Definícia Hornerovho okruhu. Rovnice vo vyššej matematike Racionálne korene polynómov

Snímka 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) – anglický matematik. Narodený v Bristole. Študoval a pracoval tam, potom na školách v Bathe. Základné práce z algebry. V roku 1819 publikoval metódu na približný výpočet skutočných koreňov polynómu, ktorá sa dnes nazýva Ruffini-Hornerova metóda (túto metódu poznali Číňania ešte v 13. storočí) Schéma delenia polynómu dvojčlenkou x-a je pomenovaná po Hornerovi.

Snímka 4

HORNEROVÁ SCHÉMA

Metóda delenia polynómu n-tého stupňa lineárnym binómom - a, založená na skutočnosti, že koeficienty neúplného kvocientu a zvyšku súvisia s koeficientmi deleného polynómu a so vzorcami:

Snímka 5

Výpočty podľa Hornerovej schémy sú uvedené v tabuľke:

Príklad 1. Delenie Čiastočný podiel je x3-x2+3x - 13 a zvyšok je 42=f(-3).

Snímka 6

Hlavnou výhodou tejto metódy je kompaktnosť zápisu a možnosť rýchlo rozdeliť polynóm na dvojčlen. V skutočnosti je Hornerova schéma ďalšou formou zaznamenávania metódy zoskupovania, hoci na rozdiel od druhej je úplne nevizuálna. Odpoveď (faktorizácia) sa tu získava sama od seba a my nevidíme proces jej získavania. Nebudeme sa púšťať do rigorózneho zdôvodňovania Hornerovej schémy, ale len ukážeme, ako to funguje.

Snímka 7

Príklad 2

Dokážme, že polynóm P(x)=x4-6x3+7x-392 je deliteľný x-7 a nájdite podiel delenia. Riešenie. Pomocou Hornerovej schémy nájdeme P(7): Odtiaľ dostaneme P(7)=0, t.j. zvyšok pri delení polynómu x-7 sa rovná nule, a preto je polynóm P(x) násobkom (x-7) Navyše čísla v druhom riadku tabuľky sú koeficienty podiel P(x) delený (x-7), teda P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Snímka 8

Vynásobte polynóm x3 – 5x2 – 2x + 16.

Tento polynóm má celočíselné koeficienty. Ak je celé číslo koreňom tohto polynómu, potom je to deliteľ čísla 16. Ak teda daný polynóm má celé korene, potom to môžu byť len čísla ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Priamym overením sme presvedčení, že číslo 2 je koreňom tohto polynómu, teda x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kde Q(x) je polynóm druhého stupňa.

Snímka 9

Výsledné čísla 1, −3, −8 sú koeficienty polynómu, ktorý získame delením pôvodného polynómu x – 2. To znamená, že výsledkom delenia je: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Stupeň polynómu vzniknutého delením je vždy o 1 menší ako stupeň pôvodného. Takže: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).

Atď. má všeobecný vzdelávací charakter a má veľký význam pre štúdium CELÉHO kurzu vyššej matematiky. Dnes si zopakujeme „školské“ rovnice, ale nielen „školské“ – ale tie, ktoré sa nachádzajú všade v rôznych problémoch s vysmatom. Ako už býva zvykom, príbeh bude vyrozprávaný aplikovaným spôsobom, t.j. Nebudem sa venovať definíciám a klasifikáciám, ale podelím sa s vami o moju osobnú skúsenosť s jeho riešením. Informácie sú určené predovšetkým začiatočníkom, ale aj pokročilejší čitatelia si v nich nájdu veľa zaujímavých bodov. A, samozrejme, pribudne nový materiál, ktorý presahuje strednú školu.

Takže rovnica.... Mnohí si toto slovo pamätajú s otrasom. Akú hodnotu majú „sofistikované“ rovnice s koreňmi... ...zabudnite na ne! Pretože potom stretnete najneškodnejších „zástupcov“ tohto druhu. Alebo nudné goniometrické rovnice s desiatkami metód riešenia. Aby som bol úprimný, sám som ich nemal rád... Nerobte paniku! – potom na vás čakajú väčšinou „púpavy“ so samozrejmým riešením v 1-2 krokoch. Hoci sa „lopúch“ určite drží, tu musíte byť objektívni.

Napodiv, vo vyššej matematike je oveľa bežnejšie zaoberať sa veľmi primitívnymi rovnicami ako napr lineárne rovnice

Čo znamená vyriešiť túto rovnicu? To znamená nájsť TAKÚ hodnotu „x“ (koreň), ktorá ho zmení na skutočnú rovnosť. Hodíme „trojku“ doprava so zmenou znamienka:

a umiestnite „dvojku“ na pravú stranu (alebo to isté - vynásobte obe strany) :

Pre kontrolu nahraďte získanú trofej do pôvodnej rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že nájdená hodnota je skutočne koreňom tejto rovnice. Alebo, ako sa tiež hovorí, spĺňa túto rovnicu.

Upozorňujeme, že koreň možno zapísať aj ako desatinný zlomok:
A snažte sa nedržať tohto zlého štýlu! Dôvod som zopakoval viac ako raz, najmä na prvej lekcii vyššia algebra.

Mimochodom, rovnica sa dá vyriešiť aj „v arabčine“:

A čo je najzaujímavejšie je, že táto nahrávka je úplne legálna! Ale ak nie ste učiteľ, potom je lepšie to nerobiť, pretože originalita je tu trestaná =)

A teraz trochu o

grafická metóda riešenia

Rovnica má tvar a jej koreň je "X" súradnica priesečníky graf lineárnej funkcie s grafom lineárnej funkcie (os x):

Zdalo by sa, že príklad je taký elementárny, že tu už nie je čo analyzovať, ale dá sa z neho „vyžmýkať“ ešte jedna nečakaná nuansa: prezentujme rovnakú rovnicu vo forme a zostrojme grafy funkcií:

pričom prosím nezamieňajte si tieto dva pojmy: rovnica je rovnica a funkciu– toto je funkcia! Funkcie len pomoc nájsť korene rovnice. Z ktorých môžu byť dve, tri, štyri alebo dokonca nekonečne veľa. Najbližším príkladom v tomto zmysle je známy kvadratická rovnica, ktorého algoritmus riešenia dostal samostatný odsek „horúce“ školské formulky. A to nie je náhoda! Ak viete vyriešiť kvadratickú rovnicu a viete Pytagorova veta, potom by sa dalo povedať „polovicu vyššej matematiky už máte vo vrecku“ =) Prehnané, samozrejme, ale nie až tak ďaleko od pravdy!

Preto nebuďme leniví a vyriešme nejakú kvadratickú rovnicu pomocou štandardný algoritmus:

, čo znamená, že rovnica má dve rôzne platné koreň:

Je ľahké overiť, že obe nájdené hodnoty skutočne spĺňajú túto rovnicu:

Čo robiť, ak ste náhle zabudli algoritmus riešenia a nie sú po ruke žiadne prostriedky/pomocné ruky? Táto situácia môže nastať napríklad počas testu alebo skúšky. Používame grafickú metódu! A existujú dva spôsoby: môžete stavať bod po bode parabola , čím sa zistí, kde pretína os (ak sa to vôbec skríži). Ale je lepšie urobiť niečo prefíkanejšie: predstavte si rovnicu vo forme, nakreslite grafy jednoduchších funkcií - a "X" súradnice ich priesečníky sú jasne viditeľné!


