Produk skalar vektor untuk patung. Produk skalar vektor: teori dan menyelesaikan masalah

Vektor produk skalar.

Kami terus berurusan dengan vektor. Dalam pelajaran pertama Vektor untuk Teapots. Kami melihat konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor dan tugas yang paling mudah dengan vektor. Jika anda telah memasuki halaman ini untuk kali pertama dari enjin carian, saya sangat mengesyorkan membaca artikel pengenalan di atas, kerana perlu untuk menavigasi istilah yang digunakan oleh saya, notasi oleh saya, untuk mempunyai pengetahuan asas tentang vektor dan mampu untuk menyelesaikan tugas-tugas asas. Pelajaran ini adalah kesinambungan logik mengenai topik, dan di atasnya, saya akan menentukan tugas-tugas biasa di mana produk skalar vektor digunakan. Ini adalah pekerjaan yang sangat penting.. Cuba jangan ketinggalan contoh, bonus yang berguna dilampirkan kepada mereka - amalan ini akan membantu anda untuk membetulkan bahan yang diluluskan dan "mengisi tangan" untuk menyelesaikan tugas-tugas biasa geometri analitik.

Penambahan vektor, pendaraban vektor dengan nombor .... Ia akan menjadi naif untuk berfikir bahawa matematik tidak datang dengan apa-apa lagi. Sebagai tambahan kepada tindakan yang telah dikaji semula, terdapat beberapa operasi lain dengan vektor, iaitu: vektor produk skalar., vektor seni vektor. dan vektor campuran. Produk skalar dari vektor ini biasa kepada kami dari sekolah, dua karya lain secara tradisinya merujuk kepada perjalanan matematik yang lebih tinggi. Tema adalah mudah, algoritma untuk menyelesaikan banyak tugas stem dan dapat difahami. Satu-satu nya. Maklumat adalah baik, jadi tidak diingini untuk cuba menguasai segala-galanya dan segera. Ini terutama berlaku dari teapot, percayalah, penulis tidak mahu merasakan Chikatilo dari matematik. Nah, bukan dari matematik, sudah tentu, juga \u003d) Pelajar yang lebih bersedia boleh menggunakan bahan-bahan yang dipilih, dalam pengertian tertentu, "untuk mendapatkan" pengetahuan yang hilang, untuk anda saya akan menjadi graf yang tidak berbahaya Dracula \u003d)

Kami akan membuka, akhirnya, pintu dan melihat apa yang berlaku apabila dua versi bertemu antara satu sama lain ....

Definisi produk skalar vektor.
Sifat produk skalar. Tugas biasa

Konsep kerja skalar

First Pro. Sudut antara vektor.. Saya fikir semua orang adalah intuitif bahawa sudut antara vektor, tetapi hanya sekiranya sedikit lagi. Pertimbangkan vektor nonzero percuma dan. Jika anda menangguhkan vektor ini dari titik sewenang-wenang, maka ternyata gambar yang banyak telah dibentangkan secara mental:

Saya mengaku, di sini saya menyembunyikan keadaan hanya pada tahap pemahaman. Sekiranya anda memerlukan definisi yang ketat dari sudut antara vektor, sila hubungi buku teks, untuk tugas praktikal, ia adalah pada dasarnya untuk apa-apa. Juga selepas ini, saya akan berada di tempat untuk mengabaikan vektor sifar kerana kepentingan praktikal mereka yang kecil. Tempahan yang dibuat khusus untuk pelawat laman lanjutan yang boleh mencela saya dalam ketidaklengkapan teoritis beberapa kenyataan berikutnya.

Ia boleh mengambil nilai dari 0 hingga 180 darjah (dari 0 hingga radian) termasuk. Secara analitik fakta ini direkodkan dalam bentuk ketidaksamaan ganda:

atau

(dalam radian).

Dalam kesusasteraan, ikon sudut sering melangkau dan menulis semata-mata.

Definisi: Produk skalar dari dua vektor dipanggil nombor yang sama dengan produk vektor ini di Cosine di sudut antara mereka:

Ini kini merupakan definisi yang ketat.

Kami memberi tumpuan kepada maklumat penting:

Jawatan: Produk skalar dilambangkan oleh atau semata-mata.

