සයිනස් ආකල්පයට සමාන වේ. සයිනස්, කොසිනස්, ටැන්ජන්ට්, උග්ර කෝණයේ බඳුන්

දේශනය: සයිනස්, කොසයින්, ටැන්ජන්ට්, ටේන්ජන්ට්, කැඳවන අත්තනෝමතික කෝණය

සයින්, අත්තනෝමතික කෝණයක කොසීන්

ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත මොනවාදැයි තේරුම් ගැනීමට, එක් අරයකින් වට ප්රමාණය දෙසට හැරෙන්න. මෙම කවය ඛණ්ඩාංක තලය පිළිබඳ ඛණ්ඩාංක ආරම්භයේ දී මධ්යස්ථානයක් ඇත. නිශ්චිත කාර්යයන් තීරණය කිරීම සඳහා, අපි අථ අරය-දෛශිකයක් භාවිතා කරන්නෙමු හෝඑය වට ප්රමාණයේ මධ්යයේ සහ කාරණය R එය රවුම් ලක්ෂ්යයකි. මෙම අරය දෛශිකය අක්ෂය සමඟ ඇල්ෆා කෝණයක් සාදයි ඔහ්. රවුමට අහම්බයක් එකකට සමාන බැවින් හෝ \u003d R \u003d 1.

කාරණයෙන් නම් R අක්ෂයට ලම්බකව ඔහ්, අපට සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ලබා ගන්නේ හයිපොතෙරූස් එකකට සමාන වේ.

අරය-දෛශිකය දක්ෂිණාවර්තව ගමන් කරන්නේ නම්, මෙම දිශාව කැඳවනු ලැබේ සෘණඑය දක්ෂිණාවර්තව ගමන් කිරීමට එරෙහිව ගමන් කරන්නේ නම් - ධනාත්මක.

සයිනස් කෝනර් හෝ, ආ d ා පනත වේ R රවුමේ දෛශිකය.

එනම්, මෙම ඇල්ෆාගේ කෝණයේ සයිනස් වල වටිනාකම ලබා ගැනීම සඳහා, ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ ඩබ්ලිව්. මතුපිට.

මෙම අගයෙහි වටිනාකම කෙසේද? සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක අත්තනෝමතික කෝණයක සයින් යනු උපකල්පිත කාණ්ඩය සඳහා ප්රතිවිරුද්ධ කාණ්ඩයක ආකල්පය වන බව අප දන්නා බැවින් අපට එය ලැබෙන්නේ

එතැන් සිට R \u003d 1.ටී. පාපය (α) \u003d y 0 .

තනි කවයක, ආ in ා පනතේ වටිනාකම අඩු කළ නොහැක -1 සහ 1 ට වඩා අඩු විය නොහැක, එයින් අදහස් වන්නේ එයයි

එක් කවයක පළමු හා දෙවන කාර්තුවේදී සයිනස් ධනාත්මක අගයක් ගන්නා අතර තුන්වන හා සිව්වන ස්ථානයේ - .ණාත්මක ය.

කොසයින් කෝනර් අරය දෛශිකයෙන් සෑදී ඇති මෙම කවය හෝ, අබ්සිස්සා ලක්ෂ්යයයි R රවුමේ දෛශිකය.

එනම්, ඇල්ෆා හි මෙම කෝණයේ කොසයින් වටිනාකමක් ලබා ගැනීම සඳහා, ඛණ්ඩාංකය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ එච්. මතුපිට.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක අත්තනෝමතික කෝණයක කොසයින් යනු උපකල්පිත කාණ්ඩය සඳහා යාබද කාණ්ඩයේ අනුපාතයයි, අපට එය ලැබේ

එතැන් සිට R \u003d 1.ටී. cOS (α) \u003d x 0 .

තනි කවයක, අබ්සිස්සා අගය අඩු විය නොහැක --1 සහ 1 ට වඩා, එයින් අදහස් වේ

කොසයින් එක කවයක පළමු හා හතරවන කාර්තුවල ධනාත්මක අගයක් ලබා ගන්නා අතර දෙවන හා තෙවනුව - නුවණ වේ.

ටැනර්ජිස් අත්තනෝමතික කෝනර් කොසයින් වෙත සයිනස්ගේ අනුපාතය සලකා බලනු ලැබේ.

අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණය සලකා බැලුවහොත්, මෙය පිළිවෙලට යාබදව ප්රතිවිරුද්ධ කාණ්ඩයේ අනුපාතයයි. අප තනි කවයක් ගැන කතා කරන්නේ නම්, මෙය සාමාන්ය තත්වයට පත්වේ.

මෙම සබඳතා අනුව, අබ්සිකිස්ස අගය ශුන්ය වුවහොත්, එය අංශක 90 ක කෝණයකින් සිදු වුවහොත් ස්පර්ශක පැවතිය නොහැකි බව තේරුම් ගත හැකිය. ස්පර්ශකවල අනෙකුත් සියලුම සාරධර්ම ගත හැකිය.

ටේන්ජන්ට් එක කවයක පළමු හා තෙවන කාර්තුව තුළ ධනාත්මක අගයක් ඇති අතර, දෙවන හා හතරවන හා සිව්වැන්න .ණාත්මක ය.