Ak sa ukáže, že priamka sa dotýka paraboly, potom rovnica má dva zodpovedajúce (viacnásobné) korene. Ak sa ukáže, že priamka nepretína parabolu, potom neexistujú žiadne skutočné korene.

K tomu, samozrejme, musíte vedieť stavať grafy elementárnych funkcií, no na druhej strane tieto zručnosti zvládne aj školák.

A opäť - rovnica je rovnica a funkcie sú funkcie, ktoré len pomohol vyriešiť rovnicu!

A tu, mimochodom, by bolo vhodné pripomenúť ešte jednu vec: ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobené nenulovým číslom, potom sa jej korene nezmenia.

Takže napríklad rovnica má rovnaké korene. Ako jednoduchý „dôkaz“ vyberiem konštantu zo zátvoriek:
a bezbolestne ho odstránim (obe časti vydelím „mínus dvoma“):

ALE! Ak vezmeme do úvahy funkciu , potom sa tu konštanty nezbavíte! Násobiteľ je možné vyňať len zo zátvoriek: .

Mnoho ľudí podceňuje spôsob grafického riešenia, považuje ho za „nedôstojné“ a niektorí na túto možnosť dokonca úplne zabúdajú. A to je zásadne nesprávne, pretože vykresľovanie grafov niekedy len zachráni situáciu!

Ďalší príklad: Predpokladajme, že si nepamätáte korene najjednoduchšej goniometrickej rovnice: . Všeobecný vzorec je v školských učebniciach, vo všetkých príručkách o elementárnej matematike, ale nie sú vám k dispozícii. Riešenie rovnice je však kritické (tiež známe ako „dva“). Existuje východ! - zostavte grafy funkcií:


potom si pokojne zapíšeme súradnice „X“ ich priesečníkov:

Existuje nekonečne veľa koreňov a v algebre je akceptovaný ich kondenzovaný zápis:
, Kde ( – množina celých čísel) .

A bez „odchodu“ pár slov o grafickej metóde riešenia nerovností s jednou premennou. Princíp je rovnaký. Takže napríklad riešením nerovnosti je akékoľvek „x“, pretože Sínusoida leží takmer úplne pod priamkou. Riešením nerovnosti je množina intervalov, v ktorých časti sínusoidy ležia presne nad priamkou (os x):

alebo v skratke:

Ale tu je veľa riešení nerovnosti: prázdny, keďže žiadny bod sínusoidy neleží nad priamkou.

Je niečo, čomu nerozumieš? Naliehavo si preštudujte lekcie o súpravy A funkčné grafy!

Poďme sa zahriať:

Cvičenie 1

Vyriešte graficky nasledujúce trigonometrické rovnice:

Odpovede na konci hodiny

Ako vidíte, na štúdium presných vied nie je vôbec potrebné napchať vzorce a referenčné knihy! Navyše ide o zásadne chybný prístup.

Ako som vás už na začiatku hodiny ubezpečil, zložité goniometrické rovnice v štandardnom kurze vyššej matematiky musíte riešiť veľmi zriedkavo. Všetka zložitosť spravidla končí rovnicami ako , ktorých riešením sú dve skupiny koreňov pochádzajúcich z najjednoduchších rovníc a . S riešením posledného sa príliš netrápte – pozrite sa do knihy alebo si to nájdite na internete =)

V menej triviálnych prípadoch môže pomôcť aj metóda grafického riešenia. Zvážte napríklad nasledujúcu rovnicu „ragtag“:

Vyhliadky na jeho riešenie vyzerajú... nevyzerajú vôbec na nič, ale rovnicu si stačí predstaviť v tvare , postaviť funkčné grafy a všetko sa ukáže byť neuveriteľne jednoduché. V strede článku je kresba o nekonečne malé funkcie (otvorí sa na ďalšej karte).

Pomocou rovnakej grafickej metódy môžete zistiť, že rovnica už má dva korene a jeden z nich sa rovná nule a druhý zjavne iracionálny a patrí do segmentu . Tento koreň možno vypočítať približne napr. tangentová metóda. Mimochodom, v niektorých problémoch sa stáva, že nemusíte hľadať korene, ale zistiť existujú vôbec?. A aj tu môže pomôcť kresba – ak sa grafy nepretínajú, tak tam nie sú korene.

Racionálne korene polynómov s celočíselnými koeficientmi.
Hornerova schéma

A teraz vás pozývam, aby ste svoj pohľad obrátili do stredoveku a pocítili jedinečnú atmosféru klasickej algebry. Pre lepšie pochopenie látky odporúčam aspoň trochu čítať komplexné čísla.

Sú najlepší. Polynómy.

Objektom nášho záujmu budú najčastejšie polynómy tvaru s celý koeficienty Volá sa prirodzené číslo stupeň polynómu, číslo – koeficient najvyššieho stupňa (alebo len najvyšší koeficient), a koeficient je voľný člen.

Tento polynóm stručne označím .

Korene polynómu nazývame korene rovnice

Milujem železnú logiku =)

Príklady nájdete na samom začiatku článku:

S hľadaním koreňov polynómov 1. a 2. stupňa nie sú žiadne problémy, ale s pribúdajúcimi úlohami je táto úloha čoraz ťažšia. Aj keď na druhej strane je všetko zaujímavejšie! A práve tomu bude venovaná druhá časť lekcie.

Po prvé, doslova polovica obrazovky teórie:

1) Podľa dôsledkov základná veta algebry, stupeň polynóm má presne komplexné korene. Niektoré korene (alebo dokonca všetky) môžu byť špeciálne platné. Okrem toho medzi skutočnými koreňmi môžu byť rovnaké (viaceré) korene (minimálne dva, maximálne kusy).

Ak je nejaké komplexné číslo koreňom polynómu, potom konjugovať jeho číslo je tiež nevyhnutne koreňom tohto polynómu (korene konjugovaného komplexu majú tvar ).

Najjednoduchším príkladom je kvadratická rovnica, s ktorou sme sa prvýkrát stretli v 8 (Páči sa mi to) triedy, a ktoré sme nakoniec v téme „dopracovali“. komplexné čísla. Dovoľte mi pripomenúť vám: kvadratická rovnica má buď dva rôzne skutočné korene, viac koreňov alebo združené komplexné korene.

2) Od Bezoutova veta z toho vyplýva, že ak je číslo koreňom rovnice, príslušný polynóm možno faktorizovať:
, kde je polynóm stupňa .

A opäť náš starý príklad: keďže je koreňom rovnice, potom . Potom už nie je ťažké získať známu „školskú“ expanziu.

