นิยามสมการลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึม - บทเรียนสุดท้าย

เราทุกคนคุ้นเคยกับสมการจากระดับประถมศึกษา แม้แต่ที่นั่น เราเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด และต้องยอมรับว่าพวกเขาพบการประยุกต์ใช้แม้ในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายด้วยสมการ รวมทั้งสมการกำลังสอง หากคุณมีปัญหากับธีมนี้ เราขอแนะนำให้คุณลองใหม่อีกครั้ง

ลอการิทึมที่คุณอาจผ่านมาแล้วเช่นกัน อย่างไรก็ตาม เราคิดว่าสิ่งสำคัญคือต้องบอกว่ามันคืออะไรสำหรับผู้ที่ยังไม่รู้ ลอการิทึมเท่ากับกำลังที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายของลอการิทึม มาดูตัวอย่างกันซึ่งทุกอย่างจะชัดเจนสำหรับคุณ

หากคุณเพิ่ม 3 ยกกำลังสี่ คุณจะได้ 81 ตอนนี้ แทนที่ตัวเลขด้วยการเปรียบเทียบ และในที่สุด คุณจะเข้าใจว่าลอการิทึมถูกแก้อย่างไร ตอนนี้ยังคงเป็นเพียงการรวมแนวคิดทั้งสองที่พิจารณาแล้วเท่านั้น ในขั้นต้น สถานการณ์ดูยากมาก แต่เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด น้ำหนักก็เข้าที่ เรามั่นใจว่าหลังจากบทความสั้น ๆ นี้ คุณจะไม่มีปัญหาในส่วนนี้ของการสอบ

วันนี้มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาโครงสร้างดังกล่าว เราจะพูดถึงวิธีที่ง่ายที่สุด มีประสิทธิภาพสูงสุด และเหมาะสมที่สุดในกรณีของงาน USE การแก้สมการลอการิทึมควรเริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดประกอบด้วยฟังก์ชันและตัวแปรหนึ่งตัวในนั้น

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่า x อยู่ภายในอาร์กิวเมนต์ A และ b ต้องเป็นตัวเลข ในกรณีนี้ คุณสามารถแสดงฟังก์ชันในรูปของตัวเลขยกกำลังได้ ดูเหมือนว่านี้

แน่นอน การแก้สมการลอการิทึมด้วยวิธีนี้จะทำให้คุณได้คำตอบที่ถูกต้อง แต่ปัญหาของนักเรียนส่วนใหญ่ในกรณีนี้คือพวกเขาไม่เข้าใจว่ามันมาจากไหน เป็นผลให้คุณต้องทนกับความผิดพลาดและไม่ได้คะแนนที่ต้องการ ความผิดพลาดที่น่ารังเกียจที่สุดคือถ้าคุณผสมตัวอักษรในสถานที่ต่างๆ ในการแก้สมการด้วยวิธีนี้ คุณต้องจำสูตรมาตรฐานของโรงเรียนนี้ไว้ เพราะมันเข้าใจยาก

เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณสามารถใช้วิธีอื่น - รูปแบบบัญญัติ ความคิดนั้นง่ายมาก ให้ความสนใจกับงานอีกครั้ง จำไว้ว่าตัวอักษร a เป็นตัวเลข ไม่ใช่ฟังก์ชันหรือตัวแปร A ไม่เท่ากับหนึ่งและมากกว่าศูนย์ ข.ไม่มีข้อจำกัด จากสูตรทั้งหมดที่เราจำได้ ข สามารถแสดงได้ดังนี้

จากนี้ไปสมการดั้งเดิมทั้งหมดที่มีลอการิทึมสามารถแสดงได้ดังนี้:

ตอนนี้เราสามารถทิ้งลอการิทึมได้ ผลที่ได้คือการก่อสร้างที่เรียบง่ายซึ่งเราได้เห็นไปแล้วก่อนหน้านี้

ความสะดวกของสูตรนี้อยู่ที่ว่าสามารถใช้ได้ในหลายกรณี ไม่ใช่แค่สำหรับการออกแบบที่เรียบง่ายที่สุดเท่านั้น

ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับ OOF!

นักคณิตศาสตร์ที่มีประสบการณ์หลายคนจะสังเกตว่าเราไม่ได้สนใจขอบเขตของคำจำกัดความ กฎเกณฑ์ชี้ให้เห็นถึงข้อเท็จจริงที่ว่า F(x) จำเป็นต้องมากกว่า 0 ไม่ เราไม่ได้พลาดประเด็นนี้ ตอนนี้เรากำลังพูดถึงข้อได้เปรียบที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งของรูปแบบบัญญัติ

จะไม่มีรากพิเศษที่นี่ หากตัวแปรจะเกิดขึ้นในที่เดียวเท่านั้น ขอบเขตก็ไม่จำเป็น มันทำงานโดยอัตโนมัติ เพื่อตรวจสอบการตัดสินใจนี้ ให้ลองแก้ไขตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง

วิธีแก้สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

พวกนี้เป็นสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนอยู่แล้ว และแนวทางการแก้ปัญหาควรเป็นแบบพิเศษ ที่นี่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจำกัดตัวเราให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติที่โด่งดัง มาเริ่มเรื่องราวที่มีรายละเอียดกันดีกว่า เรามีการก่อสร้างดังต่อไปนี้

สังเกตเศษส่วน ประกอบด้วยลอการิทึม หากคุณเห็นสิ่งนี้ในงาน คุณควรจำเคล็ดลับที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง

มันหมายความว่าอะไร? ลอการิทึมแต่ละตัวสามารถแสดงเป็นผลหารของลอการิทึมสองตัวที่มีฐานสะดวก และสูตรนี้มีกรณีพิเศษที่ใช้ได้กับตัวอย่างนี้ (เราหมายถึงถ้า c=b)

นี่คือสิ่งที่เราเห็นในตัวอย่างของเรา ดังนั้น.

อันที่จริง พวกเขาพลิกเศษส่วนและได้สำนวนที่สะดวกกว่า จำอัลกอริทึมนี้ไว้!

ตอนนี้เราต้องการว่าสมการลอการิทึมไม่มีฐานต่างกัน ลองแทนฐานเป็นเศษส่วน

ในวิชาคณิตศาสตร์มีกฎอยู่หนึ่งข้อซึ่งคุณสามารถถอดระดับออกจากฐานได้ ปรากฎว่าการก่อสร้างต่อไปนี้

ดูเหมือนว่าตอนนี้สิ่งที่ขัดขวางไม่ให้เราเปลี่ยนการแสดงออกเป็นรูปแบบบัญญัติและแก้ปัญหาเบื้องต้น? ไม่ง่ายอย่างนั้น ไม่ควรมีเศษส่วนก่อนลอการิทึม มาแก้ไขสถานการณ์นี้กันเถอะ! อนุญาตให้นำเศษส่วนออกเป็นระดับได้

ตามลำดับ

หากฐานเท่ากัน เราสามารถลบลอการิทึมและทำให้นิพจน์เท่ากันได้ ดังนั้นสถานการณ์จะง่ายกว่าที่เป็นอยู่หลายเท่า จะมีสมการเบื้องต้นที่เราแต่ละคนรู้วิธีแก้ปัญหาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หรือ 7 คุณสามารถคำนวณได้ด้วยตัวเอง

เราได้รากที่แท้จริงเพียงข้อเดียวของสมการลอการิทึมนี้ ตัวอย่างของการแก้สมการลอการิทึมนั้นค่อนข้างง่ายใช่ไหม ตอนนี้คุณจะสามารถจัดการกับงานที่ยากที่สุดในการเตรียมตัวและสอบผ่านได้อย่างอิสระ

ผลลัพธ์คืออะไร?