විද්යාව මෙන් ත්රිකෝණමිතිය, පෘථිවි නැගෙනහිරින් ආරම්භ විය. පළමු ත්රිකෝණමිතික අනුපාත ව්යුහ විද්යා rs යින් විසින් නිවැරදි දින දර්ශනයක් නිර්මාණය කිරීම සහ තාරකා කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීම සඳහා තාරකා විද්යා rs යින් විසින් ව්යුත්පන්න කරන ලදී. මෙම ගණනය කිරීම් ගෝලාකාර ත්රිකෝණමිතියට අයත් වන අතර පාසල් පා course මාලාවේදී, පාර්ශ්වික පාර්ශවයන්ගේ අනුපාත සහ පැතලි ත්රිකෝණයක කෝණයක් අධ්යයනය කරනු ලැබේ.

ත්රිකෝණමිතිය යනු ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල ගුණාංගවල නියැලී සිටින ගණිතයේ කොටසක් වන අතර එය ත්රිකෝණවල පාර්ශවයන් සහ කොන් අතර යැපීම අතර වේ.

පළමු සහස්රයේ සංස්කෘතියේ හා විද්යාවේ උච්චතම අවස්ථාව වන විට, අපගේ දැනුමේ යුගයේ පුරාණ නැගෙනහිර සිට ග්රීසියේ සිට ග්රීසියට පැතිරී තිබේ. නමුත් ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ ප්රධාන සොයාගැනීම් අරාබි කැලිපේට්ගේ ස්වාමිපුරුෂයන්ගේ සුදුසුකමයි. විශේෂයෙන් තුර්කි විද්යා ist අල්-මාරස්වි ටැන්ජන්ට් සහ කෝටන් බෝතල් වැනි කාර්යයන් සඳහා පිලියන සාරධර්ම, ස්පර්ශක සහ කැළඹිලි සඳහා පළමු වගු සම්පාදනය කළේය. සයින් සහ කොසයින් පිළිබඳ සංකල්පය ඉන්දියානු විද්යා .යන් විසින් හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. යුක්ලීඩියා, ආකිමිඩීස් සහ එරතොස්තේන් වැනි පෞරාණිකත්වයේ මෙතරම් ශ්රේෂ් leadershiple කේන්ද්රීය ජාතිකයන්ගේ ලේඛනවල ත්රිකෝණමිතිය කෙරෙහි වැඩි අවධානයක් යොමු කරනු ලැබේ.

ත්රිකෝණමිතිකෙහි ප්රධාන අගයන්

සංඛ්යාත්මක තර්කයේ ප්රධාන ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයන් වන සයිනස්, කොසයින්, ස්පර්ශක හා කැළඹිලි. ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම කාලසටහනක් ඇත: සයිනසොයිඩ්, කොසීනීඩා, ටැනිගොයිඩ් සහ කැටන්ජෙන්සොයිඩ්.

නිශ්චිත ප්රමාණයේ අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රවල පදනම පයිතගරෝ ප්රමේයයයි. පාසැල් ළමුන් වචන වලින් වඩා දන්නා "" පයිතගරස් කලිසම්, සමානව සුළු වශයෙන් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් පිළිබඳ උදාහරණයක් පිළිබඳ සාක්ෂි ලබා දෙන බැවින්, සෑම දිශාවකටම සෑම දිනයක්ම සමාන වේ "යනුවෙනි.

සයිනස්, කොසයින් සහ වෙනත් යැපීම් ඕනෑම සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කොන් සහ පැති අතර සම්බන්ධයක් ඇති කරයි. කෝණය සඳහා මෙම අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා අපි සූත්ර ලබා දෙන අතර ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල සම්බන්ධතාවය සොයා ගන්න:

දැකිය හැකි පරිදි, TG සහ CTG ප්රතිලෝම ශ්රිත වේ. ඔබ පෑන අහුම් කැබැල්ලක් සහ උපකල්පිතයන් සමඟ පිපිරීමක් ඉදිරිපත් කරන්නේ නම්, ඒ * සී රෝල් කරන්න,

ත්රිකෝණමිතික කවය

ප්රස්ථාරිකව, එකී අගයන් අනුපාතය පහත පරිදි නිරූපණය කළ හැකිය:

රවුම, මේ අවස්ථාවේ දී, හැකි සෑම කෝක්ෂයක්ම α - 0 ° සිට 360 t දක්වා. රූපයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, සෑම ශ්රිතයක්ම කෙළවරේ වටිනාකම අනුව negative ණ හෝ ධනාත්මක අගයක් ගනී. නිදසුනක් වශයෙන්, රවුමේ කාර්තුවේ i සහ II ට අයත් නම්, α "ලකුණ සමඟ, එනම් 180 that ට 0 ° සිට 180 than දක්වා වේ. Α සිට 360 ° (III සහ IV නිල නිවාසය) සමඟ, පාපය α විය හැක්කේ negative ණාත්මක වටිනාකමක් පමණි.

