Thamani kamili ya nambari a ni umbali kutoka asili hadi uhakika LAKINI(a).

Ili kuelewa ufafanuzi huu, tunabadilisha badala ya kutofautisha a nambari yoyote, kwa mfano 3 na ujaribu kuisoma tena:

Thamani kamili ya nambari 3 ni umbali kutoka asili hadi uhakika LAKINI(3 ).

Inakuwa wazi kuwa moduli sio zaidi ya umbali wa kawaida. Wacha tujaribu kuona umbali kutoka asili hadi kumweka A( 3 )

Umbali kutoka kwa asili ya kuratibu hadi kumweka A( 3 ) ni sawa na 3 (vizio vitatu au hatua tatu).

Moduli ya nambari inaonyeshwa na mistari miwili wima, kwa mfano:

Moduli ya nambari 3 imeashiriwa kama ifuatavyo: |3|

Moduli ya nambari 4 imeashiriwa kama ifuatavyo: |4|

Moduli ya nambari 5 imeashiriwa kama ifuatavyo: |5|

Tulitafuta moduli ya nambari 3 na tukagundua kuwa ni sawa na 3. Kwa hivyo tunaandika:

Inasoma kama: "Moduli ya tatu ni tatu"

Sasa hebu tujaribu kutafuta moduli ya nambari -3. Tena, tunarudi kwa ufafanuzi na kubadilisha nambari -3 ndani yake. Badala ya nukta pekee A tumia point mpya B. Hatua A tayari tumetumia katika mfano wa kwanza.

Moduli ya nambari ni 3 piga umbali kutoka kwa asili hadi kwa uhakika B(—3 ).

Umbali kutoka hatua moja hadi nyingine hauwezi kuwa mbaya. Kwa hiyo, moduli ya nambari yoyote hasi, kuwa umbali, pia haitakuwa mbaya. Moduli ya nambari -3 itakuwa nambari 3. Umbali kutoka kwa asili hadi hatua B (-3) pia ni sawa na vitengo vitatu:

Inasoma kama: "Moduli ya nambari kutoa tatu ni tatu"

Moduli ya nambari 0 ni 0, kwani hatua iliyo na kuratibu 0 inalingana na asili, i.e. umbali kutoka asili hadi uhakika O(0) sawa na sifuri:

"Moduli ya sifuri ni sifuri"

Tunatoa hitimisho:

• Moduli ya nambari haiwezi kuwa mbaya;
• Kwa nambari nzuri na sifuri, moduli ni sawa na nambari yenyewe, na kwa hasi, kwa nambari tofauti;
• Nambari zinazopingana zina moduli sawa.

Nambari zinazopingana

Nambari ambazo hutofautiana tu kwa ishara zinaitwa kinyume. Kwa mfano, nambari −2 na 2 ni kinyume. Wanatofautiana katika ishara tu. Nambari -2 ina ishara ya kuondoa, na 2 ina ishara ya kuongeza, lakini hatuioni, kwa sababu pamoja, kama tulivyosema hapo awali, haijaandikwa.

Mifano zaidi ya nambari tofauti:

Nambari zinazopingana zina moduli sawa. Kwa mfano, hebu tutafute moduli za −2 na 2

Takwimu inaonyesha kwamba umbali kutoka asili hadi pointi A(−2) Na B(2) sawa na hatua mbili.

Ulipenda somo?
Jiunge na kikundi chetu kipya cha Vkontakte na uanze kupokea arifa za masomo mapya

Hatuchagui hisabati taaluma yake, na anatuchagua sisi.

Mwanahisabati wa Urusi Yu.I. Manin

Milinganyo ya Modulo

Shida ngumu zaidi kusuluhisha katika hisabati ya shule ni milinganyo iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli. Ili kusuluhisha equations kama hizo kwa mafanikio, ni muhimu kujua ufafanuzi na mali ya msingi ya moduli. Kwa kawaida, wanafunzi wanapaswa kuwa na ujuzi wa kutatua milinganyo ya aina hii.

