3 கோணங்கள் அருகருகே இருக்க முடியுமா? என்ன கோணங்கள் அடுத்தடுத்து அழைக்கப்படுகின்றன? இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன?

வடிவியல் பாடத்தைப் படிக்கும் செயல்பாட்டில், "கோணம்", "செங்குத்து கோணங்கள்", "அருகிலுள்ள கோணங்கள்" என்ற கருத்துக்கள் அடிக்கடி வருகின்றன. ஒவ்வொரு விதிமுறைகளையும் புரிந்துகொள்வது சிக்கலைப் புரிந்துகொண்டு அதைச் சரியாகத் தீர்க்க உதவும். அருகிலுள்ள கோணங்கள் என்ன, அவற்றை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

அருகிலுள்ள கோணங்கள் - கருத்தின் வரையறை

"அருகிலுள்ள கோணங்கள்" என்ற சொல் ஒரு பொதுவான கதிர் மற்றும் அதே நேர்கோட்டில் இருக்கும் இரண்டு கூடுதல் அரை-கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட இரண்டு கோணங்களைக் குறிக்கிறது. மூன்று கதிர்களும் ஒரே புள்ளியில் இருந்து வெளிவருகின்றன. ஒரு பொதுவான அரைக் கோடு ஒரே நேரத்தில் ஒன்று மற்றும் மற்றொரு கோணத்தின் ஒரு பக்கமாகும்.

அருகிலுள்ள கோணங்கள் - அடிப்படை பண்புகள்

1. அருகில் உள்ள கோணங்களின் உருவாக்கத்தின் அடிப்படையில், அத்தகைய கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் ஒரு தலைகீழ் கோணத்தை உருவாக்குகிறது என்பதைக் கவனிப்பது எளிது, இதன் அளவு 180°:

• μ மற்றும் η ஆகியவை அடுத்தடுத்த கோணங்களாக இருந்தால், μ + η = 180°.
• அருகிலுள்ள கோணங்களில் ஒன்றின் அளவை அறிந்துகொள்வது (எடுத்துக்காட்டாக, μ), η = 180° - μ என்ற வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது கோணத்தின் (η) டிகிரி அளவை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.

2. கோணங்களின் இந்த சொத்து பின்வரும் முடிவை எடுக்க அனுமதிக்கிறது: அருகில் இருக்கும் ஒரு கோணம் வலது கோணம், நேரடியாகவும் இருக்கும்.

3. கருத்தில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்(sin, cos, tg, ctg), அருகில் உள்ள கோணங்களான μ மற்றும் ηக்கான குறைப்பு சூத்திரங்களின் அடிப்படையில், பின்வருவது உண்மை:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

அருகிலுள்ள கோணங்கள் - எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

M, P, Q – ΔMPQ ஆகிய செங்குத்துகளைக் கொண்ட முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM ஆகிய கோணங்களுக்கு அருகில் உள்ள கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

• முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் ஒரு நேர்கோட்டுடன் நீட்டிப்போம்.
• பக்கத்து கோணங்கள் ஒரு தலைகீழ் கோணம் வரை ஒன்றையொன்று பூர்த்தி செய்கின்றன என்பதை அறிந்து, அதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

கோணத்திற்கு அருகில் ∠QMP ∠LMP,

கோணத்திற்கு அருகில் ∠MPQ ∠SPQ,

கோணத்திற்கு அருகில் ∠PQM ∠HQP ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு அருகில் உள்ள கோணத்தின் மதிப்பு 35° ஆகும். இரண்டாவது அருகில் உள்ள கோணத்தின் அளவு என்ன?

• இரண்டு அருகில் உள்ள கோணங்கள் 180° வரை சேர்க்கின்றன.
• ∠μ = 35° எனில், அதற்கு அருகில் ∠η = 180° – 35° = 145°.

எடுத்துக்காட்டு 3

அவற்றில் ஒன்றின் டிகிரி அளவு மற்ற கோணத்தின் டிகிரி அளவை விட மூன்று மடங்கு அதிகம் என்று தெரிந்தால், அருகிலுள்ள கோணங்களின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.

