කෙළින්ම දෙකක් අතර කෝණය. ඡේදනය වන සෘජු: අර්ථ දැක්වීම, සොයා ගැනීමේ උදාහරණ

නමුත්. 1 වන පරිච්ඡේදයේ දක්වා ඇති පරිදි කෙලින්ම සෘජුවම සෘජුවම සෘජුවම සෘජුවම සෘජුවම යොමු කරන්න. මෙම කොන් වලින් එකක් දැන ගැනීමෙන් අපි පහසුවෙන් වෙනත් කිසිවක් සොයා ගනිමු.

මාර්ගය වන විට, මේ සියලු කොන් වල සංඛ්යාත්මක වටිනාකමක් ඇත, එයම සමාන වේ, වෙනස විය හැක්කේ ලකුණෙහි පමණි

සමීකරණ සෘජු. මෙම දෛශික අතර පළමු හා දෙවන සෘජු කෝණයේ මාර්ගෝපදේශයේ යෙදවීමේ සංඛ්යාව සරල රේඛා මගින් සාදන ලද එක් කෝණවලට සමාන වේ. එබැවින්, කාර්යය දෛශික අතර කෝණයේ අර්ථ දැක්වීම දක්වා අඩු වේ, අපට ලැබේ

සරල බව සඳහා, උග්ර ධනාත්මක කෝණය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා සෘජුවම දෙකක් අතර කෝණයකින් එය එකඟ විය හැකිය (නිදසුනක් වශයෙන්, රූපය 53 හි).

එවිට මෙම කෝණයේ ස්පර්ශක සෑම විටම ධනාත්මක වනු ඇත. මේ අනුව, us ණ ලකුණක් සූත්රයේ දකුණු පැත්තේ us ණ නම් (1), එවිට අප එය ඉවත දැමිය යුතුය, එනම් නිරපේක්ෂ අගයක් පමණක් පවත්වා ගැනීම.

උදාහරණයක්. කෙළින් අතර කෝණය නිර්වචනය කරන්න

ෆෝමියුලා විසින් (1) අපට තිබේ

සිට. එය සඳහන් කර ඇත්නම්, කෝණයේ පැත්තෙන්, එය කොල්ලයේ පැත්තෙන්, පසුව, පසුව කෝණයේ දිශාව ඔරලෝසුව ඊතලයකට එරෙහිව ගණන් කිරීම, අපට තවත් දෙයක් උකහා ගත හැකිය (1). රූපය ගැන සහතික වීම පහසු බැවින්. 53 ලකුණක් හේතුවෙන් සූත්රයේ දකුණු පස ඇති ලකුණ (1) තියුණු හෝ මෝඩයන් වන කුමන එකද - කෝණය මුලින් දෙවන කෙළින්ම වැටේ.

.

.. සෘජුවම සමාන්තර නම්, පසුව අපට ලැබෙන දෛශික දෙකක සමාන්තරකරණයේ තත්වය යෙදීම, සමාන්තරව සමාන්තරව සමාන්තරව සමපාත වේ!

මෙය සරල රේඛා දෙකක සමාන්තරවාදයට අවශ්ය හා ප්රමාණවත් කොන්දේසියකි.

උදාහරණයක්. කෙලින්ම

සමාන්තරව

ඊ. ඔවුන්ගේ මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයන්ට සෘජුවම ලම්බකව තිබේ නම් ද ලම්බක වේ. දෛශික දෙකේ ලෝලීකරණයේ තත්වය යෙදීම, සෘජු නම් දෙකේ ලම්බකත්වය සඳහා අපි තත්වය ලබා ගනිමු

උදාහරණයක්. කෙලින්ම

ඒ නිසා ලම්බකව

සමාන්තරකවාදයේ සහ ලම්බකවන්ගේ කොන්දේසි නිසා, අපි පහත සඳහන් කාර්යයන් දෙක විසඳන්නෙමු.

f. කාරණය හරහා සමාන්තරව සරල රේඛාවක් වියදම් කරන්න

මෙම තීරණය මේ ආකාරයට සිදු කෙරේ. අපේක්ෂිත direct ජු සෘජුවම මෙයට සමාන්තරව පවතින බැවින්, එහි මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයට, ඔබට මෙම සෘජු, I.e., ප්රක්ෂේපන සමඟ දෛශිකය, එවිට ප්රක්ෂේපණ සහිත දෛශිකය, පසුව එම ස්ථානයේ සමීකරණය (§ 1)

උදාහරණයක්. සමාන්තරව සෘජු සෘජු දිනයේ (1; 3) යන සමීකරණය සෘජුවම ගමන් කරයි

පහත සඳහන් දේ ලැබෙනු ඇත!

g. කාරණය හරහා මෙම සෘජු ලම්බකව ලම්බකව කරන්න

මෙන්න, මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය තවදුරටත් ප්රක්ෂේපන සමඟ දෛශිකයට නොගැලපෙන්නේ නැත A සහ \u200b\u200bදෛශිකය ඔහුට ලම්බකව කළ යුතුය. මෙම දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපන තෝරා ගත යුත්තේ දෛශික දෙකෙහිම I.E. අනුව I.E.

