Ako nájsť nuly funkcie v zlomku. Ako nájsť nuly funkcie

Funkčné nuly sú hodnoty argumentov, pri ktorých sa funkcia rovná nule.

Ak chcete nájsť nuly funkcie danej vzorcom y=f(x), musíte vyriešiť rovnicu f(x)=0.

Ak rovnica nemá korene, funkcia nemá nuly.

Príklady.

1) Nájdite nuly lineárnej funkcie y=3x+15.

Ak chcete nájsť nuly funkcie, vyriešte rovnicu 3x+15=0.

Nula funkcie y=3x+15 je teda x= -5.

Odpoveď: x= -5.

2) Nájdite nuly kvadratickej funkcie f(x)=x²-7x+12.

Ak chcete nájsť nuly funkcie, vyriešte kvadratickú rovnicu

Jej korene x1=3 a x2=4 sú nuly tejto funkcie.

Odpoveď: x=3; x=4.

Inštrukcie

1. Nula funkcie je hodnota argumentu x, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule. Nulové však môžu byť len tie argumenty, ktoré sú v rámci definície skúmanej funkcie. To znamená, že existuje veľa hodnôt, pre ktoré je funkcia f(x) užitočná. 2. Zapíšte si danú funkciu a prirovnajte ju k nule, povedzme f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Vyriešte výslednú rovnicu a nájdite jej skutočné korene. Korene kvadratickej rovnice sú vypočítané s podporou hľadania diskriminantu. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5a-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. V tomto prípade sa teda získajú dva korene kvadratickej rovnice zodpovedajúce argumenty počiatočnej funkcie f(x). 3. Skontrolujte, či všetky zistené hodnoty x patria do domény definície danej funkcie. Zistite OOF, aby ste to urobili, skontrolujte počiatočný výraz na prítomnosť párnych koreňov tvaru?f (x), na prítomnosť zlomkov vo funkcii s argumentom v menovateli, na prítomnosť logaritmických alebo trigonometrických výrazov. 4. Pri zvažovaní funkcie s výrazom pod odmocninou párneho stupňa vezmite ako definičný obor všetky argumenty x, ktorých hodnoty nemenia radikálny výraz na záporné číslo (naopak, funkcia áno nedáva zmysel). Skontrolujte, či zistené nuly funkcie spadajú do určitého rozsahu prijateľných hodnôt x. 5. Menovateľ zlomku nemôže ísť na nulu, preto vylúčte tie argumenty x, ktoré vedú k takémuto výsledku. Pre logaritmické veličiny by sa mali brať do úvahy iba tie hodnoty argumentu, pre ktoré je samotný výraz väčší ako nula. Nuly funkcie, ktorá mení sublogaritmický výraz na nulu alebo záporné číslo, musia byť z konečného výsledku vyradené. Poznámka! Pri hľadaní koreňov rovnice sa môžu objaviť ďalšie korene. To sa dá ľahko skontrolovať: stačí nahradiť výslednú hodnotu argumentu do funkcie a uistiť sa, že sa funkcia zmení na nulu. Užitočné rady Niekedy funkcia nie je vyjadrená zrejmým spôsobom prostredníctvom svojho argumentu, potom je ľahké vedieť, čo je táto funkcia. Príkladom toho je rovnica kruhu.

Funkčné nuly Zavolá sa hodnota vodorovnej osi, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

Ak je funkcia daná svojou rovnicou, potom nuly funkcie budú riešením rovnice. Ak je daný graf funkcie, potom nuly funkcie sú hodnoty, pri ktorých graf pretína os x.

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia - premenná závislosť pri z premennej X, ak každá hodnota X zodpovedá jednej hodnote pri. Variabilné X nazývaná nezávislá premenná alebo argument. Variabilné pri nazývaná závislá premenná. Všetky hodnoty nezávislej premennej (premenná X) tvoria definičný obor funkcie. Všetky hodnoty, ktoré má závislá premenná (premenná r), tvoria rozsah hodnôt funkcie.

