Nadharia ya kazi za kimsingi. Kazi za msingi za msingi

Maarifa kazi za msingi za msingi, mali zao na grafu sio muhimu kuliko kujua meza za kuzidisha. Wao ni kama msingi, kila kitu kinategemea wao, kila kitu kinajengwa kutoka kwao na kila kitu kinashuka kwao.

Katika makala hii tutaorodhesha kazi zote kuu za msingi, kutoa grafu zao na kutoa bila hitimisho au uthibitisho sifa za kazi za kimsingi kulingana na mpango:

• tabia ya kazi katika mipaka ya kikoa cha ufafanuzi, asymptotes wima (ikiwa ni lazima, angalia uainishaji wa makala ya pointi za kutoendelea kwa kazi);
• hata na isiyo ya kawaida;
• vipindi vya msongamano (convexity juu) na concavity (convexity chini), pointi inflection (ikiwa ni lazima, angalia kifungu cha kazi, mwelekeo wa convexity, pointi inflection, masharti ya convexity na inflection);
• asymptotes oblique na usawa;
• pointi za pekee za kazi;
• mali maalum ya kazi fulani (kwa mfano, kipindi chanya kidogo cha kazi za trigonometric).

Ikiwa una nia au, basi unaweza kwenda kwenye sehemu hizi za nadharia.

Kazi za msingi za msingi ni: utendakazi usiobadilika (mara kwa mara), mzizi wa nth, utendaji kazi wa nguvu, utendakazi wa kipeo, utendakazi wa logarithmic, utendakazi wa trigonometric na kinyume cha trigonometric.

Urambazaji wa ukurasa.

Utendaji wa kudumu.

Utendakazi wa mara kwa mara hufafanuliwa kwenye seti ya nambari zote halisi kwa fomula , ambapo C ni nambari fulani halisi. Chaguo za kukokotoa zisizobadilika huhusisha kila thamani halisi ya kigezo huru cha x na thamani sawa ya kigezo tegemezi y - thamani C. Kazi ya mara kwa mara pia inaitwa mara kwa mara.

Grafu ya kazi ya mara kwa mara ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa x na kupita kwenye uhakika na kuratibu (0,C). Kwa mfano, hebu tuonyeshe grafu za kazi za mara kwa mara y = 5, y = -2 na, ambayo katika takwimu hapa chini inafanana na mistari nyeusi, nyekundu na bluu, kwa mtiririko huo.

Mali ya kazi ya mara kwa mara.

• Kikoa: seti nzima ya nambari halisi.
• Kazi ya mara kwa mara ni sawa.
• Msururu wa thamani: seti inayojumuisha nambari ya umoja C.
• Kazi ya mara kwa mara haizidi na haipunguzi (ndiyo sababu ni mara kwa mara).
• Haina maana kuzungumza juu ya convexity na concavity ya mara kwa mara.
• Hakuna asymptotes.
• Kazi hupitia hatua (0,C) ya ndege ya kuratibu.

Mzizi wa shahada ya nth.

Wacha tuzingatie kazi ya msingi ya msingi, ambayo inatolewa na formula , ambapo n ni nambari ya asili kubwa kuliko moja.

Mzizi wa shahada ya nth, n ni nambari sawa.

Wacha tuanze na kazi ya mzizi wa nth kwa maadili hata ya kipeo cha mzizi n.

Kwa mfano, hapa kuna picha iliyo na picha za grafu za kazi na , zinalingana na mistari nyeusi, nyekundu na bluu.

Grafu za kazi za mzizi zenye kiwango sawa zina mwonekano sawa kwa maadili mengine ya kipeo.

Sifa za kazi ya mzizi wa nth kwa hata n.

Mzizi wa nth, n ni nambari isiyo ya kawaida.

Kitendaji cha mzizi wa nth na kipeo cha mizizi isiyo ya kawaida n kinafafanuliwa kwenye seti nzima ya nambari halisi. Kwa mfano, hapa kuna grafu za kazi na , zinalingana na curves nyeusi, nyekundu na bluu.