Dôsledok Bezoutovej vety má veľkú praktickú hodnotu: ak poznáme koreň rovnice 3. stupňa, môžeme ho znázorniť v tvare a z kvadratickej rovnice je ľahké zistiť zostávajúce korene. Ak poznáme koreň rovnice 4. stupňa, potom je možné ľavú stranu rozšíriť na súčin atď.

A tu sú dve otázky:

Otázka jedna. Ako nájsť práve tento koreň? Najprv si definujme jeho podstatu: v mnohých problémoch vyššej matematiky je potrebné nájsť racionálny, najmä celý korene polynómov a v tomto smere nás ďalej budú zaujímať hlavne tie.... ...sú také dobré, také nadýchané, že ich jednoducho chcete nájsť! =)

Prvá vec, ktorá príde na myseľ, je metóda výberu. Zoberme si napríklad rovnicu . Háčik je tu vo voľnom termíne - ak by sa rovnal nule, všetko by bolo v poriadku - vyberieme „x“ zo zátvoriek a samotné korene „vypadnú“ na povrch:

Ale náš voľný člen sa rovná „trom“, a preto začneme do rovnice dosadzovať rôzne čísla, ktoré tvrdia, že sú „koreň“. V prvom rade sa navrhuje nahradenie jednotlivých hodnôt. Nahradíme:

Prijaté nesprávne rovnosť, teda jednotka „nezodpovedala“. Dobre, nahradíme:

Prijaté pravda rovnosť! To znamená, že hodnota je koreňom tejto rovnice.

Na nájdenie koreňov polynómu 3. stupňa existuje analytická metóda (takzvané Cardanoove vzorce), no teraz nás zaujíma trochu iná úloha.

Keďže - je koreňom nášho polynómu, polynóm môže byť reprezentovaný v tvare a vzniká Druhá otázka: ako nájsť „mladšieho brata“?

Najjednoduchšie algebraické úvahy naznačujú, že na to musíme deliť . Ako rozdeliť polynóm polynómom? Rovnaká školská metóda, ktorá rozdeľuje bežné čísla - „stĺpec“! Túto metódu som podrobne rozobral v prvých príkladoch lekcie. Komplexné limity, a teraz sa pozrieme na inú metódu, ktorá sa nazýva Hornerova schéma.

Najprv napíšeme „najvyšší“ polynóm so všetkými vrátane nulových koeficientov:
, po ktorom zadáme tieto koeficienty (presne v poradí) do horného riadku tabuľky:

Koreň píšeme vľavo:

Okamžite urobím rezerváciu, že Hornerova schéma funguje aj v prípade „červeného“ čísla nie je koreňom polynómu. Neponáhľajme však veci.

Odstránime vedúci koeficient zhora:

Proces plnenia spodných buniek trochu pripomína vyšívanie, kde „mínus jedna“ je druh „ihly“, ktorá preniká do nasledujúcich krokov. Vynásobíme „prenesené“ číslo číslom (–1) a k produktu pridáme číslo z hornej bunky:

Nájdenú hodnotu vynásobíme „červenou ihlou“ a k produktu pridáme nasledujúci koeficient rovnice:

A nakoniec sa výsledná hodnota opäť „spracuje“ pomocou „ihly“ a horného koeficientu:

Nula v poslednej bunke nám hovorí, že polynóm je rozdelený na bez stopy (ako má byť), pričom koeficienty expanzie sú „odstránené“ priamo zo spodného riadku tabuľky:

Prešli sme teda od rovnice k ekvivalentnej rovnici a všetko je jasné s dvoma zostávajúcimi koreňmi (v tomto prípade dostaneme konjugované komplexné korene).

Rovnica, mimochodom, sa dá vyriešiť aj graficky: plot "blesk" a uvidíte, že graf pretína os x () v bode . Alebo rovnaký „prefíkaný“ trik - prepíšeme rovnicu do tvaru , nakreslíme elementárne grafy a zistíme súradnicu „X“ ich priesečníka.

Mimochodom, graf ľubovoľného funkčného polynómu 3. stupňa pretína os aspoň raz, čo znamená, že zodpovedajúca rovnica má najmenej jeden platné koreň. Táto skutočnosť platí pre akúkoľvek polynómovú funkciu nepárneho stupňa.

A tu by som sa tiež rád pozastavil dôležitý bodčo sa týka terminológie: polynóm A polynomiálna funkcia – nie je to to isté! V praxi však často hovoria napríklad o „grafe polynómu“, čo je, samozrejme, nedbanlivosť.

Vráťme sa však k Hornerovej schéme. Ako som nedávno spomenul, táto schéma funguje aj pre iné čísla, ale ak číslo nie je koreň rovnice, potom sa v našom vzorci objaví nenulový súčet (zvyšok):

Poďme „spustiť“ „neúspešnú“ hodnotu podľa Hornerovej schémy. V tomto prípade je vhodné použiť rovnakú tabuľku - napíšte novú „ihlu“ vľavo, posuňte vodiaci koeficient zhora (zelená šípka doľava) a ideme:

Ak to chcete skontrolovať, otvorte zátvorky a uveďte podobné výrazy:
, OK.

Je ľahké vidieť, že zvyšok („šesť“) je presne hodnota polynómu v . A v skutočnosti - ako to je:
a ešte krajšie - takto:

Z vyššie uvedených výpočtov je ľahké pochopiť, že Hornerova schéma umožňuje nielen faktor polynómu, ale aj „civilizovaný“ výber koreňa. Navrhujem, aby ste si sami konsolidovali výpočtový algoritmus malou úlohou:

Úloha 2

Pomocou Hornerovej schémy nájdite celočíselný koreň rovnice a vynásobte príslušný polynóm

Inými slovami, tu musíte postupne kontrolovať čísla 1, –1, 2, –2, ... –, kým sa v poslednom stĺpci „nevykreslí“ nulový zvyšok. To bude znamenať, že „ihla“ tejto čiary je koreňom polynómu

Je vhodné usporiadať výpočty do jednej tabuľky. Podrobné riešenie a odpoveď na konci lekcie.

Metóda výberu koreňov je dobrá pre relatívne jednoduché prípady, ale ak sú koeficienty a/alebo stupeň polynómu veľké, proces môže trvať dlho. Alebo možno existujú nejaké hodnoty z rovnakého zoznamu 1, –1, 2, –2 a nemá zmysel uvažovať? A okrem toho sa korene môžu ukázať ako zlomkové, čo povedie k úplne nevedeckému šťuchnutiu.

Našťastie existujú dve silné teorémy, ktoré môžu výrazne obmedziť hľadanie „kandidátskych“ hodnôt pre racionálne korene:

Veta 1 Uvažujme neredukovateľné zlomok , kde . Ak je číslo koreňom rovnice, potom sa voľný člen vydelí a vodiaci koeficient sa vydelí.

Najmä, ak je vodiaci koeficient , potom tento racionálny koreň je celé číslo:

A začneme využívať vetu len s týmto chutným detailom:

Vráťme sa k rovnici. Keďže jeho vodiaci koeficient je , potom hypotetické racionálne korene môžu byť výlučne celé číslo a voľný člen musí byť nevyhnutne rozdelený na tieto korene bezo zvyšku. A „tri“ možno rozdeliť iba na 1, –1, 3 a –3. To znamená, že máme len 4 „koreňových kandidátov“. A podľa toho Veta 1, iné racionálne čísla nemôžu byť PRINCÍPY koreňmi tejto rovnice.

