Kutatua milinganyo ya trigonometric kotanjiti. Njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric
Inahitaji ujuzi wa kanuni za msingi za trigonometry - jumla ya mraba wa sine na cosine, usemi wa tangent kupitia sine na cosine, na wengine. Kwa wale ambao wamewasahau au hawajui, tunapendekeza kusoma makala "".
Kwa hiyo, tunajua kanuni za msingi za trigonometric, ni wakati wa kuzitumia katika mazoezi. Kutatua milinganyo ya trigonometric kwa mbinu sahihi, ni shughuli ya kusisimua kabisa, kama, kwa mfano, kutatua mchemraba wa Rubik.
Kulingana na jina yenyewe, ni wazi kwamba equation ya trigonometric ni equation ambayo haijulikani ni chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.
Kuna kinachojulikana milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Hivi ndivyo zinavyoonekana: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hebu tuzingatie jinsi ya kutatua milinganyo kama hiyo ya trigonometric, kwa uwazi tutatumia mduara wa trigonometric tayari unaojulikana.
dhambi = a
maana x = a
tani x = a
kitanda x = a
Mlinganyo wowote wa trigonometriki hutatuliwa katika hatua mbili: tunapunguza mlinganyo kwa umbo lake rahisi na kisha kuutatua kama mlinganyo rahisi wa trigonometriki.
Kuna njia 7 kuu ambazo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa.
Njia ya kubadilisha na mbadala inayobadilika
Kutatua milinganyo ya trigonometriki kupitia uwekaji alama
Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous
Kutatua milinganyo kupitia mpito hadi pembe ya nusu
Utangulizi wa pembe ya msaidizi
Tatua mlingano 2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0
Kwa kutumia fomula za kupunguza tunapata:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Badilisha cos(x + /6) na y ili kurahisisha na kupata equation ya kawaida ya quadratic:
Miaka 2 - 3y + 1 + 0
Mizizi ambayo ni y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sasa hebu tuende kwa mpangilio wa nyuma
Tunabadilisha maadili yaliyopatikana ya y na kupata chaguzi mbili za jibu:
Jinsi ya kutatua equation sin x + cos x = 1?
Wacha tuhamishe kila kitu kushoto ili 0 ibaki kulia:
dhambi x + cos x - 1 = 0
Wacha tutumie vitambulisho vilivyojadiliwa hapo juu ili kurahisisha mlinganyo:
dhambi x - 2 dhambi 2 (x/2) = 0
Wacha tuimarishe:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 dhambi 2 (x/2) = 0
2dhambi(x/2) * = 0
Tunapata equations mbili
Mlinganyo ni sawa kuhusiana na sine na kosine ikiwa masharti yake yote yanahusiana na sine na kosine ya nguvu sawa ya pembe sawa. Ili kutatua equation ya homogeneous, endelea kama ifuatavyo:
a) kuhamisha wanachama wake wote upande wa kushoto;
b) kuchukua mambo yote ya kawaida nje ya mabano;
c) kusawazisha mambo yote na mabano kwa 0;
d) usawa wa homogeneous wa shahada ya chini hupatikana katika mabano, ambayo kwa upande wake imegawanywa katika sine au cosine ya shahada ya juu;
e) kutatua mlinganyo unaotokana na tg.
Tatua mlingano 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Wacha tutumie formula sin 2 x + cos 2 x = 1 na tuondoe mbili zilizo wazi upande wa kulia:
3dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 5 cos x = 2dhambi 2 x + 2cos 2 x
dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 3 cos 2 x = 0
Gawanya kwa cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Badilisha tan x na y na upate equation ya quadratic:
y 2 + 4y +3 = 0, ambayo mizizi yake ni y 1 =1, y 2 = 3
Kuanzia hapa tunapata suluhisho mbili kwa equation ya asili:
x 2 = arctan 3 + k
Tatua mlingano 3sin x - 5cos x = 7
Wacha tuendelee kwa x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Wacha tuhamishe kila kitu kushoto:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Gawanya kwa cos(x/2):
tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0
Kwa kuzingatia, hebu tuchukue equation ya fomu: dhambi x + b cos x = c,
ambapo a, b, c ni baadhi ya viambajengo vya kiholela, na x haijulikani.
Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na:
Sasa coefficients ya equation, kulingana na fomula trigonometric, kuwa na mali sin na cos, yaani: modulus yao si zaidi ya 1 na jumla ya mraba = 1. Hebu tuwaeleze kwa mtiririko huo kama cos na sin, ambapo - hii ni. kinachojulikana pembe ya msaidizi. Kisha equation itachukua fomu:
cos * dhambi x + dhambi * cos x = C
au dhambi(x + ) = C
Suluhisho la equation hii rahisi zaidi ya trigonometric ni
x = (-1) k * arcsin C - + k, wapi
Ikumbukwe kwamba nukuu cos na dhambi zinaweza kubadilishana.
Tatua equation sin 3x - cos 3x = 1
Coefficients katika equation hii ni:
a = , b = -1, kwa hivyo gawanya pande zote mbili kwa = 2
Mbinu kuu za kutatua milinganyo ya trigonometriki ni: kupunguza milinganyo hadi rahisi zaidi (kwa kutumia fomula za trigonometric), kuanzisha viambajengo vipya, na uwekaji alama. Wacha tuangalie matumizi yao na mifano. Zingatia umbizo la uandishi wa suluhu za milinganyo ya trigonometric.
Hali ya lazima ya kusuluhisha milinganyo ya trigonometric kwa mafanikio ni ujuzi wa fomula za trigonometric (mada ya 13 ya kazi 6).
Mifano.
1. Milinganyo imepunguzwa hadi rahisi zaidi.
1) Tatua mlinganyo
Suluhisho:
Jibu:
2) Tafuta mizizi ya equation
(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, mali ya sehemu.
Suluhisho:
Jibu:
2. Milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic.
1) Tatua mlingano wa 2 dhambi 2 x - cosx -1 = 0.
Suluhisho: Kwa kutumia formula dhambi 2 x = 1 - cos 2 x, tunapata
Jibu:
2) Tatua equation cos 2x = 1 + 4 cosx.
Suluhisho: Kwa kutumia formula cos 2x = 2 cos 2 x - 1, tunapata
Jibu:
3) Tatua mlingano tgx - 2ctgx + 1 = 0
Suluhisho:
Jibu:
3. Milinganyo ya homogeneous
1) Tatua mlingano 2sinx - 3cosx = 0
Suluhisho: Hebu cosx = 0, basi 2sinx = 0 na sinx = 0 - kupingana na ukweli kwamba dhambi 2 x + cos 2 x = 1. Hii ina maana cosx ≠ 0 na tunaweza kugawanya equation na cosx. Tunapata
Jibu:
2) Tatua mlingano 1 + 7 cos 2 x = 3 dhambi 2x
Suluhisho:
Tunatumia fomula 1 = dhambi 2 x + cos 2 x na dhambi 2x = 2 sinxcosx, tunapata
dhambi 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
dhambi 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Acha cosx = 0, halafu dhambi 2 x = 0 na sinx = 0 - ukinzani na ukweli kwamba dhambi 2 x + cos 2 x = 1.
Hii inamaanisha cosx ≠ 0 na tunaweza kugawanya mlinganyo kwa cos 2 x .
Tunapata
tg 2 x - 6 tgx + 8 = 0
Wacha tuonyeshe tgx = y
y 2 - 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Jibu: actg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k
4. Milinganyo ya fomu a dhambi + b cosx = s, s≠ 0.
1) Tatua mlinganyo.
Suluhisho:
Jibu:
5. Equations kutatuliwa kwa factorization.
1) Tatua equation sin2x - sinx = 0.
Mzizi wa equation f (X) = φ ( X) inaweza kutumika tu kama nambari 0. Wacha tuangalie hii:
cos 0 = 0 + 1 - usawa ni kweli.
Nambari 0 ndio mzizi pekee wa mlingano huu.
Jibu: 0.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.
Unaweza kuagiza suluhisho la kina kwa shida yako !!!
Usawa ulio na kitu kisichojulikana chini ya ishara ya chaguo za kukokotoa za trigonometriki (`sin x, cos x, tan x` au `ctg x`) inaitwa mlinganyo wa trigonometric, na ni fomula zao ambazo tutazingatia zaidi.
