Maelekezo

10, 30, 90, 270...

Inahitajika kupata denominator ya maendeleo ya kijiometri.
Uamuzi:

Chaguo 1. Chukua muda wa kiholela wa maendeleo (kwa mfano, 90) na ugawanye kwa uliopita (30): 90/30 \u003d 3.

Ikiwa jumla ya wanachama kadhaa wa maendeleo ya kijiometri au jumla ya wanachama wote wa maendeleo ya kijiometri hujulikana, basi kupata denominator ya maendeleo, kutumia formulas sahihi:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), ambapo SN ni jumla ya wanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri na
S \u003d B1 / (1-Q), ambapo S ni jumla ya kupungua kwa kijiometri (jumla ya wanachama wote wa maendeleo na denominator ya kitengo kidogo).
Mfano.

Muda wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ya dimming ni sawa na moja, na jumla ya wanachama wake wote ni mbili.

Inahitajika kuamua denominator ya maendeleo haya.
Uamuzi:

Fungua data kutoka kwa kazi katika formula. Inageuka:
2 \u003d 1 / (1-q), kutoka ambapo Q \u003d 1/2.

Maendeleo ni mlolongo wa idadi. Katika maendeleo ya kijiometri, kila neno linalofuata linapatikana kwa kuzidisha nambari ya awali ya Q, inayoitwa denominator ya maendeleo.

Maelekezo

Ikiwa jiometri ya jirani mbili B (N + 1) na B (n) wanajulikana kupata denominator, ni muhimu kugawanya namba kwa kubwa hadi kabla: q \u003d b (n + 1) / b (n). Hii ifuatavyo kutokana na kuamua maendeleo na madhehebu yake. Hali muhimu ni usawa wa sifuri ya mwanachama wa kwanza na denominator ya maendeleo, vinginevyo inachukuliwa kuwa haijulikani.

Kwa hiyo, mahusiano yafuatayo yanaanzishwa kati ya wanachama wa maendeleo: B2 \u003d B1 Q, B3 \u003d B2 Q, ..., b (n) \u003d b (n - 1) q. Kwa mujibu wa Mfumo B (N) \u003d B1 Q ^ (N - 1), mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri anaweza kuhesabiwa, ambapo denominator Q na mwanachama wa B1 anajulikana. Pia, kila moja ya maendeleo ya moduli ni sawa na wastani wa wanachama wake wa jirani: | b (n) | \u003d √, hivyo maendeleo na kupokea yake mwenyewe.

Analog ya maendeleo ya kijiometri ni kazi rahisi ya dalili Y \u003d ^ X, ambapo X iko katika kiashiria cha shahada, A ni idadi. Katika kesi hiyo, denominator ya maendeleo inafanana na mwanachama wa kwanza na ni sawa na idadi a. Chini ya thamani ya kazi Y, unaweza kuelewa mwanachama wa n-th wa maendeleo, ikiwa hoja ya X inachukuliwa kwa namba ya asili N (counter).

Kuna jumla ya mwanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri: S (N) \u003d B1 (1-Q ^ n) / (1-q). Fomu hii ni halali kwa Q ≠ 1. Ikiwa q \u003d 1, basi jumla ya wanachama wa kwanza wa N huhesabiwa na Mfumo S (N) \u003d N B1. Kwa njia, maendeleo yataitwa kuongezeka kwa kitengo kikubwa na b1 nzuri. Pamoja na denominator ya maendeleo, moduli haina kuzidi kitengo, maendeleo yatajulikana.

Kesi maalum ya maendeleo ya kijiometri ni kupungua kwa maendeleo ya kijiometri (b.u.g.p.). Ukweli ni kwamba wanachama wa maendeleo ya kijiometri ya kupungua yatapungua kwa muda, lakini hawakufikia sifuri. Pamoja na hili, unaweza kupata kiasi cha wanachama wote wa maendeleo hayo. Imeamua na Mfumo S \u003d B1 / (1-Q). Idadi ya wanachama n ni isiyo na mwisho.

Ili kufikiria wazi jinsi ya kuongeza idadi isiyo na idadi ya namba na usiingie infini, kuoka keki. Kata nusu yake. Kisha kata 1/2 kutoka nusu, na kadhalika. Vipande ambavyo utapata ni kitu zaidi kuliko wanachama wa kupungua kwa maendeleo ya kijiometri na denominator 1/2. Ikiwa unapiga vipande hivi vyote, utapata keki ya awali.

Kazi ya jiometri ni aina maalum ya zoezi ambayo inahitaji kufikiri ya anga. Ikiwa huwezi kutatua geometri kazi, Jaribu kufuata sheria hapa chini.

Maelekezo

Soma kwa uangalifu hali ya kazi hiyo, ikiwa kitu hakikumbuka au hakuelewa, tena kusoma tena.

Jaribu kuamua aina gani ya kazi ya kijiometri, kwa mfano, kwa mfano: kompyuta, wakati unahitaji kujua thamani yoyote, kazi, na kuhitaji mlolongo wa mantiki wa hoja, kazi za kujenga kwa msaada wa mzunguko na mtawala. Kazi zaidi ya aina ya mchanganyiko. Unapopata aina ya kazi, jaribu kusisitiza kimantiki.

Tumia theorem muhimu kwa kazi hii, ikiwa kuna mashaka au hakuna chaguzi wakati wote, basi jaribu kukumbuka nadharia uliyopita kulingana na mada husika.

Eleza tatizo pia kwenye rasimu. Jaribu kutumia njia inayojulikana ya kuthibitisha uaminifu wa uamuzi wako.

Kuchelewa suluhisho kwa kazi kwa makini katika daftari, bila blots na kuvuka, na muhimu zaidi - inawezekana kutatua kazi ya kwanza ya kijiometri na wakati. Hata hivyo, mara tu unapofanya mchakato huu - kuanza kubonyeza kazi za programu kama karanga, kupata radhi kutoka kwao!

Maendeleo ya kijiometri ni mlolongo wa namba B1, B2, B3, ..., B (N - 1), B (N), ambayo B2 \u003d B1 * Q, B3 \u003d B2 * Q, ..., B (n ) \u003d B (n - 1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Kwa maneno mengine, kila mwanachama wa maendeleo hupatikana kutoka kwa kuzidisha uliopita kwa madhehebu ya nonzero ya malipo ya Q.

Maelekezo

Kazi za maendeleo ni mara nyingi kutatuliwa na maandalizi na mfumo wa baadaye kuhusiana na mwanachama wa kwanza wa maendeleo ya B1 na denominator ya malipo ya Q. Ili kukusanya usawa, ni muhimu kukumbuka baadhi ya formula.

Jinsi ya kuelezea mwanachama wa n-th wa maendeleo kwa muda wa kwanza wa maendeleo na denominator ya maendeleo: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

Fikiria kesi tofauti | Q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Utaratibu wa nambari. Uendelezaji wa kijiometri"

Vifaa vya ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuondoka maoni yako, kitaalam, matakwa! Vifaa vyote vinachunguliwa na programu ya antivirus.

Maandishi ya mafunzo na simulators katika duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 9
Degrees na mizizi kazi na graphics.

Vijana, leo tutaanzisha aina nyingine ya maendeleo.
Mandhari ya somo la leo ni maendeleo ya kijiometri.

Maendeleo ya kijiometri

Mfano. 1,2,4,8,16 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni sawa na moja, na $ q \u003d $ 2.

Mfano. 8,88,88 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo ni sawa na nane,
$ Q \u003d $ 1.

Mfano. 3, -3.3, -3.3 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo mwanachama wa kwanza ni sawa na tatu,
$ Q \u003d -1 $.

Uendelezaji wa kijiometri una mali ya monotony.
Ikiwa $ b_ (1)\u003e $ 0, $ q\u003e $ 1,
kisha mlolongo huongezeka.
Ikiwa $ b_ (1)\u003e $ 0, $ 0 Mlolongo huchukuliwa kutajwa kwa fomu: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Pia kama katika maendeleo ya hesabu, ikiwa katika maendeleo ya kijiometri idadi ya vipengele bila shaka, basi maendeleo huitwa maendeleo ya mwisho ya kijiometri.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $.
Kumbuka Kama mlolongo ni maendeleo ya kijiometri, mlolongo wa mraba wa wanachama pia ni maendeleo ya kijiometri. Katika mlolongo wa pili, neno la kwanza ni $ b_ (1) ^ 2 $, na denominator ni $ Q ^ 2 $.

