Contoh:

\ (4 ^ x = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4.8 \)
\ ((\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \ cdot (\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 = 0 \)

Cara menyelesaikan persamaan eksponensial

Semasa menyelesaikan persamaan eksponensial, kami berusaha untuk membawa ke bentuk \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \), dan kemudian melakukan peralihan ke persamaan penunjuk, iaitu:

\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)

Sebagai contoh:\ (2 ^ (x + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (x + 1 = 2 \)

Penting! Dari logik yang sama, terdapat dua syarat untuk peralihan seperti itu:
- nombor dalam kiri dan kanan harus sama;
- darjah kiri dan kanan mesti "bersih", iaitu, tidak boleh ada pendaraban, pembelahan, dll.

Sebagai contoh:

Untuk mengurangkan persamaan ke bentuk \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \), gunakan dan.

Contohnya ... Selesaikan persamaan eksponen \ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)
Penyelesaian:

Tahap pertama

Persamaan eksponen. Panduan Komprehensif (2019)

Hey! Hari ini kita akan membincangkan dengan anda bagaimana menyelesaikan persamaan, yang boleh menjadi asas (dan saya harap setelah membaca artikel ini, hampir semuanya akan sesuai untuk anda), dan yang biasanya diberikan "untuk diisi." Rupanya tertidur sepenuhnya. Tetapi saya akan berusaha melakukan yang terbaik agar sekarang anda tidak tersinggung ketika menghadapi persamaan jenis ini. Saya tidak akan mengalahkan belukar lagi, tetapi saya akan segera membongkar sedikit rahsia: hari ini kita akan belajar persamaan eksponensial.

Sebelum meneruskan analisis cara menyelesaikannya, saya akan segera menggariskan di hadapan anda satu lingkaran soalan (agak kecil), yang harus anda ulangi sebelum bergegas menyerbu topik ini. Jadi, untuk hasil terbaik, silakan ulangi:

1. Hartanah dan
2. Penyelesaian dan persamaan

Berulang kali? Hebat! Maka tidak sukar bagi anda untuk memperhatikan bahawa punca persamaan adalah nombor. Adakah anda faham dengan tepat bagaimana saya melakukannya? Kebenaran? Kemudian mari kita teruskan. Sekarang jawab saya soalan, apakah darjah ketiga? Awak sememangnya betul: . Dan lapan adalah kekuatan dua? Betul - yang ketiga! Kerana. Baiklah, sekarang mari kita cuba menyelesaikan masalah berikut: Biarkan saya menggandakan nombor dengan satu kali dan mendapatkan hasilnya. Persoalannya, berapa kali saya menggandakan diri? Anda tentu boleh menyemaknya secara langsung:

\ begin (align) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ akhir ( sejajar)

Maka anda dapat menyimpulkan bahawa saya telah menggandakan diri saya sendiri. Bagaimana lagi anda boleh mengesahkan ini? Dan inilah caranya: secara langsung mengikut definisi ijazah:. Tetapi, anda mesti mengakui, jika saya bertanya berapa kali dua harus dikalikan dengan sendirinya untuk mendapatkan, katakanlah, anda akan memberitahu saya: Saya tidak akan menipu diri sendiri dan membiak dengan sendiri sehingga saya berubah menjadi biru di wajah. Dan dia pasti betul. Kerana bagaimana anda boleh tuliskan semua tindakan secara ringkas(dan singkatnya adalah saudara bakat)

di mana - ini sangat "Kali" apabila anda membiak dengan sendiri.

Saya rasa anda tahu (dan jika anda tidak tahu, segera, sangat perlu mengulangi darjah!) Oleh itu, masalah saya akan ditulis dalam bentuk:

Di manakah anda dapat membuat kesimpulan yang sepenuhnya dibenarkan bahawa:

Oleh itu, saya tidak menulis yang paling mudah persamaan eksponensial:

Malah menjumpainya akar... Tidakkah anda berfikir bahawa semuanya remeh? Jadi saya fikir sama. Inilah contoh lain untuk anda:

Tetapi apa yang harus dilakukan? Anda tidak boleh menulisnya sebagai kekuatan nombor (munasabah). Jangan putus asa dan perhatikan bahawa kedua-dua nombor ini dinyatakan dengan sempurna dari segi kekuatan nombor yang sama. Yang mana satu? Betul:. Kemudian persamaan asal diubah menjadi bentuk:

Di mana, seperti yang telah anda fahami,. Jangan lagi menarik dan menulis takrif:

Dalam kes kami dengan anda:.

Persamaan ini diselesaikan dengan mengurangkannya ke bentuk:

dengan penyelesaian persamaan berikutnya

Kami, sebenarnya, melakukan ini dalam contoh sebelumnya: kami mendapatnya. Dan kami menyelesaikan persamaan termudah dengan anda.

Nampaknya tidak ada yang rumit, bukan? Mari amalkan yang paling mudah terlebih dahulu. contoh:

Kami sekali lagi melihat bahawa sisi kanan dan kiri persamaan perlu diwakili sebagai kekuatan satu nombor. Benar, ini sudah dilakukan di sebelah kiri, tetapi di sebelah kanan ada nombor. Tetapi, tidak mengapa, kerana persamaan saya secara ajaib akan berubah menjadi:

Apa yang perlu saya gunakan di sini? Apakah peraturannya? Peraturan Darjah ke Ijazah yang berbunyi:

Bagaimana jika:

Sebelum menjawab soalan ini, mari kita isi plat berikut:

Tidak sukar bagi kita untuk memperhatikan bahawa semakin kecil, semakin rendah nilainya, namun demikian, semua nilai ini lebih besar daripada sifar. DAN INI AKAN SELALU !!! Harta yang sama berlaku UNTUK SETIAP ASAS DENGAN SETIAP INDIKATOR !! (untuk mana-mana dan). Lalu apa yang dapat kita simpulkan mengenai persamaan itu? Dan inilah yang: itu tidak mempunyai akar! Seperti tidak mempunyai akar, dan persamaan apa pun. Sekarang mari kita berlatih dan Mari kita selesaikan contoh mudah:

Mari kita periksa:

1. Tidak ada yang diperlukan dari anda di sini, kecuali untuk pengetahuan tentang sifat darjah (yang, by the way, saya meminta anda untuk mengulangi!) Sebagai peraturan, semuanya membawa kepada alasan yang paling sedikit:. Maka persamaan asal akan sama dengan yang berikut: Yang saya perlukan hanyalah menggunakan sifat darjah: ketika mengalikan nombor dengan pangkalan yang sama, kekuatan ditambahkan, dan ketika membahagi, mereka akan dikurangkan. Kemudian saya dapat: Baiklah, sekarang, dengan hati nurani yang jelas, saya akan beralih dari persamaan eksponensial ke garis lurus: \ begin (align)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& x = 0. \\
\ end (sejajar)

2. Dalam contoh kedua, anda perlu lebih berhati-hati: masalahnya ialah di sebelah kiri kita tidak akan dapat memaparkannya dalam bentuk kekuatan nombor yang sama. Dalam kes ini, kadangkala bermanfaat mewakili nombor sebagai produk darjah dengan asas yang berbeza, tetapi petunjuk yang sama:

Bahagian kiri persamaan akan berbentuk: Apa yang diberikan ini kepada kita? Inilah yang: Nombor dengan asas yang berbeza, tetapi petunjuk yang sama dapat dikalikan.Dalam kes ini, asasnya digandakan, dan penunjuknya tidak berubah:

Sesuai dengan keadaan saya, ini akan memberi:

\ mula (sejajar)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400, \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400, \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\ end (sejajar)

Tidak teruk, bukan?

3. Saya tidak menyukainya apabila, tidak perlu, di satu sisi persamaan terdapat dua istilah, dan di sisi lain - tidak ada (kadang-kadang, tentu saja, ini dibenarkan, tetapi ini tidak berlaku sekarang). Gerakkan istilah tolak ke kanan:

Sekarang, seperti sebelumnya, saya akan menulis semuanya dari segi kekuatan tiga:

Tambahkan kuasa di sebelah kiri dan dapatkan persamaan yang setara

Anda boleh mencari akarnya dengan mudah:

4. Seperti dalam contoh tiga, istilah dengan tolak adalah tempat di sebelah kanan!

Di sebelah kiri, saya hampir baik-baik saja, kecuali untuk apa? Ya, "tahap yang salah" dalam deuce mengganggu saya. Tetapi saya dapat memperbaikinya dengan mudah dengan menulis:. Eureka - di sebelah kiri, semua asas berbeza, tetapi semua darjah sama! Gandakan dengan segera!

