Uhesabuji wa hitilafu ya kipimo cha jamaa. Uhesabuji wa makosa ya kipimo

1. Utangulizi

Kazi ya wanakemia, wanafizikia na wawakilishi wa fani nyingine za sayansi ya asili mara nyingi huhusisha kufanya vipimo vya kiasi cha kiasi mbalimbali. Katika kesi hii, swali linatokea la kuchambua kuegemea kwa maadili yaliyopatikana, kusindika matokeo ya vipimo vya moja kwa moja na kutathmini makosa ya mahesabu ambayo hutumia maadili ya sifa zilizopimwa moja kwa moja (mchakato wa mwisho pia huitwa usindikaji wa matokeo. isiyo ya moja kwa moja vipimo). Kwa sababu kadhaa za lengo, ujuzi wa wahitimu wa Kitivo cha Kemia cha Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow kuhusu kuhesabu makosa haitoshi kila wakati kwa usindikaji sahihi wa data iliyopokelewa. Moja ya sababu hizi ni kutokuwepo kwa mtaala wa kitivo cha kozi ya usindikaji wa takwimu za matokeo ya vipimo.

Katika hatua hii, suala la kuhesabu makosa, bila shaka, limejifunza kwa kina. Kuna idadi kubwa ya maendeleo ya mbinu, vitabu vya kiada, nk, ambayo unaweza kupata habari kuhusu makosa ya kuhesabu. Kwa bahati mbaya, kazi nyingi hizi zimejaa habari za ziada na sio muhimu kila wakati. Hasa, kazi nyingi za warsha za wanafunzi hazihitaji vitendo kama kulinganisha sampuli, kutathmini muunganisho, nk. Kwa hiyo, inaonekana inafaa kuunda maendeleo mafupi ambayo yanaelezea algorithms kwa hesabu zinazotumiwa mara nyingi, ambayo ni nini maendeleo haya. imejitolea.

2. Nukuu iliyopitishwa katika kazi hii

Thamani iliyopimwa, - thamani ya wastani ya thamani iliyopimwa, - hitilafu kamili ya thamani ya wastani ya thamani iliyopimwa, - hitilafu ya jamaa ya thamani ya wastani ya thamani iliyopimwa.

3. Mahesabu ya makosa ya vipimo vya moja kwa moja

Kwa hivyo, wacha tuchukue kwamba yalitekelezwa n vipimo vya wingi sawa chini ya hali sawa. Katika kesi hii, unaweza kuhesabu thamani ya wastani ya thamani hii katika vipimo vilivyochukuliwa:

(1)

Jinsi ya kuhesabu kosa? Kulingana na formula ifuatayo:

(2)

Fomula hii hutumia mgawo wa Mwanafunzi. Maadili yake kwa uwezekano tofauti wa kujiamini na maadili yanatolewa.

3.1. Mfano wa kuhesabu makosa ya vipimo vya moja kwa moja:

Kazi.

Urefu wa bar ya chuma ulipimwa. Vipimo 10 vilifanywa na maadili yafuatayo yalipatikana: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Inahitajika kupata thamani ya wastani ya kiasi kilichopimwa (urefu wa bar) na kosa lake.

Suluhisho.

Kwa kutumia formula (1) tunapata:

mm

Sasa, kwa kutumia fomula (2), tunapata hitilafu kamili ya thamani ya wastani kwa uwezekano wa kujiamini na idadi ya digrii za uhuru (tunatumia thamani = 2.262, iliyochukuliwa kutoka):

Hebu tuandike matokeo:

10.8±0.7 0.95 mm

4. Uhesabuji wa makosa ya vipimo vya moja kwa moja

Wacha tufikirie kuwa wakati wa majaribio idadi hupimwa , na kisha c Kwa kutumia maadili yaliyopatikana, thamani huhesabiwa kwa kutumia formula . Katika kesi hii, makosa ya idadi iliyopimwa moja kwa moja huhesabiwa kama ilivyoelezewa katika aya ya 3.

Hesabu ya thamani ya wastani ya wingi hufanywa kulingana na utegemezi kwa kutumia maadili ya wastani ya hoja.

Thamani ya makosa huhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo:

,(3)

iko wapi idadi ya hoja, ni derivati ​​ya sehemu ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na hoja, ni hitilafu kamili ya thamani ya wastani ya hoja.

Hitilafu kabisa, kama ilivyo kwa vipimo vya moja kwa moja, huhesabiwa kwa kutumia formula.

