Makala hii inaendelea suala la usawa wa moja kwa moja kwenye ndege: Fikiria aina hiyo ya equation kama equation ya jumla ni sawa. Tunaomba theorem na kutoa ushahidi wake; Tutaona kwamba equation ya jumla isiyokwisha ni sawa na jinsi ya kufanya mabadiliko kutoka kwa usawa wa jumla na aina nyingine za equations moja kwa moja. Nadharia yote itaimarishwa na vielelezo na kutatua kazi za vitendo.

Yandex.RTB R-A-339285-1.

Tuseme kwenye ndege, mfumo wa kuratibu mstatili o x y hutolewa.

Theorem 1.

Equation yoyote ya shahada ya kwanza yenye ax ya kuangalia + na + c \u003d 0, ambapo A, B, C - baadhi ya namba halali (A na B si sawa kwa wakati huo huo sifuri) hufafanua mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ndege. Kwa upande mwingine, moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu mstatili kwenye ndege imedhamiriwa na usawa una mtazamo wa x + b y + c \u003d 0 na seti ya maadili A, B, C.

Ushahidi

theorem maalum ina pointi mbili, tutahakikisha kila mmoja wao.

1. Tunathibitisha kwamba equation a x + b y + c \u003d 0 huamua ndege ya moja kwa moja.

Tuseme kwamba kuna hatua fulani m 0 (x 0, y 0), kuratibu ambazo zinahusiana na equation a x + b y + c \u003d 0. Hivyo: x 0 + b y 0 + c \u003d 0. Mchanganyiko kutoka sehemu za kushoto na za kulia za equations ax + na + c \u003d 0 sehemu ya kushoto na ya kulia ya equation X 0 + na 0 + c \u003d 0, tunapata equation mpya kuwa na fomu A (X - X 0 ) + b (y - y 0) \u003d 0. Ni sawa na x + b y + c \u003d 0.

Equation a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ni hali muhimu na ya kutosha kwa perpendicularity ya vectors n → \u003d (A, B) na m 0 m → \u003d (X - X 0 , Y - Y 0). Kwa hiyo, seti ya pointi m (x, y) hufafanua mfumo wa kuratibu mstatili mstari wa moja kwa moja, perpendicular kwa mwelekeo wa vector n → \u003d (A, B). Tunaweza kudhani kwamba hii sio kesi, lakini basi vectors n → \u003d (A, B) na m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) haitakuwa perpendicular, na usawa A (X - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 Haikuwa kweli.

Kwa hiyo, equation a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 hufafanua moja kwa moja kwenye mfumo wa kuratibu mstatili kwenye ndege, na kwa hiyo usawa sawa na x + na + C \u003d 0 huamua moja kwa moja . Kwa hiyo tulionyesha sehemu ya kwanza ya Theorem.

1. Tunatoa ushahidi kwamba moja kwa moja ya kuratibu moja kwa moja katika mfumo wa mstatili inaweza kuweka kwa kiwango cha kwanza cha equation x + b y + c \u003d 0.

Kuweka katika mfumo wa kuratibu mstatili kwenye ndege moja kwa moja; Point m 0 (x 0, y 0), kwa njia ambayo mstari huu wa moja kwa moja hupita, pamoja na vector ya kawaida ya N → \u003d (A, B).

Tuseme pia kuna hatua ya m (x, y) - hatua inayozunguka ni sawa. Katika kesi hii, vectors n → \u003d (A, B) na m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) ni perpendicular kwa kila mmoja, na bidhaa zao za scalar ni sifuri:

n →, m 0 m → \u003d a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0

Ninaandika upya equation A X + B Y - A X 0 - B Y 0 \u003d 0, tunafafanua C: C \u003d - X 0 - B Y 0 na katika matokeo ya mwisho tunapata equation A X + B Y + C \u003d 0.

Kwa hiyo, tumeonyesha kuthibitishwa na sehemu ya pili ya Theorem, na kuthibitisha wote theorems kwa ujumla.

Ufafanuzi 1.

Equation. X + b y + c \u003d 0. - hii ni equation General Direct. Juu ya ndege katika mfumo wa kuratibu mstatili O x y.

Kutegemea juu ya theorem kuthibitishwa, tunaweza kuhitimisha kwamba mstari wa moja kwa moja na equation yake ya jumla iliyowekwa kwenye ndege katika mfumo wa kuratibu mstatili wa rectangular hauhusishwa. Kwa maneno mengine, mstari wa awali unafanana na equation yake ya jumla; Mstari wa jumla wa equation inafanana na moja kwa moja.

Kutoka kwa ushahidi wa theorem pia hufuata kwamba coefficients A na B na vigezo X na Y ni kuratibu ya mstari wa kawaida wa vector, ambayo imewekwa na equation ya jumla ya moja kwa moja A X + B + C \u003d 0.