ในกรณีของสมการลอการิทึมใดๆ เราดำเนินการจากกฎที่สำคัญมากข้อหนึ่ง จำเป็นต้องดำเนินการในลักษณะที่จะนำการแสดงออกไปสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ คุณจะมีโอกาสมากกว่าที่จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง แต่ยังต้องทำในวิธีที่ง่ายที่สุดและสมเหตุสมผลที่สุดด้วย นั่นเป็นวิธีที่นักคณิตศาสตร์ทำงานอยู่เสมอ

เราไม่แนะนำอย่างยิ่งให้คุณมองหาเส้นทางที่ยากลำบาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีนี้ จำกฎง่ายๆ สองสามข้อที่จะช่วยให้คุณสามารถแปลงนิพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น นำลอการิทึมสองหรือสามตัวมาที่ฐานเดียวกัน หรือเอากำลังจากฐานแล้วชนะมัน

โปรดจำไว้ว่าในการแก้สมการลอการิทึมคุณจำเป็นต้องฝึกฝนอย่างต่อเนื่อง คุณจะค่อยๆ เคลื่อนไปสู่โครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ และสิ่งนี้จะนำคุณไปสู่การแก้ไขตัวเลือกทั้งหมดสำหรับงานในการสอบอย่างมั่นใจ เตรียมตัวให้พร้อมสำหรับการสอบล่วงหน้า และขอให้โชคดี!

วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ซึ่งไม่ต้องการการแปลงเบื้องต้นและการเลือกราก แต่ถ้าคุณเรียนรู้วิธีแก้สมการดังกล่าว มันจะง่ายกว่ามาก

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบ บันทึก a f (x) \u003d b โดยที่ a, b คือตัวเลข (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) เป็นฟังก์ชันบางอย่าง

ลักษณะเด่นของสมการลอการิทึมทั้งหมดคือการมีตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม หากกำหนดสมการดังกล่าวในปัญหาในตอนแรก จะเรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมอื่นๆ จะลดลงเหลือน้อยที่สุดโดยการแปลงพิเศษ (ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม") อย่างไรก็ตาม ต้องคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยจำนวนมาก: อาจมีรากพิเศษปรากฏขึ้น ดังนั้น สมการลอการิทึมที่ซับซ้อนจะถูกพิจารณาแยกกัน

จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับด้วยลอการิทึมในฐานเดียวกับทางด้านซ้าย จากนั้นคุณสามารถกำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมได้ เราได้รับ:

บันทึก a f (x) \u003d b ⇒ บันทึก a f (x) \u003d บันทึก a a b ⇒ f (x) \u003d a b

เราได้สมการปกติ รากของมันคือรากของสมการดั้งเดิม

การออกเสียงองศา

บ่อยครั้ง สมการลอการิทึม ซึ่งภายนอกดูซับซ้อนและเป็นอันตราย ได้รับการแก้ไขในสองสามบรรทัดโดยไม่ต้องใช้สูตรที่ซับซ้อน วันนี้เราจะพิจารณาเฉพาะปัญหาดังกล่าว ซึ่งสิ่งที่คุณต้องทำคือลดสูตรให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติอย่างระมัดระวัง และไม่สับสนเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

วันนี้ อย่างที่คุณอาจเดาได้จากชื่อหัวข้อ เราจะแก้สมการลอการิทึมโดยใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นรูปแบบบัญญัติ "เคล็ดลับ" หลักของบทเรียนวิดีโอนี้จะทำงานกับองศา หรือมากกว่า การรับปริญญาจากฐานและการโต้แย้ง ลองดูกฎ:

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถถอดระดับออกจากฐานได้:

อย่างที่คุณเห็น ถ้าเมื่อเราเอาดีกรีออกจากอาร์กิวเมนต์ลอการิทึม เรามีตัวประกอบเพิ่มเติมอยู่ข้างหน้า แล้วเมื่อเอาดีกรีออกจากฐาน มันไม่ใช่แค่ปัจจัย แต่เป็นปัจจัยกลับด้าน สิ่งนี้จะต้องจำไว้

สุดท้ายที่น่าสนใจที่สุด สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันได้ แล้วเราจะได้:

แน่นอน เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ มีข้อผิดพลาดบางประการที่เกี่ยวข้องกับการขยายขอบเขตคำจำกัดความที่เป็นไปได้ หรือในทางกลับกัน การจำกัดขอบเขตของคำจำกัดความให้แคบลง ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 x

หากในกรณีแรก x อาจเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 0, เช่น ความต้องการ x ≠ 0 แล้วในกรณีที่สอง เราจะพอใจกับ x เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงไม่เท่ากัน แต่มากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด เพราะโดเมนของลอการิทึมคืออาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น ฉันจะเตือนคุณถึงสูตรที่ยอดเยี่ยมจากหลักสูตรพีชคณิตในเกรด 8-9:

นั่นคือเราต้องเขียนสูตรของเราดังนี้:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 |x |

จากนั้นจะไม่มีการกำหนดขอบเขตของคำจำกัดความให้แคบลง

อย่างไรก็ตาม ในวิดีโอสอนของวันนี้จะไม่มีช่องสี่เหลี่ยม หากคุณดูงานของเรา คุณจะเห็นเฉพาะราก ดังนั้นเราจะไม่ใช้กฎนี้ แต่ยังคงต้องระลึกไว้เสมอว่าในเวลาที่เหมาะสม เมื่อคุณเห็นฟังก์ชันกำลังสองในอาร์กิวเมนต์หรือฐานของลอการิทึม คุณจะจำกฎนี้และแปลงทั้งหมดได้อย่างถูกต้อง .