විශේෂිත කෝණ සඳහා ත්රිකෝණමිතික වගු සෑදීමට උත්සාහ කර සාරධර්මවල වටිනාකම සොයා ගනිමු.

45 °, 45 °, 60 °, 180 °, °, 180 °, 180 °, 180 °, 180 °, 180 °, 180 °, 180 °, 180 °, 180 °, °, සහ විශේෂ අවස්ථා ලෙස හැඳින්වේ. ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් ඒවා සඳහා ගණනය කරනු ලබන අතර ඒවා විශේෂ වගු ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ.

මෙම කෝණ කිසිදු සිදුවීමකින් තෝරා නොගනී. වගුවල ඇති නම් කිරීම රේඩිය වැටියන් වෙනුවෙන් පෙනී සිටී. රැඩ් යනු වට ප්රමාණය පිළිබඳ arc එහි අරය වලට අනුරූප වන කෝණයකි. රේඩියියන් ගණනය කිරීමේදී විශ්වීය යැපීමක් ඇති කිරීම සඳහා මෙම අගය හඳුන්වා දෙන ලදී, සෙ.මී.හි සැබෑ අරය දිග වැදගත් නොවේ.

ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත සඳහා මේසවල කොන් රේඩියන් වටිනාකම් වලට අනුරූප වේ:

එබැවින්, 2π 2π සම්පූර්ණ කවයක් හෝ 360 ° යනු යැයි අනුමාන කිරීම අපහසු නැත.

ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල ගුණාංග: සයිනස් සහ කොසීන්

සයිනස් සහ කොසයින්, ටැන්ජන්ට් සහ කැටනොජන් වල ප්රධාන ගුණාංග සලකා බලා සංසන්දනය කිරීම සඳහා, ඔවුන්ගේ කාර්යයන් ඇද ගැනීම අවශ්ය වේ. ද්විමාන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක පිහිටා ඇති වක්රයක ස්වරූපයෙන් මෙය කළ හැකිය.

සයිනසොයොයිඩ් සහ කොසිඩීඩ්ස් සඳහා සංසන්දනාත්මක දේපල වගුවක් සලකා බලන්න:

සයිනසොයිඩ්	කොසිනූසොයිඩ්
y \u003d පාපය x	y \u003d COS X.
Odz [-1; එක]	Odz [-1; එක]
පාපය X \u003d 0, X \u003d πk, k ε z	cOS X \u003d 0, X \u003d ε / 2 + π π ε ε ε ε ε z
x \u003d ε / 2 + 2πk හි පාපය X \u003d ε / 2 + 2πk, k ε z	cOS X \u003d 1, X \u003d 2πk, k ε z
x \u003d 3π / 2 + 2 ad ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε z	cOS X \u003d - 1, X \u003d π + 2πk හි k ε z
පාපය (-X) \u003d - පාපය X, I.E. ක්රියාකාරිත්වය අමුතුයි	cOS (-X) \u003d COS X, I.E. ක්රියාකාරිත්වය පවා ඇත
	උත්සව කාලගුණික, කුඩාම කාල පරිච්ඡේදය - 2π
රයිස් x\u003e 0, X -Sted I සහ II නිල නිවාස හෝ 0 ° සිට 180 ° දක්වා (2πk, π + 2πk)	x-X-X-X-& IV නිල නිවාස හෝ 270 of සිට 90 ° දක්වා COS X\u003e 0 හෝ (- π + 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
රයිස් X \u003c0, X-X-XATED III සහ IV නිල නිවාස හෝ 180 ° සිට 360 ° දක්වා (π + 2πk, 2π + 2πk)	cOS x \u003c0, x-x සහ තෙවන කාර්තු සහිත හෝ 90 ° සිට 270 ° දක්වා (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk)
පරතරය වැඩි කිරීම [- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk]	පරතරය වැඩි කිරීම [-π + 2πk, 2πk]
[π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk] හි අන්තර් ස්ථානවල අඩු වේ]	කාල පරාසයන්හි අඩු වේ
ව්යුත්පන්න (SIN X) \u003d COS X.	ව්යුත්පන්න (COS X) '\u003d - පාපය x

ශ්රිතය පවා හෝ ඉතා සරලද යන්න තීරණය කරන්න. ත්රිකෝණමිතික සාරධර්මවල සලකුණු සහිත ත්රිකෝණමිතික කවයක් සහ මානසිකව "නැමුණු" හි සලකුණු සහිතව, මානසිකව "නැමුණු" යන කාලසටහනක් සමඟ ඉදිරිපත් කිරීමට එය ප්රමාණවත් වේ. සං signs ා සමපාත නම්, ශ්රිතය පවා, එසේ නොමැතිනම් - අමුතුයි.

රේඩියියන් හඳුන්වාදීම සහ සයිනසොයිඩ් වල ප්රධාන ගුණාංග සහ කොසිනයිඩ් වල ප්රධාන ගුණාංග මාරු කිරීම ඔබට පහත විධිමත් භාවය ගෙන ඒමට ඉඩ දෙයි:

සූත්රය ඉතා සරල බව තහවුරු කරගන්න. උදාහරණයක් ලෙස, X \u003d π / 2 සයිනස් සඳහා 1, මෙන්ම කොසීන් X \u003d 0 වේ. ඔබට වගු සඳහා පරීක්ෂා කළ හැකිය හෝ නිශ්චිත අගයන් සඳහා කාර්යයන් පිළිබඳ කාර්යයන් සොයා ගත හැකිය.