Funkčný graf zavolajte množinu všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie, to znamená hodnotám premenné sú vynesené pozdĺž osi x X a hodnoty premennej sú vynesené pozdĺž osi y r. Ak chcete zobraziť funkciu grafu, musíte poznať vlastnosti funkcie. Hlavné vlastnosti funkcie budú uvedené nižšie!

Na zostavenie grafu funkcie odporúčame použiť náš program – Grafické funkcie online. Ak máte nejaké otázky pri štúdiu materiálu na tejto stránke, vždy sa ich môžete opýtať na našom fóre. Aj na fóre vám pomôžu vyriešiť problémy z matematiky, chémie, geometrie, teórie pravdepodobnosti a mnohých ďalších predmetov!

Základné vlastnosti funkcií.

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený.
Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktorú funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x je f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

Po preštudovaní týchto vlastností funkcie môžete funkciu jednoducho preskúmať a pomocou vlastností funkcie zostaviť graf funkcie. Pozrite si aj materiál o pravdivostnej tabuľke, násobilke, periodickej tabuľke, tabuľke derivácií a tabuľke integrálov.

Funkčné nuly

Čo sú funkčné nuly? Ako určiť nuly funkcie analyticky a graficky?

Funkčné nuly- toto sú hodnoty argumentov, pri ktorých sa funkcia rovná nule.

Ak chcete nájsť nuly funkcie danej vzorcom y=f(x), musíte vyriešiť rovnicu f(x)=0.

Ak rovnica nemá korene, funkcia nemá nuly.

1) Nájdite nuly lineárnej funkcie y=3x+15.

Ak chcete nájsť nuly funkcie, vyriešte rovnicu 3x+15 =0.

Nula funkcie je teda y=3x+15 - x= -5.

2) Nájdite nuly kvadratickej funkcie f(x)=x²-7x+12.

Ak chcete nájsť nuly funkcie, vyriešte kvadratickú rovnicu

Jej korene x1=3 a x2=4 sú nuly tejto funkcie.

3) Nájdite nuly funkcie

Zlomok má zmysel, ak je menovateľ nenulový. Preto x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1. To znamená, že doména definície danej funkcie (DO)

Z koreňov rovnice x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 je v doméne definície zahrnuté iba x=-4.

Ak chcete nájsť nuly funkcie zadanej graficky, musíte nájsť priesečníky grafu funkcie s osou x.

Ak graf nepretína os Ox, funkcia nemá nuly.

funkcia, ktorej graf je znázornený na obrázku, má štyri nuly -

V algebre sa problém hľadania núl funkcie vyskytuje ako samostatná úloha, tak aj pri riešení iných problémov, napríklad pri štúdiu funkcie, riešení nerovníc atď.

www.algebraclass.ru

Pravidlo funkčných núl

Základné pojmy a vlastnosti funkcií

Pravidlo (právo) korešpondencie. Monotónna funkcia .

Obmedzené a neobmedzené funkcie. Nepretržité a

diskontinuálne funkcie . Párne a nepárne funkcie.

Periodická funkcia. Obdobie funkcie.

Funkčné nuly . Asymptota .

Doména definície a rozsah hodnôt funkcie. V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel R . To znamená, že argument funkcie môže mať iba tie skutočné hodnoty, pre ktoré je funkcia definovaná, t.j. tiež akceptuje len skutočné hodnoty. Kopa X všetky platné platné hodnoty argumentov X, pre ktorú funkciu r = f (X) je definovaný, tzv doména funkcie. Kopa Y všetky skutočné hodnoty r, ktorú funkcia akceptuje, sa volá funkčný rozsah. Teraz môžeme poskytnúť presnejšiu definíciu funkcie: pravidlo (zákon) o korešpondencii medzi množinami X A Y , podľa ktorej pre každý prvok zo sady X nájdete jeden a len jeden prvok zo sady Y, sa nazýva funkcia .

Z tejto definície vyplýva, že funkcia sa považuje za definovanú, ak:

— je špecifikovaná oblasť definície funkcie X ;

— je špecifikovaný funkčný rozsah Y ;

— pravidlo (zákon) korešpondencie je známe, a to tak, že pre každého

hodnotu argumentu, možno nájsť iba jednu funkčnú hodnotu.