ดังนั้นสมการแรกคือ:

เพื่อแก้ปัญหานี้ ฉันเสนอให้ดูคำศัพท์แต่ละคำในสูตรอย่างละเอียด

ลองเขียนพจน์แรกเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

เราดูที่เทอมที่สอง: บันทึก 3 (1 − x ) คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรที่นี่ ทุกอย่างกำลังเปลี่ยนแปลงไปหมดแล้ว

สุดท้าย 0, 5 ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วในบทเรียนที่แล้ว เมื่อแก้สมการลอการิทึมและสูตร ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา เริ่มทำสิ่งนี้กัน:

0,5 = 5/10 = 1/2

ลองเขียนสูตรเดิมของเราใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขที่ได้รับ:

บันทึก 3 (1 − x ) = 1

ทีนี้มาดูรูปแบบบัญญัติกัน:

ล็อก 3 (1 − x ) = บันทึก 3 3

กำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมโดยการทำให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน:

1 − x = 3

-x = 2

x = −2

แค่นั้นแหละ เราแก้สมการได้แล้ว อย่างไรก็ตาม ยังคงเล่นอย่างปลอดภัยและค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ ให้กลับไปที่สูตรเดิมและดู:

1 − x > 0

-x > -1

x< 1

ราก x = −2 เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ ดังนั้น x = −2 จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม ตอนนี้เรามีเหตุผลที่ชัดเจนอย่างเข้มงวด ทุกอย่างงานได้รับการแก้ไข

มาต่อกันที่งานที่สอง:

มาจัดการกับแต่ละเทอมแยกกัน

เราเขียนสิ่งแรก:

เราได้แก้ไขเทอมแรก เราทำงานกับภาคเรียนที่สอง:

สุดท้าย เทอมสุดท้ายซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ:

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับเงื่อนไขในสูตรผลลัพธ์:

บันทึก 3 x = 1

เราส่งผ่านไปยังรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมโดยการทำให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน เราจะได้:

x=3

อีกครั้ง เผื่อเอาไว้ เล่นให้ปลอดภัย กลับไปที่สมการเดิมแล้วดู ในสูตรดั้งเดิม ตัวแปร x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ดังนั้น

x > 0

ในลอการิทึมที่สอง x อยู่ใต้รูท แต่อีกครั้งในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น รูทต้องมากกว่า 0 นั่นคือ นิพจน์รูทต้องมากกว่า 0 เราดูที่รูท x = 3 ของเรา แน่นอนว่า มันเป็นไปตามข้อกำหนดนี้ ดังนั้น x = 3 จึงเป็นคำตอบของสมการลอการิทึมเดิม ทุกอย่างงานได้รับการแก้ไข

มีสองประเด็นสำคัญในวิดีโอสอนของวันนี้:

1) อย่ากลัวที่จะแปลงลอการิทึมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอย่ากลัวที่จะถอดองศาออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมในขณะที่จำสูตรพื้นฐานของเรา: เมื่อเอาดีกรีออกจากอาร์กิวเมนต์ เปลี่ยนแปลงตามปัจจัย และเมื่อเอาดีกรีออกจากฐาน ดีกรีนี้จะกลับด้าน

2) จุดที่สองเกี่ยวข้องกับรูปแบบบัญญัติเอง เราดำเนินการเปลี่ยนผ่านเป็นรูปแบบบัญญัติที่ส่วนท้ายสุดของการแปลงสูตรของสมการลอการิทึม จำสูตรต่อไปนี้:

a = log b b a

แน่นอน โดยนิพจน์ "จำนวนใด ๆ ข" ฉันหมายถึงตัวเลขเหล่านั้นที่ตรงตามข้อกำหนดที่กำหนดบนฐานของลอการิทึม กล่าวคือ

1 ≠ ข > 0

สำหรับ b ดังกล่าว และเนื่องจากเราทราบพื้นฐานแล้ว ข้อกำหนดนี้จะสำเร็จโดยอัตโนมัติ แต่สำหรับ b ที่ตรงตามข้อกำหนดนี้ การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถทำได้ และเราได้รูปแบบบัญญัติที่เราสามารถกำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมได้

การขยายขอบเขตของคำจำกัดความและรากพิเศษ

ในกระบวนการแปลงสมการลอการิทึม การขยายโดเมนของคำจำกัดความโดยนัยอาจเกิดขึ้นได้ บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สังเกตเห็นสิ่งนี้ซึ่งนำไปสู่ข้อผิดพลาดและคำตอบที่ไม่ถูกต้อง

เริ่มจากการออกแบบที่ง่ายที่สุดกันก่อน สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f(x) = b

โปรดทราบว่า x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้นของลอการิทึมเดียว เราจะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร เราใช้รูปแบบบัญญัติ ในการทำเช่นนี้ เราแสดงตัวเลข b \u003d บันทึก a a b และสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

บันทึก a f(x) = บันทึก a b

สัญกรณ์นี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ สำหรับเธอแล้ว สมการลอการิทึมใดๆ ที่คุณจะได้พบไม่เฉพาะในบทเรียนของวันนี้เท่านั้น แต่ควรลดการทำงานอิสระและการควบคุมด้วย

จะมาในรูปแบบบัญญัติได้อย่างไรจะใช้เทคนิคอะไร - นี่เป็นเรื่องของการปฏิบัติแล้ว สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจ: ทันทีที่คุณได้รับบันทึกดังกล่าว เราสามารถสรุปได้ว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว เพราะขั้นตอนต่อไปคือการเขียน:

f(x) = ข

พูดอีกอย่างก็คือ เราเอาเครื่องหมายของลอการิทึมออกและเอาอาร์กิวเมนต์มาเทียบกัน

ทำไมทั้งหมดนี้พูดคุย? ความจริงก็คือรูปแบบบัญญัตินั้นไม่เพียงใช้ได้กับปัญหาที่ง่ายที่สุดเท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับปัญหาอื่นๆ ด้วย โดยเฉพาะกับสิ่งที่เราจะมาพูดถึงในวันนี้ มาดูกันเลย

งานแรก:

อะไรคือปัญหาของสมการนี้? ความจริงที่ว่าฟังก์ชันอยู่ในสองลอการิทึมในครั้งเดียว ปัญหาสามารถลดลงให้ง่ายที่สุดโดยเพียงแค่ลบลอการิทึมหนึ่งจากอีกอันหนึ่ง แต่มีปัญหากับโดเมนของคำจำกัดความ: อาจมีรากพิเศษปรากฏขึ้น ลองย้ายลอการิทึมตัวใดตัวหนึ่งไปทางขวา:

ที่นี่บันทึกดังกล่าวมีความคล้ายคลึงกับรูปแบบบัญญัติอยู่แล้ว แต่มีอีกหนึ่งความแตกต่าง: ในรูปแบบบัญญัติ ข้อโต้แย้งต้องเหมือนกัน และเรามีลอการิทึมตรงฐาน 3 ทางซ้าย และลอการิทึมที่ฐาน 1/3 ทางขวา คุณรู้ไหม คุณต้องนำฐานเหล่านี้ไปเป็นเลขเดียวกัน ตัวอย่างเช่น จำไว้ว่าเลขชี้กำลังลบคืออะไร:

จากนั้นเราจะใช้เลขชี้กำลัง "-1" นอกบันทึกเป็นตัวคูณ:

