Menyamakan garis lurus menggunakan 2 titik. Persamaan garis lurus yang melewati dua titik yang diberikan: contoh, penyelesaian

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik. Rencana" " Saya berjanji kepada anda untuk menganalisis kaedah kedua untuk menyelesaikan masalah yang dijumpai dalam mencari turunannya, untuk graf fungsi dan tangen pada graf ini. Kami akan menganalisis kaedah ini di , jangan lepaskan! Mengapa pada yang seterusnya?

Faktanya ialah formula untuk persamaan garis lurus akan digunakan di sana. Sudah tentu, seseorang dapat menunjukkan formula yang diberikan dan menasihati anda untuk mempelajarinya. Tetapi lebih baik menjelaskan dari mana asalnya (bagaimana ia berasal). Ia perlu! Sekiranya anda melupakannya, segera pulihkannya tidak akan sukar. Semuanya diperincikan di bawah. Jadi, kita mempunyai dua titik A pada satah koordinat(x 1; y 1) dan B (x 2; y 2), garis lurus dilukis melalui titik yang ditunjukkan:

Inilah formula garis lurus itu sendiri:

* Iaitu, ketika mengganti koordinat titik tertentu, kita mendapat persamaan bentuk y \u003d kx + b.

** Jika formula yang diberikan hanya "bergerigi", maka ada kemungkinan besar untuk keliru dengan indeks di x... Sebagai tambahan, indeks dapat dilambangkan dengan cara yang berbeza, misalnya:

Itulah sebabnya penting untuk memahami maksudnya.

Sekarang kesimpulan formula ini. Semuanya sangat mudah!

Segitiga ABE dan ACF serupa dalam sudut akut (tanda pertama kesamaan segitiga bersudut tegak). Ini menunjukkan bahawa hubungan unsur masing-masing sama, iaitu:

Sekarang kita hanya menyatakan segmen ini melalui perbezaan koordinat titik:

Sudah tentu, tidak akan ada kesalahan jika anda menulis hubungan unsur-unsur dalam urutan yang berbeza (yang utama adalah menjaga surat-menyurat):

Hasilnya akan menjadi persamaan garis lurus yang sama. Semuanya!

Maksudnya, tidak kira bagaimana titik itu sendiri (dan koordinatnya) ditentukan, memahami formula ini, anda akan selalu mendapat persamaan garis lurus.

Rumus dapat diturunkan dengan menggunakan sifat vektor, tetapi prinsip terbitan akan sama, kerana kita akan membicarakan mengenai perkadaran koordinatnya. Dalam kes ini, bentuk segitiga bersudut tegak yang sama berfungsi. Pada pendapat saya, output yang dinyatakan di atas lebih jelas)).

Lihat output melalui koordinat vektor \u003e\u003e\u003e

Biarkan garis lurus dibina pada satah koordinat yang melewati dua titik yang diberi A (x 1; y 1) dan B (x 2; y 2). Mari kita tandakan pada garis lurus titik C sewenang-wenang dengan koordinat ( x; y). Kami juga menunjukkan dua vektor:

Telah diketahui bahawa untuk vektor yang terletak pada garis selari (atau pada satu garis lurus), koordinat yang sepadan adalah berkadar, iaitu:

- kami menuliskan persamaan hubungan koordinat yang sesuai:

Mari kita pertimbangkan contoh:

Cari persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat (2; 5) dan (7: 3).

Anda tidak perlu membina garis lurus itu sendiri. Kami menggunakan formula:

Penting untuk anda mengetahui surat-menyurat ketika membuat nisbah. Anda tidak boleh salah sekiranya anda menulis:

Jawapan: y \u003d -2 / 5x + 29/5 go y \u003d -0.4x + 5.8

Untuk memastikan bahawa persamaan yang diperoleh dijumpai dengan betul, pastikan untuk melakukan pemeriksaan - ganti koordinat data dalam keadaan titik ke dalamnya. Anda harus mendapat persamaan yang betul.

Itu sahaja. Saya harap bahan itu berguna untuk anda.

