Jinsi ya kupata mgawanyiko wa maendeleo ya kijiometri. Maendeleo ya kijiometri

Maendeleo ya kijiometri Sio muhimu sana katika hisabati ikilinganishwa na hesabu. Maendeleo ya kijiometri inaitwa mlolongo wa namba B1, B2, ..., B [n] kila muda ujao ambao hupatikana kwa kuzidisha nambari ya awali. Hii ni namba ambayo ina sifa ya ukuaji au kupungua kwa maendeleo inaitwa maendeleo ya kijiometri ya denominator Na denote.

Kwa kazi kamili ya maendeleo ya kijiometri, pamoja na denominator, ni muhimu kujua au kufafanua muda wake wa kwanza. Kwa thamani nzuri ya denominator, maendeleo ni mlolongo wa monotonous, na kama mlolongo huu wa namba unapungua kwa kiasi kikubwa na kwa kuongezeka kwa kiasi kikubwa. Kesi wakati denominator ni sawa na mazoezi moja, kwa kuwa tuna mlolongo wa namba zinazofanana, na summation yao haina kusababisha maslahi ya vitendo.

Mwanachama Mkuu wa maendeleo ya kijiometri Kuhesabu na formula.

Kiasi cha wanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri Kuamua formula.

Fikiria ufumbuzi wa kazi za kawaida kwa maendeleo ya kijiometri. Hebu tuanze kuelewa rahisi.

Mfano 1. Mwanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ni 27, na denominator yake ni 1/3. Pata wanachama sita wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri.

Suluhisho: Andika hali ya tatizo kwa fomu

Kwa mahesabu, tunatumia formula ya mwanachama wa n-th wa maendeleo ya kijiometri

Kwa msingi wa hilo tunapata wanachama wasiojulikana wa maendeleo

Unawezaje kuhakikisha kwamba mahesabu ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri ni rahisi. Maendeleo yenyewe itaonekana kama hii.

Mfano 2. Kuna mwanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri: 6; -12; 24. Pata denominator na ya saba ya dick yake.

Suluhisho: Kuhesabu denominator ya maendeleo ya geomitri kulingana na ufafanuzi wake

Alipokea maendeleo ya kijiometri ya denominator ambayo ni -2. Mwanachama wa saba wanahesabu formula.

Katika tatizo hili linatatuliwa.

Mfano 3. Maendeleo ya kijiometri yanawekwa na wanachama wawili. . Pata mwanachama wa kumi wa maendeleo.

Uamuzi:

Tunaandika maadili maalum kupitia formula.

Kwa mujibu wa sheria itakuwa muhimu kupata denominator, na kisha kuangalia thamani ya taka, lakini tuna kwa mwanachama wa kumi

Fomu hiyo inaweza kupatikana kulingana na manipulations yasiyo ya ngumu na data ya pembejeo. Tunagawanyika mwanachama wa sita wa mstari hadi mwingine, kama matokeo tunayopata

Ikiwa thamani ilikuwa tofauti na mwanachama wa sita, tunapata kumi

Hivyo, kwa kazi sawa na mabadiliko rahisi, suluhisho sahihi inaweza kupatikana kwa njia ya haraka.

Mfano 4. Maendeleo ya kijiometri hutolewa na formula ya mara kwa mara.

Pata maendeleo ya kijiometri ya denominator na jumla ya wanachama sita wa kwanza.

Uamuzi:

Tunaandika data iliyotolewa kwa namna ya mfumo wa equations

Eleza denominator kutoa usawa wa pili kwa kwanza

Pata muda wa kwanza wa maendeleo ya equation ya kwanza

Tunahesabu wanachama watano wafuatayo ili kupata kiasi cha maendeleo ya kijiometri

Fikiria mstari fulani.

7 28 112 448 1792...

Ni wazi kwamba maana ya kipengele chake ni zaidi ya mara nne iliyopita. Kwa hiyo, mfululizo huu unaendelea.

Maendeleo ya kijiometri ni mlolongo usio na idadi ya nambari, kipengele kikuu ambacho ni kwamba nambari inayofuata inapatikana kutoka kwa uliopita kwa kuzidisha nambari fulani maalum. Hii inaelezwa na formula ifuatayo.

z +1 \u003d z z z z q, ambapo Z ni idadi ya kipengee kilichochaguliwa.

Kwa hiyo, Z ∈ n.

Kipindi wakati maendeleo ya kijiometri yanasoma shuleni - Daraja la 9. Mifano itasaidia kufikiria dhana:

0.25 0.125 0.0625...

Kulingana na formula hii, denominator ya maendeleo inawezekana kupata kama ifuatavyo:

Wala Q, wala B Z inaweza kuwa sawa na sifuri. Pia, kila moja ya mambo ya maendeleo haipaswi kuwa sifuri.

Kwa hiyo, ili kujua idadi ya pili ya safu, unahitaji kuzidisha mwisho juu ya Q.

Ili kuweka maendeleo haya, lazima ueleze kipengele chake cha kwanza na denominator. Baada ya hapo, inawezekana kupata yeyote wa wanachama baadae na jumla yao.

Aina

Kulingana na Q na 1, maendeleo haya yamegawanywa katika aina kadhaa:

• Ikiwa na vitengo vya 1, na q, basi mlolongo huo unaongezeka kwa kila kipengele cha msingi cha kijiometri. Mfano umewasilishwa hapa chini.

Mfano: 1 \u003d 3, Q \u003d 2 - vigezo vyote ni kubwa kuliko moja.

