අනුරූප කෝණ සෘජු කෝණ වේ. පේළි දෙකක සමාන්තරකරණයේ සලකුණු

c රේඛාව a සහ b සමාන්තර රේඛා ඡේදනය කරමු. මෙය කෝණ අටක් නිර්මාණය කරයි. සමාන්තර රේඛා සහ තීර්යක් කෝණ බොහෝ විට ගැටළු වලදී භාවිතා වන අතර ඒවාට ජ්‍යාමිතිය තුළ විශේෂ නම් ලබා දී ඇත.

කෝණ 1 සහ 3 - සිරස්.පැහැදිලිවම, සිරස් කෝණසමාන වේඑනම්
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

ඇත්ත වශයෙන්ම, කෝණ 5 සහ 7, 6 සහ 8 ද සිරස් වේ.

කෝණ 1 සහ 2 - යාබද, අපි දැනටමත් එය දන්නවා. එකතුව යාබද කොන් 180º ට සමාන වේ.

කෝණ 3 සහ 5 (මෙන්ම 2 සහ 8, 1 සහ 7, 4 සහ 6) හරස් අතට වැටී ඇත. හරස් කෝණ සමාන වේ.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

කෝණ 1 සහ 6 - ඒකපාර්ශ්වික.ඔවුන් සම්පූර්ණ "ව්යුහයේ" එක් පැත්තක පිහිටා ඇත. 4 සහ 7 කෝණ ද ඒකපාර්ශ්වික වේ. ඒකපාර්ශ්වික කෝණවල එකතුව 180° වේ, එනම්
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

කෝණ 2 සහ 6 (මෙන්ම 3 සහ 7, 1 සහ 5, 4 සහ 8) ලෙස හැඳින්වේ. සුදුසු.

අනුරූප කෝණ සමාන වේ, එනම්
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

කෝණ 3 සහ 5 (මෙන්ම 2 සහ 8, 1 සහ 7, 4 සහ 6) ලෙස හැඳින්වේ. හරස් අතට බොරු.

හරස් කෝණ සමාන වේ, එනම්
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

මෙම සියලු කරුණු විසඳුමක යෙදීමට ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග ගැටළු, ඔබ ඒවා චිත්රයේ දැකීමට ඉගෙන ගත යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, සමාන්තර චලිතයක් හෝ trapezoid දෙස බලන විට, ඔබට සමාන්තර රේඛා යුගලයක් සහ secant, මෙන්ම ඒකපාර්ශ්වික කෝණ දැකිය හැකිය. සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණය ඇඳීම, අපි හරස් අතට වැටී ඇති කෝණ දකිමු. මෙය විසඳුම සකස් කරන එක් පියවරකි.

1. සමාන්තර චලිතයක වක්‍රාකාර කෝණයක ඛණ්ඩකය ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත 3:4 අනුපාතයට බෙදයි, එය ඕපපාතික කෝණයේ ශීර්ෂයෙන් ගණන් කරයි. සොයන්න විශාල පැත්තඑහි පරිමිතිය 88 නම් සමාන්තර චලිතය.

කෝණයක ද්වි අංශය යනු කෝණයේ ශීර්ෂයෙන් මතුවන සහ කෝණය අඩකින් බෙදන කිරණක් බව මතක තබා ගන්න.

BM යනු ඝෝෂාකාරී කෝණය B හි ඛණ්ඩකය වීමට ඉඩ හරින්න. කොන්දේසිය අනුව, MD සහ AB යන කොටස් පිළිවෙලින් 3x සහ 4x ට සමාන වේ.

අපි CBM සහ BMA කෝණ සලකා බලමු. AD සහ BC සමාන්තර බැවින්, BM යනු secant වේ, CBM සහ BMA කෝණ හරස් අතට වේ. ප්රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන බව අපි දනිමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ත්‍රිකෝණය ABM සමද්විපාදය වන අතර එබැවින් AB = AM = 4x වේ.

සමාන්තර චලිතයක පරිමිතිය යනු එහි සියලුම පැතිවල එකතුවයි, එනම්
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
එබැවින් x = 4, 7x = 28.

2. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය එහි පැති දෙක සමඟ 26º සහ 34º කෝණ සාදයි. සමාන්තර චලිතයේ විශාලතම කෝණය සොයන්න. ඔබේ පිළිතුර අංශක වලින් දෙන්න.

සමාන්තර චලිතයක් සහ එහි විකර්ණ අඳින්න. චිත්‍රයේ ඇති හරස් කෝණ සහ ඒක පාර්ශවීය කෝණ නිරීක්ෂණය කිරීමෙන් ඔබට පහසුවෙන් පිළිතුර ලබා ගත හැකිය: 120º.

3. විශාල කෝණය කුමක්ද? isosceles trapezoid, ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ අතර වෙනස 50º බව දන්නේ නම්? ඔබේ පිළිතුර අංශක වලින් දෙන්න.

බව අපි දන්නා සමද්වීපක(හෝ සමස්ථානික) යනු පැති සමාන වන trapezoid වේ. එබැවින්, ඉහළ පාදයේ කෝණ මෙන්ම, පහළ පාදයේ කෝණ සමාන වේ.

අපි චිත්රය දෙස බලමු. කොන්දේසිය අනුව, α - β = 50°, එනම් α = β + 50°.

කෝණ α සහ β සමාන්තර රේඛා සහ තීර්යක් සහිත ඒකපාර්ශ්වික වේ, එබැවින්,
α + β = 180°.

එබැවින් 2β + 50° = 180°
β = 65°, පසුව α = 115°.

පිළිතුර: 115.

EGE-අධ්‍යයනය » ක්රමවේද ද්රව්ය»ජ්‍යාමිතිය: ශුන්‍යයේ සිට C4 දක්වා » උස, මධ්‍යස්ථාන, ත්‍රිකෝණයක ද්විභාණ්ඩ

පේළි දෙකක සමාන්තරකරණයේ සලකුණු

ප්‍රමේයය 1. රේඛා දෙකක් සෙකන්ට් එකක් සමඟ ඡේදනය වන විට:

හරස් කෝණ සමාන වේ, හෝ

අනුරූප කෝණ සමාන වේ, හෝ

ඒකපාර්ශ්වික කෝණවල එකතුව 180° වේ

රේඛා සමාන්තර වේ(රූපය 1).

සාක්ෂි. අපි නඩුව 1 ඔප්පු කිරීමට පමණක් සීමා වෙමු.

ඡේදනය වන රේඛා a සහ b හරස් අතට සහ AB කෝණ සමාන වීමට ඉඩ දෙන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ∠ 4 = ∠ 6. අපි එය ඔප්පු කරමු || බී.

a සහ b රේඛා සමාන්තර නොවේ යැයි සිතමු. එවිට ඒවා M ලක්ෂ්‍යයකින් ඡේදනය වන අතර, එබැවින්, 4 හෝ 6 කෝණවලින් එකක් ABM ත්‍රිකෝණයේ බාහිර කෝණය වනු ඇත. නිශ්චිතභාවය සඳහා, ∠ 4 ABM ත්‍රිකෝණයේ බාහිර කෝණය ද, ∠ 6 අභ්‍යන්තර කෝණය ද වේවා. ත්‍රිකෝණයක බාහිර කෝණයේ ප්‍රමේයයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ ∠ 4 ∠ 6 ට වඩා වැඩි වන අතර මෙය කොන්දේසියට පටහැනි වේ, එනම් රේඛා a සහ 6 ඡේදනය විය නොහැකි බැවින් ඒවා සමාන්තර වේ.

නිගමනය 1. එකම රේඛාවකට ලම්බකව තලයක විවිධ රේඛා දෙකක් සමාන්තර වේ(රූපය 2).

අදහස් දක්වන්න. අපි ප්‍රමේයය 1 හි 1 වන අවස්ථාව දැන් ඔප්පු කළ ආකාරය පරස්පර විරෝධී හෝ විකාරයක් ලෙස අඩු කිරීම මගින් ඔප්පු කිරීමේ ක්‍රමය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ක්‍රමයට එහි මුල් නම ලැබුණේ තර්කයේ ආරම්භයේ දී ඔප්පු කළ යුතු දෙයට පටහැනි (ප්‍රතිවිරුද්ධ) උපකල්පනයක් සිදු කරන බැවිනි. කරන ලද උපකල්පනය මත පදනම්ව තර්ක කිරීම, අපි අභූත නිගමනයකට (අභූතයට) එළඹීම නිසා එය විකාරයට තුඩු දීම ලෙස හැඳින්වේ. එවැනි නිගමනයක් ලැබීමෙන් මුලදී කරන ලද උපකල්පනය ප්රතික්ෂේප කිරීමට සහ ඔප්පු කළ යුතු දේ පිළිගැනීමට අපට බල කෙරේ.

කාර්යය 1. M ලක්ෂ්‍යය හරහා නොයන, දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සහ දී ඇති රේඛාවකට සමාන්තරව යන රේඛාවක් සාදන්න.

විසඳුමක්. අපි සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු p ලක්ෂ්‍යය හරහා ලම්බකව a (රූපය 3).

එවිට අපි පේළියට ලම්බකව M ලක්ෂ්‍යය හරහා b රේඛාවක් අඳින්නෙමු. ප්‍රමේයය 1 හි අනුපිළිවෙලට අනුව b පේළිය a රේඛාවට සමාන්තර වේ.

සලකා බැලූ ගැටලුවෙන් වැදගත් නිගමනයක් පහත දැක්වේ:
දී ඇති රේඛාවක් මත නොපවතින ලක්ෂ්‍යයක් හරහා, ලබා දී ඇති රේඛාවට සමාන්තරව රේඛාවක් ඇඳීමට සැමවිටම හැකිය.

සමාන්තර රේඛාවල ප්‍රධාන ගුණය පහත පරිදි වේ.

සමාන්තර රේඛාවල ප්‍රත්‍යක්‍ෂය. දී ඇති රේඛාවක් මත නොපවතින දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා, ලබා දී ඇති රේඛාවට සමාන්තරව එක් රේඛාවක් පමණක් ගමන් කරයි.

මෙම ප්‍රත්‍යක්ෂයෙන් අනුගමනය කරන සමාන්තර රේඛාවල ගුණාංග කිහිපයක් අපි සලකා බලමු.

1) රේඛාවක් සමාන්තර රේඛා දෙකෙන් එකක් ඡේදනය කරන්නේ නම්, එය අනෙක් එකත් ඡේදනය කරයි (රූපය 4).

2) විවිධ රේඛා දෙකක් තුන්වන පේළියකට සමාන්තර වේ නම්, ඒවා සමාන්තර වේ (රූපය 5).

පහත ප්‍රමේයය ද සත්‍ය වේ.

ප්රමේයය 2. සමාන්තර රේඛා දෙකක් තීර්යක් මගින් ඡේදනය වී ඇත්නම්, එවිට:

හරස් කෝණ සමාන වේ;

අනුරූප කෝණ සමාන වේ;

ඒකපාර්ශ්වික කෝණවල එකතුව 180° වේ.

නිගමනය 2. රේඛාවක් සමාන්තර රේඛා දෙකෙන් එකකට ලම්බක නම්, එය අනෙකට ලම්බක වේ.(රූපය 2 බලන්න).

අදහස් දක්වන්න. ප්‍රමේයය 2 ප්‍රමේයය 1 හි ප්‍රතිලෝමය ලෙස හැඳින්වේ. ප්‍රමේයය 1 හි නිගමනය ප්‍රමේයය 2 හි කොන්දේසියයි. තවද ප්‍රමේයය 1 හි කොන්දේසිය ප්‍රමේයය 2 හි නිගමනයයි. සෑම ප්‍රමේයයකටම ප්‍රතිලෝමයක් නොමැත, එනම් දී ඇති ප්‍රමේයයක් නම් සත්‍ය, එවිට ප්‍රතිලෝම ප්‍රමේයය අසත්‍ය විය හැක.

සිරස් කෝණ පිළිබඳ ප්‍රමේයයේ උදාහරණය භාවිතා කර මෙය පැහැදිලි කරමු. මෙම ප්‍රමේයය පහත පරිදි සකස් කළ හැක: කෝණ දෙකක් සිරස් නම්, ඒවා සමාන වේ. ප්‍රතිවර්ත ප්‍රමේයය වනුයේ: කෝණ දෙකක් සමාන නම්, ඒවා සිරස් වේ. තවද මෙය ඇත්ත වශයෙන්ම සත්ය නොවේ. සමාන කෝණ දෙකක් සිරස් විය යුතු නැත.

උදාහරණ 1.සමාන්තර රේඛා දෙකක් තුනෙන් එකකින් හරස් වේ. අභ්යන්තර ඒක පාර්ශවීය කෝණ දෙකක් අතර වෙනස 30 ° බව දන්නා කරුණකි. මෙම කෝණ සොයා ගන්න.

විසඳුමක්. රූප සටහන 6 කොන්දේසිය සපුරාලීමට ඉඩ දෙන්න.

ප්රශ්නය 1.යාබද ලෙස හඳුන්වන කෝණ මොනවාද?
පිළිතුර.එක් පැත්තක් පොදු නම්, කෝණ දෙකක් යාබද ලෙස හැඳින්වේ, සහ මෙම කෝණවල අනෙක් පැති අනුපූරක අර්ධ රේඛා වේ.
රූප සටහන 31 හි, කෝණ (a 1 b) සහ (a 2 b) යාබදව පිහිටා ඇත. ඒවාට b පැත්ත පොදු වන අතර, a 1 සහ a 2 අමතර අර්ධ රේඛා වේ.

ප්රශ්නය 2.යාබද කෝණවල එකතුව 180° බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. ප්රමේයය 2.1.යාබද කෝණවල එකතුව 180° වේ.
සාක්ෂි.කෝණය (a 1 b) සහ කෝණය (a 2 b) යාබද කෝණ ලබා දෙන්න (රූපය 31 බලන්න). රේ b සෘජු කෝණයක 1 සහ 2 පැති අතර ගමන් කරයි. එබැවින්, කෝණවල එකතුව (a 1 b) සහ (a 2 b) දිග හැරුණු කෝණයට සමාන වේ, එනම් 180°. Q.E.D.

ප්රශ්නය 3.කෝණ දෙකක් සමාන නම්, ඒවායේ යාබද කෝණ ද සමාන බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර.

ප්‍රමේයයෙන් 2.1 කෝණ දෙකක් සමාන නම්, ඒවායේ යාබද කෝණ සමාන වේ.
කෝණ (a 1 b) සහ (c 1 d) සමාන යැයි කියමු. අපි කෝණ (a 2 b) සහ (c 2 d) සමාන බව ඔප්පු කළ යුතුය.
යාබද කෝණවල එකතුව 180° වේ. 1 b + a 2 b = 180° සහ c 1 d + c 2 d = 180° ලෙස මෙයින් කියවේ. එබැවින්, a 2 b = 180° - a 1 b සහ c 2 d = 180° - c 1 d. කෝණ (a 1 b) සහ (c 1 d) සමාන බැවින්, අපි a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d බව ලබා ගනිමු. සමාන ලකුණෙහි සංක්‍රාන්ති ගුණය අනුව එය 2 b = c 2 d බව අනුගමනය කරයි. Q.E.D.

ප්රශ්නය 4.දකුණු (උග්‍ර, මුග්ධ) ලෙස හඳුන්වන කෝණය කුමක්ද?
පිළිතුර. 90 ° ට සමාන කෝණයක් සෘජු කෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
අංශක 90 ට වඩා අඩු කෝණයක් උග්ර කෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
90 ° ට වැඩි සහ 180 ° ට අඩු කෝණයක් obtuse ලෙස හැඳින්වේ.

ප්රශ්නය 5.සෘජු කෝණයකට යාබද කෝණයක් සෘජු කෝණයක් බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර.යාබද කෝණවල එකතුව මත ප්‍රමේයයෙන් එය සෘජු කෝණයකට යාබද කෝණයක් සෘජු කෝණයක් බව අනුගමනය කරයි: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

ප්රශ්නය 6.සිරස් ලෙස හඳුන්වන කෝණ මොනවාද?
පිළිතුර.එක් කෝණයක පැති අනෙක් පැත්තේ අනුපූරක අර්ධ රේඛා නම් කෝණ දෙකක් සිරස් ලෙස හැඳින්වේ.

ප්රශ්නය 7.සිරස් කෝණ සමාන බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. ප්රමේයය 2.2. සිරස් කෝණ සමාන වේ.
සාක්ෂි.(a 1 b 1) සහ (a 2 b 2) ලබා දී ඇති සිරස් කෝණ (රූපය 34). කෝණය (a 1 b 2) කෝණයට (a 1 b 1) සහ කෝණයට (a 2 b 2) යාබදව පිහිටා ඇත. මෙතැන් සිට, යාබද කෝණවල එකතුව මත ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, අපි එක් එක් කෝණ (a 1 b 1) සහ (a 2 b 2) කෝණය (a 1 b 2) සිට 180° දක්වා සම්පූර්ණ කරන බව නිගමනය කරමු, i.e. කෝණ (a 1 b 1) සහ (a 2 b 2) සමාන වේ. Q.E.D.

ප්රශ්නය 8.පේළි දෙකක් ඡේදනය වන විට, එක් කෝණයක් නිවැරදි නම්, අනෙක් කෝණ තුන ද නිවැරදි බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. AB සහ CD රේඛා O ලක්ෂ්‍යයේදී එකිනෙක ඡේදනය වේ යැයි සිතමු. AOD කෝණය 90° යැයි සිතමු. යාබද කෝණවල එකතුව 180° වන බැවින්, අපට AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° ලැබේ. කෝණ COB AOD කෝණයට සිරස් වේ, එබැවින් ඒවා සමාන වේ. එනම්, කෝණය COB = 90 °. කෝණ COA BOD කෝණයට සිරස් වේ, එබැවින් ඒවා සමාන වේ. එනම්, කෝණය BOD = 90 °. මේ අනුව, සියලු කෝණ 90 ° ට සමාන වේ, එනම්, ඒවා සියල්ලම සෘජු කෝණ වේ. Q.E.D.

ප්රශ්නය 9.ලම්බක ලෙස හඳුන්වන රේඛා මොනවාද? රේඛාවල ලම්බක බව දැක්වීමට භාවිතා කරන ලකුණ කුමක්ද?
පිළිතුර.රේඛා දෙකක් සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වන්නේ නම් ලම්බක ලෙස හැඳින්වේ.
රේඛාවල ලම්බකතාව \(\perp\) ලකුණෙන් දැක්වේ. ප්‍රවේශය \(a\perp b\) මෙසේ කියයි: "a පේළිය b පේළියට ලම්බක වේ."

ප්රශ්නය 10.රේඛාවක ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ඔබට එයට ලම්බකව රේඛාවක් ඇඳිය ​​හැකි බවත්, එකක් පමණක් බවත් ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. ප්රමේයය 2.3.එක් එක් පේළිය හරහා ඔබට එයට ලම්බකව රේඛාවක් අඳින්න පුළුවන්, සහ එකක් පමණි.
සාක්ෂි. a දී ඇති රේඛාවක් සහ A එය මත දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් වේවා. අපි ආරම්භක ලක්ෂ්‍යය A සමඟ සෘජු රේඛාවේ අර්ධ රේඛා 1 කින් නිරූපනය කරමු (රූපය 38). අපි a 1 අර්ධ රේඛාවෙන් 90° ට සමාන කෝණයක් (a 1 b 1) අඩු කරමු. එවිට කිරණ b 1 අඩංගු සරල රේඛාව a සරල රේඛාවට ලම්බක වනු ඇත.

A ලක්ෂ්‍යය හරහා සහ a රේඛාවට ලම්බකව තවත් රේඛාවක් ඇතැයි අපි උපකල්පනය කරමු. b 1 කිරණ සමඟ එකම අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති මෙම රේඛාවේ අර්ධ රේඛාව c 1 මගින් අපි දක්වමු.
කෝණ (a 1 b 1) සහ (a 1 c 1), එක් එක් 90 ° ට සමාන වන අතර, a 1 අර්ධ රේඛාවේ සිට එක් අර්ධ තලයක තබා ඇත. නමුත් අර්ධ රේඛාවේ සිට 90 ° ට සමාන 1 කෝණයක් පමණක් ලබා දී ඇති අර්ධ තලයකට දැමිය හැකිය. එබැවින් A ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සහ a රේඛාවට ලම්බකව වෙනත් රේඛාවක් තිබිය නොහැක. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

ප්රශ්නය 11.රේඛාවකට ලම්බක වන්නේ කුමක්ද?
පිළිතුර.දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක යනු දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක වූ රේඛාවක කොටසකි, ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථානයේ එහි කෙළවරක් ඇත. මෙම කොටසේ අවසානය ලෙස හැඳින්වේ පදනමලම්බක.

ප්රශ්නය 12.ප්‍රතිවිරෝධතා මගින් කුමන සාක්ෂි වලින් සමන්විතද යන්න පැහැදිලි කරන්න.
පිළිතුර.ප්‍රමේයය 2.3 හි අප භාවිතා කරන ලද සාධන ක්‍රමය ප්‍රතිවිරෝධතා මගින් ඔප්පු කිරීම ලෙස හැඳින්වේ. මේ ඔප්පු කිරීමේ ක්‍රමය තමයි අපි මුලින්ම උපකල්පනයක් කරන්නේ එහි ප්රතිවිරුද්ධයයි, ප්‍රමේයය මගින් දක්වා ඇති. ඉන්පසුව, තර්ක කිරීමෙන්, ප්‍රත්‍යක්ෂ සහ ඔප්පු කරන ලද ප්‍රමේය මත රඳා සිටීමෙන්, අපි ප්‍රමේයයේ කොන්දේසිවලට හෝ එක් ප්‍රාග්‍රහයකට හෝ කලින් ඔප්පු කළ ප්‍රමේයයකට පටහැනි නිගමනයකට පැමිණෙමු. මෙම පදනම මත, අපගේ උපකල්පනය වැරදි බව අපි නිගමනය කරමු, එබැවින් ප්රමේයයේ ප්රකාශය සත්ය වේ.

ප්රශ්නය 13.කෝණයක ද්වි අංශය යනු කුමක්ද?
පිළිතුර.කෝණයක ද්වි අංශය යනු කෝණයේ ශීර්ෂයෙන් නික්මෙන කිරණකි, එහි පැති අතරට ගොස් කෝණය අඩකින් බෙදයි.