Fomula za trigonometric ni kesi maalum. Kutatua milinganyo ya trigonometric

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Kutatua hesabu rahisi za trigonometric"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Miongozo na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 10 kutoka 1C
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi zinazoingiliana za kujenga katika nafasi
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa Hisabati 6.1"

Tutajifunza nini:
1. Milinganyo ya trigonometric ni nini?

3. Mbinu mbili kuu za kutatua milinganyo ya trigonometric.
4. Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.
5. Mifano.

Milinganyo ya trigonometric ni nini?

Jamani, tayari tumesoma arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent. Sasa hebu tuangalie milinganyo ya trigonometric kwa ujumla.

Milinganyo ya trigonometriki ni milinganyo ambapo kigezo kimo chini ya ishara ya chaguo za kukokotoa za trigonometriki.

Wacha turudie fomu ya kutatua hesabu rahisi zaidi za trigonometric:

1)Ikiwa |a|≤ 1, basi equation cos(x) = a ina suluhu:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ikiwa |a|≤ 1, basi equation sin(x) = a ina suluhu:

3) Kama |a| > 1, kisha equation sin(x) = a na cos(x) = a haina suluhu 4) Mlinganyo tg(x)=a una suluhisho: x=arctg(a)+ πk

5) Mlinganyo ctg(x)=a una suluhisho: x=arcctg(a)+ πk

Kwa fomula zote k ni nambari kamili

Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki ina umbo: T(kx+m)=a, T ni baadhi ya fomula za trigonometriki.

Tatua milinganyo: a) dhambi(3x)= √3/2

Suluhisho:

A) Wacha tuonyeshe 3x=t, kisha tutaandika tena equation yetu katika fomu:

Suluhisho la mlingano huu litakuwa: t=((-1)^n) arcsin(√3 /2)+ πn.

Kutoka kwa jedwali la maadili tunapata: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Wacha turudi kwenye utofauti wetu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Kisha x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jibu: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ambapo n ni nambari kamili. (-1)^n - toa moja kwa nguvu ya n.

Mifano zaidi ya milinganyo ya trigonometric.

Suluhisho:

A) Wakati huu wacha tuende moja kwa moja kwenye kuhesabu mizizi ya equation mara moja:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Kisha x/5= πk => x=5πk

Jibu: x=5πk, ambapo k ni nambari kamili.

B) Tunaiandika kwa fomu: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tunajua kwamba: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jibu: x=2π/9 + πk/3, ambapo k ni nambari kamili.

Tatua milinganyo: cos(4x)= √2/2. Na kupata mizizi yote kwenye sehemu.

Suluhisho:

Wacha tutatue mlingano wetu kwa njia ya jumla: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sasa hebu tuone ni mizizi gani inayoanguka kwenye sehemu yetu. Kwa k Kwa k=0, x= π/16, tuko katika sehemu iliyotolewa.
Na k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tunagonga tena.
Kwa k=2, x= π/16+ π=17π/16, lakini hapa hatukupiga, ambayo ina maana kwamba kwa k kubwa sisi pia ni wazi hatutapiga.

Jibu: x= π/16, x= 9π/16

Njia kuu mbili za suluhisho.

Wacha tusuluhishe equation:

Suluhisho:
Ili kutatua equation yetu, tutatumia njia ya kuanzisha tofauti mpya, inayoashiria: t=tg(x).

Kama matokeo ya uingizwaji tunapata: t 2 + 2t -1 = 0

Wacha tupate mizizi ya equation ya quadratic: t=-1 na t=1/3

Kisha tg(x)=-1 na tg(x)=1/3, tunapata equation rahisi zaidi ya trigonometric, hebu tupate mizizi yake.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jibu: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Mfano wa kutatua equation

Tatua milinganyo: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Suluhisho:

Hebu tutumie kitambulisho: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mlinganyo wetu utachukua fomu: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Wacha tuonyeshe uingizwaji t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Suluhisho la equation yetu ya quadratic ni mizizi: t=2 na t=-1/2

Kisha cos(x)=2 na cos(x)=-1/2.