Táto požiadavka jedinečnosti funkcie je povinná.

Monotónna funkcia. Ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu X 1 a X 2 podmienky X 2 > X 1 nasleduje f (X 2) > f (X 1), potom funkcia f (X) sa nazýva zvyšujúci sa; ak pre nejaké X 1 a X 2 podmienky X 2 > X 1 nasleduje f (X 2)

Funkcia znázornená na obr. 3 je obmedzená, ale nie monotónna. Funkcia na obr. 4 je práve opačná, monotónna, ale neobmedzená. (Vysvetlite to prosím!).

Spojité a nespojité funkcie. Funkcia r = f (X) sa nazýva nepretržitý v bode X = a, Ak:

1) funkcia je definovaná kedy X = a, t.j. f (a) existuje;

2) existuje konečný limit lim f (X) ;

Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto podmienok, potom sa zavolá funkcia výbušný v bode X = a .

Ak je funkcia nepretržitá počas každý body svojej oblasti definície, potom sa volá nepretržitá funkcia.

Párne a nepárne funkcie. Ak pre akýkoľvek X z oblasti definície funkcie platí: f (— X) = f (X), potom sa zavolá funkcia dokonca; ak sa to stane: f (— X) = — f (X), potom sa zavolá funkcia zvláštny. Graf párnej funkcie symetrické okolo osi Y(obr. 5), graf nepárnej funkcie Sim metrický vzhľadom na pôvod(obr. 6).

Periodická funkcia. Funkcia f (X) — periodické, ak niečo také existuje nenulovéčíslo T za čo akýkoľvek X z oblasti definície funkcie platí: f (X + T) = f (X). Toto najmenejčíslo sa volá obdobie funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické.

Príklad 1 Dokážte ten hriech X má obdobie 2.

Riešenie: Vieme, že hriech ( x+ 2 n) = hriech X, Kde n= 0, ± 1, ± 2, …

Preto dodatok 2 n nie k sínusovému argumentu

mení svoju hodnotu e. Je s tým aj iné číslo

Predstierajme to P– takéto číslo, t.j. rovnosť:

platné pre akúkoľvek hodnotu X. Ale potom má

miesto a na X= / 2, t.j.

hriech(/2 + P) = hriech / 2 = 1.

Ale podľa redukčného vzorca sin (/ 2 + P) = cos P. Potom

z posledných dvoch rovností vyplýva, že cos P= 1, ale my

vieme, že to platí len vtedy P = 2 n. Od najmenšieho

nenulové číslo od 2 n je 2, potom toto číslo

a je tu dobový hriech X. Podobným spôsobom sa dá dokázať, že 2

je aj obdobie pre cos X .

Dokážte, že funkcie tan X a detská postieľka X mať bodku.

Príklad 2. Aké číslo je perióda funkcie sin 2 X ?

Riešenie: Zvážte hriech 2 X= hriech (2 x+ 2 n) = hriech [ 2 ( X + n) ] .

Vidíme to pridávanie n k argumentu X, sa nemení

funkčná hodnota. Najmenšie nenulové číslo

od n je , takže toto je obdobie sin 2 X .

Funkčné nuly. Zavolá sa hodnota argumentu, pri ktorej sa funkcia rovná 0 nula ( root) funkcia. Funkcia môže mať viacero núl. Napríklad funkcia r = X (X + 1) (X- 3) má tri nuly: X = 0, X = — 1, X= 3. Geometricky nulová funkcia – toto je úsečka priesečníka funkčného grafu s osou X .

Obrázok 7 zobrazuje graf funkcie s nulami: X = a , X = b A X = c .

Asymptota. Ak sa graf funkcie neobmedzene približuje k určitej čiare, keď sa vzďaľuje od začiatku, potom sa táto čiara nazýva asymptota.

Téma 6. „Intervalová metóda.“

Ak f (x) f (x 0) pre x x 0, potom sa volá funkcia f (x). spojitá v bode x 0.

