1 inayotokana na chaguo la kukokotoa katika hatua moja. Derivative ya kazi

Ufafanuzi. Acha kazi \(y = f(x) \) ifafanuliwe katika muda fulani iliyo na nukta \(x_0 \) ndani. Wacha tuongeze \(\Delta x \) kwa hoja ili tusiachie muda huu. Tafuta nyongeza inayolingana ya kitendakazi \(\Delta y \) (wakati wa kupita kutoka kwa uhakika \(x_0 \) hadi hatua \(x_0 + \Delta x \)) na utunge uhusiano \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Ikiwa kuna kikomo cha uhusiano huu katika \(\Delta x \rightarrow 0 \), basi kikomo kilichoonyeshwa kinaitwa. kazi ya derivative\(y=f(x) \) kwenye hatua \(x_0 \) na kuashiria \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Alama ya y mara nyingi hutumika kuashiria kiingilio. Kumbuka kuwa y" = f(x) ni chaguo la kukokotoa jipya, lakini linahusishwa kwa kawaida na chaguo za kukokotoa y = f(x), hufafanuliwa katika nukta zote x ambapo kikomo cha juu kipo . Kazi hii inaitwa kama hii: derivative ya chaguo za kukokotoa y \u003d f (x).

Maana ya kijiometri ya derivative inajumuisha yafuatayo. Ikiwa tangent ambayo hailingani na mhimili y inaweza kuvutwa kwa grafu ya kazi y \u003d f (x) kwa uhakika na abscissa x \u003d a, basi f (a) inaelezea mteremko wa tangent:
\(k = f"(a)\)

Kwa kuwa \(k = tg(a) \), usawa \(f"(a) = tg(a) \) ni kweli.

Na sasa tunatafsiri ufafanuzi wa derivative kwa suala la takriban usawa. Acha kazi \(y = f(x) \) iwe na derivative katika hatua fulani \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Hii inamaanisha kuwa karibu na nukta x, takriban usawa \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \takriban f"(x) \), yaani \(\Delta y \takriban f"(x) \cdot \Deltax\). Maana ya maana ya takriban usawa uliopatikana ni kama ifuatavyo: nyongeza ya chaguo za kukokotoa "inakaribia sawia" na ongezeko la hoja, na mgawo wa uwiano ni thamani ya derivative katika hatua fulani x. Kwa mfano, kwa chaguo za kukokotoa \(y = x^2 \) takriban usawa \(\Delta y \takriban 2x \cdot \Delta x \) ni kweli. Ikiwa tutachambua kwa uangalifu ufafanuzi wa derivative, tutagundua kuwa ina algorithm ya kuipata.

Hebu tuunde.

Jinsi ya kupata derivative ya kazi y \u003d f (x) ?

1. Rekebisha thamani \(x \), pata \(f(x) \)
2. Ongezeko \(x \) hoja \(\Delta x \), songa hadi hatua mpya \(x+ \Delta x \), pata \(f(x+ \Delta x) \)
3. Tafuta nyongeza ya chaguo za kukokotoa: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Tunga uhusiano \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kokotoa $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Kikomo hiki ni derivative ya chaguo za kukokotoa katika x.

Ikiwa kazi y = f(x) ina derivative katika hatua x, basi inaitwa kutofautisha katika hatua x. Utaratibu wa kupata derivative ya kazi y \u003d f (x) inaitwa utofautishaji kazi y = f(x).

Wacha tujadili swali lifuatalo: mwendelezo na utofautishaji wa kazi katika hatua unahusiana vipi?

Acha kazi y = f(x) iweze kutofautishwa katika nukta x. Kisha tanjiti inaweza kuvutwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye hatua ya M (x; f (x)) na, kumbuka, mteremko wa tanjiti ni sawa na f "(x). Grafu kama hiyo haiwezi "kuvunjika" saa uhakika M, yaani, kipengele cha kukokotoa lazima kiwe endelevu kwa x.

Ilikuwa ni hoja "kwenye vidole". Hebu tuwasilishe hoja nzito zaidi. Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) zinaweza kutofautishwa katika nukta x, basi takriban usawa \(\Delta y \takriban f"(x) \cdot \Delta x \) hushikilia. sifuri, kisha \(\Delta y \) ) pia itaelekea sifuri, na hii ndio hali ya mwendelezo wa kazi katika hatua.

Kwa hiyo, ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaweza kutofautishwa katika hatua x, basi pia ni endelevu katika hatua hiyo.

