Fanya pointi moja kwa moja ya 2. Equation ni mstari ambao hupita kupitia seti mbili: mifano ya ufumbuzi

Equation ni moja kwa moja kupita kupitia pointi mbili. Katika makala hiyo" " Nilikuahidi kuondokana na njia ya pili ya kutatua kazi zilizopewa ili kupata derivative, na kazi hii ya ratiba na tangent kwa graphics hii. Njia hii tutakayochambua , Usikose! Kwa nini Katika ijayo?

Ukweli ni kwamba kutakuwa na formula ya usawa wa moja kwa moja. Bila shaka, itakuwa inawezekana tu kuonyesha fomu hii na kukushauri kujifunza. Lakini ni bora kuelezea - \u200b\u200bkutoka wapi inakuja (kama nje). Ni muhimu! Ikiwa unasahau, basi kurejesha haraka haitawasilisha kazi. Kila kitu kinaelezwa kwa undani hapa chini. Kwa hiyo, tuna pointi mbili kwenye ndege yetu ya kuratibu.(x 1; katika 1) na katika (x 2; katika 2), kupitia pointi maalum, mstari wa moja kwa moja ulifanyika:

Hapa ni formula moja kwa moja:

* Hiyo ni, wakati wa kubadilisha mipangilio maalum ya pointi, tunapata usawa wa fomu y \u003d kx + b.

** Kama formula hii ni "tu kutumikia", basi kuna uwezekano mkubwa wa kuchanganyikiwa na indeba wakati h.. Aidha, indexs inaweza kuteuliwa kwa njia tofauti, kwa mfano:

Kwa hiyo, ni muhimu kuelewa maana.

Sasa uondoaji wa formula hii. Kila kitu ni rahisi sana!

Triangles ya AVE na ACF ni sawa na kona ya papo hapo (ishara ya kwanza ya kufanana kwa pembetatu za mstatili). Inafuata kutoka kwa hili kwamba mahusiano ya vipengele husika ni sawa, yaani:

Sasa tu kuelezea makundi haya kupitia tofauti katika kuratibu za pointi:

Bila shaka, hakutakuwa na hitilafu ikiwa unaandika uhusiano wa vipengele kwa utaratibu mwingine (jambo kuu ni kuzingatia):

Matokeo yake, equation sawa itakuwa sawa. Yote ni!

Hiyo ni, bila kujali jinsi pointi wenyewe hazichaguliwa (na kuratibu zao), kuelewa formula hii daima utapata usawa sawa.

Fomu inaweza kupatikana kwa kutumia mali ya vectors, lakini kanuni ya pato itakuwa sawa, kama itakuwa juu ya uwiano wa kuratibu zao. Katika kesi hiyo, kufanana sawa kwa pembetatu za mstatili ni kazi. Kwa maoni yangu, pato lililoelezwa hapo juu ni wazi zaidi)).

Angalia pato kwa njia ya kuratibu za vectors \u003e\u003e\u003e.

Tuseme kwenye ndege ya kuratibu imejengwa moja kwa moja, kupitia pointi mbili zilizopangwa (x 1; katika 1) na katika (x 2; katika 2). Tunaona juu ya hatua ya moja kwa moja ya kiholela na kuratibu ( x.; y.). Pia tunaashiria matoleo mawili:

Inajulikana kuwa vectors ya uongo juu ya mistari sambamba sawa (ama kwa moja moja kwa moja), kuratibu zao sambamba ni sawa na, hiyo ni:

- Andika usawa wa uhusiano wa kuratibu husika:

Fikiria mfano:

Pata usawa wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili na kuratibu (2; 5) na (7: 3).

Huwezi hata kujenga mstari wa moja kwa moja. Tunatumia formula:

Ni muhimu kwamba umepata vinavyolingana, wakati wa kuchora uwiano. Huwezi kuwa na makosa ikiwa unaandika:

Jibu: y \u003d -2 / 5x + 29/5 kwenda y \u003d -0.4x + 5.8

Ili kuhakikisha kuwa equation iliyopatikana inapatikana kwa usahihi, hakikisha uangalie - badala ya kuratibu data katika hali ya pointi. Usawa wa Vervic unapaswa kupatikana.

Ni hayo tu. Natumaini nyenzo hiyo ilikuwa na manufaa kwako.

Kwa dhati, Alexander.

P.S: Nitafurahi ikiwa unasema kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Equation. parabola. Ni kazi ya quadratic. Kuna chaguzi kadhaa za kukusanya usawa huu. Yote inategemea vigezo ambavyo vinawasilishwa katika hali ya terk.

Maelekezo

Parabola ni curve ambayo iko katika fomu yake inafanana na arc na ni grafu ya kazi ya nguvu. Bila kujali kama sifa zina parabola, hii ni hata. Hata hivyo inaitwa kazi hiyo, kwa maadili yote ya hoja kutoka kwa ufafanuzi wakati hoja inabadilishwa, thamani haina mabadiliko: f (-x) \u003d f (x) kuanza na kazi rahisi: y \u003d x ^ 2. Kutoka kwa mtazamo wake, inaweza kuhitimishwa kuwa ni kwa chanya na chini ya maadili hasi ya hoja ya X. Jambo ambalo x \u003d 0, na wakati huo huo, y \u003d 0 inachukuliwa kuwa hatua.

Chini ni chaguzi zote kuu za kujenga kazi hii na hiyo. Kama mfano wa kwanza, kazi ya fomu: f (x) \u003d x ^ 2 + A inachukuliwa hapa chini, ambapo ni integer ili kujenga grafu ya kazi hii, ni muhimu kusonga kazi ya grafu f ( x) kwa vitengo. Mfano ni kazi Y \u003d x ^ 2 + 3, ambapo kazi katika vitengo viwili imebadilishwa pamoja na mhimili wa y. Ikiwa kazi hutolewa kwa ishara tofauti, kwa mfano y \u003d x ^ 2-3, basi grafu yake inabadilika chini ya mhimili.

Aina nyingine ya kazi ambayo parabol inaweza kuweka ni f (x) \u003d (x + a) ^ 2. Katika hali hiyo, ratiba, kinyume chake, hubadilisha kando ya absissa (mhimili wa X) kwa vitengo. Kwa mfano, unaweza kuzingatia kazi: y \u003d (x +4) ^ 2 na y \u003d (x-4) ^ 2. Katika kesi ya kwanza, ambapo kuna kipengele na ishara ya pamoja, mabadiliko ya grafu kwenye mhimili wa X kwa upande wa kushoto, na katika kesi ya pili - sawa. Matukio haya yote yanaonyeshwa kwenye takwimu.

Hebu pointi mbili zipewe M.(H.1 ,W.1) I. N.(H.2, Y.2). Tunapata usawa wa moja kwa moja kupitia pointi hizi.

Kwa kuwa hii moja kwa moja inapita kupitia hatua hiyo M., kulingana na formula (1.13), equation yake ina fomu

W. – Y.1 = K.(X - X.1),

Wapi K. - Unknown angular mgawo.

Thamani ya mgawo huu imedhamiriwa na hali hiyo kwamba moja kwa moja inapita kupitia hatua N.na kwa hiyo kuratibu zake kukidhi equation (1.13)

Y.2 – Y.1 = K.(X.2 – X.1),

Kutoka hapa unaweza kupata mgawo wa angular wa moja kwa moja:

,

Au baada ya uongofu.

(1.14)

Mfumo 1.14 huamua. Equation ni moja kwa moja kupita kupitia pointi mbili. M.(X.1, Y.1) I. N.(X.2, Y.2).

Katika kesi fulani wakati pointi. M.(A., 0), N.(0, B.), Lakini ¹ 0, B. ¹ 0, uongo juu ya axes ya kuratibu, equation (1.14) itachukua mtazamo rahisi

Equation (1.15) Inaitwa. Equation moja kwa moja katika makundi., hapa Lakini Na B. Inaashiria makundi ambayo hukatwa moja kwa moja kwenye axes (Kielelezo 1.6).

Kielelezo 1.6.

Mfano 1.10. Kufanya equation moja kwa moja kupita kupitia pointi. M.(1, 2) na B.(3, –1).

. Kulingana na (1.14), equation ya moja kwa moja ina fomu

2(Y. – 2) = -3(X. – 1).