Ak je funkcia spojitá v každom bode určitého intervalu I, potom sa volá priebežne na intervale I (interval I sa nazýva interval spojitosti funkcie). Graf funkcie na tomto intervale je súvislá čiara, o ktorej sa hovorí, že ju možno „nakresliť bez toho, aby ste zdvihli ceruzku z papiera“.

Vlastnosť spojitých funkcií.

Ak je na intervale (a ; b) funkcia f spojitá a nezaniká, potom si na tomto intervale zachováva konštantné znamienko.

Na tejto vlastnosti je založená metóda na riešenie nerovností s jednou premennou, intervalová metóda. Nech je funkcia f(x) spojitá na intervale I a zanikne v konečnom počte bodov v tomto intervale. Vlastnosťou spojitých funkcií tieto body delia I na intervaly, v každom z nich si spojitá funkcia f(x) c zachováva konštantné znamienko. Na určenie tohto znamienka stačí vypočítať hodnotu funkcie f(x) v ľubovoľnom bode z každého takéhoto intervalu. Na základe toho získame nasledujúci algoritmus na riešenie nerovníc pomocou intervalovej metódy.

Intervalová metóda pre nerovnosti tvaru

Intervalová metóda. Priemerná úroveň.

Chcete si otestovať svoje sily a zistiť, aký je výsledok vašej pripravenosti na Jednotnú štátnu skúšku alebo Jednotnú štátnu skúšku?

Lineárna funkcia

Funkcia tvaru sa nazýva lineárna. Zoberme si funkciu ako príklad. Je kladná na 3″> a záporná na. Bodka je nula funkcie (). Ukážme si znaky tejto funkcie na číselnej osi:

Hovoríme, že „funkcia mení znamienko pri prechode bodom“.

Je vidieť, že znamienka funkcie zodpovedajú polohe grafu funkcie: ak je graf nad osou, znamienko je „ “, ak pod ním je „ “.

Ak výsledné pravidlo zovšeobecníme na ľubovoľnú lineárnu funkciu, dostaneme nasledujúci algoritmus:

Kvadratická funkcia

Dúfam, že si pamätáte, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti? Ak nie, prečítajte si tému „Kvadratické nerovnosti“. Dovoľte mi pripomenúť všeobecný tvar kvadratickej funkcie: .

Teraz si pripomeňme, aké znaky má kvadratická funkcia. Jeho graf je parabola a funkcia má znamienko " " pre tie, v ktorých je parabola nad osou, a " " - ak je parabola pod osou:

Ak má funkcia nuly (hodnoty, pri ktorých), parabola pretína os v dvoch bodoch - koreňoch príslušnej kvadratickej rovnice. Os je teda rozdelená na tri intervaly a pri prechode každým koreňom sa striedavo menia znamienka funkcie.

Je možné nejako určiť znamenia bez toho, aby ste zakaždým nakreslili parabolu?

Pripomeňme, že štvorcovú trojčlenku možno rozložiť na faktor:

Označme korene na osi:

Pamätáme si, že znamienko funkcie sa môže zmeniť iba pri prechode cez koreň. Využime túto skutočnosť: pre každý z troch intervalov, do ktorých je os rozdelená odmocninami, stačí určiť znamienko funkcie len v jednom ľubovoľne zvolenom bode: vo zvyšných bodoch intervalu bude znamienko rovnaké .

V našom príklade: pri 3″> sú oba výrazy v zátvorkách kladné (náhradné napríklad: 0″>). Na os umiestnime znak „ “:

No, keď (napríklad náhrada), obe zátvorky sú záporné, čo znamená, že produkt je pozitívny:

Tak to je intervalová metóda: ak poznáme znamienka faktorov na každom intervale, určíme znamienko celého produktu.

Uvažujme aj o prípadoch, keď funkcia nemá nuly, alebo len jednu.

Ak tam nie sú, potom neexistujú žiadne korene. To znamená, že nedôjde k „prechodu cez koreň“. To znamená, že funkcia preberá iba jedno znamienko na celej číselnej osi. Dá sa ľahko určiť dosadením do funkcie.