Fikiria mfano maalum wa usawa wa mstari wa jumla.

Hebu equation 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, ambayo inafanana na mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu mstatili. Vector ya kawaida hii moja kwa moja - hii ni vector. N → \u003d (2, 3). Picha ya mstari wa moja kwa moja katika kuchora.

Zifuatazo pia zinaweza kuzingatiwa: moja kwa moja, ambayo tunaona katika kuchora imedhamiriwa na usawa wa jumla 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, tangu kuratibu ya pointi zote za moja kwa moja zinahusiana na usawa huu.

Tunaweza kupata equation λ · λ λ y + λ · c \u003d 0, kuzidisha sehemu zote za usawa wa jumla kwa idadi λ, si sawa na sifuri. Equation inayotokana ni sawa na equation ya awali ya jumla, kwa hiyo, itaelezea moja kwa moja kwenye ndege.

Equation kamili ya jumla ya moja kwa moja. - Equation kama hiyo ni sawa na x + b y + c \u003d 0, ambayo namba A, B, na tofauti na sifuri. Vinginevyo, equation ni haijakamilika.

Tutachambua tofauti zote za usawa wa mstari wa jumla.

1. Wakati \u003d 0, katika ≠ 0, c ≠ 0, equation ya jumla inachukua fomu b y + c \u003d 0. Usawa wa jumla usiokwisha kukamilika katika mfumo wa kuratibu mstatili O x y moja kwa moja, ambayo ni sawa na mhimili wa ng'ombe, kwa kuwa kwa thamani yoyote ya thamani X, variable Y itachukua thamani - C b. Kwa maneno mengine, equation ya jumla ni moja kwa moja ya x + b y + c \u003d 0, wakati \u003d \u003d 0, katika ≠ 0, huweka eneo la kijiometri la pointi (x, y), kuratibu ambazo ni sawa na idadi sawa - C b.
2. Ikiwa \u003d 0, katika ≠ 0, c \u003d 0, equation ya jumla inachukua fomu y \u003d 0. Equation isiyokwisha kukamilika huamua absis absissa o x.
3. Wakati ≠ 0, b \u003d 0, c ≠ 0, tunapata equation ya jumla ya x + c \u003d 0, ikifafanua moja kwa moja, sambamba ya mhimili.
4. Hebu ≠ 0, b \u003d 0, c \u003d 0, basi equation ya jumla isiyokwisha itachukua fomu X \u003d 0, na hii ni equation ya kuratibu moja kwa moja o y.
5. Hatimaye, katika ≠ 0, katika ≠ 0, c \u003d 0, equation ya jumla ya kukamilika inachukua fomu ya x + b y \u003d 0. Na equation hii inaelezea mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia asili ya kuratibu. Kwa kweli, idadi ya namba (0, 0) inafanana na usawa wa x + b y \u003d 0, tangu · 0 + B · 0 \u003d 0.

Tunaonyesha graphically aina zote za juu za usawa wa kawaida wa mstari.

Mfano 1.

Inajulikana kuwa mstari wa moja kwa moja unaofanana na mhimili wa amri na hupita kupitia hatua ya 2 7, - 11. Ni muhimu kurekodi usawa wa jumla wa moja kwa moja.

Uamuzi

Mhimili sawa, sambamba ya amri hutolewa na equation ya fomu ya X + C \u003d 0, ambayo ≠ 0. Pia, hali hiyo inatolewa na kuratibu za hatua ambayo kwa moja kwa moja, na kuratibu za hatua hii zinahusiana na masharti ya usawa wa jumla wa X + C \u003d 0, i.e. Usawa wa haki:

A · 2 7 + c \u003d 0.

Inawezekana kufafanua C ikiwa inatoa thamani isiyo ya sifuri, kwa mfano, A \u003d 7. Katika kesi hiyo, tunapata: 7 · 2 7 + c \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Tunajua coefficients wote A na C, sisi kuchukua nafasi yao katika equation a x + c \u003d 0 na sisi kupata equation required moja kwa moja: 7 x - 2 \u003d 0

Jibu: 7 x - 2 \u003d 0.

Mfano 2.

Kuchora inaonyesha mstari wa moja kwa moja, ni muhimu kurekodi equation yake.

Uamuzi

Kuchora hapo juu inaruhusu sisi kwa urahisi kuchukua data ya chanzo ili kutatua tatizo. Tunaona katika kuchora kuwa mhimili maalum wa sambamba o x na hupita kupitia hatua (0, 3).