Yang benar, Alexander.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda dapat memberitahu kami mengenai laman web di rangkaian sosial.

Persamaan parabolas adalah fungsi kuadratik. Terdapat beberapa pilihan untuk membina persamaan ini. Semuanya bergantung pada parameter apa yang disajikan dalam pernyataan masalah.

Arahan

Parabola adalah lekukan yang menyerupai busur dalam bentuk dan grafik fungsi daya. Terlepas dari ciri-ciri parabola, yang ini sama. Fungsi semacam itu disebut genap; untuk semua nilai argumen dari definisi, apabila tanda argumen berubah, nilainya tidak berubah: f (-x) \u003d f (x) Mulakan dengan fungsi termudah: y \u003d x ^ 2. Dari bentuknya, kita dapat menyimpulkan bahawa ia adalah baik untuk nilai positif dan negatif dari argumen x. Titik di mana x \u003d 0, dan pada masa yang sama, y \u200b\u200b\u003d 0 dianggap titik.

Berikut adalah semua pilihan utama untuk membina fungsi ini dan itu. Sebagai contoh pertama, di bawah ini kita mempertimbangkan fungsi bentuk: f (x) \u003d x ^ 2 + a, di mana a adalah bilangan bulat Untuk memplot grafik fungsi ini, perlu mengubah grafik fungsi f (x) oleh satu unit. Contohnya ialah fungsi y \u003d x ^ 2 + 3, di mana fungsi tersebut dipindahkan oleh dua unit di sepanjang paksi-y. Sekiranya fungsi dengan tanda bertentangan diberikan, misalnya y \u003d x ^ 2-3, maka grafnya digeser ke bawah sepanjang paksi-y.

Jenis fungsi lain yang boleh diberi parabola ialah f (x) \u003d (x + a) ^ 2. Dalam kes sedemikian, graf, sebaliknya, dipindahkan sepanjang absis (paksi-x) oleh satu unit. Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi: y \u003d (x +4) ^ 2 dan y \u003d (x-4) ^ 2. Dalam kes pertama, di mana terdapat fungsi dengan tanda tambah, grafik dipindahkan sepanjang paksi-x ke kiri, dan dalam kes kedua, ke kanan. Semua kes ini ditunjukkan dalam gambar.

Biarkan dua mata diberikan M(X1 ,Mempunyai1) dan N(X2, y2). Mari kita cari persamaan garis lurus yang melewati titik-titik ini.

Oleh kerana garis ini melewati titik M, maka mengikut formula (1.13) persamaannya mempunyai bentuk

Mempunyai – Y1 = K(X - x1),

Di mana K - cerun tidak diketahui.

Nilai pekali ini ditentukan dari keadaan bahawa garis yang dicari melewati titik N, dan oleh itu, koordinatnya memenuhi persamaan (1.13)

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Dari sini anda boleh menemui cerun garis lurus ini:

,

Atau selepas penukaran

(1.14)

Formula (1.14) menentukan Persamaan garis lurus yang melalui dua titik M(X1, Y1) dan N(X2, Y2).

Dalam kes khas apabila mata M(A, 0), N(0, B), DAN ¹ 0, B ¹ 0, berbaring pada paksi koordinat, persamaan (1.14) mengambil bentuk yang lebih sederhana

Persamaan (1.15) dipanggil Persamaan garis lurus dalam segmen, di sini DAN dan B menandakan segmen yang dipotong dengan garis lurus pada paksi (Rajah 1.6).

Rajah 1.6

Contoh 1.10. Menyamakan garis lurus melalui titik M(1, 2) dan B(3, –1).

. Menurut (1.14), persamaan garis dicari mempunyai bentuk

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Memindahkan semua istilah ke sebelah kiri, akhirnya kami memperoleh persamaan yang diinginkan

3X + 2Y – 7 = 0.

