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua maklumat asas tentang produk vektor bagi vektor.

Bahagian ini tidak akan menjadi sangat besar, kerana terdapat sedikit masalah di mana hasil campuran vektor digunakan. Sebenarnya, segala-galanya akan bergantung pada definisi, makna geometri dan beberapa formula yang berfungsi.

Hasil darab campuran bagi vektor ialah hasil darab tiga vektor:

Jadi mereka beratur seperti kereta api dan tidak sabar untuk dikenal pasti.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambar:

Definisi: Kerja campur bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil isipadu selari, dibina di atas vektor ini, dilengkapi dengan tanda “+” jika asasnya betul, dan tanda “–” jika asas dibiarkan.

Mari buat lukisan. Garisan yang tidak kelihatan kepada kami dilukis dengan garis putus-putus:

Mari kita selami definisi:

2) Vektor diambil dalam susunan tertentu, iaitu, penyusunan semula vektor dalam produk, seperti yang anda fikirkan, tidak berlaku tanpa akibat.

3) Sebelum mengulas tentang makna geometri, saya akan perhatikan fakta yang jelas: hasil darab campuran bagi vektor ialah NOMBOR: . Dalam kesusasteraan pendidikan, reka bentuk mungkin sedikit berbeza; Saya biasa menandakan produk campuran dengan , dan hasil pengiraan dengan huruf "pe".

Mengikut takrifan hasil campuran ialah isipadu selari, dibina pada vektor (angka dilukis dengan vektor merah dan garis hitam). Iaitu, nombor itu adalah sama dengan isipadu parallelepiped yang diberikan.

Nota : Lukisan adalah skematik.

4) Jangan risau lagi tentang konsep orientasi asas dan ruang. Maksud bahagian akhir ialah tanda tolak boleh ditambah pada kelantangan. Dengan kata mudah, produk campuran boleh menjadi negatif: .

Secara langsung dari definisi mengikut formula untuk mengira isipadu paip selari yang dibina pada vektor.

Dalam artikel ini kita akan membincangkan secara terperinci tentang konsep hasil silang dua vektor. Kami akan memberikan definisi yang diperlukan, menulis formula untuk mencari koordinat produk vektor, menyenaraikan dan mewajarkan sifatnya. Selepas ini, kita akan memikirkan makna geometri produk vektor dua vektor dan mempertimbangkan penyelesaian kepada pelbagai contoh biasa.

Navigasi halaman.

Definisi hasil silang.

Sebelum mentakrifkan produk vektor, mari kita fahami orientasi tiga tertib vektor dalam ruang tiga dimensi.

Mari kita lukiskan vektor dari satu titik. Bergantung pada arah vektor, ketiga-tiganya boleh ke kanan atau kiri. Mari kita lihat dari penghujung vektor bagaimana pusingan terpendek dari vektor ke . Jika putaran terpendek berlaku mengikut lawan jam, maka tiga kali ganda vektor dipanggil betul, jika tidak - kiri.

Sekarang mari kita ambil dua vektor bukan kolinear dan . Mari kita lukiskan vektor dan dari titik A. Mari kita bina beberapa vektor berserenjang dengan kedua-dua dan dan . Jelas sekali, apabila membina vektor, kita boleh melakukan dua perkara, memberikannya sama ada satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Bergantung pada arah vektor, triplet vektor yang dipesan boleh menjadi tangan kanan atau kidal.

Ini membawa kita hampir kepada definisi produk vektor. Ia diberikan untuk dua vektor yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi.

Definisi.

Hasil silang dua vektor dan , dinyatakan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi, dipanggil vektor supaya

Hasil silang vektor dan ditandakan sebagai .

Koordinat produk vektor.

Sekarang kami akan memberikan definisi kedua produk vektor, yang membolehkan anda mencari koordinatnya daripada koordinat vektor yang diberikan dan.

Definisi.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi hasil vektor dua vektor Dan ialah vektor , di manakah vektor koordinat.

Takrifan ini memberikan kita hasil silang dalam bentuk koordinat.

Adalah mudah untuk mewakili produk vektor sebagai penentu bagi matriks segi empat sama tertib ketiga, baris pertama ialah vektor, baris kedua mengandungi koordinat vektor, dan baris ketiga mengandungi koordinat vektor dalam sesuatu tertentu. sistem koordinat segi empat tepat:

Jika kita mengembangkan penentu ini ke dalam elemen baris pertama, kita memperoleh kesamaan daripada takrifan produk vektor dalam koordinat (jika perlu, rujuk artikel):

Perlu diingatkan bahawa bentuk koordinat produk vektor adalah konsisten sepenuhnya dengan definisi yang diberikan dalam perenggan pertama artikel ini. Selain itu, kedua-dua takrif produk silang ini adalah setara. Anda boleh melihat bukti fakta ini dalam buku yang disenaraikan di akhir artikel.