Moja kwa moja, ambayo ni sawa na macho ya abscissa, huamua equation ya jumla ya usawa b y + c \u003d 0. Pata maadili b na C. Kuratibu ya uhakika (0, 3), kwani inapita mstari wa moja kwa moja kwa njia hiyo, watatosheleza usawa wa moja kwa moja b y + c \u003d 0, basi usawa ni usawa: katika · 3 + c \u003d 0. Taja kwa thamani fulani isipokuwa sifuri. Tuseme, katika \u003d 1, katika kesi hii, kutoka kwa usawa katika · 3 + c \u003d 0 tunaweza kupata C: C \u003d - 3. Tumia maadili inayojulikana na C, tunapata usawa wa moja kwa moja: Y - 3 \u003d 0.

Jibu: Y - 3 \u003d 0.

Jumla ya equation moja kwa moja kupita kupitia hatua maalum ya ndege

Hebu moja kwa moja ya moja kwa moja kupitia hatua m 0 (x 0, y 0), kisha kuratibu zake zinahusiana na usawa wa jumla kwa mstari, i.e. Usawa wa haki: x 0 + b y 0 + c \u003d 0. Tunachukua sehemu za kushoto na za kulia za usawa huu kutoka upande wa kushoto na wa kulia wa usawa kamili wa usawa. Tunapata: A (x - x 0) + b (y - y 0) + c \u003d 0, equation hii ni sawa na jumla ya kwanza, hupita kupitia hatua m 0 (x 0, y 0) na ina vector ya kawaida N → \u003d (A, B).

Matokeo ambayo tulipata inawezekana kurekodi equation ya jumla ya moja kwa moja na kuratibu inayojulikana ya vector ya kawaida ya moja kwa moja na kuratibu ya hatua fulani ya moja kwa moja.

Mfano 3.

Uhakika m 0 (- 3, 4), kwa njia ambayo mstari wa moja kwa moja hupita, na vector ya kawaida ya moja kwa moja N → \u003d (1, - 2). Ni muhimu kurekodi equation iliyotolewa moja kwa moja.

Uamuzi

Hali ya awali inaruhusu sisi kupata data muhimu kwa ajili ya maandalizi ya equation: A \u003d 1, B \u003d - 2, X 0 \u003d - 3, Y 0 \u003d 4. Kisha:

(X - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 · (X - (- 3)) - 2 · y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Kazi inaweza kutatuliwa vinginevyo. Equation ya jumla ya moja kwa moja ina fomu ya x + b y + c \u003d 0. Vector maalum ya kawaida inakuwezesha kupata maadili ya coefficients A na B, basi:

X + b y + c \u003d 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + c \u003d 0 ⇔ x - 2 · y + c \u003d 0

Sasa tutapata thamani C, kwa kutumia hali maalum ya kazi, hatua m 0 (- 3, 4) kwa njia ambayo ni ya moja kwa moja. Uratibu wa hatua hii yanahusiana na equation X - 2 · y + c \u003d 0, i.e. - 3 - 2 · 4 + c \u003d 0. Hivyo C \u003d 11. Equation required moja kwa moja inachukua fomu: X - 2 · y + 11 \u003d 0.

Jibu: X - 2 · y + 11 \u003d 0.

Mfano 4.

Ya moja kwa moja 2 X - Y hutolewa - 1 2 \u003d 0 na hatua m 0, amelala kwenye mstari huu wa moja kwa moja. Absissa tu ya hatua hii inajulikana, na ni sawa na 3. Ni muhimu kufafanua utaratibu wa hatua maalum.

Uamuzi

Taja jina la kuratibu za uhakika m 0 kama x 0 na y 0. Katika data ya chanzo inaonyeshwa kuwa x 0 \u003d - 3. Kwa kuwa hatua hiyo ni ya moja kwa moja, ambayo inamaanisha kuratibu zake hukutana na usawa wa jumla wa mstari huu. Kisha usawa utakuwa wa kweli:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Kuamua y 0: 2 3 · (- 3) - Y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Jibu: - 5 2

Mpito kutoka kwa usawa wa jumla ni moja kwa moja kwa aina nyingine za equations moja kwa moja na nyuma

Kama tunavyojua, kuna aina kadhaa za usawa sawa na moja kwa moja kwenye ndege. Uchaguzi wa mtazamo wa equation inategemea hali ya tatizo; Inawezekana kuchagua moja ambayo ni rahisi zaidi ya kutatua. Hapa ni muhimu sana kubadili usawa wa aina moja kwa equation ya aina nyingine.

Kuanza na, tunazingatia mabadiliko kutoka kwa usawa wa jumla wa fomu x + b y + c \u003d 0 kwa usawa wa canonical X - x 1 x \u003d y - y 1 y.

Ikiwa na ≠ 0, basi tunahamisha neno b kwa sehemu ya mkono wa kulia wa usawa wa jumla. Katika sehemu ya kushoto tunavumilia mabaki. Matokeo yake, tunapata: x + c \u003d - b y.

Usawa huu unaweza kuandikwa kama uwiano: x + c - b \u003d y a.

