அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். அருகிலுள்ள மற்றும் செங்குத்து கோணங்கள்

1. அருகில் உள்ள கோணங்கள்.

எந்த கோணத்தின் பக்கத்தையும் அதன் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டினால், நாம் இரண்டு கோணங்களைப் பெறுகிறோம் (படம் 72): ∠ABC மற்றும் ∠CBD, இதில் ஒரு பக்கம் BC பொதுவானது, மற்ற இரண்டு, AB மற்றும் BD ஆகியவை ஒரு நேர் கோட்டை உருவாக்குகின்றன.

இரண்டு கோணங்களில் ஒரு பக்கம் பொதுவானதாகவும், மற்ற இரண்டும் நேர்கோட்டாகவும் இருக்கும் இரண்டு கோணங்கள் அடுத்தடுத்த கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

அருகிலுள்ள கோணங்களையும் இந்த வழியில் பெறலாம்: ஒரு கோட்டில் சில புள்ளியிலிருந்து ஒரு கதிரை வரைந்தால் (கொடுக்கப்பட்ட வரியில் பொய் இல்லை), நாம் அடுத்தடுத்த கோணங்களைப் பெறுவோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, ∠ADF மற்றும் ∠FDB ஆகியவை அடுத்தடுத்த கோணங்கள் (படம் 73).

அருகில் உள்ள கோணங்கள் பலவிதமான நிலைகளைக் கொண்டிருக்கலாம் (படம் 74).

அருகில் உள்ள கோணங்கள் நேரான கோணத்தில் சேர்க்கின்றன, எனவே இரண்டு தொகை அருகிலுள்ள மூலைகள் 180°க்கு சமம்

எனவே, ஒரு வலது கோணம் அதன் அருகிலுள்ள கோணத்திற்கு சமமான கோணமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

அருகில் உள்ள கோணங்களில் ஒன்றின் அளவை அறிந்தால், அதை ஒட்டிய மற்றொரு கோணத்தின் அளவைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, அருகிலுள்ள கோணங்களில் ஒன்று 54° ஆக இருந்தால், இரண்டாவது கோணம் இதற்குச் சமமாக இருக்கும்:

180° - 54° = l26°.

2. செங்குத்து கோணங்கள்.

கோணத்தின் பக்கங்களை அதன் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டினால், நமக்கு கிடைக்கும் செங்குத்து கோணங்கள். படம் 75 இல், EOF மற்றும் AOC கோணங்கள் செங்குத்தாக உள்ளன; AOE மற்றும் COF ஆகிய கோணங்களும் செங்குத்தாக உள்ளன.

ஒரு கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்ற கோணத்தின் பக்கங்களின் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(படம் 76) எனலாம். அதற்கு அருகில் உள்ள ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, அதாவது 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°க்கு சமமாக இருக்கும்.

அதே வழியில், ∠3 மற்றும் ∠4 எதற்கு சமம் என்பதை நீங்கள் கணக்கிடலாம்.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (படம் 77).

∠1 = ∠3 மற்றும் ∠2 = ∠4 என்று பார்க்கிறோம்.

ஒரே மாதிரியான பல சிக்கல்களை நீங்கள் தீர்க்கலாம், ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் அதே முடிவைப் பெறுவீர்கள்: செங்குத்து கோணங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.

இருப்பினும், செங்குத்து கோணங்கள் எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருப்பதை உறுதிசெய்ய, தனிப்பட்ட எண் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வது போதாது, ஏனெனில் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட முடிவுகள் சில நேரங்களில் தவறாக இருக்கலாம்.

ஆதாரம் மூலம் செங்குத்து கோணங்களின் பண்புகளின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

ஆதாரத்தை பின்வருமாறு மேற்கொள்ளலாம் (படம் 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருப்பதால்).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கம் 180°க்கு சமமாக இருப்பதால், அதன் வலது பக்கமும் 180°க்கு சமம்).

இந்த சமத்துவம் ஒரே கோணத்தை உள்ளடக்கியது உடன்.

சம அளவுகளில் இருந்து சம அளவுகளை கழித்தால், சம அளவுகள் இருக்கும். இதன் விளைவாக இருக்கும்: ∠அ = ∠பி, அதாவது செங்குத்து கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

3. பொதுவான உச்சியைக் கொண்டிருக்கும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை.

படம் 79 இல், ∠1, ∠2, ∠3 மற்றும் ∠4 ஆகியவை ஒரு கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன மற்றும் இந்த வரியில் ஒரு பொதுவான உச்சியைக் கொண்டுள்ளது. மொத்தத்தில், இந்த கோணங்கள் நேரான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

படம் 80 இல், ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 மற்றும் ∠5 ஆகியவை பொதுவான உச்சியைக் கொண்டுள்ளன. இந்த கோணங்கள் ஒரு முழு கோணத்தில் சேர்க்கின்றன, அதாவது ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

வடிவியல் மிகவும் பன்முக அறிவியல். இது தர்க்கம், கற்பனை மற்றும் புத்திசாலித்தனத்தை வளர்க்கிறது. நிச்சயமாக, அதன் சிக்கலான தன்மை மற்றும் ஏராளமான கோட்பாடுகள் மற்றும் கோட்பாடுகள் காரணமாக, பள்ளி குழந்தைகள் எப்போதும் அதை விரும்புவதில்லை. கூடுதலாக, பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தரநிலைகள் மற்றும் விதிகளைப் பயன்படுத்தி உங்கள் முடிவுகளை தொடர்ந்து நிரூபிக்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது.

அருகிலுள்ள மற்றும் செங்குத்து கோணங்கள் வடிவவியலின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். நிச்சயமாக, பல பள்ளி குழந்தைகள் தங்கள் பண்புகள் தெளிவாகவும் நிரூபிக்கவும் எளிதான காரணத்திற்காக அவர்களை வணங்குகிறார்கள்.

மூலைகளின் உருவாக்கம்

எந்த கோணமும் இரண்டு நேர்கோடுகளை வெட்டுவதன் மூலமோ அல்லது ஒரு புள்ளியில் இருந்து இரண்டு கதிர்களை வரைவதன் மூலமோ உருவாகிறது. அவற்றை ஒரு எழுத்து அல்லது மூன்று என்று அழைக்கலாம், இது கோணம் கட்டமைக்கப்பட்ட புள்ளிகளை தொடர்ச்சியாகக் குறிக்கும்.

கோணங்கள் டிகிரிகளில் அளவிடப்படுகின்றன மற்றும் (அவற்றின் மதிப்பைப் பொறுத்து) வித்தியாசமாக அழைக்கப்படலாம். எனவே, ஒரு சரியான கோணம் உள்ளது, கடுமையான, மழுங்கிய மற்றும் விரிவடைந்தது. பெயர்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு அல்லது அதன் இடைவெளிக்கு ஒத்திருக்கும்.

கடுமையான கோணம் என்பது 90 டிகிரிக்கு மேல் இல்லாத ஒரு கோணமாகும்.

மழுங்கிய கோணம் என்பது 90 டிகிரிக்கு மேல் இருக்கும் கோணம்.

கோணம் அதன் அளவு 90 ஆக இருக்கும் போது வலது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இது ஒரு தொடர்ச்சியான நேர்கோட்டால் உருவாகி அதன் அளவு 180 ஆக இருந்தால், அது விரிவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு பொதுவான பக்கத்தைக் கொண்ட கோணங்கள், அதன் இரண்டாவது பக்கம் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்கிறது, அவை அடுத்தடுத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை கூர்மையாகவோ அல்லது அப்பட்டமாகவோ இருக்கலாம். கோட்டின் குறுக்குவெட்டு அருகிலுள்ள கோணங்களை உருவாக்குகிறது. அவற்றின் பண்புகள் பின்வருமாறு:

1. அத்தகைய கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரிக்கு சமமாக இருக்கும் (இதை நிரூபிக்கும் ஒரு தேற்றம் உள்ளது). எனவே, அவற்றில் ஒன்றைத் தெரிந்தால் ஒருவர் எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.
2. முதல் புள்ளியில் இருந்து, அருகிலுள்ள கோணங்களை இரண்டு மழுங்கிய அல்லது இரண்டு கடுமையான கோணங்களால் உருவாக்க முடியாது.

இந்த பண்புகளுக்கு நன்றி, நீங்கள் எப்போதும் ஒரு கோணத்தின் டிகிரி அளவைக் கணக்கிடலாம், மற்றொரு கோணத்தின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம் அல்லது, மூலம் குறைந்தபட்சம், அவர்களுக்கு இடையேயான உறவு.

செங்குத்து கோணங்கள்

பக்கங்கள் ஒன்றின் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் எந்த வகைகளும் அத்தகைய ஜோடியாக செயல்படலாம். செங்குத்து கோணங்கள் எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.

நேர்கோடுகள் வெட்டும் போது அவை உருவாகின்றன. அவற்றுடன், அடுத்தடுத்த கோணங்களும் எப்போதும் இருக்கும். ஒரு கோணம் ஒரே நேரத்தில் ஒன்றுக்கு அருகிலும் மற்றொன்றுக்கு செங்குத்தாகவும் இருக்கும்.

ஒரு தன்னிச்சையான கோட்டைக் கடக்கும்போது, ​​பல வகையான கோணங்களும் கருதப்படுகின்றன. அத்தகைய கோடு ஒரு செகண்ட் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது தொடர்புடைய, ஒரு பக்க மற்றும் குறுக்கு-பொய் கோணங்களை உருவாக்குகிறது. அவர்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமானவர்கள். செங்குத்து மற்றும் அருகிலுள்ள கோணங்களில் உள்ள பண்புகளின் வெளிச்சத்தில் அவற்றைப் பார்க்கலாம்.

எனவே, கோணங்களின் தலைப்பு மிகவும் எளிமையானதாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் தோன்றுகிறது. அவர்களின் அனைத்து பண்புகள் நினைவில் மற்றும் நிரூபிக்க எளிதானது. கோணங்கள் ஒத்துப்போகும் வரை பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பது கடினமாகத் தெரியவில்லை எண் மதிப்பு. பின்னர், பாவம் மற்றும் காஸ் பற்றிய ஆய்வு தொடங்கும் போது, ​​நீங்கள் பல சிக்கலான சூத்திரங்கள், அவற்றின் முடிவுகள் மற்றும் விளைவுகளை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டும். அதுவரை, அருகிலுள்ள கோணங்களைக் கண்டறிய வேண்டிய எளிதான புதிர்களை நீங்கள் அனுபவிக்க முடியும்.

அருகிலுள்ள கோணம் என்றால் என்ன

மூலை- இது வடிவியல் உருவம்(படம் 1), OA மற்றும் OB (கோணத்தின் பக்கங்கள்) ஆகிய இரண்டு கதிர்களால் உருவானது, ஒரு புள்ளி O (கோணத்தின் உச்சி) இலிருந்து வெளிப்படுகிறது.

பக்கத்து மூலைகள்- இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°. இந்த கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றை முழு கோணத்தில் பூர்த்தி செய்கின்றன.

அருகில் உள்ள கோணங்கள்- (Agles adjacets) பொதுவான மேல் மற்றும் பொதுவான பக்கத்தைக் கொண்டவை. பெரும்பாலும் இந்தப் பெயர் ஒரு நேர் கோட்டின் எதிரெதிர் திசைகளில் மீதமுள்ள இரு பக்கங்களும் இருக்கும் கோணங்களைக் குறிக்கிறது.

ஒரு பக்கம் பொதுவானதாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் அடுத்தடுத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த கோணங்களின் மற்ற பக்கங்கள் நிரப்பு அரை-கோடுகள்.

அரிசி. 2

படம் 2 இல், a1b மற்றும் a2b கோணங்கள் அருகருகே உள்ளன. அவர்கள் ஒரு பொதுவான பக்க b, மற்றும் பக்கங்கள் a1, a2 கூடுதல் அரை-கோடுகள்.

அரிசி. 3

படம் 3, AB என்ற நேர்கோட்டைக் காட்டுகிறது, புள்ளி C என்பது A மற்றும் B புள்ளிகளுக்கு இடையே அமைந்துள்ளது. புள்ளி D என்பது நேராக AB இல் இல்லாத ஒரு புள்ளியாகும். BCD மற்றும் ACD கோணங்கள் அருகருகே உள்ளன என்று மாறிவிடும். அவர்கள் ஒரு பொதுவான பக்க குறுவட்டு, மற்றும் பக்கங்கள் CA மற்றும் CB ஆகியவை நேர்கோட்டு AB இன் கூடுதல் அரை-கோடுகள் ஆகும், ஏனெனில் புள்ளிகள் A, B ஆகியவை தொடக்கப் புள்ளி C ஆல் பிரிக்கப்படுகின்றன.

அருகில் உள்ள கோண தேற்றம்

தேற்றம்:அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

ஆதாரம்:
கோணங்கள் a1b மற்றும் a2b ஆகியவை அருகருகே உள்ளன (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்) விரிந்த கோணத்தின் a1 மற்றும் a2 பக்கங்களுக்கு இடையே ரே b செல்கிறது. எனவே, a1b மற்றும் a2b கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை வளர்ந்த கோணத்திற்கு சமம், அதாவது 180°. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

90°க்கு சமமான கோணம் வலது கோணம் எனப்படும். அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றத்திலிருந்து, ஒரு செங்கோணத்திற்கு அருகிலுள்ள ஒரு கோணமும் ஒரு செங்கோணமாகும். 90°க்கும் குறைவான கோணம் அக்யூட் என்றும், 90°க்கு மேல் உள்ள கோணம் மழுப்பல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருப்பதால், அதை ஒட்டிய கோணம் கடுமையான கோணம்- மழுங்கிய கோணம். ஒரு மழுங்கிய கோணத்தை ஒட்டிய கோணம் ஒரு கடுமையான கோணம்.

அருகில் உள்ள கோணங்கள்- ஒரு பொதுவான உச்சியுடன் கூடிய இரண்டு கோணங்கள், அதன் பக்கங்களில் ஒன்று பொதுவானது, மீதமுள்ள பக்கங்கள் ஒரே நேர்கோட்டில் (ஒத்திசையவில்லை) உள்ளன. அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

வரையறை 1.ஒரு கோணம் என்பது பொதுவான தோற்றம் கொண்ட இரண்டு கதிர்களால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு விமானத்தின் ஒரு பகுதியாகும்.

வரையறை 1.1.ஒரு கோணம் என்பது ஒரு புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு உருவம் - கோணத்தின் உச்சி - மற்றும் இந்த புள்ளியிலிருந்து வெளிப்படும் இரண்டு வெவ்வேறு அரைக் கோடுகள் - கோணத்தின் பக்கங்கள்.
எடுத்துக்காட்டாக, படம்.1 இல் உள்ள BOC கோணம் முதலில் இரண்டு வெட்டும் கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். நேர்கோடுகள் வெட்டும்போது, ​​​​அவை கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. சிறப்பு வழக்குகள் உள்ளன:

வரையறை 2.ஒரு கோணத்தின் பக்கங்கள் ஒரு நேர் கோட்டின் கூடுதல் அரைக் கோடுகளாக இருந்தால், கோணம் வளர்ந்தது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 3.வலது கோணம் என்பது 90 டிகிரி அளவைக் கொண்ட ஒரு கோணம்.

வரையறை 4. 90 டிகிரிக்கும் குறைவான கோணம் கடுமையான கோணம் எனப்படும்.

வரையறை 5. 90 டிகிரிக்கு மேல் மற்றும் 180 டிகிரிக்கு குறைவான கோணம் மழுங்கிய கோணம் எனப்படும்.
வெட்டும் கோடுகள்.

வரையறை 6.இரண்டு கோணங்கள், ஒரு பக்கம் பொதுவானது மற்றும் மற்ற பக்கங்கள் ஒரே நேர்கோட்டில் உள்ளன, அவை அடுத்தடுத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை 7.பக்கங்கள் ஒன்றையொன்று தொடரும் கோணங்கள் செங்குத்து கோணங்கள் எனப்படும்.
படம் 1 இல்:
அருகில்: 1 மற்றும் 2; 2 மற்றும் 3; 3 மற்றும் 4; 4 மற்றும் 1
செங்குத்து: 1 மற்றும் 3; 2 மற்றும் 4
தேற்றம் 1.அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி ஆகும்.
ஆதாரத்திற்கு, படம். 4 அருகிலுள்ள கோணங்கள் AOB மற்றும் BOC. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை வளர்ந்த கோணம் AOC ஆகும். எனவே, இந்த அடுத்தடுத்த கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி ஆகும்.

அரிசி. 4

கணிதத்திற்கும் இசைக்கும் உள்ள தொடர்பு

"கலை மற்றும் அறிவியலைப் பற்றி, அவற்றின் பரஸ்பர தொடர்புகள் மற்றும் முரண்பாடுகளைப் பற்றி யோசித்து, கணிதமும் இசையும் தீவிர துருவங்களில் உள்ளன என்ற முடிவுக்கு வந்தேன். மனித ஆவி"இந்த இரண்டு ஆன்டிபோட்களும் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் மனிதனின் அனைத்து ஆக்கபூர்வமான ஆன்மீக செயல்பாடுகளாலும் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அறிவியல் மற்றும் கலைத் துறையில் மனிதகுலம் உருவாக்கிய அனைத்தும் அவற்றுக்கிடையே உள்ளன."
ஜி. நியூஹாஸ்
கலை என்பது கணிதத்திலிருந்து மிகவும் சுருக்கமான பகுதி என்று தோன்றுகிறது. இருப்பினும், கணிதத்திற்கும் இசைக்கும் இடையிலான தொடர்பு வரலாற்று ரீதியாகவும் உள்நாட்டிலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, கணிதம் அறிவியலின் மிகவும் சுருக்கமானது, மற்றும் இசை என்பது கலையின் மிகவும் சுருக்கமான வடிவம்.
ஒரு சரத்தின் இனிமையான ஒலியை மெய் தீர்மானிக்கிறது
இந்த இசை அமைப்பு இரண்டு சிறந்த விஞ்ஞானிகளின் பெயர்களைக் கொண்ட இரண்டு விதிகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது - பித்தகோரஸ் மற்றும் ஆர்கிடாஸ். இவை சட்டங்கள்:
1. முக்கோண எண் 10=1+2+3+4 ஐ உருவாக்கும் முழு எண்களாக அவற்றின் நீளம் தொடர்புடையதாக இருந்தால் இரண்டு ஒலிக்கும் சரங்கள் மெய்யெழுத்தை தீர்மானிக்கின்றன, அதாவது. 1:2, 2:3, 3:4 போன்றது. மேலும், n:(n+1) (n=1,2,3) விகிதத்தில் உள்ள எண் n சிறியதாக இருந்தால், விளைவான இடைவெளியில் அதிக மெய்.
2. ஒலிக்கும் சரத்தின் அதிர்வு அதிர்வெண் w அதன் நீளம் l க்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் உள்ளது.
w = a:l,
இதில் a என்பது ஒரு குணகம் குணாதிசயமாகும் உடல் பண்புகள்சரங்கள்.

இரண்டு கணிதவியலாளர்களுக்கு இடையேயான வாதத்தைப் பற்றிய ஒரு வேடிக்கையான பகடியையும் நான் உங்களுக்கு வழங்குகிறேன் =)

நம்மைச் சுற்றியுள்ள வடிவியல்

நம் வாழ்வில் வடிவவியல் சிறிய முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது அல்ல. நீங்கள் சுற்றிப் பார்க்கும்போது, ​​​​நாம் பல்வேறு வடிவியல் வடிவங்களால் சூழப்பட்டிருப்பதைக் கவனிப்பது கடினம் அல்ல. நாங்கள் அவர்களை எல்லா இடங்களிலும் சந்திக்கிறோம்: தெருவில், வகுப்பறையில், வீட்டில், பூங்காவில், உள்ளே உடற்பயிற்சி கூடம், பள்ளி சிற்றுண்டிச்சாலையில், அடிப்படையில் நீங்களும் நானும் எங்கிருந்தாலும். ஆனால் இன்றைய பாடத்தின் தலைப்பு அருகிலுள்ள நிலக்கரி. எனவே சுற்றிப் பார்த்து, இந்த சூழலில் கோணங்களைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் சாளரத்தை உற்று நோக்கினால், சில மரக் கிளைகள் அடுத்தடுத்த மூலைகளை உருவாக்குவதைக் காணலாம், மேலும் வாயிலில் உள்ள பகிர்வுகளில் நீங்கள் பல செங்குத்து கோணங்களைக் காணலாம். உங்கள் சூழலில் நீங்கள் கவனிக்கும் அருகிலுள்ள கோணங்களின் சொந்த உதாரணங்களைக் கொடுங்கள்.

பணி 1.

1. ஒரு புக் ஸ்டாண்டில் மேஜையில் ஒரு புத்தகம் உள்ளது. அது எந்த கோணத்தை உருவாக்குகிறது?
2. ஆனால் மாணவர் மடிக்கணினியில் வேலை செய்கிறார். நீங்கள் இங்கே என்ன கோணத்தைப் பார்க்கிறீர்கள்?
3. ஸ்டாண்டில் போட்டோ ஃபிரேம் என்ன கோணத்தை உருவாக்குகிறது?
4. இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்கள் சமமாக இருப்பது சாத்தியம் என்று நினைக்கிறீர்களா?

பணி 2.

உங்களுக்கு முன்னால் ஒரு வடிவியல் உருவம் உள்ளது. இது என்ன மாதிரியான உருவம், பெயர்? இப்போது இந்த வடிவியல் உருவத்தில் நீங்கள் காணக்கூடிய அனைத்து அருகிலுள்ள கோணங்களுக்கும் பெயரிடவும்.

பணி 3.

இங்கே ஒரு ஓவியம் மற்றும் ஓவியத்தின் படம் உள்ளது. அவற்றைக் கவனமாகப் பார்த்து, படத்தில் நீங்கள் எந்த வகையான மீன்களைப் பார்க்கிறீர்கள், படத்தில் என்ன கோணங்களைப் பார்க்கிறீர்கள் என்று சொல்லுங்கள்.

சிக்கல் தீர்க்கும்

முன்னர் கற்றவற்றை மதிப்பாய்வு செய்வதற்கான கணித டிக்டேஷன்

பிரச்சனைகளை தீர்க்க:

1. 2 நேர்கோடுகளின் குறுக்குவெட்டால் உருவாகும் 3 கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 100°க்கு சமமாகுமா? 370°?
2. படத்தில், அருகிலுள்ள கோணங்களின் அனைத்து ஜோடிகளையும் கண்டறியவும். இப்போது செங்குத்து கோணங்கள். இந்த கோணங்களுக்கு பெயரிடுங்கள்.

3. அதன் அருகில் உள்ளதை விட மூன்று மடங்கு பெரியதாக இருக்கும் போது நீங்கள் ஒரு கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
4. இரண்டு நேர் கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டியது. இந்த குறுக்குவெட்டின் விளைவாக, நான்கு மூலைகள் உருவாக்கப்பட்டன. அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்கவும்:

a) நான்கில் 2 கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 84°;
b) 2 கோணங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு 45°;
c) ஒரு கோணம் இரண்டாவது விட 4 மடங்கு சிறியது;
ஈ) இந்த மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 290° ஆகும்.

பாடத்தின் சுருக்கம்

1. 2 நேர்கோடுகள் வெட்டும் போது உருவாகும் கோணங்களுக்கு பெயரிடவும்?
2. படத்தில் சாத்தியமான அனைத்து ஜோடி கோணங்களையும் பெயரிட்டு அவற்றின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும்.

வீட்டுப்பாடம்:

1. அடுத்தடுத்த கோணங்களில் ஒன்று இரண்டாவது கோணத்தை விட 54° அதிகமாக இருக்கும் போது அவற்றின் டிகிரி அளவீடுகளின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும்.
2. 2 நேர்கோடுகள் வெட்டும் போது உருவாகும் கோணங்களைக் கண்டறியவும், ஒரு கோணம் அதை ஒட்டிய மற்ற 2 கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால்.
3. அவற்றில் ஒன்றின் இருமுனையானது இரண்டாவது கோணத்தை விட 60° அதிகமாக இருக்கும் இரண்டாவது பக்கத்துடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்கும் போது அருகில் உள்ள கோணங்களைக் கண்டறிவது அவசியம்.
4. 2 அடுத்தடுத்த கோணங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு இந்த இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம். 2 அருகிலுள்ள கோணங்களின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
5. 2 அடுத்தடுத்த கோணங்களின் வேறுபாடு மற்றும் கூட்டுத்தொகை முறையே 1:5 என்ற விகிதத்தில் இருக்கும். அருகிலுள்ள கோணங்களைக் கண்டறியவும்.
6. இரண்டு அருகருகே உள்ளவற்றுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு அவற்றின் கூட்டுத்தொகையில் 25% ஆகும். 2 அருகிலுள்ள கோணங்களின் மதிப்புகள் எவ்வாறு தொடர்புபடுகின்றன? 2 அருகிலுள்ள கோணங்களின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.

கேள்விகள்:

1. ஒரு கோணம் என்றால் என்ன?
2. என்ன வகையான கோணங்கள் உள்ளன?
3. அருகில் உள்ள கோணங்களின் சொத்து என்ன?

கேள்வி 1.என்ன கோணங்கள் அடுத்தடுத்து அழைக்கப்படுகின்றன?
பதில்.ஒரு பக்கம் பொதுவானதாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் அடுத்தடுத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த கோணங்களின் மற்ற பக்கங்கள் நிரப்பு அரை-கோடுகள்.
படம் 31 இல், கோணங்கள் (a 1 b) மற்றும் (a 2 b) அருகில் உள்ளன. அவைகளுக்குப் பொதுவாகப் பக்க b உள்ளது, மேலும் a 1 மற்றும் a 2 பக்கங்கள் கூடுதல் அரைக் கோடுகள்.

கேள்வி 2.அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° என்பதை நிரூபிக்கவும்.
பதில். தேற்றம் 2.1.அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.
ஆதாரம்.கோணம் (a 1 b) மற்றும் கோணம் (a 2 b) ஆகியவை அடுத்தடுத்த கோணங்களைக் கொடுக்கலாம் (படம் 31 ஐப் பார்க்கவும்). ரே b ஒரு நேர்கோணத்தின் 1 மற்றும் 2 பக்கங்களுக்கு இடையே செல்கிறது. எனவே, கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை (a 1 b) மற்றும் (a 2 b) விரிந்த கோணத்திற்கு சமம், அதாவது 180°. கே.இ.டி.

கேள்வி 3.இரண்டு கோணங்களும் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் அருகில் உள்ள கோணங்களும் சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
பதில்.

தேற்றத்திலிருந்து 2.1 இரண்டு கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் அருகிலுள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.
கோணங்கள் (a 1 b) மற்றும் (c 1 d) சமம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். கோணங்களும் (a 2 b) மற்றும் (c 2 d) சமம் என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்.
அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும். இதிலிருந்து a 1 ​​b + a 2 b = 180° மற்றும் c 1 d + c 2 d = 180° என்று வருகிறது. எனவே, a 2 b = 180° - a 1 b மற்றும் c 2 d = 180° - c 1 d. கோணங்கள் (a 1 b) மற்றும் (c 1 d) சமமாக இருப்பதால், a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d என்று பெறுகிறோம். சம அடையாளத்தின் மாறுபாட்டின் பண்பு மூலம் அது ஒரு 2 b = c 2 d. கே.இ.டி.

கேள்வி 4.எந்த கோணம் வலது (கடுமையான, மழுங்கிய) என்று அழைக்கப்படுகிறது?
பதில். 90°க்கு சமமான கோணம் வலது கோணம் எனப்படும்.
90°க்கும் குறைவான கோணம் தீவிர கோணம் எனப்படும்.
90°க்கு அதிகமான கோணமும் 180°க்குக் குறைவான கோணமும் மழுப்பல் எனப்படும்.

கேள்வி 5.செங்கோணத்தை ஒட்டிய கோணம் செங்கோணம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
பதில்.அடுத்துள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் இருந்து, ஒரு செங்கோணத்தை ஒட்டிய கோணம் ஒரு செங்கோணமாக இருக்கும்: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

கேள்வி 6.என்ன கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன?
பதில்.ஒரு கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றொன்றின் பக்கங்களின் நிரப்பு அரைக் கோடுகளாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கேள்வி 7.செங்குத்து கோணங்கள் சமமாக இருப்பதை நிரூபிக்கவும்.
பதில். தேற்றம் 2.2. செங்குத்து கோணங்கள் சமம்.
ஆதாரம்.(a 1 b 1) மற்றும் (a 2 b 2) கொடுக்கப்பட்ட செங்குத்து கோணங்களாக இருக்கட்டும் (படம் 34). கோணம் (a 1 b 2) கோணத்திற்கு (a 1 b 1) மற்றும் கோணத்திற்கு (a 2 b 2) அருகில் உள்ளது. இங்கிருந்து, அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு கோணமும் (a 1 b 1) மற்றும் (a 2 b 2) கோணத்தை (a 1 b 2) 180° வரை நிறைவு செய்கிறது, அதாவது. கோணங்கள் (a 1 b 1) மற்றும் (a 2 b 2) சமம். கே.இ.டி.

கேள்வி 8.இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் போது, ​​ஒரு கோணம் சரியாக இருந்தால், மற்ற மூன்று கோணங்களும் சரியாக இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
பதில். AB மற்றும் CD கோடுகள் O புள்ளியில் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். AOD கோணம் 90° என்று வைத்துக்கொள்வோம். அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருப்பதால், AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° என்று பெறுகிறோம். கோணம் COB கோணம் AOD க்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே அவை சமமாக இருக்கும். அதாவது, கோணம் COB = 90°. COA கோணம் BODக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே அவை சமமாக இருக்கும். அதாவது, கோணம் BOD = 90°. எனவே, அனைத்து கோணங்களும் 90°க்கு சமம், அதாவது அவை அனைத்தும் செங்கோணங்கள். கே.இ.டி.

கேள்வி 9.எந்த கோடுகள் செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன? கோடுகளின் செங்குத்தாக இருப்பதைக் குறிக்க என்ன அடையாளம் பயன்படுத்தப்படுகிறது?
பதில்.இரண்டு கோடுகள் செங்குத்து கோணத்தில் வெட்டினால் அவை செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன.
கோடுகளின் செங்குத்துத்தன்மை \(\perp\) அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. உள்ளீடு \(a\perp b\) இவ்வாறு கூறுகிறது: "a வரி b வரிக்கு செங்குத்தாக உள்ளது."

கேள்வி 10.ஒரு கோட்டின் எந்தப் புள்ளியிலும் நீங்கள் செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை வரைய முடியும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
பதில். தேற்றம் 2.3.ஒவ்வொரு வரியிலும் நீங்கள் செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை வரையலாம், ஒன்று மட்டுமே.
ஆதாரம். a கொடுக்கப்பட்ட வரியாகவும், A கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். தொடக்கப் புள்ளி A (படம் 38) உடன் நேர் கோட்டின் அரைக் கோடுகளில் 1 ஒன்றைக் குறிப்போம். அரைக்கோடு a 1 ​​இலிருந்து 90°க்கு சமமான கோணத்தை (a 1 b 1) கழிப்போம். பின்னர் b 1 கதிர் கொண்ட நேர்கோடு a நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

மற்றொரு கோடு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், புள்ளி A வழியாகவும், வரி a க்கு செங்குத்தாகவும் உள்ளது. ரே b 1 உடன் அதே அரை-தளத்தில் இருக்கும் இந்த கோட்டின் அரை-கோட்டை c 1 ஆல் குறிப்போம்.
கோணங்கள் (a 1 b 1) மற்றும் (a 1 c 1), ஒவ்வொன்றும் 90°க்கு சமமானவை, அரை-கோடு a 1 ​​இலிருந்து ஒரு அரை-தளத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனால் அரைக் கோட்டிலிருந்து 90°க்கு சமமான 1 கோணத்தை மட்டுமே கொடுக்கப்பட்ட அரை-தளத்தில் வைக்க முடியும். எனவே, புள்ளி A க்கு செங்குத்தாக மற்றொரு கோடு கடந்து செல்ல முடியாது. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கேள்வி 11.ஒரு கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருப்பது என்ன?
பதில்.கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருப்பது, கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு கோட்டின் ஒரு பகுதி ஆகும், இது அவற்றின் வெட்டுப்புள்ளியில் அதன் முனைகளில் ஒன்றைக் கொண்டுள்ளது. பிரிவின் இந்த முடிவு அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படையில்செங்குத்தாக.

கேள்வி 12.முரண்பாட்டின் மூலம் என்ன ஆதாரம் உள்ளது என்பதை விளக்குங்கள்.
பதில்.தேற்றம் 2.3 இல் நாம் பயன்படுத்திய ஆதார முறை முரண்பாட்டின் மூலம் ஆதாரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த ஆதார முறையானது நாம் முதலில் ஒரு அனுமானத்தை மேற்கொள்கிறோம் அதற்கு நேர்மாறானது, இது தேற்றம் கூறுகிறது. பின்னர், பகுத்தறிவு மூலம், கோட்பாடுகள் மற்றும் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றங்களை நம்பி, தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள், அல்லது கோட்பாடுகளில் ஒன்று அல்லது முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றம் ஆகியவற்றிற்கு முரணான ஒரு முடிவுக்கு வருகிறோம். இந்த அடிப்படையில், எங்கள் அனுமானம் தவறானது, எனவே தேற்றத்தின் அறிக்கை சரியானது என்று முடிவு செய்கிறோம்.

கேள்வி 13.ஒரு கோணத்தின் இருசமப்பிரிவு என்ன?
பதில்.ஒரு கோணத்தின் இருமுனை என்பது கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் ஒரு கதிர், அதன் பக்கங்களுக்கு இடையில் கடந்து, கோணத்தை பாதியாகப் பிரிக்கிறது.

இரண்டு கோணங்கள் பொதுவாக ஒரு பக்கம் இருந்தால் அவை அடுத்தடுத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த கோணங்களின் மற்ற பக்கங்கள் நிரப்பு கதிர்கள். படம் 20 இல், AOB மற்றும் BOC கோணங்கள் அருகருகே உள்ளன.

அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

தேற்றம் 1. அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

ஆதாரம். பீம் OB (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) விரிக்கப்பட்ட கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையில் செல்கிறது. அதனால் தான் ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

தேற்றம் 1 இலிருந்து இரண்டு கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் அருகிலுள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

செங்குத்து கோணங்கள் சமம்

ஒரு கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றொன்றின் பக்கங்களின் நிரப்பு கதிர்களாக இருந்தால் இரண்டு கோணங்கள் செங்குத்து என்று அழைக்கப்படுகின்றன. AOB மற்றும் COD, BOD மற்றும் AOC ஆகிய கோணங்கள் இரண்டு நேர் கோடுகளின் குறுக்குவெட்டில் உருவாகின்றன, அவை செங்குத்து (படம் 2).

தேற்றம் 2. செங்குத்து கோணங்கள் சமம்.

ஆதாரம். செங்குத்து கோணங்களில் AOB மற்றும் COD ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்). BOD கோணம் AOB மற்றும் COD ஆகிய ஒவ்வொரு கோணங்களுக்கும் அருகில் உள்ளது. தேற்றம் 1 மூலம் ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

இதிலிருந்து நாம் ∠ AOB = ∠ COD என்று முடிவு செய்கிறோம்.

முடிவு 1. செங்கோணத்தை ஒட்டிய கோணம் ஒரு செங்கோணம்.

AC மற்றும் BD (படம் 3) ஆகிய இரண்டு வெட்டும் நேர் கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அவை நான்கு மூலைகளை உருவாக்குகின்றன. அவற்றில் ஒன்று நேராக இருந்தால் (படம் 3 இல் கோணம் 1), பின்னர் மீதமுள்ள கோணங்களும் சரியாக இருக்கும் (கோணங்கள் 1 மற்றும் 2, 1 மற்றும் 4 ஆகியவை அருகில் உள்ளன, கோணங்கள் 1 மற்றும் 3 செங்குத்தாக இருக்கும்). இந்த வழக்கில், இந்த கோடுகள் செங்குத்து கோணங்களில் வெட்டுகின்றன மற்றும் செங்குத்தாக (அல்லது பரஸ்பர செங்குத்தாக) என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள். AC மற்றும் BD கோடுகளின் செங்குத்தாக பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: AC ⊥ BD.

ஒரு பிரிவுக்கு ஒரு செங்குத்து இருசமப்பிரிவு என்பது இந்த பிரிவுக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோடு மற்றும் அதன் நடுப்புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

AN - ஒரு கோட்டிற்கு செங்குத்தாக

ஒரு நேர்கோடு a மற்றும் அதன் மீது பொய் இல்லாத ஒரு புள்ளி A (படம் 4) ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். புள்ளி A உடன் ஒரு பகுதியுடன் H புள்ளியை நேர் கோட்டுடன் இணைப்போம். AN மற்றும் a என்ற கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், புள்ளி A இலிருந்து வரி a வரை வரையப்பட்ட பகுதி AN செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளி எச் செங்குத்தாக அடித்தளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சதுரம் வரைதல்

பின்வரும் தேற்றம் உண்மை.

தேற்றம் 3. எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் ஒரு கோட்டில் பொய் இல்லை, இந்த கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரைய முடியும், மேலும், ஒன்று மட்டுமே.

ஒரு வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரைய, வரைதல் சதுரத்தைப் பயன்படுத்தவும் (படம் 5).

கருத்து. தேற்றத்தின் உருவாக்கம் பொதுவாக இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது. கொடுக்கப்பட்டதைப் பற்றி ஒரு பகுதி பேசுகிறது. இந்த பகுதி தேற்றத்தின் நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்ற பகுதி நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதைப் பற்றி பேசுகிறது. இந்த பகுதி தேற்றத்தின் முடிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, தேற்றம் 2 இன் நிபந்தனை கோணங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும்; முடிவு - இந்த கோணங்கள் சமம்.

எந்தவொரு தேற்றத்தையும் வார்த்தைகளில் விரிவாக வெளிப்படுத்தலாம், இதனால் அதன் நிலை "if" என்ற வார்த்தையிலும் அதன் முடிவு "பின்னர்" என்ற வார்த்தையிலும் தொடங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, தேற்றம் 2 ஐ பின்வருமாறு விரிவாகக் கூறலாம்: "இரண்டு கோணங்களும் செங்குத்தாக இருந்தால், அவை சமமாக இருக்கும்."

எடுத்துக்காட்டு 1.அருகில் உள்ள கோணங்களில் ஒன்று 44° ஆகும். மற்றொன்று எதற்குச் சமம்?

தீர்வு. மற்றொரு கோணத்தின் டிகிரி அளவை x ஆல் குறிப்போம், பின்னர் தேற்றம் 1 இன் படி.
44° + x = 180°.
விளைந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​x = 136° என்று காண்கிறோம். எனவே, மற்ற கோணம் 136° ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.படம் 21 இல் உள்ள COD கோணம் 45° ஆக இருக்கட்டும். AOB மற்றும் AOC கோணங்கள் என்ன?

தீர்வு. கோணங்கள் COD மற்றும் AOB செங்குத்தாக உள்ளன, எனவே, தேற்றம் 1.2 மூலம் அவை சமமாக இருக்கும், அதாவது ∠ AOB = 45°. AOC கோணம் COD க்கு அருகில் உள்ளது, அதாவது தேற்றம் 1 இன் படி.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

எடுத்துக்காட்டு 3.அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றை விட 3 மடங்கு பெரியதாக இருந்தால், அருகிலுள்ள கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சிறிய கோணத்தின் அளவு அளவை x ஆல் குறிப்போம். பின்னர் பெரிய கோணத்தின் அளவு 3x ஆக இருக்கும். அருகிலுள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° (தேற்றம் 1) க்கு சமமாக இருப்பதால் x + 3x = 180°, எங்கிருந்து x = 45°.
இதன் பொருள் அருகில் உள்ள கோணங்கள் 45° மற்றும் 135° ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.இரண்டு செங்குத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 100° ஆகும். நான்கு கோணங்களில் ஒவ்வொன்றின் அளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. படம் 2 சிக்கலின் நிபந்தனைகளை சந்திக்கட்டும் COD முதல் AOB வரையிலான செங்குத்து கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் (தேற்றம் 2), அதாவது அவற்றின் அளவுகளும் சமமாக இருக்கும். எனவே, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (நிபந்தனையின்படி அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 100° ஆகும்). கோணம் BOD (கோணம் AOC) கோணம் CODக்கு அருகில் உள்ளது, எனவே, தேற்றம் 1 மூலம்
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.