ลอการิทึมของนิพจน์เศษส่วน ลอการิทึมธรรมชาติ ln x ฟังก์ชัน

เราศึกษาลอการิทึมต่อไป ในบทความนี้เราจะพูดถึง การคำนวณลอการิทึม, กระบวนการนี้เรียกว่า ลอการิทึม. อันดับแรก เราจะจัดการกับการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ ต่อไป ให้พิจารณาวิธีการหาค่าของลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติของมัน หลังจากนั้นเราจะอาศัยการคำนวณลอการิทึมผ่านค่าที่กำหนดในตอนแรกของลอการิทึมอื่น สุดท้าย มาเรียนรู้วิธีใช้ตารางลอการิทึมกัน ทฤษฎีทั้งหมดมีตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

การนำทางหน้า

การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด สามารถทำได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย การหาลอการิทึมตามนิยาม. มาดูกันดีกว่าว่ากระบวนการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร

สาระสำคัญของมันคือการแสดงตัวเลข b ในรูปแบบ a c ดังนั้นโดยคำจำกัดความของลอการิทึมตัวเลข c คือค่าของลอการิทึม นั่นคือตามคำจำกัดความ การค้นหาลอการิทึมสอดคล้องกับห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน: log a b=log a a c =c

ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมโดยนิยาม ลงมาเพื่อหาจำนวนดังกล่าว c ที่ a c \u003d b และตัวเลข c ก็คือค่าที่ต้องการของลอการิทึม

จากข้อมูลของย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อตัวเลขภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมถูกกำหนดโดยระดับฐานของลอการิทึม คุณจะสามารถระบุได้ทันทีว่าลอการิทึมมีค่าเท่าใด - มันเท่ากับเลขชี้กำลัง มาแสดงตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาบันทึก 2 2 −3 และคำนวณลอการิทึมธรรมชาติของ e 5.3 ด้วย

สารละลาย.

คำจำกัดความของลอการิทึมทำให้เราพูดได้ทันทีว่า log 2 2 −3 = −3 อันที่จริง จำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมมีค่าเท่ากับฐาน 2 ยกกำลัง -3

ในทำนองเดียวกัน เราพบลอการิทึมที่สอง: lne 5.3 =5.3

ตอบ:

บันทึก 2 2 −3 = −3 และ lne 5.3 =5.3 .

หากตัวเลข b ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมไม่ได้รับเป็นกำลังของฐานของลอการิทึม คุณจำเป็นต้องพิจารณาให้ถี่ถ้วนว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงตัวเลข b ในรูปแบบ a c . บ่อยครั้งการแสดงนี้ค่อนข้างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเท่ากับฐานกำลัง 1 หรือ 2 หรือ 3 ...

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึม log 5 25 และ .

สารละลาย.

ง่ายที่จะเห็นว่า 25=5 2 ช่วยให้คุณคำนวณลอการิทึมแรกได้: log 5 25=log 5 5 2 =2

เราดำเนินการคำนวณลอการิทึมที่สอง ตัวเลขสามารถแสดงเป็นเลขยกกำลัง 7: (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) เพราะเหตุนี้, .

ลองเขียนลอการิทึมที่สามในรูปแบบต่อไปนี้ ตอนนี้คุณสามารถเห็นได้ว่า ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า . ดังนั้น โดยนิยามของลอการิทึม .

โดยย่อ วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้:

ตอบ:

บันทึก 5 25=2 , และ .

เมื่อจำนวนธรรมชาติที่มากพออยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม มันก็ไม่เสียหายที่จะแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ มักจะช่วยในการแสดงตัวเลขเช่นกำลังของฐานของลอการิทึม ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมนี้ตามคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.

หาค่าของลอการิทึม

สารละลาย.

คุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึมช่วยให้คุณระบุค่าของลอการิทึมได้ทันที คุณสมบัติเหล่านี้รวมถึงคุณสมบัติของลอการิทึมของหนึ่งและคุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐาน: log 1 1=log a a 0 =0 และ log a=log a 1 =1 นั่นคือ เมื่อเลข 1 หรือตัวเลข a อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม เท่ากับฐานของลอการิทึม ในกรณีนี้ ลอการิทึมจะเป็น 0 และ 1 ตามลำดับ

ตัวอย่าง.

ลอการิทึมและ lg10 คืออะไร?

สารละลาย.

เนื่องจาก มันตามมาจากนิยามของลอการิทึม .

ในตัวอย่างที่สอง หมายเลข 10 ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมตรงกับฐาน ดังนั้นลอการิทึมทศนิยมของสิบจึงเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ lg10=lg10 1 =1

ตอบ:

และ lg10=1 .

โปรดทราบว่าลอการิทึมการคำนวณตามคำจำกัดความ (ที่เรากล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า) หมายถึงการใช้บันทึกความเท่าเทียมกัน a p =p ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม

ในทางปฏิบัติ เมื่อจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและฐานของลอการิทึมแสดงเป็นกำลังของจำนวนหนึ่งได้ง่าย จะสะดวกมากที่จะใช้สูตร ซึ่งสอดคล้องกับหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม ลองพิจารณาตัวอย่างการหาลอการิทึมที่แสดงการใช้สูตรนี้

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึมของ

สารละลาย.

ตอบ:

.

คุณสมบัติของลอการิทึมที่ไม่ได้กล่าวถึงข้างต้นยังใช้ในการคำนวณ แต่เราจะพูดถึงสิ่งนี้ในย่อหน้าต่อไปนี้

การหาลอการิทึมในรูปของลอการิทึมอื่นๆ

ข้อมูลในย่อหน้านี้ยังคงเป็นหัวข้อของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมในการคำนวณ แต่ที่นี่ ความแตกต่างที่สำคัญคือคุณสมบัติของลอการิทึมถูกใช้เพื่อแสดงลอการิทึมดั้งเดิมในแง่ของลอการิทึมอื่นซึ่งเป็นค่าที่ทราบ ลองมาดูตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง สมมุติว่าเรารู้ log 2 3≈1.584963 จากนั้นเราสามารถหา log 2 6 ได้โดยทำการแปลงเล็กน้อยโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: บันทึก 2 6=บันทึก 2 (2 3)=บันทึก 2 2+บันทึก 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ในตัวอย่างข้างต้น ก็เพียงพอแล้วที่เราจะใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่คุณต้องใช้คลังแสงที่กว้างขึ้นของคุณสมบัติของลอการิทึม เพื่อคำนวณลอการิทึมดั้งเดิมในแง่ของค่าที่กำหนด

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึมของ 27 ถึงฐาน 60 ถ้าทราบว่า log 60 2=a และ log 60 5=b

สารละลาย.

เลยต้องหา log 60 27 ง่ายที่จะเห็นว่า 27=3 3 และลอการิทึมเดิม เนื่องจากคุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี สามารถเขียนใหม่เป็น 3·log 60 3

ตอนนี้เรามาดูกันว่า log 60 3 สามารถแสดงในรูปของลอการิทึมที่รู้จักได้อย่างไร คุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐานทำให้คุณสามารถเขียนบันทึกความเท่าเทียมกันได้ 60 60=1 . ในทางกลับกัน บันทึก 60 60=log60(2 2 3 5)= บันทึก 60 2 2 +บันทึก 60 3+บันทึก 60 5= 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5 ทางนี้, 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5=1. เพราะเหตุนี้, บันทึก 60 3=1−2 บันทึก 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

สุดท้าย เราคำนวณลอการิทึมเดิม: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

ตอบ:

บันทึก 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

แยกจากกันเป็นมูลค่าการกล่าวขวัญถึงความหมายของสูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมของแบบฟอร์ม . ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากลอการิทึมที่มีฐานใดก็ได้ไปยังลอการิทึมที่มีฐานเฉพาะซึ่งเป็นค่าที่ทราบหรือสามารถหาได้ โดยปกติจากลอการิทึมดั้งเดิมตามสูตรการเปลี่ยนแปลงพวกเขาจะเปลี่ยนเป็นลอการิทึมในฐานใดฐานหนึ่ง 2, e หรือ 10 เนื่องจากสำหรับฐานเหล่านี้มีตารางลอการิทึมที่อนุญาตให้คำนวณค่าของพวกเขาในระดับหนึ่ง ของความถูกต้อง ในส่วนถัดไปเราจะแสดงวิธีการดำเนินการนี้

ตารางลอการิทึมการใช้งาน

สำหรับการคำนวณค่าลอการิทึมโดยประมาณคุณสามารถใช้ ตารางลอการิทึม. ตารางที่ใช้บ่อยที่สุดคือตารางลอการิทึมฐาน 2 ตารางลอการิทึมธรรมชาติ และตารางลอการิทึมทศนิยม เมื่อทำงานในระบบเลขฐานสิบ จะสะดวกที่จะใช้ตารางลอการิทึมเป็นฐานสิบ ด้วยความช่วยเหลือของมัน เราจะเรียนรู้การหาค่าของลอการิทึม

ตารางที่นำเสนอช่วยให้ค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขได้ตั้งแต่ 1.000 ถึง 9.999 (มีทศนิยมสามตำแหน่ง) ด้วยความแม่นยำถึงหนึ่งหมื่น เราจะวิเคราะห์หลักการหาค่าลอการิทึมโดยใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ - ชัดเจนยิ่งขึ้น มาหา lg1,256 กัน

ในคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบสองหลักแรกของตัวเลข 1.256 นั่นคือ เราพบ 1.2 (ตัวเลขนี้อยู่ในวงกลมสีน้ำเงินเพื่อความชัดเจน) หลักที่สามของตัวเลข 1.256 (หมายเลข 5) จะอยู่ในบรรทัดแรกหรือสุดท้ายทางด้านซ้ายของเส้นคู่ (ตัวเลขนี้ในวงกลมสีแดง) หลักที่สี่ของหมายเลขเดิม 1.256 (หมายเลข 6) จะอยู่ในบรรทัดแรกหรือบรรทัดสุดท้ายทางด้านขวาของบรรทัดคู่ (หมายเลขนี้ในวงกลมสีเขียว) ตอนนี้เราพบตัวเลขในเซลล์ของตารางลอการิทึมที่จุดตัดของแถวที่ทำเครื่องหมายและคอลัมน์ที่ทำเครื่องหมายไว้ (ตัวเลขเหล่านี้ถูกเน้นด้วยสีส้ม) ผลรวมของตัวเลขที่ทำเครื่องหมายไว้ทำให้ค่าที่ต้องการของลอการิทึมทศนิยมเพิ่มขึ้นเป็นทศนิยมที่สี่นั่นคือ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

เป็นไปได้ไหมโดยใช้ตารางด้านบนเพื่อค้นหาค่าของลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขที่มีจุดทศนิยมมากกว่าสามหลักและยังเกินขีดจำกัดตั้งแต่ 1 ถึง 9.999 ใช่คุณสามารถ. มาแสดงวิธีการทำกับตัวอย่าง

มาคำนวณกัน lg102.76332 ก่อนอื่นคุณต้องเขียน ตัวเลขในรูปแบบมาตรฐาน: 102.76332=1.0276332 10 2 . หลังจากนั้น ตั๊กแตนตำข้าวก็ควรปัดขึ้นเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สาม เรามี 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2ในขณะที่ลอการิทึมทศนิยมเดิมมีค่าเท่ากับลอการิทึมของจำนวนผลลัพธ์โดยประมาณ นั่นคือเราใช้ lg102.76332≈lg1.028·10 2 ตอนนี้ใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. สุดท้าย เราพบค่าของลอการิทึม lg1.028 ตามตารางลอการิทึมทศนิยม lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 เป็นผลให้กระบวนการทั้งหมดของการคำนวณลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

โดยสรุป เป็นที่น่าสังเกตว่าการใช้ตารางลอการิทึมทศนิยม คุณสามารถคำนวณค่าประมาณของลอการิทึมใดๆ ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงเพื่อไปที่ลอการิทึมทศนิยม ค้นหาค่าในตาราง และทำการคำนวณที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณ log 2 3 จากสูตรการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึม เราได้ . จากตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบ lg3≈0.4771 และ lg2≈0.3010 ทางนี้, .

บรรณานุกรม.

• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

นิพจน์ลอการิทึม คำตอบของตัวอย่าง ในบทความนี้ เราจะพิจารณาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้ลอการิทึม งานทำให้เกิดคำถามในการค้นหาค่าของนิพจน์ ควรสังเกตว่าแนวคิดของลอการิทึมถูกนำมาใช้ในหลาย ๆ งานและเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจความหมายของมัน สำหรับ USE ลอการิทึมใช้ในการแก้สมการ ในปัญหาประยุกต์ และในงานที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันด้วย

ต่อไปนี้คือตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความหมายของลอการิทึม:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

คุณสมบัติของลอการิทึมที่คุณต้องจำไว้เสมอ:

*ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของตัวประกอบ

* * *

* ลอการิทึมของผลหาร (เศษส่วน) เท่ากับผลต่างของลอการิทึมของตัวประกอบ

* * *

* ลอการิทึมของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของฐาน

* * *

*เปลี่ยนฐานใหม่

* * *

คุณสมบัติเพิ่มเติม:

* * *

ลอการิทึมการคำนวณสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

เราแสดงรายการบางส่วน:

สาระสำคัญของคุณสมบัตินี้คือเมื่อโอนตัวเศษไปยังตัวส่วนและในทางกลับกัน เครื่องหมายของเลขชี้กำลังจะเปลี่ยนไปทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น:

ผลของคุณสมบัตินี้:

* * *

เมื่อเพิ่มกำลังเป็นกำลัง ฐานจะยังคงเหมือนเดิม แต่เลขชี้กำลังจะถูกคูณ

* * *

อย่างที่คุณเห็น แนวคิดของลอการิทึมนั้นเรียบง่าย สิ่งสำคัญคือจำเป็นต้องมีแนวปฏิบัติที่ดีซึ่งให้ทักษะบางอย่าง แน่นอนว่าความรู้เกี่ยวกับสูตรเป็นสิ่งที่จำเป็น หากไม่มีทักษะในการแปลงลอการิทึมเบื้องต้น เมื่อแก้ไขงานง่าย ๆ เราสามารถทำผิดพลาดได้ง่าย

ฝึกฝน แก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ก่อน จากนั้นไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ในอนาคตฉันจะแสดงให้เห็นอย่างแน่นอนว่าลอการิทึม "น่าเกลียด" ได้รับการแก้ไขอย่างไรจะไม่มีการสอบในการสอบ แต่พวกเขาเป็นที่น่าสนใจอย่าพลาด!

นั่นคือทั้งหมด! ขอให้โชคดีกับคุณ!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วย หากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร เทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ดังนั้น เรามีกำลังสอง หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องเพิ่มกำลังสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องเพิ่มสองยกกำลังหก นี้สามารถเห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - อันที่จริง คำจำกัดความของลอการิทึม:

ลอการิทึมของฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้ตัวเลข x

สัญกรณ์: บันทึก a x \u003d b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือสิ่งที่ลอการิทึมเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ บันทึก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 เป็นสามเพราะ 2 3 = 8) อาจเช่นกันบันทึก 2 64 = 6 เพราะ 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม มาเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรากัน:

น่าเสียดายที่ลอการิทึมบางตัวไม่ได้ถูกพิจารณาอย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 หมายเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะบอกว่าลอการิทึมจะอยู่ตรงไหนสักแห่งบนเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าอตรรกยะ: ตัวเลขหลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้อย่างไม่มีกำหนด และจะไม่เกิดซ้ำ หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ ปล่อยให้มันเป็นแบบนี้ดีกว่า: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีสองตัวแปร (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าฐานอยู่ที่ไหนและการโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ให้ดูภาพ:

ก่อนที่เราจะไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งคุณต้องเพิ่มฐานเพื่อให้ได้อาร์กิวเมนต์ เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพถูกเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้กับนักเรียนของฉันในบทเรียนแรก และจะไม่เกิดความสับสน

เราพบคำจำกัดความ - ยังคงต้องเรียนรู้วิธีนับลอการิทึมเช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" ในการเริ่มต้น เราสังเกตว่าข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามมาจากคำจำกัดความ:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ต่อจากนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยหนึ่งไปยังกำลังใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกใครคนหนึ่งขึ้นเพื่อให้ได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีระดับดังกล่าว!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้อง(อดีซ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีการกำหนดหมายเลข b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 \u003d -1 เพราะ 0.5 = 2 -1 .

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลข ซึ่งไม่จำเป็นต้องรู้ ODZ ของลอการิทึม ข้อ จำกัด ทั้งหมดได้รับการพิจารณาโดยคอมไพเลอร์ของปัญหาแล้ว แต่เมื่อมีการใช้สมการลอการิทึมและอสมการ ข้อกำหนด DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ อันที่จริงในพื้นฐานและการโต้แย้ง อาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมาก ซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ตอนนี้ให้พิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่ง ระหว่างทาง จะดีกว่าถ้ากำจัดเศษส่วนทศนิยม
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์ที่ได้คือ b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ จะเห็นได้ในขั้นแรก ข้อกำหนดที่ฐานมากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก ในทำนองเดียวกันกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นทศนิยมทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงหลายเท่า

มาดูกันว่ารูปแบบนี้ทำงานอย่างไรพร้อมตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

1. มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. ได้รับคำตอบ : 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

1. มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ให้แทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. ได้รับการตอบกลับ: 0

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นกำลังเจ็ดเพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ตามมาจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าลอการิทึมไม่ได้รับการพิจารณา
3. คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของตัวเลขอื่น ง่ายมาก - เพียงแค่แยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ หากมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองประการในการขยาย จำนวนนั้นก็ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่ากำลังที่แท้จริงของตัวเลขคือ 8; 48; 81; 35; สิบสี่.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ระดับที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียว
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนเพราะมีสองปัจจัย: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน
35 = 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

นอกจากนี้ พึงสังเกตว่าจำนวนเฉพาะนั้นจะเป็นพลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและชื่อพิเศษ

ลอการิทึมทศนิยมของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมฐาน 10 นั่นคือ พลังที่คุณต้องเพิ่มจำนวน 10 เพื่อให้ได้จำนวน x การกำหนด: lg x .

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - เป็นต้น

จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน จงรู้ว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากสัญลักษณ์นี้ผิดปกติสำหรับคุณ คุณสามารถเขียนใหม่ได้เสมอ:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกสิ่งที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับทศนิยมเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีสัญกรณ์ของตัวเอง ในแง่หนึ่ง มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ นี่คือลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมฐาน อี ยกกำลังที่ต้องยกจำนวน e เพื่อให้ได้จำนวน x การกำหนด: ln x .

หลายคนจะถามว่า e คืออะไรอีก? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่พบค่าที่แน่นอนและเขียนลงไป นี่เป็นเพียงตัวเลขแรก:
อี = 2.718281828459...

เราจะไม่เจาะลึกว่าตัวเลขนี้คืออะไรและทำไมจึงจำเป็น แค่จำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก e x

ดังนั้น ln e = 1 ; บันทึก อี 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ เป็นจำนวนอตรรกยะ ยกเว้นแน่นอน ความสามัคคี: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดานั้นใช้ได้

คุณสมบัติพื้นฐาน.

1. logax + logay = บันทึก (x y);
2. logax − logay = บันทึก (x: y)

เหตุเดียวกัน

บันทึก6 4 + บันทึก6 9

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีดีกรีอยู่ในฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นเลขชี้กำลังของดีกรีนี้สามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึมล็อกแซ์ จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. ในการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎ: เลขชี้กำลังคือ 2.7 และเป็นสองเท่าของปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเกิดของลีโอ ตอลสตอย

ตัวอย่างลอการิทึม

หาลอการิทึมของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 1
แต่). x=10ac^2 (a>0, c>0).

โดยคุณสมบัติ 3,5 เราคำนวณ

2.

3.

4. ที่ไหน .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x if

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าของลอการิทึมถูกกำหนด

คำนวณ log(x) if

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎเรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องรู้กฎเหล่านี้ - ปัญหาลอการิทึมที่ร้ายแรงไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลยดีกว่า

การบวกและการลบของลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นคุณสามารถเพิ่มและลบและ:

1. logax + logay = บันทึก (x y);
2. logax − logay = บันทึก (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ - เหตุเดียวกัน. หากฐานต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ลองดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึม "ไม่ดี" ซึ่งไม่พิจารณาแยกกัน แต่หลังจากการแปลง ตัวเลขค่อนข้างปกติปรากฎ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายคลึงกันในทุกเรื่องที่จริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ก็ควรจำไว้ดีกว่า - ในบางกรณีจะลดปริมาณการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ในทางกลับกัน เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนเครื่องหมายของลอการิทึมลงในตัวลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนคือลอการิทึมที่ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม ลอการิทึมเป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหา

พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ในรูปองศาและนำตัวชี้วัดออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเหมือนกัน: log2 7. เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎเลขคณิต สามารถโอนทั้งสี่ไปที่ตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่าพวกมันใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น เกิดอะไรขึ้นถ้าฐานแตกต่างกัน? เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ได้รับการช่วยเหลือ เราสร้างพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมล็อกแซ์ จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองสามารถแลกเปลี่ยนฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมด "ถูกพลิกกลับ" กล่าวคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานบางอย่างที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลย ยกเว้นการย้ายฐานรากใหม่ ลองพิจารณาสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง มาดูตัวชี้วัดกัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของตัวประกอบ เราจึงคูณสี่กับสองอย่างใจเย็น แล้วหาลอการิทึมออกมา

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกเป็นกำลังที่แน่นอน มาเขียนมันและกำจัดตัวชี้วัด:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรก จำนวน n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวน b ถูกยกขึ้นในระดับที่หมายเลข b ในระดับนี้ให้จำนวน a? ใช่แล้ว: นี่คือตัวเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างระมัดระวังอีกครั้ง - หลายคน "แขวน" ไว้

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานเป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - เพิ่งดึงกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎของการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองประการที่เรียกคุณสมบัติได้ยาก - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขามักพบปัญหาและสร้างความประหลาดใจให้กับนักเรียนที่ "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

1. logaa = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากตัวฐานนั้นเองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
2. ล็อก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึมของจำนวน b ถึงฐาน a หมายถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการหากำลัง x () ซึ่งความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดได้รับการแก้ไขตามลอการิทึม คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถหาได้จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและส่วนต่างของลอการิทึม (3.4) มักพบบ่อย ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่ง สิ่งเหล่านี้จำเป็นสำหรับการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและการคำนวณค่าของงาน

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่ฐานเป็นสิบ เลขชี้กำลังหรือดิวซ์
ลอการิทึมฐานสิบมักจะเรียกว่าลอการิทึมฐานสิบและเขียนแทนด้วย lg(x)

จะเห็นได้จากบันทึกว่าพื้นฐานไม่ได้เขียนไว้ในบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงเป็น ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. ในการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎ: เลขชี้กำลังคือ 2.7 และเป็นสองเท่าของปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเกิดของลีโอ ตอลสตอย

และลอการิทึมฐานสองที่สำคัญอีกอันหนึ่งคือ

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมปริพันธ์หรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยการพึ่งพา

เนื้อหาด้านบนนี้เพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อให้ซึมซับเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างเพียงไม่กี่ตัวอย่างจากหลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัยเท่านั้น

ตัวอย่างลอการิทึม

หาลอการิทึมของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 1
แต่). x=10ac^2 (a>0, c>0).

โดยคุณสมบัติ 3,5 เราคำนวณ

2.
โดยคุณสมบัติผลต่างของลอการิทึม เรามี

3.
การใช้คุณสมบัติ 3.5 เราพบว่า

4. ที่ไหน .

นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนโดยใช้ชุดของกฎจะลดความซับซ้อนลงในรูปแบบ

การหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x if

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้คุณสมบัติ 5 และ 13 จนถึงเทอมสุดท้าย

ทดแทนในบันทึกและไว้ทุกข์

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์

ลอการิทึม ระดับแรก.

ให้ค่าของลอการิทึมถูกกำหนด

คำนวณ log(x) if

วิธีแก้ไข: นำลอการิทึมของตัวแปรมาเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของเทอม

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของลอการิทึม ฝึกฝนการคำนวณ เพิ่มพูนทักษะการปฏิบัติของคุณ - คุณจะต้องใช้ความรู้ที่ได้รับเพื่อแก้สมการลอการิทึมในไม่ช้า เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้ว เราจะขยายความรู้ของคุณในหัวข้อที่สำคัญไม่แพ้กันอีกหัวข้อหนึ่ง - ความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึม ...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎเรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องรู้กฎเหล่านี้ - ปัญหาลอการิทึมที่ร้ายแรงไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลยดีกว่า

การบวกและการลบของลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นคุณสามารถเพิ่มและลบและ:

1. logax + logay = บันทึก (x y);
2. logax − logay = บันทึก (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ - เหตุเดียวกัน. หากฐานต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ลองดูตัวอย่างและดู:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึม "ไม่ดี" ซึ่งไม่พิจารณาแยกกัน แต่หลังจากการแปลง ตัวเลขค่อนข้างปกติปรากฎ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายคลึงกันในทุกเรื่องที่จริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เกิดอะไรขึ้นถ้ามีดีกรีอยู่ในฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นเลขชี้กำลังของดีกรีนี้สามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมตามกฎต่อไปนี้:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ก็ควรจำไว้ดีกว่า - ในบางกรณีจะลดปริมาณการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ในทางกลับกัน เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนเครื่องหมายของลอการิทึมลงในตัวลอการิทึมได้

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนคือลอการิทึมที่ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ในรูปองศาและนำตัวชี้วัดออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเหมือนกัน: log2 7. เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎเลขคณิต สามารถโอนทั้งสี่ไปที่ตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่าพวกมันใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น เกิดอะไรขึ้นถ้าฐานแตกต่างกัน? เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ได้รับการช่วยเหลือ เราสร้างพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมล็อกแซ์ จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองสามารถแลกเปลี่ยนฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมด "ถูกพลิกกลับ" กล่าวคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานบางอย่างที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลย ยกเว้นการย้ายฐานรากใหม่ ลองพิจารณาสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง มาดูตัวชี้วัดกัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของตัวประกอบ เราจึงคูณสี่กับสองอย่างใจเย็น แล้วหาลอการิทึมออกมา

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกเป็นกำลังที่แน่นอน มาเขียนมันและกำจัดตัวชี้วัด:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรก จำนวน n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวน b ถูกยกขึ้นในระดับที่หมายเลข b ในระดับนี้ให้จำนวน a? ใช่แล้ว: นี่คือตัวเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างระมัดระวังอีกครั้ง - หลายคน "แขวน" ไว้

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานเป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - เพิ่งดึงกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎของการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองประการที่เรียกคุณสมบัติได้ยาก - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขามักพบปัญหาและสร้างความประหลาดใจให้กับนักเรียนที่ "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

1. logaa = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากตัวฐานนั้นเองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
2. ล็อก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา