Shule ya sekondari ya vijijini ya Kopyevskaya

Njia 10 za kutatua milinganyo ya quadratic

Mkuu: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

mwalimu wa hisabati

kijiji cha Kopyevo, 2007

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya Quadratic katika Babeli ya Kale

1.2 Jinsi Diophantus Alikusanya na Kutatua Milinganyo ya Quadratic

1.3 Milinganyo ya Quadratic nchini India

1.4 Milinganyo ya quadratic kutoka al-Khorezmi

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Uropa XIII - XVII karne

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Hitimisho

Fasihi

1. Historia ya maendeleo ya hesabu za quadratic

1.1 Milinganyo ya Quadratic katika Babeli ya Kale

Haja ya kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili hata katika nyakati za zamani ilisababishwa na hitaji la kutatua shida zinazohusiana na kutafuta maeneo ya ardhi na ardhi ya asili ya kijeshi, na vile vile maendeleo ya unajimu na unajimu. hisabati yenyewe. Waliweza kutatua milinganyo ya quadratic karibu 2000 BC. e. Wababeli.

Kwa kutumia nukuu ya kisasa ya algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari kuna, pamoja na zisizo kamili, kama vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, inapatana kimsingi na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababiloni walifikia kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa tu matatizo na ufumbuzi uliowekwa kwa namna ya mapishi, bila maelekezo ya jinsi yalivyopatikana.

Licha ya kiwango cha juu cha maendeleo ya aljebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla za kutatua milinganyo ya quadratic.

1.2 Jinsi Diophantus alikusanya na kutatua milinganyo ya roboduara.

Katika "Hesabu" ya Diophantus hakuna uwasilishaji wa utaratibu wa algebra, lakini ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, unaofuatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuchora equations za digrii tofauti.

Wakati wa kuunda milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhisho.

Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.

Tatizo 11."Tafuta nambari mbili, ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa ni 96"

Diophantus anasema kama ifuatavyo: kutoka kwa hali ya tatizo inafuata kwamba idadi inayotafutwa si sawa, kwa kuwa ikiwa walikuwa sawa, basi bidhaa zao zingekuwa sawa na si 96, lakini 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya nusu ya wao. jumla, yaani ... 10 + x, nyingine ni kidogo, i.e. 10 - x... Tofauti kati yao 2x .

Kwa hivyo equation:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Kutoka hapa x = 2... Moja ya nambari zinazohitajika ni 12 , nyingine 8 ... Suluhisho x = -2 kwa Diophantus haipo, kwani hisabati ya Kigiriki ilijua nambari chanya tu.

Ikiwa tunatatua tatizo hili, kuchagua moja ya nambari zinazohitajika kama haijulikani, basi tunakuja kwenye suluhisho la equation

y (20 -y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ni wazi kwamba, kuchagua nusu-tofauti ya nambari zinazotafutwa kama zisizojulikana, Diophantus hurahisisha suluhisho; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua equation ya quadratic isiyokamilika (1).

1.3 Milinganyo ya Quadratic nchini India

Matatizo ya milinganyo ya quadratic tayari yamekumbana na njia ya unajimu "Aryabhattiam", iliyokusanywa mnamo 499 na mwanahisabati wa Kihindi na mwanaastronomia Aryabhatta. Msomi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya VII), alielezea kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya roboduara, iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

ah 2 + b x = c, a> 0. (1)

Katika equation (1), coefficients, isipokuwa a, inaweza kuwa hasi. Sheria ya Brahmagupta kimsingi ni sawa na yetu.

Katika India ya kale, ushindani wa umma kwa ajili ya kutatua matatizo magumu ulikuwa wa kawaida. Kitabu kimoja cha kale cha Kihindi kinasema hivi kuhusu mashindano hayo: "Jua linapoziba nyota kwa uzuri wake, ndivyo mtu mwenye ujuzi atapita utukufu wa mwingine katika makusanyiko maarufu, akipendekeza na kutatua matatizo ya algebra." Kazi hizo mara nyingi zilivaliwa kwa umbo la kishairi.

Hapa kuna moja ya kazi za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya XII. Bhaskaras.

Tatizo 13.

"Kundi la nyani na kumi na mbili juu ya mizabibu ...

Baada ya kula nguvu, kuwa na furaha. Walianza kuruka, kunyongwa ...

Kuna sehemu ya nane yao katika mraba Ni nyani wangapi walikuwapo,

Mimi nilikuwa amusing mwenyewe katika clearing. Unaniambia, kwenye kifurushi hiki?"

Suluhisho la Bhaskara linaonyesha kwamba alijua kuhusu mizizi yenye thamani mbili ya milinganyo ya quadratic (Mchoro 3).

Mlinganyo unaolingana na tatizo la 13:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara anaandika chini ya kivuli:

x 2 - 64x = -768

na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa mlinganyo huu kwa mraba, huongeza kwa pande zote mbili 32 2 , kisha kupata:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Milinganyo ya quadratic ya al - Khorezmi

Katika mkataba wa algebraic al - Khorezmi, uainishaji wa milinganyo ya mstari na quadratic imetolewa. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:

1) "Mraba ni sawa na mizizi", i.e. shoka 2 + c = b X.

2) "Mraba ni sawa na nambari", i.e. shoka 2 = c.

3) "Mizizi ni sawa na nambari", i.e. ah = c.

4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi", yaani shoka 2 + c = b X.

5) "Mraba na mizizi ni sawa na nambari", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Mizizi na nambari ni sawa na mraba", i.e. bx + c = shoka 2.