4.1. Mfano wa kuhesabu makosa ya vipimo vya moja kwa moja:

Kazi.

Vipimo 5 vya moja kwa moja vya kiasi na vilifanyika. Thamani zifuatazo zilipatikana kwa thamani: 50, 51, 52, 50, 47; maadili yafuatayo yalipatikana kwa wingi: 500, 510, 476, 354, 520. Inahitajika kuhesabu thamani ya kiasi kilichopangwa na formula na kupata kosa la thamani iliyopatikana.

Fizikia ni sayansi ya majaribio, ambayo ina maana kwamba sheria za kimwili huanzishwa na kuthibitishwa kwa kukusanya na kulinganisha data ya majaribio. Madhumuni ya semina ya fizikia ni kwa wanafunzi kusoma matukio ya kimsingi ya mwili kupitia uzoefu, kujifunza kupima kwa usahihi maadili ya nambari ya idadi ya mwili na kulinganisha na kanuni za kinadharia.

Vipimo vyote vinaweza kugawanywa katika aina mbili - moja kwa moja Na isiyo ya moja kwa moja.

Katika moja kwa moja Katika vipimo, thamani ya kiasi kinachohitajika hupatikana moja kwa moja kutoka kwa usomaji wa kifaa cha kupimia. Kwa hivyo, kwa mfano, urefu hupimwa na mtawala, wakati unapimwa na saa, nk.

Ikiwa kiasi cha kimwili kinachohitajika hakiwezi kupimwa moja kwa moja na kifaa, lakini kinaonyeshwa kupitia kiasi kilichopimwa kwa kutumia formula, basi vipimo hivyo huitwa. isiyo ya moja kwa moja.

Kupima kiasi chochote haitoi thamani sahihi kabisa ya kiasi hicho. Kila kipimo huwa na hitilafu fulani (kosa). Hitilafu ni tofauti kati ya thamani iliyopimwa na ya kweli.

Makosa kawaida hugawanywa katika ya utaratibu Na nasibu.

Kitaratibu inaitwa kosa ambalo linabaki mara kwa mara katika mfululizo mzima wa vipimo. Hitilafu hizo husababishwa na kutokamilika kwa chombo cha kupimia (kwa mfano, kukabiliana na sifuri ya kifaa) au njia ya kipimo na inaweza, kimsingi, kutengwa na matokeo ya mwisho kwa kuanzisha marekebisho sahihi.

Makosa ya kimfumo pia yanajumuisha makosa ya vyombo vya kupimia. Usahihi wa kifaa chochote ni mdogo na una sifa ya darasa lake la usahihi, ambalo linaonyeshwa kwa kawaida kwenye kiwango cha kupimia.

Nasibu inayoitwa kosa ambalo hutofautiana katika majaribio tofauti na linaweza kuwa chanya na hasi. Hitilafu za nasibu husababishwa na sababu zinazotegemea wote kwenye kifaa cha kupimia (msuguano, mapungufu, nk) na kwa hali ya nje (vibration, kushuka kwa voltage kwenye mtandao, nk).

Hitilafu za nasibu haziwezi kutengwa kwa nguvu, lakini ushawishi wao kwenye matokeo unaweza kupunguzwa kwa vipimo vinavyorudiwa.

Uhesabuji wa makosa katika vipimo vya moja kwa moja - thamani ya wastani na kosa la wastani kabisa.

Hebu tuchukulie kwamba tunafanya mfululizo wa vipimo vya thamani X. Kutokana na kuwepo kwa makosa ya nasibu, tunapata. n maana tofauti:

X 1, X 2, X 3… X n

Thamani ya wastani kawaida huchukuliwa kama matokeo ya kipimo

Tofauti kati ya wastani na matokeo mimi - ya kipimo cha th tutaita kosa kabisa la kipimo hiki

Kama kipimo cha makosa ya thamani ya wastani, tunaweza kuchukua thamani ya wastani ya makosa kamili ya kipimo cha mtu binafsi.

(2)

Ukubwa
inayoitwa kosa la maana ya hesabu (au maana kamili).

Kisha matokeo ya kipimo yanapaswa kuandikwa kwa fomu

(3)

Ili kuashiria usahihi wa vipimo, kosa la jamaa hutumiwa, ambalo kawaida huonyeshwa kama asilimia

(4)

Hebu makosa ya utaratibu katika vipimo yasiwe na maana. Wacha tuzingatie kesi wakati kipimo kinafanywa idadi kubwa ya nyakati (n→∞).

