Calculator online.
Uchaguzi wa mraba unaendelea na kuharibika kwa wauzaji wa mraba tatu-shilingi.

Wale. Kazi zimepunguzwa kupata idadi \\ (P, q \\) na \\ (n, m \\)

Programu sio tu inatoa kazi ya jibu, lakini pia inaonyesha mchakato wa ufumbuzi.

Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi wa shule za sekondari za shule za elimu ya jumla wakati wa kuandaa vipimo na mitihani, wakati wa kuangalia ujuzi kabla ya mtihani, wazazi kwa ajili ya kufuatilia suluhisho la matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda wewe ni ghali sana kukodisha mwalimu au kununua vitabu vipya? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani katika hisabati au algebra iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu kwa ufumbuzi wa kina.

Kwa hiyo, unaweza kufanya mafunzo yako mwenyewe na / au mafunzo ya ndugu au dada zako mdogo, wakati kiwango cha elimu katika uwanja wa kazi zilizotatuliwa huongezeka.

Ikiwa hujui sheria za kuingia mraba tatu, tunapendekeza kujitambulisha pamoja nao.

Kanuni za pembejeo za polynomial za mraba.

Kama variable inaweza kuwa barua yoyote ya Kilatini.
Kwa mfano: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\), nk.

Hesabu inaweza kuingia nzima au sehemu.
Aidha, namba za sehemu zinaweza kusimamiwa sio tu kwa namna ya decimal, lakini pia kwa namna ya sehemu ya kawaida.

Sheria za kuingia vipande vya decimal.
Katika vipande vya decimal, sehemu ya sehemu ya yote inaweza kutengwa kama hatua na comma.
Kwa mfano, unaweza kuingia vipande vya decimal kama hii: 2.5x - 3.5x ^ 2

Kanuni za kuingia sehemu za kawaida.
Tu integer inaweza kutenda kama namba, denominator na sehemu nzima ya sehemu.

Denominator haiwezi kuwa mbaya.

Wakati wa kuingia sehemu ya nambari, nambari iliyotengwa na madhehebu hadi alama ya fission: /
Sehemu nzima imetenganishwa na ishara ya Fraraty Ampersand: &
Ingiza: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Matokeo: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

Wakati wa kuingia maneno. unaweza kutumia mabano.. Katika kesi hiyo, wakati kutatua maneno yaliyoingia ni ya kwanza rahisi.
Kwa mfano: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Mfano wa ufumbuzi wa kina

Uchaguzi wa mraba ni bounce. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ haki ya (x + p) ^ 2 + q $$$$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$$$ 2x ^ 2 +2 \\ cdot 2 \\ cdot \\ kushoto ( \\ FRAC (1) (2) \\ haki) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ kushoto (\\ frac (1) (2) \\ haki) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$$$ 2 \\ kushoto (x ^ 2 + 2 \\ cdot \\ kushoto (\\ frac (1) (2) \\ haki) \\ cdot x + \\ kushoto (\\ frac (1) (2) \\ haki) ^ 2 \\ haki) - \\ frac ( 9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ ya kushoto (x + \\ frac (1) (2) \\ haki) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Jibu: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ kushoto (x + \\ frac (1) (2) \\ haki) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Factorization. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ haki (x + n) (x + m) $$$$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ kushoto (x ^ 2 + x-2 \\ haki) \u003d $$
$$ 2 \\ kushoto (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ cdot 2 \\ haki) \u003d $$$$ 2 \\ kushoto (x \\ kushoto (x +2 \\ haki) -1 \\ kushoto (x +2 \\ haki ) \\ Haki) \u003d $$$$ 2 \\ kushoto (x -1 \\ haki) \\ kushoto (x +2 \\ haki) $$ Jibu: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ kushoto (x -1 \\ haki) \\ kushoto (x +2 \\ haki) $$

Inapatikana kwamba baadhi ya maandiko yanahitajika kutatua kazi hii hayajaingizwa, na programu haiwezi kufanya kazi.
Unaweza kuwa na adblock ikiwa ni pamoja na.
Katika kesi hii, kukataza na kusasisha ukurasa.

Kwa sababu Wanataka kutatua kazi ni sana, ombi lako liko kwenye mstari.
Baada ya sekunde chache, suluhisho litaonekana chini.
Tafadhali subiri SEC ...

Ikiwa wewe niliona kosa katika kutatuaUnaweza kuandika juu ya fomu ya maoni.
Usisahau taja kazi gani Unaamua na nini. ingiza kwenye shamba.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Kidogo cha nadharia.

Uchaguzi wa bicker mraba kutoka mraba tatu.

Ikiwa mraba tatu-stale ah 2 + bx + c inawakilishwa kama (x + p) 2 + q, ambapo p na q ni idadi halali, wanasema kwamba kutoka square Square Square Square mbili.

Eleza 2x 2 + 12x + 14 Square 2 + 12x + 14 mraba.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

Ili kufanya hivyo, fikiria 6x kwa namna ya kazi 2 * 3 * x, na kisha uondoe na uondoe 3 2. Tunapata:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$$$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Kwa hiyo Sisi iligawa mraba wa biccoule kutoka kwa mraba tatu, na kuchochea kwamba:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Uharibifu wa wauzaji wa mraba wa tatu

Ikiwa mraba tatu-stale ah 2 + bx + c inawakilishwa kama (x + n) (x + m), ambapo n na m ni namba halali, wanasema kuwa operesheni hufanyika uharibifu wa mraba tatu-mshtuko.

Hebu tuonyeshe mfano kama mabadiliko haya yamefanyika.

Tunapunguza mraba 2x 2 + 4x-6 kwa wauzaji.

Nitahamisha mgawo kwa mabano, i.e. 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

Tunabadilisha maneno katika mabano.
Ili kufanya hivyo, fikiria 2x kwa namna ya tofauti ya 3x-1x, A -3 katika fomu -1 * 3. Tunapata:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Kwa hiyo Sisi imeharibiwa juu ya mraba wa mraba tatu, na kuchochea kwamba:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Kumbuka kwamba uharibifu wa wauzaji wa mraba tatu-shred inawezekana tu wakati, usawa wa mraba unaohusiana na hii tatu-melan ina mizizi.
Wale. Kwa upande wetu, inawezekana kuharibika kwa multipliers 3x 2 + 4x-6 iwezekanavyo ikiwa equation ya mraba 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 ina mizizi. Katika mchakato wa utengano juu ya mambo, tumegundua kwamba equation 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 ina mizizi miwili 1 na -3, kwa sababu Katika maadili haya, equation 2 (x - 1) (x + 3) \u003d rufaa 0 kwa usawa sahihi.

Nini factorization? Hii ni njia ya kugeuka mfano usio na wasiwasi na ngumu katika rahisi na mzuri.) Och-Ch-Chen mapokezi ya nguvu! Inatokea kila hatua na katika hisabati ya msingi, na kwa juu.

Mabadiliko hayo katika lugha ya hisabati huitwa mabadiliko ya kufanana ya maneno. Ambaye si katika somo - tembea kupitia kiungo. Kuna kidogo, rahisi na muhimu.) Maana ya uongofu wowote ni rekodi ya kujieleza. katika video nyingine Uhifadhi wa asili yake.

Maana ovyo kwa wingi Ni rahisi sana na kueleweka. Moja kwa moja kutoka kwa jina hilo. Unaweza kusahau (au si kujua) ni nini kuzidisha, lakini neno hili linatokana na neno "kuzidisha" ili kujua kitu?) Kutangaza kwa multipliers maana: kuwasilisha maneno kwa namna ya kuzidisha kitu fulani. Ndiyo, nitawasamehe hisabati na Kirusi ...) na ndivyo.

Kwa mfano, unahitaji kuharibika namba 12. Unaweza kuandika salama:

Kwa hiyo tuliwasilisha namba 12 kwa njia ya kuzidisha 3 na 4. Tafadhali kumbuka kwamba haki ya Tsiferki (3 na 4) ni tofauti kabisa na kushoto (1 na 2). Lakini tunaelewa vizuri kwamba 12 na 3 · 4 sawa. Kiini cha namba 12 kutoka kwa uongofu. haibadilishwa.

Je! Unaweza kuondokana na 12 tofauti? Urahisi!

12 \u003d 3 · 4 \u003d 2 · 6 \u003d 3 · 2 · 2 \u003d 0,5 · 24 \u003d ........

Chaguzi za kupeleka - Kiasi cha mwisho.

Uharibifu wa multipliers - jambo ni muhimu. Inasaidia sana, kwa mfano, wakati vitendo na mizizi. Lakini upanuzi wa mambo ya maneno ya algebraic sio muhimu, ni jirani! Safi kwa mfano:

Rahisisha:

Ambao hawajui jinsi ya kuweka maneno juu ya wauzaji wa multipliers, kupumzika kando. Nani anajua jinsi - huhisi na anapata:

Athari ni ya kushangaza, hata hivyo?) Kwa njia, suluhisho ni rahisi sana. Chini itajiona. Au, kwa mfano, kazi hiyo:

Tatua usawa:

x 5 - x 4 \u003d 0.

Yeye hutatuliwa katika akili, kwa njia. Kutumia utengano wa multipliers. Chini sisi kutatua mfano huu. Jibu: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1..

Au, sawa, lakini kwa hisia):

Tatua usawa:

Katika mifano hii, nilionyesha. uteuzi Mkuu Ovyo kwa Wafanyabiashara: Weyesha maneno ya sehemu na kutatua aina fulani za usawa. Ninapendekeza kukumbuka kanuni ya vitendo:

Ikiwa tuna maneno ya kutisha ya kutisha, unaweza kujaribu kufuta nambari na denominator kwa wapiga kura. Mara nyingi sehemu ndogo imepunguzwa na rahisi.

Ikiwa equation iko mbele yetu ambapo kwa haki - sifuri, na upande wa kushoto - usielewe nini, unaweza kujaribu kufuta sehemu ya kushoto juu ya wauzaji. Wakati mwingine husaidia).

Njia za msingi za kuharibika kwa multipliers.

Hapa ni, njia maarufu zaidi:

4. Uharibifu wa Square Square.

Njia hizi lazima zikumbukwe. Ni kwa utaratibu huu. Mifano tata ni checked. njia zote zinazowezekana za kuharibika. Na ni bora kuangalia kwa wachache ili wasiweze kuchanganyikiwa ... hapa kwa wachache na kuanza.)

1. Kuondoa sababu ya kawaida kwa mabano.

Njia rahisi na ya kuaminika. Haitoke kutoka kwake! Inaweza ama au kwa njia yoyote.) Kwa hiyo, yeye ni wa kwanza. Tunaelewa.

Kila mtu anajua (naamini!)) Kanuni:

a (B + C) \u003d AB + AC

Au, kwa fomu ya jumla:

a (B + C + D + .....) \u003d AB + AC + AD + ....

Sali zote zinafanya kazi kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake, haki ya kushoto. Unaweza kuandika:

aB + AC \u003d A (B + C)

aB + AC + AD + .... = a (B + C + D + .....)

Hapa ni kiini kizima cha kiwanda cha jumla kwa mabano.

Upande wa kushoto lakini - multiplier ya kawaida. Kwa maneno yote. Iliongezeka kwa kila kitu kilicho). Upande wa kulia lakini Iko tayari nyuma ya mabano.

Matumizi ya vitendo ya njia hiyo itaangalia mifano. Kwanza, chaguo ni rahisi, hata cha kwanza.) Lakini katika mfano huu, nitatambua (kijani) wakati muhimu sana kwa kuharibika kwa multipliers.