Formula ya mwanachama wa N-bous wa maendeleo ya kijiometri

Hebu kurudi kwenye mifano yetu.

Mfano. 1,2,4,8,16 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni sawa na moja,
$ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.

Mfano. 16,84,2,11 / 2 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni kumi na sita, na $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.

Mfano. 8,88,88 ... maendeleo ya jiometri, ambayo muda wa kwanza ni nane, na $ q \u003d $ 1.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.

Mfano. 3, -3.3, -3.3 ... maendeleo ya kijiometri, ambayo muda wa kwanza ni sawa na tatu, na $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.

Mfano. Uendelezaji wa kijiometri wa $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n), ... $.
a) Inajulikana kuwa $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3. Pata $ B_ (5) $.
b) Inajulikana kuwa $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768. Tafuta N.
c) Inajulikana kuwa $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96. Pata $ B_ (1) $.
d) Inajulikana kuwa $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d $ 4096. Tafuta Q.

Uamuzi.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (N - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d $ 128, tangu $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e B_ (1) \u003d - $ 3.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Mfano. Tofauti kati ya wanachama wa saba na wa tano wa maendeleo ya kijiometri ni 192, kiasi cha mwanachama wa tano na wa sita wa maendeleo ni 192. Kupata mwanachama wa kumi wa maendeleo haya.

Uamuzi.
Tunajua kwamba: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d $ 192 na $ b_ (5) + b_ (6) \u003d $ 192.
Pia tunajua: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * Q ^ $ 5; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * Q ^ 6 $.
Kisha:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * Q ^ 4 \u003d $ 192.
$ B_ (1) * Q ^ 4 + b_ (1) * Q ^ 5 \u003d $ 192.
Alipokea mfumo wa equations:
$ \\ Kuanza (kesi) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * Q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ mwisho (kesi) $.
Maandalizi, usawa wetu utapatikana:
$ B_ (1) * Q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d Q + 1 $.
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d $ 0.
Alipokea ufumbuzi wawili Q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Sisi baadaye tu badala ya equation ya pili:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ hakuna ufumbuzi.
Imepokea kama: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2.
Tunapata mwanachama wa kumi: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * Q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.

Kiasi cha maendeleo ya kijiometri ya mwisho

Hebu maendeleo ya mwisho ya kijiometri yaliyotolewa: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
Tunaanzisha jina la jumla ya wanachama wake: $ s_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
Katika kesi wakati $ q \u003d $ 1. Wanachama wote wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na mwanachama wa kwanza, basi ni dhahiri kwamba $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Fikiria sasa kesi ya $ Q ≠ $ 1.
Panua kiasi cha juu kwa kila Q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * Q + b_ (2) * Q + ⋯ + b_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * Q $.
Kumbuka:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * Q $.

$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (Q-1) \u003d b_ (n) * Q-B_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

Tulipata formula ya kiasi cha maendeleo ya kijiometri ya mwisho.

Uamuzi.
$ S_ (7) \u003d \\ FRAC (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

Mfano.
Pata mwanachama wa tano wa maendeleo ya kijiometri, ambayo inajulikana: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - $ 4095.

Uamuzi.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * Q ^ (N - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d $ 1024.
$ ^ (N) \u003d 1024Q $.

$ S_ (N) \u003d \\ FRAC (-3 * (q ^ (n) -1)) (Q-1) \u003d - $ 4095.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Mali ya tabia ya maendeleo ya kijiometri

Mlolongo wa nambari ni maendeleo ya kijiometri, tu wakati mraba wa kila mwanachama ni sawa na bidhaa ya maendeleo ya karibu na hayo. Usisahau kwamba kwa maendeleo ya mwisho, hali hii haifanyi kazi kwa mwanachama wa kwanza na wa mwisho.

Moduli ya mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na wanachama wawili wa kijiometri karibu na hilo.

Uamuzi.
Tunatumia mali ya tabia:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d $ 0.
$ x_ (1) \u003d $ 2 na $ x_ (2) \u003d - $ 1.
Mbadala mara kwa mara katika kujieleza awali, ufumbuzi wetu:
Kwa $ x \u003d $ 2, mlolongo ulipatikana: 4; 6; 9 - maendeleo ya kijiometri, ambayo $ Q \u003d $ 1.5 $.
Kwa $ x \u003d -1 $, kupokea mlolongo: 1; 0; 0.
Jibu: $ x \u003d 2. $.

Kazi kwa ajili ya ufumbuzi wa kibinafsi

Maendeleo ya kijiometri, pamoja na hesabu, ni karibu na namba karibu, ambayo inasoma katika mwaka wa shule ya algebra katika daraja la 9. Katika makala hii, fikiria madhehebu ya maendeleo ya kijiometri, na jinsi thamani yake inavyoathiri mali zake.

Ufafanuzi wa maendeleo ya kijiometri

Kuanza na, tunatoa ufafanuzi wa mfululizo huu wa namba. Maendeleo ya kijiometri huitwa idadi hiyo ya idadi ya busara, ambayo huundwa na kuzidisha thabiti ya kipengele chake cha kwanza kwa idadi ya mara kwa mara, ambayo inaitwa denominator.

Kwa mfano, idadi katika mstari wa 3, 6, 12, 24, ... ni maendeleo ya kijiometri, kwa sababu ikiwa unazidisha 3 (kipengele cha kwanza) na 2, basi tunapata 6. Ikiwa 6 huzidisha na 2, basi tunapata 12, na kadhalika.

Wajumbe wa mlolongo waliozingatiwa ni desturi ya kuashiria ishara ya AI, ambapo mimi ni integer inayoonyesha namba ya kipengele katika safu.

Ufafanuzi hapo juu wa maendeleo unaweza kuandikwa katika lugha ya hisabati kama ifuatavyo: AN \u003d BN-1 * A1, ambapo B ni denominator. Angalia formula hii kwa urahisi: kama n \u003d 1, kisha B1-1 \u003d 1, na tunapata A1 \u003d A1. Ikiwa n \u003d 2, basi \u003d B * A1, na sisi tena kuja na ufafanuzi wa idadi ya idadi inayozingatiwa. Majadiliano kama hayo yanaweza kuendelea kwa maadili makubwa ya N.

Denominator ya maendeleo ya jiometri.

Nambari ya B huamua kikamilifu tabia ambayo itakuwa mfululizo wote wa namba. Denominator B inaweza kuwa chanya, hasi, na pia kuwa na thamani zaidi ya moja au chini. Chaguo zote zilizoorodheshwa zinaongoza kwa utaratibu tofauti:

• b\u003e 1. Kuna idadi kubwa ya idadi ya busara. Kwa mfano, 1, 2, 4, 8, ... Ikiwa kipengele A1 ni hasi, basi mlolongo mzima utaongezeka tu na moduli, lakini kupungua kwa ishara ya idadi.
• b \u003d 1. Mara nyingi kesi hii haifai maendeleo, kwani kuna idadi ya kawaida ya namba zinazofanana. Kwa mfano, -4, -4, -4.

Formula kwa jumla

Kabla ya kuendelea na kuzingatia kazi maalum kwa kutumia madhehebu ya aina ya maendeleo inayozingatiwa, ni muhimu kuleta formula muhimu kwa kiasi cha vipengele vya kwanza. Fomu ina fomu: SN \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1).

Unaweza kupata maelezo haya mwenyewe ikiwa unafikiria mlolongo wa mara kwa mara wa wanachama wa maendeleo. Pia tunabainisha kuwa katika formula hapo juu ni ya kutosha kujua kipengele cha kwanza na denominator kupata kiasi cha idadi ya wanachama wa kiholela.

Mlolongo mkubwa wa kupungua

Hapo juu ilitolewa maelezo ambayo inawakilisha. Sasa, akijua formula kwa SN, tunaitumia kwenye mstari huu wa namba. Tangu namba yoyote, moduli ambayo haizidi 1, wakati imejengwa, inatafuta sifuri, yaani, B∞ \u003d\u003e 0, kama -1

Kwa kuwa tofauti (1 - B) daima itakuwa chanya, bila kujali maadili ya denominator, ishara ya kiasi cha kupungua kwa maendeleo ya kijiometri S∞ ni ya kipekee ya kuamua na ishara ya kipengele chake cha kwanza A1.

Sasa fikiria kazi kadhaa ambapo tunaonyesha jinsi ya kutumia maarifa yaliyopatikana kwa idadi maalum.