Kwa al - Khorezmi, ambaye aliepuka kutumia nambari hasi, masharti ya kila hesabu hizi ni nyongeza, sio kupunguzwa. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhisho chanya hakika hazizingatiwi. Mwandishi anaelezea njia za kutatua milinganyo hii kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-muqabal. Uamuzi wake, bila shaka, haupatani kabisa na wetu. Mbali na ukweli kwamba ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina ya kwanza.

al - Khorezmi, kama wanahisabati wote hadi karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu haijalishi katika shida maalum za vitendo. Wakati wa kusuluhisha hesabu kamili za quadratic, al - Khorezmi, kwa kutumia mifano maalum ya nambari, huweka sheria za utatuzi, na kisha uthibitisho wa kijiometri.

Tatizo 14."Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mizizi" (inamaanisha mzizi wa equation x 2 + 21 = 10x).

Suluhisho la mwandishi linasoma kitu kama hiki: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, unapata 5, kuzidisha 5 yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, kutakuwa na 4. Futa mzizi wa 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5. , unapata 3, hii itakuwa mzizi unaohitajika. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo inatoa 7, hii pia ni mzizi.

Hati ya al-Khorezmi ndio kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambamo uainishaji wa hesabu za quadratic unawasilishwa kwa utaratibu na fomula za suluhisho zao hutolewa.

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - Xvii cc

Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic kwenye mfano wa al - Khorezmi huko Uropa iliwasilishwa kwa mara ya kwanza katika "Kitabu cha Abacus", kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Italia Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, katika nchi za Uislamu na katika Ugiriki ya Kale, inatofautishwa na ukamilifu na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi alitengeneza kwa uhuru mifano mipya ya aljebra ya kutatua shida na alikuwa wa kwanza huko Uropa kukaribia kuanzishwa kwa nambari hasi. Kitabu chake kilichangia usambazaji wa maarifa ya algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi zingine za Ulaya. Shida nyingi kutoka kwa "Kitabu cha Abacus" zilihamishiwa karibu vitabu vyote vya Uropa vya karne ya 16 - 17. na sehemu ya XVIII.

Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic imepunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

x 2 + bx = s,

na mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za odd b , Na iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha equation ya quadratic kwa fomu ya jumla inapatikana katika Viet, hata hivyo, Viet ilitambua mizizi chanya tu. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Fikiria, pamoja na mizizi chanya, na hasi. Tu katika karne ya 17. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations za quadratic inachukua fomu ya kisasa.

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

Nadharia inayoelezea uhusiano kati ya mgawo wa mlinganyo wa quadratic na mizizi yake, inayoitwa Vieta, iliundwa naye kwa mara ya kwanza mnamo 1591 kama ifuatavyo: B + D kuzidishwa na A - A 2 , sawa BD, basi A sawa V na sawa D ».

Ili kuelewa Vieta, mtu anapaswa kukumbuka hilo A, kama vokali yoyote, ilimaanisha kwake haijulikani (yetu X), vokali V, D- coefficients kwa haijulikani. Katika lugha ya aljebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Kuelezea uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equations kwa fomula za jumla zilizoandikwa kwa kutumia alama, Viet ilianzisha usawa katika njia za kutatua equations. Walakini, ishara ya Vieta bado iko mbali na fomu yake ya kisasa. Hakutambua namba hasi na kwa hiyo, wakati wa kutatua equations, alizingatia kesi tu wakati mizizi yote ni chanya.

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Milinganyo ya quadratic ndio msingi ambao muundo mzuri wa aljebra hutegemea. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, isiyo na mantiki na ya kupita maumbile na usawa. Sote tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic kutoka shuleni (daraja la 8), hadi kuhitimu.

Katika jamii ya kisasa, uwezo wa kufanya vitendo na equations zenye kutofautisha za mraba zinaweza kuwa muhimu katika maeneo mengi ya shughuli na hutumiwa sana katika mazoezi katika maendeleo ya kisayansi na kiufundi. Hii inathibitishwa na muundo wa vyombo vya baharini na mto, ndege na makombora. Kwa msaada wa mahesabu hayo, trajectories ya harakati ya aina mbalimbali za miili, ikiwa ni pamoja na vitu vya nafasi, imedhamiriwa. Mifano na ufumbuzi wa equations quadratic hutumiwa si tu katika utabiri wa kiuchumi, katika kubuni na ujenzi wa majengo, lakini pia katika hali ya kawaida ya kila siku. Huenda zikahitajika kwenye safari za kupiga kambi, kwenye matukio ya michezo, madukani unapofanya ununuzi, na katika hali nyinginezo za kawaida.

Wacha tuvunje usemi huo katika vipengele vyake vya msingi

Kiwango cha mlinganyo hubainishwa na thamani ya juu zaidi ya kiwango cha kigezo ambacho usemi husika huwa. Ikiwa ni sawa na 2, basi equation kama hiyo inaitwa mraba.

Ikiwa tunatumia lugha ya fomula, basi maneno haya, haijalishi yanaonekanaje, yanaweza kupunguzwa kila wakati kuwa fomu wakati upande wa kushoto wa usemi una maneno matatu. Miongoni mwao: shoka 2 (hiyo ni, mraba tofauti na mgawo wake), bx (isiyojulikana bila mraba na mgawo wake) na c (sehemu ya bure, ambayo ni, nambari ya kawaida). Yote hii upande wa kulia ni sawa na 0. Katika kesi wakati polynomial sawa inakosa mojawapo ya masharti yake ya msingi, isipokuwa shoka 2, inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili. Mifano na ufumbuzi wa matatizo hayo, thamani ya vigezo ambayo ni rahisi kupata, inapaswa kuzingatiwa kwanza.

Ikiwa usemi unaonekana kwa njia ambayo kuna istilahi mbili upande wa kulia wa usemi, kwa usahihi zaidi ax 2 na bx, ni rahisi kupata x kwa kuweka kigezo nje ya mabano. Sasa equation yetu itaonekana kama hii: x (shoka + b). Zaidi ya hayo, inakuwa dhahiri kuwa ama x = 0, au shida imepunguzwa hadi kupata utaftaji kutoka kwa usemi ufuatao: ax + b = 0. Hii inaagizwa na moja ya sifa za kuzidisha. Sheria ni kwamba bidhaa ya mambo mawili husababisha 0 tu ikiwa moja yao ni sawa na sifuri.