Milinganyo rahisi zaidi ni `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ambapo `x` ndiyo pembe inayopatikana, `a` ni nambari yoyote. Hebu tuandike kanuni za mizizi kwa kila mmoja wao.
1. Mlinganyo `dhambi x=a`.
Kwa `|a|>1` haina suluhu.
Wakati `|a| \leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.
Mfumo wa mizizi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \katika Z`
2. Mlinganyo `cos x=a`
Kwa `|a|>1` - kama ilivyo kwa sine, haina suluhu kati ya nambari halisi.
Wakati `|a| \leq 1` ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.
Mfumo wa mizizi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \katika Z`
Kesi maalum za sine na cosine katika grafu. 
3. Mlinganyo `tg x=a`
Ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu kwa thamani zozote za `a`.
Fomula ya mizizi: `x=arctg a + \pi n, n \katika Z`
4. Mlinganyo `ctg x=a`
Pia ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu kwa thamani zozote za `a`.
Mfumo wa mizizi: `x=arcctg a + \pi n, n \katika Z`
Fomula za mizizi ya milinganyo ya trigonometric kwenye jedwali
Kwa sine: 
Kwa cosine: 
Kwa tangent na cotangent: 
Fomula za kutatua milinganyo iliyo na vitendaji kinyume vya trigonometriki:
Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric
Kutatua equation yoyote ya trigonometric ina hatua mbili:
- kwa msaada wa kuibadilisha kuwa rahisi zaidi;
- suluhisha equation rahisi zaidi iliyopatikana kwa kutumia kanuni za mizizi na majedwali yaliyoandikwa hapo juu.
Wacha tuangalie njia kuu za suluhisho kwa kutumia mifano.
Mbinu ya algebra.
Njia hii inahusisha kuchukua nafasi ya kutofautisha na kuibadilisha kuwa usawa.
Mfano. Tatua mlingano: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
tengeneza mbadala: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, kisha `2y^2-3y+1=0`,
tunapata mizizi: `y_1=1, y_2=1/2`, ambapo visa viwili hufuata:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Jibu: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorization.
Mfano. Tatua mlingano: `sin x+cos x=1`.
Suluhisho. Hebu tuhamishe masharti yote ya usawa upande wa kushoto: `sin x+cos x-1=0`. Kwa kutumia , tunabadilisha na kutengeneza upande wa kushoto:
`dhambi x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-dhambi x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-dhambi x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Jibu: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous
Kwanza, unahitaji kupunguza equation hii ya trigonometric kwa moja ya aina mbili:
`a sin x+b cos x=0` (mlinganyo wa homogeneous wa shahada ya kwanza) au `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (mlingano wa homogeneous wa shahada ya pili).
Kisha gawanya sehemu zote mbili kwa `cos x \ne 0` - kwa kesi ya kwanza, na kwa `cos^2 x \ne 0` - kwa pili. Tunapata milinganyo ya `tg x`: `a tg x+b=0` na `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ambayo inahitaji kutatuliwa kwa kutumia mbinu zinazojulikana.
Mfano. Tatua mlingano: `2 dhambi^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Suluhisho. Hebu tuandike upande wa kulia kama `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 dhambi^2 x+dhambi x cos x — cos^2 x=` `dhambi^2 x+cos^2 x`,
`2 dhambi^2 x+dhambi x cos x — cos^2 x -` ` dhambi^2 x — cos^2 x=0`
`dhambi^2 x+dhambi x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Huu ni mlinganyo wa trigonometric homogeneous wa shahada ya pili, tunagawanya pande zake za kushoto na kulia kwa `cos^2 x \ne 0`, tunapata:
`\frac (dhambi^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hebu tuanzishe kibadala `tg x=t`, na kusababisha `t^2 + t - 2=0`. Mizizi ya mlingano huu ni `t_1=-2` na `t_2=1`. Kisha:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \katika Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \katika Z`.
Jibu. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \katika Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \katika Z`.
Kuhamia Nusu Pembe
Mfano. Tatua mlingano: `11 dhambi x - 2 cos x = 10`.
Suluhisho. Hebu tutumie fomula za pembe mbili, zinazosababisha: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Kwa kutumia njia ya aljebra iliyoelezwa hapo juu, tunapata:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 actg 2+2\pi n`, `n \katika Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \katika Z`.