Nambari ya kazi 1. Hesabu ya mambo haijulikani ya maendeleo na kiasi

Maendeleo ya kijiometri, denominator ya maendeleo ya 2, na kipengele chake cha kwanza 3 ni sawa na wanachama wake wa 7 na 10, na ni jumla ya vipengele vya awali vya saba?

Hali ya tatizo ni rahisi sana na ina maana ya matumizi ya moja kwa moja ya formula zilizo hapo juu. Kwa hiyo, kuhesabu kipengele na namba n, tunatumia maneno \u003d BN-1 * A1. Kwa kipengele cha 7, tuna: A7 \u003d B6 * A1, badala ya data inayojulikana, tunapata: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Njia ile ile imefanywa kwa mwanachama wa 10: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Tunatumia formula inayojulikana kwa kiasi na kuamua thamani hii kwa vipengele vya kwanza vya 7 vya mfululizo. Tuna: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Nambari ya Kazi 2. Uamuzi wa kiasi cha mambo ya kiholela ya maendeleo

Hebu -2 kuwa sawa na denominator ya maendeleo katika maendeleo ya kijiometri ya BN-1 * 4, ambapo n ni integer. Ni muhimu kuamua kiasi kutoka kwa 5 hadi kipengele cha 10 cha mfululizo huu unaojumuisha.

Tatizo haliwezi kutatuliwa moja kwa moja kwa kutumia formula inayojulikana. Inaweza kutatuliwa na mbinu mbili tofauti. Kwa ukamilifu wa uwasilishaji wa mada, tunaleta wote wawili.

Njia 1. Wazo ni rahisi: unahitaji kuhesabu kiasi hicho cha wanachama wa kwanza, na kisha uondoe kutoka kwa mwingine. Tumia kiasi kidogo: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Sasa tunahesabu kiasi kikubwa: S4 \u003d ((((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Kumbuka kuwa katika maneno ya mwisho tu maneno 4 yaliingizwa, tangu 5 tayari imejumuishwa kwa kiasi ambacho unataka kuhesabu chini ya tatizo la tatizo. Hatimaye, tunachukua tofauti: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Njia 2. Kabla ya kubadilisha idadi na kuhesabu, inawezekana kupata formula kwa kiasi kati ya m na n ya mfululizo unaozingatiwa. Tunafanya sawa kabisa na katika njia ya 1, tu tunafanya kazi kwanza na uwasilishaji wa ishara ya kiasi. Tuna: SNM \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1) - (BM-1 - 1) * A1 / (B - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (B - 1) . Katika kujieleza kwa matokeo, unaweza kubadilisha namba inayojulikana na kuhesabu matokeo ya mwisho: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Kazi # 3. Je, ni denominator?

Hebu A1 \u003d 2, pata denominator ya maendeleo ya kijiometri, ikiwa ni kiasi chake cha usio na kipimo ni 3, na inajulikana kuwa hii ni idadi ya idadi ya kupungua.

Kwa hali ya kazi si vigumu kufikiri ni aina gani inapaswa kutumiwa kutatua. Bila shaka, kwa jumla ya maendeleo ya kupungua kwa kiasi kikubwa. Tuna: S∞ \u003d A1 / (1 - B). Ambapo kuelezea denominator: B \u003d 1 - A1 / S∞. Inabakia kuchukua nafasi ya maadili inayojulikana na kupata namba inayotaka: B \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 au -0.333 (3). Unaweza kuangalia kwa usahihi matokeo haya ikiwa unakumbuka kwamba kwa aina hii ya mlolongo, moduli B haipaswi kwenda zaidi ya 1. Kama inavyoonekana, | -1 / 3 |

Nambari ya Task 4. Marejesho ya idadi kadhaa.

Hebu vipengele 2 vya mfululizo wa namba, kwa mfano, sawa na 5 sawa na 30 na 10 sawa na 60. Ni muhimu kurejesha aina zote kulingana na data hizi, kujua kwamba inatimiza mali ya maendeleo ya jiometri.

Ili kutatua kazi, ni muhimu kuanza kujieleza sambamba kwa kila mwanachama anayejulikana. Tuna: A5 \u003d B4 * A1 na A10 \u003d B9 * A1. Sasa tunagawanya maneno ya pili kwa wa kwanza, tunapata: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. Kutoka hapa, tunaamua denominator, kuchukua mizizi ya shahada ya tano kutokana na uhusiano unaojulikana kutoka kwa masharti ya kazi ya wanachama, b \u003d 1,148698. Nambari inayotokana ni kubadilishwa katika moja ya maneno kwa kipengele kinachojulikana, tunapata: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.

Kwa hiyo, tumegundua, ambayo ni sawa na madhehebu ya maendeleo ya BN, na maendeleo ya kijiometri ya BN-1 * 17,2304966 \u003d AN, ambapo B \u003d 1,148698.

Ambapo ni maendeleo ya kijiometri?

Ikiwa haikuwa kwa ajili ya matumizi ya mfululizo huu wa namba katika mazoezi, utafiti wake utapunguzwa kwa maslahi ya kinadharia. Lakini programu hii ipo.

Yafuatayo ni mifano 3 maarufu zaidi:

• Kitendawili cha Zeno, ambako Achilles dexterous hawezi kukamata na turtle polepole, ni kutatuliwa kwa kutumia dhana ya kupungua kwa idadi kubwa ya idadi.
• Ikiwa kuna nafaka za ngano kwenye kila kiini cha chessboard, ili kwenye kiini cha kwanza kuweka nafaka 1, juu ya 2 - 2, juu ya 3 - 3 na kadhalika, kisha kujaza seli zote za bodi itahitajika 1844674407370955115 Mbegu!
• Katika mchezo wa "mnara wa Hanoi" ili upangilie rekodi kutoka kwenye fimbo moja hadi nyingine, ni muhimu kufanya shughuli za 2n - 1, yaani, idadi yao huongezeka katika maendeleo ya kijiometri juu ya idadi ya disks kutumika.

Ngazi ya kwanza.

Maendeleo ya kijiometri. Mwongozo kamili na mifano (2019)

Mlolongo wa namba.

Kwa hiyo, kaa chini na uanze kuandika namba yoyote. Kwa mfano:

Unaweza kuandika namba yoyote, na inaweza kuwa sawa (katika kesi yetu). Ni namba ngapi ambazo hatukuandika, tunaweza daima kusema moja kati yao ni ya pili na kadhalika hadi mwisho, yaani, tunaweza kuwazuia. Hii ni mfano wa mlolongo wa namba:

Mlolongo wa namba. - Hii ni idadi nyingi, ambayo kila mmoja inaweza kupewa idadi ya kipekee.

Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:

Nambari iliyotolewa ni tabia tu kwa idadi moja ya utaratibu. Kwa maneno mengine, hakuna namba tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama idadi) daima ni moja.

Idadi na idadi ya mwanachama wa jina la mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mlolongo wote (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mlolongo huu ni barua sawa na ripoti sawa na idadi ya mwanachama huyu :.

Kwa upande wetu:

Aina ya kawaida ya maendeleo ni hesabu na kijiometri. Katika thread hii tutazungumzia juu ya fomu ya pili - maendeleo ya kijiometri.

Nini kinahitaji maendeleo ya kijiometri na historia yake ya tukio.

Hata katika nyakati za kale, mtaalamu wa hisabati wa Italia Leonardo kutoka Pisa (maarufu zaidi jina lake Fibonacci) alihusika katika kutatua mahitaji ya biashara. Mbele ya monk kulikuwa na kazi ya kuamua, na idadi ndogo zaidi ya uzito tunaweza kupima bidhaa? Katika maandiko yake, Fibonacci inathibitisha kuwa mfumo huo wa Girus ni sawa: hii ni moja ya hali ya kwanza ambayo watu walipaswa kukabiliana na maendeleo ya kijiometri, ambayo labda umewahi kusikia na kuwa na dhana ya jumla. Mara tu unapoelewa kabisa katika somo, fikiria kwa nini mfumo huo ni sawa?