Kutuma kwa wapiga kura:

ah + 9x.

Nini kawaida Multiplier anakaa katika maneno yote mawili? X, bila shaka! Yake na tutavumilia nyuma ya mabano. Tunafanya hivyo. Mara moja kuandika IKS nyuma ya mabano:

ah + 9x \u003d x (

Na katika mabano kuandika matokeo ya mgawanyiko kila jamii Katika X hii sana. Kwa wachache:

Ni hayo tu. Bila shaka, sio lazima kupiga rangi kwa njia hii, imefanywa katika akili. Lakini kuelewa ni nini kinachohitajika). Kurekebisha Katika Kumbukumbu:

Tunaandika sababu ya jumla nyuma ya mabano. Katika mabango, andika matokeo ya kugawa masharti yote kwa sababu hii ya kawaida. Kwa wachache.

Kwa hiyo tuliweka maneno hayo ah + 9x. kwa wauzaji. Akageuka kuwa kuzidisha kwa IKSA ON. (A + 9). Ninaona kwamba katika maneno ya awali, kulikuwa na kuzidisha pia, hata mbili: a · X na 9 · X. Lakini haikuwekwa kwa wingi! Kwa sababu badala ya kuzidisha, kulikuwa na kuongeza kwa maneno haya, ishara "+"! Na katika kujieleza. x (A + 9) mbali na kuzidisha, hakuna!

Jinsi hivyo!? - Nisikia sauti ya hasira ya watu - na katika mabango!?)

Ndiyo, ndani ya mabano kuna kuongeza. Lakini chip ni kwamba wakati mabango hayajafunuliwa, tunawafikiria kama barua moja. Na matendo yote yenye mabano hufanya yote, kama kwa barua moja. Kwa maana hii katika kujieleza. x (A + 9) Mbali na kuzidisha hakuna kitu. Hii ni kiini kizima cha kuharibika kwa wauzaji.

Kwa njia, je, ninaweza kuangalia kama tulifanya kila kitu sawa? Rahisi! Haraka kuzidi ukweli kwamba walifanya (x) kwa mabano na kuona kama chanzo kujieleza? Ikiwa kilichotokea, kila aina ya juu!)

x (A + 9) \u003d ah + 9x

Kilichotokea.)

Hakuna matatizo katika mfano huu wa kwanza. Lakini ikiwa kuna maneno kadhaa, na hata kwa ishara tofauti ... Kwa kifupi, kila mwanafunzi wa tatu anagusa). Kwa hiyo:

Ikiwa ni lazima, angalia upanuzi wa kuzidi kuzidi.

Kutuma kwa wapiga kura:

3ACH + 9X.

Tunatafuta sababu ya jumla. Naam, na x na kila kitu ni wazi, inaweza kufikiwa. Je, kuna nyingine kawaida sababu? Ndiyo! Hii ni mara tatu. Unaweza pia kurekodi maneno kama haya:

3Ach + 3 3x.

Hapa inaonekana mara moja kwamba sababu ya jumla itakuwa 3x.. Hapa ndio na tunavumilia:

3Ach + 3 · 3x \u003d 3x (A + 3)

Imeharibiwa.

Na nini kitatokea ikiwa unafanya x tu? Hakuna maalum:

3AKI + 9X \u003d x (3A + 9)

Hii pia itaondolewa na wauzaji. Lakini katika mchakato huu wa kusisimua ni desturi ya kuweka kila kitu mpaka itaacha wakati kuna uwezekano. Hapa katika mabano wana nafasi ya kuvumilia juu ya tatu. Inageuka:

3AKI + 9X \u003d x (3A + 9) \u003d 3x (A + 3)

Sawa, tu kwa hatua moja nyingi.) Nakumbuka:

Wakati wa kufanya sababu ya kawaida kwa mabano, jaribu kufanya upeo Multiplier ya kawaida.

Endelea burudani?)

Panua kujieleza kwa wauzaji:

3AKI + 9X-8A-24.

Tutaweza kuvumilia nini? Troika, X? Hakuna e-e ... haiwezekani. Nakumbusha tu kawaida Multiplier. kwa yotemaneno ya sukari. Kwa hiyo yeye na yeye kawaida. Hakuna kuzidisha vile hapa ... Nini, huwezi kuweka!? Naam, ndiyo, tulifurahi, jinsi ... Kukutana:

2. Kuunganisha.

Kweli, kikundi ni vigumu kupiga njia ya kujitegemea ya kuharibika kwa wingi. Inawezekana zaidi kutoka kwa mfano mgumu.) Ni muhimu kuunganisha vipengele ili kila kitu kitatokea. Hii ni mfano tu kuonyesha. Kwa hiyo, kabla ya kujieleza:

3AKI + 9X-8A-24.

Inaweza kuonekana kwamba barua na namba za kawaida zinapatikana. Lakini ... Kawaida Multiplier kuwa katika maneno yote - hapana. Usiingie katika roho na tunagawanya maneno kwenye vipande. Sisi kikundi. Kwa hiyo katika kila kipande kulikuwa na sababu ya jumla, kulikuwa na kitu cha kuchukuliwa nje. Jinsi ya kupiga? Ndiyo, tu kuweka mabaki.

Napenda kukukumbusha kwamba mabako yanaweza kuweka mahali popote na kama unavyopenda. Ikiwa ni kiini cha mfano haukubadilika. Kwa mfano, unaweza:

3AKI + 9X-8A-24.=(3h + 9x) - (8a + 24)

Tafadhali makini na mabano ya pili! Kabla yao ni ishara ya chini, na 8a. Na 24 Steel chanya! Ikiwa, kuangalia, nyuma ya mabano ya wazi, ishara zitabadilika, na tunapata chanzo kujieleza. Wale. Kiini cha maneno kutoka kwa mabano haijabadilika.