Hasil operasi adalah nombor: Vektor didarabkan oleh vektor, dan nombor itu diperolehi. Sesungguhnya, jika panjang vektor adalah nombor, kosine sudut - nombor, maka kerja mereka Terdapat juga nombor juga.

Segera beberapa contoh pemanasan:

Contoh 1.

Keputusan: Kami menggunakan formula itu . Dalam kes ini:

Jawab:

Nilai kosine boleh didapati di jadual trigonometri. Saya cadangkan untuk mencetaknya - ia akan diperlukan di hampir semua bahagian menara dan akan memerlukan banyak kali.

Murni dari sudut pandangan matematik Produk skalar tidak dimensi, iaitu, hasilnya, dalam kes ini, hanyalah nombor dan itu sahaja. Dari sudut pandangan tugas fizik, produk skalar sentiasa mempunyai makna fizikal tertentu, iaitu, selepas hasilnya, anda perlu menentukan unit fizikal tertentu. Contoh kanonik untuk mengira kerja daya boleh didapati di mana-mana buku teks (formula betul-betul adalah produk skalar). Oleh itu, kerja yang diukur di dalam joule, oleh itu, jawapannya akan direkodkan secara khusus, sebagai contoh,.

Contoh 2.

Cari jika Dan sudut antara vektor adalah sama.

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas, jawapan pada akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai produk skalar

Sebagai contoh 1, produk skalar adalah positif, dan dalam contoh 2 - negatif. Ketahui apa tanda produk skalar bergantung. Kami melihat formula kami: . Panjang vektor nonzero sentiasa positif: oleh itu tanda itu hanya bergantung kepada nilai kosino.

Nota: Untuk pemahaman yang lebih baik tentang maklumat di bawah, adalah lebih baik untuk meneroka jadual kosine dalam kaedah Carta dan sifat fungsi. Lihat bagaimana kosine pada segmen berkelakuan.

Seperti yang telah diperhatikan, sudut antara vektor mungkin berbeza-beza dalam Dan kes berikut adalah mungkin:

1) Jika sudut antara vektor. akut: (dari 0 hingga 90 darjah), maka , I. produk skalar akan positif soncledatedSudut di antara mereka dianggap sifar, dan produk skalar juga positif. Sejak itu, formula dipermudahkan :.

2) Jika sudut antara vektor. bodoh: (dari 90 hingga 180 darjah) , dan sepadan, produk skalar negatif:. Kes khas: Jika vektor diarahkan bertentanganKemudian sudut di antara mereka dianggap berlepas: (180 darjah). Produk skalar juga negatif kerana

Kenyataan yang adil dan pulangan:

1) Jika, sudut antara data vektor adalah tajam. Sebagai alternatif, vektor disalut.

2) Jika, sudut antara vektor data adalah bodoh. Sebagai alternatif, vektor diarahkan sebaliknya.

Tetapi kes ketiga adalah minat khusus:

3) Jika sudut antara vektor. lurus: (90 darjah), kemudian produk skalar adalah sifar:. Sebaliknya juga benar: jika, maka. Penyata padat diformulasikan seperti berikut: Produk skalar dari dua vektor adalah sifar jika dan hanya jika vektor ini adalah ortogonal. Rakaman Matematik Pendek:

! Nota : Ulang asas logik matematik: Ikon akibat logik dua hala biasanya dibaca "jika dan hanya kemudian", "dalam itu dan hanya dalam kes itu." Seperti yang dapat anda lihat, anak panah diarahkan di kedua-dua belah pihak - "Ini berikut dari ini, dan kembali - dari itu, ia berikut." Apa, dengan cara ini, perbezaan dari ikon berikut unilateral? Ikon meluluskan itu sahajabahawa "ini berikut dari ini", dan bukan hakikat bahawa sebaliknya adalah betul. Sebagai contoh: tetapi tidak setiap binatang adalah Panther, jadi dalam hal ini adalah mustahil untuk menggunakan ikon. Pada masa yang sama, bukan ikon boleh Gunakan ikon sehala. Sebagai contoh, menyelesaikan tugas itu, kami mendapati bahawa kami membuat kesimpulan bahawa vektor adalah ortogonal: - Rekod sedemikian akan betul, dan lebih relevan daripada .