Kuhamisha wanachama wote kwa sehemu ya kushoto, hatimaye kupata equation taka

3X. + 2Y. – 7 = 0.

Mfano 1.11. Fanya usawa wa mstari wa moja kwa moja ukipitia hatua M.(2, 1) na hatua ya makutano ya moja kwa moja X.+ Y -1 = 0, X - W.+ 2 = 0.

. Kuratibu ya hatua ya makutano ya moja kwa moja yaliyopatikana kwa kuamua pamoja usawa huu

Ikiwa unaongeza hadi sasa usawa huu, tunapata 2 X. + 1 \u003d 0, kutoka wapi. Kubadilisha thamani katika equation yoyote, tutapata thamani ya kawaida W.:

Sasa weka equation moja kwa moja kupitia pointi (2, 1) na:

au.

Kwa hiyo au -5 ( Y. – 1) = X. – 2.

Hatimaye tunapata usawa wa moja kwa moja kwa fomu H. + 5Y. – 7 = 0.

Mfano 1.12. Pata usawa wa moja kwa moja kupitia pointi. M.(2,1) na N.(2,3).

Kutumia formula (1.14), tunapata usawa

Haina maana, kwa kuwa denominator ya pili ni sifuri. Kutoka hali ya tatizo ni wazi kwamba upungufu wa pointi zote mbili una maana sawa. Kwa hiyo, sawa na sambamba sawa na mhimili Oy. Na equation yake ni: X. = 2.

Maoni. . Ikiwa, wakati wa kurekodi equation, formula ya moja kwa moja (1.14) ni sawa na sifuri, basi equation inayotaka inaweza kupatikana kwa kulinganisha namba sambamba hadi sifuri.

Fikiria njia zingine za kuweka moja kwa moja kwenye ndege.

1. Hebu vector ya nonzero perpendicular kwa moja kwa moja. L., na hatua M.0(X.0, Y.0) Uongo kwenye mstari huu wa moja kwa moja (Kielelezo 1.7).

Kielelezo 1.7.

Denote. M.(X., Y.) hatua ya kiholela juu ya moja kwa moja. L.. Vectors I. Orthogonal. Kutumia hali ya orthogonality ya vectors hizi, tunapata au Lakini(X. – X.0) + B.(Y. – Y.0) = 0.

Tulipata usawa wa moja kwa moja kupitia hatua hiyo M.0 perpendicular kwa vector. Vector hii inaitwa. Vector ya kawaida kuelekeza L.. Equation kusababisha inaweza kuandikwa tena

Oh. + Wu. + Kutoka \u003d 0, wapi Kutoka = –(LakiniX.0 + By0), (1.16),

Wapi Lakini Na In.- Kuratibu ya vector ya kawaida.

Tunapata usawa wa jumla kwa moja kwa moja kwa fomu ya parametric.

2. Moja kwa moja juu ya ndege inaweza kuweka kama ifuatavyo: basi vector nonzero ni sawa na hii moja kwa moja L. na kumweka M.0(X.0, Y.0) Uongo juu ya mstari huu wa moja kwa moja. Chukua hatua ya kiholela tena. M.(H., Y) kwenye mstari wa moja kwa moja (Kielelezo 1.8).

Kielelezo 1.8.

Vectors I. Collinear.

Tunaandika hali ya collinearity ya vectors hizi: wapi T. - Nambari ya kiholela inayoitwa parameter. Sema usawa huu katika kuratibu:

Uwiano huu unaitwa. Equations parametric. Sawa. Kuondoa kutoka kwa usawa huu, parameter. T.:

Equations hizi zinaweza kuandika vinginevyo kwa namna ya

. (1.18)

Equation inayotokana inaitwa. Equation ya canonical moja kwa moja.. Vector aitwaye Vector moja kwa moja moja kwa moja. .

Maoni. . Ni rahisi kuona kwamba kama - vector kawaida kwa mstari wa moja kwa moja L., basi vector yake ya mwongozo inaweza kuwa vector, tangu, i.e ..

Mfano 1.13. Andika equation moja kwa moja kupita kupitia hatua. M.0 (1, 1) sambamba moja kwa moja 3. H. + 2W.– 8 = 0.