Kwa thamani zingine zisizo za kawaida za kipeo kikuu cha mizizi, grafu za chaguo za kukokotoa zitakuwa na mwonekano sawa.

Sifa za kazi ya mzizi wa nth kwa n isiyo ya kawaida.

Kazi ya nguvu.

Utendakazi wa nguvu hutolewa na fomula ya fomu .

Wacha tuchunguze aina ya grafu za kazi ya nguvu na sifa za kazi ya nguvu kulingana na thamani ya kipeo.

Wacha tuanze na utendaji wa nguvu na kipeo kamili a. Katika kesi hii, kuonekana kwa grafu za kazi za nguvu na mali ya kazi hutegemea usawa au isiyo ya kawaida ya mtangazaji, na pia kwa ishara yake. Kwa hivyo, kwanza tutazingatia kazi za nguvu kwa maadili chanya isiyo ya kawaida ya kielezi a, kisha kwa vielelezo vyema, kisha kwa vielelezo hasi visivyo vya kawaida, na mwishowe, hata hasi a.

Sifa za kazi za nguvu zilizo na vielelezo vya sehemu na visivyo na mantiki (pamoja na aina ya grafu za kazi hizo za nguvu) hutegemea thamani ya kielelezo a. Tutazizingatia, kwanza, kwa kutoka sifuri hadi moja, pili, kwa kubwa zaidi ya moja, tatu, kwa kutoka minus moja hadi sifuri, nne, kwa chini ya minus moja.

Mwishoni mwa sehemu hii, kwa ukamilifu, tutaelezea kazi ya nguvu na kipeo cha sifuri.

Utendakazi wa nguvu na kipeo chanya isiyo ya kawaida.

Wacha tuchunguze kazi ya nguvu iliyo na kipeo chanya isiyo ya kawaida, ambayo ni, na = 1,3,5,....

Takwimu hapa chini inaonyesha grafu za kazi za nguvu - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari nyekundu, - mstari wa kijani. Kwa =1 tunayo kazi ya mstari y=x.

Sifa za kazi ya nguvu iliyo na kipeo chanya isiyo ya kawaida.

Utendakazi wa nguvu na kipeo chanya hata.

Wacha tuchunguze kazi ya nguvu iliyo na kipeo hata chanya, ambayo ni, kwa = 2,4,6, ....

Kwa mfano, tunatoa grafu za kazi za nguvu - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari mwekundu. Kwa = 2 tuna kazi ya quadratic, grafu ambayo ni parabola ya quadratic.

Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo chanya hata.

Utendakazi wa nguvu na kipeo hasi isiyo ya kawaida.

Angalia grafu za kazi ya nguvu kwa maadili hasi isiyo ya kawaida ya kielelezo, ambayo ni, kwa = -1, -3, -5, ....

Takwimu inaonyesha grafu za kazi za nguvu kama mifano - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari nyekundu, - mstari wa kijani. Kwa =-1 tunayo uwiano kinyume, ambaye ni grafu hyperbola.

Sifa za kazi ya nguvu iliyo na kipeo hasi isiyo ya kawaida.

Utendakazi wa nguvu na kipeo hata hasi.

Wacha tuendelee kwenye kitendakazi cha nguvu kwa a=-2,-4,-6,….

Takwimu inaonyesha grafu za kazi za nguvu - mstari mweusi, - mstari wa bluu, - mstari mwekundu.

Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo hata hasi.

Chaguo za kukokotoa nguvu zilizo na kipeo busara au kisicho na mantiki ambacho thamani yake ni kubwa kuliko sufuri na chini ya moja.