Mazungumzo sio kweli. Kwa mfano: kazi y = |x| inaendelea kila mahali, hasa katika hatua x = 0, lakini tangent kwa grafu ya kazi katika "hatua ya pamoja" (0; 0) haipo. Ikiwa wakati fulani haiwezekani kuteka tangent kwenye grafu ya kazi, basi hakuna derivative katika hatua hii.

Mfano mmoja zaidi. Kazi \(y=\sqrt(x) \) inaendelea kwenye mstari mzima wa nambari, ikiwa ni pamoja na katika hatua x = 0. Na tangent kwa grafu ya kazi ipo wakati wowote, ikiwa ni pamoja na katika hatua x = 0. Lakini katika hatua hii tangent inapatana na mhimili wa y, yaani, ni perpendicular kwa mhimili wa abscissa, equation yake ina fomu x \u003d 0. Hakuna mteremko kwa mstari ulio sawa, ambayo ina maana kwamba \ ( f "(0) \) haipo pia

Kwa hivyo, tulifahamiana na mali mpya ya kazi - kutofautisha. Unawezaje kujua ikiwa chaguo la kukokotoa linaweza kutofautishwa na grafu ya chaguo la kukokotoa?

Jibu limetolewa hapo juu. Ikiwa wakati fulani tangent inaweza kuvutwa kwenye grafu ya kazi ambayo sio perpendicular kwa mhimili wa x, basi katika hatua hii kazi inaweza kutofautishwa. Ikiwa wakati fulani tangent kwa grafu ya kazi haipo au ni perpendicular kwa mhimili wa x, basi katika hatua hii kazi haiwezi kutofautishwa.

Sheria za kutofautisha

Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa utofautishaji. Wakati wa kufanya operesheni hii, mara nyingi unapaswa kufanya kazi na quotients, hesabu, bidhaa za kazi, pamoja na "kazi za kazi", yaani, kazi ngumu. Kulingana na ufafanuzi wa derivative, tunaweza kupata kanuni za utofautishaji zinazowezesha kazi hii. Ikiwa C ni nambari isiyobadilika na f=f(x), g=g(x) ni baadhi ya kazi zinazoweza kutofautishwa, basi zifuatazo ni kweli. kanuni za kutofautisha:

Jedwali la derivatives ya baadhi ya vipengele

Wakati wa kutatua matatizo mbalimbali ya jiometri, mechanics, fizikia na matawi mengine ya ujuzi, ikawa muhimu kutumia mchakato huo wa uchambuzi kutoka kwa kazi fulani. y=f(x) pata kitendakazi kipya kinachoitwa kazi ya derivative(au kwa urahisi derivative) ya chaguo hili la kukokotoa f(x) na zinafananishwa

Mchakato ambao utendakazi uliyopewa f(x) pata kitendaji kipya f"(x), kuitwa utofautishaji na lina hatua tatu zifuatazo: 1) tunatoa hoja x ongezeko  x na kuamua nyongeza inayolingana ya chaguo za kukokotoa  y = f(x+ x)-f(x); 2) kuunda uhusiano

3) kuhesabu x kudumu, na  x0, tunapata
, ambayo inaonyeshwa na f"(x), kana kwamba inasisitiza kwamba kazi inayotokana inategemea tu thamani x, ambayo tunapita hadi kikomo. Ufafanuzi: Nyingine ya y "=f" (x) kazi iliyopewa y=f(x) iliyotolewa x inaitwa kikomo cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, isipokuwa kwamba ongezeko la hoja huwa na sifuri, ikiwa, bila shaka, kikomo hiki kipo, i.e. yenye mwisho. Kwa njia hii,
, au

Kumbuka kwamba ikiwa kwa thamani fulani x, kwa mfano wakati x=a, uhusiano
katika  x0 haielekei kikomo cha mwisho, basi katika kesi hii tunasema kwamba kazi f(x) katika x=a(au kwa uhakika x=a) haina derivative au haiwezi kutofautishwa kwa uhakika x=a.

2. Maana ya kijiometri ya derivative.

Fikiria grafu ya chaguo la kukokotoa y \u003d f (x), inayoweza kutofautishwa katika eneo la uhakika x 0

f(x)

Wacha tuchunguze mstari wa moja kwa moja wa kiholela unaopita kwenye hatua ya grafu ya kazi - hatua A (x 0, f (x 0)) na kuingiliana na grafu wakati fulani B (x; f (x)). Mstari huo wa moja kwa moja (AB) unaitwa secant. Kutoka ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Tangu AC | Ng'ombe, kisha ALO = BAC = β (kama inavyowiana sambamba). Lakini ALO ni pembe ya mwelekeo wa secant AB hadi mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox. Kwa hivyo, tgβ = k ni mteremko wa mstari wa moja kwa moja AB.