ඔබට මෙම කොන්දේසිය ගණන් කළ හැකිය, මන්ද එය නොදන්නා දෙකක් සහිත එක් සමීකරණයක්, නමුත් යන්නට ඇති පහසුම ක්රමය නම්, සමීකරණය යනු පෝරමයේ අපේක්ෂිත සරල රේඛාවයි

උදාහරණයක්. සමීකරණය සෘජුවම (-7; 2) ලම්බක සෘජු ස්වරූපයෙන් ගමන් කරයි

පහත සඳහන් දේ ලැබෙනු ඇත (දෙවන සූත්රයට අනුව)!

h. එවැනි අවස්ථාවක, දර්ශන සමීකරණ මගින් සරල රේඛා නිශ්චිතව දක්වා ඇති විට

උපදෙස්

සටහන

ස්පර්ශක ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයේ කාල පරිච්ඡේදය අංශක 180 ක් වන අතර එයින් අදහස් වන්නේ මොඩියුලය තුළ, මෙම අගය ඉක්මවා යන්නට සෘජුවම බෑවුම්වල කොන් වලට නොහැකි ය.

ප්රයෝජනවත් උපදෙස්

කෝණික සංගුණක තමන් අතර නම්, එවැනි කෙලින්ම අතර කෝණය 0 යනු n ලදායී හෝ සමපාත හෝ සමාන්තරව ය.

හරස් රටක සෘජුවම අතර කෝණයේ විශාලත්වය තීරණය කිරීම සඳහා, මංසන්ධියට සමාන්තරව මාරු කිරීමේ ක්රමවේදය මගින් නව තනතුරකට මාරු කිරීම සඳහා කෙළින්ම (හෝ ඒවායින් එකක්) නව තනතුරකට පැවරීම සඳහා අවශ්ය වේ. ඊට පසු, එහි ප්රති ulters ලයක් ලෙස ඡේදනය වන කෙළින්ම අතර කෝණයේ වටිනාකම ඔබ සොයා ගත යුතුය.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• රීතිය, සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණය, පැන්සල, ප්රවාහනය.

උපදෙස්

ඉතින්, දෛශික වී \u003d (ඒ, බී, සී) සහ යානය සහ x + Y + c z \u003d 0, සාමාන්ය එන් ඛණ්ඩාංක ඛණ්ඩාංක ෂ්ටාරින් දෛශික v සහ N: Cos α \u003d (A + B B + C C) / (√ + B² + C²) √ (A ² + b² + c²) √ (A ² + c² + c²) √ (A ² + c² + c²)).

අංශකවල හෝ රේඩියනවල කෝණයේ විශාලත්වය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ ශ්රිතය නැවත කොසයින් වෙත ගණනය කළ යුතුය, I.e. Arkkosinus: α \u003d arssos ((A + B B + C C) / ((A² + B² + C²) √ (A² + C² + C²) √ (A² + C² + C²)))

උදාහරණය: සොයා ගන්න කෝණ අතර දෛශිකය (5, -3, 8) සහ තලයසමස්ත සමීකරණය මඟින් ලබා දී ඇත්තේ 2 x - 5 Y + 3 Z \u003d 0. A යනු AMATING: සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක n \u003d (2 ,5, 3). එහි ප්රති ing ලයක් වශයෙන් සියලු දන්නා වටිනාකම්වල ප්රති ing ලයක් වශයෙන් සූත්රය: COS α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α.8.8.87 °.

මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝව

රවුමක් සහිත සරල රේඛාවක් එක් පොදු ලක්ෂ්යයක් වටකුරු ය. ස්පර්ශකයේ තවත් සුවිශේෂත්වය - ස්පර්ශක කාරණය සඳහා වැය කළ අරය, එය ස්පර්ශක කාරණය සඳහා වැය කළ අරය, එනම් ස්පර්ශක හා අරය සෘජුවම සාදයි කෝණ. ඒබී සහ ඒසී රවුමට ඇති කළ ස්පර්ශයන් දෙකක් තිබේ නම්, ඒවා සෑම විටම එකිනෙකාට සමාන වේ. ස්පර්ශක අතර කෝණය තීරණය කිරීම ( කෝණ ABC) පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතයෙන් සිදු කෙරේ.

උපදෙස්

කෝණය තීරණය කිරීම සඳහා, මෙහෙයුම් පද්ධතියේ වට ප්රමාණයෙහි අරය සහ ආරම්භක ස්ථානයේ ඇති දුර රවුමේ මධ්යයේ සිට ආරම්භක ලක්ෂ්ය ස්පර්ශයේ ඇති දුර දැන ගැනීම අවශ්ය වේ. එසේ, අව්පත සහ ආසෝ කෝණ සමාන වේ, අරය, සඳහා උදාහරණය, \u200b\u200b10 සෙ.මී. සහ JSC රවුමේ මධ්යයේ ඇති දුර 15 සෙ.මී. පයිතගරස් න්යායයට අනුකූලව සූත්රය තීරණය කරන්න: AO2 - OV2 හෝ 152 - 102 - 102 - 100 - 225 - 100 \u003d 125;

කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ කෙළින්ම l සහ m ට පොදු සමීකරණ මගින් සකසා ඇත: l: 1 x + b 1 \u003d 0, m: a 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0

දත්ත සෘජුවම සඳහා සාමාන්ය දෛශික: \u003d (1, බී 1) - line ජු රේඛාවකට,

\u003d (2, බී 2) - සරල රේඛාවකට m.

කෙලින්ම l සහ m අතර කෝණය වේවා.

අන්යෝන්ය වශයෙන් ලම්බක පැති සහිත කෝණ සමාන වන බැවින්, p හි ප්රමාණයෙන් , එනම්, COS J \u003d.

ඉතින්, අපි පහත සඳහන් ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත්තෙමු.

ප්රමේයය. ජේ යානයේ කෙළින්ම දෙකක් අතර කෝණයක් වනු ඇත, සහ පොදු සමීකරණ 1 x + b 1 Y + c 1 \u003d 0 x + b 2 \u003d 0 Y + c 2 \u003d 0 juctization ඛණ්ඩාංක ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මෙම සෘජු කට්ටලයට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසු COS J \u003d. .