Jibu. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \katika Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \katika Z`.
Utangulizi wa pembe ya msaidizi
Katika mlinganyo wa trigonometriki `a sin x + b cos x =c`, ambapo a,b,c ni vigawo na x ni kigezo, gawanya pande zote mbili kwa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Vigawanyiko vilivyo upande wa kushoto vina sifa ya sine na kosine, yaani jumla ya miraba yake ni sawa na 1 na moduli zake si kubwa kuliko 1. Hebu tuziashiria hivi: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, kisha:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Hebu tuangalie kwa makini mfano ufuatao:
Mfano. Tatua mlingano: `3 dhambi x+4 cos x=2`.
Suluhisho. Gawa pande zote mbili za usawa kwa `sqrt (3^2+4^2)`, tunapata:
`\frac (3 dhambi x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 dhambi x+4/5 cos x=2/5`.
Hebu tuashiria `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kwa kuwa `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, basi tunachukua `\varphi=arcsin 4/5` kama pembe kisaidizi. Kisha tunaandika usawa wetu katika fomu:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Kutumia fomula ya jumla ya pembe za sine, tunaandika usawa wetu katika fomu ifuatayo:
`dhambi (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \katika Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \ in Z`.
Jibu. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \ in Z`.
Milinganyo ya kimantiki ya trigonometriki
Hizi ni usawa na sehemu ambazo nambari na denomineta zina vitendaji vya trigonometric.
Mfano. Tatua mlinganyo. `\frac (dhambi x)(1+cos x)=1-cos x`.
Suluhisho. Zidisha na ugawanye upande wa kulia wa usawa kwa `(1+cos x)`. Kama matokeo, tunapata:
`\frac (dhambi x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (dhambi x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (dhambi x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (dhambi x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Kwa kuzingatia kwamba kipunguzi hakiwezi kuwa sawa na sifuri, tunapata `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \katika Z`.
Hebu tulinganishe nambari ya sehemu na sufuri: `dhambi x-sin^2 x=0`, `dhambi x(1-dhambi x)=0`. Kisha `dhambi x=0` au `1-dhambi x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \katika Z`
- `1-dhambi x=0`, `dhambi x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \katika Z`.
Ikizingatiwa kuwa ` x \ne \pi+2\pi n, n \katika Z`, suluhu ni `x=2\pi n, n \katika Z` na `x=\pi /2+2\pi n` , `n \katika Z`.
Jibu. `x=2\pi n`, `n \katika Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \katika Z`.
Trigonometry, na milinganyo ya trigonometric haswa, hutumiwa katika karibu maeneo yote ya jiometri, fizikia, na uhandisi. Kusoma huanza katika daraja la 10, kila wakati kuna kazi za Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa hivyo jaribu kukumbuka fomula zote za hesabu za trigonometric - hakika zitakuwa na msaada kwako!
Walakini, hauitaji hata kuzikariri, jambo kuu ni kuelewa kiini na kuweza kuipata. Sio ngumu kama inavyoonekana. Jionee mwenyewe kwa kutazama video.
Uhusiano kati ya kazi za msingi za trigonometric - sine, cosine, tangent na cotangent - hutolewa fomula za trigonometric. Na kwa kuwa kuna miunganisho mingi kati ya kazi za trigonometric, hii inaelezea wingi wa fomula za trigonometric. Njia zingine huunganisha kazi za trigonometric za pembe sawa, zingine - kazi za pembe nyingi, zingine - hukuruhusu kupunguza kiwango, nne - kuelezea kazi zote kupitia tangent ya pembe ya nusu, nk.
Katika makala hii tutaorodhesha kwa utaratibu fomula zote za msingi za trigonometric, ambazo zinatosha kutatua matatizo mengi ya trigonometry. Kwa urahisi wa kukariri na matumizi, tutawaweka kwa kusudi na kuwaingiza kwenye meza.
Urambazaji wa ukurasa.
Vitambulisho vya msingi vya trigonometric
Vitambulisho vya msingi vya trigonometric fafanua uhusiano kati ya sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe moja. Wanafuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent, pamoja na dhana ya mduara wa kitengo. Wanakuruhusu kuelezea kazi moja ya trigonometric kulingana na nyingine yoyote.
