குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள். முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்

உங்கள் பிரச்சனைக்கு விரிவான தீர்வை நீங்கள் ஆர்டர் செய்யலாம் !!!

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் (`sin x, cos x, tg x` அல்லது `ctg x`) அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத சமத்துவம் முக்கோணவியல் சமன்பாடு எனப்படும், மேலும் அவற்றின் சூத்திரங்களை மேலும் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிமையான சமன்பாடுகள் `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, இங்கு `x` என்பது கண்டுபிடிக்க வேண்டிய கோணம், `a` என்பது எந்த எண்ணாகும். அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் மூல சூத்திரங்களை எழுதுவோம்.

1. சமன்பாடு `sin x=a`.

`|a|>1` க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

உடன் `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. சமன்பாடு `cos x=a`

`|a|>1` -க்கு - சைனின் விஷயத்தில், உண்மையான எண்களுக்கு இடையே தீர்வுகள் இல்லை.

உடன் `|அ| \leq 1` எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

வரைபடங்களில் சைன் மற்றும் கொசைனுக்கான சிறப்பு வழக்குகள்.

3. சமன்பாடு `tg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. சமன்பாடு `ctg x=a`

`a` இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் இது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ரூட் சூத்திரம்: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

அட்டவணையில் உள்ள முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள்

சைனஸுக்கு:
கொசைனுக்கு:
தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு:
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்:

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் தீர்வும் இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

• அதை எளிமையானதாக மாற்ற பயன்படுத்துதல்;
• வேர்கள் மற்றும் அட்டவணைகளுக்கு மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எளிய சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி தீர்வுக்கான முக்கிய முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இயற்கணித முறை.

இந்த முறையில், ஒரு மாறியை மாற்றுவதும் சமத்துவமாக மாற்றுவதும் செய்யப்படுகிறது.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

மாற்றீடு செய்யுங்கள்: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, பிறகு `2y^2-3y+1=0`,

வேர்களைக் கண்டறிகிறோம்: `y_1=1, y_2=1/2`, அதிலிருந்து இரண்டு நிகழ்வுகள் பின்பற்றப்படுகின்றன:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

பதில்: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

காரணியாக்கம்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `sin x+cos x=1`.

தீர்வு. சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்: `sin x+cos x-1=0`. பயன்படுத்தி, இடது பக்கத்தை மாற்றி, காரணியாக்குகிறோம்:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

பதில்: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

முதலில், நீங்கள் இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை இரண்டு வடிவங்களில் ஒன்றிற்கு கொண்டு வர வேண்டும்:

`a sin x+b cos x=0` (முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு) அல்லது `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு).

இரண்டு பகுதிகளையும் முதல் வழக்கில் `cos x \ne 0` ஆகவும், இரண்டாவதாக `cos^2 x \ne 0` ஆகவும் பிரிக்கவும். `tg x`க்கான சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்: `a tg x+b=0` மற்றும் `a tg^2 x + b tg x +c =0`, இது தெரிந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

தீர்வு. வலது பக்கத்தை `1=sin^2 x+cos^2 x` என எழுதுவோம்:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

இது இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான முக்கோணவியல் சமன்பாடாகும், அதன் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளை `cos^2 x \ne 0` ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கிறது:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. மாற்றாக `tg x=t` ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக `t^2 + t - 2=0`. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் `t_1=-2` மற்றும் `t_2=1` ஆகும். பிறகு:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

பதில். `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

ஹாஃப் கார்னருக்குச் செல்லவும்

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

தீர்வு. இரட்டைக் கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தினால், விளைவு: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

மேலே விவரிக்கப்பட்ட இயற்கணித முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் `a sin x + b cos x =c`, இதில் a,b,c குணகங்கள் மற்றும் x ஒரு மாறி, நாம் இரு பகுதிகளையும் `sqrt (a^2+b^2)` ஆல் வகுக்கிறோம்:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

இடதுபுறத்தில் உள்ள குணகங்கள் சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 1 மற்றும் அவற்றின் மாடுலஸ் அதிகபட்சம் 1. அவற்றைப் பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , பிறகு:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

பின்வரும் உதாரணத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

உதாரணமாக. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: `3 sin x+4 cos x=2`.