ටැනර්ගන්සොයිඩ් සහ කොටන්ජන්සොයිඩ් වල ගුණාංග

ස්පර්ශක හා කෝට්ස්තන්ජන්ගේ කාර්යයන්හි ප්රස්තාර සයිනසොයිඩ් සහ කොසයින්ඩ්ස් වලින් සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ. TG සහ CTG හි අගයන් එකිනෙකා වෙත නැවත පැමිණ ඇත.

Y \u003d tg x.
ටයිංජන්ට් ඔකොයිඩ් X \u003d π / 2 + π + am හි y \u003d π + π + සාරධර්ම සඳහා නැඹුරු වේ, නමුත් කිසි විටෙකත් ඒවා කරා ළඟා නොවේ.
ටැංකිසොයිඩ් හි අඩුම ධනාත්මක කාලය or ට සමාන වේ.
Tg (- x) \u003d - tg x, i.e., කාර්යය අමුතුයි.
Tg x \u003d 0, X \u003d πk.
කාර්යය වැඩි වෙමින් පවතී.
Tg x\u003e 0, x ε (π, π / 2 + π π).
X. ε (- π / 2 + π, π කේ, π) tg x \u003c0,.
ව්යුත්පන්න (tg x) '\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

පෙළට පහළින් ඇති කැටනොන්ජන්සොයිඩ් වල ග්රැෆික් රූපය සලකා බලන්න.

කොටන්ජන්සොයිඩ් වල ප්රධාන ගුණාංග:

Y \u003d ctg x.
ටයිජන්ට්සොයිඩ් Y හි සයිනස් සහ කොසයින් වල ක්රියාකාරිත්වය මෙන් නොව, බොහෝ වලංගු අංකවල අගයන් ගත හැකිය.
KothangeNSoid X \u003d πk හි y \u003d π at හි y සාරවත් වෙනස් වේ, නමුත් කිසි විටෙකත් ඒවා කරා ළඟා නොවේ.
කැටන්ජන්සොයිඩ් හි කුඩාම ධනාත්මක කාලය or ට සමාන වේ.
සීටීජී (- X) \u003d - CTG X, I.E. ක්රියාකාරිත්වය අමුතුයි.
X \u003d π / 2 + π හි ctg x \u003d 0.
ශ්රිතය බැස යමින් තිබේ.
CTG X\u003e 0, X.w (π, π / 2 + π +).
X.w (ε / 2 + πk, π) ε (ε + π) ctg x \u003c0.
ව්යුත්පන්න (සීටීජී එක්ස්) '\u003d - 1 / පාපය 2 \u2061x නිවැරදි කරන්න

සයිනස්ව සොයා ගන්නේ කෙසේද?

ජ්යාමිතිය අධ්යයනය කිරීම සිතීමට උපකාරී වේ. මෙම අයිතමය අනිවාර්යයෙන්ම පාසල් පුහුණුවට යයි. ජීව ශක්තියෙන්, මෙම විෂය පිළිබඳ දැනුම ප්රයෝජනවත් විය හැකිය - නිදසුනක් වශයෙන්, මහල් නිවාසයක් සැලසුම් කිරීමේදී.

ඉතිහාසයෙන්

ජ්යාමිතියක කොටසක් ලෙස ත්රිකෝණමිතිය ද ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත ගවේෂණය කරයි. ත්රිකෝණමිතික වලදී, අපි කෝපය, කොසයින්, නගර හා කෙළවරේ කැටයම් අධ්යයනය කරමු.

නමුත් මේ මොහොතේ, අපි සරලම සයිනස් සමඟ ආරම්භ කරමු. පළමු සංකල්පය වඩාත් විස්තරාත්මකව සලකා බලමු - ජ්යාමිතියෙහි සයිනස් කෝණය. සයින් සහ එය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

"සයිනස් කෝණය" සහ සයිනසොයිඩ් පිළිබඳ සංකල්පය

කොනියස් සයිනස් යනු ප්රතිවිරුද්ධ කාණ්ඩයේ අගයන් සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයේ උපකල්පනවල අනුපාතයයි. මෙය සෘජු ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයක් වන අතර, ලිපියෙහි "පාපය (X)" ලෙස දැක්වේ, එහිදී (x) යනු ත්රිකෝණයේ කෝණයයි.

කෙළවරේ සයිනස් තමන්ගේම ලක්ෂණ සහිත සයිනසොයිඩ් විසින් දැක්වේ. ත්යාගිකලික තලයේ ඇති ඇතැම් රාමු යටතේ සයිනූසොයිඩ් අඛණ්ඩ තරංග වැනි රේඛාවක් මෙන් පෙනේ. එබැවින් කාර්යයන් අමුතුයි, එබැවින් ඛණ්ඩාංකයේ තලයේ 0 ට සාම්මමිතික වේ (එය ඛණ්ඩාංකයේ මූලාරම්භයෙන් පිටතට පැමිණේ).