Uamuzi . Vector ni vector ya kawaida kwa moja kwa moja na ya taka. Tunatumia usawa wa moja kwa moja kupitia hatua M.0 na vector ya kawaida ya 3 ( H. –1) + 2(W. - 1) \u003d 0 au 3. H. + 2Ow. - 5 \u003d 0. Alipokea usawa wa moja kwa moja.

Moja kwa moja, kupitia hatua K (x 0; y 0) na sawa sawa na y \u003d KX + A iko kulingana na formula:

y - Y 0 \u003d K (X - X 0) (1)

Ambapo k ni mgawo wa angular wa moja kwa moja.

Fomu ya Mbadala:
Moja kwa moja, kupitia hatua ya m 1 (x 1; y 1) na sambamba moja kwa moja + na + C \u003d 0 inawakilishwa na equation

A (X - X 1) + B (Y-Y 1) \u003d 0. (2)

Mfano namba 2. Andika equation ya mstari wa moja kwa moja, sambamba moja kwa moja 2x + 5Y \u003d 0 na kutengeneza pembetatu kuratibu pamoja na kuratibu axes, eneo ambalo ni 5.
Uamuzi . Kwa kuwa sawa sawa, equation ni moja kwa moja 2x + 5Y + c \u003d 0. Eneo la pembetatu ya mstatili, ambapo na b ya kartets zake. Pata pointi ya makutano ya moja kwa moja na axes ya kuratibu:
;
.
Hivyo, A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Badala ya formula ya mraba: . Tunapata ufumbuzi mbili: 2x + 5y + 10 \u003d 0 na 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Mfano namba 3. Fanya usawa wa mstari wa moja kwa moja unapitia hatua (-2; 5) na sambamba moja kwa moja 5x-7y-4 \u003d 0.
Uamuzi. Hii moja kwa moja inaweza kusimamishwa na y \u003d 5/7 x - 4/7 equation (hapa \u003d \u003d 5/7). Equation ya moja kwa moja ni - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), i.e. 7 (Y-5) \u003d 5 (x + 2) au 5x-7y + 45 \u003d 0.

Mfano namba 4. Kuamua mfano 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) na Mfumo (2), tunapata 5 (x + 2) -7 (Y-5) \u003d 0.

Mfano namba 5. Fanya usawa wa moja kwa moja kupitia hatua (-2; 5) na sambamba moja kwa moja 7x + 10 \u003d 0.
Uamuzi. Hapa \u003d \u003d 7, b \u003d 0. Mfumo (2) hutoa 7 (x + 2) \u003d 0, i.e. x + 2 \u003d 0. Fomu (1) haitumiki, kwa kuwa usawa huu hauwezi kutatuliwa kuhusiana na y (sambamba hii sawa na mhimili wa amri).

Mali ya moja kwa moja katika jiometri ya Euclidean.

Kupitia hatua yoyote unaweza kutumia mengi ya mistari ya moja kwa moja.

Kupitia pointi mbili zisizo sawa, unaweza kutumia mstari wa moja kwa moja tu.

Wale wawili wasio sawa na moja kwa moja kwenye ndege au kuingiliana kwa hatua moja, au ni

sambamba (ifuatavyo kutoka kwa uliopita).

Katika nafasi ya tatu-dimensional, kuna chaguzi tatu kwa ajili ya kufurahi ya mistari miwili moja kwa moja:

• njia ya moja kwa moja;

• sambamba sawa;

• crosslinks moja kwa moja.

Sawa mstari - Algebraic Curve ya kwanza: katika mfumo wa kuratibu ya cartesian mstari wa moja kwa moja

weka ndege kwa kiwango cha kwanza cha equation (equation linear).

Equation ya jumla ni sawa.

Ufafanuzi. Kila moja kwa moja kwenye ndege inaweza kuweka kwa usawa wa kwanza wa utaratibu

Ah + Vo + c \u003d 0,

na mara kwa mara A, B. Si sifuri sawa wakati huo huo. Hii ndiyo equation ya kwanza inayoitwa. kawaida

usawa sawa. Kulingana na maadili ya mara kwa mara. A, B. Na Kutoka Matukio maalum yafuatayo yanawezekana:

. C \u003d 0, ≠ 0, katika ≠ 0 - Moja kwa moja hupita kupitia asili ya kuratibu.