Di sini, sekali lagi, semuanya jelas: (jika anda tidak memahami betapa ajaibnya saya mendapat persamaan terakhir, berehat sebentar, berehat sebentar dan membaca sifat-sifat ijazah sekali lagi dengan teliti. Siapa yang mengatakan bahawa anda boleh melangkau ijazah dengan eksponen negatif? Nah, di sini saya hampir sama dengan tiada siapa). Sekarang saya akan mendapat:

\ mula (sejajar)
& ((2) ^ (4 \ kiri ((x) -9 \ kanan))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((x) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
\ end (sejajar)

Berikut adalah tugas untuk latihan, yang hanya akan saya berikan jawapannya (tetapi dalam bentuk "bercampur"). Potongnya, periksa, dan anda dan saya akan meneruskan penyelidikan kami!

Sedia? Jawapan seperti yang berikut:

1. sebarang nombor

Baiklah, okey, saya bergurau! Berikut adalah garis panduan penyelesaiannya (ada yang sangat pendek!)

Tidakkah anda fikir bukan kebetulan bahawa satu pecahan di sebelah kiri adalah yang lain "terbalik"? Adalah menjadi dosa untuk tidak memanfaatkan ini:

Peraturan ini sangat sering digunakan semasa menyelesaikan persamaan eksponensial, ingatlah dengan baik!

Maka persamaan asal akan seperti ini:

Dengan menyelesaikan persamaan kuadratik ini, anda mendapat punca berikut:

2. Penyelesaian lain: membahagikan kedua-dua sisi persamaan dengan ungkapan di sebelah kiri (atau kanan). Saya membahagikan dengan apa yang ada di sebelah kanan, kemudian saya mendapat:

Di mana (mengapa?!)

3. Saya bahkan tidak mahu mengulangi diri saya, semuanya sudah "dikunyah" begitu banyak.

4. sama dengan persamaan kuadratik, akar

5. Anda perlu menggunakan formula yang diberikan pada masalah pertama, kemudian anda mendapatnya:

Persamaan telah menjadi identiti sepele, yang berlaku untuk semua. Maka jawapannya adalah nombor nyata.

Oleh itu, anda telah berlatih menyelesaikan persamaan eksponen termudah. Sekarang saya ingin memberi anda beberapa contoh kehidupan yang akan membantu anda memahami mengapa mereka diperlukan secara prinsip. Saya akan memberikan dua contoh di sini. Salah satunya agak setiap hari, tetapi yang lain lebih cenderung bersifat ilmiah dan bukannya minat praktikal.

Contoh 1 (mercantile) Katakan anda mempunyai rubel, dan anda mahu mengubahnya menjadi rubel. Bank menawarkan anda untuk mengambil wang ini daripada anda pada kadar tahunan dengan kapitalisasi faedah bulanan (akruan bulanan). Persoalannya, berapa bulan anda perlu membuka deposit untuk mengumpulkan jumlah akhir yang diperlukan? Cukup tugas biasa, bukan? Walaupun begitu, penyelesaiannya dikaitkan dengan pembinaan persamaan eksponensial yang sesuai: Biarkan - jumlah awal, - jumlah akhir, - kadar faedah untuk tempoh tersebut, - jumlah tempoh. Kemudian:

Dalam kes kami (jika kadarnya setahun, maka ia dikenakan setiap bulan). Mengapa ia dibahagi dengan? Sekiranya anda tidak tahu jawapan untuk soalan ini, ingat topik ""! Kemudian kita mendapat persamaan berikut:

Persamaan eksponensial ini sudah dapat diselesaikan hanya dengan bantuan kalkulator (penampilannya mengisyaratkan ini, dan ini memerlukan pengetahuan tentang logaritma, yang akan kita ketahui sedikit masa kemudian), yang akan saya lakukan: ... Oleh itu, untuk mendapat satu juta, kita perlu memberi sumbangan selama sebulan (tidak terlalu pantas, bukan?).

Contoh 2 (lebih saintifik). Walaupun ada "pengasingan", saya mengesyorkan agar anda memperhatikannya: dia selalu "tergelincir dalam peperiksaan !! (masalahnya diambil dari versi "nyata") Selama pembusukan isotop radioaktif, jisimnya menurun menurut undang-undang, di mana (mg) adalah jisim awal isotop, (min.) adalah masa yang berlalu dari detik awal, (min.) adalah separuh hayat. Pada saat awal waktu, jisim isotop adalah mg. Separuh hayatnya adalah min. Berapa minit jisim isotop sama dengan mg? Tidak apa-apa: kami hanya mengambil dan mengganti semua data dalam formula yang dicadangkan kepada kami:

Bahagikan kedua-dua bahagian kepada, "dengan harapan" bahawa di sebelah kiri kita mendapat sesuatu yang dapat dicerna:

Kita bernasib baik! Ia berdiri di sebelah kiri, kemudian kita beralih ke persamaan yang sama:

Di mana min.

Seperti yang anda lihat, persamaan eksponensial mempunyai aplikasi yang sangat nyata dalam praktiknya. Sekarang saya ingin membincangkan dengan anda cara lain (sederhana) untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yang berdasarkan mengambil faktor umum dari tanda kurung, diikuti dengan mengelompokkan istilah. Jangan takut dengan kata-kata saya, anda telah menemui kaedah ini di kelas 7, semasa anda belajar polinomial. Contohnya, jika anda perlu memperhitungkan ungkapan:

Mari kumpulkannya: istilah pertama dan ketiga, begitu juga istilah kedua dan keempat. Jelas bahawa yang pertama dan ketiga adalah perbezaan kotak:

dan yang kedua dan keempat mempunyai faktor sepunya tiga:

Maka ungkapan asalnya bersamaan dengan ini:

Tempat mengambil faktor biasa tidak lagi sukar:

Oleh itu,

Ini kira-kira bagaimana kita akan bertindak ketika menyelesaikan persamaan eksponensial: cari "kesamaan" di antara istilah dan letakkan di luar tanda kurung, baiklah - datanglah apa yang mungkin, saya percaya bahawa kita akan bernasib baik =)) Contohnya:

Di sebelah kanan jauh dari kekuatan tujuh (saya memeriksanya!) Dan di sebelah kiri - sedikit lebih baik, anda tentu saja dapat "memotong" faktor a dari yang kedua, dan kemudian menangani hasilnya, tetapi mari lakukan dengan lebih bijak dengan anda. Saya tidak mahu menangani pecahan, yang pasti datang dari "penyorotan", jadi bukankah lebih baik saya bertahan? Maka saya tidak akan mempunyai pecahan: seperti yang mereka katakan, serigala diberi makan dan domba selamat:

Hitung ungkapan dalam kurungan. Dengan cara yang ajaib, ajaib, ternyata itu (mengejutkan, walaupun apa lagi yang boleh kita harapkan?).

Maka kita akan membatalkan kedua-dua sisi persamaan dengan faktor ini. Kami mendapat:, dari mana.

Berikut adalah contoh yang lebih rumit (sedikit, sebenarnya):

Apa masalahnya! Kami tidak mempunyai satu persamaan di sini! Tidak jelas apa yang harus dilakukan sekarang. Mari lakukan apa yang kita boleh: pertama, mari kita memindahkan "empat" ke satu sisi, dan "lima" ke yang lain:

Sekarang mari kita gerakkan "biasa" ke kiri dan kanan:

Jadi apa sekarang? Apakah faedah kumpulan bodoh seperti itu? Pada pandangan pertama, ia sama sekali tidak kelihatan, tetapi mari kita lihat lebih mendalam:

Baiklah, sekarang kita akan membuatnya sehingga di sebelah kiri kita hanya mempunyai ungkapan dengan, dan di sebelah kanan - yang lain. Bagaimana kita melakukan ini? Dan inilah caranya: Bahagikan kedua-dua sisi persamaan terlebih dahulu dengan (dengan cara ini kita menghilangkan darjah di sebelah kanan), dan kemudian bahagikan kedua-dua sisi dengan (dengan cara ini kita menghilangkan faktor angka di sebelah kiri). Kami akhirnya mendapat:

Luar biasa! Di sebelah kiri kita mempunyai ungkapan, dan di sebelah kanan kita mempunyai ungkapan sederhana. Kemudian kami segera menyimpulkan bahawa

Inilah contoh lain untuk anda menggabungkan:

Saya akan memberikan penyelesaian ringkasnya (tanpa perlu terlalu banyak penjelasan), cuba cari sendiri semua "kehalusan" penyelesaiannya.

Sekarang penggabungan akhir bahan yang dilalui. Cuba selesaikan sendiri masalah berikut. Saya hanya akan memberikan cadangan dan petua ringkas untuk menyelesaikannya:

1. Mari keluarkan faktor biasa dari tanda kurung:
2. Kami mewakili ungkapan pertama dalam bentuk:, bahagikan kedua-dua bahagian dan dapatkannya
3. , maka persamaan asal diubah menjadi bentuk: Nah, sekarang petunjuk - lihat di mana anda dan saya sudah menyelesaikan persamaan ini!
4. Bayangkan bagaimana, bagaimana, dan, kemudian, bahagikan kedua-dua bahagian dengan, sehingga anda mendapat persamaan eksponensial termudah.
5. Keluarkan kurungan.
6. Keluarkan kurungan.