Hivi sasa, katika mazoezi ya maisha, maendeleo ya kijiometri yanaonyeshwa katika uwekezaji wa fedha kwa benki, wakati kiasi cha riba kinapatikana kwa kiasi kilichowekwa kwa akaunti kwa kipindi cha awali. Kwa maneno mengine, ikiwa tunaweka pesa kwa mchango wa haraka kwa Benki ya Akiba, baada ya mwaka mchango utaongezeka kutoka kiasi cha awali, i.e. Kiasi kipya kitakuwa sawa na amana imeongezeka. Mwaka mmoja baadaye, kiasi hiki kitaongezeka, i.e. Jumla ya wakati huo wakati utazidi tena na kadhalika. Hali kama hiyo inaelezwa katika kazi za kuhesabu kinachojulikana maslahi magumu. - Asilimia huchukuliwa kila wakati kutoka kiasi ambacho ni kwenye akaunti na maslahi ya awali. Tutazungumzia juu ya kazi hizi baadaye.

Bado kuna matukio mengi rahisi ambapo maendeleo ya kijiometri yanatumika. Kwa mfano, kuenea kwa mafua: mtu mmoja aliambukizwa mtu, wao pia wameambukizwa na mtu, na hivyo wimbi la pili la maambukizi - mtu, na wale walioambukizwa ... na kadhalika ...

Kwa njia, piramidi ya kifedha, mmm sawa ni hesabu rahisi na kavu juu ya mali ya maendeleo ya kijiometri. Kuvutia? Hebu tufanye na.

Maendeleo ya kijiometri.

Tuseme tuna mlolongo wa namba:

Utakuwa jibu kwa urahisi na kwa urahisi na jina la mlolongo huo ni maendeleo ya hesabu na tofauti ya wanachama wake. Na nini kuhusu hili:

Ikiwa umepunguzwa kutoka kwa idadi inayofuata ya uliopita, basi utaona kwamba kila wakati inageuka tofauti mpya (nk), lakini mlolongo dhahiri na ni rahisi kutambua - kila namba inayofuata ni zaidi ya Iliyotangulia!

Aina hii ya mlolongo wa nambari huitwa. maendeleo ya kijiometri na inaashiria.

Uendelezaji wa kijiometri () ni mlolongo wa namba, muda wa kwanza ambao ni tofauti na sifuri, na kila mwanachama anayeanza kutoka kwa pili sawa na ya awali, aliongeza kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Vikwazo ambavyo neno la kwanza () si sawa na sio ajali. Tuseme wao sio, na muda wa kwanza bado ni sawa, na q ni sawa, hmm .. Hebu, basi inageuka:

Kukubaliana kwamba hii si maendeleo tena.

Kama unavyoelewa, tutapata matokeo sawa ikiwa ni namba yoyote isipokuwa sifuri, lakini. Katika kesi hizi, maendeleo hayatakuwa tu, kwa kuwa mfululizo mzima wa namba utakuwa wote zero, au namba moja, lakini zero nyingine zote.

Sasa hebu tuzungumze kwa undani zaidi kuhusu denominator ya maendeleo ya kijiometri, yaani, kuhusu.

Kurudia: - Hii ni idadi. ni mara ngapi kila mwanachama anayefuata maendeleo ya kijiometri.

Unafikiri ningeweza kuwa nini? Haki, chanya na hasi, lakini sio sifuri (tulizungumzia juu yake kidogo).

Tuseme tuna chanya. Hebu kwa upande wetu, lakini. Ni mwanachama wa pili na? Unaweza kujibu kwa urahisi kwamba:

Hiyo ni sawa. Kwa hiyo, kama, wanachama wote wa baadaye wana ishara sawa - wao chanya.

Nini kama hasi? Kwa mfano, a. Ni mwanachama wa pili na?

Hii ni hadithi tofauti kabisa.

Jaribu kuhesabu mwanachama wa maendeleo haya. Ulifanya kiasi gani? Nina. Hivyo, ikiwa, ishara za wanachama wa maendeleo ya kijiometri. Hiyo ni, ikiwa unaona maendeleo, pamoja na ishara zinazobadilishana kwa wanachama wake, basi denominator yake ni hasi. Maarifa haya yanaweza kukusaidia kujiangalia wakati wa kutatua kazi juu ya mada hii.

Sasa wanachukua bitten kidogo: jaribu kuamua utaratibu wa nambari ni maendeleo ya kijiometri, na ni hesabu gani:

Iliamua? Linganisha majibu yetu:

• Maendeleo ya kijiometri - 3, 6.
• Uendelezaji wa hesabu - 2, 4.
• Sio hesabu wala maendeleo ya kijiometri - 1, 5, 7.

Hebu kurudi kwenye maendeleo yetu ya mwisho, na tutajaribu kwa njia ile ile kama katika hesabu ya kupata dick yake. Kama unavyofikiri, kuna njia mbili za kuipata.

Mara kwa mara kuzidi kila mwanachama.

Kwa hiyo, mwanachama wa maendeleo ya kijiometri yaliyoelezwa ni sawa.

Kama wewe tayari nadhani, sasa wewe mwenyewe utaleta formula ambayo itasaidia kupata mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri. Au je, tayari umejiondoa mwenyewe, uchoraji, jinsi ya kuinua mwanachama? Ikiwa ndivyo, basi angalia usahihi wa hoja yako.

Tutaonyesha hii juu ya mfano wa kutafuta mwanachama wa maendeleo haya:

Kwa maneno mengine:

Pata mwenyewe thamani ya mwanachama wa maendeleo ya kijiometri.

Kilichotokea? Linganisha majibu yetu:

Tafadhali kumbuka kuwa una idadi sawa na kwa njia ya awali, wakati tulikuwa tumeongezeka kwa kila mwanachama wa awali wa maendeleo ya kijiometri.
Hebu jaribu "diskete" formula hii - tunatoa kwa mtazamo wa jumla na kupata:

Fomu inayotokana ni kweli kwa maadili yote - wote chanya na hasi. Angalia mwenyewe, kuhesabu mwanachama wa maendeleo ya kijiometri na hali zifuatazo:, lakini.

Mahesabu? Linganisha matokeo yaliyopatikana:

Kukubaliana kupata mwanachama wa maendeleo inaweza kuwa kama mwanachama, hata hivyo, kuna uwezekano wa kuhesabu kwa usahihi. Na kama tulipata kila mwanachama wa maendeleo ya kijiometri, na, nini inaweza kuwa rahisi kuliko kutumia sehemu ya "kukata" ya formula.

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri.

Hivi karibuni, tulizungumzia juu ya kile kinachoweza kuwa sifuri zaidi na chini, hata hivyo, kuna maana maalum ambayo maendeleo ya kijiometri huitwa kwa kiasi kikubwa kushuka.

Unafikiria nini, kwa nini jina hilo ni nani?
Kuanza na, tunaandika maendeleo ya kijiometri yenye wanachama.
Tuseme, lakini basi:

Tunaona kwamba kila mwanachama anayefuata ni chini ya uliopita, lakini kutakuwa na idadi yoyote? Utakuwa jibu mara moja - "Hapana." Ndiyo maana ni kupungua kwa kiasi kikubwa - hupungua, hupungua, na null kamwe huwa.

Ili kuelewa wazi jinsi inaonekana kuibua, hebu tujaribu kuteka ratiba ya maendeleo yetu. Kwa hiyo, kwa kesi yetu, formula hupata fomu ifuatayo:

Katika chati tunajua kujenga utegemezi, kwa hiyo:

Kiini cha maneno haijabadilika: katika rekodi ya kwanza, tulionyesha utegemezi wa thamani ya mwanachama wa maendeleo ya kijiometri kutoka kwa nambari ya mlolongo, na katika rekodi ya pili - tu tulichukua thamani ya mwanachama wa jiometri maendeleo, na idadi ya mlolongo haikuwa sawa na, lakini jinsi gani. Yote ambayo inabaki kufanya ni kujenga chati.
Hebu tuone kile ulicho nacho. Hiyo ndiyo ratiba iliyogeuka kuwa:

Unaona? Kazi hupungua, inajitahidi kwa sifuri, lakini haitavuka kamwe, kwa hiyo ni kupungua kwa kiasi kikubwa. Tunatambua juu ya chati ya pointi zetu, na wakati huo huo kile kinachohusu kuratibu na:

Jaribu schematically kuonyesha grafu ya maendeleo ya kijiometri, kama mwanachama wake wa kwanza pia ni sawa. Kuchambua, ni tofauti gani na ratiba yetu ya awali?

Kukabiliana? Hiyo ndiyo ratiba iliyogeuka kuwa:

Sasa kwa kuwa umeelewa kabisa katika misingi ya mada ya maendeleo ya kijiometri: unajua ni nini, unajua jinsi ya kumtafuta mwanachama wake, na pia kujua kwamba maendeleo ya kijiometri ya kupungua, tunageuka kwenye mali yake kuu.