Lakini kama wewe tu kukwama mabaki, bila kuzingatia mabadiliko ya ishara, kwa mfano, kama hii:

3AKI + 9X-8A-24.=(3h + 9x) - (8a-24. )

itakuwa kosa. Haki - tayari nyingine kujieleza. Mabako ya wazi na kila kitu kitaonekana. Huwezi kuamua, ndiyo ...)

Lakini tunarudi kwenye utengano wa multipliers. Tunaangalia mabano ya kwanza. (3h + 9x) Na tunadhani, inawezekana kufanya kitu? Naam, tuliamua kufanya mfano huu hapo juu, unaweza kutoa 3x:

(3ACH + 9x) \u003d 3x (A + 3)

Tunasoma mabano ya pili, huko unaweza kuchukua nane:

(8a + 24) \u003d 8 (A + 3)

Maneno yetu yote yatatokea:

(3ACH + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (A + 3) -8 (A + 3)

Imeharibiwa juu ya wauzaji? Si. Kama matokeo ya uharibifu unapaswa kugeuka kuzidisha tu Na tuna ishara ndogo ya nyara zote. Lakini ... katika masharti yote kuna multiplier ujumla! IT. (A + 3). Sikusema bure kwamba mabango ni kabisa - kama ilivyokuwa, barua moja. Hivyo mabano haya yanaweza kuchukuliwa nje ya mabano. Ndiyo, hii ndiyo hasa sauti.)

Tunafanya, kama ilivyoelezwa hapo juu. Tunaandika sababu ya jumla (A + 3), katika mabano ya pili, weka matokeo ya mgawanyiko wa vipengele (A + 3):

3x (A + 3) -8 (A + 3) \u003d (A + 3) (3x-8)

Kila kitu! Kwa upande wa kulia, ila kwa kuzidisha hakuna kitu! Kwa hiyo, utengano wa multipliers umekamilika kwa mafanikio!) Hapa ni:

3AKI + 9X-8A-24 \u003d (A + 3) (3x-8)

Tutarudia kiini cha kikundi.

Ikiwa hakuna maelezo. kawaida Multiplier kwa wote Masharti, kugawanya maneno na mabano ili ndani ya mabaki ya kiwanda kikubwa ilikuwa. Tunavumilia na kuangalia kile kilichotokea. Ikiwa bahati, na katika mabano yalibakia maneno ya kufanana kabisa, tunavumilia mabano haya kwa mabano.

Nitaongeza kuwa kikundi ni mchakato wa ubunifu). Si mara zote tangu mara ya kwanza inageuka. Hakuna kitu kibaya. Wakati mwingine ni muhimu kubadili vipengele vya maeneo, fikiria chaguo tofauti za kikundi mpaka utapata nzuri. Jambo kuu hapa sio kuanguka kwa roho!)

Mifano.

Sasa, hacked na ujuzi, unaweza na mifano ya ujanja itakuwa imetumwa.) Ilikuwa mwanzoni mwa somo la Troika ...

Rahisisha:

Kwa kweli, mfano huu tumeamua. Haijulikani kwako mwenyewe.) Ninakukumbusha ikiwa tunapewa sehemu mbaya, tunajaribu kugawanya namba na denominator kwa wauzaji. Chaguzi nyingine kwa kurahisisha. hapana tu.

Naam, denominator haifunguli hapa, na nambari ... Nambari ilikuwa tayari imewekwa nje ya somo! Kama hii:

3AKI + 9X-8A-24 \u003d (A + 3) (3x-8)

Andika matokeo ya kuharibika ndani ya nambari ya sehemu:

Kwa mujibu wa sheria za sehemu (mali kuu ya sehemu), tunaweza kugawa (wakati huo huo!) Numerator na denominator kwa kila nambari na idadi sawa, au kujieleza. Sehemu kutoka kwao haibadilika. Hapa na kugawanya namba na denominator kwa maneno (3x-8). Na huko na huko tutapata vitengo. Matokeo ya Urahisi wa Mwisho:

Hasa alisisitiza: kupungua kwa sehemu hiyo inawezekana basi na tu ikiwa katika namba na denominator pamoja na kuzidisha maneno hakuna kitu. Ndiyo sababu mabadiliko ya kiasi (tofauti) ndani kuzidisha Muhimu sana ili kurahisisha. Bila shaka, kama maneno. tofauti, Hiyo haitapunguza chochote. Sababu. Lakini upanuzi wa multipliers. hutoa nafasi. Nafasi hii bila kuharibika sio tu.

Mfano na Equation:

Tatua usawa:

x 5 - x 4 \u003d 0.

Tunafanya sababu ya jumla x 4. kwa mabano. Tunapata:

x 4 (x - 1) \u003d 0.

Tunadhani kwamba kazi ya multipliers ni sifuri. kisha na kisha basi Wakati baadhi yao ni sifuri. Ikiwa una shaka, nipate namba kadhaa za nonzero, ambazo zitatoa sifuri wakati wa kuzidisha.) Kwa hiyo tunaandika, kwanza sababu ya kwanza:

Kwa usawa huo, sababu ya pili haijali. Mtu yeyote anaweza kuwa, bado kama matokeo ya sifuri. Na idadi gani katika shahada ya nne itatoa sifuri? Tu sifuri! Na hakuna mwingine ... ikawa:

Sababu ya kwanza imeonekana, mizizi moja imepatikana. Tunaelewa kwa sababu ya pili. Sasa hatuna wasiwasi juu ya jambo la kwanza.):

Kwa hiyo nimepata suluhisho: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.. Yoyote ya mizizi hii inafaa kwa usawa wetu.