Katika kesi kama katika ≠ 0, tunaondoka sehemu ya kushoto ya equation tu neno A X, nyingine ni kuhamishiwa upande wa kulia, tunapata: X \u003d - B Y - c. Tunavumilia - katika mabano, basi: x \u003d - b y + c b.

Tunaandika upya usawa kwa namna ya uwiano: x - b \u003d y + c b a.

Bila shaka, kukariri kanuni zinazosababisha sio lazima. Ni ya kutosha kujua vitendo vya algorithm katika mpito kutoka kwa usawa wa jumla kwa canonical.

Mfano wa 5.

Equation ya jumla imewekwa kwa 3 Y - 4 \u003d 0. Ni muhimu kubadili kwa usawa wa canonical.

Uamuzi

Tunaandika equation ya awali kama 3 Y - 4 \u003d 0. Kisha, tunafanya kulingana na algorithm: neno 0 x linabaki katika sehemu ya kushoto; Na katika sehemu ya haki, tunavumilia - 3 kwa mabaki; Tunapata: 0 x \u003d - 3 Y - 4 3.

Tunaandika usawa uliopatikana kama uwiano: X - 3 \u003d Y - 4 3 0. Kwa hiyo, tulipata usawa wa aina za canonical.

Jibu: X - 3 \u003d Y - 4 3 0.

Ili kubadilisha equation ya jumla kwa parametric, kwanza kufanya mabadiliko kwa fomu ya canonical, na kisha mpito kutoka equation canonical ni moja kwa moja kwa usawa wa parametric.

Mfano 6.

Direct imewekwa na equation 2 X - 5 Y - 1 \u003d 0. Rekodi usawa wa parametric wa mstari huu wa moja kwa moja.

Uamuzi

Tunafanya mabadiliko kutoka kwa usawa wa jumla kwa canonical:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Sasa tutachukua sehemu zote mbili za equation ya canonical iliyopatikana sawa na λ, basi:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 λ λ, λ ∈ r

Jibu: x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ r

Equation ya jumla inaweza kubadilishwa kwa usawa wa mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular y \u003d k · x + b, lakini tu wakati wa ≠ 0. Kwa mpito kwa sehemu ya kushoto, tunaondoka neno b y, iliyobaki inahamishwa kwa haki. Tunapata: b y \u003d - X-c. Tuligawa sehemu zote za usawa zilizopatikana kwenye B, tofauti na sifuri: y \u003d - b x - c b.

Mfano wa 7.

Equation ya jumla imewekwa: 2 x + 7 y \u003d 0. Ni muhimu kubadili usawa kwa usawa na mgawo wa angular.

Uamuzi

Tutazalisha vitendo muhimu kwenye algorithm:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Jibu: Y \u003d - 2 7 x.

Kutoka kwa usawa wa jumla, moja kwa moja ni ya kutosha tu kupata equation katika makundi ya fomu x A + Y B \u003d 1. Ili kutekeleza mabadiliko hayo, tunahamisha namba c ndani ya sehemu ya mkono wa usawa, tunagawanya sehemu zote mbili za usawa uliopatikana - C na, hatimaye, tunahamisha coefficients na vigezo x na y:

X + b y + c \u003d 0 ⇔ x + b y \u003d - c ⇔ ⇔ a - c x + b - c y \u003d 1 ⇔ X - C A + Y - C B \u003d 1

Mfano 8.

Ni muhimu kubadilisha equation ya jumla ya moja kwa moja X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 kwa usawa wa moja kwa moja katika makundi.

Uamuzi

Tunahamisha 1 2 upande wa kulia: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ X - 7 y \u003d - 1 2.

Tunagawanya -1/2 sehemu zote za usawa: X - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Jibu: X - 1 2 + Y 1 14 \u003d 1.

Kwa ujumla, mabadiliko ya kurudi pia iko: kutoka kwa aina nyingine za equation kwa moja ya jumla.

Equation ni moja kwa moja katika makundi na usawa na mgawo wa angular kuwa rahisi kubadilishwa kwa ujumla, tu kwa kukusanya masharti yote katika sehemu ya kushoto ya usawa:

x A + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ x + b y + c \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ x + b y + c \u003d 0

Equation ya canonical inabadilishwa kwa jumla ya mpango wafuatayo:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay · (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ ⇔ axy - axy - Ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ x + b y + c \u003d 0.

Kuhamia kutoka kwa parametric, mpito kwa canonical, na kisha kwa jumla:

x \u003d x 1 + x · λ y \u003d y 1 + · λ λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 y ⇔ a x + b y + c \u003d 0

Mfano 9.

Mipangilio ya parametric imewekwa kwa moja kwa moja X \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4. Ni muhimu kurekodi usawa wa jumla wa moja kwa moja.