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் `sqrt (3^2+4^2)` ​​ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 பாவம் x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` என்பதைக் குறிக்கவும். `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` என்பதால், `\varphi=arcsin 4/5`ஐ துணைக் கோணமாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். பின்னர் எங்கள் சமத்துவத்தை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

சைனுக்கான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பின்வரும் வடிவத்தில் நமது சமத்துவத்தை எழுதுகிறோம்:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பதில். `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

பின்னம்-பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

இவை பின்னங்களுடனான சமத்துவங்கள், எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் உள்ளன.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

தீர்வு. சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை `(1+cos x)` ஆல் பெருக்கி வகுக்கவும். இதன் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது என்பதால், `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` கிடைக்கும்.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன்: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. பிறகு `sin x=0` அல்லது `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, தீர்வுகள் `x=2\pi n, n \in Z` மற்றும் `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

பதில். `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

முக்கோணவியல், மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், வடிவியல், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆய்வு 10 ஆம் வகுப்பில் தொடங்குகிறது, தேர்வுக்கான பணிகள் எப்போதும் உள்ளன, எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் அனைத்து சூத்திரங்களையும் நினைவில் வைக்க முயற்சிக்கவும் - அவை நிச்சயமாக உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்!

இருப்பினும், நீங்கள் அவற்றை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சாரத்தை புரிந்துகொள்வது மற்றும் ஊகிக்க முடியும். இது தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல. வீடியோவைப் பார்த்து நீங்களே பாருங்கள்.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை - சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, சைன் மற்றும் கொசைன் மூலம் தொடுகின் வெளிப்பாடு மற்றும் பிற. அவற்றை மறந்துவிட்ட அல்லது தெரியாதவர்களுக்கு, "" கட்டுரையைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறோம்.
எனவே, அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை நாங்கள் அறிவோம், அவற்றை நடைமுறையில் வைக்க வேண்டிய நேரம் இது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுசரியான அணுகுமுறையுடன், இது ஒரு அற்புதமான செயலாகும், எடுத்துக்காட்டாக, ரூபிக் கனசதுரத்தைத் தீர்ப்பது போன்றது.

பெயரின் அடிப்படையில், முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் தெரியாத ஒரு சமன்பாடு என்பது தெளிவாகிறது.
எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன. அவை எப்படி இருக்கும் என்பது இங்கே: sinх = a, cos x = a, tg x = a. கருத்தில், அத்தகைய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, தெளிவுக்காக, ஏற்கனவே தெரிந்த முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

sinx = a

cos x = a

டான் x = a

கட்டில் x = a

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடும் இரண்டு நிலைகளில் தீர்க்கப்படுகிறது: நாம் சமன்பாட்டை எளிய வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம், பின்னர் அதை எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம்.
முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படும் 7 முக்கிய முறைகள் உள்ளன.

1. மாறி மாற்று மற்றும் மாற்று முறை

2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

எளிமைக்காக cos(x + /6) ஐ y உடன் மாற்றி வழக்கமான இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்:

2y 2 – 3y + 1 + 0

இதன் வேர்கள் y 1 = 1, y 2 = 1/2

இப்போது பின்னோக்கி செல்லலாம்

y இன் காணப்படும் மதிப்புகளை மாற்றி இரண்டு பதில்களைப் பெறுகிறோம்:

2. காரணியாக்கம் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

sin x + cos x = 1 சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம், இதனால் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

sin x + cos x - 1 = 0

சமன்பாட்டை எளிதாக்க மேலே உள்ள அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

காரணியாக்கத்தை செய்வோம்:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்

3. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

ஒரு சமன்பாடு சைன் மற்றும் கொசைனைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், சைன் மற்றும் கொசைன் தொடர்பான அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே கோணத்தில் ஒரே அளவில் இருந்தால். ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, பின்வருமாறு தொடரவும்:

a) அதன் அனைத்து உறுப்பினர்களையும் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றவும்;

b) அனைத்து பொதுவான காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிக்குள் போடுங்கள்;

c) அனைத்து காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிகளையும் 0க்கு சமன்;

ஈ) அடைப்புக்குறிக்குள், குறைந்த அளவிலான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு பெறப்படுகிறது, இது ஒரு சைன் அல்லது கொசைன் மூலம் அதிக அளவிற்கு வகுக்கப்படுகிறது;

e) tgக்கான சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

sin 2 x + cos 2 x = 1 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வலதுபுறத்தில் திறந்த இரண்டை அகற்றுவோம்:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cosx ஆல் வகுக்க:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

நாம் tg x ஐ y உடன் மாற்றி, இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

y 2 + 4y +3 = 0 இதன் வேர்கள் y 1 =1, y 2 = 3

இங்கிருந்து அசல் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகளைக் காணலாம்:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, அரை கோணத்திற்கு மாற்றுவதன் மூலம்

சமன்பாடு 3sin x - 5cos x = 7 ஐ தீர்க்கவும்

x/2 க்கு செல்லலாம்:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக மாற்றவும்:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos (x/2) ஆல் வகுக்கவும்:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

கருத்தில் கொள்ள, படிவத்தின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்: a sin x + b cos x \u003d c,

இதில் a, b, c சில தன்னிச்சையான குணகங்கள் மற்றும் x என்பது தெரியவில்லை.