මෙම ශ්රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ අංශය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ -1 සිට +1 දක්වා පරාසයක පවතී. කෙළවරේ ක්රියාකාරිත්වයේ කාල සීමාව 2 පයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෑම පයි ඇඳුමක්ම පුනරාවර්තනය වන අතර සයිනසොයිඩ් පූර්ණ චක්රයක් සමත් වන බවයි.

සයිනසොයිඩ් සමීකරණය

පාපය X \u003d A / C.
ත්රිකෝණයේ කෙළවර අල්ලා ගැනීම
සී - සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක හයිපොතෙයස්

සයිනස් කෙළවරේ ගුණාංග

පාපය (x) \u003d - පාපය (x). මෙම අංගය මඟින් ශ්රිතය සමමිතික බව පෙන්නුම් කරයි, X සහ (ය) අගය දෙපස ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කල් දමන්නේ නම්, මෙම කරුණුවල ආස්ථානයේ ප්රතිවිරුද්ධ වේ. ඔවුන් එකිනෙකාගෙන් සමාන දුරකින් සිටිනු ඇත.
මෙම විශේෂාංගයේ තවත් අංගයක් වන්නේ ඛණ්ඩය මත ප්රස්ථාරය වැඩි වන බවයි [- පී / 2 + 2 pn]; [P / 2 + 2pn], n යනු ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්යාවක්. කෙළවරේ ප්රස්ථාරයේ අඩුවීම ඛණ්ඩයේ නිරීක්ෂණය කෙරේ: [P / 2 + 2 pn]; [3P / 2 + 2pn].
පාපය (x)\u003e 0, x පරාසයේ ඇති විට (2PN, P + 2PN)
(x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

කෙළවරේ ඇති සාරධර්ම විශේෂ වගු අනුව තීරණය වේ. සංකීර්ණ සූත්ර හා සමීකරණ ගණනය කිරීමේ ක්රියාවලිය සඳහා පහසුකම් සැලසීම සඳහා එවැනි වගු නිර්මාණය කළේය. භාවිතා කිරීම පහසු වන අතර එහි ක්රියාකාරිත්වය පාපයේ (X) පමණක් නොව අනෙකුත් ශ්රිතවල සාරධර්ම ද අඩංගු වේ.

එපමණක් නොව, මෙම කාර්යයන්හි සම්මත වටිනාකම්වල සම්මත වටිනාකම් වගුව ගුණ කිරීමේ වගුවක් ලෙස මතකයේ අනිවාර්ය අධ්යයනයට ඇතුළත් වේ. භෞතික-ගණිත නැඹුරුවක් සහිත පන්ති සඳහා මෙය විශේෂයෙන් සත්ය වේ. කෝණවල ත්රිකෝණමිතික වල ඇති ප්රධාන සාරධර්ම මේසයට දැකගත හැකිය: 0, 15 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5, 95, 95, 95, 125, 180, 180, 270 සහ 185, 180, 270 සහ අංශක 360 යි.

සම්මත නොවන කෝණවල ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් තීරණය කරන වගුවක් ද තිබේ. විවිධ වගු භාවිතා කරමින්, ඔබට සයිනස්, කොසයින්, ටැන්ජන්ට් සහ කෝණ කිහිපයක් පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය.

ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත සමඟ සමීකරණ සම්පාදනය කෙරේ. මෙම සමීකරණ සරල කිරීම පහසුය, ඔබ සරල ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා දන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස, පාපය (N / 2 + X) \u003d COS (X) සහ වෙනත් අය. එවැනි ඩිලිබීස් සඳහා වෙනම මේසයක් ද සම්පාදනය කෙරේ.

සයින් කොනක් සොයා ගන්නේ කෙසේද

කර්තව්යය සයිනස් කෝණය සොයා ගැනීම සඳහා වන අතර, අපට ඇත්තේ කොසයින්, ස්පර්ශක හෝ කොනක් කැට්නාන්ජන්ට් පමණක් වන අතර, අපට අවශ්ය ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය.

පාපය 2 x + COS 2 X \u003d 1

මෙම සමීකරණය මත පදනම්ව, අපනයනය නොනවතින ආකාරය මත පදනම්ව අපට සයිනස් සහ කොසීන් යන දෙකම සොයාගත හැකිය. නොදන්නා කෙනෙකු සමඟ අපට ත්රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ඇත:

පාපය 2 x \u003d 1 - COS 2 X
පාපය x \u003d ± √ 1 - COS 2 X
සීටීජී 2 x + 1 \u003d 1 / පාපය 2 x

මෙම සමීකරණයෙන්, කෙළවරේ කෙළවරේ ඇති වටිනාකම දැන දැනම සයිනස් වල වටිනාකම ඔබට සොයාගත හැකිය. සරල කිරීම සඳහා, පාපය 2 x \u003d y ප්රතිස්ථාපනය කරන්න, එවිට ඔබට සරල සමීකරණයක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, කොටන්ජන්ස් වල වටිනාකම 1 වන අතර, පසුව:

1 + 1 \u003d 1 / y
2 \u003d 1 / y
2ow \u003d 1.
y \u003d 1/2.