Kisha mlolongo wa namba unaweza kurekodi kama ifuatavyo:

3 6 12 24 48 ...

• Ikiwa | Q | Chini ya moja, yaani, kuzidisha juu yake ni sawa na mgawanyiko, maendeleo na hali hiyo ni kupungua kwa maendeleo ya kijiometri. Mfano umewasilishwa hapa chini.

Mfano: 1 \u003d 6, Q \u003d 1/3 - vitengo 1 zaidi, Q ni chini.

Kisha mlolongo wa nambari unaweza kuandikwa kwa njia hii:

6 2 2/3 ... - kipengele chochote ni kubwa kuliko kipengele kinachofuata, mara 3.

• Ishara. Ikiwa Q.<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Mfano: 1 \u003d -3, Q \u003d -2 - vigezo vyote ni chini ya sifuri.

Kisha mlolongo wa nambari unaweza kuandikwa kama:

3, 6, -12, 24,...

Formula.

Kwa matumizi rahisi ya maendeleo ya kijiometri, kuna formula nyingi:

• Mfumo wa z-th. Inakuwezesha kuhesabu kipengele chini ya nambari maalum bila hesabu ya namba zilizopita.

Mfano:swali: = 3, a. 1 \u003d 4. inahitaji kipengele cha nne cha maendeleo.

Uamuzi:a. 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumla ya vipengele vya kwanza ambavyo idadi yao ni sawa z.. Inakuwezesha kuhesabu jumla ya vipengele vyote vya mlolongoz. pamoja.

Kama (1-swali:) Inasimama katika denominator, basi (1 - q)≠ 0, kwa hiyo, Q si sawa na 1.

Kumbuka: Ikiwa Q \u003d 1, basi maendeleo yangewakilisha mfululizo wa idadi kubwa ya mara kwa mara.

Kiasi cha maendeleo ya kijiometri, mifano:a. 1 = 2, swali: \u003d -2. Tumia S 5.

Uamuzi:S. 5 = 22 - hesabu kwa formula.

• Kiasi kama |swali:| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Mfano:a. 1 = 2 , swali: \u003d 0.5. Pata kiasi.

Uamuzi:S Z. = 2 · = 4

S Z. = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Baadhi ya mali:

• Mali ya tabia. Ikiwa hali yafuatayo ilifanyika kwa yeyotez., basi mstari wa nambari - maendeleo ya kijiometri:

z. 2 = z. -1 · a. Z + 1.

• Pia, mraba wa idadi yoyote ya maendeleo ya kijiometri iko na kuongeza ya kuongeza mraba ya namba nyingine mbili katika safu iliyotolewa ikiwa ni sawa na kipengee hiki.

z. 2 = z. - T. 2 + z. + T. 2 wapit. - Umbali kati ya namba hizi.

• Vipengele Tofauti katika Q.muda.
• Magari ya vipengele vya maendeleo pia huunda maendeleo, lakini tayari ni hesabu, yaani, kila mmoja wao ni zaidi ya moja ya awali kwa idadi fulani.

Mifano ya kazi za classical.

Ili kuelewa vizuri zaidi maendeleo ya kijiometri ni, mifano na ufumbuzi wa darasa 9 inaweza kusaidia.

• Masharti:a. 1 = 3, a. 3 \u003d 48. Tafutaswali:.

Suluhisho: kila kipengele kinachofuata ni kubwa kuliko ya awaliswali: muda.Ni muhimu kueleza mambo fulani kupitia wengine kwa kutumia denominator.

Kwa hiyo,a. 3 = swali: 2 · a. 1

Wakati badala yaswali:= 4

• Masharti:a. 2 = 6, a. 3 \u003d 12. Kuhesabu S 6.

Uamuzi:Ili kufanya hivyo, ni ya kutosha kupata Q, kipengele cha kwanza na badala ya formula.

a. 3 = swali:· a. 2 , kwa hiyo,swali:= 2

2 \u003d Q. · A 1,kwa hiyo 1 \u003d. 3

S 6 \u003d. 189

• · a. 1 = 10, swali: \u003d -2. Pata kipengele cha nne cha maendeleo.

Suluhisho: kufanya hivyo, ni ya kutosha kuelezea kipengele cha nne kwa njia ya kwanza na kwa njia ya denominator.

a 4 \u003d Q 3.· 1 \u003d -80.

Mfano wa Maombi:

• Mteja wa benki alifanya mchango kwa kiasi cha rubles 10,000, chini ya masharti ambayo, kila mwaka mteja kwa kiasi kikubwa ataongezwa 6% yake. Ni fedha ngapi zitakuwa katika akaunti baada ya miaka 4?

Suluhisho: Kiasi cha awali ni sawa na rubles elfu 10. Kwa hiyo, mwaka baada ya kuwekeza katika akaunti kutakuwa na kiasi sawa na 10,000 + 10,000 · 0.06 \u003d 10000 · 1.06.

Kwa hiyo, kiasi cha akaunti baada ya mwaka mmoja kitaonyeshwa kama ifuatavyo:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10,000

Hiyo ni, kila mwaka kiasi kinaongezeka kwa mara 1.06. Ina maana kwamba ni ya kutosha kupata kiasi cha fedha katika akaunti baada ya miaka 4, ni ya kutosha kupata kipengele cha nne cha maendeleo, ambayo imewekwa na kipengele cha kwanza sawa na elfu 10, na denominator, sawa na 1.06 .