Mfano

x = 0 au 8x - 3 = 0

Kama matokeo, tunapata mizizi miwili ya equation: 0 na 0.375.

Equations za aina hii zinaweza kuelezea harakati za miili chini ya hatua ya mvuto, ambayo ilianza kusonga kutoka kwa hatua fulani iliyochukuliwa kama asili. Hapa nukuu ya hisabati inachukua fomu ifuatayo: y = v 0 t + gt 2/2. Kubadilisha maadili muhimu, kusawazisha upande wa kulia hadi 0 na kutafuta haijulikani iwezekanavyo, unaweza kujua wakati unaopita kutoka wakati mwili unapoinuka hadi unapoanguka, pamoja na idadi nyingine nyingi. Lakini tutazungumza juu ya hili baadaye.

Kuanzisha Kujieleza

Sheria iliyoelezwa hapo juu inafanya uwezekano wa kutatua matatizo haya katika kesi ngumu zaidi. Wacha tuchunguze mifano na suluhisho la hesabu za quadratic za aina hii.

X 2 - 33x + 200 = 0

Utatu huu wa mraba umekamilika. Kwanza, hebu tubadilishe usemi na tuuweke alama. Kuna mbili kati yao: (x-8) na (x-25) = 0. Matokeo yake, tuna mizizi miwili 8 na 25.

Mifano na suluhisho la equations za quadratic katika daraja la 9 kuruhusu njia hii kupata kutofautiana kwa maneno sio tu ya pili, lakini hata ya amri ya tatu na ya nne.

Kwa mfano: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wakati wa kuzingatia upande wa kulia katika mambo yenye kutofautiana, kuna tatu kati yao, yaani, (x + 1), (x-3) na (x + 3).

Matokeo yake, inakuwa dhahiri kwamba equation hii ina mizizi mitatu: -3; -moja; 3.

Uchimbaji wa mizizi ya mraba

Kesi nyingine ya mlingano wa mpangilio wa pili ambao haujakamilika ni usemi unaowakilishwa katika lugha ya herufi kwa njia ambayo upande wa kulia umejengwa kutoka kwa vipengee vya ax 2 na c. Hapa, ili kupata thamani ya kutofautiana, neno la bure linahamishiwa upande wa kulia, na kisha mzizi wa mraba hutolewa kutoka pande zote mbili za usawa. Ikumbukwe kwamba katika kesi hii, kuna kawaida mizizi miwili ya equation. Vighairi pekee ni usawa ambao hauna neno c kabisa, ambapo kigezo ni sawa na sufuri, pamoja na vibadala vya misemo wakati upande wa kulia unageuka kuwa hasi. Katika kesi ya mwisho, hakuna ufumbuzi kabisa, kwani vitendo hapo juu haviwezi kufanywa na mizizi. Mifano ya ufumbuzi wa equations ya quadratic ya aina hii inapaswa kuzingatiwa.

Katika kesi hii, mizizi ya equation itakuwa nambari -4 na 4.

Uhesabuji wa eneo la shamba la ardhi

Uhitaji wa aina hii ya mahesabu ilionekana katika nyakati za kale, kwa sababu maendeleo ya hisabati katika mambo mengi katika nyakati hizo za mbali ilikuwa kutokana na haja ya kuamua kwa usahihi mkubwa maeneo na mzunguko wa mashamba ya ardhi.

Mifano na suluhisho la equations za quadratic, zilizokusanywa kwa misingi ya matatizo ya aina hii, zinapaswa kuchukuliwa na sisi.

Kwa hiyo, hebu sema kuna kipande cha ardhi cha mstatili, ambacho urefu wake ni mita 16 zaidi ya upana. Pata urefu, upana na mzunguko wa tovuti ikiwa inajulikana kuwa eneo lake ni 612 m 2.

Kushuka kwenye biashara, wacha kwanza tuchore hesabu inayofaa. Hebu tuonyeshe kwa x upana wa sehemu, basi urefu wake utakuwa (x + 16). Inafuata kutoka kwa kile kilichoandikwa kwamba eneo hilo limedhamiriwa na usemi x (x + 16), ambayo, kwa mujibu wa hali ya tatizo letu, ni 612. Hii ina maana kwamba x (x + 16) = 612.

Suluhisho la milinganyo kamili ya quadratic, na usemi huu ni hivyo tu, hauwezi kufanywa kwa njia ile ile. Kwa nini? Ingawa upande wa kushoto bado una mambo mawili, bidhaa hailingani 0 hata kidogo, kwa hivyo njia zingine zinatumika hapa.

Mbaguzi

Kwanza kabisa, tutafanya mabadiliko muhimu, kisha kuonekana kwa usemi huu utaonekana kama hii: x 2 + 16x - 612 = 0. Hii ina maana kwamba tumepokea usemi katika fomu inayofanana na kiwango kilichoonyeshwa hapo awali, ambapo a = 1, b = 16, c = -612.

Huu unaweza kuwa mfano wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic kupitia kibaguzi. Hapa mahesabu muhimu yanafanywa kulingana na mpango: D = b 2 - 4ac. Kiasi hiki cha msaidizi sio tu kinachowezekana kupata kiasi kinachohitajika katika equation ya utaratibu wa pili, huamua idadi ya chaguo iwezekanavyo. Ikiwa D> 0, kuna mbili kati yao; kwa D = 0 kuna mzizi mmoja. Ikiwa D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kuhusu mizizi na muundo wao

Kwa upande wetu, kibaguzi ni: 256 - 4 (-612) = 2704. Hii inaonyesha kwamba tatizo letu lina jibu. Ikiwa unajua, k, suluhu ya milinganyo ya quadratic lazima iendelee kwa kutumia fomula hapa chini. Inakuwezesha kuhesabu mizizi.