Maneno muhimu sana. Kumbuka, tulitatua usawa vipande vipande! Kila multiplier ilikuwa sawa na sifuri, si kulipa kipaumbele kwa mambo mengine. Kwa njia, ikiwa hakuna sababu mbili katika usawa huo, kama tunavyo, na tatu, tano, ni kiasi gani - tutaamua sawa. Vipande vipande. Kwa mfano:

(x - 1) (x + 5) (x - 3) (x + 2) \u003d 0

Yule atakayefunua mabano atazidisha kila kitu, atategemea milele hii.) Mwanafunzi mwenye haki ataona mara moja kwamba hakuna kitu kilichoachwa pamoja na kuzidisha, haki - sifuri. Na kuanza (katika akili!) Ili kulinganisha mabano yote kwa sifuri kwa wachache. Na kupata (katika sekunde 10!) Uamuzi sahihi: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

Kubwa, kwa kweli?) Suluhisho hilo la kifahari linawezekana kama sehemu ya kushoto ya equation imefungwa kwa wauzaji. Hint ni wazi?)

Naam, mfano wa mwisho, kwa hisia):

Tatua usawa:

Kitu ni kama ya awali, haipati?) Bila shaka. Ni wakati wa kukumbuka kuwa katika algebra ya darasa la saba chini ya barua kunaweza kuwa na siquies, na logarithms, na chochote! Uharibifu juu ya multipliers hufanya kazi katika hisabati nzima.

Tunafanya sababu ya jumla lG 4 X. kwa mabano. Tunapata:

lG 4 x \u003d 0.

Hii ni mizizi moja. Tunaelewa kwa sababu ya pili.

Hapa ni jibu la mwisho: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10..

Natumaini uligundua uwezo wote wa kuharibika kwa sababu katika kurahisisha sehemu na kutatua usawa.)

Katika somo hili, tulikutana na uhamisho wa sababu ya kawaida na kikundi. Inabakia kukabiliana na kanuni za kuzidisha kufupishwa na mraba mara tatu.

Ikiwa ungependa tovuti hii ...

Kwa njia, nina maeneo mengine ya kuvutia kwako.)

Inaweza kupatikana katika kutatua mifano na kupata kiwango chako. Kupima kwa hundi ya papo hapo. Jifunze - kwa riba!)

Unaweza kufahamu sifa na derivatives.

Dhana ya "polynomial" na "upanuzi wa polynomials kwa multipliers" juu ya algebra hupatikana mara nyingi sana, kwa sababu wanahitaji kujulikana kwa urahisi kufanya mahesabu na idadi kubwa ya thamani. Makala hii itaelezea mbinu kadhaa za kuharibika. Wote ni rahisi sana katika matumizi, ni muhimu tu kuchagua kitu sahihi katika kila kesi fulani.

Dhana ya polynomial.

Polynomial ni jumla ya mrengo mmoja, yaani, maneno yaliyo na operesheni ya kuzidisha tu.

Kwa mfano, 2 * x * y ni wakati mmoja, lakini 2 * x * y + 25 ni polynomial, ambayo ina 2 mrengo moja: 2 * x * y na 25. wito vile polynomial twisted.

Wakati mwingine kwa urahisi wa kutatua mifano na maadili ya thamani mbalimbali, maneno yanapaswa kubadilishwa, kwa mfano, kuharibika kwa idadi fulani ya kuzidisha, yaani, namba au maneno kati ya ambayo kuzidisha hufanyika. Kuna njia kadhaa za kuharibika kwa polynomials kwa wauzaji. Ni muhimu kuzingatia yao kutoka kwa primitive zaidi, ambayo hutumiwa katika darasa la msingi.

Kuunganisha (Kuingia kwa ujumla)

Fomu ya uharibifu wa polynomial kwa wingi wa njia ya kikundi kwa ujumla inaonekana kwa njia hii:

aC + BD + BC + AD \u003d (AC + BC) + (AD + BD)

Ni muhimu kugawana kikundi ili kila kikundi sababu ya kawaida inaonekana. Katika bracket ya kwanza, hii ni multiplier na, na katika pili - d. Inapaswa kufanyika ili kisha kuiondoa kwenye bracket, na hivyo kurahisisha hesabu.

Algorithm ya kuharibika kwa mfano maalum

Mfano rahisi zaidi wa kuharibika kwa polynomial kwa wingi wa njia ya kikundi hutolewa hapa chini:

10A + 14bc - 25a - 35b \u003d (10A - 25a) + (14bc - 35b)

Katika bracket ya kwanza unahitaji kuchukua masharti na multiplier A, ambayo itakuwa ya jumla, na kwa pili - na multiplier b. Jihadharini na ishara + na - katika kujieleza kumaliza. Tunaweka mbele ya ishara hiyo iliyokuwa katika masharti ya msingi. Hiyo ni, unahitaji kufanya kazi si kwa kujieleza 25a, lakini kwa kujieleza -25. Ishara ya minus ni "kushikamana" kwa maneno yaliyosimama nyuma yake na daima kuzingatia wakati wa kuhesabu.

Katika hatua inayofuata, unapaswa kubeba multiplier, ambayo ni ya kawaida, kwa bracket. Ni kwa hili kwamba kikundi kinafanyika. Kuchukua bracket - ina maana ya kuandika kabla ya bracket (kupunguza ishara ya kuzidisha) wote wachache ambao hurudiwa kwa usahihi katika masharti yote yaliyo kwenye bracket. Ikiwa si 2 katika bracket, na maneno 3 na zaidi, sababu ya jumla inapaswa kuwa na kila mmoja wao, vinginevyo haiwezi kuchukuliwa nje ya bracket.

Kwa upande wetu, maneno mawili tu katika mabano. Sababu ya jumla inaonekana mara moja. Katika bracket ya kwanza ni, katika pili - b. Hapa unahitaji kuzingatia coefficients ya digital. Katika bracket ya kwanza, coefficients wote (10 na 25) ni nyingi 5. Hii ina maana kwamba inawezekana kufanya bracket si tu, lakini pia 5A. Mbele ya bracket kuandika 5A, na kisha kila sehemu katika mabano katika mabano, ambayo ilifanyika, na pia kuandika binafsi katika mabano, si kusahau juu ya ishara + na - na bracket pili kufanya pia, kubeba Nje ya 7b, kwa sababu na 14 na 35 kwa bidii 7.