PERALATAN EKSPLORATIF. TAHAP PURATA

Saya menganggap bahawa setelah membaca artikel pertama yang memberitahu apakah persamaan eksponensial dan bagaimana menyelesaikannya, anda telah menguasai pengetahuan minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan contoh paling mudah.

Sekarang saya akan menganalisis kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, ini

"Kaedah memperkenalkan pemboleh ubah baru" (atau penggantian). Dia menyelesaikan sebahagian besar masalah "sukar" mengenai topik persamaan eksponensial (dan bukan hanya persamaan). Kaedah ini adalah salah satu kaedah yang paling kerap digunakan. Pertama, saya mengesyorkan agar anda membiasakan topik tersebut.

Seperti yang telah anda fahami dari namanya, intipati kaedah ini adalah untuk memperkenalkan perubahan pemboleh ubah sehingga persamaan eksponensial anda secara ajaib berubah menjadi satu yang sudah dapat anda selesaikan dengan mudah. Yang tinggal untuk anda setelah menyelesaikan persamaan yang sangat mudah ini adalah membuat "penggantian terbalik": iaitu untuk kembali dari yang diganti ke yang diganti. Mari kita gambarkan apa yang baru saja kita katakan dengan contoh yang sangat mudah:

Contoh 1:

Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan "penggantian sederhana," kerana ahli matematik secara tidak sengaja memanggilnya. Memang, penggantian di sini adalah yang paling jelas. Kita hanya perlu melihatnya

Maka persamaan asal akan berubah menjadi:

Sekiranya kita juga menunjukkan caranya, maka sangat jelas apa yang perlu diganti: tentu saja. Lalu bagaimana persamaan asal akan berubah? Dan inilah yang:

Anda boleh mencari akarnya sendiri dengan mudah:. Apa yang patut kita lakukan sekarang? Sudah tiba masanya untuk kembali ke pemboleh ubah asal. Apa yang saya lupa nyatakan? Yaitu: ketika mengganti tahap tertentu dengan pemboleh ubah baru (iaitu ketika menukar pandangan), saya akan tertarik hanya akar positif! Anda sendiri boleh menjawab mengapa. Oleh itu, anda dan saya tidak berminat, tetapi akar kedua cukup sesuai untuk kami:

Lalu di mana.

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, dalam contoh sebelumnya, pengganti diminta berada di tangan kami. Malangnya, ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, jangan terus menuju kesedihan, tetapi berlatih dengan satu lagi contoh dengan penggantian yang cukup sederhana

Contoh 2.

Jelas bahawa kemungkinan besar perlu diganti (ini adalah kekuatan terkecil yang termasuk dalam persamaan kita), namun, sebelum memperkenalkan penggantian, persamaan kita harus "disiapkan" untuknya, yaitu:,. Kemudian anda boleh ganti, sebagai hasilnya saya mendapat ungkapan berikut:

Oh seram: persamaan kubik dengan formula menyeramkan sepenuhnya untuk penyelesaiannya (baik, secara umum). Tetapi jangan cepat putus asa, tetapi fikirkan apa yang harus dilakukan. Saya akan mencadangkan untuk menipu: kita tahu bahawa untuk mendapatkan jawapan "bagus", kita perlu mendapatkannya dalam bentuk kekuatan tiga kali ganda (mengapa demikian, eh?). Mari cuba meneka sekurang-kurangnya satu punca persamaan kita (saya akan mula meneka dengan kekuatan tiga).

Andaian pertama. Ia bukan akar. Sayang dan ah ...

.
Bahagian kiri sama.
Bahagian kanan:!
Terdapat! Anda meneka punca pertama. Sekarang perkara akan menjadi lebih mudah!

Adakah anda tahu mengenai skema pembahagian "sudut"? Sudah tentu anda tahu anda menggunakannya ketika anda membahagikan satu nombor dengan nombor yang lain. Tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahawa perkara yang sama dapat dilakukan dengan polinomial. Terdapat satu teorema hebat:

Sesuai dengan keadaan saya, ini memberitahu saya apa yang dapat dibahagikan. Bagaimana pembahagian dijalankan? Begitulah:

Saya melihat monomial mana yang harus saya gandakan untuk mendapatkan Jelas apa yang ada, kemudian:

Kurangkan ungkapan yang dihasilkan dari, dapatkan:

Sekarang apa yang perlu saya gandakan untuk mendapatkannya? Sudah jelas bahawa, maka saya akan mendapat:

dan tolak lagi ungkapan yang dihasilkan dari yang lain:

Nah, langkah terakhir, saya akan berlipat kali ganda, dan tolak dari ungkapan yang tinggal:

Hore, pembahagian sudah berakhir! Apa yang telah kita simpan secara tertutup? Dengan sendirinya: .

Kemudian kami mendapat penguraian polinomial asal berikut:

Mari selesaikan persamaan kedua:

Ia mempunyai akar:

Kemudian persamaan asal:

mempunyai tiga akar:

Sudah tentu, kita akan membuang akar terakhir, kerana ia kurang daripada sifar. Dan dua yang pertama selepas penggantian terbalik akan memberi kita dua punca:

Jawapan: ..

Saya tidak mahu menakut-nakuti anda dengan contoh ini, tetapi tujuan saya adalah untuk menunjukkan bahawa walaupun kami mempunyai pengganti yang agak mudah, namun ia membawa kepada persamaan yang agak rumit, penyelesaiannya memerlukan beberapa kemahiran khas dari kami. Tidak ada yang kebal dari ini. Tetapi penggantian dalam kes ini cukup jelas.

Inilah contoh dengan penggantian yang agak kurang jelas:

Sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya adalah bahawa dalam persamaan kita terdapat dua asas yang berbeza dan satu asas tidak dapat diperoleh dari yang lain dengan menaikkan tahap mana-mana (wajar, secara semula jadi). Namun, apa yang kita lihat? Kedua-dua asas hanya berbeza tanda, dan produknya adalah perbezaan kotak sama dengan satu:

Definisi:

Oleh itu, nombor yang menjadi asas dalam contoh kita adalah konjugat.

Dalam kes ini, langkah bijak akan berlaku kalikan kedua-dua sisi persamaan dengan nombor konjugat.

Contohnya, on, maka sebelah kiri persamaan menjadi sama, dan kanan. Sekiranya kita membuat penggantian, maka persamaan asal kita akan menjadi seperti ini:

akarnya, kemudian, dan mengingatnya, kita mendapatnya.

Jawapan:.

Sebagai peraturan, kaedah penggantian cukup untuk menyelesaikan sebahagian besar persamaan eksponensial "sekolah". Tugas-tugas berikut diambil dari ujian C1 (tahap kesukaran lanjutan). Anda sudah cukup cekap untuk menyelesaikan contoh-contoh ini secara bebas. Saya hanya akan memberikan pengganti yang diperlukan.

1. Selesaikan persamaan:
2. Cari punca persamaan:
3. Selesaikan persamaan:. Cari semua punca persamaan ini yang termasuk dalam segmen:

Dan sekarang, penjelasan dan jawapan ringkas:

1. Di sini sudah cukup untuk kita perhatikan bahawa dan. Maka persamaan asal akan setara dengan yang berikut: Persamaan ini diselesaikan dengan menggantikan Pengiraan selanjutnya lakukan sendiri. Pada akhirnya, tugas anda akan dikurangkan untuk menyelesaikan trigonometri termudah (bergantung pada sinus atau kosinus). Kami akan menganalisis penyelesaian contoh-contoh tersebut di bahagian lain.
2. Di sini anda boleh lakukan tanpa penggantian: cukup untuk menggerakkan penolakan ke kanan dan mewakili kedua-dua asas melalui kuasa dua :, dan kemudian pergi terus ke persamaan kuadratik.
3. Persamaan ketiga juga diselesaikan dengan cara yang agak standard: mari kita bayangkan bagaimana. Kemudian, menggantikan kita mendapat persamaan kuadratik: maka,

   Adakah anda sudah tahu apa itu logaritma? Tidak? Kemudian baca topik dengan segera!

   Akar pertama, jelas, bukan milik segmen, dan yang kedua tidak dapat difahami! Tetapi kita akan mengetahuinya tidak lama lagi! Sejak itu, (ini adalah hak milik logaritma!) Bandingkan:

   Kurangkan dari kedua-dua bahagian, maka kita mendapat:

   Bahagian kiri boleh ditunjukkan sebagai:

   darab kedua-dua bahagian dengan:

   boleh didarabkan dengan, maka

   Kemudian mari kita bandingkan:

   sejak itu:

   Kemudian akar kedua tergolong dalam selang waktu yang diperlukan

   Jawapan:

Seperti yang anda lihat, pemilihan punca persamaan eksponensial memerlukan pengetahuan yang cukup mendalam mengenai sifat logaritma jadi saya menasihati anda untuk berhati-hati semasa menyelesaikan persamaan eksponensial. Seperti yang anda bayangkan, dalam matematik, semuanya saling berkaitan! Seperti yang dikatakan oleh guru matematik saya: "Matematik, seperti sejarah, anda tidak dapat membaca semalaman."