Sasa tutapungua ∆x, i.e. ∆x→ 0. Katika kesi hii, hatua B itakaribia hatua A kulingana na grafu, na secant AB itazunguka. Nafasi ya kuzuia ya secant AB kwa ∆x → 0 itakuwa mstari wa moja kwa moja (a), unaoitwa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa y \u003d f (x) kwa uhakika A.

Ikiwa tutapita kwa kikomo kama ∆х → 0 kwa usawa tgβ =∆y/∆x, basi tunapata
au tg \u003d f "(x 0), tangu
-pembe ya mwelekeo wa tangent kwa mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox
, kwa ufafanuzi wa derivative. Lakini tg \u003d k ni mteremko wa tangent, ambayo inamaanisha kuwa k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Kwa hivyo, maana ya kijiometri ya derivative ni kama ifuatavyo.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika nukta x 0 sawa na mteremko wa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa iliyochorwa kwenye hatua na abscissa x 0 .

3. Maana ya kimwili ya derivative.

Fikiria harakati ya hatua kwenye mstari wa moja kwa moja. Acha hoja iratibu wakati wowote x(t) itolewe. Inajulikana (kutoka kwa mwendo wa fizikia) kwamba kasi ya wastani katika kipindi cha muda ni sawa na uwiano wa umbali uliosafirishwa katika kipindi hiki cha muda hadi wakati, i.e.

Vav = ∆x/∆t. Wacha tupite hadi kikomo katika usawa wa mwisho kama ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kasi ya papo hapo kwa wakati t 0, ∆t → 0.

na lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (kwa ufafanuzi wa derivative).

Kwa hivyo, (t) = x"(t).

Maana ya kimwili ya derivative ni kama ifuatavyo: derivative ya kaziy = f(x) kwa uhakikax 0 ni kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoaf(x) kwa uhakikax 0

Derivative hutumiwa katika fizikia kupata kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kuratibu kutoka kwa wakati, kuongeza kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kasi kutoka kwa wakati.

 (t) \u003d x "(t) - kasi,

a(f) = "(t) - kuongeza kasi, au

Ikiwa sheria ya mwendo wa hatua ya nyenzo kando ya mduara inajulikana, basi inawezekana kupata kasi ya angular na kuongeza kasi ya angular wakati wa mzunguko wa mzunguko:

φ = φ(t) - mabadiliko ya pembe kwa wakati,

ω \u003d φ "(t) - kasi ya angular,

ε = φ"(t) - kuongeza kasi ya angular, au ε = φ"(t).

Ikiwa sheria ya usambazaji kwa wingi wa fimbo isiyo na homogeneous inajulikana, basi wiani wa mstari wa fimbo ya inhomogeneous inaweza kupatikana:

m \u003d m (x) - wingi,

x  , l - urefu wa fimbo,

p \u003d m "(x) - msongamano wa mstari.

Kwa msaada wa derivative, matatizo kutoka kwa nadharia ya elasticity na vibrations harmonic ni kutatuliwa. Ndiyo, kulingana na sheria ya Hooke

F = -kx, x - kuratibu kutofautiana, k - mgawo wa elasticity ya spring. Kuweka ω 2 \u003d k / m, tunapata equation tofauti ya pendulum ya spring x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

ambapo ω = √k/√m ni mzunguko wa oscillation (l/c), k ni kiwango cha spring (H/m).

Equation ya fomu y "+ ω 2 y \u003d 0 inaitwa equation ya oscillations harmonic (mitambo, umeme, sumakuumeme). Suluhisho la equations vile ni kazi

y = Asin(ωt + φ 0) au y = Acos(ωt + φ 0), ambapo

A - amplitude ya oscillation, ω - mzunguko wa mzunguko,

φ 0 - awamu ya awali.

Haiwezekani kabisa kutatua matatizo ya kimwili au mifano katika hisabati bila ujuzi juu ya derivative na mbinu za kuhesabu. Derivative ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi za uchambuzi wa hisabati. Tuliamua kutoa makala ya leo kwa mada hii ya msingi. Je, derivative ni nini, maana yake ya kimwili na kijiometri ni nini, jinsi ya kuhesabu derivative ya kazi? Maswali haya yote yanaweza kuunganishwa kuwa moja: jinsi ya kuelewa derivative?

