Fraktály. Kochova krivka Postupy na získanie množín fraktálov

Tri kópie Kochovej krivky, skonštruované (s ich hrotmi smerom von) na stranách pravidelného trojuholníka, tvoria uzavretú krivku nekonečnej dĺžky tzv. Kochova snehová vločka.

Toto číslo je jedným z prvých fraktálov, ktoré vedci skúmali. Pochádza z troch kópií Kochova krivka, ktorý sa prvýkrát objavil v článku švédskeho matematika Helge von Kocha v roku 1904. Táto krivka bola vynájdená ako príklad súvislej čiary, ktorá nemôže byť dotyčnica k žiadnemu bodu. Línie s touto vlastnosťou boli známe už predtým (Karl Weierstrass postavil svoj príklad už v roku 1872), ale Kochova krivka je pozoruhodná jednoduchosťou svojho dizajnu. Nie náhodou sa jeho článok volá „Na súvislej krivke bez dotyčníc, ktorá vychádza z elementárnej geometrie“.

Kresba a animácia dokonale ukazujú, ako sa krok za krokom vytvára Kochova krivka. Prvá iterácia je jednoducho počiatočný segment. Potom sa rozdelí na tri rovnaké časti, stredová sa skompletizuje do tvaru pravidelného trojuholníka a následne sa vyhodí. Výsledkom je druhá iterácia - prerušovaná čiara pozostávajúca zo štyroch segmentov. Na každý z nich sa aplikuje rovnaká operácia a získa sa štvrtý krok konštrukcie. Ak budete pokračovať v rovnakom duchu, môžete získať ďalšie a ďalšie nové riadky (všetky budú prerušované). A to, čo sa deje v limite (toto už bude imaginárny objekt), sa nazýva Kochova krivka.

1. Je spojitá, ale nikde nerozlíšiteľná. Zhruba povedané, to je presne dôvod, prečo bol vynájdený - ako príklad tohto druhu matematických „čudákov“.

2. Má nekonečnú dĺžku. Dĺžka pôvodného segmentu nech je rovná 1. Pri každom konštrukčnom kroku nahradíme každý zo segmentov tvoriacich čiaru prerušovanou čiarou, ktorá je 4/3 krát dlhšia. To znamená, že dĺžka celej prerušovanej čiary sa v každom kroku vynásobí 4/3: dĺžka čiary s číslom n rovná sa (4/3) n-1. Preto limitná čiara nemá inú možnosť, ako byť nekonečne dlhá.

3. Kochova snehová vločka obmedzuje konečnú oblasť. A to aj napriek tomu, že jeho obvod je nekonečný. Táto vlastnosť sa môže zdať paradoxná, ale je zrejmá – snehová vločka úplne zapadá do kruhu, takže jej plocha je zjavne obmedzená. Oblasť sa dá vypočítať a nepotrebujete na to ani špeciálne znalosti - vzorce pre oblasť trojuholníka a súčet geometrickej progresie sa vyučujú v škole. Pre záujemcov je výpočet uvedený nižšie drobným písmom.

Nech je strana pôvodného pravidelného trojuholníka rovná a. Potom je jeho oblasť . Najprv je strana 1 a oblasť je: . Čo sa stane, keď sa iterácia zvýši? Môžeme predpokladať, že malé rovnostranné trojuholníky sú pripojené k existujúcemu mnohouholníku. Prvýkrát sú ich len 3 a nabudúce ich je 4-krát viac ako predchádzajúce. Teda na n bude dokončený krok Tn= 34 n- 1 trojuholník. Dĺžka strany každého z nich je jedna tretina strany trojuholníka dokončeného v predchádzajúcom kroku. Takže sa rovná (1/3) n. Plochy sú úmerné štvorcom strán, takže plocha každého trojuholníka je . Pre veľké hodnoty n Mimochodom, toto je veľmi málo. Celkový príspevok týchto trojuholníkov k oblasti snehovej vločky je Tn · S n= 3/4 · (4/9) n · S 0 Preto po n-krok, plocha obrázku sa bude rovnať súčtu S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +Tn S n = . Snehová vločka sa získa po nekonečnom počte krokov, čo zodpovedá n→ ∞. Výsledkom je nekonečný súčet, ale toto je súčet klesajúcej geometrickej progresie; existuje na to vzorec: . Oblasť snehovej vločky je .