දැන් අපි ක්රීඩාව ප්රතිස්ථාපනය කරමින් ආපසු හරවන්නෙමු:

පාපය 2 x \u003d ½
පාපය x \u003d 1 / √2

අපි සම්මත කෝණයක් සඳහා කොටන්ජෙනස්ගේ වටිනාකම ගත් බැවින් (45 0), ලබාගත් අගයන් වගුවේ පරීක්ෂා කළ හැකිය.

ඔබට ස්පර්ශක වටිනාකම ලබා දෙන්නේ නම්, ඔබට සයිනස්ව සොයා ගත හැකි වන අතර තවත් ත්රිකෝණමිතික අනන්යතාවයක් උපකාරී වේ:

tg x * ctg x \u003d 1

එය අනුගමනය කරයි:

ctg x \u003d 1 / tg x

සම්මත නොවන කෝණයක සයින් සොයා ගැනීම සඳහා, උදාහරණයක් ලෙස, 240 0, කොන් ගෙන ඒම සඳහා සූත්ර භාවිතා කිරීම අවශ්ය වේ. එක්සත් ජනපදයේ You 180 0 ට අනුරූප වන බව අපි දනිමු. මේ අනුව, අපක්ෂපාත මගින් සම්මත කෝණවල ආධාරයෙන් අපි අපගේ සමානාත්මතාවය ප්රකාශ කරමු.

240 0 = 180 0 + 60 0

අප පහත සඳහන් දෑ සොයා ගත යුතුය: පාපය (180 0 + 60 0). ත්රිකෝණමිතික වලදී ගෙන ඒමෙහි සූත්ර තිබේ, මෙම අවස්ථාවේ දී ප්රයෝජනවත් වේ. මෙය සූත්රයකි:

පාපය (π + x) \u003d - පාපය (x)

මේ අනුව, අංශක 240 ක කෝණයේ සයින්:

පාපය (180 0 + 60 0) \u003d - පාපය (60 0) \u003d - √3/2

අපගේ නඩුවේදී, පිළිවෙලින් අංශක 180 ක්, X \u003d 60, සහ P. අගය (-√3 / 2) සම්මත කෝණවල කාර්යයන්හි සාරධර්ම වගුවේ අපි සොයා ගත්තෙමු.

මේ ආකාරයෙන්, සම්මත නොවන කෝණ දිරාපත් විය හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස: 210 \u003d 180 +30.

සයිනස් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක α උග්ර කෝණය සම්බන්ධතාවයකි ප්රතිවිරුද්ධ උපකල්පිතය සඳහා cate.
දැක්වෙන්නේ: පාපය α.

කොසයින් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයේ α උග්ර කෝණය යනු උපකල්පිතය සඳහා යාබද කැටච් වල අනුපාතයයි.
පහත පරිදි දැක්වේ: COS α.

ස්පර්ශක උග්ර කෝණය α යනු යාබද කැතීලට් වෙත ප්රතිවිරුද්ධ සීට්ච්ගේ අනුපාතයයි.
ලෙස දැක්වෙන්නේ: tg α.

කෝටන්ජන්ට් උග්ර කෝණය α යනු යාබද සීට්ච්ගේ ප්රතිවිරුද්ධයට අනුපාතයයි.
ලෙස දැක්වෙන්නේ: ctg α.

සයින්, කොසයින්, ටැන්ජන්ට් සහ කැටන් සංස්කෘතීන් රඳා පවතින්නේ කෝණයේ විශාලත්වය මත පමණි.

නීති:

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා:

(α - තියුණු කෝණය, ප්රතිවිරුද්ධ කැතී බී. කැතීට යාබදව ඒ. . පැත්ත සිට - උපකල්පිතය. β - දෙවන තියුණු කෝණය).

බී. sin α \u003d - ඇ.	පාපය 2 α + COS 2 α \u003d 1
ඒ. COS α \u003d - ඇ.	1 1 + tg 2 α \u003d - COS 2 α.
බී. Tg α \u003d - ඒ.	1 1 + ctg 2 α \u003d - පාපය 2 α.
ඒ. CTG α \u003d - බී.	1 1 1 + -- = -- Tg 2 α sep 2 α
පාපය α. Tg α \u003d - COS α.

උග්ර කෝණය වැඩිවීමත් සමඟපාපය α I.tg α වැඩි වන අතර, සහcOS α අඩුවීම.

ඕනෑම උග්ර කෝණයක් සඳහා:

පාපය (90 ° - α) \u003d COS α

cOS (90 ° - °) \u003d පාපය

උදාහරණ පැහැදිලි කිරීම:

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයේ ABC හි යැයි සිතමු
Ab \u003d 6,
සන් \u003d 3,
කෝණය A \u003d 30º.

සයින් කෝණය ඒ හා කොසයින් කෝණය v.

තීරණය .