Kama uzoefu unavyoonyesha, mkengeuko wa matokeo ya kipimo kutoka kwa thamani yao ya wastani kwenda juu au chini ni sawa. Matokeo ya kipimo na mikengeuko midogo kutoka kwa thamani ya wastani huzingatiwa mara nyingi zaidi kuliko kwa mikengeuko mikubwa.

Wacha tupange maadili yote ya nambari ya matokeo ya kipimo katika safu kwa mpangilio wa kupanda na tugawanye safu hii kwa vipindi sawa.
. Hebu - idadi ya vipimo na matokeo yanayoanguka ndani ya muda [
]. Ukubwa
kuna uwezekano ΔP i (x) wa kupata matokeo yenye thamani katika muda [
].

Hebu tuwasilishe kwa michoro
, sambamba na kila kipindi [
] (Mchoro 1). Curve iliyopigwa iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 1 inaitwa histogram. Hebu tuchukue kwamba kifaa cha kupimia kina unyeti wa juu sana. Kisha upana wa muda unaweza kufanywa infinitesimal dx. Curve iliyopigwa katika kesi hii inabadilishwa na curve inayowakilishwa na kazi φ (x) (Mchoro 2). Chaguo za kukokotoa φ(x) kwa kawaida huitwa chaguo za kukokotoa za msongamano wa usambazaji. Maana yake ni kwamba bidhaa φ(x)dx ni uwezekano dP(x) wa kupata matokeo yenye thamani katika safu kutoka x hadi x+dx. Kielelezo, thamani ya uwezekano inawakilishwa kama eneo la mstatili wenye kivuli. Kwa uchanganuzi, chaguo za kukokotoa za msongamano wa usambazaji zimeandikwa kama ifuatavyo:

. (5)

Chaguo za kukokotoa φ(x) iliyowasilishwa katika fomu (5) inaitwa chaguo za kukokotoa za Gaussian, na mgawanyo unaolingana wa matokeo ya kipimo ni Gaussian au kawaida.

Chaguo
na σ ina maana ifuatayo (Mchoro 2).

- thamani ya wastani ya matokeo ya kipimo. Katika
=
chaguo za kukokotoa za Gaussian hufikia thamani yake ya juu zaidi. Ikiwa idadi ya vipimo ni kubwa sana, basi
sawa na thamani halisi ya kiasi kilichopimwa.

σ - inaashiria kiwango cha kutawanya kwa matokeo ya kipimo kutoka kwa thamani yao ya wastani. Kigezo σ kinahesabiwa kwa kutumia formula:

. (6)

Kigezo hiki kinawakilisha kosa la msingi la mraba. Kiasi σ 2 katika nadharia ya uwezekano inaitwa mtawanyiko wa chaguo za kukokotoa φ(x).

Juu ya usahihi wa kipimo, matokeo ya kipimo ni karibu na thamani ya kweli ya kiasi kilichopimwa, na, kwa hiyo, ndogo σ.

Aina ya chaguo za kukokotoa φ(x) ni wazi haitegemei idadi ya vipimo.

Nadharia ya uwezekano inaonyesha kuwa 68% ya vipimo vyote itatoa matokeo ambayo ni katika muda, 95% katika muda na 99.7% katika muda.

Kwa hivyo, kwa uwezekano (kutegemewa) wa 68%, kupotoka kwa matokeo ya kipimo kutoka kwa thamani ya wastani iko katika muda [
], na uwezekano (kutegemewa) wa 95% - katika muda [
] na kwa uwezekano (kutegemewa) wa 99.7% - katika muda [
].

Muda unaolingana na uwezekano fulani wa mkengeuko kutoka kwa thamani ya wastani huitwa uaminifu.

Katika majaribio halisi, idadi ya vipimo ni wazi haiwezi kuwa kubwa sana, kwa hivyo kuna uwezekano kwamba
sanjari na thamani halisi ya thamani iliyopimwa
. Katika suala hili, ni muhimu kukadiria, kwa kuzingatia nadharia ya uwezekano, ukubwa wa kupotoka iwezekanavyo.
kutoka
.

Hesabu zinaonyesha kuwa wakati idadi ya vipimo ni zaidi ya 20, na uwezekano wa 68%
iko ndani ya muda wa kujiamini [
], na uwezekano wa 95% - katika muda [
], na uwezekano wa 99.7% - katika muda [
].

Ukubwa , ambayo inafafanua mipaka ya muda wa kujiamini, inaitwa kupotoka kwa kawaida au kiwango tu.