Hii ina maana kwamba katika kesi iliyowasilishwa: x 1 = 18, x 2 = -34. Chaguo la pili katika shida hii haiwezi kuwa suluhisho, kwa sababu vipimo vya njama ya ardhi haviwezi kupimwa kwa maadili hasi, hivyo x (yaani, upana wa njama) ni 18 m. Kutoka hapa tunahesabu urefu: 18 + 16 = 34, na mzunguko 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Mifano na kazi

Tunaendelea kusoma milinganyo ya quadratic. Mifano na ufumbuzi wa kina kwa kadhaa wao watapewa hapa chini.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Tunahamisha kila kitu kwa upande wa kushoto wa usawa, kufanya mabadiliko, yaani, tunapata fomu ya equation, ambayo kawaida huitwa kiwango, na kuifananisha na sifuri.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Kuongeza sawa, tunafafanua kibaguzi: D = 49 - 48 = 1. Hii ina maana kwamba equation yetu itakuwa na mizizi miwili. Wacha tuzihesabu kulingana na fomula hapo juu, ambayo inamaanisha kuwa ya kwanza itakuwa sawa na 4/3, na ya pili 1.

2) Sasa tutafunua mafumbo ya aina tofauti.

Hebu tujue ikiwa kuna mizizi yoyote hapa kabisa x 2 - 4x + 5 = 1? Ili kupata jibu kamili, hebu tulete polynomia kwa fomu inayojulikana inayojulikana na tuhesabu kibaguzi. Katika mfano huu, suluhisho la equation ya quadratic sio lazima, kwa sababu kiini cha tatizo sio kabisa katika hili. Katika kesi hii, D = 16 - 20 = -4, ambayo ina maana kwamba kwa kweli hakuna mizizi.

Nadharia ya Vieta

Ni rahisi kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia fomula zilizo hapo juu na kibaguzi, wakati mzizi wa mraba umetolewa kutoka kwa thamani ya mwisho. Lakini hii sio wakati wote. Walakini, kuna njia nyingi za kupata maadili ya anuwai katika kesi hii. Mfano: kutatua milinganyo ya quadratic kwa nadharia ya Vieta. Amepewa jina la mwanamume aliyeishi Ufaransa katika karne ya 16 na akafanya kazi nzuri sana kutokana na talanta yake ya hisabati na miunganisho yake mahakamani. Picha yake inaweza kuonekana katika makala.

Mfano uliotambuliwa na Mfaransa huyo maarufu ulikuwa kama ifuatavyo. Alithibitisha kuwa mizizi ya equation katika jumla ni sawa na -p = b / a, na bidhaa zao zinalingana na q = c / a.

Sasa hebu tuangalie kazi maalum.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Kwa unyenyekevu, wacha tubadilishe usemi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Tutatumia nadharia ya Vieta, hii itatupa zifuatazo: jumla ya mizizi ni -7, na bidhaa zao ni -18. Kutokana na hili tunapata kwamba mizizi ya equation ni nambari -9 na 2. Baada ya kufanya ukaguzi, tutahakikisha kwamba maadili haya ya vigezo yanafaa kabisa katika usemi.

Parabola grafu na equation

Dhana za kazi ya quadratic na milinganyo ya quadratic inahusiana kwa karibu. Mifano ya hii tayari imetolewa mapema. Sasa hebu tuangalie baadhi ya mafumbo ya hesabu kwa undani zaidi. Equation yoyote ya aina iliyoelezwa inaweza kuonekana. Uhusiano kama huo, unaotolewa kwa namna ya grafu, huitwa parabola. Aina zake mbalimbali zinaonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Parabola yoyote ina vertex, yaani, hatua ambayo matawi yake yanatoka. Ikiwa a> 0, huenda juu hadi isiyo na mwisho, na wakati a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Uwakilishi unaoonekana wa chaguo za kukokotoa husaidia kutatua milinganyo yoyote, ikiwa ni pamoja na zile za quadratic. Njia hii inaitwa graphical. Na thamani ya x ya kutofautisha ni uratibu wa abscissa katika sehemu ambazo mstari wa grafu huingiliana na 0x. Viwianishi vya vertex vinaweza kupatikana kwa formula iliyotolewa hivi karibuni x 0 = -b / 2a. Na, ukibadilisha thamani iliyopatikana katika equation ya asili ya kazi, unaweza kujua y 0, yaani, uratibu wa pili wa vertex ya parabola, mali ya mhimili wa kuratibu.

Makutano ya matawi ya parabola na mhimili wa abscissa

Kuna mifano mingi na suluhisho la equations za quadratic, lakini pia kuna mifumo ya jumla. Hebu tuzifikirie. Ni wazi kwamba makutano ya grafu na mhimili 0x kwa a> 0 inawezekana tu ikiwa y 0 inachukua maadili hasi. Na kwa a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Vinginevyo, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Mizizi pia inaweza kuamua kutoka kwa grafu ya parabola. Mazungumzo pia ni ya kweli. Hiyo ni, ikiwa si rahisi kupata picha ya kuona ya kazi ya quadratic, unaweza kusawazisha upande wa kulia wa kujieleza kwa 0 na kutatua equation inayosababisha. Na kujua pointi za makutano na mhimili wa 0x, ni rahisi kujenga grafu.

Kutoka kwa historia

Kwa msaada wa equations zilizo na mraba wa kutofautiana, katika siku za zamani hawakufanya tu mahesabu ya hisabati na kuamua maeneo ya maumbo ya kijiometri. Wazee walihitaji mahesabu kama haya kwa uvumbuzi mkubwa katika uwanja wa fizikia na unajimu, na vile vile kufanya utabiri wa unajimu.