V rovnici je o niečo viac „uchádzačov“: voľný termín sa delí na 1, –1, 2, – 2, 4 a –4.

Upozorňujeme, že čísla 1, –1 sú „bežné“ v zozname možných koreňov (zrejmý dôsledok vety) a najlepšia voľba pre prioritné testovanie.

Prejdime k zmysluplnejším príkladom:

Problém 3

Riešenie: keďže vodiaci koeficient je , potom môžu byť hypotetické racionálne korene iba celé číslo a musia byť nevyhnutne deliteľmi voľného člena. „Mínus štyridsať“ je rozdelené do nasledujúcich dvojíc čísel:
– spolu 16 „kandidátov“.

A tu sa okamžite objaví lákavá myšlienka: je možné odstrániť všetky negatívne alebo všetky pozitívne korene? V niektorých prípadoch je to možné! Sformulujem dva znaky:

1) Ak Všetky Ak sú koeficienty polynómu nezáporné, potom nemôže mať kladné korene. Žiaľ, toto nie je náš prípad (Teraz, ak by sme dostali rovnicu – tak áno, pri dosadení ľubovoľnej hodnoty polynómu je hodnota polynómu striktne kladná, čo znamená, že všetky kladné čísla (aj iracionálne) nemôžu byť koreňmi rovnice.

2) Ak sú koeficienty pre nepárne mocniny nezáporné a pre všetky párne mocniny (vrátane bezplatného člena) sú záporné, potom polynóm nemôže mať záporné korene. Toto je náš prípad! Keď sa pozriete trochu bližšie, môžete vidieť, že pri dosadení akéhokoľvek záporného „X“ do rovnice bude ľavá strana striktne záporná, čo znamená, že záporné korene zmiznú.

Na výskum teda zostáva 8 čísel:

„Nabíjame“ ich postupne podľa Hornerovej schémy. Dúfam, že ste už zvládli mentálne výpočty:

Pri testovaní „dvojky“ nás čakalo šťastie. Je teda koreňom uvažovanej rovnice a

Zostáva študovať rovnicu . Je to ľahké urobiť pomocou diskriminátora, ale vykonám orientačný test pomocou rovnakej schémy. Najprv si všimnime, že voľný termín sa rovná 20, čo znamená Veta 1čísla 8 a 40 vypadnú zo zoznamu možných koreňov a ponechávajú hodnoty na výskum (jeden bol vyradený podľa Hornerovej schémy).

Koeficienty trojčlenky zapíšeme do horného riadku novej tabuľky a Začneme kontrolovať s rovnakými „dvomi“. prečo? A pretože korene môžu byť násobky, prosím: - táto rovnica má 10 rovnakých koreňov. Ale nenechajme sa rozptyľovať:

A tu som, samozrejme, trochu klamal, vediac, že ​​korene sú racionálne. Ak by totiž boli iracionálne alebo zložité, čakala by ma neúspešná kontrola všetkých zostávajúcich čísel. Preto sa v praxi riaďte diskriminujúcim.

Odpoveď: racionálne korene: 2, 4, 5

V probléme, ktorý sme analyzovali, sme mali šťastie, pretože: a) záporné hodnoty okamžite klesli a b) koreň sme našli veľmi rýchlo (a teoreticky sme mohli skontrolovať celý zoznam).

V skutočnosti je však situácia oveľa horšia. Pozývam vás sledovať vzrušujúcu hru s názvom „Posledný hrdina“:

Problém 4

Nájdite racionálne korene rovnice

Riešenie: Podľa Veta 1čitatelia hypotetických racionálnych koreňov musia spĺňať podmienku (čítame „dvanásť je delené el“) a menovatele zodpovedajú podmienke . Na základe toho dostaneme dva zoznamy:

"zoznam el":
a "zoznam": (našťastie, čísla sú tu prirodzené).

Teraz urobme zoznam všetkých možných koreňov. Najprv rozdelíme „zoznam el“ o . Je úplne jasné, že sa získajú rovnaké čísla. Pre pohodlie si ich dajme do tabuľky:

Mnohé zlomky boli zredukované, výsledkom čoho sú hodnoty, ktoré sú už v „zozname hrdinov“. Pridávame iba „nováčikov“:

Podobne rozdeľujeme rovnaký „zoznam“ podľa:

a nakoniec ďalej

Tým účastníkov našej hry je teda kompletný:


Bohužiaľ, polynóm v tomto probléme nespĺňa „kladné“ alebo „negatívne“ kritérium, a preto nemôžeme zahodiť horný alebo spodný riadok. Budete musieť pracovať so všetkými číslami.

Ako sa citis? No tak, hlavu hore – existuje ďalšia veta, ktorú možno obrazne nazvať „zabijácka veta“…. ..."kandidáti", samozrejme =)

Najprv si však musíte prelistovať Hornerov diagram aspoň pre jeden celáčísla. Tradične si dáme jeden. V hornom riadku napíšeme koeficienty polynómu a všetko je ako obvykle:

Keďže štyri zjavne nie je nula, hodnota nie je koreňom príslušného polynómu. Ale ona nám veľmi pomôže.

Veta 2 Ak pre niektorých všeobecne hodnota polynómu je nenulová: , potom jeho racionálne korene (ak sú) splniť podmienku

V našom prípade a teda všetky možné korene musia spĺňať podmienku (nazvime to podmienka č. 1). Táto štvorica bude „vrahom“ mnohých „kandidátov“. Ako ukážku sa pozriem na niekoľko kontrol:

Skontrolujme „kandidáta“. Aby sme to urobili, umelo ho znázornime vo forme zlomku, z ktorého je jasne vidieť, že . Vypočítajme rozdiel testu: . Štyri sú delené „mínus dva“: , čo znamená, že možný koreň prešiel testom.

Skontrolujeme hodnotu. Tu je rozdiel v teste: . Samozrejme, a preto zostáva na zozname aj druhý „predmet“.

Webová stránka „Profesionálny učiteľ matematiky“ pokračuje v sérii metodických článkov o vyučovaní. Uverejňujem popisy metód mojej práce s najzložitejšími a najproblematickejšími témami školského kurikula. Tento materiál bude užitočný pre učiteľov a tútorov matematiky, ktorí pracujú so žiakmi v ročníkoch 8-11 v bežnom programe aj v programe hodín matematiky.