Kwa sababu cosine haiwezi kuchukua thamani kubwa kuliko moja, basi cos(x)=2 haina mizizi.

Kwa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jibu: x= ±2π/3 + 2πk

Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous.

Milinganyo ya fomu

milinganyo ya trigonometric homogeneous ya shahada ya pili.

Ili kusuluhisha mlinganyo wa trigonometric wa homogeneous wa shahada ya kwanza, igawanye kwa cos(x): Hauwezi kugawanya kwa cosine ikiwa ni sawa na sifuri, wacha tuhakikishe kuwa hii sivyo:
Acha cos(x)=0, basi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lakini sine na cosine sio sawa na sifuri kwa wakati mmoja, tunapata ukinzani, ili tuweze kugawanya kwa usalama. kwa sifuri.

Tatua mlinganyo:
Mfano: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Suluhisho:

Wacha tuchukue sababu ya kawaida: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Kisha tunahitaji kutatua equations mbili:

Cos(x)=0 na cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 kwa x= π/2 + πk;

Zingatia equation cos(x)+sin(x)=0 Gawa mlinganyo wetu kwa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jibu: x= π/2 + πk na x= -π/4+πk

Jinsi ya kutatua equations za trigonometric homogeneous ya shahada ya pili?
Guys, fuata sheria hizi kila wakati!

1. Angalia mgawo a ni sawa na nini, ikiwa a=0 basi equation yetu itachukua fomu cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), mfano wa suluhisho ambalo liko kwenye slaidi iliyotangulia.

2. Ikiwa a≠0, basi unahitaji kugawanya pande zote mbili za equation na cosine squared, tunapata:

Tunabadilisha kutofautisha t=tg(x) na kupata equation:

Tatua mfano Na.:3

Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na mraba wa cosine:

Tunabadilisha tofauti t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Wacha tupate mizizi ya equation ya quadratic: t=-3 na t=1

Kisha: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jibu: x=-arctg(3) + πk na x= π/4+ πk

Tatua mfano Na.:4

Suluhisho:
Wacha tubadilishe usemi wetu:

Tunaweza kutatua milinganyo kama hii: x= - π/4 + 2πk na x=5π/4 + 2πk

Jibu: x= - π/4 + 2πk na x=5π/4 + 2πk

Tatua mfano no.:5

Suluhisho:
Wacha tubadilishe usemi wetu:

Wacha tuanzishe uingizwaji tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Suluhisho la equation yetu ya quadratic itakuwa mizizi: t=-2 na t=1/2

Kisha tunapata: tg(2x)=-2 na tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Jibu: x=-arctg(2)/2 + πk/2 na x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Matatizo kwa ajili ya ufumbuzi wa kujitegemea.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Tatua milinganyo: dhambi(3x)= √3/2. Na upate mizizi yote kwenye sehemu [π/2; π].

3) Tatua mlingano: kitanda 2 (x) + 2 kitanda (x) + 1 =0

4) Tatua mlingano: 3 dhambi 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tatua mlingano: 3sin 2 (3x) + 10 dhambi(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tatua mlingano: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Unaweza kuagiza suluhisho la kina kwa shida yako !!!

Usawa ulio na kitu kisichojulikana chini ya ishara ya chaguo za kukokotoa za trigonometriki (`sin x, cos x, tan x` au `ctg x`) inaitwa mlinganyo wa trigonometric, na ni fomula zao ambazo tutazingatia zaidi.

Milinganyo rahisi zaidi ni `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ambapo `x` ndiyo pembe inayopatikana, `a` ni nambari yoyote. Hebu tuandike kanuni za mizizi kwa kila mmoja wao.

1. Mlinganyo `dhambi x=a`.

Kwa `|a|>1` haina suluhu.