Mali ya maendeleo ya kijiometri.

Je, unakumbuka mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu? Ndiyo, ndiyo, jinsi ya kupata thamani ya idadi fulani ya maendeleo wakati kuna maadili ya awali na yafuatayo ya wanachama wa maendeleo haya. Kumbuka? Hii:

Sasa tuna swali sawa kwa wanachama wa maendeleo ya kijiometri. Ili kuleta formula sawa, hebu tuanze kuchora na kushindana. Utaona, ni rahisi sana, na ikiwa unasahau, unaweza kuchukua mwenyewe.

Chukua maendeleo mengine ya kijiometri ambayo tunajulikana na. Jinsi ya kupata? Wakati maendeleo ya hesabu, ni rahisi na rahisi, na ni jinsi gani? Kwa kweli, katika kijiometri ama hakuna chochote ngumu - ni muhimu tu kuchora formula kila thamani iliyotolewa.

Unauliza, na sasa ni nini cha kufanya na hilo? Ndiyo, rahisi sana. Kuanza na, utaonyesha fomu hizi katika takwimu, na jaribu kufanya manipulations mbalimbali na wao kuja thamani.

Tunatokana na namba ambazo tumepewa, fikiria tu juu ya kujieleza kwa njia ya formula. Tunahitaji kupata thamani iliyotengwa na rangi ya machungwa, kujua wanachama wa jirani. Hebu jaribu kuzalisha vitendo mbalimbali pamoja nao, kama matokeo ya ambayo tunaweza kupata.

Kuongeza.
Hebu jaribu kupiga maneno mawili na, tunapata:

Kutoka kwa maneno haya, kama unavyoona, hatuwezi kueleza, kwa hiyo, tutajaribu chaguo jingine - uondoaji.

Kuondoa.

Kama unavyoona, sisi pia hatuwezi kueleza hili, kwa hiyo, tunajaribu kuzidisha maneno kwa kila mmoja.

Kuzidisha.

Na sasa, angalia kwa makini, kile tulicho nacho, kuzidisha wanachama hawa wa maendeleo ya kijiometri kwa kulinganisha na kile unachohitaji kupata:

Nilidhani kile ninachozungumzia? Hiyo ni kweli, ili kutupata ni muhimu kuchukua mizizi ya mraba kutoka kwa kila mmoja karibu na idadi ya taka ya maendeleo ya kijiometri:

Hapa unakwenda. Wewe mwenyewe ulileta mali ya maendeleo ya kijiometri. Jaribu kuandika fomu hii kwa ujumla. Kilichotokea?

Umesahau hali hiyo? Fikiria kwa nini ni muhimu, kwa mfano, jaribu kuhesabu mwenyewe, na. Ni nini kinachotokea katika kesi hii? Hiyo ni kweli, upumbavu kamili kama formula inaonekana kama hii:

Kwa hiyo, usisahau kizuizi hiki.

Sasa fikiria kile kilicho sawa

Jibu sahihi - ! Ikiwa husahau thamani ya pili iwezekanavyo wakati wa kuhesabu, unaweza kwenda mara moja kwenye Workout, na ikiwa umesahau - soma kile kilichochomwa na makini na kwa nini unahitaji kurekodi mizizi miwili.

Tunatoa maendeleo yetu ya kijiometri - moja yenye thamani, na nyingine na thamani na kuangalia kama wote wawili wana haki ya kuwepo:

Ili kuangalia kama maendeleo hayo ya kijiometri ipo au la, ni muhimu kuona, ni sawa kati ya wanachama wake wote maalum? Tumia Q kwa kesi ya kwanza na ya pili.

Angalia kwa nini tunapaswa kuandika majibu mawili? Kwa sababu ishara ya mwanachama anayetaka inategemea kile cha chanya au hasi! Na kwa kuwa hatujui ni nini, tunahitaji kuandika majibu na pamoja, na kwa minus.

Sasa, wakati ulijifunza mambo muhimu na kuleta formula ya mali ya maendeleo ya kijiometri, kupata, kujua na

Linganisha majibu yaliyopokea na sahihi:

Unafikiria nini, na kama tulipewa si jirani ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri, lakini kwa usawa kutoka kwao. Kwa mfano, tunahitaji kupata, na kupewa na. Je, tunaweza katika kesi hii kutumia formula tuliyotokana? Jaribu uthibitisho sawa au kukataa fursa hii, uchoraji kutoka kwa maana ya kila maana, kama ulivyofanya, upatanishe formula, na.
Ulifanya nini?

Sasa angalia kwa makini.
na sawa:

Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa formula inafanya kazi si tu kwa jirani na mwanachama wa taka wa maendeleo ya kijiometri, lakini pia sawa Kutoka kwa wanachama wanaotaka.

Hivyo, formula yetu ya awali inapata fomu:

Hiyo ni, ikiwa katika kesi ya kwanza tulisema kuwa, sasa tunasema kwamba inaweza kuwa sawa na idadi yoyote ya asili ambayo ni chini. Jambo kuu ni kuwa sawa kwa idadi zote mbili.

Jitayarishe kwenye mifano maalum, tu kuwa makini sana!

1. . Kutafuta.
2. . Kutafuta.
3. . Kutafuta.

Niliamua? Natumaini ulikuwa makini sana na niliona catch kidogo.

Linganisha matokeo.

Katika kesi mbili za kwanza, tunatumia kwa utulivu formula iliyoelezwa hapo juu na kupata maadili yafuatayo:

Katika kesi ya tatu, kwa kuzingatia kwa makini idadi ya mlolongo wa data hizi, tunaelewa kuwa sio usawa kutoka kwa namba tunayotafuta: ni namba ya awali, lakini imeondolewa kwa nafasi, hivyo kutumia formula haiwezekani.

Jinsi ya kutatua? Kwa kweli, si vigumu sana, kama inavyoonekana! Njoo na wewe, ambayo kila tulipatia sisi na namba inayotaka ina.

Kwa hiyo tuna na. Hebu tuone kile unachoweza kufanya nao? Ninapendekeza kugawanya. Tunapata:

Sisi kuchukua data yetu katika formula:

Tunaweza kupata hatua inayofuata - kwa hili tunahitaji kuchukua mizizi ya ujazo kutoka nambari inayosababisha.

Na sasa tunaangalia tena kile tulicho nacho. Tuna, na tunahitaji kupata, na yeye, kwa upande wake ni:

Takwimu zote muhimu kwa kuhesabu tumegundua. Sisi badala ya formula:

Jibu letu: .

Jaribu kutatua kazi kama hiyo mwenyewe:
Dano:
Kutafuta:

Ulifanya kiasi gani? Nina -.

Unaonaje, kwa kweli, unahitaji kumbuka formula moja tu -. Wengine wote unaweza kujiondoa bila kazi yoyote wakati wowote. Kwa kufanya hivyo, tu kuandika kwenye karatasi ya maendeleo ya kijiometri na maandishi, ambayo kulingana na formula ya hapo juu ni sawa na kila namba.

Jumla ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri.

Sasa fikiria formula ambazo zinatuwezesha kuhesabu haraka kiasi cha wanachama wa maendeleo ya kijiometri katika muda maalum:

Ili kuleta muhtasari wa formula ya maendeleo ya mwisho ya kijiometri, kuzidi sehemu zote za usawa wa juu. Tunapata:

Angalia kwa makini: Ni nini kinacho kawaida katika formula mbili za mwisho? Hiyo ni kweli, wanachama wa jumla, kwa mfano, na kadhalika, isipokuwa mwanachama wa kwanza na wa mwisho. Hebu jaribu kuondokana na equation ya pili ya equation. Ulifanya nini?

Sasa akielezea mwanachama wa maendeleo ya kijiometri kupitia formula ya maendeleo ya kijiometri na kupeleka maneno yaliyopatikana katika formula yetu ya mwisho:

Kikundi cha kujieleza. Unapaswa kupata:

Yote ambayo inabaki kufanya ni kueleza:

Kwa hiyo, katika kesi hii.

Nini kama? Je, ni formula gani inafanya kazi basi? Fikiria maendeleo ya kijiometri. Yeye anapo nini? Sahihi idadi ya namba zinazofanana, kwa mtiririko huo, formula itaonekana kama hii:

Kama ilivyo katika maendeleo ya hesabu na kijiometri, kuna hadithi nyingi. Mmoja wao ni hadithi ya kuweka, wafanyakazi wa chess.