Maana ya kijiometri na kimwili ya derivative

Hebu kuwe na kazi f(x) , iliyotolewa kwa muda fulani (a,b) . Alama x na x0 ni za kipindi hiki. Wakati x inabadilika, kazi yenyewe inabadilika. Mabadiliko ya hoja - tofauti ya maadili yake x-x0 . Tofauti hii imeandikwa kama delta x na inaitwa kuongeza hoja. Mabadiliko au nyongeza ya chaguo za kukokotoa ni tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa katika nukta mbili. Ufafanuzi wa derivative:

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani ya ongezeko la hoja wakati mwisho inaelekea sifuri.

Vinginevyo inaweza kuandikwa kama hii:

Kuna umuhimu gani wa kupata kikomo kama hicho? Lakini ipi:

derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na tanjenti ya pembe kati ya mhimili wa OX na tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani.

Maana ya kimwili ya derivative: derivative ya wakati wa njia ni sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear.

Hakika, tangu siku za shule, kila mtu anajua kwamba kasi ni njia ya kibinafsi. x=f(t) na wakati t . Kasi ya wastani katika kipindi fulani cha muda:

Ili kujua kasi ya harakati kwa wakati mmoja t0 unahitaji kuhesabu kikomo:

Kanuni ya kwanza: toa mara kwa mara

Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative. Aidha, ni lazima ifanyike. Wakati wa kutatua mifano katika hisabati, chukua kama sheria - ikiwa unaweza kurahisisha usemi, hakikisha umerahisisha .

Mfano. Wacha tuhesabu derivative:

Kanuni ya pili: inayotokana na jumla ya kazi

Derivative ya jumla ya kazi mbili ni sawa na jumla ya derivatives ya kazi hizi. Vile vile ni kweli kwa derivative ya tofauti ya kazi.

Hatutatoa uthibitisho wa nadharia hii, lakini fikiria mfano wa vitendo.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:

Kanuni ya tatu: derivative ya bidhaa ya kazi

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili zinazoweza kutofautishwa huhesabiwa na formula:

Mfano: pata derivative ya kitendakazi:

Suluhisho:

Hapa ni muhimu kusema juu ya hesabu ya derivatives ya kazi ngumu. Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyambulisho cha hoja ya kati kwa heshima na kigezo huru.

Katika mfano hapo juu, tunakutana na usemi:

Katika kesi hii, hoja ya kati ni 8x hadi nguvu ya tano. Ili kukokotoa derivative ya usemi kama huo, kwanza tunazingatia derivative ya chaguo za kukokotoa za nje kwa heshima na hoja ya kati, na kisha kuzidisha kwa derivative ya hoja ya kati yenyewe kwa heshima na kigezo huru.

Kanuni ya Nne: Derivative ya mgawo wa vipengele viwili

Mfumo wa kuamua derivative ya sehemu ya kazi mbili:

Tulijaribu kuzungumza juu ya derivatives kwa dummies kutoka mwanzo. Mada hii sio rahisi kama inavyosikika, kwa hivyo tahadhari: mara nyingi kuna mitego katika mifano, kwa hivyo kuwa mwangalifu wakati wa kuhesabu derivatives.

Ukiwa na swali lolote kuhusu mada hii na nyinginezo, unaweza kuwasiliana na huduma ya wanafunzi. Kwa muda mfupi, tutakusaidia kutatua udhibiti mgumu zaidi na kushughulikia kazi, hata ikiwa haujawahi kushughulika na hesabu ya derivatives hapo awali.

Wakati mtu amechukua hatua za kwanza za kujitegemea katika utafiti wa uchambuzi wa hisabati na kuanza kuuliza maswali yasiyofaa, si rahisi tena kuondokana na maneno kwamba "calculus tofauti ilipatikana katika kabichi." Kwa hiyo, ni wakati wa kuamua na kutatua siri ya kuzaliwa kwa jedwali la kanuni za derivatives na utofautishaji. Ilianza katika makala kuhusu maana ya derivative, ambayo ninapendekeza sana kwa utafiti, kwa sababu hapo tulizingatia dhana ya derivative na tukaanza kubofya kazi kwenye mada. Somo kama hilo lina mwelekeo wa vitendo uliotamkwa, zaidi ya hayo,

mifano iliyozingatiwa hapa chini, kimsingi, inaweza kueleweka rasmi (kwa mfano, wakati hakuna wakati / hamu ya kuzama ndani ya kiini cha derivative). Pia inahitajika sana (lakini tena sio lazima) kuweza kupata derivatives kwa kutumia njia "ya kawaida" - angalau katika kiwango cha madarasa mawili ya msingi: Jinsi ya kupata derivative? na Derivative ya kazi changamano.

