නුසුදුසු කොටස් එකතු කරන්නේ කෙසේද? භාග සමග මෙහෙයුම්
මෙම පාඩම විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම ආවරණය කරයි. විවිධ හරයන් සමඟ පොදු භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම අපි දැනටමත් දනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, භාග පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය. වීජීය භාග එකම නීති අනුගමනය කරන බව පෙනී යයි. ඒ අතරම, වීජීය භාග පොදු හරයකට අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු. විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම 8 වැනි ශ්‍රේණියේ පාඨමාලාවේ වැදගත්ම සහ දුෂ්කර මාතෘකාවකි. එපමණක් නොව, මෙම මාතෘකාව ඔබ අනාගතයේදී ඉගෙන ගන්නා වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ බොහෝ මාතෘකා වල දිස්වනු ඇත. පාඩමේ කොටසක් ලෙස, අපි විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති අධ්‍යයනය කරන අතර සාමාන්‍ය උදාහරණ ගණනාවක් විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.
සාමාන්‍ය භාග සඳහා සරලම උදාහරණය බලමු.
උදාහරණ 1.භාග එකතු කරන්න: .
විසඳුමක්:
භාග එකතු කිරීමේ රීතිය මතක තබා ගනිමු. ආරම්භ කිරීමට, භාග පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය. සාමාන්‍ය භාග සඳහා පොදු හරය වේ අවම වශයෙන් පොදු බහු(LCM) මුල් හරවල.
අර්ථ දැක්වීම
ඉලක්කම් දෙකෙන්ම බෙදිය හැකි කුඩාම ස්වභාවික අංකය සහ .
LCM සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ විසින් හරයන් ප්‍රමුඛ සාධක බවට පත් කළ යුතු අතර, පසුව හර දෙකෙහිම ප්‍රසාරණයට ඇතුළත් වන සියලුම ප්‍රමුඛ සාධක තෝරන්න.
; . එවිට සංඛ්යා වල LCM හි දෙක දෙක සහ තුන දෙක ඇතුළත් විය යුතුය: .
පොදු හරය සොයා ගැනීමෙන් පසු, ඔබ එක් එක් කොටස සඳහා අමතර සාධකයක් සොයා ගත යුතුය (ඇත්ත වශයෙන්ම, පොදු හරය අනුරූප භාගයේ හරයෙන් බෙදන්න).
එවිට එක් එක් කොටස ලැබෙන අතිරේක සාධකය මගින් ගුණ කරනු ලැබේ. අපි කලින් පාඩම් වලදී එකතු කිරීමට සහ අඩු කිරීමට ඉගෙන ගත් එකම හරයන් සහිත භාග ලබා ගනිමු.
අපට ලැබෙන්නේ: 
.
පිළිතුර:.
අපි දැන් විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සලකා බලමු. පළමුව, හරයන් සංඛ්යා වන භාග දෙස බලමු.
උදාහරණ 2.භාග එකතු කරන්න: .
විසඳුමක්:
විසඳුම් ඇල්ගොරිතම පෙර උදාහරණයට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ. මෙම භාගවල පොදු හරය සොයා ගැනීම පහසුය: සහ ඒවා එක් එක් සඳහා අමතර සාධක.
.
පිළිතුර:.
ඉතින්, අපි සකස් කරමු විවිධ හරයන් සහිත වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
1. භාගවල අඩුම පොදු හරය සොයන්න.
2. එක් එක් භාග සඳහා අමතර සාධක සොයන්න (පොදු හරය ලබා දී ඇති භාගයේ හරයෙන් බෙදීමෙන්).
3. අනුරූප අතිරේක සාධක මගින් ඉලක්කම් ගුණ කරන්න.
4. සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති භාවිතා කරමින් භාග එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම.
අපි දැන් භාග සමඟ උදාහරණයක් සලකා බලමු, එහි හරයේ අක්ෂර ප්‍රකාශන අඩංගු වේ.
උදාහරණය 3.භාග එකතු කරන්න: .
විසඳුමක්:
හර දෙකෙහිම අක්ෂර ප්‍රකාශන සමාන බැවින්, ඔබ සංඛ්යා සඳහා පොදු හරයක් සොයාගත යුතුය. අවසාන පොදු හරය පෙනෙන්නේ: . මේ අනුව, මෙම උදාහරණයේ විසඳුම පෙනෙන්නේ:
පිළිතුර:.
උදාහරණය 4.භාග අඩු කරන්න: .
විසඳුමක්:
ඔබට පොදු හරයක් තෝරාගැනීමේදී "රැවටීමට" නොහැකි නම් (ඔබට එය සාධක කිරීමට හෝ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කළ නොහැක), එවිට ඔබට භාග දෙකෙහිම හරවල ගුණිතය පොදු හරය ලෙස ගත යුතුය.
පිළිතුර:.
සාමාන්යයෙන්, එවැනි උදාහරණ විසඳන විට, වඩාත්ම දුෂ්කර කාර්යය වන්නේ පොදු හරයක් සොයා ගැනීමයි.
අපි වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් බලමු.
උදාහරණ 5.සරල කරන්න: .
විසඳුමක්:
පොදු හරයක් සොයා ගැනීමේදී, ඔබ මුලින්ම මුල් භාගවල හරයන් සාධක කිරීමට උත්සාහ කළ යුතුය (පොදු හරය සරල කිරීමට).
මෙම විශේෂිත අවස්ථාවෙහිදී:
එවිට පොදු හරය තීරණය කිරීම පහසුය: 
.
අපි අතිරේක සාධක තීරණය කර මෙම උදාහරණය විසඳන්නෙමු:
පිළිතුර:.
දැන් අපි විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති ස්ථාපිත කරමු.
උදාහරණය 6.සරල කරන්න: .
විසඳුමක්:
පිළිතුර:.
උදාහරණ 7.සරල කරන්න: .
විසඳුමක්:
.
පිළිතුර:.
අපි දැන් දෙකක් නොව භාග තුනක් එකතු කරන උදාහරණයක් සලකා බලමු (සියල්ලට පසු, විශාල භාග සංඛ්‍යාවක් සඳහා එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ නීති එලෙසම පවතී).
උදාහරණ 8.සරල කරන්න: .
මෙම පාඩම විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම ආවරණය කරයි. විවිධ හරයන් සමඟ පොදු භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම අපි දැනටමත් දනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, භාග පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය. වීජීය භාග එකම නීති අනුගමනය කරන බව පෙනී යයි. ඒ අතරම, වීජීය භාග පොදු හරයකට අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු. විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම 8 වැනි ශ්‍රේණියේ පාඨමාලාවේ වැදගත්ම සහ දුෂ්කර මාතෘකාවකි. එපමණක් නොව, මෙම මාතෘකාව ඔබ අනාගතයේදී ඉගෙන ගන්නා වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ බොහෝ මාතෘකා වල දිස්වනු ඇත. පාඩමේ කොටසක් ලෙස, අපි විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති අධ්‍යයනය කරන අතර සාමාන්‍ය උදාහරණ ගණනාවක් විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.
සාමාන්‍ය භාග සඳහා සරලම උදාහරණය බලමු.
උදාහරණ 1.භාග එකතු කරන්න: .
විසඳුමක්:
භාග එකතු කිරීමේ රීතිය මතක තබා ගනිමු. ආරම්භ කිරීමට, භාග පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය. සාමාන්‍ය භාග සඳහා පොදු හරය වේ අවම වශයෙන් පොදු බහු(LCM) මුල් හරවල.
අර්ථ දැක්වීම
ඉලක්කම් දෙකෙන්ම බෙදිය හැකි කුඩාම ස්වභාවික අංකය සහ .
LCM සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ විසින් හරයන් ප්‍රමුඛ සාධක බවට පත් කළ යුතු අතර, පසුව හර දෙකෙහිම ප්‍රසාරණයට ඇතුළත් වන සියලුම ප්‍රමුඛ සාධක තෝරන්න.
; . එවිට සංඛ්යා වල LCM හි දෙක දෙක සහ තුන දෙක ඇතුළත් විය යුතුය: .
පොදු හරය සොයා ගැනීමෙන් පසු, ඔබ එක් එක් කොටස සඳහා අමතර සාධකයක් සොයා ගත යුතුය (ඇත්ත වශයෙන්ම, පොදු හරය අනුරූප භාගයේ හරයෙන් බෙදන්න).
එවිට එක් එක් කොටස ලැබෙන අතිරේක සාධකය මගින් ගුණ කරනු ලැබේ. අපි කලින් පාඩම් වලදී එකතු කිරීමට සහ අඩු කිරීමට ඉගෙන ගත් එකම හරයන් සහිත භාග ලබා ගනිමු.
අපට ලැබෙන්නේ: .
පිළිතුර:.
අපි දැන් විවිධ හරයන් සමඟ වීජීය භාග එකතු කිරීම සලකා බලමු. පළමුව, හරයන් සංඛ්යා වන භාග දෙස බලමු.
උදාහරණ 2.භාග එකතු කරන්න: .
විසඳුමක්:
විසඳුම් ඇල්ගොරිතම පෙර උදාහරණයට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ. මෙම භාගවල පොදු හරය සොයා ගැනීම පහසුය: සහ ඒවා එක් එක් සඳහා අමතර සාධක.
.
පිළිතුර:.
ඉතින්, අපි සකස් කරමු විවිධ හරයන් සහිත වීජීය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
1. භාගවල අඩුම පොදු හරය සොයන්න.
2. එක් එක් භාග සඳහා අමතර සාධක සොයන්න (පොදු හරය ලබා දී ඇති භාගයේ හරයෙන් බෙදීමෙන්).
3. අනුරූප අතිරේක සාධක මගින් ඉලක්කම් ගුණ කරන්න.
4. සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති භාවිතා කරමින් භාග එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම.
අපි දැන් භාග සමඟ උදාහරණයක් සලකා බලමු, එහි හරයේ අක්ෂර ප්‍රකාශන අඩංගු වේ.
උදාහරණය 3.භාග එකතු කරන්න: .
විසඳුමක්:
හර දෙකෙහිම අක්ෂර ප්‍රකාශන සමාන බැවින්, ඔබ සංඛ්යා සඳහා පොදු හරයක් සොයාගත යුතුය. අවසාන පොදු හරය පෙනෙන්නේ: . මේ අනුව, මෙම උදාහරණයේ විසඳුම පෙනෙන්නේ:
පිළිතුර:.
උදාහරණය 4.භාග අඩු කරන්න: .
විසඳුමක්:
ඔබට පොදු හරයක් තෝරාගැනීමේදී "රැවටීමට" නොහැකි නම් (ඔබට එය සාධක කිරීමට හෝ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කළ නොහැක), එවිට ඔබට භාග දෙකෙහිම හරවල ගුණිතය පොදු හරය ලෙස ගත යුතුය.
පිළිතුර:.
සාමාන්යයෙන්, එවැනි උදාහරණ විසඳන විට, වඩාත්ම දුෂ්කර කාර්යය වන්නේ පොදු හරයක් සොයා ගැනීමයි.
අපි වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් බලමු.
උදාහරණ 5.සරල කරන්න: .
විසඳුමක්:
පොදු හරයක් සොයා ගැනීමේදී, ඔබ මුලින්ම මුල් භාගවල හරයන් සාධක කිරීමට උත්සාහ කළ යුතුය (පොදු හරය සරල කිරීමට).
මෙම විශේෂිත අවස්ථාවෙහිදී:
එවිට පොදු හරය තීරණය කිරීම පහසුය: .
අපි අතිරේක සාධක තීරණය කර මෙම උදාහරණය විසඳන්නෙමු:
පිළිතුර:.
දැන් අපි විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති ස්ථාපිත කරමු.
උදාහරණය 6.සරල කරන්න: .
විසඳුමක්:
පිළිතුර:.
උදාහරණ 7.සරල කරන්න: .
විසඳුමක්:
.
පිළිතුර:.
අපි දැන් දෙකක් නොව භාග තුනක් එකතු කරන උදාහරණයක් සලකා බලමු (සියල්ලට පසු, විශාල භාග සංඛ්‍යාවක් සඳහා එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ නීති එලෙසම පවතී).
උදාහරණ 8.සරල කරන්න: .
භාගික ප්‍රකාශන දරුවාට තේරුම් ගැනීමට අපහසුය. බොහෝ මිනිසුන්ට දුෂ්කරතා ඇත. "සම්පූර්ණ සංඛ්යා සමඟ භාග එකතු කිරීම" යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කරන විට, දරුවා මෝඩකමකට වැටේ, ගැටලුව විසඳීමට අපහසු වේ. බොහෝ උදාහරණ වලදී, ක්රියාවක් සිදු කිරීමට පෙර, ගණනය කිරීම් මාලාවක් සිදු කළ යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, භාග පරිවර්තනය කිරීම හෝ නුසුදුසු භාගයක් නිසි භාගයක් බවට පරිවර්තනය කිරීම.
අපි එය දරුවාට පැහැදිලිව පැහැදිලි කරමු. අපි ඇපල් තුනක් ගනිමු, ඉන් දෙකක් සම්පූර්ණ වනු ඇත, සහ තුන්වන කොටස් 4 කට කපා. කපන ලද ඇපල් ගෙඩියෙන් එක් පෙත්තක් වෙන් කර, ඉතිරි තුන සම්පූර්ණ පලතුරු දෙකක් අසල තබන්න. අපි එක් පැත්තකින් ඇපල් ගෙඩියක් සහ අනෙක් පැත්තෙන් 2¾ ලබා ගනිමු. අපි ඒවා ඒකාබද්ධ කළහොත් අපට ඇපල් තුනක් ලැබේ. අපි ඇපල් 2 ¾ ¼ කින් අඩු කිරීමට උත්සාහ කරමු, එනම් තවත් පෙත්තක් ඉවත් කරන්න, අපට ඇපල් 2 2/4 ක් ලැබේ.
පූර්ණ සංඛ්යා අඩංගු භාග සමඟ මෙහෙයුම් දෙස සමීපව බලමු:
පළමුව, පොදු හරයක් සහිත භාගික ප්‍රකාශන සඳහා ගණනය කිරීමේ රීතිය මතක තබා ගනිමු:
මුලින්ම බැලූ බැල්මට සෑම දෙයක්ම පහසු සහ සරල ය. නමුත් මෙය අදාළ වන්නේ පරිවර්තනය අවශ්ය නොවන ප්‍රකාශන සඳහා පමණි.
හරයන් වෙනස් වන ප්‍රකාශනයක අගය සොයා ගන්නේ කෙසේද
සමහර කාර්යයන් වලදී හරයන් වෙනස් වන ප්‍රකාශනයක තේරුම ඔබ සොයා ගත යුතුය. අපි නිශ්චිත අවස්ථාවක් දෙස බලමු:
3 2/7+6 1/3
භාග දෙකක් සඳහා පොදු හරයක් සොයා ගැනීමෙන් මෙම ප්‍රකාශනයේ අගය සොයා ගනිමු.
අංක 7 සහ 3 සඳහා, මෙය 21 වේ. අපි පූර්ණ සංඛ්යා කොටස් එලෙසම තබා භාගික කොටස් 21 ට ගෙන එන්නෙමු, මේ සඳහා අපි පළමු භාගය 3 න් ද දෙවැන්න 7 න් ද ගුණ කරමු, අපට ලැබෙන්නේ:
6/21+7/21, සම්පූර්ණ කොටස් පරිවර්තනය කළ නොහැකි බව අමතක කරන්න එපා. ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි එකම හරයක් සහිත භාග දෙකක් ලබාගෙන ඒවායේ එකතුව ගණනය කරමු:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලය දැනටමත් පූර්ණ සංඛ්යා කොටසක් ඇති නුසුදුසු භාගයක් නම්:
2 1/3+3 2/3
මෙම අවස්ථාවේදී, අපි පූර්ණ සංඛ්යා කොටස් සහ භාගික කොටස් එකතු කරමු, අපට ලැබෙන්නේ:
5 3/3, ඔබ දන්නා පරිදි, 3/3 එකකි, එනම් 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
එකතුව සොයා ගැනීම සියල්ල පැහැදිලිය, අපි අඩු කිරීම දෙස බලමු:
පවසා ඇති සියල්ලෙන්, මිශ්ර සංඛ්යා සහිත මෙහෙයුම් සඳහා රීතිය පහත දැක්වේ:
- ඔබට භාගික ප්‍රකාශනයකින් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් අඩු කිරීමට අවශ්ය නම්, ඔබට දෙවන සංඛ්යාව භාගයක් ලෙස නිරූපණය කිරීමට අවශ්ය නැත; එය පූර්ණ සංඛ්යා කොටස් මත පමණක් ක්‍රියා කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.
ප්‍රකාශනවල තේරුම අප විසින්ම ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරමු:
"m" අක්ෂරය යටතේ ඇති උදාහරණය දෙස සමීපව බලමු:
4 5/11-2 8/11, පළමු භාගයේ අංකනය දෙවැන්නට වඩා අඩුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පළමු භාගයෙන් එක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ණයට ගනිමු, අපට ලැබෙන්නේ,
3 5/11+11/11=3 සම්පූර්ණ 16/11, පළමු භාගයෙන් දෙවැන්න අඩු කරන්න:
3 16/11-2 8/11=1 සම්පූර්ණ 8/11
- කාර්යය සම්පූර්ණ කිරීමේදී ප්රවේශම් වන්න, සම්පූර්ණ කොටස ඉස්මතු කරමින් නුසුදුසු භාග මිශ්ර භාග බවට පරිවර්තනය කිරීමට අමතක නොකරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්‍යාංකයේ අගය හරයේ අගයෙන් බෙදිය යුතුය, එවිට සිදු වන්නේ මුළු කොටසේම ස්ථානයයි, ඉතිරිය සංඛ්යාංකය වනු ඇත, උදාහරණයක් ලෙස:
19/4=4 ¾, අපි පරීක්ෂා කරමු: 4*4+3=19, හරය 4 නොවෙනස්ව පවතී.
සාරාංශ කරන්න:
ඔබ භාග සම්බන්ධ කාර්යයක් සම්පූර්ණ කිරීමට පටන් ගැනීමට පෙර, එය කුමන ආකාරයේ ප්‍රකාශනයක්ද, විසඳුම නිවැරදි වීම සඳහා භාගයේ කළ යුතු පරිවර්තනයන් මොනවාද යන්න විශ්ලේෂණය කළ යුතුය. වඩාත් තාර්කික විසඳුමක් සොයන්න. අමාරු මාර්ගයේ යන්න එපා. සියලුම ක්‍රියා සැලසුම් කරන්න, ඒවා මුලින්ම කෙටුම්පත් ආකාරයෙන් විසඳන්න, ඉන්පසු ඒවා ඔබේ පාසල් සටහන් පොතට මාරු කරන්න.
භාගික ප්රකාශනයන් විසඳීමේදී ව්යාකූලත්වය වළක්වා ගැනීම සඳහා, ඔබ අනුකූලතාවයේ රීතිය අනුගමනය කළ යුතුය. ඉක්මන් නොවී සෑම දෙයක්ම ප්රවේශමෙන් තීරණය කරන්න.
රසායන විද්‍යාව, භෞතික විද්‍යාව සහ ජීව විද්‍යාව වැනි විෂය ක්ෂේත්‍රවල පවා දැකිය හැකි වැදගත්ම විද්‍යාවන්ගෙන් එකක් වන්නේ ගණිතයයි. මෙම විද්‍යාව අධ්‍යයනය කිරීමෙන් ඔබට යම් මානසික ගුණාංග වර්ධනය කර ගැනීමට සහ අවධානය යොමු කිරීමේ හැකියාව වැඩි දියුණු කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. ගණිත පාඨමාලාවේ විශේෂ අවධානයක් ලැබිය යුතු මාතෘකාවක් වන්නේ භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීමයි. බොහෝ සිසුන්ට ඉගෙනීමට අපහසු වේ. සමහර විට අපගේ ලිපිය ඔබට මෙම මාතෘකාව වඩා හොඳින් තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත.
හරයන් සමාන වන භාග අඩු කරන්නේ කෙසේද?
භාග යනු ඔබට විවිධ මෙහෙයුම් සිදු කළ හැකි එකම සංඛ්යා වේ. සම්පූර්ණ සංඛ්යා වලින් ඒවායේ වෙනස පවතින්නේ හරයක් ඉදිරියේය. භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කරන විට, ඔබ ඒවායේ විශේෂාංග සහ නීති කිහිපයක් අධ්‍යයනය කළ යුත්තේ එබැවිනි. සරලම අවස්ථාව වන්නේ හරයන් එකම සංඛ්‍යාවක් ලෙස නිරූපණය වන සාමාන්‍ය භාග අඩු කිරීමයි. ඔබ සරල රීතියක් දන්නේ නම් මෙම ක්‍රියාව සිදු කිරීම අපහසු නොවනු ඇත:
- එක් භාගයකින් තත්පරයක් අඩු කිරීම සඳහා, අඩු කරන ලද භාගයේ සංඛ්යාංකයෙන් අඩු කළ යුතු භාගයේ සංඛ්යාංකය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ. අපි මෙම අංකය වෙනසෙහි සංඛ්‍යාංකයට ලියා, හරය එලෙසම තබමු: k/m - b/m = (k-b)/m.
හරයන් සමාන වන භාග අඩු කිරීමේ උදාහරණ
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
“7” කොටසේ සංඛ්යාංකයෙන් අපි අඩු කළ යුතු “3” කොටසේ සංඛ්යාංකය අඩු කළහොත් අපට “4” ලැබේ. අපි මෙම අංකය පිළිතුරේ සංඛ්‍යාංකයේ ලියන අතර, හරයේ පළමු හා දෙවන භාගවල හරය තුළ තිබූ අංකයම දමමු - “19”.
පහත පින්තූරයේ තවත් සමාන උදාහරණ කිහිපයක් පෙන්වයි.
සමාන හරයන් සහිත භාග අඩු කරන වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් සලකා බලමු:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
“29” කොටසේ සංඛ්යාංකයෙන් අඩු කිරීමෙන් පසු සියලුම භාගවල සංඛ්යා අඩු කිරීම - “3”, “8”, “2”, “7”. ප්‍රති result ලයක් වශයෙන්, අපට “9” ප්‍රති result ලය ලැබේ, එය අපි පිළිතුරේ සංඛ්‍යාවේ ලියා ඇති අතර, හරයේ අපි මෙම සියලු භාගවල හරය තුළ ඇති අංකය ලියා ගනිමු - “47”.
එකම හරය ඇති භාග එකතු කිරීම
සාමාන්‍ය භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම එකම මූලධර්මය අනුගමනය කරයි.
- හරයන් සමාන වන භාග එකතු කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්යා එකතු කළ යුතුය. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සංඛ්යාව එකතුවේ සංඛ්යාව වන අතර හරය එලෙසම පවතිනු ඇත: k/m + b/m = (k + b)/m.
උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් මෙය පෙනෙන්නේ කෙසේදැයි බලමු:
1/4 + 2/4 = 3/4.
භාගයේ පළමු පදයේ අංකනයට - “1” - භාගයේ දෙවන පදයේ අංකනය එකතු කරන්න - “2”. ප්‍රති result ලය - “3” - එකතුවේ සංඛ්‍යාංකයට ලියා ඇති අතර, හරය භාගවල පවතින ආකාරයටම ඉතිරි වේ - “4”.
විවිධ හරයන් සහිත භාග සහ ඒවායේ අඩු කිරීම
එකම හරයක් ඇති භාග සමඟ මෙහෙයුම අපි දැනටමත් සලකා බලා ඇත. ඔබට පෙනෙන පරිදි, සරල නීති දැන ගැනීම, එවැනි උදාහරණ විසඳීම තරමක් පහසුය. නමුත් ඔබට විවිධ හරයන් ඇති භාග සමඟ මෙහෙයුමක් කිරීමට අවශ්ය නම් කුමක් කළ යුතුද? බොහෝ ද්විතීයික පාසල් සිසුන් එවැනි උදාහරණවලින් ව්යාකූල වී ඇත. නමුත් මෙහිදී පවා, විසඳුමේ මූලධර්මය ඔබ දන්නේ නම්, උදාහරණ ඔබට තවදුරටත් අපහසු නොවනු ඇත. මෙහි රීතියක් ද ඇත, එය නොමැතිව එවැනි භාග විසඳීම සරලවම කළ නොහැක.
- 2/3 - හරයේ එක තුන සහ එක දෙක අතුරුදහන්:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 හෝ 7/(3 x 3) - හරයට දෙකක් මග හැරී ඇත:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 හෝ 5/(2 x 3) - හරයට තුනක් මග හැරී ඇත:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - අංක 18 සෑදී ඇත්තේ 3 x 2 x 3 කින්.
- අංක 15 සෑදී ඇත්තේ 5 x 3 න් ය.
- පොදු ගුණිතය පහත සඳහන් සාධක වනු ඇත: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 15 න් බෙදනු ලැබේ. ප්රතිඵලය වන "6" අංකය 3/15 සඳහා ගුණකයක් වනු ඇත.
- 90 18 න් බෙදනු ලැබේ. ප්රතිඵලය වන "5" අංකය 4/18 සඳහා ගුණකයක් වනු ඇත.
- පූර්ණ සංඛ්යා කොටසක් ඇති සියලුම භාග නුසුදුසු ඒවා බවට පරිවර්තනය කරන්න. සරල වචන වලින්, සම්පූර්ණ කොටසක් ඉවත් කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, නිඛිල කොටසෙහි සංඛ්යාව භාගයේ හරයෙන් ගුණ කරන්න, සහ ලැබෙන ප්රතිඵලය සංඛ්‍යාංකයට එක් කරන්න. මෙම ක්රියාවන්ගෙන් පසුව පිටතට එන අංකය නුසුදුසු භාගයේ සංඛ්යාංකය වේ. හරය නොවෙනස්ව පවතී.
- භාගවල විවිධ හරයන් තිබේ නම්, ඒවා එකම හරයකට අඩු කළ යුතුය.
- එකම හරයන් සමඟ එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම සිදු කරන්න.
- නුසුදුසු කොටසක් ලැබුණු විට, සම්පූර්ණ කොටස තෝරන්න.
විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීමට, ඒවා එකම කුඩාම හරයට අඩු කළ යුතුය.
මෙය කරන්නේ කෙසේද යන්න ගැන අපි වඩාත් විස්තරාත්මකව කතා කරමු.
කොටසක දේපල
එකම හරයට භාග කිහිපයක් ගෙන ඒම සඳහා, ඔබ ද්‍රාවණයේ භාගයක ප්‍රධාන ගුණාංගය භාවිතා කළ යුතුය: සංඛ්‍යාත්මකව සහ හරය එකම සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමෙන් හෝ ගුණ කිරීමෙන් පසු, ඔබට ලබා දී ඇති එකට සමාන භාගයක් ලැබේ.
උදාහරණයක් ලෙස, 2/3 කොටසෙහි “6”, “9”, “12” වැනි හරයන් තිබිය හැකිය, එනම් එයට “3” හි ගුණාකාරයක් වන ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ස්වරූපය තිබිය හැකිය. අපි අංකනය සහ හරය "2" න් ගුණ කළ පසු, අපට 4/6 භාගය ලැබේ. අපි මුල් භාගයේ අංකනය සහ හරය “3” න් ගුණ කළ පසු, අපට 6/9 ලැබෙන අතර, “4” අංකය සමඟ සමාන මෙහෙයුමක් කළහොත් අපට 8/12 ලැබේ. එක් සමානාත්මතාවයක් පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
බහු භාග එකම හරයකට පරිවර්තනය කරන්නේ කෙසේද
බහු භාග එකම හරයකට අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු. උදාහරණයක් ලෙස, අපි පහත පින්තූරයේ පෙන්වා ඇති භාග ගනිමු. පළමුව ඔබ ඒ සියල්ල සඳහා හරය බවට පත්විය හැකි අංකය තීරණය කළ යුතුය. දේවල් පහසු කිරීම සඳහා, පවතින හරයන් සාධකකරණය කරමු.
1/2 භාගයේ සහ 2/3 භාගයේ හරය සාධකකරණය කළ නොහැක. 7/9 හරයට සාධක දෙකක් ඇත 7/9 = 7/(3 x 3), 5/6 = 5/(2 x 3) කොටසෙහි හරය. දැන් අපි මෙම භාග හතරටම කුඩාම සාධක මොනවාද යන්න තීරණය කළ යුතුය. පළමු භාගයේ හරයේ “2” අංකය ඇති බැවින්, එයින් අදහස් වන්නේ එය සියලුම හරවල තිබිය යුතු බවයි; 7/9 භාගයේ ත්‍රිත්ව දෙකක් ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ ඒවා දෙකම හරයේ තිබිය යුතු බවයි. ඉහත කරුණු සැලකිල්ලට ගනිමින්, හරය සාධක තුනකින් සමන්විත වන බව අපි තීරණය කරමු: 3, 2, 3 සහ 3 x 2 x 3 = 18 ට සමාන වේ.
පළමු කොටස සලකා බලමු - 1/2. එහි හරයේ "2" ඇත, නමුත් තනි "3" ඉලක්කමක් නැත, නමුත් දෙකක් තිබිය යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි හරය ත්‍රිත්ව දෙකකින් ගුණ කරමු, නමුත්, කොටසක ගුණය අනුව, අපි සංඛ්යාව ත්‍රිත්ව දෙකකින් ගුණ කළ යුතුය:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
අපි ඉතිරි කොටස් සමඟ එකම මෙහෙයුම් සිදු කරන්නෙමු.
සියල්ල එක්ව මේ ආකාරයට පෙනේ:
විවිධ හරයන් ඇති භාග අඩු කර එකතු කරන ආකාරය
ඉහත සඳහන් කළ පරිදි, විවිධ හරයන් ඇති භාග එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම සඳහා, ඒවා එකම හරයකට අඩු කළ යුතු අතර, දැනටමත් සාකච්ඡා කර ඇති එකම හරයක් ඇති භාග අඩු කිරීම සඳහා නීති භාවිතා කරන්න.
අපි මෙය උදාහරණයක් ලෙස බලමු: 4/18 - 3/15.
අංක 18 සහ 15 හි ගුණාකාර සොයා ගැනීම:
හරය සොයාගත් පසු, එක් එක් කොටස සඳහා වෙනස් වන සාධකය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ, එනම්, හරය පමණක් නොව සංඛ්යාංකය ද ගුණ කිරීමට අවශ්ය අංකය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අප සොයාගත් සංඛ්යාව (පොදු ගුණාකාරය) අමතර සාධක තීරණය කළ යුතු භාගයේ හරයෙන් බෙදන්න.
අපගේ විසඳුමේ ඊළඟ අදියර වන්නේ එක් එක් කොටස "90" යන හරයට අඩු කිරීමයි.
මෙය සිදු කරන්නේ කෙසේද යන්න ගැන අපි දැනටමත් කතා කර ඇත්තෙමු. මෙය උදාහරණයකින් ලියා ඇත්තේ කෙසේදැයි බලමු:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
භාගවලට කුඩා සංඛ්යා තිබේ නම්, පහත පින්තූරයේ පෙන්වා ඇති පරිදි ඔබට පොදු හරය තීරණය කළ හැකිය.
විවිධ හරයන් ඇති අයටද එය එසේම වේ.
අඩු කිරීම සහ නිඛිල කොටස් තිබීම
භාග අඩු කිරීම සහ ඒවා එකතු කිරීම පිළිබඳව අපි දැනටමත් විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත. නමුත් කොටසක පූර්ණ සංඛ්යා කොටසක් තිබේ නම් අඩු කරන්නේ කෙසේද? නැවතත්, අපි නීති කිහිපයක් භාවිතා කරමු:
ඔබට සම්පූර්ණ කොටස් සමඟ භාග එකතු කිරීමට සහ අඩු කිරීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ක්‍රියා සම්පූර්ණ කොටස් සමඟ වෙන වෙනම සිදු කරනු ලබන අතර, භාග සමඟ ක්‍රියා වෙන වෙනම සිදු කරනු ලබන අතර ප්‍රති results ල එකට සටහන් වේ.
ලබා දී ඇති උදාහරණය එකම හරයක් ඇති භාග වලින් සමන්විත වේ. හරය වෙනස් වූ විට, ඒවා එකම අගයකට ගෙන ආ යුතු අතර, උදාහරණයේ පෙන්වා ඇති පරිදි ක්‍රියා කරන්න.
පූර්ණ සංඛ්‍යාවලින් භාග අඩු කිරීම
භාග සහිත තවත් ක්රියාවක් නම්, භාගයකින් අඩු කළ යුතු අවස්ථාවයි.බැලු බැල්මට එවැනි උදාහරණයක් විසඳීමට අපහසු බව පෙනේ. කෙසේ වෙතත්, මෙහි සෑම දෙයක්ම තරමක් සරල ය. එය විසඳීමට, ඔබ පූර්ණ සංඛ්යාව භාගයක් බවට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර, අඩු කළ භාගයේ ඇති එකම හරය සමඟ. ඊළඟට, අපි සමාන හරයන් සමඟ අඩු කිරීම හා සමාන අඩු කිරීමක් සිදු කරන්නෙමු. උදාහරණයක් ලෙස, එය මේ වගේ ය:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
මෙම ලිපියේ ඉදිරිපත් කර ඇති භාග (6 ශ්‍රේණිය) අඩු කිරීම පසුකාලීන ශ්‍රේණිවල ආවරණය වන වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණ විසඳීම සඳහා පදනම වේ. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ දැනුම පසුව කාර්යයන්, ව්‍යුත්පන්නයන් සහ යනාදිය විසඳීමට භාවිතා කරයි. එබැවින්, ඉහත සාකච්ඡා කළ භාග සමඟ මෙහෙයුම් අවබෝධ කර ගැනීම සහ අවබෝධ කර ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.
§ 87. භාග එකතු කිරීම.
භාග එකතු කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්යා එකතු කිරීමට බොහෝ සමානකම් ඇත. භාග එකතු කිරීම යනු ලබා දී ඇති සංඛ්යා කිහිපයක් (කොන්දේසි) එක් සංඛ්‍යාවකට (එකතුවක්) ඒකාබද්ධ කර ඇති ක්‍රියාවකි, නියමවල ඒකකවල සියලුම ඒකක සහ භාග අඩංගු වේ.
අපි අවස්ථා තුනක් අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු:
1. සමාන හර සහිත භාග එකතු කිරීම.
2. විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම.
3. මිශ්ර සංඛ්යා එකතු කිරීම.
1. සමාන හර සහිත භාග එකතු කිරීම.
උදාහරණයක් සලකා බලන්න: 1/5 + 2/5.
අපි AB කොටස ගනිමු (රූපය 17), එය එකක් ලෙස ගෙන එය සමාන කොටස් 5 කට බෙදන්න, එවිට මෙම කොටසේ AC කොටස AB කොටසෙන් 1/5 ට සමාන වන අතර එම කොටසේම CD කොටස සමාන වේ. 2/5 AB.
චිත්‍රයෙන් පැහැදිලි වන්නේ අපි AD කොටස ගතහොත් එය 3/5 AB ට සමාන වන බවයි; නමුත් AD යනු හරියටම AC සහ CD යන කොටස්වල එකතුවයි. එබැවින් අපට ලිවිය හැකිය:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
මෙම නියමයන් සහ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන එකතුව සලකා බැලීමේදී, පදවල සංඛ්යා එකතු කිරීමෙන් එකතුවේ සංඛ්යාංකය ලැබුණු බවත්, හරය නොවෙනස්ව පවතින බවත් අපට පෙනේ.