S \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

Mifano ya kazi kwa kuhesabu kiasi:

Katika kazi mbalimbali, maendeleo ya kijiometri hutumiwa. Mfano wa kupata kiasi inaweza kuelezwa kama ifuatavyo:

a. 1 = 4, swali: \u003d 2, uhesabuS 5..

Suluhisho: Takwimu zote zinazohitajika kwa hesabu zinajulikana, unahitaji tu kuzibadilisha katika formula.

S. 5 = 124

• a. 2 = 6, a. 3 \u003d 18. Kuhesabu kiasi cha vipengele sita vya kwanza.

Uamuzi:

Katika geom. Maendeleo ya kila kipengele cha pili ni kubwa kuliko ya awali katika mara ya Q, yaani, kuhesabu kiasi unachohitaji kujua kipengelea. 1 na denominator.swali:.

a. 2 · swali: = a. 3

swali: = 3

Vivyo hivyo, unahitaji kupataa. 1 , kujuaa. 2 Naswali:.

a. 1 · swali: = a. 2

1 \u003d.2

S. 6 = 728.

Ikiwa kila idadi ya asili. n. Weka halali. n. , basi wanasema yaliyowekwa mlolongo wa simu. :

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , n. , . . . .

Kwa hiyo, mlolongo wa namba ni kazi ya hoja ya asili.

Idadi. a. 1 Wito mwanachama wa kwanza wa mlo , Idadi a. 2 — mwanachama wa pili wa mlo , Idadi a. 3 — cha tatu na kadhalika. Idadi. n. Wito mwanachama wa mlolongo wa n-m. , na idadi ya asili n. — idadi yake .

Kutoka kwa wanachama wawili wa jirani n. na n. +1 Utaratibu wa Mwanachama. n. +1 Wito fuatilia (kuelekea n. ), lakini n. — iliyotangulia. (kuelekea n. +1 ).

Ili kuweka mlolongo, unahitaji kutaja njia ambayo inakuwezesha kupata mwanachama wa mlolongo na namba yoyote.

Mara nyingi mlolongo umeelezwa kwa kutumia mjumbe wa N-th. , Yaani, formula ambayo inakuwezesha kuamua mwanachama wa mlolongo kwa idadi yake.

Kwa mfano,

mlolongo wa idadi nzuri isiyo ya kawaida inaweza kuweka na formula

n.= 2n -1,

na mlolongo mwingine 1 Na -1 - Mfumo

b. N. = (-1) N. +1 . ◄

Mlolongo unaweza kuelezwa. formula ya kawaida., Hiyo ni, formula ambayo inaonyesha mwanachama yeyote wa mlolongo, kuanzia na baadhi, kwa njia ya wanachama wa awali (moja au zaidi).

Kwa mfano,

ikiwa A. a. 1 = 1 , lakini n. +1 = n. + 5

a. 1 = 1,

a. 2 = a. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a. 3 = a. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a. 4 = a. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a. 5 = a. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ikiwa A. a 1.= 1, a 2. = 1, n. +2 = n. + n. +1 , Wanachama saba wa kwanza wa mlolongo wa nambari huwekwa kama ifuatavyo:

a 1. = 1,

a 2. = 1,

3. = a 1. + a 2. = 1 + 1 = 2,

a 4. = a 2. + 3. = 1 + 2 = 3,

5. = 3. + a 4. = 2 + 3 = 5,

a. 6 = a. 4 + a. 5 = 3 + 5 = 8,

a. 7 = a. 5 + a. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Utaratibu unaweza kuwa mwisho na usio .

Mlolongo unaitwa. mwisho Ikiwa ina idadi ya mwisho ya wanachama. Mlolongo unaitwa. usio Ikiwa ina wanachama wengi.

Kwa mfano,

mlolongo wa nambari mbili za asili:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finite.

Mlolongo wa idadi kubwa:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

usio. ◄

Mlolongo huitwa. kuongezeka Ikiwa kila mmoja wa mwanachama wake kuanzia pili, zaidi ya moja ya awali.

Mlolongo huitwa. kushuka Ikiwa kila mwanachama anatoka kwa pili, chini ya moja ya awali.

Kwa mfano,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n., . . . - ongezeko la mlolongo;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / N., . . . - Kupungua kwa mlolongo. ◄

Mlolongo, mambo ambayo, na idadi ya kuongezeka, haipaswi, au, kinyume chake, usizidi, inaitwa mlolongo mzuri .

Utaratibu wa monotoni, hasa, ni kuongezeka kwa utaratibu na utaratibu wa kupungua.

Maendeleo ya hesabu

Maendeleo ya hesabu mlolongo huitwa, kila mwanachama ambaye, kuanzia pili, ni ya awali, ambayo idadi hiyo imeongezwa.

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , n., . . .

ni maendeleo ya hesabu kama kwa idadi yoyote ya asili. n. Hali imeridhika:

n. +1 = n. + d.,

wapi d. - Nambari fulani.

Hivyo, tofauti kati ya wanachama wa baadae na wa zamani wa maendeleo haya ya hesabu daima ni mara kwa mara:

a 2. - a. 1 = na 3. - a. 2 = . . . = n. +1 - n. = d..

Idadi. d. Wito tofauti kati ya maendeleo ya hesabu.

Kuweka maendeleo ya hesabu, ni ya kutosha kutaja muda wake wa kwanza na tofauti.