Lakini bila kitu, ambacho sasa ni cha lazima, ni bila mipaka ya kazi. Lazima UELEWE kikomo ni nini na uweze kusuluhisha, angalau kwa kiwango cha kati. Na yote kwa sababu derivative

kazi katika hatua inafafanuliwa na formula:

Ninakukumbusha juu ya uteuzi na masharti: wanaita ongezeko la hoja;

- ongezeko la kazi;

- hizi ni alama MOJA ("delta" haiwezi "kung'olewa" kutoka "X" au "Y").

Ni wazi, ni "nguvu" kutofautisha, ni mara kwa mara na matokeo ya kuhesabu kikomo - nambari (wakati mwingine - "plus" au "minus" infinity).

Kama hoja, unaweza kuzingatia thamani YOYOTE inayomilikiwa nayo vikoa kazi ambayo ina derivative.

Kumbuka: kifungu "ambacho derivative ipo" - kwa ujumla muhimu.! Kwa hivyo, kwa mfano, hatua, ingawa inaingia kwenye kikoa cha kazi, lakini derivative

haipo hapo. Kwa hivyo formula

haitumiki katika hatua hiyo

na neno lililofupishwa bila kutoridhishwa litakuwa si sahihi. Ukweli sawa pia ni halali kwa kazi zingine zilizo na "mapumziko" kwenye grafu, haswa, kwa arcsine na arccosine.

Kwa hivyo, baada ya kubadilisha , tunapata fomula ya pili ya kufanya kazi:

Jihadharini na hali ya siri inayoweza kuchanganya buli: katika kikomo hiki, "x", yenyewe ni tofauti inayojitegemea, ina jukumu la ziada, na "mienendo" imewekwa tena na ongezeko. Matokeo ya hesabu ya kikomo

ni kazi derivative.

Kulingana na hapo juu, tunaunda hali ya shida mbili za kawaida:

- Kutafuta derivative kwa uhakika kwa kutumia ufafanuzi wa derivative.

- Kutafuta kazi ya derivative kwa kutumia ufafanuzi wa derivative. Toleo hili, kulingana na uchunguzi wangu, hutokea mara nyingi zaidi na litapewa tahadhari kuu.

Tofauti ya kimsingi kati ya kazi ni kwamba katika kesi ya kwanza inahitajika kupata nambari (hiari isiyo na mwisho), na katika pili

kazi . Kwa kuongeza, derivative inaweza kuwa haipo kabisa.

Vipi ?

Fanya uwiano na uhesabu kikomo.

Wapi jedwali la kanuni za derivatives na utofautishaji ? Na kikomo kimoja

Inaonekana kama uchawi, lakini

ukweli - ujanja wa mkono na hakuna udanganyifu. Juu ya somo Derivative ni nini? Nilianza kuzingatia mifano maalum, ambapo, kwa kutumia ufafanuzi, nilipata derivatives ya kazi ya mstari na ya quadratic. Kwa madhumuni ya joto-up ya utambuzi, tutaendelea kusumbua jedwali la derivative, kuheshimu algorithm na suluhisho za kiufundi:

Kwa hakika, inahitajika kuthibitisha kesi maalum ya derivative ya kazi ya nguvu, ambayo kwa kawaida inaonekana katika meza:.

Suluhisho limerasimishwa kitaalam kwa njia mbili. Hebu tuanze na mbinu ya kwanza, tayari inayojulikana: ngazi huanza na ubao, na kazi ya derivative huanza na derivative kwa uhakika.

Fikiria sehemu fulani (ya zege) inayomilikiwa vikoa kazi ambayo ina derivative. Weka nyongeza katika hatua hii (kwa kweli, sio zaidi o / o - z) na utunge nyongeza inayolingana ya chaguo la kukokotoa:

Wacha tuhesabu kikomo:

Kutokuwa na uhakika 0:0 huondolewa kwa mbinu ya kawaida iliyozingatiwa zamani sana kama karne ya kwanza KK. zidisha

nambari na denominator kwa kila usemi unaoambatana :

Mbinu ya kutatua kikomo kama hicho inajadiliwa kwa undani katika somo la utangulizi. kuhusu mipaka ya kazi.

Kwa kuwa hatua YOYOTE ya muda inaweza kuchaguliwa kama

Kisha, kwa kubadilisha, tunapata:

Kwa mara nyingine tena, wacha tufurahie logarithms:

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa kwa kutumia ufafanuzi wa kiingilio

Suluhisho: Wacha tuzingatie mbinu tofauti ya kusokota kazi sawa. Ni sawa kabisa, lakini busara zaidi katika suala la kubuni. Wazo ni kuondokana na

kujiandikisha na kutumia barua badala ya barua.