. A \u003d 0, katika ≠ 0, s ≠ 0 (na + c \u003d 0)- Sambamba moja kwa moja kwa mhimili Oh.

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (AX + C \u003d 0) - Sambamba moja kwa moja kwa mhimili Ou

. B \u003d c \u003d 0, na ≠ 0. - moja kwa moja inafanana na mhimili Ou

. A \u003d c \u003d 0, katika ≠ 0. - moja kwa moja inafanana na mhimili Oh.

Usawa wa moja kwa moja unaweza kusimamishwa kwa fomu tofauti kulingana na yoyote iliyotolewa

hali ya awali.

Equation ni moja kwa moja juu ya uhakika na vector ya kawaida.

Ufafanuzi. Katika cartesian rectangular kuratibu mfumo vector na vipengele (A, B)

perpendicular kwa equation maalum ya moja kwa moja.

Ah + W + c \u003d 0.

Mfano.. Pata usawa wa moja kwa moja kupitia hatua hiyo A (1, 2) Perpendicular kwa vector. (3, -1).

Uamuzi. Tunaunda A \u003d 3 na B \u003d -1 Equation ni sawa: 3x - Y + C \u003d 0. Ili kupata mgawo na

badala ya kujieleza kupatikana kwa kuratibu ya hatua fulani A. Tunapata: 3 - 2 + c \u003d 0, kwa hiyo

C \u003d -1. Jumla: Equation ya taka: 3x - Y - 1 \u003d 0.

Equation ni moja kwa moja kupita kupitia pointi mbili.

Hebu pointi mbili zinapewa katika nafasi M 1 (x 1, y 1, z 1)na M2 (x 2, y 2, z 2), Kisha equation Direct.,

kupitia pointi hizi:

Ikiwa yeyote wa madhehebu ni sifuri, nambari inayofanana inapaswa kuwa sifuri. Kwenye The.

ndege iliyoandikwa juu ya moja kwa moja ya equation ni rahisi:

ikiwa A. x 1 ≠ x 2. Na x \u003d x 1. , kama A. x 1 \u003d x 2. .

Sehemu \u003d K. Inaitwa. mgawo wa angular. sawa.

Mfano.. Pata usawa wa moja kwa moja kupitia pointi (1, 2) na katika (3, 4).

Uamuzi. Kutumia fomu iliyoandikwa hapo juu, tunapata:

Equation ni moja kwa moja juu ya uhakika na mgawo wa angular.

Ikiwa equation ya jumla ni moja kwa moja. AH + VO + C \u003d 0. Kuongoza kwa akili:

na ujulishe Kisha equation inayotokana inaitwa.

equation ni mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular k.

Equation ni moja kwa moja juu ya uhakika na vector mwongozo.

Kwa mfano na aya ya kuzingatia usawa wa usawa kupitia vector ya kawaida, unaweza kuingia kazi

moja kwa moja kupitia hatua na kuongoza vector moja kwa moja.

Ufafanuzi. Kila vector ya nonzero. (α 1, α 2)ambao vipengele vya kukidhi hali hiyo

Aa 1 + Bα 2 \u003d 0. Inaitwa. vector moja kwa moja moja kwa moja.

Ah + W + c \u003d 0.

Mfano.. Pata usawa wa mstari na vector ya mwongozo (1, -1) na ukipitia hatua A (1, 2).

Uamuzi. Equation ni mstari wa kulia utakuwa kama ifuatavyo: Ax + na + c \u003d 0. Kwa mujibu wa ufafanuzi

coefficients lazima kukidhi hali:

1 * A + (-1) * b \u003d 0, i.e. A \u003d V.

Kisha usawa wa moja kwa moja unachukua fomu: AX + AY + C \u003d 0, au x + y + c / \u003d \u003d 0.

kwa x \u003d 1, y \u003d 2.pata C / A \u003d -3.. Equation taka:

x + y - 3 \u003d 0.

Equation ni sawa katika makundi.