Kes ketiga mempunyai kepentingan praktikal yang besar.Kerana ia membolehkan anda menyemak, vektor ortogonal atau tidak. Kami menyelesaikan tugas ini di bahagian kedua pelajaran.

Sifat-sifat sekeping skalar

Mari kita kembali ke keadaan apabila dua versi soncledated. Dalam kes ini, sudut di antara mereka adalah sifar, dan formula produk skalar mengambil bentuk :.

Dan apa yang akan berlaku jika vektor itu didarabkan kepada diri sendiri? Sudah jelas bahawa vektor disalut dengan dirinya sendiri, jadi kami menggunakan formula yang disimpulkan di atas:

Nombor itu dipanggil scalar Square. Vektor, dan dirujuk sebagai.

Dengan cara ini, Vector Scalar Square adalah sama dengan dataran panjang vektor ini:

Dari kesaksamaan ini, anda boleh mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor:

Walaupun ia kelihatan tidak terganggu, tetapi tugas-tugas pelajaran akan hilang. Untuk menyelesaikan masalah, kami juga perlu sifat-sifat sekeping skalar.

Untuk vektor sewenang-wenang dan nombor apa-apa, sifat-sifat berikut adalah sah:

1) - Pergerakan atau komutatif Undang-undang kerja skalar.

2) - Pengedaran atau distributif Undang-undang kerja skalar. Ringkasnya, anda boleh mendedahkan kurungan.

3) - bernafas atau bersekutu Undang-undang kerja skalar. Pemalar boleh diambil dari produk skalar.

Selalunya, pelbagai jenis hartanah (yang masih diperlukan!) Yang dilihat oleh pelajar sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu dihantar dan segera selepas peperiksaan dilupakan dengan selamat. Nampaknya ada yang penting di sini, segala-galanya dan dari kelas pertama mengetahui bahawa kerja itu tidak berubah dari permutasi pengganda :. Mesti memberi amaran, dalam matematik yang lebih tinggi dengan pendekatan yang sama, mudah untuk menyekat kayu api. Jadi, sebagai contoh, harta peralihan tidak adil untuk matriks algebra. Adalah salah untuk vektor seni vektor.. Oleh itu, dalam apa-apa sifat yang akan anda jumpai dalam perlawanan matematik yang lebih tinggi, sekurang-kurangnya, lebih baik untuk menyelidiki untuk memahami apa yang boleh anda lakukan, tetapi mengapa tidak mustahil.

Contoh 3.

Keputusan:Pertama, jelaskan keadaan dengan vektor. Apa itu sama sekali? Jumlah vektor adalah vektor yang benar-benar ditakrifkan, yang ditunjukkan melalui. Tafsiran geometri tindakan dengan vektor boleh didapati dalam artikel Vektor untuk Teapots.. Parsley yang sama dengan vektor adalah jumlah vektor dan.

Jadi, dengan syarat, ia perlu mencari produk skalar. Secara teori, anda perlu memohon formula kerja Tetapi masalahnya adalah bahawa kita tidak diketahui oleh panjang vektor dan sudut di antara mereka. Tetapi dalam keadaan yang diberikan parameter yang sama untuk vektor, jadi kita akan pergi cara yang berbeza:

(1) Kami menggantikan ungkapan vektor.

(2) mendedahkan kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial, anda boleh mencari mantra dalam artikel. Nombor kompleks atau Mengintegrasikan fungsi rasional pecahan. Saya tidak akan mengulang \u003d) dengan cara itu, untuk mendedahkan kurungan kepada kami semua harta pengedaran produk skalar. Kami mempunyai hak.

(3) Pada masa pertama dan terakhir, dataran skalar vektor adalah padat: . Pada yang kedua, kami menggunakan penyusunan semula produk skalar :.

(4) Kami memberi istilah yang sama :.

(5) Dalam istilah pertama, kita menggunakan formula persegi skalar, yang disebutkan tidak lama dahulu. Dalam jangka masa terakhir, dengan itu, perkara yang sama berfungsi :. Istilah kedua berkembang mengikut formula standard .

(6) Kami menggantikan syarat-syarat ini , dan berhati-hati menjalankan pengiraan akhir.

Jawab:

Nilai negatif produk skalar menyatakan hakikat bahawa sudut antara vektor tumpul.