Fikiria sehemu ya kiholela inayomilikiwa na vikoa kazi (muda), na uweke nyongeza ndani yake. Na hapa, kwa njia, kama ilivyo katika hali nyingi, unaweza kufanya bila kutoridhishwa, kwani kazi ya logarithmic inaweza kutofautishwa wakati wowote katika kikoa cha ufafanuzi.

Kisha nyongeza ya kazi inayolingana ni:

Wacha tupate derivative:

Urahisi wa kubuni ni uwiano na kuchanganyikiwa, ambayo inaweza

kutokea kwa Kompyuta (na sio tu). Baada ya yote, tumezoea ukweli kwamba barua "X" inabadilika katika kikomo! Lakini hapa kila kitu ni tofauti: - sanamu ya kale, na - mgeni aliye hai, akitembea kwa kasi kando ya ukanda wa makumbusho. Hiyo ni, "x" ni "kama kawaida".

Nitatoa maoni juu ya uondoaji wa kutokuwa na uhakika hatua kwa hatua:

(1) Kutumia mali ya logarithm.

(2) Gawanya nambari kwa dhehebu kwenye mabano.

(3) Katika dhehebu tunazidisha bandia na kugawanya kwa "x" ili

kuchukua faida ya ajabu , wakati kama usio na kikomo hufanya.

Jibu: Kwa ufafanuzi wa derivative:

Au kwa kifupi:

Ninapendekeza kuunda kwa uhuru fomula mbili zaidi za jedwali:

Tafuta derivative kwa ufafanuzi

Katika kesi hii, nyongeza iliyokusanywa ni rahisi kupunguza mara moja kwa dhehebu la kawaida. Sampuli ya takriban ya mgawo mwishoni mwa somo (mbinu ya kwanza).

Tafuta derivative kwa ufafanuzi

Na hapa kila kitu lazima kipunguzwe kwa kikomo cha ajabu. Suluhisho limeandaliwa kwa njia ya pili.

Vile vile, idadi ya nyingine derivatives ya jedwali. Orodha kamili inaweza kupatikana katika kitabu cha shule, au, kwa mfano, kiasi cha 1 cha Fichtenholtz. Sioni maana kubwa ya kuandika upya kutoka kwa vitabu na uthibitisho wa sheria za utofautishaji - pia hutolewa.

fomula.

Wacha tuendelee kwenye kazi za maisha halisi: Mfano wa 5

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa , kwa kutumia ufafanuzi wa derivative

Suluhisho: tumia mtindo wa kwanza. Hebu tuzingatie jambo fulani ambalo ni la, na tuweke ongezeko la hoja ndani yake. Kisha nyongeza ya kazi inayolingana ni:

Labda baadhi ya wasomaji bado hawajaelewa kikamilifu kanuni ambayo nyongeza inapaswa kufanywa. Tunachukua nukta (nambari) na kupata thamani ya kazi ndani yake: , yaani, ndani ya kazi

badala ya "x" inapaswa kubadilishwa. Sasa tunachukua

Inajumuisha Ongezeko la Kazi ni manufaa kurahisisha mara moja. Kwa ajili ya nini? Kuwezesha na kufupisha ufumbuzi wa kikomo zaidi.

Tunatumia fomula, fungua mabano na kupunguza kila kitu ambacho kinaweza kupunguzwa:

Uturuki umechomwa, hakuna shida na kuchoma:

Hatimaye:

Kwa kuwa nambari yoyote halisi inaweza kuchaguliwa kama ubora, tunabadilisha na kupata .

Jibu: kwa ufafanuzi.

Kwa madhumuni ya uthibitishaji, tunapata derivative kwa kutumia sheria

tofauti na meza:

Daima ni muhimu na ya kupendeza kujua jibu sahihi mapema, kwa hivyo ni bora kiakili au kwenye rasimu kutofautisha kazi iliyopendekezwa kwa njia ya "haraka" mwanzoni mwa suluhisho.

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa kwa ufafanuzi wa kiingilio

Huu ni mfano wa kufanya-wewe-mwenyewe. Matokeo yake ni juu ya uso:

Rudi kwa Mtindo #2: Mfano 7

Wacha tujue mara moja nini kinapaswa kutokea. Na kanuni ya utofautishaji wa kazi ngumu:

Uamuzi: zingatia hoja ya kiholela, weka nyongeza ya hoja ndani yake na fanya nyongeza.