Makini! Ikiwa a ni sehemu chanya yenye kiashiria chanya, basi baadhi ya waandishi huchukulia kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za nguvu kuwa muda. Imebainishwa kuwa kipeo a ni sehemu isiyoweza kupunguzwa. Sasa waandishi wa vitabu vingi vya maandishi juu ya algebra na kanuni za uchambuzi HAWAFAFANUZI kazi za nguvu na kielelezo katika mfumo wa sehemu na dhehebu isiyo ya kawaida kwa maadili hasi ya hoja. Tutazingatia mwonekano huu kwa usahihi, yaani, tutazingatia seti kuwa vikoa vya ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za nguvu na vipeo vyema vya sehemu chanya. Tunapendekeza kwamba wanafunzi watafute maoni ya mwalimu wako kuhusu jambo hili fiche ili kuepuka kutokubaliana.

Hebu tuzingatie kipengele cha kukokotoa nguvu chenye kipeo busara au kisicho na mantiki a, na .

Wacha tuwasilishe grafu za vitendaji vya nguvu kwa a=11/12 (mstari mweusi), a=5/7 (mstari mwekundu), (mstari wa bluu), a=2/5 (mstari wa kijani).

Chaguo za kukokotoa nguvu zilizo na kipeo kamili cha kimantiki kisicho kamili au kisicho na mantiki zaidi ya kimoja.

Hebu tuzingatie kipengele cha kukokotoa cha nguvu chenye kipeo kamili kisicho kamili cha kimantiki au kisicho na mantiki a, na .

Wacha tuwasilishe grafu za kazi za nguvu zilizotolewa na fomula (mistari nyeusi, nyekundu, bluu na kijani kwa mtiririko huo).

Kwa maadili mengine ya kipeo a, grafu za chaguo za kukokotoa zitakuwa na mwonekano sawa.

Sifa za kipengele cha nguvu katika .

Kitendaji cha nishati kilicho na kipeo halisi ambacho ni kikubwa kuliko minus moja na chini ya sifuri.

Makini! Ikiwa a ni sehemu hasi yenye dhehebu isiyo ya kawaida, basi waandishi wengine huchukulia kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa la nguvu kuwa muda. . Imebainishwa kuwa kipeo a ni sehemu isiyoweza kupunguzwa. Sasa waandishi wa vitabu vingi vya maandishi juu ya algebra na kanuni za uchambuzi HAWAFAFANUZI kazi za nguvu na kielelezo katika mfumo wa sehemu na dhehebu isiyo ya kawaida kwa maadili hasi ya hoja. Tutazingatia kwa usahihi mtazamo huu, yaani, tutazingatia vikoa vya ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za nguvu na viambajengo hasi vya sehemu kuwa seti, mtawalia. Tunapendekeza kwamba wanafunzi watafute maoni ya mwalimu wako kuhusu jambo hili fiche ili kuepuka kutokubaliana.

Wacha tuendelee kwenye kazi ya nguvu, kgod.

Ili kuwa na wazo nzuri la aina ya grafu za kazi za nguvu kwa , tunatoa mifano ya grafu za kazi. (curves nyeusi, nyekundu, bluu na kijani, kwa mtiririko huo).

Sifa za utendaji kazi wa nguvu na kipeo a, .

Chaguo za kukokotoa nguvu zilizo na kipeo halisi kisicho kamili ambacho ni chini ya minus moja.

Wacha tutoe mifano ya grafu za kazi za nguvu kwa , zinaonyeshwa na mistari nyeusi, nyekundu, bluu na kijani, kwa mtiririko huo.

Sifa za chaguo za kukokotoa za nguvu zilizo na kipeo hasi kisicho kamili chini ya minus moja.

Wakati a = 0 na tunayo kazi - hii ni mstari wa moja kwa moja ambao uhakika (0;1) umetengwa (ilikubaliwa kutoambatanisha umuhimu wowote kwa usemi 0 0).

Utendakazi wa kielelezo.

Moja ya kazi kuu za kimsingi ni kazi ya kielelezo.

Grafu ya chaguo za kukokotoa za kipeo, ambapo na huchukua aina tofauti kulingana na thamani ya msingi a. Hebu tufikirie hili.

Kwanza, fikiria kesi wakati msingi wa kazi ya kielelezo inachukua thamani kutoka sifuri hadi moja, yaani,.