Sifat produk vektor.

Oleh kerana produk vektor dalam koordinat boleh diwakili sebagai penentu matriks, perkara berikut boleh dibenarkan dengan mudah berdasarkan sifat hasil silang:

Sebagai contoh, mari kita buktikan sifat antikomutatif bagi produk vektor.

Mengikut takrifan Dan . Kita tahu bahawa nilai penentu matriks diterbalikkan jika dua baris ditukar, oleh itu, , yang membuktikan sifat antikomutatif produk vektor.

Produk vektor - contoh dan penyelesaian.

Terdapat terutamanya tiga jenis masalah.

Dalam masalah jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka diberikan, dan anda perlu mencari panjang produk vektor. Dalam kes ini, formula digunakan .

Contoh.

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor dan, jika diketahui .

Penyelesaian.

Kita tahu daripada takrifan bahawa panjang produk vektor bagi vektor dan adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan dengan sinus sudut di antara mereka, oleh itu, .

Jawapan:

.

Masalah jenis kedua berkaitan dengan koordinat vektor, di mana produk vektor, panjangnya atau apa-apa lagi dicari melalui koordinat vektor yang diberikan Dan .

Terdapat banyak pilihan berbeza yang mungkin di sini. Sebagai contoh, bukan koordinat vektor dan boleh ditentukan, tetapi pengembangannya ke dalam vektor koordinat bentuk dan , atau vektor dan boleh ditentukan oleh koordinat titik mula dan tamatnya.

Mari lihat contoh biasa.

Contoh.

Dua vektor diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat . Cari hasil silang mereka.

Penyelesaian.

Menurut definisi kedua, hasil vektor dua vektor dalam koordinat ditulis sebagai:

Kami akan mencapai keputusan yang sama jika produk vektor telah ditulis dalam sebutan penentu

Jawapan:

.

Contoh.

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor dan , di manakah vektor unit bagi sistem koordinat Cartesan segi empat tepat.

Penyelesaian.

Mula-mula kita mencari koordinat produk vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat tertentu.

Oleh kerana vektor dan mempunyai koordinat dan, masing-masing (jika perlu, lihat koordinat artikel vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat), maka dengan takrif kedua produk vektor kita ada

Iaitu, produk vektor mempunyai koordinat dalam sistem koordinat tertentu.

Kami mencari panjang produk vektor sebagai punca kuasa dua jumlah kuasa dua koordinatnya (kami memperoleh formula ini untuk panjang vektor dalam bahagian mencari panjang vektor):

Jawapan:

.

Contoh.

Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, koordinat tiga titik diberikan. Cari beberapa vektor yang berserenjang dan pada masa yang sama.

Penyelesaian.

Vektor dan mempunyai koordinat dan, masing-masing (lihat artikel mencari koordinat vektor melalui koordinat titik). Jika kita menjumpai hasil darab vektor bagi vektor dan , maka secara takrif ia adalah vektor berserenjang dengan kedua-dua kepada dan kepada , iaitu, ia adalah penyelesaian kepada masalah kita. Jom cari dia

Jawapan:

- salah satu vektor serenjang.

Dalam masalah jenis ketiga, kemahiran menggunakan sifat produk vektor vektor diuji. Selepas menggunakan sifat, formula yang sepadan digunakan.

Contoh.

Vektor dan adalah berserenjang dan panjangnya ialah 3 dan 4, masing-masing. Cari panjang hasil silang .

Penyelesaian.

Dengan sifat pengedaran produk vektor, kita boleh menulis

Oleh kerana sifat gabungan, kami mengambil pekali berangka daripada tanda produk vektor dalam ungkapan terakhir:

Produk vektor dan adalah sama dengan sifar, kerana Dan , Kemudian.

Oleh kerana produk vektor adalah antikomutatif, maka .

Jadi, dengan menggunakan sifat produk vektor, kami mencapai kesamaan .

Mengikut keadaan, vektor dan berserenjang, iaitu, sudut di antara mereka adalah sama dengan . Iaitu, kami mempunyai semua data untuk mencari panjang yang diperlukan

Jawapan:

.

Makna geometri produk vektor.

Mengikut takrifan, panjang hasil darab vektor bagi vektor ialah . Dan dari kursus geometri sekolah tinggi kita tahu bahawa luas segitiga adalah sama dengan separuh hasil darab panjang dua sisi segitiga dan sinus sudut di antara mereka. Akibatnya, panjang produk vektor adalah sama dengan dua kali luas segitiga yang sisinya adalah vektor dan, jika ia diplot dari satu titik. Dalam erti kata lain, panjang produk vektor vektor dan adalah sama dengan luas segi empat selari dengan sisi dan dan sudut di antara mereka sama dengan . Ini ialah makna geometri produk vektor.