Kwa mfano,

ikiwa A. a. 1 = 3, d. = 4 , Utaratibu wa kwanza wa tano wa mlolongo hupata kama ifuatavyo:

a 1. =3,

a 2. = a 1. + d. = 3 + 4 = 7,

3. = a 2. + d.= 7 + 4 = 11,

a 4. = 3. + d.= 11 + 4 = 15,

a. 5 = a. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄

Kwa maendeleo ya hesabu na mwanachama wa kwanza. a. 1 na tofauti. d. yeye n.

n. = a 1. + (n.- 1)d.

Kwa mfano,

pata mwanachama wa thelathini ya maendeleo ya hesabu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1. =1, d. = 3,

30. = a 1. + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1. + (n.- 2)d,

n.= a 1. + (n.- 1)d,

n. +1 = a. 1 + nd.,

kisha ni wazi.

kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na wastani wa hesabu zilizopita na wanachama wa baadaye.

nambari A, B na C ni wanachama thabiti wa maendeleo ya hesabu kama na tu ikiwa mmoja wao ni sawa na wastani wa hesabu mbili.

Kwa mfano,

n. = 2n.- 7 ni maendeleo ya hesabu.

Tunatumia taarifa hapo juu. Tuna:

n. = 2n.- 7,

n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n.- 9,

n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2n.- 5.

Kwa hiyo,

◄

Kumbuka kwamba. n. -Y mwanachama wa maendeleo ya hesabu hawezi kupatikana sio tu a. 1 Lakini pia yoyote ya awali k.

n. = k. + (n.- k.)d..

Kwa mfano,

kwa a. 5 inaweza kurekodi.

5. = a 1. + 4d.,

5. = a 2. + 3d.,

5. = 3. + 2d.,

5. = a 4. + d.. ◄

n. = n-K. + kD.,

n. = n + K. - kD.,

kisha ni wazi.

mjumbe yeyote wa maendeleo ya hesabu, kuanzia pili sawa na nusu ya wanachama wa maendeleo haya ya hesabu sawa na hayo.

Kwa kuongeza, usawa ni kweli kwa maendeleo yoyote ya hesabu:

m + a n \u003d k + l,

m + n \u003d k + l.

Kwa mfano,

katika maendeleo ya hesabu

1) a. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a. 9 + a. 11 )/2;

2) 28 = 10. = 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + A 13.)/2;

4) a 2 + 12 \u003d 5 + A 9, aS.

2 + 12.= 4 + 34 = 38,

5 + 9. = 13 + 25 = 38. ◄

S N.= 1 + 2 + 3 +. . .+ n.,

kwanza n. Wanachama wa maendeleo ya hesabu ni sawa na kazi ya maneno mabaya ya idadi ya masharti:

Kutoka hapa, hasa, inafuata kwamba ikiwa wajumbe wanapaswa kuingizwa

k., k. +1 , . . . , n.,

fomu ya awali inaendelea muundo wake:

Kwa mfano,

katika maendeleo ya hesabu 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S. 10 - S. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ikiwa maendeleo ya hesabu hutolewa, basi maadili a. 1 , n., d., n. NaS. n. imefungwa na formula mbili:

Kwa hiyo, ikiwa maadili ya maadili haya haya yanatolewa, basi maadili yanayofanana ya maadili mawili yaliyobaki yanaamua kutoka kwa fomu hizi pamoja na mfumo wa equations mbili na haijulikani mbili.

Uendelezaji wa hesabu ni mlolongo wa monotonous. Ambapo:

• ikiwa A. d. > 0 , basi inaongezeka;
• ikiwa A. d. < 0 , inashuka;
• ikiwa A. d. = 0 Mlolongo utakuwa imara.

Maendeleo ya kijiometri

Maendeleo ya kijiometri mlolongo huitwa, kila mwanachama wa ambayo, kuanzia pili, ni ya awali, imeongezeka kwa idadi sawa.

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . , b N., . . .

ni maendeleo ya kijiometri, ikiwa kwa namba yoyote ya asili n. Hali imeridhika:

b N. +1 = b N. · swali:,

wapi swali: ≠ 0 - Nambari fulani.

Kwa hiyo, uwiano wa mwanachama aliyefuata wa maendeleo haya ya kijiometri hadi ya awali ni idadi ya kudumu:

b. 2 / b. 1 = b. 3 / b. 2 = . . . = b N. +1 / b N. = swali:.

Idadi. swali: Wito maendeleo ya kijiometri ya denominator.

Kuweka maendeleo ya kijiometri, ni ya kutosha kutaja muda wake wa kwanza na denominator.

Kwa mfano,

ikiwa A. b. 1 = 1, swali: = -3 , Utaratibu wa kwanza wa tano wa mlolongo hupata kama ifuatavyo:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · swali: = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · swali:= -3 · (-3) = 9,

b 4. = b 3. · swali:= 9 · (-3) = -27,

b. 5 = b. 4 · swali:= -27 · (-3) = 81. ◄

b. 1 na denominator. swali: yeye n. - Ninaweza kupatikana kwa formula:

b N. = b. 1 · q N. -1 .

Kwa mfano,

pata mwanachama wa saba wa maendeleo ya kijiometri 1, 2, 4, . . .

b. 1 = 1, swali: = 2,

b. 7 = b. 1 · swali: 6 = 1 · 2 6 \u003d 64.. ◄

b N-1 = b 1. · q N. -2 ,

b N. = b 1. · q N. -1 ,

b N. +1 = b. 1 · q N.,

kisha ni wazi.

b N. 2 = b N. -1 · b N. +1 ,

kila mwanachama wa maendeleo ya kijiometri, kuanzia ya pili, ni sawa na wanachama wa kijiometri (uwiano) na wanachama wafuatayo.