Ikiwa katika usawa wa jumla wa ah + v / c \u003d 0 s ≠ 0, basi, kutenganisha juu ya- ° C, tunapata:

Au, wapi

Maana ya kijiometri ya coefficients ni kwamba mgawo A ni hatua ya kuratibu ya makutano

sawa na Axis. O, Lakini b. - Kuratibu mzunguko wa hatua moja kwa moja na Axis. Au.

Mfano.. Equation ya jumla imewekwa X - Y + 1 \u003d 0.Pata usawa kwa moja kwa moja katika makundi.

C \u003d 1 ,, A \u003d -1, B \u003d 1.

Equation ya kawaida ni sawa.

Ikiwa sehemu zote mbili za equation. AH + VO + C \u003d 0. Gawanya idadi hiyo Inaitwa.

normalizing multiplier., Mimi kupata

xCOSφ + YSINφ - P \u003d 0 -equation ya kawaida ni moja kwa moja..

Ishara ± normamizing multiplier inapaswa kuchaguliwa ili μ * S.< 0.

r. - urefu wa perpendicular, kupungua kutoka mwanzo wa kuratibu kwa moja kwa moja,

lakini φ - angle iliyoundwa na hii perpendicular na mwelekeo chanya mhimili Oh.

Mfano.. Equation ya jumla hutolewa. 12x - 5 - 65 \u003d 0.. Inahitajika kuandika aina mbalimbali za equations.

hii moja kwa moja.

Equation ya mstari huu katika makundi.:

Equation ya mstari huu wa moja kwa moja na mgawo wa angular.: (Sisi kugawanya juu ya 5)

Equation Direct.:

cos φ \u003d 12/13; Sin φ \u003d -5/13; P \u003d 5.

Ikumbukwe kwamba si kila moja kwa moja inaweza kusimamishwa na usawa katika makundi, kwa mfano, moja kwa moja,

axes sambamba au kupita kupitia asili.

Angle kati ya moja kwa moja kwenye ndege.

Ufafanuzi. Ikiwa mbili moja kwa moja. y \u003d K 1 x + b 1, y \u003d K 2 x + b 2 , basi kona kali kati ya hizi moja kwa moja

itafafanuliwa kama

Mbili sawa sawa kama k 1 \u003d K 2.. Mbili moja kwa moja perpendicular,

ikiwa A. k 1 \u003d -1 / K 2. .

Theorem..

Sawa AH + VO + C \u003d 0.na 1 x + katika 1 y + c 1 \u003d 0 Sambamba wakati wa sawia na coefficients.

Na 1 \u003d λa, katika 1 \u003d λ.. Ikiwa leo I. C 1 \u003d λs, kisha moja kwa moja sanjari. Kuratibu ya makutano ya mbili moja kwa moja.

iko kama suluhisho la mfumo wa usawa wa hizi moja kwa moja.

Equation ya moja kwa moja kupita kupitia hatua hii ni perpendicular kwa moja kwa moja.

Ufafanuzi. Sawa, kupitia hatua hiyo M 1 (x 1, katika 1) na perpendicular kwa moja kwa moja y \u003d KX + B.

inawakilishwa na equation:

Umbali kutoka hatua hadi moja kwa moja.

Theorem.. Ikiwa hatua imewekwa M (x 0, y 0), Kisha umbali wa moja kwa moja AH + VO + C \u003d 0.kuamua kama:

Ushahidi. Hebu hatua hiyo M 1 (x 1, katika 1) - msingi wa perpendicular, kupungua kutoka hatua M.kwenye maalum

sawa. Kisha umbali kati ya pointi M.na M 1.:

(1)

Kuratibu x 1. Na katika 1. Inaweza kupatikana kama suluhisho la mfumo wa equations:

Equation ya pili ya mfumo ni equation ya moja kwa moja kupita kupitia hatua maalum m 0 perpendicular kwa

maalum moja kwa moja. Ikiwa unabadilisha mfumo wa kwanza kwa akili:

A (X - X 0) + B (Y - Y 0) + AX \u200b\u200b0 + na 0 + C \u003d 0,

hiyo, kutatua, tunapata:

Kubadilisha maneno haya kwa equation (1), tunaona:

Theorem imethibitishwa.