Kama wanasayansi wa kisasa wanavyodhani, wakaaji wa Babeli walikuwa kati ya wa kwanza kutatua milinganyo ya quadratic. Ilitokea karne nne kabla ya zama zetu. Kwa kweli, mahesabu yao yalikuwa tofauti kimsingi na yale yaliyokubaliwa kwa sasa na yaligeuka kuwa ya zamani zaidi. Kwa mfano, wanahisabati wa Mesopotamia hawakujua kuhusu kuwepo kwa nambari hasi. Pia hawakujua hila zingine kutoka kwa zile ambazo mtoto yeyote wa shule wa wakati wetu anajua.

Labda hata mapema zaidi ya wanasayansi wa Babeli, mwenye hekima kutoka India Baudhayama alichukua suluhisho la milinganyo ya roboduara. Ilitokea karibu karne nane kabla ya ujio wa enzi ya Kristo. Kweli, equations ya utaratibu wa pili, mbinu za kutatua ambazo alitoa, zilikuwa rahisi zaidi. Mbali na yeye, wanahisabati wa Kichina pia walipendezwa na maswali kama hayo katika siku za zamani. Huko Uropa, hesabu za quadratic zilianza kutatuliwa tu mwanzoni mwa karne ya 13, lakini baadaye zilitumiwa katika kazi zao na wanasayansi wakubwa kama Newton, Descartes na wengine wengi.

Quadratic equation - rahisi kutatua! * Zaidi katika maandishi "KU". Marafiki, inaweza kuonekana, ni nini kinachoweza kuwa rahisi katika hisabati kuliko kutatua equation kama hiyo. Lakini kuna kitu kiliniambia kwamba wengi wana matatizo naye. Niliamua kuona hisia ngapi kwa mwezi Yandex. Hiki ndicho kilichotokea, angalia:

Ina maana gani? Hii inamaanisha kuwa karibu watu 70,000 kwa mwezi wanatafuta habari hii, na nini kitatokea katikati ya mwaka wa masomo - kutakuwa na maombi mara mbili zaidi. Hii haishangazi, kwa sababu wale wavulana na wasichana ambao walihitimu shuleni muda mrefu uliopita na wanajiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja wanatafuta habari hii, na watoto wa shule pia wanatafuta kuifurahisha katika kumbukumbu zao.

Licha ya ukweli kwamba kuna tovuti nyingi zinazokuambia jinsi ya kutatua equation hii, niliamua kufanya kidogo yangu pia na kuchapisha nyenzo. Kwanza, ninataka wageni waje kwenye tovuti yangu kwa ombi hili; pili, katika makala nyingine, hotuba ya "KU" itakapokuja, nitatoa kiungo cha makala hii; tatu, nitakuambia juu ya suluhisho lake zaidi kidogo kuliko inavyosemwa kwenye tovuti zingine. Tuanze! Yaliyomo katika kifungu:

Equation ya quadratic ni equation ya fomu:

ambapo coefficients a,bna nambari za kiholela, na ≠ 0.

Katika kozi ya shule, nyenzo hutolewa kwa fomu ifuatayo - hesabu zimegawanywa katika madarasa matatu:

1. Wana mizizi miwili.

2. * Kuwa na mzizi mmoja tu.

3. Usiwe na mizizi. Ni muhimu kuzingatia hapa kwamba hawana mizizi halali.

Je, mizizi huhesabiwaje? Tu!

Tunahesabu ubaguzi. Chini ya neno hili "mbaya" kuna fomula rahisi sana:

Njia za mizizi ni kama ifuatavyo:

* Fomula hizi zinahitaji kujulikana kwa moyo.

Unaweza kuandika mara moja na kuamua:

Mfano:

1. Ikiwa D> 0, basi equation ina mizizi miwili.

2. Ikiwa D = 0, basi equation ina mizizi moja.

3. Ikiwa D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Wacha tuangalie equation:

Katika suala hili, wakati kibaguzi ni sifuri, katika kozi ya shule inasemekana kuwa mzizi mmoja unapatikana, hapa ni sawa na tisa. Kila kitu ni sawa, ni, lakini ...

Uwakilishi huu kwa kiasi fulani si sahihi. Kwa kweli, kuna mizizi miwili. Ndio, ndio, usishangae, inageuka mizizi miwili sawa, na kuwa sawa kihesabu, basi jibu linapaswa kuandikwa mizizi miwili:

x 1 = 3 x 2 = 3

Lakini hii ni hivyo - digression ndogo. Shuleni, unaweza kuandika na kusema kwamba kuna mzizi mmoja.

Sasa mfano unaofuata:

Kama tunavyojua, mzizi wa nambari hasi haujatolewa, kwa hivyo hakuna suluhisho katika kesi hii.

Huo ndio mchakato mzima wa suluhisho.

Utendaji wa Quadratic.

Hivi ndivyo suluhisho linaonekana kijiometri. Hii ni muhimu sana kuelewa (katika siku zijazo, katika moja ya vifungu, tutachambua kwa undani suluhisho la usawa wa mraba).

Hii ni kazi ya fomu:

ambapo x na y ni vigezo

a, b, c - nambari zilizopewa, na ≠ 0

Grafu ni parabola:

Hiyo ni, zinageuka kuwa kwa kutatua equation ya quadratic na "y" sawa na sifuri, tunapata pointi za makutano ya parabola na mhimili wa x. Kunaweza kuwa na pointi mbili kati ya hizi (kibaguzi ni chanya), moja (kibaguzi ni sifuri) na hakuna (kibaguzi ni hasi). Zaidi kuhusu utendaji wa quadratic Unaweza kutazama makala na Inna Feldman.