Tugas tipikal, berikut adalah contoh untuk penyelesaian bebas:

Contoh 4.

Cari produk skalar vektor dan, jika anda tahu itu .

Sekarang satu lagi tugas biasa hanyalah formula panjang vektor baru. Jawatan di sini akan menjadi sedikit bertepatan, jadi untuk kejelasan saya akan menulis semula dengan huruf lain:

Contoh 5.

Cari panjang vektor jika .

Keputusan Ia akan seperti berikut:

(1) Kami membekalkan ungkapan vektor.

(2) menggunakan formula panjang:, sementara sebagai vektor "VE", kita mempunyai ungkapan integer.

(3) Kami menggunakan Formula Ringkasan Ringkasan Summer. Sila ambil perhatian bagaimana ia berfungsi penasaran di sini: "Malah, ini adalah persegi perbezaan, dan, sebenarnya, itu adalah." Mereka yang ingin menyusun semula vektor di tempat-tempat: - Ia ternyata sama dengan ketepatan alkali.

(4) Selanjutnya sudah biasa dari dua tugas sebelumnya.

Jawab:

Jika anda bercakap tentang panjang, jangan lupa untuk menentukan dimensi - "Unit".

Contoh 6.

Cari panjang vektor jika .

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Kami terus memerah perkara yang berguna dari produk skalar. Sekali lagi, mari lihat formula kami . Mengikut peraturan perkadaran untuk menetapkan semula panjang vektor di dalam penyebut sebelah kiri:

Dan bahagian akan menukar tempat:

Apakah maksud formula ini? Sekiranya panjang dua vektor dan produk skalar mereka diketahui, maka kosine sudut antara vektor data boleh dikira, dan, akibatnya, sudut itu sendiri.

Produk skalar adalah nombor? Nombor. Panjang Vektor - Nombor? Nombor. Jadi, pecahan juga beberapa nombor. Dan jika cosine di sudut diketahui: , mudah untuk mencari sudut sendiri menggunakan fungsi terbalik: .

Contoh 7.

Cari sudut antara vektor dan, jika diketahui itu.

Keputusan: Kami menggunakan formula:

Pada peringkat akhir pengiraan, penerimaan teknikal digunakan - penghapusan irasional dalam penyebut. Untuk menghapuskan ketidakseimbangan, saya menguasai Nizer dan penyebut pada.

Jadi kalau , kemudian:

Nilai fungsi trigonometri songsang boleh didapati oleh jadual trigonometri. Walaupun ia jarang berlaku. Dalam tugas-tugas geometri analitik, beberapa jenis beruang samar nampaknya kelihatan lebih kerap, dan nilai sudut perlu mencari kira-kira menggunakan kalkulator. Sebenarnya, kita masih akan mengulangi gambar sedemikian.

Jawab:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - radian dan darjah. Secara peribadi, saya pasti akan "mengeluarkan semua soalan", saya lebih suka menunjukkan kedua-duanya (jika, dengan syarat, tentu saja, tidak perlu untuk membentangkan jawapan hanya dalam radian atau hanya dalam darjah).

Sekarang anda boleh menghadapi tugas yang lebih kompleks:

Contoh 7 *

Danies - panjang vektor, dan sudut di antara mereka. Cari sudut antara vektor ,.

Tugas itu tidak begitu rumit sebagai pelbagai.
Kami akan menganalisis algoritma penyelesaian:

1) Di bawah keadaan yang diperlukan untuk mencari sudut antara vektor dan, jadi anda perlu menggunakan formula itu .

2) Cari produk skalar (lihat contoh nombor 3, 4).

3) Kami mendapati panjang vektor dan panjang vektor (lihat contoh nombor 5, 6).

4) Penyempurnaan keputusan bertepatan dengan contoh nombor 7 - kita tahu nombor itu, dan oleh itu mudah untuk mencari sudut itu sendiri:

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bahagian kedua pelajaran itu ditumpukan kepada produk skalar yang sama. Koordinat. Ia akan menjadi lebih mudah daripada di bahagian pertama.

Produk skalar vektor,
meminta koordinat dalam asas ortonormal

Jawab:

Apa yang hendak dikatakan, untuk menangani koordinat adalah lebih menyenangkan.

Contoh 14.