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பிரிக்கவும்:



இப்போது சமன்பாட்டின் குணகங்கள், முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின்படி, பாவம் மற்றும் காஸ் ஆகியவற்றின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது: அவற்றின் மாடுலஸ் 1 க்கு மேல் இல்லை மற்றும் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை = 1. அவற்றை முறையே காஸ் மற்றும் பாவம் என்று குறிப்போம், எங்கே துணை கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

அல்லது sin(x + ) = C

இந்த எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, எங்கே



காஸ் மற்றும் சின் என்ற பெயர்கள் ஒன்றுக்கொன்று மாறக்கூடியவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

sin 3x - cos 3x = 1 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டில், குணகங்கள்:

a \u003d, b \u003d -1, எனவே இரண்டு பகுதிகளையும் \u003d 2 ஆல் வகுக்கிறோம்

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு.

சிக்கலான எந்த அளவிலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வு இறுதியில் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது. இதில், முக்கோணவியல் வட்டம் மீண்டும் சிறந்த உதவியாளராக மாறும்.

கொசைன் மற்றும் சைன் வரையறைகளை நினைவுகூருங்கள்.

ஒரு கோணத்தின் கோசைன் என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தின் சுழற்சிக்கு ஒத்த அலகு வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியின் abscissa (அதாவது அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு) ஆகும்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தின் சுழற்சிக்கு ஒத்த அலகு வட்டத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் ஆர்டினேட் (அதாவது அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு) ஆகும்.

முக்கோணவியல் வட்டத்துடன் இயக்கத்தின் நேர்மறையான திசையானது எதிரெதிர் திசையில் இயக்கமாக கருதப்படுகிறது. 0 டிகிரி (அல்லது 0 ரேடியன்கள்) சுழற்சி ஆய (1; 0) கொண்ட ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது.

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இந்த வரையறைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாடு சுழற்சியின் கோணத்தின் அனைத்து மதிப்புகளாலும் திருப்தி அடைகிறது, இது வட்டத்தின் புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது, அதன் ஆர்டினேட் சமமாக இருக்கும்.

y அச்சில் ஒரு புள்ளியை ஆர்டினேட்டுடன் குறிப்போம்:

x அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கிடைமட்ட கோட்டை வரையவும், அது வட்டத்துடன் வெட்டும் வரை. ஒரு வட்டத்தில் படுத்து, ஒரு ஆர்டினேட் வைத்திருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளைப் பெறுவோம். இந்த புள்ளிகள் சுழற்சி கோணங்கள் மற்றும் ரேடியன்களுக்கு ஒத்திருக்கும்:

ஒரு ரேடியனின் சுழற்சியின் கோணத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளியை விட்டுவிட்டு, ஒரு முழு வட்டத்தைச் சுற்றினால், ஒரு ரேடியனுக்கு சுழற்சியின் கோணத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு புள்ளிக்கு வருவோம். அதாவது, இந்த சுழற்சி கோணம் நமது சமன்பாட்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. நாம் விரும்பும் பல "சும்மா" திருப்பங்களைச் செய்யலாம், அதே புள்ளிக்குத் திரும்பலாம், மேலும் இந்த கோண மதிப்புகள் அனைத்தும் நமது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும். "சும்மா" புரட்சிகளின் எண்ணிக்கை கடிதத்தால் (அல்லது) குறிக்கப்படுகிறது. நாம் இந்த புரட்சிகளை நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை திசைகளில் செய்ய முடியும் என்பதால், (அல்லது ) எந்த முழு எண் மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்.

அதாவது, அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் முதல் தொடர் வடிவம் கொண்டது:

, , - முழு எண்களின் தொகுப்பு (1)

இதேபோல், தீர்வுகளின் இரண்டாவது தொடர் வடிவம் உள்ளது:

, எங்கே , . (2)

நீங்கள் யூகித்தபடி, இந்தத் தொடர் தீர்வுகள் சுழற்சியின் கோணத்துடன் தொடர்புடைய வட்டத்தின் புள்ளியை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இந்த இரண்டு தொடர் தீர்வுகளையும் ஒரு பதிவில் இணைக்கலாம்:

இந்த பதிவை (அதாவது கூட) எடுத்துக் கொண்டால், முதல் தொடர் தீர்வுகளைப் பெறுவோம்.

இந்த பதிவில் (அதாவது ஒற்றைப்படை) எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாவது தொடர் தீர்வுகளைப் பெறுவோம்.

2. இப்போது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

கோணத்தின் வழியாக திருப்புவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தின் புள்ளியின் abscissa என்பதால், நாம் அச்சில் abscissa உடன் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கிறோம்:

வட்டத்துடன் வெட்டும் வரை அச்சுக்கு இணையாக ஒரு செங்குத்து கோட்டை வரையவும். ஒரு வட்டத்தில் படுத்து, ஒரு அப்சிஸ்ஸா கொண்ட இரண்டு புள்ளிகளைப் பெறுவோம். இந்த புள்ளிகள் சுழற்சி கோணங்கள் மற்றும் ரேடியன்களுக்கு ஒத்திருக்கும். கடிகார திசையில் நகரும் போது, ​​சுழற்சியின் எதிர்மறை கோணத்தைப் பெறுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

நாங்கள் இரண்டு தொடர் தீர்வுகளை எழுதுகிறோம்:

,

,

(முக்கிய முழு வட்டத்திலிருந்து கடந்து சரியான புள்ளியை அடைகிறோம், அதாவது.

இந்த இரண்டு தொடர்களையும் ஒரு இடுகையாக இணைக்கலாம்:

3. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

OY அச்சுக்கு இணையான அலகு வட்டத்தின் ஆயத்தொகுப்புகளுடன் (1,0) தொடுகோடுகளின் கோடு செல்கிறது.

1 க்கு சமமான ஆர்டினேட்டுடன் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும் (எந்த கோணங்களின் தொடுகோடு 1 என்பதை நாங்கள் தேடுகிறோம்):

இந்த புள்ளியை ஒரு நேர் கோட்டுடன் தோற்றத்துடன் இணைக்கவும் மற்றும் அலகு வட்டத்துடன் கோட்டின் வெட்டும் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். கோடு மற்றும் வட்டத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் மற்றும் சுழலும் கோணங்களுக்கு ஒத்திருக்கும்:

நமது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் சுழற்சிக் கோணங்களுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகள் ரேடியன்களைத் தவிர்த்து இருப்பதால், தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

4. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

கோட்டான்ஜென்ட்களின் கோடு அச்சுக்கு இணையான அலகு வட்டத்தின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

கோட்டான்ஜென்ட்களின் வரிசையில் அப்சிஸ்ஸா -1 உடன் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கிறோம்:

இந்த புள்ளியை நேர் கோட்டின் தோற்றத்துடன் இணைத்து, அது வட்டத்துடன் வெட்டும் வரை தொடரவும். இந்தக் கோடு சுழற்சி கோணங்கள் மற்றும் ரேடியன்களுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளில் வட்டத்தை வெட்டும்:

இந்த புள்ளிகள் ஒருவருக்கொருவர் சமமான தூரத்தால் பிரிக்கப்பட்டிருப்பதால், இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில், எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வை விளக்குவதற்கு, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மதிப்புகள் பயன்படுத்தப்பட்டன.

இருப்பினும், சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் அட்டவணை அல்லாத மதிப்பு இருந்தால், சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வில் மதிப்பை மாற்றுவோம்:

சிறப்பு தீர்வுகள்:

ஆர்டினேட் 0 ஆக இருக்கும் வட்டத்தில் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்:

வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும், அதன் ஆர்டினேட் 1 க்கு சமம்:

வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும், அதன் ஆர்டினேட் -1க்கு சமம்:

பூஜ்ஜியத்திற்கு நெருக்கமான மதிப்புகளைக் குறிப்பிடுவது வழக்கம் என்பதால், தீர்வை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கவும், அதன் abscissa 0:

5.
வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிப்போம், அதன் abscissa 1 க்கு சமம்:

வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும், அதன் abscissa -1 க்கு சமம்:

மேலும் சில சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகள்:

1.

வாதம் என்றால் சைன் ஒன்றுதான்

எங்கள் சைனின் வாதம் , எனவே நாம் பெறுகிறோம்:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்:

பதில்:

2.

கொசைன் வாதம் என்றால் கொசைன் பூஜ்ஜியமாகும்

எங்கள் கொசைனின் வாதம் , எனவே நாம் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம், இதற்காக முதலில் எதிர் அடையாளத்துடன் வலதுபுறம் நகர்கிறோம்:

வலது பக்கத்தை எளிதாக்குங்கள்:

இரண்டு பகுதிகளையும் -2 ஆல் வகுக்கவும்:

k எந்த முழு எண் மதிப்புகளையும் எடுக்க முடியும் என்பதால், சொல்லுக்கு முன் உள்ள குறி மாறாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

பதில்:

முடிவில், "முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது" என்ற வீடியோ டுடோரியலைப் பார்க்கவும்.

இது எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றிய உரையாடலை முடிக்கிறது. அடுத்த முறை எப்படி தீர்ப்பது என்பது பற்றி பேசுவோம்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கருத்து.

• ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளாக மாற்றவும். முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது இறுதியில் நான்கு அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வரும்.