10A + 14bc - 25a - 35b \u003d (10a - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5A (2C - 5) + 7b (2c - 5).

Ilibadilika 2 Masharti: 5A (2C - 5) na 7b (2c - 5). Kila mmoja ana mchanganyiko mkuu (maneno yote katika mabano yanafanana hapa, inamaanisha ni jambo la kawaida): 2C - 5. Pia inahitaji kuchukuliwa kwa bracket, yaani, maneno ya 3A na 7B yanabaki katika Bracket ya pili:

5a (2C - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2C - 5) * (5a + 7b).

Kwa hiyo, kujieleza kamili:

10A + 14bc - 25a - 35b \u003d (10A - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5A (2C - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2C - 5) * (5a + 7b).

Kwa hiyo, polynomial 10AS + 14BC - 25A - 35B imewekwa katika wauzaji 2: (2C - 5) na (5A + 7b). Ishara ya kuzidisha kati yao wakati kurekodi inaweza kufutwa

Wakati mwingine kuna maneno ya aina hii: 5A 2 + 50A 3, hapa unaweza kuchukua bracket si tu au 5A, lakini hata 5a 2. Unapaswa daima kujaribu kuvumilia kiwango kikubwa cha jumla nyuma ya bracket. Kwa upande wetu, ikiwa umegawanyika kila neno kwa sababu ya jumla, inageuka:

5a 2 / 5a 2 \u003d 1; 50A 3 / 5A 2 \u003d 10A. (Wakati wa kuhesabu digrii kadhaa za faragha na besi sawa, msingi unahifadhiwa, na kiashiria cha shahada kinaondolewa). Hivyo, kitengo kinabakia kwenye bracket (bila kesi usisahau kuandika kitengo ikiwa tunachukua moja ya masharti na faragha kutoka kwa mgawanyiko: 10a kwa bracket. Inageuka kuwa:

5a 2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10a)

FORMUSAS SQUARES.

Kwa urahisi wa kompyuta, formula kadhaa zilipatikana. Wanaitwa formula za kuzidisha vifupisho na hutumiwa mara nyingi. Fomu hizi husaidia kuharibika polynomials zenye digrii. Hii ni njia nyingine ya ufanisi ya kupungua kwa wauzaji. Kwa hiyo, hapa ni:

• 2 + 2AB + B 2 \u003d (A + B) 2 - Fomu hiyo inaitwa formula ya "Square Sum", kwa kuwa kama matokeo ya utengano katika mraba, kiasi cha namba zilizofungwa katika mabano zinachukuliwa, yaani, thamani ya kiasi hiki imeongezeka mara 2, na kwa hiyo ni kuzidisha.
• 2 + 2B - B 2 \u003d (A - B) 2 - Mfumo wa mraba wa tofauti, ni sawa na uliopita. Matokeo yake, tofauti iliyofungwa katika mabano yaliyomo katika shahada ya mraba.
• 2 - B 2 \u003d (A + B) (A - B) - Hii ni formula kwa tofauti katika mraba, kwa kuwa polynomial ni mwanzo wa mraba 2 ya namba au maneno, kati ya ambayo huondoa. Labda, wa watatu walioitwa hutumiwa mara nyingi.

Mifano kwa mahesabu kwa kutumia formula za mraba.

Mahesabu juu yao ni rahisi sana. Kwa mfano:

1. 25x 2 + 20xy + 4y. 2 - Tunatumia fomu ya "kiasi cha mraba".
2. 25x 2 ni mraba wa kujieleza 5x. 20Hu - kazi mbili 2 * (5x * 2y), na 4Y 2 ni mraba wa mraba.
3. Kwa hiyo, 25x 2 + 20xy + 4Y 2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). Hii polynomial imeshuka kwa multipliers 2 (sababu ni sawa, hivyo imeandikwa kwa namna ya kujieleza kwa shahada ya mraba).

Vitendo juu ya formula ya mraba ya tofauti hufanywa sawa na hili. Fomu hiyo inabakia tofauti ya mraba. Mifano juu ya formula hii ni rahisi sana kuamua na kupata kati ya maneno mengine. Kwa mfano:

• 25A 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Tangu 25a 2 \u003d (5a) 2, 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25u 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Tangu 36x 2 \u003d (6x) 2, na 25u 2 \u003d (5U 2)
• c 2 - 169B 2 \u003d (C - 13B) (C + 13B). Tangu 169b 2 \u003d (13b) 2.

Ni muhimu kwamba kila moja ya vipengele ni mraba wa maneno yoyote. Kisha polynomial hii inakabiliwa na uharibifu wa wauzaji kwa formula ya tofauti ya mraba. Kwa hili, si lazima kwamba shahada ya pili ilikuwa imesimama juu ya idadi. Kuna polynomials ambayo ina kiasi kikubwa, lakini bado yanafaa kwa formula hizi.

8 + 10A 4 +25 \u003d (a 4) 2 + 2 * 4 * 5 + 5 2 \u003d (4 +5) 2

Katika mfano huu, 8 inaweza kuwakilishwa kama (a 4) 2, yaani, mraba wa maneno fulani. 25 ni 5 2, na 10a 4. - hii ni vitu vilivyozalishwa mara mbili2 * 4 * 5. Hiyo ni, maneno haya, licha ya kuwepo kwa digrii na viashiria vingi, vinaweza kuharibiwa juu ya wauzaji 2 ili kuendelea kufanya kazi nao.

Cubes formula.