Kwa mfano, tunawasilisha grafu za kazi ya kielelezo kwa = 1/2 - mstari wa bluu, a = 5/6 - mstari mwekundu. Grafu za kipengele cha kukokotoa zina mwonekano sawa kwa thamani nyingine za msingi kutoka kwa muda.

Sifa za chaguo za kukokotoa zenye msingi chini ya moja.

Wacha tuendelee kwenye kesi wakati msingi wa kazi ya kielelezo ni kubwa kuliko moja, ambayo ni,.

Kama kielelezo, tunawasilisha grafu za kazi za kielelezo - mstari wa bluu na - mstari mwekundu. Kwa thamani zingine za besi kubwa kuliko moja, grafu za chaguo za kukokotoa zitakuwa na mwonekano sawa.

Sifa za chaguo za kukokotoa zenye msingi mkubwa zaidi ya moja.

Utendaji wa logarithmic.

Kitendakazi kinachofuata cha msingi ni kitendakazi cha logarithmic, ambapo , . Kitendaji cha logarithmic kinafafanuliwa tu kwa maadili chanya ya hoja, yaani, kwa .

Grafu ya chaguo za kukokotoa za logarithmic huchukua aina tofauti kulingana na thamani ya msingi a.

Orodha kamili ya vipengele vya msingi vya kukokotoa

Darasa la kazi za kimsingi ni pamoja na zifuatazo:

1. Utendakazi wa mara kwa mara $y=C$, ambapo $C$ ni ya kudumu. Chaguo za kukokotoa kama hizi huchukua thamani sawa $C$ kwa $x$ yoyote.
2. Utendakazi wa nguvu $y=x^(a) $, ambapo kipeo $a$ ni nambari halisi.
3. Chaguo za kukokotoa kielelezo $y=a^(x) $, ambapo msingi ni digrii $a>0$, $a\ne 1$.
4. Kitendaji cha logarithmic $y=\logi _(a) x$, ambapo msingi wa logariti ni $a>0$, $a\ne 1$.
5. Vitendaji vya trigonometric $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sekunde\,x$.
6. Vitendaji kinyume vya trigonometric $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Kazi za nguvu

Tutazingatia tabia ya chaguo za kukokotoa $y=x^(a) $ kwa matukio hayo rahisi zaidi wakati kipeo chake kinapobainisha upanuzi kamili na uchimbaji wa mizizi.

Kesi ya 1

Kipeo cha chaguo za kukokotoa $y=x^(a) $ ni nambari asilia, yaani, $y=x^(n) $, $n\katika N$.

Ikiwa $n=2\cdot k$ ni nambari sawa, basi kazi $y=x^(2\cdot k) $ ni sawa na inaongezeka kwa muda usiojulikana kana kwamba hoja $\left(x\to +\infty \ kulia). )$, na kwa upungufu wake usio na kikomo $\left(x\to -\infty \right)$. Tabia hii ya kazi inaweza kuelezewa na misemo $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ na $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, ambayo ina maana kwamba kazi katika hali zote mbili huongezeka bila kikomo ($\lim $ ni kikomo). Mfano: grafu ya chaguo za kukokotoa $y=x^(2) $.

Ikiwa $n=2\cdot k-1$ ni nambari isiyo ya kawaida, basi kazi $y=x^(2\cdot k-1) $ ni isiyo ya kawaida, huongezeka kwa muda usiojulikana hoja inapoongezeka kwa muda usiojulikana, na hupungua kwa muda usiojulikana kama hoja. hupungua kwa muda usiojulikana. Tabia hii ya kazi inaweza kuelezewa na misemo $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ na $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Mfano: grafu ya chaguo za kukokotoa $y=x^(3) $.

Kesi ya 2

Kipeo cha chaguo za kukokotoa $y=x^(a) $ ni nambari kamili hasi, yaani, $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\katika N$.