Kwa maelezo ya kina ya fomula hizi za trigonometry, derivation yao na mifano ya matumizi, angalia makala.
Fomula za kupunguza
Fomula za kupunguza kufuata kutoka kwa mali ya sine, cosine, tangent na cotangent, yaani, zinaonyesha mali ya upimaji wa kazi za trigonometric, mali ya ulinganifu, pamoja na mali ya kuhama kwa pembe fulani. Fomula hizi za trigonometriki hukuruhusu kuhama kutoka kufanya kazi na pembe kiholela hadi kufanya kazi na pembe kuanzia sifuri hadi digrii 90.
Mantiki ya fomula hizi, sheria ya mnemonic ya kukariri na mifano ya matumizi yao inaweza kusomwa katika kifungu hicho.
Fomula za nyongeza
Njia za kuongeza trigonometric onyesha jinsi utendakazi wa trigonometriki za jumla au tofauti za pembe mbili zinavyoonyeshwa kulingana na utendaji wa trigonometriki za pembe hizo. Fomula hizi hutumika kama msingi wa kupata fomula za trigonometriki zifuatazo.
Fomula za mara mbili, tatu, nk. pembe
Fomula za mara mbili, tatu, nk. pembe (pia huitwa fomula za pembe nyingi) zinaonyesha jinsi kazi za trigonometric za mara mbili, tatu, nk. pembe () zinaonyeshwa kwa suala la kazi za trigonometric za pembe moja. Utoaji wao unategemea kanuni za nyongeza.
Maelezo ya kina zaidi yanakusanywa katika kanuni za makala kwa mara mbili, tatu, nk. pembe
Fomula za pembe nusu
Fomula za pembe nusu onyesha jinsi utendakazi wa trigonometriki za pembe nusu zinavyoonyeshwa kulingana na kosine ya pembe nzima. Fomula hizi za trigonometric hufuata kutoka kwa fomula za pembe mbili.
Hitimisho lao na mifano ya maombi inaweza kupatikana katika makala.
Fomula za kupunguza shahada
Fomula za trigonometric za kupunguza digrii zimeundwa ili kuwezesha mpito kutoka kwa nguvu za asili za kazi za trigonometric hadi sines na cosines katika shahada ya kwanza, lakini pembe nyingi. Kwa maneno mengine, wanakuwezesha kupunguza nguvu za kazi za trigonometric kwa kwanza.
Fomula za jumla na tofauti za chaguo za kukokotoa za trigonometric
Kusudi kuu fomula za jumla na tofauti za kazi za trigonometric ni kwenda kwa bidhaa ya vitendaji, ambayo ni muhimu sana wakati wa kurahisisha misemo ya trigonometric. Fomula hizi pia hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kwani hukuruhusu kuangazia jumla na tofauti ya sines na cosine.
Fomula za bidhaa za sines, cosines na sine na kosine
Mpito kutoka kwa bidhaa ya kazi za trigonometric hadi jumla au tofauti hufanywa kwa kutumia fomula za bidhaa za sines, cosines na sine kwa cosine.
Ubadilishaji wa trigonometric wa Universal
Tunakamilisha ukaguzi wetu wa fomula za msingi za trigonometria kwa fomula zinazoonyesha utendaji wa trigonometriki kulingana na tanjenti ya pembe ya nusu. Uingizwaji huu uliitwa uingizwaji wa trigonometric zima. Urahisi wake upo katika ukweli kwamba kazi zote za trigonometric zinaonyeshwa kwa suala la tangent ya pembe ya nusu rationally bila mizizi.
Bibliografia.
- Aljebra: Kitabu cha kiada kwa daraja la 9. wastani. shule/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky - M.: Elimu, 1990. - 272 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Elimu, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
- Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - 14 ed - M.: Elimu, 2004. - 384 pp. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.
Hakimiliki na wanafunzi wajanja
Haki zote zimehifadhiwa.
Imelindwa na sheria ya hakimiliki. Hakuna sehemu ya tovuti, ikijumuisha nyenzo za ndani na mwonekano, inayoweza kunakiliwa kwa namna yoyote au kutumika bila kibali cha maandishi cha mwenye hakimiliki.