Wengi wanajua kwamba mchezo wa chess ulipatikana nchini India. Wakati mfalme wa Hindu alipokutana naye, alipendezwa na wit yake na masharti mbalimbali iwezekanavyo ndani yake. Baada ya kujifunza kwamba ilikuwa imetengenezwa na mmoja wa wasomi wake, mfalme aliamua kujibu binafsi. Alimwita mvumbuzi mwenyewe na akamwambia kumwuliza kila kitu ambacho anataka, akiahidi kutimiza hata tamaa ya ujuzi zaidi.

Seta aliuliza wakati wa kufikiria, na wakati wa pili, seti ilikuja kwa mfalme, alishangaa mfalme wa upole usio sawa wa ombi lake. Aliomba kiini cha kwanza cha nafaka ya ngano ya checkerboard, kwa nafaka ya pili ya ngano, kwa tatu, kwa nne, nk.

Mfalme alikasirika, akaenda kuweka, akisema kwamba ombi la mtumishi hakuwa na wasiwasi wa ukarimu wa kifalme, lakini aliahidi kwamba mtumishi atapokea nafaka zake kwa seli zote za bodi.

Na sasa swali: Kutumia formula ya jumla ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri, kuhesabu nafaka ngapi lazima kuweka?

Hebu tuanze kuzungumza. Tangu, kwa hali ya kiini cha kwanza cha chessboard, kuweka nafaka ya ngano, kwa pili, kwa ya tatu, kwa nne, nk, tunaona kwamba tunazungumzia juu ya maendeleo ya kijiometri katika kazi hiyo. Ni sawa katika kesi hii?
Haki.

Seli zote za chessboard. Kwa hiyo,. Tuna data zote, inabakia tu kubadili katika formula na kuhesabu.

Ili kuwasilisha angalau kuhusu "mizani" ya nambari hii, tunabadilisha kutumia mali ya shahada:

Bila shaka, ikiwa unataka, unaweza kuchukua calculator na kuhesabu kwamba kwa idadi mwishoni utafanikiwa, na ikiwa sio, unapaswa kuniniamini kwa neno: thamani ya mwisho ya maneno yatakuwa.
I.e:

quintilions ya quadrillion bilioni bilioni elfu.

Fuh) Ikiwa unataka kufikiria ukuu wa namba hii, basi uhesabu aina gani ya ghalani itahitaji kubeba kiasi kikubwa cha nafaka.
Kwa urefu wa ghalani m na upana wa urefu, ingekuwa kutumiwa kwenye km, - i.e. Mara mbili kuliko kutoka duniani hadi Sun.

Ikiwa mfalme angekuwa mwenye nguvu katika hisabati, angeweza kupendekeza kuhesabu nafaka mwenyewe, kwa sababu kuhesabu nafaka milioni, hahitaji haja ya chini ya siku ya akaunti isiyo na uaminifu, na kwa kuzingatia kwamba quintillas inapaswa kuhesabiwa, nafaka ingekuwa wanapaswa kuhesabu maisha yao.

Na sasa tunatatua changamoto rahisi kwa kiasi cha wanachama wa maendeleo ya kijiometri.
Mwanafunzi wa darasa la 5 Vasya, akaanguka mgonjwa na homa, lakini anaendelea kwenda shule. Kila siku, Vasya anaathiri watu wawili ambao, kwa upande wake, wanaambukiza watu wawili na kadhalika. Kwa jumla katika darasani. Baada ya siku ngapi homa hiyo itaumiza darasa lote?

Kwa hiyo, mwanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ni Vasya, yaani, mtu. Mjumbe wa maendeleo ya kijiometri, hawa ndio watu wawili walioambukizwa siku ya kwanza ya kuwasili kwake. Kiasi cha wanachama wa maendeleo ni sawa na idadi ya wanafunzi 5A. Kwa hiyo, tunazungumzia juu ya maendeleo ambayo:

Kuchukua data yetu katika formula ya kiasi cha maendeleo ya kijiometri:

Darasa lote litapata mgonjwa kwa siku. Usiamini formula na namba? Jaribu kuonyesha "maambukizi" ya wanafunzi peke yao. Kilichotokea? Angalia jinsi inaonekana kama mimi:

Kuhesabu mwenyewe, kwa siku ngapi wanafunzi wangeweza kugonjwa na mafua, ikiwa kila mtu angeweza kuambukizwa na mtu, na mtu alisoma darasani.

Ulifanikiwa thamani gani? Niliweza kuwa kila mtu alianza kuumiza siku moja baadaye.

Kama unavyoona, kazi sawa na kuchora kwake inafanana na piramidi ambayo kila baadae "inaongoza" watu wapya. Hata hivyo, mapema au baadaye, wakati huu huja wakati mwisho hauwezi kumvutia mtu yeyote. Kwa upande wetu, ikiwa unawasilisha kwamba darasa limetengwa, mtu amefungwa na mnyororo (). Kwa hiyo, kama mtu alihusika katika piramidi ya kifedha, ambayo pesa ilitolewa ikiwa huleta washiriki wengine wawili, basi mtu (au kwa ujumla) hawezi kuongoza mtu yeyote, kwa mtiririko huo, atapoteza kila kitu kilichowekeza katika asphara hii ya kifedha.

Kila kitu ambacho kimesema hapo juu kinamaanisha kupungua au kuongezeka kwa maendeleo ya kijiometri, lakini kama unakumbuka, tuna aina maalum - kupungua kwa kasi ya kijiometri. Jinsi ya kuzingatia kiasi cha wanachama wake? Na kwa nini aina hii ya maendeleo ina sifa fulani? Hebu tufanye pamoja.

Kwa hiyo, kwa mwanzo, hebu tuone tena picha hii ya kupungua kwa maendeleo ya kijiometri kutoka kwa mfano wetu:

Na sasa tutaangalia formula ya kiasi cha maendeleo ya kijiometri, inayoongozwa na mapema kidogo:
au

Tunataka nini? Hiyo ni kweli, inaonekana kwamba inataka sifuri. Hiyo ni, pamoja na, itakuwa karibu sawa, kwa mtiririko huo, wakati wa kuhesabu maneno tutapata karibu. Katika suala hili, tunaamini kwamba wakati wa kuhesabu jumla ya kuongezeka kwa maendeleo ya kijiometri, bracket hii inaweza kupuuzwa, kama itakuwa sawa.

- mfumo kiasi cha wanachama wa kupungua kwa maendeleo ya kijiometri.

Muhimu! Mfumo wa jumla ya wanachama wa maendeleo makubwa ya kijiometri ambayo tunatumia tu ikiwa hali hiyo imeonyeshwa kwamba unahitaji kupata kiasi usio Hesabu.

Ikiwa nambari maalum ni imeonyeshwa, basi tunatumia formula ya kiasi cha wanachama wa N, hata kama au.

Na sasa ni kufanya mazoezi.

1. Pata jumla ya wanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri na.
2. Pata jumla ya wanachama wa kupungua kwa maendeleo ya kijiometri C na.

Natumaini ulikuwa makini sana. Linganisha majibu yetu:

Sasa unajua kuhusu maendeleo ya kijiometri, kila kitu ni wakati wa kuhamia kutoka nadharia ya kufanya mazoezi. Kazi ya kawaida kwa maendeleo ya kijiometri, yaliyopatikana kwenye mtihani, ni kazi za kuhesabu maslahi magumu. Ni juu yao ambayo itajadiliwa.

Kazi ya kuhesabu maslahi magumu.

Labda umesikia kuhusu aina inayoitwa formula ya maslahi magumu. Je, unaelewa maana yake? Ikiwa sio, hebu tuelewe, kama inavyojua mchakato yenyewe, utaelewa mara moja, na hapa maendeleo ya kijiometri.

Sisi sote tunakwenda benki na kujua kwamba kuna hali tofauti juu ya amana: hii ndiyo neno, na huduma ya ziada, na asilimia yenye njia mbili tofauti za kuongezeka kwake ni rahisi na ngumu.

Kutoka nia rahisi Zaidi au chini kueleweka: riba hupatikana mara moja mwishoni mwa kipindi cha amana. Hiyo ni, ikiwa tunazungumzia ukweli kwamba tunaweka rubles 100 kwa mwaka chini, basi ni sifa tu mwishoni mwa mwaka. Kwa hiyo, mwishoni mwa mchango tutapata rubles.