Hebu tuchunguze baadhi ya mifano:

Mfano 1: Tatua 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Jibu: x 1 = 8 x 2 = -12

* Iliwezekana kugawanya mara moja pande za kushoto na za kulia za equation na 2, yaani, kurahisisha. Mahesabu yatakuwa rahisi zaidi.

Mfano 2: Amua x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = -22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Tulipata hiyo x 1 = 11 na x 2 = 11

Katika jibu, inaruhusiwa kuandika x = 11.

Jibu: x = 11

Mfano 3: Amua x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Ubaguzi ni hasi, hakuna suluhisho kwa idadi halisi.

Jibu: hakuna suluhu

Mbaguzi ni hasi. Kuna suluhisho!

Hapa tutazungumzia juu ya kutatua equation katika kesi wakati ubaguzi mbaya unapatikana. Je! unajua chochote kuhusu nambari changamano? Sitaingia kwa undani hapa juu ya kwanini na wapi walitoka na jukumu lao maalum na hitaji lao katika hisabati ni nini, hii ni mada ya nakala kubwa tofauti.

Dhana ya nambari changamano.

Nadharia kidogo.

Nambari changamano z ni nambari ya fomu

z = a + bi

ambapo a na b ni nambari halisi, i ni kile kinachoitwa kitengo cha kufikiria.

a + bi Ni SINGLE NUMBER, sio nyongeza.

Sehemu ya kufikiria ni sawa na mzizi wa minus moja:

Sasa fikiria equation:

Tuna mizizi miwili ya kuunganisha.

Mlingano wa quadratic haujakamilika.

Fikiria kesi maalum, hii ni wakati mgawo "b" au "c" ni sawa na sifuri (au zote mbili ni sawa na sifuri). Zinatatuliwa kwa urahisi bila ubaguzi wowote.

Kesi ya 1. Mgawo b = 0.

Equation inachukua fomu:

Wacha tubadilishe:

Mfano:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Kesi ya 2. Mgawo na = 0.

Equation inachukua fomu:

Tunabadilisha, kutengeneza viwandani:

* Bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri.

Mfano:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 au x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kesi ya 3. Viwiliwili b = 0 na c = 0.

Ni wazi hapa kuwa suluhisho la equation litakuwa x = 0 kila wakati.

Mali muhimu na mifumo ya coefficients.

Kuna mali ambayo inakuwezesha kutatua equations na coefficients kubwa.

ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia

a + b+ c = 0, basi

- ikiwa kwa coefficients ya equation ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia

a+ c =b, basi

Tabia hizi husaidia kutatua aina fulani ya equation.

Mfano 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumla ya uwezekano ni 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, kwa hivyo

Mfano 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Usawa unafikiwa a+ c =b, maana yake

Kanuni za coefficients.

1. Ikiwa katika shoka ya equation 2 + bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni.

shoka 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni.

shoka 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 15x 2 -226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ikiwa katika equation shoka 2 + bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo "c" kwa nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa

shoka 2 + (a 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo c ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni.

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Mfano. Fikiria mlinganyo 10x 2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Nadharia ya Vieta.

Nadharia ya Vieta imepewa jina la mwanahisabati maarufu wa Ufaransa François Vieta. Kwa kutumia nadharia ya Vieta, mtu anaweza kueleza jumla na bidhaa ya mizizi ya KE ya kiholela kulingana na coefficients yake.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kwa jumla, nambari 14 inatoa 5 na 9 tu. Hizi ni mizizi. Kwa ujuzi fulani, kwa kutumia nadharia iliyowasilishwa, unaweza kutatua equations nyingi za quadratic kwa maneno.

Nadharia ya Vieta, zaidi ya hayo. urahisi kwa kuwa baada ya kutatua equation ya quadratic kwa njia ya kawaida (kwa njia ya kibaguzi), mizizi iliyopatikana inaweza kuchunguzwa. Ninapendekeza kufanya hivi kila wakati.

NJIA YA KUHAMISHA

Kwa njia hii, mgawo "a" unazidishwa na neno la bure, kana kwamba "kutupwa" kwake, kwa hivyo inaitwa. kwa njia ya "uhamisho". Njia hii hutumiwa wakati unaweza kupata kwa urahisi mizizi ya equation kwa kutumia nadharia ya Vieta na, muhimu zaidi, wakati kibaguzi ni mraba halisi.

Kama a± b + c≠ 0, basi mbinu ya uhamishaji inatumiwa, kwa mfano:

2X 2 – 11x + 5 = 0 (1) => X 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Kwa nadharia ya Vieta katika equation (2) ni rahisi kuamua kwamba x 1 = 10 x 2 = 1

Mizizi iliyopatikana ya equation lazima igawanywe na 2 (kwani mbili "zilitupwa" kutoka x 2), tunapata.

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Mantiki ni nini? Tazama kinachoendelea.

Wabaguzi wa milinganyo (1) na (2) ni sawa:

Ikiwa unatazama mizizi ya equations, basi madhehebu tofauti tu hupatikana, na matokeo inategemea hasa mgawo wa x 2:

Mizizi ya pili (iliyorekebishwa) ni mara 2 zaidi.

Kwa hivyo, tunagawanya matokeo na 2.

* Ikiwa tunasonga tena tatu, basi tunagawanya matokeo na 3, nk.

Jibu: x 1 = 5 x 2 = 0.5

Sq. ur-ye na mtihani.

Nitasema kwa ufupi juu ya umuhimu wake - LAZIMA UWEZE KUTATUA haraka na bila kusita, kanuni za mizizi na kibaguzi lazima zijulikane kwa moyo. Kazi nyingi zinazounda kazi za USE zimepunguzwa ili kutatua equation ya quadratic (pamoja na jiometri).

Ni nini kinachofaa kuzingatia!

1. Njia ya kuandika equation inaweza kuwa "implicit". Kwa mfano, kiingilio kifuatacho kinawezekana:

15+ 9x 2 - 45x = 0 au 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 au 15 -5x + 10x 2 = 0.