Kwa kuwa taarifa kinyume pia ni kweli, basi taarifa yafuatayo inafanyika:

nambari A, B na C ni wanachama thabiti wa maendeleo ya kijiometri ikiwa na tu kama mraba wa mmoja wao ni sawa na kazi ya wengine wawili, yaani, moja ya idadi ni wastani wa kijiometri mbili.

Kwa mfano,

tunathibitisha kwamba mlolongo unaoelezwa na formula b N. \u003d -3 · 2. N. ni maendeleo ya kijiometri. Tunatumia taarifa hapo juu. Tuna:

b N. \u003d -3 · 2. N.,

b N. -1 \u003d -3 · 2. N. -1 ,

b N. +1 \u003d -3 · 2. N. +1 .

Kwa hiyo,

b N. 2 \u003d (-3 · 2. N.) 2 \u003d (-3 · 2. N. -1 ) · (-3 · 2. N. +1 ) = b N. -1 · b N. +1 ,

ambayo inathibitisha taarifa muhimu. ◄

Kumbuka kwamba. n. -Y mwanachama wa maendeleo ya kijiometri hawezi kupatikana tu b. 1 , lakini pia mwanachama yeyote aliyepita. b K. Kwa nini ni ya kutosha kutumia formula.

b N. = b K. · q N. - K..

Kwa mfano,

kwa b. 5 inaweza kurekodi.

b 5. = b 1. · swali: 4 ,

b 5. = b 2. · q 3.,

b 5. = b 3. · swali 2.,

b 5. = b 4. · swali:. ◄

b N. = b K. · q N. - K.,

b N. = b N. - K. · q K.,

kisha ni wazi.

b N. 2 = b N. - K.· b N. + K.

mraba wa mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri, kuanzia pili sawa na kazi ya wanachama wa maendeleo haya yanayohusiana nayo.

Kwa kuongeza, usawa ni kweli kwa maendeleo yoyote ya kijiometri:

b M.· b N.= b K.· b L.,

m.+ n.= k.+ l..

Kwa mfano,

katika maendeleo ya kijiometri

1) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b. 5 · b. 7 ;

2) 1024 = b. 11 = b. 6 · swali: 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b. 4 · b. 8 ;

4) b. 2 · b. 7 = b. 4 · b. 5 , aS.

b. 2 · b. 7 = 2 · 64 = 128,

b. 4 · b. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S N.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . + b N.

kwanza n. Wanachama wa maendeleo ya kijiometri na denominator. swali: ≠ 0 Mahesabu na formula:

Na kwa swali: = 1 - Kulingana na formula.

S N.= nb. 1

Kumbuka kwamba ikiwa unahitaji jumla ya wanachama.

b K., b K. +1 , . . . , b N.,

fomu hiyo hutumiwa:

Kwa mfano,

katika maendeleo ya kijiometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S. 10 - S. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ikiwa maendeleo ya kijiometri hutolewa, basi maadili b. 1 , b N., swali:, n. Na S N. imefungwa na formula mbili:

Kwa hiyo, ikiwa maadili ya maadili haya matatu haya yanatolewa, basi maadili yanayofanana ya maadili mawili yaliyobaki yanaamua kutoka kwa fomu hizi pamoja na mfumo wa equations mbili na haijulikani mbili.

Kwa maendeleo ya kijiometri na mwanachama wa kwanza. b. 1 na denominator. swali: Kuna yafuatayo. mali ya monotony. :

• kuendelea kunaongezeka ikiwa moja ya masharti yafuatayo yanafanywa:

b. 1 > 0 na swali:> 1;

b. 1 < 0 na 0 < swali:< 1;

• uendelezaji unashuka ikiwa moja ya masharti yafuatayo yanafanywa:

b. 1 > 0 na 0 < swali:< 1;

b. 1 < 0 na swali:> 1.

Ikiwa A. swali:< 0 , Kisha maendeleo ya kijiometri ni ishara): Wanachama wake wenye idadi isiyo ya kawaida wana ishara sawa na mwanachama wake wa kwanza, na wanachama wenye idadi hata - ishara kinyume. Ni wazi kwamba maendeleo mbadala ya kijiometri hayatoshi.

Kazi ya wa kwanza n. Wanachama wa maendeleo ya kijiometri wanaweza kuhesabiwa na formula:

P n.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B N. = (b 1. · b N.) n. / 2 .

Kwa mfano,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri Piga maendeleo ya kijiometri isiyo na mwisho, ambayo moduli ya denominator ni chini 1 , i.e.

|swali:| < 1 .

Kumbuka kuwa kuongezeka kwa maendeleo ya kijiometri inaweza kuwa mlolongo wa kupungua. Hii inafanana na kesi hiyo

1 < swali:< 0 .

Kwa denominator hii, mlolongo unabadilisha. Kwa mfano,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumla ya maendeleo makubwa ya kijiometri piga simu nambari ambayo jumla ya kwanza haifai n. Wanachama wa maendeleo na ongezeko la ukomo katika idadi n. . Nambari hii daima ni ya kweli na iliyoelezwa na formula

Kwa mfano,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Mawasiliano ya maendeleo ya hesabu na kijiometri.

Arithmetic na maendeleo ya kijiometri ni karibu sana na kila mmoja. Fikiria mifano miwili tu.

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . d. T.

b A. 1 , b A. 2 , b A. 3 , . . . b D. .