Uamuzi

Tunafanya mabadiliko kutoka kwa usawa wa parametric kwa canonical:

x \u003d - 1 + 2 · λ λ x \u003d - 1 + 2 · λ λ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Hebu tuende kutoka kwa Canonical hadi Jumla:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Jibu: Y - 4 \u003d 0.

Mfano wa 10.

Equation imewekwa kwenye mstari katika makundi x 3 + y 1 2 \u003d 1. Ni muhimu kutekeleza mabadiliko kwa aina ya equation.

Uamuzi:

Tu kuandika upya equation katika fomu required:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Jibu: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Kuchora usawa wa moja kwa moja wa moja kwa moja.

Juu, tulizungumzia juu ya ukweli kwamba equation ya jumla inaweza kuandikwa kwa kuratibu inayojulikana ya vector ya kawaida na kuratibu ya uhakika kwa njia ambayo mstari wa moja kwa moja hupita. Moja kwa moja ni kuamua na equation A (X - X 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0. Sisi pia tulivunja mfano sahihi.

Sasa fikiria mifano ngumu zaidi ambayo kwa kuanza ni muhimu kuamua kuratibu za vector ya kawaida.

Mfano 11.

Mstari wa moja kwa moja, sambamba moja kwa moja 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Hatua m 0 (4, 1) pia inajulikana, kwa njia ambayo mstari maalum wa moja kwa moja hupita. Ni muhimu kurekodi equation iliyotolewa moja kwa moja.

Uamuzi

Masharti ya kuanzia yanatuambia kuwa sawa sawa, wakati vector ya kawaida ni sawa, equation ambayo inahitajika kuandika, kuchukua mwongozo vector moja kwa moja N → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 . Sasa tunajua data zote zinazohitajika ili kuteka usawa wa mstari wa kawaida:

A (X - X 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Jibu: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

Mfano 12.

Hatua maalum ya moja kwa moja kupitia asili ya kuratibu perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja X - 2 3 \u003d y + 4 5. Ni muhimu kufanya equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja.

Uamuzi

Vector ya kawaida ya moja kwa moja itakuwa vector moja kwa moja moja kwa moja X - 2 3 \u003d y + 4 5.

Kisha n → \u003d (3, 5). Hatua ya moja kwa moja kupitia asili ya kuratibu, i.e. kwa njia ya O (0, 0). Hebu tufanye usawa wa jumla unaotolewa moja kwa moja:

(X - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Jibu: 3 x + 5 y \u003d 0.

Ikiwa unaona kosa katika maandiko, tafadhali chagua na bonyeza Ctrl + Ingiza

Moja kwa moja, kupitia hatua K (x 0; y 0) na sawa sawa na y \u003d KX + A iko kulingana na formula:

y - Y 0 \u003d K (X - X 0) (1)

Ambapo k ni mgawo wa angular wa moja kwa moja.

Fomu ya Mbadala:
Moja kwa moja, kupitia hatua ya m 1 (x 1; y 1) na sambamba moja kwa moja + na + C \u003d 0 inawakilishwa na equation

A (X - X 1) + B (Y-Y 1) \u003d 0. (2)

Mfano namba 2. Andika equation ya mstari wa moja kwa moja, sambamba moja kwa moja 2x + 5Y \u003d 0 na kutengeneza pembetatu kuratibu pamoja na kuratibu axes, eneo ambalo ni 5.
Uamuzi . Kwa kuwa sawa sawa, equation ni moja kwa moja 2x + 5Y + c \u003d 0. Eneo la pembetatu ya mstatili, ambapo na b ya kartets zake. Pata pointi ya makutano ya moja kwa moja na axes ya kuratibu:
;
.
Hivyo, A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Badala ya formula ya mraba: . Tunapata ufumbuzi mbili: 2x + 5y + 10 \u003d 0 na 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Mfano namba 3. Fanya usawa wa mstari wa moja kwa moja unapitia hatua (-2; 5) na sambamba moja kwa moja 5x-7y-4 \u003d 0.
Uamuzi. Hii moja kwa moja inaweza kusimamishwa na y \u003d 5/7 x - 4/7 equation (hapa \u003d \u003d 5/7). Equation ya moja kwa moja ni - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), i.e. 7 (Y-5) \u003d 5 (x + 2) au 5x-7y + 45 \u003d 0.

Mfano namba 4. Kuamua mfano 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) na Mfumo (2), tunapata 5 (x + 2) -7 (Y-5) \u003d 0.

Mfano namba 5. Fanya usawa wa moja kwa moja kupitia hatua (-2; 5) na sambamba moja kwa moja 7x + 10 \u003d 0.
Uamuzi. Hapa \u003d \u003d 7, b \u003d 0. Mfumo (2) hutoa 7 (x + 2) \u003d 0, i.e. x + 2 \u003d 0. Fomu (1) haitumiki, kwa kuwa usawa huu hauwezi kutatuliwa kuhusiana na y (sambamba hii sawa na mhimili wa amri).