4. Fraktálny rozmer sa rovná log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Presný výpočet si bude vyžadovať značné úsilie a podrobné vysvetlenia, takže tu je skôr ilustrácia definície fraktálnej dimenzie. Z mocenského vzorca N(δ ) ~ (1/δ )D, Kde N- počet pretínajúcich sa štvorcov, δ - ich veľkosť a D je rozmer, to sme pochopili D= log 1/ 5 N. Táto rovnosť platí až do pridania konštanty (rovnaká pre všetkých δ ). Obrázky znázorňujú piatu iteráciu konštrukcie Kochovej krivky; štvorce mriežky, ktoré sa s ňou pretínajú, sú zatienené zelenou farbou. Dĺžka pôvodného segmentu je 1, takže na hornom obrázku je dĺžka strany štvorcov 1/9. 12 štvorcov je tieňovaných, log 9 12 ≈ 1,130929... . Zatiaľ nie veľmi podobný 1,261859... . Pozrime sa ďalej. Na strednom obrázku sú štvorce polovičnej veľkosti, ich veľkosť je 1/18, tieňované 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Už lepšie. Dole sú štvorce ešte o polovicu menšie, premaľovaných je už 72 kusov. log 72 30 ≈ 1,193426... . Ešte bližšie. Potom musíte zvýšiť číslo iterácie a súčasne znížiť štvorce, potom sa „empirická“ hodnota rozmeru Kochovej krivky bude neustále približovať k log 3 4 av limite sa úplne zhoduje.

Kochovu snehovú vločku „naopak“ získame, ak zostrojíme Kochove krivky vo vnútri pôvodného rovnostranného trojuholníka.

Cesaro linky. Namiesto rovnostranných trojuholníkov sa používajú rovnoramenné trojuholníky so základným uhlom od 60° do 90°. Na obrázku je uhol 88°.

Štvorcová možnosť. Tu sú štvorce dokončené.

Snehová vločka Koch

plátno(
orámovanie: 1px prerušovaná čierna;
}

var cos = 0,5,
sin = Math.sqrt(3) / 2,
stupeň = Math.PI / 180;
canv, ctx;

funkcia rebro(n, len) (
ctx.save(); // Uložte aktuálnu transformáciu
if (n == 0) ( // Nerekurzívny prípad - nakreslite čiaru
ctx.lineTo(len, 0);
}
inak(
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // Oddialiť 3-krát
rebro(n-1, len); //RECUURSION na hrane
ctx.rotate(60 * stupňov);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * stupňov);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(60 * stupňov);
rebro(n-1, len);
}
ctx.restore(); // Obnovenie transformácie
ctx.translate(len, 0); // prejdite na koniec okraja
}

function drawKochSnowflake(x, y, len, n) (
x = x - len / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * stupňov); //RECUUUURSION je už trojuholník
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * stupňov);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.stroke();
ctx.restore();
}

funkcia clearcanvas())( //vyčistenie plátna
ctx.save();
ctx.beginPath();

// Pri čistení plátna použite maticu identity
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, plátno1.šírka, plátno1.výška);

// Obnovenie transformácie
ctx.restore();
}

funkcia run() (
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.stroke(); //vykresľovanie
}

Kochova snehová vločka - príklad

V Bostone bola nezvyčajne teplá zima, no aj tak sme čakali na prvé sneženie. Pri pohľade na sneh padajúci cez okno som premýšľal o snehových vločkách a o tom, že ich štruktúru nie je vôbec ľahké matematicky opísať. Existuje však jeden špeciálny druh snehovej vločky, známy ako Kochova vločka, ktorú možno opísať pomerne jednoducho. Dnes sa pozrieme na to, ako sa dá skonštruovať jeho tvar pomocou COMSOL Multiphysics Application Builder.