Dhana za kimsingi na mali

Modulus (thamani kamili) ya nambari halisi iliyoashiria na hufafanuliwa kama ifuatavyo:

Sifa rahisi za moduli ni pamoja na mahusiano yafuatayo:

Kumbuka, kwamba mali mbili za mwisho zinashikilia kwa kiwango chochote sawa.

Pia, ikiwa, wapi, basi na

Sifa ngumu zaidi za moduli, ambayo inaweza kutumika kwa ufanisi katika kutatua milinganyo na moduli, huundwa kwa kutumia nadharia zifuatazo:

Nadharia 1.Kwa vipengele vyovyote vya uchanganuzi Na ukosefu wa usawa

Nadharia 2. Usawa ni sawa na ukosefu wa usawa.

Nadharia 3. Usawa ni sawa na ukosefu wa usawa.

Fikiria mifano ya kawaida ya kutatua shida kwenye mada "Equations, iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli.

Kutatua Milinganyo na Modulus

Njia ya kawaida katika hisabati ya shule ya kutatua milinganyo na moduli ni njia, kulingana na upanuzi wa moduli. Njia hii ni ya jumla, hata hivyo, katika hali ya jumla, matumizi yake yanaweza kusababisha mahesabu magumu sana. Katika suala hili, wanafunzi wanapaswa pia kufahamu mengine, njia na mbinu bora zaidi za kutatua milinganyo kama hii. Hasa, haja ya kuwa na ujuzi wa kutumia nadharia, iliyotolewa katika makala hii.

Mfano 1 Tatua mlinganyo. (moja)

Suluhisho. Equation (1) itatatuliwa kwa njia ya "classical" - njia ya upanuzi wa moduli. Ili kufanya hivyo, tunavunja mhimili wa nambari nukta na vipindi na kuzingatia kesi tatu.

1. Ikiwa , basi , , , na equation (1) inachukua fomu . Inafuata kutoka hapa. Walakini, hapa, kwa hivyo dhamana iliyopatikana sio mzizi wa equation (1).

2. Kama, kisha kutoka kwa equation (1) tunapata au .

Tangu wakati huo mzizi wa equation (1).

3. Kama, kisha equation (1) inachukua fomu au . Kumbuka kwamba.

Jibu:,.

Wakati wa kutatua equations zifuatazo na moduli, tutatumia kikamilifu mali ya moduli ili kuongeza ufanisi wa kutatua equations hizo.

Mfano 2 kutatua equation.

Suluhisho. Tangu na kisha inafuata kutoka kwa mlinganyo. Katika suala hili, , , na equation inakuwa. Kutoka hapa tunapata. Lakini, kwa hivyo equation ya asili haina mizizi.

Jibu: hakuna mizizi.

Mfano 3 kutatua equation.

Suluhisho. Tangu, basi. Ikiwa, basi, na equation inakuwa.

Kutoka hapa tunapata.

Mfano 4 kutatua equation.

Suluhisho.Wacha tuandike tena equation kwa fomu inayolingana. (2)

Mlinganyo unaotokana ni wa milinganyo ya aina.

Kwa kuzingatia Nadharia ya 2, tunaweza kusema kwamba mlingano (2) ni sawa na ukosefu wa usawa . Kutoka hapa tunapata.

Jibu:.

Mfano 5 Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Equation hii ina fomu. Ndiyo maana , kulingana na Theorem 3, hapa tuna ukosefu wa usawa au .

Mfano 6 kutatua equation.

Suluhisho. Hebu tuchukulie hivyo. Kwa sababu, kisha mlinganyo uliotolewa unachukua umbo la mlinganyo wa quadratic, (3)

wapi . Kwa kuwa equation (3) ina mzizi mmoja chanya na, basi . Kuanzia hapa tunapata mizizi miwili ya equation ya asili: Na.

Mfano 7 kutatua equation. (4)

Suluhisho. Tangu equationni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili: Na, basi wakati wa kutatua equation (4) ni muhimu kuzingatia kesi mbili.

1. Ikiwa , basi au .

Kutoka hapa tunapata, na.

2. Ikiwa , basi au .

Tangu, basi.

Jibu:,,,,.