Ak je len jeden koreň, parabola sa dotýka osi, takže znamienko funkcie sa pri prechode cez koreň nemení. Aké pravidlo môžeme vymyslieť pre takéto situácie?

Ak zohľadníte takúto funkciu, získate dva rovnaké faktory:

A akýkoľvek štvorcový výraz nie je záporný! Znamienko funkcie sa teda nemení. V takýchto prípadoch koreň, pri prechode ktorým sa znamienko nemení, zvýrazníme zakrúžkovaním štvorčekom:

Takýto koreň nazveme násobky.

Intervalová metóda v nerovnostiach

Teraz je možné vyriešiť akúkoľvek kvadratickú nerovnosť bez kreslenia paraboly. Stačí umiestniť znamienka kvadratickej funkcie na os a vybrať intervaly v závislosti od znamienka nerovnice. Napríklad:

Zmeriame korene na osi a umiestnime značky:

Potrebujeme časť osi so znakom " "; keďže nerovnosť nie je striktná, do riešenia sú zahrnuté aj samotné korene:

Teraz zvážte racionálnu nerovnosť - nerovnosť, ktorej obe strany sú racionálne vyjadrenia (pozri „Racionálne rovnice“).

Príklad:

Všetky faktory okrem jedného sú tu „lineárne“, to znamená, že obsahujú premennú iba k prvej mocnine. Takéto lineárne faktory potrebujeme na uplatnenie intervalovej metódy – znamienko sa pri prechode cez ich korene mení. Ale multiplikátor nemá vôbec žiadne korene. To znamená, že je vždy kladná (to si overte sami), a teda neovplyvňuje znamienko celej nerovnosti. To znamená, že ňou môžeme rozdeliť ľavú a pravú stranu nerovnosti, a tak sa jej zbaviť:

Teraz je všetko rovnaké ako pri kvadratických nerovnostiach: určíme, v ktorých bodoch sa každý z faktorov rovná nule, označíme tieto body na osi a usporiadame znamienka. Chcel by som vás upozorniť na veľmi dôležitú skutočnosť:

V prípade párneho čísla robíme to isté ako predtým: bod zakrúžkujeme štvorcom a pri prechode cez odmocninu nemeníme znamienko. Ale v prípade nepárneho čísla toto pravidlo neplatí: znamienko sa pri prechode cez koreň aj tak zmení. Preto s takýmto koreňom nerobíme nič navyše, ako keby to nebol násobok. Vyššie uvedené pravidlá platia pre všetky párne a nepárne mocniny.

Čo máme napísať do odpovede?

Ak dôjde k porušeniu striedania znakov, musíte byť veľmi opatrní, pretože ak nerovnosť nie je striktná, odpoveď by mala obsahovať všetky tieňované body. Niektoré z nich však často stoja od seba, to znamená, že nie sú zahrnuté v zatienenej oblasti. V tomto prípade ich pridáme do odpovede ako izolované body (v zložených zátvorkách):

Príklady (rozhodnite sa sami):

Odpovede:

1. Ak je medzi faktormi jednoduchý, je to koreň, pretože môže byť reprezentovaný ako.
   .

2. Nájdeme nuly funkcie.

f(x) na x .

Odpoveď f(x) na x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 + 4 x + 5 > 0;

Nech f(x)=x 2 +4x +5 potom Nájdime také x, pre ktoré f(x)>0,

D=-4 Žiadne nuly.

4. Systémy nerovností. Nerovnice a sústavy nerovníc s dvoma premennými

1) Množina riešení sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení v nej obsiahnutých nerovníc.

2) Množinu riešení nerovnosti f(x;y)>0 môžeme graficky znázorniť na súradnicovej rovine. Čiara definovaná rovnicou f(x;y) = 0 zvyčajne rozdeľuje rovinu na 2 časti, z ktorých jedna je riešením nerovnosti. Na určenie ktorej časti je potrebné do nerovnosti dosadiť súradnice ľubovoľného bodu M(x0;y0), ktorý neleží na priamke f(x;y)=0. Ak f(x0;y0) > 0, potom riešením nerovnosti je časť roviny obsahujúca bod M0. ak f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Množina riešení sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení v nej obsiahnutých nerovníc. Dajme napríklad systém nerovností:

.