Ako sme už spomenuli v našom blogu, fraktály sa dajú použiť v . Snehová vločka Koch je fraktál, ktorý je pozoruhodný tým, že na jeho konštrukciu existuje veľmi jednoduchý iteračný proces:

Tento postup je znázornený na obrázku nižšie pre prvé štyri iterácie kreslenia snehovej vločky.

Prvé štyri iterácie Kochovej snehovej vločky. Obrázok od Wxs - Vlastná práca. Licencované pod CC BY-SA 3.0, cez Wikimedia Commons.

Keďže teraz vieme, ktorý algoritmus použiť, pozrime sa, ako vytvoriť takúto štruktúru pomocou COMSOL Multiphysics Application Builder. Otvoríme nový súbor a vytvoríme 2D objekt časť geometrie v uzle Globálne definície. Pre tento objekt nastavíme päť vstupných parametrov: dĺžku strany rovnostranného trojuholníka; X- A r– súradnice stredu základne; a zložky normálneho vektora smerujúce zo stredu základne do opačného vrcholu, ako je znázornené na obrázkoch nižšie.

Päť parametrov používaných na nastavenie veľkosti, polohy a orientácie rovnostranného trojuholníka.

Nastavenie vstupných parametrov geometrickej časti.
Primitívum mnohouholníka sa používa na zostavenie rovnostranného trojuholníka.

Objekt sa môže otáčať okolo stredu spodného okraja.

Objekt je možné presunúť vzhľadom na pôvod.

Teraz, keď sme definovali geometrickú časť, použijeme ju raz v sekcii Geometria. Tento jediný trojuholník je ekvivalentný nultej iterácii Kochovej snehovej vločky a teraz pomocou aplikácie Application Builder vytvoríme zložitejšie snehové vločky.

Aplikácia má veľmi jednoduché užívateľské rozhranie. Obsahuje iba dva komponenty, s ktorými môže používateľ interagovať: Posúvač (Posuvník)(označené ako 1 na obrázku nižšie), pomocou ktorého môžete nastaviť počet iterácií potrebných na vytvorenie snehovej vločky a Tlačidlo(menovka 2), kliknutím na ktorý sa vytvorí a zobrazí výsledná geometria. Existujú tiež Textový nápis(označenie 3) a Zobrazenie (Display) údajov(label 4), ktoré zobrazujú počet zadaných iterácií, ako aj okno Grafy(štítok 5), ktorý zobrazuje konečnú geometriu.

Aplikácia má jeden formulár s piatimi komponentmi.

Aplikácia má dve Definície, z ktorých jedna definuje celočíselnú hodnotu nazývanú Iterácie, ktorej predvolená hodnota je nula, ale používateľ ju môže zmeniť. Definované je aj 1D pole dvojíc nazývané Center. Jediný prvok v poli má hodnotu 0,5, ktorá sa používa na nájdenie stredu každej hrany. Táto hodnota sa nikdy nemení.

Nastavenia pre dve definície.

Komponent Slider v používateľskom rozhraní riadi hodnotu celého čísla, parametra Iterations. Snímka obrazovky nižšie zobrazuje nastavenia pre "Posuvník" a hodnoty, ktoré sú nastavené ako celé čísla v rozsahu od 0 do 5. Rovnaký zdroj (ako pre posúvač) je tiež vybraný pre komponent Zobrazenie údajov na zobrazenie počtu zadaných iterácií na obrazovke aplikácie. Potenciálneho používateľa obmedzujeme na päť iterácií, pretože použitý algoritmus nie je optimálny a nie je veľmi efektívny, ale je dostatočne jednoduchý na implementáciu a demonštráciu.

Nastavenia pre komponent "Slider".

Ďalej sa pozrime na nastavenia pre naše tlačidlo zobrazené na snímke obrazovky nižšie. Po stlačení tlačidla sa vykonajú dva príkazy. Najprv sa zavolá metóda CreateSnowFlake. Výsledná geometria sa potom zobrazí v grafickom okne.

Nastavenia tlačidiel.

Teraz sme sa pozreli na používateľské rozhranie našej aplikácie a vidíme, že vytvorenie akejkoľvek geometrie snehovej vločky musí prebiehať prostredníctvom metódy tzv. Pozrime sa na kód tejto metódy, pričom číslovanie riadkov je pridané vľavo a reťazcové konštanty sú zvýraznené červenou farbou:

1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance" ); 3 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 4 for (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + iter; 7 for (int hrana = 1; hrana "geom1" ).getNEdges(); edge++) ( 8 Reťazec newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1" ); 10 with(model. geom("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 14 setEntry("inputexpr" " , "nx" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(okraj, Stred)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(okraj, Stred)) ; 16 endwith(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 ) 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList ); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "off" ); 21 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 22)

Poďme si prejsť kód riadok po riadku, aby sme pochopili, akú funkciu každý riadok vykonáva:

Pokryli sme teda všetky aspekty a prvky našej aplikácie. Pozrime sa na výsledky!

Naša jednoduchá aplikácia na zostavenie snehovej vločky Koch.

Mohli by sme rozšíriť našu aplikáciu o zapisovanie geometrie do súboru alebo dokonca priamo vykonávať ďalšie analýzy. Mohli by sme napríklad navrhnúť fraktálnu anténu. Ak máte záujem o dizajn antény, pozrite si náš príklad alebo dokonca vytvorte jej rozloženie od začiatku.

Ak si chcete vytvoriť túto aplikáciu sami, ale ešte ste nedokončili Application Builder, môžu vám pomôcť nasledujúce zdroje:

• Stiahnite si príručku Úvod do prostredia vývoja aplikácií v angličtine
• Pozrite si tieto videá a naučte sa ich používať
• Prečítajte si tieto témy, aby ste sa oboznámili s tým, ako sa používajú simulačné aplikácie

Keď si preberiete tento materiál, uvidíte, ako možno rozšíriť funkčnosť aplikácie o zmenu veľkosti snehovej vločky, export vytvorenej geometrie, odhad oblasti a obvodu a oveľa viac.

Aký druh aplikácie by ste chceli vytvoriť v COMSOL Multiphysics? pre pomoc.

Fraktálnu snehovú vločku, jeden z najznámejších a najzáhadnejších geometrických objektov, opísala začiatkom nášho storočia Helga von Koch. Podľa tradície sa v našej literatúre nazýva Kochova snehová vločka. Ide o veľmi „špicatú“ geometrickú figúru, ktorú možno metaforicky vnímať ako výsledok toho, že sa Dávidova hviezda opakovane „rozmnožuje“ sama od seba. Jeho šesť hlavných lúčov je pokrytých nekonečným počtom veľkých a malých vrcholov „ihiel“. Každý mikroskopický fragment obrysu snehovej vločky je ako dva hrášky v struku a veľký lúč zase obsahuje nekonečné množstvo rovnakých mikroskopických fragmentov.

Na medzinárodnom sympóziu o metodológii matematického modelovania vo Varne v roku 1994 som narazil na práce bulharských autorov, ktorí opísali svoje skúsenosti s používaním Kochových snehových vločiek a iných podobných predmetov na hodinách strednej školy, aby ilustrovali problém deliteľnosti priestoru a filozofické apórie Zenóna. Navyše z výchovného hľadiska je podľa mňa veľmi zaujímavý už samotný princíp konštrukcie pravidelných fraktálových geometrických štruktúr - princíp rekurzívneho násobenia základného prvku. Nie nadarmo príroda „miluje“ fraktálne formy. Vysvetľuje sa to práve tým, že sa získavajú jednoduchou reprodukciou a zmenou veľkosti určitého elementárneho stavebného bloku. Ako viete, príroda neprekypuje rôznymi dôvodmi a ak je to možné, vystačí si s najjednoduchšími algoritmickými riešeniami. Pozrite sa pozorne na obrysy listov a v mnohých prípadoch objavíte jasný vzťah s tvarom obrysu snehovej vločky Koch.