Somo kutoka kwa mfululizo wa "algorithms" ya kijiometri

Sawa, msomaji mpendwa!

Leo tutaanza kujifunza algorithms zinazohusiana na jiometri. Ukweli ni kwamba kazi za Olimpiki za sayansi ya kompyuta zinazohusishwa na jiometri ya kompyuta, mengi sana na suluhisho la kazi hizo mara nyingi husababisha matatizo.

Kwa masomo kadhaa, tunazingatia idadi ya subtasks ya msingi, ambayo inategemea suluhisho la matatizo mengi ya cometry ya kompyuta.

Katika somo hili, tutafanya programu equation Layout ni moja kwa moja.kupita kupitia maalum. pole mbili.. Ili kutatua kazi za kijiometri, tutahitaji ujuzi wa jiometri ya computational. Sehemu ya somo tutajitolea kukutana nao.

Habari kutoka kwa jiometri ya kompyuta.

Jiometri ya Computational ni sehemu ya sayansi ya kompyuta ambayo inachunguza algorithms kwa kutatua kazi za kijiometri.

Takwimu za chanzo kwa kazi hizo zinaweza kuwa aina mbalimbali za ndege, seti ya makundi, polygon (maalum kwa mfano, orodha ya verties yake kwa utaratibu wa mwendo wa saa), nk.

Matokeo yake inaweza kuwa jibu kwa swali fulani (kama vile hatua ni sehemu ya sehemu, ikiwa makundi mawili yanaingiliana, ...), au kitu fulani cha kijiometri (kwa mfano, polygon ndogo ndogo ya kuunganisha pointi maalum, polygon eneo, nk).

Tutazingatia kazi za jiometri ya computational tu kwenye ndege na tu katika mfumo wa kuratibu ya cartesian.

Vectors na kuratibu.

Ili kutumia njia za jiometri ya kompyuta, ni muhimu kutafsiri picha za kijiometri kwa idadi. Tunadhani kwamba mfumo wa kuratibu wa Decardian hutolewa kwenye ndege, ambayo mwelekeo wa mzunguko wa mzunguko unaitwa chanya.

Sasa vitu vya kijiometri hupokea kujieleza kwa uchambuzi. Kwa hiyo, kuweka uhakika, ni ya kutosha kutaja kuratibu zake: idadi kadhaa (x; y). Sehemu inaweza kuelezwa kwa kubainisha uratibu wa mwisho wake, unaweza kutaja kuratibu moja kwa moja ya jozi ya pointi zake.

Lakini chombo kuu wakati wa kutatua kazi tutakuwa na vectors. Napenda kukukumbusha habari fulani juu yao.

Sehemu Au.Nani ana uhakika Lakini kuchukuliwa mwanzo (hatua ya maombi), na hatua In. - mwisho, inayoitwa vector. Au. na kuashiria ama au barua ya chini ya mafuta, kwa mfano lakini .

Ili kuteua urefu wa vector (yaani, urefu wa sehemu inayofanana) utatumia ishara ya moduli (kwa mfano,).

Vector ya kiholela itakuwa na kuratibu sawa na tofauti katika kuratibu sambamba ya mwisho wake na kuanza:

,

eleza hapa A. Na B. uwe na kuratibu. kwa mtiririko huo.

Kwa ajili ya kompyuta, tutatumia dhana. angle iliyoelekezwa, yaani, angle ambayo inachukua kuzingatia jamaa ya vectors.

Angle iliyoelekezwa kati ya vectors. a. Na b. Chanya, kama mzunguko kutoka vector. a. Kwa vector. b. Alifanya katika mwelekeo mzuri (counterclockwise) na hasi - katika kesi nyingine. Angalia Kielelezo 1A, Kielelezo 1b. Pia wanasema kuwa jozi ya vectors. a. Na b. vyema (vibaya) oriented.

Kwa hiyo, ukubwa wa angle iliyoelekezwa inategemea utaratibu wa maambukizi ya vectors na inaweza kuchukua maadili kwa muda.

Kazi nyingi za jiometri ya computational hutumia dhana ya vector (oblique au pseudoscale) kazi ya vectors.

Bidhaa ya vector ya vectors A na B itaita bidhaa ya urefu wa vectors hizi kwenye kona ya sine kati yao:

.

Mchoro wa vector wa vectors katika kuratibu:

Maneno ya kulia ni amri ya pili ya kuamua:

Tofauti na ufafanuzi, ambayo hutolewa katika jiometri ya uchambuzi, hii ni scalar.

Ishara ya bidhaa ya vector huamua nafasi ya vectors kuhusiana na kila mmoja:

a. Na b. vyema vyema.