Contoh 1.11. Menyamakan garis lurus melalui titik M(2, 1) dan titik persilangan garis X+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Kami menjumpai koordinat titik persilangan garis lurus dengan menyelesaikan persamaan yang diberikan

Sekiranya kita menambah istilah persamaan ini dengan istilah, kita mendapat 2 X + 1 \u003d 0, dari mana. Menggantikan nilai yang dijumpai menjadi persamaan apa pun, kita dapati nilai ordinat Mempunyai:

Sekarang kita menulis persamaan garis lurus yang melewati titik (2, 1) dan:

atau.

Oleh itu, atau –5 ( Y – 1) = X – 2.

Akhirnya, kami memperoleh persamaan garis lurus yang dikehendaki dalam bentuk X + 5Y – 7 = 0.

Contoh 1.12. Cari persamaan garis lurus yang melewati titik M(2,1) dan N(2,3).

Dengan menggunakan formula (1.14), kita memperoleh persamaan

Tidak masuk akal kerana penyebut kedua adalah sifar. Ini dapat dilihat dari pernyataan masalah bahawa abses kedua-dua titik mempunyai nilai yang sama. Oleh itu, garis lurus yang diperlukan selari dengan paksi OY dan persamaannya adalah: x = 2.

Komen . Sekiranya, semasa menulis persamaan garis lurus mengikut formula (1.14), salah satu penyebutnya ternyata sifar, maka persamaan yang diinginkan dapat diperoleh dengan menyamakan pembilang yang sesuai dengan sifar.

Pertimbangkan cara lain untuk menentukan garis lurus pada satah.

1. Biarkan vektor bukan sifar tegak lurus dengan garis yang diberikan Ldan titik M0(X0, Y0) terletak pada garis lurus ini (Rajah 1.7).

Rajah 1.7

Kami menunjukkan M(X, Y) titik sewenang-wenangnya di talian L... Vektor dan Orthogonal. Dengan menggunakan keadaan ortogonaliti untuk vektor ini, kita memperoleh sama ada DAN(X – X0) + B(Y – Y0) = 0.

Kami mendapat persamaan garis lurus yang melewati satu titik M0 tegak lurus dengan vektor. Vektor ini dipanggil Vektor normal ke lurus L... Persamaan yang dihasilkan dapat ditulis semula sebagai

Oh + Woo + DARI \u003d 0, di mana DARI = –(DANX0 + Oleh0), (1.16),

Di mana DAN dan DALAM- koordinat vektor normal.

Kami memperoleh persamaan umum garis lurus dalam bentuk parametrik.

2. Garis lurus pada satah dapat ditentukan seperti berikut: biarkan vektor bukan sifar sejajar dengan garis lurus yang diberikan L dan titik M0(X0, Y0) terletak pada garis lurus ini. Ambil perkara sewenang-wenangnya sekali lagi M(X, y) pada garis lurus (Rajah 1.8).

Rajah 1.8

Vektor dan collinear.

Mari kita tuliskan keadaan collinearity vektor ini:, di mana T - nombor sewenang-wenang yang disebut parameter. Mari tulis persamaan ini dalam koordinat:

Persamaan ini dipanggil Persamaan parametrik Lurus... Kami mengecualikan parameter persamaan ini T:

Sebaliknya persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk

. (1.18)

Persamaan yang dihasilkan disebut Persamaan kanonik garis... Vektor dipanggil Vektor arah garis lurus .

Komen . Sangat mudah untuk melihat bahawa jika adalah vektor normal ke garis L, maka vektor arahnya boleh menjadi vektor, kerana, iaitu

Contoh 1.13. Tuliskan persamaan garis lurus yang melewati titik M0 (1, 1) selari dengan garis lurus 3 X + 2Mempunyai– 8 = 0.

Keputusan . Vektor adalah vektor normal ke garis lurus yang diberikan dan dikehendaki. Marilah kita menggunakan persamaan garis lurus yang melewati titik M0 dengan vektor normal yang diberikan 3 ( X –1) + 2(Mempunyai - 1) \u003d 0 atau 3 X + 2y - 5 \u003d 0. Menerima persamaan garis lurus yang dikehendaki.

Garis lurus yang melewati titik K (x 0; y 0) dan selari dengan garis lurus y \u003d kx + a dijumpai dengan formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Di mana k ialah cerun garis lurus.

Formula alternatif:
Garis lurus yang melewati titik M 1 (x 1; y 1) dan selari dengan garis lurus Ax + By + C \u003d 0 diwakili oleh persamaan

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0. (2)

Contoh # 2. Tuliskan persamaan garis lurus selari dengan garis lurus 2x + 5y \u003d 0 dan bentuk, bersama dengan paksi koordinat, segitiga yang luasnya 5.
Keputusan ... Oleh kerana garisnya selari, persamaan garis yang dikehendaki adalah 2x + 5y + C \u003d 0. Luas segitiga kanan, di mana a dan b adalah kakinya. Cari titik persimpangan garis lurus yang dikehendaki dengan paksi koordinat:
;
.
Jadi A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Mari kita ganti dengan formula untuk kawasan tersebut: ... Kami mendapat dua penyelesaian: 2x + 5y + 10 \u003d 0 dan 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Contoh # 3. Buat persamaan garis lurus yang melewati titik (-2; 5) dan selari dengan garis lurus 5x-7y-4 \u003d 0.
Keputusan. Garis lurus ini dapat diwakili oleh persamaan y \u003d 5/7 x - 4/7 (di sini a \u003d 5/7). Persamaan garis lurus yang dikehendaki ialah y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), iaitu 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) atau 5x-7y + 45 \u003d 0.

Contoh No. 4. Menyelesaikan contoh 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) menggunakan formula (2), kita dapati 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0.

Contoh No. 5. Buat persamaan garis lurus yang melewati titik (-2; 5) dan selari dengan garis lurus 7x + 10 \u003d 0.
Keputusan. Di sini A \u003d 7, B \u003d 0. Formula (2) memberikan 7 (x + 2) \u003d 0, iaitu x + 2 \u003d 0. Formula (1) tidak dapat digunakan, kerana persamaan ini tidak dapat diselesaikan sehubungan dengan y (garis ini selari dengan paksi ordinat).

Sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Anda boleh menarik banyak garis lurus ke titik mana pun.

Garis lurus tunggal dapat dilukis melalui dua titik yang tidak bertepatan.

Dua garis lurus yang tidak sepadan di pesawat sama ada bersilang pada satu titik, atau

selari (mengikut yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat tiga pilihan untuk kedudukan relatif dua garis lurus:

• garis lurus bersilang;

• garis lurus selari;

• garis lurus bersilang.

Lurus garisan - lengkung algebra dari urutan pertama: dalam sistem koordinat Cartesian, garis lurus

diberikan di satah dengan persamaan darjah pertama (persamaan linear).

Persamaan umum garis.

Definisi... Sebarang garis lurus dalam satah boleh diberikan dengan persamaan pesanan pertama

Ax + Wu + C \u003d 0,

dengan pemalar A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan pesanan pertama ini dipanggil biasa

persamaan garis lurus. Bergantung pada nilai pemalar A, B dan DARI kes khas berikut adalah mungkin:

. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - garis lurus melewati asal

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Oleh + C \u003d 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - garis lurus selari dengan paksi OU

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - garis lurus bertepatan dengan paksi OU

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

Persamaan garis lurus dapat ditunjukkan dalam bentuk yang berbeza, bergantung pada yang diberikan

keadaan awal.

Persamaan garis lurus sepanjang titik dan vektor normal.

Definisi... Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan

Ax + Wu + C \u003d 0.

Contohnya... Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A (1, 2) tegak lurus dengan vektor (3, -1).

Keputusan... Pada A \u003d 3 dan B \u003d -1, kami menyusun persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk mencari pekali C

gantikan dalam ungkapan yang dihasilkan koordinat titik yang diberikan A. Oleh itu, kita mendapat: 3 - 2 + C \u003d 0

C \u003d -1. Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Biarkan dua titik diberi ruang M 1 (x 1, y 1, z 1)dan M2 (x 2, y 2, z 2), kemudian persamaan garis lurus,

melalui perkara-perkara berikut:

Sekiranya salah satu penyebutnya adalah sifar, pengangka yang sesuai harus disamakan dengan sifar. Dihidupkan

satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

sekiranya x 1 ≠ x 2 dan x \u003d x 1 , sekiranya x 1 \u003d x 2 .