Wakati `|a| \leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Mfumo wa mizizi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \katika Z`

2. Mlinganyo `cos x=a`

Kwa `|a|>1` - kama ilivyo kwa sine, haina suluhu kati ya nambari halisi.

Wakati `|a| \leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Mfumo wa mizizi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \katika Z`

Kesi maalum za sine na cosine katika grafu.

3. Mlinganyo `tg x=a`

Ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu kwa thamani zozote za `a`.

Fomula ya mizizi: `x=arctg a + \pi n, n \katika Z`

4. Mlinganyo `ctg x=a`

Pia ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu kwa thamani zozote za `a`.

Mfumo wa mizizi: `x=arcctg a + \pi n, n \katika Z`

Fomula za mizizi ya milinganyo ya trigonometric kwenye jedwali

Kwa sine:
Kwa cosine:
Kwa tangent na cotangent:
Fomula za kutatua milinganyo iliyo na vitendaji kinyume vya trigonometriki:

Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric

Kutatua equation yoyote ya trigonometric ina hatua mbili:

• kwa msaada wa kuibadilisha kuwa rahisi zaidi;
• suluhisha equation rahisi zaidi iliyopatikana kwa kutumia kanuni za mizizi na majedwali yaliyoandikwa hapo juu.

Wacha tuangalie njia kuu za suluhisho kwa kutumia mifano.

Mbinu ya algebra.

Njia hii inahusisha kuchukua nafasi ya kutofautisha na kuibadilisha kuwa usawa.

Mfano. Tatua mlingano: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

tengeneza mbadala: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, kisha `2y^2-3y+1=0`,

tunapata mizizi: `y_1=1, y_2=1/2`, ambapo visa viwili hufuata:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jibu: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Mfano. Tatua mlingano: `sin x+cos x=1`.

Suluhisho. Hebu tuhamishe masharti yote ya usawa upande wa kushoto: `sin x+cos x-1=0`. Kwa kutumia , tunabadilisha na kutengeneza upande wa kushoto:

`dhambi x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-dhambi x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-dhambi x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jibu: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous

Kwanza, unahitaji kupunguza equation hii ya trigonometric kwa moja ya aina mbili:

`a sin x+b cos x=0` (mlinganyo wa homogeneous wa shahada ya kwanza) au `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (mlingano wa homogeneous wa shahada ya pili).

Kisha gawanya sehemu zote mbili kwa `cos x \ne 0` - kwa kesi ya kwanza, na kwa `cos^2 x \ne 0` - kwa pili. Tunapata milinganyo ya `tg x`: `a tg x+b=0` na `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ambayo inahitaji kutatuliwa kwa kutumia mbinu zinazojulikana.

Mfano. Tatua mlingano: `2 dhambi^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Suluhisho. Hebu tuandike upande wa kulia kama `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 dhambi^2 x+dhambi x cos x — cos^2 x=` `dhambi^2 x+cos^2 x`,

`2 dhambi^2 x+dhambi x cos x — cos^2 x -` ` dhambi^2 x — cos^2 x=0`

`dhambi^2 x+dhambi x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Huu ni mlinganyo wa trigonometric homogeneous wa shahada ya pili, tunagawanya pande zake za kushoto na kulia kwa `cos^2 x \ne 0`, tunapata:

`\frac (dhambi^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hebu tuanzishe kibadala `tg x=t`, na kusababisha `t^2 + t - 2=0`. Mizizi ya mlingano huu ni `t_1=-2` na `t_2=1`. Kisha:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \katika Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \katika Z`.

Jibu. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \katika Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \katika Z`.

Kuhamia Nusu Pembe

Mfano. Tatua mlingano: `11 dhambi x - 2 cos x = 10`.

Suluhisho. Hebu tutumie fomula za pembe mbili, zinazosababisha: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Kwa kutumia njia ya aljebra iliyoelezwa hapo juu, tunapata:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 actg 2+2\pi n`, `n \katika Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \katika Z`.

Jibu. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \katika Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \katika Z`.

