เป็นพื้นที่สุ่ม? ชุดของเหตุการณ์สุ่มสามารถคาดเดาได้ แม้ว่าแต่ละเหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นก็ตาม

ข้อดีของเครื่องสร้างลูกเต๋าออนไลน์เหนือลูกเต๋าปกตินั้นชัดเจน - มันจะไม่หลงทาง! คิวบ์เสมือนจะรับมือกับฟังก์ชั่นของมันได้ดีกว่าของจริงมาก - การเล่นกลของผลลัพธ์นั้นถูกแยกออกจากกันโดยสิ้นเชิง และคุณสามารถหวังได้เฉพาะกับพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวเท่านั้น ลูกเต๋าออนไลน์เป็นความบันเทิงที่ยอดเยี่ยมในเวลาว่างของคุณ การสร้างผลลัพธ์ใช้เวลาสามวินาที กระตุ้นความตื่นเต้นและความสนใจของผู้เล่น ในการจำลองการทอยลูกเต๋า คุณเพียงแค่กดปุ่ม "1" บนแป้นพิมพ์ ซึ่งจะช่วยให้คุณไม่วอกแวก เช่น จากเกมกระดานที่น่าตื่นเต้น

จำนวนลูกบาศก์:

โปรดช่วยบริการด้วยคลิกเดียว:บอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า!

เมื่อเราได้ยินวลีเช่น "ลูกเต๋า" สมาคมคาสิโนก็มาถึงทันที ซึ่งพวกเขาทำไม่ได้หากไม่มีพวกเขา เรามาเริ่มกันก่อนว่าหัวข้อนี้คืออะไร

ลูกเต๋าเป็นลูกเต๋าในแต่ละด้านซึ่งมีจุดแทนตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 เมื่อเราโยนพวกเขาเรามักจะหวังว่าตัวเลขที่เราเลือกและต้องการจะหลุดออกมา แต่มีบางครั้งที่ลูกบาศก์ตกลงบนขอบไม่แสดงตัวเลข ซึ่งหมายความว่าคนที่ขว้างปาแบบนั้นจะเลือกอันไหนก็ได้

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่ลูกบาศก์สามารถม้วนอยู่ใต้เตียงหรือตู้เสื้อผ้า และเมื่อนำออกจากที่นั่น ตัวเลขจะเปลี่ยนไปตามนั้น ในกรณีนี้จะโยนกระดูกทิ้งอีกครั้งเพื่อให้ทุกคนเห็นตัวเลขได้ชัดเจน

ทอยลูกเต๋าออนไลน์ใน 1 คลิก

ในเกมที่เกี่ยวข้องกับลูกเต๋าธรรมดา มันง่ายมากที่จะโกง เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ถูกต้อง คุณต้องวางลูกบาศก์ด้านนี้ไว้ด้านบนแล้วบิดให้เหมือนเดิม (เฉพาะส่วนด้านข้างเท่านั้นที่หมุน) นี่ไม่ใช่การรับประกันทั้งหมด แต่เปอร์เซ็นต์ที่ชนะจะอยู่ที่ 75 เปอร์เซ็นต์

หากคุณใช้ลูกเต๋าสองลูก โอกาสจะลดลงเหลือสามสิบ แต่นี่เป็นเปอร์เซ็นต์ที่มาก เนื่องจากการโกงผู้เล่นหลายคนจึงไม่ชอบใช้ลูกเต๋า

เช่นเดียวกัน บริการที่ยอดเยี่ยมของเราทำงานอย่างแม่นยำเพื่อหลีกเลี่ยงสถานการณ์ดังกล่าว เป็นไปไม่ได้ที่จะโกงกับเราเนื่องจากการทอยลูกเต๋าออนไลน์ไม่สามารถปลอมแปลงได้ ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จะปรากฏบนหน้าในลักษณะสุ่มโดยสมบูรณ์และไม่มีการควบคุม

เครื่องกำเนิดลูกบาศก์ที่สะดวก

ข้อได้เปรียบที่ยิ่งใหญ่มากคือเครื่องกำเนิดลูกเต๋าออนไลน์ไม่สามารถสูญหายได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากสามารถคั่นหน้าได้) และลูกเต๋าขนาดเล็กธรรมดาสามารถหายไปที่ไหนสักแห่งได้อย่างง่ายดาย ข้อดีอย่างมากก็คือความจริงที่ว่าการจัดการผลลัพธ์นั้นไม่ได้รับการยกเว้นอย่างสมบูรณ์ เครื่องกำเนิดมีคุณสมบัติที่ช่วยให้คุณสามารถเลือกลูกเต๋าได้ตั้งแต่หนึ่งถึงสามลูกในเวลาเดียวกัน

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าออนไลน์เป็นความบันเทิงที่น่าสนใจมาก ซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีในการพัฒนาสัญชาตญาณ ใช้บริการของเราและรับผลลัพธ์ที่รวดเร็วและเชื่อถือได้

รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดอยู่ในรูปของลูกบาศก์ซึ่งแต่ละด้านมีการแสดงตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหก ผู้เล่นโยนมันลงบนพื้นราบเห็นผลที่ใบหน้าด้านบน กระดูกเป็นกระบอกเสียงของโอกาส โชคดีหรือโชคร้าย

อุบัติเหตุ.
ก้อน (กระดูก) มีมาเป็นเวลานาน แต่รูปทรงหกด้านที่กลายเป็นแบบดั้งเดิมนั้นได้มาประมาณ 2,600 ปีก่อนคริสตกาล อี ชาวกรีกโบราณชอบเล่นลูกเต๋า และในตำนานของพวกเขา วีรบุรุษ Palamedes ซึ่งถูกกล่าวหาว่าทรยศโดย Odysseus อย่างไม่ยุติธรรมถูกกล่าวถึงว่าเป็นผู้ประดิษฐ์ของพวกเขา ตามตำนานเล่าขาน เขาคิดค้นเกมนี้เพื่อสร้างความบันเทิงให้กับทหารที่กำลังล้อมเมืองทรอย ถูกจับได้ด้วยม้าไม้ขนาดใหญ่ ชาวโรมันในสมัยของ Julius Caesar ยังสนุกสนานกับเกมลูกเต๋าที่หลากหลาย ในภาษาละติน ลูกบาศก์เรียกว่า datum ซึ่งแปลว่า "ให้"

ข้อห้าม
ในยุคกลาง ประมาณศตวรรษที่ 12 ลูกเต๋าได้รับความนิยมอย่างมากในยุโรป: ลูกเต๋า ซึ่งคุณสามารถพกติดตัวไปได้ทุกที่ เป็นที่นิยมของทั้งนักรบและชาวนา ว่ากันว่ามีมากกว่าหกร้อยเกมที่แตกต่างกัน! การผลิตลูกเต๋ากลายเป็นอาชีพที่แยกจากกัน พระเจ้าหลุยส์ที่ 9 (ค.ศ. 1214-1270) ซึ่งกลับมาจากสงครามครูเสดไม่เห็นด้วยกับการพนันและสั่งห้ามการผลิตลูกเต๋าทั่วราชอาณาจักร มากกว่าตัวเกมเอง ทางการไม่พอใจกับเหตุการณ์ความไม่สงบที่เกี่ยวข้อง จากนั้นพวกเขาเล่นกันเป็นส่วนใหญ่ในโรงเตี๊ยมและงานปาร์ตี้มักจะจบลงด้วยการต่อสู้และการแทง แต่ไม่มีข้อห้ามใดที่ขัดขวางไม่ให้ลูกเต๋ารอดตายมาได้จนถึงทุกวันนี้

กระดูกที่มี "ประจุ"!
ผลลัพธ์ของการไดทอยมักจะถูกกำหนดโดยบังเอิญ แต่คนขี้โกงบางคนพยายามที่จะเปลี่ยนสิ่งนั้น การเจาะรูในดายและเทตะกั่วหรือปรอทลงไป ทำให้มั่นใจได้ว่าม้วนจะให้ผลลัพธ์เหมือนเดิมทุกครั้ง ลูกบาศก์ดังกล่าวเรียกว่า "มีประจุ" ทำจากวัสดุต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น ทอง หิน คริสตัล กระดูก ลูกเต๋า สามารถมีรูปร่างต่างๆ ลูกเต๋าขนาดเล็กที่มีรูปร่างเป็นปิรามิด (จัตุรมุข) ถูกพบในสุสานของฟาโรห์อียิปต์ที่สร้างปิรามิดขนาดใหญ่! หลายครั้ง กระดูกถูกสร้างขึ้นด้วย 8, 10, 12, 20 และ 100 ด้าน โดยปกติแล้วจะใช้ตัวเลขกับพวกเขา แต่ตัวอักษรหรือรูปภาพสามารถปรากฏขึ้นแทนได้ ทำให้มีที่ว่างสำหรับจินตนาการ

วิธีการทอยลูกเต๋า.
ลูกเต๋าไม่เพียงแต่มีรูปร่างที่แตกต่างกัน แต่ยังมีวิธีการเล่นที่แตกต่างกันด้วย กฎของเกมบางเกมกำหนดให้การทอยต้องถูกทอยด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง โดยปกติแล้วเพื่อหลีกเลี่ยงการทอยที่คำนวณได้ หรือเพื่อป้องกันไม่ให้ไดย์หยุดนิ่งในตำแหน่งเอียง บางครั้งมีกระจกพิเศษติดอยู่เพื่อหลีกเลี่ยงการโกงหรือตกจากโต๊ะเล่นเกม ในเกมเครปภาษาอังกฤษ ลูกเต๋าทั้งสามลูกต้องตีโต๊ะเกมหรือกำแพง เพื่อไม่ให้คนขี้โกงหลอกทอยโดยเพียงแค่ขยับลูกเต๋า แต่ไม่หมุน

ความสุ่มและความน่าจะเป็น
ลูกเต๋าให้ผลสุ่มที่ไม่สามารถคาดเดาได้เสมอ ด้วยการตายครั้งเดียว ผู้เล่นมีโอกาสมากพอที่จะทอย 1 เท่าที่พวกเขามี 6 - ทุกอย่างถูกกำหนดโดยบังเอิญ ในทางกลับกัน ด้วยลูกเต๋าสองลูก ระดับของการสุ่มจะลดลง เนื่องจากผู้เล่นมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์: ตัวอย่างเช่น ด้วยลูกเต๋าสองลูก สามารถรับหมายเลข 7 ได้หลายวิธี - โดยการหมุน 1 และ 6, 5 และ 2 หรือ 4 และ 3 ... แต่ความเป็นไปได้ที่จะได้หมายเลข 2 มีเพียงหนึ่งเท่านั้น: โยน 1 สองครั้ง ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ 7 นั้นสูงกว่าการได้ 2! เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น หลายเกมเกี่ยวข้องกับหลักการนี้ โดยเฉพาะเกมเงินสด