Vizualizácia fraktálnych geometrických štruktúr je možná len s pomocou počítača. Zostrojiť Kochovu vločku nad tretím rádom ručne je už veľmi ťažké, ale naozaj sa chcete pozerať do nekonečna! Prečo sa teda nepokúsiť vyvinúť vhodný počítačový program. V RuNet nájdete odporúčania na zostavenie snehovej vločky Koch z trojuholníkov. Výsledok tohto algoritmu vyzerá ako spleť pretínajúcich sa čiar. Je zaujímavejšie kombinovať túto figúrku z „kúskov“. Obrys Kochovej snehovej vločky pozostáva z rovnako dlhých segmentov naklonených pod uhlom 0°, 60° a 120° vzhľadom na horizontálnu os x. Ak ich označíme 1, 2 a 3, potom snehová vločka akéhokoľvek poradia bude pozostávať z postupných trojíc - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... atď. Každý z týchto troch typov segmentov možno pripojiť k predchádzajúcemu na jednom alebo druhom konci. Ak vezmeme do úvahy túto okolnosť, môžeme predpokladať, že obrys snehovej vločky pozostáva zo segmentov šiestich typov. Označme ich 0, 1, 2, 3, 4, 5. Získame tak možnosť zakódovať obrys ľubovoľného poriadku pomocou 6 číslic (pozri obrázok).

Snehová vločka vyššieho rádu sa získa z predchodcu nižšieho rádu nahradením každej hrany štyrmi, spojenými ako zložené dlane (_/\_). Typ hrany 0 je nahradený štyrmi hranami 0, 5, 1, 0 a tak ďalej podľa tabuľky:

Jednoduchý rovnostranný trojuholník si možno predstaviť ako Kochovu snehovú vločku nultého rádu. V popísanom kódovacom systéme zodpovedá zápisu 0, 4, 2. Všetko ostatné sa dá získať popísanými náhradami. Nebudem tu poskytovať kód procedúry a tým vás pripravím o potešenie z vývoja vlastného programu. Pri jeho písaní nie je vôbec potrebné používať explicitné rekurzívne volanie. Dá sa nahradiť bežným cyklom. V procese práce budete mať ďalší dôvod premýšľať o rekurzii a jej úlohe pri formovaní kvázi fraktálových foriem sveta okolo nás a na konci cesty (ak, samozrejme, nie ste príliš leniví aby ste to prešli až do konca) budete môcť obdivovať zložitý vzor obrysov fraktálnej snehovej vločky a tiež sa konečne pozrieť do tváre nekonečna.

Téma: Fraktály.

1. Úvod. Stručné historické pozadie fraktálov. 2. Fraktály sú prvky geometrie v prírode.

3. Objekty s fraktálnymi vlastnosťami v prírode. 4. Definícia terminológie „fraktály“.

5.Triedy fraktálov.

6.Popis fraktálnych procesov. 7.Postupy získavania fraktálových množín.

8.1 Zlomená Kokha (postup získania).

8.2 Kochova snehová vločka (Koch Fractal).

8.3 Menger špongie.

9. Príklady použitia fraktálov.

Fraktály sú mladé odvetvie diskrétnej matematiky.

V roku 1904 prišiel Švéd Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu – Kochovou krivkou.

V roku 1918 Francúz Julia opísal celú rodinu fraktálov.

V roku 1938 Pierre Levy publikoval článok „Rovinové a priestorové krivky a povrchy pozostávajúce z častí podobných celku“.

V roku 1982 vydal Benoit Mandelbrot knihu „Fraktálna geometria prírody“.

Pomocou jednoduchých konštrukcií a vzorcov sa vytvárajú obrázky. Objavila sa „fraktálna maľba“.

Od roku 1993 vydáva World Scientific časopis „Fractals“.