Fomu hiyo hiyo iko kwa ajili ya kuharibika kwa polynomials iliyo na Cuba. Wao ni ngumu zaidi na wale wenye mraba:

• a 3 + B 3 \u003d (A + B) (AB + B 2) - Fomu hii inaitwa kiasi cha cubes, kwa kuwa katika fomu ya awali ya polynomial ni jumla ya maneno mawili au namba zilizofungwa kwenye mchemraba.
• 3 - B 3 \u003d (A - B) (AB + AB + B 2) - Fomu inayofanana na ya awali inaonyeshwa kama tofauti ya cubes.
• 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d (A + B) 3 - Cube kiasi, kama matokeo ya mahesabu, inageuka kiasi cha idadi au maneno yaliyofungwa katika mabano na kuzidi yenyewe mara 3, yaani, iko katika Cuba
• 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 \u003d (A - B) 3 -fomu iliyoandaliwa na mfano wa uliopita na mabadiliko katika baadhi ya ishara za shughuli za hisabati (pamoja na minus) inaitwa "Cube ya Tofauti".

Formula mbili za mwisho hazitumiwi kutengeneza polynomials ya wingi, kwa kuwa ni ngumu, na mara chache hupatikana polynomials, sambamba kikamilifu na jengo hilo ili waweze kuharibiwa juu ya kanuni hizi. Lakini bado wanahitaji kujua, kama watahitajika chini ya vitendo kinyume - wakati wa kufungua mabano.

Mifano ya formula ya mchemraba

Fikiria mfano: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a-2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Kuna idadi rahisi sana hapa, hivyo unaweza kuona mara moja kwamba 64a 3 ni (4a) 3, na 8b 3 ni (2b) 3. Kwa hiyo, polynomial hii inapungua tofauti katika tofauti ya cubes hadi multipliers 2. Vitendo kwa formula ya cubes huzalishwa kwa mfano.

Ni muhimu kuelewa kwamba sio wote polynomials ni chini ya kuharibika kwa angalau moja ya njia. Lakini kuna maneno kama hayo yanayo na digrii za juu kuliko mraba au mchemraba, lakini pia inaweza kuharibiwa kulingana na fomu ya kuzidisha kufupi. Kwa mfano: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5Y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

Mfano huu una kiasi cha shahada 12. Lakini hata inawezekana kuharibika kwa wingi kwa formula ya cubes. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuwasilisha x 12 kama (x 4) 3, yaani, kama mchemraba wa maneno yoyote. Sasa katika formula badala yake, ni muhimu kuchukua nafasi yake. Naam, maneno ya 125U 3 ni mchemraba 5y. Kisha, kazi inapaswa kufanywa kwa kutumia formula na kufanya mahesabu.

Mara ya kwanza au katika hali ya shaka, unaweza daima kuangalia katika kuzidisha nyuma. Unahitaji tu kufunua mabako katika kujieleza na kufanya vitendo na maneno sawa. Njia hii inahusu njia zote zilizoorodheshwa ili kupunguza: wote hufanya kazi na sababu ya kawaida na makundi na vitendo kwa njia za cubes na digrii za mraba.

The polynomial ni maneno yenye kiasi cha mrengo mmoja. Mwisho ni bidhaa ya mara kwa mara (namba) na mizizi (au mizizi) ya maneno kwa kiwango k. Katika kesi hii, wanasema juu ya shahada ya polynomial K. Uharibifu wa polynomial inamaanisha mabadiliko ya maneno ambayo wauzaji wanakuja mabadiliko ya masharti. Fikiria njia kuu za kufanya aina hii ya mabadiliko.

Njia ya kuharibika kwa polynomial kwa kuonyesha sababu ya kawaida

Njia hii inategemea sheria za sheria ya usambazaji. Kwa hiyo, mn + mk \u003d m * (n + k).

• Mfano:kueneza 7Y 2 + 2 na 2m 3 - 12m 2 + 4lm.

7Y 2 + 2UY \u003d Y * (7Y + 2U),

2m 3 - 12m 2 + 4lm \u003d 2m (m 2 - 6m + 2l).

Hata hivyo, multiplier sasa katika polynomial kila si mara zote kupatikana, kwa hiyo njia hii si wote.

Njia ya kuharibika kwa polynomial kulingana na fomu za kuzidisha ufupisho

Njia za kuzidisha vifupisho halali kwa polynomial ya shahada yoyote. Kwa ujumla, maneno ya mabadiliko ni kama ifuatavyo:

uK - LK \u003d (U - L) (U K-1 + U K-2 * L + U K-3 * l 2 + ... u * l k-2 + l k-1), ambapo k ni mwakilishi wa idadi ya asili.

Mara nyingi katika mazoezi, formula kwa polynomials ya amri ya pili na ya tatu hutumiwa:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + L 3 \u003d (U + L) (U 2 - UL + L 2).

• Mfano:kueneza 25p 2 - 144b 2 na 64m 3 - 8L 3.

25P 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 \u003d (4m) 3 - (2L) 3 \u003d (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2L) 2) \u003d (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4L 2 ).

Njia ya kuharibika kwa polynomial - kikundi cha maneno ya maneno

Njia hii itakuwa kwa namna fulani inakabiliwa na mbinu ya kuondoa sababu ya kawaida, lakini ina tofauti. Hasa, kabla ya kuchagua sababu ya kawaida, kikundi cha ulimwengu kinapaswa kufanywa. Msingi wa kikundi ni sheria za kuchanganya na kusonga sheria.

Wote hawapatikani, yaliyotolewa katika masharti yamegawanywa katika vikundi, katika kila moja ambayo thamani ya jumla inafanywa kama sababu ya pili itakuwa sawa katika makundi yote. Kwa ujumla, njia sawa ya kuharibika inaweza kuwakilishwa kama maneno:

pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),

pL + KS + KL + PS \u003d (P + K) (l + s).

• Mfano:kueneza 14mn + 16ln - 49m - 56L.