මෙයින් අපට පහත රීතිය ලැබේ: එකම හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමට, ඔබ ඒවායේ සංඛ්යා එකතු කර එකම හරය අත්හැරිය යුතුය.
අපි උදාහරණයක් බලමු:
2. විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම.
අපි භාග එකතු කරමු: 3 / 4 + 3 / 8 පළමුව ඒවා අඩුම පොදු හරයට අඩු කළ යුතුය:
අතරමැදි සබැඳිය 6/8 + 3/8 ලිවිය නොහැක; පැහැදිලිකම සඳහා අපි එය මෙහි ලියා ඇත.
මේ අනුව, විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම ඒවා අවම පොදු හරයට අඩු කර, ඒවායේ සංඛ්යා එකතු කර පොදු හරය ලේබල් කළ යුතුය.
අපි උදාහරණයක් සලකා බලමු (අපි අනුරූප භාග වලට ඉහලින් අමතර සාධක ලියන්නෙමු):
3. මිශ්ර සංඛ්යා එකතු කිරීම.
අපි අංක එකතු කරමු: 2 3/8 + 3 5/6.
අපි පළමුව අපගේ සංඛ්‍යාවල භාගික කොටස් පොදු හරයකට ගෙන ඒවා නැවත ලියන්නෙමු:
දැන් අපි පූර්ණ සංඛ්යාව සහ භාගික කොටස් අනුපිළිවෙලින් එකතු කරමු:
§ 88. භාග අඩු කිරීම.
භාග අඩු කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්යා අඩු කරන ආකාරයටම අර්ථ දැක්වේ. මෙය පද දෙකක එකතුවක් සහ ඒවායින් එකක් ලබා දී තවත් පදයක් සොයා ගන්නා ලද ක්‍රියාවකි. අපි අවස්ථා තුනක් අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු:
1. සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම.
2. විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම.
3. මිශ්ර සංඛ්යා අඩු කිරීම.
1. සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම.
අපි උදාහරණයක් බලමු:
13 / 15 - 4 / 15
අපි AB කොටස ගනිමු (රූපය 18), එය ඒකකයක් ලෙස ගෙන එය සමාන කොටස් 15 කට බෙදන්න; එවිට මෙම කොටසේ AC කොටස AB හි 1/15 නියෝජනය කරනු ඇති අතර එම කොටසේම AD කොටස 13/15 AB ට අනුරූප වේ. අපි 4/15 AB ට සමාන තවත් කොටසක් ED වෙන් කරමු.
අපි 4/15 කොටස 13/15 සිට අඩු කළ යුතුයි. චිත්‍රයේ, මෙයින් අදහස් කරන්නේ ED කොටස AD කොටසෙන් අඩු කළ යුතු බවයි. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, AE කොටස පවතිනු ඇත, එය AB කොටසේ 9/15 වේ. එබැවින් අපට ලිවිය හැකිය:
අප කළ උදාහරණයෙන් පෙනෙන්නේ සංඛ්යා අඩු කිරීමෙන් වෙනසෙහි සංඛ්යාංකය ලැබුණු නමුත් හරය එලෙසම පැවති බවයි.
එබැවින්, සමාන හර සහිත භාග අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ minuend හි සංඛ්යාංකයෙන් subtrahend හි සංඛ්යාංකය අඩු කර එම හරය අත්හැරිය යුතුය.
2. විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම.
උදාහරණයක්. 3/4 - 5/8
පළමුව, අපි මෙම භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කරමු:
අතරමැදි 6 / 8 - 5 / 8 පැහැදිලිකම සඳහා මෙහි ලියා ඇත, නමුත් පසුව මඟ හැරිය හැක.
මේ අනුව, භාගයකින් කොටසක් අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම ඒවා පහළම පොදු හරයට අඩු කළ යුතුය, පසුව minuend හි සංඛ්යාංකයෙන් minuend හි සංඛ්යාංකය අඩු කර ඒවායේ වෙනස යටතේ පොදු හරය අත්සන් කරන්න.
අපි උදාහරණයක් බලමු:
3. මිශ්ර සංඛ්යා අඩු කිරීම.
උදාහරණයක්. 10 3/4 - 7 2/3.
අපි minuend හි භාගික කොටස් අඩු කර පහළම පොදු හරයට යවමු:
අපි සම්පූර්ණයෙන් සමස්තයක් සහ භාගයකින් කොටසක් අඩු කළෙමු. නමුත් උපසිරැසියේ භාගික කොටස minuend හි භාගික කොටසට වඩා වැඩි වන අවස්ථා තිබේ. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ඔබ minuend හි සම්පූර්ණ කොටසෙන් එක් ඒකකයක් ගත යුතුය, භාගික කොටස ප්රකාශිත එම කොටස් වලට එය බෙදන්න, සහ minuend හි භාගික කොටස වෙත එය එකතු කරන්න. ඉන්පසු අඩු කිරීම පෙර උදාහරණයේ ආකාරයටම සිදු කරනු ලැබේ:
§ 89. භාග ගුණ කිරීම.
භාග ගුණ කිරීම අධ්‍යයනය කරන විට, අපි පහත ප්‍රශ්න සලකා බලමු:
1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම.
2. දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීම.
3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.
4. භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.
5. මිශ්ර සංඛ්යා ගුණ කිරීම.
6. උනන්දුව පිළිබඳ සංකල්පය.
7. දී ඇති සංඛ්‍යාවක ප්රතිශතය සොයා ගැනීම. අපි ඒවා අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු.
1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම.
භාගයක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම හා සමාන අර්ථයකි. පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් (සාධකයකින්) භාගයක් ගුණ කිරීම යනු සමාන පදවල එකතුවක් සෑදීමයි, එහි එක් එක් පදය ගුණකයට සමාන වන අතර පද ගණන ගුණකයට සමාන වේ.
මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට 1/9 න් 7 න් ගුණ කිරීමට අවශ්ය නම්, එය මේ ආකාරයට කළ හැකි බවයි:
ක්‍රියාව එකම හර සහිත භාග එකතු කිරීම දක්වා අඩු කළ බැවින් අපි පහසුවෙන් ප්රතිඵලය ලබා ගත්තෙමු. එබැවින්,
මෙම ක්‍රියාව සලකා බැලීමෙන් පෙනී යන්නේ කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවේ ඒකක ඇති වාර ගණනක් මෙම භාගය වැඩි කිරීමට සමාන වන බවයි. මක්නිසාද යත් කොටසක් වැඩි කිරීම සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ එහි අංකනය වැඩි කිරීමෙනි
නැතහොත් එහි හරය අඩු කිරීමෙනි 
, එවිට අපට සංඛ්යාව පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ හැකිය, නැතහොත් එවැනි බෙදීමක් කළ හැකි නම්, හරය එයින් බෙදිය හැකිය.
මෙතැන් සිට අපට රීතිය ලැබේ:
පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ එම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවෙන් සංඛ්යාව ගුණ කර හරය එලෙසම තබන්න, නැතහොත්, හැකි නම්, එම සංඛ්‍යාවෙන් හරය බෙදන්න, සංඛ්යාංකය නොවෙනස්ව තබන්න.
ගුණ කරන විට, කෙටි යෙදුම් හැකි ය, උදාහරණයක් ලෙස:
2. දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීම.ඔබට ලබා දී ඇති අංකයක කොටසක් සොයා ගැනීමට හෝ ගණනය කිරීමට සිදු වන ගැටළු බොහොමයක් තිබේ. මෙම ගැටළු සහ අනෙකුත් ඒවා අතර ඇති වෙනස නම්, ඔවුන් සමහර වස්තූන් හෝ මිනුම් ඒකක ගණන ලබා දෙන අතර ඔබට මෙම සංඛ්‍යාවේ කොටසක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන අතර එය මෙහි යම් කොටසකින් ද දක්වා ඇත. අවබෝධය පහසු කිරීම සඳහා, අපි මුලින්ම එවැනි ගැටළු සඳහා උදාහරණ ලබා දෙන්නෙමු, පසුව ඒවා විසඳීම සඳහා ක්රමයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු.
කාර්යය 1.මට රුබල් 60 ක් තිබුණා; මම මේ මුදලින් 1/3ක් වියදම් කළේ පොත් ගන්න. පොත් සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය වේද?
කාර්යය 2.දුම්රිය A සහ B නගර අතර කිලෝමීටර 300 ට සමාන දුරක් ගමන් කළ යුතුය. ඔහු දැනටමත් මෙම දුරින් 2/3 ක් සම්පූර්ණ කර ඇත. මේක කිලෝමීටර් කීයද?
කාර්යය 3.ගමේ නිවාස 400 ක් ඇත, ඒවායින් 3/4 ගඩොල්, ඉතිරිය ලී. මුළු ගඩොල් ගෙවල් කීයක් තිබේද?
දෙන ලද සංඛ්‍යාවක කොටසක් සොයා ගැනීමට අපට මුහුණ පෑමට සිදුවන ගැටලු රාශියකි. ලබා දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීමට ඒවා සාමාන්යයෙන් ගැටළු ලෙස හැඳින්වේ.
ගැටලුවට විසඳුම 1.රූබල් 60 සිට. මම පොත් සඳහා 1/3 වියදම් කළා; මෙයින් අදහස් කරන්නේ පොත්වල මිල සොයා ගැනීමට ඔබ අංක 60 න් 3 න් බෙදිය යුතු බවයි:
ගැටළුව විසඳීම 2.ගැටලුවේ කාරණය වන්නේ ඔබ කිලෝමීටර 300 න් 2/3 ක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය බවය. අපි මුලින්ම 300 න් 1/3 ගණනය කරමු; මෙය සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ කිලෝමීටර 300 න් 3 න් බෙදීමෙනි:
300: 3 = 100 (එය 300 න් 1/3 කි).
300 න් තුනෙන් දෙකක් සොයා ගැනීමට, ඔබට ලැබෙන ප්‍රමාණය දෙගුණ කිරීමට අවශ්ය වේ, එනම්, 2 න් ගුණ කරන්න:
100 x 2 = 200 (එය 300 න් 2/3).
ගැටළුව විසඳීම 3.මෙහිදී ඔබ 400 න් 3/4 ක් සෑදෙන ගඩොල් නිවාස ගණන තීරණය කළ යුතුය. අපි මුලින්ම 400 න් 1/4 ක් සොයා ගනිමු,
400: 4 = 100 (එය 400 න් 1/4 කි).
400 න් කාර්තු තුන ගණනය කිරීම සඳහා, ලැබෙන ප්‍රමාණය තුන් ගුණයකින් වැඩි කළ යුතුය, එනම් 3 න් ගුණ කළ යුතුය:
100 x 3 = 300 (එය 400 න් 3/4).
මෙම ගැටළු වලට විසඳුම මත පදනම්ව, අපට පහත රීතිය ලබා ගත හැකිය:
දී ඇති සංඛ්‍යාවකින් කොටසක අගය සොයා ගැනීමට, ඔබ මෙම සංඛ්යාව භාගයේ හරයෙන් බෙදිය යුතු අතර ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සංඛ්යාව එහි සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළ යුතුය.
3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.
මීට පෙර (§ 26) නිඛිලවල ගුණ කිරීම සමාන පද එකතු කිරීම ලෙස තේරුම් ගත යුතු බව තහවුරු විය (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). මෙම ඡේදයේ (1 වන කරුණ) එය පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම යනු මෙම භාගයට සමාන සමාන පදවල එකතුව සොයා ගැනීම බව තහවුරු විය.
අවස්ථා දෙකේදීම, ගුණ කිරීම සමන්විත වූයේ සමාන පදවල එකතුව සොයා ගැනීමයි.
දැන් අපි සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීමට ඉදිරියට යමු. මෙන්න අපට හමුවනු ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, ගුණ කිරීම: 9 2/3. ගුණ කිරීමේ පෙර නිර්වචනය මෙම අවස්ථාවට අදාළ නොවන බව පැහැදිලිය. සමාන සංඛ්යා එකතු කිරීමෙන් අපට එවැනි ගුණ කිරීම ප්‍රතිස්ථාපනය කළ නොහැකි බව මෙයින් පැහැදිලි වේ.