เกี่ยวกับการใช้ลูกเต๋า
ลูกเต๋าสามารถเป็นเกมแบบสแตนด์อโลนโดยไม่มีองค์ประกอบอื่น สิ่งเดียวที่แทบไม่มีอยู่จริงคือเกมสำหรับคิวบ์เดียว กฎเกณฑ์ต้องมีอย่างน้อยสองข้อ (เช่น เครป) ในการเล่นลูกเต๋าโป๊กเกอร์ คุณต้องมีลูกเต๋าห้าลูก ปากกา และกระดาษ เป้าหมายคือการเติมชุดค่าผสมที่คล้ายกับการรวมกันของเกมไพ่ที่มีชื่อเดียวกัน การบันทึกคะแนนสำหรับพวกเขาในตารางพิเศษ นอกจากนี้ คิวบ์ยังเป็นส่วนยอดนิยมสำหรับเกมกระดาน ซึ่งช่วยให้คุณย้ายชิปหรือตัดสินผลลัพธ์ของการต่อสู้ในเกมได้

หล่อตาย.
ใน 49 ปีก่อนคริสตกาล อี Julius Caesar อายุน้อยเอาชนะกอลและกลับมาที่ปอมเปอี แต่วุฒิสมาชิกหวาดกลัวอำนาจของเขา ผู้ซึ่งตัดสินใจยุบกองทัพก่อนที่เขาจะกลับมา จักรพรรดิในอนาคตเมื่อมาถึงชายแดนของสาธารณรัฐตัดสินใจที่จะฝ่าฝืนคำสั่งโดยข้ามกับกองทัพ ก่อนข้ามแม่น้ำ Rubicon (แม่น้ำที่เป็นพรมแดน) พระองค์ตรัสกับเหล่าพยุหเสนาว่า "Alea jacta est" ("ผู้ตายถูกหล่อ") คำพูดนี้กลายเป็นวลีติดปาก ความหมายก็คือ เหมือนกับในเกม หลังจากตัดสินใจบางอย่างไปแล้ว จะไม่สามารถย้อนกลับได้อีกต่อไป

เขียนโดยนักออกแบบ Tyler Sigman เรื่อง "Gamasutra" ฉันเรียกมันอย่างเสน่หาว่าเป็นบทความ "ผมในรูจมูกของออร์ค" แต่ครอบคลุมพื้นฐานของความน่าจะเป็นในเกมได้ค่อนข้างดี

หัวข้อประจำสัปดาห์นี้

จนถึงวันนี้ เกือบทุกอย่างที่เราพูดถึงนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว และเมื่อสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลไกสกรรมกริยาอย่างละเอียดถี่ถ้วนและแจกแจงรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงตอนนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมใหญ่ๆ ของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่ได้กำหนดขึ้นเอง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ การสุ่ม การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เนื่องจากเราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้เล่นในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านี้ทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบต้องเข้าใจ ธรรมชาติการสุ่มนี้และวิธีการเปลี่ยนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ ก่อน: ทอยลูกเต๋า เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่น ๆ มากมาย: สี่ด้าน (d4), แปดด้าน (d8), สิบสองด้าน (d12), ยี่สิบด้าน (d20) ... และถ้าคุณ จริงเกินบรรยาย คุณอาจมีลูกเต๋า 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์นี้ ตัว "d" หมายถึงลูกเต๋า และตัวเลขที่ตามมาคือจำนวนหน้าที่มี ถ้า ก่อน“d” ย่อมาจากตัวเลข ย่อมาจาก จำนวนลูกเต๋าเมื่อโยน ตัวอย่างเช่น ในการผูกขาด คุณหมุน 2d6

ดังนั้น ในกรณีนี้ วลี "ลูกเต๋า" จึงเป็นชื่อทั่วไป มีเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่นๆ จำนวนมากที่ไม่มีรูปร่างของบล็อกพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกันในการสร้างตัวเลขสุ่มตั้งแต่ 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถคิดได้ว่าเป็นไดเฮดรัล d2 ได ฉันเห็นแม่พิมพ์เจ็ดด้านสองแบบ แบบหนึ่งดูเหมือนลูกเต๋า และอีกแบบดูเหมือนดินสอไม้เจ็ดด้าน จัตุรมุข (หรือที่เรียกว่า titotum) เป็นอะนาล็อกของกระดูกจัตุรมุข สนามเด็กเล่นลูกศรหมุนในเกม "Chutes & Ladders" ซึ่งผลลัพธ์อาจอยู่ระหว่าง 1 ถึง 6 สอดคล้องกับการตายหกด้าน เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มในคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใด ๆ จาก 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบให้คำสั่งดังกล่าวแม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีลูกเต๋า 19 ด้าน (โดยทั่วไปฉันจะพูดถึงความน่าจะเป็นของตัวเลขที่ตกบน คอมพิวเตอร์ที่ ต่อไปสัปดาห์). แม้ว่ารายการเหล่านี้ทั้งหมดจะดูแตกต่างกัน แต่จริงๆ แล้วเทียบเท่ากัน: คุณมีโอกาสเท่ากันที่จะได้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งจากหลาย ๆ อย่าง

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราจำเป็นต้องรู้ อย่างแรก ความน่าจะเป็นที่หน้าใด ๆ โผล่ขึ้นมาก็เหมือนกัน (ฉันคิดว่าคุณกำลังทอยลูกเต๋าที่ถูกต้อง ไม่ใช่ผิดรูปทรง) ดังนั้นหากท่านต้องการทราบ หมายถึงม้วน (เรียกอีกอย่างว่าความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์) รวมค่าของขอบทั้งหมดแล้วหารผลรวมนี้ด้วย จำนวนใบหน้า ค่าเฉลี่ยของม้วนสำหรับแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานคือ 1+2+3+4+5+6 = 21 หารด้วยจำนวนหน้า (6) และเราจะได้ค่าเฉลี่ย 21/6 = 3.5 นี่เป็นกรณีพิเศษเพราะเราคิดว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

เกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษ? ตัวอย่างเช่น ผมเห็นเกมลูกเต๋า 6 เหลี่ยมที่มีสติกเกอร์พิเศษบนใบหน้า 1, 1, 1, 2, 2, 3 จึงมีลักษณะเป็นลูกเต๋าสามด้านแปลก ๆ ซึ่งมีโอกาสทอยเลข 1 มากกว่า มากกว่า 2 และ 2 มากกว่า 3 มูลค่าม้วนเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้คืออะไร? ดังนั้น 1+1+1+2+2+3 = 10 หารด้วย 6 เท่ากับ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้นหากคุณมีลูกเต๋านี้โดยเฉพาะและผู้เล่นทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณจะรู้ว่าผลรวมโดยประมาณของการทอยจะอยู่ที่ประมาณ 5 และคุณสามารถสร้างสมดุลของเกมตามสมมติฐานนั้น

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เราดำเนินการจากสมมติฐานที่ว่าการดรอปของแต่ละหน้าน่าจะเท่ากัน ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนลูกเต๋าที่คุณโยน ทุกทอยลูกเต๋า โดยไม่คำนึงถึงซึ่งหมายความว่าการม้วนครั้งก่อนไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการม้วนครั้งต่อๆ ไป ด้วยจำนวนการทดสอบที่เพียงพอ รับรองได้เลยว่าคุณจะ สังเกต"ชุดข้อมูล" ของตัวเลข เช่น การทอยค่าส่วนใหญ่ที่สูงขึ้นหรือต่ำลง หรือคุณลักษณะอื่นๆ และเราจะพูดถึงเรื่องนั้นในภายหลัง แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ "ร้อน" หรือ "เย็น" หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านแบบมาตรฐานและเลข 6 ปรากฏขึ้นสองครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะทอยครั้งต่อไปจะส่งผลให้ได้เลข 6 เท่ากับ 1/6 ด้วย ความน่าจะเป็นไม่ได้เพิ่มขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าลูกบาศก์นั้น "อุ่นขึ้น" ความน่าจะเป็นไม่ลดลงเพราะเลข 6 หลุดออกมาสองครั้งติดต่อกันซึ่งหมายความว่าตอนนี้หน้าอื่นจะหลุดออกมา (แน่นอนว่าถ้าทอยยี่สิบรอบแล้วเลข 6 ขึ้นมาทุกครั้งโอกาสที่เลข 6 จะมาเป็นครั้งที่ 21 ค่อนข้างสูง ... เพราะมันอาจหมายความว่าคุณเดาผิด !) แต่ถ้าคุณมีสิทธิ์ตาย ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากใบหน้าแต่ละหน้าจะเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่นๆ คุณสามารถจินตนาการได้ว่าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนลูกเต๋า ดังนั้นหากหมายเลข 6 ปรากฏขึ้นสองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋าที่ "ร้อน" ออกจากเกมและแทนที่ด้วยลูกเต๋าหกด้านใหม่ ขออภัยหากใครรู้เรื่องนี้แล้ว แต่จำเป็นต้องชี้แจงก่อนดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าหมุนแบบสุ่มมากหรือน้อย

มาพูดถึงวิธีการรับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในลูกเต๋าที่ต่างกัน หากคุณหมุนลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นหากลูกเต๋ามีขอบมากกว่า ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าหรือทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลลัพธ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากคุณหมุน 1d6+4 (เช่น ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานหนึ่งครั้งและเพิ่ม 4 ให้กับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 และ 10 แต่เมื่อโยนลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5, 8 หรือ 10 เท่ากัน ผลลัพธ์ของการหมุน 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งมักจะน้อยกว่าตัวเลขอื่นๆ ชุดเดียวกัน ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (7.5 ในทั้งสองกรณี) แต่ลักษณะของการสุ่มต่างกัน

รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ร้อนขึ้นหรือเย็นลง? และตอนนี้ฉันกำลังบอกว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋ามาก ผลของการทอยจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยหรือไม่? ทำไม

ให้ฉันอธิบาย หากคุณกำลังขว้างปา หนึ่งลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากแต่ละหน้าจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก เมื่อเวลาผ่านไป แต่ละหน้าจะออกมาจำนวนเท่ากัน ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไหร่ ผลลัพธ์โดยรวมก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ไม่ใช่เพราะเลขทอย "ทำให้" อีกเลขหนึ่งหมุนที่ยังไม่ขึ้น เพราะการทอยลูกเต๋าเล็กๆ ที่ 6 วินาที (หรือ 20 วินาที หรืออะไรก็ตาม) จะไม่กลายเป็นเรื่องใหญ่หากคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและส่วนใหญ่ก็เป็นค่าเฉลี่ยที่ขึ้นมา... บางทีตอนนี้คุณอาจมีบ้างแล้ว ตัวเลขที่มีมูลค่าสูง แต่อาจจะต่อมาอีกสองสามตัวเลขที่มีค่าต่ำและเมื่อเวลาผ่านไปก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (จริงๆ แล้ว ลูกเต๋าทำจาก พลาสติกเธอไม่มีสมองที่จะคิด "โอ้ นานแล้วนะที่เลข 2 ขึ้นมา") แต่เพราะว่ามักจะเกิดขึ้นกับการทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก ตัวเลขที่ซ้ำกันจำนวนน้อยแทบจะมองไม่เห็นในผลลัพธ์จำนวนมาก

ดังนั้นจึงค่อนข้างง่ายที่จะคำนวณการสุ่มลูกเต๋าหนึ่งครั้ง อย่างน้อยก็เท่ากับการคำนวณค่าเฉลี่ยของการทอย นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณว่า "สุ่ม" เป็นอย่างไร วิธีบอกว่าผลลัพธ์ของการหมุน 1d6+4 จะ "สุ่มมากกว่า" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 การกระจายผลการทอยจะมีความสม่ำเสมอมากขึ้น โดยปกติคุณจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับสิ่งนี้ และยิ่งมีค่ามากเท่าใด ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น แต่สิ่งนี้ต้องการการคำนวณมากกว่าที่ฉันต้องการให้ในวันนี้ (ฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง) สิ่งเดียวที่ฉันขอให้คุณรู้คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งทอยน้อยลง ยิ่งสุ่มมากขึ้น และอีกหนึ่งหัวข้อเพิ่มเติม: ยิ่งลูกเต๋ามีขอบมากเท่าไร ก็ยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากคุณมีตัวเลือกมากขึ้น

วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้การนับ

คุณอาจมีคำถาม: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้อย่างไร นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับเกมหลายๆ เกม เพราะหากคุณทอยลูกเต๋า ก็มีแนวโน้มว่าจะได้ผลดีที่สุดในตอนแรก คำตอบคือ: เราต้องคำนวณค่าสองค่า ขั้นแรก ให้คำนวณจำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อทำการขว้างลูกเต๋า (ไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร) จากนั้นนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ โดยการหารค่าที่สองด้วยค่าแรก คุณจะได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ เพื่อให้ได้เปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ด้วย 100

ตัวอย่าง:

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก คุณต้องการทอย 4 หรือสูงกว่า และทอยลูกเต๋า 6 ด้านหนึ่งครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้ 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) เป็นที่น่าพอใจ ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็น เราหาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คุณต้องการเลขคู่ในม้วน 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 สำหรับแต่ละลูกเต๋า และเนื่องจากลูกเต๋าหนึ่งไม่มีผลกับอีกลูกเต๋าหนึ่ง เราคูณผลลัพธ์ 6 ด้วย 6 และรับ 36) ความยากของคำถามประเภทนี้คือการนับสองครั้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างของ 3 ในการทอย 2d6: 1+2 และ 2+1 พวกมันดูเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือตัวเลขที่แสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและตัวที่สองคืออะไร คุณสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋านั้นมีสีต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าหนึ่งลูกเป็นสีแดงและอีกลูกหนึ่งเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกเพื่อให้ได้เลขคู่: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพอใจจาก 36 อย่าง เช่นในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นจะเป็น 0.5 หรือ 50% อาจจะคาดไม่ถึงแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปสำหรับการคำนวณนี้ ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะทอยรวม 15 หรือมากกว่าในการทอย 8d6 เป็นเท่าใด มีคะแนนแตกต่างกันมากมายสำหรับลูกเต๋าแปดลูกและจะใช้เวลานานมากในการคำนวณด้วยมือ แม้ว่าเราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีในการจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าแบบต่างๆ แต่ก็ยังใช้เวลานานมากในการนับ ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณความน่าจะเป็นไม่ใช่การคำนวณด้วยตนเอง แต่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์

วิธีแรกสามารถรับคำตอบที่แน่นอนได้ แต่ต้องอาศัยการเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เล็กน้อย โดยพื้นฐานแล้ว คอมพิวเตอร์จะผ่านแต่ละความเป็นไปได้ ประเมินและนับจำนวนการวนซ้ำทั้งหมด และจำนวนการวนซ้ำที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

int wincount=0, totalcount=0;

สำหรับ (int i=1; i<=6; i++) {

สำหรับ (int j=1; j<=6; j++) {

สำหรับ (int k=1; k<=6; k++) {

… // แทรกลูปเพิ่มเติมที่นี่

ถ้า (i+j+k+… >= 15) (

ความน่าจะเป็นแบบลอยตัว = จำนวนชนะ/จำนวนรวม;

หากคุณไม่ได้รู้อะไรมากเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและแค่ต้องการคำตอบที่ไม่ถูกต้องแต่เป็นค่าประมาณ คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณหมุน 8d6 สองสามพันครั้งแล้วได้คำตอบ ในการม้วน 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

ชั้น(RAND()*6)+1

มีชื่อสถานการณ์เมื่อคุณไม่รู้คำตอบและพยายามหลาย ๆ ครั้ง - การจำลองมอนติคาร์โลและเป็นทางออกที่ดีในการถอยกลับเมื่อคุณพยายามคำนวณความน่าจะเป็นและมันซับซ้อนเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมก็คือ ในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่ายิ่งทอยมากเท่าไหร่ ผลลัพธ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ ค่าเฉลี่ย

วิธีรวมการทดลองใช้อิสระ

หากคุณถามเกี่ยวกับการทอยซ้ำหลายครั้งแต่เป็นอิสระ ผลของการทอยครั้งเดียวจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่นๆ มีคำอธิบายที่ง่ายกว่าสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยหลักการแล้ว ถ้าคุณสามารถแยกแต่ละม้วนของแม่พิมพ์ (หรือชุดของม้วน) เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระ ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการทอยทั้งหมด 15 ครั้งโดยทอย 8d6 กรณีนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นลูกเต๋าอิสระหลาย ๆ ลูกเต๋าได้ เนื่องจากคุณกำลังคำนวณผลรวมของค่าของลูกเต๋าทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ทอยลูกเต๋าหนึ่งลูกจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะทอยบนลูกเต๋าอื่น เพราะคุณเพียงรวมค่าทั้งหมดเข้าด้วยกันเท่านั้น ผลลัพธ์ที่ต้องการ

นี่คือตัวอย่างของการทอยอย่างอิสระ: คุณกำลังเล่นเกมลูกเต๋า และคุณทอยลูกเต๋าหกด้านหลายครั้ง หากต้องการอยู่ในเกม คุณต้องทอย 2 หรือสูงกว่าในการทอยครั้งแรกของคุณ สำหรับม้วนที่สอง 3 หรือสูงกว่า สามต้องการ 4 หรือมากกว่า สี่ต้องการ 5 หรือมากกว่า ที่ห้าต้องการ 6 หากการทอยทั้งห้าครั้งสำเร็จคุณจะชนะ ในกรณีนี้ การโยนทั้งหมดเป็นอิสระ ใช่ ถ้าม้วนหนึ่งล้มเหลว มันจะส่งผลต่อผลลัพธ์ของทั้งเกม แต่การม้วนหนึ่งจะไม่ส่งผลต่อการทอยอีกอัน ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก จะไม่ส่งผลต่อโอกาสที่การทอยครั้งต่อไปจะประสบความสำเร็จเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของแต่ละทอยลูกเต๋าแยกกัน

หากคุณมีความน่าจะเป็นที่แยกจากกันและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ ทั้งหมดเหตุการณ์จะเกิดขึ้น คุณกำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละคนและคูณมันอีกวิธีหนึ่ง: ถ้าคุณใช้คำเชื่อม "และ" เพื่ออธิบายเงื่อนไขต่างๆ (เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มบางอย่างเกิดขึ้นเป็นเท่าใด และเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ หรือไม่) คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการแล้วคูณด้วย

ไม่สำคัญหรอกว่าคิดยังไง ไม่เคยอย่ารวมความน่าจะเป็นอิสระ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงผิด ลองนึกภาพสถานการณ์ที่คุณพลิกเหรียญ 50/50 คุณต้องการรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด แต่ละฝ่ายมีโอกาส 50% ที่จะขึ้น ดังนั้นหากคุณเพิ่มความน่าจะเป็นทั้งสอง คุณจะได้รับโอกาส 100% ที่จะขึ้นหัว แต่เรารู้ว่าไม่เป็นความจริงเพราะสองหางติดต่อกันอาจปรากฏขึ้น หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ คุณจะได้ 50% * 50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมลูกเต๋าหกด้านที่คุณต้องทอยตัวเลขที่สูงกว่า 2 ก่อนจากนั้นจึงสูงกว่า 3 ไปเรื่อยๆ มากถึง 6. โอกาสที่ในการโยน 5 ครั้งติดต่อกันผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่น่าพอใจ?

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การทดลองเหล่านี้เป็นการทดลองอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับการทอยแต่ละครั้งแล้วคูณด้วย ความน่าจะเป็นที่ผลของการโยนครั้งแรกจะเป็นที่น่าพอใจคือ 5/6 ที่สอง - 4/6 ที่สาม - 3/6 ที่สี่ - 2/6, ที่ห้า - 1/6 เมื่อคูณผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านี้ เราได้ประมาณ 1.5%... ดังนั้น การชนะเกมนี้ค่อนข้างหายาก ดังนั้น หากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ในเกมของคุณ คุณจะต้องมีแจ็คพอตที่ค่อนข้างใหญ่

การปฏิเสธ

นี่เป็นคำแนะนำที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่ง: บางครั้งก็เป็นการยากที่จะคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น แต่จะง่ายกว่าในการพิจารณาว่าเหตุการณ์ใดจะมีโอกาสเกิดขึ้น จะไม่มา.

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีอีกเกมหนึ่งและคุณหมุน 6d6 และ if อย่างน้อยหนึ่งครั้งม้วน 6 คุณชนะ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้ มีหลายทางเลือกให้พิจารณา บางทีเลข 6 ตัวหนึ่งอาจจะหลุดออกมาเช่น ลูกเต๋าตัวใดตัวหนึ่งจะทอย 6 และตัวอื่นจะทอย 1 ถึง 5 และมี 6 ตัวเลือกที่ลูกเต๋าจะทอยได้ 6 จากนั้นคุณสามารถทอย 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามลูกหรือมากกว่านั้น และทุกครั้งที่เราต้องทำการคำนวณแยกกัน มันจึงง่ายที่จะสับสน

แต่มีอีกวิธีในการแก้ปัญหานี้ ลองดูจากอีกด้านหนึ่ง คุณ แพ้ถ้า ไม่มีเลข 6 จะไม่หลุดออกจากลูกเต๋า ในกรณีนี้ เรามีการทดลองใช้อิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นของแต่ละรายการคือ 5/6 (ตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 6 สามารถตกบนลูกเต๋าได้) คูณพวกมันและคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 1 ถึง 3

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือ 2 ถึง 3)

จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ชัดว่า หากคุณกำลังคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น ให้ลบผลลัพธ์ออกจาก 100%หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็น แพ้ — 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน. หากคำนวณความน่าจะเป็นได้ยาก แต่คำนวณสิ่งตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณด้านตรงข้ามแล้วลบออกจาก 100%

เงื่อนไขการเชื่อมต่อสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งรายการ

ฉันพูดไปก่อนหน้านี้เล็กน้อยว่าคุณไม่ควรรวมความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างที่ สามารถรวมความน่าจะเป็น? ใช่ในสถานการณ์หนึ่งโดยเฉพาะ

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจหลายรายการในการทดลองเดียวกัน ให้รวมความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของการหมุน 4, 5 หรือ 6 ในวันที่ 1d6 คือ ผลรวมความน่าจะเป็นที่จะกลิ้ง 4 ความน่าจะเป็นที่จะหมุน 5 และความน่าจะเป็นที่จะหมุน 6 คุณสามารถนึกถึงสถานการณ์นี้ได้ดังนี้: ถ้าคุณใช้คำเชื่อม "หรือ" ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่นอะไร คือความน่าจะเป็นของ หรือผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของเหตุการณ์สุ่มหนึ่งเหตุการณ์?) คำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลและสรุปผล

โปรดทราบว่าเมื่อคุณรวม ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกมผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องเท่ากับ 100% หากผลรวมไม่เท่ากับ 100% แสดงว่าการคำนวณของคุณไม่ถูกต้อง นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น คุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมทั้งหมดในโป๊กเกอร์ หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมด คุณควรได้ 100% พอดี (หรืออย่างน้อยก็ค่าที่ค่อนข้างใกล้ 100% หากคุณใช้เครื่องคิดเลข คุณอาจมี ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยมือ ทุกอย่างควรรวมกัน) หากผลรวมไม่มาบรรจบกัน เป็นไปได้มากว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุด หรือคุณคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดอย่างไม่ถูกต้อง จากนั้นคุณต้องตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงตอนนี้ เราได้สันนิษฐานว่าแต่ละหน้าของลูกเต๋าหลุดออกมาที่ความถี่เท่ากัน เพราะนี่คือวิธีการทำงานของลูกเต๋า แต่บางครั้งคุณต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างกันออกไป หลากหลายโอกาสตก ตัวอย่างเช่นในส่วนขยายของเกมไพ่ "สงครามนิวเคลียร์" มีสนามเด็กเล่นพร้อมลูกศรที่กำหนดผลลัพธ์ของการยิงขีปนาวุธ: โดยทั่วไปจะสร้างความเสียหายตามปกติสร้างความเสียหายมากหรือน้อย แต่บางครั้งความเสียหายก็เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า หรือเพิ่มขึ้นสามเท่า หรือจรวดระเบิดบนแท่นปล่อยและทำร้ายคุณ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ไม่เหมือนกับกระดานลูกศรใน "Chutes & Ladders" หรือ "A Game of Life" ผลลัพธ์ของกระดานใน "Nuclear War" นั้นไม่เท่ากัน บางส่วนของสนามเด็กเล่นมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่ส่วนนั้นบ่อยกว่ามาก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่ส่วนนั้นน้อยมาก

เมื่อมองแวบแรก กระดูกจะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3; เราพูดไปแล้วว่ามันเหมือน 1d3 ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นเราต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน หาหน่วยวัดที่เล็กที่สุดซึ่งเป็นผลคูณของมัน แล้วแทนสถานการณ์ในรูปของ d522 (หรืออย่างอื่น ) โดยที่ชุดของหน้าลูกเต๋าจะแสดงสถานการณ์เดียวกัน แต่มีผลลัพธ์จำนวนมากขึ้น และนี่คือวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีวิธีที่ง่ายกว่านั้น

กลับไปที่ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานของเรา เราบอกว่าในการคำนวณค่าเฉลี่ยของการโยนสำหรับลูกเต๋าปกติคุณต้องรวมค่าบนใบหน้าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนหน้า แต่อย่างไร อย่างแน่นอนการคำนวณเกิดขึ้น? คุณสามารถแสดงออกได้แตกต่างกัน สำหรับลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นของแต่ละหน้าขึ้นมาคือ 1/6 พอดี ตอนนี้เราทวีคูณ อพยพแต่ละขอบบน ความน่าจะเป็นผลลัพธ์นี้ (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละหน้า) จากนั้นสรุปค่าผลลัพธ์ สรุป (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), เราได้รับผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับในการคำนวณด้านบน อันที่จริง เราคำนวณสิ่งนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถทำการคำนวณแบบเดียวกันสำหรับลูกศรบนสนามเด็กเล่นในเกม "Nuclear War" ได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ที่พบทั้งหมด เราจะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์สำหรับลูกศรบนสนามเด็กเล่นและคูณด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างอื่น

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยการคูณผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละรายการ ก็เหมาะสมเช่นกันหากผลลัพธ์มีแนวโน้มเท่ากัน แต่มีข้อได้เปรียบที่แตกต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางด้านมากกว่าวิธีอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ลองเล่นเกมที่เกิดขึ้นในคาสิโน: คุณเดิมพันและหมุน 2d6 หากตัวเลขที่มีมูลค่าต่ำสามตัว (2, 3, 4) หรือตัวเลขมูลค่าสูงสี่ตัว (9, 10, 11, 12) ปรากฏขึ้น คุณจะชนะเป็นจำนวนเงินเท่ากับเดิมพันของคุณ หมายเลขที่มีมูลค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นพิเศษ: ถ้าทอย 2 หรือ 12 คุณชนะ สองเท่ากว่าราคาเสนอของคุณ หากมีหมายเลขอื่นขึ้นมา (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเดิมพันของคุณ นี้เป็นเกมที่ค่อนข้างง่าย แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะ:

• จำนวนผลลัพธ์สูงสุดในการทอย 2d6 คือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจคืออะไร?
• มี 1 ตัวเลือกที่สองตัวจะหลุดออกและ 1 ตัวเลือกที่สิบสองจะหลุดออกมา
• มี 2 ​​ตัวเลือกสำหรับการหมุนสามและสิบเอ็ด
• มี 3 ตัวเลือกสำหรับการกลิ้งสี่และ 3 ตัวเลือกสำหรับการกลิ้งสิบ
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับเก้าที่จะเกิดขึ้น
• เมื่อรวมตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจจำนวน 16 จาก 36

ดังนั้น ภายใต้สภาวะปกติ คุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้ง... ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจาก 16 คนนั้น คุณจะชนะเป็นสองเท่า กล่าวคือ มันเหมือนชนะสองครั้ง! หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะทั้งหมด 18 ดอลลาร์ (จริง ๆ แล้วคุณชนะ 16 ครั้ง แต่สองครั้งในนั้นจะถูกนับเป็นสองครั้ง) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะ 18 ดอลลาร์ นั่นหมายความว่ามันเป็นโอกาสที่คู่ควรใช่หรือไม่

ไม่ต้องรีบ. หากคุณนับจำนวนครั้งที่สูญเสีย คุณจะได้ 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง คุณจะชนะรวม 18 ดอลลาร์ด้วยอัตราต่อรองทั้งหมด... แต่คุณจะแพ้ รวมเป็นจำนวนเงิน $20 สำหรับผลลัพธ์ที่ไม่ดีทั้งหมด 20 รายการ! ผลที่ได้คือ คุณจะล้าหลังเล็กน้อย: คุณเสียเงินสุทธิ $2 โดยเฉลี่ยต่อทุกๆ 36 เกม (คุณสามารถพูดได้ว่าคุณเสียเฉลี่ย $1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณเห็นแล้วว่าความผิดพลาดในกรณีนี้ง่ายและคำนวณความน่าจะเป็นอย่างไม่ถูกต้อง!

การเปลี่ยนแปลง

จนถึงตอนนี้ เราได้สันนิษฐานว่าลำดับการโยนตัวเลขนั้นไม่สำคัญเมื่อทอยลูกเต๋า ม้วน 2+4 เท่ากับม้วน 4+2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจด้วยตนเอง แต่บางครั้งวิธีนี้ใช้ไม่ได้และควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างสถานการณ์นี้มาจากเกมลูกเต๋า Farkle ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะทอย 6d6 หากคุณโชคดีและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ 1-2-3-4-5-6 (ตรง) ปรากฏขึ้น คุณจะได้รับโบนัสก้อนโต ความน่าจะเป็นที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายสำหรับการสูญเสียชุดค่าผสมนี้!

วิธีแก้ปัญหามีดังนี้ ลูกเต๋าตัวเดียว (และตัวเดียวเท่านั้น) ต้องทอยเลข 1! กี่วิธีที่จะได้หมายเลข 1 ในหนึ่งลูกเต๋า? หก เพราะมี 6 ลูกเต๋า และตัวใดตัวหนึ่งสามารถลงที่หมายเลข 1 ได้ ดังนั้น นำลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางทิ้งไว้ ตอนนี้หมายเลข 2 ควรตกบนลูกเต๋าที่เหลือตัวใดตัวหนึ่ง มี 5 ตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ นำลูกเต๋าอีกลูกแล้วพักไว้ จากนั้นลูกเต๋าสี่ลูกที่เหลืออาจหมุนได้ 3 ลูกเต๋าสามลูกที่เหลืออาจหมุนได้ 4 ลูกเต๋าสองลูกที่เหลืออาจหมุนได้ 5 และจบลงด้วยลูกเต๋าหนึ่งลูกที่ควรทอย 6 (ในช่วงหลัง กรณีมีลูกเต๋าเดียวเท่านั้นและไม่มีทางเลือก) ในการนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับชุดค่าผสมแบบตรงที่จะเกิดขึ้น เราคูณตัวเลือกที่ต่างกันออกไปทั้งหมด: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ดูเหมือนว่ามีตัวเลือกมากมายสำหรับชุดค่าผสมนี้ที่จะเกิดขึ้น

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมแบบตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการหมุน 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเท่าใด แต่ละลูกเต๋าสามารถลงจอดได้ 6 หน้า ดังนั้นเราจึงคูณ 6x6x6x6x6x6 = 46656 (จำนวนที่สูงกว่ามาก!) เราหาร 720/46656 และเราได้รับความน่าจะเป็นเท่ากับประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้สิ่งนี้ เพื่อสร้างระบบการให้คะแนนที่เหมาะสม ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมในเกม "Farkle" ที่คุณได้รับโบนัสก้อนโตถ้าคุณได้รับการรวมกันของ "ตรง" เพราะสถานการณ์นี้ค่อนข้างหายาก!

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นจริง ๆ มักไม่ค่อยเกิดขึ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูก ลูกเต๋าด้านต่างๆ ก็มักจะโผล่มาค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราทอยได้เพียงหกลูกเต๋าเกือบ ไม่เคยหน้าแต่ละคนก็ไม่ตก! จากนี้ไปก็เห็นชัดว่าโง่ที่คาดว่าตอนนี้หน้าอีกใบจะหลุดออกมาซึ่งยังไม่หลุดพ้น “เพราะเราไม่ได้ตกเลข 6 มาช้านาน แปลว่าเดี๋ยวจะหลุด ”

ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย...

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: การสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีความถี่เท่ากัน ในช่วงเวลาสั้นๆซึ่งอันที่จริงไม่เป็นเช่นนั้น หากเราทอยลูกเต๋าหลายๆ ครั้ง ความถี่ของหน้าแต่ละคนจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยทำงานในเกมออนไลน์ที่มีโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มมาก่อน คุณคงเคยเจอสถานการณ์ที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนด้านเทคนิคเพื่อบอกว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มของคุณเสียและไม่แสดงตัวเลขสุ่ม และเขา มาถึงข้อสรุปนี้เพราะเขาเพิ่งฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้ 4 รางวัลเหมือนกันทุกประการ และรางวัลเหล่านี้ควรดรอปเพียง 10% ของเวลาเท่านั้น ดังนั้นนี่ แทบจะไม่เคยไม่ควร แทนที่ซึ่งหมายความว่ามัน อย่างชัดเจนว่าเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

คุณกำลังทำคณิตศาสตร์ 1/10*1/10*1/10*1/10 เท่ากับ 1 ใน 10,000 ซึ่งหมายความว่าหายากมาก และนั่นคือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ มีปัญหาในกรณีนี้หรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ตอนนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่น 100,000 คนทุกวัน มีผู้เล่นกี่คนที่จะฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกัน? ทุกสิ่งเป็นไปได้หลายครั้งต่อวัน แต่สมมติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเท็มต่างๆ ในการประมูลหรือสนทนาบนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือทำกิจกรรมเกมอื่นๆ ดังนั้นมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่ล่ามอนสเตอร์จริงๆ ความน่าจะเป็นที่ บางคนรางวัลเดียวกันจะหลุดออกมาหรือไม่? ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่ารางวัลเดียวกันสามารถดรอปได้หลายครั้งต่อวันเป็นอย่างน้อย!

ยังไงก็ตาม อย่างน้อยก็ดูเหมือนทุกๆ สองสามสัปดาห์เป็นอย่างน้อย บางคนถูกลอตเตอรีถึงแม้จะเป็นคนๆนั้น ไม่เคยคุณหรือเพื่อนของคุณไม่มา ถ้าคนเล่นเพียงพอในแต่ละสัปดาห์ โอกาสก็มีอย่างน้อย หนึ่งโชคดี...แต่ถ้า คุณคุณเล่นลอตเตอรี คุณมีโอกาสน้อยที่จะชนะงานที่ Infinity Ward

แผนที่และการเสพติด

เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ เช่น การขว้างลูกเต๋า และตอนนี้เรารู้เครื่องมืออันทรงพลังมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ มากมาย การคำนวณความน่าจะเป็นนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับ เนื่องจากไพ่แต่ละใบที่เราจั่วจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ ถ้าคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ และคุณจั่วหัวใจ 10 ใบ เป็นต้น และคุณต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นชุดเดียวกัน ความน่าจะเป็นก็เปลี่ยนไปเพราะคุณได้นำการ์ดหัวใจหนึ่งใบออกจาก ดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของไพ่ใบถัดไปในสำรับ เนื่องจากในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้ามีผลกระทบต่อเหตุการณ์ถัดไป เราเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่า ขึ้นอยู่กับ.

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "ไพ่" ฉันหมายถึง ใดๆกลไกของเกมที่มีชุดของวัตถุและคุณลบหนึ่งในวัตถุโดยไม่ต้องเปลี่ยน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้คล้ายกับถุงชิปที่คุณนำชิปออกหนึ่งชิ้นและไม่ต้องเปลี่ยน หรือโกศที่คุณใช้เอาลูกหินสีออกมา (อันที่จริงฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่มีลูกหินสีเอาออกมา แต่ดูเหมือนว่าครูทฤษฎีความน่าจะเป็นจะชอบตัวอย่างนี้ด้วยเหตุผลบางประการ)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันต้องการชี้แจงว่าเมื่อพูดถึงไพ่ ฉันถือว่าคุณจั่วไพ่ ดูมัน และนำออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ

ถ้าฉันมีสำรับ เช่น ไพ่หกใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 และฉันสับมันและจั่วไพ่หนึ่งใบแล้วสับไพ่ทั้งหมดหกใบอีกครั้ง นั่นก็จะเหมือนกับการทอยลูกเต๋าหกด้าน ผลลัพธ์หนึ่งจะไม่มีผลกับผลลัพธ์ถัดไป เฉพาะในกรณีที่ฉันจั่วไพ่และไม่แทนที่ผลลัพธ์ของการจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 1 จะเพิ่มโอกาสที่ครั้งต่อไปที่ฉันจั่วไพ่ที่มีหมายเลข 6 (ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นจนกว่าฉันจะจั่วการ์ดใบนี้ในที่สุดหรือจนกว่า ฉันสับไพ่)

ความจริงที่ว่าเรา พวกเรามองบนการ์ดก็มีความสำคัญเช่นกัน ถ้าฉันเอาไพ่ออกจากสำรับแล้วไม่ดู ฉันไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมและความน่าจะเป็นก็ไม่เปลี่ยนแปลงจริงๆ นี่อาจฟังดูไร้เหตุผล เพียงแค่พลิกไพ่อย่างน่าอัศจรรย์จะเปลี่ยนโอกาสได้อย่างไร? แต่เป็นไปได้เพราะคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของรายการที่ไม่รู้จักได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าคุณ คุณรู้. ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน เปิดไพ่ 51 ใบ และไม่มีไพ่ใบใดที่เป็นราชินีแห่งไม้กอล์ฟ คุณจะรู้ได้อย่างมั่นใจ 100% ว่าไพ่ที่เหลืออยู่คือราชินีแห่งไม้กอล์ฟ หากคุณสับไพ่มาตรฐานและจั่วไพ่ 51 ใบ ถึงอย่างไรก็ตามกับพวกเขา ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลืออยู่จะเป็นราชินีแห่งไม้กระบองจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อคุณเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกันนั้นใช้หลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่ามันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เนื่องจากความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดเผยไพ่ ดังนั้น คุณต้องคูณค่าต่าง ๆ มากมาย แทนที่จะคูณค่าเดียวกัน อันที่จริง นี่หมายความว่าเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับไพ่มาตรฐาน 52 ใบและจั่วไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่คุณจะออกคู่เป็นเท่าไหร่? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดอาจเป็นดังนี้: ความน่าจะเป็นที่ถ้าคุณจั่วไพ่หนึ่งใบ คุณจะไม่สามารถจั่วไพ่คู่ได้? ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นมันไม่สำคัญหรอกว่าคุณจะจั่วไพ่ใบแรกใบไหน ตราบใดที่มันตรงกับไพ่ใบที่สอง ไม่ว่าไพ่ใบไหนที่เราจั่วก่อน เรายังมีโอกาสจั่วไพ่คู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะจั่วไพ่คู่หลังจากจั่วไพ่ใบแรกได้ 100%

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับไพ่ใบแรกเป็นเท่าใด มีไพ่เหลืออยู่ในสำรับ 51 ใบและ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (อันที่จริงจะเป็น 4 จาก 52 ใบ แต่คุณได้นำไพ่ที่ตรงกันออกหนึ่งใบเมื่อคุณจั่วไพ่ใบแรก!) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/ 17. (ดังนั้นครั้งต่อไปที่ผู้ชายที่อยู่บนโต๊ะที่เล่น Texas Hold'em พูดว่า "เจ๋งไปอีกคู่ ฉันโชคดีวันนี้" คุณจะรู้ว่ามีโอกาสค่อนข้างสูงที่เขาจะบลัฟ)

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองคนและตอนนี้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับ และเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่คู่หนึ่งเป็นเท่าใด ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์ จากนั้นสำรับจะมีเพียง หนึ่งการ์ดไม่ใช่สามซึ่งจะตรงกัน จะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราแบ่งความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละอย่าง

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นโจ๊กเกอร์หรือไพ่อื่นๆ ความน่าจะเป็นในการจั่วโจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54

หากไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับไพ่ใบแรกคือ 1/53 การคูณค่า (เราสามารถคูณได้เพราะเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการที่จะ ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะจับคู่ไพ่ใบที่สองคือ 3/53 เราคูณค่าและรับ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย

เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้ พวกมันไม่ตัดกันและเราอยากรู้ความน่าจะเป็น ทุกคนเลยสรุปค่า! เราได้ผลลัพธ์สุดท้าย 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการให้แน่ใจว่าคำตอบถูกต้อง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อื่นๆ ทั้งหมด: จั่วโจ๊กเกอร์และไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง หรือจั่วไพ่ใบอื่นแต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง แล้วรวมทั้งหมดเข้าด้วยกัน ด้วยความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้รับ 100% อย่างแน่นอน ฉันจะไม่ให้คณิตศาสตร์ที่นี่ แต่คุณสามารถลองคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอีกครั้ง

The Monty Hall Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่ค่อนข้างมีชื่อเสียงซึ่งมักจะสร้างความสับสนให้กับหลาย ๆ คน ความขัดแย้งของมอนตี้ ฮอลล์ ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตามมอนตี้ ฮอลล์ พิธีกรรายการโทรทัศน์ Let's Make a Deal หากคุณไม่เคยดูรายการนี้ มันจะเป็นตรงกันข้ามกับรายการทีวี "The Price Is Right" ในรายการ “The Price Is Right” ผู้ดำเนินรายการ (เดิมคือ Bob Barker ตอนนี้คือ…Drew Carey? อย่างไรก็ตาม…) คือเพื่อนของคุณ เขา ต้องการเพื่อให้คุณได้เงินหรือของรางวัลเจ๋งๆ มันพยายามให้ทุกโอกาสแก่คุณในการชนะ ตราบใดที่คุณสามารถเดาได้ว่าไอเท็มที่ได้รับการสนับสนุนนั้นมีมูลค่าเท่าใด

มอนตี้ ฮอลล์ทำตัวแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเหมือนคนงี่เง่าในโทรทัศน์แห่งชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณเล่นกับเขาและโอกาสอยู่ในความโปรดปรานของเขา บางทีฉันอาจพูดแรง แต่เมื่อโอกาสที่จะถูกเลือกเป็นคู่ต่อสู้ดูเหมือนจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการที่คุณใส่ชุดตลกๆ หรือไม่ ฉันก็ได้ข้อสรุปที่คล้ายคลึงกัน

แต่มีมที่โด่งดังที่สุดของรายการคือ มีสามประตูอยู่ข้างหน้าคุณ และถูกเรียกว่าประตูหมายเลข 1 ประตู 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกประตูใดก็ได้... ฟรี! ข้างหลังประตูบานหนึ่งมีรางวัลวิเศษ เช่น รถยนต์ใหม่ ประตูอื่นไม่มีรางวัล ประตูสองบานนี้ไม่มีค่า เป้าหมายของพวกเขาคือการทำให้คุณอับอาย และไม่เหมือนกับว่าไม่มีอะไรอยู่เบื้องหลังเลย มีบางอย่างที่อยู่ข้างหลังพวกเขาที่ดูงี่เง่า อย่างเช่น แพะที่อยู่ข้างหลังพวกเขา ยาสีฟันหลอดใหญ่ หรืออะไรบางอย่าง ... อะไรกันแน่ที่เป็นอยู่ ไม่รถใหม่.

คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง และมอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อแจ้งให้คุณทราบว่าคุณชนะหรือไม่... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ว่าลองดูที่หนึ่งใน เหล่านั้นประตูคุณ ไม่ได้เลือก. เนื่องจากมอนตี้รู้ว่ารางวัลอยู่ข้างหลังประตูไหน และมีเพียงรางวัลเดียวและ สองประตูที่คุณไม่ได้เลือกไม่ว่าอย่างไรก็ตามเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลังได้เสมอ “คุณเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? แล้วมาเปิดประตูที่ 1 เพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง" และตอนนี้ ด้วยความเอื้ออาทร เขาได้เสนอโอกาสให้คุณแลกเปลี่ยนประตู #3 ที่คุณเลือกกับประตู #2 นี่คือจุดที่คำถามของความน่าจะเป็นเข้ามา: ความสามารถในการเลือกประตูอื่นเพิ่มหรือลดโอกาสของคุณ ของการชนะหรือว่ามันยังคงเหมือนเดิม? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่น เพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 ถึง 2/3 สิ่งนี้ไม่สมเหตุสมผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน คุณกำลังคิดว่า: เดี๋ยวก่อน เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นอย่างอัศจรรย์ด้วยการเปิดประตูบานเดียวใช่หรือไม่ แต่ดังที่เราเห็นในตัวอย่างแผนที่ด้านบน นี่คือ อย่างแน่นอนจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะในครั้งแรกที่คุณเลือกคือ 1/3 และฉันเดาว่าทุกคนคงจะเห็นด้วย เมื่อประตูบานหนึ่งเปิดออก จะไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะสำหรับตัวเลือกแรกเลย ความน่าจะเป็นยังคงเป็น 1/3 แต่นี่หมายความว่าความน่าจะเป็นที่ อื่นประตูที่ถูกต้องตอนนี้คือ 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากอีกด้านหนึ่ง คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 แนะนำให้เปลี่ยน สองประตูอื่นๆ ซึ่ง Monty Hall เสนอให้ทำจริงๆ แน่นอน เขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขา เสมอสามารถทำได้ ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรจริงๆ แน่นอน คุณจะต้องเลือกประตูอื่น!

หากคุณไม่ค่อยเข้าใจปัญหานี้และต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือมากขึ้น ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อไปยังแอปพลิเคชัน Flash ขนาดเล็กที่จะช่วยให้คุณสำรวจความขัดแย้งนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม คุณสามารถเริ่มต้นด้วยประตูประมาณ 10 ประตู แล้วค่อยๆ เลื่อนขึ้นไปยังเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมจำลองที่คุณสามารถเลือกประตูจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 และเล่นหรือเรียกใช้การจำลองหลายพันครั้ง และดูว่าคุณชนะกี่ครั้งหากคุณเล่น

ข้อสังเกตจากครูคณิตศาสตร์ชั้นสูงและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov ซึ่งแน่นอนว่า Schreiber ไม่มี แต่ถ้าไม่มีก็ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงเวทย์มนตร์นี้:

เลือกประตู หนึ่งในสาม ความน่าจะเป็นที่จะ "ชนะ" 1/3 ตอนนี้คุณมี 2 กลยุทธ์: เปลี่ยนทางเลือกหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ที่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกนั้นอยู่ในขั้นแรกเท่านั้น และคุณต้องเดาทันที แต่ถ้าคุณเปลี่ยน คุณจะชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน ( แล้วเค้าเปิดผิดอีกตัวจะเป็นจริงอยู่เปลี่ยนการตัดสินใจเอาไปเลย)
ความน่าจะเป็นที่จะเลือกประตูผิดในตอนเริ่มต้นคือ 2/3 ปรากฎว่าการเปลี่ยนการตัดสินใจทำให้คุณมีโอกาสชนะมากกว่า 2 เท่า

ทบทวน Monty Hall Paradox

สำหรับการแสดงนั้น มอนตี้ ฮอลล์ รู้เรื่องนี้ดี เพราะถึงแม้คู่ต่อสู้ของเขาจะไม่เก่งคณิตศาสตร์ เขาคือเข้าใจเธอดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูหลังที่เป็นของรางวัล ความน่าจะเป็นคือ 1/3 นั้น เสมอเสนอทางเลือกให้คุณเลือกประตูอื่น เพราะคุณเลือกรถแล้วเปลี่ยนเป็นแพะ และคุณดูงี่เง่ามาก ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาต้องการจริงๆ เพราะเขาเป็นคนชั่ว แต่ถ้าคุณเลือกประตูข้างหลังซึ่ง จะไม่มีรางวัล, เท่านั้น ครึ่งในกรณีเช่นนี้ เขาจะแจ้งให้คุณเลือกประตูอื่น และในกรณีอื่นๆ เขาจะแสดงแพะตัวใหม่ให้คุณดู และคุณจะออกจากเวที มาวิเคราะห์เกมใหม่ที่ Monty Hall ทำได้ เลือกให้คุณมีโอกาสเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริทึมนี้ หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ มิฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะเสนอประตูอื่นให้คุณหรือให้แพะกับคุณคือ 50/50 ความน่าจะเป็นในการชนะของคุณเป็นเท่าไหร่?

ในหนึ่งในสามตัวเลือก คุณจะเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังของรางวัลทันที และโฮสต์จะเชิญให้คุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากทั้งหมดสามประตู (ในตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ครึ่งเวลาที่เจ้าบ้านจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น และอีกครึ่งหนึ่งจะไม่ทำ ครึ่งหนึ่งของ 2/3 เท่ากับ 1/3 นั่นคือ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะเลือกประตูผิดและเจ้าบ้านจะขอให้คุณเลือกอีกตัวหนึ่ง และในกรณีหนึ่งจากสามคุณจะเลือก ประตูขวาและเขาจะแจ้งให้คุณเลือกประตูอื่น

ถ้าเจ้าบ้านแนะนำให้เราเลือกประตูอื่น เราก็รู้อยู่แล้วว่าหนึ่งในสามกรณีที่เขาให้แพะกับเราแล้วเราจากไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี่เป็นข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพราะหมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป สองในสามครั้งที่เรามีทางเลือก ในกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาผิด ดังนั้นหากเราเสนอทางเลือกเลย หมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะของเราคือ 50 /50 และไม่มี คณิตศาสตร์ผลประโยชน์อยู่กับทางเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ ตอนนี้มันเป็นเกมทางจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ มอนตี้เสนอทางเลือกให้คุณเพราะเขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูอื่นเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และคุณจะยึดมั่นในสิ่งที่คุณเลือกอย่างดื้อรั้น เพราะในทางจิตวิทยา สถานการณ์เมื่อคุณเลือก รถแล้วเสียหนักกว่า? หรือเขาคิดว่าคุณฉลาดและเลือกประตูอื่น และเขาเสนอโอกาสนั้นให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณเดาถูกในครั้งแรกและคุณจะติดและติดกับดัก? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีกับตัวเองอย่างไม่เคยมีมาก่อนและผลักดันให้คุณทำอะไรบางอย่างเพื่อผลประโยชน์ส่วนตัวของคุณเพราะเขาไม่ได้บริจาครถมาเป็นเวลานานและผู้ผลิตของเขาบอกเขาว่าผู้ชมเริ่มเบื่อและจะดีกว่าถ้าเขาให้ รางวัลใหญ่เร็วๆนี้ เรตติ้งไม่ตก ?

ดังนั้น มอนตี้จึงสามารถเสนอทางเลือกได้ (บางครั้ง) และความน่าจะเป็นโดยรวมในการชนะยังคงเป็น 1/3 จำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะเสียทันทีคือ 1/3 มีโอกาส 1/3 ที่คุณจะเดาได้ทันที และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6) ความน่าจะเป็นที่คุณเดาผิดในตอนแรก แต่จากนั้นมีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และใน 50% ของกรณีเหล่านี้ คุณจะชนะ (เช่นกัน 1/6) เพิ่มความเป็นไปได้ในการชนะอิสระสองรายการและคุณจะได้รับความน่าจะเป็น 1/3 ดังนั้นไม่ว่าคุณจะเลือกประตูอื่นหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นรวมของการชนะของคุณตลอดทั้งเกมคือ 1/3... ความน่าจะเป็นไม่ได้มากขึ้น กว่าในสถานการณ์ที่คุณจะเดาประตูและเจ้าบ้านจะแสดงให้คุณเห็นสิ่งที่อยู่หลังประตูนี้ โดยไม่มีความสามารถในการเลือกประตูอื่น! ดังนั้น ประเด็นของการเสนอตัวเลือกในการเลือกประตูอื่นไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนความน่าจะเป็น แต่เพื่อทำให้กระบวนการตัดสินใจดูทางทีวีสนุกยิ่งขึ้น

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้โป๊กเกอร์มีความน่าสนใจ: ในรูปแบบส่วนใหญ่ระหว่างรอบ เมื่อมีการวางเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และริเวอร์ในเท็กซัส โฮลเด็ม) ไพ่จะค่อยๆ เปิดเผย และหากในตอนเริ่มเกมคุณมีความเป็นไปได้ที่จะชนะหนึ่งครั้ง หลังจากการเดิมพันแต่ละรอบ เมื่อเปิดไพ่มากขึ้น ความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไป

เด็กชายและเด็กหญิง Paradox

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่เป็นที่รู้จักกันดีอีกประการหนึ่งซึ่งมักจะไขปริศนาให้ทุกคน สิ่งเดียวที่ฉันกำลังเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันเดาว่ามันหมายความว่าฉันควรผลักดันให้คุณสร้างกลไกเกมที่เหมาะสม) นี่เป็นปริศนามากกว่า แต่เป็นเรื่องที่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ปัญหานั้น คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เราพูดถึงข้างต้น

งาน: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สอง ด้วยสาว? สมมติว่าในครอบครัวใดก็ตาม มีโอกาส 50/50 ที่จะมีผู้หญิงหรือผู้ชาย และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กทุกคน (อันที่จริง ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มมากกว่าในตัวอสุจิที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y ดังนั้น ความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยถ้าคุณรู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่จะมีผู้หญิงคนหนึ่งสูงขึ้นเล็กน้อย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขอื่น ๆ เช่นกระเทย แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้เราจะไม่คำนึงถึงเรื่องนี้และ ถือว่าการเกิดของเด็กเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายหรือเด็กหญิงเหมือนกัน)

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือตัวเลขปัดเศษอื่น ๆ ที่เป็นผลคูณของ 2 แต่คำตอบคือ: 1/3 . รอทำไม?

ความยากในกรณีนี้คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กจะเกิดมาเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิงก็ตาม ตั้งชื่อลูกว่า A และ B ภายใต้สถานการณ์ปกติ มีความเป็นไปได้สี่อย่างเท่าเทียมกัน: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็น ผู้หญิงสองคน A คือเด็กผู้ชาย และ B คือผู้หญิง A คือผู้หญิง และ B คือเด็กผู้ชาย เพราะเรารู้ว่า อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง เราสามารถแยกแยะความเป็นไปได้ที่ A และ B เป็นเด็กชายสองคน ปล่อยให้เรามีความเป็นไปได้สามอย่าง (ยังมีโอกาสเท่าเทียมกัน) หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากันและมีสามทาง เรารู้ว่าความน่าจะเป็นของแต่ละโอกาสคือ 1/3 มีเพียงหนึ่งในสามตัวเลือกนี้เท่านั้นที่มีลูกสองคน เด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาจะยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพที่ฉันบอกคุณว่าเพื่อนของฉันมีลูกสองคนและลูกหนึ่งคน - สาวที่เกิดวันอังคาร. สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ ความน่าจะเป็นที่จะมีบุตรในวันใดวันหนึ่งในเจ็ดวันของสัปดาห์จะเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองเป็นผู้หญิงด้วยเป็นเท่าใด คุณอาจคิดว่าคำตอบยังคงเป็น 1/3; วันอังคารมีความสำคัญอย่างไร? แต่ในกรณีนี้ สัญชาตญาณทำให้เราล้มเหลว ตอบ: 13/27 ซึ่งไม่ได้เป็นเพียงสัญชาตญาณเท่านั้น มันแปลกมาก เกิดอะไรขึ้น ในกรณีนี้?

อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเพราะเราไม่รู้ ที่ลูกเกิดวันอังคารหรืออาจจะ ลูกสองคนเกิดวันอังคาร ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกับข้างต้น เรานับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร ดังในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่าเด็กชื่อ A และ B ชุดค่าผสมมีดังนี้:

• A คือเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร B เป็นเด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 อย่าง หนึ่งวันในสัปดาห์ที่เด็กผู้ชายสามารถเกิดได้)
• B เป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร, A เป็นเด็กผู้ชาย (มีความเป็นไปได้ 7 อย่างเช่นกัน)
• A คือผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร B คือผู้หญิงที่เกิดเมื่อวันที่ อื่นวันในสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B คือผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร A คือผู้หญิงที่ไม่เกิดในวันอังคาร (มีโอกาส 6 เช่นกัน)
• A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดในวันอังคาร (1 เป็นไปได้ คุณต้องใส่ใจกับสิ่งนี้เพื่อไม่ให้นับสองครั้ง)

เราสรุปและรับ 27 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้เท่า ๆ กันของการเกิดของเด็กและวันที่ โดยมีความเป็นไปได้ที่เด็กผู้หญิงจะเกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งอย่าง ในจำนวนนี้ มีความเป็นไปได้ 13 อย่างเกิดขึ้นเมื่อเด็กผู้หญิงสองคนเกิดมา มันยังดูไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิง และดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อทำให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังงงกับตัวอย่างนี้ Jesper Juhl นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้ในเว็บไซต์ของเขา

หากคุณกำลังทำงานเกี่ยวกับเกม...

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นโอกาสที่ดีในการวิเคราะห์ เลือกองค์ประกอบที่คุณต้องการวิเคราะห์ ก่อนอื่น ให้ถามตัวเองว่าความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบนี้ตามความคาดหวังของคุณคืออะไร ในความเห็นของคุณ ควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้างเกมสวมบทบาทและกำลังคิดว่าควรจะเป็นไปได้แค่ไหนที่ผู้เล่นจะสามารถเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ได้ ให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์การชนะที่คุณคิดว่าใช่สำหรับคุณนั้นเป็นอย่างไร โดยปกติเมื่อเล่น console RPGs ผู้เล่นจะหงุดหงิดมากเมื่อแพ้ ดังนั้นจึงดีกว่าที่พวกเขาจะไม่แพ้บ่อยๆ... อาจจะ 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น? หากคุณเป็นนักออกแบบ RPG คุณอาจรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นอย่างไร

แล้วถามตัวเองว่านี่คืออะไร ขึ้นอยู่กับ(เช่นการ์ด) หรือ เป็นอิสระ(เหมือนลูกเต๋า). อภิปรายผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็น 100% สุดท้าย เปรียบเทียบผลลัพธ์ของคุณกับความคาดหวังของคุณ ไม่ว่าลูกเต๋าจะถูกทอยหรือไพ่ถูกจั่วในแบบที่คุณต้องการ หรือคุณเห็นว่าคุณจำเป็นต้องปรับค่า และแน่นอนถ้าคุณ หาอะไรที่ต้องปรับเปลี่ยน คุณสามารถใช้การคำนวณแบบเดียวกันเพื่อกำหนดว่าต้องปรับอะไรมากน้อยแค่ไหน!

การบ้าน

“การบ้าน” ของคุณในสัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะความน่าจะเป็นของคุณ ต่อไปนี้คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่ 1 เกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น รวมถึงกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนามาซึ่งคุณจะทดสอบวิธีมอนติคาร์โล

เกม #1 - กระดูกมังกร

เกมนี้เป็นเกมลูกเต๋าที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเคยคิดมาก่อน (ขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King!) และเกมดังกล่าวได้ทำให้ผู้คนต้องทึ่งกับความน่าจะเป็นของเกม เกมนี้เป็นเกมคาสิโนธรรมดาที่เรียกว่า "Dragon Bones" และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นกับสถานประกอบการ คุณได้รับ 1d6 ปกติ เป้าหมายของเกมคือการทอยตัวเลขให้สูงกว่าเจ้าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เหมือนกับของคุณ แต่แทนที่จะเป็นด้านเดียว - ภาพของมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมี Dragon-2-3-4-5-6 ตาย) หากสถาบันได้มังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากคุณทั้งคู่ได้เลขเท่ากัน ถือว่าเสมอกัน และคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่หมุนหมายเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่าทุกอย่างไม่ได้กลายเป็นที่ชื่นชอบของผู้เล่นเพราะคาสิโนมีความได้เปรียบในรูปแบบของหน้ามังกร แต่มันเป็นเช่นนั้นจริงหรือ? คุณต้องคำนวณมัน แต่ก่อนหน้านั้น ให้ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ สมมุติว่าการชนะคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณคงเงินเดิมพันไว้และรับเงินเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บดอลลาร์นั้นไว้และรับเพิ่มอีก 2 ดอลลาร์รวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเดิมพันของคุณเท่านั้น คุณจะเล่นไหม คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณหรือไม่ว่าความน่าจะเป็นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยแล้วมากกว่า 3 เกม คุณคาดหวังว่าจะชนะมากกว่าหนึ่งครั้งหรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้งหรือไม่?

เมื่อคุณจัดการกับสัญชาตญาณของคุณแล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถนับทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับข้อเสนอ 2 ต่อ 1 นี้ ให้พิจารณาสิ่งนี้: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน $1 ในแต่ละครั้ง) ทุกครั้งที่ชนะ คุณจะได้รับ $2 ทุกครั้งที่แพ้ คุณจะเสีย $1 และเสมอจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไร นับการชนะและการสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณและตัดสินใจว่าคุณจะเสียเงินหรือได้รับหรือไม่ จากนั้นถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน และจากนั้น - ตระหนักว่าฉันเป็นคนร้าย

และใช่ ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว - ฉันจงใจสร้างความสับสนให้คุณโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดที่ดี พยายามแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเอง ฉันจะโพสต์คำตอบทั้งหมดที่นี่ในสัปดาห์หน้า

เกม #2 - ม้วนของโชค

นี่คือเกมลูกเต๋าที่เรียกว่า Lucky Roll (เช่น Birdcage เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ถูกทอย แต่วางไว้ในกรงลวดขนาดใหญ่ซึ่งชวนให้นึกถึงกรงบิงโก) เป็นเกมง่ายๆ ที่มีลักษณะดังนี้: เดิมพัน พูดว่า $1 กับตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 6 จากนั้นคุณหมุน 3d6 สำหรับแต่ละลูกเต๋าที่ตีหมายเลขของคุณ คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และเก็บเดิมพันเดิมของคุณ) หากหมายเลขของคุณไม่ติดบนลูกเต๋าใดๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่ได้รับอะไรเลย ดังนั้น หากคุณเดิมพันที่ 1 และได้ 1 ต่อหน้าสามครั้ง คุณจะได้ $3

ตามสัญชาตญาณ ดูเหมือนว่าในเกมนี้มีโอกาสเท่ากัน ลูกเต๋าแต่ละลูกเป็นรายบุคคล โอกาสชนะ 1 ใน 6 ดังนั้นผลรวมของทั้งสามคือ 3 ใน 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่า คุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกกัน และคุณจะเพิ่มได้ก็ต่อเมื่อเราเป็น พูดถึงชุดค่าผสมที่ชนะแยกกันของลูกเต๋าเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องทวีคูณ

เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว (อาจทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าการใช้มือ เนื่องจากมี 216 รายการ) เกมยังคงดูแปลกแม้ในครั้งแรกที่มองแวบแรก แต่ในความเป็นจริง คาสิโนยังคงมีแนวโน้มที่จะชนะ - มากกว่านั้นแค่ไหน? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดว่าจะสูญเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าไหร่ต่อรอบเกม? สิ่งที่คุณต้องทำคือรวมการชนะและการสูญเสียของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการแล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะง่ายทีเดียว... แต่อย่างที่คุณเห็น มีกับดักสองสามอย่างที่คุณสามารถตกได้ นั่นคือเหตุผลที่ฉันบอกคุณ : ถ้าคุณคิดว่าเกมนี้มีโอกาสชนะเท่ากัน แสดงว่าคุณคิดผิดทั้งหมด

เกม #3 - 5 การ์ดสตั๊ด

หากคุณได้อุ่นเครื่องกับเกมก่อนหน้านี้แล้ว มาลองดูว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยใช้เกมไพ่ใบนี้เป็นตัวอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลองนึกภาพโป๊กเกอร์ที่มีไพ่ 52 ใบ ลองนึกภาพสตั๊ดไพ่ 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่ 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งไพ่ได้ จั่วใหม่ไม่ได้ ไม่มีสำรับทั่วไป คุณได้รับเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในชุดเดียว รวมเป็นสี่ ดังนั้นจึงมีสี่วิธีที่เป็นไปได้ที่จะได้รับรอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับหนึ่งในชุดค่าผสมเหล่านี้

ฉันมีสิ่งหนึ่งที่จะเตือนคุณ: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือในตอนแรกคุณสามารถวาดเอซหรือสิบก็ไม่สำคัญ ดังนั้นเมื่อคำนวณสิ่งนี้ พึงระลึกไว้เสมอว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการรับรอยัลฟลัช สมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ!

เกม #4 - ลอตเตอรี IMF

งานที่สี่จะแก้ได้ไม่ง่ายนักโดยใช้วิธีที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์โดยใช้โปรแกรมหรือ Excel ได้อย่างง่ายดาย เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถใช้วิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม "Chron X" ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันเคยทำมาก่อนและมีการ์ดที่น่าสนใจมากใบหนึ่ง - ลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการ: คุณใช้ในเกม หลังจากจบรอบ ไพ่จะถูกแจกจ่ายซ้ำและมีโอกาส 10% ที่การ์ดจะหมดและผู้เล่นสุ่มจะได้รับทรัพยากร 5 ประเภทจากแต่ละประเภทที่มีโทเค็นบนการ์ดนั้น ไพ่ถูกนำไปเล่นโดยไม่มีโทเค็นเดียว แต่ทุกครั้งที่มันยังคงอยู่ในการเล่นที่จุดเริ่มต้นของรอบถัดไป การ์ดนั้นจะได้รับหนึ่งโทเค็น ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะวางมันลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และไม่มีใครได้อะไรเลย หากไม่เป็นเช่นนั้น (ด้วยโอกาส 90%) มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากเป็น 10% ของ 90%) ที่เธอจะออกจากเกมในรอบถัดไปและบางคนจะได้รับทรัพยากร 5 อย่าง หากการ์ดออกจากเกมหลังจากรอบหนึ่ง (10% ของ 81% ที่พร้อมใช้งาน ดังนั้นโอกาส 8.1%) ใครบางคนจะได้รับ 10 ยูนิต อีกรอบคือ 15 อีก 20 ต่อไปเรื่อยๆ คำถาม: มูลค่าที่คาดหวังจากจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดจะเป็นเท่าใด?

โดยปกติเราจะพยายามแก้ปัญหานี้โดยค้นหาความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์และคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด มีโอกาส 10% ที่จะได้ 0 (0.1*0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับ 5 ทรัพยากร (9%*5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณได้รับคือ 10 (8.1%*10 = 0.81 ทรัพยากรทั้งหมด มูลค่าที่คาดไว้) เป็นต้น แล้วเราจะสรุปทั้งหมด

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: การ์ดมีโอกาสเสมอ ไม่ออกจากเกมเพื่อที่เธอจะได้อยู่ในเกม ตลอดไปและตลอดไป, สำหรับจำนวนรอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้โอกาสในการคำนวณ เป็นไปได้ไม่ได้อยู่. วิธีการที่เราได้เรียนรู้ในวันนี้ไม่อนุญาตให้เราคำนวณการเรียกซ้ำที่ไม่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเทียม

หากคุณเก่งในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จะจำลองการ์ดใบนี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรไปยังตำแหน่งเริ่มต้นที่ศูนย์ แสดงตัวเลขสุ่ม และมีโอกาส 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อออกจากลูปในที่สุด ให้เพิ่มจำนวนการทดสอบทั้งหมดขึ้น 1 และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรหยุดทำงานที่ใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่ รันโปรแกรมหลายพันครั้ง สุดท้าย หารทรัพยากรทั้งหมดด้วยจำนวนการวิ่งทั้งหมด และนี่คือมูลค่า Monte Carlo ที่คุณคาดหวัง เรียกใช้โปรแกรมสองสามครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากสเปรดยังมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มจับคู่ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใด ๆ ที่คุณลงเอยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณยังใหม่ต่อการเขียนโปรแกรม (หรือแม้แต่ถ้าคุณเป็น) ต่อไปนี้คือแบบฝึกหัดเล็กน้อยเพื่อวอร์มทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะของ Excel จะไม่ฟุ่มเฟือย

ตอนนี้ฟังก์ชัน IF และ RAND จะมีประโยชน์มากสำหรับคุณ RAND ไม่ต้องการค่า มันแค่สร้างตัวเลขทศนิยมสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 เรามักจะรวมกับ FLOOR และ pluses และ minuses เพื่อจำลองม้วนของแม่พิมพ์ ซึ่งฉันได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเหลือโอกาสเพียง 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราสามารถตรวจสอบว่าค่า RAND น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

IF มีสามความหมาย ตามลำดับ เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือไม่ จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นเท็จ ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะคืนค่า 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลืออีก 90% ของเวลา:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1:

IF(RAND()<0.1,0,-1)

ฉันกำลังใช้ตัวแปรเชิงลบซึ่งหมายถึง "การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่ได้ให้ทรัพยากรใดๆ" ดังนั้นถ้ารอบแรกจบลงและไพ่หมด A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น -1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่แสดงถึงรอบที่สอง:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND())<0.1,5,-1))

ดังนั้นหากรอบแรกสิ้นสุดลงและการ์ดออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้ก็จะคัดลอกค่านั้น มิฉะนั้น A1 คือ -1 (การ์ดยังไม่ออกจากเกม) และเซลล์นี้สุ่มเคลื่อนที่ต่อไป: 10% ของเวลาที่การ์ดจะส่งคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือจะยังคงมีมูลค่า -1 . หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และไม่ว่าคุณจะลงเอยด้วยเซลล์ใดก็ตาม คุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย (หรือ -1 หากการ์ดไม่ออกจากเกมหลังจากเล่นครบทุกรอบ)

นำแถวของเซลล์นี้ ซึ่งเป็นแถวเดียวที่มีการ์ดใบนี้ แล้วคัดลอกและวางแถวสองสามร้อย (หรือหลายพัน) แถว เราอาจทำไม่ได้ ไม่มีที่สิ้นสุดทดสอบ Excel (ในตารางมีจำนวนเซลล์ที่จำกัด) แต่อย่างน้อย เราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกหนึ่งเซลล์ที่คุณจะใส่ค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ (Excel กรุณาให้ฟังก์ชัน AVERAGE() สำหรับสิ่งนี้)

บน Windows อย่างน้อยคุณสามารถกด F9 เพื่อคำนวณตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ เช่นเคย ทำเช่นนี้สองสามครั้งและดูว่าค่าที่คุณได้รับเหมือนกันหรือไม่ หากสเปรดใหญ่เกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

ปัญหาที่แก้ไม่ตก

หากคุณจบปริญญาด้านความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูง่ายเกินไปสำหรับคุณ นี่คือปัญหาสองข้อที่ฉันสงสัยมาหลายปีแล้ว แต่อนิจจา ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ หากคุณรู้วิธีแก้ปัญหาโดยฉับพลันโปรดโพสต์ที่นี่ในความคิดเห็นฉันจะอ่านด้วยความยินดี

ปัญหาที่แก้ไม่ตก #1: ลอตเตอรี่กองทุนการเงินระหว่างประเทศ

ปัญหาแรกที่แก้ไม่ได้คือการบ้านครั้งก่อน ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และต้องแน่ใจว่าคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรจำนวนเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่พิสูจน์ได้ในทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร (นี่ เป็นอนุกรมอนันต์ ) หากคุณรู้คำตอบ โพสต์ไว้ที่นี่... หลังจากคุณ Monte Carlo ตรวจสอบแล้ว แน่นอน

ปัญหาที่แก้ไขไม่ได้ #2: ลำดับรูปร่าง

งานนี้ (และอีกครั้งที่นอกเหนือไปจากงานที่แก้ไขในบล็อกนี้) นักเล่นเกมที่คุ้นเคยส่งถึงฉันเมื่อกว่า 10 ปีที่แล้ว เขาสังเกตเห็นคุณลักษณะหนึ่งที่น่าสนใจขณะเล่นแบล็คแจ็คในเวกัส: เมื่อเขาหยิบไพ่จากรองเท้า 8 สำรับ เขาเห็น สิบตัวเลขในแถว (ฟิกเกอร์หรือการ์ดฟิกเกอร์ - 10, Joker, King หรือ Queen ดังนั้นจึงมี 16 ตัวในสำรับมาตรฐาน 52 ใบ ดังนั้นจึงมี 128 ในจำนวนทั้งหมด 416 ใบ) ความน่าจะเป็นที่รองเท้าคู่นี้ อย่างน้อยหนึ่งลำดับของ ten หรือมากกว่าตัวเลข? สมมุติว่าพวกเขาสับเปลี่ยนกันอย่างตรงไปตรงมาในลำดับแบบสุ่ม (หรือถ้าชอบ ความน่าจะเป็นที่ ไม่พบที่ไหนเลยลำดับตั้งแต่สิบร่างขึ้นไป?)

เราสามารถลดความซับซ้อนของงาน นี่คือลำดับของ 416 ส่วน แต่ละส่วนคือ 0 หรือ 1 มี 128 ตัวและศูนย์ 288 ตัวที่สุ่มกระจัดกระจายไปทั่วลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มแทรกระหว่าง 128 1s กับ 288 0s และจะมีอย่างน้อย 1 กลุ่มที่มี 1s มากกว่า 10 คนในลักษณะเหล่านี้กี่ครั้ง

ทุกครั้งที่ฉันทำงานนี้ ดูเหมือนจะง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด มันก็พังทลายลงทันทีและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้สำหรับฉัน ดังนั้นอย่ารีบเร่งที่จะโพล่งคำตอบ: นั่งลง คิดให้รอบคอบ ศึกษาเงื่อนไขของปัญหา ลองแทนตัวเลขจริง เพราะทุกคนที่ผมคุยด้วยเกี่ยวกับปัญหานี้ (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานด้านนี้ด้วย) มีปฏิกิริยาในลักษณะเดียวกันมาก : "มันค่อนข้างชัดเจน... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน ไม่ชัดเจนเลย" นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีคำนวณตัวเลือกทั้งหมด แน่นอนฉันสามารถบังคับปัญหาโดยใช้อัลกอริธึมของคอมพิวเตอร์ได้ แต่การรู้วิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหานี้น่าจะน่าสนใจกว่ามาก

การแปล - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

มนุษย์ใช้ลูกเต๋ามาหลายพันปีแล้ว

ในศตวรรษที่ 21 เทคโนโลยีใหม่ทำให้คุณสามารถม้วนแม่พิมพ์ได้ทุกเวลาที่สะดวก และถ้าคุณมีการเข้าถึงอินเทอร์เน็ต ในสถานที่ที่สะดวก ลูกเต๋าอยู่กับคุณที่บ้านหรือบนท้องถนนเสมอ

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าช่วยให้คุณหมุนออนไลน์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 4 ลูกเต๋า

ม้วนตายออนไลน์อย่างตรงไปตรงมา

เมื่อใช้ลูกเต๋าจริง สามารถใช้มือที่คล่องแคล่วหรือลูกเต๋าที่ทำขึ้นเป็นพิเศษได้เปรียบจากด้านใดด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหมุนลูกบาศก์ไปตามแกนใดแกนหนึ่ง จากนั้นการกระจายความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป คุณลักษณะของคิวบ์เสมือนของเราคือการใช้ซอฟต์แวร์สร้างตัวเลขสุ่มหลอก วิธีนี้ทำให้คุณสามารถระบุตัวแปรแบบสุ่มของผลลัพธ์นี้หรือผลลัพธ์นั้นได้

และหากคุณบุ๊กมาร์กหน้านี้ ลูกเต๋าออนไลน์ของคุณจะไม่หายไปไหนและจะอยู่ในมือในเวลาที่เหมาะสมเสมอ!

บางคนได้ประยุกต์ใช้ลูกเต๋าออนไลน์ในการทำนายหรือทำนายดวงชะตา

อารมณ์ร่าเริงเป็นวันที่ดีและโชคดี!