14MN + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2N - 7) + 8l * (2N - 7) \u003d (7m + 8l) (2N - 7).

Njia ya kuharibika kwa polynomial - kutengeneza mraba kamili

Njia hii ni mojawapo ya ufanisi zaidi wakati wa kuharibika kwa polynomial. Katika hatua ya awali, ni muhimu kuamua majina ambayo yanaweza kuwa "kuanguka" kwenye mraba wa tofauti au kiasi. Kwa kufanya hivyo, hutumia moja ya mahusiano:

(P - B) 2 \u003d P 2 - 2PB + B 2,

• Mfano: Kueneza neno u 4 + 4u 2 - 1.

Tunasisitiza kati ya maneno yake ya homorals, ambayo huunda mraba kamili: u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (U 4 + 2 * 2U 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (U 4 + 2 * 2U 2 + 4) - 5.

Jaza mabadiliko kwa kutumia sheria za kuzidisha zilizochapishwa: (u 2 + 2) 2 - 5 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Kwa hiyo 4 + 4u 2 - 1 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Kuzingatia kuzidisha kwa polynomials, tulikumbuka kanuni kadhaa, yaani: formula kwa (A + B) ², kwa (A - B) ², kwa (A + B) (A + B) na kwa (a - b) ³.

Ikiwa polynomial hii inageuka kuwa sambamba na moja ya formula hizi, itawezekana kuharibika kwa wingi. Kwa mfano, eneo la polynomial ni 2AB + b², tunajua (A - B) ² [au (A - B) · (A - B), i.e., ² - 2B + b² ilikuwa imeamua kuharibika kwa sababu 2]; Pia

Fikiria pili ya mifano hii. Tunaona kwamba hii hapa ni mbinu za polynomial formula kutoka kwa ujenzi wa namba mbili katika mraba (mraba wa namba ya kwanza, kupunguza kazi ya mbili kwa idadi ya kwanza na kwa pili, pamoja na mraba wa pili nambari): x 6 ni mraba wa namba ya kwanza, na kwa hiyo, namba ya kwanza yenyewe ni x 3, mraba wa namba ya pili ni mwanachama wa mwisho wa polynomial hii, yaani 1, namba ya pili yenyewe ni, kwa hiyo , pia 1; Kipande cha Twos kwa idadi ya kwanza na kwa pili ni mwanachama -2x 3, kwa 2x 3 \u003d 2 · x 3 · 1. Kwa hiyo, polynomial yetu iligeuka kutoka ujenzi wa tofauti katika tofauti x 3 na 1, yaani ni sawa na (x 3 12. Fikiria mfano mwingine wa 4. Tunaona kwamba hii polynomial 2 B 2 - 25 inaweza kuchukuliwa kama tofauti katika mraba wa namba hizo mbili, yaani mraba wa namba ya kwanza 2 B 2 ni, kwa hiyo, idadi ya kwanza ni AB, namba ya pili ni 25, kwa nini nambari ya pili yenyewe kuna 5. Kwa hiyo, polynomial yetu inaweza kutazamwa kutoka kuzidisha jumla ya namba mbili kwa tofauti zao, i.e.

(AB + 5) (AB - 5).

Wakati mwingine hutokea kwamba katika wanachama huu wa polynomia hawakuwepo kwa utaratibu ambao tunazoea, kwa mfano.

9a 2 + b 2 + 6ab - kiakili tunaweza kupanga upya wanachama wa pili na wa tatu, na kisha tutakuwa wazi kwamba tatu zitapungua \u003d (3a + b) 2.

... (upya upya mwanachama wa kwanza na wa pili).

25a 6 + 1 - 10x 3 \u003d (5x 3 - 1) 2, nk.

Fikiria polynomial nyingine

2 + 2B + 4b 2.

Tunaona kwamba mwanachama wa kwanza anawakilisha mraba wa namba A na mwanachama wa tatu anawakilisha mraba wa namba 2B, lakini mwanachama wa pili sio kazi ya mbili hadi namba ya kwanza na kwa pili, - hii itakuwa Kazi sawa na 2 · a · 2b \u003d 4ab. Kwa hiyo, haiwezekani kuomba formula hii ya polynomial ya mraba wa idadi ya namba mbili. Ikiwa mtu ameandika kwamba 2 + 2B + 4B 2 \u003d (A + 2B) 2, itakuwa ni makosa - ni muhimu kuzingatia kwa makini wanachama wote wa polynomial kabla ya kutumia uharibifu wa multipliers na formula.

40. Kiwanja cha mapokezi yote. Wakati mwingine, kwa kuharibika kwa polynomials, kuzidisha wanapaswa kuchanganya na kupokea sababu ya jumla ya mabano na matumizi ya formula. Hapa ni mifano:

1. 2a 3 - 2AB 2. Mimi kwanza kuleta jumla ya multiplier 2a kwa mabano, - tunapata 2A (2 - B 2). Multiplier A 2 - B 2, kwa upande wake, hutengana na formula kwa wauzaji (A + B) na (A - B).

Wakati mwingine ni muhimu kutumia uharibifu wa formula mara kwa mara:

1. 4 - B 4 \u003d (2 + B 2) (2 - B 2)

Tunaona kwamba sababu ya kwanza ya 2 + B 2 haifai kwa formula yoyote ya kawaida; Aidha, akikumbuka kesi maalum za mgawanyiko (aya ya 37), tunaanzisha kwamba 2 + B 2 (jumla ya mraba wa namba hizo mbili) hazisambazwa wakati wote. Ya pili ya mambo yanayotokana na 2 - B 2 (tofauti katika mraba wa namba mbili) imeharibiwa juu ya multipliers (A + B) na (A - B). Kwa hiyo,

41. Matumizi ya matukio maalum ya mgawanyiko. Kulingana na kifungu cha 37, tunaweza kuandika mara moja, kwa mfano,