මේ නිසා, අපට ගුණ කිරීම පිළිබඳ නව නිර්වචනයක් ලබා දීමට සිදුවනු ඇත, එනම්, වෙනත් වචන වලින්, භාගයකින් ගුණ කිරීමෙන් තේරුම් ගත යුතු දේ, මෙම ක්‍රියාව තේරුම් ගත යුත්තේ කෙසේද යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙන්න.
සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීමේ අර්ථය පහත අර්ථ දැක්වීමෙන් පැහැදිලි වේ: පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් (ගුණකයක්) භාගයකින් (ගුණකයක්) ගුණ කිරීම යනු ගුණකයේ මෙම භාගය සොයා ගැනීමයි.
එනම්, 9 න් 2/3 න් ගුණ කිරීම යනු ඒකක නවයෙන් 2/3 සොයා ගැනීමයි. පෙර ඡේදයේ, එවැනි ගැටළු විසඳා ඇත; එබැවින් අපි 6 න් අවසන් වන බව තේරුම් ගැනීම පහසුය.
නමුත් දැන් සිත්ගන්නාසුළු හා වැදගත් ප්‍රශ්නයක් පැන නගී: සමාන සංඛ්‍යාවල එකතුව සෙවීම සහ සංඛ්‍යාවක භාගය සොයා ගැනීම වැනි පෙනෙන වෙනස් මෙහෙයුම් අංක ගණිතයෙන් “ගුණ කිරීම” යන වචනයෙන් හඳුන්වන්නේ ඇයි?
මෙය සිදු වන්නේ පෙර ක්‍රියාව (කොන්දේසි සමඟ සංඛ්‍යාවක් කිහිප වතාවක් පුනරාවර්තනය කිරීම) සහ නව ක්‍රියාව (සංඛ්‍යාවක භාගය සොයා ගැනීම) සමජාතීය ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු ලබා දෙන බැවිනි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමජාතීය ප්‍රශ්න හෝ කාර්යයන් එකම ක්‍රියාවකින් විසඳන බව සලකා බැලීමෙන් අපි මෙහි ඉදිරියට යන බවයි.
මෙය තේරුම් ගැනීම සඳහා, පහත සඳහන් ගැටළුව සලකා බලන්න: "රෙදි මීටර් 1 ක මිල රුබල් 50 කි. එවැනි රෙදි මීටර් 4 ක් සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය වේද?
මෙම ගැටළුව විසඳනු ලබන්නේ රූබල් (50) ගණන මීටර් (4), එනම් 50 x 4 = 200 (රූබල්) වලින් ගුණ කිරීමෙනි.
අපි එකම ගැටළුව ගනිමු, නමුත් එහි රෙදි ප්‍රමාණය කොටසක් ලෙස ප්රකාශ වේ: “රෙදි මීටර් 1 ක මිල රුබල් 50 කි. එවැනි රෙදි මීටර් 3/4 කට කොපමණ මුදලක් වැය වේද?"
රූබල් ගණන (50) මීටර් ගණනින් (3/4) ගුණ කිරීමෙන් මෙම ගැටළුව විසඳිය යුතුය.
ඔබට එහි ඇති සංඛ්යා තවත් කිහිප වතාවක් වෙනස් කළ හැකිය, ගැටලුවේ තේරුම වෙනස් නොකර, උදාහරණයක් ලෙස, 9/10 m හෝ 2 3/10 m, ආදිය ගන්න.
මෙම ගැටළු වලට එකම අන්තර්ගතයක් ඇති අතර සංඛ්යා වලින් පමණක් වෙනස් වන බැවින්, ඒවා විසඳීමේදී භාවිතා කරන ක්‍රියා අපි එකම වචනය ලෙස හඳුන්වමු - ගුණ කිරීම.
සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් කොටස් ගණනකින් ගුණ කරන්නේ කෙසේද?
අවසාන ගැටලුවේදී හමු වූ සංඛ්යා ගනිමු:
නිර්වචනයට අනුව, අපි 50 න් 3/4 සොයා ගත යුතුය. අපි මුලින්ම 50 න් 1/4, පසුව 3/4 සොයා ගනිමු.
50 න් 1/4 50/4;
අංක 50 න් 3/4 යි.
එහෙයින්.
අපි තවත් උදාහරණයක් සලකා බලමු: 12 5/8 =?
අංක 12 න් 1/8 යි 12/8,
අංක 12 න් 5/8 වේ.
එබැවින්,
මෙතැන් සිට අපට රීතිය ලැබේ:
සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ සම්පූර්ණ සංඛ්යාව භාගයේ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කර මෙම නිෂ්පාදිතය සංඛ්යාංකය බවට පත් කළ යුතු අතර, මෙම භාගයේ හරය හරය ලෙස අත්සන් කළ යුතුය.
අකුරු භාවිතයෙන් මෙම රීතිය ලියන්න:
මෙම රීතිය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි කිරීම සඳහා, භාගික අගයක් ලෙස සැලකිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය. එබැවින්, සොයාගත් රීතිය § 38 හි දක්වා ඇති සංඛ්‍යාවකින් සංඛ්‍යාවක් ගුණ කිරීමේ රීතිය සමඟ සංසන්දනය කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ.
ගුණ කිරීම සිදු කිරීමට පෙර, ඔබ (හැකි නම්) කළ යුතු බව මතක තබා ගැනීම වැදගත්ය. අඩු කිරීම්, උදාහරණ වශයෙන්:
4. භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම හා සමාන අර්ථයක් ඇත, එනම්, භාගයක් භාගයකින් ගුණ කරන විට, ඔබ පළමු භාගයෙන් (ගුණකය) සාධකයේ ඇති භාගය සොයාගත යුතුය.
එනම්, 3/4 න් 1/2 (අඩ) කින් ගුණ කිරීම යනු 3/4 න් අඩක් සොයා ගැනීමයි.
ඔබ භාගයක් භාගයකින් ගුණ කරන්නේ කෙසේද?
අපි උදාහරණයක් ගනිමු: 3/4 5/7 න් ගුණ කිරීම. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔබ 3/4 න් 5/7 සොයා ගත යුතු බවයි. අපි මුලින්ම 3/4 න් 1/7, පසුව 5/7 සොයා ගනිමු
3/4 අංකයෙන් 1/7ක් පහත පරිදි ප්රකාශ වේ.
5/7 අංක 3/4 පහත පරිදි ප්රකාශ කරනු ලැබේ:
මේ අනුව,
තවත් උදාහරණයක්: 5/8 4/9 න් ගුණ කිරීම.
5/8 න් 1/9 යනු,
5/8 අංකයෙන් 4/9 යනු .
මේ අනුව, 
මෙම උදාහරණ වලින් පහත රීතිය නිගමනය කළ හැකිය:
භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්යාංකය සංඛ්‍යාවෙන්ද, හරය හරයෙන්ද ගුණ කළ යුතු අතර, පළමු නිෂ්පාදිතය සංඛ්‍යාංකයද, දෙවන නිෂ්පාදනය නිෂ්පාදනයේ හරයද කළ යුතුය.
මෙම රීතිය සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය:
ගුණ කරන විට, (හැකි නම්) අඩු කිරීම් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. උදාහරණ දෙස බලමු:
5. මිශ්ර සංඛ්යා ගුණ කිරීම.මිශ්ර සංඛ්යා නුසුදුසු භාග මගින් පහසුවෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකි බැවින්, මිශ්ර සංඛ්යා ගුණ කිරීමේදී මෙම තත්ත්වය සාමාන්යයෙන් භාවිතා වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ගුණකය, හෝ ගුණකය හෝ සාධක දෙකම මිශ්ර සංඛ්යා ලෙස ප්රකාශ කරන අවස්ථා වලදී ඒවා නුසුදුසු භාග මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වන බවයි. උදාහරණයක් ලෙස, මිශ්ර සංඛ්යා: 2 1/2 සහ 3 1/5 ගුණ කරමු. අපි ඒ සෑම එකක්ම නුසුදුසු භාගයක් බවට පත් කර, භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව ලැබෙන භාග ගුණ කරමු:
නීතිය.මිශ්ර සංඛ්යා ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ ප්‍රථමයෙන් ඒවා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර පසුව භාගවලින් භාග ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව ඒවා ගුණ කළ යුතුය.
සටහන.එක් සාධකයක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නම්, බෙදා හැරීමේ නියමය මත පදනම්ව ගුණ කිරීම පහත පරිදි සිදු කළ හැකිය:
6. උනන්දුව පිළිබඳ සංකල්පය.ගැටළු විසඳීමේදී සහ විවිධ ප්‍රායෝගික ගණනය කිරීම් සිදු කරන විට, අපි සියලු වර්ගවල භාග භාවිතා කරමු. නමුත් බොහෝ ප්‍රමාණවලින් ඔවුන් සඳහා ස්වාභාවික බෙදීම් වලට පමණක් නොව, ස්වාභාවික බෙදීම්වලට ඉඩ ලබා දෙන බව මතක තබා ගත යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට රූබල් එකකින් සියයෙන් එකක් (1/100) ගත හැකිය, එය කොපෙක් එකක් වනු ඇත, දෙසීයක් යනු කොපෙක් 2 ක්, තුන්සියයෙන් එක කොපෙක් 3 කි. ඔබට රුබල් එකකින් 1/10 ක් ගත හැකිය, එය "කොපෙක් 10 ක් හෝ කොපෙක් දහයක් වනු ඇත. ඔබට රූබල් හතරෙන් එකක්, එනම් කොපෙක් 25 ක්, රූබල් භාගයක්, එනම් කොපෙක් 50 ක් (කොපෙක් පනහක්) ගත හැකිය. ඔවුන් එය ප්‍රායෝගිකව ගන්නේ නැත, උදාහරණයක් ලෙස රූබල් එකකින් 2/7ක් රූබල් හත්වන ගණනට බෙදී නැති නිසා.
බර ඒකකය, එනම් කිලෝග්‍රෑම්, මූලික වශයෙන් දශම බෙදීම් සඳහා ඉඩ සලසයි, උදාහරණයක් ලෙස 1/10 kg, හෝ 100 g. සහ 1/6, 1/11, 1/13 වැනි කිලෝග්‍රෑමයක භාග පොදු නොවේ.
සාමාන්යයෙන්, අපගේ (මෙට්‍රික්) මිනුම් දශම වන අතර දශම බෙදීමට ඉඩ දෙයි.
කෙසේ වෙතත්, ප්‍රමාණ බෙදීමේ එකම (ඒකාකාර) ක්‍රමය භාවිතා කිරීම විවිධ අවස්ථා වලදී අතිශයින්ම ප්රයෝජනවත් සහ පහසු බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. වසර ගණනාවක අත්දැකීම්වලින් පෙන්නුම් කර ඇත්තේ එවැනි හොඳින් යුක්ති සහගත බෙදීමක් "සියවන" බෙදීම බවයි. මානව භාවිතයේ වඩාත් විවිධාකාර ක්ෂේත්‍ර සම්බන්ධ උදාහරණ කිහිපයක් අපි සලකා බලමු.
1. පොත් මිල කලින් මිලට වඩා 12/100කින් අඩුවෙලා.
උදාහරණයක්. පොතේ පෙර මිල රුබල් 10 කි. එය රුබල් 1 කින් අඩු විය. කොපෙක් 20 ක්
2. ඉතිරිකිරීමේ බැංකු විසින් තැන්පත්කරුවන්ට වසර තුළ ඉතිරිකිරීම් සඳහා තැන්පත් කළ මුදලින් 2/100 ක් ගෙවයි.
උදාහරණයක්. රූබල් 500 ක් මුදල් ලේඛනයේ තැන්පත් කර ඇත, වර්ෂය සඳහා මෙම මුදලෙන් ලැබෙන ආදායම රුබල් 10 කි.
3. එක් පාසලක උපාධිධාරීන් සංඛ්යාව මුළු සිසුන් සංඛ්‍යාවෙන් 5/100 කි.