අභ්යාස.

1) කෙළින් අතර කෝණය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය ප්රතිදානය කරන්න:

(1) සරල රේඛා දෙකම පරාමිතික වශයෙන් සකසා ඇත; (2) සෘජු දෙකම කැනොනිකල් සමීකරණ මගින් සකසා ඇත; (3) එක් සෘජු එක් සෘජුම සකසා ඇත, අනෙක් සෘජු යනු පොදු සමීකරණයකි; (4) රේඛීය රේඛා දෙකම කෝණික සංගත සමීකරණයකින් ලබා දෙනු ලැබේ.

2) J යානයේ කෙළින්ම දෙකක් අතර කෝණය වන්න, මෙම සෘජු කට්ටල කුරුලුන් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මඟින් Y \u003d K 1 x + B 1 සහ Y \u003d K 2 x + B 2 මගින් සකසා ඇත.

ඉන්පසු tg j \u003d.

3) කාටේෂියන් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පොදු සමීකරණ මගින් සෘජුවම නිශ්චිතව දක්වා ඇති අන්යෝන්ය සැකැස්ම ගවේෂණය කර වගුව පුරවන්න:

තලය මත සෘජුව සිට distance තින්.

කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තලය මත යැයි සිතමු, lirect ජු රේඛාව L හි සමස්ත සමීකරණය මඟින් AX + BY BY BY + C \u003d 0 මගින් + C \u003d 0 by by by X 0, y 0) line ජු රේඛාවකට අපට දුරස්ථව සොයාගත හැකිය.

L සිට line ජු රේඛාවක සිට line ජු රේඛාවකට ඇති දුර යනු ලම්බක එච්එම් (එච් ^ l) දිගයි.

Ich ණව conch ජු ක්ලෙයිනෙයාර් වෙත සාමාන්ය දෛශික හා දෛශිකය, එසේ | | \u003d | | | | සහ | | \u003d.

පොයින්ට් ඛණ්ඩාංක එච් (x, y).

පෙන්වා ඇති h එච් line ජු රේඛාවකින් l, පසුව + c \u003d 0 (*) වලින්.

දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සහ: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B).

| | = = =

(C \u003d -ax - by, බලන්න (*)

ප්රමේයය. ටෙක්සීනියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ lite ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ AX + BY + C \u003d 0. ඉන්පසු මෙම සෘජුවම m (x 0, y 0) සිට මෙම සෘජුවම ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්රයෙනි: ආර් (එම්; L) \u003d .

අභ්යාස.

1) ලක්ෂ්යයේ සිට කෙළින්ම නම්, (1) X ණාත්මක පරාමිතියකි; (2) සෘජු කට්ටල කැනොනිකල් සමීකරණ; (3) කෝණික සංගුණකයෙකු සමඟ direct ජු ලෙස යොමු කෙරේ.

2) Q (-2.4) කේන්ද්රයේ කේන්ද්රය සමඟ 3X - Y \u003d 0 ට අදාළ රවුමේ සමීකරණය ලියන්න.

3) සෘජු 2x + Y - 1 \u003d 0 සහ x + Y + 1 \u003d 0, අඩකින්, 0 සහ x + 1 \u003d 0 හි මංසන්ධිය මගින් සාදන ලද සෘජු බෙදීමේ කෝණවල සමීකරණ ලියන්න.

§ 27. අභ්යවකාශයේ ගුවන් යානයක විශ්ලේෂණාත්මක කාර්යය

අර්ථ දැක්වීම. දෛශිකය සාමාන්ය ස්ථානය අපි nonzero දෛශිකයක් ලෙස හඳුන්වන්නෙමු, ඕනෑම නියෝජිතයෙකු මෙම යානයට ලම්බකවකි.

අදහස් දැක්වීම. අවම වශයෙන් එක් දෛශික නියෝජිතයෙකු තලයට ලම්බකව තිබේ නම්, දෛශිකයේ අනෙකුත් සියලුම නියෝජිතයින් මෙම යානයට ලම්බකව සිටිති.

අභ්යවකාශයේ පිහිටුවා ඇති කාටියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට ඉඩ දෙන්න.

A, \u003d (A, B, C) තලයක් ලබා දෙන්න - මෙම යානයට සාමාන්ය දෛශිකය, පොයින්ට් එම් (x 0, y 0, z 0) යානයට අයත් වේ.

යානයේ ඕනෑම කරුණක් සඳහා n (x, y, z), එනම් දෛශික හා විකලාංග ය, ඒවායේ පරිකාර් නිෂ්පාදනය ශුන්ය වේ: \u003d 0 ඛණ්ඩාංකවල අවසාන සමානාත්මතාවය: A (X - X 0) + B ( y - y 0) + c (z - z 0) \u003d 0.

-Ex 0 - 0 - cz 0 \u003d d, පසුව + cz + d \u003d 0 අසල.

X + cz + d \u003d 0 - d \u003d -ax 0 - 0 - cz 0 අනුව (x, Y) දක්වා ලක්ෂ්යය ගන්න. A (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) \u003d 0. දිශානල් අංශයේ ඛණ්ඩාංක ඛණ්ඩාංක \u003d (x - x 0, y 0, z 0), එවිට අවසාන සමානාත්මතාවය යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ ^, සහ, එහි ප්රති the ලයක් ලෙස k î අ.

ඉතින්, අපි පහත සඳහන් ප්රමේයය සනාථ කර ඇත්තෙමු.

ප්රමේයය. කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඇති අවකාශයේ ඕනෑම තලයක් AX + BY + D \u003d 0 (A, B, C) මගින් (A 2 + B 2 + c 2 ≠ 0) සමාන තලයක ඕනෑම තලයක් සැකසිය හැකිය. මෙම යානයට සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක.