Wacha tupate derivative:

(1) Tunatumia fomula ya trigonometric

(2) Chini ya sine tunafungua mabano, chini ya cosine tunatoa masharti kama.

(3) Chini ya sine tunapunguza masharti, chini ya kosine tunagawanya nambari kwa neno denominator kwa neno.

(4) Kwa sababu ya hali isiyo ya kawaida ya sine, tunachukua "minus". Chini ya cosine

zinaonyesha kuwa neno.

(5) Tunazidisha dhehebu bandia kutumia kikomo cha kwanza cha ajabu. Kwa hivyo, kutokuwa na uhakika huondolewa, tunachanganya matokeo.

Jibu: kwa ufafanuzi Kama unavyoona, ugumu kuu wa shida inayozingatiwa hutegemea

utata wa kikomo yenyewe + uhalisi kidogo wa ufungaji. Katika mazoezi, njia zote mbili za kubuni zinakabiliwa, kwa hiyo ninaelezea njia zote mbili kwa undani iwezekanavyo. Ni sawa, lakini bado, kwa maoni yangu ya kibinafsi, inafaa zaidi kwa dummies kushikamana na chaguo la 1 na "X sifuri".

Kwa kutumia ufafanuzi, tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hili ni jukumu la uamuzi huru. Sampuli imeundwa kwa roho sawa na mfano uliopita.

Wacha tuchambue toleo adimu la shida:

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa kwa uhakika kwa kutumia ufafanuzi wa kiingilio.

Kwanza, nini kinapaswa kuwa msingi? Nambari Kokotoa jibu kwa njia ya kawaida:

Uamuzi: kutoka kwa mtazamo wa uwazi, kazi hii ni rahisi zaidi, kwani katika formula badala ya

inazingatiwa thamani maalum.

Tunaweka nyongeza kwenye hatua na kutunga nyongeza inayolingana ya kazi:

Kuhesabu derivative kwa uhakika:

Tunatumia formula ya nadra sana kwa tofauti ya tangents na kwa mara ya kumi na moja tunapunguza suluhisho kwa kwanza

kikomo cha kushangaza:

Jibu: kwa ufafanuzi wa derivative kwa uhakika.

Kazi sio ngumu sana kusuluhisha na "kwa maneno ya jumla" - inatosha kuchukua nafasi ya kucha au kwa urahisi, kulingana na njia ya muundo. Katika kesi hii, bila shaka, hupata nambari, lakini kazi ya derivative.

Mfano 10 Kwa kutumia ufafanuzi, tafuta derivative ya chaguo la kukokotoa kwa uhakika

Huu ni mfano wa kufanya-wewe-mwenyewe.

Kazi ya mwisho ya bonasi inakusudiwa hasa wanafunzi walio na utafiti wa kina wa uchanganuzi wa hisabati, lakini haitaumiza kila mtu mwingine pia:

Je, kipengele cha kukokotoa kitatofautishwa kwa uhakika?

Suluhisho: Ni dhahiri kuwa kazi iliyopewa kwa sehemu ni endelevu kwa uhakika, lakini itatofautishwa hapo?

Algorithm ya suluhisho, na sio tu kwa kazi za vipande vipande, ni kama ifuatavyo.

1) Tafuta derivative ya mkono wa kushoto katika sehemu fulani: .

2) Tafuta derivative ya mkono wa kulia katika sehemu uliyopewa: .

3) Ikiwa derivatives za upande mmoja zina ukomo na sanjari:

, basi kazi inaweza kutofautishwa kwa uhakika na

kijiometri, kuna tanjenti ya kawaida hapa (tazama sehemu ya kinadharia ya somo Ufafanuzi na maana ya derivative).

Ikiwa maadili mawili tofauti yanapokelewa: (moja ambayo inaweza kuwa isiyo na mwisho), basi chaguo la kukokotoa haliwezi kutofautishwa kwa uhakika.

Ikiwa derivatives zote za upande mmoja ni sawa na infinity

(hata ikiwa wana ishara tofauti), basi kazi haina

inaweza kutofautishwa kwa uhakika, lakini kuna derivative isiyo na kikomo na tanjenti ya wima ya kawaida kwenye grafu. (angalia Mfano wa 5 wa somoMlinganyo wa Kawaida) .

Katika somo hili tutajifunza jinsi ya kutumia kanuni na kanuni za utofautishaji.

Mifano. Tafuta derivatives ya vipengele.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Kutumia Kanuni I, fomula 4, 2 na 1. Tunapata:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Tunatatua vivyo hivyo, kwa kutumia fomula sawa na fomula 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Kutumia Kanuni I, fomula 3, 5 Na 6 Na 1.