• ஒரு (சிறிய) கோணத்தின் அளவை – ∠μ = λ ஆல் குறிப்போம்.
• பின்னர், சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, இரண்டாவது கோணத்தின் மதிப்பு ∠η = 3λ க்கு சமமாக இருக்கும்.
• அருகிலுள்ள கோணங்களின் அடிப்படை பண்புகளின் அடிப்படையில், μ + η = 180° பின்வருமாறு

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

இதன் பொருள் முதல் கோணம் ∠μ = λ = 45°, மற்றும் இரண்டாவது கோணம் ∠η = 3λ = 135° ஆகும்.

சொற்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன், அத்துடன் அருகிலுள்ள கோணங்களின் அடிப்படை பண்புகள் பற்றிய அறிவு, பல வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவும்.

1. அருகில் உள்ள கோணங்கள்.

எந்த கோணத்தின் பக்கத்தையும் அதன் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டினால், நாம் இரண்டு கோணங்களைப் பெறுகிறோம் (படம் 72): ∠ABC மற்றும் ∠CBD, இதில் ஒரு பக்கம் BC பொதுவானது, மற்ற இரண்டு, AB மற்றும் BD ஆகியவை ஒரு நேர் கோட்டை உருவாக்குகின்றன.

இரண்டு கோணங்களில் ஒரு பக்கம் பொதுவானதாகவும், மற்ற இரண்டும் நேர்கோட்டாகவும் இருக்கும் இரண்டு கோணங்கள் அடுத்தடுத்த கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

அருகிலுள்ள கோணங்களையும் இந்த வழியில் பெறலாம்: ஒரு கோட்டில் சில புள்ளியிலிருந்து ஒரு கதிரை வரைந்தால் (கொடுக்கப்பட்ட வரியில் பொய் இல்லை), நாம் அடுத்தடுத்த கோணங்களைப் பெறுவோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, ∠ADF மற்றும் ∠FDB ஆகியவை அடுத்தடுத்த கோணங்கள் (படம் 73).

அருகில் உள்ள கோணங்கள் பலவிதமான நிலைகளைக் கொண்டிருக்கலாம் (படம் 74).

அருகில் உள்ள கோணங்கள் நேரான கோணத்தில் சேர்க்கின்றன, எனவே இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

எனவே, ஒரு வலது கோணம் அதன் அருகிலுள்ள கோணத்திற்கு சமமான கோணமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

அருகில் உள்ள கோணங்களில் ஒன்றின் அளவை அறிந்தால், அதை ஒட்டிய மற்றொரு கோணத்தின் அளவைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, அருகிலுள்ள கோணங்களில் ஒன்று 54° ஆக இருந்தால், இரண்டாவது கோணம் இதற்குச் சமமாக இருக்கும்:

180° - 54° = l26°.

2. செங்குத்து கோணங்கள்.

கோணத்தின் பக்கங்களை அதன் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டினால், செங்குத்து கோணங்களைப் பெறுகிறோம். படம் 75 இல், EOF மற்றும் AOC கோணங்கள் செங்குத்தாக உள்ளன; AOE மற்றும் COF ஆகிய கோணங்களும் செங்குத்தாக உள்ளன.

ஒரு கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்ற கோணத்தின் பக்கங்களின் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(படம் 76) அதற்கு அருகில் உள்ள ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, அதாவது 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°க்கு சமமாக இருக்கும்.

அதே வழியில், ∠3 மற்றும் ∠4 எதற்கு சமம் என்பதை நீங்கள் கணக்கிடலாம்.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (படம் 77).

∠1 = ∠3 மற்றும் ∠2 = ∠4 என்று பார்க்கிறோம்.

ஒரே மாதிரியான பல சிக்கல்களை நீங்கள் தீர்க்கலாம், ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் அதே முடிவைப் பெறுவீர்கள்: செங்குத்து கோணங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.

இருப்பினும், செங்குத்து கோணங்கள் எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருப்பதை உறுதிசெய்ய, தனிப்பட்ட எண் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வது போதாது, ஏனெனில் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட முடிவுகள் சில நேரங்களில் தவறாக இருக்கலாம்.

ஆதாரம் மூலம் செங்குத்து கோணங்களின் பண்புகளின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

ஆதாரத்தை பின்வருமாறு மேற்கொள்ளலாம் (படம் 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருப்பதால்).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கம் 180°க்கு சமமாக இருப்பதால், அதன் வலது பக்கமும் 180°க்கு சமம்).

இந்த சமத்துவம் ஒரே கோணத்தை உள்ளடக்கியது உடன்.

சம அளவுகளில் இருந்து சம அளவுகளை கழித்தால், சம அளவுகள் இருக்கும். இதன் விளைவாக இருக்கும்: ∠அ = ∠பி, அதாவது செங்குத்து கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

3. பொதுவான உச்சியைக் கொண்டிருக்கும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை.

வரைதல் 79 இல், ∠1, ∠2, ∠3 மற்றும் ∠4 ஆகியவை ஒரு கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன மற்றும் இந்த வரியில் ஒரு பொதுவான உச்சியைக் கொண்டிருக்கும். மொத்தத்தில், இந்த கோணங்கள் நேரான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

படம் 80 இல், ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 மற்றும் ∠5 ஆகியவை பொதுவான உச்சியைக் கொண்டுள்ளன. இந்த கோணங்கள் ஒரு முழு கோணத்தில் சேர்க்கின்றன, அதாவது ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

அத்தியாயம் I.

அடிப்படை கருத்துக்கள்.

§11. அடுத்தடுத்த மற்றும் செங்குத்து மூலைகள்.

1. அருகில் உள்ள கோணங்கள்.

எந்த கோணத்தின் பக்கத்தையும் அதன் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டினால், இரண்டு கோணங்கள் கிடைக்கும் (படம் 72): / மற்றும் சூரியன் மற்றும் / SVD, இதில் ஒரு பக்கம் BC பொதுவானது, மற்ற இரண்டு A மற்றும் BD ஆகியவை நேர்கோட்டை உருவாக்குகின்றன.

இரண்டு கோணங்களில் ஒரு பக்கம் பொதுவானதாகவும், மற்ற இரண்டும் நேர்கோட்டாகவும் இருக்கும் இரண்டு கோணங்கள் அடுத்தடுத்த கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

அருகிலுள்ள கோணங்களையும் இந்த வழியில் பெறலாம்: ஒரு கோட்டில் சில புள்ளியிலிருந்து ஒரு கதிரை வரைந்தால் (கொடுக்கப்பட்ட வரியில் பொய் இல்லை), நாம் அடுத்தடுத்த கோணங்களைப் பெறுவோம்.
உதாரணமாக, / ADF மற்றும் / FDВ - அருகில் உள்ள கோணங்கள் (படம் 73).

அருகில் உள்ள கோணங்கள் பலவிதமான நிலைகளைக் கொண்டிருக்கலாம் (படம் 74).

அருகில் உள்ள கோணங்கள் நேரான கோணத்தில் சேர்க்கின்றன, எனவே இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களின் உம்மா சமம் 2ஈ.

எனவே, ஒரு வலது கோணம் அதன் அருகிலுள்ள கோணத்திற்கு சமமான கோணமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

அருகில் உள்ள கோணங்களில் ஒன்றின் அளவை அறிந்தால், அதை ஒட்டிய மற்றொரு கோணத்தின் அளவைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, அருகிலுள்ள கோணங்களில் ஒன்று 3/5 ஆக இருந்தால் ஈ, பின்னர் இரண்டாவது கோணம் சமமாக இருக்கும்:

2ஈ- 3 / 5 ஈ= l 2/5 ஈ.

2. செங்குத்து கோணங்கள்.

கோணத்தின் பக்கங்களை அதன் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டினால், செங்குத்து கோணங்களைப் பெறுகிறோம். வரைதல் 75 இல், EOF மற்றும் AOC கோணங்கள் செங்குத்தாக உள்ளன; AOE மற்றும் COF ஆகிய கோணங்களும் செங்குத்தாக உள்ளன.

ஒரு கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்ற கோணத்தின் பக்கங்களின் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

விடுங்கள் / 1 = 7 / 8 ஈ(படம் 76). அதை ஒட்டி / 2 என்பது 2க்கு சமமாக இருக்கும் ஈ- 7 / 8 ஈ, அதாவது 1 1/8 ஈ.

அதே வழியில் நீங்கள் அவர்கள் சமமாக என்ன கணக்கிட முடியும் / 3 மற்றும் / 4.
/ 3 = 2ஈ - 1 1 / 8 ஈ = 7 / 8 ஈ; / 4 = 2ஈ - 7 / 8 ஈ = 1 1 / 8 ஈ(படம் 77).

என்று பார்க்கிறோம் / 1 = / 3 மற்றும் / 2 = / 4.

ஒரே மாதிரியான பல சிக்கல்களை நீங்கள் தீர்க்கலாம், ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் அதே முடிவைப் பெறுவீர்கள்: செங்குத்து கோணங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.

இருப்பினும், செங்குத்து கோணங்கள் எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருப்பதை உறுதிசெய்ய, தனிப்பட்ட எண் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வது போதாது, ஏனெனில் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட முடிவுகள் சில நேரங்களில் தவறாக இருக்கலாம்.

பகுத்தறிவு மூலம், ஆதாரம் மூலம் செங்குத்து கோணங்களின் பண்புகளின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

ஆதாரத்தை பின்வருமாறு மேற்கொள்ளலாம் (படம் 78):

/ a+/ c = 2ஈ;
/ b+/ c = 2ஈ;

(அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 2 என்பதால் ஈ).

/ a+/ c = / b+/ c

(இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கமும் 2க்கு சமம் என்பதால் ஈ, மற்றும் அதன் வலது பக்கமும் 2 க்கு சமம் ஈ).

இந்த சமத்துவம் ஒரே கோணத்தை உள்ளடக்கியது உடன்.

சம அளவுகளில் இருந்து சம அளவுகளை கழித்தால், சம அளவுகள் இருக்கும். இதன் விளைவாக இருக்கும்: / அ = / பி, அதாவது செங்குத்து கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

செங்குத்து கோணங்களின் சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​எந்த கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை முதலில் விளக்கினோம், அதாவது. வரையறைசெங்குத்து கோணங்கள்.

செங்குத்து கோணங்களின் சமத்துவத்தைப் பற்றி நாங்கள் ஒரு தீர்ப்பை (அறிக்கை) செய்தோம், மேலும் இந்த தீர்ப்பின் செல்லுபடியாகும் என்பதை ஆதாரம் மூலம் நம்பினோம். அத்தகைய தீர்ப்புகள், அதன் செல்லுபடியாகும் தன்மை நிரூபிக்கப்பட வேண்டும், அழைக்கப்படுகின்றன தேற்றங்கள். எனவே, இந்த பிரிவில் செங்குத்து கோணங்களின் வரையறையை நாங்கள் வழங்கினோம், மேலும் அவற்றின் பண்புகள் பற்றிய ஒரு தேற்றத்தையும் கூறி நிரூபித்தோம்.

எதிர்காலத்தில், வடிவவியலைப் படிக்கும்போது, ​​​​தேற்றங்களின் வரையறைகள் மற்றும் சான்றுகளை நாம் தொடர்ந்து சந்திக்க வேண்டியிருக்கும்.

3. பொதுவான உச்சியைக் கொண்டிருக்கும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை.

வரைபடத்தில் 79 / 1, / 2, / 3 மற்றும் / 4 ஒரு கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது மற்றும் இந்த வரியில் ஒரு பொதுவான உச்சநிலை உள்ளது. மொத்தத்தில், இந்த கோணங்கள் நேரான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ஈ.

வரைபடத்தில் 80 / 1, / 2, / 3, / 4 மற்றும் / 5 பொதுவான உச்சியைக் கொண்டுள்ளது. மொத்தத்தில், இந்த கோணங்கள் ஒரு முழு கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ஈ.

பயிற்சிகள்.

1. அருகில் உள்ள கோணங்களில் ஒன்று 0.72 ஆகும் ஈ.இந்த அருகில் உள்ள கோணங்களின் இருபிரிவுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

2. இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களின் இருசமக்கூறுகள் ஒரு செங்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும்.