Ikiwa $n=2\cdot k$ ni nambari sawa, basi kazi $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ ni sawa na bila dalili (taratibu) inakaribia sifuri kama ilivyo kwa hoja ya ongezeko lisilo na kikomo. , na kwa kupungua kwake bila kikomo. Tabia hii ya chaguo za kukokotoa inaweza kuelezewa na usemi mmoja $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, ambayo ina maana kwamba kwa ongezeko lisilo na kikomo la hoja katika thamani kamili, kikomo cha chaguo la kukokotoa ni sifuri. Kwa kuongezea, kama hoja inaelekea sifuri upande wa kushoto $\left(x\to 0-0\right)$ na kulia $\left(x\to 0+0\right)$, kazi huongezeka bila kikomo. Kwa hivyo, misemo $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ na $\mathop(\lim)\ limits_ ni halali (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, ambayo ina maana kwamba kazi $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ katika visa vyote viwili ina kikomo kisicho na kikomo sawa na $+\infty $. Mfano: grafu ya chaguo za kukokotoa $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Ikiwa $n=2\cdot k-1$ ni nambari isiyo ya kawaida, basi kazi $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ ni isiyo ya kawaida na inakaribia sifuri bila dalili kana kwamba zote mbili ni lini. hoja inaongezeka na inapopungua bila kikomo. Tabia hii ya chaguo za kukokotoa inaweza kuelezewa kwa usemi mmoja $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Kwa kuongezea, hoja inapokaribia sifuri upande wa kushoto, kazi hupungua bila kikomo, na hoja inapokaribia sifuri upande wa kulia, kazi huongezeka bila kikomo, ambayo ni, $\mathop(\lim )\limits_(x\to). 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ na $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Mfano: grafu ya chaguo za kukokotoa $y=\frac(1)(x) $.

Kesi ya 3

Kipeo cha chaguo za kukokotoa $y=x^(a) $ ni kinyume cha nambari asilia, yaani, $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\katika N$.

Ikiwa $n=2\cdot k$ ni nambari sawa, basi kazi $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ inathamani mbili na inafafanuliwa kwa $x\ge 0 pekee. $. Kwa ongezeko lisilo na kikomo la hoja, thamani ya chaguo la kukokotoa $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ inaongezeka bila kikomo, na thamani ya kazi $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ hupungua bila kikomo , yaani, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \kulia )=+\infty $ na $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \kulia)=-\infty $. Mfano: grafu ya chaguo za kukokotoa $y=\pm \sqrt(x) $.

Ikiwa $n=2\cdot k-1$ ni nambari isiyo ya kawaida, basi kazi $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ ni isiyo ya kawaida, huongezeka bila kikomo na ongezeko lisilo na kikomo la hoja. na hupungua bila kikomo wakati bila kikomo, hupungua, yaani, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ na $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Mfano: grafu ya chaguo za kukokotoa $y=\sqrt[(3)](x) $.

Vitendaji vya kielelezo na logarithmic

Vitendaji vya kielelezo vya $y=a^(x) $ na logarithmic $y=\log _(a) x$ ni kinyume. Grafu zao ni za ulinganifu kwa heshima na bisector ya kawaida ya pembe ya kwanza na ya tatu ya kuratibu.

Kadiri hoja $\left(x\to +\infty \right)$ inavyoongezeka kwa muda usiojulikana, kazi ya kielelezo au $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ huongezeka kwa muda usiojulikana , ikiwa $a>1$, au bila dalili inakaribia sifuri $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, ikiwa $a1$, au $\mathop huongezeka bila kikomo (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, ikiwa $a

Thamani ya sifa ya chaguo za kukokotoa $y=a^(x) $ ni thamani $x=0$. Katika hali hii, vitendaji vyote vya kielelezo, bila kujali $a$, lazima vikatize mhimili wa $Oy$ kwa $y=1$. Mifano: grafu za chaguo za kukokotoa $y=2^(x) $ na $y = \kushoto (\frac(1)(2) \kulia)^(x) $.

Kazi ya logarithmic $y=\log _(a) x$ imefafanuliwa kwa $x > 0$ pekee.