Sebagai peraturan, semua kesukaran dalam menyelesaikan masalah C1 adalah tepatnya pemilihan punca persamaan. Mari berlatih dengan satu lagi contoh:

Jelas bahawa persamaan itu sendiri agak mudah untuk diselesaikan. Dengan membuat penggantian, kami akan mengurangkan persamaan asal kami dengan yang berikut:

Pertama, mari lihat akar pertama. Bandingkan dan: sejak itu. (sifat fungsi logaritma, pada). Maka jelas bahawa akar pertama tidak termasuk dalam selang waktu kita. Sekarang akar kedua:. Jelas bahawa (kerana fungsi di semakin meningkat). Masih boleh dibandingkan dan.

sejak itu, pada masa yang sama. Dengan cara ini saya dapat "menggerakkan pasak" antara dan. Pasak ini adalah nombor. Ungkapan pertama lebih kecil dan yang kedua lebih besar. Kemudian ungkapan kedua lebih besar daripada yang pertama dan akar tergolong dalam selang.

Jawapan:.

Untuk menyelesaikannya, mari kita lihat contoh persamaan lain di mana penggantiannya agak tidak standard:

Mari mulakan segera dengan apa yang boleh anda lakukan, dan apa - pada prinsipnya, anda boleh, tetapi lebih baik tidak melakukannya. Anda boleh - mewakili segalanya melalui kekuatan tiga, dua dan enam. Di mana ia mengarah? Ya, ia tidak akan membawa kepada apa-apa: peningkatan derajat, dan sebahagian daripadanya akan agak sukar untuk disingkirkan. Apa yang diperlukan kemudian? Mari kita perhatikan bahawa Dan apa yang akan diberikannya kepada kita? Dan hakikat bahawa kita dapat mengurangkan penyelesaian contoh ini kepada penyelesaian persamaan eksponensial yang cukup sederhana! Pertama, mari tulis semula persamaan kami sebagai:

Sekarang kita membahagikan kedua-dua sisi persamaan yang dihasilkan dengan:

Eureka! Sekarang kita boleh ganti, kita dapat:

Nah, sekarang giliran anda untuk menyelesaikan masalah demonstrasi, dan saya hanya akan memberikan komen ringkas kepada mereka agar anda tidak tersasar! Semoga berjaya!

1. Yang paling sukar! Tidak mudah mencari pengganti di sini! Namun demikian, contoh ini dapat diselesaikan sepenuhnya dengan menggunakan pemilihan petak penuh... Untuk menyelesaikannya, cukup diperhatikan bahawa:

Maka inilah pengganti untuk anda:

(Harap maklum bahawa di sini, semasa penggantian kami, kami tidak dapat melepaskan punca negatif !!! Dan mengapa anda fikir?)

Sekarang, untuk menyelesaikan contohnya, anda perlu menyelesaikan dua persamaan:

Kedua-duanya diselesaikan dengan "penggantian standard" (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)

2. Perhatikan itu dan buat pengganti.

3. Mengurangkan nombor menjadi faktor coprime dan mempermudahkan ungkapan yang dihasilkan.

4. Bahagikan pembilang dan penyebut pecahan dengan (atau, jika anda mahu) dan ganti atau.

5. Perhatikan bahawa nombor dan konjugasi.

PERALATAN EKSPLORATIF. TAHAP MAJU

Sebagai tambahan, mari kita pertimbangkan cara lain - penyelesaian persamaan eksponensial dengan kaedah logaritma... Saya tidak boleh mengatakan bahawa penyelesaian persamaan eksponensial dengan kaedah ini sangat popular, tetapi dalam beberapa kes hanya mampu membawa kita ke penyelesaian persamaan kita yang betul. Ia sering digunakan untuk menyelesaikan apa yang disebut " persamaan campuran": Yaitu, fungsi di mana fungsi dari pelbagai jenis bertemu.

Contohnya, persamaan bentuk:

dalam kes umum, ia dapat diselesaikan hanya dengan mengambil logaritma kedua-dua belah pihak (misalnya, dengan asas), di mana persamaan asalnya berubah menjadi berikut:

Mari pertimbangkan contoh berikut:

Sudah jelas bahawa menurut ODZ fungsi logaritma, kita hanya berminat. Walau bagaimanapun, ini berlaku bukan sahaja dari ODZ logaritma, tetapi untuk sebab lain. Saya rasa tidak sukar bagi anda untuk meneka yang mana satu.

Mari log kedua sisi persamaan kami ke pangkal:

Seperti yang anda lihat, mengambil logaritma persamaan asal kami dengan cukup cepat membawa kami ke jawapan yang betul (dan indah!). Mari berlatih dengan satu lagi contoh:

Tidak ada yang salah di sini: kami logaritma kedua sisi persamaan dengan pangkalan, kemudian kami mendapat:

Mari buat penggantian:

Walau bagaimanapun, kita kehilangan sesuatu! Adakah anda menyedari di mana saya salah? Lagipun, kemudian:

yang tidak memenuhi syarat (fikirkan dari mana asalnya!)

Jawapan:

Cuba tuliskan penyelesaian persamaan eksponensial yang diberikan di bawah ini sendiri:

Sekarang periksa keputusan anda terhadap perkara ini:

1. Logaritma kedua sisi ke pangkalan, dengan mengambil kira bahawa:

(akar kedua tidak sesuai dengan kita kerana penggantian)

2. Kami logaritma ke pangkalan:

Mari ubah ungkapan yang dihasilkan ke bentuk berikut:

PERALATAN EKSPLORATIF. HURAIAN RINGKAS DAN FORMULAS ASAS

Persamaan eksponen

Persamaan borang:

dipanggil persamaan eksponen termudah.

Sifat kuasa

Pendekatan penyelesaian

• Menghantar ke pangkalan yang sama
• Penukaran kepada eksponen yang sama
• Penggantian berubah-ubah
• Penyederhanaan ungkapan dan penerapan salah satu perkara di atas.

Apakah persamaan eksponensial itu? Contoh.

Oleh itu, persamaan eksponensial ... Pameran unik baru di pameran umum kami dengan pelbagai persamaan!) Seperti yang selalu berlaku, kata kunci mana-mana istilah matematik baru adalah kata sifat yang sesuai yang mencirikannya. Jadi di sini. Kata kunci dalam istilah "persamaan eksponensial" adalah kata "Indikatif"... Apakah maksudnya? Perkataan ini bermaksud bahawa (x) yang tidak diketahui adalah dari segi mana-mana darjah. Dan hanya di sana! Ini sangat penting.

Contohnya, persamaan mudah seperti:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Atau raksasa seperti ini:

2 sin x = 0.5

Saya meminta anda untuk segera memperhatikan satu perkara penting: di perkarangan darjah (bawah) - nombor sahaja... Tetapi di petunjuk darjah (atas) - pelbagai ungkapan dengan x. Semuanya ada.) Semuanya bergantung pada persamaan tertentu. Sekiranya, tiba-tiba, x muncul dalam persamaan di tempat lain, selain penunjuk (katakanlah, 3 x = 18 + x 2), maka persamaan seperti itu akan menjadi persamaan jenis campuran... Persamaan tersebut tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk diselesaikan. Oleh itu, kita tidak akan mempertimbangkannya dalam pelajaran ini. Untuk menggembirakan para pelajar.) Di sini kita akan mempertimbangkan hanya persamaan eksponensial dalam bentuk "murni".

Secara umum, persamaan eksponensial murni jauh dari penyelesaian dengan jelas dan tidak selalu. Tetapi di antara pelbagai jenis persamaan eksponensial, terdapat beberapa jenis yang boleh dan harus diselesaikan. Persamaan jenis inilah yang akan kita pertimbangkan. Dan kita pasti akan menyelesaikan contohnya.) Oleh itu, mari kita selesa dan - kita pergi! Seperti dalam penembak komputer, perjalanan kita akan berlangsung melalui tahap.) Dari sekolah rendah ke sederhana, dari sederhana hingga menengah dan dari pertengahan hingga sukar. Dalam perjalanan, anda juga akan menemui tahap rahsia - teknik dan kaedah untuk menyelesaikan contoh yang tidak standard. Yang tidak akan anda baca di kebanyakan buku teks sekolah ... Baiklah, pada akhirnya, ada bos terakhir dalam bentuk kerja rumah.)

Tahap 0. Apakah persamaan eksponensial termudah? Penyelesaian persamaan eksponensial termudah.

Sebagai permulaan, pertimbangkan beberapa perkara asas yang terus terang. Anda mesti bermula di suatu tempat, bukan? Contohnya, persamaan seperti ini:

2 x = 2 2

Walaupun tanpa teori, jelas dengan logik dan akal sehat bahawa x = 2. Tidak ada cara lain, bukan? Tidak ada makna lain dari x yang akan dilakukan ... Sekarang marilah kita mengalihkan perhatian kita rekod keputusan persamaan eksponen yang hebat ini:

2 x = 2 2

X = 2

Apa yang berlaku dengan kita? Dan perkara berikut berlaku. Kami, sebenarnya, mengambil dan ... hanya membuang pangkalan (deuces) yang sama! Dibuang sepenuhnya. Dan, apa yang menggembirakan, tekan mata lembu!

Ya, memang, jika persamaan eksponensial di kiri dan kanan mengandungi sama nombor dalam kekuatan apa pun, maka nombor ini dapat dibuang dan hanya menyamai eksponen. Matematik selesai.) Dan kemudian anda boleh bekerja secara berasingan dengan petunjuk dan menyelesaikan persamaan yang jauh lebih mudah. Hebat, bukan?

Ini adalah idea utama untuk menyelesaikan sebarang persamaan eksponensial (ya, betul-betul!): menggunakan transformasi yang sama, adalah perlu untuk memastikan bahawa kiri dan kanan dalam persamaan berada sama nombor asas dalam pelbagai darjah. Dan kemudian anda boleh membuang asas yang sama dan menyamai petunjuk darjah dengan selamat. Dan bekerjasama dengan persamaan yang lebih mudah.

Dan sekarang kita ingat peraturan besi: adalah mungkin untuk menghilangkan asas yang sama jika dan hanya jika dalam persamaan di sebelah kiri dan di sebelah kanan nombor asasnya dalam kesunyian yang sombong.

Apa maksudnya, dalam pengasingan yang indah? Ini bermaksud, tanpa jiran dan pekali. Biar saya jelaskan.

Contohnya, dalam persamaan

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Anda tidak boleh mengeluarkan kembar tiga! Kenapa? Kerana di sebelah kiri kita tidak hanya mempunyai tiga darjah yang sunyi, tetapi bekerja 3 3 x-5. Tiga tambahan akan menghalangi: pekali, anda tahu.)

Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai persamaan

5 3 x = 5 2 x +5 x

Di sini juga, semua asas adalah sama - lima. Tetapi di sebelah kanan kita tidak mempunyai darjah tunggal: ada jumlah darjah!

Pendek kata, kami berhak untuk menghapus asas yang sama hanya apabila persamaan eksponensial kami kelihatan seperti ini dan hanya dengan cara ini:

af (x) = a g (x)

Jenis persamaan eksponensial ini dipanggil yang paling mudah... Atau, secara saintifik, kanonik ... Dan apa sahaja persamaan berpintal yang kita ada di hadapan kita, kita, satu atau lain cara, akan mengurangkannya menjadi bentuk yang sangat sederhana (kanonik). Atau, dalam beberapa kes, untuk agregat persamaan seperti ini. Maka persamaan termudah kami dapat ditulis semula dalam bentuk umum seperti ini:

F (x) = g (x)

Dan itu sahaja. Ini akan menjadi penukaran yang setara. Dalam kes ini, sama sekali ungkapan dengan x boleh digunakan sebagai f (x) dan g (x). Apa sahaja.

Mungkin pelajar yang sangat ingin tahu akan bertanya: mengapa di bumi kita membuang begitu mudah dan mudah pangkalan yang sama di kiri dan kanan dan menyamakan petunjuk darjah? Intuisi dengan intuisi, tetapi tiba-tiba, dalam beberapa persamaan dan atas sebab tertentu, pendekatan ini ternyata salah? Adakah selalu sah untuk membuang alasan yang sama? Malangnya, untuk jawapan matematik yang ketat untuk soalan menarik ini, seseorang perlu terjun secara mendalam dan serius ke dalam teori umum struktur dan tingkah laku fungsi. Dan sedikit lebih khusus - menjadi fenomena monotoni yang ketat. Khususnya, monotonik yang ketat fungsi eksponeny= sebuah x... Oleh kerana fungsi eksponensial dan sifatnya yang mendasari penyelesaian persamaan eksponensial, ya. Jawapan terperinci untuk soalan ini akan diberikan dalam pelajaran khas yang terpisah yang ditujukan untuk menyelesaikan persamaan bukan piawai yang kompleks menggunakan monotonik fungsi yang berbeza.)

Menjelaskan momen ini secara terperinci sekarang hanya untuk mengeluarkan otak seorang pelajar sekolah biasa dan menakut-nakutkannya sebelum waktunya dengan teori kering dan berat. Saya tidak akan melakukan ini.) Untuk tugas utama kami pada masa ini adalah belajar menyelesaikan persamaan eksponen! Paling banyak, paling mudah! Oleh itu - sehingga kita mandi wap dan dengan berani membuang pangkalan yang sama. Ini adalah boleh, ambil perkataan saya!) Dan kemudian kita menyelesaikan persamaan setara f (x) = g (x). Biasanya lebih sederhana daripada indikatif asal.

Sudah tentu, diandaikan bahawa orang sekurang-kurangnya dapat menyelesaikan persamaan, sudah tanpa x dalam indikator, pada masa ini.) Yang masih belum tahu bagaimana - sila tutup halaman ini, ikuti pautan yang sesuai dan isikan jurang lama. Jika tidak, anda akan menghadapi masa yang sukar, ya ...

Saya sudah diam mengenai persamaan tidak rasional, trigonometri dan kejam lainnya, yang juga dapat muncul dalam proses menghapuskan alasan. Tetapi jangan khuatir, kami tidak akan mempertimbangkan timah langsung dari segi darjah: terlalu awal. Kami hanya akan melatih persamaan termudah.)

Sekarang mari kita lihat persamaan yang memerlukan usaha tambahan untuk mengurangkannya menjadi yang paling sederhana. Demi perbezaan, mari kita panggil mereka persamaan eksponen sederhana... Oleh itu mari kita beralih ke peringkat seterusnya!

Aras 1. persamaan eksponen sederhana. Kami mengenali darjah! Petunjuk semula jadi.

Peraturan utama dalam menyelesaikan sebarang persamaan eksponensial adalah peraturan kuasa... Tanpa pengetahuan dan kemahiran ini, tidak ada yang akan berjaya. Malangnya. Jadi, jika dengan tahap masalah, maka pertama-tama anda dipersilakan. Di samping itu, kita akan memerlukan lebih banyak. Transformasi ini (sebanyak dua!) Adalah asas untuk menyelesaikan semua persamaan matematik secara umum. Dan tidak hanya menunjukkan. Jadi, yang sudah lupa, jalan-jalan juga di pautan: Saya tidak meletakkannya sahaja.

Tetapi tindakan dengan darjah dan transformasi yang serupa sahaja tidak mencukupi. Anda juga memerlukan pemerhatian dan kepintaran peribadi. Kita memerlukan alasan yang sama, bukan? Oleh itu, kami meneliti contohnya dan mencarinya dalam bentuk tersurat atau tersembunyi!

Contohnya, persamaan seperti ini:

3 2 x - 27 x +2 = 0

Pandangan pertama di asas... Mereka berbeza! Tiga dan dua puluh tujuh. Tetapi terlalu awal untuk panik dan putus asa. Sudah tiba masanya untuk mengingati perkara itu

27 = 3 3

Nombor 3 dan 27 adalah saudara mara! Oleh itu, kami mempunyai hak untuk menulis:

27 x +2 = (3 3) x + 2

Dan sekarang kami menghubungkan pengetahuan kami mengenai tindakan dengan darjah(dan saya memberi amaran kepada anda!). Terdapat formula yang sangat berguna di sana:

(a m) n = a mn

Sekiranya anda memulakannya sekarang, secara umum ternyata hebat:

27 x +2 = (3 3) x + 2 = 3 3 (x +2)

Contoh asal sekarang kelihatan seperti ini:

3 2 x - 3 3 (x +2) = 0

Hebat, bahagian bawah darjah sudah rata. Itulah yang kami mahukan. Separuh pertempuran telah selesai.) Dan sekarang kami melancarkan transformasi identiti asas - gerakkan 3 3 (x +2) ke kanan. Tidak ada yang membatalkan tindakan asas matematik, ya.) Kami mendapat:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Apa yang diberikan oleh persamaan seperti ini kepada kita? Dan hakikat bahawa sekarang persamaan kita berkurang kepada bentuk kanonik: di sebelah kiri dan di sebelah kanan adalah nombor yang sama (tiga kali ganda) dalam kuasa. Lebih-lebih lagi, kedua-dua kembar tiga berada dalam pengasingan yang indah. Jangan ragu untuk membuang kembar tiga dan dapatkan:

2x = 3 (x + 2)

Kami menyelesaikannya dan mendapat:

X = -6

Itu sahaja yang ada. Ini adalah jawapan yang betul.)

Dan sekarang kita memahami perjalanan keputusannya. Apa yang menyelamatkan kita dalam contoh ini? Kami diselamatkan oleh pengetahuan darjah tiga. Bagaimana sebenarnya? Kami dikenal pasti di antara 27 tiga yang disulitkan! Silap mata ini (menyulitkan pangkalan yang sama dengan nombor yang berbeza) adalah salah satu persamaan eksponen yang paling popular! Sekiranya bukan yang paling popular. Dan dengan cara yang sama, dengan cara. Itulah sebabnya pemerhatian dan keupayaan untuk mengenali kekuatan nombor lain dalam persamaan eksponensial sangat penting dalam persamaan eksponensial!

Nasihat praktikal:

Anda perlu mengetahui darjah nombor popular. Di muka!

Sudah tentu, setiap orang dapat menaikkan angka dua hingga ketujuh atau tiga hingga kelima. Tidak ada dalam fikiran saya, jadi sekurang-kurangnya pada draf. Tetapi dalam persamaan eksponensial, lebih sering diperlukan untuk tidak menaikkan kekuatan, tetapi sebaliknya - untuk mengetahui bilangan dan sejauh mana yang tersembunyi di sebalik nombor, katakanlah, 128 atau 243. Dan ini lebih rumit daripada pembinaan yang sederhana, anda mesti bersetuju. Rasakan perbezaannya, seperti yang mereka katakan!

Oleh kerana kemampuan untuk mengenali darjah di wajah akan berguna bukan hanya pada tahap ini, tetapi juga pada yang berikut, berikut adalah sedikit tugas untuk anda:

Tentukan kekuatan dan nombor apa nombor:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Jawapan (tentu saja secara rawak):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ya Ya! Jangan terkejut bahawa ada lebih banyak jawapan daripada tugas. Contohnya, 2 8, 4 4 dan 16 2 semuanya 256.

Tahap 2. Persamaan eksponen sederhana. Kami mengenali darjah! Petunjuk negatif dan pecahan.

Pada tahap ini, kita sudah menggunakan pengetahuan kita mengenai darjah hingga sepenuhnya. Yaitu, kami melibatkan petunjuk negatif dan pecahan dalam proses menarik ini! Ya Ya! Kita perlu membina kekuatan, bukan?

Contohnya, persamaan menakutkan ini:

Sekali lagi, pandangan pertama adalah asas. Alasannya berbeza! Dan kali ini, walaupun berbeza antara satu sama lain! 5 dan 0.04 ... Dan untuk menghilangkan alasan, anda memerlukan perkara yang sama ... Apa yang perlu dilakukan?

Tidak mengapa! Sebenarnya, semuanya sama, hanya hubungan antara kelima dan 0.04 yang kurang kelihatan. Bagaimana kita keluar? Dan mari kita beralih ke nombor 0.04 ke pecahan biasa! Dan di sana, anda lihat, semuanya akan terbentuk.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wah! Ternyata 0.04 adalah 1/25! Nah, siapa sangka!)

Bagaimana ia? Adakah lebih mudah untuk melihat hubungan antara 5 dan 1/25 sekarang? Itu dia ...

Dan sekarang, menurut peraturan tindakan dengan kuasa dengan penunjuk negatif anda boleh menulis dengan tangan yang tegas:

Itu hebat. Oleh itu, kami sampai di pangkalan yang sama - lima. Sekarang kita ganti nombor tidak selesa 0,04 dalam persamaan dengan 5 -2 dan kita mendapat:

Sekali lagi, menurut peraturan untuk menangani kuasa, kini anda boleh menulis:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan anda (tiba-tiba, yang tidak tahu) bahawa peraturan asas tindakan dengan darjah adalah sah untuk ada petunjuk! Termasuk untuk yang negatif.) Oleh itu, kita boleh mengambil dan mengalikan petunjuk (-2) dan (x-1) dengan selamat mengikut peraturan yang sesuai. Persamaan kami terus bertambah baik dan lebih baik:

Semuanya! Selain dari kesepian lima di darjah ke kiri dan ke kanan, tidak ada yang lain. Persamaan dikurangkan kepada bentuk kanonik. Dan kemudian - di sepanjang trek knurled. Kami membuang lima dan menyamakan penunjuknya:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Contohnya hampir dapat diselesaikan. Matematik asas kelas menengah tetap ada - kami membuka (kanan!) Kurungan dan mengumpulkan semua yang ada di sebelah kiri:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Kami menyelesaikannya dan mendapat dua punca:

x 1 = 1; x 2 = 3

Itu sahaja.)

Sekarang mari kita fikirkan semula. Dalam contoh ini, kita sekali lagi harus mengenali nombor yang sama dengan pelbagai peringkat! Yaitu - untuk melihat lima yang dienkripsi dalam nombor 0.04. Dan kali ini - dalam darjah negatif! Bagaimana kita melakukannya? Dalam perjalanan - tidak ada. Tetapi setelah peralihan dari pecahan perpuluhan 0,04 ke pecahan biasa 1/25, semuanya diserlahkan! Dan kemudian keseluruhan keputusan berjalan seperti jam.)

Oleh itu, satu lagi nasihat praktikal hijau.

Sekiranya pecahan perpuluhan terdapat dalam persamaan eksponensial, maka kita beralih dari pecahan perpuluhan ke pecahan biasa. Lebih mudah mengenali kekuatan banyak nombor popular dalam pecahan! Selepas pengiktirafan, kita beralih dari pecahan kepada kekuatan dengan eksponen negatif.

Perlu diingat bahawa tipu muslihat dalam persamaan eksponensial berlaku sangat kerap! Dan orang itu tidak ada dalam subjek. Dia melihat, misalnya, pada angka 32 dan 0.125 dan kesal. Tanpa disedari olehnya, ini adalah satu-satu tipu daya yang sama, hanya dalam tahap yang berbeza ... Tetapi anda sudah berada dalam subjek!)

Selesaikan persamaan:

Dalam! Dalam penampilan - seram yang tenang ... Namun, penampilan menipu. Ini adalah persamaan eksponensial paling sederhana, walaupun penampilannya menakutkan. Dan sekarang saya akan tunjukkan kepada anda.)

Pertama, kita berurusan dengan semua nombor yang duduk di pangkalan dan pekali. Sudah tentu, mereka berbeza, ya. Tetapi kami masih mengambil risiko dan berusaha membuatnya sama! Mari cuba ke bilangan yang sama dalam darjah yang berbeza... Sebaiknya, bilangan sekecil mungkin. Oleh itu, mari mulakan penyahsulitan!

Nah, dengan empat, semuanya jelas sekali - itu 2 2. Jadi, sudah ada sesuatu.)

Dengan pecahan 0.25 - belum jelas. Ia perlu diperiksa. Kami menggunakan nasihat praktikal - kami beralih dari pecahan perpuluhan kepada yang biasa:

0,25 = 25/100 = 1/4

Lebih baik. Buat masa ini sudah jelas kelihatan bahawa 1/4 adalah 2 -2. Hebat, dan angka 0.25 juga serupa dengan dua.)

Setakat ini begitu baik. Tetapi jumlah terburuk dari semua kekal - punca kuasa dua! Dan apa yang perlu dilakukan dengan lada ini? Bolehkah ia juga diwakili sebagai kekuatan dua? Dan siapa tahu ...

Nah, sekali lagi kita masuk ke perbendaharaan pengetahuan kita mengenai darjah! Kali ini kami juga menghubungkan pengetahuan kami mengenai akar... Dari kursus kelas 9, anda dan saya semestinya telah mengetahui bahawa mana-mana akar, jika dikehendaki, selalu dapat berubah menjadi ijazah dengan eksponen pecahan.

Seperti ini:

Dalam kes kami:

Bagaimana! Ternyata punca kuasa dua adalah 2 1/2. Itu sahaja!

Baiklah! Semua nombor yang menyusahkan kami ternyata menjadi dua yang disulitkan.) Saya tidak membantah, di suatu tempat yang sangat canggih dienkripsi. Tetapi kita juga meningkatkan profesionalisme kita dalam menyelesaikan cipher seperti itu! Dan semuanya sudah jelas. Kami menggantikan dalam persamaan kami nombor 4, 0.25 dan punca dua dengan kuasa dua:

Semuanya! Asas semua darjah dalam contoh menjadi sama - dua. Dan sekarang tindakan standard dengan kekuatan digunakan:

sebuah ma n = sebuah m + n

a m: a n = a m-n

(a m) n = a mn

Untuk sebelah kiri, anda mendapat:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

Untuk sebelah kanan adalah:

Dan sekarang persamaan jahat kita kelihatan seperti ini:

Siapa yang belum memahami dengan tepat bagaimana persamaan ini berlaku, maka persoalannya bukan mengenai persamaan eksponensial. Persoalannya adalah mengenai tindakan dengan darjah. Saya meminta anda mengulanginya dengan segera kepada mereka yang mempunyai masalah!