Maslahi ya kiwanja - Hii ni tofauti ambayo mtaji wa maslahi.. Mapokezi yao kwa kiasi cha mchango na hesabu ya mapato ya baadaye sio kutoka kwa awali, lakini kutokana na kiasi cha amana kilichokusanywa. Utajiri sio daima, lakini kwa mara kwa mara. Kama sheria, vipindi vile ni sawa na mara nyingi mabenki hutumia mwezi, robo au mwaka.

Tuseme kwamba tunaweka rubles sawa kila mwaka, lakini kwa mtaji wa kila mwezi wa mchango. Tunapata nini?

Je, unaelewa kila kitu hapa? Ikiwa sio, hebu tupate kushughulikia hatua.

Tulileta kwa rubles za benki. Mwishoni mwa mwezi, tunapaswa kuwa na kiasi kilicho na rubles yetu pamoja na maslahi yao, yaani:

Nakubali?

Tunaweza kuchukua bracket na kisha tutapata:

Kukubaliana, formula hii tayari ni zaidi kama yale tuliyoandika mwanzoni. Inabakia kukabiliana na maslahi

Kwa upande wa kazi, tunaambiwa kuhusu kila mwaka. Kama unavyojua, hatuwezi kuzidi - tunatafsiri maslahi katika vipande vya decimal, yaani:

Haki? Sasa unauliza, na nambari hiyo imetoka wapi? Rahisi sana!
Ninarudia: kazi inasemekana Mwaka riba, accrul ambayo hutokea Kila mwezi. Kama unavyojua, katika miezi ya mwaka, kwa mtiririko huo, benki itatupa mwezi kwa asilimia ya kila mwaka:

Iliyotolewa? Sasa jaribu kuandika jinsi sehemu hii ya formula itaonekana, ikiwa nasema kuwa maslahi yanapatikana kila siku.
Kukabiliana? Hebu tufananishe matokeo:

Umefanya vizuri! Hebu turudie kazi yetu: Andika ni kiasi gani kitapatikana kwa akaunti yetu kwa mwezi wa pili, kwa kuzingatia kuwa maslahi yanapatikana kwa kiasi kilichokusanywa cha mchango.
Hiyo ndiyo kilichotokea kwangu:

Au, kwa maneno mengine:

Nadhani kuwa tayari umeona mfano na kuona maendeleo ya kijiometri katika haya yote. Andika nini kitakuwa sawa na dick yake, au, kwa maneno mengine, ni kiasi gani cha fedha tunachopata mwishoni mwa mwezi.
Kufanyika? Angalia!

Kama unavyoona, ikiwa unaweka fedha katika benki kwa mwaka chini ya asilimia rahisi, basi utapata rubles, na ikiwa chini ya tata - rubles. Faida ni ndogo, lakini hutokea tu kwa mwaka, lakini kwa muda mrefu, mtaji ni faida zaidi:

Fikiria aina nyingine ya kazi kwa maslahi magumu. Baada ya kile unachokielewa, itakuwa msingi kwako. Hivyo, kazi:

Kampuni "Star" ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka 2000, ikiwa na mitaji ya dola. Kila mwaka tangu mwaka 2001, inafanya faida inayoanzia mji mkuu wa mwaka uliopita. Ni faida ngapi itapokea kampuni ya "Star" mwishoni mwa mwaka 2003, ikiwa faida kutokana na mauzo haikuondolewa?

Mji mkuu wa kampuni ya "Star" mwaka 2000.
- Mji mkuu wa kampuni "Star" mwaka 2001.
- Mji mkuu wa kampuni "Star" mwaka 2002.
- Mji mkuu wa kampuni "Star" mwaka 2003.

Au tunaweza kuandika kifupi:

Kwa kesi yetu:

2000, 2001, 2002 na 2003.

Kwa mtiririko huo:
rubles.
Kumbuka, katika kazi hii hatuna mgawanyiko wowote, kama asilimia ni mwaka na inadaiwa kila mwaka. Hiyo ni, kusoma kazi kwa maslahi magumu, makini na asilimia ambayo hutolewa, na kwa kipindi gani kinachopatikana, na kisha tu kuendelea na mahesabu.
Sasa unajua kuhusu maendeleo ya kijiometri.

Fanya mazoezi.

1. Pata mwanachama wa maendeleo ya kijiometri, ikiwa inajulikana kuwa, na
2. Pata jumla ya wanachama wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri, ikiwa inajulikana kuwa, na
3. Kampuni "MDM Capital" ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka 2003, kuwa na mji mkuu wa dola. Kila mwaka, kuanzia mwaka 2004, inafanya faida ambayo huanzia mji mkuu wa mwaka uliopita. Mgogoro wa fedha za MSC ulianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka 2005 kwa kiasi cha $ 10,000, kuanzia faida tangu mwaka 2006 kwa kiasi. Ni dola ngapi mji mkuu wa kampuni moja ni tofauti zaidi mwishoni mwa 2007, ikiwa faida kutokana na mauzo haikuondolewa?

Majibu:

1. Kwa kuwa hali ya kazi haina kusema kuwa maendeleo ya usio na inahitajika kupata kiasi cha idadi maalum ya wanachama wake, basi hesabu inategemea formula:
2. 
   Kampuni "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - Inaongezeka kwa 100%, yaani, mara 2.
   Kwa mtiririko huo:
   rubles.
   Kampuni ya MSC ya mtiririko wa fedha:

   2005, 2006, 2007.
   - Inakua juu, yaani, tangu.
   Kwa mtiririko huo:
   rubles.
   rubles.

Hebu tupate muhtasari.

1) maendeleo ya kijiometri () ni mlolongo wa namba, muda wa kwanza ambao hutofautiana na sifuri, na kila mwanachama anayeanza kutoka kwa pili sawa na ya awali, aliongeza kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

2) Equation ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri -.

3) inaweza kuchukua maadili yoyote isipokuwa na.

• ikiwa, wanachama wote wafuatayo wa maendeleo wana ishara sawa - wao chanya;
• ikiwa, basi wanachama wote wafuatayo wa maendeleo ishara mbadala;
• wakati - maendeleo yanaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

4), wakati - mali ya maendeleo ya kijiometri (wanachama wa karibu)

au
, pamoja na (wanachama wa usawa)

Wakati huna haja ya kusahau hilo jibu lazima iwe mbili.

Kwa mfano,

5) Kiasi cha wanachama wa maendeleo ya kijiometri kinahesabiwa na formula:
au

Ikiwa maendeleo ni kupungua kwa kasi, basi:
au

Muhimu! Tunatumia formula ya jumla ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri tu ikiwa hali hiyo imeelezwa kuwa ni muhimu kupata jumla ya idadi isiyo na idadi ya wanachama.

6) Changamoto za maslahi magumu pia zinahesabiwa na mwanachama wa formula -Go wa maendeleo ya kijiometri, ikiwa ni fedha kutoka kwa mauzo hazichaguliwa:

Maendeleo ya kijiometri. Kwa kifupi kuhusu jambo kuu.

Maendeleo ya kijiometri () Hii ni mlolongo wa namba, muda wa kwanza ambao hutofautiana na sifuri, na kila mwanachama anayeanza kutoka kwa pili sawa na ya awali, aliongeza kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa. denominator maendeleo ya kijiometri.

Maendeleo ya kijiometri ya denominator Inaweza kuchukua maadili yoyote isipokuwa na.

• Ikiwa, wanachama wote wa baadaye wana ishara sawa - ni chanya;
• ikiwa, wanachama wote wafuatayo wa ishara mbadala;
• wakati - maendeleo yanaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

Equation ya maendeleo ya kijiometri - .

Kiasi cha wanachama wa maendeleo ya kijiometri Mahesabu na formula:
au

\u003e\u003e Hisabati: maendeleo ya kijiometri

Kwa urahisi wa msomaji, aya hii imejengwa hasa na mpango huo, ambao tulizingatia aya ya awali.

1. Dhana ya msingi.

Ufafanuzi. Mlolongo wa nambari, wanachama wote ambao ni tofauti na 0 na kila mwanachama wa ambayo, kuanzia kutoka kwa pili, inageuka kutoka kwa mwanachama wa zamani ili kuzidisha kwa idadi sawa inayoitwa maendeleo ya kijiometri. Wakati huo huo, namba 5 inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Hivyo, maendeleo ya kijiometri ni mlolongo wa namba (b n) uliowekwa na mahusiano ya mara kwa mara

Je, inawezekana, kuangalia mlolongo wa namba, kuamua kama ni maendeleo ya kijiometri? Inaweza. Ikiwa ungeamini kwamba mtazamo wa mwanachama yeyote wa mlolongo kwa mwanachama wa zamani ni daima mbele yako maendeleo ya kijiometri.
Mfano 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Mfano 2.

Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo.
Mfano 3.

Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo.
Mfano 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo B 1 - 8, Q \u003d 1.

Kumbuka kwamba mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu (tazama mfano 3 wa § 15).

Mfano wa 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Kwa wazi, maendeleo ya kijiometri ni mlolongo wa kuongezeka kama b 1\u003e 0, q\u003e 1 (tazama mfano 1), na kupungua, kama b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Ili kutaja ukweli kwamba mlolongo (b n) ni maendeleo ya kijiometri, wakati mwingine kuingia ijayo ni rahisi:

Icon inachukua nafasi ya "maendeleo ya kijiometri".
Tunaona curious moja na wakati huo huo mali halisi ya maendeleo ya kijiometri:
Ikiwa mlolongo ni maendeleo ya kijiometri, basi mlolongo wa mraba, i.e. Ni maendeleo ya kijiometri.
Katika maendeleo ya pili ya kijiometri, muda wa kwanza ni sawa na q 2.
Ikiwa katika maendeleo ya kijiometri ya kuacha wanachama wote kufuatia B, basi maendeleo ya mwisho ya kijiometri itakuwa
Katika pointi zaidi ya aya hii, tutazingatia mali muhimu zaidi ya maendeleo ya kijiometri.

2. Mfumo wa mwanachama wa Pont wa maendeleo ya kijiometri.

Fikiria maendeleo ya kijiometri denominator Q. Tuna:

Si vigumu kudhani kuwa kwa usawa wowote wa namba

Hii ni formula ya mwanachama wa n-th wa maendeleo ya kijiometri.

Maoni.

Ikiwa unasoma maelezo muhimu kutoka kwa aya ya awali na kuielewa, basi jaribu kuthibitisha formula (1) kwa njia ya uingizaji wa hisabati, kama vile ZTO imefanywa kwa formula ya mwanachama wa n-th ya maendeleo ya hesabu.

Andika tena formula ya mwanachama wa n-th wa maendeleo ya kijiometri

na sisi kuanzisha notation: sisi kupata y \u003d mq 2, au, zaidi,
Majadiliano yanapatikana katika kiashiria, kwa hiyo kazi hiyo inaitwa kazi ya dalili. Kwa hiyo, maendeleo ya kijiometri yanaweza kuchukuliwa kama kazi ya dalili iliyowekwa kwenye seti ya namba za asili. Katika Kielelezo. 96a iliyoonyeshwa kazi ya grafu Kielelezo. 966 - Ratiba ya Kazi. Katika matukio hayo yote, tuna pointi pekee (pamoja na upungufu X \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, nk) amelala kwenye safu fulani (kwa takwimu zote mbili safu hiyo imewasilishwa, tu kwa njia tofauti zilizopo na zilizoonyeshwa kwa mizani tofauti ). Curve hii inaitwa Exponential. Soma zaidi kuhusu kazi ya dalili na ratiba yake itakuwa na ufahamu wa algebra ya darasa la 11.

Hebu kurudi kwa mifano 1-5 kutoka kwa bidhaa ya awali.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Fanya formula ya mwanachama wa n
2) Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo itakuwa formula ya mwanachama wa n-th

Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo. Hebu tufanye fomu ya mwanachama wa n-th
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Kwa formula ya mwanachama wa n
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Hii ni maendeleo ya kijiometri, ambayo b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Hebu tufanye fomu ya mwanachama wa n-th

Mfano 6.

Maendeleo ya kijiometri

Katika hali zote, msingi wa uamuzi ni formula ya mwanachama wa n-th wa maendeleo ya kijiometri

a) Kuweka formula ya mwanachama wa n-th wa maendeleo ya kijiometri n \u003d 6, tunapata

b) Je!

Tangu 512 \u003d 2 9, tunapata P - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Je!

Mfano wa 7.

Tofauti kati ya wanachama wa saba na wa tano wa maendeleo ya kijiometri ni 48, jumla ya wanachama wa tano na wa sita wa maendeleo pia ni sawa na 48. Kupata mwanachama wa kumi na mbili wa maendeleo haya.

Hatua ya kwanza. Kuchora mfano wa hisabati.

Hali ya kazi inaweza kurekodi kwa ufupi kama hii:

Kuchukua faida ya formula ya mwanachama wa n-th wa maendeleo ya kijiometri, tunapata:
Basi hali ya pili ya tatizo (B 7 - B 5 \u003d 48) inaweza kuandikwa kama

Hali ya tatu ya tatizo (B 5 + B 6 \u003d 48) inaweza kuandikwa kama

Matokeo yake, tunapata mfumo wa equations mbili na vigezo viwili B 1 na Q:

ambayo pamoja na hali iliyoandikwa juu ya 1) na ni mfano wa hisabati wa tatizo.

Awamu ya pili.

Kazi na mfano uliopangwa. Kulinganisha sehemu za kushoto za usawa wote wa mfumo, tunapata:

(Tuligawanya sehemu zote mbili za equation juu ya maneno B 1 Q 4, tofauti na sifuri).

Kutoka kwa equation Q 2 - Q - 2 \u003d 0 Tunapata Q 1 \u003d 2, Q 2 \u003d -1. Kubadilisha thamani Q \u003d 2 katika usawa wa pili wa mfumo, tunapata
Kubadilisha thamani Q \u003d -1 kwenye usawa wa pili wa mfumo, tunapata b 1 1 0 \u003d 48; Equation hii haina ufumbuzi.

Kwa hiyo, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - jozi hii ni suluhisho la mfumo wa equations.

Sasa tunaweza kurekodi maendeleo ya kijiometri, ambayo yanajadiliwa katika kazi: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Hatua ya tatu.

Jibu la swali la kazi. Inahitajika kuhesabu B 12. Kuwa na

O t t t: b 12 \u003d 2048.

3. Mfumo wa jumla ya wanachama wa maendeleo ya mwisho ya kijiometri.

Hebu maendeleo ya kijiometri ya mwisho

Denote na S n jumla ya wanachama wake, i.e.

Tutaondoa formula ya kupata kiasi hiki.

Hebu tuanze na kesi rahisi wakati Q \u003d 1. Kisha maendeleo ya kijiometri b 1, b 2, b 3, ..., BN ina idadi n sawa na b 1, i.e. Uendelezaji una fomu b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Jumla ya namba hizi ni NB 1.

Sasa basi Q \u003d 1, kwa kupata S n, itatumika mapokezi ya bandia: fanya mabadiliko mengine ya kujieleza s n q. Tuna:

Kufanya mabadiliko, sisi, kwanza, alitumia ufafanuzi wa maendeleo ya kijiometri, kulingana na ambayo (angalia mstari wa tatu wa hoja); Pili, waliongeza na kugunduliwa na maana ya maneno, bila shaka, hawakubadilika (tazama mstari wa nne wa hoja); Tatu, tulitumia formula ya mwanachama wa n-th wa maendeleo ya kijiometri:

Kutoka kwa Mfumo (1) tunapata:

Hii ni formula ya idadi ya n wanachama wa maendeleo ya kijiometri (kwa kesi wakati Q \u003d 1).

Mfano 8.

Dana finite maendeleo ya kijiometri

a) jumla ya wanachama wa maendeleo; b) jumla ya mraba wa wanachama wake.

b) Juu (tazama ukurasa wa 132), tumebainisha kuwa ikiwa wanachama wote wa maendeleo ya kijiometri hujengwa kwenye mraba, basi maendeleo ya kijiometri yanapatikana kwa muda wa kwanza B 2 na denominator Q 2. Kisha jumla ya wanachama sita wa maendeleo mapya yatahesabiwa na

Mfano 9.

Pata mwanachama wa 8 wa maendeleo ya kijiometri, ambayo

Kwa kweli, tulithibitisha theorem ifuatayo.

Nambari, mlolongo ni maendeleo ya kijiometri ikiwa na tu kama mraba wa kila mwanachama wake, badala ya theorem ya kwanza (na mwisho, katika hali ya mlolongo wa mwisho), ni sawa na bidhaa ya wanachama wa awali na baadae (ya Tabia ya mali ya maendeleo ya kijiometri).