Kadiri hoja $\left(x\to +\infty \right)$ inavyoongezeka kwa muda usiojulikana, kazi ya logarithmic au $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ huongezeka kwa muda usiojulikana infty $, ikiwa $a>1$, au itapungua bila kikomo $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, ikiwa $a1 $, au bila kikomo $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \logi _(a) x=+\infty $ huongezeka ikiwa $a

Thamani ya sifa ya chaguo za kukokotoa $y=\log _(a) x$ ni thamani $y=0$. Katika hali hii, vitendaji vyote vya logarithmic, bila kujali $a$, lazima vikatize mhimili wa $Ox$ kwa $x=1$. Mifano: grafu za kazi $y=\logi _(2) x$ na $y=\logi _(1/2) x$.

Baadhi ya vitendaji vya logarithmic vina nukuu maalum. Hasa, ikiwa msingi wa logariti ni $a=10$, basi logariti kama hiyo inaitwa decimal, na chaguo la kukokotoa linalolingana limeandikwa kama $y=\lg x$. Na ikiwa nambari isiyo na mantiki $e=2.7182818\ldot $ imechaguliwa kama msingi wa logariti, basi logariti kama hiyo inaitwa asili, na chaguo la kukokotoa linalolingana limeandikwa kama $y=\ln x$. Kinyume chake ni chaguo la kukokotoa $y=e^(x) $, linaloitwa kipeo.

Sehemu hiyo ina nyenzo za kumbukumbu juu ya kazi kuu za msingi na mali zao. Uainishaji wa kazi za msingi hutolewa. Chini ni viungo vya vifungu vinavyojadili sifa za kazi maalum - grafu, fomula, derivatives, antiderivatives (muunganisho), upanuzi wa mfululizo, misemo kupitia vigezo changamano.

Kurasa za marejeleo kwa vipengele vya msingi

Uainishaji wa kazi za msingi

Utendaji wa algebra ni chaguo la kukokotoa ambalo linakidhi mlinganyo:
,
iko wapi polynomia katika kigezo tegemezi y na kigezo huru x.
,
Inaweza kuandikwa kama:

polynomials ziko wapi.

Kazi za aljebra zimegawanywa katika polynomials (kazi zote za busara), kazi za busara na kazi zisizo na maana. Utendaji kamili wa busara , ambayo pia inaitwa polynomial au polynomial
.

, hupatikana kutoka kwa mabadiliko ya x na idadi ya mwisho ya nambari kwa kutumia shughuli za hesabu za kuongeza (kutoa) na kuzidisha. Baada ya kufungua mabano, polynomial hupunguzwa hadi fomu ya kisheria: Utendaji wa busara wa sehemu , au tu kazi ya busara
,
, hupatikana kutoka kwa variable x na idadi ya mwisho ya nambari kwa kutumia shughuli za hesabu za kuongeza (kutoa), kuzidisha na kugawanya. Kazi ya busara inaweza kupunguzwa kwa fomu

wapi na ni polynomials. Utendaji usio na mantiki
.
ni kazi ya aljebra ambayo si ya kimantiki. Kama sheria, kazi isiyo na maana inaeleweka kama mizizi na nyimbo zao na kazi za busara. Mzizi wa shahada n hufafanuliwa kama suluhu la mlinganyo
.

Imeteuliwa kama ifuatavyo: Kazi za kupita maumbile

huitwa kazi zisizo za algebra. Hizi ni kielelezo, trigonometric, hyperbolic na kazi zao kinyume.

Muhtasari wa kazi za kimsingi za kimsingi
Kazi zote za kimsingi zinaweza kuwakilishwa kama idadi maalum ya shughuli za kuongeza, kutoa, kuzidisha na mgawanyiko unaofanywa kwa usemi wa fomu:
z t.

Vitendaji kinyume vinaweza pia kuonyeshwa kulingana na logariti. Kazi za kimsingi za kimsingi zimeorodheshwa hapa chini.
Utendaji wa nguvu:
y(x) = x p ,
ambapo p ni kielelezo. Inategemea msingi wa shahada x.
.
Kinyume cha kazi ya nguvu pia ni kazi ya nguvu:

Kwa thamani kamili isiyo hasi ya kipeo p, ni nambari nyingi. Kwa thamani kamili p - kazi ya busara. Kwa maana ya busara - kazi isiyo na maana.