Mfano 8kutatua equation . (5)

Suluhisho. Tangu na, basi. Kutoka hapa na kutoka Eq (5) inafuata kwamba na, i.e. hapa tuna mfumo wa milinganyo

Walakini, mfumo huu wa milinganyo hauendani.

Jibu: hakuna mizizi.

Mfano 9 kutatua equation. (6)

Suluhisho. Ikiwa tunateua na kutoka kwa equation (6) tunapata

Au . (7)

Kwa kuwa equation (7) ina fomu , mlinganyo huu ni sawa na ukosefu wa usawa . Kutoka hapa tunapata. Tangu, basi au.

Jibu:.

Mfano 10kutatua equation. (8)

Suluhisho.Kulingana na Theorem 1, tunaweza kuandika

(9)

Kuzingatia equation (8), tunahitimisha kuwa usawa wote (9) hugeuka kuwa usawa, i.e. kuna mfumo wa milinganyo

Walakini, kwa nadharia ya 3, mfumo wa hapo juu wa milinganyo ni sawa na mfumo wa usawa.

(10)

Kutatua mfumo wa kukosekana kwa usawa (10) tunapata. Kwa kuwa mfumo wa kukosekana kwa usawa (10) ni sawa na mlinganyo (8), mlinganyo wa awali una mzizi mmoja .

Jibu:.

Mfano 11. kutatua equation. (11)

Suluhisho. Hebu na , basi mlinganyo (11) unamaanisha usawa .

Kutoka kwa hii inafuata kwamba na. Hivyo, hapa tuna mfumo wa kutofautiana

Suluhisho la mfumo huu wa kukosekana kwa usawa ni Na.

Jibu:,.

Mfano 12.kutatua equation. (12)

Suluhisho. Equation (12) itatatuliwa kwa njia ya upanuzi mfululizo wa moduli. Kwa kufanya hivyo, fikiria kesi kadhaa.

1. Ikiwa, basi.

1.1. Ikiwa , basi na , .

1.2. Ikiwa, basi. Lakini, kwa hiyo, katika kesi hii, equation (12) haina mizizi.

2. Ikiwa, basi.

2.1. Ikiwa , basi na , .

2.2. Ikiwa, basi na.

Jibu:,,,,,.

Mfano 13kutatua equation. (13)

Suluhisho. Kwa kuwa upande wa kushoto wa equation (13) sio hasi, basi na . Katika suala hili, , na equation (13)

inachukua fomu au.

Inajulikana kuwa equation ni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili Na, kutatua ambayo tunapata, . Kwa sababu, basi equation (13) ina mzizi mmoja.

Jibu:.

Mfano 14 Tatua mfumo wa milinganyo (14)

Suluhisho. Tangu na, basi na. Kwa hivyo, kutoka kwa mfumo wa equations (14) tunapata mifumo minne ya equations:

Mizizi ya mifumo ya hapo juu ya equations ni mizizi ya mfumo wa equations (14).

Jibu:,,,,,,,,.

Mfano 15 Tatua mfumo wa milinganyo (15)

Suluhisho. Tangu, basi. Katika suala hili, kutoka kwa mfumo wa equations (15) tunapata mifumo miwili ya equations

Mizizi ya mfumo wa kwanza wa milinganyo ni na, na kutoka kwa mfumo wa pili wa milinganyo tunapata na.

Jibu:,,,,.

Mfano 16 Tatua mfumo wa milinganyo (16)

Suluhisho. Inafuata kutoka kwa mlingano wa kwanza wa mfumo (16) kwamba .

Tangu wakati huo . Fikiria equation ya pili ya mfumo. Kwa kadiri, basi, na equation inakuwa,, au.

Ikiwa tunabadilisha thamanikatika equation ya kwanza ya mfumo (16), basi , au .

Jibu:,.

Kwa uchunguzi wa kina wa njia za utatuzi wa shida, kuhusiana na suluhisho la equations, iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli, unaweza kushauri mafunzo kutoka kwenye orodha ya fasihi iliyopendekezwa.

1. Mkusanyiko wa kazi katika hisabati kwa waombaji kwa vyuo vikuu vya kiufundi / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Ulimwengu na Elimu, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: kazi za kuongezeka kwa ugumu. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.

3. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: njia zisizo za kawaida za kutatua shida. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

Je, una maswali yoyote?

Ili kupata msaada wa mwalimu - kujiandikisha.

tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Mojawapo ya mada ngumu zaidi kwa wanafunzi ni kusuluhisha milinganyo iliyo na kigezo chini ya ishara ya moduli. Hebu tuone kwa kuanzia inaunganishwa na nini? Kwa nini, kwa mfano, milinganyo ya quadratic watoto wengi hubofya kama nati, lakini kwa kuwa mbali na dhana changamano kwani moduli ina matatizo mengi?

Kwa maoni yangu, shida hizi zote zinahusishwa na ukosefu wa sheria zilizowekwa wazi za kutatua equations na moduli. Kwa hivyo, wakati wa kutatua equation ya quadratic, mwanafunzi anajua kwa hakika kwamba anahitaji kwanza kutumia fomula ya kibaguzi, na kisha kanuni za mizizi ya equation ya quadratic. Lakini vipi ikiwa moduli itakutana katika equation? Tutajaribu kuelezea wazi mpango muhimu wa hatua katika kesi wakati equation ina haijulikani chini ya ishara ya modulus. Tunatoa mifano kadhaa kwa kila kesi.

Lakini kwanza, tukumbuke ufafanuzi wa moduli. Kwa hivyo, moduli ya nambari a nambari yenyewe inaitwa kama a zisizo hasi na -a ikiwa nambari a chini ya sifuri. Unaweza kuiandika kama hii:

|a| = a kama ≥ 0 na |a| = -a ikiwa a< 0

Kuzungumza juu ya maana ya kijiometri ya moduli, ikumbukwe kwamba kila nambari halisi inalingana na hatua fulani kwenye mhimili wa nambari - kuratibu. Kwa hivyo, moduli au thamani kamili ya nambari ni umbali kutoka kwa hatua hii hadi asili ya mhimili wa nambari. Umbali hupewa kila mara kama nambari chanya. Kwa hivyo, moduli ya nambari yoyote hasi ni nambari chanya. Kwa njia, hata katika hatua hii, wanafunzi wengi huanza kuchanganyikiwa. Nambari yoyote inaweza kuwa kwenye moduli, lakini matokeo ya kutumia moduli daima ni nambari chanya.

Sasa hebu tuendelee kwenye kutatua equations.

1. Fikiria mlingano wa fomu |x| = c, ambapo c ni nambari halisi. Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia ufafanuzi wa moduli.

Tunagawanya nambari zote za kweli katika vikundi vitatu: zile ambazo ni kubwa kuliko sifuri, zile ambazo ni chini ya sifuri, na kundi la tatu ni nambari 0. Tunaandika suluhisho kwa namna ya mchoro:

(±c ikiwa c> 0

Ikiwa |x| = c, kisha x = (0 ikiwa c = 0

(hakuna mizizi ikiwa na< 0

1) |x| = 5, kwa sababu 5 > 0, kisha x = ±5;

2) |x| = -5, kwa sababu -tano< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, kisha x = 0.

2. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = b, ambapo b > 0. Ili kutatua equation hii, ni muhimu kuondokana na moduli. Tunafanya hivi: f(x) = b au f(x) = -b. Sasa ni muhimu kutatua tofauti kila moja ya equations zilizopatikana. Ikiwa katika mlinganyo wa asili b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, kwa sababu 4 > 0, basi

x + 2 = 4 au x + 2 = -4

2) |x 2 - 5| = 11, kwa sababu 11 > 0, basi

x 2 - 5 = 11 au x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 hakuna mizizi

3) |x 2 - 5x| = -8 , kwa sababu -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = g (x). Kwa mujibu wa maana ya moduli, equation hiyo itakuwa na ufumbuzi ikiwa upande wake wa kulia ni mkubwa kuliko au sawa na sifuri, i.e. g(x) ≥ 0. Kisha tuna:

f(x) = g(x) au f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1| = 5x - 10. Mlinganyo huu utakuwa na mizizi ikiwa 5x - 10 ≥ 0. Hapa ndipo suluhisho la equations vile huanza.

