යාබද කෝණ නිර්ණය කිරීම. යාබද කෝණයක් සොයා ගන්නේ කෙසේද

එකම සරල රේඛාවක් මත තබා ඇති සහ එකම ශීර්ෂයක් සහිත කෝණ දෙකක් යාබද ලෙස හැඳින්වේ.

එසේ නොමැති නම්, එක් සරල රේඛාවක කෝණ දෙකක එකතුව අංශක 180 ට සමාන නම් සහ ඒවාට එක් පැත්තක් පොදු නම්, මේවා යාබද කෝණ වේ.

1 යාබද කෝණය + 1 යාබද කෝණය = අංශක 180.

යාබද කෝණ යනු එක් පැත්තක් පොදු වන කෝණ දෙකක් වන අතර අනෙක් පැති දෙක සාමාන්‍යයෙන් සරල රේඛාවක් සාදයි.

යාබද කෝණ දෙකක එකතුව සෑම විටම අංශක 180 කි. උදාහරණයක් ලෙස, එක් කෝණයක් අංශක 60 ක් නම්, දෙවැන්න අනිවාර්යයෙන්ම අංශක 120 (180-60) ට සමාන වේ.

AOC සහ BOC කෝණ යාබද කෝණ වේ, මන්ද යාබද කෝණවල ලක්ෂණ සඳහා සියලු කොන්දේසි සපුරා ඇත:

1.OS - කොන් දෙකක පොදු පැත්ත

2.AO - කෙළවරේ AOS පැත්ත, OB - කෙළවරේ BOS පැත්ත. මෙම පැති එකට AOB සරල රේඛාවක් සාදයි.

3. කෝණ දෙකක් ඇති අතර ඒවායේ එකතුව අංශක 180 කි.

පාසල් ජ්යාමිතික පාඨමාලාව මතක තබා ගනිමින්, අපට යාබද කෝණ ගැන පහත සඳහන් දේ පැවසිය හැකිය:

යාබද කෝණ වලට එක පැත්තක් පොදු වන අතර අනෙක් පැති දෙක එකම සරල රේඛාවකට අයත් වේ, එනම් ඒවා එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත. රූපයට අනුව නම්, SOV සහ BOA කෝණ යාබද කෝණ වේ, ඒවායේ එකතුව සෑම විටම 180 ට සමාන වේ, මන්ද ඒවා සෘජු කෝණයක් බෙදන අතර සෘජු කෝණයක් සෑම විටම 180 ට සමාන වේ.



යාබද කෝණ යනු ජ්‍යාමිතියේ පහසු සංකල්පයකි. යාබද කෝණ, කෝණයක් සහ කෝණයක්, අංශක 180 දක්වා එකතු කරන්න.

යාබද කෝණ දෙකක් දිග හැරෙන කෝණයක් වනු ඇත.

තවත් දේපල කිහිපයක් තිබේ. යාබද කෝණ සමඟ, ගැටළු විසඳීමට පහසු වන අතර ප්‍රමේය ඔප්පු කිරීමට පහසුය.

යාබද කෝණ සෑදී ඇත්තේ සරල රේඛාවක අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයකින් කිරණ ඇඳීමෙනි. එවිට මෙම අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යය කෝණයේ ශීර්ෂය බවට පත්වේ, කිරණ යනු යාබද කෝණවල පොදු පැත්ත වන අතර කිරණ ඇද ගන්නා සරල රේඛාව යාබද කෝණවල ඉතිරි පැති දෙක වේ. යාබද කෝණ සිරස් අතට සමාන විය හැකිය, නැතහොත් නැඹුරු කදම්භයක දී වෙනස් වේ. යාබද කෝණවල එකතුව අංශක 180 ට සමාන හෝ සරල රේඛාවක් බව තේරුම් ගැනීම පහසුය. මෙම කෝණය පැහැදිලි කිරීමට තවත් ක්රමයක් සරල උදාහරණයක්- මුලදී ඔබ සරල රේඛාවකින් එක් දිශාවකට ගමන් කළ අතර, පසුව ඔබ ඔබේ අදහස වෙනස් කර, ආපසු යාමට තීරණය කර, අංශක 180 ක් හැරී, එකම සරල රේඛාව ඔස්සේ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ගමන් කළේය.



ඉතින් යාබද කෝණයක් යනු කුමක්ද? අර්ථ දැක්වීම:

පොදු ශීර්ෂයක් සහිත කෝණ දෙකක් සහ එක් පොදු පැත්තක් යාබද ලෙස හැඳින්වෙන අතර, මෙම කෝණවල අනෙක් පැති දෙක එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත.



සහ කෙටි වීඩියෝවයාබද කෝණ ගැන සංවේදීව පෙන්වන පාඩමක්, සිරස් කෝණ, යාබද සහ සිරස් කෝණවල විශේෂ අවස්ථාවක් වන ලම්බක රේඛා ගැන ප්ලස්

යාබද කෝණ යනු එක් පැත්තක් පොදු වන අතර අනෙක් එක පේළියකි.

යාබද කෝණ යනු එකිනෙකා මත රඳා පවතින කෝණ වේ. එනම්, පොදු පැත්ත තරමක් කරකැවී ඇත්නම්, එක් කෝණයක් අංශක කිහිපයකින් අඩු වන අතර දෙවන කෝණය ස්වයංක්‍රීයව අංශක ගණනකින් වැඩි වේ. යාබද කෝණවල මෙම ගුණය කෙනෙකුට ජ්‍යාමිතියේ විවිධ ගැටළු විසඳීමට සහ විවිධ ප්‍රමේයවල සාධනය කිරීමට ඉඩ සලසයි.

යාබද කෝණවල මුළු එකතුව සෑම විටම අංශක 180 කි.



ජ්‍යාමිතික පාඨමාලාවෙන්, (මට මතක හැටියට 6 ශ්‍රේණියේ) කෝණ දෙකක් යාබද ලෙස හැඳින්වේ, එහි එක් පැත්තක් පොදු වන අතර අනෙක් පැති අතිරේක කිරණ වේ, යාබද කෝණවල එකතුව 180. දෙකෙන් එකක්. යාබද කෝණ අනෙකට විස්තීරණ කෝණයකට අනුපූරක වේ. යාබද කෝණ උදාහරණය:



යාබද කෝණ යනු පොදු ශීර්ෂයක් සහිත කෝණ දෙකකි, එහි එක් පැත්තක් පොදු වන අතර ඉතිරි පැති එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත (සමපාත නොවේ). යාබද කෝණවල එකතුව අංශක එකසිය අසූවකි. පොදුවේ ගත් කල, මේ සියල්ල ගූගල් හෝ ජ්‍යාමිතික පෙළපොතෙහි සොයා ගැනීම ඉතා පහසුය.

ප්රශ්නය 1.යාබද ලෙස හඳුන්වන කෝණ මොනවාද?
පිළිතුර.එක් පැත්තක් පොදු නම්, කෝණ දෙකක් යාබද ලෙස හැඳින්වේ, සහ මෙම කෝණවල අනෙක් පැති අනුපූරක අර්ධ රේඛා වේ.
රූප සටහන 31 හි, කෝණ (a 1 b) සහ (a 2 b) යාබදව පිහිටා ඇත. ඒවාට b පැත්ත පොදු වන අතර, a 1 සහ a 2 අමතර අර්ධ රේඛා වේ.

ප්රශ්නය 2.යාබද කෝණවල එකතුව 180° බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. ප්රමේයය 2.1.යාබද කෝණවල එකතුව 180° වේ.
සාක්ෂි.කෝණය (a 1 b) සහ කෝණය (a 2 b) යාබද කෝණ ලබා දෙන්න (රූපය 31 බලන්න). රේ b සෘජු කෝණයක 1 සහ 2 පැති අතර ගමන් කරයි. එබැවින්, කෝණවල එකතුව (a 1 b) සහ (a 2 b) දිග හැරුණු කෝණයට සමාන වේ, එනම් 180°. Q.E.D.

ප්රශ්නය 3.කෝණ දෙකක් සමාන නම්, ඒවායේ යාබද කෝණ ද සමාන බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර.

ප්‍රමේයයෙන් 2.1 කෝණ දෙකක් සමාන නම්, ඒවායේ යාබද කෝණ සමාන වේ.
කෝණ (a 1 b) සහ (c 1 d) සමාන යැයි කියමු. අපි කෝණ (a 2 b) සහ (c 2 d) සමාන බව ඔප්පු කළ යුතුය.
යාබද කෝණවල එකතුව 180° වේ. 1 b + a 2 b = 180° සහ c 1 d + c 2 d = 180° ලෙස මෙයින් කියවේ. එබැවින්, a 2 b = 180° - a 1 b සහ c 2 d = 180° - c 1 d. කෝණ (a 1 b) සහ (c 1 d) සමාන බැවින්, අපි a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d බව ලබා ගනිමු. සමාන ලකුණෙහි සංක්‍රාන්ති ගුණය අනුව එය 2 b = c 2 d බව අනුගමනය කරයි. Q.E.D.

ප්රශ්නය 4.දකුණු (උග්‍ර, මුග්ධ) ලෙස හඳුන්වන කෝණය කුමක්ද?
පිළිතුර. 90 ° ට සමාන කෝණයක් සෘජු කෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
අංශක 90 ට අඩු කෝණයක් උග්ර කෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
90 ° ට වැඩි සහ 180 ° ට අඩු කෝණයක් obtuse ලෙස හැඳින්වේ.

ප්රශ්නය 5.සෘජු කෝණයකට යාබද කෝණයක් සෘජු කෝණයක් බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර.යාබද කෝණවල එකතුව මත ප්‍රමේයයෙන් එය සෘජු කෝණයකට යාබද කෝණයක් සෘජු කෝණයක් බව අනුගමනය කරයි: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

ප්රශ්නය 6.සිරස් ලෙස හඳුන්වන කෝණ මොනවාද?
පිළිතුර.එක් කෝණයක පැති අනෙක් පැත්තේ අනුපූරක අර්ධ රේඛා නම් කෝණ දෙකක් සිරස් ලෙස හැඳින්වේ.

ප්රශ්නය 7.සිරස් කෝණ සමාන බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. ප්රමේයය 2.2. සිරස් කෝණ සමාන වේ.
සාක්ෂි.(a 1 b 1) සහ (a 2 b 2) ලබා දී ඇති සිරස් කෝණ (රූපය 34). කෝණය (a 1 b 2) කෝණයට (a 1 b 1) සහ කෝණයට (a 2 b 2) යාබදව පිහිටා ඇත. මෙතැන් සිට, යාබද කෝණවල එකතුව මත ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, අපි එක් එක් කෝණ (a 1 b 1) සහ (a 2 b 2) කෝණය (a 1 b 2) සිට 180° දක්වා සම්පූර්ණ කරන බව නිගමනය කරමු, i.e. කෝණ (a 1 b 1) සහ (a 2 b 2) සමාන වේ. Q.E.D.

ප්රශ්නය 8.පේළි දෙකක් ඡේදනය වන විට, එක් කෝණයක් නිවැරදි නම්, අනෙක් කෝණ තුන ද නිවැරදි බව ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. AB සහ CD රේඛා O ලක්ෂ්‍යයේදී එකිනෙක ඡේදනය වේ යැයි සිතමු. AOD කෝණය 90° යැයි සිතමු. යාබද කෝණවල එකතුව 180° වන බැවින්, අපට AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° ලැබේ. කෝණ COB AOD කෝණයට සිරස් වේ, එබැවින් ඒවා සමාන වේ. එනම්, කෝණය COB = 90 °. කෝණ COA BOD කෝණයට සිරස් වේ, එබැවින් ඒවා සමාන වේ. එනම්, කෝණය BOD = 90 °. මේ අනුව, සියලු කෝණ 90 ° ට සමාන වේ, එනම්, ඒවා සියල්ලම සෘජු කෝණ වේ. Q.E.D.

ප්රශ්නය 9.ලම්බක ලෙස හඳුන්වන රේඛා මොනවාද? රේඛාවල ලම්බක බව දැක්වීමට භාවිතා කරන ලකුණ කුමක්ද?
පිළිතුර.රේඛා දෙකක් සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වන්නේ නම් ලම්බක ලෙස හැඳින්වේ.
රේඛාවල ලම්බකතාව \(\perp\) ලකුණෙන් දැක්වේ. ප්‍රවේශය \(a\perp b\) මෙසේ කියවේ: "a පේළිය b පේළියට ලම්බක වේ."

ප්රශ්නය 10.රේඛාවක ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ඔබට එයට ලම්බකව රේඛාවක් ඇඳිය ​​හැකි බවත්, එකක් පමණක් බවත් ඔප්පු කරන්න.
පිළිතුර. ප්රමේයය 2.3.එක් එක් පේළිය හරහා ඔබට එයට ලම්බකව රේඛාවක් අඳින්න පුළුවන්, සහ එකක් පමණි.
සාක්ෂි. a දී ඇති රේඛාවක් සහ A එය මත දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් වේවා. අපි ආරම්භක ලක්ෂ්‍යය A සමඟ සෘජු රේඛාවේ අර්ධ රේඛා 1 කින් නිරූපනය කරමු (රූපය 38). අපි a 1 අර්ධ රේඛාවෙන් 90° ට සමාන කෝණයක් (a 1 b 1) අඩු කරමු. එවිට කිරණ b 1 අඩංගු සරල රේඛාව a සරල රේඛාවට ලම්බක වනු ඇත.

A ලක්ෂ්‍යය හරහා සහ a රේඛාවට ලම්බකව තවත් රේඛාවක් ඇතැයි අපි උපකල්පනය කරමු. b 1 කිරණ සමඟ එකම අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති මෙම රේඛාවේ අර්ධ රේඛාව c 1 මගින් අපි දක්වමු.
කෝණ (a 1 b 1) සහ (a 1 c 1), එක් එක් 90 ° ට සමාන වන අතර, a 1 අර්ධ රේඛාවේ සිට එක් අර්ධ තලයක තබා ඇත. නමුත් අර්ධ රේඛාවේ සිට 90 ° ට සමාන 1 කෝණයක් පමණක් ලබා දී ඇති අර්ධ තලයකට දැමිය හැකිය. එබැවින් A ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සහ a රේඛාවට ලම්බකව වෙනත් රේඛාවක් තිබිය නොහැක. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

ප්රශ්නය 11.රේඛාවකට ලම්බක වන්නේ කුමක්ද?
පිළිතුර.දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක යනු දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක වූ රේඛාවක කොටසකි, ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථානයේ එහි කෙළවරක් ඇත. මෙම කොටසේ අවසානය ලෙස හැඳින්වේ පදනමලම්බක.

ප්රශ්නය 12.ප්‍රතිවිරෝධතා මගින් කුමන සාක්ෂි වලින් සමන්විතද යන්න පැහැදිලි කරන්න.
පිළිතුර.ප්‍රමේයය 2.3 හි අප භාවිතා කරන ලද සාධන ක්‍රමය ප්‍රතිවිරෝධතා මගින් ඔප්පු කිරීම ලෙස හැඳින්වේ. මේ ඔප්පු කිරීමේ ක්‍රමය තමයි අපි මුලින්ම උපකල්පනයක් කරන්නේ එහි ප්රතිවිරුද්ධයයි, ප්‍රමේයය මගින් දක්වා ඇත. ඉන්පසුව, තර්ක කිරීම මගින්, axioms සහ ඔප්පු කරන ලද ප්‍රමේයයන් මත රඳා සිටීමෙන්, අපි ප්‍රමේයයේ කොන්දේසි වලට, නැතහොත් ප්‍රත්‍යාන්ති වලින් එකකට හෝ කලින් ඔප්පු කළ ප්‍රමේයයකට පටහැනි නිගමනයකට පැමිණෙමු. මෙම පදනම මත, අපගේ උපකල්පනය වැරදි බව අපි නිගමනය කරමු, එබැවින් ප්රමේයයේ ප්රකාශය සත්ය වේ.

ප්රශ්නය 13.කෝණයක ද්වි අංශය යනු කුමක්ද?
පිළිතුර.කෝණයක ද්වි අංශය යනු කෝණයේ ශීර්ෂයෙන් නික්මෙන කිරණකි, එහි පැති අතරට ගොස් කෝණය අඩකින් බෙදයි.

ජ්‍යාමිතිය යනු ඉතා බහුවිධ විද්‍යාවකි. එය තර්කනය, පරිකල්පනය සහ බුද්ධිය වර්ධනය කරයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, එහි සංකීර්ණත්වය සහ න්‍යායන් සහ ප්‍රත්‍යන්ත විශාල සංඛ්‍යාවක් නිසා පාසල් සිසුන් සැමවිටම එයට කැමති නැත. මීට අමතරව, සාමාන්යයෙන් පිළිගත් සම්මතයන් සහ නීති රීති භාවිතා කරමින් ඔබේ නිගමන නිරන්තරයෙන් ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වේ.

යාබද සහ සිරස් කෝණ ජ්‍යාමිතියෙහි අනිවාර්ය අංගයකි. නිසැකවම බොහෝ පාසල් සිසුන් ඔවුන්ගේ දේපල පැහැදිලි සහ ඔප්පු කිරීමට පහසු වන හේතුව නිසා ඔවුන්ට ආදරය කරයි.

කොන් සෑදීම

ඕනෑම කෝණයක් සෑදෙන්නේ සරල රේඛා දෙකක් ඡේදනය වීමෙන් හෝ එක් ලක්ෂයකින් කිරණ දෙකක් ඇඳීමෙනි. ඒවා එක් අකුරක් හෝ තුනක් ලෙස හැඳින්විය හැක, එය කෝණය ගොඩනගා ඇති ලකුණු අනුපිළිවෙලින් නම් කරයි.

කෝණ අංශක වලින් මනිනු ලබන අතර (ඒවායේ අගය අනුව) වෙනස් ලෙස හැඳින්විය හැක. එබැවින්, සෘජු කෝණයක් ඇත, තියුණු, නොපැහැදිලි සහ දිග හැරේ. එක් එක් නම් යම් අංශක මිනුමකට හෝ එහි පරතරයට අනුරූප වේ.

තියුණු කෝණයක් යනු අංශක 90 නොඉක්මවන කෝණයකි.

නොපැහැදිලි කෝණයක් යනු අංශක 90 ට වඩා වැඩි කෝණයකි.

කෝණයක් එහි අංශක මිනුම 90 වන විට දකුණ ලෙස හැඳින්වේ.

එය එක් අඛණ්ඩ සරල රේඛාවකින් සෑදී එහි අංශක මිනුම 180 ක් වූ විට, එය පුළුල් ලෙස හැඳින්වේ.

පොදු පැත්තක් ඇති කෝණ, එහි දෙවන පැත්ත එකිනෙක අඛණ්ඩව, යාබද ලෙස හැඳින්වේ. ඒවා තියුණු හෝ මොට විය හැකිය. රේඛාවේ ඡේදනය යාබද කෝණ සාදයි. ඒවායේ ගුණාංග පහත පරිදි වේ:

1. එවැනි කෝණවල එකතුව අංශක 180 ට සමාන වනු ඇත (මෙය සනාථ කරන ප්රමේයයක් ඇත). එමනිසා, ඒවායින් එකක් අනෙක දන්නේ නම් කෙනෙකුට පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය.
2. පළමු ලක්ෂ්‍යයෙන් එය පහත දැක්වෙන්නේ යාබද කෝණ දෙකකින් හෝ තියුණු කෝණ දෙකකින් සෑදිය නොහැකි බවයි.

මෙම ගුණාංගවලට ස්තූතිවන්ත වන අතර, ඔබට සෑම විටම කෝණයක අංශක මිනුම ගණනය කළ හැකිය, වෙනත් කෝණයක අගය හෝ, විසින් අවම වශයෙන්, ඔවුන් අතර සම්බන්ධය.

සිරස් කෝණ

පැති එකිනෙක අඛණ්ඩව පවතින කෝණ සිරස් ලෙස හැඳින්වේ. ඔවුන්ගේ ඕනෑම වර්ගයක් එවැනි යුගලයක් ලෙස ක්රියා කළ හැකිය. සිරස් කෝණ සෑම විටම එකිනෙකට සමාන වේ.

සරල රේඛා ඡේදනය වන විට ඒවා සෑදී ඇත. ඔවුන් සමඟ, යාබද කෝණ සෑම විටම පවතී. කෝණයක් එකකට එකවර යාබදව සහ තවත් එකක් සඳහා සිරස් අතට විය හැක.

අත්තනෝමතික රේඛාවක් තරණය කරන විට, තවත් කෝණ වර්ග කිහිපයක් ද සලකා බලනු ලැබේ. එවැනි රේඛාවක් secant ලෙස හැඳින්වේ; එය අනුරූප, ඒකපාර්ශ්වික සහ හරස් කෝණ සාදයි. ඔවුන් එකිනෙකාට සමානයි. සිරස් සහ යාබද කෝණවල ඇති ගුණාංග අනුව ඒවා නැරඹිය හැකිය.

මේ අනුව, කෝණ පිළිබඳ මාතෘකාව තරමක් සරල හා තේරුම්ගත හැකි බව පෙනේ. ඔවුන්ගේ සියලු ගුණාංග මතක තබා ගැනීමට සහ ඔප්පු කිරීමට පහසුය. කෝණ අනුරූප වන තාක් ගැටළු විසඳීම අපහසු නොවන බව පෙනේ සංඛ්යාත්මක අගය. පසුව, පාපය සහ අකුසලය පිළිබඳ අධ්‍යයනය ආරම්භ කරන විට, ඔබට බොහෝ සංකීර්ණ සූත්‍ර, ඒවායේ නිගමන සහ ප්‍රතිවිපාක කටපාඩම් කිරීමට සිදුවනු ඇත. එතෙක්, ඔබට යාබද කෝණ සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය පහසු ප්‍රහේලිකා භුක්ති විඳිය හැකිය.

1. යාබද කෝණ.

අපි ඕනෑම කෝණයක පැත්ත එහි ශීර්ෂයෙන් ඔබ්බට දිගු කළහොත්, අපට කෝණ දෙකක් ලැබේ (රූපය 72): ∠ABC සහ ∠CBD, එහි එක් පැත්තක් BC පොදු වන අතර අනෙක් දෙක වන AB සහ BD සරල රේඛාවක් සාදයි.

එක් පැත්තක් පොදු වන අතර අනෙක් දෙක සරල රේඛාවක් සාදන කෝණ දෙකක් යාබද කෝණ ලෙස හැඳින්වේ.

යාබද කෝණ ද මේ ආකාරයෙන් ලබා ගත හැකිය: අපි රේඛාවක් මත යම් ස්ථානයක සිට කිරණක් අඳින්නේ නම් (දී ඇති රේඛාවක් මත වැතිරෙන්නේ නැත), අපි යාබද කෝණ ලබා ගනිමු.

උදාහරණයක් ලෙස, ∠ADF සහ ∠FDB යනු යාබද කෝණ වේ (රූපය 73).

යාබද කෝණවලට විවිධාකාර ස්ථාන තිබිය හැකිය (රූපය 74).

යාබද කෝණ සෘජු කෝණයක් දක්වා එකතු වේ, එසේ යාබද කෝණ දෙකක එකතුව 180° වේ

එබැවින් සෘජු කෝණයක් එහි යාබද කෝණයට සමාන කෝණයක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක.

යාබද කෝණයෙන් එකක ප්‍රමාණය දැන ගැනීමෙන්, එයට යාබද අනෙක් කෝණයේ ප්‍රමාණය අපට සොයාගත හැකිය.

උදාහරණයක් ලෙස, යාබද කෝණවලින් එකක් 54° නම්, දෙවන කෝණය සමාන වනු ඇත:

180° - 54° = l26°.

2. සිරස් කෝණ.

අපි එහි ශීර්ෂයෙන් ඔබ්බට කෝණයෙහි පැති දිගු කළහොත් අපට සිරස් කෝණ ලැබේ. රූප සටහන 75 හි, EOF සහ AOC කෝණ සිරස් වේ; කෝණ AOE සහ COF ද සිරස් වේ.

එක් කෝණයක පැති අනෙක් කෝණයේ පැතිවල අඛණ්ඩ පැවැත්මක් නම් කෝණ දෙකක් සිරස් ලෙස හැඳින්වේ.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (රූපය 76) කරමු. එයට යාබද ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, එනම් 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° ට සමාන වේ.

එලෙසම, ඔබට ∠3 සහ ∠4 සමාන වන්නේ කුමක් දැයි ගණනය කළ හැක.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (රූපය 77).

අපි දකිනවා ∠1 = ∠3 සහ ∠2 = ∠4.

ඔබට එකම ගැටළු කිහිපයක් විසඳා ගත හැකි අතර, සෑම අවස්ථාවකදීම ඔබට එකම ප්රතිඵලය ලැබෙනු ඇත: සිරස් කෝණ එකිනෙකට සමාන වේ.

කෙසේ වෙතත්, සිරස් කෝණ සෑම විටම එකිනෙකට සමාන බව තහවුරු කර ගැනීම සඳහා, තනි සංඛ්‍යාත්මක උදාහරණ සලකා බැලීම ප්‍රමාණවත් නොවේ, මන්ද විශේෂිත උදාහරණ වලින් ලබා ගන්නා නිගමන සමහර විට වැරදි විය හැකිය.

සාධනය මගින් සිරස් කෝණවල ගුණවල වලංගුභාවය තහවුරු කිරීම අවශ්ය වේ.

සාධනය පහත පරිදි සිදු කළ හැක (රූපය 78):

∠a+∠c= 180 °;

∠b+∠c= 180 °;

(යාබද කෝණවල එකතුව 180° වන බැවින්).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්ත 180 ° ට සමාන වන අතර එහි දකුණු පැත්ත ද 180 ° ට සමාන වේ).

මෙම සමානාත්මතාවයට එකම කෝණය ඇතුළත් වේ සමග.

අපි සමාන ප්‍රමාණවලින් සමාන ප්‍රමාණ අඩු කළහොත් සමාන ප්‍රමාණ පවතිනු ඇත. ප්රතිඵලය වනු ඇත: ∠ඒ = ∠බී, එනම් සිරස් කෝණ එකිනෙකට සමාන වේ.

3. පොදු ශීර්ෂයක් ඇති කෝණවල එකතුව.

රූප සටහන 79 හි, ∠1, ∠2, ∠3 සහ ∠4 රේඛාවක එක් පැත්තක පිහිටා ඇති අතර මෙම රේඛාවේ පොදු ශීර්ෂයක් ඇත. සාරාංශයක් ලෙස, මෙම කෝණ සෘජු කෝණයක් සාදයි, i.e.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

රූප සටහන 80 හි, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 සහ ∠5 පොදු ශීර්ෂයක් ඇත. මෙම කෝණ සම්පූර්ණ කෝණයක් දක්වා එකතු වේ, එනම් ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

ජ්යාමිතික පාඨමාලාවක් හැදෑරීමේ ක්රියාවලියේදී, "කෝණය", "සිරස් කෝණ", "යාබද කෝණ" යන සංකල්ප බොහෝ විට පැමිණේ. එක් එක් නියමයන් තේරුම් ගැනීම ඔබට ගැටලුව තේරුම් ගැනීමට සහ එය නිවැරදිව විසඳීමට උපකාරී වේ. යාබද කෝණ මොනවාද සහ ඒවා තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

යාබද කෝණ - සංකල්පයේ නිර්වචනය

"යාබද කෝණ" යන යෙදුම පොදු කිරණ මගින් සාදන ලද කෝණ දෙකක් සහ එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති අතිරේක අර්ධ රේඛා දෙකක් සංලක්ෂිත වේ. කිරණ තුනම පිටවන්නේ එකම ලක්ෂ්‍යයෙන්. පොදු අර්ධ රේඛාවක් යනු එක හා අනෙක් කෝණය දෙකෙහිම පැත්තකි.

යාබද කෝණ - මූලික ගුණාංග

1. යාබද කෝණ සැකසීම මත පදනම්ව, එවැනි කෝණවල එකතුව සෑම විටම ප්‍රතිලෝම කෝණයක් සාදයි, එහි අංශක මිනුම 180° වේ:

• μ සහ η යාබද කෝණ නම්, μ + η = 180°.
• යාබද කෝණවලින් එකක විශාලත්වය දැන ගැනීමෙන් (උදාහරණයක් ලෙස, μ), ඔබට η = 180 ° - μ යන ප්‍රකාශනය භාවිතයෙන් දෙවන කෝණයේ (η) අංශක මිනුම පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය.

2. කෝණවල මෙම ගුණාංගය අපට පහත නිගමන උකහා ගැනීමට ඉඩ සලසයි: යාබද කෝණයක් සෘජු කෝණය, සෘජු ද වනු ඇත.

3. සලකා බැලීම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත(sin, cos, tg, ctg), යාබද කෝණ μ සහ η සඳහා අඩු කිරීමේ සූත්‍ර මත පදනම්ව, පහත සඳහන් දේ සත්‍ය වේ:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

යාබද කෝණ - උදාහරණ

උදාහරණ 1

M, P, Q – ΔMPQ සිරස් සහිත ත්‍රිකෝණයක් ලබා දී ඇත. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM යන කෝණවලට යාබද කෝණ සොයන්න.

• ත්රිකෝණයේ එක් එක් පැත්ත සරල රේඛාවක් සමඟ දිගු කරමු.
• යාබද කෝණ ප්‍රතිලෝම කෝණයක් දක්වා එකිනෙකට අනුපූරක වන බව දැන, අපි එය සොයා ගනිමු:

කෝණයට යාබදව ∠QMP යනු ∠LMP වේ,

කෝණයට යාබදව ∠MPQ යනු ∠SPQ,

කෝණයට යාබදව ∠PQM යනු ∠HQP වේ.

උදාහරණ 2

එක් යාබද කෝණයක අගය 35 ° වේ. දෙවන යාබද කෝණයෙහි අංශක මිනුම කුමක්ද?

• යාබද කෝණ දෙකක් 180° දක්වා එකතු වේ.
• ∠μ = 35° නම්, ඊට යාබදව ∠η = 180° – 35° = 145°.

උදාහරණය 3

ඒවායින් එකක අංශක මිනුම අනෙක් කෝණයේ අංශක මිනුමට වඩා තුන් ගුණයකින් වැඩි බව දන්නේ නම් යාබද කෝණවල අගයන් තීරණය කරන්න.

• අපි එක් (කුඩා) කෝණයක විශාලත්වය - ∠μ = λ මගින් දක්වන්නෙමු.
• එවිට, ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, දෙවන කෝණයෙහි අගය ∠η = 3λ ට සමාන වේ.
• යාබද කෝණවල මූලික ගුණය මත පදනම්ව, μ + η = 180 ° පහත දැක්වේ

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

මෙයින් අදහස් වන්නේ පළමු කෝණය ∠μ = λ = 45° වන අතර දෙවන කෝණය ∠η = 3λ = 135° වේ.

පාරිභාෂිතය භාවිතා කිරීමේ හැකියාව මෙන්ම යාබද කෝණවල මූලික ගුණාංග පිළිබඳ දැනුම, බොහෝ ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීමට උපකාර වනු ඇත.