โปรดทราบ: องศาที่ยืนอยู่ที่ฐานจะพลิกกลับและกลายเป็นเศษส่วน เราได้สัญลักษณ์ที่เกือบจะเป็นที่ยอมรับโดยการกำจัดฐานต่างๆ แต่เรากลับมีปัจจัย "-1" ทางด้านขวา ลองใส่ปัจจัยนี้ในการโต้แย้งโดยเปลี่ยนเป็นกำลัง:

แน่นอน เมื่อได้รับรูปแบบบัญญัติแล้ว เราจึงขีดฆ่าเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างกล้าหาญและจัดอาร์กิวเมนต์ให้เท่ากัน ในเวลาเดียวกัน ผมขอเตือนคุณว่าเมื่อยกกำลัง "-1" เศษส่วนจะพลิกกลับ - จะได้สัดส่วน

ลองใช้คุณสมบัติหลักของสัดส่วนแล้วคูณตามขวาง:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

ก่อนหน้าเราคือสมการกำลังสองที่ให้มา ดังนั้นเราจึงแก้มันโดยใช้สูตรเวียต้า:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x2 = 2

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณคิดว่าสมการจะแก้ได้หรือไม่? ไม่! สำหรับคำตอบดังกล่าว เราจะได้ 0 คะแนน เพราะในสมการเดิม มีลอการิทึมสองตัวพร้อมตัวแปร x พร้อมกัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความด้วย

และนี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก นักเรียนส่วนใหญ่สับสน: โดเมนของลอการิทึมคืออะไร? แน่นอน อาร์กิวเมนต์ทั้งหมด (เรามีสองข้อ) ต้องมากกว่าศูนย์:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

แต่ละความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้จะต้องได้รับการแก้ไขโดยทำเครื่องหมายเป็นเส้นตรงข้าม - แล้วดูว่ารากอยู่ตรงไหนที่ทางแยก

บอกตามตรง เทคนิคนี้มีสิทธิ์มีอยู่ มีความน่าเชื่อถือ และคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้อง แต่มีขั้นตอนเพิ่มเติมในนั้นมากเกินไป มาดูวิธีแก้ปัญหาของเรากันอีกครั้ง และดูว่า คุณต้องการใช้ขอบเขตที่ใด กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าเมื่อใดที่รูตพิเศษปรากฏขึ้น

1. เริ่มแรก เรามีลอการิทึมสองตัว จากนั้นเราย้ายหนึ่งในนั้นไปทางขวา แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลต่อพื้นที่คำจำกัดความ
2. จากนั้นเราก็เอากำลังออกจากฐาน แต่ก็ยังมีลอการิทึมสองตัวและแต่ละตัวมีตัวแปร x
3. สุดท้าย เราตัดเครื่องหมายของ log ออกและรับสมการเศษส่วน-ตรรกยะแบบคลาสสิก

อยู่ในขั้นตอนสุดท้ายที่โดเมนของคำจำกัดความขยายออกไป! ทันทีที่เราเปลี่ยนไปใช้สมการตรรกยะเศษส่วน การกำจัดสัญญาณของบันทึก ข้อกำหนดสำหรับตัวแปร x ก็เปลี่ยนไปอย่างมาก!

ดังนั้นขอบเขตของคำจำกัดความจึงไม่สามารถพิจารณาได้ในตอนเริ่มต้นของการแก้ปัญหา แต่จะพิจารณาเฉพาะในขั้นตอนที่กล่าวถึงเท่านั้น ก่อนที่เราจะจัดอาร์กิวเมนต์โดยตรง

นี่คือโอกาสในการเพิ่มประสิทธิภาพ ในอีกด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้อาร์กิวเมนต์ทั้งสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ในทางกลับกัน เราทำให้ข้อโต้แย้งเหล่านี้เท่าเทียมกันมากขึ้น ดังนั้นหากอย่างน้อยหนึ่งค่าเป็นค่าบวก ค่าที่สองจะเป็นค่าบวกด้วย!

ดังนั้นมันจึงกลายเป็นว่าการต้องเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกันสองอย่างพร้อมกันนั้นเกินความจำเป็น การพิจารณาเศษส่วนเหล่านี้เพียงอย่างเดียวก็เพียงพอแล้ว อันไหน? ที่ง่ายกว่านั้น ตัวอย่างเช่น ลองดูเศษส่วนขวา:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

นี่เป็นอสมการเศษส่วนทั่วไป เราแก้มันโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

วางป้ายอย่างไร? หาจำนวนที่มากกว่ารากทั้งหมดของเราอย่างเห็นได้ชัด ตัวอย่างเช่น 1 พันล้าน และเราแทนเศษส่วน เราได้จำนวนบวก นั่นคือ ทางด้านขวาของรูท x = 5 จะมีเครื่องหมายบวก

จากนั้นสัญญาณก็สลับกันเพราะไม่มีรากของหลายหลากแม้แต่น้อย เราสนใจช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นค่าบวก ดังนั้น x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞)

ตอนนี้ มาจำคำตอบกัน: x = 8 และ x = 2 พูดจริงๆ นะ นี่ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นคำตอบสำหรับผู้สมัครเท่านั้น ข้อใดอยู่ในชุดที่ระบุ แน่นอน x = 8 แต่ x = 2 ไม่เหมาะกับเราในแง่ของขอบเขตของคำจำกัดความ

โดยรวมแล้ว คำตอบของสมการลอการิทึมแรกจะเป็น x = 8 ตอนนี้ เรามีคำตอบที่มีความสามารถและสมเหตุสมผล โดยคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความ

มาต่อกันที่สมการที่สองกัน:

บันทึก 5 (x - 9) = บันทึก 0.5 4 - บันทึก 5 (x - 5) + 3

ฉันเตือนคุณว่าหากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการ คุณควรกำจัดมันทิ้งไป พูดอีกอย่างก็คือ ลองเขียน 0.5 เป็นเศษส่วนธรรมดากัน เราสังเกตทันทีว่าลอการิทึมที่มีฐานนี้พิจารณาได้ง่าย:

นี่เป็นช่วงเวลาที่สำคัญมาก! เมื่อเรามีดีกรีทั้งในฐานและอาร์กิวเมนต์ เราสามารถหาตัวบ่งชี้ขององศาเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร:

เรากลับไปที่สมการลอการิทึมเดิมแล้วเขียนใหม่:

บันทึก 5 (x - 9) = 1 - บันทึก 5 (x - 5)

เราได้โครงสร้างที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับรูปแบบบัญญัติ อย่างไรก็ตาม เราสับสนกับเงื่อนไขและเครื่องหมายลบทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ มาแทนความสามัคคีเป็นลอการิทึมกับฐาน 5:

บันทึก 5 (x - 9) = บันทึก 5 5 1 - บันทึก 5 (x - 5)

ลบลอการิทึมทางด้านขวา (ในขณะที่อาร์กิวเมนต์ถูกแบ่งออก):

บันทึก 5 (x − 9) = บันทึก 5 5/(x − 5)

อย่างสมบูรณ์แบบ ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบบัญญัติ! เราขีดฆ่าเครื่องหมายและจัดอาร์กิวเมนต์ให้เท่ากัน:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