Fraktály sú prostriedkom na popis objektov, ako sú modely pohorí, členité pobrežia, obehové systémy mnohých kapilár a ciev, koruny stromov, kaskádové vodopády, mrazivé vzory na skle.

Alebo tieto: list papradia, oblaky, škvrna.

Obrázky takýchto objektov môžu byť reprezentované pomocou fraktálnej grafiky.

KoralyHviezdice a UrchinsMorské mušle

Kvety a rastliny (brokolica, kapusta) Ovocie (ananás)

Koruny stromov a listy rastlín Obehová sústava a priedušky ľudí a zvierat V neživej prírode:

Hranice geografických objektov (krajiny, regióny, mestá) Pobrežia Pohoria Snehové vločky Oblaky Blesky

Vzory vytvorené na skle Kryštály Stalaktity, stalagmity, heliktity.

Fraktály sú geometrické tvary, ktoré spĺňajú jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností:

Má zložitú netriviálnu štruktúru pri akomkoľvek zväčšení (na všetkých mierkach); je (približne) sebepodobný.

Má zlomkovú Hausdorffovu (fraktálnu) dimenziu alebo presahuje topologickú dimenziu; Dá sa skonštruovať rekurzívnymi postupmi.

Pre pravidelné útvary, ako je kruh, elipsa alebo graf hladkej funkcie, je malý fragment vo veľmi veľkej mierke podobný fragmentu priamky. Pre fraktál nevedie zväčšenie mierky k zjednodušeniu štruktúry, pri všetkých mierkach uvidíme rovnako zložité obrázky.

Fraktál je štruktúra pozostávajúca z častí (subštruktúr) podobných celku.

Niektoré fraktály, ako prvky prírody, možno klasifikovať ako geometrické (konštruktívne) fraktály.

Zvyšok možno klasifikovať ako dynamické fraktály (algebraické).

Toto je jednoduchý rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek: zadajte ľubovoľnú prerušovanú čiaru s konečným počtom väzieb - generátor. Ďalej je v ňom nahradený každý segment generátora. Potom je každý segment v ňom opäť nahradený generátorom a tak ďalej do nekonečna.

Zobrazené: rozdelenie jednotkového segmentu na 3 časti (a), jednotková štvorcová plocha na 9 častí (b), jednotková kocka na 27 častí (c) a 64 častí (d). Počet častí je n, koeficient mierky je k a rozmer priestoru je d. Máme nasledujúce vzťahy: n = kd,

ak n = 3, k = 3, potom d = 1; ak n = 9, k = 3, potom d = 2; ak n = 27, k = 3, potom d = 3.

ak n = 4, k = 4, potom d = 1; ak n = 16, k = 4, potom d = 2; ak n = 64, k = 4, potom d = 3. Rozmer priestoru je vyjadrený v celých číslach: d = 1, 2, 3; pre n = 64 je hodnota d

Je znázornených päť krokov konštrukcie Kochovej lomenej čiary: segment jednotkovej dĺžky (a), rozdelený na tri časti (k = 3), zo štyroch častí (n = 4) - prerušovaná čiara (b); každý rovný segment je rozdelený na tri časti (k2 = 9) a zo 16 častí (n2 = 16) - prerušovaná čiara (c); postup sa opakuje pre k3 = 27 an3 = 64 – prerušovaná čiara (g); pre k5 = 243 a n5 = 1024 – prerušovaná čiara (d).

Rozmer

Toto je zlomková alebo fraktálna dimenzia.

Kochova polyline, ktorú navrhol Helg von Koch v roku 1904, pôsobí ako fraktál, ktorý je vhodný na modelovanie členitosti pobrežia. Mandelbrot zaviedol do algoritmu konštrukcie pobrežia prvok náhodnosti, ktorý však neovplyvnil hlavný záver týkajúci sa dĺžky pobrežia. Pretože limit

Dĺžka pobrežia má tendenciu k nekonečnu kvôli nekonečnej členitosti pobrežia.

Postup pri vyhladzovaní pobrežia pri prechode z podrobnejšej mierky na menej podrobnú, t.j.