උදාහරණයක් පාසලේ සිසුන් 1,200 ක් පමණක් සිටි අතර ඉන් 60 ක් උපාධි ලබා ඇත.
සංඛ්‍යාවක සියවන කොටස ප්‍රතිශතයක් ලෙස හැඳින්වේ.
"සියයට" යන වචනය ලතින් භාෂාවෙන් ණයට ගෙන ඇති අතර එහි මූල "සත" යන්නෙන් අදහස් වන්නේ සියයයි. පෙරනිමිත්ත (pro centum) සමඟ මෙම වචනයේ තේරුම "සියයක් සඳහා" යන්නයි. මෙම ප්‍රකාශනයේ අරුත, මුලදී පුරාණ රෝමයේ පොලී යනු ණයගැතියා "සෑම සියයකටම" ණය දෙන්නාට ගෙවූ මුදලට ලබා දුන් නමයි. "ශත" යන වචනය එවැනි හුරුපුරුදු වචන වලින් අසන්නට ලැබේ: centner (කිලෝ ග්රෑම් සියයක්), සෙන්ටිමීටර (සෙන්ටිමීටරය කියන්න).
නිදසුනක් වශයෙන්, පසුගිය මාසය තුළ බලාගාරය විසින් නිෂ්පාදනය කරන ලද සියලුම නිෂ්පාදන වලින් 1/100 ක් දෝෂ සහිත බව පැවසීම වෙනුවට, අපි මෙය කියමු: පසුගිය මාසය තුළ බලාගාරය දෝෂ වලින් සියයට එකක් නිෂ්පාදනය කළේය. කියනවා වෙනුවට: බලාගාරය ස්ථාපිත සැලැස්මට වඩා 4/100 නිෂ්පාදන නිෂ්පාදනය කළා, අපි කියමු: බලාගාරය සැලැස්ම සියයට 4 කින් ඉක්මවා ඇත.
ඉහත උදාහරණ වෙනස් ආකාරයකින් ප්රකාශ කළ හැකිය:
1. පොත් මිල කලින් මිලට වඩා සියයට 12කින් අඩුවෙලා.
2. ඉතිරිකිරීමේ බැංකු විසින් තැන්පත්කරුවන්ට ඉතුරුම්වල තැන්පත් කළ මුදලින් වසරකට සියයට 2ක් ගෙවයි.
3. එක් පාසලක උපාධිධාරීන් සංඛ්යාව සියලුම පාසල් සිසුන්ගෙන් සියයට 5 කි.
ලිපිය කෙටි කිරීම සඳහා, "ප්රතිශතය" යන වචනය වෙනුවට % සංකේතය ලිවීම සිරිතකි.
කෙසේ වෙතත්, ගණනය කිරීම් වලදී % ලකුණ සාමාන්යයෙන් ලියා නැති බව ඔබ මතක තබා ගත යුතුය; එය ගැටළු ප්‍රකාශයේ සහ අවසාන ප්‍රති result ලය තුළ ලිවිය හැකිය. ගණනය කිරීම් සිදු කරන විට, මෙම සංකේතය සමඟ සම්පූර්ණ අංකයක් වෙනුවට 100 ක හරයක් සහිත භාගයක් ලිවිය යුතුය.
ඔබට දක්වා ඇති නිරූපකය සමඟ පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට 100 ක හරයක් සහිත භාගයක් කිරීමට ඔබට හැකි විය යුතුය:
අනෙක් අතට, 100 ක හරයක් සහිත භාගයක් වෙනුවට සඳහන් කළ සංකේතය සමඟ පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමට ඔබ පුරුදු විය යුතුය:
7. දී ඇති සංඛ්‍යාවක ප්රතිශතය සොයා ගැනීම.
කාර්යය 1.පාසලට ඝන මීටර් 200ක් ලැබුණා. දර m, බර්ච් දර සමඟ 30% ක්. බර්ච් දර කීයක් තිබුණාද?
මෙම ගැටලුවේ තේරුම නම්, බර්ච් දර සෑදී ඇත්තේ පාසලට ලබා දුන් දර වලින් කොටසක් පමණක් වන අතර, මෙම කොටස 30/100 භාගයේ දක්වා ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සංඛ්‍යාවක කොටසක් සොයා ගැනීමට අපට කාර්යයක් ඇති බවයි. එය විසඳීම සඳහා, අපි 200 න් 30/100 න් ගුණ කළ යුතුය (සංඛ්‍යාවක භාගය සොයා ගැනීමේ ගැටළු විසඳනු ලබන්නේ අංකය භාගයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ය.).
මෙයින් අදහස් කරන්නේ 200 න් 30% 60 ට සමාන බවයි.
මෙම ගැටලුවේ දී හමුවන 30/100 කොටස 10 කින් අඩු කළ හැකිය. මෙම අඩු කිරීම ආරම්භයේ සිටම කළ හැකි වනු ඇත; ගැටලුවට විසඳුම වෙනස් නොවනු ඇත.
කාර්යය 2.කඳවුරේ විවිධ වයස්වල ළමුන් 300 ක් සිටියහ. අවුරුදු 11 ක් වයසැති දරුවන් 21% ක් ද, අවුරුදු 12 ක් වයසැති ළමයින් 61% ක් ද, අවසානයේ අවුරුදු 13 ක් වයසැති ළමයින් 18% ක් ද විය. කඳවුරේ එක් එක් වයස්වල ළමුන් කී දෙනෙක් සිටියාද?
මෙම ගැටලුවේදී ඔබ ගණනය කිරීම් තුනක් සිදු කළ යුතුය, එනම් අනුපිළිවෙලින් අවුරුදු 11 ක් වයසැති, පසුව අවුරුදු 12 ක් සහ අවසානයේ අවුරුදු 13 ක් වයසැති දරුවන්ගේ සංඛ්යාව සොයා ගන්න.
මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙහි ඔබට අංකයේ භාගය තුන් වතාවක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වනු ඇති බවයි. අපි එය කරමු:
1) අවුරුදු 11ක ළමයි කී දෙනෙක් හිටියද?
2) අවුරුදු 12ක ළමයි කී දෙනෙක් හිටියද?
3) අවුරුදු 13ක ළමයි කී දෙනෙක් හිටියද?
ගැටළුව විසඳීමෙන් පසු, සොයාගත් සංඛ්යා එකතු කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ; ඔවුන්ගේ එකතුව 300 විය යුතුය:
63 + 183 + 54 = 300
ගැටළු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති ප්‍රතිශතවල එකතුව 100 බව ද සටහන් කළ යුතුය:
21% + 61% + 18% = 100%
මෙයින් ඇඟවෙන්නේ කඳවුරේ මුළු ළමුන් සංඛ්යාව 100% ලෙස ගත් බවයි.
3 a d a h a 3.සේවකයාට මසකට රුබල් 1,200 ක් ලැබුණි. මෙයින් ඔහු ආහාර සඳහා 65%, මහල් නිවාස සහ උණුසුම සඳහා 6%, ගෑස්, විදුලිය සහ ගුවන්විදුලිය සඳහා 4%, සංස්කෘතික අවශ්යතා සඳහා 10% සහ ඉතිරි 15%. ගැටලුවේ දක්වා ඇති අවශ්යතා සඳහා කොපමණ මුදලක් වියදම් කර තිබේද?
මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඔබ 1,200 ක භාගය 5 වතාවක් සොයා ගත යුතුය. අපි මෙය කරමු.
1) ආහාර සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය කළාද? ගැටලුව පවසන්නේ මෙම වියදම මුළු ඉපැයීම් වලින් 65% ක් වන බවයි, එනම් අංක 1,200 න් 65/100. අපි ගණනය කරමු:
2) උණුසුම සහිත මහල් නිවාසයක් සඳහා ඔබ කොපමණ මුදලක් ගෙවා ඇත්ද? පෙර එකට සමානව තර්ක කරමින්, අපි පහත ගණනය කිරීම වෙත පැමිණෙමු:
3) ගෑස්, විදුලිය සහ ගුවන්විදුලිය සඳහා ඔබ කොපමණ මුදලක් ගෙව්වාද?
4) සංස්කෘතික අවශ්යතා සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය කළාද?
5) සේවකයා කොපමණ මුදලක් ඉතිරි කළාද?
පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, මෙම ප්‍රශ්න 5 තුළ ඇති සංඛ්යා එකතු කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ. මුදල රූබල් 1,200 ක් විය යුතුය. සියලුම ඉපැයීම් 100% ලෙස ගනු ලැබේ, එය ගැටළු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති ප්‍රතිශත අංක එකතු කිරීමෙන් පරීක්ෂා කිරීම පහසුය.
අපි ගැටලු තුනක් විසඳුවා. මෙම ගැටළු විවිධ දේ සමඟ කටයුතු කළද (පාසලට දර බෙදා හැරීම, විවිධ වයස්වල ළමුන්ගේ සංඛ්යාව, සේවකයාගේ වියදම්), ඒවා එකම ආකාරයකින් විසඳා ඇත. මෙය සිදු වූයේ සියලුම ගැටළු වලදී ලබා දී ඇති සංඛ්යා වලින් සියයට කිහිපයක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වූ බැවිනි.
§ 90. භාග බෙදීම.
අපි භාග බෙදීම අධ්‍යයනය කරන විට, අපි පහත ප්‍රශ්න සලකා බලමු:
1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන්න.
2. කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම
3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීම.
4. භාගයකින් කොටසක් බෙදීම.
5. මිශ්ර සංඛ්යා බෙදීම.
6. එහි දී ඇති භාගයෙන් අංකයක් සොයා ගැනීම.
7. අංකයක් එහි ප්‍රතිශතයෙන් සොයා ගැනීම.
අපි ඒවා අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු.
1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන්න.
නිඛිල දෙපාර්තුමේන්තුවේ දක්වා ඇති පරිදි, බෙදීම යනු සාධක දෙකක (ලාභාංශ) සහ මෙම සාධක වලින් එකක (බෙදීමේ) ගුණිතය ලබා දී තවත් සාධකයක් සොයා ගන්නා ක්‍රියාවයි.
අපි බැලුවේ නිඛිල පිළිබඳ කොටසේ පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමයි. එහිදී අපට බෙදීමේ අවස්ථා දෙකක් හමු විය: ඉතිරියක් නොමැතිව බෙදීම, හෝ “සම්පූර්ණයෙන්ම” (150: 10 = 15), සහ ඉතිරි කොටස සමඟ බෙදීම (100: 9 = 11 සහ 1 ඉතිරි). එබැවින් නිඛිල ක්ෂේත්‍රයේ දී, නිඛිල බෙදීම සැමවිටම කළ නොහැකි බව අපට පැවසිය හැක, මන්ද ලාභාංශය සැමවිටම නිඛිලයෙන් බෙදුම්කරුගේ ගුණිතය නොවන බැවිනි. භාගයකින් ගුණ කිරීම හඳුන්වා දීමෙන් පසු, අපට පූර්ණ සංඛ්යා බෙදීමේ ඕනෑම අවස්ථාවක් සලකා බැලිය හැකිය (බිංදුවෙන් බෙදීම පමණක් බැහැර කර ඇත).
උදාහරණයක් ලෙස, 7 න් 12 න් බෙදීම යනු 12 න් 7 ට සමාන වන සංඛ්‍යාවක් සොයා ගැනීමයි. එවැනි සංඛ්‍යාවක් 7 / 12 භාග වන්නේ 7 / 12 12 = 7 නිසා ය. තවත් උදාහරණයක්: 14: 25 = 14 / 25, මන්ද 14 / 25 25 = 14.
මේ අනුව, සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමට, ඔබ සංඛ්යාව ලාභාංශයට සමාන වන අතර හරය බෙදුම්කරුට සමාන වන භාගයක් සෑදිය යුතුය.
2. කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම.