Kazi za kupita maumbile
Utendakazi wa kielelezo:
y(x) = a x ,
ambapo a ni msingi wa shahada. Inategemea kipeo x.
Chaguo za kukokotoa kinyume ni logariti ya msingi wa: x =.

Kielelezo, e kwa nguvu ya x:
y(x) = e x ,
Hili ni chaguo la kukokotoa la kielelezo ambalo deivati ​​yake ni sawa na chaguo za kukokotoa zenyewe:
.
Msingi wa kipeo ni nambari e:
≈ 2,718281828459045... .
Chaguo za kukokotoa kinyume - logariti asilia - logariti hadi msingi e:
Chaguo za kukokotoa kinyume ni logariti ya msingi wa: ln y ≡ logi e y.

Vipengele vya Trigonometric:
Sine:;
Cosine:;
Tanji:;
Cotangent:;
Hapa ni kitengo cha kufikiria, i 2 = -1.

Utendakazi kinyume cha trigonometric:
Arcsine: x = arcsin y, ;
Arc cosine: x = arccos y, ;
Arctangent: x = arctan y, ;
Tanjiti ya safu: x = arcctg y, .

Kazi za msingi za msingi ni: kazi ya mara kwa mara (mara kwa mara), mizizi n-th degree, utendakazi wa nguvu, utendakazi wa kipeo, utendakazi wa logarithmic, utendakazi wa trigonometric na kinyume cha trigonometric.

Utendaji wa kudumu.

Kazi ya mara kwa mara inatolewa kwenye seti ya nambari zote halisi kwa formula , wapi C- nambari fulani halisi. Chaguo za kukokotoa zisizobadilika huhusisha kila thamani halisi ya kigezo huru x thamani sawa ya tofauti tegemezi y- maana NA. Kazi ya mara kwa mara pia inaitwa mara kwa mara.

Grafu ya utendakazi wa mara kwa mara ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa x na kupita kwa uhakika na kuratibu. (0,C). Kwa mfano, hebu tuonyeshe grafu za kazi za mara kwa mara y=5,y=-2 na , ambayo katika takwimu hapa chini inafanana na mistari nyeusi, nyekundu na bluu, kwa mtiririko huo.

Mali ya kazi ya mara kwa mara.

Kikoa: seti nzima ya nambari halisi.

Kazi ya mara kwa mara ni sawa.

Msururu wa thamani: seti inayojumuisha nambari ya umoja NA.

Kazi ya mara kwa mara haizidi na haipunguzi (ndiyo sababu ni mara kwa mara).

Haina maana kuzungumza juu ya convexity na concavity ya mara kwa mara.

Hakuna asymptotes.

Kazi hupita kwa uhakika (0,C) kuratibu ndege.

Mzizi wa shahada ya nth.

Hebu fikiria kazi ya msingi ya msingi, ambayo inatolewa na formula, wapi n- nambari asilia kubwa kuliko moja.

Mzizi wa nth, n ni nambari sawa.

Wacha tuanze na kazi ya mizizi n- nguvu ya hata maadili ya kipeo cha mizizi n.

Kwa mfano, hapa kuna picha iliyo na picha za grafu za kazi na , zinalingana na mistari nyeusi, nyekundu na bluu.

Grafu za vitendaji vya mzizi wa kiwango sawa vina mwonekano sawa kwa maadili mengine ya kipeo.

Tabia za kazi ya mizizin -th nguvu kwa hatan .

Mzizi wa nth, n ni nambari isiyo ya kawaida.

Kazi ya mizizi n-th power yenye kipeo cha mizizi isiyo ya kawaida n inafafanuliwa kwenye seti nzima ya nambari halisi. Kwa mfano, hapa kuna grafu za kazi na , zinalingana na curves nyeusi, nyekundu na bluu.