Ako základ pre konštrukciu môžete vziať nie segmenty jednotkovej dĺžky, ale rovnostranný trojuholník, na každú stranu ktorého môžete rozšíriť postup násobenia nepravidelností. V tomto prípade dostaneme Kochovu snehovú vločku (obr.), a to troch typov: novovytvorené trojuholníky sú nasmerované iba smerom von z predchádzajúceho trojuholníka (a) a (b); iba vo vnútri (v); náhodne buď smerom von alebo dovnútra (d) a (e). Ako môžete nastaviť postup konštrukcie Kochovho fraktálu.

Ryža. Snehová vločka Koch

Na obr. sú znázornené dva vektorové diagramy; Čísla nad šípkami pravdepodobne vyvolávajú otázku: čo znamenajú? Vektor 0 sa zhoduje s kladným smerom osi x, pretože jeho fázový faktor exp (i2πl/6) pri l = 0 si zachováva svoj smer. Vektor 1 je otočený voči vektoru 0 o uhol 2π/6, keď l= 1. Vektor 5 má fázový faktor exp (i2π5/6), l = 5. Posledný vektor má rovnaký fázový faktor ako prvý ( l = 0). Celé čísla l charakterizujú uhol fázového faktora jednotkového vektora.

Prvý krok (obr.) špecifikuje rekurzívny postup pre všetky nasledujúce kroky a najmä pre druhý krok (obr.). Ako prejsť od množiny čísel φ1 = (0 1 5 0) k φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Odpoveď: prostredníctvom priameho násobenia matice, keď sa každý prvok jednej matice vynásobí pôvodnou maticou. Keďže v tomto prípade máme do činenia s jednorozmerným poľom, t.j. Keďže matice sú vektory, každý prvok jedného maticového vektora sa vynásobí všetkými prvkami iného maticového vektora. Prvky maticového vektora φ1 navyše pozostávajú z exponenciálnych funkcií exp (i2πl/6), preto 10 pri násobení čísla h bude potrebné sčítať podľa mod (6), a nie násobiť.

Geometrický tvar snehovej vločky Koch vyzerá takto



Ako nakresliť Kochovu snehovú vločku



A je tu aj Kochova pyramída



Ako nakresliť snehovú vločku Koch, môžete podrobnejšie zistiť z nižšie uvedeného videa. Niekto to možno pochopí, vzdal som to.

Najprv sa pozrime na túto snehovú vločku Koch. Najlepšie nám to ukáže nasledujúci diagram.



To znamená, že na nakreslenie danej snehovej vločky je potrebné použiť jednotlivé geometrické tvary, ktoré tvoria tento geometrický fraktál.



Základom našej kresby je rovnostranný trojuholník. Každá strana je rozdelená na tri segmenty, z ktorých sú postavené ďalšie, menšie, rovnostranné trojuholníky. Rovnaká operácia sa niekoľkokrát vykoná s výslednými trojuholníkmi.

Kochova snehová vločka je jedným z prvých fraktálov, ktoré vedci skúmali. Z troch kópií Kochovej krivky sa získava snehová vločka, informácia o tomto objave sa objavila v roku 1904 v článku švédskeho matematika Helgeho von Kocha. Krivka bola v podstate vynájdená ako príklad súvislej čiary, ku ktorej nie je možné nakresliť dotyčnicu v žiadnom bode. Kochova krivka je vo svojom dizajne jednoduchá.

Príklad, fotografická kresba obrázka snehovej vločky Koch s postupnou kresbou.



V tomto diagrame môžete podrobne preskúmať čiary, ktoré neskôr vytvoria snehovú vločku Koch.

A toto je interpretácia novej snehovej vločky na základe Kochovej snehovej vločky.



Než pochopíte, ako nakresliť snehovú vločku Koch, musíte určiť, čo to je.

Takže snehová vločka Koch je geometrický obraz - fraktál.

Úplná definícia Kochovej snehovej vločky je uvedená na obrázku nižšie.