6 / 7 කොටස 3 න් බෙදන්න. ඉහත දක්වා ඇති බෙදීමේ නිර්වචනයට අනුව, අපට මෙහි නිෂ්පාදන (6 / 7) සහ එක් සාධකයක් (3) ඇත; 3 න් ගුණ කළ විට දී ඇති නිෂ්පාදිතය 6/7 ලබා දෙන දෙවන සාධකය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. නිසැකවම, එය මෙම නිෂ්පාදනයට වඩා තුන් ගුණයකින් කුඩා විය යුතුය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අප ඉදිරියේ ඇති කාර්යය වූයේ 6/7 භාගය 3 ගුණයකින් අඩු කිරීමයි.
භාගයක් අඩු කිරීම එහි සංඛ්යාව අඩු කිරීමෙන් හෝ එහි හරය වැඩි කිරීමෙන් කළ හැකි බව අපි දැනටමත් දනිමු. එබැවින් ඔබට ලිවිය හැකිය:
මෙම අවස්ථාවේ දී, අංක 6 3 න් බෙදිය හැකි බැවින්, 3 ගුණයකින් අඩු කළ යුතුය.
අපි තවත් උදාහරණයක් ගනිමු: 5/8 2 න් බෙදනු ලැබේ. මෙහි අංක 5 2 න් බෙදිය නොහැක, එයින් අදහස් වන්නේ හරය මෙම අංකයෙන් ගුණ කළ යුතු බවයි:
මේ මත පදනම්ව, රීතියක් සෑදිය හැකිය: කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමට, ඔබ එම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවෙන් භාගයේ සංඛ්යාංකය බෙදිය යුතුය.(හැකි නම්), එකම හරය ඉතිරි කිරීම, හෝ භාගයේ හරය මෙම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කිරීම, එම සංඛ්යාව ඉතිරි කිරීම.
3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීම.
5 න් 1/2 න් බෙදීමට අවශ්ය වේ, එනම්, 1/2 න් ගුණ කිරීමෙන් පසු නිෂ්පාදිතය 5 ලබා දෙන සංඛ්‍යාවක් සොයා ගන්න. පැහැදිලිවම, 1/2 නිසි භාගයක් බැවින් මෙම සංඛ්යාව 5 ට වඩා වැඩි විය යුතුය. , සහ සංඛ්‍යාවක් ගුණ කරන විට නිසි භාගයක ගුණිතය ගුණ කරන නිෂ්පාදිතයට වඩා අඩු විය යුතුය. මෙය වඩාත් පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපගේ ක්රියාවන් පහත පරිදි ලියන්න: 5: 1 / 2 = x , එනම් x 1/2 = 5.
අපි එවැනි අංකයක් සොයා ගත යුතුයි x , එය, 1/2 න් ගුණ කළහොත්, 5 ලබා දෙනු ඇත. නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් 1/2 න් ගුණ කිරීම යන්නෙන් අදහස් වන්නේ මෙම සංඛ්‍යාවෙන් 1/2 ක් සොයා ගැනීමයි, එබැවින්, නොදන්නා සංඛ්‍යාවෙන් 1/2 x 5 ට සමාන වන අතර සම්පූර්ණ අංකය x දෙගුණයක්, එනම් 5 2 = 10.
එබැවින් 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
අපි පරීක්ෂා කරමු: 
අපි තවත් උදාහරණයක් බලමු. අපි හිතමු ඔයාට 6 න් 2/3 න් බෙදන්න ඕන කියලා. චිත්රය භාවිතයෙන් අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය සොයා ගැනීමට මුලින්ම උත්සාහ කරමු (රූපය 19).
Fig.19
අපි ඒකක 6 ට සමාන AB කොටසක් අඳින්න, සහ සෑම ඒකකයක්ම සමාන කොටස් 3 කට බෙදන්න. සෑම ඒකකයකම, AB සම්පූර්ණ කොටසෙන් තුනෙන් තුනක් (3/3) 6 ගුණයකින් විශාල වේ, i.e. e. 18/3. කුඩා වරහන් භාවිතා කරමින්, අපි 2 හි ප්රතිඵල 18 කොටස් සම්බන්ධ කරමු; එහි ඇත්තේ කොටස් 9 ක් පමණි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 2/3 කොටස ඒකක 6 කින් 9 වතාවක් අඩංගු වන බවයි, නැතහොත්, වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, 2/3 කොටස සම්පූර්ණ ඒකක 6 ට වඩා 9 ගුණයකින් අඩුය. එබැවින්,
ගණනය කිරීම් පමණක් භාවිතා කරමින් ඇඳීමකින් තොරව මෙම ප්රතිඵලය ලබා ගන්නේ කෙසේද? අපි මෙහෙම තර්ක කරමු: අපි 6 න් 2/3 න් බෙදිය යුතුයි, එනම් 2/3 6 හි කොපමණ වාර ගණනක් අඩංගු වේද යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දිය යුතුය. අපි පළමුව සොයා බලමු: 6 හි 1/3 කොපමණ වාර ගණනක් අඩංගු වේද? සම්පූර්ණ ඒකකයක තුනෙන් 3 ක් ඇති අතර, ඒකක 6 ක් තුළ 6 ගුණයකින් වැඩි, එනම් තුනෙන් 18 ක් ඇත; මෙම සංඛ්යාව සොයා ගැනීමට අපි 6 න් 3 න් ගුණ කළ යුතුය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 1/3 b ඒකකවල 18 වතාවක් අඩංගු වන අතර 2/3 b ඒකකවල 18 වතාවක් නොව අඩක් වාර ගණනක් අඩංගු වන බවයි, එනම් 18: 2 = 9 එබැවින්, 6 න් 2/3 න් බෙදීමේදී අපි පහත දේ කළෙමු:
මෙතැන් සිට අපට සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීමේ රීතිය ලැබේ. සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීමට, ඔබ මෙම සම්පූර්ණ සංඛ්යාව ලබා දී ඇති භාගයේ හරයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර, මෙම නිෂ්පාදිතය සංඛ්යාංකය බවට පත් කර, දී ඇති භාගයේ සංඛ්යාංකයෙන් එය බෙදන්න.
අපි අකුරු භාවිතයෙන් රීතිය ලියන්නෙමු:
මෙම රීතිය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි කිරීම සඳහා, භාගික අගයක් ලෙස සැලකිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය. එබැවින්, § 38 හි දක්වා ඇති සංඛ්‍යාවක් සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමේ රීතිය සමඟ සොයාගත් රීතිය සංසන්දනය කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ. එහිදී එම සූත්‍රයම ලැබුණු බව කරුණාවෙන් සලකන්න.
බෙදීමේදී, කෙටි යෙදුම් හැකි ය, උදාහරණයක් ලෙස:
4. භාගයකින් කොටසක් බෙදීම.
අපි හිතමු අපි 3/4 න් 3/8 න් බෙදන්න ඕන කියලා. බෙදීමෙන් ලැබෙන සංඛ්‍යාවෙන් අදහස් වන්නේ කුමක්ද? 3/4 භාගයේ 3/8 කොටස කොපමණ වාර ගණනක් අඩංගු වේද යන ප්‍රශ්නයට එය පිළිතුරු දෙනු ඇත. මෙම ගැටළුව තේරුම් ගැනීම සඳහා, අපි චිත්රයක් සාදා ගනිමු (රූපය 20).
අපි AB කොටසක් ගෙන එය එකක් ලෙස ගෙන එය සමාන කොටස් 4 කට බෙදා එවැනි කොටස් 3 ක් සලකුණු කරමු. AC කොටස AB කොටසින් 3/4 ට සමාන වේ. අපි දැන් මුල් කොටස් හතරෙන් එක බැගින් අඩකින් බෙදමු, එවිට AB කොටස සමාන කොටස් 8 කට බෙදනු ලබන අතර එවැනි එක් එක් කොටස AB කොටසෙන් 1/8 ට සමාන වේ. අපි එවැනි කොටස් 3 ක් චාප සමඟ සම්බන්ධ කරමු, එවිට එක් එක් AD සහ DC කොටස් AB කොටසෙන් 3/8 ට සමාන වේ. චිත්‍රයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ 3/8 ට සමාන ඛණ්ඩයක් හරියටම 2 වතාවක් 3/4 ට සමාන කොටසක අඩංගු වන බවයි; මෙයින් අදහස් කරන්නේ බෙදීමේ ප්රතිඵලය පහත පරිදි ලිවිය හැකි බවයි.
3 / 4: 3 / 8 = 2
අපි තවත් උදාහරණයක් බලමු. අපි 15/16 3/32 න් බෙදිය යුතු යැයි කියමු:
අපට මෙසේ තර්ක කළ හැකිය: 3/32 න් ගුණ කිරීමෙන් පසු 15/16 ට සමාන නිෂ්පාදනයක් ලබා දෙන අංකයක් අපට සොයාගත යුතුය. ගණනය කිරීම් මේ ආකාරයට ලියමු:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 නොදන්නා අංකය x 15/16 වේ
නොදන්නා අංකයකින් 1/32 x වේ,
අංක 32/32 x වෙස් ගන්වන්න .
එබැවින්,
මේ අනුව, භාගයක් භාගයකින් බෙදීමට, ඔබ පළමු භාගයේ සංඛ්යාව දෙවැන්නේ හරයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර, පළමු භාගයේ හරය දෙවැන්නේ සංඛ්යාංකයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර පළමු නිෂ්පාදනයේ සංඛ්යාංකය බවට පත් කළ යුතුය. සහ දෙවැන්න හරය.
අපි අකුරු භාවිතයෙන් රීතිය ලියන්නෙමු:
බෙදීමේදී, කෙටි යෙදුම් හැකි ය, උදාහරණයක් ලෙස:
5. මිශ්ර සංඛ්යා බෙදීම.
මිශ්ර සංඛ්යා බෙදීමේදී, ඒවා ප්‍රථමයෙන් නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර, පසුව ලැබෙන භාග කොටස් බෙදීමේ නීතිවලට අනුව බෙදිය යුතුය. අපි උදාහරණයක් බලමු:
මිශ්ර සංඛ්යා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කරමු:
දැන් අපි බෙදමු:
මේ අනුව, මිශ්ර සංඛ්යා බෙදීමට, ඔබ ඒවා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර පසුව භාග බෙදීම සඳහා රීතිය භාවිතයෙන් බෙදිය යුතුය.
6. එහි දී ඇති භාගයෙන් අංකයක් සොයා ගැනීම.
විවිධ භාග ගැටළු අතර, සමහර විට නොදන්නා අංකයක යම් කොටසක අගය ලබා දී ඇති අතර ඔබට මෙම අංකය සොයාගත යුතුය. මෙම ආකාරයේ ගැටලුවක් ලබා දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවේ ප්රතිලෝම වේ; එහිදී අංකයක් ලබා දී ඇති අතර මෙම සංඛ්‍යාවෙන් යම් කොටසක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය විය, මෙහි අංකයකින් කොටසක් ලබා දී මෙම අංකයම සොයා ගැනීමට අවශ්ය විය. අපි මේ ආකාරයේ ගැටලුවක් විසඳීමට යොමු වුවහොත් මෙම අදහස වඩාත් පැහැදිලි වනු ඇත.
කාර්යය 1.පළමු දිනයේදී, ග්ලැසියර් විසින් ජනේල 50 ක් ඔප දැමූ අතර එය ඉදිකරන ලද නිවසේ සියලුම ජනේල වලින් 1/3 කි. මෙම නිවසේ ජනේල කීයක් තිබේද?
විසඳුමක්.ගැටලුව පවසන්නේ ඔප දැමූ කවුළු 50 ක් නිවසේ සියලුම ජනේල වලින් 1/3 ක් වන බවයි, එයින් අදහස් කරන්නේ මුළු ජනේල 3 ගුණයකින් වැඩි බවයි, එනම්.
නිවසේ ජනෙල් 150ක් තිබුණා.
කාර්යය 2.ගබඩාවේ තිබු මුළු පිටි තොගයෙන් 3/8ක් වන පිටි කිලෝග්‍රෑම් 1500ක් අලෙවි විය. ගබඩාවේ ආරම්භක පිටි සැපයුම කුමක්ද?
විසඳුමක්.ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, විකුණන ලද පිටි කිලෝග්‍රෑම් 1,500 මුළු තොගයෙන් 3/8 ක් වන බව පැහැදිලිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම සංචිතයෙන් 1/8 3 ගුණයකින් අඩු වනු ඇති බවයි, එනම් එය ගණනය කිරීම සඳහා ඔබ 1500 කින් 3 ගුණයකින් අඩු කළ යුතුය:
1,500: 3 = 500 (මෙය රක්ෂිතයෙන් 1/8කි).
නිසැකවම, සම්පූර්ණ සැපයුම 8 ගුණයකින් විශාල වනු ඇත. එබැවින්,
500 8 = 4,000 (කිලෝ ග්රෑම්).
ගබඩාවේ ආරම්භක පිටි තොගය කිලෝ 4000 කි.
මෙම ගැටළුව සලකා බැලීමෙන්, පහත රීතිය ව්‍යුත්පන්න කළ හැක.
එහි භාගයේ දී ඇති අගයකින් අංකයක් සොයා ගැනීමට, මෙම අගය භාගයේ සංඛ්යාංකයෙන් බෙදීම සහ ප්රතිඵලය භාගයේ හරයෙන් ගුණ කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.
එහි භාගය ලබා දී ඇති අංකයක් සෙවීමේදී අපි ගැටලු දෙකක් විසඳා ගත්තෙමු. එවැනි ගැටළු, විශේෂයෙන් පැහැදිලිව පෙනෙන පරිදි, ක්‍රියා දෙකකින් විසඳනු ලැබේ: බෙදීම (එක් කොටසක් සොයාගත් විට) සහ ගුණ කිරීම (සම්පූර්ණ අංකය සොයාගත් විට).
කෙසේ වෙතත්, අපි භාග බෙදීම ඉගෙන ගත් පසු, ඉහත ගැටළු එක් ක්‍රියාවකින් විසඳා ගත හැකිය, එනම්: භාගයකින් බෙදීම.
උදාහරණයක් ලෙස, අවසාන කාර්යය මෙවැනි එක් ක්‍රියාවකින් විසඳිය හැකිය:
අනාගතයේදී, අපි එහි භාගයෙන් අංකයක් සොයා ගැනීමේ ගැටළු එක් ක්‍රියාවකින් විසඳන්නෙමු - බෙදීම.
7. අංකයක් එහි ප්‍රතිශතයෙන් සොයා ගැනීම.
මෙම ගැටළු වලදී ඔබට එම සංඛ්‍යාවෙන් සියයට කිහිපයක් දැනගෙන අංකයක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වනු ඇත.
කාර්යය 1.මෙම වසර ආරම්භයේදී මට ඉතිරි කිරීමේ බැංකුවෙන් රුබල් 60 ක් ලැබුණි. මම වසරකට පෙර ඉතුරුම් වලට දැමූ මුදලෙන් ආදායම. මම ඉතුරුම් බැංකුවේ කොපමණ මුදලක් දමා තිබේද? (මුදල් මේස තැන්පත්කරුවන්ට වසරකට 2% ක ප්‍රතිලාභයක් ලබා දෙයි.)
ගැටලුවේ කාරණය නම් මම යම් මුදලක් ඉතිරි කිරීමේ බැංකුවක දමා වසරක් එහි රැඳී සිටීමයි. අවුරුද්දකට පසු මට ඇයගෙන් රුබල් 60 ක් ලැබුණි. ආදායම, එය මා තැන්පත් කළ මුදලින් 2/100 කි. මම කොච්චර සල්ලි දැම්මද?
ප්‍රති, ලයක් වශයෙන්, මෙම මුදලින් කොටසක් දැන ගැනීම, ක්‍රම දෙකකින් ප්රකාශිත (රූබල් සහ භාග වලින්), අපි තවමත් නොදන්නා මුළු මුදලම සොයාගත යුතුය. මෙය එහි භාගය ලබා දී ඇති සංඛ්‍යාවක් සොයා ගැනීමේ සාමාන්‍ය ගැටලුවකි. පහත සඳහන් ගැටළු බෙදීම මගින් විසඳනු ලැබේ:
මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඉතුරුම් බැංකුවේ රුබල් 3,000 ක් තැන්පත් කර ඇති බවයි.
කාර්යය 2.ධීවරයින් සති දෙකක් තුළ 64% කින් මාසික සැලැස්ම සම්පූර්ණ කර මාළු ටොන් 512 ක අස්වැන්නක් ලබා ගත්හ. ඔවුන්ගේ සැලැස්ම කුමක්ද?
ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් ධීවරයින් සැලැස්මේ කොටසක් සම්පූර්ණ කළ බව දන්නා කරුණකි. මෙම කොටස ටොන් 512 ට සමාන වන අතර එය සැලැස්මෙන් 64% කි. සැලැස්මට අනුව මාළු ටොන් කීයක් සකස් කළ යුතුදැයි අපි නොදනිමු. මෙම අංකය සොයා ගැනීම ගැටලුවට විසඳුම වනු ඇත.
එවැනි ගැටළු බෙදීම මගින් විසඳනු ලැබේ:
මෙයින් අදහස් කරන්නේ සැලැස්මට අනුව මාළු ටොන් 800 ක් සකස් කළ යුතු බවයි.
කාර්යය 3.දුම්රිය රීගා සිට මොස්කව් දක්වා ගියේය. ඔහු 276 වැනි කිලෝමීටරය පසු කරන විට එක් මගියෙක් ඒ අසල සිටි කොන්දොස්තරවරයකුගෙන් ඔවුන් ඒ වන විටත් ගමනෙන් කොපමණ ප්‍රමාණයක් ආවරණය කර ඇත්දැයි විමසීය. ඊට කොන්දොස්තරවරයා මෙසේ පිළිතුරු දුන්නේය: "අපි දැනටමත් මුළු ගමනෙන් 30% ක් ආවරණය කර ඇත." රීගා සිට මොස්කව් දක්වා ඇති දුර කුමක්ද?
ගැටළු තත්වයන්ගෙන් පැහැදිලි වන්නේ රීගා සිට මොස්කව් දක්වා මාර්ගයෙන් 30% කි.මී 276 කි. අපි මෙම නගර අතර සම්පූර්ණ දුර සොයා ගත යුතුය, එනම්, මෙම කොටස සඳහා, සම්පූර්ණ සොයා ගන්න:
§ 91. අන්යෝන්ය සංඛ්යා. බෙදීම ගුණ කිරීම සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම.
අපි 2/3 කොටස ගෙන හරය වෙනුවට සංඛ්යාංකය ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු, අපට 3/2 ලැබේ. මෙම භාගයේ ප්‍රතිලෝමය අපට ලැබුණි.
ලබා දී ඇති කොටසක ප්‍රතිලෝමය ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ එහි සංඛ්යාව හරය වෙනුවට ද හරය අංකනය වෙනුවට ද තැබිය යුතුය. මේ ආකාරයෙන් අපට ඕනෑම භාගයක ප්‍රතිවර්තනය ලබා ගත හැකිය. උදාහරණ වශයෙන්:
3/4, ප්රතිලෝම 4/3; 5/6, ප්රතිලෝම 6/5
පළමුවැන්නෙහි සංඛ්යාංකය දෙවැන්නෙහි හරය වන අතර පළමුවැන්නෙහි හරය දෙවැන්නෙහි සංඛ්යාංකය වන ගුණාංගය ඇති භාග දෙකක් හඳුන්වනු ලැබේ. අන්යෝන්ය වශයෙන් ප්රතිලෝම.
දැන් අපි හිතමු 1/2 හි ප්‍රත්‍යාවර්තය වන්නේ කුමන භාගයද කියා. නිසැකවම, එය 2 / 1 හෝ 2 ක් වනු ඇත. ලබා දී ඇති එකේ ප්රතිලෝම භාගය සෙවීමෙන්, අපට නිඛිලයක් ලැබේ. මෙම නඩුව හුදකලා නොවේ; ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව, 1 (එකක්) සංඛ්‍යාවක් සහිත සියලුම භාග සඳහා, ප්‍රත්‍යාවර්ත නිඛිල වනු ඇත, උදාහරණයක් ලෙස:
1/3, ප්රතිලෝම 3; 1/5, ප්රතිලෝම 5
පරස්පර භාග සොයා ගැනීමේදී අපට පූර්ණ සංඛ්යා ද හමු වූ බැවින්, පහත දැක්වෙන දේවලදී අපි කතා කරන්නේ ප්‍රත්‍යාවර්ත භාග ගැන නොව ප්‍රත්‍යාවර්ත සංඛ්යා ගැන ය.
පූර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්රතිලෝම ලියන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. භාග සඳහා, මෙය සරලව විසඳිය හැකිය: ඔබ අංකනය වෙනුවට හරය තැබිය යුතුය. මේ ආකාරයෙන්ම, ඔබට පූර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිලෝමය ලබා ගත හැකිය, මන්ද ඕනෑම නිඛිලයකට 1 හි හරයක් තිබිය හැකි බැවිනි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 7 හි ප්‍රතිලෝමය 1/7 වනු ඇති බවයි, මන්ද 7 = 7/1; අංක 10 සඳහා ප්රතිලෝම 1/10 වනු ඇත, මන්ද 10 = 10/1
මෙම අදහස වෙනස් ආකාරයකින් ප්රකාශ කළ හැකිය: දී ඇති අංකයකින් එකක් බෙදීමෙන් ලබා දී ඇති සංඛ්‍යාවක අන්යෝන්ය අගය ලබා ගනී. මෙම ප්රකාශය සම්පූර්ණ සංඛ්යා සඳහා පමණක් නොව, භාග සඳහාද සත්ය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට 5/9 භාගයේ ප්‍රතිලෝමය ලිවීමට අවශ්ය නම්, අපට 1 ගෙන එය 5/9 න් බෙදිය හැකිය, i.e.
දැන් අපි එක දෙයක් පෙන්වා දෙමු දේපලඅපට ප්රයෝජනවත් වන අන්යෝන්ය සංඛ්යා: පරස්පර සංඛ්‍යාවල ගුණිතය එකකට සමාන වේ.ඇත්ත වශයෙන්ම:
මෙම ගුණාංගය භාවිතා කරමින්, අපට පහත ආකාරයෙන් ප්‍රතිවර්ත සංඛ්යා සොයාගත හැකිය. අපි කියමු අපි 8 හි ප්‍රතිලෝමය සොයා ගත යුතුයි.
අපි එය අකුරින් දක්වමු x , පසුව 8 x = 1, එබැවින් x = 1/8. අපි 7/12 හි ප්රතිලෝම වන වෙනත් සංඛ්‍යාවක් සොයාගෙන එය අකුරින් දක්වමු x , පසුව 7/12 x = 1, එබැවින් x = 1: 7/12 හෝ x = 12 / 7 .
භාග බෙදීම පිළිබඳ තොරතුරු තරමක් අතිරේක කිරීම සඳහා අපි ප්‍රතිවර්ත සංඛ්යා පිළිබඳ සංකල්පය මෙහි හඳුන්වා දුන්නෙමු.
අපි අංක 6 න් 3/5 න් බෙදූ විට, අපි පහත දේ කරමු:
ප්‍රකාශනය කෙරෙහි විශේෂ අවධානයක් යොමු කර එය ලබා දී ඇති එක සමඟ සසඳන්න: .
අපි ප්‍රකාශනය වෙන වෙනම ගතහොත්, පෙර එක සමඟ සම්බන්ධ නොවී, එය පැමිණියේ කොහෙන්ද යන ප්‍රශ්නය විසඳිය නොහැක: 6 න් 3/5 න් බෙදීමෙන් හෝ 6 න් 5/3 න් ගුණ කිරීමෙන්. අවස්ථා දෙකේදීම සිදුවන්නේ එකම දෙයයි. ඒ නිසා අපිට කියන්න පුළුවන් එක් සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම බෙදුම්කරුගේ ප්‍රතිලෝමයෙන් ලාභාංශ ගුණ කිරීමෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකි බව.
පහත දැක්වෙන උදාහරණ මෙම නිගමනය සම්පූර්ණයෙන්ම තහවුරු කරයි.