Utangulizi wa pembe ya msaidizi

Katika mlinganyo wa trigonometriki `a sin x + b cos x =c`, ambapo a,b,c ni vigawo na x ni kigezo, gawanya pande zote mbili kwa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Vigawanyiko vilivyo upande wa kushoto vina sifa ya sine na kosine, yaani jumla ya miraba yake ni sawa na 1 na moduli zake si kubwa kuliko 1. Hebu tuziashiria hivi: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, kisha:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Hebu tuangalie kwa makini mfano ufuatao:

Mfano. Tatua mlingano: `3 dhambi x+4 cos x=2`.

Suluhisho. Gawa pande zote mbili za usawa kwa `sqrt (3^2+4^2)`, tunapata:

`\frac (3 dhambi x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 dhambi x+4/5 cos x=2/5`.

Hebu tuashiria `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kwa kuwa `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, basi tunachukua `\varphi=arcsin 4/5` kama pembe kisaidizi. Kisha tunaandika usawa wetu katika fomu:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Kutumia fomula ya jumla ya pembe za sine, tunaandika usawa wetu katika fomu ifuatayo:

`dhambi (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \katika Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \ in Z`.

Jibu. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \ in Z`.

Milinganyo ya kimantiki ya trigonometriki

Hizi ni usawa na sehemu ambazo nambari na denomineta zina vitendaji vya trigonometric.

Mfano. Tatua mlinganyo. `\frac (dhambi x)(1+cos x)=1-cos x`.

Suluhisho. Zidisha na ugawanye upande wa kulia wa usawa kwa `(1+cos x)`. Kama matokeo, tunapata:

`\frac (dhambi x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (dhambi x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (dhambi x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (dhambi x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Kwa kuzingatia kwamba kipunguzi hakiwezi kuwa sawa na sifuri, tunapata `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \katika Z`.

Hebu tulinganishe nambari ya sehemu na sufuri: `dhambi x-sin^2 x=0`, `dhambi x(1-dhambi x)=0`. Kisha `dhambi x=0` au `1-dhambi x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \katika Z`
2. `1-dhambi x=0`, `dhambi x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \katika Z`.

Ikizingatiwa kuwa ` x \ne \pi+2\pi n, n \katika Z`, suluhu ni `x=2\pi n, n \katika Z` na `x=\pi /2+2\pi n` , `n \katika Z`.

Jibu. `x=2\pi n`, `n \katika Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \katika Z`.

Trigonometry, na milinganyo ya trigonometric haswa, hutumiwa katika karibu maeneo yote ya jiometri, fizikia, na uhandisi. Kusoma huanza katika daraja la 10, kila wakati kuna kazi za Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa hivyo jaribu kukumbuka fomula zote za hesabu za trigonometric - hakika zitakuwa na msaada kwako!

Walakini, hauitaji hata kuzikariri, jambo kuu ni kuelewa kiini na kuweza kuipata. Sio ngumu kama inavyoonekana. Jionee mwenyewe kwa kutazama video.

Inahitaji ujuzi wa kanuni za msingi za trigonometry - jumla ya mraba wa sine na cosine, usemi wa tangent kupitia sine na cosine, na wengine. Kwa wale ambao wamewasahau au hawajui, tunapendekeza kusoma makala "".
Kwa hiyo, tunajua kanuni za msingi za trigonometric, ni wakati wa kuzitumia katika mazoezi. Kutatua milinganyo ya trigonometric kwa mbinu sahihi, ni shughuli ya kusisimua kabisa, kama, kwa mfano, kutatua mchemraba wa Rubik.

Kulingana na jina yenyewe, ni wazi kwamba equation ya trigonometric ni equation ambayo haijulikani ni chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.
Kuna kinachojulikana milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Hivi ndivyo zinavyoonekana: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hebu tuzingatie jinsi ya kutatua milinganyo kama hiyo ya trigonometric, kwa uwazi, tutatumia mduara wa trigonometric tayari unaojulikana.

dhambi = a

maana x = a

tani x = a

kitanda x = a

Mlinganyo wowote wa trigonometriki hutatuliwa katika hatua mbili: tunapunguza mlinganyo kwa umbo lake rahisi na kisha kuutatua kama mlinganyo rahisi wa trigonometriki.
Kuna njia 7 kuu ambazo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa.