Kwa mfano,

1, 3, 5, . . . - Maendeleo ya hesabu na tofauti. 2 Na

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator. 7 2 . ◄

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator. swali: T.

ingia B 1., ingia B 2., ingia B 3., . . . - Maendeleo ya hesabu na tofauti. ingia A.swali: .

Kwa mfano,

2, 12, 72, . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator. 6 Na

lG. 2, lG. 12, lG. 72, . . . - Maendeleo ya hesabu na tofauti. lG. 6 . ◄

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Utaratibu wa nambari. Uendelezaji wa kijiometri"

Vifaa vya ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuondoka maoni yako, kitaalam, matakwa! Vifaa vyote vinachunguliwa na programu ya antivirus.

Maandishi ya mafunzo na simulators katika duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 9
Degrees na mizizi kazi na graphics.

Vijana, leo tutaanzisha aina nyingine ya maendeleo.
Mandhari ya somo la leo ni maendeleo ya kijiometri.

Maendeleo ya kijiometri

Mfano. 1,2,4,8,16 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni sawa na moja, na $ q \u003d $ 2.

Mfano. 8,88,88 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo ni sawa na nane,
$ Q \u003d $ 1.

Mfano. 3, -3.3, -3.3 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo mwanachama wa kwanza ni sawa na tatu,
$ Q \u003d -1 $.

Uendelezaji wa kijiometri una mali ya monotony.
Ikiwa $ b_ (1)\u003e $ 0, $ q\u003e $ 1,
kisha mlolongo huongezeka.
Ikiwa $ b_ (1)\u003e $ 0, $ 0 Mlolongo huchukuliwa kutajwa kwa fomu: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Pia kama katika maendeleo ya hesabu, ikiwa katika maendeleo ya kijiometri idadi ya vipengele bila shaka, basi maendeleo huitwa maendeleo ya mwisho ya kijiometri.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $.
Kumbuka Kama mlolongo ni maendeleo ya kijiometri, mlolongo wa mraba wa wanachama pia ni maendeleo ya kijiometri. Katika mlolongo wa pili, neno la kwanza ni $ b_ (1) ^ 2 $, na denominator ni $ Q ^ 2 $.

Formula ya mwanachama wa N-bous wa maendeleo ya kijiometri

Hebu kurudi kwenye mifano yetu.

Mfano. 1,2,4,8,16 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni sawa na moja,
$ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.

Mfano. 16,84,2,11 / 2 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni kumi na sita, na $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.

Mfano. 8,88,88 ... maendeleo ya jiometri, ambayo muda wa kwanza ni nane, na $ q \u003d $ 1.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.

Mfano. 3, -3.3, -3.3 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni sawa na tatu, na $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.

Mfano. Uendelezaji wa kijiometri wa $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n), ... $.
a) Inajulikana kuwa $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3. Pata $ B_ (5) $.
b) Inajulikana kuwa $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768. Tafuta N.
c) Inajulikana kuwa $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96. Pata $ B_ (1) $.
d) Inajulikana kuwa $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d $ 4096. Tafuta Q.

Uamuzi.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (N - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d $ 128, tangu $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e B_ (1) \u003d - $ 3.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Mfano. Tofauti kati ya wanachama wa saba na wa tano wa maendeleo ya kijiometri ni 192, kiasi cha mwanachama wa tano na wa sita wa maendeleo ni 192. Kupata mwanachama wa kumi wa maendeleo haya.

Uamuzi.
Tunajua kwamba: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d $ 192 na $ b_ (5) + b_ (6) \u003d $ 192.
Pia tunajua: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * Q ^ $ 5; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * Q ^ 6 $.
Kisha:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * Q ^ 4 \u003d $ 192.
$ B_ (1) * Q ^ 4 + b_ (1) * Q ^ 5 \u003d $ 192.
Alipokea mfumo wa equations:
$ \\ Kuanza (kesi) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * Q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ mwisho (kesi) $.
Maandalizi, usawa wetu utapatikana:
$ B_ (1) * Q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d Q + 1 $.
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d $ 0.
Alipokea ufumbuzi wawili Q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Sisi baadaye tu badala ya equation ya pili:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ hakuna ufumbuzi.
Imepokea kama: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2.
Tunapata mwanachama wa kumi: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * Q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.

Kiasi cha maendeleo ya kijiometri ya mwisho

Hebu maendeleo ya mwisho ya kijiometri yaliyotolewa: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
Tunaanzisha jina la jumla ya wanachama wake: $ s_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
Katika kesi wakati $ q \u003d $ 1. Wanachama wote wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na mwanachama wa kwanza, basi ni dhahiri kwamba $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Fikiria sasa kesi ya $ Q ≠ $ 1.
Panua kiasi cha juu kwa kila Q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * Q + b_ (2) * Q + ⋯ + b_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * Q $.
Kumbuka:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * Q $.

$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (N) (Q-1) \u003d B_ (N) * Q-B_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

Tulipata formula ya kiasi cha maendeleo ya kijiometri ya mwisho.

Uamuzi.
$ S_ (7) \u003d \\ FRAC (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

Mfano.
Pata mwanachama wa tano wa maendeleo ya kijiometri, ambayo inajulikana: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - $ 4095.

Uamuzi.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * Q ^ (N - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d $ 1024.
$ ^ (N) \u003d 1024Q $.