1) පළමුවෙන්ම අපට කෝණයේ විශාලත්වය සොයාගත හැකිය. සෑම දෙයක්ම සරල ය: සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක සිට, තියුණු කොන් වල එකතුව 90º, එවිට කෝණය b \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) පාපය ගණනය කරන්න ඒ. උපකල්පිත සඳහා සයිනස් ප්රතිවිරුද්ධ සීට්ච් හි ආකල්පයට සමාන බව අපි දනිමු. කෝණයක් හා ප්රතිවිරුද්ධ කැතීටරය ගුවන් යානයේ පැත්තක් සඳහා වේ. ඒ නිසා:

BC 3 1.
පාපය A \u003d - \u003d - \u003d -
Ab 6 2.

3) දැන් මම කොස් බී ගණනය කරමි. කොසයින් උපකල්පිත සඳහා යාබද කැටෙක්ගේ ආකල්පයට සමාන බව අපි දනිමු. යාබද කැතේට් වල කෝණයක් සඳහා, සූර්යයාගේ එකම පැත්ත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අප නැවත AV මත යානය නැවත බෙදිය යුතු බවයි - එනම් සයිනස් කෝණය ගණනය කිරීමේදී එකම ක්රියාමාර්ගයක් ගැනීම a:

BC 3 1.
COS B \u003d - \u003d - \u003d -
Ab 6 2.

එහි ප්රති As ලයක් ලෙස එය හැරෙන්නේ:
පාපය A \u003d COS B \u003d 1/2.

පාපය 30º \u003d COS 60º \u003d 1/2.

එක් උග්ර කෝණයක එක් උග්ර කෝණයක් එක් උග්ර කෝණයක් ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ සයිනස් තුළ තවත් උග්ර කෝණයක කොසයින් වලට සමාන වන අතර, අනෙක් අතට. අපේ සූත්ර දෙකේ තේරුම මෙයයි:
පාපය (90 ° - α) \u003d COS α
cOS (90 ° - °) \u003d පාපය

මෙය නැවත සහතික කරමු:

1) α \u003d 60º වේවා. සයින් සූත්රයේ α හි අගය අන්යබී, අපට ලැබේ:
පාපය (90º - 60º) \u003d COS 60º.
Sin 30º \u003d cos 60º.

2) α \u003d 30º. කොසයින් සූත්රයේ α හි අගය අන්යරූපීකරණය, අපට ලැබේ:
COS (90 ° - 30º) \u003d පාපය 30º.
COS 60 ° \u003d පාපය 30º.

(ත්රිකෝණමිතිය ගැන වැඩි විස්තර - වීජ ගණිතයේ තේරීමක් බලන්න)

ත්රිකෝණමිතිය අධ්යයනය කිරීම අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයකින් ආරම්භ කරමු. එවැනි සයිනස් හා කොසයින් මෙන්ම උග්ර කෝණයේ ස්පර්ශක හා කැටනොගන් ද අපි නිර්වචනය කරමු. මේවා ත්රිකෝණමිතියේ අත්තිවාරමයි.

එය සිහිපත් කරන්න සෘජු කෝණය - මෙය අංශක 90 ට සමාන කෝණයකි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පුළුල් කරන ලද කෝණයෙන් අඩක්.

තියුණු කෝනර් - ටිකක් අංශක 90 යි.

Obtuse කෝණය - අංශක 90 ක්. එවැනි කෝණයකට අදාළව, "මෝඩ" යනු අපහාසයක් නොව ගණිතමය යෙදුමකි :-)

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් අඳින්න. සෘජු කෝණය සාමාන්යයෙන් දක්වා ඇත. කෝණය ඉදිරිපිට පැත්තක් ඇති පැත්ත එකම අකුරකින් පෙන්නුම් කරන බව අපි සටහන් කරමු. ඉතින්, කෝණය ඉදිරිපිට පැත්තක් බොරු කියනු ලැබේ.

කෝණය අනුරූප ග්රීක ලිපියෙන් දැක්වේ.

උපකල්පිතය සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණය වන්නේ සෘජු කෝණය ඉදිරිපස පැත්තයි.

කාට්ෙටි.- තියුණු කොන් ඉදිරිපස පාර්ශ්වයන්.

කෝණය ඉදිරිපිට ඇලුම් කිරීම හැඳින්වේ ප්රතිවිරුද්ධ (කෙළවරට සාපේක්ෂව). කෝණයේ එක් පැත්තක පිහිටා ඇති තවත් කැට්ල් එකක් ලෙස හැඳින්වේ යාබදව.

සයිනස් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක උග්ර කෝණයක් වන්නේ උපකල්පිතය සඳහා ප්රතිවිරුද්ධ කැටච් වල අනුපාතයයි:

කොසයින් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක උග්ර කෝණය - උපකල්පිතය සඳහා යාබද කැටච් අනුපාතය:

ස්පර්ශක සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක උග්ර කෝණය - යාබදව ප්රතිවිරුද්ධ කාණ්ඩයක අනුපාතය:

තවත් (සමාන) අර්ථ දැක්වීමක්: උග්ර කෝණයක ස්පර්ශක කෝණයේ කෙළවරේ කොසයින්ට එහි කොසයින් දක්වා අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ:

කෝටන්ජන්ට් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කොනක් - යාබද කැටච්ගේ ප්රතිවිරුද්ධයට අනුපාතය ප්රතිවිරුද්ධ දෙසට (හෝ, එලෙසම, සිනිඳුට)):

පහත දැක්වෙන සයිනස්, කොසයින්, ස්පර්ශක සහ කැට්නාන්ජන්ට් සඳහා ප්රධාන අනුපාත කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න. ගැටළු විසඳීමේදී ඔවුන් අපව භාවිතා කරනු ඇත.

ඔවුන්ගෙන් සමහරක් ඔප්පු කරමු.

හොඳයි, අපි අර්ථ දැක්වීම් සහ පටිගත කිරීම් පටිගත කළෙමු. ඔබට තවමත් සයිනස්, කොසයින්, ස්පර්ශක හා කැතීන්ජන්ට් අවශ්ය වන්නේ ඇයි?

බව අපි දන්නා ඕනෑම ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව සමාන වේ.

අතර ඇති අනුපාතය අපි දනිමු පාර්ශවයන් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණය. මෙය පයිතගරා ප්රමේයයයි:.

ත්රිකෝණයේ කොන් දෙකක් දැන ගැනීමෙන් තෙවනුව සොයාගත හැකි බව පෙනේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක පැති දෙකක් දැන ගැනීම, ඔබට තෙවැන්න සොයාගත හැකිය. එහි අර්ථය වන්නේ කොන් සඳහා - එහි අනුපාතය, පක්ෂ - තමන්ගේම ය. එක් කෝණයක් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයේ (සෘජු දේ හැර) සහ එක් පැත්තක් හැරුණු විට, ඔබ වෙනත් පාර්ශවයන් සොයා ගත යුතුද?

මේ සමඟ සහ අතීතයේ මිනිසුන්ට මුහුණ දුන් අතර, භූමි ප්රදේශවල සහ තරු අහසෙහි සිතියමක් සාදයි. සියල්ලට පසු, ඔබට සෑම විටම ත්රිකෝණයේ සෑම පැත්තක්ම කෙලින්ම මැනිය නොහැක.

සයිනස්, කොසයින් සහ ස්පර්ශක - ඒවා ද හැඳින්වේ කෙළවරේ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත - අතර සම්බන්ධතාවය දෙන්න පාර්ශවයන් සහ කොන් ත්රිකෝණය. කෝණය දැන ගැනීම, විශේෂ වගු භාවිතා කරමින් ඔබට එහි සියලු ත්රිකෝණමිතික ශ්රිත සොයාගත හැකිය. පව් කිරීම සහ ත්රිකෝණයේ කොසීන් සහ කොන් වල සහ ඔහුගේ පැතිවල කොසයින් සහ ඔහුගේ ස්පර්ශයන්, ඔබට ඉතිරිය සොයාගත හැකිය.

මීට පෙර සිට "හොඳ" කෝණ සඳහා සයිනස්, කොසයින්, ටයිජන්ට් සහ කැටටන්ස් අගයන් ද අපි අඳින්නෙමු.

මේසය තුළ රතු නාලිකා දෙකක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න. ස්පර්ශක හා කොටන්ජෙනනේස් වල අනුරූප සාරධර්මවල නොපවතී.

බැංකුවේ උපදෙස් බැංකුවෙන් ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ කාර්යයන් කිහිපයක් අපි විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

1. ත්රිකෝණ කෝණයේ සමාන ය,. සොයා ගන්න.

කාර්යය තත්පර හතරකින් විසඳනු ලැබේ.

ඊසෝෆාර් ලෙස,.

2. ත්රිකෝණාකාර කෝණයෙන් සමාන වේ. සොයා ගන්න.

පයිතගරා ප්රමේයයේ සොයා ගන්න.

කාර්යය විසඳනු ලැබේ.

බොහෝ විට කාර්යයන් තුළ කෝණ සහිත හෝ කෝණ සහිත ත්රිකෝණ ඇති අතර ඒවා වේ. ඔවුන්ට ඇති ප්රධාන සම්බන්ධතා සිතින් මතක තබා ගන්න!

කොන් සහ කැතී සහිත ත්රිකෝණයක් සඳහා, කෝණය සමාන වේ අඩ හයිපොති.

කොන් සමග ත්රිකෝණය සහ සාරශාලීය. සමහර විට වැඩි කාණ්ඩයක් තුළ එහි හයිපොතෙයිල්ස්.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ විසඳීම සඳහා වූ කාර්යයන් අපි සමාලෝචනය කළෙමු - එනම් නාඳුනන පාර්ශ්වයන් හෝ කොන් සොයා ගැනීම සඳහා ය. නමුත් ඒ සියල්ල නොවේ! ගණිතයේ ඊ-ගෙවීමේ ප්රභේදවල, සයිනස්, කොසයින්, ස්පර්ශක හෝ ත්රිකෝණයේ බාහිර කෝණයේ බාහිර කෝණයෙන් යුත්, සයිනස්, කොසයින්, ටැන්ජන්ට් හෝ කැටලොග් හි බාහිර කෝණයේ දැක්වෙන කාර්යයන් පිළිබඳ ප්රභේදවල දැක්වේ. මේ ගැන - ඊළඟ ලිපියෙන්.