1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Suluhisho:

2x - 1 = 5x - 10 au 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Unganisha O.D.Z. na suluhisho, tunapata:

Mzizi x \u003d 11/7 haifai kulingana na O.D.Z., ni chini ya 2, na x \u003d 3 inakidhi hali hii.

Jibu: x = 3

2) |x - 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Wacha tusuluhishe ukosefu huu wa usawa kwa kutumia njia ya muda:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Suluhisho:

x - 1 \u003d 1 - x 2 au x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 au x = 1 x = 0 au x = 1

3. Changanya suluhisho na O.D.Z.:

Mizizi tu x = 1 na x = 0 ndiyo inayofaa.

Jibu: x = 0, x = 1.

4. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = |g(x)|. Mlinganyo kama huo ni sawa na milinganyo miwili ifuatayo f(x) = g(x) au f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x - 5|. Equation hii ni sawa na mbili zifuatazo:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 au x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 au x = 4 x = 2 au x = 1

Jibu: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Milinganyo kutatuliwa kwa njia mbadala (mabadiliko ya kutofautiana). Njia hii ya suluhisho ni rahisi kuelezea kwa mfano maalum. Kwa hivyo, acha equation ya quadratic na moduli itolewe:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Kwa mali ya moduli x 2 = |x| 2 , kwa hivyo equation inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Hebu tufanye mabadiliko |x| = t ≥ 0, basi tutakuwa na:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Kutatua equation hii, tunapata kwamba t \u003d 1 au t \u003d 5. Hebu turudi kwenye uingizwaji:

|x| = 1 au |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Jibu: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Hebu tuangalie mfano mwingine:

x 2 + |x| – 2 = 0. Kwa mali ya moduli x 2 = |x| 2, hivyo

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Hebu tufanye mabadiliko |x| = t ≥ 0, kisha:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Kutatua equation hii, tunapata, t \u003d -2 au t \u003d 1. Hebu turudi kwenye uingizwaji:

|x| = -2 au |x| = 1

Hakuna mizizi x = ± 1

Jibu: x = -1, x = 1.

6. Aina nyingine ya milinganyo ni milinganyo yenye moduli "tata". Milinganyo kama hii ni pamoja na milinganyo ambayo ina "moduli ndani ya moduli". Equations ya aina hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia mali ya moduli.

1) |3 - |x|| = 4. Tutatenda kwa njia sawa na katika milinganyo ya aina ya pili. Kwa sababu 4 > 0, kisha tunapata milinganyo miwili:

3 - |x| = 4 au 3 – |x| = -4.

Sasa hebu tueleze moduli x katika kila mlinganyo, kisha |x| = -1 au |x| = 7.

Tunatatua kila moja ya milinganyo inayotokana. Hakuna mizizi katika equation ya kwanza, kwa sababu -moja< 0, а во втором x = ±7.

Jibu x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Tunatatua mlingano huu kwa njia sawa:

3 + |x + 1| = 5 au 3 + |x + 1| = -5

|x +1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 au x + 1 = -2. Hakuna mizizi.

Jibu: x = -3, x = 1.

Pia kuna njia ya jumla ya kutatua milinganyo na moduli. Hii ndio njia ya kuweka nafasi. Lakini tutazingatia zaidi.

blog.site, kwa kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Kikokotoo hiki cha hesabu mtandaoni kitakusaidia suluhisha mlinganyo au usawa na moduli. Mpango kwa kutatua milinganyo na usawa na moduli sio tu inatoa jibu la shida, inaongoza ufumbuzi wa kina na maelezo, i.e. inaonyesha mchakato wa kupata matokeo.

Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi wa shule ya sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani ya hesabu au aljebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.

Kwa njia hii, unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo ya kaka au dada zako wadogo, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa kazi zinazopaswa kutatuliwa kikiongezeka.

Weka mlingano au usawa kwa kutumia moduli

Ilibainika kuwa baadhi ya maandiko yanayohitajika kutatua kazi hii hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.

Kwa sababu Kuna watu wengi ambao wanataka kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Baada ya sekunde chache, suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...