Ikiwa wingi, basi jozi ya vectors. a. Na b. inaelekezwa vibaya.

Bidhaa ya vector ya vectors ya nonzero ni sifuri ikiwa na tu ikiwa ni collinear ( ). Hii ina maana kwamba wanalala kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja au kwenye mistari sawa ya sawa.

Fikiria kazi kadhaa rahisi wakati wa kutatua ngumu zaidi.

Tunafafanua usawa wa moja kwa moja pamoja na kuratibu za pointi mbili.

Equation ni moja kwa moja kupita kupitia pointi mbili tofauti maalum na kuratibu zake.

Hebu wawili wasifanane na kuratibu: kwa kuratibu (x1; y1) na kuratibu (x2; y2). Kwa hiyo, vector na mwanzo wakati huo na mwisho wakati huo ina kuratibu (X2-X1, Y2-Y1). Ikiwa p (x, y) ni hatua ya kiholela kwa moja kwa moja, kisha kuratibu vector ni sawa na (X - X1, Y - Y1).

Kwa msaada wa bidhaa za vector, hali ya collineaty ya vectors na inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Wale. (x - x1) (Y2-Y1) - (Y-Y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

Equation ya mwisho itaandika tena kama ifuatavyo:

aX + na + C \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (Y1-Y2) + Y1 (x2-x1)

Kwa hiyo, moja kwa moja inaweza kuelezwa na equation ya fomu (1).

Kazi 1. Uratibu wa pointi mbili ni maalum. Pata uwakilishi wake kwa namna ya Ax + na + c \u003d 0.

Katika somo hili, tulifahamu habari fulani kutoka kwa jiometri ya computational. Sisi kutatua tatizo ili kupata usawa wa mstari pamoja na kuratibu za pointi mbili.

Katika somo linalofuata, tutafanya mpango wa kupata hatua ya makutano ya mistari miwili iliyoelezwa na usawa wako.

Hebu pointi mbili zipewe M.(H.1 ,W.1) I. N.(H.2, Y.2). Tunapata usawa wa moja kwa moja kupitia pointi hizi.

Kwa kuwa hii moja kwa moja inapita kupitia hatua hiyo M., kulingana na formula (1.13), equation yake ina fomu

W. – Y.1 = K.(X - X.1),

Wapi K. - Unknown angular mgawo.

Thamani ya mgawo huu imedhamiriwa na hali hiyo kwamba moja kwa moja inapita kupitia hatua N.na kwa hiyo kuratibu zake kukidhi equation (1.13)

Y.2 – Y.1 = K.(X.2 – X.1),

Kutoka hapa unaweza kupata mgawo wa angular wa moja kwa moja:

,

Au baada ya uongofu.

(1.14)

Mfumo 1.14 huamua. Equation ni moja kwa moja kupita kupitia pointi mbili. M.(X.1, Y.1) I. N.(X.2, Y.2).

Katika kesi fulani wakati pointi. M.(A., 0), N.(0, B.), Lakini ¹ 0, B. ¹ 0, uongo juu ya axes ya kuratibu, equation (1.14) itachukua mtazamo rahisi

Equation (1.15) Inaitwa. Equation moja kwa moja katika makundi., hapa Lakini Na B. Inaashiria makundi ambayo hukatwa moja kwa moja kwenye axes (Kielelezo 1.6).

Kielelezo 1.6.

Mfano 1.10. Kufanya equation moja kwa moja kupita kupitia pointi. M.(1, 2) na B.(3, –1).

. Kulingana na (1.14), equation ya moja kwa moja ina fomu

2(Y. – 2) = -3(X. – 1).

Kuhamisha wanachama wote kwa sehemu ya kushoto, hatimaye kupata equation taka

3X. + 2Y. – 7 = 0.

Mfano 1.11. Fanya usawa wa mstari wa moja kwa moja ukipitia hatua M.(2, 1) na hatua ya makutano ya moja kwa moja X.+ Y -1 = 0, X - W.+ 2 = 0.

. Kuratibu ya hatua ya makutano ya moja kwa moja yaliyopatikana kwa kuamua pamoja usawa huu

Ikiwa unaongeza hadi sasa usawa huu, tunapata 2 X. + 1 \u003d 0, kutoka wapi. Kubadilisha thamani katika equation yoyote, tutapata thamani ya kawaida W.:

Sasa weka equation moja kwa moja kupitia pointi (2, 1) na:

au.

Kwa hiyo au -5 ( Y. – 1) = X. – 2.

Hatimaye tunapata usawa wa moja kwa moja kwa fomu H. + 5Y. – 7 = 0.

Mfano 1.12. Pata usawa wa moja kwa moja kupitia pointi. M.(2,1) na N.(2,3).