Cari produk skalar vektor dan jika

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Di sini anda boleh menggunakan persatuan operasi, iaitu, tidak dikira, tetapi segera membawa tiga teratas di luar produk skalar dan naik taraf ke yang terakhir. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Dalam kesimpulan contoh provokatif perenggan untuk mengira panjang vektor:

Contoh 15.

Cari vektor panjang , sekiranya

Keputusan:kaedah bahagian sebelumnya muncul semula: tetapi ada jalan lain:

Cari vektor:

Dan panjangnya dalam formula remeh :

Produk skalar tidak di sini sama sekali.

Tidak kerana tidak, apabila mengira panjang vektor:
Berhenti. Jangan mengambil kesempatan daripada harta yang jelas dari panjang vektor? Apa yang boleh dikatakan mengenai panjang vektor? Vektor ini lebih lama vektor 5 kali. Arah adalah sebaliknya, tetapi ia tidak memainkan peranan, kerana bercakap tentang panjang. Jelas sekali, panjang vektor adalah sama dengan kerja modul Nombor untuk panjang vektor:
- Tanda modul "makan" nombor tolak yang mungkin.

Dengan cara ini:

Jawab:

Formula cosine sudut antara vektor yang ditetapkan oleh koordinat

Sekarang kita mempunyai maklumat lengkap kepada formula cosine yang telah diperolehi sebelum vektor Menyatakan melalui koordinat vektor:

Sudut cosine antara vektor pesawat dan dinyatakan dalam asas ortonormal, formula dinyatakan:
.

Sudut cosine antara vektor ruang ditakrifkan dalam asas ortonormal formula dinyatakan:

Contoh 16.

Tiga titik segitiga diberikan. Cari (sudut di bahagian atas).

Keputusan:Dengan syarat, lukisan tidak diperlukan, tetapi masih:

Sudut yang dikehendaki ditandakan dengan arka hijau. Segera ingat penetapan sekolah di sudut: - Perhatian khusus kepada tengah Surat itu adalah bahagian atas sudut yang anda perlukan. Untuk keringkasan, ia juga mungkin untuk merakam semata-mata.

Ia jelas dari lukisan bahawa sudut segitiga bertepatan dengan sudut antara vektor dan, dengan kata lain: .

Analisis ini lebih baik belajar untuk melaksanakan mental.

Cari Vectors:

Kami mengira produk skalar:

Dan panjang vektor:

Sudut Cosine:

Ia adalah prosedur untuk melaksanakan tugas yang mengesyorkan teko. Pembaca yang lebih bersedia boleh merakam pengiraan "satu baris":

Berikut adalah contoh nilai kosine yang "buruk". Nilai yang diperolehi tidak muktamad, jadi tidak ada akal untuk menghilangkan ketidakberdayaan di dalam penyebut.

Cari sudut itu sendiri:

Sekiranya anda melihat lukisan itu, hasilnya agak boleh dipercayai. Untuk memeriksa sudut juga boleh diukur dan pengangkut. Jangan merosakkan salutan monitor \u003d)

Jawab:

Sebagai tindak balas, jangan lupa itu ditanya mengenai sudut segitiga (dan bukan tentang sudut antara vektor), jangan lupa untuk menentukan jawapan yang tepat: dan nilai anggaran sudut: didapati menggunakan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati proses itu dapat mengira sudut, dan memastikan keadilan kesaksamaan kanonik

Contoh 17.

Ruang ini diberikan oleh koordinat segitiga simpang mereka. Cari sudut antara pihak-pihak dan

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran

Bahagian akhir kecil akan dikhaskan untuk unjuran di mana produk skalar juga "terlibat":

Unjuran vektor pada vektor. Unjuran vektor pada koordinat paksi.
Panduan Cosine Vektor.

Pertimbangkan vektor dan:

Vektor sprogit pada vektor, untuk ini, dari awal dan akhir vektor omit perpengiculary. pada vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan bahawa sinar cahaya secara tegak jatuh ke dalam vektor. Kemudian segmen (garis merah) akan menjadi "bayangan" vektor. Dalam kes ini, unjuran vektor pada vektor adalah panjang segmen. Iaitu, unjuran adalah nombor.

Nombor ini ditunjukkan seperti berikut:, "Vektor Besar" menunjukkan vektor Yang mana unjuran, "vektor substrat kecil" menunjukkan vektor PADA yang diunjurkan.