1. Njia ya kubadilisha na mbadala inayobadilika

Tatua mlingano 2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0

Kwa kutumia fomula za kupunguza tunapata:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Badilisha cos(x + /6) na y ili kurahisisha na kupata equation ya kawaida ya quadratic:

Miaka 2 - 3y + 1 + 0

Mizizi ambayo ni y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sasa hebu tuende kwa mpangilio wa nyuma

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana ya y na kupata chaguzi mbili za jibu:

2. Kutatua milinganyo ya trigonometriki kupitia uwekaji alama

Jinsi ya kutatua equation sin x + cos x = 1?

Wacha tuhamishe kila kitu kushoto ili 0 ibaki kulia:

dhambi x + cos x - 1 = 0

Wacha tutumie vitambulisho vilivyojadiliwa hapo juu ili kurahisisha mlinganyo:

dhambi x - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

Wacha tuimarishe:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

2dhambi(x/2) * = 0

Tunapata equations mbili

3. Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous

Mlinganyo ni sawa kuhusiana na sine na kosine ikiwa masharti yake yote yanahusiana na sine na kosine ya nguvu sawa ya pembe sawa. Ili kutatua equation ya homogeneous, endelea kama ifuatavyo:

a) kuhamisha wanachama wake wote upande wa kushoto;

b) kuchukua mambo yote ya kawaida nje ya mabano;

c) kusawazisha mambo yote na mabano kwa 0;

d) usawa wa homogeneous wa shahada ya chini hupatikana katika mabano, ambayo kwa upande wake imegawanywa katika sine au cosine ya shahada ya juu;

e) kutatua mlinganyo unaotokana na tg.

Tatua mlingano 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Wacha tutumie formula sin 2 x + cos 2 x = 1 na tuondoe mbili zilizo wazi upande wa kulia:

3dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 5 cos x = 2dhambi 2 x + 2cos 2 x

dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 3 cos 2 x = 0

Gawanya kwa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Badilisha tan x na y na upate equation ya quadratic:

y 2 + 4y +3 = 0, ambayo mizizi yake ni y 1 =1, y 2 = 3

Kuanzia hapa tunapata suluhisho mbili kwa equation ya asili:

x 2 = arctan 3 + k

4. Kutatua milinganyo kupitia mpito hadi pembe ya nusu

Tatua mlingano 3sin x - 5cos x = 7

Wacha tuendelee kwa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Wacha tuhamishe kila kitu kushoto:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Gawanya kwa cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Utangulizi wa pembe ya msaidizi

Kwa kuzingatia, hebu tuchukue equation ya fomu: dhambi x + b cos x = c,

ambapo a, b, c ni baadhi ya viambajengo vya kiholela, na x haijulikani.

Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na:



Sasa coefficients ya equation, kulingana na fomula trigonometric, kuwa na mali sin na cos, yaani: modulus yao si zaidi ya 1 na jumla ya mraba = 1. Hebu tuwaeleze kwa mtiririko huo kama cos na sin, ambapo - hii ni. kinachojulikana pembe ya msaidizi. Kisha equation itachukua fomu:

cos * dhambi x + dhambi * cos x = C

au dhambi(x + ) = C

Suluhisho la equation hii rahisi zaidi ya trigonometric ni

x = (-1) k * arcsin C - + k, wapi



Ikumbukwe kwamba nukuu cos na dhambi zinaweza kubadilishana.

Tatua equation sin 3x - cos 3x = 1

Coefficients katika equation hii ni:

a = , b = -1, kwa hivyo gawanya pande zote mbili kwa = 2

Wakati wa kutatua mengi matatizo ya hisabati, hasa yale yanayotokea kabla ya daraja la 10, utaratibu wa vitendo vinavyofanyika ambavyo vitasababisha lengo hufafanuliwa wazi. Matatizo hayo ni pamoja na, kwa mfano, milinganyo ya mstari na ya quadratic, usawa wa mstari na quadratic, milinganyo ya sehemu na milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic. Kanuni ya kusuluhisha kwa mafanikio kila moja ya shida zilizotajwa ni kama ifuatavyo: unahitaji kuanzisha aina gani ya shida unayosuluhisha, kumbuka mlolongo muhimu wa vitendo ambao utasababisha matokeo yaliyohitajika, i.e. jibu na ufuate hatua hizi.

Ni dhahiri kwamba mafanikio au kushindwa katika kutatua tatizo fulani inategemea hasa jinsi kwa usahihi aina ya equation inayotatuliwa imedhamiriwa, jinsi kwa usahihi mlolongo wa hatua zote za ufumbuzi wake hutolewa tena. Bila shaka, katika kesi hii ni muhimu kuwa na ujuzi wa kufanya mabadiliko na mahesabu sawa.

Hali ni tofauti na milinganyo ya trigonometric. Si vigumu hata kidogo kuanzisha ukweli kwamba equation ni trigonometric. Ugumu hutokea wakati wa kuamua mlolongo wa vitendo ambavyo vinaweza kusababisha jibu sahihi.

Wakati mwingine ni vigumu kuamua aina yake kulingana na kuonekana kwa equation. Na bila kujua aina ya equation, karibu haiwezekani kuchagua moja sahihi kutoka kwa fomula kadhaa za trigonometric.

Ili kutatua equation ya trigonometric, unahitaji kujaribu:

1. kuleta utendaji wote uliojumuishwa katika equation kwa "pembe sawa";
2. kuleta equation kwa "kazi zinazofanana";
3. kipengele upande wa kushoto wa equation, nk.

Hebu tuzingatie njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.

I. Kupunguza hadi milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Eleza utendaji wa trigonometric kulingana na vipengele vinavyojulikana.

Hatua ya 2. Pata hoja ya kazi kwa kutumia fomula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dhambi x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hatua ya 3. Tafuta tofauti isiyojulikana.

Mfano.

2 cos(3x - π/4) = -√2.

Suluhisho.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jibu: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Uingizwaji unaobadilika

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Punguza mlingano kuwa umbo la aljebra kuhusiana na mojawapo ya vitendakazi vya trigonometriki.

Hatua ya 2. Onyesha kazi inayotokana na t ya kutofautiana (ikiwa ni lazima, anzisha vikwazo kwenye t).

Hatua ya 3. Andika na utatue mlingano wa aljebra unaotokana.

Hatua ya 4. Fanya uingizwaji wa nyuma.

Hatua ya 5. Tatua mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometriki.

Mfano.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Suluhisho.

1) 2(1 – dhambi 2 (x/2)) – 5dhambi (x/2) – 5 = 0;

2dhambi 2 (x/2) + 5dhambi (x/2) + 3 = 0.

2) Acha dhambi (x/2) = t, wapi |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 au e = -3/2, haikidhi masharti |t| ≤ 1.

4) dhambi(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jibu: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Mbinu ya kupunguza mpangilio wa equation

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Badilisha equation hii na ya mstari, kwa kutumia fomula ya kupunguza digrii:

dhambi 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hatua ya 2. Tatua mlinganyo unaotokana kwa kutumia njia I na II.

Mfano.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Suluhisho.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jibu: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Milinganyo ya homogeneous

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Punguza equation hii kwa fomu

a) dhambi x + b cos x = 0 (mlingano wa homogeneous wa shahada ya kwanza)

au kwa mtazamo

b) dhambi 2 x + b dhambi x · cos x + c cos 2 x = 0 (equation homogeneous ya shahada ya pili).

Hatua ya 2. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

na upate equation ya tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tani 2 x + b arctan x + c = 0.

Hatua ya 3. Tatua mlinganyo kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Suluhisho.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

dhambi 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hebu tg x = t, basi

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 au t = -4, ambayo ina maana

tg x = 1 au tg x = -4.

Kutoka kwa equation ya kwanza x = π/4 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Mbinu ya kubadilisha mlinganyo kwa kutumia fomula za trigonometriki

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Kwa kutumia fomula zote za trigonometriki, punguza mlingano huu hadi mlinganyo uliotatuliwa kwa mbinu I, II, III, IV.

Hatua ya 2. Tatua equation inayotokana kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

dhambi x + dhambi 2x + dhambi 3x = 0.

Suluhisho.

1) (dhambi x + dhambi 3x) + dhambi 2x = 0;

2sin 2x cos x + dhambi 2x = 0.

2) dhambi 2x (2cos x + 1) = 0;

dhambi 2x = 0 au 2cos x + 1 = 0;

Kutoka kwa equation ya kwanza 2x = π/2 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili cos x = -1/2.

Tunayo x = π/4 + πn/2, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = ± (π - π/3) + 2πk, k Є Z.

Matokeo yake, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Uwezo na ustadi wa kutatua milinganyo ya trigonometric ni sana muhimu, maendeleo yao yanahitaji jitihada kubwa, kwa upande wa mwanafunzi na kwa upande wa mwalimu.

Matatizo mengi ya sterometry, fizikia, nk yanahusishwa na ufumbuzi wa equations trigonometric Mchakato wa kutatua matatizo hayo unajumuisha ujuzi na ujuzi mwingi unaopatikana kwa kujifunza vipengele vya trigonometry.

Equations Trigonometric inachukua nafasi muhimu katika mchakato wa kujifunza hisabati na maendeleo ya kibinafsi kwa ujumla.

Bado una maswali? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu, jiandikishe.
Somo la kwanza ni bure!

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Kozi ya video "Pata A" inajumuisha mada zote muhimu ili kufaulu kwa mafanikio Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati na alama 60-65. Kabisa kazi zote 1-13 za Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Profaili katika hisabati. Inafaa pia kwa kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Msingi katika hisabati. Ikiwa unataka kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja na pointi 90-100, unahitaji kutatua sehemu ya 1 kwa dakika 30 na bila makosa!

Kozi ya maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa darasa la 10-11, na pia kwa walimu. Kila kitu unachohitaji kutatua Sehemu ya 1 ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati (matatizo 12 ya kwanza) na Tatizo la 13 (trigonometry). Na hii ni zaidi ya alama 70 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja, na hakuna mwanafunzi wa alama 100 au mwanafunzi wa kibinadamu anayeweza kufanya bila wao.

Nadharia zote zinazohitajika. Suluhu za haraka, mitego na siri za Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa. Majukumu yote ya sasa ya sehemu ya 1 kutoka kwa Benki ya Kazi ya FIPI yamechanganuliwa. Kozi hiyo inatii kikamilifu mahitaji ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2018.

Kozi hiyo ina mada 5 kubwa, masaa 2.5 kila moja. Kila mada inatolewa kutoka mwanzo, kwa urahisi na kwa uwazi.

Mamia ya majukumu ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa. Matatizo ya neno na nadharia ya uwezekano. Rahisi na rahisi kukumbuka algoriti za kutatua matatizo. Jiometri. Nadharia, nyenzo za kumbukumbu, uchambuzi wa aina zote za kazi za Mitihani ya Jimbo. Stereometry. Suluhisho za hila, shuka muhimu za kudanganya, ukuzaji wa mawazo ya anga. Trigonometry kutoka mwanzo hadi tatizo 13. Kuelewa badala ya kubana. Ufafanuzi wazi wa dhana ngumu. Aljebra. Mizizi, nguvu na logarithms, kazi na derivative. Msingi wa kutatua matatizo changamano ya Sehemu ya 2 ya Mtihani wa Nchi Iliyounganishwa.