Kutumia formula (1.14), tunapata usawa

Haina maana, kwa kuwa denominator ya pili ni sifuri. Kutoka hali ya tatizo ni wazi kwamba upungufu wa pointi zote mbili una maana sawa. Kwa hiyo, sawa na sambamba sawa na mhimili Oy. Na equation yake ni: X. = 2.

Maoni. . Ikiwa, wakati wa kurekodi equation, formula ya moja kwa moja (1.14) ni sawa na sifuri, basi equation inayotaka inaweza kupatikana kwa kulinganisha namba sambamba hadi sifuri.

Fikiria njia zingine za kuweka moja kwa moja kwenye ndege.

1. Hebu vector ya nonzero perpendicular kwa moja kwa moja. L., na hatua M.0(X.0, Y.0) Uongo kwenye mstari huu wa moja kwa moja (Kielelezo 1.7).

Kielelezo 1.7.

Denote. M.(X., Y.) hatua ya kiholela juu ya moja kwa moja L.. Vectors I. Orthogonal. Kutumia hali ya orthogonality ya vectors hizi, tunapata au Lakini(X. – X.0) + B.(Y. – Y.0) = 0.

Tulipata usawa wa moja kwa moja kupitia hatua hiyo M.0 perpendicular kwa vector. Vector hii inaitwa. Vector ya kawaida kuelekeza L.. Equation kusababisha inaweza kuandikwa tena

Oh. + Wu. + Kutoka \u003d 0, wapi Kutoka = –(LakiniX.0 + By0), (1.16),

Wapi Lakini Na In.- Kuratibu ya vector ya kawaida.

Tunapata usawa wa jumla kwa moja kwa moja kwa fomu ya parametric.

2. Moja kwa moja juu ya ndege inaweza kuweka kama ifuatavyo: basi vector nonzero ni sawa na hii moja kwa moja L. na kumweka M.0(X.0, Y.0) Uongo juu ya mstari huu wa moja kwa moja. Chukua hatua ya kiholela tena. M.(H., Y) kwenye mstari wa moja kwa moja (Kielelezo 1.8).

Kielelezo 1.8.

Vectors I. Collinear.

Tunaandika hali ya collinearity ya vectors hizi: wapi T. - Nambari ya kiholela inayoitwa parameter. Sema usawa huu katika kuratibu:

Uwiano huu unaitwa. Equations parametric. Sawa. Kuondoa kutoka kwa usawa huu, parameter. T.:

Equations hizi zinaweza kuandika vinginevyo kwa namna ya

. (1.18)

Equation inayotokana inaitwa. Equation ya canonical moja kwa moja.. Vector aitwaye Vector moja kwa moja moja kwa moja. .

Maoni. . Ni rahisi kuona kwamba kama - vector kawaida kwa mstari wa moja kwa moja L., basi vector yake ya mwongozo inaweza kuwa vector, tangu, i.e ..

Mfano 1.13. Andika equation moja kwa moja kupita kupitia hatua. M.0 (1, 1) sambamba moja kwa moja 3. H. + 2W.– 8 = 0.

Uamuzi . Vector ni vector ya kawaida kwa moja kwa moja na ya taka. Tunatumia usawa wa moja kwa moja kupitia hatua M.0 na vector ya kawaida ya 3 ( H. –1) + 2(W. - 1) \u003d 0 au 3. H. + 2Ow. - 5 \u003d 0. Alipokea usawa wa moja kwa moja.

Equation ni moja kwa moja kupita kupitia hatua hii katika mwelekeo huu. Equation ni moja kwa moja kupita kupitia data pointi mbili. Angle kati ya mbili moja kwa moja. Hali ya parallelism na perpendicularity ya mistari miwili moja kwa moja. Kuamua hatua ya makutano ya moja kwa moja.

1. Equation ya moja kwa moja kupita kupitia hatua hii. A.(x. 1 , y. 1) Katika mwelekeo huu uliowekwa na mgawo wa angular k.,

y. - y. 1 = k.(x. - x. 1). (1)

Equation hii huamua boriti ya moja kwa moja kupitia hatua A.(x. 1 , y. 1), ambayo inaitwa katikati ya boriti.

2. Equation ya moja kwa moja kupita katika pointi mbili: A.(x. 1 , y. 1) I. B.(x. 2 , y. 2), anaandika kama hii:

Mgawo wa angular wa moja kwa moja kupita kupitia pointi mbili za uhakika ni kuamua na formula

3. Angle kati ya moja kwa moja. A. Na B. aitwaye angle ambayo unahitaji kugeuka moja kwa moja moja kwa moja A. Karibu na hatua ya makutano ya moja kwa moja dhidi ya harakati ya saa ya saa mpaka inafanana na moja kwa moja B.. Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja hutolewa na usawa na mgawo wa angular

y. = k. 1 x. + B. 1 ,