$ S_ (N) \u003d \\ FRAC (-3 * (q ^ (n) -1)) (Q-1) \u003d - $ 4095.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Mali ya tabia ya maendeleo ya kijiometri

Mlolongo wa nambari ni maendeleo ya kijiometri, tu wakati mraba wa kila mwanachama ni sawa na bidhaa ya maendeleo ya karibu na hayo. Usisahau kwamba kwa maendeleo ya mwisho, hali hii haifanyi kazi kwa mwanachama wa kwanza na wa mwisho.

Moduli ya mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na wanachama wawili wa kijiometri karibu na hilo.

Uamuzi.
Tunatumia mali ya tabia:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d $ 0.
$ x_ (1) \u003d $ 2 na $ x_ (2) \u003d - $ 1.
Mbadala mara kwa mara katika kujieleza awali, ufumbuzi wetu:
Kwa $ x \u003d $ 2, mlolongo ulipatikana: 4; 6; 9 - maendeleo ya kijiometri, ambayo $ Q \u003d $ 1.5 $.
Kwa $ x \u003d -1 $, kupokea mlolongo: 1; 0; 0.
Jibu: $ x \u003d 2. $.

Kazi kwa ajili ya ufumbuzi wa kibinafsi

Maendeleo ya kijiometri, pamoja na hesabu, ni karibu na namba karibu, ambayo inasoma katika mwaka wa shule ya algebra katika daraja la 9. Katika makala hii, fikiria madhehebu ya maendeleo ya kijiometri, na jinsi thamani yake inavyoathiri mali zake.

Ufafanuzi wa maendeleo ya kijiometri

Kuanza na, tunatoa ufafanuzi wa mfululizo huu wa namba. Maendeleo ya kijiometri huitwa idadi hiyo ya idadi ya busara, ambayo huundwa na kuzidisha thabiti ya kipengele chake cha kwanza kwa idadi ya mara kwa mara, ambayo inaitwa denominator.

Kwa mfano, idadi katika mstari wa 3, 6, 12, 24, ... ni maendeleo ya kijiometri, kwa sababu ikiwa unazidisha 3 (kipengele cha kwanza) na 2, basi tunapata 6. Ikiwa 6 huzidisha na 2, basi tunapata 12, na kadhalika.

Wajumbe wa mlolongo waliozingatiwa ni desturi ya kuashiria ishara ya AI, ambapo mimi ni integer inayoonyesha namba ya kipengele katika safu.

Ufafanuzi hapo juu wa maendeleo unaweza kuandikwa katika lugha ya hisabati kama ifuatavyo: AN \u003d BN-1 * A1, ambapo B ni denominator. Angalia formula hii kwa urahisi: kama n \u003d 1, kisha B1-1 \u003d 1, na tunapata A1 \u003d A1. Ikiwa n \u003d 2, basi \u003d B * A1, na sisi tena kuja na ufafanuzi wa idadi ya idadi inayozingatiwa. Majadiliano kama hayo yanaweza kuendelea kwa maadili makubwa ya N.

Denominator ya maendeleo ya jiometri.

Nambari ya B huamua kikamilifu tabia ambayo itakuwa mfululizo wote wa namba. Denominator B inaweza kuwa chanya, hasi, na pia kuwa na thamani zaidi ya moja au chini. Chaguo zote zilizoorodheshwa zinaongoza kwa utaratibu tofauti:

• b\u003e 1. Kuna idadi kubwa ya idadi ya busara. Kwa mfano, 1, 2, 4, 8, ... Ikiwa kipengele A1 ni hasi, basi mlolongo mzima utaongezeka tu na moduli, lakini kupungua kwa ishara ya idadi.
• b \u003d 1. Mara nyingi kesi hii haifai maendeleo, kwani kuna idadi ya kawaida ya namba zinazofanana. Kwa mfano, -4, -4, -4.

Formula kwa jumla

Kabla ya kuendelea na kuzingatia kazi maalum kwa kutumia madhehebu ya aina ya maendeleo inayozingatiwa, ni muhimu kuleta formula muhimu kwa kiasi cha vipengele vya kwanza. Fomu ina fomu: SN \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1).

Unaweza kupata maelezo haya mwenyewe ikiwa unafikiria mlolongo wa mara kwa mara wa wanachama wa maendeleo. Pia tunabainisha kuwa katika formula hapo juu ni ya kutosha kujua kipengele cha kwanza na denominator kupata kiasi cha idadi ya wanachama wa kiholela.

Mlolongo mkubwa wa kupungua

Hapo juu ilitolewa maelezo ambayo inawakilisha. Sasa, akijua formula kwa SN, tunaitumia kwenye mstari huu wa namba. Tangu namba yoyote, moduli ambayo haizidi 1, wakati imejengwa, inatafuta sifuri, yaani, B∞ \u003d\u003e 0, kama -1

Kwa kuwa tofauti (1 - B) daima itakuwa chanya, bila kujali maadili ya denominator, ishara ya kiasi cha kupungua kwa maendeleo ya kijiometri S∞ ni ya kipekee ya kuamua na ishara ya kipengele chake cha kwanza A1.

Sasa fikiria kazi kadhaa ambapo tunaonyesha jinsi ya kutumia maarifa yaliyopatikana kwa idadi maalum.

Nambari ya kazi 1. Hesabu ya mambo haijulikani ya maendeleo na kiasi

Maendeleo ya kijiometri, denominator ya maendeleo ya 2, na kipengele chake cha kwanza 3 ni sawa na wanachama wake wa 7 na 10, na ni jumla ya vipengele vya awali vya saba?