3. இரண்டு கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் அருகில் உள்ள கோணங்களும் சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

4. வரைதல் 81 இல் எத்தனை ஜோடி அடுத்தடுத்த கோணங்கள் உள்ளன?

5. ஒரு ஜோடி அடுத்தடுத்த கோணங்கள் இரண்டு தீவிர கோணங்களைக் கொண்டிருக்க முடியுமா? இரண்டு மழுங்கிய கோணங்களில் இருந்து? வலது மற்றும் மழுங்கிய கோணங்களில் இருந்து? நேரடியாக மற்றும் கடுமையான கோணம்?

6. அருகில் உள்ள கோணங்களில் ஒன்று சரியாக இருந்தால், அதை ஒட்டிய கோணத்தின் அளவைப் பற்றி என்ன சொல்ல முடியும்?

7. இரண்டு நேர்கோடுகளின் குறுக்குவெட்டில் ஒரு கோணம் சரியாக இருந்தால், மற்ற மூன்று கோணங்களின் அளவைப் பற்றி என்ன சொல்ல முடியும்?

இரண்டு கோணங்கள் பொதுவாக ஒரு பக்கம் இருந்தால் அவை அடுத்தடுத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த கோணங்களின் மற்ற பக்கங்கள் நிரப்பு கதிர்கள். படம் 20 இல், AOB மற்றும் BOC கோணங்கள் அருகருகே உள்ளன.

அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

தேற்றம் 1. அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

ஆதாரம். பீம் OB (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) விரிக்கப்பட்ட கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையில் செல்கிறது. அதனால் தான் ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

தேற்றம் 1 இலிருந்து இரண்டு கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் அருகிலுள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

செங்குத்து கோணங்கள் சமம்

ஒரு கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றொன்றின் பக்கங்களின் நிரப்பு கதிர்களாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன. AOB மற்றும் COD, BOD மற்றும் AOC ஆகிய கோணங்கள் இரண்டு நேர் கோடுகளின் குறுக்குவெட்டில் உருவாகின்றன, அவை செங்குத்தாக உள்ளன (படம் 2).

தேற்றம் 2. செங்குத்து கோணங்கள் சமம்.

ஆதாரம். செங்குத்து கோணங்களில் AOB மற்றும் COD ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்). BOD கோணம் AOB மற்றும் COD ஆகிய ஒவ்வொரு கோணங்களுக்கும் அருகில் உள்ளது. தேற்றம் 1 மூலம் ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

இதிலிருந்து நாம் ∠ AOB = ∠ COD என்று முடிவு செய்கிறோம்.

முடிவு 1. செங்கோணத்தை ஒட்டிய கோணம் ஒரு செங்கோணம்.

AC மற்றும் BD (படம் 3) ஆகிய இரண்டு வெட்டும் நேர் கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அவை நான்கு மூலைகளை உருவாக்குகின்றன. அவற்றில் ஒன்று நேராக இருந்தால் (படம் 3 இல் கோணம் 1), பின்னர் மீதமுள்ள கோணங்களும் சரியாக இருக்கும் (கோணங்கள் 1 மற்றும் 2, 1 மற்றும் 4 ஆகியவை அருகில் உள்ளன, கோணங்கள் 1 மற்றும் 3 செங்குத்தாக இருக்கும்). இந்த வழக்கில், இந்த கோடுகள் செங்குத்து கோணங்களில் வெட்டுகின்றன மற்றும் செங்குத்தாக (அல்லது பரஸ்பர செங்குத்தாக) அழைக்கப்படுகின்றன என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள். AC மற்றும் BD கோடுகளின் செங்குத்தாக பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: AC ⊥ BD.

ஒரு பிரிவுக்கு ஒரு செங்குத்து இருசமப்பிரிவு என்பது இந்த பிரிவுக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோடு மற்றும் அதன் நடுப்புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

AN - ஒரு கோட்டிற்கு செங்குத்தாக

ஒரு நேர் கோடு a மற்றும் அதன் மீது பொய் இல்லாத புள்ளி A (படம் 4) ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள். புள்ளி A உடன் ஒரு பகுதியுடன் H புள்ளியை நேர் கோட்டுடன் இணைப்போம். AN மற்றும் a என்ற கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், புள்ளி A இலிருந்து வரி a வரை வரையப்பட்ட பகுதி AN செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளி எச் செங்குத்தாக அடித்தளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சதுரம் வரைதல்

பின்வரும் தேற்றம் உண்மை.

தேற்றம் 3. எந்தப் புள்ளியில் இருந்தும் ஒரு கோட்டில் பொய் இல்லை, இந்த வரிக்கு செங்குத்தாக வரைய முடியும், மேலும், ஒன்று மட்டுமே.

ஒரு வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரைய, வரைதல் சதுரத்தைப் பயன்படுத்தவும் (படம் 5).

கருத்து. தேற்றத்தின் உருவாக்கம் பொதுவாக இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது. கொடுக்கப்பட்டதைப் பற்றி ஒரு பகுதி பேசுகிறது. இந்த பகுதி தேற்றத்தின் நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்ற பகுதி நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதைப் பற்றி பேசுகிறது. இந்த பகுதி தேற்றத்தின் முடிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, தேற்றம் 2 இன் நிபந்தனை கோணங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும்; முடிவு - இந்த கோணங்கள் சமம்.

எந்தவொரு தேற்றத்தையும் வார்த்தைகளில் விரிவாக வெளிப்படுத்தலாம், இதனால் அதன் நிலை "if" என்ற வார்த்தையுடன் தொடங்குகிறது மற்றும் அதன் முடிவு "பின்னர்" என்ற வார்த்தையுடன் தொடங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, தேற்றம் 2 ஐ பின்வருமாறு விரிவாகக் கூறலாம்: "இரண்டு கோணங்களும் செங்குத்தாக இருந்தால், அவை சமமாக இருக்கும்."

உதாரணம் 1.அருகில் உள்ள கோணங்களில் ஒன்று 44° ஆகும். மற்றொன்று எதற்குச் சமம்?

தீர்வு. மற்றொரு கோணத்தின் டிகிரி அளவை x ஆல் குறிப்போம், பின்னர் தேற்றம் 1 இன் படி.
44° + x = 180°.
விளைந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​x = 136° என்று காண்கிறோம். எனவே, மற்ற கோணம் 136° ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.படம் 21 இல் உள்ள COD கோணம் 45° ஆக இருக்கட்டும். AOB மற்றும் AOC கோணங்கள் என்ன?

தீர்வு. கோணங்கள் COD மற்றும் AOB செங்குத்தாக உள்ளன, எனவே, தேற்றம் 1.2 மூலம் அவை சமமாக இருக்கும், அதாவது ∠ AOB = 45°. AOC கோணம் COD க்கு அருகில் உள்ளது, அதாவது தேற்றம் 1 இன் படி.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

எடுத்துக்காட்டு 3.அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றை விட 3 மடங்கு பெரியதாக இருந்தால், அருகிலுள்ள கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சிறிய கோணத்தின் டிகிரி அளவை x ஆல் குறிப்போம். பின்னர் பெரிய கோணத்தின் அளவு 3x ஆக இருக்கும். அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° (தேற்றம் 1) க்கு சமமாக இருப்பதால் x + 3x = 180°, எங்கிருந்து x = 45°.
இதன் பொருள் அருகில் உள்ள கோணங்கள் 45° மற்றும் 135° ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.இரண்டு செங்குத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 100° ஆகும். நான்கு கோணங்களில் ஒவ்வொன்றின் அளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. படம் 2 சிக்கலின் நிபந்தனைகளை சந்திக்கட்டும் COD முதல் AOB வரையிலான செங்குத்து கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் (தேற்றம் 2), அதாவது அவற்றின் அளவுகளும் சமமாக இருக்கும். எனவே, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (நிபந்தனையின்படி அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 100° ஆகும்). கோணம் BOD (கோணம் AOC) கோணம் CODக்கு அருகில் உள்ளது, எனவே, தேற்றம் 1 மூலம்
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

அருகிலுள்ள கோணத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

கணிதம் என்பது பள்ளிகள், கல்லூரிகள், நிறுவனங்கள் மற்றும் பல்கலைக்கழகங்களில் கட்டாயமாக படிக்கப்படும் பழமையான துல்லியமான அறிவியல் ஆகும். இருப்பினும், அடிப்படை அறிவு எப்போதும் பள்ளியில் வைக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில், குழந்தைக்கு மிகவும் சிக்கலான பணிகள் கொடுக்கப்படுகின்றன, ஆனால் பெற்றோர்கள் கணிதத்தில் இருந்து சில விஷயங்களை மறந்துவிட்டதால் அவர்களுக்கு உதவ முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, முக்கிய கோணத்தின் அளவு போன்றவற்றின் அடிப்படையில் அருகிலுள்ள கோணத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. பிரச்சனை எளிமையானது, ஆனால் எந்த கோணங்கள் அருகிலுள்ளவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது பற்றிய அறியாமை காரணமாக தீர்ப்பதில் சிரமங்களை ஏற்படுத்தலாம்.

அருகிலுள்ள கோணங்களின் வரையறை மற்றும் பண்புகளையும், சிக்கலில் உள்ள தரவுகளிலிருந்து அவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

அருகில் உள்ள கோணங்களின் வரையறை மற்றும் பண்புகள்

ஒரு புள்ளியில் இருந்து வெளிப்படும் இரண்டு கதிர்கள் "விமானக் கோணம்" எனப்படும் உருவத்தை உருவாக்குகின்றன. இந்த வழக்கில், இந்த புள்ளி கோணத்தின் உச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் கதிர்கள் அதன் பக்கங்களாகும். தொடக்கப் புள்ளிக்கு அப்பால் ஒரு நேர் கோட்டில் நீங்கள் கதிர்களில் ஒன்றைத் தொடர்ந்தால், மற்றொரு கோணம் உருவாகிறது, இது அருகில் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் உள்ள ஒவ்வொரு கோணமும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் கோணத்தின் பக்கங்கள் சமமானவை. அதாவது, 180 டிகிரி பக்கத்து கோணம் எப்போதும் இருக்கும்.

அருகிலுள்ள கோணங்களின் முக்கிய பண்புகள் அடங்கும்

• அருகில் உள்ள கோணங்கள் பொதுவான உச்சி மற்றும் ஒரு பக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன;
• ரேடியன்களில் கணக்கீடு செய்யப்பட்டால், அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரி அல்லது பை எண்;
• அருகிலுள்ள கோணங்களின் சைன்கள் எப்போதும் சமமாக இருக்கும்;
• அருகிலுள்ள கோணங்களின் கோசைன்கள் மற்றும் தொடுகோடுகள் சமமானவை ஆனால் எதிர் அடையாளங்களைக் கொண்டுள்ளன.

அருகிலுள்ள கோணங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

அருகிலுள்ள கோணங்களின் அளவைக் கண்டறிய பொதுவாக மூன்று வகையான சிக்கல்கள் கொடுக்கப்படுகின்றன

• முக்கிய கோணத்தின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
• முக்கிய மற்றும் அருகிலுள்ள கோணத்தின் விகிதம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
• கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு செங்குத்து கோணம்.

சிக்கலின் ஒவ்வொரு பதிப்பிற்கும் அதன் சொந்த தீர்வு உள்ளது. அவற்றைப் பார்ப்போம்.

முக்கிய கோணத்தின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

சிக்கல் முக்கிய கோணத்தின் மதிப்பைக் குறிப்பிட்டால், அருகிலுள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் எளிது. இதைச் செய்ய, பிரதான கோணத்தின் மதிப்பை 180 டிகிரியிலிருந்து கழிக்கவும், அருகிலுள்ள கோணத்தின் மதிப்பைப் பெறுவீர்கள். இந்தத் தீர்வு அருகிலுள்ள கோணத்தின் சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது - அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரிக்கு சமமாக இருக்கும்.

பிரதான கோணத்தின் மதிப்பு ரேடியன்களில் கொடுக்கப்பட்டால், சிக்கலுக்கு அருகிலுள்ள கோணத்தை ரேடியன்களில் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், 180 டிகிரி முழு மடிந்த கோணத்தின் மதிப்பு பை எண்ணிலிருந்து பிரதான கோணத்தின் மதிப்பைக் கழிக்க வேண்டும். பை எண்ணுக்கு சமம்.

முக்கிய மற்றும் அருகிலுள்ள கோணத்தின் விகிதம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

சிக்கல் முக்கிய கோணத்தின் டிகிரி மற்றும் ரேடியன்களுக்குப் பதிலாக முக்கிய மற்றும் அருகில் உள்ள கோணங்களின் விகிதத்தைக் கொடுக்கலாம். இந்த வழக்கில், தீர்வு ஒரு விகிதாச்சார சமன்பாடு போல் இருக்கும்:

1. முக்கிய கோணத்தின் விகிதத்தை "Y" மாறியாகக் குறிக்கிறோம்.
2. அருகிலுள்ள கோணத்துடன் தொடர்புடைய பின்னம் "எக்ஸ்" மாறியாகக் குறிக்கப்படுகிறது.
3. ஒவ்வொரு விகிதத்திலும் விழும் டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை, எடுத்துக்காட்டாக, "a" ஆல் குறிக்கப்படும்.
4. பொதுவான சூத்திரம் இப்படி இருக்கும் - a*X+a*Y=180 அல்லது a*(X+Y)=180.
5. a=180/(X+Y) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி “a” சமன்பாட்டின் பொதுவான காரணியைக் காண்கிறோம்.
6. பின்னர், பொதுவான காரணியான “a” இன் விளைவான மதிப்பை தீர்மானிக்க வேண்டிய கோணத்தின் பகுதியால் பெருக்குகிறோம்.

இதன்மூலம் பக்கத்து கோணத்தின் மதிப்பை டிகிரிகளில் காணலாம். இருப்பினும், நீங்கள் ரேடியன்களில் ஒரு மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் டிகிரிகளை ரேடியன்களாக மாற்ற வேண்டும். இதைச் செய்ய, கோணத்தை டிகிரிகளில் பை மூலம் பெருக்கி, எல்லாவற்றையும் 180 டிகிரி மூலம் வகுக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு ரேடியன்களில் இருக்கும்.

செங்குத்து கோணத்தின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

சிக்கல் முக்கிய கோணத்தின் மதிப்பைக் கொடுக்கவில்லை, ஆனால் செங்குத்து கோணத்தின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டால், முக்கிய கோணத்தின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்ட முதல் பத்தியில் உள்ள அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அருகிலுள்ள கோணத்தை கணக்கிடலாம்.

செங்குத்து கோணம் என்பது முக்கிய புள்ளியின் அதே புள்ளியிலிருந்து உருவாகும் கோணம், ஆனால் சரியாக எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு அது மாறிவிடும் கண்ணாடி படம். இதன் பொருள் செங்குத்து கோணம் பிரதானத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இதையொட்டி, செங்குத்து கோணத்தின் அருகிலுள்ள கோணம் முக்கிய கோணத்தின் அருகிலுள்ள கோணத்திற்கு சமம். இதற்கு நன்றி, முக்கிய கோணத்தின் அருகிலுள்ள கோணத்தை கணக்கிட முடியும். இதைச் செய்ய, செங்குத்து மதிப்பை 180 டிகிரியிலிருந்து கழிக்கவும், முக்கிய கோணத்தின் அருகிலுள்ள கோணத்தின் மதிப்பை டிகிரிகளில் பெறவும்.

மதிப்பு ரேடியன்களில் கொடுக்கப்பட்டால், பை எண்ணிலிருந்து செங்குத்து கோணத்தின் மதிப்பைக் கழிக்க வேண்டியது அவசியம், ஏனெனில் 180 டிகிரி முழு விரிந்த கோணத்தின் மதிப்பு பை எண்ணுக்கு சமம்.

எங்கள் பயனுள்ள கட்டுரைகளையும் நீங்கள் படிக்கலாம்.