Pre prvú nerovnosť je množinou riešení kružnica s polomerom 2 so stredom v počiatku a pre druhú je to polrovina umiestnená nad priamkou 2x+3y=0. Množina riešení tejto sústavy je priesečníkom týchto množín, t.j. polkruh.

4) Príklad. Vyriešte systém nerovností:

Riešenie 1. nerovnosti je množina , 2. množina (2;7) a tretie množina .

Priesečníkom týchto množín je interval (2;3], ktorý je množinou riešení sústavy nerovníc.

5. Riešenie racionálnych nerovníc pomocou intervalovej metódy

Metóda intervalov je založená na nasledujúcej vlastnosti dvojčlenky (x-a): bod x = α rozdeľuje číselnú os na dve časti - napravo od bodu α dvojčlenku (x-α)>0, vľavo od bodu α (x-α)<0.

Nech je potrebné vyriešiť nerovnosť (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, kde α 1, α 2 ...α n-1, α n sú pevné čísla, medzi ktorými sa nerovná, a také, že α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 pri intervalovej metóde postupujeme nasledovne: čísla α 1, α 2 ...α n-1, α n sú vynesené na číselnú os; v intervale napravo od najväčšieho z nich, t.j. čísla α n, vložte znamienko plus, do intervalu, ktorý nasleduje sprava doľava, vložte znamienko mínus, potom znamienko plus, potom znamienko mínus atď. Potom množina všetkých riešení nerovnice (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 bude zjednotením všetkých intervalov, v ktorých je umiestnené znamienko plus, a množina riešení nerovnosti (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Riešenie racionálnych nerovností (t.j. nerovností tvaru P(x) Q(x) kde sú polynómy) je založená na nasledujúcej vlastnosti spojitej funkcie: ak spojitá funkcia zaniká v bodoch x1 a x2 (x1; x2) a nemá medzi týmito bodmi žiadne ďalšie korene, potom v intervaloch (x1; x2) si funkcia zachováva svoje znamienko.

Preto, aby ste našli intervaly konštantného znamienka funkcie y=f(x) na číselnej osi, označte všetky body, v ktorých funkcia f(x) zaniká alebo je nesúvislá. Tieto body rozdeľujú číselnú os na niekoľko intervalov, vo vnútri každého z nich je funkcia f(x) spojitá a nezaniká, t.j. zachráni znamenie. Na určenie tohto znamienka stačí nájsť znamienko funkcie v ktoromkoľvek bode uvažovaného intervalu číselnej osi.

2) Určiť intervaly konštantného znamienka racionálnej funkcie, t.j. Na vyriešenie racionálnej nerovnice označíme na číselnej osi korene čitateľa a korene menovateľa, ktoré sú zároveň koreňmi a zlomovými bodmi racionálnej funkcie.

Riešenie nerovníc intervalovou metódou

3. < 20.

Riešenie. Rozsah prijateľných hodnôt je určený systémom nerovností:

Pre funkciu f(x) = – 20. Nájdite f(x):

kde x = 29 a x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Odpoveď: . Základné metódy riešenia racionálnych rovníc. 1) Najjednoduchšie: riešené obvyklými zjednodušeniami – redukciou na spoločného menovateľa, redukciou podobných pojmov a pod. Kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 rieši...

X sa mení na intervale (0,1] a klesá na intervale = ½ [
-(1/3)
], s | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), o 1< |z| < 3.

s) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, s |2 - z| < 1

Je to kruh s polomerom 1 so stredom z = 2 .

V niektorých prípadoch môžu byť mocninné rady redukované na množinu geometrických progresií a potom je ľahké určiť oblasť ich konvergencie.

Atď. Preskúmajte konvergenciu radu

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Riešenie. Toto je súčet dvoch geometrických postupností s q 1 = , q 2 = () . Z podmienok ich konvergencie to vyplýva < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .