Je, ni pembe zinazohusiana na mali zao. Angles gani huitwa karibu? Je, ni jumla ya pembe mbili zilizo karibu
Jiometri ni sayansi yenye multifaceted sana. Inaendelea mantiki, mawazo na akili. Bila shaka, kwa sababu ya utata wake na idadi kubwa ya theorems na axiom, sio daima kama watoto wa shule. Aidha, kuna haja ya kuthibitisha mara kwa mara hitimisho lake kwa kutumia viwango na sheria za kukubalika kwa ujumla.
Angles zinazohusiana na wima ni sehemu muhimu ya jiometri. Hakika watoto wengi wa shule huwaabudu tu kwa sababu mali zao ni wazi na rahisi kwa ushahidi.
Malezi ya angle.
Angle yoyote inaundwa kwa kuvuka mihimili mbili moja kwa moja au mbili kutoka hatua moja. Wanaweza kuitwa barua moja, au tatu, ambayo mara kwa mara inaonyesha hatua ya kujenga angle.
Pembe zinapimwa kwa digrii na zinaweza (kulingana na thamani yao) huitwa tofauti. Kwa hiyo, kuna angle moja kwa moja, mkali, wajinga na kufunuliwa. Kila moja ya majina yanafanana na kipimo fulani cha kiwango au pengo lake.
Sharp inaitwa angle, kipimo ambacho hakizidi digrii 90.
Mjinga ni angle zaidi ya digrii 90.
Angle inaitwa moja kwa moja katika kesi wakati kipimo chake cha kiwango cha 90.
Katika kesi hiyo inapoundwa na mstari mmoja wa moja kwa moja, na kipimo chake cha shahada ni 180, kinachoitwa kupanuliwa.
Angles yenye upande wa kawaida, upande wa pili ambao unaendelea kila mmoja, huitwa karibu. Wanaweza kuwa wote mkali na wajinga. Kuvuka kwa fomu ya mstari karibu. Mali ni kama ifuatavyo:
- Jumla ya pembe hizo itakuwa digrii 180 (kuna theorem kuthibitisha). Kwa hiyo, unaweza kuhesabu kwa urahisi mmoja wao ikiwa mwingine anajulikana.
- Kutoka kwa kipengee cha kwanza, inafuata kwamba pembe za karibu haziwezi kuundwa na pembe mbili za kijinga au mbili.
Shukrani kwa mali hizi, unaweza daima kuhesabu kiwango cha angle, kuwa na thamani ya angle nyingine au angalau uhusiano kati yao.
Pembe za wima
Angles ambao punda ni kuendelea kwa kila mmoja huitwa wima. Kama wanandoa kama vile wanaweza kufanya aina yoyote ya aina zao. Angles ya wima daima ni sawa na kila mmoja.
Wao hutengenezwa wakati wa kuvuka mistari ya moja kwa moja. Angles iliyopangwa daima huwa pamoja nao. Angle inaweza kuwa wakati huo huo karibu na moja na wima kwa nyingine.
Wakati wa kuvuka mstari wa kiholela, aina nyingi za pembe pia zinazingatia. Mstari kama huo unaitwa secrant, huunda sahihi, moja-upande na kupita pembe. Wao ni sawa na kila mmoja. Wanaweza kuchukuliwa kwa mujibu wa mali ambazo zina pembe za wima na karibu.
Hivyo, mandhari ya angles ni rahisi sana na inaeleweka. Mali yao yote ni rahisi kukumbuka na kuthibitisha. Suluhisho la kazi sio ngumu mpaka pembe zinahusiana na thamani ya nambari. Tayari zaidi, wakati utafiti wa dhambi na cos huanza, utahitaji kukumbuka formula nyingi, hitimisho na matokeo yao. Na mpaka wakati huo, unaweza tu kufurahia changamoto za mwanga ambapo pembe za karibu ambazo unahitaji kupata.
Angle mbili huitwa karibu ikiwa wana upande mmoja wa kawaida, na vyama vingine vya pembe hizi ni mionzi ya ziada. Katika Kielelezo 20, pembe za Av na Brea zinahusiana.
Jumla ya pembe za karibu ni 180 °
Theorem 1. Jumla ya pembe za karibu ni 180 °.
Ushahidi. Ra du (angalia Kielelezo 1) hupita kati ya pande za angle iliyopanuliwa. Kwa hiyo ∠ Av + \u200b\u200b∠ Brea \u003d 180 °.
Kutoka Theorem 1 inafuata kwamba ikiwa pembe mbili ni sawa, basi pembe za karibu ni sawa.
Pembe za wima ni sawa.
Vipande viwili vinaitwa wima ikiwa pande za angle moja ni mionzi ya ziada ya pande za nyingine. Av na COD, BOD na AOC angles, iliyoundwa na makutano ya mbili moja kwa moja, ni wima (Kielelezo 2).
Theorem 2. Angles ya wima ni sawa.
Ushahidi. Fikiria pembe za wima za AOS na COD (angalia Kielelezo 2). Angle ya bod iko karibu kwa kila pembe ya AOS na COD. Kwa Theorem 1 ∠ AOS + ∠ Bod \u003d 180 °, ∠ cod + ∠ bod \u003d 180 °.
Kutoka hapa tunahitimisha kwamba ∠ ah \u003d ∠ cod.
Corollary 1. Angle, angle iliyo karibu, ni angle moja kwa moja.
Fikiria mbili intersecting ac na bd (Kielelezo 3). Wao huunda pembe nne. Ikiwa mmoja wao ni sawa (angle 1 katika Kielelezo 3), basi pembe iliyobaki pia ni sawa (angles 1 na 2, 1 na 4 - karibu, angles 1 na 3 - wima). Katika kesi hiyo, wanasema kwamba hizi moja kwa moja huingilia kwenye pembe za kulia na huitwa perpendicular (au pande zote perpendicular). Perpendicularity ya wasemaji wa moja kwa moja na BD inaonyeshwa kama ifuatavyo: AC ⊥ BD.
Katikati ya katikati ya sehemu inaitwa moja kwa moja, perpendicular kwa sehemu hii na kupita katikati yake.
En - perpendicular kwa moja kwa moja.
Fikiria moja kwa moja na uelekeze, usiolala (Kielelezo 4). Unganisha hatua ya sehemu na hatua moja kwa moja a. Sehemu hiyo inaitwa perpendicular iliyofanywa kutoka hatua ya kuelekeza A, ikiwa ni moja kwa moja na perpendicular. Uhakika h inaitwa msingi wa perpendicular.
Kuchora mraba
Theorem yafuatayo halali.
Theorem 3. Kutoka hatua yoyote ambayo haina uongo juu ya mstari, unaweza kufanya perpendicular kwa mstari huu wa moja kwa moja, na kwa moja tu.
Ili kufanya perpendicular juu ya kuchora kutoka kwa hatua hadi mstari wa moja kwa moja, kitanda cha kuchora kinatumiwa (Kielelezo 5).
Maoni. Uundaji wa theorem kawaida hujumuisha sehemu mbili. Katika sehemu moja ni alisema kuwa imetolewa. Sehemu hii inaitwa hali ya theorem. Katika sehemu nyingine, inasemekana kwamba inapaswa kuthibitishwa. Sehemu hii inaitwa hitimisho la theorem. Kwa mfano, hali ya theorem 2 - pembe za wima; Hitimisho - pembe hizi ni sawa.
Theorem yote inaweza kuelezwa kwa undani kwa maneno ili hali yake itaanza na neno "kama", na hitimisho ni neno "kwamba". Kwa mfano, Theorem 2 inaweza kuelezwa kwa undani hii: "Ikiwa wima mbili, basi ni sawa."
Mfano 1. Moja ya pembe za karibu ni 44 °. Nini mwingine?
Uamuzi.
Mwandishi wa kiwango cha angle nyingine kupitia x, basi kulingana na Theorem 1.
44 ° + x \u003d 180 °.
Kutatua usawa unaosababisha, tunaona kwamba x \u003d 136 °. Kwa hiyo, angle nyingine ni 136 °.
Mfano 2. Tuseme katika Mchoro 21, angle ya cod ni 45 °. Je, ni pembe za AOS na AOS?
Uamuzi.
COD na ag angles wima, kwa hiyo, kulingana na Theorem 1.2, ni sawa, yaani, ∠ AOS \u003d 45 °. Angle ya AOC karibu na angle ya cod, ambayo ina maana kwamba Theorem 1.
∠ AOC \u003d 180 ° - ∠ cod \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.
Mfano 3. Pata pembe za karibu ikiwa mmoja wao ni mara 3 zaidi kuliko nyingine.
Uamuzi.
Anaashiria kiwango cha angle ndogo kupitia x. Kisha kiwango cha angle kubwa itakuwa sq. Kwa kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 ° (theorem 1), kisha x + зх \u003d 180 °, ambapo x \u003d 45 °.
Kwa hiyo, pembe za karibu ni sawa na 45 ° na 135 °.
Mfano 4. Jumla ya pembe mbili za wima ni 100 °. Pata ukubwa wa kila pembe nne.
Uamuzi.
Hebu tatizo lifanane na tatizo 2. Angles ya wima kwa AOS ni sawa (theorem 2), ambayo ina maana kwamba hatua zao za shahada ni sawa. Kwa hiyo, ∠ cod \u003d ∠ ao \u003d 50 ° (jumla yao chini ya hali ni 100 °). Angle ya BOD (pia angle ya AOS) karibu na angle ya cod, na kwa hiyo, kwa Theorem 1
∠ BOD \u003d ∠ AOS \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.
Taarifa ya awali ya pembe.
Hebu tupe mionzi miwili ya kiholela. Hebu tuwaache kwa kila mmoja. Kisha
Ufafanuzi 1.
Angle itaitwa mihimili miwili ambayo ina mwanzo huo.
Ufafanuzi 2.
Hatua ambayo ni mwanzo wa mionzi ndani ya mfumo wa ufafanuzi 3 inaitwa juu ya angle hii.
Angle itaelezewa na pointi tatu zifuatazo: vertex, hatua ya moja ya mionzi na hatua kwenye boriti nyingine, na juu ya kona imeandikwa katikati ya jina lake (Kielelezo 1).
Tunafafanua sasa nini ukubwa wa angle ni.
Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchagua aina fulani ya "kumbukumbu" ambayo tutachukua kila kitengo. Mara nyingi, angle hii ni angle ambayo ni sawa na $ \\ FRAC (1) (180) $ sehemu ya angle iliyopanuliwa. Ukubwa huo unaitwa shahada. Baada ya kuchagua angle hiyo, tunatumia kulinganisha kwa pembe na hilo, thamani ambayo unahitaji kupata.
Kuna aina 4 za pembe:
Ufafanuzi 3.
Angle inaitwa mkali ikiwa ni chini ya $ 90 ^ 0 $.
Ufafanuzi 4.
Angle inaitwa kijinga ikiwa ni zaidi ya $ 90 ^ 0 $.
Ufafanuzi 5.
Angle inaitwa kufunguliwa ikiwa ni sawa na $ 180 ^ 0.
Ufafanuzi 6.
Angle inaitwa moja kwa moja, ikiwa ni sawa na $ 90 ^ 0 $.
Mbali na aina hizo za pembe, ambazo zinaelezwa hapo juu, aina ya pembe zinaweza kutenganishwa kuhusiana na kila mmoja, yaani angles ya wima na karibu.
Pembe zinazohusiana
Fikiria angle ya kina ya $ cob $. Kutoka kwa wigo wake utafanyika $ OA $. Ray hii itagawanywa katika pembe mbili. Kisha
Ufafanuzi 7.
Angle mbili itaitwa karibu ikiwa jozi moja ya pande zao ni angle ya kina, na jozi nyingine inafanana (Kielelezo 2).
Katika kesi hii, pembe za $ coa $ na $ BOA $ ni karibu.
Theorem 1.
Jumla ya pembe za karibu ni sawa na $ 180 ^ 0 $.
Ushahidi.
Fikiria Kielelezo 2.
Kwa ufafanuzi 7, $ cob $ angle itakuwa $ 180 ^ 0 $. Tangu jozi ya pili ya pande zote za karibu zinafanana, basi $ O $ ray itagawanywa na angle ya kina na 2, kwa hiyo
$ ∠Coa + ∠boa \u003d 180 ^ 0 $.
Theorem imethibitishwa.
Fikiria suluhisho la tatizo na dhana hii.
Mfano 1.
Pata angle $ c $ kutoka takwimu hapa chini
Kwa ufafanuzi 7, tunapata kwamba pembe za $ BDA $ na $ ADC $ ni karibu. Kwa hiyo, kwa Theorem 1, tunapata
$ ∠BDA + ∠ADC \u003d 180 ^ 0 $.
$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠bda \u003d 180〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $
Na theorem juu ya kiasi cha pembe katika pembetatu, tutakuwa na
$ ∠a + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ $ 0
$ ∠C \u003d 180 ^ 0-∠a-∠adc \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $
Jibu: $ 40 ^ $ 0.
Pembe za wima
Fikiria pembe zilizotumika za $ AOB $ na $ MOC $. Sambamba vichwa kati yao wenyewe (yaani, tunavunja uhakika $ O "$ kwa kila uhakika $ O $) ili hakuna pande za pembe hizi zimefanana. Kisha
Ufafanuzi 8.
Angle mbili itaitwa wima ikiwa jozi ya vyama vyao ni pembe zilizofunuliwa, na maadili yao yanafanana (Kielelezo 3).
Katika kesi hii, pembe za $ moa na $ BOC $ ni wima na pembe za $ $ na $ AOC $ pia wima.
Theorem 2.
Angles ya wima ni miongoni mwao wenyewe.
Ushahidi.
Fikiria Kielelezo 3. Thibitisha, kwa mfano, Angle ya $ moa ni sawa na angle ya $ BOC $.
Corners mbili zilizowekwa kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja na kuwa na vertex moja huitwa karibu.
Vinginevyo, ikiwa jumla ya pembe mbili kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja ni digrii 180 na upande mmoja ni wa kawaida, basi haya ni pembe za karibu.
1 Angle karibu + 1 angle karibu \u003d digrii 180.
Angles zinazohusiana ni angle mbili, ambayo upande mmoja ni wa kawaida, na vyama vingine viwili kwa ujumla huunda mstari wa moja kwa moja.
Jumla ya pembe mbili za karibu ni sawa na digrii 180. Kwa mfano, ikiwa angle moja ni digrii 60, basi pili itakuwa ni digrii 120 (180-60).
AC na vos angles ni pembe za karibu, kwa sababu hali zote za sifa za pembe za karibu zinazingatiwa:
1. Jumla ya bahari ya pembe mbili.
2.Ao-poror ya angle ya AOC, oS-nyuklia angle ya Vos. Pamoja, vyama hivi huunda mstari wa moja kwa moja wa AOS.
3. Mbili na jumla yao ni digrii 180.
Kumbuka kozi ya shule ya jiometri, tunaweza kusema kuhusu pembe za karibu kama ifuatavyo:
katika pembe za karibu - upande mmoja ni wa jumla, na pande nyingine mbili ni ya mstari mmoja wa moja kwa moja, yaani, ni kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja. Ikiwa katika takwimu, basi pembe za bundi na WA ni pembe za karibu, kiasi ambacho daima ni sawa na 180, kwa kuwa wanatenganisha angle ya kina, na angle ya kina daima ni sawa na 180.
Kuhusiana na angles dhana ya mwanga katika jiometri. Angles kuhusiana, angle pamoja angle kutoa digrii 180 kwa jumla.
Angle mbili karibu - itakuwa moja angle ya kina.
Kuna mali kadhaa zaidi. Kwa pembe za karibu, kazi ni kutatua na theorems kuthibitisha kwa urahisi.
Angles zinazohusiana zinaundwa wakati wa boriti kutoka kwa uhakika wa moja kwa moja. Kisha hatua hii ya kiholela inageuka kuwa kilele cha angle, ray - upande wa kawaida wa pembe za karibu, na ray ambayo inafanywa na pande mbili zilizobaki za pembe za karibu. Angles zinazohusiana zinaweza kuwa sawa katika kesi ya perpendicular, na tofauti katika boriti iliyopendekezwa. Ni rahisi kuelewa kwamba jumla ya pembe za karibu ni digrii 180 au tu mstari wa moja kwa moja. Kwa mwingine, angle hii inaweza kuelezwa na mfano rahisi - wewe kwanza kutembea katika mwelekeo mmoja kwa mstari wa moja kwa moja, kisha umebadili mawazo yangu, aliamua kurudi na kupelekwa digrii 180 iliendelea mwelekeo huo wa moja kwa moja.
Kwa hiyo, angle ya karibu ni nini? Ufafanuzi:
Karibu ni angle mbili na vertex ya kawaida na upande mmoja wa kawaida, na pande mbili za pembe hizi zimelala kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja.
Na somo la video ndogo ambapo busara inavyoonyeshwa juu ya pembe za karibu, pembe za wima, pamoja na mistari ya moja kwa moja, ambayo ni kesi maalum ya pembe za karibu na wima
Angles zinazohusiana ni pembe ambazo upande mmoja ni wa kawaida, na pili ni mstari mmoja.
Angles zinazohusiana ni pembe zinazotegemeana. Hiyo ni, kama stron jumla imezungushwa kidogo, basi angle moja itapungua kwa digrii yoyote na moja kwa moja angle ya pili itaongeza digrii sawa. Mali hii ya pembe za karibu inaruhusu katika jiometri kutatua kazi mbalimbali na kutoa ushahidi wa theorems mbalimbali.
Jumla ya pembe za karibu ni sawa na digrii 180.
Kutoka kwa kipindi cha jiometri, (kama nilivyokumbuka kwa daraja la 6) karibu ni angle mbili, ambayo upande mmoja ni wa kawaida, na vyama vingine ni mionzi ya ziada, jumla ya pembe za karibu ni 180. Kila moja ya pembe mbili zilizo karibu zinakamilisha Nyingine kabla ya angle iliyopanuliwa. Mfano wa pembe za karibu:
Angles zinazohusiana ni angle mbili na vertex ya kawaida, upande mmoja ambao ni wa kawaida, na vyama vilivyobaki vinalala kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja (sio sambamba). Kiasi cha pembe za karibu ni sawa na digrii mia nane na themanini. Kwa ujumla, yote haya ni rahisi sana katika Google au kitabu cha maandishi.
1. Angles kuhusiana.
Ikiwa tunaendelea upande wa kona kwa ajili ya juu yake, tutapata angle mbili (Kielelezo 72): ∠avs na ∠SVD, ambao wana upande mmoja wa jua kawaida, na nyingine mbili, AB na CD hufanya a mstari wa moja kwa moja.
Angle mbili, ambayo upande mmoja ni wa jumla, na wengine wawili hufanya mstari wa moja kwa moja, huitwa pembe za karibu.
Angles zinazohusiana zinaweza kupatikana na hivyo: ikiwa kuna boriti kutoka kwa hatua fulani (sio uongo kwenye mstari huu), basi tunapata pembe za karibu.
Kwa mfano, ∠ADF na ∠FDV ni pembe za karibu (Kielelezo 73).
Angles zinazohusiana zinaweza kuwa na nafasi mbalimbali (Kielelezo 74).
Pembe za karibu kwa jumla hufanya angle iliyopanuliwa, hivyo jumla ya pembe mbili zilizo karibu ni 180 °
Kutoka hapa, angle moja kwa moja inaweza kuelezwa kama angle sawa na kona yake ya karibu.
Kujua ukubwa wa moja ya pembe za karibu, tunaweza kupata ukubwa wa kona nyingine iliyosababishwa nayo.
Kwa mfano, ikiwa moja ya pembe za karibu ni 54 °, basi angle ya pili itakuwa sawa na:
180 ° - 54 ° \u003d l26 °.
2. Angles ya wima.
Ikiwa tunaendelea upande wa kona kwa juu, tutapata pembe za wima. Katika Mchoro 75, pembe za eof na AOS wima; Corners ni OO na Co - pia wima.
Vipande viwili vinaitwa wima ikiwa pande za angle moja ni kuendelea kwa pande za angle nyingine.
Hebu ∠1 \u003d \\ (\\ FRAC (7) (8) \\) ⋅ 90 ° (Kielelezo 76). Karibu na hiyo ∠2 itakuwa sawa na 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °, i.e. 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 °.
Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kuhesabu kile kilicho sawa na ∠3 na ∠4.
∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (\\ FRAC (7) (8) \\) ⋅ 90 °;
∠4 \u003d 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (Kielelezo 77).
Tunaona kwamba ∠1 \u003d ∠3 na ∠2 \u003d ∠4.
Unaweza kutatua baadhi ya kazi sawa, na kila wakati matokeo sawa yatapatikana: pembe za wima ni sawa kwa kila mmoja.
Hata hivyo, kuhakikisha kuwa pembe za wima ni sawa na kila mmoja, haitoshi kuzingatia mifano tofauti ya nambari, kwani hitimisho lililofanywa kwa misingi ya mifano binafsi inaweza wakati mwingine kuwa na makosa.
Hakikisha haki ya mali ya pembe za wima ni muhimu kwa ushahidi.
Ushahidi unaweza kufanyika kama ifuatavyo (Kielelezo 78):
∠a +.∠c. \u003d 180 °;
∠b +.∠c. \u003d 180 °;
(Kwa kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 °).
∠a +.∠c. = ∠b +.∠c.
(Kwa kuwa upande wa kushoto wa usawa huu ni 180 °, na sehemu yake ya haki pia ni 180 °).
Usawa huu unajumuisha angle sawa. kutoka.
Ikiwa sisi ni sawa na maadili sawa ya sawa, itabaki sawa. Matokeo yake, itaondoka: ∠a. = ∠b., I.E. Angles ya wima ni sawa na kila mmoja.
3. Jumla ya pembe zilizo na vertex jumla.
Juu ya kuchora 79 ∠1, ∠2, ∠3 na ∠4 ziko upande mmoja wa moja kwa moja na kuwa na vertex jumla juu ya moja kwa moja. Kwa kiasi cha pembe hizi hufanya angle iliyopanuliwa, i.e.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °.
Katika kuchora 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 na ∠5 wana vertex jumla. Kwa kiasi, pembe hizi hufanya angle kamili, yaani, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °.
Vifaa vingine.