Pecahan \u003d k dipanggil cerun lurus.

Contohnya... Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A (1, 2) dan B (3, 4).

Keputusan... Dengan menggunakan formula di atas, kami mendapat:

Persamaan garis lurus dengan titik dan cerun.

Sekiranya persamaan umum garis lurus Ax + Wu + C \u003d 0 menuju ke borang:

dan tentukan , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan cerun k.

Persamaan garis lurus di sepanjang titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan perenggan yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor biasa, anda boleh memasukkan tugas

garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi... Setiap vektor bukan sifar (α 1, α 2)komponennya memenuhi syarat

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 dipanggil mengarahkan vektor garis lurus.

Ax + Wu + C \u003d 0.

Contohnya... Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan lalui titik A (1, 2).

Keputusan... Persamaan garis lurus yang dikehendaki akan dicari dalam bentuk: Ax + Oleh + C \u003d 0. Menurut definisi,

pekali mesti memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, iaitu A \u003d B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C \u003d 0, atau x + y + C / A \u003d 0.

di x \u003d 1, y \u003d 2kita mendapatkan C / A \u003d -3, iaitu persamaan yang diperlukan:

x + y - 3 \u003d 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Sekiranya dalam persamaan umum garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0, maka, membahagi dengan -C, kita mendapat:

atau di mana

Maksud geometri pekali adalah bahawa pekali a adalah koordinat titik persimpangan

lurus dengan paksi Oh, dan b - koordinat titik persilangan garis lurus dengan paksi OU.

Contohnya... Persamaan umum garis lurus diberikan x - y + 1 \u003d 0.Cari persamaan garis lurus ini dalam segmen.

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus.

Sekiranya kedua-dua sisi persamaan Ax + Wu + C \u003d 0 bahagi dengan nombor yang dipanggil

faktor menormalkan, kemudian kita dapat

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -persamaan garis normal.

Tanda ± faktor penormalan harus dipilih sedemikian rupa μ * C< 0.

r - panjang tegak lurus yang jatuh dari asal ke garis lurus,

dan φ - sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah positif paksi Oh.

Contohnya... Persamaan umum garis diberikan 12x - 5y - 65 \u003d 0... Wajib menulis pelbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan cerun: (bahagikan dengan 5)

Persamaan garis lurus:

cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya garis lurus,

selari dengan paksi atau melalui asal.

Sudut antara garis lurus pada satah.

Definisi... Sekiranya dua baris diberi y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , maka sudut akut antara garis-garis ini

akan ditakrifkan sebagai

Dua garis lurus selari jika k 1 \u003d k 2... Dua garis lurus adalah tegak lurus,

sekiranya k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Langsung Ax + Wu + C \u003d 0dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 selari apabila pekali berkadar

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... Sekiranya juga С 1 \u003d λС, maka garis lurus bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis

didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis lurus ini.

Persamaan garis lurus yang melewati titik tertentu yang berserenjang dengan garis lurus yang diberikan.

Definisi... Garis melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus dengan garis y \u003d kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garisan.

Teorem... Sekiranya titik diberi M (x 0, y 0), jarak ke garis lurus Ax + Wu + C \u003d 0ditakrifkan sebagai:

Bukti... Biarkan maksudnya M 1 (x 1, y 1) - pangkal tegak lurus jatuh dari titik Muntuk yang diberikan

garis lurus. Kemudian jarak antara titik Mdan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan pada pukul 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem adalah persamaan garis lurus yang melewati titik tertentu M 0 yang berserenjang dengan

garis lurus yang diberi. Sekiranya kita mengubah persamaan pertama sistem ke bentuk:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C \u003d 0,

kemudian, dengan menyelesaikan, kita mendapat:

Menggantikan ungkapan ini menjadi persamaan (1), kita dapati:

Teorema itu dibuktikan.