Kawaida imehesabiwa kwa formula:

. (7)

Kwa kuzingatia fomula (6), usemi (7) huchukua fomu ifuatayo:

. (8)

Kadiri idadi ya vipimo n inavyoongezeka, ndivyo X inavyokaribia zaidi
. Ikiwa idadi ya vipimo sio kubwa, chini ya 15, basi badala ya usambazaji wa Gaussian, usambazaji wa Wanafunzi hutumiwa, ambayo husababisha kuongezeka kwa upana wa muda wa kujiamini wa kupotoka iwezekanavyo kwa X kutoka.
int n, p mara.

Kipengele t n, p kinaitwa mgawo wa Mwanafunzi. Fahirisi za P na n zinaonyesha kutegemewa na kwa idadi gani ya vipimo mgawo wa Mwanafunzi unalingana. Thamani ya mgawo wa Mwanafunzi kwa idadi fulani ya vipimo na utegemezi fulani hubainishwa kulingana na Jedwali la 1.

Jedwali 1

Mgawo wa mwanafunzi.

Kwa mfano, kutegemewa kwa 95% na idadi ya vipimo n = 20, mgawo wa Mwanafunzi t 20.95 = 2.1 (muda wa kutumaini
) yenye idadi ya vipimon=4, t 4.95 =3.2 (muda wa uhakika
) Hiyo ni, kwa kuongezeka kwa idadi ya vipimo kutoka 4 hadi 20, kupotoka iwezekanavyo
fromX inapungua kwa mara 1.524.

Ifuatayo ni mfano wa kuhesabu kosa la nasibu kabisa

Kwa kutumia fomula (2) tunapata thamani ya wastani ya thamani iliyopimwa
(bila kuonyesha ukubwa wa wingi wa kimwili)

.

Kwa kutumia fomula (8) tunahesabu kupotoka kwa kawaida

.

Mgawo wa mwanafunzi umebainishwa kwa n=6, na P=95%, t 6.95 =2.6 tokeo la mwisho:

X=20.1±2.6·0.121=20.1±0.315 (pamoja na P=95%).

Tunahesabu kosa la jamaa:

.

Wakati wa kurekodi matokeo ya kipimo cha mwisho, ni lazima ikumbukwe kwamba kosa lazima iwe na takwimu moja tu muhimu (isipokuwa sifuri). Takwimu mbili muhimu katika kosa zimeandikwa tu ikiwa takwimu ya penultimate ni 1. Haina maana kurekodi idadi kubwa ya takwimu muhimu, kwani hazitakuwa za kuaminika. Katika kurekodi thamani ya wastani ya thamani iliyopimwa, tarakimu ya mwisho lazima iwe ya tarakimu sawa na tarakimu ya mwisho katika kurekodi kosa.

X=(243±5)·10 2;

X=232.567±0.003.

Kuchukua vipimo kadhaa kunaweza kutoa matokeo sawa. Hii inawezekana ikiwa unyeti wa kifaa cha kupimia ni chini. Wakati kipimo kinafanywa na kifaa na unyeti mdogo, kipimo kimoja kinatosha. Haina maana, kwa mfano, kupima mara kwa mara urefu wa meza na kipimo cha tepi na mgawanyiko wa sentimita. Matokeo ya kipimo katika kesi hii yatakuwa sawa. Hitilafu wakati wa kipimo kimoja imedhamiriwa na thamani ya mgawanyiko mdogo zaidi wa kifaa. Inaitwa kosa la chombo. Maana yake
kuhesabiwa kwa kutumia formula ifuatayo:

, (10)

ambapo γ ni bei ya mgawanyiko wa kifaa;

t ∞, p - Mgawo wa wanafunzi unaolingana na idadi kubwa sana ya vipimo.

Kwa kuzingatia kosa la chombo, kosa kabisa na kuegemea fulani imedhamiriwa na formula:

, (11)

Wapi
.

Kwa kuzingatia fomula (8) na (10), (11) imeandikwa kama ifuatavyo:

. (12)

Katika fasihi, kufupisha rekodi, ukubwa wa kosa wakati mwingine hauonyeshwa. Ukubwa wa hitilafu inachukuliwa kuwa nusu moja ya tarakimu muhimu za mwisho. Kwa mfano, radius ya Dunia imeandikwa kwa fomu
m. Hii ina maana kwamba kosa linapaswa kuchukuliwa kama thamani sawa na ±
m.