นี่คือสัดส่วนที่แก้ได้ง่ายด้วยการคูณไขว้:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

แน่นอน เรามีสมการกำลังสองให้มา สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้สูตร Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

เรามีสองราก แต่นี่ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย แต่เป็นเพียงผู้สมัครเท่านั้น เพราะสมการลอการิทึมยังต้องตรวจสอบโดเมนด้วย

ฉันเตือนคุณ: อย่ามองเมื่อ ทุกคนของอาร์กิวเมนต์จะมากกว่าศูนย์ เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้อาร์กิวเมนต์หนึ่งตัว x − 9 หรือ 5/(x − 5) มีค่ามากกว่าศูนย์ พิจารณาอาร์กิวเมนต์แรก:

x − 9 > 0

x > 9

เห็นได้ชัดว่ามีเพียง x = 10 เท่านั้นที่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ นี่คือคำตอบสุดท้าย ปัญหาทั้งหมดได้รับการแก้ไข

อีกครั้งที่แนวคิดหลักของบทเรียนวันนี้:

1. ทันทีที่ตัวแปร x ปรากฏในลอการิทึมหลายตัว สมการจะหยุดเป็นสมการพื้นฐาน และจำเป็นต้องคำนวณโดเมนของคำจำกัดความด้วยเหตุนี้ มิฉะนั้น คุณสามารถเขียนคำตอบเพิ่มเติมได้อย่างง่ายดาย
2. การทำงานกับขอบเขตของคำจำกัดความนั้นสามารถลดลงได้อย่างมาก หากไม่เขียนอสมการในทันที แต่ทันทีที่เรากำจัดสัญญาณของบันทึก ท้ายที่สุดเมื่ออาร์กิวเมนต์เท่ากันก็เพียงพอแล้วที่จะมีเพียงหนึ่งในอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าศูนย์

แน่นอนว่าเราเลือกข้อโต้แย้งที่จะสร้างความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะเลือกข้อโต้แย้งที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น ในสมการที่สอง เราเลือกอาร์กิวเมนต์ (x − 9) เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ตรงข้ามกับอาร์กิวเมนต์ที่สองที่เป็นเศษส่วน เห็นด้วย การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน x − 9 > 0 นั้นง่ายกว่า 5/(x − 5) > 0 มาก แม้ว่าผลลัพธ์จะเหมือนกันก็ตาม

ข้อสังเกตนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการค้นหา ODZ ได้อย่างมาก แต่โปรดระวัง: คุณสามารถใช้อสมการ 1 อันแทน 2 อันได้ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์ถูกต้องเท่านั้น เท่าเทียมกัน!

แน่นอนว่าตอนนี้บางคนจะถามว่าเกิดอะไรขึ้น? ใช่บางเวลา. ตัวอย่างเช่น ในขั้นตอนเอง เมื่อเราคูณอาร์กิวเมนต์สองอาร์กิวเมนต์ที่มีตัวแปร อาจมีอันตรายจากการรูทเพิ่มเติม

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในตอนแรก อาร์กิวเมนต์แต่ละรายการต้องมากกว่าศูนย์ แต่หลังจากการคูณก็เพียงพอแล้วที่ผลคูณของอาร์กิวเมนต์จะมากกว่าศูนย์ เป็นผลให้พลาดกรณีที่เศษส่วนเหล่านี้แต่ละส่วนเป็นค่าลบ

ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มจัดการกับสมการลอการิทึมที่ซับซ้อน ไม่ว่าในกรณีใด อย่าคูณลอการิทึมที่มีตัวแปร x - บ่อยครั้งสิ่งนี้จะนำไปสู่การรูตพิเศษ ดีกว่าทำอีกขั้นหนึ่ง ย้ายเทอมหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง สร้างแบบฟอร์มบัญญัติ

จะทำอย่างไรถ้าคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่คูณลอการิทึมดังกล่าวเราจะพูดถึงในวิดีโอสอนครั้งต่อไป :)

อีกครั้งเกี่ยวกับพลังในสมการ

วันนี้เราจะมาวิเคราะห์หัวข้อที่ค่อนข้างลื่นเกี่ยวกับสมการลอการิทึม หรือเอายกกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ฉันยังบอกได้เลยว่าเราจะพูดถึงการถอดยกกำลังออกด้วย เพราะความยากส่วนใหญ่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการลอการิทึมของจริงด้วยเลขยกกำลัง

เริ่มจากรูปแบบบัญญัติก่อน สมมุติว่าเรามีสมการเหมือน log a f (x) = b ในกรณีนี้ เราเขียนตัวเลข b ใหม่ตามสูตร b = log a a b ปรากฎดังต่อไปนี้:

บันทึก a f(x) = บันทึก a b

จากนั้นเราจัดอาร์กิวเมนต์ให้เท่ากัน:

f(x) = ข

สูตรสุดท้ายเรียกว่ารูปแบบบัญญัติ สำหรับเธอแล้ว พวกเขาพยายามลดสมการลอการิทึมใดๆ ไม่ว่ามันจะดูซับซ้อนและน่ากลัวเพียงใดในแวบแรก

มาลองดูกัน มาเริ่มกันที่งานแรก:

หมายเหตุเบื้องต้น: อย่างที่ฉันพูด เป็นการดีกว่าที่จะแปลงเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดในสมการลอการิทึมเป็นเศษส่วนธรรมดา:

0,5 = 5/10 = 1/2

ลองเขียนสมการใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ โปรดทราบว่าทั้ง 1/1000 และ 100 เป็นยกกำลัง 10 จากนั้นเราจะนำกำลังออกจากที่ใดก็ตาม: จากอาร์กิวเมนต์และแม้แต่จากฐานของลอการิทึม:

และนี่คือคำถามสำหรับนักเรียนหลายคน: "โมดูลมาจากไหนทางขวา" ที่จริงแล้วทำไมไม่เขียน (x − 1) ล่ะ? แน่นอน ตอนนี้เราจะเขียน (x -1) แต่สิทธิ์ในบันทึกดังกล่าวทำให้เราทราบถึงขอบเขตของคำจำกัดความ ท้ายที่สุด ลอการิทึมอื่นมีอยู่แล้ว (x -1) และนิพจน์นี้ต้องมากกว่าศูนย์

แต่เมื่อเรานำสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากฐานของลอการิทึม เราต้องปล่อยให้โมดูลอยู่ที่ฐาน ฉันจะอธิบายว่าทำไม

ความจริงก็คือจากมุมมองของคณิตศาสตร์ การได้รับปริญญาก็เท่ากับการหยั่งราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อนิพจน์ (x -1) 2 กำลังสอง เรากำลังแยกรากของดีกรีที่สอง แต่สแควร์รูทไม่มีอะไรมากไปกว่าโมดูลัส อย่างแน่นอน โมดูลเพราะแม้ว่านิพจน์ x - 1 จะเป็นลบ แต่เมื่อยกกำลังสอง "ลบ" จะยังคงเผาไหม้อยู่ การถอนรากเพิ่มเติมจะทำให้เราได้รับจำนวนบวก - แล้วไม่มีค่าลบใดๆ

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่น่ารังเกียจ โปรดจำไว้เสมอว่า:

รากของดีกรีคู่จากฟังก์ชันใดๆ ที่ยกกำลังเท่ากันจะไม่เท่ากับฟังก์ชันเอง แต่รวมถึงโมดูลัส:

เรากลับไปที่สมการลอการิทึม เมื่อพูดถึงโมดูล ฉันคิดว่าเราสามารถลบออกได้โดยไม่ลำบาก มันเป็นความจริง. ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม พูดอย่างเคร่งครัด เราต้องพิจารณาสองตัวเลือก:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

แต่ละตัวเลือกเหล่านี้จะต้องได้รับการแก้ไข แต่มีสิ่งหนึ่งที่จับได้: สูตรดั้งเดิมมีฟังก์ชัน (x -1) อยู่แล้วโดยไม่มีโมดูลัส และตามโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม เรามีสิทธิ์เขียนทันทีว่า x − 1 > 0

ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดนี้โดยไม่คำนึงถึงโมดูลและการแปลงอื่น ๆ ที่เราดำเนินการในกระบวนการแก้ไขปัญหา ดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่จะพิจารณาตัวเลือกที่สอง - มันจะไม่เกิดขึ้น แม้ว่าเมื่อแก้สาขาของอสมการนี้ เราได้ตัวเลขจำนวนหนึ่ง แต่ก็ยังไม่รวมอยู่ในคำตอบสุดท้าย

ตอนนี้เราอยู่ห่างจากรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึมเพียงก้าวเดียว ขอเป็นตัวแทนของหน่วยดังนี้:

1 = บันทึก x − 1 (x − 1) 1

นอกจากนี้ เราแนะนำแฟกเตอร์ -4 ซึ่งอยู่ทางขวา ในอาร์กิวเมนต์:

บันทึก x − 1 10 −4 = บันทึก x − 1 (x − 1)

ก่อนเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม กำจัดเครื่องหมายของลอการิทึม:

10 −4 = x − 1

แต่เนื่องจากฐานเป็นฟังก์ชัน (และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) เราจึงกำหนดให้ฟังก์ชันนี้มีค่ามากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่ง รับระบบ:

เนื่องจากข้อกำหนด x − 1 > 0 ได้รับการตอบสนองโดยอัตโนมัติ (เนื่องจาก x − 1 = 10 −4) ความไม่เท่าเทียมกันอย่างใดอย่างหนึ่งสามารถลบออกจากระบบของเราได้ เงื่อนไขที่สองสามารถขีดฆ่าได้เพราะ x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

นี่เป็นรูทเดียวที่ตอบสนองความต้องการทั้งหมดโดยอัตโนมัติสำหรับโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม (อย่างไรก็ตาม ข้อกำหนดทั้งหมดถูกกำจัดออกไปตามที่ทราบโดยเจตนาในเงื่อนไขของปัญหาของเรา)

ดังนั้นสมการที่สองคือ:

3 บันทึก 3 x x = 2 บันทึก 9 x x 2

สมการนี้โดยพื้นฐานแล้วแตกต่างจากสมการก่อนหน้าอย่างไร อย่างน้อยก็จากข้อเท็จจริงที่ว่าฐานของลอการิทึม - 3x และ 9x - ไม่ใช่พลังธรรมชาติของกันและกัน ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงที่เราใช้ในโซลูชันก่อนหน้านี้จึงไม่สามารถทำได้

อย่างน้อยก็กำจัดองศา ในกรณีของเรา ยกกำลังเพียงอย่างเดียวอยู่ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9 x |x |

อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายโมดูลัสสามารถลบออกได้ เนื่องจากตัวแปร x อยู่ในฐานเช่นกัน กล่าวคือ x > 0 ⇒ |x| = x ลองเขียนสมการลอการิทึมของเราใหม่:

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

เราได้ลอการิทึมซึ่งมีอาร์กิวเมนต์เหมือนกัน แต่มีฐานต่างกัน จะดำเนินการอย่างไร? มีตัวเลือกมากมายที่นี่ แต่เราจะพิจารณาเพียงสองตัวเลือกเท่านั้น ซึ่งมีเหตุผลมากที่สุด และที่สำคัญที่สุด สิ่งเหล่านี้เป็นกลอุบายที่รวดเร็วและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่

เราได้พิจารณาตัวเลือกแรกแล้ว: ในสถานการณ์ที่ไม่สามารถเข้าใจได้ ให้แปลลอการิทึมด้วยฐานตัวแปรเป็นฐานคงที่บางส่วน ตัวอย่างเช่นเพื่อผีสาง สูตรการแปลงนั้นง่าย:

แน่นอน จำนวนปกติควรทำหน้าที่เป็นตัวแปร c: 1 ≠ c > 0 ให้ c = 2 ในกรณีของเรา ตอนนี้ เรามีสมการตรรกยะเศษส่วนธรรมดาแล้ว เรารวบรวมองค์ประกอบทั้งหมดทางด้านซ้าย:

แน่นอน ตัวประกอบล็อก 2 x ดีกว่าที่จะเอาออก เพราะมันมีอยู่ในทั้งเศษส่วนแรกและส่วนที่สอง

บันทึก 2 x = 0;

3 บันทึก 2 9x = 4 บันทึก 2 3x

เราแบ่งการเข้าสู่ระบบแต่ละครั้งออกเป็นสองเงื่อนไข:

บันทึก 2 9x = บันทึก 2 9 + บันทึก 2 x = 2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x;

บันทึก 2 3x = บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x

ลองเขียนทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้:

3 (2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x ) = 4 (บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x )

6 บันทึก 2 3 + 3 บันทึก 2 x = 4 บันทึก 2 3 + 4 บันทึก 2 x

2 บันทึก 2 3 = บันทึก 2 x

ตอนนี้ยังคงเพิ่มผีสางภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึม (มันจะกลายเป็นพลัง: 3 2 \u003d 9):

บันทึก 2 9 = บันทึก 2 x

ก่อนที่เราจะเป็นรูปแบบบัญญัติคลาสสิก เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมและได้:

ตามที่คาดไว้ รูทนี้กลายเป็นมากกว่าศูนย์ มันยังคงตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความ ลองดูที่ฐาน:

แต่รูท x = 9 เป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ จึงเป็นทางออกสุดท้าย

ข้อสรุปจากวิธีแก้ปัญหานี้ง่าย: อย่ากลัวการคำนวณที่ยาวนาน! เพียงแต่ว่าในตอนเริ่มต้น เราสุ่มเลือกฐานใหม่ และกระบวนการนี้ซับซ้อนอย่างมาก

แต่แล้วคำถามก็เกิดขึ้น: พื้นฐานคืออะไร เหมาะสมที่สุด? ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ด้วยวิธีที่สอง

กลับไปที่สมการเดิมของเรา:

3 บันทึก 3x x = 2 บันทึก 9x x 2

3 บันทึก 3x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

ทีนี้ลองคิดดู: ตัวเลขหรือฟังก์ชันใดจะเป็นฐานที่เหมาะสมที่สุด เห็นได้ชัดว่าตัวเลือกที่ดีที่สุดคือ c = x - สิ่งที่อยู่ในอาร์กิวเมนต์อยู่แล้ว ในกรณีนี้ สูตร log a b = log c b / log c a จะอยู่ในรูปแบบ:

กล่าวอีกนัยหนึ่งนิพจน์จะกลับกัน ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์และพื้นฐานจะกลับกัน

สูตรนี้มีประโยชน์มากและมักใช้ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้สูตรนี้มีข้อผิดพลาดร้ายแรงอย่างหนึ่ง หากแทนที่ตัวแปร x แทนฐาน แสดงว่ามีข้อ จำกัด ที่ไม่เคยสังเกตมาก่อน:

ไม่มีข้อจำกัดดังกล่าวในสมการเดิม ดังนั้น เราควรแยกตรวจสอบกรณีเมื่อ x = 1 แทนค่านี้ในสมการของเรา:

3 บันทึก 3 1 = 4 บันทึก 9 1

เราได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x = 1 จึงเป็นรูท เราพบรูทที่เหมือนกันทุกประการในวิธีก่อนหน้านี้ที่จุดเริ่มต้นของโซลูชัน

แต่ตอนนี้ เมื่อเราแยกพิจารณากรณีนี้โดยเฉพาะ เราถือว่า x ≠ 1 อย่างกล้าหาญ จากนั้นสมการลอการิทึมของเราจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3 บันทึก x 9x = 4 บันทึก x 3x

เราขยายลอการิทึมทั้งสองตามสูตรเดิม โปรดทราบว่าบันทึก x x = 1:

3 (บันทึก x 9 + บันทึก x x ) = 4 (บันทึก x 3 + บันทึก x x )

3 บันทึก x 9 + 3 = 4 บันทึก x 3 + 4

3 บันทึก x 3 2 − 4 บันทึก x 3 = 4 − 3

2 บันทึก x 3 = 1

ที่นี่เรามาในรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก x 9 = บันทึก x x 1

x=9

เราได้รูทที่สอง เป็นไปตามข้อกำหนด x ≠ 1 ดังนั้น x = 9 ร่วมกับ x = 1 จึงเป็นคำตอบสุดท้าย

อย่างที่คุณเห็น ปริมาณการคำนวณลดลงเล็กน้อย แต่เมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง จำนวนขั้นตอนจะน้อยลงด้วยเพราะคุณไม่จำเป็นต้องอธิบายแต่ละขั้นตอนอย่างละเอียด

กฎสำคัญของบทเรียนวันนี้มีดังนี้: หากมีปัญหาในระดับที่เท่ากันซึ่งรากของระดับเดียวกันถูกแยกออกมาจากนั้นที่ผลลัพธ์เราจะได้โมดูล อย่างไรก็ตาม โมดูลนี้สามารถลบออกได้หากคุณใส่ใจกับโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

แต่ระวัง: นักเรียนส่วนใหญ่หลังจากบทเรียนนี้คิดว่าพวกเขาเข้าใจทุกอย่าง แต่เมื่อแก้ปัญหาจริง จะไม่สามารถทำซ้ำห่วงโซ่ตรรกะทั้งหมดได้ เป็นผลให้สมการได้มาซึ่งรากพิเศษและคำตอบนั้นผิด

คำแนะนำ

เขียนนิพจน์ลอการิทึมที่กำหนด หากนิพจน์ใช้ลอการิทึมของ 10 สัญกรณ์จะถูกทำให้สั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b คือลอการิทึมทศนิยม หากลอการิทึมมีตัวเลข e เป็นฐาน นิพจน์จะถูกเขียน: ln b คือลอการิทึมธรรมชาติ เป็นที่เข้าใจว่าผลลัพธ์ของสิ่งใด ๆ คือกำลังที่ต้องยกเลขฐานเพื่อให้ได้ตัวเลข b

เมื่อพบฟังก์ชันสองฟังก์ชันจากผลรวม คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันนั้นทีละฟังก์ชัน แล้วเพิ่มผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่หนึ่งด้วยฟังก์ชันที่สอง และเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง คูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ในการหาอนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารจากผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร ทั้งหมดนี้โดยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากให้ฟังก์ชันเชิงซ้อน จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้ว y"(x)=y"(u)*v"(x)

จากข้อมูลที่ได้รับข้างต้น คุณสามารถสร้างความแตกต่างได้เกือบทุกฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีงานในการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนด คุณต้องหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)

2) คำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด y"(1)=8*e^0=8

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาได้มาก

ที่มา:

• อนุพันธ์คงที่

แล้วสมการอตรรกยะกับสมการตรรกยะต่างกันอย่างไร? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ แสดงว่าสมการนั้นไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธียกทั้งสองข้าง สมการเป็นสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องปกติ ขั้นตอนแรกคือการกำจัดเครื่องหมาย ในทางเทคนิค วิธีนี้ไม่ได้ยาก แต่บางครั้งก็อาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการ v(2x-5)=v(4x-7) โดยการยกกำลังทั้งสองข้าง คุณจะได้ 2x-5=4x-7 สมการดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก x=1. แต่จะไม่ให้หมายเลข 1 สมการ. ทำไม แทนที่หน่วยในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่าดังกล่าวใช้ไม่ได้กับสแควร์รูท ดังนั้น 1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ดังนั้น สมการอตรรกยะจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองส่วน และเมื่อแก้สมการแล้วจำเป็นต้องตัดรากภายนอกออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

พิจารณาอีกอย่างหนึ่ง
2x+vx-3=0
แน่นอน สมการนี้แก้ได้โดยใช้สมการเดียวกับสมการก่อนหน้า โอนสารประกอบ สมการซึ่งไม่มีรากที่สอง ให้ไปทางด้านขวา แล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการตรรกยะและรากผลลัพธ์ แต่อีกอันที่สง่างามกว่า ป้อนตัวแปรใหม่ vx=y ดังนั้นคุณจะได้สมการเช่น 2y2+y-3=0 นั่นคือสมการกำลังสองปกติ ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ต่อไปแก้สอง สมการ vx=1; vx \u003d -3/2 สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกพบว่า x=1 อย่าลืมเกี่ยวกับความจำเป็นในการตรวจสอบราก

การแก้ไขข้อมูลประจำตัวค่อนข้างง่าย สิ่งนี้ต้องการการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด งานจะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณแบบย่อเกี่ยวกับพีชคณิต (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) ผลต่างของกำลังสอง ผลรวม (ผลต่าง) ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีสูตรตรีโกณมิติหลายสูตรที่มีอัตลักษณ์เหมือนกัน

อันที่จริง กำลังสองของผลรวมของสองพจน์นั้นเท่ากับกำลังสองของตัวแรกบวกสองเท่าของผลคูณของตัวแรกและตัวที่สองบวกกำลังสองของค่าที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

ลดความซับซ้อนของทั้งสอง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

วิธีการทดแทนตัวแปร

คำตอบของอินทิกรัลของชนิดที่สอง

การทดแทนขีดจำกัดของการบูรณาการ

การเตรียมตัวสำหรับการทดสอบขั้นสุดท้ายทางคณิตศาสตร์รวมถึงส่วนสำคัญ - "ลอการิทึม" งานจากหัวข้อนี้จำเป็นต้องมีอยู่ในการสอบ จากประสบการณ์หลายปีที่ผ่านมาแสดงให้เห็นว่าสมการลอการิทึมทำให้เกิดปัญหากับเด็กนักเรียนจำนวนมาก ดังนั้นนักเรียนที่มีระดับการฝึกอบรมต่างกันควรเข้าใจวิธีค้นหาคำตอบที่ถูกต้องและรับมืออย่างรวดเร็ว

ผ่านการทดสอบการรับรองได้สำเร็จด้วยความช่วยเหลือของพอร์ทัลการศึกษา "Shkolkovo"!

เมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบแบบรวมศูนย์ ผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายต้องการแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ซึ่งให้ข้อมูลที่สมบูรณ์และถูกต้องที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาการทดสอบที่ประสบความสำเร็จ อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ใกล้มือเสมอไป และการค้นหากฎเกณฑ์และสูตรที่จำเป็นบนอินเทอร์เน็ตมักต้องใช้เวลา

พอร์ทัลการศึกษา "Shkolkovo" ช่วยให้คุณเตรียมตัวสอบได้ทุกที่ทุกเวลา ไซต์ของเรานำเสนอวิธีที่สะดวกที่สุดในการทำซ้ำและควบคุมข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับลอการิทึม รวมทั้งไม่ทราบค่าหนึ่งและหลายค่า เริ่มต้นด้วยสมการง่ายๆ หากคุณรับมือกับมันได้โดยไม่ยาก ให้ย้ายไปยังสิ่งที่ยากขึ้น หากคุณกำลังประสบปัญหาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน คุณสามารถเพิ่มลงในรายการโปรดเพื่อกลับมาใช้ใหม่ได้ในภายหลัง

คุณสามารถค้นหาสูตรที่จำเป็นในการทำงานให้เสร็จสิ้น ทำซ้ำกรณีพิเศษและวิธีการคำนวณรากของสมการลอการิทึมมาตรฐานโดยดูที่ส่วน "การอ้างอิงเชิงทฤษฎี" ครูของ "Shkolkovo" รวบรวม จัดระบบ และนำเสนอสื่อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการจัดส่งที่ประสบความสำเร็จในรูปแบบที่เข้าใจง่ายที่สุด

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานที่มีความซับซ้อนได้อย่างง่ายดาย บนพอร์ทัลของเรา คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคำตอบของสมการลอการิทึมทั่วไปบางตัวได้ ในการดำเนินการนี้ ให้ไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" เราได้นำเสนอตัวอย่างจำนวนมาก รวมถึงตัวอย่างที่มีสมการระดับโปรไฟล์ของการสอบแบบรวมศูนย์ในวิชาคณิตศาสตร์

นักเรียนจากโรงเรียนทั่วรัสเซียสามารถใช้พอร์ทัลของเราได้ ในการเริ่มต้น เพียงลงทะเบียนในระบบแล้วเริ่มแก้สมการ ในการรวมผลลัพธ์ เราขอแนะนำให้คุณกลับไปที่เว็บไซต์ Shkolkovo ทุกวัน

แก้สมการลอการิทึม ส่วนที่ 1.

สมการลอการิทึมเรียกว่าสมการที่ไม่ทราบอยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม (โดยเฉพาะในฐานของลอการิทึม)

โปรโตซัว สมการลอการิทึมดูเหมือนกับ:

การแก้สมการลอการิทึมใดๆเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากลอการิทึมเป็นนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม อย่างไรก็ตาม การกระทำนี้จะขยายช่วงของค่าที่ถูกต้องของสมการและอาจนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอก เพื่อหลีกเลี่ยงการปรากฏตัวของรากภายนอกคุณสามารถทำได้หนึ่งในสามวิธี:

1. ทำการเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกันจากสมการเดิมสู่ระบบ ได้แก่

ขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกันหรือง่ายกว่า

หากสมการมีค่าไม่ทราบที่ฐานของลอการิทึม:

จากนั้นเราไปที่ระบบ:

2. แยกกันหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการจากนั้นแก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบที่หาได้ตรงตามสมการหรือไม่

3. แก้สมการแล้ว ทำการตรวจสอบ:แทนที่คำตอบที่พบในสมการเดิม และตรวจสอบว่าเราได้ค่าเท่ากันถูกต้องหรือไม่

สมการลอการิทึมของระดับความซับซ้อนใดๆ ก็ตามจะลดลงเหลือสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดเสมอ

สมการลอการิทึมทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภท:

1 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังแรกเท่านั้น ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงและการใช้งาน พวกมันจะถูกลดขนาดลงสู่รูปแบบ

ตัวอย่าง. มาแก้สมการกัน:

เปรียบนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม:

มาตรวจดูว่ารูทของสมการของเราตรงหรือไม่:

ใช่มันพอใจ

คำตอบ: x=5

2 . สมการที่มีลอการิทึมยกกำลังอื่นที่ไม่ใช่ 1 (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในตัวส่วนของเศษส่วน) สมการเหล่านี้แก้ได้โดยใช้ การแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร.

ตัวอย่าง.มาแก้สมการกัน:

มาหาสมการ ODZ กัน:

สมการมีลอการิทึมกำลังสอง ดังนั้นจึงแก้ได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

สิ่งสำคัญ! ก่อนที่จะแนะนำการแทนที่ คุณต้อง "ดึง" ลอการิทึมที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการเป็น "ก้อนอิฐ" โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

เมื่อลอการิทึม "ดึง" สิ่งสำคัญคือต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึมอย่างระมัดระวัง:

นอกจากนี้ยังมีที่ที่ละเอียดกว่านี้อีกหนึ่งแห่ง และเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดทั่วไป เราจะใช้ความเท่าเทียมกันระดับกลาง: เราเขียนระดับของลอการิทึมในรูปแบบนี้:

เช่นเดียวกัน,

เราแทนที่นิพจน์ที่ได้รับลงในสมการดั้งเดิม เราได้รับ:

ตอนนี้เราเห็นว่าสิ่งที่ไม่รู้จักมีอยู่ในสมการซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ. เราแนะนำการแทนที่: . เนื่องจากสามารถรับค่าจริงใดๆ ก็ได้ เราจึงไม่กำหนดข้อจำกัดใดๆ ให้กับตัวแปร