Rekod itu sendiri dibaca seperti ini: "Unjuran vektor" A "pada vektor menjadi."

Apa yang berlaku jika vektor menjadi "terlalu pendek"? Kami menjalankan garis lurus yang mengandungi vektor menjadi. Dan vektor "A" akan diproyeksikan pada arah vektor "menjadi"Ringkas - pada garis lurus yang mengandungi vektor menjadi. Begitu juga jika vektor "A" ditangguhkan pada tahun ketiga puluh kerajaan - ia masih mudah disangkal dengan garis lurus yang mengandungi vektor menjadi.

Jika Corner. antara vektor. akut (seperti dalam angka), kemudian

Jika vektor. ortogonal., maka (unjuran adalah titik, dimensi yang dianggap sifar).

Jika Corner. antara vektor. bodoh(Dalam angka, secara mental menyusun semula anak panah vektor), kemudian (panjang yang sama, tetapi diambil dengan tanda minus).

Saya akan menangguhkan vektor ini dari satu titik:

Jelas sekali, apabila memindahkan vektor, unjurannya tidak berubah

I. Produk skalar ditarik kepada sifar dalam hal itu dan hanya dalam kes apabila sekurang-kurangnya salah satu daripada vektor adalah sifar atau jika vektor berserenjang. Malah, jika sama ada, atau itu.

Kembali, jika vektor pembolehubah tidak sifar, maka kerana keadaan itu

apabila ia mengikuti:

Oleh kerana arah vektor sifar tidak pasti, vektor sifar boleh dianggap berserenjang dengan mana-mana vektor. Oleh itu, harta yang ditentukan produk skalar boleh dirumuskan secara ringkas: Produk skalar ditarik kepada sifar dalam hal itu dan hanya kes apabila vektor berserenjang.

Ii. Produk skalar mempunyai harta bergerak:

Harta ini secara langsung mengikuti definisi:

kerana pelbagai jawatan di sudut yang sama.

Iii. Undang-undang pengagihan sangat penting. Penggunaannya adalah seperti yang besar dalam aritmetik atau algebra biasa, di mana ia dirumuskan sebagai: Untuk melipatgandakan jumlah, anda perlu melipatgandakan setiap baik dan dilipat karya yang diperolehi, i.e .. ..

Jelas sekali, pendaraban nombor multivaluasi dalam aritmetik atau polinomial dalam algebra adalah berdasarkan harta pendaraban ini.

Undang-undang ini mempunyai kepentingan utama yang sama dalam algebra vektor, kerana atas dasarnya kita boleh memohon kepada vektor peraturan pendaraban biasa polinomial.

Kami membuktikan bahawa untuk mana-mana tiga vektor A, B, dengan kesamarataan

Menurut definisi kedua produk skalar, yang dinyatakan oleh formula, kita memperoleh:

Memohon sekarang harta 2 unjuran dari § 5, kita dapati:

q.e.d.

Iv. Produk skalar mempunyai ketepatan kombinasi berbanding dengan faktor berangka; Harta ini dinyatakan seperti berikut:

i.E. Untuk melipatgandakan produk skalar vektor dengan nombor, ia cukup untuk melipatgandakan oleh nombor satu faktor ini.

Akan ada tugas untuk penyelesaian bebas yang anda dapat melihat jawapannya.

Jika dalam tugas dan panjang vektor, dan sudut di antara mereka dibentangkan "pada piring dengan pemacu biru", maka keadaan masalah dan penyelesaiannya kelihatan seperti ini:

Contoh 1.Vector yang luas. Cari produk skalar vektor jika panjang dan sudut mereka di antara mereka dibentangkan dalam makna berikut:

Takrifan lain juga ditakrifkan, bersamaan sepenuhnya dengan definisi 1.

Definisi 2.. Produk skalar vektor dipanggil nombor (skalar), sama dengan panjang panjang vektor ini pada unjuran vektor lain pada paksi yang ditentukan oleh yang pertama dari vektor yang dinyatakan. Formula Menurut Definisi 2:

Tugas dengan penggunaan formula ini diselesaikan selepas titik teoretikal yang penting akan datang.

Penentuan produk skalar vektor melalui koordinat

Nombor yang sama boleh diperolehi jika vektor pembolehubah ditetapkan oleh koordinat mereka.

Definisi 3. Produk skalar vektor adalah nombor yang sama dengan jumlah kerja pasangan yang bekerja di koordinat masing-masing.

Di Surface.

Jika dua versi dan di atas kapal terbang ditakrifkan oleh dua mereka koordinat segi empat Cartesian

produk skalar vektor ini adalah sama dengan jumlah kerja pasangan yang bekerja di koordinat masing-masing:

Contoh 2.Cari magnitud numerik unjuran vektor pada paksi selari dengan vektor.

Keputusan. Kami mendapati produk skalar vektor, melipat kerja pasangan koordinat mereka:

Sekarang kita perlu menyamakan produk skalar yang dihasilkan dari vektor panjang vektor pada unjuran vektor pada paksi selari dengan vektor (selaras dengan formula).

Kami mendapati panjang vektor sebagai akar persegi dari jumlah kuadrat koordinatnya:

Kami menyusun persamaan dan menyelesaikannya:

Jawab. Nilai berangka yang dikehendaki adalah minus 8.

Di angkasa

Jika dua versi dan ruang ditakrifkan oleh tiga koordinat segi empat cartesian mereka

produk skalar vektor ini juga sama dengan jumlah kerja-kerja pasangan koordinat masing-masing, hanya koordinat sudah tiga:

Tugas mencari produk skalar dengan kaedah yang dipertimbangkan - selepas menguraikan sifat produk skalar. Kerana tugas itu perlu menentukan vektor pembolehubah yang membentuk sudut.

Properties produk skalar vektor

Sifat algebra

1. (memindahkan harta: Dari perubahan di tempat vektor variabel, magnitud produk skalar mereka tidak berubah).

2. (nombor Telefon Combulator Proport: Produk skalar vektor yang didarabkan oleh beberapa pengganda, dan vektor lain, sama dengan produk skalar vektor ini, didarab dengan faktor yang sama).

3. (pengagihan berbanding dengan jumlah vektor harta: Produk skalar dari jumlah dua vektor pada vektor ketiga adalah sama dengan jumlah karya skalar vektor pertama pada vektor ketiga dan vektor kedua pada vektor ketiga).

4. (vektor persegi skalar lebih sifar), jika ia adalah vektor nonzero, dan, jika - vektor sifar.

Ciri-ciri geometri.

Dalam definisi operasi yang disambungkan, kami telah mempelajari konsep sudut antara dua vektor. Sudah tiba masanya untuk menjelaskan konsep ini.

Angka di atas menunjukkan dua vektor, yang ditunjukkan kepada permulaan umum. Dan perkara pertama untuk memberi perhatian kepada: Terdapat dua sudut antara vektor ini - φ 1 dan φ 2 . Antara sudut yang manakah muncul dalam definisi dan sifat produk skalar vektor? Jumlah sudut yang dipertimbangkan adalah sama dengan 2 π Oleh itu, kosinasi sudut ini sama. Takrif produk skalar hanya termasuk kosine sudut, dan bukan makna ungkapannya. Tetapi hanya satu sudut yang dipertimbangkan dalam sifat-sifatnya. Dan ini adalah salah satu daripada dua sudut yang tidak melebihi π , iaitu 180 darjah. Dalam gambar, sudut ini ditunjukkan sebagai φ 1 .

1. Dua panggilan vektor ortogonal. dan sudut antara vektor ini - langsung (90 darjah atau π / 2) jika produk skalar vektor ini adalah sifar :

Ortodalisme dalam algebra vektor adalah ketegangan dua vektor.

2. Dua vektor bukan sifar membentuk sudut tajam (dari 0 hingga 90 darjah, atau, yang sama - kurang π produk skalar secara positif .

3. Dua vektor bukan sifar adalah sudut cakah (dari 90 hingga 180 darjah, atau perkara yang sama lebih banyak lagi π / 2) jika dan hanya apabila mereka produk skalar negatif .

Contoh 3. Vektor diberikan dalam koordinat:

Hitung kerja skalar semua pasangan vektor ini. Apa sudut (tajam, lurus, bodoh) membentuk pasangan vektor ini?

Keputusan. Hitung akan menjadi penambahan karya-karya koordinat yang berkaitan.

Menerima nombor negatif, jadi vektor membentuk sudut bodoh.

Menerima nombor positif, jadi vektor membentuk sudut tajam.

Menerima sifar, jadi vektor membentuk sudut lurus.

Menerima nombor positif, jadi vektor membentuk sudut tajam.

Untuk ujian diri yang anda boleh gunakan kalkulator dalam talian produk skalar vektor dan sudut cosine di antara mereka .

Contoh 4. Panjang kedua-dua vektor dan sudut di antara mereka diberikan:

Menentukan, dengan apa nilai bilangan vektor dan ortogonal (serenjang).

Keputusan. Pindahkan vektor mengikut peraturan pendaraban polinomial:

Sekarang kita mengira setiap istilah:

Buat persamaan (kesamaan kerja sifar), kami membentangkan ahli yang sama dan menyelesaikan persamaan:

Jawapan: Kami mendapat nilai λ \u003d 1.8, di mana vektor adalah ortogonal.

Contoh 5.Buktikan vektor itu vektor ortogonal (serenjang)

Keputusan. Untuk menyemak ortogonaliti, vektor yang berubah-ubah dan sebagai polinomial, menggantikan bukannya ungkapan yang diberikan dalam keadaan terk:

Untuk melakukan ini, setiap ahli (istilah) polinomial pertama yang berlipat ganda kepada setiap ahli yang kedua dan kerja yang diperoleh dilipat:

Dalam hasilnya, pecahan dikurangkan dengan perbelanjaan. Hasil berikut diperolehi:

Kesimpulan: Hasil daripada pendaraban, sifar, oleh itu, ortogonality (perpendicularity) dari vektor dibuktikan.

Menyelesaikan tugas itu sendiri, dan kemudian melihat keputusan itu

Contoh 6. Panjang vektor diberikan dan, dan sudut antara vektor ini adalah sama π / Empat. Tentukan dengan nilai apa μ Vektor dan saling tegak.

Untuk ujian diri yang anda boleh gunakan kalkulator dalam talian produk skalar vektor dan sudut cosine di antara mereka .

Perwakilan matriks produk skalar vektor dan produk vektor n-dimensi

Kadang-kadang kemenangan untuk kejelasan adalah perwakilan dua vektor pembolehubah dalam bentuk matriks. Kemudian vektor pertama diwakili sebagai rentetan matriks, dan yang kedua - dalam bentuk matriks lajur:

Maka produk skalar vektor akan menjadi produk matriks ini :

Hasilnya adalah sama seperti kaedah yang diperolehi, yang telah kita pertimbangkan. Kami menerima satu nombor tunggal, dan produk rentetan matriks pada matriks lajur juga satu nombor tunggal.

Dalam bentuk matriks, ia mudah untuk mewakili produk vektor abstrak n-dimensi. Oleh itu, produk dua vektor empat dimensi akan menjadi produk rentetan matriks dengan empat elemen pada matriks lajur juga dengan empat elemen, produk dua vektor lima dimensi - produk rentetan matriks dengan lima elemen pada Matriks lajur juga dengan lima elemen dan sebagainya.

Contoh 7. Cari karya skalar vektor stim

menggunakan perwakilan matriks.

Keputusan. Pasangan pertama vektor. Kami membentangkan vektor pertama dalam bentuk rentetan matriks, dan yang kedua - dalam bentuk matriks lajur. Kami mendapati produk skalar vektor ini sebagai produk rentetan matriks pada matriks lajur:

Begitu juga, kami membentangkan pasangan kedua dan mencari:

Seperti yang dapat kita lihat, hasilnya berubah sama seperti pasangan yang sama dari contoh 2.

Sudut antara dua vektor

Keluaran formula cosine di antara dua vektor sangat cantik dan ringkas.

Untuk menyatakan produk skalar vektor

(1)

dalam bentuk koordinat, kami akan menentukan produk skalar dari Ort. Produk skalar vektor itu sendiri dengan definisi:

Apa yang dicatatkan dalam formula di atas bermakna: produk skalar vektor pada dirinya sendiri adalah sama dengan segi empat panjangnya. Cosine of sifar adalah sama dengan satu, jadi persegi setiap ort akan sama dengan satu: