இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம். நேர் கோடுகளை வெட்டுவதற்கு இடையிலான கோணம்: வரையறை, கண்டுபிடிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மற்றும். இரண்டு நேர் கோடுகள் கொடுக்கப்படட்டும். இந்த நேர் கோடுகள், அத்தியாயம் 1 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பல்வேறு நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, அவை கடுமையான மற்றும் மெல்லியதாக இருக்கலாம். இந்த கோணங்களில் ஒன்றை அறிந்தால், வேறு எதையும் எளிதாகக் காணலாம்.

மூலம், இந்த அனைத்து கோணங்களுக்கும், தொடுகோட்டின் எண் மதிப்பு ஒன்றுதான், வேறுபாடு அடையாளத்தில் மட்டுமே இருக்க முடியும்

வரிகளின் சமன்பாடுகள். எண்கள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது நேர் கோடுகளின் திசை திசையன்களின் கணிப்புகளாகும்.இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் நேர் கோடுகளால் உருவாகும் கோணங்களில் ஒன்றிற்கு சமம். எனவே, திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணத்தை தீர்மானிப்பதில் பணி குறைக்கப்படுகிறது, நமக்கு கிடைக்கிறது

எளிமைக்காக, கடுமையான நேர்மறை கோணத்தைக் குறிக்க இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தில் நாம் உடன்படலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, படம் 53 இல்).

இந்த கோணத்தின் தொடுகோடு எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே, சூத்திரத்தின் (1) வலது பக்கத்தில் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் பெறப்பட்டால், அதை நாம் நிராகரிக்க வேண்டும், அதாவது முழுமையான மதிப்பை மட்டுமே வைத்திருக்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தை தீர்மானிக்கவும்

சூத்திரம் (1) மூலம், எங்களிடம் உள்ளது

இருந்து. கோணத்தின் பக்கங்களில் எது அதன் ஆரம்பம் மற்றும் எந்த முடிவு என்று சுட்டிக்காட்டப்பட்டால், எப்போதும் கோணத்தின் திசையை எதிரெதிர் திசையில் எண்ணினால், நாம் சூத்திரத்திலிருந்து (1) மேலும் எதையாவது பிரித்தெடுக்க முடியும். படம் இருந்து பார்க்க எளிதானது. சூத்திரத்தின் வலது பக்கத்தில் பெறப்பட்ட 53 வது அடையாளம் (1) எந்த - கடுமையான அல்லது மெல்லிய - கோணம் முதல் நேர் கோட்டை உருவாக்குகிறது என்பதைக் குறிக்கும்.

(உண்மையில், படம் 53 இலிருந்து, முதல் மற்றும் இரண்டாவது திசை திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணம் நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் விரும்பிய கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அல்லது அதிலிருந்து ± 180 by வேறுபடுகிறது.)

d. நேர் கோடுகள் இணையாக இருந்தால், அவற்றின் திசை திசையன்களும் இணையாக இருக்கும். இரண்டு திசையன்களின் இணையான நிலையைப் பயன்படுத்துவதால், நமக்குக் கிடைக்கும்!

இரண்டு நேர் கோடுகளின் இணையான தன்மைக்கு இது அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனையாகும்.

உதாரணமாக. நேரடி

இணையாக இருப்பதால்

e. நேர் கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், அவற்றின் திசை திசையன்களும் செங்குத்தாக இருக்கும். இரண்டு திசையன்களின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், இரண்டு நேர் கோடுகளின் செங்குத்தாக நிலையைப் பெறுகிறோம், அதாவது

உதாரணமாக. நேரடி

அந்த காரணத்தால் செங்குத்தாக உள்ளன

இணையான மற்றும் செங்குத்தாக உள்ள நிலைமைகள் தொடர்பாக, பின்வரும் இரண்டு சிக்கல்களை நாங்கள் தீர்ப்போம்.

f. கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோட்டுக்கு இணையாக ஒரு புள்ளி வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும்

தீர்வு பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. விரும்பிய நேர் கோடு கொடுக்கப்பட்டவற்றுக்கு இணையாக இருப்பதால், அதன் திசை திசையனுக்காக கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோட்டைப் போலவே நாம் எடுத்துக்கொள்ளலாம், அதாவது ஏ மற்றும் பி கணிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு திசையன், பின்னர் விரும்பிய நேர் கோட்டின் சமன்பாடு வடிவத்தில் எழுதப்படும் (§ 1)

உதாரணமாக. ஒரு நேர் கோட்டிற்கு இணையாக ஒரு புள்ளி (1; 3) வழியாக செல்லும் நேர் கோட்டின் சமன்பாடு

அடுத்ததாக இருக்கும்!

g. இந்த நேர் கோட்டுக்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளி வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும்

இங்கே, ஏ மற்றும் திசை திசையன் என ஒரு திசையனை எடுத்துக்கொள்வது இனி பொருத்தமானதல்ல, ஆனால் அதற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு திசையன் ஊதப்பட வேண்டும். இந்த திசையனின் கணிப்புகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும், எனவே, இரு திசையன்களின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலைக்கு ஏற்ப, அதாவது, நிபந்தனைக்கு ஏற்ப

இந்த நிபந்தனை எண்ணற்ற வழிகளில் பூர்த்தி செய்யப்படலாம், ஏனென்றால் இங்கே இரண்டு அறியப்படாத ஒரு சமன்பாடு உள்ளது, ஆனால் எளிதான வழி செல்ல வேண்டும், பின்னர் விரும்பிய நேர் கோட்டின் சமன்பாடு வடிவத்தில் எழுதப்படும்

உதாரணமாக. ஒரு செங்குத்து கோட்டில் ஒரு புள்ளி (-7; 2) வழியாக செல்லும் நேர் கோட்டின் சமன்பாடு

பின்வருவனவாக இருக்கும் (இரண்டாவது சூத்திரத்தின்படி)!

h. படிவத்தின் சமன்பாடுகளால் நேர் கோடுகள் வழங்கப்படும் போது

வழிமுறைகள்

குறிப்பு

தொடுகோட்டின் முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் காலம் 180 டிகிரி ஆகும், அதாவது நேர் கோடுகளின் சரிவுகள் முழுமையான மதிப்பில் இந்த மதிப்பை மீற முடியாது.

பயனுள்ள ஆலோசனை

சரிவுகள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய கோடுகள் ஒன்றிணைகின்றன அல்லது இணையாக இருப்பதால், அத்தகைய கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் 0 ஆகும்.

நேர் கோடுகளைக் கடப்பதற்கு இடையிலான கோணத்தின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க, கடப்பதற்கு முன் இணையான பரிமாற்ற முறையைப் பயன்படுத்தி இரு நேர் கோடுகளையும் (அல்லது அவற்றில் ஒன்று) புதிய நிலைக்கு நகர்த்த வேண்டியது அவசியம். அதன் பிறகு, இதன் விளைவாக வெட்டும் நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தின் மதிப்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• ஆட்சியாளர், வலது முக்கோணம், பென்சில், நீட்சி.

வழிமுறைகள்

எனவே, ஒரு திசையன் V \u003d (a, b, c) மற்றும் ஒரு விமானம் A x + B y + C z \u003d 0 கொடுக்கப்படட்டும், இங்கு A, B மற்றும் C ஆகியவை சாதாரண N இன் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும். பின்னர் கோணத்தின் கொசைன் V மற்றும் N திசையன்களுக்கு இடையில் சமம்: сos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில் கோணத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிட, இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டிலிருந்து கொசைனுக்கு நேர்மாறான செயல்பாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், அதாவது. தலைகீழ் கொசைன்: α \u003d அர்சோஸ் ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

எடுத்துக்காட்டு: கண்டுபிடி கோணம் இடையில் திசையன் (5, -3, 8) மற்றும் விமானம்பொது சமன்பாடு 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 தீர்வு: விமானத்தின் இயல்பான திசையனின் ஆயங்களை N \u003d (2, -5, 3) எழுதுங்கள். அறியப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளையும் மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் மாற்றவும்: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α \u003d 36.87 °.

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

ஒரு வட்டத்துடன் பொதுவான ஒரு புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு நேர் கோடு வட்டத்திற்கு தொடுகோடு ஆகும். தொடுகோட்டின் மற்றொரு அம்சம் என்னவென்றால், அது எப்போதும் தொடுகோடுக்கு வரையப்பட்ட ஆரம் செங்குத்தாக இருக்கும், அதாவது தொடுகோடு மற்றும் ஆரம் ஒரு நேர் கோட்டை உருவாக்குகிறது கோணம்... ஒரு கட்டத்தில் இருந்து இரண்டு தொடுகோடுகள் ஏபி மற்றும் ஏசி வட்டத்திற்கு வரையப்பட்டால், அவை எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும். தொடுகோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தை தீர்மானித்தல் ( கோணம் ஏபிசி) பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தயாரிக்கப்படுகிறது.

வழிமுறைகள்

கோணத்தை தீர்மானிக்க, நீங்கள் OB மற்றும் OS வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து தொடுகோட்டின் தொடக்க புள்ளியின் தூரம் ஆகியவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - O. எனவே, ABO மற்றும் ASO கோணங்கள் சமம், OB இன் ஆரம் , எடுத்துக்காட்டாக, 10 செ.மீ, மற்றும் AO வட்டத்தின் மையத்திற்கான தூரம் 15 செ.மீ ஆகும். பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு ஏற்ப சூத்திரத்துடன் தொடுகோட்டின் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும்: AB \u003d AO2 இன் சதுர வேர் - OB2 அல்லது 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் விமானத்தில் எல் மற்றும் மீ என்ற இரண்டு நேர் கோடுகள் பொதுவான சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படட்டும்: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

கொடுக்கப்பட்ட வரிகளுக்கு இயல்பான திசையன்கள்: \u003d (A 1, B 1) - l வரிக்கு,

\u003d (A 2, B 2) - மீ வரிக்கு.

J மற்றும் l மற்றும் m வரிகளுக்கு இடையிலான கோணமாக இருக்கட்டும்.

பரஸ்பர செங்குத்தாக பக்கங்களைக் கொண்ட கோணங்கள் சமமாக இருப்பதால் அல்லது p வரை சேர்க்கலாம் , அதாவது, cos j \u003d.

எனவே, பின்வரும் தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.

தேற்றம். விமானத்தில் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் கோணமாக இருக்கட்டும், இந்த நேர் கோடுகள் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 மற்றும் A 2 x + B 2 y + சி 2 \u003d 0. பின்னர் cos j \u003d .

பயிற்சிகள்.

1) நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை வெளியிடுங்கள்:

(1) இரண்டு வரிகளும் அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன; (2) இரண்டு வரிகளும் நியமன சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன; (3) ஒரு நேர் கோடு அளவுருவாக வழங்கப்படுகிறது, மற்றொன்று நேர் கோடு - பொது சமன்பாட்டின் மூலம்; (4) இரண்டு நேர் கோடுகளும் ஒரு சாய்வு கொண்ட சமன்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன.

2) விமானத்தில் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் கோணமாக இருக்கட்டும், இந்த நேர் கோடுகளை கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பால் y \u003d k 1 x + b 1 மற்றும் y \u003d k 2 x + b 2 சமன்பாடுகளால் கொடுக்கட்டும்.

பின்னர் tg j \u003d.

3) கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் பொதுவான சமன்பாடுகளால் வழங்கப்பட்ட இரண்டு நேர் கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலையை ஆராய்ந்து அட்டவணையில் நிரப்பவும்:

ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டுக்கான தூரம்.

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் விமானத்தில் உள்ள கோடு பொதுவான சமன்பாடு ஆக்ஸ் + பை + சி \u003d 0 ஆல் கொடுக்கப்படட்டும். எம் (x 0, y 0) புள்ளியிலிருந்து l வரிக்கு தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

புள்ளி M இலிருந்து வரி l வரையிலான தூரம் செங்குத்தாக HM (H l, HM ^ l) இன் நீளம் ஆகும்.

திசையன் மற்றும் எல் கோட்டின் சாதாரண திசையன் கோலைனியர், அதனால் | | \u003d | | | | மற்றும் | | \u003d.

H (x, y) புள்ளியின் ஆயங்களை அனுமதிக்கட்டும்.

H புள்ளி l வரிக்கு சொந்தமானது என்பதால், அச்சு + மூலம் + சி \u003d 0 (*).

திசையன்களின் ஆய மற்றும்: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B).

| | = = =

(சி \u003d -ஆக்ஸ் - மூலம், பார்க்க (*))

தேற்றம். கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் எல் என்ற கோடு பொது சமன்பாடு ஆக்ஸ் + பை + சி \u003d 0 ஆல் கொடுக்கப்படட்டும். பின்னர் எம் (x 0, y 0) புள்ளியிலிருந்து இந்த வரிக்கான தூரம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது: r (M; l) \u003d .

பயிற்சிகள்.

1) ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு நேர் கோட்டிற்கான தூரத்தை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சூத்திரத்தை வெளியிடுங்கள், (1) நேர் கோடு அளவுருவாக குறிப்பிடப்படுகிறது; (2) நேர் கோடு நியமன சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது; (3) ஒரு நேர் கோடு ஒரு சாய்வுடன் ஒரு சமன்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது.

2) வட்டம் தொடுகோட்டின் சமன்பாட்டை 3x - y \u003d 0 என்ற வரியில் Q (-2.4) மையமாக எழுதுங்கள்.

3) 2x + y - 1 \u003d 0 மற்றும் x + y + 1 \u003d 0 என்ற நேர் கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு மூலம் உருவாகும் கோணங்களை வகுக்கும் நேர் கோடுகளின் சமன்பாடுகளை பாதியாக எழுதுங்கள்.

§ 27. விண்வெளியில் ஒரு விமானத்தின் பகுப்பாய்வு வரையறை

வரையறை. விமானத்திற்கு சாதாரண திசையன் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் எந்தவொரு பிரதிநிதியையும் ஒரு நொஜெரோ திசையன் என்று அழைப்போம்.

கருத்து. திசையனின் குறைந்தபட்சம் ஒரு பிரதிநிதியாவது விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால், திசையனின் மற்ற அனைத்து பிரதிநிதிகளும் இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கிறார்கள் என்பது தெளிவாகிறது.

ஒரு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு விண்வெளியில் கொடுக்கப்படட்டும்.

விமானம் கொடுக்கப்படட்டும், \u003d (A, B, C) இந்த விமானத்தின் சாதாரண திசையன், புள்ளி M (x 0, y 0, z 0) விமானத்திற்கு சொந்தமானது a.

விமானத்தின் எந்த புள்ளிகளுக்கும் N (x, y, z) a, திசையன்கள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல் ஆகும், அதாவது அவற்றின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியம்: \u003d 0. நாம் கடைசி சமத்துவத்தை ஆயங்களில் எழுதுகிறோம்: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

-Ax 0 - 0 ஆல் - Cz 0 \u003d D, பின்னர் அச்சு + By + Cz + D \u003d 0 ஆகட்டும்.

Ax + By + Cz + D \u003d 0 போன்ற ஒரு புள்ளியை K (x, y) எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். D \u003d -Ax 0 - 0 ஆல் - Cz 0 என்பதால், பின்னர் A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0. இயக்கிய பிரிவின் ஆயத்தொலைவுகள் \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0) என்பதால், கடைசி சமத்துவம் என்பது ^, மற்றும், K Î a என்று பொருள்.

எனவே, பின்வரும் தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்:

தேற்றம். ஒரு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் விண்வெளியில் உள்ள எந்த விமானமும் அச்சு + பை + சிஎஸ் + டி \u003d 0 (ஏ 2 + பி 2 + சி 2 ≠ 0) வடிவத்தின் சமன்பாட்டின் மூலம் குறிப்பிடப்படலாம், அங்கு (ஏ, பி, சி) இந்த விமானத்திற்கு சாதாரண திசையனின் ஆய அச்சுகள்.

உரையாடலும் உண்மைதான்.

தேற்றம். கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) வடிவத்தின் எந்த சமன்பாடும் ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தை வரையறுக்கிறது, அதே நேரத்தில் (A, B, C) இயல்பான ஆயத்தொகுப்புகள் இந்த விமானத்திற்கு திசையன்.

ஆதாரம்.

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D \u003d 0 மற்றும் ஒரு திசையன் \u003d (A, B, C) (≠ q) போன்ற ஒரு புள்ளியை M (x 0, y 0, z 0) எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

ஒரு விமானம் (மேலும், ஒன்று மட்டுமே) திசையனுக்கு செங்குத்தாக M புள்ளி வழியாக செல்கிறது. முந்தைய தேற்றத்தால், இந்த விமானம் Ax + By + Cz + D \u003d 0 என்ற சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது.

வரையறை. Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) வடிவத்தின் சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு.

உதாரணமாக.

எம் (0,2,4), என் (1, -1,0) மற்றும் கே (-1,0,5) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்.

1. விமானத்திற்கு (எம்.என்.கே) சாதாரண திசையனின் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்கவும். திசையன் தயாரிப்பு col கோலினியர் அல்லாத திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் மற்றும், திசையன் கோலைனியர் is என்பதால்.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

\u003d (-11, 3, -5).

எனவே, சாதாரண திசையன் என நாம் திசையன் \u003d (-11, 3, -5) எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

2. முதல் தேற்றத்தின் முடிவுகளை இப்போது பயன்படுத்துகிறோம்:

கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சமன்பாடு A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0, இங்கு (A, B, C) என்பது சாதாரண திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள், (x 0 , y 0, z 0) - ஒரு விமானத்தில் கிடக்கும் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

பதில்: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

பயிற்சிகள்.

1) என்றால் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்

(1) விமானம் 3x + y + z \u003d 0 விமானத்திற்கு இணையாக M (-2,3,0) புள்ளி வழியாக செல்கிறது;

(2) விமானம் (ஆக்ஸ்) அச்சைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இது x + 2y - 5z + 7 \u003d 0 விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

2) இந்த மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

§ 28. அரை இடத்தின் பகுப்பாய்வு வரையறை *

கருத்து *... சில விமானங்களை சரி செய்யட்டும். கீழ் அரை இடம்கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் ஒரு பக்கத்தில் கிடக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறோம், அதாவது இரண்டு புள்ளிகள் ஒரே அரை இடைவெளியில் உள்ளன, அவற்றை இணைக்கும் பிரிவு இந்த விமானத்தை வெட்டவில்லை என்றால். இந்த விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது இந்த அரை இடத்தின் எல்லை... இந்த விமானத்தின் ஒன்றியம் மற்றும் அரை இடம் என்று அழைக்கப்படும் அரை இடைவெளி மூடப்பட்டது.

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு விண்வெளியில் சரி செய்யப்படட்டும்.

தேற்றம். Ax + By + Cz + D \u003d 0 என்ற பொது சமன்பாட்டின் மூலம் விமானத்தை வழங்கட்டும். பின்னர் விமானம் ஒரு இடத்தை பிரிக்கும் இரண்டு அரை இடைவெளிகளில் ஒன்று சமத்துவமின்மையால் வழங்கப்படுகிறது Ax + By + Cz + D\u003e 0 , மற்றும் இரண்டாவது பாதி இடைவெளி Ax + By + Cz + D சமத்துவமின்மையால் வழங்கப்படுகிறது< 0.

ஆதாரம்.

இந்த விமானத்தில் கிடக்கும் M (x 0, y 0, z 0) புள்ளியிலிருந்து சாதாரண திசையன் \u003d (A, B, C) ஐ விமானத்திற்கு ஒதுக்குவோம்: \u003d, M Î a, MN ^ a. விமானத்தை இரண்டு அரை இடைவெளிகளாக பிரிக்கவும்: பி 1 மற்றும் பி 2. N புள்ளி இந்த அரை இடைவெளிகளில் ஒன்றிற்கு சொந்தமானது என்பது தெளிவாகிறது. பொதுவான தன்மையை இழக்காமல், N Î b 1 என்று கருதுவோம்.

அரை இடைவெளி b 1 சமத்துவமின்மையால் Ax + By + Cz + D\u003e 0 வழங்கப்படுகிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

1) அரை இடத்தில் b 1 இல் K (x, y, z) புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். கோணம் Л NMK என்பது திசையன்களுக்கு இடையேயான கோணம் மற்றும் கடுமையானது, எனவே இந்த திசையன்களின் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு நேர்மறையானது:\u003e 0. இந்த சமத்துவமின்மையை ஆயக்கட்டுகளில் எழுதுகிறோம்: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0, அதாவது, அச்சு + மூலம் + சை - அச்சு 0 - 0 ஆல் - சி z 0\u003e 0.

M Î b 1 என்பதால், அச்சு 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0, எனவே -Ax 0 - By 0 - C z 0 \u003d D. ஆகையால், கடைசி சமத்துவமின்மையை இவ்வாறு எழுதலாம்: Ax + By + Cz + டி\u003e 0.

2) Ax + By + Cz + D\u003e 0 போன்ற ஒரு புள்ளியை L (x, y) எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுகிறோம், D ஐ (-Ax 0 - By 0 - C z 0) உடன் மாற்றுகிறோம் (M Î b 1 முதல், அச்சு 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

ஆயத்தொலைவுகள் கொண்ட ஒரு திசையன் (x - x 0, y - y 0, z - z 0) ஒரு திசையன், எனவே வெளிப்பாடு A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு என்று புரிந்து கொள்ளலாம். திசையன்களின் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு மற்றும் நேர்மறையானது என்பதால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கடுமையானது மற்றும் புள்ளி L Î b 1.

இதேபோல், அரை இடைவெளி b 2 சமத்துவமின்மையால் Ax + By + Cz + D வழங்கப்படுகிறது என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும்< 0.

குறிப்புகள்.

1) மேலே உள்ள ஆதாரம் விமானத்தில் M புள்ளியின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.

2) ஒன்று மற்றும் ஒரே அரை இடத்தை வெவ்வேறு ஏற்றத்தாழ்வுகளால் குறிப்பிட முடியும் என்பது தெளிவாகிறது.

உரையாடலும் உண்மைதான்.

தேற்றம். Ax + By + Cz + D\u003e 0 (அல்லது Ax + By + Cz + D வடிவத்தின் எந்த நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வு< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

ஆதாரம்.

விண்வெளியில் Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) சமன்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தை வரையறுக்கிறது a (பார்க்க §…). முந்தைய தேற்றத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டபடி, விமானம் இடத்தைப் பிரிக்கும் இரண்டு அரை இடைவெளிகளில் ஒன்று சமத்துவமின்மையால் வழங்கப்படுகிறது Ax Ax + By + Cz + D\u003e 0.

குறிப்புகள்.

1) ஒரு மூடிய அரை-இடத்தை ஒரு கண்டிப்பான நேரியல் சமத்துவமின்மையால் குறிப்பிட முடியும் என்பது தெளிவாகிறது, மேலும் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் எந்தவொரு கண்டிப்பான நேரியல் சமத்துவமின்மையும் ஒரு மூடிய அரை-இடத்தை வரையறுக்கிறது.

2) எந்தவொரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானையும் மூடிய அரை இடைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு என வரையறுக்கலாம் (அதன் எல்லைகள் பாலிஹெட்ரானின் முகங்களைக் கொண்ட விமானங்கள்), அதாவது பகுப்பாய்வு ரீதியாக - கட்டுப்பாடற்ற நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பால்.

பயிற்சிகள்.

1) ஒரு தன்னிச்சையான அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு வழங்கப்பட்ட இரண்டு கோட்பாடுகளை நிரூபிக்கவும்.

2) கட்டுப்பாடற்ற நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எந்தவொரு அமைப்பும் ஒரு குவிந்த பலகோணத்தை வரையறுக்கிறது என்பது உரையாடல் உண்மையா?

1) கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் பொதுவான சமன்பாடுகளால் வழங்கப்பட்ட இரண்டு விமானங்களின் ஒப்பீட்டு நிலையை ஆராய்ந்து அட்டவணையை நிரப்பவும்.

நான் சுருக்கமாக இருப்பேன். இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்திற்கு சமம். எனவே, திசை திசையன்களின் ஆயங்களை a \u003d (x 1; y 1; z 1) மற்றும் b \u003d (x 2; y 2; z 2) கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், நீங்கள் கோணத்தைக் காணலாம். இன்னும் துல்லியமாக, சூத்திரத்தால் கோணத்தின் கொசைன்:

குறிப்பிட்ட சூத்திரங்களுடன் இந்த சூத்திரம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

ஒரு பணி. E மற்றும் F புள்ளிகள் கனசதுர ABCBC 1 B 1 C 1 D 1 இல் குறிக்கப்பட்டுள்ளன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்பகுதிகள். AE மற்றும் BF வரிகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

கனசதுரத்தின் விளிம்பு சுட்டிக்காட்டப்படாததால், நாங்கள் AB \u003d 1 ஐ அமைக்கிறோம். நிலையான ஒருங்கிணைப்பு முறையை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x, y, z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 உடன் இயக்கப்படுகின்றன. அலகு பிரிவு AB \u003d 1 க்கு சமம். இப்போது எங்கள் வரிகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயங்களை காண்கிறோம்.

திசையன் AE இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நமக்கு A \u003d (0; 0; 0) மற்றும் E \u003d (0.5; 0; 1) புள்ளிகள் தேவை. புள்ளி E என்பது A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி என்பதால், அதன் ஆயத்தொலைவுகள் முனைகளின் ஆயங்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம். திசையன் AE இன் தோற்றம் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே AE \u003d (0.5; 0; 1).

இப்போது திசையன் பி.எஃப் உடன் சமாளிப்போம். இதேபோல், பி \u003d (1; 0; 0) மற்றும் எஃப் \u003d (1; 0.5; 1) புள்ளிகளை அலசுவோம், ஏனெனில் எஃப் - பி 1 சி 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. எங்களிடம் உள்ளது:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).

எனவே திசை திசையன்கள் தயாராக உள்ளன. நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைன் திசை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைன் ஆகும், எனவே நம்மிடம்:

ஒரு பணி. வழக்கமான ட்ரைஹெட்ரல் ப்ரிஸில் ஏபிசிஏ 1 பி 1 சி 1 இல், அவற்றின் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமம், புள்ளிகள் டி மற்றும் ஈ குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்பகுதிகள். AD மற்றும் BE வரிகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

நிலையான ஒருங்கிணைப்பு முறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x அச்சு AB, z - AA 1 உடன் இயக்கப்படுகிறது. நாங்கள் y- அச்சை இயக்குகிறோம், இதனால் OXY விமானம் ABC விமானத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. அலகு பிரிவு AB \u003d 1 க்கு சமம். தேடிய கோடுகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயங்களை கண்டறியவும்.

முதலில், AD திசையனின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்: A \u003d (0; 0; 0) மற்றும் D \u003d (0.5; 0; 1), ஏனெனில் டி - பிரிவு 1 பி 1 இன் நடுப்பகுதி. திசையன் AD இன் தோற்றம் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போவதால், நாம் AD \u003d (0.5; 0; 1) பெறுகிறோம்.

இப்போது திசையன் BE இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். புள்ளி பி \u003d (1; 0; 0) எளிதானது. புள்ளி E உடன் - சி 1 பி 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி - இது இன்னும் கொஞ்சம் கடினம். எங்களிடம் உள்ளது:

கோணத்தின் கொசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

ஒரு பணி. வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸில் ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, அவற்றின் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமம், புள்ளிகள் K மற்றும் L ஆகியவை குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்பகுதிகள். AK மற்றும் BL வரிகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு ப்ரிஸத்திற்கான ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு முறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்: ஆயத்தொகுதிகளின் தோற்றத்தை கீழ் தளத்தின் மையத்தில் வைக்கவும், எஃப்.சி உடன் எக்ஸ்-அச்சை இயக்கவும், ஏபி மற்றும் டிஇ பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக ஒய்-அச்சு மற்றும் z- அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி. அலகு பிரிவு மீண்டும் AB \u003d 1 க்கு சமம். நமக்கு விருப்பமான புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:

K மற்றும் L புள்ளிகள் முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 பிரிவுகளின் மையப் புள்ளிகள், எனவே அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகள் எண்கணித சராசரி மூலம் காணப்படுகின்றன. புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்கள் ஏ.கே மற்றும் பி.எல் ஆகியவற்றின் ஆயங்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:

இப்போது கோணத்தின் கொசைனைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒரு பணி. வழக்கமான நாற்புற பிரமிடு SABCD இல், அவற்றின் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமம், புள்ளிகள் E மற்றும் F ஆகியவை குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே SB மற்றும் SC பக்கங்களின் நடுப்பகுதிகள். AE மற்றும் BF வரிகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு முறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x மற்றும் y அச்சுகள் முறையே AB மற்றும் AD உடன் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் z அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. அலகு பிரிவு AB \u003d 1 க்கு சமம்.

புள்ளிகள் ஈ மற்றும் எஃப் முறையே எஸ்.பி. மற்றும் எஸ்சி பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும், எனவே அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் முனைகளின் எண்கணித சராசரியாகக் காணப்படுகின்றன. எங்களுக்கு விருப்பமான புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:
அ \u003d (0; 0; 0); பி \u003d (1; 0; 0)

புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்கள் AE மற்றும் BF இன் ஆயங்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:

திசையன் AE இன் ஆயத்தொகுப்புகள் புள்ளி E இன் ஆயத்தொகுதிகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனெனில் புள்ளி A தோற்றம். கோணத்தின் கொசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

திட்டங்களுக்கிடையில் கோணம்

சமன்பாடுகளால் முறையே கொடுக்கப்பட்ட விமானங்கள் α 1 மற்றும் α 2 ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள்:

கீழ் கோணம் இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையில் இந்த விமானங்களால் உருவாக்கப்பட்ட டைஹெட்ரல் கோணங்களில் ஒன்று என்று பொருள். வெளிப்படையாக, சாதாரண திசையன்களுக்கும் விமானங்களுக்கும் இடையேயான கோணம் α 1 மற்றும் α 2 ஆகியவை சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அருகிலுள்ள டைஹெட்ரல் கோணங்களில் ஒன்றுக்கு சமம் அல்லது ... எனவே ... ஏனெனில் மற்றும் பிறகு

.

உதாரணமாக. விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை தீர்மானிக்கவும் எக்ஸ்+2y-3z+ 4 \u003d 0 மற்றும் 2 எக்ஸ்+3y+z+8=0.

இரண்டு விமானங்களின் இணையான நிலை.

இரண்டு விமானங்கள் α 1 மற்றும் α 2 ஆகியவை அவற்றின் இயல்பான திசையன்கள் மற்றும் இணையாக இருந்தால் மட்டுமே இணையாக இருக்கும், அதாவது .

எனவே, இரண்டு விமானங்கள் ஒருவருக்கொருவர் இணையாக இருந்தால், தொடர்புடைய ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே:

அல்லது

விமானங்களின் செங்குத்தாக நிலை.

இரண்டு விமானங்கள் செங்குத்தாக இருந்தால், அவற்றின் சாதாரண திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே, எனவே, அல்லது.

இதனால், .

எடுத்துக்காட்டுகள்.

இடைவெளியில் வலிமை.

வெக்டர் லைன் ஈக்வேஷன்.

வரியின் பாராமெட்ரிக் தேவைகள்

விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோட்டின் நிலை அதன் நிலையான புள்ளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது எம் 1 மற்றும் இந்த வரிக்கு இணையான ஒரு திசையன்.

ஒரு நேர் கோட்டுக்கு இணையான ஒரு திசையன் அழைக்கப்படுகிறது வழிகாட்டுதல் இந்த வரியின் திசையன்.

எனவே அது நேராக இருக்கட்டும் l புள்ளி வழியாக செல்கிறது எம் 1 (எக்ஸ் 1 , y 1 , z 1) திசையனுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டில் படுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கவனியுங்கள் எம் (x, y, z) ஒரு நேர் கோட்டில். அந்த எண்ணிக்கை அதைக் காட்டுகிறது .

திசையன்கள் மற்றும் கோலைனியர், எனவே அத்தகைய எண் உள்ளது டி, என்ன, காரணி எங்கே டி புள்ளியின் நிலையைப் பொறுத்து எந்த எண் மதிப்பையும் எடுக்கலாம் எம் ஒரு நேர் கோட்டில். காரணி டி ஒரு அளவுரு என்று அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளிகளின் ஆரம் திசையன்களைக் குறிக்கிறது எம் 1 மற்றும் எம் முறையே மற்றும், நாம் பெறுகிறோம். இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது திசையன் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு. அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் இது காட்டுகிறது டி சில புள்ளியின் ஆரம் திசையனுடன் ஒத்துள்ளது எம்ஒரு நேர் கோட்டில் பொய்.

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுவோம். அதை கவனி , மற்றும் இங்கிருந்து

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன அளவுரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகள்.

ஒரு அளவுருவை மாற்றும்போது டி ஒருங்கிணைப்பு மாற்றம் எக்ஸ், y மற்றும் z மற்றும் புள்ளி எம் ஒரு நேர் கோட்டில் நகரும்.

நியமன நேரான சமன்பாடுகள்

இருக்கட்டும் எம் 1 (எக்ஸ் 1 , y 1 , z 1) என்பது ஒரு நேர் கோட்டில் கிடக்கும் புள்ளி l, மற்றும் அதன் திசை திசையன். மீண்டும், ஒரு நேர் கோட்டில் தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் எம் (x, y, z) மற்றும் ஒரு திசையன் கருத்தில்.

திசையன்கள் மற்றும் கோலைனியர் என்பது தெளிவாகிறது, எனவே அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஆய அச்சுகள் விகிதாசாரமாக இருக்க வேண்டும், எனவே

– நியமன நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகள்.

குறிப்பு 1. நேர் கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளை அளவுருவைத் தவிர்த்து அளவுருக்கள் பெறலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க டி... உண்மையில், நாம் பெறும் அளவுரு சமன்பாடுகளிலிருந்து அல்லது .

உதாரணமாக. ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் அளவுரு வடிவத்தில்.

நாங்கள் குறிக்கிறோம் , இங்கிருந்து எக்ஸ் = 2 + 3டி, y = –1 + 2டி, z = 1 –டி.

குறிப்பு 2. நேரியல் கோடு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் ஒன்றுக்கு செங்குத்தாக இருக்கட்டும், எடுத்துக்காட்டாக, அச்சு ஆக்ஸ்... பின்னர் இயக்கும் திசையன் செங்குத்தாக இருக்கும் ஆக்ஸ், இதன் விளைவாக, மீ\u003d 0. இதன் விளைவாக, நேர் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் வடிவத்தை எடுக்கின்றன

சமன்பாடுகளிலிருந்து அளவுருவை நீக்குகிறது டி, வடிவத்தில் நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்

இருப்பினும், இந்த விஷயத்திலும், நேர் கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளை முறையாக வடிவத்தில் எழுத ஒப்புக்கொள்கிறோம் ... இவ்வாறு, பின்னங்களில் ஒன்றின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இதன் பொருள் கோடு தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

இதேபோல், நியமன சமன்பாடுகள் அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர் கோட்டுக்கு ஒத்திருக்கிறது ஆக்ஸ் மற்றும் ஓ அல்லது அச்சுக்கு இணையாக ஓஸ்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

இரண்டு திட்டங்களின் குறுக்கீட்டின் ஒரு வரியாக ஒரு வரியின் பொதுவான தேவைகள்

எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான விமானங்கள் விண்வெளியில் ஒவ்வொரு நேர் கோட்டிலும் செல்கின்றன. அவற்றில் இரண்டு, வெட்டும், அதை விண்வெளியில் வரையறுக்கின்றன. இதன் விளைவாக, இதுபோன்ற இரண்டு விமானங்களின் சமன்பாடுகள் ஒன்றாகக் கருதப்பட்டால், இந்த நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் குறிக்கும்.

பொதுவாக, பொது சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படும் எந்த இரண்டு இணையற்ற விமானங்களும்

அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் கோட்டை வரையறுக்கவும். இந்த சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொது சமன்பாடுகள் நேராக.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேர் கோட்டை உருவாக்குங்கள்

ஒரு நேர் கோட்டை உருவாக்க, அதன் இரண்டு புள்ளிகளையும் கண்டால் போதும். ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுடன் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது எளிதான வழி. எடுத்துக்காட்டாக, விமானத்துடன் வெட்டும் புள்ளி xOy நேர் கோடு, அமைப்பின் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுகிறோம் z= 0:

இந்த அமைப்பைத் தீர்த்து, நாம் அதைக் காண்கிறோம் எம் 1 (1;2;0).

இதேபோல், அமைத்தல் y\u003d 0, விமானத்துடன் நேர் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைப் பெறுகிறோம் xOz:

நேர் கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடுகளிலிருந்து, நீங்கள் அதன் நியமன அல்லது அளவுரு சமன்பாடுகளுக்குச் செல்லலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் சில புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எம் வரியில் 1 மற்றும் கோட்டின் திசை திசையன்.

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் எம் ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒன்றிற்கு தன்னிச்சையான மதிப்பை ஒதுக்குவதன் மூலம் இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து 1 பெறப்படும். திசை திசையன் கண்டுபிடிக்க, இந்த திசையன் சாதாரண திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க மற்றும் ... எனவே, நேர் கோட்டின் திசை திசையன் பின்னால் l சாதாரண திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியை நாம் எடுக்கலாம்:

.

உதாரணமாக. நேர் கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடுகளைக் கொடுங்கள் நியமன வடிவத்திற்கு.

ஒரு நேர் கோட்டில் கிடந்த ஒரு புள்ளியைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒன்றை தன்னிச்சையாக தேர்வு செய்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, y\u003d 0 மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை தீர்க்கவும்:

நேர் கோட்டை வரையறுக்கும் விமானங்களின் இயல்பான திசையன்கள் ஆயக்கட்டுகளைக் கொண்டுள்ளன எனவே, நேர் கோட்டின் திசை திசையன் இருக்கும்

... இதன் விளைவாக, l: .

வலுவான இடையே கோணம்

மூலை விண்வெளியில் உள்ள நேர் கோடுகளுக்கு இடையில், தரவுக்கு இணையாக ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியின் மூலம் வரையப்பட்ட இரண்டு நேர் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட எந்த அருகிலுள்ள கோணங்களையும் அழைப்போம்.

விண்வெளியில் இரண்டு நேர் கோடுகள் கொடுக்கப்படட்டும்:

வெளிப்படையாக, நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தை அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கும் இடையேயான கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். அப்போதிருந்து, திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தின்படி, நமக்கு கிடைக்கிறது