Kutumia Kanuni IV, fomula 5 Na 1 .

Katika mfano wa tano, kulingana na sheria I derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives, na tumepata derivative ya neno la 1 (mfano 4 ), kwa hivyo, tutapata derivatives 2 Na 3 masharti, na kwa 1 muda, tunaweza kuandika matokeo mara moja.

Kutofautisha 2 Na 3 masharti kulingana na formula 4 . Ili kufanya hivyo, tunabadilisha mizizi ya digrii ya tatu na ya nne katika madhehebu kwa mamlaka yenye watoaji hasi, na kisha, kulingana na 4 formula, tunapata derivatives ya mamlaka.

Angalia mfano huu na matokeo. Je, umepata muundo? Sawa. Hii inamaanisha kuwa tuna fomula mpya na tunaweza kuiongeza kwenye jedwali letu la vito.

Wacha tusuluhishe mfano wa sita na tupate fomula moja zaidi.

Tunatumia kanuni IV na fomula 4 . Tunapunguza sehemu zinazosababisha.

Tunaangalia kazi hii na derivative yake. Wewe, kwa kweli, ulielewa muundo na uko tayari kutaja fomula:

Kujifunza fomula mpya!

Mifano.

1. Tafuta nyongeza ya hoja na nyongeza ya utendakazi y= x2 ikiwa thamani ya awali ya hoja ilikuwa 4 , na mpya 4,01 .

Suluhisho.

Thamani mpya ya hoja x \u003d x 0 + Δx. Badilisha data: 4.01=4+Δx, kwa hivyo ongezeko la hoja Δх=4.01-4=0.01. Kuongezeka kwa kazi, kwa ufafanuzi, ni sawa na tofauti kati ya maadili mapya na ya awali ya kazi, i.e. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Kwa kuwa tunayo kazi y=x2, basi Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Jibu: ongezeko la hoja Δх=0.01; ongezeko la kazi Δу=0,0801.

Iliwezekana kupata nyongeza ya kazi kwa njia nyingine: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Tafuta pembe ya mwelekeo wa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa y=f(x) kwa uhakika x 0, kama f "(x 0) \u003d 1.

Suluhisho.

Thamani ya derivative katika hatua ya kuwasiliana x 0 na ni thamani ya tangent ya mteremko wa tangent (maana ya kijiometri ya derivative). Tuna: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, kwa sababu tg45°=1.

Jibu: tangent kwa grafu ya chaguo hili la kukokotoa huunda pembe yenye mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox, sawa na 45°.

3. Pata fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa y=xn.

Utofautishaji ni kitendo cha kutafuta derivative ya kitendakazi.

Wakati wa kutafuta derivatives, fomula hutumiwa ambazo zilitolewa kwa msingi wa ufafanuzi wa derivative, kwa njia sawa na vile tulivyopata fomula ya digrii derivative: (x n)" = nx n-1.

Hapa kuna fomula.

Jedwali la derivative itakuwa rahisi kukariri kwa kutamka uundaji wa maneno:

1. Derivative ya thamani ya mara kwa mara ni sifuri.

2. X kiharusi ni sawa na moja.

3. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative.

4. Derivative ya shahada ni sawa na bidhaa ya kipeo cha shahada hii kwa shahada yenye msingi sawa, lakini kipeo ni kimoja kidogo.

5. Derivative ya mizizi ni sawa na moja iliyogawanywa na mbili ya mizizi sawa.

6. Nyingine ya moja iliyogawanywa na x ni minus moja iliyogawanywa na x mraba.

7. Derivative ya sine ni sawa na kosine.

8. Nyingine ya cosine ni sawa na minus sine.

9. Derivative ya tangent ni sawa na moja iliyogawanywa na mraba wa cosine.

10. Nyingine ya kotanjenti ni toa moja iliyogawanywa na mraba wa sine.

Tunafundisha kanuni za kutofautisha.

1. Nyingine ya jumla ya aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya maneno derivative.

2. Derivative ya bidhaa ni sawa na bidhaa ya derivative ya sababu ya kwanza na ya pili pamoja na bidhaa ya sababu ya kwanza na derivative ya pili.

3. Derivative ya "y" iliyogawanywa na "ve" ni sawa na sehemu, katika nambari ambayo "y ni kipigo kinachozidishwa na "ve" minus "y, kilichozidishwa na kiharusi", na katika denominator - "ve squared." ”.

4. Kesi maalum ya formula 3.

Tujifunze pamoja!

Ukurasa wa 1 wa 1 1