Doučovateľ matematiky nemôže vždy vysvetliť látku, ktorá je v učebnici zle prezentovaná. Žiaľ, takýchto tém je čoraz viac a masovo sa vyskytujú prezentačné chyby podľa autorov manuálov. Týka sa to nielen začínajúcich lektorov matematiky a lektorov na čiastočný úväzok (tútormi sú študenti a vysokoškolskí lektori), ale aj skúsených pedagógov, odborných lektorov, lektorov s praxou a kvalifikáciou. Nie všetci učitelia matematiky majú talent kompetentne opravovať hrubky v školských učebniciach. Nie každý tiež chápe, že tieto opravy (alebo doplnenia) sú potrebné. Len málo detí sa podieľa na prispôsobovaní materiálu pre jeho kvalitatívne vnímanie deťmi. Žiaľ, pominula doba, keď učitelia matematiky spolu s metodikmi a autormi publikácií hromadne rozoberali každé písmeno učebnice. Predtým, pred vydaním učebnice do škôl, sa vykonali seriózne analýzy a štúdie výsledkov vzdelávania. Nastal čas pre amatérov, ktorí sa snažia urobiť učebnice univerzálnymi a prispôsobiť ich štandardom silných tried matematiky.

Závod o zvýšenie množstva informácií vedie len k zníženiu kvality ich asimilácie a v dôsledku toho k zníženiu úrovne skutočných vedomostí v matematike. Tomu však nikto nevenuje pozornosť. A naše deti sú nútené, už v 8. ročníku, študovať to, čo sme študovali na ústave: teóriu pravdepodobnosti, riešenie rovníc vysokých stupňov a niečo iné. Prispôsobenie materiálu v knihách pre úplné vnímanie dieťaťa ponecháva veľa túžob a učiteľ matematiky je nútený sa s tým nejako vysporiadať.

Poďme sa porozprávať o metodológii výučby takej špecifickej témy, ako je „delenie polynómu polynómom rohom“, známej v matematike pre dospelých ako „Bezoutova veta a Hornerova schéma“. Len pred pár rokmi nebola táto otázka pre učiteľa matematiky taká naliehavá, pretože nebola súčasťou základných školských osnov. Teraz uznávaní autori učebnice, ktorú redigoval Teljakovskij, urobili zmeny v najnovšom vydaní, podľa môjho názoru, najlepšej učebnice, a tým, že ju úplne pokazili, pridali lektorovi len zbytočné starosti. Učitelia škôl a tried, ktoré nemajú štatút matematiky, so zameraním na inovácie autorov, začali do svojich hodín častejšie zaraďovať ďalšie odseky a zvedavé deti, ktoré si prezerajú krásne stránky svojej učebnice matematiky, sa čoraz častejšie pýtajú, učiteľ: „Čo je to za roh? Ideme cez to? Ako zdieľať kútik? Pred takýmito priamymi otázkami sa už nedá skryť. Doučovateľ bude musieť dieťaťu niečo povedať.

Ale ako? Spôsob práce s témou by som asi neopísal, keby to kompetentní prezentovali v učebniciach. Ako to všetko u nás ide? Učebnice treba tlačiť a predávať. A preto je potrebné ich pravidelne aktualizovať. Sťažujú sa vysokoškolskí učitelia, že deti k nim prichádzajú s prázdnymi hlavami, bez vedomostí a zručností? Zvyšujú sa požiadavky na matematické znalosti? Skvelé! Odstránime niektoré cvičenia a namiesto nich vložíme témy, ktoré sa študujú v iných programoch. Prečo je naša učebnica horšia? Zahrnieme niekoľko ďalších kapitol. Školáci nepoznajú pravidlo rozdelenia rohu? Toto je základná matematika. Tento odsek by mal byť nepovinný s názvom „pre tých, ktorí chcú vedieť viac“. Doučovatelia proti tomu? Prečo sa vo všeobecnosti staráme o tútorov? Proti sú aj metodici a učitelia škôl? Nebudeme komplikovať materiál a zvážime jeho najjednoduchšiu časť.

A tu to začína. Jednoduchosť témy a kvalita jej asimilácie spočíva predovšetkým v pochopení jej logiky, a nie v vykonávaní určitého súboru operácií, ktoré spolu jasne nesúvisia, v súlade s pokynmi autorov učebnice. . V opačnom prípade bude v hlave študenta hmla. Ak sa autori zameriavajú na pomerne silných študentov (ale študujúcich v bežnom programe), nemali by ste tému prezentovať príkazovou formou. Čo vidíme v učebnici? Deti, musíme rozdeliť podľa tohto pravidla. Získajte polynóm pod uhlom. Pôvodný polynóm bude teda faktorizovaný. Nie je však jasné, prečo sa výrazy pod rohom vyberajú presne týmto spôsobom, prečo sa musia vynásobiť polynómom nad rohom a potom odpočítať od aktuálneho zvyšku. A čo je najdôležitejšie, nie je jasné, prečo musia byť vybrané monoméry nakoniec pridané a prečo budú výsledné zátvorky rozšírením pôvodného polynómu. Každý kompetentný matematik dá nad vysvetlenia uvedené v učebnici tučný otáznik.

Do pozornosti tútorov a učiteľov matematiky dávam svoje riešenie úlohy, ktoré prakticky dáva študentovi najavo všetko, čo je v učebnici uvedené. V skutočnosti dokážeme Bezoutovu vetu: ak je číslo a koreňom polynómu, potom tento polynóm možno rozložiť na faktory, z ktorých jeden je x-a a druhý sa získa z pôvodného jedným z troch spôsobov: izoláciou lineárneho činiteľa pomocou transformácií, delením rohom alebo Hornerovou schémou. Práve s touto formuláciou sa bude učiteľom matematiky pracovať ľahšie.

Čo je metodika výučby? V prvom rade ide o jasné poradie v postupnosti vysvetlení a príkladov, na základe ktorých sa vyvodzujú matematické závery. Táto téma nie je výnimkou. Pre učiteľa matematiky je veľmi dôležité oboznámiť dieťa s Bezoutovou vetou pred rozdelením rohom. Je to veľmi dôležité! Najlepšie je získať pochopenie na konkrétnom príklade. Vezmime si polynóm s vybraným koreňom a ukážeme si techniku ​​jeho rozkladu na faktory metódou premien identity, ktorú poznajú školáci od 7. ročníka. S príslušnými sprievodnými vysvetleniami, dôrazom a tipmi od učiteľa matematiky je celkom možné sprostredkovať materiál bez akýchkoľvek všeobecných matematických výpočtov, ľubovoľných koeficientov a stupňov.

Dôležitá rada pre učiteľa matematiky- postupujte podľa pokynov od začiatku do konca a nemeňte túto postupnosť.