Inilah hamparan rumah! Bentuk kanonik dari persamaan eksponensial diperoleh! Bagaimana ia? Adakah saya meyakinkan anda bahawa semuanya tidak begitu menakutkan? ;) Kami menghapuskan kekurangan dan menyamakan petunjuk:

Yang tinggal hanyalah menyelesaikan persamaan linear ini. Bagaimana? Dengan bantuan transformasi yang serupa, jelas.) Buatlah, apa yang sudah ada! Gandakan kedua-dua bahagian dengan dua (untuk menghilangkan pecahan 3/2), pindahkan istilah dengan x ke kiri, tanpa x ke kanan, bawa yang serupa, hitung - dan anda pasti gembira!

Segala-galanya mesti berubah dengan indah:

X = 4

Dan sekarang kita sekali lagi memahami jalan keputusannya. Dalam contoh ini, kami dibantu oleh peralihan dari punca kuasa dua Ke darjah dengan eksponen 1/2... Lebih-lebih lagi, hanya transformasi licik yang menolong kita ke mana-mana untuk mencapai pangkalan yang sama (dua), yang menyelamatkan keadaan! Dan, jika tidak kerana itu, kita akan mempunyai setiap peluang untuk membeku selama-lamanya dan tidak pernah menghadapi contoh ini, ya ...

Oleh itu, kami tidak mengabaikan nasihat praktikal lain:

Sekiranya persamaan eksponensial mengandungi akar, maka kita beralih dari akar ke kuasa dengan eksponen pecahan. Selalunya, hanya perubahan seperti itu yang menjelaskan keadaan selanjutnya.

Sudah tentu, darjah negatif dan pecahan sudah jauh lebih rumit daripada darjah semula jadi. Sekurang-kurangnya dari sudut pandangan persepsi visual dan, terutamanya, pengiktirafan dari kanan ke kiri!

Jelas bahawa menaikkan secara langsung, misalnya, dua ke kuasa -3 atau empat ke kuasa -3/2 bukanlah masalah besar. Bagi mereka yang tahu.)

Tetapi pergi, sebagai contoh, cari tahu segera

0,125 = 2 -3

Atau

Di sini hanya peraturan latihan dan pengalaman yang kaya, ya. Dan, tentu saja, idea yang jelas, apakah darjah negatif dan pecahan. Dan juga nasihat praktikal! Ya, ya, itu hijau.) Saya harap mereka masih dapat menolong anda untuk mengemudi dengan lebih baik dalam semua darjah yang pelbagai dan akan meningkatkan peluang anda untuk berjaya! Oleh itu jangan mengabaikan mereka. Kadang-kadang saya tidak menulis dengan warna hijau.)

Tetapi jika anda menjadi biasa dengan darjah eksotik seperti negatif dan pecahan, maka kemungkinan anda dalam menyelesaikan persamaan eksponensial akan berkembang pesat, dan anda sudah dapat menangani hampir semua jenis persamaan eksponensial. Jika tidak, maka 80 peratus daripada semua persamaan eksponensial - pasti! Ya, saya tidak bergurau!

Oleh itu, bahagian pertama kita untuk mengetahui persamaan eksponensial telah mencapai kesimpulan yang logik. Dan, sebagai senaman pertengahan, saya secara tradisional mencadangkan melakukan sedikit sendiri.)

Latihan 1.

Agar kata-kata saya untuk menguraikan darjah negatif dan pecahan tidak sia-sia, saya mencadangkan untuk bermain permainan kecil!

Bayangkan nombor sebagai kekuatan dua:

Jawapan (dalam kekacauan):

Berlaku? Hebat! Kemudian kita melakukan misi tempur - kita menyelesaikan persamaan eksponen yang paling mudah dan paling mudah!

Tugasan 2.

Selesaikan persamaan (semua jawapan tidak betul!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16 x + 3 = 0

Jawapan:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Berlaku? Memang lebih mudah!

Kemudian kami menyelesaikan permainan berikut:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

Jawapan:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Dan contoh-contoh ini tinggal satu? Hebat! Anda sedang berkembang! Berikut adalah beberapa contoh makanan ringan:

Jawapan:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Dan adakah ia diputuskan? Baiklah, hormat! Hats off.) Ini bermaksud bahawa pelajaran itu tidak sia-sia, dan tahap awal menyelesaikan persamaan eksponensial dapat dianggap berjaya dikuasai. Lebih banyak tahap dan persamaan yang lebih mencabar akan datang! Dan teknik dan pendekatan baru. Dan contoh yang tidak standard. Dan kejutan baru.) Semua ini ada dalam pelajaran seterusnya!

Adakah ada masalah? Ini bermaksud, kemungkinan besar, masalah di. Atau di. Atau kedua-duanya sekali gus. Di sini saya tidak berdaya. Saya sekali lagi boleh menawarkan satu perkara - jangan malas dan berjalan melalui pautan.)

Akan bersambung.)

Penyelesaian persamaan eksponensial. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Bahagian Khas 555.
Bagi mereka yang "sangat tidak ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Apa persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan di mana tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya petunjuk beberapa darjah. Dan hanya di sana! Ia penting.

Di sana anda contoh persamaan eksponensial:

3 x 2 x = 8 x + 3

Nota! Di pangkalan darjah (di bawah) - nombor sahaja... DALAM petunjuk darjah (di atas) - pelbagai ungkapan dengan x. Sekiranya, tiba-tiba, x muncul dalam persamaan di tempat selain penunjuk, misalnya:

ini akan menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan tersebut tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk diselesaikan. Kami tidak akan mempertimbangkannya lagi. Di sini kita akan menangani dengan menyelesaikan persamaan eksponen dalam bentuk paling suci.

Sebenarnya, persamaan eksponensial tulen tidak selalu dapat diselesaikan dengan jelas. Tetapi ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang boleh dan harus diselesaikan. Kami akan mempertimbangkan jenis ini.

Penyelesaian persamaan eksponensial termudah.

Mari mulakan dengan sesuatu yang sangat asas. Sebagai contoh:

Walaupun tanpa teori, jelas dari pilihan sederhana bahawa x = 2. Tidak lagi, bukan !? Tiada gulungan nilai x yang lain. Sekarang mari kita lihat rekod penyelesaian untuk persamaan eksponensial yang licik ini:

Apa yang telah kita lakukan? Kami, sebenarnya, hanya membuang asas yang sama (bertiga). Dibuang sepenuhnya. Dan, apa yang menggembirakan, tekan tanda!

Memang, jika persamaan eksponensial di kiri dan kanan mengandungi sama nombor dalam mana-mana kuasa, nombor ini dapat dikeluarkan dan eksponen disamakan. Matematik membenarkan. Masih boleh menyelesaikan persamaan yang jauh lebih mudah. Hebat, bukan?)

Walau bagaimanapun, mari kita mengingatnya secara ironik: anda boleh membuang asas hanya apabila nombor asas di kiri dan kanan berada dalam keadaan terpencil! Tanpa jiran dan pekali. Katakan dalam persamaan:

2 x +2 x + 1 = 2 3, atau

deuces tidak dapat dikeluarkan!

Kita telah menguasai perkara yang paling penting. Cara pergi dari ungkapan eksponen jahat ke persamaan yang lebih sederhana.

"Inilah masanya!" - kamu berkata. "Siapa yang akan memberikan ujian primitif seperti ini!?"

Saya mesti setuju. Tidak ada yang akan memberi. Tetapi sekarang anda tahu di mana tujuan ketika menyelesaikan contoh yang membingungkan. Anda perlu membawanya ke borang apabila nombor asas yang sama ada di sebelah kiri - di sebelah kanan. Maka semuanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah klasik matematik. Kami mengambil contoh asal dan mengubahnya menjadi contoh yang dikehendaki. KAMI fikiran. Oleh peraturan matematik, tentu saja.

Mari kita lihat contoh yang memerlukan usaha ekstra untuk menjadikannya paling mudah. Mari hubungi mereka persamaan eksponen sederhana.

Menyelesaikan persamaan eksponen mudah. Contoh.

Semasa menyelesaikan persamaan eksponensial, peraturan utama adalah - tindakan dengan darjah. Tanpa pengetahuan mengenai tindakan ini, tidak ada yang akan berjaya.

Pemerhatian dan kepintaran peribadi mesti ditambahkan pada tindakan dengan darjah. Adakah kita memerlukan nombor asas yang sama? Oleh itu, kami mencari mereka dalam contoh dalam bentuk tersurat atau disulitkan.

Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktik?

Mari kita diberi contoh:

2 2x - 8x + 1 = 0

Pandangan tajam pertama ialah perkarangan. Mereka ... Mereka berbeza! Dua dan lapan. Tetapi terlalu awal untuk tidak putus asa. Sudah tiba masanya untuk mengingati perkara itu

Dua dan lapan adalah saudara mara.) Sangat mungkin untuk menuliskan:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Sekiranya anda ingat formula dari tindakan dengan kekuatan:

(a n) m = a nm,

secara umum ternyata hebat:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Contoh asal sekarang kelihatan seperti ini:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

Kami memindahkan 2 3 (x + 1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan tindakan asas matematik!), kami mendapat:

2 2x = 2 3 (x + 1)

Itu hampir semua. Kami membuang asas:

Kami menyelesaikan raksasa ini dan mendapatkan

Ini adalah jawapan yang betul.

Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua membantu kita. Kami dikenal pasti dalam lapan adalah dua yang disulitkan. Teknik ini (menyulitkan pangkalan umum dengan nombor yang berbeza) adalah teknik yang sangat popular dalam persamaan eksponensial! Dan dalam logaritma juga. Seseorang mesti dapat mengenali dalam nombor kekuatan nombor lain. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Kenyataannya adalah bahawa menaikkan bilangan apa pun menjadi kuasa tidak menjadi masalah. Gandakan, walaupun pada sehelai kertas, dan itu sahaja. Sebagai contoh, setiap orang dapat menaikkan kekuatan 3 hingga kelima. 243 akan berfungsi jika anda tahu jadual pendaraban.) Tetapi dalam persamaan eksponensial lebih kerap diperlukan untuk tidak menaikkan kekuatan, tetapi sebaliknya ... nombor berapa hingga tahap berapa tersembunyi di sebalik nombor 243, atau, katakanlah, 343 ... Tidak ada kalkulator yang akan menolong anda di sini.

Anda perlu mengetahui kekuatan beberapa nombor dengan penglihatan, ya ... Mari berlatih?

Tentukan kekuatan dan nombor apa nombor:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawapan (secara berantakan, secara semula jadi!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Sekiranya anda melihat dengan teliti, anda dapat melihat fakta yang pelik. Terdapat banyak jawapan daripada tugas! Ia berlaku ... Contohnya, 2 6, 4 3, 8 2 semuanya 64.

Anggaplah bahawa anda telah memperhatikan maklumat mengenai keakraban dengan nombor.) Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, kami menggunakan keseluruhan stok pengetahuan matematik. Termasuk dari kelas junior-menengah. Anda tidak pergi ke sekolah menengah, kan?)

Contohnya, semasa menyelesaikan persamaan eksponensial, ia sering membantu meletakkan faktor sepunya di luar kurungan (hello, kelas 7!). Mari lihat contoh:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pada pandangan pertama - pada asasnya! Asas darjah berbeza ... Tiga dan sembilan. Dan kami mahu mereka sama. Nah, dalam kes ini, keinginan itu dapat dilaksanakan!) Kerana:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Mengikuti peraturan yang sama untuk menangani darjah:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Itu bagus, anda boleh menulis:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami telah membawa contoh itu dengan alasan yang sama. Jadi, apa yang seterusnya !? Threes tidak boleh dibuang ... Buntu?

Tidak sama sekali. Mengingati peraturan keputusan yang paling serba boleh dan kuat semua tugas matematik:

Sekiranya anda tidak tahu apa yang diperlukan, lakukan yang anda boleh!

Anda lihat, semuanya akan terbentuk).

Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini boleh buat? Ya, di bahagian kiri, secara langsung meminta tanda kurung! Faktor biasa 3 2x jelas menunjukkan perkara ini. Mari cuba, dan kemudian kita akan melihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contohnya terus bertambah baik dan lebih baik!

Kami ingat bahawa untuk menghilangkan alasan, kami memerlukan tahap yang murni, tanpa pekali. Nombor 70 menghalangi kita. Oleh itu, kita membahagikan kedua-dua sisi persamaan dengan 70, kita mendapat:

Alamak! Semuanya berjaya!

Ini adalah jawapan terakhir.

Akan tetapi, berlaku teksi dengan alasan yang sama, tetapi penghapusannya tidak. Ini berlaku dalam persamaan eksponen jenis lain. Mari kita menguasai jenis ini.

Perubahan pemboleh ubah dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.

Mari selesaikan persamaannya:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama, seperti biasa. Melangkah ke satu pangkalan. Untuk tipu muslihat.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapat persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan di sini kita akan membeku. Trik sebelumnya tidak akan berjaya, tidak kira betapa hebatnya. Kita harus keluar dari gudang cara lain yang kuat dan serba boleh. Ia dikenali sebagai penggantian pemboleh ubah.

Intipati kaedah ini sangat mudah. Daripada satu ikon kompleks (dalam kes kami, 2 x), kami menulis satu ikon yang lebih sederhana (contohnya, t). Penggantian yang seolah-olah tidak masuk akal membawa kepada hasil yang luar biasa!) Hanya segalanya menjadi jelas dan difahami!

Jadi biarkan

Kemudian 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Gantikan semua kuasa dengan x dalam persamaan kami dengan t:

Sudah tentu?) Adakah anda sudah lupa persamaan kuadratik? Kami menyelesaikan melalui diskriminasi, kami mendapat:

Di sini, perkara utama adalah tidak berhenti, kerana ia berlaku ... Ini bukan jawapannya, kita memerlukan x, bukan t. Kami kembali ke Xs, iaitu kami membuat penggantian pulangan. Pertama untuk t 1:

Itu dia,

Terdapat satu punca. Kami mencari yang kedua, dari t 2:

Um ... Kiri 2 x, kanan 1 ... Masalah? Tidak sama sekali! Cukup untuk mengingat (dari tindakan dengan kekuatan, ya ...) yang satu itu ada nombor hingga darjah sifar. Sesiapa. Kami akan menyampaikan apa yang diperlukan. Kita memerlukan tipu muslihat. Bermakna:

Sekarang itu sahaja. Kami mendapat 2 akar:

Inilah jawapannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponen kadang-kadang kita berakhir dengan ekspresi canggung. Jenis:

Dari tujuh, dua hingga darjah satu tidak berjaya. Mereka bukan saudara mara ... Bagaimana hendak berada di sini? Seseorang mungkin keliru ... Tetapi orang yang membaca di laman web ini topik "Apa itu logaritma?" , hanya tersenyum dengan berhati-hati dan menuliskan dengan tegas jawapan yang betul:

Tidak ada jawapan seperti itu dalam tugas "B" dalam peperiksaan. Di sana, nombor tertentu diperlukan. Tetapi dalam tugas "C" - dengan mudah.

Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling biasa. Mari kita ketengahkan perkara utama.

Nasihat praktikal:

1. Pertama sekali, kita melihat asas darjah. Kami mempertimbangkan sama ada mungkin untuk membuatnya sama. Kami cuba melakukan ini dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan darjah. Jangan lupa bahawa nombor tanpa x juga boleh ditukar menjadi kuasa!

2. Kami cuba mengurangkan persamaan eksponensial ke bentuk ketika kiri dan kanan sama nombor dalam apa jua darjah. Kami guna tindakan dengan darjah dan pemfaktoran. Apa yang boleh dikira dalam jumlah - kita mengira.

3. Sekiranya petua kedua tidak berjaya, kami cuba menerapkan penggantian pemboleh ubah. Hasil akhirnya adalah persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Selalunya ia adalah segi empat sama. Atau pecahan, yang juga berkurang menjadi segi empat sama.

4. Untuk berjaya menyelesaikan persamaan eksponensial, anda perlu mengetahui kekuatan beberapa nombor "dengan penglihatan".

Seperti biasa, pada akhir pelajaran, anda diminta untuk membuat keputusan sedikit.) Anda sendiri. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.

Selesaikan persamaan eksponen:

Lebih sukar:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x + 1 - 8 = 0

Cari produk akar:

2 3-x + 2 x = 9

Berlaku?

Baiklah, contoh yang paling rumit (namun diselesaikan dalam fikiran ...):

7 0.13x + 13 0.7x + 1 + 2 0.5x + 1 = -3

Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk bagi anda. Cukup tertarik dengan peningkatan kesukaran. Saya akan menunjukkan bahawa dalam contoh ini, kepintaran dan peraturan yang paling universal untuk menyelesaikan semua masalah matematik simpan.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Contohnya lebih mudah, untuk berehat):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk pencuci mulut. Cari jumlah punca persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya Ya! Ini adalah persamaan campuran! Yang tidak kita pertimbangkan dalam pelajaran ini. Dan bahawa mereka harus dipertimbangkan, mereka mesti diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Baiklah, diperlukan penjelasan ... Dan semoga kelas tujuh dapat menolong anda (ini adalah petunjuk!).

Jawapan (dalam kekacauan, titik koma dipisahkan):

satu; 2; 3; 4; tiada penyelesaian; 2; -2; -five; 4; 0.

Adakah semuanya baik-baik saja? Cemerlang.

Ada masalah? Tiada masalah! Dalam Bahagian Khas 555, semua persamaan eksponensial ini diselesaikan dengan penjelasan terperinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada maklumat berharga tambahan untuk bekerja dengan semua jenis persamaan eksponensial. Bukan hanya ini.)

Satu soalan lucu yang terakhir untuk dipertimbangkan. Dalam tutorial ini, kami bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata mengenai ODZ di sini? Dalam persamaan, ini adalah perkara yang sangat penting, dengan cara ...

Sekiranya anda suka laman web ini ...

Ngomong-ngomong, saya ada beberapa laman web yang lebih menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Ujian pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.