บทเรียนวิดีโอ 2: ความท้าทายของพีระมิด ปริมาณพีระมิด

บทเรียนวิดีโอ 3: ความท้าทายของพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง

การบรรยาย: พีระมิด, ฐาน, ขอบด้านข้าง, ความสูง, พื้นผิวด้านข้าง; ปิรามิดสามเหลี่ยม ปิรามิดที่ถูกต้อง

พีระมิด- นี่คือร่างกายสามมิติที่มีรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน และใบหน้าทั้งหมดของมันประกอบด้วยสามเหลี่ยม

กรณีพิเศษของปิรามิดคือรูปกรวยที่ฐานซึ่งมีวงกลมอยู่

พิจารณาองค์ประกอบหลักของปิรามิด:

อโพเทมเป็นส่วนที่เชื่อมระหว่างส่วนบนของพีระมิดกับกึ่งกลางของขอบล่างของใบหน้าด้านข้าง กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือความสูงของใบหน้าปิรามิด

ในรูปคุณจะเห็นสามเหลี่ยม ADS, ABS, BCS, CDS หากคุณดูชื่ออย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่าสามเหลี่ยมแต่ละรูปมีตัวอักษรร่วมหนึ่งตัวในชื่อของมัน - S นั่นคือหมายความว่าทุกด้าน (รูปสามเหลี่ยม) มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าส่วนบนของปิรามิด

ส่วน OS ซึ่งเชื่อมต่อจุดยอดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ในกรณีของสามเหลี่ยมที่จุดตัดของความสูง) เรียกว่า ความสูงของปิรามิด.

ส่วนทแยงมุมคือระนาบที่ผ่านส่วนบนของพีระมิด เช่นเดียวกับแนวทแยงมุมหนึ่งของฐาน

เนื่องจากพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม ในการหาพื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวด้านข้าง จำเป็นต้องหาพื้นที่ของใบหน้าแต่ละข้างและเพิ่มเข้าไป จำนวนและรูปร่างของใบหน้าขึ้นอยู่กับรูปร่างและขนาดของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ตรงฐาน

ระนาบเดียวในปิรามิดที่ไม่มีจุดยอดเรียกว่า พื้นฐานปิรามิด

ในรูป เราจะเห็นว่าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อย่างไรก็ตาม สามารถมีรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ได้

คุณสมบัติ:

พิจารณากรณีแรกของปิรามิดซึ่งมีขอบที่มีความยาวเท่ากัน:

• วงกลมสามารถอธิบายได้รอบฐานของปิรามิดดังกล่าว หากคุณฉายภาพบนยอดปิรามิด การฉายภาพจะอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลม
• มุมที่ฐานของปิรามิดจะเท่ากันในแต่ละหน้า
• ในเวลาเดียวกัน สภาพที่เพียงพอสำหรับข้อเท็จจริงที่ว่าวงกลมสามารถอธิบายได้รอบฐานของปิรามิดและขอบทั้งหมดนั้นมีความยาวต่างกันก็ถือได้ว่าเป็นมุมเดียวกันระหว่างฐานกับขอบแต่ละด้านของใบหน้า .

หากคุณเจอปิรามิดที่มีมุมระหว่างด้านกับฐานเท่ากัน คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง:

• คุณจะสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้ ซึ่งด้านบนจะฉายตรงไปที่จุดศูนย์กลาง
• หากคุณวาดหน้าแต่ละด้านของความสูงถึงฐาน พวกเขาจะมีความยาวเท่ากัน
• ในการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดดังกล่าว ก็เพียงพอที่จะหาเส้นรอบวงของฐานแล้วคูณด้วยความยาวครึ่งหนึ่งของความสูง
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• ประเภทของปิรามิด
• ขึ้นอยู่กับรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐานของปิรามิด พวกมันสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ หากรูปหลายเหลี่ยมปกติ (ที่มีด้านเท่ากัน) อยู่ที่ฐานของปิรามิด ปิรามิดดังกล่าวจะถูกเรียกว่าปกติ

พีระมิดสามเหลี่ยมธรรมดา

วิดีโอกวดวิชานี้จะช่วยให้ผู้ใช้ได้รับแนวคิดเกี่ยวกับธีมพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิด ให้คำจำกัดความ พิจารณาว่าปิรามิดปกติคืออะไรและมีคุณสมบัติอย่างไร จากนั้นเราก็พิสูจน์ทฤษฎีบทบนพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดธรรมดา

ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิด ให้คำจำกัดความ

พิจารณารูปหลายเหลี่ยม A 1 A 2...หนึ่งซึ่งอยู่ในระนาบ α และจุด พีซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α (รูปที่ 1) มาเชื่อมจุดกัน พีมียอด A 1, A 2, A 3, … หนึ่ง. รับ นสามเหลี่ยม: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rเป็นต้น

คำนิยาม. รูปทรงหลายเหลี่ยม ร. 1 เอ 2 ... นซึ่งประกอบด้วย น-gon A 1 A 2...หนึ่งและ นสามเหลี่ยม ร.ร. 1 เอ 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 เรียกว่า น- ปิรามิดถ่านหิน ข้าว. หนึ่ง.

ข้าว. หนึ่ง

พิจารณาพีระมิดสี่เหลี่ยม PABCD(รูปที่ 2).

R- ด้านบนของปิรามิด

เอบีซีดี- ฐานของปิรามิด

RA- ซี่โครงด้านข้าง

AB- ขอบฐาน.

จากจุดหนึ่ง Rวางตั้งฉาก RNบนระนาบพื้นดิน เอบีซีดี. เส้นตั้งฉากคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 2

พื้นผิวทั้งหมดของปิรามิดประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้าง นั่นคือ พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด และพื้นที่ฐาน:

S เต็ม \u003d S ด้าน + S หลัก

ปิรามิดเรียกว่าถูกต้องหาก:

• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ส่วนที่เชื่อมต่อส่วนบนของปิรามิดกับศูนย์กลางของฐานคือความสูง

คำอธิบายตัวอย่างปิรามิดสี่เหลี่ยมปกติ

พิจารณาพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ PABCD(รูปที่ 3).

R- ด้านบนของปิรามิด ฐานปิรามิด เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมปกติ นั่นคือ สี่เหลี่ยมจตุรัส Dot อู๋จุดตัดของเส้นทแยงมุม เป็นจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธี, ROคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 3

คำอธิบาย: ทางขวา น-gon ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้และศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบอยู่พอดีกัน จุดศูนย์กลางนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม บางครั้งพวกเขาบอกว่าด้านบนถูกฉายเข้าตรงกลาง

ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากด้านบนเรียกว่า เภสัชและเขียนว่า ห่า.

1. ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน

2. ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดสี่เหลี่ยมธรรมดา

ที่ให้ไว้: RABCD- ปิรามิดสี่เหลี่ยมปกติ

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ROคือความสูงของปิรามิด

พิสูจน์:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP ดูรูปที่ 4.

ข้าว. 4

การพิสูจน์.

ROคือความสูงของปิรามิด นั่นคือตรง ROตั้งฉากกับระนาบ ABCและด้วยเหตุนี้โดยตรง AO, VO, SOและ ทำนอนอยู่ในนั้น ดังนั้น สามเหลี่ยม ROA, ROV, ROS, ROD- สี่เหลี่ยม

พิจารณาสี่เหลี่ยม เอบีซีดี. สืบเนื่องมาจากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสว่า AO = BO = CO = ทำ.

แล้วสามเหลี่ยมมุมฉาก ROA, ROV, ROS, RODขา RO- ทั่วไปและขา AO, VO, SOและ ทำเท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากันในสองขา จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมตามความเท่าเทียมกันของส่วน RA = PB = PC = PDจุดที่ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

กลุ่ม ABและ ดวงอาทิตย์เท่ากันเพราะเป็นด้านของจตุรัสเดียวกัน RA = RV = PC. ดังนั้น สามเหลี่ยม AVRและ วีซีอาร์ -หน้าจั่วและเท่ากันทั้งสามด้าน

ในทำนองเดียวกัน เราได้สามเหลี่ยม ABP, BCP, CDP, DAPเป็นหน้าจั่วและเท่ากันซึ่งต้องพิสูจน์ในข้อ 2

พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉาก:

เพื่อเป็นหลักฐาน เราเลือกพีระมิดสามเหลี่ยมธรรมดา

ที่ให้ไว้: RAVSเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = เอซี

RO- ความสูง.

พิสูจน์: . ดูรูปที่ 5.

ข้าว. 5

การพิสูจน์.

RAVSเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ เช่น AB= AC = BC. ปล่อยให้เป็น อู๋- จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม ABC, แล้ว ROคือความสูงของปิรามิด ฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC. สังเกตว่า .

สามเหลี่ยม RAV, RVS, RSA- สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน (ตามคุณสมบัติ) พีระมิดสามเหลี่ยมมีใบหน้าสามด้าน: RAV, RVS, RSA. ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดคือ:

ด้าน S = 3S RAB

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

รัศมีของวงกลมที่ฐานของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ม. ความสูงของพีระมิดคือ 4 ม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิด

ที่ให้ไว้: พีระมิดสี่เหลี่ยมธรรมดา เอบีซีดี,

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

r= 3 ม.

RO- ความสูงของปิรามิด

RO= 4 ม.

การค้นหา: ด้านเอส ดูรูปที่ 6.

ข้าว. 6

การตัดสินใจ.

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว, .

หาด้านฐานก่อน AB. เรารู้ว่ารัศมีของวงกลมที่จารึกอยู่ในฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 เมตร

จากนั้นม.

หาปริมณฑลของสี่เหลี่ยม เอบีซีดีด้านข้าง 6 ม.:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม BCD. ปล่อยให้เป็น เอ็ม- ด้านกลาง กระแสตรง. เนื่องจาก อู๋- กลาง BD, แล้ว (ม.).

สามเหลี่ยม DPC- หน้าจั่ว เอ็ม- กลาง กระแสตรง. เช่น, RM- ค่ามัธยฐานและด้วยเหตุนี้ความสูงในรูปสามเหลี่ยม DPC. แล้ว RM- จุดตั้งฉากของพีระมิด

ROคือความสูงของปิรามิด แล้วตรง ROตั้งฉากกับระนาบ ABCและด้วยเหตุนี้โดยตรง โอมนอนอยู่ในนั้น หาจุดตั้งฉากกัน RMจากสามเหลี่ยมมุมฉาก รอม.

ตอนนี้เราสามารถหาพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดได้:

ตอบ: 60 ตร.ม.

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยฐานของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติคือ ม. พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 18 ม. 2 หาความยาวของเส้นตั้งฉาก.

ที่ให้ไว้: ABCP- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = SA,

R= ม.

ด้าน S = 18 ม. 2

การค้นหา: . ดูรูปที่ 7.

ข้าว. 7

การตัดสินใจ.

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABCโดยกำหนดรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ มาหาข้างกัน ABสามเหลี่ยมนี้โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์

เมื่อรู้ด้านของสามเหลี่ยมปกติ (m) เราจะหาปริมณฑล

ตามทฤษฎีบทบนพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติโดยที่ ห่า- จุดตั้งฉากของพีระมิด แล้ว:

ตอบ: 4 ม.

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบว่าปิรามิดคืออะไร ปิรามิดปกติคืออะไร เราพิสูจน์ทฤษฎีบทบนพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ ในบทต่อไป เราจะทำความคุ้นเคยกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

บรรณานุกรม

1. เรขาคณิต. เกรด 10-11: ตำราเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา (ระดับพื้นฐานและโปรไฟล์) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ครั้งที่ 5 รายได้ และเพิ่มเติม - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. เรขาคณิต. เกรด 10-11: ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. เรขาคณิต. เกรด 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาเชิงลึกและรายละเอียดของคณิตศาสตร์ / E. V. Potoskuev, L. I. ซวาลิช - ฉบับที่ 6 แบบแผน - ม.: ไอ้เหี้ย, 008. - 233 น.: ป่วย.

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Yaklass" ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "เทศกาลแนวคิดการสอน" ต้นเดือนกันยายน " ()
3. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Slideshare.net" ()

การบ้าน

1. รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นฐานของปิรามิดที่ไม่สม่ำเสมอได้หรือไม่?
2. พิสูจน์ว่าขอบที่ไม่ตัดกันของปิรามิดปกติตั้งฉาก
3. จงหาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ด้านข้างของฐานของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ ถ้าเส้นตั้งฉากของพีระมิดเท่ากับด้านข้างของฐาน
4. RAVSเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด

คำนิยาม. ใบหน้าด้านข้าง- นี่คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งอยู่ที่ด้านบนของปิรามิด และด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมนั้นตรงกับด้านข้างของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม)

คำนิยาม. ซี่โครงข้างเป็นด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง ปิรามิดมีขอบมากเท่ากับที่มีมุมในรูปหลายเหลี่ยม

คำนิยาม. ความสูงของปิรามิดเป็นแนวดิ่งจากบนลงสู่ฐานของปิรามิด

คำนิยาม. อโพเทม- นี่คือแนวตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างของปิรามิด โดยลดระดับจากด้านบนของปิรามิดไปที่ด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. ส่วนทแยงมุม- นี่คือส่วนหนึ่งของปิรามิดโดยเครื่องบินผ่านยอดปิรามิดและแนวทแยงของฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกต้อง- นี่คือปิรามิดที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และความสูงลงไปที่ศูนย์กลางของฐาน

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด

สูตร. ปริมาตรปิรามิดผ่านพื้นที่ฐานและความสูง:

คุณสมบัติของปิรามิด

หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน วงกลมสามารถล้อมรอบฐานของพีระมิดได้ และศูนย์กลางของฐานจะตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม นอกจากนี้ ฉากตั้งฉากที่ตกลงมาจากด้านบนจะทะลุผ่านศูนย์กลางของฐาน (วงกลม)

หากซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ก็จะเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

ซี่โครงด้านข้างจะเท่ากันเมื่อมีมุมเท่ากันกับระนาบฐาน หรือถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้

หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบของฐานเป็นมุมเดียว วงกลมสามารถถูกจารึกไว้ในฐานของปิรามิด และฉายส่วนบนของปิรามิดที่จุดศูนย์กลาง

หากผิวหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมหนึ่ง มุมตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากัน

คุณสมบัติของปิรามิดปกติ

1. ส่วนบนของพีระมิดอยู่ห่างจากฐานทุกมุมเท่ากัน

2. ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

3. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงทำมุมเดียวกันกับฐาน

4. มุมตั้งฉากของใบหน้าทุกด้านเท่ากัน

5. พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

6. ใบหน้าทั้งหมดมีมุมไดฮีดรัล (แบน) เท่ากัน

7. ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบพีระมิด จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายจะเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ผ่านตรงกลางขอบ

8. ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในปิรามิดได้ ศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งที่เล็ดลอดออกมาจากมุมระหว่างขอบกับฐาน

9. ถ้าจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ตรงกับศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบ ผลรวมของมุมแบนที่ปลายยอดจะเท่ากับ π หรือในทางกลับกัน มุมหนึ่งเท่ากับ π / n โดยที่ n คือตัวเลข ของมุมที่ฐานปิรามิด

การเชื่อมต่อของปิรามิดกับทรงกลม

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดเมื่ออยู่ที่ฐานของปิรามิดมีรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่รอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดของระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านข้างของพีระมิดในแนวตั้งฉาก

ทรงกลมสามารถอธิบายรอบพีระมิดสามเหลี่ยมหรือปกติได้เสมอ

ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของพีระมิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

การเชื่อมต่อของปิรามิดกับกรวย

รูปทรงกรวยเรียกว่าปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด

รูปกรวยสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากมุมตั้งฉากของพีระมิดเท่ากัน

กรวยเรียกว่า circumscribed รอบพีระมิด ถ้าจุดยอดตรงกัน และฐานของกรวยล้อมรอบ ฐานของปิรามิด

รูปทรงกรวยสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด หากขอบด้านทั้งหมดของปิรามิดเท่ากัน

การเชื่อมต่อของปิรามิดกับทรงกระบอก

กล่าวกันว่าปิรามิดจะถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก หากยอดของปิรามิดอยู่บนฐานหนึ่งของทรงกระบอก และฐานของปิรามิดนั้นถูกจารึกไว้ในฐานอื่นของทรงกระบอก

ทรงกระบอกสามารถล้อมรอบพีระมิดถ้าวงกลมสามารถล้อมรอบฐานของปิรามิด

จัตุรมุขมีสี่หน้าและสี่จุดยอดและหกขอบ โดยที่ขอบทั้งสองข้างไม่มีจุดยอดทั่วไปแต่อย่าสัมผัสกัน

จุดยอดแต่ละอันประกอบด้วยสามด้านและขอบที่ประกอบเป็น มุมสามเหลี่ยม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข(จีเอ็ม).

ไบมีเดียนเรียกว่า ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามที่ไม่สัมผัส (KL)

bimedian และค่ามัธยฐานของจัตุรมุขทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง (S) ในกรณีนี้ ค่าบีมีเดียนจะถูกแบ่งออกครึ่งหนึ่ง และค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 3: 1 โดยเริ่มจากด้านบน

คำนิยาม. พีระมิดมุมแหลมเป็นปิรามิดที่เส้นตั้งฉากยาวเกินครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดป้านเป็นปิรามิดที่เส้นตั้งฉากมีความยาวน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

คำนิยาม. จัตุรมุขปกติจัตุรมุขที่มีสี่หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มันเป็นหนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ ในจัตุรมุขปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมด (ระหว่างใบหน้า) และมุมสามส่วน (ที่จุดยอด) จะเท่ากัน

คำนิยาม. จัตุรมุขสี่เหลี่ยมจัตุรมุขเรียกว่าซึ่งมีมุมฉากระหว่างสามขอบที่จุดยอด (ขอบตั้งฉาก) แบบสามหน้า มุมสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมและใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ มุมตั้งฉากของใบหน้าใดๆ เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านฐานที่ด้านตั้งฉากตกลงมา

คำนิยาม. จัตุรมุขไอโซเฮดรอนจัตุรมุขเรียกว่าซึ่งใบหน้าด้านข้างเท่ากันและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ใบหน้าของจัตุรมุขดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คำนิยาม. Orthocentric จัตุรมุขจัตุรมุขเรียกว่าซึ่งความสูงทั้งหมด (ตั้งฉาก) ที่ลดลงจากด้านบนไปยังใบหน้าตรงข้ามที่จุดหนึ่ง

คำนิยาม. ปิรามิดดาวรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นดาวเรียกว่า

พีระมิด. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15). ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและยอดปิรามิดถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน (รูปที่ 16) พีระมิดสามเหลี่ยมที่ขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงข้างปิรามิด เรียกว่า ด้านของหน้าด้านที่ไม่อยู่ในฐาน ส่วนสูง พีระมิด คือ ระยะทางจากยอดถึงระนาบฐาน ขอบด้านข้างของพีระมิดทุกด้านเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอดเรียกว่า เภสัช . ส่วนทแยงมุม ส่วนของปิรามิดเรียกว่าระนาบที่ลอดผ่านขอบด้านข้างทั้งสองข้างที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทุกด้าน พื้นที่ผิวเต็ม คือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. ถ้าในปิรามิดขอบด้านข้างทั้งหมดเอียงไปทางระนาบของฐานเท่ากัน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบบริเวณฐาน

2. หากขอบด้านข้างทั้งหมดมีความยาวเท่ากันในปิรามิด ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานใกล้กับฐาน

3. หากในปิรามิด ใบหน้าทั้งหมดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดโดยพลการ สูตรนั้นถูกต้อง:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

ชมคือความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

ห่า- ระยะตั้งฉาก

ชม- ความสูง;

อิ่ม

ด้านเอส

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

วีคือปริมาตรของปิรามิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่า ส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) แก้ไขปิรามิดที่ถูกตัดทอน เรียกว่า ส่วนของปิรามิดปกติ อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด

ฐานรากปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนสูง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนทแยงมุม ส่วนหนึ่งของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าระนาบที่ผ่านขอบทั้งสองข้างที่ไม่อยู่ในใบหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 - พื้นที่ของฐานบนและล่าง;

อิ่มคือพื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอสคือพื้นที่ผิวข้าง

ชม- ความสูง;

วีคือปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 - ปริมณฑลฐาน;

ห่า- apothem ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ60º หาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

การตัดสินใจ.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

พีระมิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และด้านด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือมุมเอียงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นจะเป็นมุม เอระหว่างสองฉากตั้งฉาก: i.e. ด้านบนของปิรามิดถูกฉายที่กึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม (ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ABC). มุมเอียงของซี่โครงด้านข้าง (เช่น SB) คือมุมระหว่างขอบของตัวมันเองกับการฉายภาพบนระนาบฐาน สำหรับซี่โครง SBมุมนี้จะเป็นมุม SBD. ในการหาสัมผัสต้องรู้ขา ดังนั้นและ OB. ให้ความยาวของส่วน BDคือ 3 เอ. จุด อู๋ส่วนของเส้น BDแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และ จากเราพบว่า ดังนั้น: จากเราพบว่า:

ตอบ:

ตัวอย่าง 2จงหาปริมาตรของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดทอนแบบปกติ ถ้าฐานของมันคือ ซม. และ ซม. และสูง 4 ซม.

การตัดสินใจ.ในการหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณต้องหาด้านข้างของสี่เหลี่ยมฐาน โดยรู้แนวทแยงของพวกมัน ด้านข้างของฐานคือ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน:

ตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3หาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีฐานด้านข้าง 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของพีระมิดเท่ากับ 2 ซม.

การตัดสินใจ.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดนี้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานถูกกำหนดโดยเงื่อนไข เฉพาะส่วนสูงเท่านั้นที่ยังไม่ทราบ หาได้จากไหน แต่ 1 อีตั้งฉากจากจุด แต่ 1 บนระนาบของฐานล่าง อา 1 ดี- ตั้งฉากจาก แต่ 1 วัน AC. แต่ 1 อี\u003d 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด สำหรับการค้นหา DEเราจะวาดภาพเพิ่มเติมซึ่งเราจะแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) Dot อู๋- การฉายภาพศูนย์กลางของฐานบนและล่าง ตั้งแต่ (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลงคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และ โอมคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้:

MK=DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งฐานของนั้น เอและ ข (เอ> ข). ด้านแต่ละด้านมีมุมเท่ากับระนาบของฐานปิรามิด เจ. หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด.

การตัดสินใจ.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้คำกล่าวที่ว่าถ้าทุกหน้าของพีระมิดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน จุดยอดจะถูกฉายเข้าไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน Dot อู๋- การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม SODคือเส้นโครงฉากของสามเหลี่ยม CSDสู่ระนาบฐาน ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปทรงแบนเราได้รับ:

ในทำนองเดียวกันก็หมายความว่า ดังนั้นปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี. วาดสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) Dot อู๋เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากสามารถจารึกวงกลมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว หรือ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี

• เส้นตั้งฉาก- ความสูงของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติซึ่งดึงจากด้านบน (นอกจากนี้ apothem คือความยาวของแนวตั้งฉากซึ่งลดลงจากกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติเหลือ 1 ด้าน)
• ใบหน้าด้านข้าง (ASB, BSC, CSD, DSA) - สามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่ด้านบน
• ซี่โครงข้าง ( เช่น , BS , CS , ดี.เอส. ) - ด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง
• ด้านบนของปิรามิด (v. ส) - จุดที่เชื่อมขอบด้านข้างและไม่อยู่ในระนาบของฐาน
• ความสูง ( ดังนั้น ) - ส่วนของเส้นตั้งฉากซึ่งลากผ่านด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน (ปลายของส่วนดังกล่าวจะเป็นส่วนบนของปิรามิดและฐานของแนวตั้งฉาก)
• ส่วนทแยงมุมของปิรามิด- ส่วนของปิรามิดซึ่งผ่านด้านบนและแนวทแยงของฐาน
• ฐาน (เอบีซีดี) เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ส่วนบนของปิรามิดไม่ได้อยู่

คุณสมบัติของปิรามิด

1. เมื่อขอบด้านข้างทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน ให้ทำดังนี้

• ง่ายต่อการอธิบายวงกลมใกล้กับฐานของปิรามิด ในขณะที่ยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ซี่โครงด้านข้างทำมุมเท่ากันกับระนาบฐาน
• นอกจากนี้ การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ เมื่อขอบด้านข้างสร้างมุมเท่ากันกับระนาบฐาน หรือเมื่อวงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้ฐานของปิรามิดและยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมนี้ แล้วขอบด้านข้างของปิรามิดทั้งหมดจะมี ขนาดเดียวกัน

2. เมื่อผิวหน้าด้านข้างมีมุมเอียงกับระนาบของฐานที่มีค่าเท่ากัน ให้ทำดังนี้

• ใกล้ฐานของปิรามิด มันง่ายที่จะอธิบายวงกลมในขณะที่ยอดของปิรามิดจะถูกฉายเข้าไปในศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ความสูงของใบหน้าด้านข้างมีความยาวเท่ากัน
• พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับ ½ ผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง

3. ทรงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้กับปิรามิด ถ้าฐานของปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดของระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบพีระมิดที่ตั้งฉากกับพวกมัน จากทฤษฎีบทนี้ เราสรุปได้ว่าทรงกลมสามารถอธิบายได้ทั้งรอบรูปสามเหลี่ยมและรอบพีระมิดทั่วไป

4. ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของพีระมิดตัดกันที่จุดที่ 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะกลายเป็นศูนย์กลางของทรงกลม

ปิรามิดที่ง่ายที่สุด

ตามจำนวนมุมของฐานปิรามิด พวกเขาจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ

ปิรามิดจะ สามเหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยมเป็นต้น เมื่อฐานของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม เป็นต้น ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือจัตุรมุข - จัตุรมุข สี่เหลี่ยม - ห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