Hali ya tatizo ni rahisi sana na ina maana ya matumizi ya moja kwa moja ya formula zilizo hapo juu. Kwa hiyo, kuhesabu kipengele na namba n, tunatumia maneno \u003d BN-1 * A1. Kwa kipengele cha 7, tuna: A7 \u003d B6 * A1, badala ya data inayojulikana, tunapata: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Njia ile ile imefanywa kwa mwanachama wa 10: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Tunatumia formula inayojulikana kwa kiasi na kuamua thamani hii kwa vipengele vya kwanza vya 7 vya mfululizo. Tuna: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Nambari ya Kazi 2. Uamuzi wa kiasi cha mambo ya kiholela ya maendeleo

Hebu -2 kuwa sawa na denominator ya maendeleo katika maendeleo ya kijiometri ya BN-1 * 4, ambapo n ni integer. Ni muhimu kuamua kiasi kutoka kwa 5 hadi kipengele cha 10 cha mfululizo huu unaojumuisha.

Tatizo haliwezi kutatuliwa moja kwa moja kwa kutumia formula inayojulikana. Inaweza kutatuliwa na mbinu mbili tofauti. Kwa ukamilifu wa uwasilishaji wa mada, tunaleta wote wawili.

Njia 1. Wazo ni rahisi: unahitaji kuhesabu kiasi hicho cha wanachama wa kwanza, na kisha uondoe kutoka kwa mwingine. Tumia kiasi kidogo: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Sasa tunahesabu kiasi kikubwa: S4 \u003d ((((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Kumbuka kuwa katika maneno ya mwisho tu maneno 4 yaliingizwa, tangu 5 tayari imejumuishwa kwa kiasi ambacho unataka kuhesabu chini ya tatizo la tatizo. Hatimaye, tunachukua tofauti: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Njia 2. Kabla ya kubadilisha idadi na kuhesabu, inawezekana kupata formula kwa kiasi kati ya m na n ya mfululizo unaozingatiwa. Tunafanya sawa kabisa na katika njia ya 1, tu tunafanya kazi kwanza na uwasilishaji wa ishara ya kiasi. Tuna: SNM \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1) - (BM-1 - 1) * A1 / (B - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (B - 1) . Katika kujieleza kwa matokeo, unaweza kubadilisha namba inayojulikana na kuhesabu matokeo ya mwisho: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Kazi # 3. Je, ni denominator?

Hebu A1 \u003d 2, pata denominator ya maendeleo ya kijiometri, ikiwa ni kiasi chake cha usio na kipimo ni 3, na inajulikana kuwa hii ni idadi ya idadi ya kupungua.

Kwa hali ya kazi si vigumu kufikiri ni aina gani inapaswa kutumiwa kutatua. Bila shaka, kwa jumla ya maendeleo ya kupungua kwa kiasi kikubwa. Tuna: S∞ \u003d A1 / (1 - B). Ambapo kuelezea denominator: B \u003d 1 - A1 / S∞. Inabakia kuchukua nafasi ya maadili inayojulikana na kupata namba inayotaka: B \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 au -0.333 (3). Unaweza kuangalia kwa usahihi matokeo haya ikiwa unakumbuka kwamba kwa aina hii ya mlolongo, moduli B haipaswi kwenda zaidi ya 1. Kama inavyoonekana, | -1 / 3 |

Nambari ya Task 4. Marejesho ya idadi kadhaa.

Hebu vipengele 2 vya mfululizo wa namba, kwa mfano, sawa na 5 sawa na 30 na 10 sawa na 60. Ni muhimu kurejesha aina zote kulingana na data hizi, kujua kwamba inatimiza mali ya maendeleo ya jiometri.

Ili kutatua kazi, ni muhimu kuanza kujieleza sambamba kwa kila mwanachama anayejulikana. Tuna: A5 \u003d B4 * A1 na A10 \u003d B9 * A1. Sasa tunagawanya maneno ya pili kwa wa kwanza, tunapata: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. Kutoka hapa, tunaamua denominator, kuchukua mizizi ya shahada ya tano kutokana na uhusiano unaojulikana kutoka kwa masharti ya kazi ya wanachama, b \u003d 1,148698. Nambari inayotokana ni kubadilishwa katika moja ya maneno kwa kipengele kinachojulikana, tunapata: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.

Kwa hiyo, tumegundua, ambayo ni sawa na madhehebu ya maendeleo ya BN, na maendeleo ya kijiometri ya BN-1 * 17,2304966 \u003d AN, ambapo B \u003d 1,148698.

Ambapo ni maendeleo ya kijiometri?

Ikiwa haikuwa kwa ajili ya matumizi ya mfululizo huu wa namba katika mazoezi, utafiti wake utapunguzwa kwa maslahi ya kinadharia. Lakini programu hii ipo.

Yafuatayo ni mifano 3 maarufu zaidi:

• Kitendawili cha Zeno, ambako Achilles dexterous hawezi kukamata na turtle polepole, ni kutatuliwa kwa kutumia dhana ya kupungua kwa idadi kubwa ya namba.
• Ikiwa kuna nafaka za ngano kwenye kila kiini cha chessboard, ili kwenye kiini cha kwanza kuweka nafaka 1, juu ya 2 - 2, juu ya 3 - 3 na kadhalika, kisha kujaza seli zote za bodi itahitajika 1844674407370955115 Mbegu!
• Katika mchezo wa "mnara wa Hanoi" ili upangilie rekodi kutoka kwenye fimbo moja hadi nyingine, ni muhimu kufanya shughuli za 2n - 1, yaani, idadi yao huongezeka katika maendeleo ya kijiometri juu ya idadi ya disks kutumika.