Kama wewe niligundua kosa katika suluhisho, kisha unaweza kuandika kuihusu katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Milinganyo na ukosefu wa usawa na moduli

Katika kozi ya msingi ya algebra ya shule, unaweza kukidhi milinganyo rahisi na ukosefu wa usawa ukitumia moduli. Ili kuzitatua, unaweza kutumia mbinu ya kijiometri kulingana na ukweli kwamba \(|xa| \) ni umbali kwenye mstari wa nambari kati ya pointi x na a: \(|xa| = \rho (x;\; a) )\). Kwa mfano, ili kutatua equation \(|x-3|=2 \), unahitaji kupata pointi kwenye mstari wa nambari ambazo ziko umbali wa 2 kutoka kwa pointi 3. Kuna pointi mbili kama hizo: \(x_1=1) \) na \(x_2=5 \) .

Kutatua ukosefu wa usawa \(|2x+7|

Lakini njia kuu ya kutatua equations na kukosekana kwa usawa na moduli inahusiana na kinachojulikana kama "upanuzi wa moduli kwa ufafanuzi":
ikiwa \(a \geq 0 \), basi \(|a|=a \);
ikiwa \(a Kama sheria, equation (kukosekana kwa usawa) na moduli hupunguza hadi seti ya milinganyo (kutokuwa na usawa) ambayo haina ishara ya moduli.

Mbali na ufafanuzi hapo juu, madai yafuatayo yanatumika:
1) Ikiwa \(c > 0 \), basi equation \(|f(x)|=c \) ni sawa na seti ya milinganyo: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \mwisho(safu)\kulia.\)
2) Ikiwa \(c > 0 \), basi ukosefu wa usawa \(|f(x)| 3) Ikiwa \(c \geq 0 \), basi ukosefu wa usawa \(|f(x)| > c \) sawa na seti ya ukosefu wa usawa : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Ikiwa sehemu zote mbili za usawa \(f(x) MFANO 1. Tatua mlingano \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Ikiwa \(x-1 \geq 0 \), basi \(|x-1| = x-1 \) na equation iliyotolewa inakuwa
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Mshale wa kulia x^2 +2x -8 = 0 \).
Ikiwa \(x-1 \(x^2 -2(x-1)) -6 = 0 \Mshale wa kulia x^2 -2x -4 = 0 \).
Kwa hivyo, equation iliyotolewa inapaswa kuzingatiwa tofauti katika kila kesi mbili zilizoonyeshwa.
1) Hebu \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x \geq 1 \). Kutoka kwa mlinganyo \(x^2 +2x -8 = 0 \) tunapata \(x_1=2, \; x_2=-4\). Hali \(x \geq 1 \) inatoshelezwa na thamani \(x_1=2\) pekee).
2) Hebu \(x-1 Jibu: \(2; \;\; 1-\sqrt(5)) \)

MFANO 2. Tatua mlingano \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9))(3) \).

Njia ya kwanza(upanuzi wa moduli kwa ufafanuzi).
Tukibishana kama katika Mfano wa 1, tunahitimisha kuwa mlinganyo uliotolewa lazima uzingatiwe kando chini ya masharti mawili: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) au \(x^2-6x+7)

1) Ikiwa \(x^2-6x+7 \geq 0 \), basi \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) na mlinganyo uliotolewa unakuwa \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Mshale wa kulia 3x^2-23x+30=0 \). Kutatua mlingano huu wa quadratic, tunapata: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Hebu tujue ikiwa thamani \(x_1=6 \) inakidhi hali \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Ili kufanya hivyo, tunabadilisha thamani iliyoonyeshwa kwenye usawa wa quadratic. Tunapata: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) ni ukosefu sahihi wa usawa. Kwa hivyo, \(x_1=6 \) ndio mzizi wa mlinganyo uliotolewa.
Hebu tujue ikiwa thamani \(x_2=\frac(5)(3) \) inakidhi hali \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Ili kufanya hivyo, tunabadilisha thamani iliyoonyeshwa kwenye usawa wa quadratic. Tunapata: \(\ kushoto(\frac(5)(3) \kulia)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) ni ukosefu wa usawa. Kwa hivyo \(x_2=\frac(5)(3) \) sio mzizi wa mlinganyo uliotolewa.