Unahitaji kuleta kwa fomu ya kawaida (ili usichanganyike wakati wa kutatua).

2. Kumbuka kwamba x ni kiasi kisichojulikana na inaweza kuonyeshwa kwa barua nyingine yoyote - t, q, p, h na wengine.

", Hiyo ni, milinganyo ya shahada ya kwanza. Katika somo hili tutachambua kile kinachoitwa mlinganyo wa quadratic na jinsi ya kulitatua.

Kinachoitwa equation ya quadratic

Muhimu!

Kiwango cha equation imedhamiriwa na digrii kubwa zaidi ambayo haijulikani inasimama.

Ikiwa nguvu ya juu ambayo haijulikani inasimama ni "2", basi una equation ya quadratic.

Mifano ya milinganyo ya quadratic

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Muhimu! Mtazamo wa jumla wa equation ya quadratic inaonekana kama hii:

A x 2 + b x + c = 0

• "A" - mgawo wa kwanza au muhimu zaidi;
• "B" ni mgawo wa pili;
• "C" ni mwanachama huru.

Ili kupata "a", "b" na "c" unahitaji kulinganisha equation yako na fomu ya jumla ya equation ya quadratic "ax 2 + bx + c = 0".

Wacha tufanye mazoezi ya kufafanua mgawo "a", "b" na "c" katika milinganyo ya quadratic.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic

Tofauti na equations linear, kutatua equations quadratic, maalum formula ya kutafuta mizizi.

Kumbuka!

Ili kutatua equation ya quadratic unahitaji:

• kuleta equation ya quadratic kwa fomu ya jumla "shoka 2 + bx + c = 0". Hiyo ni, "0" tu inapaswa kubaki upande wa kulia;
• tumia formula kwa mizizi:

Wacha tuchukue mfano wa jinsi ya kutumia fomula kupata mizizi ya equation ya quadratic. Wacha tusuluhishe equation ya quadratic.

X 2 - 3x - 4 = 0

Equation "x 2 - 3x - 4 = 0" tayari imepunguzwa kwa fomu ya jumla "ax 2 + bx + c = 0" na hauhitaji kurahisisha zaidi. Ili kutatua, tunahitaji tu kuomba fomula ya kutafuta mizizi ya equation ya quadratic.

Hebu tufafanue coefficients "a", "b" na "c" kwa equation hii.

Kwa msaada wake, equation yoyote ya quadratic inatatuliwa.

Katika fomula "x 1; 2 =" usemi mkali mara nyingi hubadilishwa
"B 2 - 4ac" na herufi "D" na inaitwa kibaguzi. Dhana ya kibaguzi imejadiliwa kwa undani zaidi katika somo la "Mbaguzi ni nini".

Fikiria mfano mwingine wa equation ya quadratic.

x 2 + 9 + x = 7x

Ni ngumu sana kuamua mgawo "a", "b" na "c" katika fomu hii. Hebu kwanza tulete equation kwa fomu ya jumla "shoka 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Sasa unaweza kutumia formula ya mizizi.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

Kuna nyakati ambapo hakuna mizizi katika milinganyo ya quadratic. Hali hii hutokea wakati nambari hasi inapatikana chini ya mzizi katika fomula.

Kwa programu hii ya hesabu, unaweza kutatua equation ya quadratic.

Programu haitoi jibu la shida tu, lakini pia inaonyesha mchakato wa suluhisho kwa njia mbili:
- kutumia kibaguzi
- kwa kutumia nadharia ya Vieta (ikiwezekana).

Kwa kuongezea, jibu linaonyeshwa kwa usahihi, sio makadirio.
Kwa mfano, kwa equation \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), jibu linaonyeshwa katika fomu hii:

Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi waandamizi wa shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kuangalia ujuzi kabla ya mtihani, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani ya hesabu au aljebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.

Kwa njia hii, unaweza kufanya mafundisho yako mwenyewe na / au mafundisho ya ndugu zako wadogo, wakati kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa huongezeka.

Ikiwa hujui sheria za kuingia polynomial ya mraba, tunapendekeza ujitambulishe nao.

Sheria za kuingia polynomial ya mraba

Herufi yoyote ya Kilatini inaweza kutumika kama kigezo.
Kwa mfano: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) nk.

Nambari zinaweza kuingizwa kama nambari kamili au sehemu.
Kwa kuongezea, nambari za sehemu zinaweza kuingizwa sio tu kwa njia ya decimal, lakini pia katika mfumo wa sehemu ya kawaida.

Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Katika sehemu za desimali, sehemu ya sehemu kutoka kwa jumla inaweza kutengwa na nukta au koma.
Kwa mfano, unaweza kuingiza sehemu za desimali kama hii: 2.5x - 3.5x ^ 2

Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari kamili pekee ndiyo inaweza kutumika kama nambari, denominator na sehemu nzima ya sehemu.

Denominator haiwezi kuwa hasi.

Wakati wa kuingiza sehemu ya nambari, nambari hutenganishwa na dhehebu na ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu nzima imetenganishwa na sehemu na ampersand: &
Ingizo: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Matokeo: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Wakati wa kuingiza usemi mabano yanaweza kutumika... Katika kesi hii, wakati wa kutatua equation ya quadratic, usemi ulioletwa hurahisishwa kwanza.
Kwa mfano: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

Ilibainika kuwa baadhi ya maandiko yanayohitajika kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Labda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.

Kwa sababu Kuna watu wengi ambao wanataka kutatua shida, ombi lako liko kwenye foleni.
Baada ya sekunde chache, suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...