Povedzme teda, že máme polynóm. Ak namiesto jeho X dosadíme číslo 1, potom sa hodnota polynómu bude rovnať nule. Preto x=1 je jeho koreň. Skúsme to rozložiť na dva členy tak, že jeden z nich je súčinom lineárneho výrazu a nejakého monomilu a druhý má o jeden stupeň menej ako . To znamená, predstavme si to vo forme

Monomil do červeného poľa vyberieme tak, aby sa po vynásobení vedúcim členom úplne zhodoval s vedúcim členom pôvodného polynómu. Ak študent nie je najslabší, potom bude celkom schopný povedať učiteľovi matematiky požadovaný výraz: . Tútor by mal byť okamžite požiadaný, aby ho vložil do červeného poľa a ukázal, čo sa stane, keď sa otvoria. Najlepšie je podpísať tento virtuálny dočasný polynóm pod šípky (pod malou fotografiou) a zvýrazniť ho nejakou farbou, napríklad modrou. To vám pomôže vybrať výraz pre červené pole, ktoré sa nazýva zvyšok výberu. Odporúčam tútorom, aby tu poukázali na to, že tento zvyšok možno nájsť odčítaním. Vykonaním tejto operácie dostaneme:

Učiteľ matematiky by mal upozorniť študenta na skutočnosť, že dosadením jednotky do tejto rovnosti zaručene dostaneme nulu na jej ľavej strane (keďže 1 je koreň pôvodného polynómu) a na pravej strane samozrejme vynuluje aj prvý termín. To znamená, že bez akéhokoľvek overenia môžeme povedať, že jeden je koreňom „zeleného zvyšku“.

Vyrovnajme sa s tým rovnakým spôsobom ako s pôvodným polynómom, izolujme od neho rovnaký lineárny faktor. Učiteľ matematiky nakreslí pred študenta dva rámčeky a požiada ich, aby ich vyplnili zľava doprava.

Študent vyberie pre tútora jednočlen pre červené pole tak, aby po vynásobení vedúcim členom lineárneho výrazu dostal vedúci člen rozširujúceho sa mnohočlenu. Napasujeme ho do rámu, hneď otvoríme držiak a modrou zvýrazníme výraz, ktorý treba od toho skladacieho ubrať. Vykonaním tejto operácie dostaneme

A nakoniec urobte to isté s posledným zvyškom

konečne to dostaneme

Teraz vyberieme výraz zo zátvorky a uvidíme rozklad pôvodného polynómu na faktory, z ktorých jeden je „x mínus vybraný koreň“.

Aby si študent nemyslel, že posledný „zelený zvyšok“ sa náhodou rozložil na požadované faktory, učiteľ matematiky by mal upozorniť na dôležitú vlastnosť všetkých zelených zvyškov – každý z nich má odmocninu 1. Keďže stupne tieto zvyšky sa zmenšujú, potom akýkoľvek stupeň začiatočného bodu bez ohľadu na to, koľko polynómu dostaneme, skôr či neskôr dostaneme lineárny „zelený zvyšok“ s odmocninou 1, a preto sa nevyhnutne rozloží na súčin určitého číslo a výraz.

Po takýchto prípravných prácach nebude pre lektora matematiky ťažké vysvetliť študentovi, čo sa deje pri delení rohom. Ide o rovnaký proces, len v kratšej a kompaktnejšej forme, bez rovnakých znakov a bez prepisovania rovnakých zvýraznených výrazov. Polynóm, z ktorého je lineárny faktor extrahovaný, je napísaný naľavo od rohu, vybrané červené monomály sú zhromaždené pod uhlom (teraz je jasné, prečo by sa mali sčítať), aby sa získali „modré polynómy“, „červené“ ” sa musia vynásobiť x-1 a potom odčítať od aktuálne zvoleného spôsobu, akým sa to robí pri zvyčajnom rozdelení čísel do stĺpca (tu je analógia s tým, čo bolo predtým študované). Výsledné „zelené zvyšky“ podliehajú novej izolácii a selekcii „červených monomilov“. A tak ďalej, kým nedosiahnete nulový „zelený zostatok“. Najdôležitejšie je, aby žiak pochopil ďalší osud zapísaných mnohočlenov nad a pod uhlom. Je zrejmé, že ide o zátvorky, ktorých súčin sa rovná pôvodnému polynómu.

Ďalšou etapou práce učiteľa matematiky je formulácia Bezoutovej vety. V skutočnosti je jeho formulácia s týmto prístupom tútora zrejmá: ak je číslo a koreňom polynómu, potom ho možno faktorizovať, z ktorých jeden je , a druhý sa získa z pôvodného jedným z troch spôsobov :

• priamy rozklad (podobne ako pri metóde zoskupovania)
• delenie rohom (v stĺpci)
• cez Hornerov okruh

Treba povedať, že nie všetci učitelia matematiky ukazujú žiakom hornerov diagram a nie všetci učitelia škôl (našťastie pre samotných tútorov) idú na hodinách tak hlboko do témy. Pre študenta matematickej triedy však nevidím dôvod, aby sa zastavil pri dlhom delení. Navyše, najpohodlnejšie a rýchlo Technika rozkladu je založená presne na Hornerovej schéme. Aby sme dieťaťu vysvetlili, odkiaľ pochádza, stačí na príklade delenia rohom vysledovať výskyt vyšších koeficientov v zelených zvyškoch. Je zrejmé, že vedúci koeficient počiatočného polynómu sa prenesie do koeficientu prvého „červeného monomiu“ a ďalej od druhého koeficientu súčasného horného polynómu. odpočítané výsledok vynásobenia aktuálneho koeficientu „červeného monomiálu“ číslom . Preto je to možné pridať výsledok násobenia . Po zameraní pozornosti študenta na špecifiká akcií s koeficientmi môže učiteľ matematiky ukázať, ako sa tieto akcie zvyčajne vykonávajú bez zaznamenania samotných premenných. Na tento účel je vhodné zadať koreň a koeficienty pôvodného polynómu v poradí priority v nasledujúcej tabuľke:

Ak v polynóme chýba akýkoľvek stupeň, do tabuľky sa vnúti jeho nulový koeficient. Koeficienty „červených polynómov“ sa postupne zapisujú do spodného riadku podľa pravidla „háčika“:

Koreň sa vynásobí posledným červeným koeficientom, pripočíta sa k ďalšiemu koeficientu v hornom riadku a výsledok sa zapíše do spodného riadku. V poslednom stĺpci zaručene dostaneme najvyšší koeficient posledného „zeleného zvyšku“, teda nulu. Po dokončení procesu čísla vložené medzi zhodný koreň a nulový zvyšok sa ukážu ako koeficienty druhého (nelineárneho) faktora.

Keďže koreň a dáva na konci spodného riadku nulu, Hornerovu schému možno použiť na kontrolu čísel pre názov koreňa polynómu. Ak špeciálna veta o výbere racionálneho koreňa. Všetci kandidáti na tento titul získaní s jeho pomocou sa jednoducho postupne zľava vkladajú do Hornerovho diagramu. Akonáhle dostaneme nulu, testované číslo bude odmocninou a zároveň dostaneme koeficienty rozkladu pôvodného polynómu na jeho priamke. Veľmi pohodlne.

Na záver by som rád poznamenal, že na presné predstavenie Hornerovej schémy, ako aj na praktické upevnenie témy, musí mať učiteľ matematiky k dispozícii dostatočný počet hodín. Tútor pracujúci v režime „raz týždenne“ by sa nemal zapájať do delenia rohov. Na Jednotnej štátnej skúške z matematiky a na Štátnej akadémii matematiky v matematike je nepravdepodobné, že sa v prvej časti niekedy stretnete s rovnicou tretieho stupňa, ktorú je možné takýmto spôsobom vyriešiť. Ak učiteľ pripravuje dieťa na skúšku z matematiky na Moskovskej štátnej univerzite, štúdium témy sa stáva povinným. Vysokoškolskí učitelia, na rozdiel od zostavovateľov Jednotnej štátnej skúšky, naozaj radi testujú hĺbku vedomostí uchádzača.

Kolpakov Alexander Nikolaevič, učiteľ matematiky Moskva, Strogino

Hornerova schéma – spôsob delenia polynómu

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

na dvojčlene $x-a$. Budete musieť pracovať s tabuľkou, ktorej prvý riadok obsahuje koeficienty daného polynómu. Prvým prvkom druhého riadku bude číslo $a$, prevzaté z dvojčlenu $x-a$:

Po vydelení polynómu n-tého stupňa binómom $x-a$ dostaneme polynóm, ktorého stupeň je o jeden menší ako pôvodný, t.j. sa rovná $n-1$. Priamu aplikáciu Hornerovej schémy je najjednoduchšie demonštrovať na príkladoch.

Príklad č.1

Vydeľte $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$ pomocou Hornerovej schémy.

Urobme si tabuľku dvoch riadkov: do prvého riadku zapíšeme koeficienty polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ zoradené v zostupnom poradí mocnín premennej $x$. Všimnite si, že tento polynóm neobsahuje $x$ do prvého stupňa, t.j. koeficient $x$ k prvej mocnine je 0. Keďže delíme $x-1$, napíšeme do druhého riadku jednotku:

Začnime vypĺňať prázdne bunky v druhom riadku. Do druhej bunky druhého riadku napíšeme číslo $5$, jednoducho ho presunieme zo zodpovedajúcej bunky prvého riadku:

Vyplňte nasledujúcu bunku podľa tohto princípu: $1\cdot 5+5=10$:

Rovnakým spôsobom vyplníme štvrtú bunku druhého riadku: $1\cdot 10+1=11$:

Pre piatu bunku dostaneme: $1\cdot 11+0=11$:

A nakoniec, pre poslednú, šiestu bunku, máme: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Problém je vyriešený, zostáva už len zapísať odpoveď:

Ako vidíte, čísla nachádzajúce sa v druhom riadku (medzi jedným a nulou) sú koeficienty polynómu získané po vydelení $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$. Prirodzene, keďže stupeň pôvodného polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ bol rovný štyrom, stupeň výsledného polynómu $5x^3+10x^2+11x+11$ je jedna menej, t.j. rovná sa trom. Posledné číslo v druhom riadku (nula) znamená zvyšok pri delení polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$. V našom prípade je zvyšok nula, t.j. polynómy sú rovnomerne deliteľné. Tento výsledok možno charakterizovať aj takto: hodnota polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ pre $x=1$ sa rovná nule.

Záver možno formulovať aj takto: keďže hodnota polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ pri $x=1$ sa rovná nule, potom je koreňom polynómu jednota. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Príklad č.2

Vydeľte polynóm $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$ pomocou Hornerovej schémy.

Okamžite stanovme, že výraz $x+3$ musí byť prezentovaný v tvare $x-(-3)$. Hornerova schéma bude zahŕňať presne -3 $. Keďže stupeň pôvodného polynómu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ sa rovná štyrom, potom ako výsledok delenia dostaneme polynóm tretieho stupňa:

Výsledok to znamená

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

V tejto situácii je zvyšok pri delení $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$ $4$. Alebo, čo je to isté, hodnota polynómu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pre $x=-3$ sa rovná $4$. Mimochodom, je ľahké to skontrolovať priamym dosadením $x=-3$ do daného polynómu:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4,$$

Tie. Hornerovu schému je možné použiť, ak potrebujete nájsť hodnotu polynómu pre danú hodnotu premennej. Ak je naším cieľom nájsť všetky korene polynómu, potom Hornerovu schému možno použiť niekoľkokrát za sebou, kým nevyčerpáme všetky korene, ako je to uvedené v príklade č.

Príklad č.3

Nájdite všetky celé korene polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pomocou Hornerovej schémy.

Koeficienty príslušného polynómu sú celé čísla a koeficient najvyššej mocniny premennej (t. j. $x^6$) sa rovná jednej. V tomto prípade treba celočíselné korene polynómu hľadať medzi deliteľmi voľného člena, t.j. medzi deliteľmi čísla 45. Pre daný polynóm môžu byť takéto korene čísla $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ a -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 dolár. Pozrime sa napríklad na číslo $1$:

Ako vidíte, hodnota polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ s $x=1$ sa rovná $192$ (posledné číslo v druhom riadku), a nie $0 $, preto jednota nie je koreňom tohto polynómu. Keďže kontrola jedného zlyhala, skontrolujme hodnotu $x=-1$. Na tento účel nevytvoríme novú tabuľku, ale budeme ju naďalej používať. č. 1, pridávajúc k nemu nový (tretí) riadok. Druhý riadok, v ktorom bola zaškrtnutá hodnota $1$, bude zvýraznený červenou farbou a nebude použitý v ďalších diskusiách.

Tabuľku môžete samozrejme jednoducho znova prepísať, no manuálne vyplnenie zaberie veľa času. Okrem toho môže existovať niekoľko čísel, ktorých overenie zlyhá, a je ťažké zakaždým napísať novú tabuľku. Pri výpočte „na papieri“ možno červené čiary jednoducho prečiarknuť.

Takže hodnota polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pri $x=-1$ sa rovná nule, t.j. číslo $-1$ je koreň tohto polynómu. Po delení polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ dvojčlenom $x-(-1)=x+1$ dostaneme polynóm $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, ktorých koeficienty sú prevzaté z tretieho riadku tabuľky. č. 2 (pozri príklad č. 1). Výsledok výpočtov možno prezentovať aj v tejto forme:

\začiatok(rovnica)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(rovnica)

Pokračujme v hľadaní koreňov celého čísla. Teraz musíme hľadať korene polynómu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Celočíselné korene tohto polynómu sa opäť hľadajú medzi deliteľmi jeho voľného termínu, teda číslami $45$. Skúsme ešte raz skontrolovať číslo $-1$. Nevytvoríme novú tabuľku, ale budeme naďalej používať predchádzajúcu tabuľku. č.2, t.j. Pridajme k tomu ešte jeden riadok:

Takže číslo $-1$ je koreňom polynómu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Tento výsledok možno zapísať takto:

\začiatok(rovnica)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(rovnica)

Berúc do úvahy rovnosť (2), rovnosť (1) možno prepísať do nasledujúcej podoby:

\začiatok(rovnica)\začiatok(zarovnané) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\koniec (zarovnané)\koniec (rovnica)

Teraz musíme hľadať korene polynómu $x^4-22x^2+24x+45$ - prirodzene, medzi deliteľmi jeho voľného člena (čísla $45$). Pozrime sa znova na číslo $-1$:

Číslo $-1$ je koreňom polynómu $x^4-22x^2+24x+45$. Tento výsledok možno zapísať takto:

\začiatok(rovnica)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(rovnica)

Berúc do úvahy rovnosť (4), prepíšeme rovnosť (3) v nasledujúcom tvare:

\začiatok(rovnica)\začiatok(zarovnané) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\koniec (zarovnané)\koniec (rovnica)

Teraz hľadáme korene polynómu $x^3-x^2-21x+45$. Pozrime sa znova na číslo $-1$:

Kontrola skončila neúspešne. Zvýraznime šiesty riadok červenou farbou a skúsme skontrolovať iné číslo, napríklad číslo $3$:

Zvyšok je nula, preto číslo $3$ je koreňom príslušného polynómu. Takže $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Teraz možno rovnosť (5) prepísať nasledovne.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: Lekcia osvojovania a upevňovania základných vedomostí.

Účel lekcie:

• Oboznámiť žiakov s pojmom korene polynómu a naučiť ich, ako ich nájsť. Zdokonaľte sa v používaní Hornerovej schémy na rozšírenie polynómu o mocniny a delenie polynómu binomom.
• Naučte sa nájsť korene rovnice pomocou Hornerovho diagramu.
• Rozvíjajte abstraktné myslenie.
• Podporujte výpočtovú kultúru.
• Rozvoj interdisciplinárnych väzieb.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Informujte o téme hodiny, formulujte ciele.

2. Kontrola domácich úloh.

3. Štúdium nového materiálu.

Nech Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polynóm pre x stupňa n, kde a 0 , a 1 ,...,a n sú dané čísla a a 0 sa nerovná 0. Ak je polynóm F n (x) delený zvyškom binomom x-a , potom kvocient (neúplný kvocient) je polynóm Q n-1 (x) stupňa n-1, zvyšok R je číslo a rovnosť je pravdivá Fn (x) = (x-a) Qn-1 (x) +R. Polynóm F n (x) je deliteľný binómom (x-a) len v prípade R=0.

Bezoutova veta: Zvyšok R z delenia polynómu F n (x) binómom (x-a) sa rovná hodnote polynómu F n (x) pri x=a, t.j. R = Pn(a).

Trochu histórie. Bezoutova veta, napriek svojej zjavnej jednoduchosti a samozrejmosti, je jednou zo základných teorém teórie polynómov. Táto veta spája algebraické vlastnosti polynómov (ktoré umožňujú, aby sa polynómy považovali za celé čísla) s ich funkčnými vlastnosťami (ktoré umožňujú, aby sa s polynómami zaobchádzalo ako s funkciami). Jedným zo spôsobov riešenia rovníc vyššieho stupňa je faktor polynómu na ľavej strane rovnice. Výpočet koeficientov polynómu a zvyšku je zapísaný vo forme tabuľky s názvom Hornerova schéma.

Hornerova schéma je algoritmus na delenie polynómov, napísaný pre špeciálny prípad, keď sa podiel rovná binomu. x–a.

Horner William George (1786 - 1837), anglický matematik. Hlavný výskum sa týka teórie algebraických rovníc. Vyvinul metódu na približné riešenie rovníc ľubovoľného stupňa. V roku 1819 zaviedol pre algebru dôležitú metódu delenia polynómu binómom x - a (Hornerova schéma).

Odvodenie všeobecného vzorca pre Hornerovu schému.

Delenie polynómu f(x) so zvyškom binómom (x-c) znamená nájsť polynóm q(x) a číslo r také, že f(x)=(x-c)q(x)+r

Napíšme túto rovnosť podrobne:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Dajme rovnítko medzi koeficienty v rovnakých stupňoch:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Ukážka Hornerovho okruhu na príklade.

Cvičenie 1. Pomocou Hornerovej schémy delíme polynóm f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 so zvyškom binómom x-2.

f(x) = x 3 - 5 x 2 + 8 = (x - 2) ( x 2 - 3 x - 6) -4, kde g (x) = (x 2 - 3 x - 6), r = -4 zvyšok.

Rozšírenie mnohočlenu v mocninách dvojčlenu.

Pomocou Hornerovej schémy rozšírime polynóm f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 v mocninách binomu (x+2).

V dôsledku toho by sme mali dostať expanziu f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3-3( x+2)2-2(x+2)+12

Hornerova schéma sa často používa pri riešení rovníc tretieho, štvrtého a vyššieho stupňa, kedy je vhodné polynóm rozšíriť na binom x-a. číslo a volal koreň polynómu F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ak pri x=a hodnota polynómu F n (x) sa rovná nule: F n (a)=0, t.j. ak je mnohočlen deliteľný dvojčlenom x-a.

Napríklad číslo 2 je koreňom polynómu F 3 (x)=3x 3 -2x-20, keďže F 3 (2)=0. to znamená. Že faktorizácia tohto polynómu obsahuje faktor x-2.

F3(x)=3x3-2x-20=(x-2)(3x2 +6x+10).

Ľubovoľný polynóm F n(x) stupňa n 1 nemôže mať viac n skutočné korene.

Akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného člena.

Ak je vedúci koeficient rovnice 1, potom všetky racionálne korene rovnice, ak existujú, sú celé čísla.

Konsolidácia študovaného materiálu.

Na upevnenie nového učiva sú žiaci vyzvaní, aby doplnili čísla z učebnice 2.41 a 2.42 (s. 65).

(2 študenti riešia na tabuli a ostatní po rozhodnutí skontrolujú zadania v zošite s odpoveďami na tabuli).

Zhrnutie.

Po pochopení štruktúry a princípu fungovania Hornerovej schémy je možné ju použiť aj na hodinách informatiky, kde sa uvažuje o prevode celých čísel z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej sústavy a naopak. Základom pre prechod z jednej číselnej sústavy do druhej je nasledujúca všeobecná veta

Veta. Ak chcete previesť celé číslo Ap od p-árna číselná sústava na základnú číselnú sústavu d nevyhnutné Ap postupne deliť so zvyškom číslom d, napísané v tom istom p-árny systém, kým sa výsledný kvocient nerovná nule. Zvyšky z rozdelenia budú d- číselné číslice Ad, začínajúc od najmladšej kategórie až po tú najstaršiu. Všetky akcie musia byť vykonané v p-árna číselná sústava. Pre človeka je toto pravidlo výhodné iba vtedy p= 10, t.j. pri prekladaní od desiatková sústava. Pokiaľ ide o počítač, naopak, je pre neho „pohodlnejšie“ vykonávať výpočty v binárnom systéme. Preto sa na prevod „2 na 10“ používa postupné delenie desiatimi v binárnom systéme a „10 na 2“ je sčítanie mocnín desiatich. Na optimalizáciu výpočtov postupu „10 v 2“ používa počítač Hornerovu ekonomickú výpočtovú schému.

Domáca úloha. Navrhuje sa splniť dve úlohy.

1. Pomocou Hornerovej schémy rozdeľte polynóm f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 binómom (x-3).

2. Nájdite celočíselné korene polynómu f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (uvažujte, že každý celý koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného člena)

Literatúra.

1. Kurosh A.G. "Kurz vyššej algebry."
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. 10. ročník „Algebra a začiatky matematickej analýzy“.
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.