සත්ය සහ ආපසු හැරවීම.

ප්රමේයය. ඩැක්ස් + ඩී \u003d 0 හි ඕනෑම අක්ස් + (A 2 + b 2 + c 2 0), ඛණ්ඩාංක සමහර ගුවන් යානයක් සකසා ඇති අතර (a, b, c) - දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක මෙම යානයට සාමාන්යයි.

සාක්ෂි.

0 + cz 0 + d \u003d 0 සහ දෛශිකය \u003d (A, B, C) (A, B, C) (A, B, C) (A, B, C) (A, B, C) යන කාරණය කරන්න. X 0, y 0, z 0).

දෛශිකයට ලම්බකව ආලෝකය හරහා යානය ගුවන් යානය (සහ එකක් පමණි) හරහා. පෙර ප්රමේයයට අනුව, මෙම යානය + CZ + D \u003d 0 සමීකරණය මගින් අක්ෂය + විසින් නියම කරනු ලැබේ.

අර්ථ දැක්වීම. AX + BY + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + c 2 ≠ 0) පෝරමයේ සමීකරණය. යානයේ පොදු සමීකරණය.

උදාහරණයක්.

ලකුණු (0,2,4), එන් (1, -1,0) සහ කේ (-1,0,5) සහ කේ (-1,0,5) සහ කේ (-1,0,5) සහ කේ (-1,0,5) හරහා අපි යානයේ සමීකරණය අපි ලියන්නෙමු.

1. සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අප විසින් ගුවන් යානයට (MNK) අපට හමුවනු ඇත. දෛශික නිෂ්පාදනය විකලාංග වන බැවින් කොලීනීර් දෛශික හා දෛශික කොල්වැටි.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

'\u003d (-11, 3, -5).

ඉතින්, සාමාන්ය දෛශිකයක් ලෙස, අපි දෛශිකය \u003d (-11, 3, -5) ගන්නෙමු.

2. අපි දැන් පළමු ප්රමේයයේ ප්රති results ල භාවිතා කරන්නෙමු:

මෙම යානයේ සමීකරණය A (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) \u003d 0, එහිදී (A, B, C) - දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සාමාන්ය, (x 0 , වයි 0, ඉසෙඩ් 0) - යානයේ වැතිර සිටින ගුවන් යානයේ ඛණ්ඩාංක (උදාහරණයක් ලෙස, ලකුණු m).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (Z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

පිළිතුර: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

අභ්යාස.

1) යානයේ සමීකරණය ලියන්න

(1) 3X + Y + Z \u003d 0 යානයට සමාන්තරව යානය M (-2.3.0) හරහා ගමන් කරයි.

(2) යානය X + 2y ගුවන් යානයට අක්ෂයක් (ඔක්ස්) සහ ලම්බක අඩංගු වේ - 5z + 7 \u003d 0 වෙත ලම්බකව.

2) ලකුණු තුන දත්ත හරහා ගමන් කළ යානයේ සමීකරණය ලියන්න.

§ 28. අර්ධ අවකාශයේ විශ්ලේෂණ කාර්යය *

අදහස් දැක්වීම *. ගුවන් යානය සවි කිරීමට ඉඩ දෙන්න. යටතේ අර්ධ ඒකකයමෙම තලයක එක් පැත්තක වැතිර සිටින ලකුණු සමූහය අපි තේරුම් ගනිමු, එනම් ලකුණු දෙකක් එක් අර්ධයක් තුළ බොරු කීම මෙම යානය සම්බන්ධ නොවේ නම්. මෙම යානය හැඳින්වේ මෙම අර්ධ අවකාශයේ මායිම. මෙම යානය ඒකාබද්ධ කිරීම සහ අර්ධ අවකාශයක් ලෙස හැඳින්වේ සංවෘත අර්ධ අවකාශය.

කාටියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය අභ්යවකාශයේ සවි කිරීමට ඉඩ දෙන්න.

ප්රමේයය. A ත යන්ත්රය අX + D \u003d by by + by + by by by by + by + by by 0. එවිට අවකාශය බෙදීමට අවකාශය ax + cz + d\u003e\u003e 0 මගින් අවකාශය බෙදා හරින්න සහ දෙවන අර්ධ අවකාශය අක්ෂය + විසින් + අසමානතාවයෙන් සීඑස් + ඩී විසින් ලබා දී ඇත.< 0.

සාක්ෂි.

මම සාමාන්යයේ දෛශිකය \u003d (a, b, c) පොතේ A තළා තබන්න m (x 0, y 0, z 0). A, M î a, mn ^ a. ගුවන්යානය අවකාශය අඩක් අඩක් දක්වා බෙදන්න: B 1 සහ B 2. මෙම ලක්ෂ්යය මෙම අර්ධ අවකාශයන්ගෙන් එකකට අයත් බව පැහැදිලිය. සාමාන්ය බව සීමා කිරීමකින් තොරව, අපි හිතන්නේ n î b 1.

අපි සනාථ කරන්නේ අර්ධ අවකාශය b 1 ලබා දෙන්නේ AX + BY BY 0 BY $ by\u003e 0 මගින් අසමානතාවය විසිනි.

1) k (x, y, z) ලක්ෂ්යයේ B 1 හි ලක්ෂ්යය ගන්න. Ð nmk හි කෝණය යනු දෛශික අතර කෝණය සහ - තියුණු, එබැවින් මෙම දෛශිකයේ පරිමාණයේ පරිහරණය කිරීම:\u003e 0 ඛණ්ඩාංකවල අපි මෙම අසමානතාවය ලියන්න: a (x - X 0) + B (y - y 0 ) + සී (Z - Z 0)\u003e 0, එනම්, එනම්, අක්ෂය + BY - AX 0 - C Z 0\u003e 0\u003e 0\u003e 0

M î B 1, පසුව 0 + C z 0 + D Z 0 + D \u003d 0, එබැවින් -ආක්ස් 0 - 0 - C z 0 - by by by thread + cz + D\u003e 0.

2) + cz + d\u003e 0 විසින් අක්ෂයේ l (x, y) ගන්න.

අසමානතාවය, d හි නැවත ආදේශනය කිරීම (-ඒ සීස් 0 - 0 - c z 0) (m î b 1, පසුව 0 + C z \u003d a (x - x 0) + b (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

ඛණ්ඩාංක සහිත දෛශිකය (X - X 0, y 0, z 0) යනු දෛශිකයකි, එබැවින් A (x - Y 0) + B (Y - Z 0) දෛශාවේ පරිමාණයේ නිෂ්පාදනයක් ලෙස සහ. දෛශාවේ පරිමාණයේ නිෂ්පාදනයක් සහ ධනාත්මකව, ඒවා අතර ඇති කෝණය උග්ර හා ලක්ෂ්යය l î b î b 1 වේ.

ඒ හා සමානව, අඩක් අභ්යවකාශය b 2 ලබා දෙන්නේ AX + විසින් AXH + BY BY BY අනුව ය< 0.

අදහස්.

1) ඉහත කරුණු සනාථ කිරීම තලයේ ඇති දේ තෝරා ගැනීම මත රඳා නොපවතින බව පැහැදිලිය.

2) විවිධ අසමානතාවයන් මගින් එකම අර්ධ අවකාශයක් සැකසිය හැකි බව පැහැදිලිය.

සත්ය සහ ආපසු හැරවීම.

ප්රමේයය. Ax + by + bz + d\u003e 0 (හෝ අක්ෂය + cz + d මගින් ඕනෑම රේඛීය අසමානතාවයක්< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

සාක්ෂි.

අවකාශයේ අක්ෂය + CZ + D \u003d 0 (2 + B 2 + c 2 ≠ 0) සමහර තලයක් සකසයි (බලන්න § ...). පෙර ප්රමේයය තුළ ඔප්පු කරන ලද පරිදි, යානය බෙදෙනවන්ගේ අඩක් අවකාශ දෙකෙන් එකක්, යානය ස්පෝර්ට් බෙදීම් අතර අවකාශය අවකාශය තබා ඇති අතර + cz + d\u003e 0 ab\u003e 0.

අදහස්.

1) දැඩි රේඛීය අසමානතාවයෙන් සංවෘත අර්ධ අවකාශය සැකසිය හැකි අතර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඕනෑම දැඩි රේඛීය අසමානතාවයක් සංවචන අවකාශයක් සකස් කරන බව පැහැදිලිය.

2) ඕනෑම කැලික් බහුතර සංවෘත අර්ධ අවකාශයන්ගේ මංසන්ධිය ලෙස ඇසිය හැකිය (එහි මායිම් බහුලව, පොලිහෙඩ්හි දාර අඩංගු ගුවන් යානා), එය විශ්ලේෂණාත්මකව, රේඛීය උපායමාර්ගික අසමානතා පද්ධතියකි.

අභ්යාස.

1) අත්තනෝමතික සම්බන්ධතා ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සඳහා ඉදිරිපත් කරන ලද න්යායන් දෙක ඔප්පු කරන්න.

2) උපායමාර්ග නොවන රේඛීය අසමානතා ඇති ඕනෑම පද්ධතියක් උත්තර බහුගරිකයෙකු විසින් සකසා ඇති බව ඇත්තද?

1) කාටේෂියන් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සාමාන්ය සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති ගුවන් යානා දෙකක අන්යෝන්ය සැකැස්ම, සහ මේසය පුරවන්න.

මම කෙටි වනු ඇත. ඔවුන්ගේ මාර්ගෝපදේශ දෛශික අතර කෙළින් අතර කෝණය කෙළවරේ කෙළවරට සමාන වේ. මේ අනුව, ඔබ මාර්ගෝපදේශයේ යෙදීම්වල ඛණ්ඩාංකයන් සොයා ගැනීමට සමත් නම් a \u003d (x 1; y 1; z 1) සහ B \u003d (Z 2; Z 2), එවිට ඔබට කෝණයක් සොයාගත හැකිය. වඩාත් නිවැරදිව, සූත්රය අනුව කෙළවරේ කොසීන්:

මෙම සූත්රය නිශ්චිත උදාහරණ මත ක්රියා කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු:

කාර්යයක්. කියුබාව Abcda 1 B 1 C 1 D 1, ලකුණු ඊ සහ එෆ් විසින් පිළිවෙලින් 1 B 1 සහ B 1 C 1 වේ. සෘජු AE සහ BF අතර කෝණය සොයා ගන්න.

කූපරයේ මායිම නිශ්චිතව දක්වා නොමැති බැවින් අපි සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු: A, X, Y අක්ෂය දිනුවෙන් ආරම්භ කරන්න, පිළිවෙලින් AB, AD AD AB සහ AA 1 ඔස්සේ යවන්න. තනි කොටසක් AB \u003d 1. දැන් අපගේ සරල රේඛා සඳහා මාර්ගෝපදේශයේ ඛණ්ඩාංකවල ඛණ්ඩාංක තිබේ.

AE දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංකයන් අපට හමුවනු ඇත. මේ සඳහා, අපට ලකුණු A \u003d (0; 0; 0) සහ E \u003d (0.5; 0; 1) සහ E \u003d (0.5; 0; 1). කාරණය වන්නේ ඊසියේ 1 බී 1 කොටසේ මැද බැවින් එහි ඛණ්ඩාංක කෙළවරේ සාමාන්ය අංක ගණිත ඛණ්ඩාංක වලට සමාන වේ. ඛණ්ඩාංක ආරම්භ වීමත් සමඟ දෛශික AEE සමපාත වන බව සලකන්න, එබැවින් AE \u003d (0.5; 0; 1).

දැන් අපි BF දෛශිකය සමඟ ගනුදෙනු කරන්නෙමු. ඒ හා සමානව, අපි ලකුණු B \u003d (1; 0; 0) සහ f \u003d (1; 0.5; 1), නිසා අපි ලකුණු විසුරුවා හරිමු F - b 1 c 1 කොටසේ මැද. අපිට තියනවා:
Bf \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).

එබැවින්, මාර්ගෝපදේශ දෛශික සූදානම්. කෙලින්ම අතර කෝණයේ කොසීන් යනු මාර්ගෝපදේශ දෛශික අතර කෝණයේ කොසීන් වන බැවින් අපට තිබේ:

කාර්යයක්. ABCA 1 B 1 C 1 හි නිවැරදි ත්රිකෝණාකාර ප්රිස්මයේ, එහි සියලුම ඉළ ඇට 1 වන අතර, D සහ E ලකුණු 1 B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 C 1 සලකුණු කර ඇත. සෘජු දැන්වීම අතර කෝණය සොයාගෙන සිටින්න.

අපි සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය හඳුන්වා දෙන්නෙමු: පළමු මොහොතේම මූලාරම්භය, X අක්ෂය ab, z ඔස්සේ AA 1 ඔස්සේ. ඔක්සි යානය ඒබීසී ගුවන් යානය සමඟ සමපාත වන පරිදි Y අක්ෂය යවනු ඇත. තනි කොටසක් AB \u003d 1. අපේක්ෂිත සෘජු සඳහා මාර්ගෝපදේශ දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

ආරම්භ කිරීම සඳහා, දැන්වීම් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අපට හමුවනු ඇත. කරුණු සලකා බලන්න: A \u003d (0; 0; 0) සහ d \u003d (0.5; 0; 1), මන්ද D යනු 1 b 1 කොටසේ මැද වේ. තාවකාලික දෛශිකයේ ආරම්භයේ සිට ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය සමඟ කපිතාන් සමපාත වන බැවින්, අපි දැන්වීම \u003d (0.5; 0; 1) ලබා ගන්නෙමු.

දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අපට හමු වේ. පොයින්ට් B \u003d (1; 0; 0) එය පහසු යැයි සැලකේ. කාරණය සමඟ ඊ - සී 1 B 1 කාණ්ඩයේ මැද - තව ටිකක් සංකීර්ණයි. අපිට තියනවා:

එය කොසයින් කෝණයක් සොයා ගැනීම තවමත් පවතී:

කාර්යයක්. නිවැරදි ෂඩාස්රාන් ත්යාගය Abcdefa 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, එහි සියලුම දාර 1 වන අතර ඒවා 1 B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 සහ B 1 C 1, කෙළින් AK සහ BL අතර කෝණය සොයා ගන්න.

ප්රිස්මයා සඳහා සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය අපි හඳුන්වා දෙන්නෙමු: ඛණ්ඩාංකවල ආරම්භය පහළ පාදයේ මධ්යයේ තැන්පත් කරන්න, X අක්ෂය FC, අක්ෂය Y - AB සහ DE හි. Z අක්ෂය සිරස් අතට ඉහළට. තනි කප්පාදුවක් නැවතත් AB \u003d 1. AB \u003d 1. අප උනන්දුවක් දක්වන ඛණ්ඩාංක අප වෙත ලියන්නෙමු:

කේ සහ එල් ලකුණු වන්නේ පිළිවෙලින් 1 බී 1 සහ බී 1 සී 1, එබැවින් ඒවා ඛණ්ඩාංක ගණිත සාමාන්යය හරහා ය. ලකුණු දැන ගැනීම, මාර්ගෝපදේශයේ ඛණ්ඩාංක AK සහ BL:

දැන් අපට කෙළවරේ කොසීන් හමු වේ:

කාර්යයක්. නිවැරදි චතුරස්රාකාර සබීඩ් පිරමීඩයේ, එහි සියලුම ඉළ ඇට 1 වන අතර ඒවා පිළිවෙලින් එස්බී සහ එස්.සී. සෘජු AE සහ BF අතර කෝණය සොයා ගන්න.

අපි සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු: A, X සහ Y අක්ෂය පිළිවෙලින් ආරම්භ වන විට ආරම්භය ab සහ දැන්වීම පිළිවෙලින් යවනු ලබන අතර Z අක්ෂය පිළිවෙලින් එච්.ඊ. තනි කොටසක් AB \u003d 1 වේ.

ලකුණු ඊ සහ එෆ් - පිළිවෙලින් එස්.බී. සහ ශ්රේෂ් SC ාධිකරණ අංශවල මිඩ්ලිං, එබැවින් ඒවා ඛණ්ඩාංක පිහිටා ඇත්තේ කෙළවරේ අංක ගණිත සාමාන්යයක් ලෙස ය. අප උනන්දුවක් දක්වන ඛණ්ඩාංකය අපට ලියන්නේ අප වෙත:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

කරුණු දැන ගැනීම, මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක AE සහ BF:

AE දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංකයන් වන ස්ථානයේ ඛණ්ඩාංක සමඟ සම්බන්ධීකරණ ඊ, ඛණ්ඩාංකවල ආරම්භයයි. එය කොසයින් කෝණයක් සොයා ගැනීම තවමත් පවතී:

ගුවන් යානා අතර කෝණය

පිළිවෙලින්, සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති ගුවන් යානා දෙකක් α සහ α 2 සලකා බලන්න:

යටතේ කෝණ ගුවන් යානා දෙක අතර, මෙම ගුවන් යානා විසින් පිහිටුවන ලද ඩුගරනි කෝණවලින් එකක් අපට වැටහෙනු ඇත. සාමාන්ය දෛශික හා ගුවන් යානා අතර කෝණය α 1 සහ α 2 දක්වා ඇති කෝණයෙන් දැක්වුණු යාබදව සකස් කළ කොන් වලින් එකකට සමාන බව පැහැදිලිය. . එබැවින් . නිසා සහ ටී.

.

උදාහරණයක්. ගුවන් යානා අතර කෝණය තීරණය කරන්න x.+2වයි.-3z.+ 4 \u003d 0 සහ 2 x.+3වයි.+z.+8=0.

ගුවන් යානා දෙකක සමාන්තරකරණයේ තත්වය.

ගුවන් යානා දෙකක් α 1 සහ α 2 සමාන්තරව සිටින්නේ ඔවුන්ගේ සාමාන්ය දෛශික හා සමාන්තරව හා ඊට සමාන වූ විට පමණි .

එබැවින්, ගුවන් යානා දෙකක් එකිනෙකාට සමාන්තරව සිටින්නේ නම් සහ සංගුණක අදාළ ඛණ්ඩාංක වලට සමානුපාතික නම් පමණි:

හෝ

තත්වය ගුවන් යානා වල ලම්බකත්වය.

ගුවන් යානා දෙකක් ලම්බකව පිහිටා ඇති අතර ඔවුන්ගේ සාමාන්ය දෛශිකයන් ලම්බකව තිබේ නම් සහ ඒවා නම්, එබැවින් හෝ.

මේ ක්රමයෙන්, .

උදාහරණ.

අභ්යවකාශයේ සෘජු.

දෛශික සමීකරණය කෙළින් ය.

පරාමිතික සමීකරණ සෘජු ය

අභ්යවකාශයේ සෘජු තත්වයේ පිහිටීම තීරණය වන්නේ ස්ථාවර ස්ථානයක ඇති කාර්යයෙනි එම්. 1 සහ දෛශිකය මෙම සරල රේඛාවට සමාන්තරව.

දෛශික සමාන්තර කෙළින්ම, හැඳින්වේ මාර්ගෝපදේශ මේ කෙළින්ම මෙවැනි දෛශිකය.

ඒ නිසා කෙළින්ම ඉඩ දෙන්න l. කාරණය හරහා ගමන් කරයි එම්. 1 (x. 1 , වයි. 1 , z. 1) දෛශිකයට සමාන්තරව සරල රේඛාවක් මත වැතිරීම.

අත්තනෝමතික ස්ථානයක් සලකා බලන්න M (x, y, z) කෙලින්ම. රූපයෙන් එය පැහැදිලි වේ .

දෛශික හා කොල්ීනියාර්, එබැවින් එවැනි අංකයක් තිබේ ටී.ගුණකය ඇති තැන ටී. ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම අනුව ඕනෑම සංඛ්යාත්මක වටිනාකමක් ගත හැකිය එම්. කෙලින්ම. සාධකය ටී. පරාමිතියක් ලෙස හැඳින්වේ. අරය දෛශික සැලසුම් කිරීම එම්. 1 I. එම්. ඒ අනුව, ඒ හරහා සහ, අපට ලැබෙනු ඇත. මෙම සමීකරණය කැඳවනු ලැබේ දෛශිකය සමීකරණය කෙළින්ම. එය සෑම පරාමිතියක්ම අගය පෙන්වයි ටී. යම් අවස්ථාවක අරය-දෛශිකයකට අනුරූප වේ එම්.කෙළින් පැත්තක වැතිරීම.

අපි මෙම සමීකරණය ඛණ්ඩාංක පෝරමයෙහි ලියන්නෙමු. සැලකිල්ලට ගන්න, එය, මෙතැන් සිට

එහි ප්රති ing ලයක් ලෙස සමීකරණ කැඳවනු ලැබේ පරාමිතික සමීකරණ කෙළින්ම වේ.

පරාමිතිය වෙනස් කරන විට ටී. වෙනස සම්බන්ධීකරණය කරයි x., වයි. සහ z. සහ ලක්ෂ්යය එම්. සරල රේඛාවකින් ගමන් කරයි.

කැනොනිකල් සමීකරණ සෘජු ය

ඉඩ දෙන්න එම්. 1 (x. 1 , වයි. 1 , z. 1) - කෙළින්ම මත වැතිර සිටින්න l., මම. - එහි මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය. අපි නැවතත් සෘජු අත්තනෝමතික ස්ථානයක් ලබා ගනිමු M (x, y, z) දෛශිකය දෙස බලන්න.

දෛශික හා කොලිනේර්, එබැවින් ඔවුන්ගේ අදාළ ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික විය යුතු බව පැහැදිලිය. එබැවින්

– කැනොනිකල් සෘජු සමීකරණ.

සටහන 1. කැනොනිකල් සමීකරණ සෘජුවම පරාමිතිකරයෙන් ලබා ගත හැකි බව සලකන්න, පරාමිතිය ඉවත් කිරීම ටී.. ඇත්ත වශයෙන්ම, පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගැනීමෙන් හෝ .

උදාහරණයක්. සමීකරණ සෘජු පරාමිතික.

දැක්ම මෙතැන් සිට x. = 2 + 3ටී., වයි. = –1 + 2ටී., z. = 1 –ටී..

සටහන 2. අක්ෂය වැනි ඛණ්ඩාංක අක්ෂ වලින් එකකට සෘජුවම ලම්බකව යොමු කරන්න ඔක්ස්.. ඉන්පසු දෛශික සෘජු ලම්බක ඔක්ස්., එබැවින්, එම්.\u003d 0. එහි ප්රති, ලයක් වශයෙන්, පරාමිතික සමීකරණ සෘජුවම ක්රියාත්මක වේ

පරාමිති සමීකරණ හැර ටී., අපි ආකාරයෙන් රේඛා සමීකරණය ලැබේ

කෙසේ වෙතත්, මේ අවස්ථාවේ දී, කැනොනිකල් සමීකරණ පෝරමයේ සෘජුවම පටිගත කිරීමට අපි එකඟ වෙමු . මේ අනුව, හරය මෙන් හරය ශුන්ය එකක් නම්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෘජුවම අනුරූප ඛණ්ඩාංක අක්ෂයට සෘජුවම ලම්බකව ඇති බවයි.

ඒ හා සමානව, කැනොනිකල් සමීකරණ සෘජු ලම්බක අක්ෂ වලට අනුරූප වේ ඔක්ස්. සහ OY. හෝ සමාන්තර අක්ෂය ඕස්..

උදාහරණ.

සාමාන්ය සමීකරණ මගින් රේඛා වැනි රේඛා වැනි ගුවන් යානා දෙකක් මංසන්ධිය

අභ්යවකාශයේ සෑම සරල රේඛාවක් හරහා, ගණන් කළ නොහැකි ගුවන් යානා සමත් වේ. ඒවායින් දෙකක්, ඡේදනය කිරීම, එය අභ්යවකාශයේ තීරණය කරයි. එහි ප්රති, ලයක් වශයෙන්, එවැනි ඕනෑම ගුවන් යානා දෙකක සමීකරණ ඒකාබද්ධව මෙම රේඛාවේ සමීකරණ නියෝජනය කරයි.

පොදුවේ ගත් කල, පොදු සමීකරණ මගින් සමාන සමාන්තර නොවන ගුවන් යානා දෙකක්

සෘජු මංසන්ධිය තීරණය කරන්න. මෙම සමීකරණ කැඳවනු ලැබේ පොදු සමීකරණ කෙලින්ම.

උදාහරණ.

සරල අර්ථ දක්වන ලද සමීකරණයක් සාදන්න

කෙලින්ම තැනීම සඳහා, ඕනෑම ලකුණු දෙකක් සොයා ගැනීමට එය ප්රමාණවත් වේ. ඡේදනය වන කරුණු තෝරා ගැනීමට ඇති පහසුම ක්රමය ඛණ්ඩාංක ගුවන් යානා සමඟ සෘජුවම ය. උදාහරණයක් ලෙස, ගුවන් යානයක් සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්යය xoy. අපි විශ්වාස කරන්නේ සරල රේඛාවෙන් අපට ලැබෙන බවයි z.= 0:

මෙම ක්රමය තීරණය කිරීම, අපට කරුණක් හමු වේ එම්. 1 (1;2;0).

ඒ හා සමානව, විශ්වාස කළේය වයි.\u003d 0, අපට ගුවන් යානයක් සමඟ සෘජු මංසන්ධියේ ලක්ෂ්යයක් ලැබේ xoz.:

සාමාන්ය සමීකරණ වලින්, එය කැනොනිකල් හෝ පරාමිතික සමීකරණ සමඟ එය රැගෙන යා හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ ඕනෑම කරුණක් සොයා ගත යුතුය එම්. 1 සරල රේඛාව සහ සෘජු දෛශික සෘජු.

ලකුණු සම්බන්ධීකරණය කරයි එම්. 1 අප මෙම සමීකරණ පද්ධතියෙන් ලබා ගන්නේ අත්තනෝමතික අගයක ඛණ්ඩාංකයක් ලබා ගනිමු. මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය සොයා ගැනීම සඳහා, මෙම දෛශිකය සාමාන්ය දෛශික දෙකටම ලම්බක විය යුතු බව අපි සටහන් කරමු. සහ . එබැවින් මාර්ගෝපදේශ දෛශික සෘජුවම සඳහා l. සාමාන්ය දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනයක් ඔබට ගත හැකිය:

.

උදාහරණයක්. පොදු සමීකරණ සෘජුවම සාදන්න කැනොනිකල් වෙත.

සරල රේඛාවක් මත වැතිරීමක් සොයා ගන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඛණ්ඩාංකයන්ගෙන් එකක් තෝරාගන්න, උදාහරණයක් ලෙස, වයි.\u003d 0 සහ සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම:

සෘජු ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන ගුවන් යානා වල සාමාන්ය දෛශික එබැවින් සෘජු රේඛාව කෙළින් වනු ඇත

. එබැවින්, l.: .

කෙළින් අතර කෝණය

කෝණ අතේ කෙළින්ම අතර, දත්ත වලට සමාන්තරව අත්තනෝමතික ස්ථානයක් හරහා මෙහෙයවන ලද යාබද කෝණ කිසිවක් අපි අමතන්නෙමු.

සරල රේඛා දෙකක් අභ්යවකාශයේ දක්වා ඇත:

නිසැකවම, කෝණය පිටුපස the තාලය අතර ඔවුන්ගේ මාර්ගෝපදේශ දෛශික අතර කෝණය ලබා ගත හැකිය. එතැන් සිට, අපට ලැබෙන දෛශිකයන් අතර කොසයින් කෝණය සඳහා සූත්රයට අනුව