Kama wewe aliona hitilafu katika uamuzi, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua na nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Quadratic equation na mizizi yake. Milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kila moja ya milinganyo
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
ina fomu
\ (shoka ^ 2 + bx + c = 0, \)
ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari.
Katika equation ya kwanza a = -1, b = 6 na c = 1.4, kwa pili a = 8, b = -7 na c = 0, katika tatu a = 1, b = 0 na c = 4/9. Milinganyo kama hiyo inaitwa milinganyo ya quadratic.

Ufafanuzi.
Mlinganyo wa quadratic ni mlinganyo wa umbo shoka 2 + bx + c = 0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari fulani, na \ (a \ neq 0 \).

Nambari a, b na c ni mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Nambari a inaitwa mgawo wa kwanza, nambari b - mgawo wa pili, na nambari c - neno la bure.

Katika kila milinganyo ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo \ (a \ neq 0 \), nguvu kubwa zaidi ya variable x ni mraba. Kwa hivyo jina: quadratic equation.

Kumbuka kwamba equation ya quadratic pia inaitwa equation ya shahada ya pili, kwani upande wake wa kushoto ni polynomial ya shahada ya pili.

Mlinganyo wa quadratic ambapo mgawo wa x 2 ni 1 unaitwa kupunguzwa equation ya quadratic... Kwa mfano, milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa ni milinganyo
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Ikiwa katika equation ya quadratic ax 2 + bx + c = 0 angalau moja ya coefficients b au c ni sawa na sifuri, basi equation kama hiyo inaitwa. mlingano wa quadratic usio kamili... Kwa hivyo, milinganyo -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Katika ya kwanza yao b = 0, katika pili c = 0, katika b ya tatu = 0 na c = 0.

Milinganyo ya quadratic isiyokamilika ni ya aina tatu:
1) shoka 2 + c = 0, ambapo \ (c \ neq 0 \);
2) shoka 2 + bx = 0, ambapo \ (b \ neq 0 \);
3) shoka 2 = 0.

Hebu fikiria ufumbuzi wa equations ya kila aina hizi.

Ili kusuluhisha mlinganyo wa robodi usio kamili wa fomu ax 2 + c = 0 kwa \ (c \ neq 0 \), uhamishe muda wake wa bure kwa upande wa kulia na ugawanye pande zote mbili za equation na:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Mshale wa kulia x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Kwa kuwa \ (c \ neq 0 \), basi \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Ikiwa \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), basi equation ina mizizi miwili.

Iwapo \ (- \ frac (c) (a) Kutatua mlinganyo wa kiduara usio kamili wa fomu shoka 2 + bx = 0 na \ (b \ neq 0 \) itaweka upande wake wa kushoto katika vipengele na kupata mlinganyo huo.
\ (x (shoka + b) = 0 \ Mshale wa kulia \ kushoto \ (\ anza (safu) (l) x = 0 \\ shoka + b = 0 \ mwisho (safu) \ kulia \ Mshale wa kulia \ kushoto \ (\ kuanza (safu) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ mwisho (safu) \ kulia. \)

Hii ina maana kwamba equation isiyokamilika ya quadratic ya fomu ax 2 + bx = 0 kwa \ (b \ neq 0 \) daima ina mizizi miwili.

Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu ya ax 2 = 0 ni sawa na equation x 2 = 0 na kwa hivyo ina mzizi wa kipekee 0.

Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Hebu sasa tuchunguze jinsi milinganyo ya quadratic inavyotatuliwa ambapo migawo yote ya zisizojulikana na neno huria ni nonzero.

Wacha tusuluhishe equation ya quadratic kwa fomu ya jumla na matokeo yake tunapata formula ya mizizi. Kisha fomula hii inaweza kutumika kutatua equation yoyote ya quadratic.

Tatua shoka la mlinganyo wa quadratic 2 + bx + c = 0

Kwa kugawanya sehemu zake zote mbili kwa a, tunapata mlingano wa quadratic uliopunguzwa sawa
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Tunabadilisha equation hii kwa kuchagua mraba wa binomial:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ kushoto (\ frac (b) (2a) \ kulia) ^ 2- \ kushoto (\ frac (b) (2a) \ kulia) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Mshale wa kulia \)

Usemi mkali unaitwa kibaguzi wa mlingano wa quadratic shoka 2 + bx + c = 0 (Kilatini "kibaguzi" ni kibaguzi). Inateuliwa na barua D, i.e.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Sasa, kwa kutumia nukuu ya kibaguzi, tunaandika upya fomula ya mizizi ya equation ya quadratic:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), ambapo \ (D = b ^ 2-4ac \)

Ni dhahiri kwamba:
1) Ikiwa D> 0, basi equation ya quadratic ina mizizi miwili.
2) Ikiwa D = 0, basi equation ya quadratic ina mizizi moja \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Ikiwa D Hivyo, kulingana na thamani ya kibaguzi, equation ya quadratic inaweza kuwa na mizizi miwili (kwa D> 0), mizizi moja (kwa D = 0) au isiwe na mizizi (kwa D Wakati wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia hii. formula, inashauriwa kuendelea kama ifuatavyo:
1) kuhesabu kibaguzi na kulinganisha na sifuri;
2) ikiwa kibaguzi ni chanya au sawa na sifuri, basi tumia formula ya mizizi, ikiwa ubaguzi ni mbaya, kisha uandike kuwa hakuna mizizi.

Nadharia ya Vieta

Axe ya quadratic equation iliyotolewa 2 -7x + 10 = 0 ina mizizi 2 na 5. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa ni 10. Tunaona kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na kinyume chake. ishara, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Equation yoyote ya quadratic iliyo na mizizi ina mali hii.

Jumla ya mizizi ya equation ya quadratic iliyotolewa ni sawa na mgawo wa pili, kuchukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure.

Wale. Nadharia ya Vieta inasema kwamba mizizi x 1 na x 2 ya equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 + px + q = 0 ina sifa:
\ (\ kushoto \ (\ anza (safu) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ mwisho (safu) \ kulia. \)