2) Ikiwa \(x^2-6x+7 Thamani \(x_3=3\) inakidhi hali \(x^2-6x+7 Thamani \(x_4=\frac(4)(3) \) hufanya si kukidhi hali \ (x^2-6x+7 Kwa hivyo, equation iliyotolewa ina mizizi miwili: \(x=6, \; x=3 \).

Njia ya pili. Kwa kuzingatia mlinganyo \(|f(x)| = h(x) \), kisha kwa \(h(x) \(\left[\anza(safu)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \mwisho(safu)\kulia. \)
Milinganyo hii yote miwili imetatuliwa hapo juu (na njia ya kwanza ya kusuluhisha equation iliyotolewa), mizizi yao ni kama ifuatavyo: \(6,\; \frac(5)(3),\;3,\;\frac(4) )(3)\). Hali \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ya maadili haya manne inatoshelezwa na mbili tu: 6 na 3. Kwa hivyo, equation iliyotolewa ina mizizi miwili: \(x=6, \; x=3 \ ).

Njia ya tatu(mchoro).
1) Wacha tupange kazi \(y = |x^2-6x+7| \). Kwanza tunaunda parabola \(y = x^2-6x+7\). Tuna \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafu ya chaguo za kukokotoa \(y = (x-3)^2-2 \) inaweza kupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa \(y = x^2 \) kwa kuihamisha mizani 3 kulia (upande wa kulia). x-mhimili) na vitengo 2 vya mizani chini ( kando ya mhimili wa y). Mstari wa moja kwa moja x=3 ni mhimili wa parabola tunayovutiwa nayo. Kama sehemu za udhibiti wa kupanga njama sahihi zaidi, ni rahisi kuchukua hatua (3; -2) - sehemu ya juu ya parabola, uhakika (0; 7) na uhakika (6; 7) ulinganifu nayo kuhusiana na mhimili. ya parabola.
Ili kuunda sasa grafu ya kazi \(y = |x^2-6x+7| \\), unahitaji kuacha bila kubadilika sehemu hizo za parabola iliyojengwa ambayo haiko chini ya mhimili wa x, na kuakisi sehemu ya mhimili wa x. parabola ambayo iko chini ya mhimili wa x kuhusu mhimili wa x.
2) Wacha tupange kazi ya mstari \(y = \frac(5x-9)(3) \). Ni rahisi kuchukua pointi (0; -3) na (3; 2) kama pointi za udhibiti.

Ni muhimu kwamba hatua x = 1.8 ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na mhimili wa abscissa iko upande wa kulia wa sehemu ya kushoto ya parabola na mhimili wa abscissa - hii ndiyo hatua \(x=3-\sqrt). (2) \) (kwa sababu \(3-\sqrt(2 ) 3) Kwa kuzingatia mchoro, grafu hupishana kwa nukta mbili - A (3; 2) na B (6; 7) Kuchukua nafasi ya abscissas ya nukta hizi. x \u003d 3 na x \u003d 6 katika equation iliyotolewa, tunahakikisha kwamba thamani nyingine zote mbili hutoa usawa sahihi wa nambari. Kwa hivyo, nadharia yetu ilithibitishwa - equation ina mizizi miwili: x \u003d 3 na x \u003d 6. Jibu: 3; 6.

Maoni. Njia ya graphical, kwa uzuri wake wote, sio ya kuaminika sana. Katika mfano uliozingatiwa, ilifanya kazi tu kwa sababu mizizi ya equation ni nambari kamili.

MFANO 3. Tatua mlingano \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Njia ya kwanza
Usemi 2x-4 unakuwa 0 kwenye hatua x = 2, na usemi x + 3 kwenye hatua x = -3. Pointi hizi mbili zinagawanya mstari wa nambari katika vipindi vitatu: \(x

Fikiria muda wa kwanza: \((-\infty; \; -3) \).
Ikiwa x Fikiria muda wa pili: \([-3; \; 2) \).
Ikiwa \(-3 \leq x Fikiria muda wa tatu: \()